5-ARITMETICA 5to (1 - 16)

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CORPORACIÓN EDUCATIVA

Formando líderes, con una auténtica educación integral

School´s

Primero Quinto de Secundaria

Aritmética

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

Presentación Didáctico

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra

“Formar líderes con una auténtica

“Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral”

Capítulo 1.

Razones y Proporciones .......................................................... 9

Capítulo 2.

Serie de Razones ...................................................................... 16

Capítulo 3.

Promedios y Medias ............................................................... 23

Capítulo 4.

Magnitudes Proporcionales .................................................... 29

Capítulo 5.

Regla de Tres ............................................................................ 37

Capítulo 6.

Porcentaje: Aplicaciones Comerciales .................................. 43

Capítulo 7.

Regla de Interés ........................................................................ 53

Capítulo 8.

Estadística ................................................................................. 61

Capítulo 9.

Conjuntos .................................................................................. 73

Capítulo 10.

Numeración .............................................................................. 84

Capítulo 11.

Conteo de Números – Progresión Aritmetica ...................... 95

Capítulo 12.

Método Combinatorio ............................................................. 106

Capítulo 13.

Cuatro Operaciones ................................................................. 113

Capítulo 14.

Divisibilidad : Principios y Criterios ..................................... 124

Capítulo 15.

Números Primos - M.C.D. y M.C.M. .................................... 133

Capítulo 16.

Números Racionales: Fracciones y Decimales .................... 142

Aritmética - 5to Sec.

Capítulo

1

Razones y Proporciones

RAZÓN Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción – división)

Interpretación La velocidad de A excede a la velocidad de B, tanto como la velocidad de C excede a la velocidad de D.

RAZÓN ARITMÉTICA

GEOMÉTRICA a =K b

a–b=R a b

Observación

antecedente consecuente

RyK

La suma de  La suma de   =  los extremos  los medios 

Valores de las razones

20 + 15 = 18 + 17

ProporciÓn Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.

Dependiendo de los términos medios se tendrá:

En consecuencia se tiene dos clases de proporciones: Proporción Aritmética Discreta Cuando los términos medios son diferentes.

1. Proporción Aritmética Se forma al igualar dos razones aritméticas.

Ejemplo:

Ejemplo: Sean los siguientes datos: Auto Velocidad (m/s)

A

B

C

D

20

17

18

15

Comparando mediante la sustracción Proporción Aritmética 20

– 17

= 18 – 15

Términos medios Términos externos

Formando líderes con una auténtica educación integral

15 – 11 = 20 – 16 Cuarta diferencial de 15; 11 y 20

Proporción Aritmética Continua Cuando los términos medios son iguales. Ejemplo: 24 – 19 = 19 – 14 Tercera diferencial de 24 y 19 Media diferencial o Media aritmética de 24 y 15

9

Aritmética - 5to Sec. Proporción Geométrica Discreta Cuando los valores de los términos medios son diferentes.

En General PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA

CONTINUA

Extremos

Extremos

a–b=c–d

a–b=b–c

Medios d: cuarta diferencial de a, b y c

Ejemplo: 15 = 12 20 16 ← Cuarta proporcional de 15, 20 y 12

Medios b: media diferencial de ayc

Proporción Geométrica Continua Cuando los valores de los términos medios son iguales. Ejemplo:

c: tercera diferencial de ayb

Media proporcional de 12 y 27

12 = 18 18 27

2. Proporción GEOMÉTRICA

Tercera proporcional de 12 y 18

Se forma al igualar dos razones geométricas. Ejemplo: Sean los siguientes datos: Personas

A

B

C

D

Edades (años)

18

12

15

10

En General PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA

a b

Comparando mediante la división:

Donde: 18 y 10 son los extremos 12 y 15 son los términos medios. Interpretación: La edad de A es a la edad de B, como la edad de C es a la edad de D.

El producto de  El producto de   =  los extremos  los medios 

18 (10) (12)    = 15     180

10

180

a

d b

d

18 = 15 = 3 12 10 2

Observación

=

CONTINUA

c

cuarta proporcional de a, b y c

c

b = b c media proporcional de a y c tercera proporciona de a y b

Hipatia de Alejandría (370 – 415) Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C.) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappus. La obra de Hypatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y unos trabajos originales sobre curvas cónicas. Hypatía fue la última lumbrera de la biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy legado de la misma.



Resolviendo en clase 1) Dos números son entre si como 7 es a 9; si el producto de dichos números es 252. Hallar el mayor. Rpta.: _______

4) A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? (UNI 1992) Rpta.: _______

2) Dos números son proporcionales a 2 y 5 si se aumentan 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cual es el menor? (UNI 1970) Rpta.: _______

3) Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 7, dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. Hace 10 años ¿cuál era la relación de sus edades? Rpta.: _______

5) En un examen los problemas resueltos y no resueltos están en la relación de 2 es a 3. Dentro de los problemas contestados, el número de problemas resueltos correctamente y los que no ,están en la relación de 1 a 2. ¿Cuál es la relación de los problemas mal contestados con respecto al total? Rpta.: _______ 6) La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152.Encontrar el mayor de los numeros. (UNI 1982–II) Rpta.: _______

Para Reforzar 1) Dos números son entre si como 5 es a 7. Si el producto de dichos números es 315, hallar el mayor. Rpta.: _______

4) En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres había 5 hombres, además el número de mujeres excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retira 16 parejas? Rpta.: _______

2) Dos números son entre si como 8 es a 11. Si a uno de ellos se le aumenta en 30 unidades mientras que al otro se le disminuye 12; ambos números resultarian iguales. Hallar el mayor de dichos números. Rpta.: _______

5) Si: Calcular:

a b c = = 2 3 5 3a + 8b 2c − a − b Rpta.: _______

3) El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? Rpta.: _______


6) La razón de dos números es 5/7 y los 2/5 de su producto es 1 134. Encontrar el menor de los números. Rpta.: _______

11

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cual es el número mayor si el producto es 64? (UNI 1990) a) 4 b) 8 d) 32

1

Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64? a) 4 b) 8 d) 32

c) 16 e) 64

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 7, 3 y 20. ¿Cuál es el menor de los números? a) 2 b) 2 d) 8

c) 16 e) 64

c) 4 e) 10

Clave: 2

La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4; 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 4 b) 10 d) 15

c) 14 e) 16

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

Aritmética - 5to Sec. 3

Calcular A + B + C sabiendo que: A es cuarta proporcional de 8, 18 y 20 B es tercera proporcional de A y 15 C es media proporcional de (A + B) y (B – 3) a) 4 b) 8 d) 12

3

Si «M» es la media proporcional de 25 y 9; «N» es la cuarta proporcional de 30, M y 8. Hallar «M + N» a) 10 b) 19 d) 25

c) 10 e) 16

c) 21 e) 30

Resolución: Resolución:

Clave: 4

En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional. a) 20 b) 30 d) 40

Clave: 4

c) 36 e) 50

En una P. G. continua la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia 21. Hallar la media proporcional. a) 24 b) 16 d) 8

c) 10 e) 12

Resolución:

Resolución:

Clave:


Clave: 13


La suma de los 4 terminos de una proporción geometrica continua es 9. Si la diferencia de sus extremos es 3. Hallar el producto de los cuatro términos. (UNI 1990) a) 8 b) 16 d) 64

5

c) 32 e) 100

La suma de los 4 términos de una proporción geómetrica contínua es 32. Si la diferencia de sus extremos es 16. Hallar el producto de los 4 términos. a) 1 000 b) 1 200 d) 1 400

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como 13, 17 y 19. Determine n.(UNI 2010–II) a) 600 b) 900 d) 1 800

c) 1 296 e) 1 800

c) 910 e) 2 000

Clave: 6

Si:

Además: a + b + c = 525 Hallar «d»

a b c d = = = 7 13 15 19

a) 280 b) 285 d) 400

c) 300 e) 525


Clave: 14

Clave:



La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4. La razón entre las edades de B y C es 3/7. Si la suma de las edades de las tres personas es 165. Entonces la diferencia entre la edad del mayor y menor es: a) 20 b) 30 d) 48

7

Si: A 7 B 2 = y = B 5 C 3

c) 45 e) 60

Además: A + 2B + C = 147 Halle "C" a) 6 b) 9 d) 45

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Hallar la suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua si se sabe que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el tercer término y la razón es 24. a) 100 b) 120 d) 180

c) 30 e) 42

Clave: 8

c) 175 e) 700

En una proporción geométrica continua, la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 7. Si la diferencia de los extremos es 7. Determinar el valor de la media proporcional. a) 8 b) 10 d) 16

c) 64 e) 12


Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor


15


Capítulo

Serie de Razones Geométricas Equivalentes

2

OBJETIVOS: * Reconocer los elementos de una serie de razones geométricas equivalentes. * Construir una S.R.G.E. dado un conjunto de números. * Aplicar las propiedades adecuadamente.

Introducción

Ejemplo: 12 1 4 1 25 1 20 1 = ; = ; = ; = 24 2 8 2 50 2 40 2

Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidades son proporcionales a los números 3; 5 y 8. Esto quiere decir que sus capacidades podrían ser:

Igualando:

3x20 = 60 litros 5x20 = 100 litros 8x20 = 160 litros

12 4 25 20 1 = = = = 24 8 50 40 2

o también

Serie de razones

3x25 = 75 litros 5x25 = 125 litros 8x25 = 200 litros

Valor de la razón

En general, podemos escribir:

Como podemos ver existen muchas opciones, pero los volúmenes siguen guardando la misma proporción. Si “A” es la capacidad del primer tonel, “B” la del segundo y “C” la del tercero, podremos escribir las razones geométricas. A B C = = =K 3 5 8

a1 a2 a3 a ... n c1 = c2 = c3 = = cn =K Donde: a1,a2,a3, ........., an : Antecedentes c1,c2,c3, ........., cn : Consecuentes K : Constante de porporcionalidad o valor de la razón.

PROPIEDADES A la que denominaremos serie de razones geométricas equivalentes (S.R.G.E.)

serie de razones geomÉtricas equivalentes

Suma de antecedentes Suma de consecuentes

=Cte. de proporcionalidad

Es decir:

Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. 16

Propiedad 1

a1+a2+a3+...+an c1+c2+c3+...+cn =K


Aritmética - 5to Sec. 84 =K → K=7 12

Ejemplo: 12 4 25 20 = = = 24 8 50 40

Luego: c =K=7 10 c=70

⇒ 12+4+25+20 24+8+50+40 =

61 1 = 122 2

d =K=7 12 d=84

Ejercicio 2 Si se cumple que: J E S I 4 = = = = =K 972 J E S 1

Propiedad 2 Producto de antecedentes Producto de consecuentes

=(Cte. de proporcionalidad)n

Donde “n” es el número de antecedentes o consecuentes que se multiplican. Es decir: a1. a2. a3. ... an n c1. c2. c3. ... cn =K

halla: “J+E+S+I” Resolución Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparece como antecedente y consecuente de las diferentes razones, entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todos los consecuentes resultará: 5 J.E.S.I.4 =K 972.J.E.S.I

Ejemplo:

5 4 =K 972

12 4 25 20 = = = 24 8 50 40 ⇒ 12 x 4 x 25 x 20 = 1 24 x 8 x 50 x 40 2

4

5 1 1 =K → K= 243 3

Luego podemos escribir : observaciÓn:

324

Una serie de razones geométricas de la forma: a b c d ... = = = = =K b c d e Se denomina serie de razones geométricas continuas. En esta serie continua también se cumplen las propiedades mencionadas.

108

36

12

J E S I 4 1 = = = = = 972 J E S 1 3 324

108

36

12

⇒ J + E + S +I=324+108+36+12 J + E + S +I=480

Ejercicio 1 En una serie de razones geométricas, los consecuentes son 5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes es 84; halla los otros antecedentes. Resolución Formamos la serie con los datos proporcionados: a b c d = = = =K ; a+b= 84 5 7 10 12 Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad 1: a+b =K 5+7


El saldo de la cuenta de Rogelio Mi amigo Rogelio tiene una gran afición a las matemáticas. Su obsesión son los números. Vive siempre con su mente ocupada al menos por una docena de dígitos. El otro día descubrió una curiosa relación. Comprobó que los núneros de su casa y los de las casas de sus amigas Silvia y Lucía eran primos consecutivos. Si se multiplicaban los tres entre sí, el resultado era el saldo de su cuenta bancaria. La casa de Rogelio está entre las de Silvia y Lucía. El saldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de cinco cifras. ¿Cuál es el número de la casa de Rogelio y el saldo de su cuenta en el banco?

17


Resolviendo en clase 1) Dada la serie:

4) Los antecedentes de una serie de razones geométricas equivalentes son 7; 10; 12 y 15. Si el producto de los dos primeros consecuentes es 1120, halla la diferencia de los dos últimos consecuentes.

a b c = = 6 8 18

Se cumple: a.b.c=2916 halla “a+b+c”

Rpta.: _______ Rpta.: _______ 5) Si en la serie:

2) Si se cumple:

a b c d = = = 15 12+n 10-n 7

a 20 18 8 = = = 15 b 27 c

halla “a+b+c”

se cumple: a+b+c-d=120, halla: “a.d” Rpta.: _______

3) Los volúmenes de tres recipientes son proporcionales a los números 4; 5 y 10. Si la suma de los cuadrados de los dos menores volúmenes es 656, halla el volumen mayor. Rpta.: _______

6) Si a b c d = = = y 3 4 6 7 a . c . b + b . c . d=6480, halla “a+b+c+d”.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Para Reforzar 1) En la serie:

4) Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos primeros consecuentes es 28, halla los 2 últimos.

a b c d = = = 5 7 9 10

Rpta.: _______

Se cumple: a.c=405, halla “b+d” Rpta.: _______

2) Si

a b c d = = = 3 5 8 6

a+b=48, halla “c.d”

5) En la siguiente serie:

Rpta.: _______

18

calcula “a+b”

Rpta.: _______

6) Si:

Rpta.: _______

3) Tres números son entre sí como 7; 11 y 13, tales que el segundo más el cuádruplo del primero suman 17. Calcula el valor del tercero.

3a+b 34 - b a+b = = 9 7 4

a b c d = = = y 5 6 7 8 a . b . c + b . c . d = 34944; halla "a + b + c +d". Rpta.: _______


Aritmética - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Para el profesor: 1

Para el alumno: 1 Dada la serie : a = b = c 3 5 7

Si: a b c d = = = 4 7 8 9

Además: ab + cd = 1 600. Halle "b" (UNFV 2001-II) a) 16 b) 28 d) 36

c) 32 e) 40

y a.b+a.c+b.c=639, halla “a.b.c”

a) 3215 b) 2415 d) 4328

c) 3432 e) 2835

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Si:

Hallar: acf

d)

2

a c e R2 = = = k 2 y bde = 2 ( R > 0 ) b d f K

a) R

(UNI 1995-II) b)

R K

R

c) R/K e)

Clave:

a c e , = = b d f para la que a2+c2+e2=324, calcula 2 ab+cd+ef M= 3 b2+d2+f2

a) 12 b) 15 d) 24

K

Resolución:

Dada la serie:

c) 18 e) 32

Resolución:

Clave:


Clave: 19


E=

3

Si: a/5 = b/7 = c/11 y a2 + 2b2 -c2 = 50, calcula: a+b+30 c-25

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) N. A.

Si a b c y = = 2 7 9 a2+b2+c2=1206, halla “a+b+c”

a) 36 b) 45 d) 54 Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Clave:

En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 6 y 9; y el producto de los consecuentes es 65610. Halla la suma de los consecuentes.

4

En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son 2, 3 y 7. Si el producto de los consecuentes es 2688, halla la suma de estos.

a) 72 b) 81 d) 48

a) 36 b) 48 d) 72

c) 69 e) 92

c) 54 e) 108

Resolución:

Resolución:

Clave: 20

c) 58 e) 72

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 5 Si se cumple: K A R Y 2 , = = = = 64 K A R Y halla: “K+A+R+Y”

a) 50 b) 60 d) 100

c) 80 e) 120

5

Dada la serie :

J O S E 3 = = = = 96 J O S E

halla J + O + S + E.

a) 60 b) 75 d) 125

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Clave:

Si se cumple:

6

a b c ; a.b.c 1 = = = d e f d.e.f 27

A B C D = = = y a b c d A.B.C.D = 4096, a.b.c.d

halla: M=

a2+b2+c2 . a3+b3+c3 d3+e3+f3 d2+e2+f2

a) 1 b) 1 3 6 1 d) 27

c) 100 e) 90

Dada la serie de razones:

halla c) 1 9 e) 1 81

M=

A10+B10+C10+D10 a10+b10+c10+d10

a) 210 b) 215 20 d) 2

c) 2 e) 230

Resolución:

Resolución:

Clave:


Clave: 21


En la siguiente serie de razones equivalentes: A B C D = = = m n p q

a) 105 b) 210 d) 315

Dada la serie : A = B = C a b c

y se cumple : A+B+C=80 a+b+c=128

se cumple: A+B+C+D= 63; m+n+p+q=175 Halla: E= A.m + B. n + C.p+ D.q

7

2 2 2 halla A +B +C 2 2 2 a +b +c

a) 25 b) 16 36 25 25 d) 64

c) 51 e) 21

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Clave:

En una serie de cuatro razones geométricas continuas, la suma del primer antecedente y del tercer consecuente es 1176. Determina el mayor consecuente si el producto de las cuatro razones es 1/81.

8

a) 1701 b) 3402 d) 5103

c) 16 49 e) 4 9

c) 6804 e) 10206

Resolución:

En una serie de tres razones geométricas equivalentes continuas, el producto de las tres razones es 1/27. Si la suma de los consecuentes es 234, halla el mayor antecedente. a) 54 b) 48 d) 64

c) 72 e) 60

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 22



Capítulo

3

Promedios

PROMEDIOS O MEDIAS

Una media de un conjunto de datos es un valor que puede representar o substituir a todos los elementos del conjunto sin alterar una cierta característica de la misma. Dicho valor se encuentra comprendido entre el mínimo y máximo dato del conjunto. En general, para “n” datos: a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ... ≤ an

1. Media Aritmética (MA ) La media aritmética del conjunto de “n” datos a1; a2; ..., an es: a1 + a 2 + ... + a n n

Ejemplo: Calcule la media aritmética de las notas 11; 16 y 18.

n

8 ⋅ 12 ⋅ 18

∴ MG = 12

MH =

n 1 a1

+

1 a2

+ ... +

Resolución:

Ejemplo: Halle la Media Geométrica de los números 8; 12 y 18.

an

MH =

2 1 20

+

1 30

∴ MH = 24 m / s

PROPIEDADES DE LA MEDIAS Para un conjunto de datos:

 Media  <  Media  <  Armónica  Geométrica       < < MH MG

∴ MA = 15

a1 a 2 ...a n

1

Ejemplo: Determine la media armónica de las velocidades: 20 m/s y 30 m/s

1. Si no todos los datos son iguales

2. Media Geométrica (MG) La Media Geométrica del conjunto de “n” datos positivos a1, a2, ..., an es: MG =

3

3. Media Armónica (MH ) La Media Armónica de los “n” datos positivos a1, a2, ..., an es:

MEDIAS MÁS USUALES

Resolución: 11 + 16 + 18 MA = 3

MG =

se tiene:

a1 ≤ media ≤ an (promedio)

MA =

Resolución:

 Media   Aritmética     MA

2. Si todos los datos son iguales MA = MG = MH = DATO 3. Para dos datos a y b 2

i) MA × MH = ( MG) = a × b

ii) ( a - b ) 2 = 4 ( MA + MG)( MA - MG)


23


Resolviendo en clase 1) Si el promedio aritmético de 24, 30, M y 25 es 27. Halle el valor de "M" Rpta.: _______

4) El producto de dos números es 64 y la suma de sus raíces cuadradas positivas es 6. Calcule la media armónica de dichos números. (UNMSM 2010–II) Rpta.: _______

2) En Cibertec, el promedio de las cuatro prácticas de un curso, para aprobar debe ser exactamente 14. Si un alumno ha obtenido 16; 10 y 11 en las tres primeras,¿cuánto debe obtener en la cuarta práctica para lograr el promedio exigido. Rpta.: _______

5) El promedio aritmético de las edades de 6 profesores es 27 años. si ninguno de ellos tiene menos de 24 años?¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? Rpta.: _______

3) El promedio de 50 numerales es 38, siendo 45 y 55 dos de los numerales, eliminando estos numerales, el promedio de los restantes es:

6) La medida aritmética de "n" términos 2,6,12,20,... es 44. Determine la suma de cifras de "n".

Rpta.: _______

Rpta.: _______

1) Si el promedio aritmético de 20; 32; N y 48 es 29. Hallar el valor de «N»

4) El promedio aritmético de dos números es 76 y su razón aritmética 18. Halla el número mayor.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Para Reforzar

2) Ricardo ha obtenido en las cuatro primeras prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser la nota en la quinta práctica, para que su promedio sea 13? Rpta.: _______

5) El promedio aritmético de las edades de 5 hombres es 46 años. Si ninguno de ellos tiene menos de 43 años.¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? Rpta.: _______

3) La edad promedio de 25 personas es 22 años. Si se retiran dos personas cuyas edades son 31 y 36 años. ¿Cuál es el promedio de las restantes?

6) La media aritmética de 100 números consecutivos es 69,5. Hallar el número menor.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

24



Para el profesor: 1

Para el alumno:

La media aritmética de dos números enteros es los 5/4 de su media geométrica. Hallar la razón de dichos números. (UNFV 2011–II) a) 2 b) 3 d) 4

1

c) 5 e) 7

El cuadrado de la MG de dos números y su MH, están en la relación de 9 es a 4. ¿Cuál es la MA de estós números? a) 2,25 b) 2,50 d) 3,00

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

La media aritmética de dos números es 20 y su media geométrica es 18. Hallar su media armónica. a) 16 b) 16,2 d) 18,2

c) 2,75 e) 3,25

c) 18 e) 19

Clave: 2

El mayor promedio de dos números es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números. a) 180 b) 160 d) 150

c) 120 e) 100

Resolución:

Resolución:

Clave:


Clave: 25


Si la media geométrica de dos números enteros positivos es igual a tres veces la media armónica de los mismos, halle la suma de los cuadrados de las razones que se obtienen con los dos números positivos. (UNMSM 2012–I) a) 1 294 b) 1 024 d) 784

3

La MG de dos números es el triple del menor y la MA es inferior en 36 unidades que el mayor. Calcule la MH de los números. a) 16 b) 16,1 d) 16,3

c) 576 e) 1 154

c) 16,2 e) 16,4


Clave: 4

La edad promedio de 30 alumnos del 5to. «A» es 14 años, del 5to. «B» que tiene 28 alumnos es 16 años y del 5to. «C» que tiene 40 alumnos es 15 años. Hallar el promedio de las tres secciones. a) 14,2 b) 14,9 d) 15,2

c) 15 e) 16,2

4

El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16, de la clase «B» que tiene 40 alumnos es 14 y de la clase «C», que tiene 50 alumnos es 12. Hallar el promedio de las tres clases. a) 13,2 b) 13,4 d) 14,2

c) 13,6 e) 14,6

Resolución:

Resolución:

Clave: 26

Clave:

Clave:



De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es 1,67m, 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. ¿Calcular la estatura promedio de los varones? a) 1,65 b) 1,70 d) 1,80

5

c) 1,75 e) 1,90

El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio de 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcular el promedio de los alumnos restantes. a) 5,5 b) 6,3 d) 6,2

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

El promedio aritmético de 50 números es 16. Si a cada uno de los 20 primeros se le aumenta 7 unidades y a cada uno de los 30 restantes se le disminuye 3 unidades. ¿Cuál será el nuevo promedio? a) 14 b) 15 d) 19

c) 4,9 e) 5,8

Clave: 6

c) 17 e) 20

Resolución:

Mario calcula el promedio de sus 5 primeras prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio ahora? a) 13,42 b) 13,57 d) 14,25

c) 12,58 e) N. A.

Resolución:

Clave:


Clave: 27


Las normas académicas de una institución educativa establecen las calificaciones siguientes: – Aprobado: Nota ≥ 14 ; – Desaprobado: 9 ≤ Nota < 14 – Reprobado: Nota < 9 En el curso de Química, las calificaciones finales fueron. 40% de aprobados, con nota promedio: 16 puntos; nota promedio de los desaprobados: 11 puntos; y nota promedio de los reprobados: 6 puntos. Si la nota promedio obtenido en el curso fue de 11 puntos, entonces el porcentaje de alumnos reprobados es: (UNI 2009–I) a) 10% b) 20% d) 40%

7

El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcule el promedio de los restantes alumnos. a) 5,5 b) 6,3 d) 6,2

c) 4,9 e) 5,8

Resolución:

c) 30% e) 50%

Resolución:

Clave: 8

Tres números enteros m, n, p tienen una media aritmética de 10 y una media geométrica de 3 960 Halle aproximadamente la media armónica de estos números, si n. p =120 (UNI 2009–I) a) 8,72 b) 9,32 d) 9,93

Clave: 8

La MA y MH de dos números están en la relación de 25 a 16. ¿Qué relación guardan la MG y MH de estos números? a) 5/4 b) 7/4 d) 11/4

c) 9/4 e) 13/4

c) 9,73 e) 9,98 Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

4

Magnitudes Proporcionales

Dos magnitudes son proporcionales si al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud varía proporcionalmente. 1. Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.)

24 48 72 36 = = = 16 32 48 24 Ejemplo 1:

Sean A y B dos magnitudes cuyos valores correspondientes se observan en la tabla: A B

Se cumple:

Halla x + y + z si A y B son directamente proporcionales. A 18 x B 12 10

a1 a2 a3 ... an b1 b2 b3 ... bn

Si A es directamente proporcional a B (A D. P. B) se cumple: a1 a a a = 2 = 3 =...= n b2 b2 b3 bn Gráficamente:

9 x+y y z

Resolución: Se cumple 18 x 9 x+y ⇒ x=15; y =6 = = = 12 10 y z

B b3 b2

Luego 18 15+6 ⇒ z=14 = 12 z

b1

Se pide x+y+z=15+6+14=35 a1

a2

a3

A

Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, si el valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra magnitud también se duplica; si se reduce a su mitad una de ellas, la otra también se reduce a su mitad; así sucesivamente. Ejemplo:

Ejemplo 2: Sabiendo que A es directamente proporcional a B; encuentra el valor de A, para B = 81, sabiendo que cuando A es 24, B es 36. Resolución:

La tabla muestra los valores de dos magnitudes directamente proporcionales. x2

÷2

A 24 48 72 36 B 16 32 48 24 x2

A D.P. B

⇒

A 24 x : ⇒x=36 = B 36 81

÷2


29

Aritmética - 5to Sec. Ejemplo 3:

Ejemplo:

Se conoce la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales. Si a+b+c = 72, encuentra el valor de x-a.

