Banco de Preguntas Aritmetica y Algebra

Academia Pre-universitaria “SIGMA” TEORIA DE CONJUNTOS

7. El

1. Indicar cuales de los siguientes conjuntos están perfectamente definidos. A=Conjunto de personas ricas de una ciudad, B=Jugadores de un equipo de fútbol cuya estatura sea superior a 190 cm. Y C= Licenciados en Matemáticas de un País. a) A d) A y C

b) B e) B y C

c) A y B

2. ¿Es lo mismo 2  {numeros pares }

Aritmética y Álgebra

decir que

a) A veces d) nunca

b) no e) N.A.

c) si

3. Si A  {a; b; 1; 2; {1}} , hallar el número de elementos de P(A) a) 7 d) 13

b) 8 e) 31

c) 32

4. Si A= {x  R / 2x  1  x } , B=  y 2

C= { x  R / x  1} .

Determinar

( A  B) C  C a) B d)

b) C(A) c)

A B C

5. Si

A B

e) A

A  { x / x  N  x  60} y

B  {n  1 / n n  A } , hallar la suma de los elemento del conjunto B

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

6. Hallar n[P( A   )] ; si::

A  {(a , b) / a 2  b 2  90  a  b 2  a , b  Z } a) 3 b) 4 c) 8 d) 2 e) 1

Fracciones, radicación, valor verdadero

conjunto

A  {x  N / x 

x 2  8  4}  { x  N / x 

es igual a: a) {1; 3} d) {1; 3; 6}

b) {-3; 1; 3} e) {1}

c) {1; 6}

8. Dados los conjuntos 2 2 U  { x / x  1  0  x  2  0} ,

A  {Naturales que están en U} , B  {Irracional es que están en U} y C  {Enteros que están en U} . Hallar ( A

2  {numeros impares} ? a)

Academia Pre-universitaria “SIGMA”

c



d) { 2 ;

c

c

B  C ) b) {1} 2}

c) U e) N.A.

9. Si A  { x  N / x  3  x  4} , hallar el número de elementos de P(A) a) 0 d) 5

b) 2 e) 1

c) 6

10. De tres estaciones de radio A; B y C que pueden ser recibidas en una ciudad de 300 familias, se obtuvo la información siguiente: ☟ 1800 familias escuchan la estación A. ☟ 1700 familias escuchan la estación B. ☟ 1200 familias escuchan la estación C. ☟ 1250 familias escuchan la estación A y B. ☟ 700 familias escuchan las estaciones A y C. ☟ 600 familias escuchan las estaciones B y C. ☟ 200 familias escuchan las estaciones A; B y C. ¿Cuál es el número de familias que no escuchan a A pero escuchan B o C?

a) 1200 d) 400

x 2  3  3}

b) 600 e) 550

c) 650

11. Durante todos los días del mes de Julio, Susana escuchaba música o veía televisión. Si escuchaba música 21 noches y veía televisión 15 noches. ¿Cuántas noches escuchaba música y veía televisión? a) 3 d) 5

b) 6 e) 10

c) 4

12. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican solo fútbol, 12 practican fútbol y natación, y 10 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican natación y cuantos solo natación? a) 32 y 20 d) 20 y 8

b) 12 y 8 e) 30 y 12

c) 8 y 4

13. En una reunión de profesores de ciencias: 47 eran de matemática, 40 eran solo de física y 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? a) 83 d) 91

b) 70 e) 87

b) 12 e) 15

defecto B- ¿Cuántos artículos tienen exactamente dos defectos? a) 25 d) 24

b) 26 e) 20

c) 27

16. Para ir a trabajar a una fábrica, de un grupo de 100 obreros, 30 van con polo y 40 con camisa de obrero. Si 60 van con polo o camisa. ¿Cuántos obreros van con polo y camisa, si hay obreros que van con otro tipo de ropa? a) 5 d) 10

b) 7 e) 16

c) 9

17. En un barrio donde hay 31 personas; 16 compran en el mercado, 15 en la bodega y 18 en el supermercado; 5 en los dos últimos sitios, únicamente 6 en los dos primeros y 7 en el primero y ultimo. ¿Cuál es el menor número de personas que podrían comprar en el mercado solamente? a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

c) 100

14. Durante el mes de febrero de 1999, Valerio solo desayuno jugo de naranja y/o jugo de papaya. Si 12 días desayuno solamente jugo de naranja y 3 días desayuno jugo de naranja y jugo de papaya, ¿Cuántos días desayuno solamente jugo de papaya? a) 11 d) 14


c) 13

15. Al estudiar la calidad de un producto se consideran dos tipos de defectos: A y B. Se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos, 150 no tienen el defecto A y 230 no tienen el


18. Se reúnen 110 personas que son actores y/o cantantes, 40 son solamente actores y hay tantos cantantes como actores. ¿Cuántos son actores y también cantantes? a) 40 d) 10

b) 30 e) 70

c) 15

19. De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican basket y 25 practican voleibol; 13 practican fútbol y basket; 10 practican basket y voleibol, 9 practican fútbol y voleibol. Si 6 practican los tres deportes, ¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes? a) 9 d) 19

b) 10 e) 21

c) 11

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 20. En una aula de la academia de 60 alumnos, 40 son hombres, a 30 la biblioteca les presta libro de aritmética a cada uno y 12 mujeres tuvieron que comprar dicho libro. ¿Cuántos hombres compraron el libro si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a) 20 b) 18 c) 17 d) 19 e) 21 21. Si

U  { x / x es número natural}

Aritmética y Álgebra A={x/x es primo}, B={x/x es un cuadrado perfecto} y C= {x/x es impar}. Hallar



n  A  B  C

a) 2 d) 5

C

26. Cuantos elementos tiene el conjunto Potencia de H. Si

H   ( A  C )  (C  A)  B

Además: A={m,n,p} B={n,p,q} C={p,q,s}

a) 3 d) 15

a) 8 d) 32

22. Si

c) 7

A  { x / x  Z  0  x  10} , c

( A  B)  {0; 6; 9} , A  B  {1; 2; 7} y A  B  {3; 5 } , hallar la suma de los elementos del conjunto B-A a) 3 d) 12

b) 4 e) 22

c) 8

23. Dados los conjuntos A  { x  z /  12  x  6  20} y

B  {x  Z / 10  x 2  400} , ¿Cuántos elementos tiene el conjunto AxB? a) 1056 d) 1224

b) 1229 e) 1054

c) 1233

A  {a 2  b 2  c 2 ; d  e} , B= { c 2  1; d  e  4;5 }. Si A=B; A es

24. Dados

unitario, c>a>b y no son negativos. Hallar acde. a) 0 d) 7

b) 6 e) 12

c) 9

25. Sea U   x   / 1  x  10 y sean A, B y C subconjuntos de U tales que


c) 4

b) 4 e) 16

c) 64

 n 2  16  / n  Z  0  n  5 , n  4  

27. Si P  

Q  {6; 7} y U  { x / x  Z } , es el conjunto universal, hallar n(P  Q ) . a) 3 d) 0

b) 2 e) No se puede

c) 27

 x3  A  Z / 1  x  3 28. Si y 2   x7 x7   B y  Z/3   8 , 2 2   determinar n( A  B) a) 5 d) 4 29. Sean

b) 3 e) 25 los

c) 9

conjuntos

x2  4  0 }

y

x  4 x  4  0 }. 2

n  P ( AB   . a) 3 d) 1

b) 4 e) 2

xZ/ B={ x  Z / A={

Determinar

c) 5


30. Sean los conjuntos A  {1; 3; 5; 6} y B  {3; 5; 7; 8} . Hallar

b) 3 e) 0

y A  { x(x  2) / x  U y x  18} , ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjnto A? b) 8 e) 31

.


AΔB

a) ( A C  B)  B b) ( A  B) C  ( A C  B C ) c) ( A  B) C  ( A C  B C )

a) {1} b) {1; 3} c) {5; 7} d) {1; 6; 7; 8} e) N.A.

d) ( A  B)  ( A  BC )  A e) ( A  B)C  ( A  BC )  ( AC  B)

31. Si C={x/x+5=x+2}, entonces n(C) es: a) 3 d) 5

b) 6 e) 0

c) 4

32. Un conjunto A tiene “n” elementos y un conjunto B que tiene “2n” elementos origina 992 subconjuntos más que A. Si la intersección de A y B tiene 3 elementos, hallar n( A  B) . a) 10 d) 11

b) 13 e) 14

c) 12

33. Sabiendo que el conjunto A={3m-3n+2; m+n; 14} es unitario; determinar el número de subconjuntos propios de B={m; 2m; n; 2n-1} a) 19 d) 7

b) 63 e) 31

c) 15

34. Indique cual de las siguientes expresiones es igual a A  B a) A  ( A c  B)

b) ( A c  B)

c) A e) B

d)

Ac

35. Si A y B denotan dos conjuntos cualesquiera. Simplificar la expresión: ( A c  B)  ( A  B) a) A d) A-B

b) B e) N.A

c)



36. ¿Cuál de estas expresiones es incorrecta (A y B están contenidas en un mismo conjunto universal)?


37. En un aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba las matemáticas, 50 eran mujeres que si gustaban de la matemática, si el número de hombres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeres que no gustaban de la matemática. ¿A cuantos les gustaba la matemática? a) 30 d) 60

b) 50 e) N. A.

c) 55

38. Pedro salió de vacaciones por “n” días, tiempo durante el cual: llovió 7 veces en la mañana o en la tarde, cuando llovía en la tarde, estaba despejada la mañana, hubo 5 tardes despejadas y hubo 6 mañanas despejadas. Luego, tales vacaciones fueron de: a) 7 días d) 11 días

b) 9 días e) 18 días

c)10días

39. En un almuerzo de 120 personas se determino que habían personas que tomaban gaseosa, otras, agua mineral y otras bebidas alcohólicas. Si se sabe que 68 tomaban gaseosa, 32 tomaban agua mineral, 40 tomaban gaseosa solamente, 5 tomaban gaseosa y agua mineral, pero no bebidas alcohólicas; 17 tomaban agua mineral y bebidas alcohólicas pero no gaseosas; 4 tomaban gaseosa, agua mineral y bebidas alcohólicas. ¿Cuántas personas tomaban bebidas alcohólicas solamente? a) 29 d) 59

b) 39 e) 69

c) 49

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 40. Un aula de la academia “CIES” está formada por 40 alumnos entre hombres y mujeres; se sabe que: 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron lenguaje, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos, 5 aprobaron los dos cursos, 11 aprobaron solo aritmética y 16 hombres hay en el aula. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo lenguaje? a) 15 d) 2

b) 16 e) N.A.

c) 7

41. De un grupo de turistas que visito Perú, México y Ecuador, se tiene la siguiente información:  Todos los que visitaron Ecuador también visitaron al Perú,  16 visitaron Ecuador  28 visitaron México pero no Perú  72 visitaron Perú o México  6 visitaron Perú y México pero no Ecuador.  El número de turistas que visitó solo el Perú es el doble de los que visito Ecuador y México. ¿Cuántos visitaron solo Ecuador y Perú? a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 6 42. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos A, B y C como los mas importantes, se analizan 200 productos con el siguiente resultado: 58 productos presentan el defecto A 72 productos presentan el defecto B 80 productos presentan el defecto C 100 productos presentan exactamente un defecto 10 productos presentan exactamente tres defectos. ¿Cuántos productos presentan exactamente dos defectos? a) 20 d) 40

b) 60 e) 26

c) 73




43. De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 revistas A, B y C se observa que 40 leen las revistas A y b, 50 leen B y C y 60 leen A y C. ¿Cuántas personas leen por lo menos 3 revistas?. a) 15 d) 30 44. Determinar verdaderas

b) 20 e) 35

cuantas expresiones existen si

)

 {3}  A ……………………………. )  {{3}}  A …………………………. )  {{{ 4 }}}  A ………………………. )  {{ 4}}  A …………………………. )  {{3}}  A ……………………….…. )  {{ 4}}  A ……………………….…. ) b) 4 e) 6

( ( ( ( ( (

c) 3

A  {; { }; {{ }}; {{{ }}} }



  A …………………………. (   A ………………………… (

) )

 {{}}  A ………. ……………(

)

 {{}}  A ………. …………...(

)

 {{ }}  P ( A) ……………….. ( )  {{{ }}}  P ( A) ……………. (  {{{{ }}}}  P ( A) ………….. ( ) a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0

47. Si A  { x / x

)

b) {{1,3}} e) {{1,2}}

c) {1,3}

2

 13 x  40  0} B  {2 x  1 / 1  x  6  x   }

C  {x

2

 1 / x  B   5}

Y D  (A  C)  B . Calcular n [P (D)] a) 2 d) 32

b) 8 e) 16

c) 64

48. ¿Cuantos elementos tiene el conjunto A  { ;{1;2;3}} ? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

49. Dado el conjunto A  {1;{2;3};4} ¿Cuantos subconjunto tiene A? a) 4 d) 8

45. Determinar cuantas expresiones falsas existen si: 

[( A  B )  B ]  (B  A)

a) {1,{1,3}} d) {{1,3},3}

c) 25

A  { 3;{ 3 };{ 4 };{ { 4 } } }  {3}  A ………………….…….…….(

a) 5 d) 2

46. Dados los conjuntos: A={1,2,{1,2},3} y B={{2,1},{1,3},3}. Hallar el conjunto:

50. Si A={

b) 1 e) N.A.

x  N / x es primo y b) 4 e) 128

x  11 }, c) 16

n[P(A)]=128, n[P(B)]=32 y n[P( A  B )]=8; hallar n[P( A  B )] b) 128 e) N.A.

a) 3 d) 5

b) 4 e) 7

c) 6

53. Durante todas las noches del mes de Octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿Cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente? a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10 54. Dados los conjuntos

A  {x  Z /  2  x  3} , B  {x  A /  1  x  1} C  {x  A /  1  x  1} . Hallar P[( A  B )  C ] a) {0}

b) { }

y

c) {1}

d) { ;{ }} e) N.A.

55. Sean los conjuntos A={1;2;3;4} y B={2;3} entonces se dice que A y B son:

51. Si

a) 64 d) 512

Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce, 20 reciben medallas de Oro y de Bronce, 5 recibieron Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medalla?

c) 2

¿Cuántos subconjuntos tiene A? a) 64 d) 32


a) Iguales c) Equivalentes e) N.A. 56. Si

U={Seres humanos}; S={Personas solteras}; B={Personas blancas}; Luego “las mujeres blancas casadas” será:

c) 256

52. Cierto número de medallas de Oro, Plata y bronce es distribuida entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de


b) Comparables d) Disjuntos

a)

B  SC

b)

H C  B C C

c) ( H  S )C  B d) H C e) N. A.

 SC  B

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 57. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: - Si n(A)=2 y n(B)=3, entonces el número máximo de elementos de C  P ( A)  P ( B ) es 12. - Si A  {n 2  1 / n  Z ,1  n  1} entonces n(A)=3 A B   , Si entonces

AB 

a) VFF d) VVF

b) FFF e) VVV

A B

58. Si

A D  

y

C

[( A  D )  B a) A  d) {}

B

c) FVF

C


c) A=B y C  B d) A  B  C e) A  B tiene elementos que no están en C 61. Sean A y B dos conjuntos contenidos en un mismo universo. Si AB  A  B ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) A=A-B c) A  B  

b) B=B-A d) B  AC

c) B

62. Los conjuntos A y B son tales que n( A  B )  30 , n(A-B)=12 y

n(B  A)  10 . Hallar n(A)+n(B) a) 22 d) 25

59. Sean los conjuntos:

b) 38 e) 37

c) 36

A  {x / x  Z , x (11  x )  30}

B  {x / x  Z ,5( x 2  4)  29 x} C  {x / x  Z ,3 x 2  22 x  24  0} Y las alternativas:

II ) B  A  C III )C  A  B

a) 128 d) 1024

IV ) B  A  C V )A  B  B ¿Cuantas alternativas son verdaderas? b) 2 e) 5

c) 3

BA

b) C  B


b) 32 e) 512

n[P(B)]=16

y hallar

c) 256

64. Indique el número de subconjuntos propios que tiene el conjunto

A  {2 x / x  Z .  2  x  6}

a) 63 d) 127

60. A, B, C, son tres conjuntos tales que satisfacen las condiciones siguientes: - A B y BC - Si x  C  x  A Decir ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a)

n[P(A)]=128,

n[ P ( A  B )]  8 , n[ P ( A  B )]

I)A  B  C

a) 1 d) 4

63. Si

b) 49 e) 255

b) 16 e) 17

b) 7 e) mayor de 9

c) 6

c) 18

66. Si A  { n /(3n  1)  N, n  2} . Hallar n(A)

Aritmética y Álgebra periódicos. ¿Cuantas periódicos? a) 24 d) 35

67. Dados los conjuntos A={1,2,3,4,5,6} y B={0,1,4,6,7,8,9} si “h” es el número de subconjuntos de A y “k es el número de subconjuntos propios de B. Calcular “kh”. b) 32 e) 63

b) 53 e) N. A.

c) 68

69. A una reunión donde asisten 50 personas: 5 mujeres tienen 17 años 14 mujeres no tienen 18 años 16 mujeres no tienen 17 años 10 varones no tienen ni 17 ni 18 años. ¿Cuántos varones tienen 17 ó 18 años? a) 19 d) 9

b) 10 e) N. A.

leen

c) 31

71. Para dos conjuntos comparables donde uno de ellos tiene 3 elementos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene la unión de ellos? a) 511 d) 107

68. De un total de 100 personas, 5 hablan ingles y español únicamente, 7 español y alemán únicamente y 8 ingles y alemán únicamente. Si el número de personas que hablan solo alemán, solo español y solo ingles es 1, 2 y 3 veces mayor que el número de personas que hablan los tres idiomas, respectivamente. ¿Cuántas personas hablan ingles? a) 34 d) 71

b) 27 e) 39

personas

c) 31

c) 12

c) 31

65. Si el conjunto A{a+b; a+2b-3; 12 } es unitario, calcular (a+3b) a) 12 d) 20

a) 8 d) 9

a) 8 d) 64

e) ( A  B )C  A  B

Simplificar:

]  [ B  ( A  D )]

b) A e) D  B


70. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revistas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas periódico y libros; y el número de personas que solo leen libros y periódicos, es la tercera parte de las personas que solo leen


b) 15 e) 255

c) 31

72. Se encuesta a 200 personas acerca de la preferencia de los productos A, B y C; obteniéndose los siguientes resultados:  35 prefieren A y C  42 prefieren B y C  49 prefieren solo dos productos.  75 prefieren solo un producto  La cuarta parte no tiene preferencia alguna ¿Cuántos prefieren los productos A y B pero no el C? a) 23 b) 21 c) 19 d) 24 e) 25 73. A una reunión de 50 personas asisten 5 mujeres de 20 años, 14 mujeres que no tienen 21 años, 10 hombres que no tienen ni 20 ni 21 años, 16 mujeres que no tienen 20 años. ¿Cuántos hombres tienen 20 o 21 años? a) 12 b) 9 c) 10 d) 19 e) 17 74. Una persona come huevos y/o tocino en su desayuno cada mañana durante el mes de noviembre. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas comió huevos y tocinos? a) 31 b) 13 c) 15 d) 12 e) 20 75. En el cumpleaños de Dora el 48% de los asistentes toman y el 40% fuman,

Academia Pre-universitaria “SIGMA” además el 25% de los que toman fuman, , si no toman y no fuman 144 personas; hállese el total de personas. a) 720 b) 280 c) 600 d) 850 e) 400 76. El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B, que por cierto posee 7168 subconjuntos mas que A. ¿Cuál es el máximo número de elementos de A B? a) 23 b) 22 c) 21 d) 10 e) 19 77. Diana en su cumpleaños observa que: 13 de sus invitados tenían 15 años, 26 de sus invitados eran hombres, 13 mujeres tenían 18 años; 34 invitados no tenían 18 años. Si en total habían 55 invitados; hallar cuantos hombres tenían 18 años a) 7 b) 8 c) 12 d) 13 e) 6 78. Diana realiza un viaje mensual durante todo el año a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visito a los dos lugares? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 79. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no siguen Matemática ni Administración. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? a) 47 b) 43 c) 42 d) 48 e) 45 80. De 55 alumnos que estudian en una universidad se obtuvo la siguiente información:  32 alumnos estudian el curso A  22 alumnos estudian el curso B  45 alumnos estudian el curso C  10 alumnos estudian los tres cursos.


