33468434 Metode Slope Deflection

MODUL 4

-1-

MODUL 4 : METODA ³ Slope Deflection´ 4.1. Judul

: Metoda ³ Slope Deflection´

Tujuan Pembelajaran Umum

Setelah membaca mbaca bagian ini mahasiswa akan dapat

memaham aha mi apakah

metod etoda ³Slope Deflection´ dan bagaim agaimana metod etoda ³Slope Deflection´ dipakai untu u. ntuk m k menyelesaikan str uktu ktur statis r statis tid tidak tertent ak tertentu.

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa selain dapat memaham aha mi metod etoda ³Slope Deflection´ juga juga dapat menyelesaikan suatu atu str uktu ktur statis tid tidak tertentu tertentu yaitu yaitu menghitu enghit ung semu semuaa gaya luar (reaksi perletakan) dan gayagaya-gaya dalam ala m (gaya nor mal, gaya lintang, momen batang) dari str uktu ktur terse but but dengan menggu enggunakan metod etoda ³Slope Defclection´.

4.1.1. Pendahuluan

be beda Ber

dengan metod etoda-meto -metod da yang telah di bahas bahas se bel belum umnya, nya, yaitu yait u

metod etoda ³Consistent ³Consistent Defor mation´ yang memakai gaya luar (reaksi perletakan) se bagai bagai varia bel bel dan metod etoda ³Persa ³Persam maan Tiga Momen´ yang memakai gaya dalam ala m (mo (momen batang) se bagai bagai varia ble, ble, untu ntuk metod etoda ³Slope Deflection´ ini rotasi batang dipakai se bagai bagai varia ble ble.. Maka dari itu itu untu ntuk metod etoda ³C onsistent onsistent Deformation´ dan metod etoda ³Persa ³Persam maan Tiga Momen´ yang varia belnya belnya ber u pa gaya luar atau atau pu pun gaya dalam ala m dikategorikan dikategorikan se bagai bagai ³Force Method´ sed sedangkan metod etoda ³Slope Deflection´ yang memakai rotasi batang se bagai bagai varia bel bel dikategorikan se bagai bagai ³Flexibility Method´. Method´. Dengan ketentu ketent uan bahwa pad pada batang batang-b -batang atang yang bertemu ertemu pa pad da suatu atu titik si titik sim m pu pul (joint) (joint) yang disambu isa mbung ng secara kak u mem pu punyai rotasi yang sam sa ma, besar mau pu pun arahnya, maka pad pada batang batang batang yang bertemu ertemu pa pad da titik si titik sim m pu pul terse but but mem pu punyai rotasi yang sam sa ma, atau ata u boleh boleh dikatakan sam sa ma dengan rotasi titik sim sim pu pulnya. lnya. Sehingga dapat dikatakan jumlah jumlah varia bel bel yang ada sam sa ma dengan jumlah jumlah titik sim si m pu pul (joint) (joint) str uktu ktur but. terse but

Metoda ³Slope Deflection´

MODUL 4 Besarnya

-2-

varia bel bel-v -varia aria bel bel

tad tadi

akan

dihitu ihitung

dengan

menyu enyusu n

persam persa maanaan- persam persa maan se jumlah jumlah varia bel bel yang ada dengan ketentu ketent uan bahwa momen batang-b atang-batang atang yang bertemu ertemu pad pada satu satu titik sim sim pu pul har uslah dalam ala m kead keadaan seimb seimbang ang atau atau dapat dikatakan jumlah jumlah momen-m en-mo omen batang yang berte bertemu mu pa pad da satu satu titik si titik sim m pu pul sam sa ma dengan nol. nol. Disini Disini diperlu iperlukan per umusan umusan dari masing-m asing-masing asing momen batang se bel belum um menyu enyus un persam persamaanaan- persam persa maan yang di but butuhkan untu ntuk menghitu enghit ung varia bel bel-v -varia aria bel bel itu. itu. Rumus Rumus-r umus umus momen batang terse but but mengandu engandung ng varia bel bel-v -varia aria bel bel yang ada yaitu yaitu rotasi titik si titik sim m pu pul. Dengan persam persa maanaan- persam persa maan yang disu isusun, besarnya varia bel bel dapat dihitu ihitung. ng. Setelah besarnya varia bel bel didapat, dimasu asukkan ked kedalam ala m r umus umus-r umus umus momen batang, maka besarnya momen batang-b atang-batang atang terse but but dapat dihitu ihitung. ng. Demikianlah konsep dari metod etoda ³Slope Deflection´ untu ntuk menyelesaikan str uktu ktur statis r statis tid tidak tertent ak tertentu. u.

4.1.2. Perumusan Momen Batang

Momen batang dapat ditimbu iti mbulkan lkan dengan adanya be ban ban luar, rotasi titik sim sim pu pul ujung ujung-uju -ujung ng batang dan juga juga aki bat bat perpind perpindahan relatif antara relatif antara titik sim sim pu pul ujung ujung batang atau atau yang biasa dise but but dengan pergoyangan. pergoyangan. Se berapakah berapakah besarnya momen aki bat bat masing-m asing-masing asing penye penye ba ba b tad tadi, dapat ditu itur unkan se bagai bagai berik ut :

A. Batang dengan dengan kedua ujungnya dianggap jepit.

1.

Aki bat bat be ban ban luar Momen batang aki bat bat be ban ban luar ini seter usnya dise but but se bagai bagai

Momen

Prim rimair (MP), yaitu yaitu momen aki bat bat be ban ban luar yang menggemb engge mbalikan alikan rotasi nol ( U = 0) 0) pad pada ujung ujung batang jepit. epit.