La tabla muestra dos magnitudes inversamente proporcionales. x2 x2

M 10 20 40 8 N 60 30 15 75

b 16 12 8

÷2

÷2

Se cumple: 10x60 = 20x30 = 40x15 = 8x75 a

b

c

x Ejemplo 1:

Del gráfico:

8 12 16 b = = = a b c x

Halla a + b si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. A a a-10 a+20 B 20 30 b

Sumando antecedentes y consecuentes tenemos: 8 12 16 b 8+12+16 36 1 = = = = = = a b c x a+b+c 72 2 72

Resolución: Se cumple:

⇒ a = 16, b = 24, c = 32 Luego x = 48. Piden hallar x - a= 48 - 16 = 32 2 . Magn i t u d e s I N V E R S A m en t e Proporcionales (I.P.) Sean M y N dos magnitudes cuyos valores correspondientes se observan en la tabla: M m1 m2 m3 ... mk N n1 n2 n3 ... nk Si M es inversamente proporcional a N, se cumple m1n1=m2n2=m3n3=...mknk Gráficamente: n1

N

ax20 = (a-10)x30 = (a+20)xb Resolviendo: 2a = 3a - 30 ⇒ a = 30 Reemplazando: 30 x 20 = 20 x 30 = 50 x b Se obtiene: b = 12 Luego: a + b = 30 + 12 = 42 Ejemplo 2: Dos magnitudes inversamente proporcionales A y B son tales que A es 24, cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde a la magnitud A, cuando B aumenta 3 unidades. ¿Y qué valor cuando B disminuye 3 unidades? Resolución: A I.P. B ⇒ Valores de A x Valores de B = constante ⇒ 24 x 15 = a1 (15 + 3) = a2 (15 -3) Ejemplo 3: De acuerdo a la gráfica de dos magnitudes inversamente proporcionales mostradas, encuentra a + b.

n2 n3 m1 m2 m3

36

M

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, si el valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra magnitud se reduce a su mitad; si se triplica una de ellas la otra se reduce a su tercera parte, así sucesivamente. 30

6 a b

6

b+11


Aritmética - 5to Sec. Resolución:

Ejemplo 3: Una magnitud M es directamente proporcional a N y N es inversamente proporcional a Q3. Si cuando M es 4, N es 16 y Q es 3, halla Q cuando N y M sean respectivamente 2 y 4.

En el gráfico se cumple: 36 x b = 6 x 6 = a x (b + 11) 36 36 =a (1 + 11) Se obtiene b = 1, donde a = 3. Se desea hallar a + b = 3 + 1 = 4. 3.PROPIEDADES DE Proporcionales

Resolución: Si M D.P. N ⇒ N D.P. M2 (según propiedades)

M A G N ITUD E S

1. Si A D.P. B ⇒ B D.P. A A I. P. B ⇒ B I. P. A

N D.P. M2 Nx Q3 Luego = cte. ⇒ 3 M2 N I. P. Q

}

Luego:

16 x 33 2x X3 = 2 ⇒ X=6 42 4

2. Si A I. P. B ⇒ A D. P. 1/B EJERCICIOS RESUELTOS 3. Si A D.P. B ⇒ A D.P. B A I.P. B ⇒ An I.P. Bn n

n

4. Si A D.P. B ⇒ (cuando C es constante) y A D.P. C ⇒ (cuando B es constante) Se obtiene A D.P. B x C Ejemplo 1: A es D.P. a B y C, además cuando A es 24, B es 10 y C es 8. Calcula el valor de B si A es 15 y C es 12.

1) El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Se editarán 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas costando S/. 6.00 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas? a) S/.500 b) S/.800 c)S/.400 d) S/.700 e) S/.600 Resolución: cxn 6 x 2000 c2 x 1800 =k⇒ = p 400 360

Resolución: A D.P. B A D.P. C Se cumple

c2 = S/. 6.00

}A D.P. BxC

A = constante BxC 24 15 ⇒ X = 25 = 10 x 8 X x 2

Ejemplo 2:

Rpta.: e 2) Un superpanetón en forma de paralelepípedo pesa 2160 g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma, pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte es: a) 40 g b) 50 g c)60 g d) 70 g e) 80 g

A es directamente proporcional a B2 y a C. Si cuando A es 24, B es 2 y C es 3. Halla A cuando B sea 3 y C sea 2.

Resolución: El peso es D.P. al volumen

Resolución: A D.P. B2 A D.P. C

24 Luego 2 2 x3

}A D.P. B x C ⇒ 2

A = constante B2 x C

X = 2 ⇒ X = 36 3 x2


P 2160 = 2 (3a)(3b)(3c) abc

P =k V 3b

3c

3a

a

P1 = 2160 g

b c

P2 = ??

P2 = 80 g Rpta.: e 31


Resolviendo en clase 1) Si A es D.P. a B4 y cuando A = 48; B = 2. Calcula A cuando B =3. Rpta.: _______

4) El precio de una joya varía proporcionalmente con el cuadrado de su peso. Una joya de este tipo que cuesta S/. 24000 se rompe en dos pedazos que están en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida sufrida al romperse dicha joya? Rpta.: _______

2) La velocidad del sonido en el aire es D.P. a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si a 16°C la velocidad del sonido en el aire es de 340m/s, ¿cuál será la velocidad del sonido en el aire cuando la temperatura sea de 88°C?

5) Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3 C . Además cuando A es 14 entonces B = 64 y C = B. Halla A cuando B sea 4 y C sea el doble de B.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

3) E l s u e l d o d i a r i o d e u n e m p l e a d o v a r í a proporcionalmente al cuadrado del número de horas trabajadas. Si su sueldo mensual asciende a S/. 450, ¿cuánto dejaría de ganar si sólo trabaja 3/5 del número de horas normales? Rpta.: _______

6) Se sabe que A es directamente proporcional a B2 y B es inversamente proporcional a C. Halla x+y+z de la tabla mostrada. A 24 x 96 B y 3 4 C 9 6 z

2 1 3 Rpta.: _______

Para Reforzar 1) Si A es D.P. a B y cuando A = 6; B = 4. ¿Cuánto valdra A cuando B = 9? Rpta.: _______

4) Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro? Rpta.: _______

2) El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones?

5) "x" varía en razón directa a "y" e inversa al cuadrado de "z". Cuando x = 10, entonces y = 4, z = 14. Halla "x" cuando y = 16 y z = 7.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

3) El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos tiempo cuadruplicará su sueldo? Rpta.: _______

32

6) Sabiendo que "A" es D.P. a "B2" y que las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Halla "a + d". A 27 75 d 192 B a 5 4 8 Rpta.: _______



Para el profesor: 1

Para el alumno: 1

El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos si su rendimiento es como 8 y faltó 3 dias? a) S/.960 b) S/.1 080 c) S/.1 280

d) S/.1 440 e) S/.980

La eficiencia de un trabajo se mide en puntos y es D.P. a los años de trabajo e I.P. a la raíz cuadrada de la edad del trabajador. La eficiencia de Raúl es 2 puntos cuando tiene un año de trabajo y 25 años de edad. ¿Cuál será su eficiencia a los 36 años? a) 18 ptos. b) 25 ptos. c) 28 ptos.

d) 20 ptos. e) 22 ptos.


Clave: 2

Clave:

El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Si una casa ubicada a75 km cuesta S/.45000, ¿cuánto costará una casa del mismo material si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? a) S/.45 000 b) S/.22 500 c) S/.11 250

d) S/.90 000 e) S/.180 000

2

El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas y cuesta $6 por ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas?

a) $6 b) $8 d) $7

Resolución:

c) $4 e) $5

Resolución:

Clave:


Clave: 33

Aritmética - 5to Sec. 3 Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico:

3

Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico: A

P

16 a b

18 6 2 4

x y

Q

Halla "y - x". a) 12 b) 36 d) 20

c) 24 e) 30

Calcula "a + b".

1 4 16 B

a) 3 b) 5 d) 7

c)2 e) 4

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representados mediante el siguiente gráfico, halla "x". A aA AxB =k =k B 40 16 4

20

a) 10 b) 30 d) 15

x

B

Clave:

4

15 12 a

c)40 e) 50

Del gráfico, calcula "a + c".

20

a) 27 b) 32 d) 18

c c)41 e) 20


Clave: 34

Clave:



5

Conocida la gráfica, halla a + b.

Dado el siguiente gráfico, halla a + n.

2a

24

a

n 12 a

a) 50 b) 60 d) 80

b c) 72 e) 96

a-2 a

halla x.

a) 10 b) 12 d) 16

2a c) 14 e) 18


Clave: 6

Se tiene una rueda A1 que engrana con A2, la cual está unida mediante un eje con A3. ¿Cuántas vueltas da esta última si entre las ruedas A1 y A2 han dado 280 vueltas y el número de dientes de la rueda Ak está dado por Dk = (10k + 5)x2? a) 120 d) 155

b) 125

c) 150 e) 105

Clave: 6

Una rueda A de 64 dientes engrana con otra B de 72 dientes y ésta con otra C de 48 dientes. Si entre las tres dan 580 vueltas en un minuto, ¿cuántas vueltas dará A en 5 minutos?

a) 600 b) 750 d) 1200

c) 900 e) 1500


Clave:


Clave: 35


En la siguiente gráfica que relaciona magnitudes proporcionales; A y B son rectas y C es una hipérbola. Determina "m". si a+b+c+m= 60.

7

Dado el siguiente gráfico, halla x + y +z. N x

A

y z 4

B

2m m

6 9 18 C 4 a

b

a) 50 b) 60 d) 80

c

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

M c) 72 e) 96

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Dadas dos magnitudes A y B se observa que A es directamente proporcional a B para valores de A menores o iguales a 24 y B es inversamente proporcional a A cuando los valores de A son mayores o iguales a 24. Si cuando A = 6, entonces B = 14, calcula el valor de B cuando A es 168. a) 6 b) 8 d) 15

c) 12 e) 16

Clave:

8

Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D.P. a "C" e I.P. a B. Halla "A" cuando B = C2, sabiendo que si A=10, B=144 y C=15. Entonces a) 4 b) 8 d) 16

c) 12 e) 15

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

5

Regla de Tres

REGLA DE TRES

IP

Es un procedimiento aritmético que permite el calculo del valor de una cantidad mediante la comparación de dos o más magnitudes que guardan entre si una relación de proporcionalidad.

Magnitud A

Magnitud B

a

b

x= ?

c

Se presentan 2 casos:

REGLA DE TRES SIMPLE

Luego:

Regla de Tres Simple Directa Se da cuando las magnitudes en comparación, son directamente proporcionales. Sean las magnitudes A y B; además las cantidades; a, b, c: datos y «x»: incognita.

⇒

A × B = cte

a.b=x.c ∴x=

ab c

REGLA DE TRES COMPUESTA

DP Magnitud A

Magnitud B

a

b

x= ?

c

Luego:

⇒

A = cte B

IP Eficiencia

a m

a x = b c ⇒

ac ∴x = b

Regla de Tres Simple Inversa Se da cuando las magnitudes en comparación, son inversamente proporcionales.

IP

Nº de Obreros

DP

DP

Tiempo

Obra

Dificultad

b

c

d

e

n

p

q

r

 Nº de   Obreros  ( Eficiencia ) Tiempo   = cte ( Obra ) ( Dificultad )

(

)

Cumpliendose entonces:

Sean las magnitudes A y B; además las cantidades; a, b, c: datos y «x»: incognita.


a× b×c m×n× p = d×e q×r

37


Resolviendo en clase 1) Jaimito pintó las caras de un cubo en 40 minutos. Si ahora está pintado otro cubo cuyo lado en cada cara es el triple del anterior, ¿a qué hora terminará si empezó a las 10:40 a.m.?

4) Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 4 meses. Si con 108 obreros más lo harían en 40 días, ¿cuántos obreros hubieron al principio? Rpta: ________

Rpta: ________

2) Un artesano pensó hacer un trabajo en 6 días, pero tardó 8 días por trabajar 2 horas diarias menos. ¿Cuántas horas diarias trabajó? Rpta: ________

5) Un motor trabaja durante 10 horas al día por 15 días, consumiendo 40 galones de combustible. Si el motor funcionara por 20 días, a razón de 12 horas diarias, ¿qué cantidad de combustible consumirá? halla la respuesta en galones. Rpta: ________

3) Cien litros de un jarabe contiene 30 kg de azúcar. ¿Cuánto de agua hay que agregar para que se encuentre 2 kg de azúcar en cada 11 litros de jarabe?

6) En una guarnición, 24 hombres tienen víveres para 3 raciones diarias durante 15 días. Si se retiran 4 hombres y se sirven 2 raciones diarias, ¿para cuántos días más alcanzarán los víveres?

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Una fábrica de conservas con 12 máquinas tiene una producción mensual de 8400 latas. Si dos máquinas se malogran, ¿en cuánto disminuye la producción mensual de latas?

4) N obreros pueden hacer una obra en 20 días, pero con 2 obreros más entregarían la obra 4 días antes. Halla N.

Para Reforzar

Rpta: ________ Rpta: ________

2) Un grupo de 36 obreros demoran 45 días en terminar una obra. ¿Cuántos días antes habrían acabado si hubiesen trabajado 18 obreros más?

5) Ciento cincuenta obreros pueden hacer una obra de 240 m2 en 45 días. ¿Cuántos días necesitarán 160 obreros, cuyo rendimiento es la mitad de los primeros, para realizar 256 m2 de la obra?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Si compro 18 claveles me obsequian tres claveles. ¿Cuántos claveles debo comprar si necesito 280 claveles?

6) Un reservorio suministra 600 litros de agua por 8 días a 12 familias que habitan en un edificio. ¿Por cuántos días podrá abastecer a 16 familias con 900 litros?

Rpta: ________

Rpta: ________

38



Para el profesor:

Para el alumno:

1

Cuarenta y cinco obreros trabajando 10 horas diarias emplean 12 días para construir una casa. Si después de 4 días se enferman 15 obreros, y ahora los restantes trabajan dos horas diarias más, ¿con cuántos días de retraso se entregará la obra?

a) 10 b) 14 d) 8

Resolución:

c) 15 e) 2

1

Doce obreros tenían pensado hacer una obra en 21 días. Luego de seis días tres se retiran por enfermedad y no se les puede reemplazar. ¿Con cuántos días de retrazo se terminó la obra?

a) 3 b) 4 d) 6

Resolución:

Clave:

c) 5 e) 8

Clave:

2

Veinte obreros se comprometen realizar una obra en 27 días. Después de trabajar 8 días, se retiran 5 obreros y los que quedan duplican su rendimiento. ¿Cuántos días antes entregarán la obra?

2

Un trabajo puede ser hecho por 12 hombres en 39 días. Si después de 13 días, 4 hombres aumentan su rendimiento en un 25%, ¿en qué tiempo se hizo toda la obra?

a) 5 b) 7 d) 9

a) 38 días b) 37 días d) 35 días

Resolución:

c) 8 e) 10

Clave:


c) 36 días e) 39 días

Resolución:

Clave: 39


Una obra debía terminarse en 30 días empleando 20 obreros y trabajando 8 horas diarias. Después de 12 días de trabajo se pidió que la obra quedase terminada 6 días antes del plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron si se aumentó también 2 horas el trabajo diario?

3

Una obra debió de ser terminada en 60 días trabajando 10 obreros a razón de 5 horas diarias. Después de 12 días de empezada la obra, se reduce en una hora el trabajo diario y debe terminarse 8 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se tuvo que contratar?

a) 4 b) 24 d) 20

a) 3 b) 4 d) 6

Resolución:

c) 44 e) 6

Resolución:

Clave:

Clave:

4

Si 20 peones se demoran 21 días de 5 horas diarias de trabajo en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo se demoraran en sembrar un terreno de 40 m de lado y de una dureza 3 veces más que el terreno anterior, 30 peones doblemente hábiles?

a) 70 d) 66

Resolución:

b) 72

c) 74 e) 78

Clave: 40

c) 5 e) 10

4

Quince obreros pueden hacer un pozo en 12 días trabajando 8 horas diarias. ¿Qué tiempo emplearán 18 obreros en hacer otro pozo similar, pero en un terreno del doble de dificultad, si ahora trabajan 10 horas diarias?

a) 15 días d) 21 días

b) 18 días


Resolución:

Clave:



Veinte obreros y 5 aprendices pueden cavar una zanja de 9 m de largo, 9 m de ancho y 9 m de profundidad en 27 días a razón de 12 horas diarias, siendo la habilidad de los obreros como 5 y la de los aprendices como 3. ¿En cuánto tiempo 10 obreros y 10 aprendices cavarán una zanja de 48 m de largo, 12 m de ancho y 3 m de profundidad, trabajando 9 horas diarias y esforzándose sólo los 2/3 que los primeros?

5

Un grupo de 18 obreros cavaron un pozo de 12 metros de profundidad con 2 metros de diámetro en 15 días, trabajando 4 horas diarias. Si se quiere cavar otro pozo de 10 metros de profundidad y de 4 m de diámetro, ¿en cuántos días otros 30 obreros podrán acabarlo trabajando 6 horas diarias?

a) 12 b) 15 d) 20

a) 160 días b) 175 días d) 196 días

Resolución:

Resolución:


Clave: 6

Carla necesita 2 horas para terminar su trabajo en una computadora. Félix demora 40 minutos menos, trabajando en una computadora que es el doble de rápida que la que usa Carla. ¿En qué relación se encuentran los rendimientos de Carla y Félix?

a) 4/3 b) 3/4 d) 3/2

Resolución:

c) 2/3 e) 1/1

Clave:


c) 18 e) 24

Clave: 6

Un obrero que ha trabajado 30 días, ha hecho 60 m de cierta obra. ¿Cuánto tiempo emplearon 7 obreros para hacer 140 m de otra obra? (La dificultad del primer terreno respecto al segundo es como 2 a 3)

a) 10 b) 15 d) 25

c) 20 e) 30

Resolución:

Clave: 41


Un trabajo puede ser ejecutado por 20 mujeres en 30 días o por 15 hombres en 20 días. ¿Cuántas personas deben emplearse, para terminar el trabajo en 25 días, contratando igual número de hombres y de mujeres?


c) 14 e) 20

7

Para realizar una obra se puede elegir entre dos cuadrillas, la primera de 40 obreros que pueden terminar la obra en 15 días o la segunda de 30 obreros que puede terminar en 18 días. Si se emplean 30 obreros de la primera y 18 obreros de la segunda, ¿en cuantos días terminarían la obra?


Clave:

Clave:

8

Dos hombres y 3 mujeres realizan el sembrado de un terreno en 24 días, pero 3 hombres y 2 mujeres pueden hacerlo en tres días menos. ¿Cuántas mujeres podrían sembrar dicho terreno en 28 días?

a) 4 b) 5 d) 7

Resolución:

c) 6 e) 8

c) 15 e) 20

8

En un determinado distrito, 30 hombres y 20 mujeres pueden cosechar 24 hectáreas de trigo en 36 días. Después de 9 días de trabajo, se retiran 5 hombres y 10 mujeres. ¿En cuántos días más terminarán de cosechar si el trabajo de un hombre equivale al de dos mujeres?

a) 30 d) 40

Resolución:

Clave:

b) 32

c) 36 e) 45

Clave:




Capítulo

6

Tanto por Ciento

Se llama tanto por ciento de un número, al número de centésimas partes del número. Tanto por ciento: % Luego

Ejemplo 1:

a%=

a 100

Ejemplo 1: Dada una cantidad, la suma de su 20 % y 30% excede al 10% de su mitad en 135. Halla la cantidad indicada. Resolución: N: cantidad indicada

1 20 20% = = 5 100 1 25 25% = = 100 4 64 16 64% = = 100 25

20% (N) + 30% (N)-10% ( N )= 135 2 = (20 + 30)%N - (10 x 1 )% N 2 = 50% N - 5% N = (50 - 5)% N 45 = 45% N= N=135 ⇒ N=300 100

Ejemplo 2: ¿Cuál es el 20% de 720? 20% de 720 = 20% (720) 20 = (720) = 144 100 Ejemplo 3: ¿Cuál es el 75% de 420? 75% de 420 = 75% (420) =

75 (420) = 315 100

a % de N =

a (N) 100

Ejemplo 2: La suma de un número con su 20% equivale al 75% de 2000. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea N el número buscado, entonces: N + 20% N = 75% (2000) 100%N + 20% N = 75% (2000) 120% N = 75% (2000) 120 N = 75 (2000) De donde N = 1250

OPERACIONES CON TANTO pOR CIENTO

Relacion parte - todo en %

1.1. a% N ± b % N = (a ± b)% N 1.2. a x (b%N) = (a x b) % N 1.3. a(m%N±n%N) = am%N±an%N 1.4. Para todo N = 100% N Si N aumenta a%, se obtiene (100 + a)% N Si N disminuye b%, se obtiene (100 - b)% N

Para determinar que tanto por ciento de B es A, se puede proceder como sigue.


Lo que hace de parte A x100% Lo que hace de todo B 43

Aritmética - 5to Sec. casos particulares Porcentaje de porcentaje

Ejemplo 1: ¿Qué tanto por ciento es 24 de 120?

a % del b% de N = a% (b%(N)) 24 x 100%=20% 120 se encuentra acompañado de la palabra «de»

Ejemplo: Indica los siguientes porcentajes: a. 20% del 10% de 320 20% x 10% x 320

Ejemplo 2:

20 10 = x x 320 = 6,4 100 100 b. 18% del 15% del 50% de 400 18% x 15% x 50% x 400 50 18 15 = x x x 400 = 5,4 100 100 100

¿Qué tanto por ciento de 400 es 180? 180 x 100%=45% 400

Descuentos y aumentos sucesivos

de

(*)Dos descuentos (aumentos) sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento (aumento) único de: Descuento único:

Ejemplo 3: ¿Qué tanto por ciento más de 40 representa 50?

Du = (a + b -

ab )% 100

Aumento único:

Resolución:

Au = (a + b +

Primero se determina qué tanto por ciento representa. 50 x 100%=125% 40

ab )% 100

Ejemplo1 : Indica el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del: a. 20% y 10% Du = (20+10 - 20x10)%=28% 100 b. 18% y 15% Du = (18+15-18x15)%=30,3% 100

⇒ El tanto por ciento demás es 125% - 100% = 25%. ∴ Representa un 25% más.

Ejemplo 4: A una reunión asistieron 80 personas, de ellos 24 son mujeres y el resto son varones. Determina: a) ¿Qué tanto por ciento del total son mujeres? b) ¿Qué tanto por ciento del número de varones es el número de mujeres?

Ejemplo 2: Indique el aumento único equivalente a dos descuentos sucesivos del: a. 10% y 40%

Resolución:

Au = (10 + 40 + X=

44

24 x 100%=30% 80 del

10 x 40 )% = 54% 100

b. 16% y 25% Au = (16 + 25 +

16 x 25 )% = 45% 100


Aritmética - 5to Sec. APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO Aplicaciones comerciales

Ejemplo 3: Si después de efectuar una venta se ganó 250 soles, ¿cuál es la ganancia neta obtenida si se debe cubrir los gastos efectuados en la venta los cuales representan el 18% de la ganancia bruta?

En la venta de un artículo Pv: Precio de venta Pc: Precio de costo G: Ganancia (Pv >Pc) P: Pérdida (Pv < Pc)

Resolución:

Pv = Pc + G Pv = Pc - P Las ganancias y pérdidas se expresan como un tanto por ciento de los precios, generalmente del precio de costo. Ejemplo 1:

Se conoce GB = GN + g 100% GB = GN + 18% GB ⇒ (100-18)% (250) = GN Se obtiene

GN = 205 soles

Ejemplo 4:

Si se vendió un artículo en 240 soles ganando el 20% de costo, ¿cuánto costó el artículo? Resolución:

Un objeto se ofrece en 240 soles, pero al momento de venderlo se le rebaja un 15%. ¿Cuánto se gana si su costo es 190 soles? Resolución:

Pv = Pc + G 240 = 100%Pc + 20%Pc 240 = (100 + 20)% Pc = 120% Pc 120 240 = Pc ⇒ Pc = 200 soles 100

Ejemplo 2: Un distribuidor vende un objeto a S/. 540 con una pérdida del 10% del costo. ¿De cuánto es la pérdida? Resolución: Pv = Pc - P 540 = 100%Pc - 10%Pc 540 = (100 - 10)% Pc = 90% Pc 90 540 = 100 Pc ⇒ Pc = S/.600

Pf = 240 se le rebaja 15% Pventa=240 - 15% (240) =85% (240) = 204 soles También Pv =Pc + g 204 =190 + g Se gana 204-190= 14 soles Variaciones porcentuales Es la variación porcentual que sufre una cantidad a causa de los aumentos o disminuciones porcentuales de las cantidades de los que depende. Ejemplo 1: Sea M = a x b. Si a aumenta 25%, ¿qué porcentaje debe de variar b para que M no varíe? Observación 1

Pérdida: 600-540=S/.60=10% (600) Esquema

Precio Fijado

Precio venta real

- Descuentos

Precio de costo

+ Ganancia


Para los casos donde la ganancia indicada es la ganancia bruta, y se efectúan gastos (g) se tiene: GB: Ganancia bruta GN: Ganancia neta g: Gastos GB = GN + g

45

Aritmética - 5to Sec. Resolución: Valores Iniciales

a1 ,

Valores Finales

a2 , b2

b1 1) En una aplicación de multiplicación, si el multiplicando aumenta en x% y el multiplicador disminuye en x%; el producto disminuye en 4%. Halla "x". a) 30 b) 15 c) 12 d) 10 e) 20

Donde a 1 x b1 = a 2 x b2 = M a1 x b1 = (a1 +25% a1)b2 a1 x b1 = 125% a1 x b2 125 5 b1 = b2 = b2 100 4 4 De donde b2 = 5 b1 = 80% b1

Resolución: Sean m y n los factores:

m(1+x%)n(1- x%)=mn(1- 4%) 100 + x 100 - x 96 x = 100 100 100

Se observa que b debe disminuir en un 20%. Ejemplo 2:

1002 - x2 = 9600

x = 20

Si el radio de un círculo aumenta un 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?

