CAPITULO II 2.0
ANALISIS DE FALLAS BALANCEADAS
El estudio de las fallas balanceadas forma una parte importante del análisis de sistemas de potencia. El problema consiste en determinar los voltajes de barra y las corrientes de línea durante varios tipos de fallas. Las fallas en los sistemas de potencia se dividen en fallas balanceadas trifásicas y fallas desbalanceadas. Entre las fallas desbalancedas existen diferentes tipos como: falla monofásica línea-tierra, falla línea-línea, falla doble línea-tierra. La información obtenida del estudio de fallas se usa para la calibración apropiada de relés y coordinación. La información de la falla balanceada trifásica se usa para seleccionar y calibrar los relés de fase, mientras que la falla línea-tierra se usa para los relés de tierra. Los estudios de falla también se usan para obtener el rango de los accionamientos de protección. La magnitud de las corrientes de falla depende de la impedancia interna de los generadores más la impedancia del circuito en estudio. Como se sabe, la reactancia del generador en corto circuito no es constante; para estudios de falla el comportamiento del generador puede dividirse en tres periodos: el periodo subtransitorio, que dura sólo los primeros ciclos, el periodo transitorio que es relativamente más largo, y finalmente el periodo estacionario. 2.1
TRANSITORIOS EN UNA LINEA DE TRANSMISION
Al analizar transitorios en líneas de transmisión se hacen las siguientes suposiciones i) ii) iii)
La línea se alimenta desde una fuente de voltaje constante (alimentación desde una MS más adelante) El cortocircuito ocurre cuando la línea esta sin carga (cc con carga se tratara mas adelante) La capacitancia de la línea es despreciable y ;a línea se representa por un circuito RL de parámetros concentrados en serie
El modelo es el siguiente:
El cortocircuito se presenta en t=0. El parámetro α controla el instante en la onda de voltaje cuando ocurre el cortocircuito.
La corriente después de un cortocircuito (de la teoría de circuitos), esta compuesta de dos partes:
√ || √ || √ || √ || ,
it – corriente transitoria (i(0)=is(0)+it(0)=0 por ser inductiva; decae en el tiempo segun L/R)
Esta corriente de cortocircuito esta dada por:
Corriente simétrica de cortocircuito
Corriente de desplazamiento de DC
Onda de cortocircuito cortocircuit o MATLAB
De la figura se desprende que la corriente corriente máxima instantánea de cortocircuito i max max corresponde al primer pico. Si despreciamos el decaimiento decaimiento en ese pico tenemos:
√ || √ || √ || √ || √ ||
Como la resistencia de la línea es pequeña θ=90°
Si el cortocircuito ocurre cuando la onda de voltaje pasa por cero, i max tendrá su máximo posible cuando α=0, es decir
, dos veces el máximo de la corriente
simétrica de cortocircuito (efecto de duplicación)
Para seleccionar los cortacircuitos, se toma la corriente instantánea de cortocircuito que corresponde a su máximo valor posible (una selección segura) Cuál es la corriente que se debe interrumpir? Los cortacircuitos modernos están diseñados para interrumpir la corriente en sus primeros ciclos (05 ciclos). Esto significa que cuando la corriente se interrumpe, la componente DC no se ha extinguido todavía y contribuye por lo tanto a la corriente que se debe interrumpir. Por ser muy complejo, calcular el valor de la corriente DC en el tiempo de interrupción no se hace, se calcula solo la corriente simétrica de cortocircuito. Este valor se aumenta por un factor empírico multiplicador para considerar la corriente de desplazamiento DC. 2.3
CORTOCIRCUITO DE UNA MAQUINA SINCRONA
En condiciones de cc, la reacción de la armadura de una GS produce un flujo magnético desmagnetizante. Este efecto se modela como una reactancia Xa en serie con la fem inducida. Esta reactancia al combinarse con la reactancia de dispersión dispersión X l l de máquina, se denomina reactancia síncrona X s s ( X d d en el caso de una MS de polos salientes). La resistencia al ser muy pequeña se desprecia y el modelo de la maquina síncrona es:
Si consideramos ahora un cc repentino trifásico de un GS que inicialmente opera en condiciones de ca. La maquina experimenta un transitorio en las tres fases que al final termina en las condiciones de régimen permanente antes descritas. El breaker debe interrumpir la corriente mucho antes de que se alcancen las condiciones de régimen permanente. Al ocurrir el cc inmediatamente las corrientes de desplazamiento de DC aparecen en las tres fases, cada una con una magnitud diferente ya que el punto en la onda de voltaje en el cual ocurre el cc es diferente para cada fase. Estas corrientes DC se consideran por separado sobre una base empírica y, por lo tanto, para estudios de cc, es necesario centrar la atención solo en la corriente simétrica de cortocircuito (sinusoide). Cuando ocurre el cc, inmediatamente la corriente simétrica de cc está limitada solo por la reactancia de dispersión de la maquina. Como el flujo magnético en el entrehierro no puede cambiar inmediatamente, para oponerse a la desmagnetización de la corriente de cc de la armadura, aparecen corrientes en el devanado de campo así como en el devanado amortiguador en la dirección que ayuda a mantener el flujo magnético principal. Estas corrientes decaen conforme a las constantes de tiempo de los devanados. La constante de tiempo del devanado amortiguador, el cual tiene baja inductancia de dispersión, es mucho menor que la del devanado de campo el cual tiene alta inductancia de dispersión. Es así que durante la parte inicial del cc los devanados amortiguadores y de campo tiene corrientes de transformador inducidas en ellos de modo que en el modelo de circuito sus reactancias aparecen en paralelo con X a a como se muestra en el siguiente modelo:
Como las corrientes del devanado amortiguador son las primeras en extinguirse, X dw dw efectivamente se vuelve en ca y en una etapa posterior X f se vuelve en ca. La reactancia de la maquina cambia, por lo tanto, de la combinación en paralelo de X a a, X f , y X dw paralelo (figura (figura c) en el dw durante el periodo inicial del cc a X a a y X f en paralelo periodo medio del cc y finalmente a Xa en régimen permanente (figura a).
La reactancia que presenta la MS en el periodo inicial de cc
se
llama reactancia subtransitoria. Mientras que la reactancia efectiva después que se han extinguido las corrientes del devanado amortiguador, es decir se llama reactancia transitoria de la maquina.
Esta claro que tiempo que cambia de
, la maquina ofrece una reactancia variable en el
Al examinar el oscilograma de la corriente de cc de una MS después de quitarle las corrientes de desplazamiento DC, obtendremos una forma de onda como la sgte figura.
La corriente de cc se puede dividir en tres periodos: el periodo subtransitorio inicial en el que la corriente es grande pues; la maquina ofrece reactancia subtransitoria; el periodo transitorio medio cuando la maquina ofrece reactancia transitoria y finalmente el periodo de régimen permanente en el que la maquina ofrece reactancia síncrona.
Del oscilograma:
|| √ || √ | | √ ,
corriente RMS en régimen permanente
, corriente transitoria (rms), sin componente DC , corriente subtransitoria (rms) sin comp. DC
X d- reactancia síncrona en eje d; X‟ d- reactancia transitoria eje d; X‟‟ d- reactancia subtransitoria de eje d; Eg-voltaje rms por fase con carga nula Ejercicio de aplicación 1: En la red radial de la siguiente figura, ocurre un cc trifásico en el punto F. Calcular la corriente de falla y el voltaje de línea en el bus de 11 kV en condiciones de falla.
SOLUCION Seleccionamos los valores base: S=100 MVA, 11 Kv para los generadores, 33 kV para la línea aérea, 6,6 para el cable.
