ANALISIS ANAL ISIS STRUKTUR ST STA ATIS TAK TENTU
Metode Slope Deflection #Aplikasi pada Balok Menerus# Pertemuan ke-2
Atika Ulfah Jamal, ST, ST, M.Eng, M.Eng , MT
K2014 Prodi Teknik Sipil , FTSP FTSP,, UII
Content •
•
Analisa balok statis statis tak tentu dengan metode slope deflection Reaksi Reaksi yang timbul pada balok statis statis tak tentu akibat penurunan perletakan perletakan dengan metode slope deflection Learning Outcomes : Mahasiswa dapat memahami dan menghitung dengan menggunakan metode slope deflection pada balok dengan den gan benar
Content •
•
Analisa balok statis statis tak tentu dengan metode slope deflection Reaksi Reaksi yang timbul pada balok statis statis tak tentu akibat penurunan perletakan perletakan dengan metode slope deflection Learning Outcomes : Mahasiswa dapat memahami dan menghitung dengan menggunakan metode slope deflection pada balok dengan den gan benar
Suatu struktur dengan kelebihan reaksi disebut sebagai struktur statis tak tentu. Derajat ketidaktentuan statis ditunjukkan dengan jumlah kelebihan reaksi pada struktur. Karena jumlah persamaan statika pada struktur statis tak tentu lebih sedikit dari jumlah reaksi reaksi perletakan perletakan yang yang harus di cari maka reaksi perletakan pada struktur statis tak tentu tak dapat hanya diselesaikan dengan persamaan statika.
Untuk ini diperlukan persamaan tambahan utk penyelesaiannya yaitu : baik pada Persamaan Deformasi tumpuan maupun pada sambungan “
”
Deflections in Beams
Perhitungan deformasi elastis dari struktur-struktur, baik deformasi linier dari titik-titik maupun deformasi rotasional dari garis (lereng) dari kedudukan semula sangat penting dalam analisa, perencanaan dan konstruksi dari struktur-stuktur
Yang terpenting , analisa tegangan untuk struktur statis tak tentu sebagian besar didasarkan pada suatu evaluasi dari deformasi elastisnya di bawah pembebanan.
Persamaan Deformasi pada p ada Tumpuan Tumpuan
B
A A = Jepit
B = sendi
ν v = 0 ν h = 0
ν v = 0 ν h = 0
C
A C = Rol ν v = 0
Ø=0
Persamaan Deformasi pada Sambungan A
B
ØBA = ØBC
C
Degrees of Fredom Perpindahan( displacement ) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan ( degree of freedom) Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik
Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan
Pada metode Slope Deflection, persamaan simultan akan disusun dengan variabel deformasi ujung. Untuk itu momen ujung dinyatakan dalam deformasi ujung dengan persamaan Slope
deflection
Jika bentang IJ merupakan jepit sempurna pada ujung-ujungnya, maka perputaran sudut / slope garis elastis pada kedua ujungnya sama dengan nol Beban luar yang ada menghasilkan “Fixed End Moment (FEM) / Momen Primer “ Joint “I” dan “J” pada kenyataannya tidak “Fixed” atau tidak sepernuhnya jepit, tetapi akan berputar akibat adanya beban luar dan secara umum akan berbentuk seperti gambar disamping
Slope Deflection merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur
Perhatikan balok IJ yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar w dan P. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI. Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MIJ dan MJI dengan sudut rotasi θi dan θ j serta lendutan ∆ yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan J. Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam, bernilai negatif apabila memiliki arah putar berlawanan arah jarum jam lendutan ∆ dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut y searah jarum jam.