Rpta.: e

Resolución:

⇒

Area círculo = π Radio2 A1 = π R12 (inicialmente)

El radio aumenta en 50% y se convierte en 150%

A2 = π R22 = π(150% R1)2

A2 = π ( 32 R1)2 = π 49 (R1)2

⇒

A2 = 2,25π R12 = 225% A1

2) Un comerciante compra sillas a S/.32 cada uno. Anuncia su venta a P soles, de modo que cuando haga un descuento de 20% a sus clientes resulte ganando 20% sobre el precio real de venta. ¿Cuál es el valor de P? a) 38,4 b) 46 c) 50 d) 60 e) 64 Resolución: C

V

P

El área inicial aumentó en un 125%. 32 G=20%V 20%P V = 80%P

Observación 2 Si al precio fijado a un artículo se le hace un descuento al momento de su venta.

32 + 20% (80%P)= 80%P 32= 64%P P = 50 Rpta.: c

Pf: Precio fijado o precio de lista PvR: Precio de venta real D: Descuento PvR = Pf - D

46

3) Una persona compra un terreno y lo vende ganando 1/5 del precio de compra. Si la venta la hubiese realizado incrementando el precio en 10%, entonces su ganancia se hubiese incrementado en: a) 10% b) 25% c) 30% d) 50% e) 60%



Resolución:

Precio Costo 5k ganancia: k=100% Precio Venta 6k

Produce: 3000 kg Pierde: 20% (3000) = 600 kg Vende: 2 400 kg

Si precio Venta: 6, 6k Ganancia: 1,6 = 160% Rpta.: e 4) Cuando se fotocopia página por página, de un libro numerado del 1 al 1992, se obtiene un descuento del 20% por las páginas que son múltiplos de 3. Si el precio normal de cada fotocopia sola es S/.0,05, ¿cuánto se pagó en total? a) S/.96,18 b) S/.92,96 c) S/.50,56 d) S/.86,32 e) S/.89,64

Precio de costo: S/.14400 Costo: S/.14400 Ganancia: 25%(14400) = 3 600 Precio de venta: S/.18000 Precio de kilogramo 18000 =7,5 soles 24000 Precio de venta: 125% (14400) Peso a vender: 80% (3 000) precio por kilo

Resolución: 1,25(14400) =S/.7,5 0,8(3000)

Múltiplos de 3: 3; 6; 9; ...; 1 989; 1 992

Rpta.: b

Estos son en total: 664 páginas y los no 3° son: 1 992 - 664 = 1 328 Costos: 1328 x 0,05 + 664 x 0,05 x 0,8 = S/.92,96 Rpta.: b 5) Una fábrica produce en un mes 3 toneladas de espárragos a un costo de 14 400 soles. Si se pierde el 20% de la producción por falta de calidad, ¿a cuánto tiene que vender el kilo para ganar el 25%? a) S/.8,7 b) S/.7,5 c) S/. 9,3 d) S/.9,3 e) S/.6,

La Madre de todas las Batallas Lewis Carrol, matemático y escritor británico, cuyo verdadero nombre era Charles Lutmidge Dogson. Se le conoce principalmente por su obra «Alicia en el país de las maravillas» , en la cual manifiesta su interés por lo absurdo, los acertijos y la confusión. Un problema que se atribuye a él es el siguiente: "En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo, el 75% una oreja, por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna. ¿Cuántos por lo menos perdieron los 4 órganos?


47


Resolviendo en clase 1) En cierto momento de una fiesta el 60% de los hombres están bailando y el 20% de las mujeres no bailan. Si en total fueron 350 personas, ¿cuántos bailaron ese momento? Rpta: ________

2) A un cliente en una tienda se le concede un descuento del 20% sobre el precio del un artículo, luego va y lo compra en otra consiguiendo un descuento del 25% sobre el mismo repuesto, consiguiendo un ahorro de S/.35. ¿Cuánto costaba el repuesto?

4) Cinco pantalones y veinte sacos cuestan S/.490. Si el precio del pantalón disminuye en 10% y el precio del saco disminuye en 5%, el costo de 5 pantalones y 20 sacos sería S/.457. ¿Cuánto cuesta un saco y un pantalón? Rpta: ________

5) Al vender una cocina en $170 se perdió el 15% del costo. ¿Cuál fue el precio de costo? Rpta: ________

Rpta: ________

3) El 50% de A es igual al 30% de B. ¿Qué tanto por ciento de "5A + 7B" es "A + B"?

6) Se vendió un artículo en S/.450 ganándose el 25% del costo. ¿Cuál sería el precio de venta si se quiere ganar el 40% del costo?

Rpta: ________

Rpta: ________

1) De un conjunto de 800 personas, el 75% son hombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres fuman, ¿cuántas personas no fuman de dicho conjunto de personas?

4) Si cada una de las dimensiones de un paralepípedo aumentara en 20%, 50% y 40%, ¿en cuánto aumentariá su volumen?

Para Reforzar

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Una señora lleva 3000 naranjas al mercado y encuentra que el 20% está malogrado y sólo pudo vender el 70% de los buenos. ¿Cuántas naranjas quedaron sin vender?

5) Si compré un televisor en $240 y lo quiere vender ganando el 30% del costo, ¿cuál es el precio de venta?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Si a es el 25% de c y b es el 40% de c, ¿qué parte de b es a?

6) Pedro vendió su bicicleta en $150 ganando el 25% de lo que le costó. ¿Cuánto pagó Pedro por la bicicleta?

Rpta: ________

Rpta: ________

48



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 80% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 60 veces obteniendo 42 triunfos. ¿Cuál es el mínimo número de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar? a) 25 b) 30 d) 20 Resolución:

c) 15 e) 50

1

El 10% del agua de mar es sal. ¿Cuánto litros de agua dulce se debe añadir a 80 litros de agua de mar para que la concentración de la sal sea de 4%?

a) 80 litros b) 110 litros d) 120 litros

Resolución:

Clave:

c) 90 litros e) 100 litros

Clave:

2

Si Juan gastara el 30% del dinero que tiene y ganase el 28% de lo que le quedaría perdería S/156. ¿Cuánto tiene Juan inicialmente?

2

Gasté el 60% de lo que no gasté. Si inicialmente tenía S/.320, ¿con cuánto me quedaría si volviera a gastar 50% más de lo que gasté al inicio?

a) S/.1400 b) S/.1500 d) S/.1700

a) S/.120 b) S/.180 d) S/.15

Resolución:

Resolución:

c) S/.1600 e) S/.1800

Clave:


c) S/.30 e) S/.20

Clave: 49


Un mayorista vende computadoras en $700, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo de cada computadora? a) $560 b) $480 d) $490

Resolución:

3

¿A qué precio se debe vender un reloj que costó S/.255 si se quiere ganar el 15% del precio de venta? a) S/.320 b) S/.300 d) S/.310

c) $540 e) $504

Resolución:

Clave: 4

Clave:

Se vende un lote de objetos de la siguiente manera: - El 50% ganando el 20%. - El 60% del resto perdiendo el 30% ¿Qué porcentaje sobre el resto del lote debe ganarse para que la ganancia total sea el 7%? a) 36% b) 30% d) 40%

4

c) 35% e) 28%

50

"A" vende un objeto a "B" ganando el 20%, "B" vende el objeto a "C" ganando el 25%, "C" vende el objeto a "D" perdiendo el 10% y "D" vende el objeto a "E" ganando el 40%. Si "E" pagó S/.1134 por el objeto, ¿cuánto ganó "A" en la venta de dicho objeto? a) S/.100 b) S/.135 d) S/.200

Resolución:

Clave:

c) S/.306 e) S/.380

c) S/.120 e) S/.150

Resolución:

Clave:



Si el precio de un producto se rebaja en un 20%, ¿en qué tanto por ciento hay que aumentar el nuevo precio para volverlo al precio original?

a) 20% d) 40%

Resolución:

b) 25%

c) 30% e) N.A.

5

Pedro tiene una casa que vale $100 000 y se la vende a Juan con una ganancia del 10%. Juan revende la casa a Pedro con una pérdida del 10%, siendo así:

a) Pedro no gana nada b) Pedro gana $11 000 c) Pedro pierde $9 000 d) Pedro gana $10 000 e) Pedro pierde $10 000

Resolución:

Clave:

Clave:

6

Se vendieron tres refrigeradoras en $660 cada una. En la primera se ganó el 20%, en la segunda se ganó el 10%, ¿qué tanto por ciento se ganó en la tercera, sabiendo que en total se ganó $330?

6

Se vende dos filmadoras en $720 cada una. En una de ellas se gana el 20% del costo y en la otra se pierde el 20%. ¿Cuánto se ganó o perdió en esta venta?

a) 20% d) 32%

a) Se ganó $60 c) Se ganó $80 e) N o se ganó ni perdió

Resolución:

Resolución:

b) 16%

c) 18% e) 40%

Clave:


b) Se perdió $60 d) Se perdió $80

Clave: 51


Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en 40% y al momento de venderlo se hace una rebaja del 10% del precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del precio de costo se gana finalmente? a) 30% b) 20% d) 25% Resolución:

c) 24% e) 26%

7

A un artículo cuyo precio de lista es el 180% del costo se le hace una rebaja del 25%. ¿Cuál es el porcentaje de utilidad con respecto al costo?

a) 25% b) 50% d) 22,5%

Resolución:

Clave:

Clave:

8

Un objeto costó S/.2400. ¿Qué precio se fijó para su venta al público, sabiendo que si al venderlo se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20% todavía se gana el 20% del costo?

a) S/.3000 b) S/.3600 d) S/.2500

Resolución:

c) S/.4000 e) S/.2000

c) 35% e) 40%

8

Un técnico compró un televisor en $200. ¿Qué precio tiene que fijar para su venta teniendo en cuenta que aún haciendo al comprador una rebaja del 20% sobre el precio fijado todavía gana un 25% sobre el precio que el costó el aparato?

a) $275 b) $325 d) $235,5

Resolución:

Clave:

c) $287,5 e) $312,5

Clave:




Capítulo

7

Interés

1. Concepto

Para el tiempo se considera: Un año comercial de 360 días. Un mes comercial de 30 días. Un año común de 365 días. Un año bisiesto de 366 días.

Se denomina interés a la ganancia obtenida por el préstamo de una determinada cantidad de dinero durante un cierto tiempo y bajo condiciones previamente señaladas en la tasa de interés. La regla de interés es el conjunto de procedimientos que permiten el cálculo del interés con los elementos previamente señalados.

2.4. Monto (M) Es el valor que resulta de sumar el capital prestado el interés ganado, al término del prestamo. Monto = Capital + Interés

2. elementos 2.1. Capital (C) Es el dinero que ha sido prestado, impuesto o depositado en una entidad financiera.

Ejercicio 1 Se ha prestado S/.750 por un año, recibiendo un interés de S/.300. ¿Qué monto se ha obtenido y qué tanto por ciento se está ganando (tasa)?

2.2. Tiempo (t) Es aquel que señala la duración del prestamo expresado en años, meses o días.

Resolución:

2.3. Tasa de interés (r)

Interés=300

Es el indicador que señala la ganancia a recibir por el préstamo del capital, generalmente expresado como un tanto por ciento del capital prestado y en un período de tiempo señalado.

tiempo=1 año

Se obtiene un monto de 1050.

Ejemplo:

Interés

Tasa de interés del 20% anual indica que en un año se debe de ganar 20 unidades monetarias de cada 100 prestadas. Tasas equivalentes

Monto= 750+300=1050 (se recibe)

gana

  

Capital=750 (se presta)

r%=capital×100%=

300 ×100%=40% 750

3. interés simple

Tasa 10% mensual<>tasa 30% trimestral<>tasa 120% anual Tasa 12% mensual<>tasa 36% trimestral<>tasa 144% anual Tasa 4% mensual<>tasa 12% trimestral<>tasa 48% anual


Aquel en el cual el capital permanece constante durante todo el tiempo que dura el préstamo. El valor del interes simple ganado por el préstamo de un capital C, durante t años, impuesto a la tasa del r% anual, está dado por: I = Cr% t ... (1) 53

Aritmética - 5to Sec. Ejercicio 2 Se deposita 5000 soles en un banco a la tasa del 10% anual durante 2 años. ¿Qué monto se recibirá al cabo de dicho tiempo? Resolución:

Según el interés ordinario:

2920×18×60 = S/.87,6 36000

Según el interés exacto:

I = 5000 × 10%(2) = 1000 soles El monto recibido: M = 5000+1000 =6000 soles

I=

I=

2920×18×60 = S/.86,4 36500

Para realizar cualquier transacción, la norma bancaria es el sistema que utilizan los bancos para calcular el interés mediante el interés ordinario con el número exacto de días.

Observación

5. interÉs compuesto

Para utilizar únicamente la expresión (1) se debe de tener en cuenta que la tasa de interés y el tiempo deben de estar en las mismas unidades de tiempo.

El interés obtenido en un determinado período se agrega al capital para formar un nuevo capital, para el siguiente período. Este proceso se llama capitalización. Ejemplo:

4. cálculo de días transcurridos En el caso que el tiempo está dado en días, se utiliza los días que tiene el calendario.

Se presta S/.1000 capitalizable anualmente al 10% anual durante 3 años. ¿Qué interés se gana? Interés +100

Ejemplo:

Abril: Utiliza 30 días Mayo: Utiliza 31 días 25 de junio: Utiliza 25 días

Abril

Mayo

Junio

C4=1331

1 año 1 año 1 año 1.er año 2.° año 3.er año

  

  

  

Para obtener el monto final, que resulta de prestar un capital C, a una tasa del r%, durante n períodos de capitalización se utilizará:

+ 30 + 31 + 25 93 días

M=C(1+r%)n

Ejemplo: ¿Cuál es el interés producido por un capital de S/.2920 prestado al 9% semestral, desde el 20 de julio hasta el 18 de septiembre?, considerando a.- Interés ordinario b.- Interés exacto

Donde la tasa y el número de períodos de capitalización deben de estar en las mismas unidades de la capitalización. Ejemplo:

Resolución:

Halla el monto de un capital de S/.6000 colocado al 12% de interés compuesto anual durante 3 años.

Calculando el número de días.

Resolución:

20 julio

18 septiembre

Julio 11

Agosto +

31 60 días

54

C3=1210

El interés ganado es 1331–1000=331 soles.

25 junio

   7

C2=1100

Tasa 10% anual ⇒ Al tercer año el nuevo capital formado es 1331 soles.

24 marzo

Marzo

C1=1000

Interés +121

        

¿Cuántos días hay desde el 24 de marzo al 25 de junio? 24 de marzo: El mes de marzo posee 31 días, como han transcurrido 24, faltan 31-24=7 días.

Interés +110

Setiembre +

18

n

3

r 12 M=C 1+  ⇒ M=6000 1+  100  100   M= S/.8429,568


Aritmética - 5to Sec. 6. tasas equivalentes Dos tasas son equivalentes cuando, dentro de períodos de capitalización diferentes, se cumple: nxm

r/m = 1+   100

Resolución:

  

Donde m es el número de períodos de capitalización en un año.

5

2 ×5

n

Si prestamos S/.2000 al 16% capitalizable trimestralmente durante 3 años, ¿cuál será el monto? Resolución: M=C 1+

nxm

r/m 100

Donde 1 año<>4 trimestres

3

n

4. Se deposita 2500 al 20% anual, capitalizable trimestralmente durante 6 meses. Determina el interés ganado.

⇒ m = 4 períodos de capitalización

Resolución:

3x4

16/4 M=2000 1+  = 2000(1,04)12=3202  100

20% anual <> 5% trimestral 6 meses <> 2 trimestres

Se recibe S/.3202 de monto.

Capitalización trimestral M=2500(1+5%)2=2756,25

1. ¿Qué interés se gana al prestar S/.2500 por 6 meses al 10% bimestral?

⇒ I = 2756,25 - 2500. Se gana un interés: I = 256,25

Resolución: Se puede calcular de varias maneras: a) 6 meses <>3 bimestres; tasa 10% bimestral I=2500×10% (3)= S/.750 b) 6 meses;10% bimestral<>5% mensual. I=2500×5% (6)= S/.750

5. Un capital depositado al 8% anual capitalizable semestralmente por un año, origina un monto de 8112 soles. ¿Qué interés se gana?

c) 6 meses<>1 semestre; 10% bimestral<>30% semestral. I=2500×30% (1)= S/.750 2. Halla el monto que produce S/.400 impuestos al 18% capitalizable cuatrimensualmente por 2 años y 8 meses. Resolución: El tiempo indicado se expresa como fracción de un año: 2

2 años 8 meses <> 2+ 8 años= 8 12 3

  

n

⇒ 53 = 125 = 5 ⇒ 5 = 5 4 4 (22)3 100  4 ∴ n = 3 años

Ejemplo:



n

n

r 25 M=C 1+  ⇒15625=8000 1+  100 100    6 3 6   

n

 1+ r   100

3. ¿Al cabo de qué tiempo un capital de S/.8000 se convierte en S/. 15625, cuando ha sido colocado al 25% de interés compuesto anual?

Resolución: 8% anual <> 4% semestral 1 año <> 2 semestres Capitalización semestral M=C(1+4%)2=8112⇒ C= S/.7500. El interés ganado: 8112 - 7500= S/.612

3

8 año 12

También 1 año<> 3 cuatrimestres. 8 x3

⇒M=C1+r/m ⇒M=400 1+18/33  100  100 nxm

M=400(1,06)8 ⇒ M=S/.637,54


55


Resolviendo en clase 1) Se depositan S/.4000 a una tasa de interés del 0,8% quincenal. ¿Qué interés producirá en cinco quincenas? Rpta: ________

4) Si un capital de $239200 es dividido en tres partes para imponerlas al 50%, 45% y 55% respectivamente, resulta que producen el mismo interés. Halla la parte impuesta al 45%. Rpta: ________

2) Un capital impuesto al 20% trimestral de interés simple se convirtió al cabo de ocho meses en S/.49680. ¿Cuál fue el capital?

5) La octava parte de un capital se depositó al 35%. Los 3/7 del resto al 40% y el saldo a cierta tasa que permitió obtener una utilidad anual de 45% sobre dicho capital, ¿a qué tasa se colocó el saldo?

Rpta: ________

Rpta: ________

3) ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de interés anual, si los intereses producidos equivalen a la décima parte del capital?

6) Luis coloca un capital al 25% y Pedro el suyo al 12% observándose que a los cinco años los montos obtenidos son iguales. Si el capital de Pedro excede en S/.780 al capital de Luis, calcula la suma de capitales.

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Karina depositó en el banco de Lima S/.3000 a una tasa de interés simple del 2% mensual. ¿Cuánto ganará en dos años?

4) Un capital se presta al 50%. ¿En qué tiempo produce el 25% del monto? Rpta: ________

Rpta: ________

2) ¿Qué suma de dinero se debe depositar al 10% anual, para que en dos años y medio se convierta en S/.3750? Rpta: ________

5) Los 2/5 de un capital se prestan al 30% y el resto se presta a una tasa de manera que ambos capitales para un mismo tiempo producen el mismo interés. ¿Cuál es la tasa desconocida? Rpta: ________

3) Un capital se impone al 5% mensual. ¿En qué tiempo se quintuplicará?

6) La diferencia de los capitales es S/.15000. Si se impone el mayor al 4% anual y el menor al 12% y luego de 18 meses los intereses son iguales, ¿cuál es el capital mayor?

Rpta: ________

Rpta: ________

56



Para el profesor: 1

Para el alumno:

¿A qué tasa mensual debo imponer mi dinero sabiendo que tengo S/.1200 y dentro de ocho meses debo comprar un artefacto que actualmente cuesta S/.1400 y que al cabo de dicho tiempo su precio aumentará en un 20%? a) 5% b) 17,5% d) 15% Resolución:

c) 10% e) 12%

1

Si un capital depositado a una tasa anual del r % produce un interés que representa el 18% del capital en cuatro meses, halla r.

a) 48% b) 58% d) 60%

Resolución:

Clave:

c) 50% e) 54%

Clave:

2

Se tiene dos capitales tales que los 3/4 del primero igualan a los 4/5 del segundo. Si colocamos al 9% trimestral durante 4 meses los 2/3 del primero y a la mitad del segundo se obtendrá S/.3270 como renta total. Halla el capital menor.

2

Se sabe que S/.54000 es la suma de los capitales de dos personas. La primera impone su dinero al 4% durante tres meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda persona imponiendo el suyo al 5% durante 6 meses. Indica el capital menor.

a) S/.20500 b) S/.22500 d) S/.25000 Resolución:

a) S/.8000 b) S/.7200 d) S/.12000 Resolución:

c) S/.24000 e) S/.20000

Clave:


c) S/.6000 e) S/.9000

Clave: 57


Un capital es impuesto al 0,2% diario durante 10 meses y produce S/.2784 más que si se pusiera al 0,2% mensual durante el mismo período de tiempo. Halla el capital.

a) S/.4000 b) S/.3200 d) S/.4200

c) S/.4800 e) S/.3600

3

Un capital impuesto al 1% mensual de interés simple produce anualmente 300 soles más que si se impusiera al 10% anual. Halla dicho capital.

a) S/.6000 b) S/.24000 d) S/.20000

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Clave:

Un capital depositado al 12% anual ha producido un interés equivalente a 1/9 del monto. ¿Cuántos días duró el depósito?

a) 300 b) 325 d) 365

Resolución:

c) 350 e) 375

Clave: 58

c) S/.10000 e) S/.15000

4

Un capital se divide en tres partes iguales las cuales se imponen al 14%; 17% y 19% anual. ¿Al cabo de cuánto tiempo producirá un interés igual al capital?

a) 2 años b) 5 años d) 8 años

Resolución:

c) 4 años e) 6 años

Clave:



Se prestó un capital por un año y el monto fue S/.5500 pero si se hubiera prestado por dos años sería S/.6000. ¿Cuál sería el monto en cuatro años?

5

Hace 6 meses se impuso un cierto capital, cuyo monto actual es S/.6200. Si dentro de un año el monto será S/.8600, ¿cuál fue la tasa de interés?

a) S/.12000 b) S/.7000 d) S/.6500

a) 20% d) 48%

Resolución:

Resolución:

c) S/.9000 e) S/.8000

b) 38%

Clave: 6

Un capital de S/. 3450 se divide en dos partes. La primera se deposita al 15% y la segunda al 12%, y resulta que al cabo de un año los intereses obtenidos están en la relación de 2 a 3. Halla la menor de las partes en la que fue dividido el capital.

a) S/.1000 b) S/.2500 d) S/.2250

Resolución:

c) S/.1200 e) S/.1450

c) 42% e) 60%

Clave: 6

Dos capitales que suman S/.14300 son impuestos, uno al 12% y el otro al 10%, durante el mismo tiempo, produciendo igual interés. ¿Cuál es el menor capital?

a) S/.6000 d) S/.7800

Resolución:

Clave:


b) S/.7200

c) S/.6200 e) S/.6500

Clave: 59


Se ha colocado los 3/8 de un capital al 8% anual y el resto al 6% anual. Si al cabo de medio año el capital más el interés total suman S/. 41350, ¿cuál es la suma depositada al 6%?

a) S/.36000 b) S/.20000 d) S/.16000

Resolución:

c) S/.40000 e) S/.25000

7

Los 5/7 de un capital colocado al 3% produce anualmente S/.420 más que el resto colocado al 4%. ¿Cuál es el capital?

a) S/.28000 b) S/.56000 d) S/.42000

Resolución:

Clave:

Clave:

8

La relación de dos capitales es de 4 a 11. La relación entre los intereses producido después de algún tiempo es de 7 a 22. Si el segundo capital está impuesto al 16% anual, ¿cuál es la tasa de imposición del primer capital?

a) 14% b) 16% d) 12% Resolución:

c) 10% e) 15%

c) S/.63000 e) S/.40000

8

Un capital se deposita al 20% semestral durante 18 meses. Si el mismo capital se hubiera depositado al 18% trimestral durante 20 meses, ¿cuál sería la relación de los intereses obtenidos?

a) 1/2 d) 2/5

Resolución:

Clave:

b) 2/3

c) 3/4 e) 3/5

Clave:




Capítulo

8

Estadística

Definición

Distribución de Frecuencias

Es una ciencia que nos porporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos en forma adecuada con el fin de realizar una teoría de decisiones más efectivas.

Consiste en distribuir los datos de la muestra de clase o categorías e ir colocando el número de datos que caen en cada intervalo.

Clases de Estadística Estadística Descriptiva Es la parte de la estadística que trata de recopilar, clasificar, presentar y describir datos estadísticos. Estadística Inferencial Es la parte de la estadística cuyo objeto de estudio es investigar cómo deben ser utilizados los datos para producir resultados o probar alguna hipótesis.

Definiciones Previas Alcance (A): Es el intervalo definido por los datos extremos (mayor y menor valor). Rango o Recorrido (R): Es la longitud de alcance que resulta de la diferencia entre el mayor y menor valor. Intervalo de clase o categoría (Li): Son grupos que resultan de dividir el alcance o recorrido; el número de grupos (K) se determina por la regla propuesta por Sturges.

Observación:

La diferencia entre la estadística descriptiva y la inferencial es que la segunda usa el cálculo de la probabilidad.

Población:

Es un conjunto de datos referentes a determinadas características de un grupo de individuos o elementos. Ejemplo: La edades de los alumnos de la UNI. Muestra Es el subconjunto tomado al azar de los elementos de una determinada población. Ejemplo: Las edades de los alumnos de la facultad de Mecánica.

K = 1 + 3,32 logn (redondeando al entero superior e inferior según convenga). Donde: n: número total de datos disponibles. Ancho de Clase (w): Es la diferencia que hay entre los extremos de cada intervalo de clase. Ejemplo: Sea el intervalo [Li ; Li+1〉 W = Li+1 – Li también : W =


R K 61

Aritmética - 5to Sec. Marca de clase (x): Son los puntos medios de los intervalos de clase. Ejemplo: Sea el intervalo [Li ; Li+1〉

xi =

Li+Li+1 2

Problema aplicativo:

73 67 69 76 79 47 70 58 79 64

67 57 76 77 70 82 85 67 88 46

67 59 52 94 68 70 70 68 67 63

60 57 69 77 72 67 73 66 54 84

61 77 72 93 63 80 58 86 56 74

Calculando el alcance: Dato mayor : 94 Dato menor : 46

A = [ 46 ; 94 ]

Calculando el Rango:

xi

3 3 [ 46 ; 53 〉 3 3 50 50

49,5

10 7 [ 53 ; 60 〉 7 10 50 50

56,5

16 6 [ 60 ; 67 〉 6 16 50 50

63,5

35 19 19 35 50 60

70,5

43 8 [ 74 ; 81 〉 8 43 50 50

77,5

47 4 [ 81 ; 88 〉 4 47 50 50

84,5

50 3 [ 88 ; 95 〉 3 50 50 50

91,5

[ 67 ; 74 〉

Se tiene los pesos de 50 estudiantes de la UNI con una aproximación de 1 kg.