El modelo del circuito del sistema es:
Como el sistema no esta con carga antes de la ocurrencia de la falla, los voltajes de los generadores son idénticos e iguales a 1 pu. El circuito del generador se puede representar como una sola fuente de voltaje en serie con la combinación en paralelo de las reactancias de los generadores:
√
Entonces:
Ejercicio de aplicación 2: Un generador de 25 MVA, 11 kV con X d‟‟=20% alimenta una barra a la cual están conectados tres motores idénticos. Cada motor tiene X d‟‟=25% y X d‟=30% sobre
una base de 5 MVA, 6.6 kV. La potencia nominal trifásica del trafo elevador es 25 MVA 11/66 kVA con una reactancia de dispersión de 10%; la potencia nominal trifásica del trafo reductor es 25 MVA, 66/6.6 kV con reactancia de dispersión de 10%. El voltaje de la barra de los motores es 6.6 kV cuando ocurre una falla trifásica en el punto F. Si Xlinea=15% sobre una base de 25 MVA, 66 kV, calcular: a) La corriente subtransitoria en la falla b) La corriente subtransitoria en el cortacircuitos D c) La corriente transitoria en el cortacircuitos D d) La corriente que debe interrumpir el cortacircuios en 5 ciclos Suponemos que el sistema opera en vacio cuando ocurre la falla
SOLUCION Elegimos Sbase=25 MVA; V base-generador=11 kV; V base-línea= 66 kV; V base-motor=6.6 kV a)
Las reactancias de la línea, trafos y generador ya son conocidas El circuito en estudio para la falla es: Fig a
Como el sistema esta inicialmente sin carga, las fem inducidas del generador y motores son idénticas por lo que el circuito puede reducirse a: Fig b Fig c
√
b) De la fig b) la corriente a través del cortacircuito es:
c) para encontrar la corriente transitoria en el cortacircuitos D se debe sumar la corriente de despalzamiento DC mas la corriente subtransitoria simétrica de la parte b). Como encontrar la corrinet Dc es complicado se usa un factor empirico
d).- para encontrar la corriente que el cortacircuto debe interrumpir , la reactancia subtransitoria X d‟‟=j0.25 se reemplza por la transitoria X d‟=j0.30
El circuito en estudio ahora es:
Entonces la corriente simétrica que el cortacircuito debe interrumpir como se indica por la figura es:
Luego se debe dar una tolerancia al valor de la corriente de desplazamiento DC mediante un factor de 1.1; por lo que la corriente que se debe interrumpir será:
Ejemplo En el siguiente circuito sea R=0.125 Ω, L=10 mH, y la fuente de tensión esta dada por: v(t)=151sen(377+α). Determine la respuesta de corriente luego de cerrar el
switch para: a) Sin corriente de desplazamiento b) Para una corriente máxima de desplazamiento
√ Solucion Z=0.125+j*377*0.01=0.125+j3.77=3.772 88.1
El circuito consiste de R en serie con una L constante. La ecuación del voltaje instantáneo para el circuito es: La solución para la corriente es: donde ,
,
Reemplazando:
La respuesta no tiene corriente DC si el switch se cierra cuando α=88.1, y tiene la máxima corriente DC cuando α=88.1-90=-1.9°
2.4
CORTOCIRCUITO DE LA MS CON CARGA
El análisis de cc de una MS es complicado y esta fuera del alcance de este curso. Sin embargo presentaremos los métodos para calcular la corriente de cc cuando este ocurre en condiciones de carga. La siguiente figura muestra el modelo de una MS en régimen permanente
Cuando ocurre el cc en los terminales de la maquina el modelo de circuito que se usa para calcular la corriente de cc esta dado en la siguiente figura para la corriente subtransitoria
Los motores síncronos tienen fem y reactancias internas similares a las de un generador, excepto que la dirección de la corriente es invertida
Ejemplo
Un generador síncrono y un motor síncrono cada uno de 25 MVA nominales a 11 kV con reactancia subtransitoria de 15% se conectan mediante transformadores y una línea como se muestra en la figura siguiente.
Los transformadores son de 25 MVA, 11/66 kV y 66/11 kV con reactancias de dispersión de 10% cada uno. La línea tiene una reactancia de 10% sobre una base de 25 MVA, 66 kV. El motor consume 15 MW con un factor de potencia de 0.8 en adelanto y un voltaje terminal de 10.6 kV cuando ocurre una falla simétrica trifásica en los terminales del motor. Encontrar la corriente subtransitoria en el generador, en el motor y la falla. Todas las reactancias se dan en una base de 25 MVA.
Carga= 15 MW, 0.8 pf en adelanto
,
pf 0.8 en adelanto
Voltaje detrás de la reactancia subtransitoria (generador)
Voltaje detrás de la reactancia subtransitoria (motor)
El circuito equivalente de prefalla es el siguiente
En condición de falla es:
√
Corriente de falla
Corriente base del generador De donde:
2.5 CALCULO DE CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO (SC) POR EL TEOREMA DE THEVENIN Un método alterno para calcular las corrientes de corto circuito es aplicando el teorema de Thevenin. Este método es más rápido y se adapta fácilmente al cálculo sistemático para grandes redes. Ilustramos el método de Thevenin con la solución del ejemplo anterior. La figura siguiente muestra el modelo de circuito del sistema en condiciones estacionarias. Debemos realizar los cálculos de falla cuando la falla sucede en el punto F, en los terminales del motor. Primero reemplazamos el modelo del circuito de la fig. (a) por el de la fig. (b), donde las MS se representan por sus reactancias transitorias (o subtransitorias) en serie con los voltajes detrás de las reactancias transitorias. Este cambio no perturba la corriente de prefalla I 0 ni el voltaje de prefalla V 0 en el punto F.
c)
d)
El equivalente Thevenin visto desde FG se muestra en la figura “c”; se muestra el voltaje de prefalla V 0 en serie con la red pasiva de impedancia Thevenin; no aparece la corriente de prefalla I0. Entonces esta corriente se debe considerar por superposición luego de obtener la solución de corto circuito mediante el uso del equivalente Thevenin. La falla que ocurre en F a través de la impedancia Z f se muestra en la figura “d”, de donde podemos obtener que:
Y entonces la corriente causada por la falla en el circuito del generador resulta
Y la corriente causada por la falla en el circuito del motor:
Las corrientes y los voltajes pos falla se obtienen por superposición
Voltaje postfalla
Donde V es el voltaje del punto de falla F‟ en la red pasiva Thevenin causado por la corriente de falla . Cabe anotar que la corriente de prefalla que fluye hacia afuera del punto de falla F siempre es cero, y la corriente de posfalla desde F es independiente de la carga para un voltaje dado de prefalla en F. El procedimiento descrito se resume en: Paso 1: obtenemos la solución del régimen estacionario del sistema con carga del análisis del flujo de carga Paso 2: reemplazamos las reactancias de las MS por sus valores transitorios/subtransitorios. Cortocircuitamos todas las fuentes de fem. El resultado es una red pasiva de Thevenin Paso 3: excitar la red pasiva del paso 2 en el punto de falla con un voltaje negativo de prefalla (ver figura d) en serie con la impedancia de falla. Calcular los voltajes y corrientes en todos los puntos de interés Paso 4: las corrientes y voltajes de postfalla se obtienen sumando los resultados de los pasos 1 y 3.
En los cálculos de cortocircuito se hacen las siguientes suposiciones que simplifican considerablemente los cálculos: 1) todas las magnitudes de voltaje de prefalla son igual a 1 en pu, 2)todas las corrientes de prefalla son cero. El modelo del circuito para el cálculo de las condiciones posfalla se muestra en la siguiente figura
Cambio en la corriente del generador a causa de la falla
Cambio en la corriente del motor por la falla
A estos cambios se suma la corriente de prefalla para obtener la corriente subtransitoria en las maquinas, es decir:
Que son las mismas como las previamente calculadas. El teorema de Thevenin y la superposición es un método poderoso para resolver grandes redes
2.6
FALLA TRIFÁSICA BALANCEADA
Este tipo de falla se define como el corto circuito simultáneo de las tres fases. Ocurre infrecuentemente, pero es el tipo de falla más severo que se encuentra. Como se asume la red balanceada, la falla trifásica se resuelve en una base por fase. Las otras dos fases llevan corrientes idénticas excepto por el cambio de fase. La reactancia del generador síncrono en condiciones de corto circuito es una cantidad que varia con el tiempo. La reactancia subtransitoria X‟‟ d para los primeros ciclos de la corriente de corto circuito, la reactancia X d‟ para los siguientes (30) ciclos y la reactancia síncrona X d. Ya que la duración de la corriente del corto circuito depende del tiempo en el que opera el sistema de protección, no es fácil decidir que reactancia usar. Generalmente se usa la reactancia subtransitoria para determinar la capacidad de interrupción de los disyuntores. En estudios de falla requeridos para la calibración y coordinación de relés se usa la reactancia transitoria. En estudios típicos de estabilidad transitoria se usa la reactancia transitoria. Una falla representa un cambio de la estructura de la red equivalente con aquélla causada por el aumento de una impedancia en el punto de falla. Si la impedancia de falla es cero se denomina como falla sólida o falla limpia. El circuito de falla puede resolverse convenientemente por el método de Thevenin.
Ejercicio de aplicación Para el esquema que se muestra, todas las impedancias están en pu sobre base común de 100 MVA. Por simplicidad se omiten las resistencias. Se asumen lo siguiente: i).- Se desprecian las capacitancias shunt y se considera al sistema sin carga ii).- Todos los generadores operan en su voltaje y frecuencia nominal y con sus fem en fase Determinar la corriente de falla, los voltajes de barra, y las corrientes de línea durante la falla cuando ocurre una falla trifásica balanceada con una Zf=0.16 pu en a) la barra 3, b) en la barra 2.