MODUL 4 Besarnya

-2-

varia bel bel-v -varia aria bel bel

tad tadi

akan

dihitu ihitung

dengan

menyu enyusu n

persam persa maanaan- persam persa maan se jumlah jumlah varia bel bel yang ada dengan ketentu ketent uan bahwa momen batang-b atang-batang atang yang bertemu ertemu pad pada satu satu titik sim sim pu pul har uslah dalam ala m kead keadaan seimb seimbang ang atau atau dapat dikatakan jumlah jumlah momen-m en-mo omen batang yang berte bertemu mu pa pad da satu satu titik si titik sim m pu pul sam sa ma dengan nol. nol. Disini Disini diperlu iperlukan per umusan umusan dari masing-m asing-masing asing momen batang se bel belum um menyu enyus un persam persamaanaan- persam persa maan yang di but butuhkan untu ntuk menghitu enghit ung varia bel bel-v -varia aria bel bel itu. itu. Rumus Rumus-r umus umus momen batang terse but but mengandu engandung ng varia bel bel-v -varia aria bel bel yang ada yaitu yaitu rotasi titik si titik sim m pu pul. Dengan persam persa maanaan- persam persa maan yang disu isusun, besarnya varia bel bel dapat dihitu ihitung. ng. Setelah besarnya varia bel bel didapat, dimasu asukkan ked kedalam ala m r umus umus-r umus umus momen batang, maka besarnya momen batang-b atang-batang atang terse but but dapat dihitu ihitung. ng. Demikianlah konsep dari metod etoda ³Slope Deflection´ untu ntuk menyelesaikan str uktu ktur statis r statis tid tidak tertent ak tertentu. u.

4.1.2. Perumusan Momen Batang

Momen batang dapat ditimbu iti mbulkan lkan dengan adanya be ban ban luar, rotasi titik sim sim pu pul ujung ujung-uju -ujung ng batang dan juga juga aki bat bat perpind perpindahan relatif antara relatif antara titik sim sim pu pul ujung ujung batang atau atau yang biasa dise but but dengan pergoyangan. pergoyangan. Se berapakah berapakah besarnya momen aki bat bat masing-m asing-masing asing penye penye ba ba b tad tadi, dapat ditu itur unkan se bagai bagai berik ut :

A. Batang dengan dengan kedua ujungnya dianggap jepit.

1.

Aki bat bat be ban ban luar Momen batang aki bat bat be ban ban luar ini seter usnya dise but but se bagai bagai

Momen

Prim rimair (MP), yaitu yaitu momen aki bat bat be ban ban luar yang menggemb engge mbalikan alikan rotasi nol ( U = 0) 0) pad pada ujung ujung batang jepit. epit.


MODUL 4

MPi j j

-3-

MPi j j

q

i

j L

Batang

a). a). Batang i j j di di be be bani bani be ban ban q, dengan kond kondisi i dan j jepit jepit

be be ban ban q akan ter ja jadi lendu lendutan, tan, tetapi karena i

3

U i j j =

dan j jepit, maka akan ter ja jadi momen di i dan j

3

qL

II

24 EI

q

U ji ji =

i-j dengan be ban ban ter bagi bagi rata q aki bat bat

qL

untu ntuk mengemb engembalikan alikan rotasi di jepit sam sa ma

24 EI

dengan nol, yaitu yait u Ui j j = 0 dan dan U ji ji = 0. EI i

Momen itu itulah yang dise but but momen prim primair

j

(MP), MPi j j di ujung ujung i dan MPji ujung batang j. Pj i di ujung Berapakah

L

se bagai bagai

b) b). Be ban ban ter bagi bagi rata q

U i j j =

M P i j j L U ji ji =

3 EI

M P i j j L

batang

i-j

yang

di ja ja barkan barkan se bagai bagai balok dengan ujung ujung-uju -ujung ng

j

send sendi di be be bani bani be ban ban ter bagi bagi rata q, (Ga (Ga mbar mbar b),

6 EI

be be ban ban momen MPi j j (Ga (Ga mbar mbar c) dan be ban ban momen MPji (Ga mbar mbar d). Pj i (Ga

MPi j j

U i j j =

d).

K ond ondisi

dan MPji ujung-uju -ujung ng i dan j jepit, dapat Pj i karena ujung

c). c). Be ban ban MPi j j

i

berik ut.

di be be bani bani be ban ban ter bagi bagi rata q dan ter ja jadi MPi j j

MPi j j

i

besarnya MPi j j dan MPji Pji bisa kita cari

M P ji L ji U ji

6 EI

ban Be ban

=

P i

j

3 I

MP ji ji Ga mbar mbar 4.1.

Dari ketiga pemb pembee banan banan tad tadi, rotasi di i dan j har uslah sam sa ma dengan nol (karena i dan j adalah jepit). epit). M P i j j L M P ji L ji =0 U i j j = 24 EI 3 EI 6 EI

(1) (1)

M P i j j L M P ji L ji =0 U ji ji = 24 EI 6 EI 3 EI

(2) (2)

qL3

3

qL


MODUL 4

-4-

Dari kedua persamaan itu didapatkan besarnya M pi j dan M p ji yaitu : MPi j = MPji =

1

qL²

12

Dengan cara yang sama dapat ditur unkan r umus besarnya momen primair dari be ban terpusat se bagai berik ut : P

MPi j i

MPji

EI

j

L

L

2

2 P

a

 Be ban

terpusat P ditengah bentang

MPi j = MPji =

b 

i

EI

1 8

Pa b ²

MPi j =

L²

PL M P ji =

Pa ² b L²

j

L Aki bat rotasi Ui j , di ujung i ter jadi momen

2. Aki bat rotasi di i ( Ui j)

i j, dan untuk mem pertahankan rotasi di j

Mi j

M ji U = 0 ji Ui j

i

EI

sama dengan nol ( U ji = 0) akan ter jadi momen

j

K ondisi pada Gambar (a) dapat di ja barkan

L

se bagai balok dengan ujung-ujung sendi

a). Batang i j dengan rotasi Ui j

dengan be ban

i j

ji

i Ui j =

i j L

b). Be ban

Ui j =

U ji =

3EI i j

ji.

j

i j L

i j

(Gambar b) dan be ban

(Gambar c).