Li ; Li+1 Tabulación fi Fi hi Hi

Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi): Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas. Ejemplo: Suponiendo «k» intervalos. F1 = f1 F2 = f1 + f2 F3 = f1 + f2 + f3  F(k) = f1+f2+f3+...+fk=n Donde

R= 94 – 46 = 48

n : número de intervalos.

Fi=

i

∑f

j

j=1 Donde :

i = 1, 2, 3, ..., k

Calculando el número de intervalos: Si n = 50; (n = número de datos)

Frecuencia Relativa Acumulada (H) Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias relativas.

K = 1 + 3,32 log(50) = 6,61 ≅ 7

Calculando el ancho de clase:

R W= K

48 = = 6,86 ≅ 7 7

Con los siguientes datos encontrados haremos una tabla de distribución de frecuencia. Frecuencia Absoluta (fi): Es el número de datos que caen dentro de cada intervalo de clase. Frecuencia Relativa (hi): Viene a ser el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. f hi= i n 62

H1 = h1 H2 = h1 + h2 H3 = h1 + h2 + h3  H(k)= h1+h2+h3+...+hk=1

j

Hi=

∑h

j

j=1 Donde :

i = 1, 2, 3, ... k

Calculando las frecuencias absolutas Del conjunto de datos se puede observar cuantos de éstos caen en cada intervalo de la distribución de frecuencias; este número de datos se irá colocando en sus respectivos casilleros hasta llenar toda la columna. Calculando las frecuencias absolutas acumuladas F1 = 3 F2 = 3 + 7 F3 = 3 + 7 + 6 F4 = 3 + 7 + 6 + 19 F5 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 F6 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4 F7 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4 + 3


Aritmética - 5to Sec. Calculando las frecuencias relativas

3 h1= 50

6 h3= 50

8 h5= 50

3 h7= 50

Preferencia

N.° de Personas

Expresado Expresado en grados en porcentajes

h 2=

7 50

h4=

19 50

Aritmética (A)

60

Álgebra (X)

20

48°

h6=

4 50

Geometría (G)

30

72°

Trigonometría (T)

40

96°

Total

144°

3 50

13,3 % 20 % 26,7 %

150

150 360° 60 x



60 . x = 360°

= 144°

150

En porcentaje: 360° 100% 144° y

7 3 H2 = 50 + 50



H3 =

6 7 3 + + 50 50 50

H4 =

3 7 19 6 + + + 50 50 50 50

H5 =

6 3 7 19 8 + + + + 50 50 50 50 50

H6 =

7 6 19 8 4 3 + + + + + 50 50 50 50 50 50

144° . y= 100% 360°

13

Diagrama escalonado

6 2 4

8

12 16

Gráficos Histograma: Son diagramas de barras o rectángulos cuyas bases son los intervalos de clase y las alturas las frecuencias absolutas o relativas.

Porcentajes

G 20%

Histograma Polígono de Frecuencia

4

8

12 16

20


A 40% X 13,3%

144° 72° 48°

Ii

Ii

20

T 26,7%

fi 7 6 5 4 3 2 1

= 40%

Diagrama Escalonado: Son diagramas similares al histograma, con la diferencia de que las alturas son frecuencias absolutas o relativas acumuladas. Fi Ojiva 20 17

4 3 7 8 3 6 19 H7 = + + + + + + 50 50 50 50 50 50 50

0

40 %

En grados:

Ca l c u l an d o l a s f re c u en c i a s relativas acumuladas H1 =

Gráfico de Sectores

Grados

96°

63

Aritmética - 5to Sec. • Moda (Mo):

Medidas de Tendencia Central (Estadígrafos) Describen el comportamiento del grupo de valores en estudio de una característica de la muestra. Así tenemos para datos no clasificados: MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS NO CLASIFICADOS

• Media (Ma): Llamada también «promedio aritmético» o media aritmética de los datos. Ejemplo: Las notas del joven Antonio en su primer ciclo en la UNI en Matemática I, fueron: 8, 12, 10, 11

Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos. A una distribución que tiene una sola moda se le denomina unimodal. Si hubiese más de dos valores no adyacentes con frecuencias máximas similares; la distribución es multimodal, bimodal, trimodal, etc. Ejemplo: Las edades de los alumnos ingresantes a la facultad de Ingenería Mecánica fueron:

de 16 años de 17 años de 18 años de 19 años de 20 años de 21 años de 22 años

por lo tanto la moda de edades será 18.

Que se han repetido:

Media, Mediana y Moda para datos clasificados

2, 1, 2 y 3, veces

• Media Aritmética(Ma)

Su nota media o promedio será: 8(2)+12(1)+10(2)+11(3) = 10,125 8

Σxh i=1

• Mediana (Me): El valor mediano o mediana de un conjunto de valores o datos es aquel que tiene la propiedad de dividir al conjunto en 2 partes igualmente numerosas. Si el número de elementos fuese par hay 2 elementos en el centro y como mediana tomamos el promedio de ambos. Ejemplo: Se observó que el coeficiente de inteligencia de 5 alumnos de la UNI, los cuales están ordenados de mayor a menor, son: 220

180

110

110

100

Ejemplo:

i i

i

=

10 10

14

27

por lo tanto la mediana será: 14 + 27 = 20,5 2

30

32

i=1 n

Ejemplo: xi fi [Li ; Li +1〉 6 1 [5 - 7〉 [7 - 9〉 8 5 [9 - 11〉 10 4 [11 - 13〉 12 6 [13 - 15〉 14 2 [15 - 17〉 16 2 Total 20

xifi 6 40 40 72 28 32 218 218 =10,9 20

• Mediana (Me) Me = Lm + Wm

Para dictar la clase de aritmética poseo 6 tizas de diferentes colores, cuyos pesos, ordenados de menor a mayor, son:

64

i

Ma =

por lo tanto la inteligencia mediana de los alumnos será de 110.

k

Σxf

Ma = n

Antonio aprobó el curso.

25 alumnos 32 alumnos 46 alumnos 23 alumnos 40 alumnos 27 alumnos 12 alumnos

m -f 2 m-1 Fm

Donde: Lm: Límite inferior de la clase mediana. Wm: Ancho de la clase mediana. m: Número total de datos. fm-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana. Fm: Frecuencia absoluta de la clase mediana.


Aritmética - 5to Sec. Ejemplo: [Li - Li +1〉 xi fi [ 4 0 0 0 4200〉 80 80 [4200 - 4400〉 120 200 [4400 - 4600〉 125 325 [4600 - 4800〉 99 424 [4800 - 5000〉 88 512 [5000 - 5200〉 78 590 [5200 - 5400〉 10 600 Total 600

1) En una empresa se realizó una encuesta sobre las edades de los empleados, obteníendose:

Clase mediana: Aquel que supera por primera vez a la mitad del número de datos.

Edades

N° de empleados

[25; 30>

60

[30; 35>

75

[35; 40>

120

[40; 45>

85

[45; 50>

60

[4400 - 4600〉 Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años o más y B es el porcentaje de empleados con menos de 45 años Halla: A+B.

Me=4400+200 600 - 200 =4560 2 125

Resolución:

• Moda (Mo)

Empleados con más de 30 años: f2+f3+f4+f5=75+120+85+60=340

d1 d1 + d2

Mo = Lo + Wo

⇒ A=

Donde: Lo: Límite inferior de la clase modal. Wo: Ancho de la clase modal. d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase anterior. d2: Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia de la clase siguiente.

340 x100%=85% 400

Empleados con menos de 45 años: f1+f2+f3+f4=60+75+120+85=340 ⇒ B=

340 x100%=85% 400

⇒ A+B=85%+85%=170%

Ejemplo: [Li ; Li -1〉

fi

[20 - 30〉 [30 - 40〉 [40 - 55〉 [55 - 65〉 [65 - 85〉

2 10 8 6 2

Total

28

d1 d2

Rpta.: 170%

2) Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de 450 familias: Ingreso [ ;

Clase modal: Aquel que posee la mayor frecuencia absoluta. [30 - 40〉

d1 = 10 - 2 = 8 d2 = 10 - 8 = 2 Mo = 30 + 10

>

[240; > [ ;

>

[ ;

>

[ ; 400> 8 = 38 8+2


f

F a

80 2a+40

5a

a-20

Si el ancho de clase es constante, ¿cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 300 y 380 soles? 65


Resolución:

Se cumple: 240+4w=400 w=40

De la ojiva se forma la tabla:

También: f1=Fi=a F3=fi+f2+f3 ⇒ 5a=a+80+2a+40 a=40 5

También: ∑ fi=450 i=1

Sueldos

Fi

fi

[10; 20>

30

30

[20; 30>

70

40

[30; 40>

120

50

[40; 50>

180

60

[50; 60>

200

20

En [20;40> hay 40+50=90, lo que corresponde a [40;45> lo averiguamos mediante una interpolación.

⇒ 60+80+160+f4+40=450 f4=110

[40;45> → x [40;50> →60

En la tabla:

=30 } x= 60(45-40) 50-40

Entonces entre 20 y 45 hay 90+30=120

Ingreso

fi

[200; 240>

60

[240; 280>

80

[280; 320>

160

[320; 360>

110

[360; 400>

40

fi

f3 = 160 f4 =110 f5 = 40

54

Rpta.: 120

}

Entre 300 y

4) El histograma muestra la distribución de frecuencias de las edades de los ingresantes a cierta facultad. ¿Qué porcentaje de ingresantes tienen entre 18 y 22 años?

380 soles.

36 280 300 320

360 380 400

80

27

20

80+110+20=210

8

Rpta.: 210

0

15 17

19 21

23 Edades

Resolución: 3) La siguiente ojiva muestra las frecuencias absolutas acumuladas correspondientes al ingreso diario (en soles) de un cierto número de empleados.

I

fi

hi (%)

[15; 17>

36

28,8%

[17; 19>

54

43,2%

[19; 21>

27

21,6%

200

[21; 23>

8

6,4%

180

Total 125

N.° de empleados

120

43,2%

70 30

17 18 19

6,4%

21,6%

21 22 23

De 18 a 22 se tendrá: 0 10 20 30 40

50

60 Ingresos

¿Cuántos empleados ganan entre 20 y 45 soles? 66

43,2% 6,4% +21,6%+ =46,4% 2 2

Rpta.: 46,4%


Aritmética - 5to Sec. 5) Las notas de 7 alumnos son: 08, 09, 10, 11, 08, 12, 14 un alumno aprueba si su nota es mayor que la media o que la mediana. ¿Cuántos aprobaron?

7) En el siguiente gráfico de frecuencias: fi 20

Resolución: x=

8+9+10+11+8+12+14 =10,28 7

8

Me : se ordena las 7 notas: 8; 8; 9; 10; 11; 12; 14

4 0

Término central Me = 10

14

x

16

Resolución: Llevando a una tabla:

Rpta.: 3

Ii xi [0, a〉 a/2 [a, 12〉 (12+a)/2 [12, 14〉 13 [14, 16〉 15

6) Conocida la siguiente distribución de frecuencias relativas acumuladas: Hi a 2a 4a 7a 11a 12a

12+a a (4)+ 8+13x20+15x8 2 2 ⇒ x= 40

Resolución:

Como: x = 11,9 Se obtiene: a = 8

xi fi 3 10 4 12 5 18+x 6 18+y 7 4 8 8 9 15 10 10

clase mediana clase modal

Para el cálculo de x, Me y Mo, basta tomar la relación en que aparecen: hi (ó fi) y Hi (ó Fi) 1(6)+1(10)+2(14)+3(18)+4(22)+1(26) = 17,6 i) x = 1+1+2+3+4+1 ii) Me = 16+ 4x (12/2 - 4) = 18,6 3

(x - y)= 1

Total: 100

Resolución: fi = 100 = x1 + x2 +...+x8 Se obtiene: x+y = 5 ... (α) Como la moda es impar, debe corresponder Mo = 5 donde x > y, luego x - y = 1 ... (β)

4x (4 - 3) = 21 (4 - 3)+(4 - 1)

1 Luego: x +Me + Mo = 57 = 57,3 3

Rpta.: 8

8) Si la moda de la variable aleatoria x es un número impar, halla la M.A.

De la tabla se forma: Relación hi Relación Hi 1 1 1 2 2 4 3 7 4 11 1 12

fi 4 8 20 8

Total 40

Calcula la suma de la media aritmética, la mediana y la moda.

iii)Mo = 20+

12

Si la M.A. es 11, 9, halla "a".

Las notas aprobatorias son: 11; 12 y 14

Ii [4; 8〉 [8; 12〉 [12; 16〉 [16; 20〉 [20; 24〉 [24; 28〉

a

De (α) y (β):

Rpta.: 57,3


x=3∧y=2 Σ xifi 630 x= = = 6,3 Σ fi 100 Rpta.: 6,3 67


Resolviendo en clase Enunciado: La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales en, soles, de 80 empleados de la compañía “SARITA S.A.” Salario (soles)

Número de empleados (fi)

[100; 110> [110; 120> [120; 130> [130; 150> [150; 160> [160; 170>

Fi

hi

4) C o m p l e t a l a s i g u i e n t e tabla de distribución de frecuencias e indica qué tanto por ciento del total tienen edades desde 20 hasta 33 años.

Hi

0,20 0,45

24 14 6

0,10

[ , 24>

0,30

[ , 30> 40 [ , 36> 20

Rpta: ________

0,15

8 12

fi hi Fi

Edades [12, 18>

5) De la siguiente tabla de distribución de frecuencias, calcula: f2-f1+n

74

n=80

1) La frecuencia absoluta de la tercera clase es: Rpta: ________ 2) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 150 y 160 soles? Rpta: ________ 3) ¿Qué porcentaje de trabajadores gana menos de 130 soles? Rpta: ________

6) Para el siguiente gráfico: ¿Qué se puede afirmar si la persona tiene un ingreso de S/. 300? I. La persona gasta S/. 135 en educación. II. G a s t a i g u a l e n vivienda y en ropa. III.En alimentación gasta S/.50.

0,1

[20, 30> [30, 40>

0,3

[40, 50> 25

Rpta: ________

Completa el cuadro y responde:

fi hi Fi Hi

Clases [10, 20>

0,8

[50, 60> 20

Ropa 36° Otros 54°

Vivienda 10% Alimentación 20%

Educación 45%

Rpta: ________

Para Reforzar Enunciado: Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un ministerio, de acuerdo a su ocupación. xi

fi

Ocupación

N.° de personas

Administradores

120 50 80 90 60 n=400

Ingenieros Abogados Obreros Secretarias

Fi

hi

I

fi hi Fi Hi

[100, 150> 50 [150, 200>

0,30

[200, 250> [250, 300>

0,95 5

Rpta: ________ 5) Dada la siguiente distribución de frecuencia halla: f1+f3+F4 Rpta: ________

Completa la tabla y responde las siguientes preguntas: 1) ¿Cuál es la frecuencia relativa de los abogados? Rpta: ________ 2) Halla el porcentaje de administradores. Rpta: ________ 3) Halla F3. Rpta: ________ 68

4) El siguiente cuadro corresponde al ingreso semanal (en soles) de cierto número de obreros. Calcula cuántos empleados se estima que ganan entre S/.125 y S/.260.

Ii

fi Fi hi Hi

[10, 20>

0,1

[20, 30> [30, 40> 24 [40, 50> 30

0,3 0,85

[50, 60>

6) El gobierno decide destinar Alimentación una suma de S/. 400000 para 45% el desarrollo de un pueblo de la selva, la cual será invertida 20% sólo en educación, vivienda y alimentación. Si el diagrama Vivienda circular muestra como se ha Educación distribuido el dinero. ¿Cuánto se ha destinado a la Rpta: ________ educación?



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias e indica el valor de f1+F3. Ii

fi

Fi

[20-30> [ -40> [ -50> 20 [ -60> 10 50 Total

hi

1

En el siguiente cuadro de frecuencias:

Hi

0,08 0,40

a) 24 b) 40 d) 34

Resolución:

c) 50 e) 44

Ii

Fi

[20-30> [30-50> [50-80> [80-90> Total

9 12 11 40

8

Determina la suma de las frecuencias relativas del primer y tercer intervalo de clase.

a) 0,36 b) 0,50 d) 0,45

Resolución:

c) 0,60 e) 0,55

Clave: 2

Observa el siguiente histograma de frecuencias y completa la tabla de frecuencias que está debajo. 20

Clases

17

0–5

xi

fi

2

Dado el siguiente histograma: fi 19

Fi

15 12 8 6

5 – 10

10

10 – 15

4

Clave:

Ii

15 – 20

5 10 15 20 25

Calcula x3 + f5 + F4 + n.

a) 135 b) 136 d) 138

Resolución:

50 70 80 100 110 125

20 – 25

c) 137 e) 139

Clave:


Determina la frecuencia relativa del segundo intervalo de clase.

a) 20% b) 25% d) 30%

Resolución:

c) 27% e) 32%

Clave: 69


Del gráfico, halla la media, mediana y moda. Da como respuesta su suma.

3

fi

El siguiente diagrama muestra el número de alumnos que llegaron tarde la semana pasada al colegio MENTOR.

12

fi 1 N.° de alumnos

10

40

8

30

5

25

2

Yi 2

4

7

a) 21 b) 20,8 d) N.A.

20

9 10

c) 20,4 e) 20,6

0

Lun Mar Mier Jue Vie

3) ¿Cuántas tardanzas se registraron en toda la semana?

Resolución:

a) 120 b) 115 d) 145

Resolución:

Clave: 4

Clave:

Luego de un examen, las notas de once alumnos fueron: 04; 06; 09; 10; 11; 13; 11; 14; 11; 12 y 15 Calcula la suma de la mediana y la moda.

a) 20 b) 30 d) 32

c) 22 e) 24

4

Dado el siguiente conjunto de datos: 6; 8; 13; 4; 12; 12; 8; 7; 4; 13; 15; 7; 8 Calcula la media aritmética, moda y mediana.

a) 6; 8; 9 b) 6; 9; 9 d) 9; 8; 10

Resolución:

c) 9; 8; 8 e) 10; 9; 8

Resolución:

Clave: 70

c) 130 e) 150

Clave:



En la siguiente distribución:

5

Edades (años)

En la siguiente distribución: Edades (años)

fi

20 22 24 26 28

fi

10 6 11 7 12 8 13 4 14 12 15 3

5 4 6 3 2

Halla el promedio entre la mediana y la moda.

calcula la suma de la media, mediana y moda.

a) 23 b) 25 d) 22

a) 36 b) 38,45 d) 38,65

Resolución:

Resolución:

c) 23,6 e) 24

c) 36,65 e) 20,25

Clave: 6

Dada la distribución: Ii [35;45>

Clave: 6

Determina la moda de la siguiente distribución:

fi 4

Ii [0;1>

fi 3

[45;55>

8

[1;2>

10

10

[55;65>

[2;3>

17

[65;75>

15

[3;4>

13

8

[75;85>

[4;5>

5

Determina la suma de la media, mediana y moda.

a) 199,6 b) 204,1 d) N.A.

Resolución:

c) 201,2 e) 202,6

a) 2,43 b) 2,65 d) 2,56

Resolución:

Clave:


c) 2,35 e) 2,25

Clave: 71

Aritmética - 5to Sec. 24) 7 Dada la distribución:

25) 7 Se muestra la frecuencia de la cantidad de bolas metidas en 2 horas por Renzo y sus amigos:

fi 5 12 18 14 6 3

Ii [35;45> [45;55> [55;65> [65;75> [75;85> [85;95>

halla la mediana.

a) 61,67 b) 61,84 d) 62,21

Resolución:

Ii [10 - 20> [20 - 30> [30 - 40> [40 - 50> [50 - 60]

c) 60,54 e) 59,72

Calcula la mediana.

a) 43 b) 46 d) 47

Resolución:

fi 2 3 5 8 12

Clave: 8

Clave:

El siguiente cuadro muestra la ojiva de frecuencia relativa acumulada porcentual de las notas de un examen de ingreso a la UNI. ¿Qué porccentaje de alumnos obtuvieron una nota entre 9 y 15? Hi

c) 46,25 e) 47,25

8

Dado la siguiente ojiva acerca de las edades de cierto número de alumnos. ¿Qué porcentaje tienen entre 10 y 15 años? Hi

%

a

100 95

0,55 0,45

65 50 30

0,25 0,10

4

8

12

16

a) 32,75% b) 33,75% d) 33,25%

Resolución:

20

Notas

c) 23,79% e) 33%

años

a) 22% b) 18% d) 23%

Resolución:

7 12 17 22 b

Clave:

c) 21% e) 20%

Clave:




Capítulo

Conjunto y Operaciones entre Conjuntos

CONJUNTO

3. Determinación de Conjuntos

El término CONJUNTO es aceptado en matemáticas como un "CONCEPTO PRIMITIVO", es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.

Ejemplos:

9

Existen dos formas de determinar un conjunto.

3.1. POR EXTENSIóN Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto. Ejemplos:

i) El conjunto de los días de la semana. ii) El conjunto de profesores Cepreupla iii) El conjunto de los números 3; 5; 12 y 18.

A = {a; m; o; r} B = {1; 3; 5; 7; 9} 3.2. POR COMPRENSIóN

1. Notación

Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, ..., etc. y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplos: A = {x/x es una letra de la palabra aroma} B = {x/x es un número impar menor que 10}

Ejemplos: A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Néstor, Ricardo} C = {3; 5; 12; 18}

3.3. POR DIAGRAMAS DE VENN - EULER Se escriben los elementos encerrados en figuras geométricas. Ejemplos:

2. Relación de Pertenencia (∈) Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "PERTENECE" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "∈", en el caso de no pertenecer por "∉". Ejemplo:

A

a e i o u

B

1 2 0 3 4

Dado el conjunto, A = {2; 5; 7; 8} Entonces:

2 ∈A 4 ∉A 7 ∈A


73

Aritmética - 5to Sec. 4. Conjuntos Especiales 4.1. CONJUNTO VACíO O NULO Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por:φ o {}. Ejemplos: A = {x/x es un número par terminado en 5}→ A = {} B = {x/x es un hombre vivo de 200 años} → B = {} 4.2. CONJUNTO UNITARIO

A = {x/x ∈ N ∧ 6
Ejemplos:

4.3. CONJUNTO UNIversal Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra U.

A = {1, 2, 3} B = {-1, 0, 4}

un conjunto universal para A y B podría ser U = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} pues los elementos de A y B están en U. 4.4. CONJUNTOS NUMéRICOS * Los Números Naturales N = {1; 2; 3; 4;...} * Los Números Enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} * Los Números Racionales. Q = { a /a∈Z, b∈Z, b≠0} b Q = {2/3, -1/5, 4/7, -3/8, 9/4,...}

Los Números Irracionales I = {x/x tiene expresión decimal no periódica} I = { 2, 3, π, e,...}

Los Números Reales R = {x/x es racional o irracional} R=Q∪I 74

* A = {3; 4; 7; 9; 13} ⇒ n(A)=5 se lee "el cardinal de A es 5" * B = {a, b, c, a, a} = {a, b, c} ⇒ n(B)= 3

6.1. Igualdad Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A =B.

Ejemplos:

Si:

Ejemplos:

6. Relaciones entre conjuntos

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo:

5. Cardinal de un Conjunto Sea A un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n (A)

A = {2; 3; 4} B = {x/x ∈N, 1
Propiedades i) A ⊂ A, ∀A (∀A, se lee: para todo conjunto A) ii) A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ C iii) ⊂ A, ∀A importante!! En diagramas de Venn - Euler B A

1. 3. 2.

4. 5.


Aritmética - 5to Sec. Diagrama lineal

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

El que A ⊂ B se representa por:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

B A

Unión

Intersección

Diferencia

Ejemplos: Por ahora se considerará:

Diferencia Simétrica

Complementación

C

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

Unión o reunión (∪)

R I

Q Z N

Dados dos conjuntos A y B , se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos a la vez. Notación: A ∪ B = {x/x ∈A ∨ x ∈ B} (∨: se lee "o" ) Ejemplo:

7. Conjunto Potencia Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P (A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Ejemplo:

Sean los conjuntos:

Entonces

A = {1; 2; 3; 6} B = {2; 4; 6; 7; 8} C = {4; 7; 8}

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} B ∪ C = {2; 4; 6; 7; 8} A ∪ C = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}

Gráficamente:

Si A = {2; 5}; entonces: P(A) = {φ; {2};{5};{2,5}} siempre es un subconjunto ∀A.

A 1

Nota: Un conjunto finito A tiene como cardinal n (A).

3

Se cumple: n[P(A)] = 2n(A) Donde: n[P (A)] es el número de elementos del conjunto potencia o número de subconjuntos del conjunto A.

2 6

B

B

4

2

7

4

8

C

7

6

AUB

BUC C

A

Ejemplo:

8

1

Si n (A) = 5 ⇒ n[P(A)] = 2n(A) =25 = 32 Es decir, A tiene 32 subconjuntos.

3

4

2 7

6

8

AUC PROPIEDADES: Las mas importantes son: i) A∪B = B∪A ii) A∪A = A iii) A∪φ = A iv) A∪U = U


(Conmutativa) (Idempotencia)

75

Aritmética - 5to Sec. Intersección (∩)

Diferencia (-)

Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir, es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B.

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A. Notación: A - B= {x/x∈A∧x∉B}

Notación: A ∩ B = {x/x ∈A ∧ x ∈ B} (∧: se lee "y" ) Ejemplo :

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6} B = {2; 4; 6; 7; 8} C = {4; 7; 8} entonces: A ∩ B = {2; 6} B ∩ C = {4; 7; 8} A ∩ C = {}

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6} B = {2; 4; 6; 7; 8} C = {4; 7; 8} entonces: A - B = {1; 3} B - C = {2; 6} A - C = {1; 2; 3; 4}

Gráficamente:

Graficamente: A 2 6

1 3

B

4

A

7 8

2 6

1 3

A∩B

B

4 7 8

A-B B 2 4

8

C

7

B

6

2 4

B∩C

8

C

7

6 C

A 1 3

6

B-C

4

2 7

8 C

A A∩C = ∅ PROPIEDADES: Las más importantes son: i) A∩B = B∩A ii) A∩A = A iii) A∩φ = φ iv) A∩U = A 76

1 3

4

2 7

6

8

A-C


Aritmética - 5to Sec. Complemento de un Conjunto (AI; Ac)

Gráficamente:

Dado un conjunto A que está incluido en el universo incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que están afuera de A, pero dentro de universo.