La falla se simula conectando una impedancia Z f en la barra 3 como se muestra en la figura
El teorema de Thevenin indica que los cambios en los voltajes de la red causados por la rama añadida (la impedancia de falla) mostrada en la siguiente anterior, es equivalente a aquellos causados por el voltaje añadido V 3(0) con todas las otras fuentes cortacircuitadas como se muestra en la siguiente figura.
De la figura, y aplicando Thevenin la corriente de falla en la barra 3 es:
Donde es el voltaje Thevenin equivalente, o el voltaje de barra prefalla. Este puede obtenerse de la solución del flujo de potencia. En este ejemplo asumimos todos los voltajes prefalla igual a 1.0 pu debido a que se desprecian las cargas y las fem de los generadores se asumen iguales a su valor nominal.
- es la impedancia Thevenin vista desde la barra de falla
Para encontrar la impedancia Thevenin, convertimos la conexión a su equivalente Y
De la fig. c, la corriente de falla es:
Las corrientes en los generadores:
Para los cambios de voltaje de la fig. a
Los voltajes de barra durante la falla se obtienen por superposición de los voltajes prefalla mas los cambios de voltaje en las barras causados la fem equivalente conectada a la barra de falla, como se muestra en b.
Las corrientes de cortocircuito en las líneas son:
b) en la barra 2
La falla con impedancia Zf se muestra en la fig. y su Thevenin equivalente
Obtenemos:
De la fig. b la corriente de falla es:
Las corrientes en los generadores:
Para los cambios de voltaje de la fig. a
Los voltajes de barra durante la falla se obtienen por superposición de los voltajes prefalla mas los cambios de voltaje en las barras causados la fem equivalente conectada a la barra de falla, como se muestra en b.
Las corrientes de cortocircuito en las líneas son:
2.7
CAPACIDAD DE CORTO CIRCUITO
La capacidad de corto circuito en una barra es una medida común de la fortaleza de la barra. Se define como el producto de las magnitudes del voltaje nominal de la barra y la corriente de falla. Los MVA de corto circuito se usan para determinar la dimensión de la barra y la capacidad de interrupción de un circuito de corte. La capacidad de interrupción es sólo uno de los varios rangos de un disyuntor que no debe ser confundido con el Dutie Temporal del interruptor. Basado en la anterior definición la capacidad de corto circuito o el MVA de corto circuito en la barra k esta dada por:
√
√
Asi en vez de calcular la corriente de CC que se va a interrumpir, se calculan los MVA de CC que se van a interrumpir
√ || ||
Si V y I en pu sobre la base de las 3 fases
Obviamente, la capacidad de interrupción en MVA de un cortacircuitos debe ser mayor o igual que los MVA de CC que se necesitan interrumpir
Donde V LK es el voltaje línea-línea expresada en kV y I k(F) está expresada en amperios. La corriente de falla simétrica trifásica en por unidad está dada por:
Donde V K( 0) es el voltaje de barra prefalla en por unidad, y X kk es la reactancia en el punto de falla en por unidad. Se desprecia la resistencia del sistema y sólo se considera la reactancia inductiva del sistema. Esto da como resultado una impedancia mínima del sistema y una corriente de falla máxima, es decir, una respuesta pesimista. La corriente base está dada por:
√
Donde S B es la MVA base y V B es el voltaje base línea-línea en kV. Entonces la corriente de falla en amperios resulta:
=
Sustituyendo:
√
Si el voltaje base es igual al voltaje nominal
Usualmente se asume el voltaje de barra prefalla igual a 1.0 en por unidad por lo que podemos obtener la siguiente fórmula aproximada para la capacidad de corto circuito.
SELECCIÓN DE CORTACIRCUITOS Dos valores que se necesitan para el cálculo de la corriente de corto circuito son: corriente nominal instantánea y corriente nominal simétrica de interrupción. La corriente simétrica de corto circuito (SC) se obtiene usando las reactancias subtransitorias para la MS. La corriente instantánea (rms) se calcula después de multiplicar la corriente simétrica por un factor de 1.6 para considerar la presencia de la corriente de desplazamiento (CD). La corriente simétrica que se debe interrumpir se calcula utilizando las reactancias subtransitorias para generadores síncronos y reactancias transitorias para motores síncronos, los motores de inducción se desprecian. La corriente de desplazamiento CD que se debe sumar para obtener la corriente que se va a interrumpir se determina multiplicando la corriente simétrica de corto circuito (SC) por un factor como en la tabla siguiente Velocidad del corto circuito 8 ciclos o menos 5 ciclos 3 ciclos 2 ciclos
Factor de multiplicación 1.0 1.1 1.2 1.4
La corriente que puede interrumpir un corta circuitos es inversamente proporcional al voltaje de operación dentro de un intervalo, es decir: Amperes en voltaje de operación=amperes en voltaje nominal x voltaje nominal /voltaje de operación
Los MVA de SC que se pueden interrumpir mediante un corta circuitos se define como:
√
2.8 ANALISIS DE FALLAS SISTEMATICO USANDO LA MATRIZ DE IMPEDANCIA DE BARRAS. Utilizando los elementos de la matriz de impedancia de barra, la corriente de falla así como los voltajes de barra durante la falla son fácilmente y rápidamente calculados. Consideremos un sistema típicos de n barras como se muestra en la figura 1.
Se asume que el sistema esta operando en condiciones balanceadas y se usa un modelo circuital por fase. Cada máquina se representa por un voltaje constante detrás de las reactancias que pueden ser X‟‟d, X‟d, X d. Las líneas de transmisión se representan por su modelo equivalente, y todas las impedancias están expresadas en por unidad sobre una base MVA común. Se aplica una falla trifásica balanceada a la barra “k” a través de la impedancia de falla Z f . Los voltajes de barra prefalla se obtienen de la solución del flujo de potencia y están representados por el vector columna.
π
Como ya se menciono las corrientes de corto circuito son mucho más grandes que los valores estacionarios por lo que pueden ser las ultimas despreciadas. Sin embargo una buena aproximación es representar la carga de la barra por una impedancia constante evaluada en la barra de voltaje prefalla, es decir
| |
Los cambios en el voltaje de la red causados por la falla con impedancia Zf son equivalentes a aquellos causados por el voltaje adicionado V k( 0) con todas las otras fuentes cortocircuitadas. Reduciendo a cero todas las fuentes de voltaje y representando todas los componentes y cargas por su impedancia apro piada, obtenemos el circuito Thevenin equivalente mostrado en la figura 2.
Los cambios en el voltaje de barra causados por una falla en este circuito se presentan por el vector columna
Del teorema de Thevenin los voltajes de barra durante la falla se obtienen por superposición de los voltajes de barra prefalla más los cambios en los voltajes de barra dado por:
(A)
Las corrientes de barra inyectada se expresan en términos de voltajes de barra,
Donde Ibarra es el vector de corrientes de barra que entran al bus y Y barra es la matriz admitancia de barra. El elemento diagonal de cada barra es la suma de las admitancias conectadas a ella, es decir:
∑
El elemento fuera de la diagonal es igual al negativo de la admitancia entre las barras
En el circuito equivalente de la figura 2, la corriente que entra a cada barra es cero excepto la de la barra en falla. Por cuanto la corriente en el bus de falla esta saliendo se toma como una corriente negativa que entra al bus k. De esta forma la ecuación nodal aplicada al circuito Thevenin de la figura 2 resulta
O
Resolviendo para
tenemos
Donde
es la matriz impedancia barra
Sustituyendo (B) en (A) tenemos:
(B)
(C)
Tenemos solo un elemento diferente de cero en el vector corriente, la ecuación k en la matriz resulta
Y también del circuito Thevenin de la figura 2 tenemos
Para una falla limpia de falla obtenemos:
y
=0 sustituyendo y resolviendo para la corriente
De esta forma para una falla en la barra k necesitamos solo el elemento de la matriz impedancia barra. Este elemento de hecho es la impedancia del Thevenin visto desde la barra en falla. Escribiendo la ecuación (C) para cada uno de sus términos tenemos
Sustituyendo el valor de
el voltaje de barra durante la falla en el bus i resulta
Conociendo los voltajes de barra durante la falla, podemos calcular la corriente de falla en todas las líneas. Para la línea que conecta las barras i, j con una impedancia zij, la corriente de corto circuito en esta línea es:
Se ve que conociendo la matriz impedancia barra la corriente de falla y los voltajes de barra durante la falla se obtienen rápidamente para cualquier barra en la red. Este método es muy simple y practico. Todos los cálculos de falla son formulados en el marco del bus de referencia usando la matriz impedancia Zbarra .