M ij 2 M L L 1 ji L 1 L 2 EI 3 2 EI 3 i 1
L
i
L
6 EI
θ j θi j j
2 M
ij
M ji
M
M
1 ji L 2 L 1 ij L 1 L 2 EI 3 2 EI 3
L L
6 EI
2 M
ji
M ij
Jika terdapat perpindahan relatif pada ujungujungnya (Δ), maka :
i
j
L 6 EI
L 6 EI
2 M M ij
ji
Dengan:
2 M
ji
M ij
L
Penyelesaian persamaan diatas menghasilkan :
M ij 2EK 2 i j 3
Dengan:
M ji 2EK i 2 j 3
K
I
L
Momen diatas akibat adanya perputaran sudut / slope (θ) dan adanya perpindahan relatif pada ujung-ujungnya (ψ)
θ j θi
Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok. Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok. Momen akhir adalah momen akibat “slope” dan “deflection” ditambah momen primer (FEM)
M ij 2 EK 2 i j 3 FEM ij M ji 2 EK i 2 j 3 FEM ji
Langkah – langkah Penyelesaian dengan Metode Slope Deflection 1. Tentukan derajat kinematis struktur, yaitu jumlah deformasi titik buhul yang mungkin terjadi (n) 2. Hitung momen primer (FEM) tiap batang akibat beban luar 3. Terapkan persamaan slope –deflection pada tiap batang untuk menyatakan momen ujung 4. Dengan memperhatikan pertemuan titik buhul, susun n – buah persamaan keseimbangan dengan variabel deformasi titik buhul 5. Selesaikan persamaan simultan dengan solusi semua variabel titik buhul 6. Hitung kembali momen ujung batang dengan persamaan slope deflection dalam variabel yang telah didapat 7. Cari reaksi balok sederhana tiap batang akibat beban dan momen ujung 8. Hitung dan gambar diagram momen dan gaya lintang tiap batang 9. Gabung diagram momen dan gaya lintang tiap batang menjadi diagram momen dan gaya lintang struktur
Contoh Soal
4 t/m A
Gambarkan BMD, SFD, dan Deformasi pada struktur disamping
10 T C
B
A
5m
2m
2m
Penyelesaian : Deformasi yang variabel adalah rotasi di B (satu derajat ketidaktentuan kinematis)
FEM pada batang FEM AB FEM BA
1 12 1 12
45 45
2
2
8,33 t .m
8,33 t .m
FEM BC
10.2.2
FEM CB
4
2
5 tm
2
10.2.2 4
2
2
5 tm
A C
0
Persamaan Slope Deflection pada batang M AB
2 EK 2 A B 3 FEM AB
M BA
2 EK A 2 B 3 FEM BA
M BC 2 EK 2 B
M CB
C 3 FEM BC
2 EK B 2 C 3 FEM CB
2 EI 2 EI 5 2 EI 4
2 EI 4
2 EI
0 8,33
4 EI
0 2.
B
5
0 8,33
2.0
B
2.
B
00 5
2.0 0 5
B
5
4 EI 4
2 EI 4
5
B 8,33
B 8,33
B 5 B 5
Persamaan keseimbangan momen di B
M
B
M BA M BC 0
4 EI 4 EI B 8,33 B 5 0 5 4 EI B
1,85
Momen Akhir / momen ujung :
2 EI
M AB
M BA
M BC
M CB
5
8,33
B
8,33
5
4 EI
4 2 EI 4
5 4 EI
2( 1,85)
B
B
5
4 1,85 5
4( 1,85)
B 5
4 2(1,85) 4
8,33
9,07 tm
8,33 6,85 tm
5
6,85 tm
5 4,075 tm
Reaksi BALOK Balok AB MBA
MAB
VAB
VBA
5 9,07 6,85 10,444 T 2 5 5 9,07 6,85 V BA 4 9,556 T 2 5
V AB 4
10,444
Persamaan momen AB m
10,444
x
9,07 2
x
2
SFD
+ -
x = 2,61
Maksimum , untuk x = 2,61 m, maka m = 4,55 tm
9,556
-9,07
-6,85
+ 4,55
BMD
Reaksi BALOK Balok BC MBC
MCB
10 T
VBC
VCB
6,85 4,075 5,693 T 4 6,85 4,075 V CB 5 4,307 T 4
V BC 5
Momen maksimum = - 6,85 + (5,693 .2)= 4,538 tm
5,693
-6,85
SFD
+
+
4,307
4,538
BMD
10,60 5,693
+
+ -
x = 2,66
9,396
SFD 4,307
-6,85
-9,87
+ 4,185
+
BMD
4,538
NFD
P
q
C
B
A
L1
L2
L3
MAB = 0 M AB M BA
Pers. 2
2 EK
A
3
2
2 EK 2 A 4 B A
2 EK 3 B
EK
M BA
B 3 FEM BA
0 2 EK 2
M BA
Pers. 1
2 EK 2 A B
2 M BA
2 M BA
FEM AB
3
B
3 EK B
2 FEM BA
6
B 3 FEM AB
2 FEM BA FEM AB
3
FEM BA
3
FEM
BA
1 2
1
2
FEM AB
FEM AB
Pers. 3