Dari kedua pembe banan terse but, rotasi di j har us sama dengan nol.

6EI

di i

U ji =

ji L

ji

i j

6 I

-

ji

3 I

=0

M ji = ½ Mi j

6EI

Disini kita dapatkan bahwa apa bila di i ada momen se besar Mi j, untuk mem per U ji =

c). Be ban

ji

di j

Gambar 4.2 Metoda ³Slope Deflection´

ji

3 I

tahankan rotasi di j sama dengan nol (0), maka momen tadi diinduksikan ke j dengan faktor induksi setengah (0,5).

MODUL 4

Besarnya

-5-

M i j L M ji L 3 EI 6 EI

rotasi di i : Ui j =

Dengan memasukkan Mji = ½ Mi j, didapat Ui j =

i j

4 EI



M i j

=

4 EI L

(4)

U i j

Sehingga didapat besarnya momen aki bat Ui j : Mi j =

4EI L

U i j

dan M ji =

2EI L

U i j

K ita buat notasi bar u yaitu kekak uan se buah batang (K ) dengan definisi : K ekak uan batang (K ) adalah besarnya momen untuk memutar sudut se besar satu satuan sudut ( U = 1 rad), bila ujung batang yang lain ber u pa jepit. Untuk Ui j = 1 rad, maka K i j =

4EI

3). Aki bat rotasi di j ( U ji ) M ji

i

EI

Mi j

U ji

Dengan cara sama seperti penur unan r umus aki bat Ui j, maka aki bat rotasi U ji, maka aki bat

j

rotasi U ji didapat : M ji =

Gambar 4.3. aki bat M ji

4EI L

U ji ; M i j =

2EI L

U ji

4). Aki bat pergoyangan (() Mi j

Aki bat pergoyangan ( perpindahan

EI

j

i

(

j L

relatif ujung-ujung batang) se besar (, maka akan ter jadi rotasi Ui j dan U ji

M ji Ui j = U ji =

Gambar 4.4. aki bat (

( L

K arena ujung-ujung i dan j jepit maka akan timbul momen Mi j dan Mji untuk mengembalikan rotasi yang ter jadi aki bat pergoyangan. Seolah-olah ujung i dan j berotasi Ui j = U ji =


(

, sehingga besarnya momen :

MODUL 4

-6-

Mi j =

4EI

2EI

+

L 2EI

. U ji

6 EI

.( L² 6EI M ji = . U ij = .( U ji + L L L² Dari keem pat hal yang menimbulkan momen tadi, dapat ditulis r umus umum L 4EI

U ij

=

momen batang se bagai berik ut : Untuk i dan j jepit : Mi j = MPi j + MPji = MPji + Dengan K i j =

4EI L 4EI L

U i j +

U ji

+

2 EI L 2EI L

U ji + U ij

+

6 EI L² 6EI L²

(

(4.1 ± 1a)

(

(4.1 ± 1b)

4EI L

Mi j = MPi j + K ( Ui j + ½ U ji + 1,5

(

) L ( M ji = MPji + K ( U ji + ½ Ui j + 1,5 ) L

(4.1 ± 2a) (4.1 ± 2b)

B. Batang dengan salah salah satu ujungnya sendi / rol

1. Aki bat be ban luar Dengan cara yang sama seperti pada balok dengan i dan j jepit, didapat besarnya momen primair (aki bat be ban luar) se bagai berik ut : MP ij i

j

MP i j =

1

j

MP i j =

3

L a). Be ban ter bagi rata q P M 

8

qL ²

P ij

i 42

16

PL

42

b). Be ban terpusat P. ditengah bentang P a b i



MP ij

j

L c). Be ban terpusat P. se jarak a dari i Gambar 4.5 Metoda ³Slope Deflection´

MP =

Pa b ² 1 Pa ² b L² 2 L²

MODUL 4

-7-

2). Aki bat rotasi di i ( Ui j) Mi j Ui j =

i

EI

Qi j

j Mi j =

L Gambar 4.6. aki bat Mi j

M i j L 3 EI 3 EI L

U i j

K ekak uan

batang

modifikasi

(K  ),

besarnya momen untuk memutar rotasi se besar satu satuan sudut ( U= 1 rad) bila ujung yang lain sendi. Ui j = 1 rad  K¶i j =

3EI L

3). Aki bat pergoyangan (() Mi j

j

Aki bat pergoyangan (, i dan j

i berotasi se besar j Ui j = U ji =

Gambar 4.7. aki bat (

( L

( L

Mi j mengembalikan rotasi di i sama dengan nol ( Ui j = 0) seolah-olah di i berotasi Ui j =

( L

, sehingga timbul momen : Mi j =

3EI L

Ui j =

3EI L²

.(

4). Aki bat momen kantilever, kalau di ujung perletakan sendi ada kantilever : (jk ± batang kantilever) Mi j

M jk

M ji

P

Momen kantilever M jk . 7 M j = 0  M ji = - M jk

j

i

k

aki bat M ji, untuk mem pertahankan Ui j = 0, akan timbul Mi j .

Gambar 4.8. aki bat momen kantilever


Mi j = ½ M ji = - ½ M jk .