Ejemplo Ocurre una falla trifásica con una impedancia de falla Zf =j0.16 por unidad en la barra 3 del siguiente esquema. Usando el método de la matriz impedancia de barra, calcular la corriente de falla, el voltaje de barra y las corrientes de las líneas durante la falla.
Para encontrar la matriz admitancia de barra, se redibuja el circuito anterior convirtiendo las impedancias a admitancias. El iavo elemento diagonal de la matriz admitancia de barra es la suma de todas las admitancias conectadas a la barra i , y los elementos fuera de la diagonal es el negativo de la admitancia entre los buses i-j . De la figura por simple inspección tenemos que:
Usando Matlab la inversa de la matriz impedancia de barra es:
Para una falla en la barra 3 con Zf=j0.16 por unidad la corriente de falla es:
Y los voltajes de barra durante la falla son:
Y las corrientes de corto circuito en las líneas son:
Los resultados son exactamente los mismos obtenidos usando el método circuital Ejercicio de aplicación: Para el sistema mostrado 406 MW 192 MVR 1
2
257 MW 110 MVR
3
139 MW 45 MVR
R 12=0.01, X 12=0.04 pu, R 13=0.01, X 13=0.03 pu, R 23=0.0125, X 23=0.025 pu Sb=100 MVA, V b=138 kV. Ocurre una falla trifásica en el nodo 2 con ZF=0. Utilizando los voltajes de prefalla del flujo de potencia calcular la corriente de falla y los voltajes en los nodos Solucion: Luego de la corrida los voltajes en los nodos son: Bus Records Number Name
Area Name PU Volt
Volt (kV)
Angle (Deg)
Load MW
Load Gen Mvar MW
1 UNO
1
1
138
0
2 DOS
1
0,94005
129,727
-4,13
256,6 110,2
3 TRES
1
0,95503
131,794
-3,27
138,6
Gen Mvar
405,91 192,09 45,2
Construimos la matriz Ybarra , considerando Xg=1.0 pu Ybarra = 15.8824 -54.5294i -5.8824 +23.5294i -10.0000 +30.0000i -5.8824 +23.5294i 24.4519 -56.6294i -16.0000 +32.0000i -10.0000 +30.0000i -16.0000 +32.0000i 27.3900 -62.4499i Zbarra = 0.1770 + 0.1300i 0.1751 + 0.1120i 0.1760 + 0.1158i 0.1751 + 0.1120i 0.1805 + 0.1168i 0.1771 + 0.1102i 0.1760 + 0.1158i 0.1771 + 0.1102i 0.1820 + 0.1219i Calculo de la corriente de falla en barra 3:
Si ZF=0;
I3F = 3.6225 - 2.4265i; = 4.3601 -33.8166 ( PW I3F=4.8 -36.3 pu =2008.3 A ), IF3A=abs(IF3)*100000/(sqrt(3)*138)*1.1
IF3 = 2.0065e+003 A Si consideramos V 30= 1, IF30 = 3.7930 - 2.5408i =
4.5654 -33.8166
Ejercicio de aplicación Los generadores en el siguiente diagrama alimentan a través de los transformadores elevadores. La reactancia conjunta G-T es 0.3 pu en sus respectivas bases. Las tres líneas tienen una impedancia de 0.2 pu sobre una base de 100 MVA. Calcular: a) la Pot. de cortocircuito de las tres barras, y b) la corriente por las líneas cuando ocurre un cc rigido en la barra 3 . S b =50 MVA, y U 0=1.0 pu (antes de la falla)
La Scc da una idea de la severidad del daño y en pu. Aprox es igual a:
|| | Convertimos las impedancia a base coumun. ,
,
Obtengo el siguiente diagrama de impedancias:
Construimos Ybarra = 0 -26.6667i 0 +10.0000i 0 +10.0000i 0 -33.3333i 0 +10.0000i 0 +10.0000i Zbarra = 0 + 0.0729i 0 + 0.0386i 0 + 0.0386i 0 + 0.0557i 0 + 0.0557i 0 + 0.0471i
0 +10.0000i 0 +10.0000i 0 -20.0000i 0 + 0.0557i 0 + 0.0471i 0 + 0.1014i
Calculamos la Icc en las tres barras usando Zbarra:
|| || | | Las potencias de cortocircuito en los nodos son:
La falla mas critica se da en la barra 2 (mayor generador), y la barra 3 es la menos critica (generador mas lejano) b).- Corto circuito en la barra 3:
Corrientes de falla en las líneas
Ejercicio de aplicación La red de la figura tiene la siguiente Zbarra:
Zbarra =
0 + 0.6026i 0 + 0.1025i 0 + 0.4026i 0 + 0.1025i 0 + 0.1025i 0 + 0.1025i 0 + 0.4026i 0 + 0.1025i 0 + 0.5226i Donde se incluye la reactancia del generador X G‟‟=0.1025 pu Se decide instalar en el nodo 1 un nuevo generador similar al existente. Calcular la nueva corriente de cc cuando ocurre un cc rígido en el nodo 3 y las nuevas tensiones. Suponer tensiones iniciales 1.0 pu Solución Construimos Ybarra Ybarra = 0 - 3.4999i 0 + 0.9997i 0 + 2.5002i 0 + 0.9997i 0 -12.4221i 0 + 1.6662i 0 + 2.5002i 0 + 1.6662i 0 - 4.1664i La admitancia del nuevo generador Yg2 =- 9.7561i En Ybarra añadimos la admitancia del nuevo generador y obtenemos un nuevo Ybarra: Ybnuevo = 0 -13.2560i 0 + 0.9997i 0 + 2.5002i 0 + 0.9997i 0 -12.4221i 0 + 1.6662i 0 + 2.5002i 0 + 1.6662i 0 - 4.1664i Y un nuevo Zbarra‟‟ Zbnuevo = 0 + 0.0876i 0 + 0.0149i 0 + 0.0585i 0 + 0.0149i 0 + 0.0876i 0 + 0.0440i 0 + 0.0585i 0 + 0.0440i 0 + 0.2927i Con un nuevo Z33 Entonces la nueva corriente de cc será:
ALGORITMO PARA LA FORMACION DE LA MATRIZ IMPEDANCIA DE BARRA
Previamente debemos introducir los siguientes conceptos. El grafo de una red describe la estructura geométrica de la red. El grafo consiste en el redibujo de la red, con líneas que representan cada elemento de la red. El grafo de la red del dibujo es el que se muestra a su lado.
Las barras se representan por nodos o vértices , y las impedancias por segmentos de línea llamados elementos o puntas . El árbol de un grafo conectado es un subgrafo conectado que conecta todos los nodos sin formar un lazo. Los elementos de un árbol se denominan ramas . En general un grafo contiene múltiples arboles. El numero de ramas, denotado por b, en un grafo seleccionado es siempre menor en uno al número de nodos: , n-numero de nodos incluyendo al de referencia. Una vez definido el árbol de un grafo, los elementos restantes se refieren como enlaces . La colección de enlaces se denomina coarbol . Si e es el numero total de elementos en un grafo, el numero de enlaces en un coarbol es:
Un lazo que contiene un enlace se denomina lazo básico. El número de enlaces básicos es único; es igual al número de enlaces y es el número de ecuaciones independientes de lazos. Un corte de grupo es un numero mínimo de ramas, que cuando cortadas, divide el grafo en dos subgrafos conectados. Un cut set fundamental es un cut set que contiene solo una rama. El numero de cut set fundamentales es único; es igual al número de ramas y es el número de ecuaciones independientes de nodo. La fig. 2 muestra el árbol de un grafo con tres ramas resaltadas por líneas gruesas y los enlaces del coarbol mostradas por líneas punteadas. La matriz impedancia de barra puede ser construida empezando con un elemento simple y el proceso se continua hasta que todos los nodos y elementos sean incluidos. Asumamos que la matriz Zbarra existe para una red parcial con m barras y una barra de referencia como en la siguiente figura:
Para un sistema de n -barras, m barras están incluidas en la red, y Zbarra es del orden mxm . Debemos adicionar un elemento a la vez de la porción restante de la red hasta que todos los elementos estén incluidos. El elemento adicionado puede ser una rama o un enlace como se describe a continuación. ADICION DE UNA RAMA
Cuando el elemento adicionado es una rama, se añade una nueva barra a la red parcial creando una nueva fila y columna, y la nueva matriz Zbarra es del orden (m+1)x(m=1). Si añadimos una rama con una impedancia zpq desde una barra existente p a una nueva barra q como en la figura siguiente, entonces la ecuación de la red resulta:
(1)
La adición de la rama no afecta la matriz original, pero requiere el cálculo de los elementos de la fila y columna q . Ya que los elementos de la red del sistema de potencia son lineales y bilaterales, Primero calculemos los elementos , (es decir excluyendo los elementos de la diagonal ). Para calcular estos elementos aplicamos una fuente de corriente igual a 1 pu en la barra “i”, es decir ,y mantenemos las barras restantes abiertas, es decir . De (1) obtenemos:
:
(2)
:
De la figura…… :
, (3)
donde igual a:
es el voltaje a través de la rama añadida con una impedancia
y es
(4)
Como el elemento añadido p-q es una rama reduce a
, entonces
y (3) se
, i=1, …..m i≠q (5)
Para calcular el elemento diagonal , inyectamos una corriente 1.0 pu en la barra “q” , es decir , y mantenemos las otras barras abietrtas. De (1) tenemos: (6)
En la barra “q” la corriente inyectada fluye de la barra q hacia la barra p, .