Jika pada ujung batang ditumpu oleh Sendi atau Rol, maka persamaan momen akhir dapat menggunakan :
P
q
C
B
A
L1
L2
L3
MAB = 0
M BA
3 EK
M BA
3 EK
B
B
FEM BA
1 2
M 1 M 2
12
Rumus disamping digunakan dengan anggapan balok AB dianggap tumpuannya jepit-jepit
Rumus disamping digunakan dengan anggapan balok AB dianggap tumpuan di A adalah sendi & tumpuan di B adalah JEPIT
FEM BA 1
FEM AB
2
q L
Contoh Soal
20 K
2 k/ft A
B 25 ft
C 25 ft
D 15 ft
10 ft
EI Konstan Gambarkan BMD, SFD, dan Deformasi pada struktur diatas
Penyelesaian : Deformasi yang variabel adalah rotasi di B dan C (dua derajat ketidaktentuan kinematis)
FEM pada batang
FEM AB
1 12 1
FEM BA
FEM BA
FEM BC
12 1
8 1
12
2 25
2 25
2
2
104,17 k . ft
156 ,25 k . ft
Anggapan balok BC ditumpu jepit-jepit
2 25
2
104,17 k . ft
2
25
20 10 15 25
48
2
Anggapan balok CD ditumpu jepit-jepit
2
2 25
k . ft
2
2
20 10 25
Anggapan balok AB ditumpu jepit di B dan sendi di A
2 252 104,17 k . ft
20 15 10
FEM DC
FEM CD
Anggapan balok AB ditumpu jepit-jepit
12 1
FEM CB FEM CD
2 252 104,17 k . ft
2
10
72 k . ft
2
84
k . ft
Anggapan balok CD ditumpu jepit di C dan ROL di D
0
Persamaan Slope Deflection pada batang Dalam soal ini, L untuk semua batang mempunyai panjang yang sama Nilai EI konstan, sehingga nilai EK dapat dihilangkan. M AB
0
dan
M DC
Anggapan balok AB ditumpu jepit-jepit
0
1 M BA 3 EK B FEM BA FEM AB 3 B 104,17 104,17 3 B 156,25 k . ft 2 2 1
M BA 3 EK B FEM BA 3 B 156,25 k . ft Anggapan balok AB ditumpu jepit di B dan sendi di A
M BC 2 EK 2 B C 3 FEM BC 4. B 2. C 104,17 k . ft
M CB 2 EK B 2 C 3 FEM CB 2 B 4. C 104,17 k . ft
Dengan anggapan yang berbeda dalam perhitungan FEM, Nilai MBA tetap sama
Anggapan balok CD ditumpu jepit-jepit
1 M CD 3 EK C FEM CD FEM DC 3 C 48 72 3 C 84 k . ft 2 2 1
M CD 3 EK C FEM CD 3 C 84 k . ft
Dengan anggapan yang berbeda dalam perhitungan FEM, Nilai MCD tetap sama
Anggapan balok CD ditumpu jepit di C dan rol di D
M DC
0
Persamaan keseimbangan momen di B
M
B
M BA M BC 0
3
B
156,25 4 B 2 C 104,17 0
7 B 2 C 52,08
Pers. 1
Persamaan keseimbangan momen di C
M
C
M CB M CD 0
2 B 4 C 104,17 3 C 84 0 2 B 7 C 20,17
Pers. 2
Dari Pers. 1 dan 2 diperoleh :
B
7,2
C 0,8 Momen Akhir / momen ujung : M AB
0
M BA 3 B 156,25 3 7,2 156,25 134,65 k . ft
M BC 4. B 2. C 104,17 4. 7,2 2. 0,8 104,17 134,57 k . ft M CB 2 B 4. C 104,17 2 7,2 4. 0,8 104,17 M CD
M DC
3
0,8 84
0
86,4 k . ft
86,57 k . ft
Reaksi BALOK Balok AB MAB = 0
MBA
VAB
VBA
Persamaan momen AB m
19,614
x x
2
0 134,65 19,614 Kip 25
1 2
V AB 2 25
1 0 134,65 V BA 2 25 30,386 Kip 2 25 19,614
SFD
+ -
x Maksimum , untuk x = 9,807 ft, maka m = 96,177 k.ft
30,386 -134,65
+ 96,177
BMD
Reaksi BALOK Balok BC MBC
MCB
1 2
134,57 86,57 26,92 Kip 25
1 2
134,57 86,57 23,08 Kip 25
V BC 2 25 V CB 2 25
VBC
VCB
26,92
Persamaan momen CB m
26,92
x
134,57
x
2
SFD
+ -
x
23,08
Maksimum , untuk x = 13,46 ft, maka m = 46,6016 k.ft -134,57
-86,57
+ 46,6016
BMD
Reaksi BALOK Balok CD MCD
20 K
VCD
MDC =0
86,4 0 V CD 8 11,456 Kip 25 86,4 0 V DC 12 8,544 Kip 25
VDC 11,456
Momen maksimum = (11,456 .15) – 86,4 = 85,44 k.ft
SFD
+ -
8,544 -86,4
+ 85,44
BMD
SFD
11,456 26,92
19,614
+
+
+ -
x
-
-
x
8,544
23,08 30,386
BMD -134,65
-134,57
-86,57
-
-
+
+
96,177
46,6016
-86,4
+ 85,44
NFD
DEFORMASI
θB
θC