Aritmética y Álgebra ¿Cuántos alumnos estudian solamente dos cursos? a) 22 b) 21 c) 25 d) 23 e) 24 81. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres partes, si se sabe que:  10 aprobaron solo la primera parte  20 aprobaron la primera parte  25 aprobaron la segunda parte  21 aprobaron la tercera parte  6 aprobaron la segunda parte y tercera parte pero no la primera.  7 aprobaron las dos primeras parte  3 aprobaron las 3 partes. ¿Cuantos desaprobaron las tres partes? a) 11 b) 10 c) 14 d) 12 e) 13 82. Durante todos los días del mes de diciembre del 2006, Maria escuchaba música o leía un libro. Si escuchaba música 21 noches y leía un libro 15 noches, ¿Cuántas noches escuchaba música y leía un libro? a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10

Academia Pre-universitaria “SIGMA” a) 14 d) 44

b) 24 e) 54

c) 34

85. Si A  {; 0; {5 }} y P(A) es el conjunto potencia de A. Decir si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

{ }  P( A ) {{ }}  P( A )   P( A )   P( A) { }  P( A )

☟ ☟ ☟ ☟ ☟

a) VVFFV c) FVVVV e) VFFVV

b) 229 e) 230

c) 233

84. En un autobús se observa que hay 56 personas de las cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tanto como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en el autobús?

e) ( A  B)

 A B

88. De un grupo de 100 personas, 65 saben nadar y 75 saben remar. ¿Cuántas personas saben nadar y también remar? a) 20 d) 70

b) 30 e) 40

c) 50

89. En un salón de clases, 3/5 de los alumnos usa reloj, 1/3 de los alumnos solo usa anteojos y los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Qué fracción de los alumnos no usa anteojos ni reloj? b) VFVVV d) VFVVF

86. El circulo A contiene a las letras a,b,c,d,e,f. El circulo B contiene a las letras b,d,f,g,h. Las letras del rectangulo C que no estan en A son h,j,k y las letras de C que no estan en B son a,j,k. ¿Cuántas son las letras que están en la figura sombreada?

a) 1/15 d) 1/12

b) 1/18 e) N.A.

c) 1/19

90. En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 frances, 33 Aleman y 5 hablan los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas solamente? a) 75 d) 35

b) 15 e) N.A.

c) 25

91. Si A {1; {2; 3}; 4 } . El enunciado verdadero es:

83. De un grupo de personas se observa que los que practican fútbol también practican basket y los que no practican fútbol son 220, además los que no practican basket ni voley son 129 y los que practican basket o voley pero no fútbol, son 7 veces los que practican fútbol. ¿Cuántas personas conforman el grupo? a) 236 d) 224

Aritmética y Álgebra c

a) { 4}  P( A ) c) {2;3}  A

b)

2 A d)

3 A

e) {1;2}  A

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

87. Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo. Si ( A  B)  (B  A )  A  B . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a)

A  AB

c) A  B  

b) d)

B BA B  AC


92. En una encuesta de un club se determinó que el 60% de los socios lee. La republica y el 30% lee el Comercio. Se sabe que los que leen La republica o el Comercio pero no ambos constituye el 70% del club y hay 400 socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos diarios?(nº 20 libro) a) 240 d) 200

b) 210 e) 150

c) 180

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 93. Realizada una encuesta a 950 personas sobre preferencias de los perfumes A, B y C, se obtuvieron los siguientes n( A  B  C)  350 , resultados:

n( A )  n( A' )  50 , n( A'B'C' )  278 , n(B)  n(B' )  54 , n(C)  480 .

Aritmética y Álgebra 98. Para los conjuntos A, B, C, se cumple: n( A  B  C)  36 ; n( A )  19 ;

n(B)  25

;

¿Cuántos escogieron únicamente dos cualesquiera de los perfumes indicados? a) 110 d) 100

a) 4 d) 9

c) 120

94. En un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Sociología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si 27 alumnos no siguen sociología ni filosofía. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de los 2 cursos? a) 48 d) 73

b) 70 e) 25

c) 29

95. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Simplificar:

( A  B)  {( A  B' )  ( A'B)}' a) A-B d) A  B

b) B-A e) A’UB

c) AUB

96. Dados los conjuntos A, B y C y los n( AxB)  84 ; siguientes datos:

n(BxC)  98 ; n( A )  n(C)  26 . Calcular el número de subconjuntos propios de B a) 1023 d) 31

b) 127 e) 63

c) 511

97. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B tiene 50 elementos. ¿Cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto B? a) 10 d) 13

b) 12 e) 9

c) 11


n(C)  22 ;

n[( A  B)  C]  7 ;

n[(B  C)  A ]  8 ; n[( A  B)  C ]  3 ; n[( AΔB)  C ]

b) 105 e) N.A.


determinar:

n( A)  27 ; n(C)  17 ;

n(B)  19 ;

n(U)  55 ;

y ;

c) 28

100. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente: 10 fuman pero no van a la academia, 25 van a la academia pero no tienen 17 años, 16 que no van a la academia no fuman y tienen 17 años, 5 van a la academia tienen 17 años pero no fuman, 2 fuman van a la academia y tienen 17 años. ¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman, ni van a la academia? a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

Sabiendo

que

c) 14

101. Una muestra de 200 votantes revelo la siguiente información concerniente a tres candidatos, A, B y C de cierto partido que postulaban a 3 diferentes cargos: 28 votaron a favor de A y B; 98 votaron a favor de A o B, pero no de C, 42 votaron a favor de B, pero no de A o C; 122 votaron a favor de B o

c) 7

A B   ; DB;

n( A )  17 ; n(B)  22 ; n(D)  6 ; n( A  B  D)  30 . Calcular: n(BΔD)  n( A  B) b) 8 e) 7

c) 5

b) e)

c)

103.

b) 4

c) 3

d) 7

e) 8

2. Durante una fiesta a la que asistieron hombres y

yx

xy

mujeres, en un momento dado

el número de hombres que no bailan, es de (2x-y) y el número de mujeres que no bailan es la suma de las cifras del total de las mismas. Hallar el número de asistentes a) 88 b) 154 c) 77 d) 99 e) 165 3. Hallar

e+d,

si

abc (6)  211(8)  cba(6)  ade (8) a) 5 4. Si

a) 9 d) 6

n[ A  (B  C)]  15 ; n( A  C)  5 n[(B  C)  (BΔC)]  3 encontrar: n[( A  C)  B' ] b) 27 e) 26

b) 6 e) 11

n( A  D)  0 ;

c) 7

n( A  B)  9 ;

a) 29 d) 30

a) 8 d) 14 102.

b) 5 e) 8

99. Si

C, pero no de A; 14 votaron a favor de A y C, pero no de B; 64 votaron a favor de C, pero no de A o B; no hubo ningún voto en blanco. ¿Cuántos estuvieron a favor de los tres candidatos?

Aritmética y Álgebra a) 6

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

(a  4)a(a  4)(6)  xyyz ( 4) , hallar

x+y+z a) 4 b) 5

c) 6

d) 7

e) 9

5. Efectuar 34334 (5) +42144 (5) +32343 (5)

a) d) 104. a) d)

b) e)

c)

a) 314431 (5)

b) 224431 (5)

c) 214431 (5)

d) 314134 (5)

e) 214331 (5) 6. Si

105. a) d)

b) e)

c)

x ( x  1)7( n )  ( x  1)x 8(9) ,

n+x a) 12 7. Hallar

106.

a) 1

a) d) 107.

b) e)

c)

a) d)

a) 11

b) ¡¡ e)

c)

SISTEMA DE NUMERACION 1. Si

xp( y )  py ( x  2) 

x+y+p=24, hallar el

valor de “x”


c) 16

9. Si

d) 18

e) 20

a n , n(n  1)n (8)  an b) 8

c) 32

8. Un niño nace en el año

g

b) 14

hallar

d) 63

19ab

e) N. A.

y cumple “b” años en

19ba . Hallar su edad en el año 2010 b) 16

c) 18

d) 21

abc ( n )  cc ( n2 ) ,

e) 36 c+n=12

y

n  20c  nn , calcular la cifras de cba( n ) en base 10

suma de las

a) 12

e) 15

b) 11

c) 8

d) 14

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 10. El mayor numeral de 3 cifras en base “n” excede al de la base (n-3) en 513 unidades. Hallar el valor de “n” a) 10 b) 13 c) 9 d) 8 e) 7 11. Si

abb(8)  1bba(6) ,

a+b a) 6

b) 9

c) 10

“a+b” a) 4 d) 7

e) 8

hallar el valor de

b) 5 e) 8

2424...2424(9)

de 30

cifras se convierte al sistema de base 3. ¿Cuántos ceros habrá en su escritura? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

15. Si

ac ( b )  cb( a 2)

valor de

cba .

a) 798

b) 987

y a+b+c=24, hallar el

c) 978

d) 789

e) 879

16. Si se desea enumerar las 70 hojas de un libro utilizando el sistema nonario, ¿Cuántas cifras se utili9zarian? a) 230 b) 237 c) 332 d) 387 e) 398 17. Si

9(aa(2a )

es el producto de 4 números

consecutivos. Hallar el valor de “a” a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

valor de “a” a) 8 b) 7 19. Hallar a.b si : a) 5

b) 6

2aa(3a )  36a(7) ; hallar el c) 6

d) 4

e) 3

242( ab )  512 c) 7

d) 8

e) 9



30. ¿En que sistema de numeración los números 24, 27 y 32 están en progresión aritmética? a) 12 b) 14 c) 16 d) 8 e) 9

ab3( n )  ( a  1)cd ( 6 )

a) 18

b) 9

21. Hallar a+b; si b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

a3a ( 9 )  b1b ( 5) c) 5

d) 6

e) 7

22. Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras. a) 11 b) 7 c) 9 d) 6 e) 8

24. La suma de las cifras de un número es 14 y si al número se suma 36, las cifras se invierten. Dar como respuesta la diferencia de las cifras de dicho número de dos cifras a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1 25. Un número esta compuesto de tres cifras. La cifra de las centenas es 4 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras dos cifras. Dar como respuesta el producto de dichas tres cifras. a) 90 b) 64 c) 48 d) 36 e) 80 26. Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original. a) 10 b) 14 c) 13 d) 11 e) 12 27. Un número de 4 cifras cuya suma de cifras es 25, sumado con otro número de tres cifras iguales de 10000. Hallar la cifra de las decenas del primer número. a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 28. Si:

18. Si se cumple


23. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

c) 6

13. Hallar un número capicúa de 3 cifras que en base 7 se escribe con 3 cifras iguales. Dar como respuesta la suma de las cifras del número capicúa a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 14. Si el número

si

a) 3

d) 12

ab 4( ab )  212 ,

12. Si

hallar el valor de

Aritmética y Álgebra 20. Calcular la suma de los valores que toma “n”

594  abc  10(a  b  c )

b  a  c  1 , hallar: a) 8

b) 6

c) 5

y

2a –b+c d) 2 e) 3

29. Un número esta comprendido entre 100 y 300, es tal que leído al revés excede en 50 al doble del número que le sigue al original. Hallar la suma de las cifras del número original. a) 11 b) 15 c) 12 d) 9 e) 10

31. El menor número de base 9 formado por todas sus cifras impares. ¿Cuántos ceros tiene al escribirlo en base 2? a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 11 32. En el sistema de numeración de base 14, encuentre el número de dos cifras que resulta duplicado cuando se escribe con las cifras en orden inverso. a) 94 b) 65 c) 49 d) 52 e) 36 33. Escribir: a) 101 34. Si:

121( n )  12( n ) b) 110

en base (n+1)

c) 112

d) 111

e) 120

b) 8

c) 9

35. Indicar

la

suma

d) 10 de

las

c) 12

cifras

d) c+12

a) 6

b) 5

de

b) 8

xxx 1 4 2...4xx 3

38. Si

n  cifras

N  nnn (13) a) 2193 2176

d) 4

c) 2

d) 6

e) c+8

2

b) 3

d) 2

valores

de

a

que

cumplen:

c) 5

d) 6

anitalavalatina( m ) es

el

dar

su

e) 7 menor

número

isla(8)

en

escribe en base 10 como 2ab . Calcular el valor de “k.(a+b)”

e) 10 Hallar:

d) 2186

b) 42

c) 30

d) 48

e) 40

(4a )a(3a)(2a) (9 )  3026 . Hallar

5a e) si:

a) 1 b) 3

c) 5

d) 10

e) 15

49. En el sistema de numeración en que 100 se expresa como 84, el producto 8x8 se expresa como:

e) 12

ababab(3)  abb0(7) c) 5

e) 11

capicúa posible, sabiendo que a letra diferente

a) 54 b) 45 a) 4

d) 9

47. El mayor número de 3 cifras de base “k” se

n(n  1)(78)  (n  3)(n  2)(n  1)( n ) 40. Halle: a+b, si:

c) 7

diferencia. a) 3 b) 4

48. Si

d) 11

e) 27

base 10. a) 1444 b) 2378 c) 5715 d) 1505 e) 1022

e) 8

“n” c) 10

d) 28

corresponde cifra diferente. Hallar:

 4095 .

c) 2396

121( n )  6ab ; a<3

c) 29

44. Hallar la diferencia entre el mayor número en base 7 de tres cifras diferentes y el menor número en base 5 también de cifras diferentes. Dar la respuesta en base 10. a) 222 b) 317 c) 554 d) 306 e) 310

46.

expresado en base 10

b) 2196

b) 9

b) 5

a) 36 (2)

39. Hallar a) 8

a) 4

:

b b  ( )( )a , hallar a+b 2 2

aba(5)

a) 4

c) 7

b) 30

43. Hallar “a” en: 1330 ( a )  aaa (6 )

e) 11

1331( n 1)  1000(6)

36. Si :

37. Si:

b) c+10

a) 31

a(a  1)(a  2)( a  3)  105(4a ) ,

N  2220c (4) , expresado en base 12 a) 12+2c

42. Hallar: (a+b+n), si:

45. Existen

1564( n )  1172( n 1) , Hallar: “n”

a) 7

41. Si: nn00  mm0  nn0 , calcular: nm , expresado en base 5 a) 21 b) 22 c) 34 d) 44 e) 32

e) 6

d) 48

e) 82

50. La base del sistema de numeración en que

c(2c)( 4c) se escribe con tres cifras iguales


c) 62

Academia Pre-universitaria “SIGMA” a) 8 b) 4 51. Si

c) 5

d) 7

e) 11

111   ...  1 (2)  1023 . Hallar n 2 n veces

a) 121b) 100

c) 81

d) 48

52. Hallar el valor de “a+b”. Si : a) 4 b) 7

c) 3

53. Hallar “a+b+c”. Si a) 16 b) 17

e) 25

ab (9)  ba (7 )

d) 6

e) 8

a2b (9 )  a72 (c )

c) 18

d) 19

e) 20

54. Convertir N  232  464  85  3 a base 8 y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 55. Si

c) 12

e) 19

aba (c )  m1c (9) . Calcular el valor de

b sabiendo que

m5.

a) 3 b) 4

c) 5

56. Si

d) 7

el

numeral

d) 6

e) 8

bbbb (5 )  ac8 . En

cuantas bases ac 8 cifras.

se escribirá con 4

a) 2 b) 3

d) 5

c) 4

e) 6

57. El sistema de numeración en el que, el número

40404 (5 ) , se escribe con 3 cifras

iguales, es de base: a) 15 b) 20 58. Hallar a+d-c. Si a) 7 b) 8

c) 25

d) 30

e) 35

abc  cba  4dd d c) 10

d) 12

e) 13

59. La cantidad de números de cuatro cifras que empiezan o terminan en 7 en base 10 es: a) 1900b) 100 c) 1800

d) 4500

e) 1750




60. En que sistema de numeración se cumple que 54  43  130 a) octal d) binario

b) notario c) eptal e) quinario

c) 14

62. Hallar a+b+c si,

70. Si se cumple que T

a) 64526 d)46256

b) 7

d) 16

71. Hallar

e) 18

63. Cuantos

ceros

d) 11 inútiles

e) 13 hay

en:

0001, 0002, ..., 7000 a) 107b) 1007 c) 1017

d) 7011

e) 1107

64. El número 1331 en base “x” es un cubo perfecto si y solo si:

35  (x)

a) 6 b) 8

2

le

d) 12

e) 14

66. Hallar “a+b+n” si 11ab (n)  79 (n2 ) a) 6 b) 9

c) 10

d) 12

e) 11

67. En la numeración de las 1abc páginas de un libro se han empleado 4 abc tipos de imprenta. Hallar a+b+c a) 16 b) 10

c) 18

d) 19

e) 20

68. Si A es el conjunto de números de 2 cifras en base 7 y B es el conjunto de números de 3 cifras en base 4, entonces n( A  B) es: a)21 b)22

c)33

d)35

Calcular

valor

c) 46526

de

“m+n+p”

si:

c) 24

d) 27

e) 30

72. Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en los cuáles una cifra se repite. a) 220b) 130 73. Hallar

el

c) 147 valor

xy ( z )  yz ( x  2 )

a) 6 b) 7

 yy41( x ) , hallar “x+y” c) 10

AME  T .

d) 201

d) 215 de

e) 420 x-y+z.

y

Si

además

x  y  z  21

a) x es 8 b) x es 7 c) x es 10 d) x es entero mayor que 3 e) Para ningún valor de x 65. Si


e) 48

136 (m)  33n (p )  13m (n)  44p

aba  ccc (7) c) 9

d) 36

b) 62565 e) N.A.

a) 18 b) 21 a)5

c) 24

TEAME

61. Hallar “n+m”, si 504 (n)  1m4 a) 10 b) 12

a) 72 b) 60

e)43

69. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparézcale 3 en las decenas?

c) 9

d) 10

e) 5

74. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y otra impar? a) 120 e) 185

b) 500

c) 675

d)

100

75. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas de tal modo que lo que les corresponda sea S/. 1.00; S/. 7.00; S/. 49.00; S/. 343.00; etc. Y que no más de 6 personas reciban la misma suma. Determinar cuantos fueros los beneficiados. a) 15 b) 12 c) 16 d) 14 e) 13 76. Si a un número de tres cifras se le agrega la suma de las cifras, se obtiene 645. Hallar la cifra de las unidades. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 77. un móvil parte del km. a0b y luego de recorrer 9 km. Se encuentra en el km. ab0 . Luego acelera su velocidad y al recorrer 11km. Se encuentra en el km. aab . ¿De que km. Partió dicho móvil? a) 402 b) 305 c) 260


e) 360

78. Dados los números ab

y ba ; hallar el

mayor valor de axb si: ab  ba  132 a) 27 b) 32 c) 35 d) 36 e) 40 79. Hallar n(a  b) , si a) 30 d) 39

abab (n)  850

b) 33 e) 45

c) 35

80. Para la numeración de un talonario se utilizan 2449 dígitos; si dicha numeración se inicia en el número 453. Hallar que número se escribe al final. a) 1001 b) 1201 c) 1102 d) 1202 e) 1200 81. Hallar dos números cuya suma es 20 y su diferencia 33. Dar como respuesta la suma de las cifras del mayor. a) 15 b) 11 c) 8 d) 7 e) 3 82. N es el número de números de cinco cifras, divisibles por cinco y que su primera cifra es par. Hallar la suma de las cifras de N. a) 19 b) 16 c) 13 d) 8 e) 5 83. Hallar la suma del menor valor con el mayor valor que puede tomar a  c , si:

a b c  a,

y

abc  cba  b(2b)b a) 3 d) 9

b) 4 e) 7

c) 8

84. Halla c  b si, el número abc esta comprendido entre 200 y 300; talque si es leído al revés resulta el doble del número que le sigue al original. a) 14 b) 15 c) 18 d) 11 e) 9 85. En que sistema de numeración cuya base es par hay 72 números de la forma

 a  b     2  2

ab

a) 16 d) 14

b) 18 e) 22

c) 20



86. ¿Cuantos números capicúas hay entre 222 y 22222? a) 300 b) 289 c) 290 d) 285 e) 236 87. Hallar un número en el sistema decimal que, en el sistema quinario se escribe con 4 cifras y termina en 3 y que en el sistema eptal se escribe con tres cifras iguales. a) 228 b) 230 c) 232 d) 226 e) 234 88. Dado

el

número N  357 890 567 891 265 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son falsas? I. N tiene 15 órdenes, 5 clases y 3 periodos II. Su nominación es mayor a los trescientos billones. III. El orden superior es centena de billón y el orden inmediato superior es unidad de millar de billón. a) Solo I b) Solo II c) III d) I, II y III e) Ninguna

89. Escribiendo sin separar la serie natural de los números. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar 3376? a) 9 b) 7 c) 3 d) 2 e) 1 90. Seis alumnos de la Academia observan que sus notas respectivas de francés son de dos cifras diferentes; y que para escribirlas la seis han utilizado solo tres cifras diferentes entre si; siendo 5 una de ellas. Hallar la nota mas alta de entre los 6 sabiendo que el puntaje máximo es 100, el mínimo aprobatorio es 51, que hay mas aprobados que desaprobados, que las seis notas suman 352 y que las notas de los desaprobados suman 73. a) 85 b) 89 c) 75 d) 69 e) 95 91. Si

0,0404 (n)  0,1664 ;

sistema de base n. a) Octal b) senario d) quinario e) nonario 92. Si

hallar

el

c) eptal

axb-c a) 26 d) 30

b) 27 e) 28

a)

10

c) 29


20

c) d)

10

b)

10

10 9

95. Hallar la suma de las cifras de “S”, si

S  31(7)  31(10)  31(13  ...  31(91) b) 16 e) 19

c) 17

ab  bc  dd  (c  1)dd

“n”,

si

ab (n)  bc (n)  ca (n)  70 ( a  b  c ) b)6

c)7

Hallar

el

d)8 valor

a)5 104. Si

b)6

de

a+b,

d)8

si

e)9

b) 3 e) 6

c) 4

d)98

e)38

c) 9

d) 12

, h

e) 13

98. Si de los números del 1 al 100, no se marca ni un solo número que contenga a la cifra 4 o la cifra 7. ¿Cuántos números se marcan? a)788b)480

c)360

d)512

e)N.A.