A

3

Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A = {1; 3; 4; 7; 8} entonces: A' = {2; 5; 6} Gráficamente

Gráficamente:

1 2

8

PROPIEDADES: Las más importantes son: i) A ∆ B = B ∆ A ii) A ∆ A = φ iii) A ∆ φ = A iv) A ∆ U = A'

A

6

3

7

A∆B

Ejemplo :

A

2 64

1

Notación: A' = AC = {x/x ∈U ∧ x ∉ A}

U

B

B

4

B

A

8

7

A

5

B

A' PROPIEDADES: Las más importantes son: i) (A')' = A ii) φ' = U iii) U' = φ

iv) v)

A ∪ A' = U A ∩ A' = φ

Leyes de Morgan: (A ∪ B)' = A' ∩ B' (A ∩ B)' = A' ∪ B'

A∆B Número de Elementos de un Conjunto Si A es un conjunto finito, n(A) representa el número de elementos del conjunto A, llamado también cardinal de A. Ejemplo:

Diferencia Simétrica (∆)

Dados los conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A - B o B - A.

A = {a; b; c; d; e}, entonces n(A)=5 B = {1; 2; 3; 4; 3; 1}, entonces n(B)=4

Notación: A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) También: A ∆ B =(A ∪ B) - (A ∩ B) Ejemplo: Sean los conjuntos: entonces:

A = {1; 2; 3; 4; 6} B = {2; 4; 6; 7; 8}

A - B = {1, 3} B - A = {7, 8} A ∆ B = {1; 3, 7, 8}

Propiedades del número de elementos de un conjunto: Si A y B son dos conjuntos finitos se cumple: 1. n(A∪B) = n(A)+n(B) - n(A∩B) 2. n(A - B)= n(A) - n(A∩B) 3. Si A∩B = φ, entonces:


n(A∪B) = n(A)+n(B)

77

Aritmética - 5to Sec. 3) Si A∪B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A∩B = {3; 5; 7} halla n (A ∆ B) 1)

Dado A = {1 ; 1 ;{1} ; ø} da el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. P(A) tiene cuatro elementos. II. {ø}∈ P(A) III. ø ∈P(P(A))

a) VVV b) VVF d) FVV

c) VFV e) FFV

Resolución: Se sabe: A ∆ B = (A∪B) - (A∩B) A ∆ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} {3; 5; 7} A ∆ B = {1; 2; 4; 6; 8} Luego: n(A ∆ B) = 5 4) Si: n [P(A∪B)]=256 n [P(B)]=32 n [P(A)]=16 halla n (B ∆ A)

Resolución: El conjunto "A" es: A = {1; {1};ø}→ n(A) =3 Luego: n [P(A)] = 2n(A) =23 =8 Donde: P(A) = {{1}; {{1}}; {ø};{1;{1}}; {1,ø}; {{1}; ø}; {1; {1}; ø};ø} Entonces: {ø} ∈ P(A) Ahora por teoría: Si: ø ⊂ P(A) → ø ∈ P (P(A)) con lo que tendremos: I. Falsa II. Verdadera III. Verdadera Rpta.: d

Resolución: Si:

n [P(A∪B)]=256 ⇒ n(A∪B)=8 n [P(B)]=32 ⇒ n(B)=5 n [P(A)]=16 ⇒ n(A)=4

Luego:

4

5

A

B x

y

z

8 2)

x+y+z=8 x+y=4 ⇒ z=4 y + z = 5 ⇒ x = 3

Determina por comprensión: A = {1; 4; 27; 256;...} a) {x2 /x ∈ N ∧ x ≠ 0} b) {x2 /x ∈ Z ∧ x ≠ 0} c) {xX /x ∈ N ∧ x ≠ 0} d) {x /x ∈ N} e) {2x -1/x ∈ N}

Nos piden n (B ∆ A), es decir, las zonas "x" y "z": x+z=7

Resolución: Analizando la secuencia formada por los elementos se llega a: 1 ; 4 ; 27 ;

256 ; ...

11

44

5) De 500 alumnos del colegio MENTOR, se sabe que 140 practican full contact, 160 practican karate y 220 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican ambos deportes? U = 500

Resolución: F=140 x

22

33

Rpta.: c 78

y

z 220

Luego la fórmula que tiene una característica común a los elementos será: ax = xx ; x ∈N. Entonces el conjunto A queda determinado por: {xx / x ∈N ∧ x ≠ 0}

k=160

Se sabe: x + y + z + 220 = 500 x + y + z = 280

además: x + y = 140 ⇒ z = 140 y + z = 160 ⇒ y = 20

Luego nos piden ambos deportes (y): y = 20



Resolviendo en clase 1) Dado el conjunto: A = {a;{a};{∅};∅} ¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas? (1) {a}⊂ A ∧ {a} ∈A (2) {a}⊂ A ∧ {{a}} ⊂ A (3) {∅}⊂ A ∧ {{∅}} ∈A (4) ∅ ⊂ A ∧ ∅ ∈A (5) {a, ∅}⊂ A ∧ {{∅},{a}} ⊂A Rpta: ________

2) Dados los conjuntos A, B y C, subconjuntos del conjunto de los números naturales. A = {(2x -1)/x ∈ N ∧ 2

Halla: n(A)+n(B) - n (C)

Rpta: ________

3) Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario M = {aa + b; 2a+b; 9} halla: a x b Rpta: ________

4) Sean los conjuntos iguales: A ={a3+2;20} B = {29, b5-4a} halla a2 + b2.

5)

Dados A y B n (P (A ∪ B)) = 512 n (A) - n (B) = 2 n (A ∩ B) = 5 halla n (B)

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Dados: U = Z+ A = {x/x∈Z, 4< x < 8} B = {x/x es divisor de 12} C = {x/x es impar menor que 8} halla el cardinal de: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C') Rpta: ________

Para Reforzar 1) Dado el conjunto: A = {3,{6},{3,6}, 4, ø} ¿cuántas proposiciones son verdaderas? * ø ∈A * {ø} ⊂ A * {6} ∈ A *ø ⊂A * {{6}}∈ A * ø ∈A *4⊂A * {3,{6}}⊂ A * {3,6}⊂ A Rpta: ________

2) Determina por extensión el conjunto "A" e indica el número cardinal de dicho conjunto. x3 - x A= / x ∈Z ∧-3 < x <4 x-2

{

}

Rpta: ________

3) Si "A" es unitario, halla (2y-x). A={x+y;25;3x-2y}

Rpta: ________


4) Sean los conjuntos iguales: A = {a2+1;12} B = {a - b;17} ¿cuál puede ser el valor de a+b? Rpta: ________ 5)

Dados A y B n [P(A ∩ B)] = 32 n (A) - n (B) = 1 n (A ∪ B) = 14 halla n (A - B) Rpta: ________

6) Dados: U = Z+ A = {x/x es divisor de 15} B = {x/x∈Z, 3< x < 7} C = {2x/x∈N, 0< x < 5} halla el cardinal de: (A ∩ B) ∪ (B ∩ C') Rpta: ________

79


Para el profesor: 1

Para el alumno:

Indica cuántos subconjuntos propios tiene B si: B ={ 3x+1 ∈ Z / x ∈ Z; 3 ≤ 5x - 2 ≤ 18} a) 31 b) 7 c) 3 d) 63 e) N.A.

1

Indica cuántos subconjuntos propios tiene: A = {x/x∈Z; -7<4x+1<21} a) 64 b) 15 d) 31

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Clave:

Siendo los conjuntos: A={a+b; 7; b+c2} y B={a+3} donde "A" es unitario e igual a "B". Halla la suma de los valores que toma (a+b+c). a) 8 b) 14 d) 16

c) 63 e) 16

c) 10 e) 12

2

Si el conjunto: A= {5x+3y+5;2x+7y+12} es unitario, halla 9x-12y. a) 7 d) 28

b) 14 c) 21 e) Falta conocer "x" e "y"


Clave: 80

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 3 Halla el cardinal del conjunto N, sabiendo que tienen 2016 subconjuntos más que el conjunto M, que tiene 5 elementos. a) 9 b) 12 d) 11

3

Sabiendo que n(A)-n(B)=4 y además entre A y B tienen 544 subconjuntos, halla n(A)+n(B). a) 12 b) 10 d) 11

c) 10 e) N.A.

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

c) 14 e) N.A.

Sean tres conjuntos A, B y C, tales que: A - C = {d, f} C - B = {b, e} B ∩ C = {a, c} A ∩ C= φ A ⊂ B Halla n (C) a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5

Clave:

4

Resolución:

Dados A, B y C, tales que: A - B = {1, 2} C - B = {7, 8, 9} A ∩ B = {3} A ∩ C= φ Halla n (A) a) 2 b) 1 c) 5 d) 4 e) 3

Resolución:

Clave:


Clave: 81


En una encuesta realizada a un grupo de 600 estudiantes se supo que 250 son buenos en ciencias, 220 son buenos en humanidades y 100 son buenos en ambos. ¿Cuántos estudiantes no son buenos en ciencias ni en humanidades? a) 100 b) 230 c) 250 d) 240 e) 220

5

Durante el mes de Enero, Juan salió a pasear con Ana o Betty. Si 16 días paseo con Ana y 22 días con Betty, ¿cuántos días paseo con ambas? a) 5 b) 8 d) 9

c) 6 e) 7

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

En un club deportivo se sabe que 21 practicaban fútbol, 25 practicaban básquet y 28 atletismo, además 11 practican fútbol y básquet, 6 practican fútbol y atletismo, pero no básquet y 8 practican los tres desportes, 13 practican básquet y atletismo. ¿Cuántos no practican ninguno de los tres deportes si se sabe que en total hay 46 personas? a) 5 b) 9 d) 2

c) 7 e) 1

6

En una reunión a la que asistieron 49 personas, 24 hablan inglés, 22 hablan francés y 18 alemán, además 12 hablan inglés y francés, 10 hablan francés y alemán, 2 hablan los tres idiomas, y 5 hablan inglés y alemán, pero no francés. ¿Cuántos no hablan ninguno de los tres idiomas? a) 11 b) 10 d) 13

c) 15 e) 12

Resolución:

Resolución:

Clave: 82

Clave:

Clave:



En una fiesta donde habían 70 personas, 10 eran hombres que no les gustaba la música HEAVY y 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gustaba de la música HEAVY es la tercera parte de las mujeres que no gusta de esta música, ¿a cuántos les gusta la musica HEAVY? a) 30 b) 45 d) 60

7

En un salón de la Academia hay 43 alumnos: 5 son mujeres que estudian aritmética, 28 son hombres y el número de hombres que no estudian aritmética es el doble del número de mujeres que no estudia aritmética. ¿Cuántos hombres estudian aritmética? a) 5 b) 20 d) 18

c) 35 e) 40

c) 8 e) 10

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuál es la diferencia entre los que hablan solamente un idioma y los que hablan únicamente dos idiomas si todos hablan al menos uno de estos idiomas? a) 10 b) 20 d) 30

c) 15 e) 0

Clave:

8

De un grupo de 40 personas, 21 practican fútbol, 24 básquet y 18 atletismo. Si 3 practican los tres deportes, ¿cuál es la diferencia entre los que practican un sólo deporte y los que practican sólo dos deportes si todos practican al menos un deporte? a) 1 b) 4 d) 5

c) 2 e) 3


Clave:

Clave:



83


Capítulo

10

Numeración

3. Contar en base 4:

1. CONCEPTO Es la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la lectura de los números.

3

La numeración puede ser:

2 (4) Base

1.1 Escrita o simbólica

Base 10: 14

Es aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismos o caracteres. 1.2 Oral o hablada

Base 4: 32(4); "Se lee: tres dos en base cuatro".

4. Contar en base 3:

Es aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS. 2. SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

Base 10: 23

2

Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades, de un orden cualquiera, que se requieren para formar una unidad de orden superior. 1. Sistema de Base 10: Diez unidades forman una decena (unidad de segundo orden). Diez decenas forman una centena (unidad de tercer orden), etc.

2. Sistema de Base 4: Cuatro unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden. Cuatro unidades de segundo orden forman una unidad de tercer orden.

84

2(3) Base

2.1 Base de un Sistema de Numeración

1

Cuatro unidades de tercer orden forman una unidad de cuarto orden, etc.

Base 3: 212(3); "Se lee: dos uno dos en base tres".

2.2 Características de un Sistema de Numeración a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema. b) El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base. c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1. d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema.


Aritmética - 5to Sec. Ejemplo: 4271(5) ; numeral mal escrito.

314(7)

; numeral bien escrito.

1358(6) ; numeral mal escrito.

64103(8) ; numeral bien escrito.

2.3 Nomenclatura de los Sistemas de Numeración Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . . n

Nombre del Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario u octal Nonario o nonal Decimal Undecimal Duodecimal . . . Enesimal

Cifras utilizadas 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β, . . . 0, 1, 2, 3, 4, .............., n - 2, n - 1

3. VALORES DE UNA CIFRA

Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número.

Ejemplos: [Base 10]

= 9 { VA VR = 9 unidades = 3 { VA VR = 30 unidades = 7 { VA VR = 700 unidades

{ { {

α β γ φ

= = = =

a b c d

= = = =

A B C D

Ejemplos: 34A5(12); "Se lee: tres cuatro A cinco en base doce". 62B7C(15); "Se lee: seis dos B siete C en base quince".

En todo Sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la suma de los valores relativos de sus cifras.

632 = 600+30+2

[Base 10]

5479 = 5×103+4×102+7×10+9

[Base 10]

235(7) = 2×72+3×7+5

[Base 7]

4523(8) = 4×83+5×82+2×8+3

[Base 8]

5. ORDEN DE UNA CIFRA

3 2 1 4 (5) VA = VR = VA = VR = VA = VR =

cifra diez: cifra once: cifra doce: cifra trece:

Ejemplos:

3.2. Valor Absoluto o por su forma (V.A.) Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

5 7 3 9

Para bases mayores que diez se usan los símbolos α, β, γ, etc. que representan las cifras diez, once, doce, etc. respectivamente. También se pueden emplear las letras del abecedario.

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

3.1. Valor Relativo o Posicional (V.R.)

NOTA:

4 4 unidades 1 1×5 unidades 2 2×5 unidades


Es el lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda. Ejemplos: 5 3 2 4(8) 1.er orden o unidades 2.° orden 3.° orden

En cualquier Sistema de Numeración: "La cifra de primer orden, es la de unidades". 85

Aritmética - 5to Sec. 6. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO Cada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas.

8.2.Caso II: De base 10 a base "n"

ab(n) : Representa cualquier número de dos cifras de la base "n". abc

: Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser: {100; 101; 102; 103; ... ; 998; 999}

Ejemplo: Convierte 328 a la base 6.

ab37 : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10 que termina en 37, puede ser: {1037; 1137; 1237; 1337; ... ; 9837; 9937}

328 28 4

ab4(6) : Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis que termina en 4. Puede ser: {104(6); 114(6); 124(6); ... ; 544(6); 554(6)} a(2a)b(5): Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden, puede ser: {120(5); 121(5); 122(5); ........ ; 244(5)}

Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, también se dice que es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos:

414(a) ;

aba(n)

7557(9) ;

abba(n)

53235(8) ;

abcba(n)

último cociente

1

8.3. Caso III: De base "n" a base "m" (n , m ≠ 10) En este caso, primero se convierte el número de base "n" a la base 10 y el resultado se convierte a la base "m". Ejemplo:

413(8) = 4×82+1×8+3 = 267 Luego: 267 a la base 5

8.1. Caso I: De base "n" a base 10 En este caso se calcula el número de unidades simples que posee dicho número, para esto es suficiente realizar la descomposición polinómica del número y efectuar las operaciones indicadas.

6

Primero: 413(8) a la base 10

Se presentan tres casos:

Ejemplos

6 9 3

Convierte 413(8) a la base 5.

En general:

8. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA

6 54 0

328 = 1304(6)

7. NÚMERO CAPICÚA

Se efectúa empleando el método de "divisiones sucesivas", para lo cual se divide el número dado entre "n" (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que "n", se divide este nuevamente entre "n" y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que "n". El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

267 17 2

5 53 3

5 10 0

5 2

413(8) = 2032(5)

Convierte 324(7) a la base 10.

324(7) = 3×72 + 2×7 + 4 = 165 Entonces: 324(7) = 165 86


Aritmética - 5to Sec.  PROPIEDAD Si un número es expresado en dos sistemas de numeración, se cumple que: " a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa".

* 4 0

2 2 0

* 7 1

2 1

4 = 1002

Ejemplos: Mayor representación

+ 413(8) = 2032(5)

7 = 1112

* 6 0 Menor base

+

-

6

1

7

110 001 111

-

+

25a(m) = 3ab(n) ⇒ n < m + -

4(8) 100(2)

∴ 61748 = 1100011111002 9.2 De base n a base nK (k∈Z+)

+

27(a) = 2m1(b) + -

2 1

Luego:

+

* Aplicación:

-

2 3 1

6 = 1102

512(7) = 312(9) -

2 1

* Como 1 es menor que 2, colocamos el 1 con dos ceros a la izquierda. 1 = 0012

-

+

2 3 1

⇒ a>b

9. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN 9.1. De base nK a base n Al convertir el número de base nK a base n como la base "disminuye", la representación "aumenta", de modo que por cada cifra de base nK deben obtener "k" cifras en base "n" y si no fuese así se completa con ceros a la izquierda.

Como de la base n a nk " aumenta" la base, entonces la representación "disminuye". Ello implica que el proceso es inverso al caso anterior. Por cada "k" cifras de base "n" debe salir una cifra en base nk y para ello separamos en bloques de k cifras de la derecha a la izquierda y cada bloque se pasa a base 10, obteniéndose así las cifras en la base nk. Ejemplos: Convierte 10210112(3) a base 9. Resolución Por cada dos cifras de base 3 (9=32) debe salir una cifra en base 9.

Ejemplos: Convertir 6174(8) a base 2.

10

21

01 12 (3)

Resolución Se sabe que por cada cifra de base 8 = 23 deben obtenerse 3 cifras en base 2, veamos: 6

1

7

4(8)

Pasamos cada cifra de base 8 a base 2.


(9)

Pasando cada bloque a base 9. * 103 = 1 × 3 + 0 = 3 * 213 = 2 × 3 + 1 = 7 * 013 = 1 * 123 = 1 ×3 + 2 = 5 87

Aritmética - 5to Sec. Luego: 10

21

01

12(3)

3

7

1

5(9)

1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar?

∴ 10210112(3) = 3715(9)

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 8

Resolución Primero ubiquemos la cifra de quinto lugar (de izquierda a derecha).

9.3 Propiedades a) (n-1)(n-1)....(n-1)n = nk-1

__ __ __ __ __ ↑ ↑

k cifras * 2223 = 33 - 1 = 26

* 777778 = 85 - 1 = 32767

1n

* 12

Como la cifra de 5.° lugar es de 4.° orden ahora a partir de dicha cifra descendemos hasta el 1.er orden. 4to 3er 2do 1er ↓ ↓ ↓ ↓ __ __ __ __ __ __ __ __

= m+n+p+q+x 1p

13

1q

15

↑ ↑

1.er 2.° 3.er 4.° 5.° lugar

b) 1m

↑

x

↑ ↑ ↑ ↑ 1.er 2.° 3.er 4.°

= 2+3+5+8= 18

↑ 5.° lugar

Se tiene 8 cifras

8

∴ El numeral tiene 8 cifras.

* 13

15

12

c) 1a

=n+k×a

1a

1a

.

k veces

.

.

1a

n

2. Un numeral decimal esta formado por tres cifras, en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor orden, y la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha condición?

* 12

12

a) 5

b) 4

c) 2

d) 1

e) 3

= 7+20×2 =47 Resolución

12

.

.

20 veces

d) 2a

3b 4c d

.

12

Si la cifra de menor orden es "a", la cifra de mayor orden será el doble, "2a", entonces según la condición la cifra central será la suma.

7

=2a =2a 3b (12d+3c+b) (4d+c)

= 24d + 6c + 2b + a * 23

=23 25

25

32

88

Clave e

= 3+5+7+12= 27

17

Orden

7

=23 23

51

= 105

N = (2a) (3a) a ↑ ↑ ↑ 3.er 2.° 1.er Orden

Del cual notamos que "a" puede ser 1, 2 ó 3. El numeral N = 231; 462; 693.

∴ Tres números cumplen la condición. Clave e


Aritmética - 5to Sec. 3. Si el numeral siguiente es capicúa:

(a+1) (c+1) b (2b) (6-a)(7-a)

Halla el valor de (a + b + c).

a) 2 d) 5

231 13 13 17 13 13 1 91 4 10

b) 7 c) 4 e) 6

∴ El número es: 14(10)(13)=14α(13) Clave d

Resolución Como el numeral es capicúa se debe cumplir que las cifras equidistantes son iguales. * a+1 = 7 - a

........... (1)

* c+1 = 6 - a

........... (2)

* b = 2b

........... (3)

5. Expresa en el sistema duodecimal el mayor número de 3 cifras diferentes del sistema heptal.

De(1) : 2a = 6 ⇒ a = 3

∴

En el sistema heptal se emplean las cifras {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Para formar el mayor número de tres cifras debo utilizar las tres mayores cifras, siendo estas {4; 5; 6}. El mayor número es: 6547 y debemos convertirlo al sistema duodecimal (base 12).

⇒b=0

a + b + c = 3+2+0 = 5 Clave d

4. El menor número de 4 cifras diferentes del sistema senario expresado en el sistema de base 13 es:

a) 1αβ(13) b) 1α4(13) c) 186(13)

d) 762(12) e) 239(12)

Resolución

De(2): c+1 = 6 - 3 ⇒ c = 2 De(3): b = 2b

a) 461(12) b) 333(12) c) 231(12)

d) 1γ6(13) e) 14α(13)

1.° 6547 = 6.72 + 5.7 + 4 = 333 2.° Expresando a base 12 (duodecimal) 333 12 24 27 12 93 24 2 84 3 9 ∴ El número es 239(12)

Clave e

Resolución

• Las cifras que se utilizan de base 6 son: {0; 1; 2; 3; 4; 5}

• Para formar el menor número de cuatro cifras

diferentes debo utilizar las cuatro menores cifras y estas serían: {0; 1; 2; 3}

• El menor número es: 10236 1.° Pasando a base 10. 10236=1.63+2.6+3=216+ 12+3=231

El número 40 Es un número que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en la Biblia. Moisés pasó 40 días y 40 noches en el Monte Sinai. Jesucristo pasó 40 días de penitencia en el desierto. El Diluvio Universal duró 40 días. Los grandes reyes judíos Salomón y David reinaron 40 años, los mismos que el pueblo judío estuvo errante en el desierto.

40

2.° Ahora lo pasamos a base 13.


89


Resolviendo en clase

1) Expresa "E" en base 9 si se cumple que: E = a37 + 2ba + 1cb + 23c

4) Si abc9 = mnp8 = 3127 , halla a+b+c+m+n+p.

Rpta: ________

Rpta: ________ 5) Al multiplicar un número de dos cifras por 3, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 8 al número que se obtiene al invertir el orden de sus dígitos. ¿Cuál es dicho resultado?

2) Si se cumple 321(n) = 86, halla "n". Rpta: ________

Rpta: ________ 6) El mínimo valor de n en:

3) Si aba(5) = 2ba(7), halla a.b

15

= (2a)a(2a)

15

15

Rpta: ________

n veces

. .

.

15

15

a(2a) Rpta: ________

Para Reforzar

1) Si se cumple: 3a(c) + c1(b) = 14(a) + b2(8) , calcular: a + b + c.

4) Sabiendo que: 1247 = abc12 = xy40 , halla (a + b + c) - (x + y).

Rpta: ________

2) Calcula "x" si 43(x)=23. Rpta: ________

Rpta: ________ 5) Un número de 3 cifras terminado en 3, es igual a tres veces el número formado por sus dos primeras cifras pero en orden inverso. Halla la suma de cifras del número inicial. Rpta: ________ 6) Halla a+b+x+y si se cumple:

= aba

17

17

3) Si se cumple 2a1(6)= 1aa(8), halla a2+a.

40 veces

Rpta: ________

90

17

.

. .

17

17 xy

Además 10 < xy < 20.

Rpta: ________



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si 3a9 + 63b + bba = cd(a+b) , halla el valor de c × d. a) 30 b) 56 d) 72

1 c) 42 e) 40

Sabiendo que: a>b>c>d>0 resuelve la ecuación: 2a + 2b + 2c + 2d = 2328 Indica el valor de: a+b+c+d. a) 10 b) 20 d) 42

c) 30 e) 26


Clave:

2 Si mn30(x) = xxx5

15

2

..

mn veces

15

xy

23

= 1xyz 21

a) 5 b) 7 d) 9

halla a + b + x + y + m + n. a) 23 b) 18 d) 14

Si: 23 23

23 (4) halla (x + y + z).

= aba

15 15.

Clave:

c) 20 e) 16

(4)

c) 8 e) 10

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:


Si: x 2x abcd5 = 2 3 (x-1)6

3

( )( )

( 4x )1 (x-12)( 3x ) = mnpq

a) 12 b) 14 d) 24

c) 7 e) 10

Clave:

c) 21 e) 96

Clave:

Si un numeral capicúa de 4 cifras es igual a 99 veces la suma de su cantidad entera de centenas y la unidad, calcula la suma de cifras del numeral capicúa. a) 10 b) 18 d) 16

,

Resolución:

Resolución:

4

(11)

halla m + n + p + q + x.

halla (a + b + c + d). a) 3 b) 5 d) 8

Si:

c) 12 e) 24

4

Si a un numeral de cuatro cifras diferentes se le añade la suma de sus cifras, se obtiene 8799. ¿Cuál es la suma de sus cifras? a) 16 b) 22 d) 30

c) 29 e) 19


Clave: 92

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 5 Un número se representa como 455 y 354 en dos

bases consecutivas. Halla dichos números en el sistema decimal. a) 129 b) 236 d) 336

5

c) 248 e) 450

Si un número se expresa en dos sistemas de numeración de bases consecutivas como 50 y 42 respectivamente, ¿cuál es la suma de dichas bases? a) 11 b) 13 d) 17

c) 15 e) 19

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Halla (a + b) si:

a(a+1)(a-2)7 = 1(2b)b9

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:

6

Si: aa0a(6) = bb0b4(5) , calcula E = a2 + b2. a) 25 b) 10 d) 16

c) 9 e) 13

Resolución:

Clave:


Clave: 93


7

Si a(a-1)4n = (a-1)1n6 , calcula (a + n). a) 7 b) 8 d) 11

c) 3 e) 9

Dado mnp(a) = (a-4)2(a+2)8 , calcula m + n + p. a) 5 b) 6 d) 8

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

aaa ... a(2) = 1net j cifras

Si se cumple que:

222...22(3) = abc , k cifras

Calcule: j+a+n+e+t

a) 8 b) 10 d) 14

Clave:

{

Si:

{

8

c) 7 e) 9

Calcula a + b + c + k, c) 12 e) 16

a) 15 b) 1838 d) 22

c) 11 e) 14

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

11

Conteo de Números

Además: I. La tercera toma fue el día _____ de marzo.