Entonces (4) se reduce a:
(7)
Sustituyendo (7) en (3) tenemos:
(8)
Por otro lado de (2) para i=q, V q= Z qq y V p=Z pq , (8) resulta (9)
Si el nodo p es el nodo de referencia como se muestra en la fig. …. V p=0 y
obtenemos
, i=1, ….m
i≠q (10)
Finalmente, de (9) el elemento diagonal resulta:
(11)
ADICION DE UN ENLACE
Cuando el elemento añadido es un enlace del un coarbol entre la barra p y q , no se crea un nueva barra. La dimensión de la matriz Zbarra permanece igual, pero se requiere calcular todos los elementos. Añadamos un enlace de impedancia z pq entre dos barras existentes p y q como se muestra en la figura siguiente. Si es la corriente a través del enlace añadido en la dirección que muestra la figura, entonces tenemos:
(( )) ( ) () () ()( ) ) ( ( ) * +
(12) (13) El enlace añadido modifica la corriente antigua a ( ) y la antigua corriente a ( ) como se muestra en la figura, y las ecuaciones de red resultan:
(14)
Sustituyendo V p y V q de (14) en (13) se obtiene:
(15)
Las ecuaciones (14) mas (15) resulta en m+1 ecuaciones simultaneas, que escritas en forma matricial es:
(16)
donde
(17)
y
(18)
Ahora la corriente puede ser eliminada. La ecuación puede ser particionada y reescrita en forma compacta como: (19)
donde
(20)
Expandiendo (19), obtenemos:
(21)
o
* +
(22)
Sustituytndo (22) en (21), tenemos:
(23)
o
(24)
donde:
(25)
La ecuación (25) reduce la matriz a su dimensión original. La razón es que no hemos añadido un nuevo nodo sino solo hemos enlazado dos nodos existentes. La matriz impedancia de barra puede ser construida con la adición de ramas y enlaces en cualquier secuencia. Sin embrago es mejor seleccionar un árbol que contenga los elementos conectados al nodo de referencia. Si existe más de un elemento con3ectado entre el nodo dado y el nodo de referencia, solo puede seleccionarse un elemento como rama y los demás ubicarlos en el coarbol. El procedimiento paso a paso de la construcción de Zbarra desde una a una se puede resumir en:
REGLA 1: ADICION DE UNA RAMA DE ARBOL AL DE REFERENCIA Empezar con las ramas conectadas al nodo de referencia. La adición de una rama z q0
entre un nodo nuevo y el referencia a la matriz de orden (mxm) resulta en la nueva de orden (m+1)x(m+1). De los resultados de (10) y (11) tenemos: (26)
Esta matriz es diagonal con valores de impedancia de las ramas en la diagonal REGLA2: ADICION DE UNA RAMA DE ARBOL DESDE UNA NUEVA BARRA A UNA BARRA ANTIGUA
Continuar con las ramas restantes del árbol que conectan una nueva barra a la barra existente. La adición de la rama z pq entre un nuevo nodo q y un nodo existente p a la matriz dada de orden (mxm), resulta en una nueva de orden (m+1)x(m+1). De los resultados de (5) y (9) tenemos:
(27)
RECLA 3: ADICION DE UN ENLACE DE CORABOL ENTRE DOS NODOS EXISTENTES
Cuando se anade un enlace con impedancia zpq entre dos nodos existentes p y q, se aumenta la matriz con una nueva fila y columna, y de (16) y de (17) se obtiene:
donde
(28)
(29)
La nueva fila y columna se eliminan usando la relación (25)
y Z se define como:
Cuando la barra q es la de referencia
(30)
, ( para i=1,m), y (28) se reduce a:
donde
, y
(31)
El algoritmo de construcción de Zbarra añadiendo un elemento a la vez puede ser usado para remover líneas o generadores de la red. El procedimiento es idéntico al de adición de elementos, excepto que el elemento removido es considerado con impedancia negativa para cancelar el efecto de ese elemento. Ejercicio de aplicación Construya la matriz impedancia de barra para el siguiente ejemplo.
Los elementos conectados al de referencia están incluidos en el árbol adecuado como se muestra en la figura. Iniciamos con las ramas del árbol conectadoas al nodo de referencia. Añadimos la rama 1, z 10=j0.2 entre el nodo q=1 y el de referencia 0. Según la regla 1 tenemos:
Luego añadimos la rama 2, z 20=j0.4 entre el nodo q=2 y el de referencia
Nótese que los elementos fuera de la diagonal son cero. Esto es debido a que estas barras no tienen conexión con otras barras excepto que con las de referencia. Añadimos la rama 3, z 13=j0.4 entre el nuevo nodo q=3 y el nodo existente p=1. De acuerdo a la regla 2, tenemos:
Las tres ramas están adicionadas. Procedemos con los enlaces. Añadimos el enlace 4, z 12 =j0.8 entre el nodo q=2 y el nodo p=1. De (28) tenemos:
dZ*dZ'/Z44=
0 + 0.0286i 0 - 0.0571i 0 + 0.0286i
0 - 0.0571i 0 + 0.1143i 0 - 0.0571i
La nueva Zbarra será:
0 + 0.0286i 0 - 0.0571i 0 + 0.0286i
0.1714i 0.0571i 0.1714i 0.0571i 0.2857i 0.0571i 0.1714i 0.0571i 0.5714i Finalmente añadimos el enlace 5, z 23=j0.4 entre el nodo q=2 y el nodo p=2
dZ*dZ'/Z44=
0 + 0.0115i 0 - 0.0229i 0 - 0.0229i 0 + 0.0458i 0 + 0.0516i 0 - 0.1031i La nueva matriz Zbarra es: Z=Z4-ddZ2 Znueva = 0 + 0.1600i 0 + 0.0801i 0 + 0.1199i
0 + 0.0801i 0 + 0.2399i 0 + 0.1603i
0 + 0.0516i 0 - 0.1031i 0 + 0.2320i
0 + 0.1199i 0 + 0.1603i 0 + 0.3394i
Es la misma Zbarra que fue obtenida invirtiendo Ybarra
CAPITULO III COMPONENTES SIMETRICOS Y FALLAS DESBALANCEADAS El estudio de fallas presentado en el capítulo II consideró solo fallas trifásicas balanceadas, que a su vez llevó a un enfoque simple por fase Existen varios métodos para la solución de fallas desbalanceadas. Sin embargo, por cuanto el diagrama unifilar simplifica la solución de problemas trifásicos balanceados, se usa el método de las componentes simétricas que resuelve la solución de circuitos desbalanceados como una solución de un número de circuitos balanceados. El método de las componentes simétricas aplicado a las fallas desbalanceadas, permite tratar el problema desde un enfoque de simple análisis fase.