99. Si mnp (8 )  487 (9 ) , hallar “m+n+p” a) 7 d) 10 e) 11 100.

101. Si

b) 8

c) 9

abab (n)  221 , hallar a+b+n b) 9

c) 8

d) 7

calcular a+b-x a) 4 b) 5 d) 7 e) 8

forma

c) 72

d) 81

e) 48

abab (5 )  (a  b)aa (8 ) , hallar

Si

a+b a)6 110.

b)8 Si

c)9

d)5

101(a )  72 (b )

a) 9 b) 17

c) 12

Transformar

e) 8

112.

234 ( n )

b) 299

expresión

a base 6.

b) 22,1

a) 269

, hallar a+b.

la

a) 0,142 0,203 Pasar

e)7

d) 11

1 1 1 E   6 9 108

114.

c) 0,221

d) 0,101

e)

al sistema de base “n-1”

c) 379

Hallar:

d) 279

e) 369

b  a . Si ab  a(a  b)

a) 4 b) 7 c) 6 d) 3 106.

Si el numeral

abc del sistema senario se escribe como 1abc en el sistema ternario, determinar el máximo valor de a+b+c. a)2

b)3 e)N.A.

c)1

d)no

se

puede

115.

Hallar (a+b), si

a) 6 b) 8 116.

Si

e) 2

a 4b (8 )  ba2 (13 )

c) 9 aa 1a 1a

d) 11

Si 3254 (n)  2 xyz (7 ) , hallar x+y+z

107. a)6

b)7

c)8

d)9

e)10

c) 6

=828

“a” veces

1a

1a

Hallar “a”: a) 7 b) 8


e) 10

1a 

e) 6

xxx (11)  xx (11)  x (11)  ab8 ,

la

113. Dados dos sistemas de numeración distintos, se observa que en uno de ellos hay 42 números capicúas de 3 cifras más que en el otro. Indicar la base mayor sabiendo que la suma de las bases de los sistemas dados es 15. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

allar ac+b a) 10 b) 11

109.

111.

 n n(2n)   2 c)71

de

a(a  2)b(6  b) existen en el sistema

Hallar un número que en base 5 se

a)89 b)83

números

e)9

xyzy( 6)  339 , hallar el valor de

“x+y+z” a) 2 d) 5 105.

c)7

¿Cuantos

decimal? a) 56 b) 64

abb (7)  10a3 (5 )

escribe como

96. Para numerar las páginas de un libro en una imprenta antigua se utilizaron 768 cifras; si se malogro el tipo que imprime el 6 y se tuvo que usar el de un 9 invertido; determinar cuantas veces se tuvo que utilizar el tipo del 9. a) 111 b) 101 c) 121 d) 112 e) 122 97. Si

Hallar

103.

94. El número 1a8 se escribe en base 8, pero al transcribirlo se comete un error al escribir la segunda cifra. El número equivocado en el sistema decimal es 180, determinar “a”. a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

a) 15 d) 18

102.

a)5 e)

Aritmética y Álgebra 108.

15

10

10 5

a) 10

abc (9 )  ab (8 )  bc (7 )  693 , hallar


93. ¿Cuál es la base del mayor número de 20 cifras equivalente al número de 100 nueves en el sistema decimal?

c) 9

d) 11

e) 6



Si b0b  12110 (b ) . Hallar “b”

117. a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

a) 9 b) 6

Si abba (n)  7(13) (n2 ) Hallar “n”

118.

sabiendo que a y b se diferencian en 2 unidades. a) 3 b) 4 119.

c) 6

d) 8

Hallar

si:

ababab (5 )  6mcb a) 6 b) 7 120.

c) 9

d) 8

Hallar

si:

n(n  1) (78 )  (n  3)(n  2)(n  1) (n) a) 8 b) 9 121.

c) 10

Hallar a+n, si: :

a) 15 b) 13

d) 11

d) 12

e) 12

123.

Hallar a+b+c, si:

a) 16 b) 21 124.

c) 24

Si:

c) 24

d) 12

125.

d) 35

y

e) 50

dc  2.ab  3 . Hallar a+b+c+d c) 21

d) 22

Dar

como

d) 8

b) 317

c) 554

d)

306

130.

c) 9

Hallar:

d) 10

e) 24

en:

c) 11

b

ac 2

d) 7

e) 9

ab (n)  ba (n 2 ) y n es impar.

126. Si a un número ab se eleva al cuadrado y se multiplica por 13 veces el


573 (9)

640 (9) 768 (9)

c) 110

d)

142

a)

43 (5 )

10110 (2)

b)

112 (3)

c)

d)

24 ( 9)

e)

c) 3

d) 2

e) 1

c) 64

Si

b)

758 (9)

c)

d)

681(9 )

e)

calcular P(a), si P(x )  x a) 1 d) 5

b) 2 e) 7

2

(a  2)

,

x2 c) 3

b) 839 e) 969

c) 849


b) 100 e) N.A

c) 10

a00d2 ( x )  4101( y ) ,

Si

a2p (3 )  b21( x ) ,

ab

y

32r 0 ( y )  2mn2 (6) , hallar el valor de E  x 2  y2

a) 35 d) 25

b) 41 e) N.A.

c) 51

116. Un numeral capicua de tres cifras del sistema quinario se escribe en base “n” como b3b . Calcular (b+n), si “n” es la cifra central del numeral capicua. a) 2 d) 1 117.

111. En la numeración de las páginas de un libro se han usado 2499 tipos de imprenta. Considerando que cada tipo se uso una sola vez, hallar el número de paginas del libro. a) 769 d) 869

 a  b  b  c existen?  2  2

115.

109. De un libro de 300 paginas se arrancaron cierto número de paginas del principio, notándose que en las paginas que quedaban se han utilizado 625 tipos de impresión. ¿Cuántas páginas se arrancaron?

110.

c) 3

Cuantos números impares de la

a) 1000 d) 200

c) 5

b) 84 e) 91

b) 2 e) 5

y

m  n  14 . Hallar m-n

a) 89 d) 88

c) 7

forma: a

Si

b) 4 e) 8

b) 6 e) N.A.

113. Hallar la cifra “y” parea que se cumpla: 26 x (8 )  xyy (7 )

114.

a) 6 d) 9

Si ab (7)  ba (12 )  ab0 (6) , hallar

“a+b”.

a) 1 d) 4

10 (25 ) 108.

112.

a) 5 d) 8

134. Cual de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintos representa el número mayor?

N  (a  1)a(a  1)a(a  1) 2

132. Un granjero vende huevos en cajas de 12 unidades. De la producción de una semana se tiene 4 gruesas, 3 docenas y 8 huevos. ¿Cuál es este número si le hacen un pedido que debe entregar en cajas de 9 unidades? a)

b) 112

e) 11

a+b+c

son impares, siendo:

a) 5 b) 4

a) 111 e) 131

400803 (m)  3000334342 (n)

7(b  1)9  abcc (n) , si tanto a como b

Si


133. Un número en base “n” se expresa como 157. ¿Cómo se expresara en base n+2?

e) 6

Hallar a-b

Se cumple que: ab  2.cd  3 y

a) 20 b) 23

c) 9

a) 222 e) 310

131.

e) 19

ab  bc  79

c) 25

a) 5 b) 3

a) 13 b) 15

a  b  c  12 . Hallar a 2  b 2  c 2 a) 65 b) 45

E  124 (5)  345 (7) .

e) 28

7aa (b )  5cb (11) d) 20

127. Convertir E a la base en que tenga la mayor cantidad de cifras siendo:

a) 7 b) 8

e) 10

122. Hallar un número de dos cifras que sea igual a la suma de todas las cifras de nuestro sistema que son diferentes a las cifras que forman dicho número. Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 18 b) 21

e) 12

129. En cierta zona se usa el sistema nonario para las medidas. Determinar cuantas pesas se usaran como mínimo para equilibrar un objeto que pesa 3026 kilos.

280  aa0 (n)

c) 14

d) 11

128. Hallar la diferencia entre el mayor número de tres cifras en base 7 y el menor número tambien de tres cifras en base 5. Dar la respuesta en base 10.

e) 10

n

c) 10

respuesta la suma de sus cifras.

e) 5

a+b+c+m


producto de sus cifras, el número que se obtine es ababab . Hallar a+b

b) 5 e) 6

c) 3

¿Cuántas cifras tiene el número

1757 ( 8 ) en el sistema ternario? a) 4 d) 8 118.

b) 5 e) 6 Si

los

siguientes

1a1( 4 ) , bb (c ) , 2c (a ) ,

c) 7 numerales están bien

Academia Pre-universitaria “SIGMA” representados, determinar la suma de las cifras del numeral b( 4c )(3a) . a) 16 d) 19

119.

b) 17 e) 20

d) 600 125.

5 (7 )

el residuo

120.

Si 

 ab

  162 (8 ) , 

hallar

b) 109 e) 101

1.

c) 110

121. Al pasar: 0,525 a base 4, resulta que es igual a: a) 0,2012 0,2020… d) 0,212

b) 0,201212…

122.

el

2.

c)

e) N.A. valor

de

“a+b”

si: 3.

abb (9)  bba (6) b) 6 e) 8

c) 7

123. El mayor número de 3 cifras en base “b” es llevado a la base “b+1”. ¿Cuál será la cifra correspondiente al orden de las unidades, del número escrito en la base “b+1”? a) 1 d) b

b) 2 e) b-1

c) b+1

4.

5.

124. Cuantos números de 3 cifras existen en base 7, en los cuales una cifra se repite exactamente 2 veces? a) 108

c)

b) 126

El complemento aritmético de a) 1 d) 7

d)

e)

c) 1553

N  9 x102 n  8 x10n

abb

es

9.

b) 3 e) 9

El

c) 5

pq  a  b  c valor

de

S 3 1 433 4 4333 44 2 ... 4 4 333...33 4 4 43 , es:

c) 150


6.

Una persona deja al morir a cada uno de sus hijos S/. 840,00. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de este se repartió entre los demás, recibiendo entonces cada uno S/. 1120,00. ¿Cuántos eran los hijos? a) 6 b) 4 c) 3 d) 7 e) 8 Desde los extremos de una carretera parten dos ciclistas al encuentro uno de otro. Con velocidades de 18 Km/h y 12Km/h respectivamente. ¿Cuánto tiempo tardaran en encontrarse, si la carretera tiene una longitud de 300 Km? a) 8 h b) 9 h c) 10h d) 12h e) 13h Una persona quiere rifar un reloj de un precio determinado, imprimiendo para esto cierto número de boletos. Si vende a S/. 20,00 cada boleto perderá S/. 300,00 y vendiendo a S/. 50,00 cada boleto ganara S/. 600,00. ¿Cuánto vale el reloj? a) 900 b) 800 c) 1200 d) 1600 e) 90

10n  9n  10 27 10n  9n  10 c) 27 10n  3n e) 27 a)

a) 9n-7 d) 9n+3

b) 9n+2 e) 9n

c) 9n-5

16. Si abcxpq  4140 , abcx ( p  q )  1035

n sumandos

“11a+2b”

a) 5 d) 9

b)

b) 1525 e) 1554

b(b  1)(a  1) , hallar “a-b”

c) 11

CUATRO OPERACIONES

 13 141516

Hallar

b) 10 e) 13

Aritmética y Álgebra 15. Hallar la suma de las cifras del complemento aritmético del siguiente numeral:

abc  bca  cab a) 1515 d) 1555

8.

c) 2



a) 0.5 d) 111

7.

135. a)

b) 1 e) 4


Hallar el valor de “a+x+y”, si

a) 9 d) 11

es: a) 0 d) 3

e) 343

aaaaa (5 )  xy8

c) 18

25403 (7)

Al efectuar:


10n  9n  10 27 10n 1  9n  10 d) 27 b)

10. Encontrar un número entero que dividido por 82 se obtenga un resto por defecto el doble del cociente por exceso y como resto por exceso el triple del cociente por defecto. a) 1326 b) 1346 c) 1316 d) 1356 e) 1396 11. Hallar el divisor de una división inexacta, sabiendo que al sumar 120 al dividendo, el cociente aumenta en 9 y el residuo en 3. a) 14 b) 13 c) 12 d) 10 e) 11 12. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 12 y el cociente de su división por su cifra de unidades es 21. Hallar la cifra de las decenas. a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7

Un número de tres cifras que restando de su complemento aritmético da 286, es: a) 357 b) 753 c) 573 d) 375 e) 537

13. Hallar el valor de S=9+12+17+24+…+177, dar como respuesta la suma de la cifras de S a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Un comerciante compro 30 lapiceros por S/. 540,00. Si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de compra de 6 lapiceros, ¿A como tendrá que vender cada uno de ellos? a) 32,40 b) 27 c) 24 d) 29 e) 9

14. Si abc  cba  mn 4 y c
Si (a  b  c )2  196 , hallar


y a  b  c  9 , hallar el

valor de “p+q” a) 12 b) 7 d) 10 e) 5

c) 3

17. Si aCA(a )xbCA(b )  2368 y b-a=3, hallar el valor de “b”(CA= complemento aritmético) a) 1 b) 6 c) 5 d) 3 e) 4 18. La diferencia de dos números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es: a) 350 b) 200 c) 240 d) 180 e) 879 19. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19456 y el minuendo es el cuádruplo del sustraendo. Hallar el sustraendo. a) 2432 b) 1216 c) 3648 d) 608 e) 398 20. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtengan un cociente que es la raíz cuadrada del resto. a) 602 b) 632 c) 532 d) 624 e) 1 21. La diferencia de dos números es 832, su cociente es 17 y el residuo es el mas grande posible. Hallar la suma de los números. a) 881 b) 993 c) 934 d) 890 e) 930 22. La suma de dos números es 74 y su cociente es 9, dando un residuo de 4. ¿Cuál es el número menor? a) 9 b) 8 c) 5 d) 7 e) 6 23. El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500. Dar como respuesta el número de soluciones posibles a) 1 b) 4 c) 3

Academia Pre-universitaria “SIGMA” d) 5

e) 2




dos cifras que se pueden formar con dichas tres cifras. Dar la suma de sus cifras. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

¿Cuántos tipos de imprenta se emplearan para numerar todas las páginas del libro? a) 864 b) 486 c) 468 d) 181 e) 192

24. En el primer año bisiesto de la década de los 90 la edad de un padre era ac años(a>c) y la de su hijo era “a” años. En el siguiente año bisiesto la edad del padre fue 5 veces la edad de su hijo. Hallar la suma de las cifras de la edad del padre en el año 2006. a) 4 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

31. Si

ac b  , b ac

38. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 11. Si se intercambian sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número primitivo. Hallar dicho número. a) 27 b) 19 c) 29 d) 31 e) 28

25. Se arrojan 3 dados: al doble de lo que salio en el primero se le suma 8 puntos y todo se multiplica por 5. Al resultado se le suma lo que salio en el segundo dado y todo se multiplica por 10, y a lo obtenido se le suma lo que salio en el tercer dado obteniéndose al final 856 puntos. Hallar la suma del puntaje obtenido por los tres dados. a) 8 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

32. Se divide un número de dos cifras entre la suma de las cifras. Se invierten el orden de sus cifras del número y se divide el nuevo número otra vez entre la suma de sus cifras. Se descubre entonces que la diferencia de los cocientes es igual a la diferencia de las dos cifras del número original. ¿Cuál es este número? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

39. Se suman todas las permutaciones cíclicas de un número de 4 cifras pares distintas. ¿Cuál es la suma de las cifras de la suma total? a) 4 b) 2 c) 8 d) 16 e) N.A

26. Entre dos personas tienen 284 soles. Si una de ellas diera 76 soles a la otra las dos tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tuvo cada uno inicialmente? a) 60 y 136 b) 60 y 212 c) 66 y 142 d) 66 y 218 e) 208 y 284

33. Hallar un número sabiendo que al agregarle la sumad de sus cifras se obtiene 557. Hallar la suma de sus cifras de dicho número a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18

27. Hallar S  a) 0,60 d) 1,0

1 1 1 1     .... 2 6 18 54 b) 0,70 e) 

c) 0,75

28. Una persona concurre a un hipódromo a apostar a la carrera de caballos. En cada carrera que acierta gana S/. 250,00 y si no acierta pierde S/. 150,00. Después de 24 carreras, su capital ha aumentado en S/. 3200,00. ¿Cuántas carreras acertó? a) 7 b) 14 c) 17 d) 18 e) 21 29. En un pueblo correspondía a cada habitante 120 litros de agua por día. Hoy ha aumentado la población en 400 habitantes y corresponde a cada uno de ellos 110 litros diarios. El número e habitantes del pueblo es: a) 3600 b) 4000 c) 4200 d) 4800 e) 5000 30. Hallar un número de tres cifras pares que sea igual a la suma de los seis números de


abc  1mn  cba

hallar a+b+c+m+n. a) 29 b) 24 d) 27 e) 32

y c) 30

34. De un grupo de 83 personas, la tercera parte de las mujeres tienen ojos negros y la onceava parte de los hombres son casados. ¿Cuántas mujeres no tiene ojos negros?, Si el número de mujeres es mayor que el número de hombres. a) 39 b) 6 c) 44 d) 1 e) 48 35. De un libro de 300 páginas se arrancaron cierto número de páginas del principio, notándose que en las páginas que quedaban se han utilizado 625 tipos de impresión. ¿Cuántas paginas se arrancaron? a) 89 b) 84 c) 64 d) 91 e) 88 36. En la numeración de las páginas de un libro se han utilizado 2499 tipos de impresión (dígitos). Considerando que cada tipo se utilizo una sola vez, hallar el número de paginas del libro a) 769 b) 839 c) 849 d) 969 e) 869 37. Para enumerar las 30 páginas centrales de un libro se emplearon 72 tipos de imprenta.

40. Un número capicúa de 4 cifras es tal que la diferencia entre sus cifras de millares y de decenas es 3. Si el número se divide entre 11, la cifra de las decenas del cociente es: a) 9 b) 7 c) 5 d) 6 e) 3 41. Hallar la suma de las cifras de M, si:

M  31( 7)  31(10 )  31(13 )  ...  31(91)

a) 13 d) 21

b) 10

c) 17

e) 12

42. Hallar

la

suma:

S  1x 4  2 x 5  3 x 6  ...30 x 33

a) 10850 d) 10805

b) 10085 c) 10580 e) 15800

44. Sea N= ab un número de dos cifras y

b=2, calcular a) 961 d) 5625

además

N  N1 11

 12

y a-

N2 b) 1725 e) 7225

46. Luís podría ahorrar 20 soles diario, pero en cada mañana de sol gasta 9 soles en helados y cada mañana fría gasta 6 soles en café. Si ya tiene ahorrado 218 soles. ¿Cuántos días ahorro? a) 19 b) 8 c) 21 d) 25 e) 36

si: abc abc (8) x2  cba (8 ) . Dar la respuesta en

47. Hallar

base 10 a) 18 d) 12

c) 9025

45. Un número de dos cifras es tal que la suma de los valores absolutos de sus cifras es 9 y cuando se invierten el orden de las cifras se


b) 16 e) 15

c) 14

48. N es un número quinario de 6 cifras; donde la cifra de menor orden es 3. Al triplicar N resulta que la cifra de mayor orden, y el resto de cifras corren su ubicación. La suma de sus cifras desconocidas, en base 10 es: a) 9 b) 11 c) 13 d) 14 e) 12 49. Si

43. La suma de dos números es 611, su cociente 32 y el residuo de su división el mayor posible. La diferencia de estos dos números es: a) 571 b) 572 c) 573 d) 574 e) 575

N1  ba

obtiene un segundo número el cual excede en 9 al cuádruplo del primero. ¿Cuál es el `primer número? a) 81 b) 48 c) 39 d) 18 e) N.A.