MODUL 4

-8-

Dari keem pat hal yang menimbulkan momen batang diatas dapat dituliskan secara umum momen batang se bagai berik ut : Untuk ujung j sendi / rol : Mi j = MP i j + Dengan K  =

3 EI L

3 EI L

U i j

+

3 EI ( 1 L² 2

jk

(4.1 ± 3)

, r umus terse but diatas dapat ditulis

Mi j = MP i j + K¶ ( Ui j +

(

L

)-

1 2

M jk

(4.1 ± 4)

Jadi kita mem punyai dua r umus momen batang, pertama dengan ujungujung jepit-jepit, kedua dengan ujung-ujung jepit sendi. Yang dikatakan ujung jepit bila ujung batang betul-betul perletakan jepit atau se buah titik sim pul yang mer u pakan pertemuan batang dengan batang (tidak ter masuk katilever). Sedangkan yang dikatakan ujung batang sendi yang betul-betul perletakan sendi, bukan ber u pa titik -titik sim pul. K alau kita perhatikan pada per umusan batang dengan jepit-jepit, r umus (4.1-1 dan 4.1-2) disana ada dua varia bel rotasi yaitu Ui j dan U ji , sedangkan untuk batang dengan ujung jepit-sendi, per umusannya hanya mengandung satu varia bel rotasi yaitu Ui j , rotasi pada perletakan sendi ( U ji) tidak pernah muncul dalam per umusan. Untuk menun jukkan arah momen batang dan rotasi, dalam per umusan momen batang perlu diadakan per jan jian tanda se bagai berik ut : Momen batang positif (+) bila arah putarannya searah jar um jam ( negatif (-), bila arah putarannya berlawanan arah jar um jam (

), dan

).

Demikian juga untuk arah rotasi, kita beri tanda seperti pada momen batang. Untuk aki bat be ban luar (MP) tanda momen bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung be ban yang beker ja, demikian juga aki bat pergoyangan bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung arah pergoyangannya. Untuk rotasi, karena kita tidak tahu arah se benarnya (se bagai varia bel) selalu kita anggap positif (+).


MODUL 4

4.1.3. Langkah-langkah yang harus dikerjakan pada metoda

-9³

Slope

Deflection´

Untuk menyelesaikan perhitungan str uktur statis tidak tertentu dengan metoda ³Slope Deflection´ ur utan langkah-langkah yang har us diker jakan adalah se bagai berik ut : 

Tentukan dera jat ke be basan dalam pergoyangan str uktur statis tidak tertentu terse but, dengan r umus : n = 2 j ± (m + 2f + 2h + r) dimana : n = jumlah dera jat ke be basan j = ³joint´, jumlah titik sim pul ter masuk perletakan. m = ³member ´, jumlah batang, yang dihitung se bagai member adalah batang yang di batasi oleh dua joint. f = ³fixed´, jumlah perletakan jepit. h = ³hinged´, jumlah perletakan sendi. r = ³rool´, jumlah perletakan rol. Bila

n < 0  tidak ada pergoyangan. n > 0  ada pergoyangan



K alau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan ada tentukan arah momen aki bat pergoyangan, untuk menentukan tanda positif (+) ataukah negatif (-) momen aki bat pergoyangan terse but (untuk menggambar pergoyangan ketentuan yang har us dianut seperti pada metoda ³Persamaan Tiga Momen´).



Tentukan jumlah varia bel yang ada. Varia bel yang dipakai pada metoda ini adalah rotasi ( U) titik sim pul, dan delta ( () kalau ada pergoyangan.



Tuliskan r umus momen batang untuk semua batang yang ada dengan r umus (4.1.1 s/d 4.1.4.) dimana akan mengandung varia bel-varia bel ( U dan ( ) untuk masing-masing r umus momen batang terse but.



Untuk menghitung varia bel-varia bel terse but perlu disusun persamaan persamaan se jumlah varia bel yang ada. Persamaan- persamaan itu akan disusun dari :


MODUL 4

-

-10-

Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada satu titik sim pul sama dengan nol.

-

K alau ada varia bel (, perlu ditambah dengan persamaan keseimbangan str uktur . Seperti juga pada metoda ³Persamaan Tiga Momen´, dalam menyusun persamaan keseimbangan str uktur pada dasarnya membuat perhitungan ³free body diagram´ sehingga mendapatkan persamaan yang menghubungkan satu varia bel dengan

varia bel yang lain. Pada

penggambaran arah momen, momen yang belum tahu besarnya (masih dalam per umusan) digambarkan dengan arah positif (+) yaitu searah jar um jam ( 

)

Dengan persamaan- persamaan yang disusun, dapat dihitung besarnya varia bel-varia belnya.



Setelah varia bel-varia bel diketahui nilainya, dimasukkan kedalam r umus momen-momen batang, sehingga mendapatkan harga nominal dari momenmomen batang terse but.

4.2. Penyelesaian struktur statis tidak tertentu dengan metoda

³

Slope

Deflection´

Dari pembahasan se belumnya kita mengetahui bahwa konsep dari metoda ³Slope Deflection´ adalah memakai rotasi titik sim pul ( U) se bagai varia bel dan juga pergoyangan (() kalau str uktur kita dapat bergoyang. Varia bel-varia bel tadi akan akan dipakai didalam per umusan momen-momen batang karena r umus momen batang mengandung unsur -unsur aki bat be ban rotasi titik sim pul ( U) dan defleksi relatif ( pergoyangan - (). Untuk menghitung besarnya varia bel-varia bel terse but, disusun persamaan- persamaan se jumlah varia bel yang ada dari persyaratan keseimbangan titik sim pul dan kalau ada varia bel pergoyangan (() ditambah dengan persamaan keseimbangan str uktur . Setelah

varia bel-varia bel

terse but dapat dihitung, kita masukkan kedalam r umus momen batang kita dapatkan besarnya momen-momen batang terse but. K arena metoda ini memakai vari bel rotasi dan pergoyangan maka metoda ini dise but metoda ³Slope Deflection´.