3.1 FUNDAMENTOS DE LOS COMPONENTES SIMETRICOS Los componentes simétricos permiten reemplazar cantidades fasicas desbalanceadas como corrientes y voltajes por tres componentes simétricos balanceados separados. Consideremos la representación fasorial de una corriente balanceada trifásica como se muestra en la siguiente figura
Por convención la dirección de rotación de los fasores es el sentido contrario a las manecillas del reloj. Los tres fasores se escriben como:
(3.1)
Donde el operador “a ” que causa la rotación en sentido contrario al reloj en 120° se define como:
(3.2)
Está claro que 1+a+a 2 =0. El orden de los fasores es abc . A esto se designa como secuencia positiva de fase . Cuando el orden es acb , se denomina secuencia negativa de fase y cuyas cantidades se representan como:
(3.3)
Cuando se analizan cierto tipo de fallas desbalanceadas, se necesitará introducir un tercer set de fasores balanceados. Estos fasores conocidos como secuencia de fase cero, se encuentran en fase entre ellos. Las corrientes de secuencia de fase cero como se muestra en la figura pueden ser designados como:
Los superíndices 1, 2, 0 que se usan representan cantidades de secuencia positiva, negativa y secuencia cero respectivamente. El método de las componentes simétricas fue introducido por el Dr. C.L. Fortescue en 1918. Basado en esta teoría, fasores desbalanceados de tres fases de un sistema trifásico pueden ser resueltos como tres sistemas balanceados de fasores de la siguiente forma. 1.- los componentes de secuencia positiva consisten de un set de componentes trifásicos balanceados con una secuencia abc 2.- los componentes de secuencia negativa consisten de un set de componentes trifásicos balanceados con una secuencia de fase acb 3.- los componentes de secuencia cero consisten de tres componentes monofásicos todos iguales en magnitud y con el mismo ángulo de fase Consideremos las corrientes trifásicas desbalanceadas I a, I b , I c de la figura.
a-b-c s et
Zero-sequence set
1
1
0
0
-1
-1 -1
0
1
-1
Positive-sequence s et 1
0
0
-1
-1 0
1
1
Negative-sequence set
1
-1
0
-1
0
1
Queremos encontrar los tres componentes simétricos de la corriente de tal forma que:
(3.4)
De acuerdo a la definición de componentes simétricas (3.1), (3.2), (3.3) podemos reescribir la anterior expresión como:
(3.5)
o
(3.5)
En notación matricial
(3.6)
Donde se conoce como matriz de transformación de componentes simetricos , y transforma corrientes fasicas en corrientes de componentes y es igual a: (3.7)
Resolviendo (3.6) para los componentes simétricos de corrientes, tenemos:
(3.8)
La inversa de A es:
(3.9)
De (3.7)y (3.9) se puede concluir que:
Sustituyendo A-1 en (3.8) tenemos:
(3.10)
O en forma de componentes, los componentes simétricos son:
(3.11)
De (3.11), vemos que la componente de secuencia cero de la corriente es igual a un tercio de la suma de las corrientes de fase. Por lo tanto, cuando las corrientes de fase suman a cero, por ejemplo en un sistema trifásico con neutro no aterrado, la corriente de secuencia cero no puede existir. Si el neutro de un sistema de potencia es aterrado, la corriente de secuencia cero fluye entre el neutro y la tierra. Similares expresiones existen para los voltajes. Así los voltajes de fase desbalanceados en términos de los voltajes de componentes simétricos son:
(3.12)
En forma matricial:
Los componentes simétricos en términos de voltajes desbalanceados son:
(3.13)
En notación matricial:
La potencia aparente también puede ser expresada en términos de componentes simétricos
Sustituyendo:
(3.14)
Por cuanto AT =A, entonces AT A* =3, la potencia compleja resulta.
(3.15)
La expresión (3.15) muestra que la potencia total desbalanceada puede obtenerse o btenerse de la suma de las potencias de componentes simétricas Ejemplo
Obtener los componentes simétricos de un set de corrientes desbalanceadas , ,
Iabc=[ 1.6 25; 1 180; 0.9 132 ] I012=abc2sc(Iabc) I012p=rec2pol(I012)
MATLAB : ABC2SC, REC2POL, SC2ABC Ejemplo
Los componentes simétricos de un set de voltajes trifásicos desbalanceados son , , . Obtenga los fasores originales desbalanceados
3.2 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA Estas son las impedancias de un equipo o componente comp onente a la corriente de diferentes secuencias. La impedancia ofrecida al flujo de corrientes de secuencia positiva se conoce como impedancia de secuencia positiva y y se denota por Z 1. La impedancia ofrecida al flujo de corrientes de secuencia negativa se conoce como impedancia se secuencia negativa y y se denota por Z 2 . Cuando fluye una corriente de secuencia cero la impedancia es de secuencia cero, denotada por Z 0.
IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DE CARGAS CONECTADAS EN Y Una carga trifásica balanceada con elementos propios y mutuos se muestra en la siguiente figura. El neutro de la carga esta conectada a tierra a través de una impedancia Zn
Los voltajes línea-tierra son:
(3.16)
De la LCK tenemos:
(3.17)
Sustituyendo In de (3.17) en (3.16) y reescribiendo esta ecuación en forma matricial:
(3.18)
Escribiendo V abc e I abc en términos de sus componentes simétricos tenemos:
(3.19)
Multiplicando (3.19) por A-1 tenemos:
(3.20)
Donde
Sustituyendo
(3.21)
Cuando no hay acoplado mutuo Zm=0 y la matriz impedancia resulta: (3.22)
La matriz impedancia tiene elementos diferentes de cero que aparecen solo en la diagonal principal, y es por lo tanto una matriz diagonal. Por lo tanto para una carga balanceada las tres secuencias son independientes. Esto quiere decir que las corrientes de cada secuencia de fases producirán caídas de voltajes solo de la misma secuencia de fase. Esto es una propiedad muy importante, ya que permite p ermite el análisis de cada red de secuencia bajo la base de “por fase”
IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DE LINEAS DE TRANSMISION Los parámetros de las líneas de transmisión fueron derivadas en ASIPO 1. Para dispositivos estáticos como las líneas de transmisión, la secuencia de fases no tiene efecto en la impedancia, porque los voltajes y corrientes encuentran la misma
geometría de la línea, independientemente de la secuencia. De este modo las impedancias positiva-negativa son iguales, es decir: Z 1=Z 2 Al derivar los parámetros de la línea, se despreciaron el efecto tierra y el del aislamiento de conductores. Las corrientes de secuencia cero están en fase y fluyen a través de de los conductores a, b, c para retornar re tornar a través del conductor neutro. La tierra o cualquier conductor aislado están efectivamente en el camino de secuencia cero. Así Z 0, que incluye el efecto del camino de retorno a través de tierra, es generalmente diferente de Z1 y Z2. La determinación de la impedancia de secuencia cero con presencia de conductores neutro tierra es bastante interesante y los interesados pueden consultar la formula de Carson. Para tener una idea del orden de Z0 consideremos la siguiente configuración simplificada. Consideremos una línea trifásica de 1 m de longitud con conductores equiláteralmente eq uiláteralmente espaciados como se muestra en la siguiente figura.
Los conductores de fase conducen corrientes de secuencia cero (monofasicas) con caminos de retorno a través de neutros aterrados. La superficie supe rficie de la tierra es aproximado a un conductor equivalente ficticio localizado a una distancia promedio Dn respecto a cada una de las tres fases. Ya que el conductor n lleva la corriente de retorno en la dirección opuesta tenemos:
Por cuanto
, tenemos:
Usando la relación de flujos acoplados de un conductor c onductor agrupado desarrollado en Cap. 2, ASIPO 1, el flujo total acoplado de la fase a es: (3.23)
Sustituyendo y reemplazando:
Wb/m
Como
, la inductancia por fase en mH/km es :
mH/km (3.24)
El primer término de la expresión (3.24) es la misma que de la inductancia de secuencia positiva dada en cap.2. Por lo tanto la reactancia de secuencia cero puede ser expresada como:
Donde
mΩ/km
La impedancia de secuencia cero de una línea de transmisión es mayor que tres veces que la impedancia de secuencia positiva-negativa.
IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DE UNA MAQUINA SINCRONA Las inductancias de una maquina síncrona dependen dl orden de fases de la secuencia de corriente relativa a la dirección de rotación del rotor. La impedancia de secuencia positiva de generador es el valor hallado cuando fluye una corriente de secuencia positiva de la acción impuesta de un set de voltajes de secuencia positiva. Vimos que la reactancia de secuencia positiva del generador varia utilizados en estudios de cortocircuito balanceado.