SEIS x 2  DOCE. .

Hallar

DOS  SEIS . Considere O cifra impar y letras diferentes son cifras diferentes. a) 5748 b) 3948 c) 4838 d) 5838 e) 4738 50. Sea N  a1b ; 2n tiene 3 decenas, 3n tiene 5 unidades y 2 centenas y cN tiene 2 decenas y 3 unidades de millar. Hallar la suma de las cifras del producto 3c2 por N a) 21 b) 22 c) 20 d) 24 e) 27 51. La suma del dividendo, divisor, cociente y residuo de una división es 1357; si la división se hubiera hecho por exceso la suma seria 1349. Hallar el dividendo siendo el cociente 25. a) 1154 b) 1315 c) 1254 d) 1024 e) 1424



52. En una división inexacta el resto por defecto es el doble del resto por exceso y este es el doble del cociente. Hallar el dividendo si la diferencia de los residuos es 64 a) 6184 b) 6272 c) 6564 d) 7124 e) 7248 53. En una división se cumple que el

re

es

igual al cociente por defecto y el

rd

es

d) 40

(33 cifras) (32 cifras) (31cifras)    

igual al cociente por exceso. Si el divisor es 213. Hallar el dividendo. a) 22685 b) 22578 c) 22586 d) 22875 e) 22876 54. Si

CA(abc (8) )  bac (8)

y

ab (9 )  ba (9 )  26 (9 ) . Hallar a.b.c a) 60 d) 48

b) 35 e) 42

c) 40

a) 1 d) 8

a x b (max imo valor ) , si

a) 22 d) 36

b) 8 e) 18

termine el valor de “a” a2ca262.cDe ....... a2 ca 2c  si: bcc  a0c  ab0  bc  c ; es menor que 400. a2ca2 ...... ca a) 5 b) 3 2ca c) 2 2 d) 4 e) 1 a263. caSi ..... 2ca2ca N es un número de tres cifras que dividido entre 47, da un resto máximo. Hallar la suma del mayor valor con el menor valor de N. .......... ...... a) 986 b) 1524 c) 2140 d) 985 e) 1126 a2c 64. Hallar el valor promedio de los valores que puede tomar el divisor si, el cociente y el a2 residuo de una división son 38 y 41 respectivamente y, si el dividendo esta comprendido entre 427 y 798.a a) 15 b) 11 c) 0 d) 13

ab  ba  de y de  ed  27 c) 42

57. Hallar la suma de todos los números de tres cifras que se pueden formar con las cifras pares. a) 52400 b) 54400 c) 5400 d) 45500 e) 48200 58. Calcular “c” si:

59.

Si:

b) 7 e) 4

c) 5

NILDA  DAS

e) 17

GORDAS S es cifra impar y letras diferentes son cifras diferentes. Hallar S+O+R+D+A+G a) 18 b) 20 c) 24 d) 15 e) 16 60. En que sistema se ha realizado la siguiente operación?

23  5   1 6 4 2

a) Octal d) undecimal

b) eptal

doble de la edad del hijo. Calcular la suma de las edades que tendrán en el 2009, si hace seis años la edad del hijo era un tercio de la edad del padre. a) 96 b) 100 c) 69 d) 79 e) 72 66. Si se tiene a0a  abc  ac0bc .

IGAA

42423 c) nonario e) duodecimal

61. En una división el divisor es 40 y el residuo es 8. Al agregar al dividendo cierta cantidad, el cociente queda aumentado en 2. ¿Cuántos valores puede tomar esta cantidad? a) 30 b) 32 c) 350



e) 43

.......... .......... ........ 40 65. Dentro de 15 años la edad del padre será el

55. Hallar la cifra de las centenas del mayor número de 3 cifras continuas crecientes, siendo la cifra de las decenas de su complemento aritmético 2. a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 56. Hallar


que: Hallar

c  b  a . (0 es cero) a) 69 d) 72

b) 95 e) 79

c) 71

67. Si

N  1101001110 1111001 (2) 

68. En el sistema decimal, la suma de las cifras Hallar “n” a) 12 d) 18

abc (n)  cba (n) , es 30.

b) 15 e) 16

b) 10 e) 8

c) 12

70. De un libro de 300 páginas se arrancaron cierto número de páginas del principio, notándose que en las páginas que quedaban se han utilizado 625 tipos de impresión. ¿Cuántas paginas se arrancaron? a)89 b)48

c)64

d)88

e)91

71. El producto de tres números consecutivos es 2184. Hallar la suma de dichos números a) 28 b) 30

c) 35

d) 39

e) 43

72. Hallar el divisor de una división inexacta, sabiendo que al sumar 120 al dividendo, el cociente aumenta en 9 y el residuo en 3. a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10 73. Al dividir abc entre bc se obtiene 11 de cociente y 80 de residuo. Determinar abc . a) 289 b) 928 c) 982 d) 892 e) 829 74. Hallar un número de tres cifras pares que sea igual a la suma de los seis números de dos cifras que se puede formar con dichas tres cifras. Dar la suma de sus cifras a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

75. Un cierto número multiplicado por 2, por 3 y por 7, da tres nuevos números cuyos producto es 55902. ¿Cuál es este número? a) 14 b) 12 c) 13 323464 (8) d) 11 e) 15

. Hallar N en el sistema decimal. a) 99 b) 107 c) 109 d) 69 e) 79

de la diferencia

a) 4 d) 14

c) 13

69. La suma de las cifras de la suma de dos números enteros positivos es 5 y la suma de las cifras de su diferencia es 6, si el mayor esta entre 10 y 25 y el menor entre 10 y 15. Hallar la suma de las cifras del mayor de estos números.


76. La diferencia de dos numeros es 305. si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es: a) 350 b) 200 c) 240 d) 180 e) 879 77. Aumentando 9 a lso dos factores de un producto, el resultado aumenta en 549. Hallar uno de los afctores, si la diferencia de ellos es 18. a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28 78. La suma de dos números es 74 y su cociente es 9 dando un residuo de 4. ¿Cuál es el número menor?


b) 8 e) 6

c) 5

79. Sea:

1  17  171  ...  17...71  ab5c . Donde a, b y c son cifras diferentes entre si. Halle la cantidad de sumandos. a) 25 b) 21 c) 13 d) 9 e) 7 80. Las paginas de un libro se empiezan a enumerar desde 53m y se termina en

m35 . Si la cantidad de tipos empleados termina en m. Halle m. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 81. Diana reparte abca soles entre sus hijos Adán, Beto y Carlos, tocándoles respectivamente 1ab , b5 a , db7 soles, ¿?Cuanto mas recibe Carlos que lo que recibe Adán y Beto juntos. a) 113 b) 351 c) 373 d) 387 e) 378 82. Calcular la suma de las cifras del complemento aritmético del menor número de 10 cifras, cuyo producto de cifras sea 60. a) 71 b) 74 c) 78 d) 81 e) 83 83. La suma de los 4 términos de una división entera es 4500, siendo el residuo igual al cociente. Si se suma 20 al dividendo, la división se hace exacta. Halle el dividendo. a) 1234 b) 3214 c) 4132 d) 4312 e) 1432 84. Hallar la suma de (n+1) números consecutivos, tal que al dividir el mayor entre el menor se obtiene (n-13) de residuo. Siendo n el mayor posible. a) 654 b) 659 c) 663 d) 676 e) 696 85. ¿Cuántas divisiones inexactas de dividendo 353 y residuo 9 existen? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 86. Hallar la suma de todas las cifras del cociente abc , de una división exacta, donde el divisor es 555 y el dividendo acaba


Aritmética y Álgebra en 143. todos los numerales están escritos en base 6. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 87. Sea S la suma de todos los números de 4 cifras, tales que divididos entre un número entero se obtiene por cociente 13 y por residuo su máximo valor. Señale como respuesta la suma de cifras de S. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 88. a) b) c) d) e) 89. a) b) c) d) e) 90. a) b) c) d) e) 91. a) b) c) d) e) 92. a) b) c) d) e) 93. a) b) c) d) e) 94. a) b) c) d) e) 95. a) b) c) d) e) 96. a) b) c) d) e) 97. a) b) c) d) e) 98. a) b) c) d) e) 99. a) b) c) d) e) 100. a) b) c) d) e) 101. a) b) c) d) e) 102. a) b) c) d) e)

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 103. a) d) 104. a) d) 105. a) d) a) 9 d) 6 106. a) 9 d) 6 107. a) 9 d) 6 108. a) 9 d) 6 109. a) 9 d) 6 110. a) 9 d) 6 111. a) 9 d) 6 112. a) 9 d) 6 113. a) 9 d) 6 114. a) 9 d) 6 115. a) 9 d) 6 116. a) 9 d) 6 117. a) 9 d) 6 118. a) 9 d) 6 119. a) 9 d) 6 120. a) 9 d) 6

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5


Aritmética y Álgebra 121. a) 9 d) 6 122. a) 9 d) 6 123. a) 9 d) 6 124. a) 9 d) 6 125. a) 9 d) 6 126. a) 9 d) 6 127. a) 9 d) 6 128. a) 9 d) 6 129. a) 9 d) 6 130. a) 9 d) 6 131. a) 9 d) 6 132. a) 9 d) 6 133. a) 9 d) 6 134. a) 9 d) 6 135. a) 9 d) 6 136. a) 9 d) 6 137. a) 9 d) 6 138. a) 9 d) 6 139. a) 9 d) 6

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 140. a) 9 d) 6 141. a) 9 d) 6 142. a) 9 d) 6 143. a) 9 d) 6 144. a) 9 d) 6 145. a) 9 d) 6 146. a) 9 d) 6 147. a) 9 d) 6 148. a) 9 d) 6 149. a) 9 d) 6 150. a) 9 d) 6 151. a) 9 d) 6 152. a) 9 d) 6 153. a) 9 d) 6 154. a) 9 d) 6 155. a) 9 d) 6 156. a) 9 d) 6 157. a) 9 d) 6 158. a) 9 d) 6

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

Aritmética y Álgebra 159. a) 9 d) 6 160. a) 9 d) 6 161. a) 9 d) 6 162. a) 9 d) 6 163. a) 9 d) 6 164. a) 9 d) 6 165. a) 9 d) 6

b) 7 e) 3


c) 5

b) 9 e) 7

c) 10

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 10 e) 16

c) 12 o

3. ¿Cuantos números que tienen la forma b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

b) 7 e) 3

c) 5

a (a  1)(a  1)a son múltiplos de 33? a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 4. Si el menor numeral de la forma abc es múltiplo de 11 donde a+b+c=17, hallar “a-b”. a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 

5. Sabiendo que: (2a )9a 39  7 , hallar: “a” a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 

6. Sabiendo 4ab 58a  56 , hallar a+b a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) NA 

b) 7 e) 3

Aritmética y Álgebra a) 18 d) 14

7. El número de la forma: aaa   ...  a  9 2 , 40cifras

hallar “a” a) 8 b) 4 c) 5 d) 3 e) 2 8. ¿Cuantos números de la forma abab son múltiplos de 7? a) 98 b) 14 c) 13 d) 12 e) NA 9. Si el numeral 5a 04 es múltiplo de 7, hallar el valor de a) 4 d) 16

a2

b) 8 e) 18 o

10. Si 1aa1bb = 9 y a  a) 8 b) 17 d) 23 e) 91

c) 12

b , hallar a+b máximo c) 15

o

11. Si 3mnm = 143 , hallar mn a) 55 b) 56 d) 58 e) 70

c) 57

15. Si el complemento aritmético de 5a6b7 = 77 , hallar “a.b” a) 20 b) 16 c) 21 d) 24 e) 25 o

16. Si aba2b = 99 , hallar “a+b” a) 7 b) 16 d) 17 e) 9 17. Si M  a 43b y M+N es divisible por: a) 3 b) 7 d) 17 e) 23

c) 8

N  b34a , entonces c) 1

18. Sabiendo que: 

24   2424 ...  24  45

¿Cuál es el

nsumandos

mínimo valor de n que cumple esta condición? a) 45 b) 25 c) 5 d) 15 e) 12 19. Si

o

(1+ a) + (2 + a) +... + (6 + a) = 11 ,

calcular el menor valor que toma “a”. a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 20. Si

se

sabe

que:.



48   48  48 ...48   60 ¿Cuál

será

n sumandos

el mínimo valor de “n” para que se verifique la condición? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A. 21. ¿Cuántos números de 3 cifras cumplen que sean múltiplos de 24? a) 30 b) 32 c) 36 d) 37 e) 38

o


DIVISIBILIDAD 1. Hallar

“a”

9a 8a7a6a 5a 4a3a2a1a divisible por 11. a) 7 b) 1 d) 8 e) 5

si es

c) 6

2. Si el número xyx 2 y es múltiplo de 99, hallar el valor de “x+y”

12. Hallar “a” en a4a4a = 8 a) 2 b) 9 d) 6 e) 10

c) 8

o

13. Si 4ab51a = 72 , hallar “a.b” a) 8 b) 10 d) 14 e) 16

c) 12

14. Hallar la suma de las cifras de la suma entre el menor y mayor número de la forma a26b que son múltiplos de 11


22. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7 pero no de 5? a) 104 b) 103 c) 101 d) 102 e) 100 23. ¿Cuantos de los números de 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7? a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 13

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 24. ¿Cuantos números entre 200 y 1800 son divisibles entre 3 y 5 pero no entre 8? a) 106 b) 96 c) 93 d) 90 e) NA 25. De los 504 primeros números naturales, ¿Cuántos no son múltiplos ni de 3 ni de 7? a) 288 b) 289 c) 290 d) 291 e) 292 26. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dan como residuo 2 en ambos casos? a) 31 b) 32 c) 30 d) 33 e) 34 27. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente? a) 35 b) 30 c) 32 d) 31 e) NA 28. ¿Cuantos números de 3 cifras al ser divididos entre 7 o entre 9 dejan como residuo 5 y 7 respectivamente? a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) NA 29. ¿Cual es el menor número mayor que 400 tal que, al ser dividido entre 35 deja 30 de residuo y al ser dividido entre 45 deja 10 de residuo? a) 400 b) 410 c) 415 d) 420 e) 425 30. Hallar el menor número “x” tal que: o

o

x = 7+ 3 y 4x = 15+13 a) 52 d) 55

b) 53 e) 131

c) 54

31. Sea “N” un número de 2 cifras que cumple lo siguiente: Al dividir N entre 7 el residuo es 3 Al dividir 3N entre 13 el residuo es 2. Hallar la suma de cifras de N a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 32. Hallar la menor cantidad de páginas que puede tener un libro, sabiendo que si se cuentan de 18 en 18 sobran 11;: de 24 en 24 sobran 17; de 30 en 30 sobran 23; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra hojas a) 1793 b) 1593 c) 1693 d) 1993 e) 1773


Aritmética y Álgebra 33. Un agricultor tiene cierto número de manzanas y manda cortarlas con 4 de sus trabajadores: El 1º agrupo de 11 en 11 y le falta 1 El 2º agrupo de 13 en 13 y le sobra 12 El 3º agrupo de 7 en 7 y le falta 1 El 4º agrupo de 12 en 12 y no le falta ni le sobra. ¿Cuántas manzanas tiene exactamente el agricultor si son menos de 10000? a) 3004 b) 8504 c) 5002 d) 5004 e) 6004 34. Al dividir

62 403  15 . ¿Cuál es el residuo?

a) 6 d) 8

b) 7 e) 9

35. ¿Cual es el resto de dividir a) 1 d) 5

c) 5

62 400  9 ?

b) 3 e) 0

c) 2

36. Hallar el residuo que deja la siguiente división: 3828 a) 4 d) 1

7

b) 2 e) 5

c) 3

37. En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número 1457 25 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 38. Si el número 21019 se escribe en base 7. ¿En que cifra termina? a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 39. Hallar el resto de dividir 436543 por 8 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 40. ¿Cuál es el resto de dividir a) 0 d) 3 41. Al dividir 1480 a) 14 d) 8

14 92

entre 3?

b) 1 c) 2 e) 5 entre 20, el residuo será: b) 16 c) 12 e) 4

42. Se tiene un número formado por 89 cifras, las primeras 51 cifras son 8 y las restantes son 6. Hallar el residuo al dividir entre 7 a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 0 43. ¿Cuantos números de tres cifras cumplen que su suma de cifras sea múltiplo de 3? a) 210 b) 300 c) 310


44. Determine el valor de a para que al dividir el número 90a1738 por 11 tenga el mismo resto que el número 123123…123(300 cifras) dividido por 9. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 45. Cuantos múltiplos de 11 existen en la siguiente sucesión: 103, 104, 105, …, 4095 a) 360 b) 361 c) 362 d) 363 e) 364 46. Cuantos múltiplos de 11 mas 3 existen en la serie: 35, 39, 43, 47, 51, …, 247 a) 1 b) 3 c) 7 d) 5 e) 9 47. Cual es el resto de dividir A.B entre 5, si: A=4848…48(200 cifras) y B=8484…84(300 cifras) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 48. Cual es el resto de dividir 4444…44(200 cifras) entre 7 a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 49. si abcd es un número de 4 cifras, la suma de los números abcd  dcba siempre es múltiplo de : a) 17 b) 12 c) 7 d) 23 e) 11 50. Sabiendo que “n” es un número entero cualquiera, la expresión

M  n 3  11n ,

es siempre divisible por: a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 13 51. Si “n” es un número entero, entonces

32n  2  2n  1 es siempre divisible por: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 52. Determinar cuantos son los números de 4 cifras múltiplos de 7 que terminan en cifra 2 a) 127 d) 129

b) 131 e) 127

c) 142

53. Hallar un número capicúa de 4 cifras que sea múltiplo de 105 a) 7557 d) 5335


e) N.A.

b) 5775 e) 5555

c) 3553


54. Hallar le residuo de dividir entre 9, para n natural. a) 1 b) 2 d) 0 e) 3

2 2n  15n  1

c) 4

55. Cual es la suma de las cifras que debe sustituir al 2 y 3 del número 52103, para que sea divisible por 72? a) 12 b) 15 c) 17 d) 10 e) 30 

56. Si 2ab53b  56 , hallar “a.b” a) 20 b) 81 c) 56 d) 10 e) 30 57. Hallar

“a+b”, sabiendo que a1ba es múltiplo de 63. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 7 

el



número



58. Si abc  11 , cba  8 , acb  9 , hallar “a+b+c” a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 59. Cuantos múltiplos de 2 y múltiplos de 7 pero no de 15 hay entre 45000 y 120000? a) 5357 b) 3571 c) 5337 d) 5000 e) 3750 60. cuantos múltiplos de 13 que terminan en 5, hay entre 800 y 1000? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 61. Cuantos de los siguientes números son primos absolutos en base 7?

13 (7 ) ; 31(7 ) ; 61(7 ) ; 25 (7 ) a) Ninguno d) Todos

b) Solo uno e) N.A.

c) Tres

62. Un alumno de la academia perdió su carnet y no se acordaba su código; pero recordó que era de 4 cifras y divisible por 5, 9 y 11. además la primera y última cifra eran iguales. ¿Cuál era el código de dicho alumno?. Dar como respuesta la suma de sus 2 ultimas cifras. a) 9 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7 63. Hallar el resto de dividir: a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

2 2576 c) 2

entre 7

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 64. Si

el

número

de

la


forma:



42ab67b  56 , hallar a+b a) 9 b) 6 c) 4 d) 2 e) 5 65. ¿Cuántos

valores

puede

tomar

“a”,

si



97a63b  13 ? a) 4 b) 5 d) 7 e) 8

c) 6

66. Hallar el menor número N que multiplicado por 33, todas las cifras del producto son siete. Dar como respuesta la suma de las cifras de N a) 15 b) 20 c) 25 d) 23 e) 18

“n”

que

cumple:

n sumandos

a) 7 d) 12

b) 5 e) 14

c) 11

77. Calcular el residuo de dividir “N” entre 7, si

69. ¿Cuántos números de la forma 28a75b , son divisibles por 33? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 70. Al dividir A entre 13 se obtuvo 11 como residuo y al dividir B entre 13 se obtuvo 9 de residuo. ¿Cuál será el residuo de dividir A.B entre 13? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 

menor

32   32  32 ... 32   56

68. Si 2b31  23 , hallar el valor de b. a) 8 b) 1 c) 7 d) 2 e) 5



el





71. Si

75. En un salón de 45 alumnos se rindió la prueba de aritmética obteniéndose notas de: 44; 64; 77 puntos, siendo la suma de notas 2711. ¿Cuántos alumnos han obtenido 44 puntos? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 76. determinar



67. Si : aba(b  6)  44 , hallar a+b a) 10 b) 11 c) 8 d) 13 e) 14


74. Carlos podría ahorrar S/. 30 diariamente, pero cada vez que sale con Bárbara gasta S/. 19; cuando sale con Raquel gasta S/. 16, y cuando sale con su novia gasta 8 soles. Si todos los días sale con alguna de las tres y ya tiene ahorrado S/. 273. ¿Cuántos días salió con su novia para poder ahorrar esta cantidad en un tiempo mínimo? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30



abc  5 , bca  4 , cab  9 . Calcular el máximo valor de a+b a) 2 b) 12 c) 13 d) 17 e) N.A.