MODUL 4

-11-

³

4.2.1. Contoh-contoh penyelesaian dengan metoda Slope Deflection´

1.

P1 = 4 t

q = 1 t/m

P2 = 1,5 t

Suatu

balok statis

tidak

tertentu dengan uk uran dan 1,5 EI

2 EI

A

B

C 3m

6m

3m

EI D 2m

pembe banan seperti didalam gambar 4.9 A perletakan jepit, B dan C perletakan rol.

Gambar 4.9

Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batangnya dengan metoda ³Slope Deflection´. - Gambarkan bidang M, D dan N-nya.

Penyelesaian : 

n = 2j ± (m + 2f + 2h + r) = 2 x 3 ± (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2) = 0  tidak ada pergoyangan



A jepit  U A = 0

B

± titik sim pul ada UB

C rol  UC tidak se bagai varia bel. Jadi varia belnya hanya satu yaitu UB 

Rumus Momen Batang

+

Rumus Umum : Untuk i, j jepit :

Mi j = MPi j + K i j ( Ui j + ½ U ji + 1,5

Untuk j sendi / rol :

Mi j = MP i j + K i j ( Ui j +


(

L

( L

) ± ½ M jk

)

MODUL 4

-12-

Momen-momen primair : q = 1 t/m

-

+

A

B

- MPAB = MPBA =

L=6m 4t

- MP BC = -

-

C

B

3m

K ekak uan

16

12

P1L

=

3m

Batang

:

AB ± jepit-jepit K AB = K BA = BC

3 1

1

± jepit-sendi K  BC =

3EI L

4EI L =

=

4 (1,5 EI )

3 (2EI) 6

6 =

=

EI

EI

MCD = - P2xL = - 1,5 x 2 = -3 tm (momen kantilever) MCB = - MCD = + 3 tm MAB = - 3 + EI ( UA + ½ UB) = - 3 + 0,5 EI UB MBA = + 3 + EI ( UB + ½ UA) = + 3 + EI UB MBC = - 4,5 + EI UB ± ½ (-3) = -3 + EI



Persamaan : 7MB = 0  MBA + MBC = 0

(3 + EI UB) + (-3 + EI UB) = 0  EI UB = 0 

Momen Batang : MAB = -3 + 0,5 x 0 = - 3 tm MBA = + 3 + 0

= + 3 tm

MBC = - 3 + 0

= - 3 tm


qL ² = -

3 16

1 12

(1)6² = +3 tm

( 4) 6 = -4,5 tm

MODUL 4

-13-

3 tm

1,5t 3 tm

4t

3 tm

3 tm

3 tm

D

A

3t

B

3t

2t

6m

2t

3m

1,5

C

3m

2m

a). Free body diagram 3t 2t

1,5 t

A

B

1,5 t D

C

3m 2t

3t 6m

3m

3m

2m

b). Bidang Gaya Lintang (D) 3 tm

3 tm

3 tm

-

-

A

+

-

B

+

C

D

1,5 tm 3 tm

c). Bidang Momen (M) am ar 4.1

P1 = 4 t

2.

P2 = 3 t Suatu portal dengan uk uran dan

A

2 EI

B

EI C

pembe banan seperti pada Gambar 4.11. A Perletakan rol dan 3 m D perletakan jepit

EI D

Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda ³Slope Deflection´

2m

2m Gambar 4.11.


1m

- Gambarlah bidang M, D dan N-nya.

MODUL 4

-14-

(

(



B

n= 2j ± (m + 2f + 2h + r) = 2 x 3 ± (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1

B

A

A

ada pergoyangan

-

D Gambar 4.12. Pergoyangan dan arah momen aki bat pergoyangan



A rol  UA tidak se bagai varia bel D jepit  U D = 0 B

titik sim pul, ada varia bel U B

Jumlah varia bel ada 2 yaitu UB dan (. 

Rumus Momen Batang i j jepit

: Mi j = MPi j + K i j ( Ui j +

1 2

¶

j sendi / rol : Mi j = MP i j + K i j ( Ui j +

U ji + 1,5 (

L

)-

1 2

( L

)

M jk

Momen Primair : P1 = 4t + B

A 2m Batang BD

MP BA = +

3 16

PL = +

3 16

( 4) 4 = 3tm

2m tidak momen primair karena tidak ada be ban pada bentang BD.

K ekak uan batang : A rol  K¶BA =

3EI L

=

3( 2EI ) 4

K BD = K DB =


=

1,5

4 EI L

EI

=

4 EI 3

=

0,75 EI

MODUL 4

-15-

MBA = +3 + 1,5 EI U B MBC = - PL = - 3 x1 = - 3 tm

C

B

MBD = 0 + 0,75 EI ( U B + ½ UB ± 1,5

(

) = 0,75 EI UB ± 0,375 EI( 3 ( MDB = 0 + 0,75 EI ( UD + ½ UB ± 1,5 ) = 0,375 EI U B ± 0,375 EI( 3 Persamaan 1). 7MB = 0  MBA + MBC + MBD = 0 (+3 + 1,5 EI UB) ± 3 + (0,75 EI UB ± 0,375 EI() = 0 2,25 EI UB ± 0,375 EI ( = 0

(1)