Cuando se imprimen corrientes de secuencia negativa en el estator, el flujo neto en el entrehierro rota en dirección opuesta a la dirección del rotor. Es decir, que el flujo neto rota a una velocidad 2 veces la velocidad síncrona relativa al rotor. Ya que el voltaje de campo está asociado con las variables de secuencia positiva, las bobinas de campo no tienen influencia. De aquí que no hay distinción entre reactancias transitorias y subtransitorias en el eje de cuadratura como si lo hay en el eje directo. La reactancia de secuencia negativa es cercana a la reactancia subtransitoria de secuencia positiva, es decir:
La impedancia de secuencia cero es la impedancia ofrecida por la maquina al paso de la corriente de secuencia cero. Recordemos que un set de corrientes de secuencia cero son idénticas. Por lo tanto, si se asume sinusoidal la distribución espacial de las fmm, el flujo resultante del entrehierro será cero, y no hay reactancia debido a a la reacción de armadura. La maquina ofrece una pequeña reactancia debido al flujo de dispersión. Por lo tanto, la reactancia de secuencia cero se aproxima a la reactancia de dispersión, o sea:
IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DEL TRANSFORMADOR En el capitulo 1, obtuvimos el circuito equivalente por fase de un transformador trifásico. En transformadores de potencia, las pérdidas del núcleo y la corriente de magnetización están en el orden del 1% del valor nominal, por lo que la rama de magnetización se desprecia. El transformador se modela con la impedancia serie de dispersión equivalente. Como el transformador es un dispositivo estático, la impedancia de dispersión no cambiara si la secuencia de fase es cambiada. Por lo tanto las impedancias de secuencia positiva-negativa son las mismas. Así también, si el transformador permite el flujo de corriente de secuencia cero, la impedancia de fase a la secuencia cero es igual a la impedancia de dispersión, y tenemos:
Recordemos que en un trafo Y-Δ, o Δ-Y, el voltaje de de secuencia positiva en el lado HV conlleva al correspondiente voltaje de línea en el lado LV en 30°. Para el voltaje de secuencia negativa el correspondiente cambio de fase es -30°. El circuito equivalente para la impedancia de secuencia cero depende de las conexiones de las bobinas y también de si los neutros están o no aterrados. La siguiente figura muestra algunas de las configuraciones más comunes de trafos y sus circuitos equivalentes de secuencia cero. Cabe recordar que en un transformador, cuando se desprecia la reluctancia del núcleo, existe un balance exacto de la fmm entre el primario y secundario. Esto significa que la corriente puede fluir en el primario solo si hay una corriente en el secundario. Basados en esta observación podemos chequear la validez de los circuitos de secuencia cero aplicando un set de voltajes de secuencia cero al primario y calculando las corrientes resultantes. a).- Conexion Y-Y ambos con neutro aterrado- Sabemos que la corriente de secuencia cero se iguala a la suma de las corrientes de fase. Ya que ambos neutros están aterrados, existe un camino para la corriente de secuencia cero fluya por el primario y secundario, y el trafo presenta la impedancia de dispersión equivalente por fase como se muestra en la figura (a) b).- Conexión Y-Y con el neutro del primario aterrado – El neutro del primario esta aterrado, pero como el neutro del secundario esta aislado, la corriente de fase del secundario debe sumar cero. Esto significa que la corriente de secuencia cero en el secundario es cero; consecuentemente, la corriente de secuencia cero en el primario es cero, reflejando impedancia infinita o un circuito abierto como se muestra en la figura (b) c).- Y-Δ con neutro aterrado – En esta configuración las corrientes del primario pueden fluir porque existe corriente circulante de secuencia cero en el secundario conectado en Δ y un camino de retorno por tierra para el primario conectado en Y. Nótese que ninguna corriente de secuencia cero puede salir de los terminales Δ, de
tal forma que hay un aislamiento entre el primario y secundario como se muestra en la figura (c ). d).- Conexión Y-Δ con neutro aislado – en esta configuración, debido a que el neutro esta aislado, la corriente de secuencia cero no puede fluir y el circuito equivalente refleja una impedancia infinita o un circuito abierto como en la figura (d) e).- Conexión Δ-Δ – en esta configuración las corrientes de secuencia cero circulan en las bobinas conectadas en Δ, pero ninguna corriente puede salir los terminales Δ,
y el circuito equivalente se muestra en la figura (e) Nótese que la impedancia del neutro juega una rol importante en el circuito equivalente. Cuando el neutro esta aterrado a través de una impedancia Zn, debido a que , la impedancia del neutro aparece como 3Zn en el circuito equivalente en el camino de
REDES DE SECUENCIA DEL GENERADOR CON CARGA
La siguiente figura representa un generador síncrono trifásico con neutro aterrado mediante una impedancia Zn. El generador alimenta a una carga balanceada trifásica
La maquina síncrona genera un voltaje interno trifásico balanceado y es representado como un set de fasores de secuencia positiva.
La maquina está alimentando una carga trifásica balanceada. Aplicando la LVK a cada fase obtenemos:
(3.25)
Sustituyendo In=Ia+Ib+Ic, y escribiendo (3.25) en forma matricial tenemos: (3.26)
O en forma compacta
(3.27)
Donde es el vector voltaje terminal de fase y es el vector corriente de fase. Transformado los voltajes terminales y laos fasores de corriente en sus componentes simétricas resulta: (3.28)
Multiplicando (3.28) por A-1, tenemos:
(3.29)
Donde
(3.30)
Multiplicando obtenemos:
(3.31)
Ya que la fem es balanceada, existe solo voltaje de secuencia positiva, es decir:
Sustituyendo
y
en (3.29), obtenemos:
(3.32)
Por cuanto la ecuación de arriba es muy importante, la escribimos en forma de componentes simétricos y tenemos:
(3.33)
Las tres ecuaciones de 3.33, pueden ser representadas por las redes de secuencia equivalente mostrado en la siguientes figuras:
Obtenemos las siguientes conclusiones importantes:
Las tres secuencias son independientes La red de secuencia positiva es la misma que el diagrama monofásico usado en el estudio corrientes y voltajes balanceado Solo la red de secuencia positiva tiene una fuente de voltaje. Por lo tanto la corriente de secuencia positiva causa solo caídas de voltaje de secuencia positiva. No hay fuente de voltaje en la red de secuencia negativa Corrientes de secuencia negativa y cero causan solo caídas de voltaje de secuencia negativa y cero. El neutro del sistema es la referencia para las redes de secuencia positiva y negativa, pero la tierra es la referencia para las redes de secuencia cero. Por lo tanto, la corriente de secuencia cero puede fluir solo si el circuito de los neutrales del sistema a la tierra es completo. La impedancia de aterramiento se refleja en la red de secuencia cero como 3Zn Los sistemas de tres secuencias pueden ser resueltos separadamente sobre una base por fase. Luego las corrientes y voltajes de fase pueden ser determinados superponiendo sus componentes simétricos de corriente y voltaje respectivamente.
Con esto estamos listos con las herramientas matemáticas a analizar varios tipos de fallas desbalanceadas. Primero se obtiene la corriente de falla usando el método de Thenenin y la manipulación algebraica de redes de secuencia. Luego el análisis será extendido para encontrar los voltajes de barra y la corriente de falla durante la falla, para diferentes tipos de falla usando matriz impedancia de barra
CAPITULO IV ANALISIS DE FALLAS DESBALANCEADAS Habiendo introducido el método de las componentes simétricas y definido las redes de secuencia, estamos listos para evaluar fallas asimétricas. Varias de las fallas asimétricas que se presentan en los sistemas eléctricos de potencia son: FALLAS TIPO PARALELO (SHUNT) Una falla shunt es un desbalance entre fases o entre fase y neutro. Pueden ser del tipo: i).- Falla de una línea a tierra (SLG) ii).- Falla de línea a línea (LL) iii).- Falla de doble línea a tierra (2LG) FALLAS TIPO SERIE Una falla serie es un desbalance en las impedancias de de la línea y no involucra el neutro o tierra, tampoco involucra ninguna interconexión entre fases. Por ejemplo falla de un conductor abierto (uno o dos conductores abiertos). Como se indico en el capitulo anterior una falla trifásica (3L) es la mas grave y debe usarse para calcular la capacidad de ruptura de los disyuntores (cortacircuitos) aun cuando este tipo de falla sucede con poca frecuencia en comparación con las fallas asimétricas de la lista anterior. Sin embargo hay casos en que una falla SLG puede causar una corriente de falla mayor que una falla trifásica (cuando el lugar de la falla es cercano a las unidades de generación). También es importante el análisis de fallas asimétricas para ajustar relevadores, conmutación monofásica y para estudios de estabilidad del sistema. La probabilidad de que ocurran dos o más fallas simultaneas en un sistema de potencia es remota y, por consiguiente, no se justifica en el diseño de sistema con condiciones anormales. Nuestro objetivo es determinar exactamente como están relacionados las redes de secuencia o como están ellas interconectadas para diferentes tipos de situaciones de falla. Como debemos evaluar esto para diferentes situaciones establecemos el siguiente procedimiento: 1.- Bosquejar el diagrama del circuito del punto de falla mostrando todas las conexiones de fase a la falla. Etiquetar todas las corrientes y voltajes e impedancias,
anotando cuidadosamente las direcciones y polaridades positivas asumidas, como en la siguiente figura.