72. ¿Cuántos múltiplos de 13 entre 1301 y 10000? a) 654 b) 664 c) 669 d) 769 e) 681 73. Entre 261 y 7214. ¿Cuántos números enteros divisibles por 7 terminan en 2? a) 66 b) 77 c) 88 d) 55 e) 99


N  13  abcabc    ...abc 

82. Si,

7b6b3b  13 . ¿Cuántos valores puede tomar “b”? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 2 

b) 2 e) 6

84. Para

valor de a) 74 d) 89

a b c

la



b) 7 3





e) 23

b) 51 e) 27

c) 23

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

100. a) d)

b) e)

c)

101. a) d)

b) e)

c)

102. a)

b)

c)

91.

expresión es

equivalente a: a) 8 1

Hallar mn a) 57 d) 29

92.



c) 6 2



d) 5 2

93.

85. Con 241 soles se han comprado videos a 38 soles cada uno y casetas a 17 soles cada uno. ¿Cuántas unidades respectivamente se compraron de cada tipo de objeto? a) 5; 3 b) 5; 8 c) 3;5 d) 4;6 e) 8;5

94.

95.

86. ¿Cuantos números de la forma abba son 





96.

87.





  4 6 P      13  2         . De las afirmaciones 

I) P  13

100

 .    

 13 



II) P  14  1

3 5

7





  

201

III)

97.

98.



2

b) 136 e) 182

positivo,

E  7 2n 1  2.13 2n 1  17 2n 1 ,

c) 3

abc  66(a  c  b) . Calcular el 2

entero

c) 125

80. Hallar la diferencia entre el mayor y menor múltiplo de 11 de la forma a26b a) 3773 b) 3664 c) 3881 d) 3994 e) 3990 81. ¿Cuantos números de 3 cifras son múltiplos de 3 o 4 pero no de 12? a) 375 b) 300 c) 225 d) 75 e) 150

P  14  1

Sin ciertas solamente: a) I b) II c) III d) I y II e) I, II y III 88. Determinar el resto de dividir el número

6666666    ......   6666   6k cifras

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

precios

puede

c) 20; 12; 8

90. Si 3mnm es divisible por 143 y por 5.



múltiplos de 11, 7, 13, 3 ? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

78. Si 513 x (8 )  12 x5 ( 8 )  8 . Hallar “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2

“n”





79. Si



83. Si, N  abcd  13, 11, 5 ; encontrar ab+cd; si a letras diferentes, cifras diferentes. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

50 cifras

a) 1 d) 4

Aritmética y Álgebra de cada uno de estos comprarse? a) 28; 9; 3 b) 28; 8; 4 d) 20; 11; 9 e) 28; 16; 6



, entre 7.

c) 4

89. Se dispone 100 nuevos soles para comprar paquetes de chocolates a precios de 1; 4; y 12 soles. ¿Cuántos paquetes de chocolates


99.

Academia Pre-universitaria “SIGMA” d)

e)

103. a) d)

b) e)

c)

104. a) d)

b) e)

c)

105. a) d) 106. a) d)

b) e) b) e)

c)

c)

b) e)

c)

108. a) d)

b) e)

c)

b) e)


Lucas:

2127  1 que tiene 39 cifras

 Algo probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo número par, es la suma de los números primos 2n Fermat:

2

1

 Formulas del calculo de números primos:

107. a) d)

109. a) d)

Aritmética y Álgebra  Algunos números primos descubiertos por matemáticos son:

c)

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 1. NÚMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO: Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo. Ej.: 2, 3, 5, 7, etc. 2. NÚMERO COMPUESTO: Son números que admiten mas de dos divisores. Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc. 3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES:

CDN  CDcompuestos  CDprimos  1

4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI): Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc. NOTAS:  Todo número primo mayor que 3 siempre es  de la forma : lo contrario no siempre

6 1

n 2  n  41 valida n  Z  y n  40

únicamente

para

5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO: Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación: Ej.: ¿El número 139 es primo? 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA: “Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única.” Llamada también “DESCOMPOSICION CANONICA”

N  A .B  .C  ... Donde:

A, B, C;…; Factores primos  ,  ,  , ... ; Exponentes Ej.: Descomponer en sus factores primos el número 360. 7. DIVISORES DE UN NÚMERO N  Cantidad de divisores de un número: Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.

CD (N )  (  1)(   1)(  1)....

8.

  9. 

Ej.: Hallar La Cantidad, suma, producto y suma de inversas de los divisores de 12. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Es un divisor común de todos Es el mayor posible Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18 DETERMINACIÓN DEL MCD Por descomposición Canónica: El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles. Ej.: Sea A  22.32.5

y

B  23.3.5 2

MCD  22.3.5

entonces

 Por descomposición simultáneamente: El MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI.”Se busca solo los factores comunes”. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18  Algoritmo de Euclides o Divisiones sucesivas 10. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:  Es un múltiplo de todos  Es el menor posible Ej.: Hallar el MCM de 18 y 12 11. DETERMINACIÓN DE MCM  Por descomposición Canónica: El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles. Ej.: Sea 2

2

A  2 .3 .5

y

3

B  2 .3.5 3

2

entonces MCD  2 .3 .5

2

2

 Por descomposición simultáneamente: El  Suma de divisores de un número MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI. A  1  1 B   1  1 C   1  1 SD (N )  . . ..... Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30 A1 B 1 C 1 12. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM:  Producto de los divisores de un número:  Si A y B son PESI, entonces: MCD(A,B)=1  Si A y B son PESI, entonces: MCM(A,B)=A.B CD (N ) PD (N )  N  El producto de dos enteros positivos siempre  Suma de las inversas de los divisores de es igual al producto de su MCM y el MCD. Es un número: decir:

SID(N ) 

SD (N ) N

MCM ( A; B ).MCD ( A; B )  A.B

se cumple.



Aritmética y Álgebra  Sea

A  K

 y  Entonces:

son

y B  K primos

entre

Donde: si

(PESI).

MCD ( A; B )  K MCM ( A; B )  K . .

 Si un conjunto de enteros positivos se reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir: MCD ( A; B; C )  MCD (MCD ( A; B ); MCD (B; C ))

MCD ( A; B; C ; D )  MCD [ MCD ( A; B ); MCD (C ; D

MCM ( A; B; C )  MCM (MCM ( A; B ); MCM (B; C ))

MCM ( A; B; C ; D )  MCM [ MCM ( A; B ); MCM (C; D 13. CASOS ESPECIALES:  MCD(a;a+b)=MCD(a;b)  Si a y b son primos entre si entonces MCD(a+b;a-b)= 1 ó 2  MCD(a,b)=MCD(a  b;m), donde m=MCM(a,b)  MCD(a,b,a+b)=

a.b(a  b) d2

,

donde

d=MCD(a,b) 

MCD ( An; Bn; Cn )  n.MCD ( A; B; C ) 

MCM ( An; Bn; Cn)  n.MCM ( A; B; C 

MCD (

A B C MCD ( A; B; C ) ; ; ) n n n n



MCM (

A B C MCM ( A; B; C ) ; ; ) n n n n

MCD ( p k  1; p h  1)  p MCD ( k ;h )  1 PRACTICA Nº 05 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 1. Si N = 72n tiene 117 divisores, halar “n” a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 2. Si N = 8x12k tiene 40 divisores, hallar el valor de “k” a) 32 b) 21 c) 2


e) 11

3. Si N = 9x10k y además tiene 3 divisores mas que el número 360, calcular el valor de N a) 90 b) 900 c) 9000 d) 90000 e) 9 4. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de

N  (30) n

número de divisores de a) 7

b) 9

d) 5

e) 6

sea el triple del

M  15(18) n c) 11

5. Cuantos divisores de 820 son divisibles entre 4 a) 3 b) 5 c) 2 d) 6 e) 4 6. Hallar el número de divisores compuestos de

20 20 a) 320 d) 840

b) 820 e) 885

c) 858

7. Hallar un número entero N, sabiendo que admite solo 2 divisores primos y que el número de divisores es 6 y la suma de dichos divisores es 28. a) 10 b) 49 c) 36 d) 14 e) 12 8. El número 4 m 1.6 m  1.72 m posee 70 divisores que son múltiplos de 2 pero no de 8. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 21? a) 254 b) 487 c) 865 d) 216 e) 465 9. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha del 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4 10. El MCM de 2541 y un número “N” es 99099 y se sabe que “N” tiene 24 divisores. Hallar la suma de las cifras de “N”. a) 29 b) 18 c) 21 d) 17 e) 15 11. Si el MCD(A;B)=24 y el MCM(A;B)=130, ¿Cuántos divisores tendrá el producto AxB? a) 32 b) 40 c) 16 d) 36 e) 81




12. Los números M y N tienen 9 y 10 divisores respectivamente. Si ambos tienen los mismos divisores primos ¿Cual es el menor valor que puede tomar el MCD(M;N)? a) 10 b) 13 c) 12 d) 18 e) 15 13. Si A = 4010.2114 ;B = 605.353 ;C = 80 4.14 2 , calcular el número de divisores de MCD(A;B;C) a) 165 b) 150 c) 128 d) 180 e) 120 14. Sean A y B dos números que tienen los mismos divisores primos, sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántos divisores tendrá el

MCD ( A5 ; B 5 ) ? a) 300 d) 330

b) 310 e) 341

c) 319

15. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 7?

13(7) ; 31(7) ; 61(7) ; 25(7) a) 0 d) 4

b) 1 e) 2

c) 3

16. Hallar “K”, si MCD(210K;300K;420K)=1200 a) 6 b) 5 c) 40 d) 90 e) 30 17. Si

se

MCM ( hallar k 2 a) 121 d) 49

cumple

que

el

13k 5 k 8k ; ; )  520 , 7 7 7 b) 342 e) 639

22. Sean A y B dos números que están en relación de 60 a 40. Si MCD(A;B)=9, determinar la diferencia de dichos números. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 23. Determinar el MCD de dos números si el producto es 3780 y su MCM de los mismos es 630 a) 15 b) 12 c) 6 d) 10 e) 9 24. La suma de dos números es 299 y la suma del MCM y MCD es 851. Hallar la diferencia de los números a) 115 b) 69 c) 230 d) 138 e) 92 25. Hallar dos números entre 31 y 49 que cumplan que su MCD es 9 y el producto de ellos es 1620. Encontrar su diferencia. a) 9 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 26. Determinar el MCD de dos números, si su producto es 10530 y su MCM es 810 a) 15 b) 13 c) 17 d) 18 e) 19 27. Determinar el mayor de 2 números, tales que su MCD es 36 y su MCM es 5148 a) 468 b) 396 c) 684 d) 846 e) 35

c) 169

18. Si MCD(24A;64B)=720 MCD(64A;24B)=480, hallar MCD(A;B) a) 24 b) 30 c) 36 d) 48 e) 60

21. La diferencia de dos números es 44 y la diferencia de su MCM y su MCD es 500. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 72 b) 28 c) 164 d) 76 e) 121

y

19. Si MCD(45A;63B)=36, hallar MCD(25A;35B) a) 16 b) 27 c) 20 d) 24 e) 18 20. Si MCD(3A;24C)=19k, MCD(2C;B)=2k y MCD(A;4B;8C)=210, la suma de las cifras de k es a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

28. Si cantidad de divisores de MCM(56 2n.539n ;56n.539 2n ) = 34153 , hallar el valor de “n” a) 2 b) 0 c) 4 d) 8 e) 6 29. Se cumple que MCD(N;1200)=6. Calcular cuantos valores toma N si es menor que 1200. a) 89 b) 81 c) 80 d) 90 e) 88 30. Hallar la resta de dos números enteros, sabiendo que uno es igual a los 3/7 del otro y que el producto de su MCM por su MCD es igual a 21504.



b) 118 e) 148

c) 128

31. Encontrar la suma de 2 números sabiendo que su MCD es 36 y su MCM es 5148 a) 862 b) 864 c) 865 d) 866 e) 868

A2  B 2  23976 ,

32. Si MCM(A;B)=630 y hallar A-B a) 24 d) 46 33. Si

b) 36 e) 26

c) 32

MCD (ab; (a  1)(b  1))  9

y

MCM (ab; (a  1)(b  1))  504 , entonces el valor de “a-b” es: a) 5 b) 3 d) 1 e) 4 34. En

que

cifra

c) 2 termina

el

MCD (62304  1;6576  1) a) 5 d) 8

b) 7 e) 9

c) 6

35. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y que su suma es 288 a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144 36. ¿Cuantos números de 2 cifras existen tal que el MCD de dichos números y sus complementos aritméticos es 10? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 37. Resolver

A  419  MCD ( 41311  1;2532  1). a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

38. Si A+B=341 y MCM(A;B)=28.MCD(A;B), hallar la suma de las cifras del mayor. a) 10 b) 8 c) 13 d) 12 e) 7 39. Calcular

a+b,

sabiendo

MCM (ab; ba )  336 a) 10 b) 11 d) 13 e) 14

que c) 12

el



40. Hallar los números A y B si se sabe que:

A2  B2  10530 y el MCM(A;B)=297 a) 11 y 27 d) 16 y 64

b) 99 y 27 e) N.A.

c) 27 y 33

3 41. Si MCM(A;B)=252 y MCD(A;B)=12, hallar el menor de los números a) 36 b) 63 c) 84 d) 48 e) 35 42. Hallar la suma de dos números menores que 200 siisu producto es 32928 y su MCD es 28 a) 361 b) 362 c) 363 d) 364 e) 365 43. La suma del MCM y el MCD de dos números naturales es 4940. Si el menor es la tercera parte del mayor, calcular su diferencia. a) 2370 b) 2570 c) 2470 d) 2870 e) 2680 44. Cesar, Martín y Aldo visitan a Natalia cada 8, 9 y 12 días respectivamente. Si la visitaron juntos el 10 de Julio, ¿Cuál será la fecha más próxima en que volverán a visitarla? a) 21 set b) 20 set c) 19 set d) 18 set e) 17 set 45. Hoy las tres campanadas de una iglesia han sido tocadas simultáneamente. Si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera cada 10 días, ¿Después de cuantos días se volverán a tocar juntas? a) 350 b) 140 c) 10 d) 70 e) 6 46. Tres aviones salen de una misma ciudad; el primero cada 8 días, el segundo cada 10 días, el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero. ¿Cuál será el día más próximo en que volverán a salir juntos? a) 11 Feb. b) 29 Feb. c) 1 abr d) 22 jun e) 12 feb 47. Un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 1620 y 3321 metros se le quiere dividir en parcelas cuadradas todas iguales, sin que sobre terreno y luego colocarlos de tal modo que exista una estaca en cada esquina de las parcelas. Calcular el menor número de parcelas y el número total de estacas que hay en total para el caso anterior.


a) 830 y 842

b) 882 y 840

d) 832 y 882

e) 820 y 882


c) 820 y

832 48. Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 210, 270 y 300 metros respectivamente. Sabiendo que hay postes en cada vértice y que la distancia entre poste y poste esta comprendido entre 10 y 20 metros, ¿Cuantos postes se colocaran? a) 50 b) 51 c) 52 d) 48 e) 60 49. Si

N  4400    ...  00  , 12 cifras

¿Cuántos de sus

divisores son múltiplos de 55 pero no de 2? a) 10 b) 12 c) 64 d) 961 e) 130 50. Si aba tiene 3 divisores, ¿Cuántos divisores tiene el número a) 12 b) 9 d) 19 e) 17

bab ? c) 10

a) 3 d) 7

b) 10 e) 5

52. Si

4 2n

57. Sabiendo que el número mn(2m)(2n) , cuenta con 28 divisores. Hallar a) 10 d) 3 58. La

b) 12 e) 4 suma

de

b) 18 e) 15

53. Hallar

el

número

divisores

de

(2a)(2b)(2c)abc

G

b) 8 e) 25



c) 12



54. Hallar a  b 2 ; si ab tiene 12 divisores y 2 ab tiene 33 divisores. a) 15 b) 13 d) 17 e) 10

los

divisores

de:

N  2 5 .p.q , es el triple de N. ¿Cuántos divisores

tiene

M  (p  q)(p  q)

el

número

si p y q son

números primos? a) 6 b) 2 d) 8 e) 9

F  2 p .7 q

c) 4

, sabiendo

que si se divide entre 4 su número de divisores se reduce a su tercera parte y si se multiplica por 14 se duplica su número de divisores. a) 35 b) 17 c) 28 d) 196 e) 14

de M y N. a) 1444 d) 1732

b) 1525 e) 1445

c) 1400

e) 4380

63. Si abc  5mn  cba , ¿Cuál debe ser el valor de la cifra “b” para que MCD de abc y

cba , sea 18? a) 1 d) 5

b) 2 e) 4

c) 8

64. Si el producto de dos números es 245 y su MCM es 5 veces su MCD. Hallar la diferencia de los dos números. a) 13 b) 16 c) 25 d) 18 e) 19 65. Se quiere saber de que número entero se trata, sabiendo que la suma de divisores de dicho número es 28, su número de divisores es 6 y que además solamente acepta 2 divisores primos. a) 12 b) 21 c) 33 d) 65 e) 48 66. Hallar dos números cuyo MCD es 18 y que además tienen 21 y 10 divisores respectivamente. Dar como respuesta la suma de los números (considerar que ambos números tienen los mismos divisores primos) a) 389 b) 546 c) 738 d) 642 e) 735 67. Hallar



el

valor

de



a2

si:

MCM ab; (a  1)(b  1)  132 a) 7 d) 16

b) 9 e) 36

c) 12

68. Hallar AxB, sabiendo que: MCM(42A;6B)=8064 y MCD(77A;11B)=88. a) 1521 b) 1347 c) 1248 d) 1536 e) 1267

61. Se tiene dos números “A” y “B”, tal que se

abc

a) 7 d) 16

c) 5

N  3 b .5 a tiene tres divisores mas que el número M  2 a .5 3 . Halle la diferencia

c) 20 de

mn . mn

60. Si

tiene 81 divisores. Encuentre “n”

a) 12 d) 30

d) 3600

56. Hallar un número N=96P (siendo “P” un número primo), sabiendo que la suma de divisores de N es igual a 3N a) 480 b) 192 c) 672 d) 288 e) 1056

59. Hallar un número 51. Encontrar el menor número que contenga 15 divisores. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 7 b) 9 c) 5 d) 3 e) 13


c) 9

c) 12

55. Hallar un número de la forma abab , sabiendo que tiene 14 divisores. Dar como respuesta (a+b).

AB  MCD y 10 A.B  483.MCD . Halle la diferencia

cumple lo siguiente:

de dichos números a) 72 b) 92 d) 62 e) 82

c) 52

62. Sean los números A y B cuyo MCD es 12 y la diferencia de sus cuadrados es 20880. Hallar

 A  B 2

a) 6748

b) 3540

c) 2800


69. Indicar cuantos múltiplos de 14 tiene el número N=103950 a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 28 70. Hallar

a.b.c, si MCD(5bbabc; 57b)  26 a) 43 b) 20 c) 76 d) 82 e) 29

el

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 71. ¿Cuáles son los dos números primos entre si, cuyo MCM es 330 y su diferencia es 7? a) 55 y 46 b) 22 y 29 c) 18 y 25 d) 22 y 14 e) 14 y 21

Aritmética y Álgebra c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

Fracciones iguales a la unidad: Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también en la que el numerador y el denominador son

a) d)

b) e)

c)

iguales, es decir:

a) d)

b) e)

c)

4 9 13 , , , etc . 4 9 13

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d) 100. a) d) 101.

b) e)

c)

83.

85. 86.

73. Si MCM(A;B)=630 y hallar A-B a) 24 d) 46

74. Si

A 2  B 2  27976 ,

b) 36 e) 26

c) 32

 21n 7n 9n  MCM ; ;   630 ,  5 10 5 

hallar el valor de “n” a) 40 b) 50 d) 60 e) 70

c) 35

75. Hallar cuántos múltiplos comunes tiene 8 y 12 entre 48 y 600 inclusive. a) 20 b) 18 c) 22 d) 24 e) N.A

87. 88. 89. 90. 91.