2). Persamaan keseimbangan str uktur A rol  HA = 0

MBC = 3 tm

MBA B

A

C

7H= 0  HD = 0 Batang BD

7MB = 0

HD x 3 + MDB + MBD = 0

MBD

MBD + MDB = 0 (0,75 EI UB ± 0,375 EI() + (0,375 EI UB ± 0,375EI() = 0

MDB



1,125 EI UB ± 0,75EI( = 0

(2)

HD = 0 2 x(1) ± (2)  3,375 EI UB = 0 EI UB = 0 disubsitusikan ke persamaan (1) EI( = 0

Momen-momen batang : MBA = +3 + 1,5 EI UB = 3 tm MBC = - 3 tm MBD = 0,75 x 0 ± 0,375 x 0 = 0 tm MDB = 0,375 x 0 ± 0,375 x 0 = 0 tm




EI UB = 0

MODUL 4

-16-

4t

3 tm

3 tm

3t

B

A 1,25 t

C

B

A

C

3t

2,75 t

-

5,75 t

5,75 t

D

1m

b). Bidang Gaya Nor mal (N) 3tm

3t +

+

B

A

-

-

C

+

A

2,75 t

B

D 2m

C

2,5 tm

3m 2m

D

4m

a). Free Body Diagram 1,25 t

3m

3m D

1m

c). Bidang Gaya Lintang (D)

d).

2m

2m 1m

Bidang

Momen (M)

Gambar 4.13 4.2.2. Soal Latihan

1). P1=0,5 t

Suatu balok statis tidak

P2=3t

q = 1 t/m

tentu dengan uk uran dan A

EI

B

EI

C

2EI

D

pembe banan seperti dalam gambar .

2m

6m

4m

4m

Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda ³slope deflection´ - Gambar bidang M, D dan N-nya.


MODUL 4

-17-

q = 1 t/m 2).

B

C

EI

Suatu portal statis tidak tertentu 4m

EI

dengan

uk uran

dan

pembe banan

seperti tergambar . A

4m

Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda ³slope deflection´ - Gambar bidang M, D dan N-nya

3). D P1=1t

P2=4t

A EI

C

EI

B

2m

3m

EI

5m

4m

4). P2=1t

P1=4t B

2 EI

A

q = 1 t/m 2 EI P3=2t

EI

Suatu portal statis tidak tertentu EI C

4m

6m

dengan uk uran dan pembe banan 2m 2m

E 4m

D

seperti tergambar . Perletakan A jepit, C rol dan E sendi.

2m

Ditanyakan : - Hitunglah momen-momen batang dengan metoda ³slope deflection´ - Gambarkan bidang M, D dan N-nya.


MODUL 4

-18-

4.2.3. Rangkuman 

Varia ble yang dipakai pada metoda ³slope deflection´ adalah rotasi titik sim pul ( U) dan perpindahan relatif ujung-ujung batang (() kalau str ukturnya dapat bergoyang.



Rumus momen batang dipengar uhi oleh be ban yang beker ja, rotasi titik sim pul dari ujung-ujung batang, ( U) dan perpindahan relatif antara ujungujung batang (() kalau ada pergoyangan. Sehingga r umus-r umus momen batang mengandung varia ble U dan (. Rumus momen batang ; Untuk i, j jepit

Dimana K i j =

Mi j = MPi j + K i j ( Ui j + ½ U ji + 1 ½

( L

)

4EI L

Untuk j sendi / rol Dimana : K  i j =

Mi j = MP i j + K  i j ( Ui j +

(

L

) ± ½ M jk

3EI L

M jk momen kantilever

Per jan jian arah putaran momen dan rotasi adalah positif (+) untuk searah jar um jam ( 

).

Untuk menghitung varia ble - varia bel yang ada disusun persamaan persamaan dari : - keseimbangan titik sim pul, yaitu jumlah momen batang-batang yang bertemu pada satu titik sim pul sama dengan nol. - K alau ada vari bel (, perlu persamaan keseimbangan str uktur .

4.2.4. Penutup

Untuk menguk ur prestasi, mahasiswa dapat melihat k unci dari soal-soal latihan yang ada se bagai berik ut :


MODUL 4

-19-

1). . P1 ! 0,5 t MBA

MCB MBC q ! 1 t/m

MCD P2 ! 3t

MAB! + 3 tm

MDC

MBC ! - 3 tm MCB ! + 3 tm

A EI

EI

2EI C

B

2m

2).

6m

MBC

D

4m

4m

MCD ! - 3 tm MDC ! + 3 tm

q ! 1 t/m

B

C

MAB ! +

MBA MBA ! + 4m MBC ! -

4 7

8 7 8 7

tm tm tm

MAB A 4m 3).

MBA ! + 2 tm

MDC

MBC ! - 2 tm D P1!1t MBA

MBC

A EI

EI EI

B

2m

MCB ! - 4,846 tm

P2!1t

5m


MCB

C

MCD

4m

3m

MCD ! + 4,846 tm MDC ! + 5,676 tm

MODUL 4

-20-

MBC

P1 ! 4t MAB

B

MBA

q ! 1 t/m MCB

MBA ! + 4 tm

MCD

MBC ! - 2,5 tm

2EI

A

MAB ! - 4 tm

P2 ! 1t

4).

EI EI

MBE

D

P3 ! 2t

C

2m 2m

MBD ! - 1,5 tm MCB ! + 4 tm MCD ! - 4 tm

E 4m

4m

6m

2m

4.2.5. Daftar Pustaka

1. Chu K ia Wang ³Satically Indeterminate Structures´, Mc Graw-Hill, Book Com pany,

Inc.