II. La última toma fue el día _____ de marzo y fue la _____ toma.

III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas es _____ días. De este ejemplo se observa que: i. El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto ordenado, donde a cada elemento llamaremos término.

t4

t5

{

t3

7 12 17 22 27 +5

Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada 5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes. Completa el siguiente esquema:

t2

{

t1

Ejemplo inductivo:

Nº de toma:1.º 2a 3a ... ↓ ↓ ↓ Día: : 7 ... ...

t1 = 7 = 1 × 5 + 2 t2 = 12 = 2 ×5 + 2 t3 = 17 = 3 × 5 + 2 t4 = 22 = 4 × 5 + 2 t5 = 27 = 5 × 5 + 2

iii. La característica fundamental de este tipo de conjuntos es que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre un valor constante que llamaremos razón aritmética (r). Del ejemplo:

{

primer término: segundo término: tercer término: cuarto término: quinto término:

{

En el presente capítulo abordaremos conceptos y problemas que fueron tratados por grandes matemáticos hace miles de años, tal es el caso de lo registrado en el papiro RHIND, hallado por éste a fines del siglo XIX, que fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era. Entre los problemas aritméticos que figuraban en dicho papiro está el de "la repartición del pan", que lo plantearemos como un desafío más adelante. Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia, por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la Tierra cada 76 años; así también en nuestra vida encontramos aplicaciones sencillas como:

{

1. INTRODUCCIÓN

+5

+5

+5

razón aritmética: r = +5

"A un conjunto con esta característica lo llamaremos progresión aritmética". 2. DEFINICIÓN Una progresión aritmética es un conjunto de números ordenados, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden menos el otro) es siempre una constante llamada valor de la razón aritmética (r). Ejemplo: N.º ordinal: 1.º ↓ Término : 5

ii. Cada término tiene un orden designado o número ordinal, el cual guarda una correspondencia con su respectivo término. Del ejemplo:


+3

2.º ↓ 8

3.º ↓ 11

4.º ... n.º ↓ ↓ 14 ... 3n+2

+3 +3 razón aritmética: r = +3 95

Aritmética - 5to Sec. Según el signo del valor de la razón aritmética, las progresiones aritméticas pueden ser: 2.1. Progresión aritmética creciente

Cuando la razón es positiva ( r > 0).

6 , 13 , 20 , 27 , 34 , ... +7

+7

+7

+7 razón: r = +7

2.2. Progresión aritmética decreciente

Cuando la razón es negativa ( r < 0).

i. Cada término se deberá expresar en función de su número ordinal y la razón.

t1 = t2 = t3 = t4 = .. .

t10 = 6 + 9(4) .. .. . .

tn = 4n + 2

6 6 + 1(4) 6 + 2(4) 6 + 3(4) .. .

tn = 6 + (n - 1)(4)

20 , 14 , 8 , 2 , -4 , ... -6

-6

-6

razón: r=-6

-6

3. CÁLCULO DE UN TÉRMINO DE LA P.A. CUYO LUGAR ES "n":

ii. A partir de "tn" hallaremos "t20", para lo cual n = 20 (lugar 20).

t20 = 4(20) + 2 = 82

Se recomienda establecer una correspondencia entre cada término y su respectivo número ordinal.

Ejemplo: Dada la siguiente progresión artimética, halla el término enésimo (tn).

Ejemplo inductivo:

Dada la P.A. : 6, 10, 14, 18, ...

Halla: i. El término de enésimo lugar (tn). ii. El término de vigésimo lugar (t20).

N.º : 1.º 2.º 3.º ordinal

↓

7 , 4 , 1 , -2 ... tn

Resolución

N.º ordinal: 1.º

↓

2.º

3.º

4.º

↓

↓

↓

↓

Término : 6 , 10 , 14 , 18 , ... tn +4

+4

+4

-3

... n.º

...

Luego: t1 t2 t3 t4 . . .

↓

↓

4.º ... n.º ↓

-3

↓

-3

razón: r = -3 = = = =

7 7 - 1(3) 7 - 2(3) 7 - 3(3)

tn = 7 - 3(n - 1)

∴ tn = 10 - 3n

En general: Dada una progresión aritmética, el término de enésimo lugar (tn) se calcula: tn = t1 + (n - 1) . r 96


Aritmética - 5to Sec. Ejemplo:

Resolución

Halla el término de enésimo lugar para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

Nos piden el número de términos (n) para lo cual necesitamos:

i. 57, 64, 71, 78, ... ii. 29, 18, 7, -4, ... iii. 1, 7, 13, 19, ...

r = 31 - 20 = 11 t1 = 20 tn = 669 669 - 20 649 n= +1= + 1 = 60 11 11

Ejemplo: Calcula los cuatro primeros términos para cada una de las tres P.A., si sus respectivos términos de enésimo lugar se expresan así:

∴ La P.A. tiene 60 términos. Ejercicios: Calcula la cantidad de términos de cada una de las siguientes P.A.:

i. tn = 120 + 9n ii. tn = 13 - 8n iii. tn = -20 + 6n

i. 45, 53, 61, 69, ... , 437 ii. 58, 46, 34, ... , -350 iii. 36, 37, 38, ... , 570 iv. 11a, 12a, 13a, ... , 63a

4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UNA P.A. PROBLEMA GENERAL Dada la siguiente progresión aritmética finita, calcula el número de términos (n).

5. CÁLCULO DE LA CANTI-DAD DE CIFRAS AL ESCRIBIR LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA FINITA

"n" términos Ejemplo inductivo:

t1 , t2 , t3 , t4 , ... , tn r

r

Calcula cuántas cifras se utilizarán al escribir los enteros consecutivos desde 56 hasta 499.

r

Resolución Sabemos :

tn = t1 + (n - 1) . r

Despejando "n", tenemos:

t - t1 n =n r

+ 1

Observa que del 56 hasta el 499 todos los números no tienen la misma cantidad de cifras, por lo que nos conviene formar grupos de números que tengan igual número de dígitos. En este caso:

* Observa que para calcular el número de términos "n", necesitas:

i. Números de dos cifras: 56, 57, 58, ... , 99

r : razón aritmética tn : último término t1 : primer término

* *

# términos =

último - primero +1 razón

Número de términos: 99 - 55 = 44 términos Cantidad de cifras: 44 × 2 = 88 cifras cada término tiene dos cifras

* Aplicación: ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?

20, 31, 42, 53, ... , 669


97

Aritmética - 5to Sec. ii. Números de tres cifras: 100, 101, 102, ... , 499 * *

6.1 Principio de Multiplicación Si un procedimiento o actividad, se puede efectuar de "m" maneras y otro de "n" maneras, y cada uno de los primeros puede ser seguido por cualquiera de los otros, entonces el número de maneras de realizar el primero seguido del segundo es "m x n".

Número de términos: 499 - 99 = 400 términos Cantidad de cifras: 400 × 3 = 1200 cifras

Ejercicios:

cada término tiene tres cifras

Luego:

Cantidad total de cifras: 88 + 1200 = 1288 cifras

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 0; 3; 4; 7 y 9? Resolución

Ejercicios: ¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los términos de dos cifras de la siguiente P.A. 14, 18, 22, ... ? Resolución Para calcular el número de cifras totales debes averiguar cuántos términos de dos cifras tiene la P.A. de la siguiente forma:

1.º

2.º

3.º ... k.º

↓

↓

↓

10

14

18

22 ... (4k+10)

+4

+4

+4

↓

Son números de la forma ab. i. La cifra a, por ser primera cifra, toma valores diferentes de cero: 3; 4; 7 ó 9. Los posibles valores de a son 4. ii. La cifra b puede tomar los valores 0; 3; 4; 7 ó 9. Puede tomar 5 posibles valores.

Por lo tanto, el total de números de la forma ab es 4 × 5 = 20 números.

Nótese que no ha sido necesario escribir los 20 números, de los cuales algunos son 30; 33; 34; 37; 39; 40; 43; 44; 47; 49; etc. Estos números no forman una progresión aritmética. Para contar la cantidad de números que poseen determinadas características en sus cifras, se procede del modo siguiente:

el mayor término de dos cifras

Observa que el esquema indica que la P.A. tiene "k" términos de dos cifras por lo que: es máximo de dos cifras

4k + 10 < 100

a) Se representa la forma general de numeral. b) Se cuenta los valores que puede tomar cada cifra independiente del número. c) Por el principio de multiplicación, se toma el producto de la cantidad de valores que toman las cifras independientes. Éste será el total de números condicionados. Ejercicios:

Evaluando: 22 Luego, hay 22 términos de dos cifras cada uno, entonces el número de cifras totales es 22 × 2 = 44 cifras.

¿Cuántos números de 3 cifras cumplen con que su cifra de centenas es el doble de su cifra de unidades? Resolución Representación general: (2a) ba

6. NÚMEROS CONDICIONADOS Son aquellos números cuyas cifras se caracterizan por cumplir determinadas condiciones. No forman necesariamente una progresión aritmética y para contarlos utilizaremos el principio de multiplicación. 98

Doble del valor de unidades

Contando: Valores de a: 1; 2; 3; 4 ⇒ 4 valores Valores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores Total 4 × 10 = 40 números


Aritmética - 5to Sec. Ejercicios:

 Permutaciones con repetición

¿Cuántos números impares de 3 cifras empiezan en cifra par menor que 6? Resolución Representación : abc Valores de a : 2; 4 ⇒ 2 valores Valores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores Valores de c: 1;3;5;7;9 ⇒ 5 valores Total 2 × 10 × 5 = 100 números

Son los ordenamientos que se puede formar con una cierta cantidad de elementos, de modo que uno o más elementos se repiten. 1123 1132 2113 3112 1231 1321 2311 3211 1213 1312 2131 3121

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 1; 2 y 3.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" objetos, de los cuales uno se repite "R1" veces, otro "R2" veces y así los demás, y denotado por PR (n, R1, R2, R3, ... Rk), donde n = R1 + R2 + R3 + ... + Rk, está dado por:

6.2. Método Combinatorio

PR(n,R1,R2, ...,Rk)=

 Permutación Es un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto, considerando el orden en que se encuentran. 135 351 513

153 315 531

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 3 y 5.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" elementos, ordenados en grupos de "k" elementos y denotado como P(n, k) está dado por:

P(n,k) =

Por ejemplo, las permutaciones de 4 objetos de los cuales uno se repite dos veces, como 1; 1; 2; 3, son : PR(4; 2; 1; 1)=

Nótese que para simplificar la expresión anterior, bastará con tomar sólo las veces que se repiten los objetos más de una vez: PR (4 ; 2) = 4! = 12 2!

3! = 3! = 1 × 2 × 3 = 6 (3 - 3)!

1. El tercer término de una sucesión es 12 y el décimo primer término es -12. Halla la diferencia común.

a) -3 d) -2

b) 3 e) -4

c) 2

Ejercicios:

Resolución

¿Cuántos números de 2 cifras y sin repetición se pueden formar con las cifras 3; 5; 7; 8 y 9?

Según el dato, tenemos: a11 = -12 a3 = 12 a11 - a3 = -12 - 12

Resolución Se trata de las permutaciones de 5 objetos, ordenados de 2 en 2: P(5 ; 2) P(5,2) =

4! = 12 2! 1! 1!

n! (n - k)!

Por ejemplo, las permutaciones de 3 objetos ordenados de 3 en 3, P (3 ; 3) están dadas por: P(3) =

n! R1!R2! ... Rk!

5! 5! = 4×5 = (5 - 2)! 3!

⇒ P(5;2) = 20

Existen 20 números.


(11-3)r =-24 (r es la razón de la P.A.) r = -3 La diferencia común es: r = -3 Clave a 99

Aritmética - 5to Sec. 2. El cuarto término de una sucesión es 29 y el décimo quinto término es 117. Calcula el séptimo término.

a) 15 b) 18 d) 4

c) 53 e) 32

4. En la numeración de las 1ab primeras páginas, se emplearon 3ab cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro si se han empleado 6ab cifras? a) 254 d) 272

b) 260 e) 302

c) 264

Resolución Se tiene:

Resolución a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ... a7 ; ... a15

Se tiene: 1 ; 2; 3; 4; ... ; 1ab

r Sabemos que:

r

29

piden 117

D.P. por bloques: # de cifras = (1ab+1)3-111 = 3ab (100+ab+1)3-111=300+ab 3 . ab + 300 + 3 - 111 = 300 + ab ab = 54

a15 - a4 = (15 - 4)r

117 - 29 = 11r ⇒ r = 8 Luego:

a7 - a4 = (7 - 4)r

a7 - 29 = 3(8)

3ab cifras

Supongamos que en un libro de "n" páginas se emplea 6ab = 654 cifras. ∴ a7 = 53

⇒ (n+1)3 - 111 = 654 n = 254

Clave c

∴ El N.º de páginas es 254.

Clave a

3. ¿Cuántos términos tiene la P.A.? 12(n) ; 17(n) ; 24(n) ; 31(n) ; ... ; 620(n)

a) 75 b) 72 d) 79

c) 77 e) 81

Resolución Al pasar a base 10 tenemos: (n + 2) ; (n + 7) ; (2n + 4) ; (3n + 1) ; ... ; (6n2 + 2n) 5 Si del 2.º y 1.er término se obtiene razón 5, entonces del 3.er y 2.º término la razón también es 5: (2n + 4) - (n + 7) = 5 n = 8 La P.A. es:

10 ; 15 ; 20 ; 25 ; ... ; 400

5 5 Al reemplazar tenemos:

5

∴ N.º de términos = 400-10 + 1 = 79 5 Clave d 100

¿Cuánto durará el mundo? Cuenta la leyenda que en Benarés (India), el Dios creador Brahma entregó a los monjes tres vástagos diamantinos sobre una base de bronce. Ensartó entonces 64 discos de oro, todos de dimensiones distintas, en una de las varillas, dispuestas de modo que el mayor estuviera en la base y los discos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó a los monjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vástagos, de modo que en cada traslado sólo fuese movido un disco dorado, y de manera tal que nunca un disco tuviera debajo otro de menor tamaño. Al final sentenció: "Cuando hayáis acabado la tarea, el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo".



Resolviendo en clase 4) ¿Cuántos valores puede tomar ab , sabiendo que los siguientes números están en progresión aritmética?

1) La diferencia entre los términos de lugares 54 y 60 de una P.A. es 30 y el décimo tercer término es 50. Hallar el trigésimo término.

a 0 b7 ; a1a7 ; a 207 ; ...

Rpta: ________

Rpta: ________ 2) En una progresión aritmética cuya razón es desconocida; de más de 50 términos, la diferencia del último y primer término es 371. Hallar el número de términos.

5) Para escribir la siguiente sucesión: 11 ; 22 ; 33 ; ...;abc

abc

Rpta: ________

Rpta: ________

6) ¿Cuántos números de la forma 5(6 - a)(a+6)b existen en el sistema nonal?

3) ¿Cuántos ceros inútiles se escribieron en la siguiente enumeración? 0010 , 0011 , 0012 , ... , 1000

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) La diferencia entre los términos de lugares 78 y 48 de una P.A. es 90 y el décimo quinto término es 100. Hallar el vigésimo término.

4) En la siguiente progresión aritmética creciente: aaa ; ab 4 ; ac1;... Hallar: a+b+c

Rpta: ________

2) En una progresión aritmética cuya razón es desconocida, de más de 20 términos, la diferencia del último y primer término es 92. Hallar el número de términos. Rpta: ________

3) ¿Cuántos ceros inútiles se escribieron en la siguientes enumeración? 0001 ; 0002 ; 0003 ; ... ; 0999 ; 1000

Rpta: ________

5) Para escribir la siguiente sucesión:

11 ; 22 ; 33 ; ...;ab se utilizó 298 cifras. Hallar: a+b

ab

Rpta: ________

6) ¿Cuántos números de la forma a(a+b)b existen en base 6? Rpta: ________

Rpta: ________


101


Para el profesor: 1

Para el alumno:

Se tiene una progresión aritmética cuyos términos extremos son 3 y 59. Si el número de términos de la progresión aritmética comprendidos entre 23 y 59 es el doble del comprendido entre 3 y 23. Halla la razón. a) 3 b) 4 d) 6

1

En una progresión aritmética el número de términos comprendido entre 17 y 44 es el doble de los comprendidos entre 2 y 17. Hallar la razón. a) 3 b) 5 d) 2

c) 7 e) N. A.

c) 4 e) 7


Clave:

2

Halla el mayor término de tres cifras de la siguiente P.A.: 33; 38; 43; 48; ... a) 993 b) 999 d) 998

c) 990 e) 988

Resolución:

Clave:

2

Halla el mayor término de tres cifras de la siguiente P.A.: 23; 27; 31; 35; ... a) 970 b) 980 d) 990

c) 985 e) 999

Resolución:

Clave:

Clave:


¿Cuántos numerales de la forma: a(b-3)(

3

(10-n)(n+5)(n/2)(m/3)(1/7 p)

c ) (c+1)(a+4)(2b) 2

existen en base 15?

existen en base 13? a) 150 b) 180 d) 192

¿Cuántos numerales de la forma

a) 1125 b) 2250 d) 1225

c) 160 e) 240

c) 775 e) 625


Clave:

4

¿Cuántos números naturales hay entre 120(5) y 135(7)? a) 38 b) 39 d) 41

c) 40 e) 42

Resolución:

Clave:

4

¿Cuántos números naturales hay entre 210(4) y 235(6)? a) 36 b) 95 d) 37

c) 58 e) 42

Resolución:

Clave:


Clave: 103


¿Cuántas cifras se utilizarón para escribir todos los números impares desde 37 hasta 533? a) 675 b) 704 d) 730

5

c) 715 e) 725

¿Cuántas cifras se utilizarón para escribir todos los números impares desde 35 hasta 435? a) 520 b) 560 d) 600

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

c) 5 019 e) 10 500

Resolución:

6

¿Cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 23 últimas páginas se utilizarón 69 cifras? a) 120 b) 124 d) 36

c) 62 e) 80

Resolución:

Clave: 104

Clave:

¿Cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 51 últimas páginas se utilizarón 225 cifras? a) 5 000 b) 10 019 d) 10 020

c) 520 e) 720

Clave:



De un libro de 321 hojas se arrancaron cierto número de hojas del principio observándose que en las páginas restantes se usan 1679 tipos de imprenta, ¿cuántas hojas se arrancarón? a) 26 b) 27 d) 38

7

c) 36 e) 37

De un libro de 225 hojas se arrancaron cierto número de hojas del principio observándose que en las páginas restantes se usan 452 tipos de imprenta, ¿cuántas hojas se arrancarón? a) 62 b) 45 d) 31

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente P.A.: 8a, bc, aa, def, .... , fff a) 46 b) 82 d) 60

c) 21 e) 15

c) 84 e) 72

Resolución:

Clave:

8

Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente P.A.: ab ;23;cd ;37;...;abc a) 27 b) 26 c) 22 d) 20 e) 18 Resolución:

Clave:

Clave:



105


Capítulo

12

Método Combinatorio

Principio fundamental del conteo Supongamos que una tarea se puede ejecutar de "m1" maneras diferentes, otra tarea se realiza de "m2" maneras y seguimos así sucesivamente hasta que llegamos a la k - ésima tarea, que se puede ejecutar de "mk" maneras; entonces, el número total de maneras de llevar a cabo estas tareas juntas corresponde al producto: m1 × m2 × m3 × ... × mk Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas podemos ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin regresar en ninguno de los casos?

B

A

C

La primera tarea o evento (ir de "A" a "B") la podemos realizar de 3 maneras: a pie, en bicicleta o en auto (p, b, a) y la segunda tarea (ir de "B" a "C") la podemos hacer: despacio o rapido (dor)

b a

d (p;d) r (p;r) d (b;d) r (b;r) d (a;d) r (a;r)

6 maneras o rutas posibles

A

1° tarea 3 formas

B

2° tarea 2 formas

Matemáticamente: La permutación de «n» elementos viene dada por: Pn = n!

Permutaciones con repetición Son los ordenamientos que se puede formar con una cierta cantidad de elementos, de modo que uno o más elementos se repiten. 1123 1132 2113 3112 1231 1321 2311 3211 1213 1312 2131 3121

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 1; 2 y 3.

C

PR(n,R1,R2, ...,Rk)=

n(1° tarea y 2° tarea) = 3 × 2 = 6

La Permutación Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente: • En cada grupo intervienen todos los elementos • Un grupo se considera diferente del otro si sus elementos se disponen en otro orden. 106

Permutar los elemnetos a ; b ; c. abc ; bac ; cab acb ; bac , cba # de permutaciones = 6

El número de permutaciones que se puede formar con "n" objetos, de los cuales uno se repite "R1" veces, otro "R2" veces y así los demás, y denotado por PR (n, R1, R2, R3, ... Rk), donde n = R1 + R2 + R3 + ... + Rk, está dado por:

Diagrama del árbol: p

Ejemplo:

n! R1!R2! ... Rk!

Por ejemplo, las permutaciones de 4 objetos de los cuales uno se repite dos veces, como 1; 1; 2; 3, son :

PR(4; 2; 1; 1)=

4! = 12 2! 1! 1!


Aritmética - 5to Sec. Nótese que para simplificar la expresión anterior, bastará con tomar sólo las veces que se repiten los objetos más de una vez: 4! PR (4 ; 2) = = 12 2! La VARIACIÓN Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente: • En cada grupo no intervienen todos los elementos. • Un grupo se considera diferente del otro si se cambia el orden de sus elementos.Interesa el orden. Ejemplo: Hallar la variación de 3 elementos tomados de 2 en 2 siestos elementos son: a ; b ; c. ab ; ba ; ca ac ; bc ; cb # de variaciones = 6 Matemáticamente: La variacion de «n» elementos tomados de «k» en «k»viene dada por: Vn =

La COMBINACIÓN Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente: • En cada grupo no intervienen necesariamente la totalidad de los elementos. • Un grupo se considera diferente del otro si no tienen los mismos elementos. No Interesa el orden.

Ejemplo: Hallar la combinación de 3 elementos tomados de 2 en 2 si estos elementos son: a ; b ; c ab ; ac ; bc # de combinaciones = 3 Matemáticamente: La combinación de «n» elementos tomados de «k» en «k»viene dada por: Cm = k

n! k!(n - k)!

n! (n - k)!

Los primeros años del Príncipe de los Matemáticos No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda, con que el rey Jorge V de Hannover honró a Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton ocuparía el podio de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la Historia. No se puede entender el avance y la revolución de las matemáticas del siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de forma completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en todos los campos de las matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial, entre otros. Este gran matemático alemán llevó las matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y eleva la Aritmética superior a la cima de las matemáticas, citando sus propias palabras, “las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas”. El 4 de mayo de 1777, el viejo párroco de la iglesia de Wendengraben (en Brunswick, Alemania) procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Carl Friedrich Gauss; se trata de un niño varón nacido cuatro días antes (el último día del mes de abril), siendo el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze, ambos de 33 años. Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es como firmará sus obras. En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto. El repaso posterior de Geghard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar. A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela prim aria, una vieja escuela, la Katherine Volksschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Al terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5050, la respuesta correcta. Con 11 años de edad Gauss dejará la Katherine Volksschule para ingresar en el Gymnasium Catharine, a pesar de las reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia Latín y Griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de Brunswick y llegará a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand (1735 - 1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743 - 1815), profesor de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al anciano duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos elaboradas por Johann Carl Schulze. Con tan sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará origen, tres años más tarde, a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va madurando durante su estancia en la Universidad de Göttingen.


107


Resolviendo en clase 1) Antony desea comprar una camisa y un pantalón. Un comerciante le muestra 11 camisas y 12 pantalones de colores diferentes en los modelos que a él le gusta. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger lo que desea comprar?

4) De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra "MATEMATICA"

Rpta: ________

5) ¿De cuántas maneras 5 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar si estas parejas siempre deben almorzar juntas?

2) Una persona puede viajar de Lima al Cuzco ya sea por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 7 líneas aéreas y 8 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? Rpta: ________

3) De cuántas formas puede sentarse un padre, su esposa y sus 3 hijos en una fila de 5 asientos? Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Los equipos A y B juegan en un torneo de ping - pong. El primer equipo que gane dos juegos seguidos o un total de cuatro juegos, gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede suceder el torneo. Rpta: ________

Para Reforzar 1) Silvia desea comprar una minifalda y una blusa. Un comerciante le muestra 8 minifaldas y 7 blusas de colores diferentes en los modelos que a Silvia le gusta. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger lo que desea comprar?

4) Se tienen 9 banderillas donde 2 son blancas; 3 rojas y 4 negras. ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila? Rpta: ________

Rpta: ________

2) Una persona puede viajar de A hacia B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? Rpta: ________

3) En una carrera participan 5 atletas .¿De cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta; si llega uno a continuación del otro? Rpta: ________

108

5) ¿De cuántas maneras 4 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar si estas parejas siempre deben al orzar juntos? Rpta: ________

6) Los equipos de la U y Alianza participan en un torneo. La regla del torneo considera que no hay empates y campeona el primer equipo que gana 2 partidos seguidos o un total de 3 partidos, ¿de cuántas formas se puede desarrollar la serie de partidos? Rpta: ________



Para el profesor: 1

Para el alumno:

De cuántas maneras se pueden colocar 12 niños en una fila de manera que cuatro niños, en particular queden juntos? a) 9! × 4! b) 10! × 3! d) 7! × 3!

1

¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros diferentes sobre una estantería de manera que 3 de ellos siempre deben estar juntos? a) 10! × 2! b) 9! × 3! d) 10! × 5!

c) 9! × 3! e) 8! × 4!