77. Si

4 a .3 b ,

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

decir:

b) e)

c)

Fracciones impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el

78. Hallar la suma de los divisores de 540 que sean multiplos de 6. a) 1320 b) 1400 c) 1404 d) 1500 e) 1820 79. b) e)

c)

80. a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

81. 82.


95. 96. 97.

a b



numerador deno min ador

1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar en:  Por comparación de sus términos: Fracciones propias: Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el denominador es

a 1 b

3 2 7 , , , etc. 5 7 13

Ej.:

a 1 b

Ej.:

a 1 b

Ej.:

 Por su denominador: Fracciones ordinarias o comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a una

98.

potencia

99.

b) e)

f 

4 9 15 , , , etc . 3 7 13

94.

c) 18

NÚMEROS FRACCIONARIOS Se denomina fracción (llamada también, número fraccionario quebrado o número quebrado), a una o varias partes de la unidad dividida en cualquier número de partes iguales.

denominador, es decir:

93.

tiene aa divisores. ¿Cuántos

divisores tiene abba ? a) 33 b) 21 d) 64 e) 35

a) d)

b) e)

92.

76. Si el número (2 a )(3 a )(5 2 ) , tiene 30 divisores mas que 450, hallar el valor de “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) d) 102. a) d) 103. a) d) 104. a) d) 105. a) d) 106. a) d) 107. a) d) 108. a) d) 109. a) d) 110. a) d)


b) e)

84. 72. La suma de dos números A y B es 651; el cociente entre su MCM y MCD es 108, luego A-B es: a) 11 b) 77 c) 483 d) 436 e) N.A.


a) d)

de

10.

Es

b  10 n , n  N Ej.:

c)


5 14 4 , , , etc 17 3 7

decir

a b

;

si:

Academia Pre-universitaria “SIGMA” Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Es decir:

a ; b  10n , n  N b 5 14 4 , , , etc 10 100 1000

Ej.:

 Por la comparación de los denominadores: Fracciones homogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son iguales. Ej.

5 14 4 , , , etc 13 13 13

Fracciones heterogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son diferentes. Ej.:

5 14 4 , , , etc 10 15 11

 Por la relación de su divisores de sus términos Fracciones reductibles: Son aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar. Ej.:

5 1 25   , etc 10 2 50

Fracciones irreductibles: Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.

3 14 4 , , , etc 10 13 17 NOTA:  Se llama fracción equivalente, cuando una fracción tiene el mismo valor que la otra pero sus términos son diferentes: Ej.:

5 1  10 2

 Se llama número mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria. Ej.:

4

3 2 7 ,1 ,3 , etc. 5 7 13

2. MCD Y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:  El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores.  El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores. 3. NÚMERO DECIMAL: Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ej.: 14,356


Aritmética y Álgebra 4.CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES:  Número decimal exacto: Cuando tiene un número limitado de cifras. Ej.: 0,2; 0,356; etc.  Número decimal inexacto: Cuando tiene un número ilimitado de cifras. Ej.: 0,333…; 0,324444… Los números decimales inexactos pueden ser: Periódico puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal.  Ej.: 0,3333 ...  0,3

0,8787 ... Periódico mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo) después de la coma decimal. Ej.: 0,3424242… 0,45366666… 4. CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIÓN :  Números decimales exactos: La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididos entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

abc 0, abc  1000

abc 0, abcabc ...  999

abc  a 0, abcbcbc ...  990 PRÁCTICA Nº 06 NÚMEROS FRACCIONARIOS

a) 16 d) 19

bca

b) 17 e) 20

57/152 a) 12 d) 15

ab ba

b) 14 e) 18

equivale a

a) 0,5 d) 1,21

y

m n

una fracción impropia irreducible

m n   1,28787878 ... , n m

hallar a) 81 d) 729

hallar

“m+n” a) 12 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21 5. Si 0,ababab... + 0,bababa... = 1,444... y a-b=5. Hallar “ a 2  b 2 ” a) 45 b) 96 d) 98 e) 104

. a=? a) 4 d) 7

equivale a 7/5 c) 18

a) 7 d) 10 8. La fracción

b) 5 e) 8

14 11

a b   0,969696 ... 11 3

1 ab

9. Si a un número racional

c) 11

A B

, menor que 1,

se le aumenta una unidad, el numerador queda aumentado en 6 unidades. Si el numerador y denominador difieren en una unidad, calcular el número

A B




c

cccc dddd

b 2

a) 0 d) 6

c) 0,5

,

c) 1296



ddd eee

si:

 10  b , y

. Hallar be-cd.

b) 2 e) 8 n

14. El valor de

c) 4

 (k  1)(k  2) , es: 1

k 1

a) d)

genera el número decimal

b) 9 e) 8

b) 256 e) 512

ccccc

además

c) 9

0,0(a  1)b0(a  1)b... , hallar a+b a) 10 d) 12

2

30A + 40B + 60C 1 = 15x + 20y + 30z 3

y

x4  y4 A4  B 4

bbbbb

13. Si

c) 6

b) 8 e) 11

3

12. Hallar el valor de a-b a b + = 0,(a + 1)(a + b)(a + 1)(a + b)... 11 9 a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

c) 97

0, a1a1...  0, a2a2...  0, a3a3... 

0,21)

2

b) 1,21 e) 0,21

A B C = = x y z

11. Si

expresión:

2(1,1 + 0,21) (1,1 3,999...

P= y

c)5/6

la 3

además a, b y c son números enteros positivos, hallar a+b+c. a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 4. Siendo

b) 6/7 e) 4/5

10. Reducir c) 16

a b c    1,4636363 .... 2 5 11

3. Si

7. Hallar a.b, si

Periódico mixto: La fracción esta dada por el número formado por todas las cifras de la parte decimal meno la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

aab

2. Hallar “a.b”, si la fracción

Aritmética y Álgebra a) 5/4 d) 7/6

6.

 Números decimales inexactos: Periódico puro: La fracción esta dada por el número formado por las cifras del periodo divido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.

1. Hallar “a+b+c”, si


15.

1 2n  4 1 n2

G=

n 2

e)

n 2n  4

c)

n n2

1 1 1 1 + + + .... + , hallar 1x2 2x3 3x4 nx(n + 1)

G a) (2n-1)/n d) (n+1)/(2n) 16. Para

b)

b) n e) n(n+2)/3

c) n/(n+1)

x 1  30 , x 2  42 , x 3  56 , etc.

Encontrar un enteo positivo “m” tal que: 1 1 1 1 + + + ... + = 0,15 x1 x 2 x 3 xm a) 15 d) 10

b) 5 e) 25

c)20

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 17. Si S =

1 2 1 2 1 2 1 + + + + + + + ... S 7 72 73 7 4 75 7 6 77

=? a) 1/8 d) 1/16

b) 3/32 e) 3/16

18. Hallar

c) 1/32 “n”

en:

4 1 4 1 5     ...  n n2 n 3 n 4 7 a) 5 d) 9 19. Hallar

x

b) 6 e) 8 valor

el

2

a) 1

c) 7 de

“x”,

en:

1 2 1 2

c)

1 2 2 2 2

d)

e)

20. Si “A” a) 5/2 d) 3.75

1 2 2

3

A =2+ 2+

3 3 2+ 2 + ...

, hallar el valor de

b) 2.75 e) 7/2

c) 3

21. ¿Cuál es la suma de las cifras del numerador de la fracción equivalente a 101/171, sabiendo que la diferencia de sus términos esta comprendido entre 9660 y 9790? a) 19 b) 28 c) 12 d) 17 e) 18 22. ¿Cuál es el número que aumentado en 8 unidades produce un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo por 3/5? a) 12 d) 15 23. El número

b) 13 e) N.A.

N

c) 14

10 9

2 .5

5


c) 5

cada cifra del periodo exceda en 3 unidades a la que esta a su izquierda. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

25. La fracción 23/55 esta comprendida entre dos fracciones homogéneas cuyo denominador común es 19 y los numeradores son dos enteros consecutivos. Hallar estos números. a) 6 y 7 b) 8 y 9 c) 20 y 21 d) 7 y 8 e) 19 y 20

a b  k, b c

donde

kcba,

de

términos enteros y la suma de los extremos menos la suma de los medios es 450. Hallar el máximo valor que puede tomar “a” a) 400 b) 1480 c) 1800 d) 840 e) 1840

1 2 2  ... 2 1

b) 9 e) 3

24. Hallar la fracción generatriz del número 0, 4323232… a) 214/495 b) 212/495 c) 214/491 d) 408/495 e) 212/491

26. Si

1

b)

2


. ¿Cuántas cifras

27. La suma de dos fracciones que tienen por numerador la unidad es 3/40. Si el MCD de los denominadores es 15. ¿Cuál es la diferencia de los denominadores? a) 95 b) 105 c) 115 d) 125 e) 151 28. ¿Cuantas fracciones propias irreductibles de denominador 96 existen? a) 63 b) 73 c) 37 d) 32 e) 26 29. Hallar “2n+3d”, si n/d es propia e irreductible, sabiendo que una fracción equivalente a

1 1  n d

tiene como producto de términos

1890. a) 19 b) 24 c) 27 d) 31 e) 37 30. Hallar el menor valor de “x”, tal que la fracción

x  28 x  37 1/100. a) 624 d) 246

difiera de la unidad en menos de b) 264 e) 864

c) 348

31. Hallar la suma de las cifras del numerador de una fracción propia irreducible de denominador 111, tal que reducida a decimal,

32. Si la cuarta parte de la suma de dos números es a los dos quintos de su diferencia como 25 es a 32, hallar en que relación se encuentra la suma de los cubos con la diferencia de los cubos de los números. a) 425/419 b) 27/19 c) 741/740 d) 365/364 e) 301/299 33. Hallar una fracción cuyos valor no cambie, si le añadimos simultáneamente 20 al numerador y 25 al denominador, si se sabe que el MCM de ambos términos es 340 a) 13/27 b) 47/58 c) 56/88 d) 68/85 e) 86/58 34. En que sistema de numeración se cumple que 0,525252… es equivalente a 0,666… del sistema decimal a) Octal b) eptal c) nonario d) undecimal e) binario 35. Dos números están entre si como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los números a) 48 b) 60 c) 35 d) 72 e) 15 36. Un estanque puede ser llenado por una bomba en 6 horas y por una segunda en 5 horas. Si una llave lo puede descargar en 12 horas. Determinar el tiempo que demoraría en llenarse si funcionan simultáneamente las 2 bombas y la llave. a) 60/17 b) 61/17 c) 59/17 d) 58/17 e) 62/17 37. El cociente de dos fracciones irreductibles es 35 y su producto es 63/20. Hallar la suma de los cuatro términos a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36 38. Cuantas fracciones impropias existen de términos impares consecutivos que sean mayores que 1,1363636… a) 4 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

tiene en la parte decimal?



Aritmética y Álgebra 39. Hallar una fracción equivalente a 0,222…, cuyo numerados este comprendido entre 15 y 35 y su denominador entre 50 y 75. a) 7/11 b) 3/5 c) 43/29 d) 16/72 e) 37/15 40. Cuantas fracciones impropias de la forma

ab ba

cumplen con que la suma de sus

términos es 22/9 la diferencia de los mismos? a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 41. ¿Cuánto falta a la fracción decimal periódica 0,6767… para ser igual a la fracción decimal periódica 1,3131…? a) 63/90 b) 0,6363… c) 0,63 d) 130/99 e) 0,3636… 42. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos términos su denominador? a) ¼ b) 2/13 c) 1/5 d) 5/13 e) 2/9 43. La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella es igual a la tercera parte de lo que ya me tome. Si me tomo la cuarta parte de lo que me queda, ¿Qué fracción de mi gaseosa me habré tomado? a) ½ b) 7/13 c)7/10 d) 11/19 e) 1/31 44. Dentro de 8 años, la edad de Pedro será igual a la edad que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. Hallar la suma de las edades de Juan y Pedro a) 33 b) 43 c) 42 d) 44 e) 21 45. Al preguntar un padre a su hijo, cuanto había gastado de los S/. 140,00 de propina que le dio, el hijo contesto: he gastado las ¾ partes de lo que no gaste. ¿Cuánto gasto? a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) NA 46. Un viajero tiene que recorrer de una ciudad a otra. El primer día recorre los 3/5 de dicha distancia, el segundo día los 3/5 de lo que falta, si el tercer día recorre los 20 km. Restantes. ¿Cuál es la distancia entre las ciudades? a) 80 km. b) 90 km. c) 120 km. d) 125 km. e) 140 km.

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 47. Durante los 7/9 de un día se consume los 14/27 de la carga de una batería. ¿En cuantos días se consume la mitad de la carga? a) 1/3 b) 3/4 c) 2/3 d) 1 e) ½



53. Un tanque estando vació, es llenado por dos llaves en 3 y 5 horas respectivamente, pero una tercera llave desaloja todo el contenido en 7 horas. ¿Cuánto fluido tiene el tanque si las tres llaves se abren simultáneamente durante dos horas 33 minutos y 30 segundos? a) 7/8 b) 41/105 c) 105/106 d) Lleno e) N.A.

48. ¿Qué tipo de fracción decimal dará origen a la expresión: Z  a) Periódica Pura c) Exacta e) N.A

2205  5445 

980 2420

d) 1485 litros


e) 1576 litros

59. Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4; sumar las diferencias, multiplicar las mismas; dividir la suma por el producto; hallar la tercera parte del cociente y extraer la raíz cuadrada del resultado. Entonces se obtiene una cantidad que con denominador 11 genera una fracción: a) D. exacta b) Entera c) P. Pura d) P mixta e) Impura

54. Para preparar una torta, tres personas tardan ?

b) Periódica Mixta d) No periódica

49. Hallar el producto de los numeradores de dos fracciones que tengan denominadores 13 y por numeradores, dos números enteros consecutivos que comprendan entre ellos a la fracción decimal: 0,154545 ... a) 14 b) 10 c) 6 d) 9 e) 12 50. Hallar la suma de los numeradores de las fracciones ordinarias equivalentes a 0,925; tales que la suma de sus términos sea múltiplo de 33 y este comprendido entre 500 y 1000. a) 777 b) 776 c) 676 d) 666 e) 767 51. Un tejido pierde al ser lavado 1/20 de su longitud y 1/16 de su anchura. ¿Cuántos metros de esta tela deben comprarse para obtener después de lavarla 136,8m 2 , si el ancho de la tela original es de 6/5 de metro? a) 120 b) 146 c) 126 d) 128 e) 136 52. Se reparte una cantidad entre 5 personas, la primera ha recibido 1/4 de las suma; la segunda, los 3/8 de la primera; la tercera los 4/9 de lo que quedaba después de repartir a las dos primeras; la cuarta recubro 3/10 de la suma de las tres primeras partes; la quinta recibió los S/. 1670 nuevos soles que quedaban. ¿Cuál fue la suma repartida? a) 6909 b) 5690 c) 9806 d) 5609 e) 9600


2

1 2

horas;

2

3 4

horas y

3

1 4

horas,

respectivamente. Trabajando las tres simultáneamente. ¿Cuánto tardaran para preparar dos tortas? a) 1h 52’ b) 1h 30’ c) 89’ d) 2 horas e) 1 hora 55. Se deja caer un balón de cierta altura de tal manera que al dar bote se eleva siempre 2/3 de la altura anterior; si al cabo del quinto bote se eleva 64 cm. Hallar la altura inicial a) 4m b) 486 cm. c) 3,97 m d) 975 cm. e) 340cm. 56. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, hasta que le quedo solo para su taxi. ¿Cuánto dinero tenia al comienzo, si el taxista le cobro S/. 6,0 para llevarlo a su casa? a) 96 b) 86 c) 94 d) 78 e) 48 57. Si los radios de una sucesión de círculos son 1, ½, 1/8, cm. La suma de las áreas de tales círculos será: a) 0,75 πcm 2

b) 4,08 πcm 2

c) 1,333...πcm 2

d)

2πcm 2

e) 2,075 πcm 2 58. Se derriten tres pedazos de hielos tales que el volumen del segundo es los 3/7 del volumen del primero y los 6/13 del volumen del tercero. Si la diferencia entre los volúmenes de los dos últimos trozos es de 50 decímetros cúbicos y si el agua se dilata en 1/9 de su volumen al congelarse. ¿Cuántos litros de agua se obtendrá en esta operación? a) 1458 litros b) 1528 litros c) 1653 litros

60. A y B pueden hacer una obra en tres días, B y C en 4 y A con C en 5 días, ¿En cuantos días puede hacerla A trabajando solo? a)

8

1 6 16

1 8

Días b)

7

1 17

días

S

e)

61. Dados los números

 5a  6 . o, ba  18

1 10 10

Hallar

la

el

7,272727 ... 22222  63,636363 ... 77777

a) 1 d) 0,4 días

 b5 o, a b  6

periodo que resulta al sumarlos. a) 3 b) 6 d) 4 e) 7 62. Calcular

65. Hallar la fracción propia irreducible, sabiendo que una fracción equivalente a la suma de las fracciones de numerador la unidad y denominador los términos de la fracción, tiene como producto de términos 1890. Dar como respuesta la suma de sus términos. a) 15 b) 10 c) 17 d) 12 e) 7 66. Resolver:

c)

días

d) 10 días

en media hora. Si ambas llaves se abren sincrónicamente, pasado 3 horas que parte del tonel es ocupado por fluido a) 1/2 b) 2/3 c) 3/10 d) 4/5 e) 4/11

cifra

y del

c) 5

valor

de

b) 1/2 e) 0,8

c) 3/4

67. El producto del numerador por el denominador de una fracción es 52514. Hallar dicha fracción, si la ser simplificada se obtiene 14/31. Dar la diferencia de los términos. a) 142 b) 153 c) 168 d) 187 e) 179 68. Los ¾ de un barril mas 7 litros son de petróleo y 1/3 menos 20 litros son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo? a) 124 b) 142 c) 132 d) 123 e) 134 69. La

suma

de

la

progresión

1 1 1 1 1 1 1 1 1 S  1     ...    ... 2 2 x3 3x 4 4 x 5 99 x100   3 6 12 24 a) 1,75 b) 1,99 c) 1,89 d) 1,87

a) 1/4 d) 2/9

e) 1,57

63. El periodo de una fracción de denominador 11 es de dos cifras que se diferencian en 5 unidades, hallar la suma de los términos de dicha fracción, si es la menor posible. a) 14 b) 17 c) 15 d) 13 e) 12 64. Sea

A7/9

y

B=14/15.

Los

3

6 7

del

MCD(A;B) equivale a la cantidad de fluido que una llave desaloja de un tonel en una hora. Y los 1/140 del MCM(A;B) equivale a la cantidad de fluido, que otra llave llena el tonel


b) 1/2 e) ¾

infinita:

es: c) 1

70. Maria puede hacer un trabajo en 4 horas. Rosa dice hacer el mismo trabajo en 3 horas y Vanesa lo realiza en 12 horas. Si trabajan las tres juntas. ¿En que tiempo lo harán? a) 3/5 h b) 2/7 h c) 3/2 h d) 3/7 h e) N.A. 71. Hallar la suma de las cifras de la parte decimal de: a) 4 d) 8

N

7777 3( 41)(271) b) 5 e) 9

c) 6


Aritmética y Álgebra d) 12

72. Si las fracciones

a4 b6

;

ba cb

equivalentes, calcular “a+b+c” a) 7 b) 9 d) 17 e) 19

y

26 son 39 c) 10


80. El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/73 es 13. ¿Cuál es la fracción? a) 26/117 b) 48/216 c) 40/180 d) 14/63 e) N.A.

73. La suma de dos números racionales es 46/35 y su diferencia 4/35. Hallar el producto. a) 4/7 b) 5/7 c) 7/3 d) 3/7 e) 2/7

81. Cual es la fracción de denominador 180 que esta comprendida entre 1/9 y 1/10 a) 26/180 b) 21/180 c) 20/180 d) 19/180 e) 22/180

74. Un jugador cada vez que apuesta pierde 1/3 de su dinero. Si después de 3 juegos aun le queda 800 soles. ¿Con cuantos soles empezó a jugar? a) 3500 b) 3200 c) 2700 d) 4200 e) 2400

82. Resolver:

75. Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción, multiplicado por 13/4 a) 2/5 b) 2/3 c) 1/4 d) 5/3 e) N.A. 76. Cuantas fracciones impropias existen de términos impares consecutivos que sean mayores que 1,1363636… a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 4

R

1 2 1 2     ... 6 36 216 1296

a) 4/35 d) 8/35 78. Si

b) 7/33 e) 11/35

c) 1/3

a) 121/15 d) 169/30

4

0,69444 ... ) 2

b) 120/17 e) 12/7

84. Hallar

m+n+p,

si:

3a3a  bc, m4np 4m4np 4m4np 4... 41 a) 10 d) 19

b) 13 e) 17

c) 15

el

producto de la fracción intermedia por la diferencia entre la mayor de todas y la menor de todas es: a) 14/209 b) 16/209 c) 63/88 d) 152/53 e) 88/51 79. Al dividir un número entero entre 37 se obtiene un número decimal periódico puro de la forma

 a  1  a  1  a  1 0,   (a  1)a  (a  1)a  2 2      2  c) 9


0,8666 ...  0,4131313 ... (n) .