2. K inney, J.S. ³Indeterminate Structural Analysis´, Addison-Wesley Publishing, Co.

4.2.6. Senarai 

Metoda ³Slope Deflection´ memakai rotasi titik sim pul ( U) dan perpidahan relatif ujung-ujung batang (() kalau ada pergoyangan, se bagai varia ble.



Menyusun r umus momen batang dengan varia ble U dan ( didalamnya. Per juangan tanda momen batang dan rotasi, positif (+) bila putarannya searah jar um jam (



).

Untuk menghitung varia ble-varia bel yang ada, disusun persamaan persamaan se jumlah varia ble terse but dari : -

keseimbangan momen titik sim pul.

-

keseimbangan str uktur, bila ada varia ble (.


MODUL 4

4.3.

-21-

Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu Akibat Penurunan ³

Perletakan dengan Metoda Slope Deflection´

Pada metoda ³slope defelection´ langkah-langkah yang har us diker jakan untuk menyelesaikan str uktur statis tidak tentu aki bat penur unan perletakan sama seperti pada aki bat pembe banan luar yang telah disa jikan dimuka. Hanya sa ja pada aki bat penur unan perletakan dalam r umus momen batang, momen primair yang dipakai adalah besarnya momen aki bat penur unan perletakan yang ter jadi. Jadi pada metoda ³slope deflection´ aki bat penur unan perletakan digambarkan bentuk pergoyangannya dan digambarkan arah perputaran momen aki bat pergoyangan terse but dan dihitung besar nominalnya untuk dipakai se bagai momen primair dalam per umusan momen batang. Sehingga untuk str uktur yang dapat bergoyang ada dua gambaran pergoyangan, yaitu pergoyangan aki bat penur unan perletakan yang menghasilkan momen-momen primair batang, dan pergoyangan natural yang mengandung varia ble (.

4.3.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan

Suatu balok statis tidak tertentu dengan EI

A

B

6m

EI

perletakan A jepit,

C

dalam

4m

gambar .

B

dan C rol seperti

Balok

dari

beton

dengan uk uran penam pang 30 x 40 cm dan E ! 2 x 105 kg/cm². K alau ter jadi penur unan perletakan

B

se besar 2 cm, hitunglah momen-momen

batangnya dengan metoda ³slope deflection´ dan gambarkan bidang M, D dan Nnya.

Penyelesaian : 

n ! 2j ± (m + 2 f + 2 h + r) ! 2 x 3 ± (2 + 2 x 1 + 2 x 0 +2) ! 0  tidak pergoyangan


MODUL 4 

-22-

Jumlah varia ble : A jepit UA ! 0 B

titik sim pul ada UB

C rol, UC bukan varia ble Jadi varia belnya hanya satu, UB



Rumus Momen Batang Untuk i, j jepit

: Mi j ! MPi j + K i j ( Ui j + ½ U ji + 1,5

Untuk j sendi / rol : Mi j ! MP i j + K  i j ( Ui j +

( L

(

L

)

) ± ½ M jk

- Momen Primair aki bat B tur un 2 cm ! 0,02 m

-

B

Balok beton

(B !2 cm

A

C

I!

1 12

2

30 x 40 cm

(30) 403 ! 160.000 cm4 5

-

+

MPAB ! MPBA ! -

MP BC !

9

3EI L2

4m

6 EI L2

.(!

.( ! 

6 x 3200

3 x 3200 ( 4) 2

- K ehalusan Batang :

(6 ) 2

x 0,02 ! 10,667 tm

x 0,02 !  12 tm

K AB ! K BA ! K B C !

3EI L

!

4EI L 3EI 4

!

4EI 6

! 0,667 EI

! 0,75 EI

MAB ! - 10,667 + 0,667 EI ( UA + ½ UB) ! - 10,667 + 0,333 EI UB MBA ! - 10,667 + 0,667 EI ( UB + ½ UA) ! - 10,667 + 0,667 EI UB MBC ! + 12 + 0,75 EI UB


2

2

EI ! 32 x 10 kg cm ! 3200 tm

B

6m

2

E ! 2 x 10 kg/cm

MODUL 4 

-23-

Persamaan : 7MB



MBA + MBC ! 0

(- 10,667 + 0,667 EI UB) + (12 + 0,75 EI UB) ! 0 1,417 EI UB ! - 1,333 EI UB ! - 0,941 

Momen Batang :

MAB ! - 10,677 + 0,333 (- 0,941) ! - 10,981 tm MBA ! - 10,667 + 0,667 (-0,941) ! - 11,294 tm MBC ! + 12 + 0,75 (- 0,941) ! + 11, 294 tm 10,981 tm

11,294 tm

11,294 tm

A 3,7125 t B

3,7125 t

C 2,8235 t

6m

2,8235 t

4m

a). Free Body Diagram 3,7125 t + A

C

B

-

2,8235 t

b. Bidang Gaya Lintang (D) 10,981 tm -

B

A +

11,294 tm c). Bidang Momen (M) Gambar 4.14.


C

MODUL 4

-24-

C

B

EI Suatu portal dengan perletakan A jepit dan c 4m

EI

rol.

Balok

dan kolom beton dengan harga 2

EI ! 3200 tm . K alau perletakan A tur un 2 cm, hitunglah momen-momen batang dan gambarkan bidang

A

M, D dan N-nya.

4m Penyelesaian : 

n ! 2j ± (m + 2f +2h + r) ! 2 x 3 ± (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) ! 1  ada pergoyangan

 B

Gambar pergoyangan natural. C bergerak

B

kekanan ke C se besar (, ke B . -

C

Arah momen aki bat pergoyangan MAB

C

dan MBA negatif (

A



Jumlah Varia bel : A jepit, UA ! 0, C rol, UC bukan se bagai varia ble. B

titik sim pul UB

Jadi varia belnya ada 2, UB dan (. 