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Cuatro mujeres y tres hombres van al cine y encuentran una fila con 7 asientos ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las 4 mujeres no quieren estar juntas? a) 80 b) 100 d) 144

c) 10! × 3! e) 8! × 5!

c) 120 e) 220

Resolución:

Clave:

2

Tres mujeres y dos hombres van al cine y encuentran 5 asientos juntos en la misma fila donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las 3 mujeres no quieren estar juntas? a) 6 b) 8 d) 18

c) 12 e) 24

Resolución:

Clave:


Clave: 109


En un examen se ponen 10 temas para que un alumno escoja 4.¿De cuántas maneras puede hacerlo? a) 210 b) 420 d) 340

3

c) 360 e) 540

En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4.¿De cuántas maneras puede hacerlo? a) 20 b) 30 d) 40

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Clave:

Un grupo está conformado por 7 personas y se desea formar una comisión integrada por un presidente y un secretario .¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión? a) 30 b) 35 d) 42

c) 35 e) 50

c) 40 e) 50

4

10 corredores ¿De cuantas maneras diferentes pueden obtener 3 premios distintos? a) 620 b) 730 d) 640

c) 35 e) 720


Clave: 110

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 5 En un campeonato de fútbol: 15 equipos deben

jugar todos contra todos si llegan 3 equipos mas ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse? a) 20 b) 30 d) 48

5

En un campeonato de fútbol:12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos mas ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse? a) 15 b) 25 d) 39

c) 40 e) 56

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 ¿De cuántas maneras se puede representar el número 9 como suma indicada de tres sumandos positivos y diferentes? a) 21 b) 6 d) 12

c) 30 e) 42

c) 18 e) 28

Resolución:

Clave:

6

En una sala de juegos usted lanza 6 dados simultaneamente. ¿De cuántas formas puede ocurrir que los 6 dados muestren diferentes números? a) 120 b) 320 d) 520

c) 420 e) 720

Resolución:

Clave:


Clave: 111


Un equipo de besibol consta de 6 jardineros, 7 jugadores de cuadra, 5 lanzadores y 2 receptores (entre titulares y suplentes). ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir un equipo de 9 jugadores, sabiendo que debe haber 3 jardineros, 4 jugadores de cuadra, un lanzador y un receptor? a) 7 b) 70 d) 7 000

7

Con 8 hombres y 7 mujeres. ¿Cuántos comites de 5 personas se pueden formar de modo que este conformado por 3 hombres y 2 mujeres? a) 100 b) 110 d) 1 120

c) 700 e) 70 000

c) 1 000 e) 1 176

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Clave:

En un baile escolar la profesora forma parejas extrayendo de una bolsa el nombre de un niño y de otra bolsa el nombre de una niña. Si en el aula hay 9 niños y 7 niñas. ¿Cuántas posibles parejas distintas se podrán formar? a) 63 b) 5 040 d) 181 440

c) 45 360 e) 196

Resolución:

8

En el club de Susana hay 8 varones y 6 mujeres incluida ella. Para participar en las elecciones, desea formar una lista de 6 personas (mitad varones y mitad mujeres) encabezada por Susana. ¿De cuántas maneras se puede formar esta lista? a) 650 b) 560 d) 120

c) 360 e) 210

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

13

Cuatro Operaciones

ADICIÓN

Series Básicas

Es la operación aritmética (+) que permite reunir 2 o más cantidades homogéneas (sumandos) en una sola (suma).

1. suma de productos consecutivos

Notación:

au + bu + cu = Su

sumandos

suma

Axiomas de la Adición Si a, b, c ∈ R 1. ASOciativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

24.25.26 E = 3

Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y se llama inverso aditivo.

=

5200

2. suma de potencias sucesivas:

Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R, luego 0 +a=a+0=a y 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la adición. 6. cancelativa:

n(n+1)(n+2)(n+3) 4

E = 1.2+2.3+3.4+4.5+ ... + 24.25

a+b=b+a

5. modulativa:

P=

Resolución

4. inverso aditivo:

P = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n+1)(n+2)

Calcula: E = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 600

Si a, b ∈ R; entonces: a + b ∈ R

3. conmutativa:

S = n(n+1)(n+2) 3

Ejemplo 1:

2. clausura

S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)

Si a + c = b + c, entonces a = b. Corolario (uniformidad) Si a = b y c = d, entonces: a + c = b + d


a+a2+a3+...+an = Ejemplo 2:

a(an – 1) a–1

Calcula: A = 5+52+53+ ... +5100 Resolución A=

5(5100 – 1) = 5–1

5101 – 5 4

113

Aritmética - 5to Sec. 6. suma de los " n " términos de una progresión Aritmética

3. suma de números triangulares: M = 1+3+6+10 + ... + n(n + 1) 2

a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an

M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)

Ejemplo 3:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an

Calcula : M = 1+3+6+10+...+210

(a1 + an) . n

S=

2

Resolución También:

M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+ (1+2+3+...+20) M= 20.21.22 6

=

«n» es la cantidad de sumandos en cada suma.

Calcula:

S = 4+7+10+...+91

Resolución

Resolución (20)(21) (41) 6

=

(4+91)n S = 2 pero: n = 91 - 4 + 1 3

2870

5. suma de los cubos de los "n" PRIMEROS NÚMEROS Enteros positivos

[

n(n+1) 2

]

2

n = 30

∴ S =

(4+91)30 2

Ejemplo 7: Ejemplo 5:

Calcula: P = 13+23+33+...+93

[

Calcula:

A = 5 + 7 + 9 + 11 + ...

Resolución

]

2 = 452 9(10) P= 2 2025

114

S = 1425

20 sumandos

Resolución

2

Ejemplo 6:

Q = 12+22+32+...+202

13+23+33+...+n3 =

[2a1 +(n-1)r] . n

Nota

12+22+32 +...+n2= n(n+1)(2n+1) 6

Q=

S=

1540

4. suma de los cuadrados de los "n" primeros Números enteros positivoS

Ejemplo 4:

+r

+r

n(n+1)(n+2) M= 6

A = [2(5) + (20–1)(2)] . (20) 2

A =

480


Aritmética - 5to Sec. 3. si

SUSTRACCIÓN

abc – cba = xyz

Es la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dos números enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar un tercer número llamado Diferencia.

x + z = 9 ∧ y = 9 Ejemplo:

Si abc – cba = 3xy, calcula x – y.

Se representa mediante el operador : «–». Términos :

M–S=D

Resolución

M : Minuendo S : Sustraendo D : Diferencia

Por propiedad x = 9

3+y=9 → y=6

Propiedades

∴ x–y=3

1. m = s+d «En una sustracción la suma del Sustraendo y la Diferencia es igual al Minuendo». Ejemplo:

8 –(–3) = 11 M = 8, S = 3, D = 11

4. en otros sistemas de numeración abc(n) – cba(n) = xyz(n)

donde : y = n – 1 x + z = n – 1 Ejemplo:

S +D = M – 3 + 11 = 8 8=8

Resolución

2. m +s+d = 2m «La suma de los 3 términos de una sustracción es igual al doble del minuendo». Ejemplo:

abc(9) – cba(9) = mn4(9)

Por propiedad:

M + S + D = 2M 12 + 5 + 7 = 2(12) 24 = 24

Escribimos:

12 – 5 = 7 M = 12, S = 5, D = 7

Si abc(9) – cba(9) + mn4(9), calcula m . n.

n=8 m+4=8 → m=4 ∴ m . n = 32

Complemento Aritmético (CA) Se define al complemento aritmético de un número como la cantidad de unidades que le falta para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. Ejemplos:

¿Por qué la incógnita es la X? Los árabes llamaban a la incógnita shay (cosa). En muchas traducciones se escribía latinizada como xay y de ahí, al abreviar, quedó x. En Italia, shay se tradujo como cosa y a los que resolvían ecuaciones se les llamó cosistas, quienes escribían la x como co.


CA(8) = 10 – 8 = 2 CA(23) = 100 – 23 = 77 CA(381) = 1000 – 381 = 619 CA(abc) = 1000 – abc CA(mnpq) = 10000 – mnpq En general, si N tiene k cifras entonces: CA(N) = 1 00...0 – N k 115

Aritmética - 5to Sec. Método práctico para calcular el complemento aritmético

3 5 7)

Es la operación aritmética, que dados dos enteros «M» y «m» llamados multiplicando y multiplicador respectivamente o factores, hace corresponder un tercer número «P» llamado producto, el cual se compone de tantas veces el multiplicando como nos indique el multiplicador. Se representa mediante el operador matemático «x».

6 4 3

Notación:

A. SI EL NÚMERO NO TERMINA EN CERO (9)

(10)

CA( 9 2

0 7

MULTIPLICACIÓN

∴ CA(92357)= 7643

M x m =P

B. SI EL NÚMERO TERMINA EN CERO (9)

(10)

CA( 3 5

0 2 7 0 0 )

6 4

Propiedades en R

9 7 3 0 0

1. clausura: Si a, b ∈ R → a x b ∈ R

∴ CA(3502700)= 6497300 Ejemplo 1:

2. ASOciativa:

Calcula CA(60027) + CA(19900).

Resolución (9)

CA( 6 0

3 9 (9)

8 0

axb=bxa

0 2 7 ) = 39973 4. modulativa: Existe un elemento 1 (uno), tal que 1 x a = a x 1 = a y se le llama «módulo» o elemento neutro multiplicativo.

9 7 3

9 0 0 ) = 80100 1 0 0

∴ 39973 + 80100 = 120073 Ejemplo 2:

a x b (b x c)=(a x b) x c

3. conmutativa:

(10)

(10)

CA( 1 9

M: multiplicando m: multiplicador p: producto

5. INVERSO: Para todo a ∈ R – {0} existe 1 , tal que: a 1 a x =1 a 6. MOnoTONÍA:

Si CA(a8b) = 1x4 calcula a + b +x.

Si a, b, c, d son enteros positivos y a < b y c < d. luego a x c < b x d

Resolución (9)

CA( a 8

(10) b )

1 x 4 ⇒ 9 – a = 1 → ⇒ 9 – 8 = x → ⇒ 10 – b = 4 → ∴ a + b +x = 15

116

Cantidad de cifras de un producto 1. producto DE 2 fACTORES a=8 x=1 b=6

Sean los números A y B con a y b cifras, respectivamente, y cuyo producto es «P». Entonces: A x B = P «a» cifras «b» cifras «x» cifras


Aritmética - 5to Sec. Donde «x» es el número de cifras de «P», se tiene:

Resolución

xmáx = (a + b) cifras xmín = (a + b – 1) cifras

Sea A x B x C = P Donde la cantidad de cifras de «P» sea «x», luego:

Ejemplo:

xmáx =3 + 4 + 5 = 12 cifras

¿Cuántas cifras tendrá como máximo y mínimo el producto de A x B si «A» tiene 3 cifras y «B» posee 4 cifras?

xmín =3 + 4 + 5 – 3 + 1= 10 cifras

Resolución

xmáx = 12 cifras ; xmín = 10 cifras

A x B = P «a» cifras «b» cifras «x» cifras

xmáx = (3 + 4)

xmín = (3 + 4 – 1) = 6 cifras

Interpretación: El producto de 3 factores con 3, 4 y 5 cifras respectivamente, podrá tener como máximo 12 cifras y como mínimo 10.

= 7 cifras

xmáx = 7 cifras ; xmín = 6 cifras

Interpretación:

¿Cuánto durará el mundo?

El producto de un número de 3 cifras por otro de 4 cifras poseerá como máximo 7 cifras y como mínimo 6 cifras.

Cuenta la leyenda que en Benarés (India), el Dios creador Brahma entregó a los monjes tres vástagos diamantinos sobre una base de bronce. Ensartó entonces 64 discos de oro, todos de dimensiones distintas, en una de las varillas, dispuestas de modo que el mayor estuviera en la base y los discos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó a los monjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vástagos, de modo que en cada traslado sólo fuese movido un disco dorado, y de manera tal que nunca un disco tuviera debajo otro de menor tamaño. Al final sentenció: "Cuando hayáis acabado la tarea, el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo".

2. PRODUCTO DE "n" FACTORES Sean los números A1,A2,A3, ...,An con a1, a2, a3, ... ,an cifras, respectivamente, y su producto P. Entonces: A1 x A2 x A3 x ... x An = P xmáx=(a1 + a2 + a3 + ... + an) cifras xmín=(a1+a2+a3+...+an– n+1) cifras Ejemplo: ¿Cuántas cifras podrá tener como máximo y mínimo el producto de AxBxC si tienen 3; 4 y 5 cifras respectivamente?

DIVISIÓN Operación aritmética inversa a la multiplicación representada por ÷ o /, que consiste en que dados dos enteros positivos llamados dividendo el primero y divisor el segundo, encontrar otro llamado cociente, tal que multiplicado por el divisor nos dé el dividendo. Sean:

D : dividendo d : divisor q : cociente, y D > d

Luego:


D=dxq

117

Aritmética - 5to Sec. Clases de divisiones 1. división exacta (r = 0) Es aquella donde el residuo es igual a 0, es decir, el dividendo contiene un número exacto de veces al divisor.

2. En una división inexacta, para que el cociente aumente en 1, al dividendo se quita el residuo y se aumenta un divisor; mientras que para el cociente disminuya en 1, al dividendo se quita el residuo y se quita un divisor. Ejemplo:

Ejemplo: D = d= q = r =

76 4 36 19 0 Se cumple :

76 4 19 0

34 6 34 – 4 + 6 6 ⇒ 4 5 0 5 + 1

3. En una división inexacta, si al divisor y resto se multiplican por n, entonces el dividendo queda también multiplicado por n.

D=dxq Ejemplo:

2. división inexacta (r ≠ 0)

Son aquellas donde habrá un residuo o resto al efectuar la división. Ejemplo: D = d= q = r =

76 7 70 10 6

4. En una división inexacta, si al dividendo y divisor se multiplican por n, entonces el resto también se multiplica por n.

76 7 10 6

Ejemplo:

Se cumple : D = d x q+r r
En una división inexacta se considerará:

Ejemplo:

1. D = dxq + r 2. r < d 3. Resto mínimo = 1 4. Resto máximo = d – 1

Propiedades de una división 1. En una división exacta si al dividendo se le aumenta o disminuye el divisor, entonces el cociente aumenta o disminuye en 1.

118

25 8 25 x 3 8 x 3 ⇒ 1 x 3 3 1 3

5. En una división inexacta, si al dividendo y resto se les multiplica por n, entonces No siempre el divisor queda multiplicado por n, pueda que sea el cociente.

Observación

Ejemplo:

25 8 25 x 2 8 x 2 ⇒ 1 x 2 3 1 3

25 8 25 x 2 8 x 2 ⇒ 1 x 2 3 1 3

En una división inexacta siempre se debe cumplir que:

* residuo mínimo = 1 * residuo < divisor * residuo máximo = divisor – 1

* residuo <

(

Dividendo 2

)

24 6 24 + 6 6 ⇒ 0 4 0 4 + 1



Resolviendo en clase 4) El producto de dos números pares consecutivos es 1224, calcula la suma de ambos factores.

1) Calcula la suma de las 4 últimas cifras del resultado de: 7 + 77 + 777 + ... + 777...77

Rpta: __________

100 sumandos Rpta: __________

2) Calcula: (1+2+3+...+n)2 – (13+23+33+...+n3)

5) Si mpq m = 303 mpq p = 606 mpq q = 909,

2

calcular mpq y da como respuesta la suma de sus cifras.

Rpta: __________

Rpta: __________

3) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 150. Calcula el sustraendo si es igual a 2/5 del minuendo.

6) Calcula el dividendo de una división si el divisor es el menor capicúa de 3 cifras y el cociente es igual al resto que es máximo.

Rpta: __________

Rpta: __________

1) Calcula la suma de las 3 últimas cifras del resultado de: 5 + 55 + 555 + ... + 555 ... 5

4) El producto de dos números pares consecutivos es 1056, calcula la suma de cifras del mayor de ellos.

Para Reforzar

Rpta: __________

80 sumandos Rpta: __________

2) Calcula «x + y» si: x = 12 + 22 + 32 + ... + 192 y = 13 + 23 + 33 + ... + 193

5) Si abc a = 1155 abc b = 5080 abc c = 1925,

2

calcular abc y da como respuesta la suma de sus cifras.

Rpta: __________

Rpta: __________

3) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 90. Calcula el sustraendo si es la tercera parte del minuendo.

6) En una división el resto es máximo. Calcula el dividendo si el cociente es el triple del resto y el divisor es 23.

Rpta: __________

Rpta: __________


119


Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si: abc + cba = 1392 y abc – cba = mn(2m), determina el valor de a+b2+ c3. a) 84 b) 144 d) 157

1

c) 96 e) 153

Calcula: x + y – z si: xyz + zyx = 1291 ; xyz – zyx = mn(m+1) a) 8 b) 13 d) 14 Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Si el CA de m9n es 6p6 , halla: m + n – p. a) 3 b) 6 d) 8

c) 7 e) 4

Resolución:

Clave:

2

Si el CA de a8b es 5c4 , halla: a + b + c. a) 10 b) 13 d) 14

c) 11 e) 12

Resolución:

Clave: 120

c) 9 e) 12

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 3 Calcula "J + U" si:

3

J = 40 + 41 + 42 + ... + 80 U = 31 + 33 + 35 + ... + 79

a) 2 460 b) 3 835 d) 4 000

Calcula el valor de: S =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+...+80)

a) 88 560 b) 88 360 d) 88 460

c) 2 800 e) 1 375

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Calcula: m + n + p + q si: mnpq x 9999 = ... 8766 a) 9 b) 12 d) 13

c) 88 660 e) 88 760

c) 10 e) 11

Resolución:

Clave:

4

Calcula: p + q + r + s si se cumple que: pqrs 9999 = ...3759 a) 9 b) 12 d) 13

c) 10 e) 11

Resolución:

Clave:


Clave: 121


Dos números suman 896, el cociente es 37 y el resto el máximo posible. Los números difieren en: a) 850 b) 790 d) 782

5

c) 822 e) 880

Dos números suman 930, el cociente es 17 y el resto es máximo. La diferencia de los números es: a) 822 b) 852 d) 862

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

c) 3 e) 4

Resolución:

6

Si CA (abc) = ddd y además a + c = 13, halla el valor de a + b + c + d. a) 18 b) 16 d) 19

c) 22 e) 24

Resolución:

Clave: 122

Clave:

El complemento aritmético del numeral abcd es nnn. ¿Cuál es el valor de c si a, b, c y n suman 24? b) 5 a) 2 d) 6

c) 832 e) 842

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 7 [CA(ab)] x 1ab = 9831, halla «a + b». a) 5 b) 3 d) 7

7

c) 6 e) 4

Calcula (a + b) si: 1ab x CA(ab) = 9744 a) 7 b) 6 d) 5

c) 8 e) 9


Clave:

8

En una división el dividendo es 596. Si el resto, divisor y cociente forman una progresión aritmética de razón 3, calcula el cociente. a) 21 b) 24 d) 25

c) 22 e) 23

Resolución:

Clave:

8

En una división el dividendo es 646. Si el resto, cociente y divisor forman una progresión aritmética de razón 2, calcula el cociente. a) 22 b) 28 d) 30

c) 24 e) 26

Resolución:

Clave:

Clave:



123


Capítulo

14

Divisibilidad: Principios y Criterios

En el conjunto Z de los enteros, se define: dados los enteros a y b ≠ o cualesquiera, se dice: b es divisor de a y se escribe: a/b si existe un entero k, tal que: a = b.k también se dice: a es divisible por b o a es múltiplo de b.

notación de un múltiplo de n n ; n ∈Z

• Indica los múltiplos de 12.

OBTENCIÓN DE UN MÚLTIPLO Si a = n ⇒ a = n.k

Ejemplos: * 60 es divisible por 10, pues 60 = 10 x 6 * - 20 es múltiplo de 4, pues -20 = 4 x (-5)

Éstos son: ...; -24; -12; 0; 12; 24; 36; ...

Ejemplo: Calcula la suma de los 20 primeros enteros positivos divisibles por 11. Resolución

* 8 es múltiplo de 8, pues 8=8x1

11 x 1 + 11 x 2 + ... +11 x 20 11 x (1 + 2 + 3 + ... + 20) 11 x 20 x 21

* 0 es múltiplo de 5, pues 0=5x0

2

2310

* 5 es divisor de 40, pues 40 =8 5

Propiedades de la divisibilidad

* 7 no es divisible por 0, pues 7 no existe 0

1) Si un número divide a otros dos, entonces divide a la suma, a la diferencia, al producto y a la potencia de dichos números. Es decir: Si a y b son múltiplos de n, entonces a + b ; a - b ; a x b y ak serán también múltiplos de n.

* 6 es divisor de -24, pues -24 = -4 6 * 1 es divisor de todo número. * 0 es múltiplo de todo número, excepto de él.

124

Convención: n + n = n

n-n=n

n×n=n

(n)k = n


Aritmética - 5to Sec. 2) Si A se divide entre n y dá de residuo r, se representa A como: n + r Ejemplo:

Si A y B se dividen entre 5, los restos respectivos son 2 y 3. ¿Cuál será el resto de A × B; A 3 y 3A - 2B entre 5?

6) En la división: D = dq + r , r < d i. Si D y d son n → r es n ii. Si d y r son n → D es n iii. Si q y r son n →D es n

Ejemplo:

En una división, el dividendo es 7 + 2, el cociente es 7 + 3 y el resto 7 + 1. ¿Cómo es el divisor?

Resolución

i. ii. iii.

A×B es: (5+2) (5+3) = 5+6 = 5 + 1 A3 es: (5 + 2)3 = 5 + 8 =5+3 3A - 2B es: 3(5 + 2) - 2(5 + 3) =5+6-6=5 ∴ Éstos restos son: 1; 3 y 0

3) Si la fracción N/a es entera, entonces N es divisible por a. 4) Si N es divisible por a y por b, entonces será divisible por el MCM de a y b. Ejemplo:

Resolución

ecuaciones diofánticas Se denomina ecuación diofántica (en honor al matemático griego Diofanto, siglo IV) a aquella ecuación cuyas constantes son números enteros y cuyas incógnitas representan números enteros.Pueden ser de 2 o más incógnitas y de primer grado o de grado superior. En particular estudiaremos la resolución de una ecuación diofántica lineal de 2 incógnitas.

Calcula el menor entero positivo divisible por 4 y 6. Resolución Sea N el menor entero positivo tal que:

Ax + By = C

Donde: {A, B, C} ⊂ Z

Para que la ecuación anterior tenga solución es necesario y suficiente que: o C= MCD (A,B)

N es 4

N es 6

Luego, el menor será N = 12.

⇒ N es 12

Ejemplo:

5) Todo número es divisible por sus factores si: N=a×b

D = dq + r 7 + 2 = d (7 + 3) + 7 + 1 3d = 7 + 1 +14 =7 3d = 7 + 15 d = 7 + 5

entonces: N es a y N es b Ejemplo:

Un negociante tiene S/. 1500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra? Sea:

o

Expresando todos los términos en función de 7 : o

Resolución

Entonces abc - cba es 3 ; 9 ; 11; 33; 99 y (a - c)

o

o

7 + ( 7 + 1) y = 7 + 3 o y = 7+ 3

La expresión abc - cba, ¿de cuántos es múltiplo?

abc - cba 100a + 10b + c - 100c - 10b - a 99a - 99c 99 (a - c) 3 . 3 . 11. (a - c)

x → # de cajas de leche y → # de cajas de aceite → 70x + 80y = 1500 7x + 8y = 150 ... (1)

Determinamos todas las soluciones posibles reemplazando los valores de y en la ecuación (1):

-8 -8

x 18

y 3

10 10 2 17

+7 +7

Por lo tanto, la compra se puede efectuar de 3 maneras diferentes.


125

Aritmética - 5to Sec. PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD

divisibilidad por 4:

a) La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número, siempre es igual a un múltiplo del mismo número.

Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4; también si el doble de la penúltima más la última resultan un 4° .

n - n=n

n+n=n

Si: ...abc es 4° ⇒ 2b + c es 4° ó bc = {00, 04,...,96}

b) La multiplicación de un múltiplo de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n". Ejemplo :

n . k=n

° 132 es 4° pues 32 es 4.

c) La potencia de un múltiplo resulta otro múltiplo del mismo número. k

divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8; también cuando el cuádruple de la antepenúltima cifra más el doble de la penúltima, más la última cifra resulta un múltiplo de 8. °

(n ) = n K∈Z+

d) Si A no es divisible por n, entonces A es:

...abcd es 8° ⇒ bcd = {000; 008; 016;...;992}

n + r ; r < n ó n - r' ; r' < n

También cuando: 4b+2c+d es 8° Ejemplo :

e) Si:

° 3144 es 8° pues 4x1+2x4+1x4 es 16 que es 8.

N es a ; N es b; entonces N es: MCM(a;b)


f) Si P = a . b, entonces: P es a

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

P es b

° Si abcde es 3° ⇒ a+b+c+d+e es 3.

P es (a . b)

Ejemplo : 543621 es 3°

Criterios de Divisibilidad Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permiten determinar su divisibilidad respecto a ciertos módulos (divisor). divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par. Si: ...abc es 2° ⇒ c = 0,2,4,6 ó 8

divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 cuando la suma de cifras es un múltiplo de 9. ° Si abcdef es 9° ⇒ a+b+c+d+e +f es 9. Ejemplo :

Ejemplo : 567328 es 2° porque 8 es 2° 126

pues 5+4+3+6+2+1=21 es 3°

1863 es 9° ° pues 1+8+6+3 es 18 que es 9.