Se asume que un sistema normal consistente solo de impedancias balanceadas se conecta a la izquierda y derecha del punto de falla y que el Thevenin equivalente visto desde este punto es conocido. Nótese que los voltajes de fase se definen como caídas de línea-tierra en este punto, y que las corrientes están definidas fluyendo del sistema hacia la falla. 2.- Escribir las condiciones frontera que relacionan las corrientes y voltajes conocidos para el tipo de falla considerado 3.- Transformar las corrientes y/o voltajes de (2) del sistema de coordenadas “abc” al sistema “012” usando la transformación A o A-1 4.- Examinar las corrientes de secuencia para determinar la conexión adecuada de los terminales F o N de las redes de secuencia satisfaciendo (3) 5.- Examinar los voltajes de secuencia para determinar la conexión de los terminales restantes de las redes de secuencia, añadiendo las impedancias requeridas para satisfacer (3) y (4)
FALLA DE UNA LINEA A TIERRA (SLG) 1.- Diagrama de circuito
2.- Condiciones de frontera: Por inspección
(4.1)
y
(4.2)
3.- Transformación:
(4.3)
De donde: De 4.2
que podemos escribir como:
(4.4)
4.- Corrientes de secuencia: De 4.3 notamos que las corrientes de secuencia son iguales; esto implica que las redes de secuencia deben ser conectadas en serie como en la siguiente figura.
5.- Voltajes de secuencia: de 4.4 vemos que los voltajes de secuencia suman Esto requiere la adición de una impedancia externa a la figura anterior.
.
La conexión final mostrada en la anterior figura conlleva a calcular:
(4.5)
Conociendo las corrientes de secuencia fácilmente hallamos los voltajes de secuencia
Ejemplo El sistema sencillo mostrado en la figura consiste de un generador, transformadores, línea de transmisión y carga. Considere una falla de una línea a tierra SLG en la barra C, con una resistencia de falla de 4 Ω. Se conocen los siguientes datos:
Generador: 25 MVA, 10 kV, x=0.125 pu, conectado en Y T1: 30 MVA, 10/20 kV, x=0,105 conexión Δ-Yaterrado Línea: Z=2+j4 Ω
T2: 20 MVA, 5/20 kV, x=0.05 pu conexión Y-Δ Carga: estatica (z constante) de 10 +j5 MVA a 5 kV Solucion: Seleccionamos SB= 20 kV, V B= 20 kV G:
T1:
()
Linea: T2:
Carga como impedancia serie:
La red de secuencia positiva
La corriente de carga:
El voltaje Thevenin en la barra C:
Fijamos como fasor de referencia en los cálculos de falla. La impedancia vista desde F1 con E cortocircuitada es 0.1+j0.37 en la izquierda en paralelo con 1.6+j0.85 en la derecha o:
Esta es la impedancia para el flujo de corrientes de secuencia positiva y negativa
La corriente de secuencia cero encuentra un circuito abierto a la izquierda de la barra A con A aterrado, y un circuito abierto a la derecha de C. entonces Z 0 es la suma de la línea y T1: Z 0=0.1+j0.27 pu
La conexión completa de las redes de secuencia se muestra en la figura anterior donde Zf resulta:
⁄ √
La impedancia total del circuito es:
De 4.5: Luego
Como la falla ocurre en una barra de 20 kV:
Entonces:
También podemos sintetizar los voltajes de fase primero calculando los voltajes de secuencia.
0.7778 - 0.1068i 0.7851 -7.8156
-0.2350 - 0.1068i 0.2581 -155.5686 Luego:
0.3431 - 0.3149i
0.4657 -42.5462
Estos valores deben comprobarse con:
0.3426 - 0.3168i
0.4667 -42.7591
-0.4711 - 0.8717i
0.9909 -118.3863
-0.4711 + 0.8825i
1.0003 118.0935
FALLA LINEA-LINEA (LL) 1.- Diagrama del circuito. Notese que la falla LL esta situada entre las líneas b y c para mantener la simetría con respecto a la fase a
2.- Condiciones frontera: por inspección de la anterior figura
(4.6)
(4.7)
(4.8)
3.- transformación: Del análisis de la ecuación (4.6) y (4.7)
e incorporando
(4.9)
Y de (4.8)
Reemplazando (3.5) por Ib
De (4.9)
y
, sustiuyendo esto en la ecuación de arriba
O
(4.10)
4.- Corrientes de secuencia: De (4.9) por lo que la red de secuencia cero esta abierta. Asi mismo de (4.9) , lo que requiere una conexión como la d la siguiente figura:
5.- Voltajes de secuencia: De (4.10) y de figura anterior vemos que la conexión restante debe ser como el de la siguiente figura
Entonces: Ejemplo:
(4.11)
Calcular los voltajes de fase y corrientes para uan falla LL en la barra C del ejemplo anterior cuando una falla de 4 ohmios ocurre entre las fases b y c. Solucion: Las redes de secuencia son como las la figura:, y su interconexión como la de siguiente figura. Con la conexión nueva la impedancia total es: Zt=Z1+Z2+Zf = 0.4573 + 0.6118i , VF=1.0128+j*0 Luego:
Y como:
=0.7938 - 1.0620i =1.3259 -53.2236
Entonces la corriente de falla es:
= -1.8395 - 1.3750i =2.2966 -143.2236 =-2.2966 36.7764
Los voltajes de secuencia se pueden calcular también conociendo las corrientes de secuencia y de las conexiones de las redes de secuencia = 0.5858 - 0.1062i = 0.5953 -10.2763
= 0.4270 + 0.1062i = 0.4400 13.9668
Luego calculamos:
= 1.0128+j*0 = -0.6904 - 0.1375i = 0.7039 -168.7360 = -0.7039 11.264 = -0.3224 + 0.1375i = 0.3505 156.9061 =-0.3505 -23.0939
Los voltajes linea-linea sobre una base de voltaje de fase son: = 1.7032 + 0.1375i
=-0.3679 - 0.2750i
= -1.3352 + 0.1375i
De (4.8) comprobamos: Ia1p = 0.7938 - 1.0620i
= -0.3679 - 0.2750i
Ia1p = 1.3259 -53.2234
Ib1 = 1.3259 -173.2234 Ic1p = 1.3259 66.7766 Ia2 = -0.7938 + 1.0620i Ia2p = 1.3259 126.7766 Ib2p = 1.3259 -113.2234 Ic2p = 1.3259 6.7766
Los diagramas de los fasores de corrientes y voltajes se muestran en la figura anterior. Nótese que si Z f fuese cero, el triangulo de voltaje colapsaría a cero en el lado b-c y el fasor V a1-V a2 resultaría cero FALLA DOBLE LINEA A TIERRA (2LG) 1.- Diagrama del circuito: La conexión de falla se muestra en la figura. Nótese que se obtiene simetría respecto a la fase „a ’ cortocircuitando las fase „b ’ y „c ’
2.- Condiciones frontera: Por inspección tenemos
( ) ( ) (4.12)
(4.13)
(4.14)
3.- Transformación. De (4.12) tenemos
(4.15)
Como :
(A)
(B)
Encontramos la diferencia
(4.16)
De (4.13), (4.14), tenemos:
(4.17)
Como:
y
(*)
Reemplazando (*) en (4.17)
(4.17*)
Igualando (4.16) y (4.17*)
o
(4.18)
Si sumamos (A) y (B)
Y sumamos (4.13) y (4.14)
Igualamos
Simplificamos y transformamos considerando que : (4.19)
y obtenemos:
4.- Corrientes de secuencia: De (4.15) vemos inmediatamente que los terminales N de las redes de secuencia deben ser conectadas a un nodo común como en la siguiente figura
5.- Voltajes de secuencia: De (4.18) observamos que los voltajes a través de las redes de secuencia positiva y negativa son iguales si se añade una impedancia Zf en serie con cada red. Similarmente, (4.19) requiere que una impedancia externa sea añadida a la red de secuencia cero. La conexión final se muestra en la siguiente figura.
Entonces:
(4.20)
Ejemplo: Ocurre una falla 2LG con Zf =4 Ohms y Zg =8 Ohms. La falla ocurre en la barra C. Las redes de secuencia son las mismas que las mostradas Solucion: %FALLA DOBLE LINEA A TIERRA Zf=0.2+j*0;Zg=0.4+j*0; Z1=0.1287+j*0.3059;Z2=Z1; Z0=0.1+j*0.27;