Rumus Momen Batang : i, j jepit

Mi j ! MPi j + K i j ( Ui j + ½ U ji + 1 ½

j sendi / rol

Mi j ! MP i j + K  i j ( Ui j +


(

L

(

L

) ± ½ M jk

)

)

MODUL 4 

-25-

Momen Primair aki bat penur unan perletakan B B

C MP BC !

+

!

A

3EI L2

(

3 x 3200 (4) 2

x 0,02 ! 12 tm

(A ! 2 cm ! 0,02 m

A

-K ekak uan batang : U K AB!K BA! K  BC!

3E1 4

4E1 L

!

4E1 4

!E1

! 0,75 EI

MAB ! 0 + EI ( UA + ½ UB ± 1,5 MBA ! 0 + EI ( UB + ½ UA ± 1,5

( 4 (

4

) ! 0,5 EI UB ± 0,375 EI ( ) ± EI UB ± 0,375 EI (

MBC ! + 12 + 0,75 EI UB



Persamaan : - K eseimbangan momen titik sim pul B 7MB ! 0  MBA + MBC ! 0

(EI UB ± 0,375 EI () + (12 + 0,75 EI UB) ! 0 1,75 EI U - 0,375 EI ( + 12 ! 0


(1)

MODUL 4

-26-

- K eseimbangan str uktur B

MBC

C C rol HC ! 0

MBA

7 H ! 0  HA ! 0 Batang

HA . 4 + M AB + MBA ! 0

MAB

A

AB  MB ! 0

HA

0 + (0,5 EI UB ± 0,375 EI ( ) + (EI UB ± 0,375 EI () ! 0 1,5 EI UB ± 0,75 EI ( ! 0

(2)

2 x (1) ± (2)  2 EI UB + 24 ! 0 EI UB ! - 12 (1)  EI ( ! - 24

MAB ! 0,5 (-12) ± (0,375 (-24) ! + 3 tm MBA ! 1 x (-12) ± 0,375 (-24) ! - 3 tm MBC ! + 12 + 0,75 (-12)

! + 3 tm

3 tm

0,75 t

B

C

0,75 t 0,75 t

3 tm

C

B

0,75 t 4m

4m

+

3 tm A

0,75 t

A 4m

a). Free Body Diagram


0,75 t

4m

b). Bidang Gaya Nor mal (N)

MODUL 4

-27-

3 tm

C

B

B

-

0,75 t

C

+

3 tm 0,75 t

4m 4m +

A

3 tm

A

4m

4m

c). Bidang Gaya Lintang (D)

d).

Bidang

Momen (M)

Gambar 4.15

4.3.2. Soal Latihan

1).

Suatu balok statis tidak tertentu, perletakan EI

A

B

6m

EI

A jepit,

C

dan C rol seperti pada gambar,

dengan harga EI !3200 tm2

4m

Ditanyakan :

B

Hitunglah momen-momen batang dengan

metoda ³slope

deflection´ bila C tur un 2 cm. Gambarlah bidang M, D dan N-nya.

2). C

B

EI Suatu portal statis tidak tertentu, perletakan A 4m

EI

jepit dan C perletakan sendi dengan besaran 2

EI ! 3200 tm . -

K alau ter jadi penur unan perletakan C dua 2 m, hitunglah momen batang dengan

A

metoda ³slope deflection´.

4m -


Gambarlah bidang M, D dan N-nya.

MODUL 4

-28-

3).

Suatu balok tangga dengan perletakan B rol dan D jepit Harga

D

)!6250

EI A EI

EI

B

2m

3m

2

jadi penur unan B tm . Ter

se besar 2 cm.

C

5m

4m

Ditanyakan : -Hitunglah momen batangnya dengan metode ³slope deflection´. - Gambarlah Bidang M,D dan N nya.

4.3.3. Rangkuman

Pada penyelesaian str uktur statis tidak tertentu aki bat penur unan perletakan dengan metode ³slope deflection´, harga momen primair pada r umus momen batang memakai besarnya momen batang aki bat pergoyangan yang ditimbulkan oleh adanya penur unan perletakan yang ter jadi

4.3.4. Penutup

untuk menguk ur prestasi mahasiswa dapat melihat k unci dan soal-soal latihan yang ada se bagai berik ut. 1).

MB A

MAB

MBC

Aki bat C tur un 2 cm 2

A

EI 6m

B

EI 4m

EI ! 3200 tm C

MAB ! + 2,824 tm MBA ! + 5,647 tm MBC ! - 5,647 tm


MODUL 4

2).

-29-

MBC C

B

EI

Aki bat C tur un 2 cm

MBA

EI ! 3200 tm2 MAB ! + 3,428 tm

4m

EI

MBA ! + 6,856 tm MAB

MBC ! - 6,856 tm

A 4m

D MDC

3).

Aki bat B tur un 2 cm 2

EI ! 6250 tm MCD MCB A EI

EI

B

2m

5m

EI

MCB ! + 2,130 tm MCD ! - 2,130 tm

C

MDC ! + 3,834 tm 4m

4.3.5. Daftar Pustaka

1.

Chu K ia Wang ³Statically Indeterminate Structures´, Mc Graw-Hill, Book Com pany,

2.

Inc.

K inney, J.S. ³Indeterminate Structural Analysis´, Addison-Wesley Publishing Co.

4.3.4. Senarai 

Metoda ³Slope Deflection´ memakai rotasi titik sim pul ( U) dan perpidahan relatif ujung-ujung batang (() kalau ada pergoyangan, se bagai varia ble.


33468434 Metode Slope Deflection

Recommend Documents