Aritmética - 5to Sec. divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

Luego de realizar el producto se efectúa la suma y si el ° resultado es 7 el número será múltiplo de 7. Si abcdefgh es 7° ⇒

Ejemplo :

24 es 6°

a b c d e f g h ↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ ↓ 31 2 3 1 23 1 + +

es 2° (última cifra par) es 3° (suma de cifras 6)


⇒h + 3 g+2 f - (e +3 d + 2c) + b + 3a = 7° Ejemplo :

Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es cero o cinco. Si ...abc es 5° ⇒ c = 0 ó 5

1 0 2 1 3 es 7° hacemos: -3 -1 2 3 1; pues -3+0 +4+3+3 = 7 que es 7° divisibilidad por 11:

Ejemplo : 356785 es 5° pues termina en 5. divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 25. ° ⇒ bc = {00, 25, 50,75} Si ...abc es 25 Ejemplo :

Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulte múltiplo de 11. ° ⇒ b+d-a-c es 11 ° Si abcd es 11 Ejemplo : 1 0 0 1 es múltiplo de 11 hacemos: - + - + ° pues -1 + 0 - 0 +1 = 0 que es 11 divisibilidad por 13:

° pues termina en 25 54325 es 25 divisibilidad por 125:

Se multiplica cada cifra del número por el factor indicado de derecha a izquierda. Si:

a b c d ↓↓ ↓ ↓ 31 4 3 (-) (+)

Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 125. ° ° ⇒bcd =000, ó 125 Si ...abcd es 125

° e f g h es 13 ↓↓↓ ↓ 14 3 1 (-) (+)

° ⇒ h - (3g+4f+e)+(3d+4c+b)-3a es 13

Ejemplo :

Ejemplo : ° ° 8178375 es 125 pues 375 es 125

divisibilidad por 7: Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los siguientes factores: 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,...

° 3 3 6 3 1 es 13 hacemos 3 - 1 - 4 - 3 1 ° pues 9 - 3 -24 -9 + 1 = - 26 es 13 divisibilidad por números compuestos Se descompone en factores cuya divisibilidad se conoce.


127


Resolviendo en clase

1) Del 1 al 779, ¿indica cuántos enteros : I. no son 9° II. son 3° y 4° III.son 4° pero no 3° Halla la suma de los 3 resultados.

4) El menor número de 4 cifras que sea: ° + 2 y 15 ° - 13 es: 9° - 7; 12 Rpta: __________

Rpta: __________

5) Si nn37 = 9° + 4, halla n.

° 2) ¿Cuántos números de 3 cifras son 23?

Rpta: __________

Rpta: __________

6) Al convertir el número 4343...(28 cifras) al sistema nonario, la cifra de primer orden es:

3) La expresión n2 (n2 - 1)es siempre divisible por: Rpta: __________

Rpta: __________

Para Reforzar

1) Del 1 al 500, ¿indica cuántos enteros son: I. múltiplos de 5 II. múltiplos de 20 III.múltiplos de 7 Halla la suma de los 3 resultados.

4) La edad en años de una persona es: ° -1 2° +1; 7° + 6 y 10

Halla la suma de las cifras de la edad. Rpta: __________

Rpta: __________

° halla a. 5) Si a2a53 = 9,

° 2) ¿Cuántos números de 3 cifras son 17? Rpta: __________

3) El producto de 3 enteros positivos consecutivos: n (n+1)(n+2)es siempre múltiplo de: Rpta: __________

128

Rpta: __________

6) Al convertir 1212...(37 cifras)a base 9, la cifra de las unidades es: Rpta: __________



Para el profesor: 1

Para el alumno:

Halla «a» si 4a8a6 es múltiplo de 11. a) 3 b) 9 d) 6

1

c) 5 e) 7

Halla «a» si 5a782 es divisible por 11. a) 4 b) 7 d) 3

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Calcula la suma de valores de x si 222xx es divisible por 7. a) 8 b) 10 d) 11

c) 5 e) 6

c) 7 e) 9

Clave:

2

Calcula x si x2xx5 es divisible por 7. a) 2 b) 2 ó 9 d) 1 u 8

c) 3 u 8 e) 3


Clave:


Clave: 129


Si los numerales a43, ab2 y abc son, respectivamente, múltiplos de 7;9 y 11, calcula a + b + c. a) 7 b) 9 d) 8

3

c) 11 e) 10

Halla «a x b x c» si: ° abc =11 ; cba =7° a) 144 b) 174 d) 214

Resolución:

c) 143 e) 154

4

Si los alumnos de un colegio se agrupan de a 6; 8 y 11 siempre sobran 3; pero de a 7 no sobra ninguno. ¿Cuántos son los alumnos como mínimo? a) 1059 b) 1851 d) 795

c) 1323 e) 1587

Resolución:

Resolución:

Clave: 130

c) 162 e) 186

Clave:

De un grupo mínimo de personas los 3/11 son viejos, los 5/18 son calvos. El menor número que conforman el grupo que tienen cabellos es: a) 132 b) 198 d) 396

bac=9°

Resolución:

Clave:

4

;

Clave:


Aritmética - 5to Sec. 5 Si 1a60ab es divisible por 99, calcula «b - a» a) 5 b) 8 d) 9

5

c) 6 e) 7

° Halla a.b si 5a10b = 72 a) 12 b) 48 d) 32

Resolución:

Resolución:

Clave: ° + aaa, halla a. 6 Si aaa2aa = 13 a) 4 b) 7 d) 8

c) 24 e) 15

Clave:

6 c) 5 e) 6

Resolución:

° halla n. Si nn97n = 13, a) 3 b) 7 d) 8

c) 4 e) 6

Resolución:

Clave:


Clave: 131


° halla n. Si 2n569 + n69n = 11, a) 2 b) 7 d) 4

7

Si nn + 52n = 7° +1n3, halla n. a) 3 b) 6 d) 1

c) 3 e) 6

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Indica (x + y) para que 7x36y5 sea divisible por 1375. a) 5 b) 12 d) 3

c) 4 e) 5

c) 4 e) 8

8

° Halla a si 4a3bc = 1125 a) 6 b) 8 d) 7

c) 5 e) 9

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:




Capítulo

Números Primos M.C.D. - M.C.M.

NÚMEROS PRIMOS

15

Observación

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Todo número compuesto, posee una cantidad de divisores simples y divisores compuestos.

Los números enteros positivos (Z+), se pueden clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores Z+ que poseen:

Ejemplo :

Z+

A) La Unidad Es el único Z+ que posee un solo divisor. :

B) Números Primos Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: la unidad y al mismo número. 2 5 17 23

: : : :

1;2 1;5 1 ; 17 1 ; 23

Divisores

Números Compuestos: Son aquellos que poseen más de dos divisores. Ejemplo :

4 : 6 : 12 : 20 :

EN GENERAL CDN = CDSN + CDCN

1 Divisor

1, 2, 3, 4, 6, 12

De los divisores de 12 son: Simples → 1; 2; 3 Primos → 2; 3 Compuestos → 4; 6; 12

Números Compuestos

1

:

Divisores

La Unidad

Números Simples:

Ejemplo :

12

Números Primos

Números Simples

1; 2; 4 1; 2; 3; 6 1; 2; 3; 4; 6; 12 1 ; 2; 4; 5; 10; 20 Divisores

Donde: CDN : Cantidad de divisores de N. CDSN : Cantidad de divisores simples de N. CDCN : Cantidad de divisores compuestos de N. PROPIEDADES: 1 El conjunto de los números primos es infinito. {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;...} 2 2 es el único número primo par. 3 2 y 3 son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos. 4 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 2, entonces: o o (P = 4 + 1) v (P = 4 - 1) 5 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 3, entonces: o o (P = 6 + 1) v (P = 6 - 1)


133

Aritmética - 5to Sec. ¿Cómo se determina si un número es primo?  Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es exacta se determina que el número no es primo.  Caso contrario, se considera todos los números primos menores o iguales que la parte entera de la raíz.  Se divide el número dado entre cada número primo considerado.  Si en dichas divisiones, se obtiene al menos una exacta, el número no es primo.  Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo. Ejemplo :

Ejemplo : Sean los números 13, 14 y 15, donde: 13 :

14 : 1 , 2 , 7 , 14 15 : 1 , 3 , 5 , 15 Divisores El único divisor común es 1, entonces 13, 14 y 15 son números PESI. 2) Dos o más números impares consecutivos son siempre PESI. Ejemplo :

¿El número 193 es un número primo?

Sean los números 33 y 35, donde:

193 = 13, .... ≈ 13



33 :

 Números primos ≤ 13 : 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Divisores El único divisor común es 1, entonces 33 y 35 son números PESI.

o

2 + 1 o

3 + 1

Teorema Fundamental de la Aritmética

o

Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica.

5 + 3 o

7 + 4 o

11 + 6

Ejemplo :

o

13 + 11

Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 193 es un número primo.

(Primos relativos o coprimos) Dos o más números son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo :

N = Aα x Bβ x Cδ x ... Donde: A, B, C, ... : Factores primos de N. α, β, δ, ... : Enteros positivos. Cantidad de Divisores de un Número (CDN)

Sean los números 11, 12 y 15, donde:

Si :

1 , 11

N = Aα x Bβ x Cδ x ... Descomposición Canónica

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 15 : 1 , 3 , 5 ,

 144 = 24 x 32  150 = 2 x 3 x 52  1200 = 24 x 3 x 52 EN GENERAL

Números Primos entre sí (PESI)

11 :

1 , 3 , 11 , 33

35 : 1 , 5 , 7 , 35

 Comparando 193 con cada uno de los números primos considerados.

193 ⇒

1 , 13

CDN = (α+1)(β +1) (δ + 1) ...

15

Divisores El único divisor común es 1, entonces 11, 12 y 15 son PESI. Observaciones: 1) Dos o más números consecutivos son siempre números PESI. 134

Ejemplo :

¿Cuántos divisores tiene 720? * 720 = 24 x 32 x 51 CD720 = (4 +1) (2+1) (1 + 1) CD720 =30


Aritmética - 5to Sec. máximo común divisor

Algoritmo de Euclides

Se llama M.C.D. de varios números diferentes de cero, al mayor número que sea divisor de todos ellos.

Procedimiento: Se divide el mayor entre el menor, obteniéndose un cociente y un primer residuo. Sin considerar el cociente, se divide el menor entre el primer residuo obteniéndose otro cociente y un segundo residuo, enseguida; se divide el primer residuo entre el segundo, así sucesivamente, hasta que el residuo resulte cero. El MCD de los enteros es el divisor de la última división cuyo residuo ha resultado cero.

Ejemplo : Sean los números 12; 30 y 48. 1 2 3 6

→ Divisor común → Divisor común → Divisor común → Máximo divisor común

Ejemplo : 1.

1

1 4

540 300 240 60

⇒ MCD (12; 30; 48) = 6

240

Cálculo del M.C.D.

60

Último residuo

0 MCD (540; 300)

• POR DESCOMPOSICIÓN Individual en

factores primos (descomposición canónica) El MCD será el producto de factores primos comunes con el menor exponente.

Propiedades Básicas 1). Sean los números A y B, si A es múltiplo de B:

Ejemplo : Sean los números 1200; 1440 y 900. Donde: 1200 = 24 × 3 × 52 1440 = 25 × 32 × 5 900 = 22 × 32 × 52 MCD(1200,1440, 900)=22x3x5=60

factores primos. Se busca solamente los factores comunes. Ejemplo :

Sean los números 360; 960 y 3000 360 180 90 45 15 3

960 3000 480 1500 240 750 120 375 40 125 8 25

⇒ MCD (A; B) = B

Sean los números 30 y 6 , donde 30 es múltiplo de 6.

⇒ MCD (30; 6) = 6

2) Sean los números A y B,

• POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA en

2 2 2 3 5

si A y B son P.E.S.I.

⇒ MCD (A; B) = 1

Ejemplo :

Sean los números 36 y 25, donde 36 y 25 son P.E.S.I.

⇒ MCD (36; 25) = 1

3) El MCD también es el mayor factor común de varios

números.

3, 8 y 25 son P.E.S.I., entonces se detiene la operación.

 MCD (4x; 6x) = 2x

MCD(360,960,1200)=23x3x5=120

 MCD (a2; a3) = a2


135

Aritmética - 5to Sec. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Propiedades Básicas

Se llama M.C.M. de varios números positivos, al menor número distinto de cero que contiene a cada uno de ellos un número entero y exacto de veces.

Así:

Números 6 8

Múltiplos

1 Sean los números A y B , si A es divisible por B.

⇒ MCM (A; B) = A

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,... 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

Ejemplo :

Sean los números 36 y 9 , donde 36 es divisible por 9. Múltiplos comunes : 24, 48, 72 ...

⇒

MCM (36;9) = 36

MCM (6; 8) = 24

Cálculos del M.C.M.

• Por Descomposición individual en Factores Primos (descomposición canónica)

2 Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒ MCM (A; B) = A x B Ejemplo :

* El MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo :

Sean los números 12 y 25 , donde 12 y 25 son P.E.S.I.

⇒

MCM (12;25) = 300

Sean los números 80; 120 y 150.

Donde:

80

= 24 × 5

120

= 23 × 3 × 5

150

= 2 × 3 × 52

La Teoría de los Números

MCM (80, 120, 150) = 24 × 52 × 3 = 1200 • Por Descomposición simultánea de Factores Primos

* Se busca todos los factores sin excepción.

Ejemplo : Sean los números 60; 140 y 200

60 140 30 70 15 35 15 35 5 7 1 7 1 7 1 1

200 100 50 25 25 5 1 1

2 2 2 3 5 5 7

MCM (60, 140, 200) = 23×3×52×7 = 4200 136

Los Elementos de Euclides son considerados frecuentemente, de una manera equivocada, como un libro dedicado exclusivamente a la geometría. En los libros VII, VIII y IX trata de la teoría de números: La palabra "número" para los griegos se refería siempre a lo que hoy llamamos naturales o enteros positivos. Euclides no usa expresiones como "es múltiplo de" o "es un factor o divisor de" sino que la sustituye por "está medido por" o "mide a", respectivamente, pues Euclides representa a cada número por un segmento, hablará de un número como AB. También menciona la distinción de un número par, impar, primo, compuesto, plano y sólido (los que se expresan como producto de 2 ó 3 factores, respectivamente)... Howard Boyer, ed. Madrid 1986, página 157.



Resolviendo en clase 1) Entre los números 360, 270 y 180, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 520?

4) Si 15n x 45 tiene 39 divisores compuestos, halla «n».

Rpta: __________

Rpta: __________

2) Si:

B= 3n x (25)2 x 49 x (121) x 11 tiene 360 divisores, halla «n».

5) De los divisores de 750: A. ¿Cuántos son impares? B. ¿Cuántos son múltiplos de 6? C. ¿Cuántos no son múltiplos de 15?

Rpta: __________

3) Sabiendo que:

A = 6n x 30 tiene el doble de divisores de B= 6 x 30n, halla el valor de «n». Rpta: __________

Rpta: __________

6) Si A = 23 x 35 x 52 x 74 , B = 24 x 32 x 5 x 11 y C = 22 x 32 x 54 x 132 ; halla el MCD (A; B; C). Rpta: __________

Para Reforzar 1) Entre los números 250, 120 y 200, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 378? Rpta: __________

4) Si: M = 2n x 32 x 73 x 112 tiene 175 divisores compuestos, halla «n». Rpta: __________

2) Si:

A = 2n x 81 x 49 x 7, tiene 100 divisores, halla n2.

5) ¿Cuántos divisores de 500 son múltiplos de 25? Rpta: __________

Rpta: __________

3) Sabiendo que: A = 6n x 32 x 52 tiene el doble de divisores de B= 22 . 52 . 7n, halla el valor de «n».

6) Si M = 33 x 52 x 71 , N = 23 x 32 x 73 y P = 23 x 31 x 53 x 74 Halla el MCD (M; N; P)

Rpta: __________


Rpta: __________

137


Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si: MCD (144k; 100k; 120k) es 124, calcula k. a) 13 b) 23 d) 31

1

Si: MCD (180x; 240x; 360x) es 420, calcula x. a) 18 b) 14 d) 6

c) 17 e) 19

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Si: A=2n–1x 32n+1 x 5n+2 , B = 2n+2 x 3n+1 x 7n y C = 2n+1 x 3n x 7n+1;

Clave:

2

Si: M = 2a+3 x 3b-4 x 53 , N = 2a-1 x 32b x 52 y P = 22a x 32b-1;

y además: MCD (A, B, C) = 2 x 32, halla 3n + 2.

y además MCD (M, N, P) = 23 x 32, halla 2a + b.

a) 11 b) 20 d) 17

a) 16 b) 13 d) 8

c) 8 e) 14

Resolución:

c) 14 e) 11

Resolución:

Clave: 138

c) 7 e) 24

Clave:



Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 7366, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides son 1, 1, 3, 5 y 2. a) 57 b) 58 d) 56

3

c) 60 e) 64

Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 1022, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides, son 1, 2, 3 y 4. a) 14 b) 18 d) 32

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

c) 28 e) 42

Si: MCD(ab0ab; a(a+b)b) es 55(a+b) Calcula: a . b. a) 12 b) 20 c) 15 d) 24 e) 18 Resolución:

Clave:

4

Si: MCD (ab0; abab) es ba, halla a + b. a) 15 b) 21 d) 200

c) 6 e) 3

Resolución:

Clave:


Clave: 139


Si A = 2n-3 x 3n y B = 2n x 3n+2x 5n+4 Si la cantidad de divisores del MCM de A y B es 480, halla «n». a) 6 b) 7 d) 9

5

c) 8 e) 5

Si A = 2n+2 x 3n-3 y B = 22n-1 x 3n ; y además la cantidad de divisores del MCM (A, B) es 420, halla «n». a) 7 b) 14 d) 16

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Si: MCM (9a, 4b) = 90, calcula a . b a) 12 b) 20 d) 14

c) 15 e) 18

Clave:

6

Si: MCM (9a, 2a) = 196, calcula «a». a) 8 b) 50 d) 4

c) 7 e) 6

Resolución:

Resolución:

Clave: 140

c) 8 e) 15

Clave:



Se tiene ladrillos cuyas dimensiones son 12; 15 y 24 cm. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para asentar y formar un cubo compacto? a) 400 b) 1000 d) 1200

7

c) 600 e) 800

En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere? a) 60 b) 40 d) 80

c) 160 e) 240


Clave:

8

Tres barriles contienen 200, 480 y 680 litros de aceite. Sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de aceite? a) 43 b) 42 d) 73

c) 20 e) 63

Clave:

8

Tres barriles contienen 210, 300 y 420 litros de cerveza, sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de cerveza? a) 33 b) 60 d) 17

c) 16 e) 21

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:



141


Capítulo

16

Números Racionales

Operaciones con Fracciones

1. Fracción de un número

15 3 = 10 2

2 Calcula los de 60. 3 2 x 60 = 40 3

Calcula los

media veces.

Te diste cuenta

3 5 de los de 140. 5 7 3 x 5 x 140 = 60 5 7

∴ el triple de la mitad o 1 y

El número precedido de «es» va en el numerador y el otro precedido de «de» va en el denominador. Es de la forma:

2. FRACCIóN DE FRACCIóN DE UN NúMERO

¿Qué parte de 10 es 15?

«es» «de»

4. SERIE DE FRACCIONES ESPECIALES

1 1 1 1 n (a) + + + ... + = 1x2 2x3 3x4 n(n+1) n+1

n 1 1 1 1 (b) + + + ... + = 2n+1 1x3 3x5 5x7 (2n – 1) x (2n + 1)

(c) Progresión geométrica ilimitada de razón menor que 1: 2 3 En este tipo de ejercicios las palabras sucesivas: «de»; S = a + ar +ar +ar + ... a «del»; «de la»; «de los» significa el símbolo (x) de S= 1–r multiplicación.

Ten en cuenta

3. ¿Qué fracción o parte es un número de otro? 5 1 ¿Qué parte es de ? 3 6 5 3 = 10 1 6

¿Qué parte es 5 de 20 ? 5 1 = 20 4

142

∴ es 10 veces

∴ es la cuarta parte

5. FRACCIONES EQUIVALENTES DE IGUAL COCIENTE * Calcula una fracción equivalente a producto de sus términos es 588. 20 4 = 15 3

20 , tal que el 15

La fracción equivalente es 4k 3k

dato : (4k) (3k) = 588 12 k2 = 588 k = 7

∴ la fracción equivalente será: 28 21


Aritmética - 5to Sec. Tran s f o r m a c i ón d e nú m er o s decimales a fracciones

Factorización de números formados por «nueves»

1. decimal exacto: La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la parte entera seguida de la parte decimal y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. Ejemplo : 2 * 0,2 = 10 242 * 24,2 = 10

13 * 0,13 = 100 425 * 4,25 = 100

* 0,224 =

224 1000

9 = 32 99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137

2. decimal PERIóDICO PURO: La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia entre la parte entera seguida del período menos el período y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplo : )

)

13 254 * 0,13 = * 0,254= 99 999 3145-31 * 31,45 = 99

Claudio Ptolomeo

)

)

)

2 * 0,2 = 9 24-2 * 24,2 = 9

Personaje del Tema

3. decimal PERIóDICO MIXTO: La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia de la parte no periódica seguida del periodo menos la parte no periódica y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

Ejemplo :

)

)

)

)

)

)

23-2 21 * 0,23 = = 90 90 214-21 193 * 0,214 = = 900 900 245-24 * 2,45 = 90 124-1 123 * 0,124 = = 990 990 2752-27 2725 * 0,2752 = = 9900 9900 8324-83 * 8,324 = 990


Vivió en el siglo II d.C. Es uno de los astrónomos y geógrafos griegos más influyentes de su época, Ptolomeo planteó la Teoría geocéntrica en una manera que prevaleció durante 1400 años. Sin embargo, de todos los matemáticos de la Grecia Antigua, es justo decir que su obra ha generado más discusiones y argumentos que la de ningún otro. Hizo observaciones astronómicas desde Alejandría, en Egipto, entre los años 127 y 141 d. C. De hecho, la primera observación que podemos fechar exactamente fue realizada por Ptolomeo el 26 de marzo de 127 mientras que la última la hizo el 2 de febrero de 141. La obra más importante de Claudio Ptolomeo es el Almagesto, un tratado que comprende trece libros. Pero ese no era su nombre original. El nombre griego original se traduce como La recopilación matemática el cual fue reemplazado por otro título griego que significa La más grande recopilación. Éste se tradujo al árabe como "al-majisti" y de aquí se tradujo al latín como Almagesto. Da en detalle la teoría matemática de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas.

143


Resolviendo en clase 3

1 2

–2

5 , halla a + b. 33

)

1) Calcula:

4) Si 0,ab =

1 4

11 2

Rpta: __________ Rpta: __________

2) Calcula:

5 , halla a + b. 15

)

5) Si: 0,ab =

1010 666 77777 33 2 + + + + 1515 555 55555 99 5

Rpta: __________

Rpta: __________ )

0,1 6/5 + 1,1 3/25

6) Simplifica:

)

1/3 – 0,08 5/3

)

0,1 + 0,2 + ... + 0,8 )

)

)

3) Al reducir:

Rpta: __________

se obtiene a0,b. Halla a + b. Rpta: __________

1) A qué es igual:

4

)

Para Reforzar 1 1 ÷3 4 2 3 2 7

4) Si 0,ab =

7 , calcula a + b. 33 Rpta: __________

Rpta: __________

)

5) Si 0,ab =

2) Calcula: 222 3333 4444 11111 + + + 444 6666 8888 22222

1 , calcula a + b. 15 Rpta: __________

Rpta: __________

)

)

)

)

)

)

1,2 – 0,12 0,2 + 2,2

)

6) Simplifica: 1,1 + 1,2 + 1,3 +...+ 1,7 )

3) Al simplificar:

Rpta: __________

se obtiene 0,ab. Halla a + b. Rpta: __________

144



Para el profesor: 1 Reduce:

(

)(

)(

Para el alumno:

) (

)

1 1 1 1 111... 116 900 9 4 a) 29/30 b) 21/15 c) 1/15 d) 31/30 e) 31/60

1

Simplifica:

( 1+ 13 ) ( 1+ 14 )( 1+ 15 ) ... (1+ 201 )

a) 1 b) 7 c) 3 Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Un recipiente está lleno de vino. Se vierte primero la mitad del contenido, luego se vuelve a vaciar los 2/3 de lo que quedaba; a continuación se derrama 1/5 de lo que sobraba y finalmente se vierte los 3/8 de lo que sobró antes. ¿Qué parte quedó? a) 1/4 b) 1/12 d) 1/16

b) 1/20 d) 1/10

c) 1/3 e) 5/8

Clave:

2

Jaime va de compras al mercado. Primero gasta los 5/8 de lo que tenía, luego gasta los 3/5 de lo que le quedaba y por último gasta los 3/4 del nuevo resto. ¿Qué parte de lo que tenía le quedó? a) 3/8 b) 3/40 d) 7/80

c) 1/20 e) 1/16


Clave:

Clave:


Reduce:

)

)

[(1,4)(1,2)]+(3,6 ÷ 0,4 ) (0,2)–2 x 0,5 + 23 23

(0,5 + 1,6 – 3,06) x )

Reduce:

)

)

0,2 – 1,36

y halla el numerador de la fracción simplificada.

)

c) 0,62 e) 0,81

)

)

)

a) 0,62 b) 0,67 d) 0,83

1 5

)

3

a) 12 b) 27 d) 9

c) 13 e) 21


Clave: (2,999...)–1 x 0,02 ÷ (–0,3) 0,00333... 0,333...

4

Reduce: 1,3 + (4,5 ÷ 0,5) 1,6 x 0,04 )

Simplifica

)

4

Clave:

– 0,25 a) 10 b) 20 d) 40

c) 30 e) 50

Resolución:

c) 135 e) 145

Resolución:

Clave: 146

a) 125 b) 155 d) 165

Clave:



a) 5 b) 17 d) 12

5 c) 15 e) 14

Si 0,ab = 5 , calcula a + b. 6 a) 8 b) 11 d) 12 )

)

)

Si: 0,a + 0,b = 1,5; halla a + b. )

5

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Halla «a» si se cumple:

Clave:

6

1 1 1 1 P = a + a2 + a3 +...= 1+ 1 2+ 1 infinitos términos 1+ 5 donde «a» es un número racional. a) 23/17 b) 40/23 d) 17/23

c) 9 e) 10

c) 17/40 e) 40/17

Señala el valor de:

1 2+1 P = ( 2 - 1)(2 + ) 2+1 2 + 1. ..

a) 0 b) 3 d) 4

c) 1 e) 2


Clave:


Clave: 147


Divide:

7 220 x 523

7

Calcula la suma de las cifras decimales de: 3 217 x 515

e indica la suma de sus cifras del número decimal. a) 9 b) 12 d) 13

a) 10 b) 13 d) 14

c) 10 e) 11

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

c) 11 e) 12

Cuántos ceros tiene en la parte decimal:

Clave:

8

Cuántos ceros tiene en la parte decimal:

73 327 x 12512 a) 36 b) 33 d) 32

121 223 . 521 c) 35 e) 34

Resolución:

a) 15 b) 18 d) 19

c) 16 e) 17

Resolución:

Clave:

Clave:



5-ARITMETICA 5to (1 - 16)

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