Determinar a) 7 d) 16

n2 5 b) 5 e) 12

c) 9

89. Cuantas fracciones equivalentes a 33/114 tienen por denominador a un número de 3 cifras no múltiplo de 7 a) 20 b) 21 c) 23 d) 27 e) 24 90. Cuantos números de tres cifras cumplen con a) 400 d) 350 91. Hallar

c) 121/30

83. Calcular “a+b” si: 0, abbb...  0, baaa...  1,444... a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

86. Si

7 9 17 x ;y ;z 8 11 19

. Hallar el número. a) 4 b) 8

E  ( 4 1,44 

85. Hallar A-B, si A es igual a los 3/5 de los 4/9 de 60 y B es igual a los 7/8 de los 3/14 de los 4/3 de 4. a) 15 b) 19 c) 22 d) 29 e) 26

77. Resolver


e) 15

abc

abc  E  0, mmm... m b) 390 e) 300

c) 360

“a+b+c+d+e+f”,

si:

a  0, acdbefacdbefacdbef ... b a) 25 d) 31

b) 27 e) 35

c) 29

92. La suma de dos fracciones heterogéneas irreducibles tiene un valor de 1,6727272…. ¿Cuánto suman los numeradores de ambas fracciones? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 93. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, hasta que le quedo no mas que 6 soles. ¿Cuánto dinero tenia al comenzar el juego? a) 96 b) 102 c) 58 d) 36 e) N.A. 94. Se disuelve 405 gramos de azúcar en una vasija con agua y se derraman 2/15 de agua azucarada. ¿Qué cantidad de azúcar se conserva en el agua? a) 300g b) 325g c) 350g d) 351g e) 352g

95. Hallar la fracción múltiplo de las fracciones 19/4, 23/8, 27/10 tal que la suma de sus términos es 59005. 0, abbb... ( 6)  0, baaa... ( 6 )  1,222 ... (6 ) a) 58995/13 b) 58995/10 c) , hallar “a+b” 68995/17 a) 4 b) 7 c) 9 d) 28995/17 e) 38995/10 d) 3 e) 2 96. Si la fracción 18/247 origina un número decimal inexacto periódico puro, ¿Cal es la (88. a Dada 1)a... la expresión 0,14222 ... (5 ) ultima cifra del periodo? expresarlo en base 10 a) 3 b) 6 c) 9 a) 0,3838… b) 0,38 c) 0,388… d) 5 e) 4 d) 0,333… e) 0,28 87. Si,


97. Resolver

E

1 1 1 1 1     ...  3 15 35 36 4095

a) 31/65 d) 37/65

b) 32/65 e) 9

c) 35/64

98. Una fracción propia cuyo denominador es 37, origina un número decimal tal que su periodo tiene tres cifras en progresión aritmética creciente de razón 2. ¿Cuál es el numerador de la fracción? a) 2 b) 7 c) 6 d) 8 e) 5 99. Si

7 6   1,2693069306 930... , p q

hallar “p+q” a) 31 d) 42

b) 17 e) 46

c) 106

100. Una vagoneta llena de cal pesa 3720 kg., cuando tiene los 5/8 de su capacidad pesa 95/124 del peso anterior. Hallar el peso de la vagoneta vacía a) 7000kg. b) 1000kg c) 1400kg d) 2100kg e) 2400kg

101.

Si

f 

4000 x2 17 5 313 x8

cifra de su desarrollo decimal. a) 2 b) 4 d) 6 e) 8

hallar la ultima

c) 5

102. a) d) 1

b) e)

c)

103. a) d) 1

b) e)

c)

104. a) d) 1

b) e)

c)

105. a) d) 1

b) e)

c)



Academia Pre-universitaria “SIGMA” Si :

Tipos de proporción aritmética:  P.A. CONTINUA: Los términos medios

son iguales a-b=b-c Donde: b : Media aritmética o diferencial c : tercera diferencial



RAZONES Y PROPORCIONES RAZONES: Es la comparación matemática de dos cantidades. Es decir es el resultado de compara dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente. TIPOS:

son diferentes. a-b=c-d , Donde: d : cuarta diferencial de a, b y c

RAZON GEOMETRICA: Es la razón por cociente.

a antecedente k;  Razón b con sec uente geométrica PROPORCIONES: Es la Igualdad de dos razones. Es decir, es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas. PROPORCION ARITMETICA: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas sabiendo que: a-b=r y c-d=r Entonces a-b=c-d; donde: a y d : extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes


 P.G. CONTINUA: Cuando los términos

medios son iguales. Es decir

a b  ; b c

Donde: b : media proporcional geométrica a y c: tercera proporcional

o

 P.G. DISCRETA: Cuando los términos

Es

decir:

a c  ; b d

Donde: d : cuarta proporcional Propiedades Geométrica

De

La



b1n

     

cd d cd c cd cd c d c bd bd a c  b d

Proporción

a1 a 2 a 3 a 4 a     ...  n  k ; b1 b2 b3 b 4 bn Donde: a1 , a 2 , a 3 ,...a n : antecedentes

b1 , b 2 , b3 ,...b n : Consecuentes



a1  a 2  a 3  ...  a n k b1  b2  b3  ...  bn



a1.a2 .a3 .....an  kn b1.b2 .b3 .....bn


n

 b2  b3  ...  bn

 kn

n

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos y menor que el mayor de ellos. Dadas las siguientes cantidades: a1 , a 2 , a 3 ,...a n ; Donde: a 1 : Menor cantidad

a n : Mayor cantidad Se llama promedio P a una cantidad referencial y cumple: a1  P  a n TIPOS:  MEDIA ARITMETICA (Ma): Es aquel

promedio que provienen de la suma de n cantidades divididas entre n.

a1  a2  a3  ...  a n P n Para dos números a y b: Ma 

ab 2

 MEDIA GEOMETRICA (Mg): Es aquel

promedio que proviene de la raíz enésima del producto de n cantidades.

Mg 

K= constante de proporcionalidad Se cumple que:

n

PROMEDIOS

a1 a a  k ; 2  k ;....; n  k ; Entonces b1 b2 bn

Tipos De Proporción Geométrica:

diferentes.

ab b ab a ab ab a ba ac ac ac bd

SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS EQUIVALENTES Es la igualdad de dos o más razones geométricas. Sea:

a y d: extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes

son

 

a c a c k y  k   ; donde: b d b d

RAZON ARITMETICA: Es la razón por diferencia A – C =R Antecedente – Consecuente = Razón

 

PROPORCION GEOMETRICA: Es la igualdad de dos razones geométricas dadas sabiendo que:

a1n  a 2 n  a 3 n  ...  a n n

Entonces: 

 P. A. DISCRETA: Los cuatro términos

a c  es una proporción geométrica. b d


Para Mg 

n

a1 .a 2 .a 3 .....a n

2

números

a

y

b:

a.b

 MEDIA ARMONICA.(Mh): Es la inversa

de la media aritmética de las inversas de las n cantidades dadas.

Mh 

n 1 1 1 1    ...  a1 a 2 a 3 an

Academia Pre-universitaria “SIGMA” Para

2

números

a

y


b:

Ma  Mg 

2ab Mh  ab PONDERADO (P). Promedio de promedios, es cuando tenemos el promedio aritmética de dos o mas grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado.

La regla de tres puede ser: Simple o compuesta. REGLA DE TRES SIMPLE: Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (incógnita). Puede ser Directa o inversa. 

Donde:

ma1 : Promedio aritmético del primer

R3S DIRECTA: Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son directamente proporcionales. Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente proporcional.

grupo

ma 2 : Promedio aritmético del segundo

A C BC  x B x A

grupo Y así sucesivamente; también n1 : Número de elementos del primer grupo n 2 : Número de elementos del segundo grupo.

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en aspa.

Es decir el número de elementos del grupo correspondiente. Ax=BC  x 

PROPIEDADES

BC A

 Sean varios números; recalcula la Ma,

Mg y Mh de dichos números; se cumple: Ma>Mg>Mh  Sean dos números y hallando su Ma y

Mh siempre: AxB=MaxMh  Se cumple: Mg 

MaxMh

 La diferencia entre la media aritmética y

la media geométrica de 2 números A y B esta dado por:




R3S INVERSA: Es el resultado de comparar 2 magnitudes que son inversamente proporcionales Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente proporcional.

A.B  C. x  x 

AB C

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en sentido paralelo.

Aritmética y Álgebra denominador es el producto de los términos que tienen (-)

( A  B) 2 4(Ma  Mg )

REGLA DE TRES

 PROMEDIO

ma1n1  ma 2 n2  ma 3 n 3  ...ma m n m P n1  n 2  n 3  ...  n m


AB=Cx  x 

AB C

MÉTODO PRÁCTICO: Si las cantidades proporcionales van de mas a mas o de menos a menos, la regla es directa; si van de menos a mas o de mas a menos, la regla es inversa. Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entre el otro dato del problema REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores. Método 1: “Ley de los signos” Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estén en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con las demás magnitudes con el siguiente resultado Si son directamente arriba (-) y abajo (+)

proporcionales:

Si son inversamente arriba (+) y abajo (-)

proporcionales:

El valor de la incógnita esta dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los términos que tiene (+) y el


Método 2: “De las rayas” Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes: 1º Causa o acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones que tiene para realizarla. Ej: Obreros, maquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc. 2º Circunstancias: Condiciones en el tiempo para realizarla. Ej.: días horas diarias, raciones diarias, etc. 3º Efecto: La obra en si lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el acción Serie 1 Hombres Animales medio Maquinas Serie 2 Habilidad

circunstancia Días Rapidez características h/d, raciones

efecto Trabajo realizado Medida de la obra dificultades

para la realización del trabajo. Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, et.

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.

PORCENTAJES Llamado también tanto por ciento, se dice así, a una determinada cantidad con relación a 100 unidades NOTACION: Sea: 5% 

5 100

 5% indica que de cada 100 unidades se consideran 5.  Una cantidad total representa el 100%



 Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%  Una cantidad disminuida en un 10 % representa 90%

a) 40 d) 30

1. Dos cantidades son proporcionales a 1,41 y 1,73 respectivamente. Hallar la cantidad mayor, si su suma es 6,28. b) 3,40 e) 3,46

c) 3,42

2. La relación entre dos números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 y al otro se le suma 60, entonces ambos resultados serian iguales. Hallar el menor de los números a) 79 d) 126 3. Sean ab 

a) 4/75 d) 1/35

b) 89 e) 106

a c  k, b d

y

cd  20 . Hallar “k”

b) 1/25 e) 1/45

c) 1/15

4. En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y la diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes. a) 151 d) 131

b) 161 e) 121

b) 24 e) 27

c) 25

c) 171

5. En cierta proporción geométrica continua, la diferencia entre el termino mayor y menor es 5 y entre el termino


b) 50 e) 15

c) 80

7. Un jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 5 a 4. Si cuando B planta “x” rosas en 1 hora, A planta “x+3” rosas; ¿Cuántas rosas planta B en 5 horas? a) 60 d) 33

b) 30 e) 44

c) 15

8. Si 5; b; 20; d y e, forman una serie de razones equivalentes continuas, calcular el valor de “e”. a) 50 d) 75

c) 99

ac  4

a) 23 d) 26

6. Tres números están en relación de 4; 5 y 8 respectivamente. Hallar el número menor, si la suma de los tres números es 170.

PRÁCTICA Nº 07 RAZONES, PROPORCIONES REGLA DE TRES

a) 3,38 d) 3,44

medio y el menor de los extremos es 2. Hallar la suma de los términos.

b) 60 e) 80

b) 36,75 e) 32,5

b) 59 e) 72

de “b/c” a) 7/5 d) -14/5

b) -8/5 e) 17/5

c) -11/5

12. Hallar el termino central “p” de una proporción geométrica continua cuyos extremos son “m” y “n” con lo cual se

m2  p2  n2  1296 1 1 cumple 1   m2 n2 p2 a) 5 d) 12

b) 6 e) 36

c) 7

13. En una serie de 4 razones geométricas continuas equivalentes la suma de sus términos diferentes excede a la suma de los extremos en 310. Calcular la diferencia de los extremos a) 127 d) 1248

c) 40

10. En una serie razones geométricas equivalentes, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11. Si el producto de sus consecuentes es 37422, hallar la suma de los consecuentes. a) 60 d) 69

A B C   3 y a b c 3 A  5B  7C  1 , hallar el valor 9a  25 b  49c

11. Si

c) 70

9. Hallar la tercera proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. a) 38 d) 34,25


c) 63

b) 527 e) 2502

c) 1252

14. A-B y B-C están en la relación de 1 a 5; C es 7 veces A, y sumando A, B y C obtenemos 100. ¿Cuánto es el valor de A+B? a) 40 d) 30

b) 60 e) 50

c) 90

15. La suma de 4 términos de una proporción geométrica continua es 405. Hallar la diferencia de sus extremos a) 315 d) 335

b) 320 e) 340

c) 330

16. Si la cuarta parte de la suma de dos números es a los dos quintos de su diferencia como 25 es a 32, hallar en que relación se encuentra la suma de los


Aritmética y Álgebra cubos con la diferencia de los cubos de los números. a) 425/419 74l1/740 d) 365/364

b) 27/19

c)

e) 301/299

17. En una proporción geométrica continua el producto de sus cuatro términos es 50625. Si uno de los extremos es 25 veces el otro, hallar la suma de sus términos. a) 84 d) 108

b) 210 e) 165

c) 150

18. Un Cilindro contiene 5 galones de aceite más que el otro. Si la razón del número de galones del uno al otro es de 8/7, ¿Cuántos galones de aceite hay en el de mayor capacidad? a) 40 d) 25

b) 35 e) 21

c) 30

19. En una escuela se han repartido 851 cuadernos entre los niños y niñas. Cada niña recibió 2 cuadernos y cada niño 3 cuadernos. Si se sabe que la población estudiantil de dicho colegio consta de 5 niños por cada 4 niñas, ¿Cuál es dicha población? a) 330 d) 333 20. Si

b) 331 e) 104

c) 332

32 b c 4    , hallar “r+c” b c 4 r

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

21. Las edades de Margot y Carolina están en la proporción de 9 a 8. Si dentro de 12 años estarán en la relación de 13 a 12, ¿Calcular la suma de las edades que tenían hace 7 años? a) 37 d) 40

b) 38 e) 41

c) 39



22. Si

a c 25   ; b d 9 b 

b 

d  3 , hallar a 

y

d  15 a c

c

e) 66

d) 57,1%

28. Dos números son entre si como 5 es a 8, si la suma de sus cuadrados es 712. Su diferencia es:

. a) 300 d) 412

b) 350 e) 479

c) 362

d) 8

23. En que relación están la media aritmética y la media armónica de dos números sabiendo que su media aritmética es a su media geométrica como 5 es a 3. a) 16/9 d) 25/9

b) 7/3 e) 5/12

c) 5/2

24. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? a) 90 d) 40

b) 75 e) 45

c) 60

25. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es de 256. Hallar la tercera proporcional sabiendo que el producto de los antecedentes es 24. a) 3/4 d) 6/7

b) 4/7 e) 9/5

c) 8/3

a b   k , (donde 26. Sea la proporción b c k
b) 1480 e) 1840

c) 1800

27. Si el ab% del ba % del 64% de 62500 es 4032. Hallar “ ab  ba ” a) 22

b) 33

a) 9

c) 44


2 c) 6

2

b) 3

2

e) 4

2

b) 90 e) N.A

c) 36

30. Si A y B pueden hacer una obra en 5 días. ¿En cuantos días puede hacer la obra trabajando B solo, si el rendimiento de A es al de B como 5 es a 7? a) 7

44 47

b) 8

47 44

31. Hallar dos números enteros cuya suma sea 435 sabiendo que su razón se invierte cuando se le resta 65 al mayor y se le agrega 65 al menor. c) 249 y

b) 55%

c) 608

34. La suma de los 4 términos de una progresión geométrica continua es 9. Si la diferencia de sus extremos es 3, hallar el producto de los 4 términos a) 16 d) 8

b) 90 e) 459

c) 81

35. Alfonso reparte su fortuna de la siguiente manera: a Natalia le da el 24% de la fortuna, a Vanesa el 20% y a Cesar los 112 soles restantes. ¿Cuánto recibió Vanesa? a) 40s d) 100 s

a) 80 d) 200

b) 52 s e) 200 s

c) 65 s

b) 60 e) 500

c) 120

37. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 8 días? a) 5 d) 20

32. A una reunión el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? a) 54%

b) 550 e) 375

b) 10 e) 12


36. Se sabe que 40 albañiles trabajando 9 horas diarias, durante 16 días, puede construir 4 casas. ¿Cuántos albañiles podrán construir 6 casas, trabajando a un ritmo de 6 horas diarias, durante 12 días?

47 c) 8 45 4 d) 8 e) N.A 7

a) 250 y 185 b) 251 y 184 186 d) 248 y 187 e) N.A.

e) 58,1%

33. La suma de tres números es 1425; la razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia entre los mismos es 600. Hallar el tercer número. a) 500 d) 325

2

29. Dos maquinarias tienen un rendimiento entre si como 4 es a 10. Si el rendimiento de las maquinas juntas al cuadrado es 1764, el triple del rendimiento de la maquina de mayor rendimiento es: a) 99 d) 48


b) 20 e) 11

c) 30

39. Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender, si quiere alimentar su rebaño por 15 días mas dando la misma ración? a) 200 d) 130

b) 180 e) 120

c) 150

40. Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días; ¿En cuantos días talaran 16 árboles 16 leñadores, si estros últimos son ¼ menos rendidores que los anteriores? a) 8 d) 12

b) 9 e) 16

c) 10

41. Un campesino ara un terreno de forma rectangular de 12 metros de lado menor, en 36 días. ¿Qué tiempo tardara en arar otro terreno de la misma forma cuyo lado menor es de 8 metros, si la relación del lado menor al mayor es de 2 a 3? a) 12 d) 18

b) 16 e) 24

c) 20

42. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días pero tardo 6 días más por trabajar dos horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajo diariamente? a) 8 d) 5

b) 7 e) 4

c) 6

43. Para pintar un cubo de 10cm de lado se gasto S/. 12,00 ¿Cuanto se gastara para pintar otro cubo de 15cm de lado?

c) 15

38. Un jardinero siembra un terreno de 8 metros de lado en 5 días. ¿Cuánto tiempo se demorara en sembrar otro terreno cuadrado de 16 metros de lado?

c) 56%


a) 22 d) 27

b) 20 e) 10

c) 11

44. La rapidez de Juan es igual a tres veces la rapidez de Carlos y a su vez este es cuatro veces la rapidez de Luís. Si Juan

Academia Pre-universitaria “SIGMA” hace un trabajo en 90 minutos, ¿En que tiempo lo harán Luís y Carlos juntos? a) 5h d) 4h

b) 3,6h e) 2,5h

c) 3h

45. Para aumentar el área de un circulo en 125%,su radios se debe multiplicar por: a) ½ d) 3

b) 2 e) 5/2

c) 3/2

46. Veinte obreros trabajan en una obra 5 horas al día y deben terminarla en 15 días. Al cabo de 10 días, han hecho solo la mitad y para cumplir con el plazo fijado se contratan 5 obreros más y todo el personal camia el número de horas de trabajo diarias. ¿Cuál es el nuevo número de horas de trabajo por día? a) 5 d) 7

b) 8 e) 9

c) 10

47. En 48 días, 15 obreros, han hecho 1/5 de una obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días empleara otra cuadrilla de 24 obreros triplemente hábiles en terminar la obra? a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 72 48. Si en 30 días, 20 obreros han hecho la cuarta parte de una obra. ¿Cuántos días emplearan otra cuadrilla de 60 obreros doblemente hábiles en terminar la obra? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 18 49. Un buey atado a una cuerda de 7,5 metros de longitud puede comer la hierba que esta a su alcance en 2 días. ¿Cuántos días demoraría para comer la hierba que esta a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15 metros? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12




50. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9 horas diaria durante 85 días, 3 hornos mas? a) 405 b) 406 c) 407 d) 408 e) 400 51. Un contratista dice que puede terminar un tramo de autopista en 3 días si le proporcionan cierto tipo de maquinas, pero con tres maquinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las maquinas es el mismo. ¿Cuántos días empleara una maquina para hacer el trabajo? a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 52. Si por un agujero circular de radio 6 escapan 5 litros de agua por segundo. ¿Cuántos litros escaparan por otro agujero de sección cuadrada, cuya ares es igual al de un agujero circular de radio 3, en dos segundos? a) 5 b) 6 c) 6,5 d) 7 e) 2,5

53. Hallar el valor de “x” si esta en proporción de 4, es a

1

2

1

2 2 a) 1 d) 4 54. Hallar

1 2  ...

b) 2 e) 5 la

cuarta

, como 20 es a “x”.

c) 3 proporcional

    0,1  0,2  0,3  ...  0,9 ;     1,1  2,2  3,3  ...  9,9 y 4

a) 40 d) 100

b) 16/99 e) 1/100

c) 9,9

de:

55. Si

3 a 2 b c ,     a n b c 16

Aritmética y Álgebra hallar:

(a  b  c  n) a) 30 b) 42 c) 28 d) 36 e) 24 56. Una cuadrilla de 8 obreros hace una obra en 15 días. ¿Con cuantos obreros se hará la misma obra en 12 días? a) 10 b) 12 c) 8 d) 15 e) 6 57. Un móvil a una velocidad de 90km/h, emplea “n” horas para recorrer un trayecto, pero si aumenta su velocidad a 120km/h, empleara dos horas menos. Hallar “n” a) 10 b) 6 c) 8 d) 7 e) 16 58. Si el radio de un círculo aumenta en 25%. ¿En que tanto por ciento aumenta su área? a) 30,2% b) 25% c) 125% d) 56,25% e) 50% 59. Si el ancho de un rectángulo se le disminuye en 20% y al largo se el aumenta un 20%. ¿Cuál es la variación de su área? a) No varia b) aumenta 6% c) reduce 4% d) reduce 10% e) faltan datos 60. En la pequeña granja de mi tía rosario, hay stock para 6 días, sacando una cantidad de pollos diario; pero se agotaría dos días antes si sacara 6 pollos más por día. ¿Cuál es el stock de pollos? a) 12 b) 6 c) 72 d) 81 e) 90 61. A un trabajador de una empresa, por falta de producción le rebajan el sueldo en un 20%. Pero un aumento salarial del gobierno le atribuye a todos los trabajadores el 20%. ¿Cuál es la variación de su salario?


a) Baja 10% b) no varia

c)

sube

6% d) sube 4%

e) baja 4%

62. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 9, y la diferencia de sus extremos es 3. Hallar el producto de los cuatro términos. a) 16 b) 90 c) 8 d) 81 e) 459 63. ¿Cuáles son los tres números en progresión aritmética que aumentado en 2, 3 y 8 respectivamente son proporcionales a 10, 25 y 50? a) 3; 8; 13 b) 6; 10; 14 c) 3;7;11 d) 2;7; 12 e) -2; 3; 6 64. Cuatro hombres y una mujer cultivan un terreno en 24 días. Si se aumenta un hombre y una mujer cultivan el mismo terreno en 6 días menos. ¿En cuantos días cultivaran el mismo terreno los cuatro hombres solos, si rinden el doble de las mujeres? a) 24 b) 27 c) 23 d) 25 e) 22 65. En un atienda cierto producto esta etiquetado con un precio, la casa oferta el 20% de descuento y en caja, los vendedores descuentan el 10%. ¿Cuánto debe pagar el cliente, en soles, por un articulo etiquetado con $180,00?(3,2<>1) a) 414,72 b) 429 c) 129,6 d) 320 e) 180 66. Una cuadrilla de 30 hombres se comprometen en realizar una obra en 15 días; al cabo de 9 días han hecho 3/11 de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, ¿podrían terminar la obra en el tiempo fijado? Si no es posible ¿Cuántos días más necesitaran? a) 8 b) 9 c) 4 d) 11 e) 14 67. Cierto número de obreros hacen una obra en 20 días, pero si contratan 6 obreros



más, harían la obra en 15 días. Hallar el número de obreros a) 18 b) 19 c) 20 d) 15 e) 17 68. Si a0a 0

b0b0 Hallar



se b0b0

c0c0

cumple:



c0c0 d0d0

 e.

aa  ...  a  bb  ...  b  cc  ...  c  dd   ... d e 2 cifras

e 2 cifras

de los cuadrados de los extremos es 149. Si uno de los antecedentes es 5 veces el otro, hallar la diferencia de los medios. a) 33 b) 34 c) 35 d) 2 e) 3

e 2 cifras

, si a  b  c  d a) 35298 b) 99999 d) 22800 e) 19998

e 2 cifras

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d) 100. a) d) 101. a) d) 102. a) d) 103. a) d) 104. a) d) 105.

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

90.

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a)

b)

c)

91. 92. 93. 94.

78. 95.

79.

81.


b) e)

77.

determinar b+d, si todos los términos son mayores que 6. a) 30 b) 36 c) 24 d) 52 e) 48

73. En una proporción geométrica discreta el producto de extremos es 70 y la suma

a) d)

76.

80.

72. A un objeto de S/. 10000 se le descuenta el M por ciento y luego M soles, pagándose S/. 7980. ¿Cuánto se pagara si se invierte el orden de los descuentos? a) 7900 b) 7984 c) 7960 d) 7650 e) 7950

e)

75.

a c a3  c3 8 70. Si, y a.c=140,  , 3  3 b d b d 27

71. Repartir 329 en partes directamente proporcionales a 3, 7 y 5 e inversamente proporcionales a 4, 3 y 6 respectivamente. La cifra de las decenas de la menor cantidad es a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

d) 89.

74.

c) 16665

69. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuantos días de atraso se entregara la obra? a) 24 b) 29 c) 10 d) 9 e) 11


96. 97. 98.

82. 83. 84. 85. 86. 87. 88.

99.

b) e)

c)


Aritmética y Álgebra a) d) 106. a) d) 107. a) d) 108. a) d) 109. a) d) 110. a) d) 111. a) d) 112. a) d) 113. a) d) 114. a) d) 115. a) d)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LEYES DE EXPONENTES La teoría de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. LEYES DE EXPONENTES 

Exponentes natural: n

a



a  .a.a.....  a

n veces Exponente cero

a0  1 

a0

Producto de bases iguales

a1  a



a m .a n .a p  a m  n  p 

a

Cociente de bases iguales am  am n n

a





n

(a.b )n  a n .b n



Potencia de un cociente

n

an





bn

Potencia negativa de un cociente

 a    b 

an

n

n

n

 b   a



p



a

n

a. a

Raiz de un cociente

n



a.b 

n

a  b

n

a

n

b

nm n

a 

n .m

a.m b 

a

n



n n

a.n a.n a. ...  a:

n

a:

n

n 1

a : ... 

n 1

4a  1  1 2

a  n a  n a  ...  XX

E  X X



X

X

X



E  X

 X





E



X X

 X  X  X ...  

1 n

1 n



1 n

  



 X  

1 n 1



a

a

x . x . x ..." n" radicales 

an

a n 1 x a 1

Para “n” impar

x : a x : a x : .." n" radicales  Para “n” par

a

a

x. x :  

a

x ..." n" radicales 

 

n   a  



an

x

a n 1 a 1

a n 1 x a 1

q

p

m

a

n







 a n.m . p.q

ECUACIONES EXPONENCIALES

a .n .m b

EXPRESIONES AL INFINTO 

4a  1  1 2

a  ... 





Radical de radical

a

n

PARA “n” RADICALES 



a p  (m a ) p

n

a a o


Con

x 0

POLINOMIOS



a

Raiz de un producto n



ap  a n

Potencia de un radical m

a



Raiz de una potencia n





Potencia de potencia

(a m ) n  a m .n  a n.m  (a n ) m 

X X  aa  X  a



1

Potencia de un producto

 a    b 

a 

n

Exponente negativo

a n  

n


Importante: No se tomaran aquellas soluciones (raíces) que se obtengan fuera del conjunto de los números reales. LEY DE LA SEMEJANZA:

 n 1 a

a n


Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes, pudiendo también encontrarse como base de la potencia. LEY DE BASES IGUALES: Si: b x  b n  x  n con: IGUALDAD EN EL EXPONENTE

x 0

Si a x  b x  a  b

x 0

con

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO: Es una característica de la expresión algebraica, que viene dado por el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero positivo, y permite determinar el número de soluciones de una ecuación. Puede ser de dos tipos: Relativos: se refiere a una sola letra. Absolutos: Se refiere a todas las letras. GRADO DE UN MONOMIO: MONOMIO: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo termino algebraico. Como toda expresión algebraica tendrá dos grados que son: GRADO ABSOLUTO (G.A.): El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. GRADO RELATIVO (G.R.): Esta dada por el exponente de la letra referida a dicho monomio. El grado relativo siempre se da respecto a una variable del monomio GRADO DE UN POLINOMIO POLINOMIO: Es una expresión algebraica que tiene dos o mas términos algebraicos; recibe el nombre de binomios cuando tiene 2 términos, trinomio cuando tiene tres términos. GRADO ABSOLUTO: (G.A.): Esta dado por el termino que tiene el mayor grado absoluto. GRADO RELATIVO (G.R.): Esta dado por el termino de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio. VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO: Consiste en asignar a la variable o variables un número definido tal que al reemplazarlo en la expresión original se obtenga una expresión definida. POLINOMIOS ESPECIALES: Es el conjunto de polinomios que tienen características especiales, llámese la ubicación de sus términos o por el comportamiento de los exponentes que afectan a sus variables.  POLINOMIO ORDENADO: Son los que presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de una de las variables que se toma como base. Ej: Sea el polinomio:

P ( x ; y )  4 x 3 y 12  5 x 7 y 8  4 x 12 y 2


El polinomio es ordenado con respecto a “x” en forma ascendente y con respecto a “y” en forma descendente.  POLINOMIO COMPLETO: Son los que tienen todos los exponentes (desde el mayor hasta el exponente cero o termino independiente) de la variable que se toma como base. Ej: P ( x )  x 4  2 x 2  x  10  x 3  POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO: So aquellos polinomios que cumplen con los dos primeros tipos de polinomios, es decir estén en primer lugar completos y luego ordenados ya sea de forma ascendente o descendente  POLINOMIOS HOMOGENEOS: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales. Ej:

P ( x ; y )  4 x 7 y 12  8 x 4 y 15  6 x 2 y 17  POLINOMIOS IDENTICOS: Son aquellos que se caracterizan porque sus términos semejantes tienen, iguales coeficientes. Ej: Sea. ax 2  bx  c  mx 2  nx  p Como son idénticos de be cumplirse que: a=m b=n c=p  POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULO: Son aquellos que se caracterizan por que todos sus coeficientes son idénticos a cero. Ej. Sea el polinomio:

P ( x )  ax 3  bx 2  cx  d al decir que es idénticamente nulo se debe cumplir que: a=0 b=0 c=0 d=0 IMPORTANTE:  Para hallar la suma de coeficientes de un polinomio, la variable debe tomar el valor de 1, es decir:

 coefP ( x )  P (1)

 Para hallar el termino independiente la variable toma el valor de cero Term. Indepe. P(x)=P(0).

PRÁCTICA Nº 08 TEORIA DE EXPONENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.

 Resolver: P    1    3  a) 1/5 b) 3 d) 1/9 e) 5

2

 1    4



2



1 2

 c) 9

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 2.

a) d)

3.

7

5 59

b)

K 

c)

Calcular

7.

26

b)

d)

2 10

e) 

7



7



b)

70

e)

Resolver:

Resolver: a) 13 d) -17

9.

7

7

a) 0,5 d) 1,5 8.

E 2

a)

d)

Resolver: a) 10

10 3 valor 1   2

1







1    125 



1 2

  

c) 27 2. 2. 2

28 22 7





 31



2. 2. 2

7

de:

c)

2



1 7

d) 3

7

x

7 x  72

E 

c) 9

15

valor x 2

c) 7,5

.(0,0008 )

4

b) 3 3

5

e) 3

3

b) 3

d) 3

1

e) 3



R 

c) 0,01 a)

y x

3

x4

y x



y3

a) 3 x 2 y

b) 6 x 3 y 2

d) 3 xy

e) x 3 y 2

c) 17

 36

y 19

c) 6


32

x2

c) 3

2

)

a) -2/3 d) 5/9

c)

xy

n

2

b)

n

1

e) n

n

y 1

3

4y  4

2y  2

x

b) 27 e) 64

y 1



1 , hallar el 3 c) 9

3

b) 164 e) 100

4

a) 1 d) 4 24. Si

n2n



n

c)

n

n

2

x 8 , si x x  2 c) 16

M 

c) 0

c) 2/3

125 3.814.325

E 

25 4.97.64 4

b) 10 e) 13

En

a) 30 d) 5

10n  15 n  6n 5  n  2  n  3 n c) 6

29. Si n n  3 , hallar n n a) 7 b) 17 d) 37 e) 47 30. Hallar

E 

el

1  bx 1  bx

n 1

c) 27

valor

numérico

5  bx ; para x=3/b 5  bx b) 6 e) -1

c) 7

x 2  5 , si 2 2 31. Simplificar: E  x  y

26

 81

b) 2 e) 5

c) 3 a)

d) c) 5

c) 121


xy

b)

x

a b

y

a b a b xy e) a x  y b c)

a  5 x  2 ; b  5 12  x ; c  5 x ,

resolver 32 a  c 2 b a) 1 b) 32 d) 3 e) 120

( ab)

xy

xy

9

c) 11

b) 15 e) 2

a) 5 d) 12

e) 12

4

2x



1/ n

n   .n  ....n  

b) 4 2

d) 4

1/ n

1

b) -7/9 e) 3/2

3

1/ n

2

2

13 13 2 2  ( 2)x 2 2

a) 9 d) 12

1

2

2

2

c) 3

3



e) 2

27. Simplificar:

n  factores

a) 2

1  3(2 2  1)(2 4  1)(2 8  1)...(2 64 1)

a) 225 d) 16

 2375 (5

2

26. Resolver:

11

 n factores     n  2 .n  2 ....n  2

22. Hallar el valor de

17. Hallar el valor de

G 

7 x  2  49 x  4

x

valor de “x” a) 16 d) 8

de: x 2

5 x  3  5(5 x  1)  25(5 x )  75(5 x 1)

a)

d)

x2 y

3

d)

b)

21. Efectuar:

13

(0,02) 69 b) 0,1 e) 100

y 1

c) 1351

el

5

a) 1

 3240

b) 1243 e) 5263

2 2

2

a 20. Si a a  3 , calcular Q  a 1 a a a  1

15. Simplificar:

16. Si

8 x  3  16 x  2 b) -13 e) 8

7

3

x 3

2

25. Simplificar M 

28. Resolver:

(0,04 )

56

3

x 2

23. Calcular el valor de

3 4 x 1  81 b) 0,25 e) 1,25

a) 3

c) 7



c)7

 2  224

14. Simplificar:



7

b) 8

7

16

3

19. Calcular

x

b) 7 e) 14

E3

7

7

a) 5 d) 18

a) 1 d) 10

2. 2

2

, si 3  3 a) 1 d) 2440

R

x 1

x 1

x

c) 1/3

b) 5 e) 11

13. Resolver: 7

b) 1/9 e) 81

Simplificar:

2

x 2



c) 8

Aritmética y Álgebra 7

x  ( x )3  ( x )5   42 

18. Resolver G  

x 1

b) 3 e) -1/3

12. Resolver:

el

a) 1/3 d) 1/81

a) 7

a) 1 d) -3

17 3

  1  1 C     .    4  4 

6.

 1   5

a) 3 d) 9

e)



25 x 1  

11. Resolver:

21 3

b)

14 3

Resolver:

5

3n



5.

c)


e) -8

10. Resolver: x  2 25 x  1  125 a) 4 b) 6 d) 10 e) -4

5

3 n  1  3 n  3 n 1

11 3

d)

5 ab4 56 58

e)

Reducir:

a)

4.

5 a  2 .5 3  b

E 

Calcular:

Aritmética y Álgebra d) -6

x

ay x b

y

ax

y

b

de:



32. Reducir:

Em

3

m2  4

3m

2

 2(3 m

2

2

n

)  6(3 m

5

n

E 

( x  5)

 4 n ,

n

80  x

a) 20 d) 1/5

2n c)

2

K 

E

b)

3

d)

5

e)

6

40. Si

41. Si n

 2(2 )

xx

a  c

2

M

2

d) x

e) 4/5

x

a) 1 d) 4

37. Resolver:

3

a) 27/8 d) 3/2

2

b) 9/4 e) 1/2 3

x

de

3

 x y  y x 

a) 61 d) 64

64  3 . 64 7  2n

 x  y 38. Resolver

valor

b) 3 e) 7

c) 2

a) 1/3 d) 1/5 45. Si x

E     

3

1/ 2

3


a) 1 d) 6

3

8

a

 12

a) 0 d) 3

p

x3

83





2n



2

p2

.4 1 4 p

16

Si

1

51. Si

3

3

x

  



E   

c) 2

a) d)









2  5



a2

xb

2

2n

2 x 1

, hallar 

b) 2 e) 54



32

 (5 

c) 25

13

)

13

a

xa

a

x3 x

b)

1/ 2

54. Hallar

x 2a

e) el

a

x

n2 n

. 2

 (x

1

x2

m

x 2m c) x

x

e) 2

n

b2  a) a d) 2b

b2

n 1

2

a) 2 d) 4

n4

x 20a

a

c)



1/ 4

x

numérico

2

 

14


C  31

 

E 



n

3





b) 9



1 2

descendente: D  43

3

216

21

E  41 c) BDCEA

ascendente: 2

2

N  a

b) MNC e) N.A.

813

1   2 

n



42

C  a





2 

forma

2

 a2 c) a-b

c) 1

en 3 2

62. Resolver: a) 6

2

.

n 1



b) ADBCE e) DBECA

a) MCN d) CMN

c) 8

2

.2

b2

forma

B  23

61. Ordenar M   a 

de

2

en

34

a) BEDCA d) DEBCA



210

n

b) 16 e) 8

60. Ordenar

x  208 a  

2n

n

 a2 . b2  b) a+b e) b/a



A  12 a

b) 2 e) N.A.



b) 2x

A  x z  y  y  x  2 z  z x  y si x=2; y=2 y z=1 a) 5 d) 9

c) 1/3

1 m m ) m 1

59. Efectuar: E   

c) 20

x 3 a ...

valor

b) 1/2 e) 1/5



c) 5

x2

2 2

58. Después de efectuar: c) 2

 3   4

2x

3

n  sumandos 4 2 2n  3 n  n

d) 3x

53. Reducir: 

5

 84

52. Simplificar: E  2 4 a) 16 b) 3 d) 20 e) 21



x

2x

n

hallar x4

16 3

a) 1 d) 1/2

1  9



3

3

3

n

a)

3

3



1 m m (x )

c) 8



3

57. Simplificar la expresión:

x2. x2 b) 5 e) 7

a) 0 d) 1

c) 63

c) 3

( n  2 )  ( n  5 )  ( n  8 )  ( n  11                 

a) 1 d) 1/4

p3

x3. x3

3

G 

c) 8

b) 4 e) 19

1

c) 1/4

5 5 5 

b) 5 e) 9

 2   5

1/ 3

2p

a) 2 d) 16

a

9(3 n )  4(2 2n )

b) 2 e) 5

1/ 2

2 



b) 1 e) 6

50. Hallar “b-a” en

b) 1 e) 45



a) 1 d) 4

c) 12

32

3

 16    121 

49. Reducir R 

a

1 / 2



 2A  5    A1 

3

3(6 n  1 )  2 3n  3

55. Simplificar: n  1

, hallar: 

3

24  2 .3  6 .(0,5) 4 .27 5

x

3

c) 16

D   5  5 5  5 (5 ) 

c) 9

3

18 6 .54 3 .8 6 .36 2

x2

x

a) 0 d) 3 46. Hallar

x 3

x 6 x  x .x 4

b) 1/2 e) 20 x=16. 

c) 7/4

6

50



. Dar el valor de “y”

x

2a  3a  4a

a

6x  1

56. Hallar

  1 A     3 

x

R  43  3225 b) 62 e) 400

44. Reducir Q 



b) 3 e) 81

M

4

(a b) c  M  (c b) a

, hallar

x

48. Si 2x

b) 8 e) 5

43. Reducir c) 2/5

el n 1

2

2

b)

64.

2

a) 6 d) 24

2

25 x  15 x

a) 1/5

36. Hallar

4

x

, para todo “x” número natural diferente de 1 a) 1 b) 0 c) 1/3 d) 1/2 e) 5/6

c) 1

b) 32 e) 9

42. Reducir

10 x  6 x

3 2

2

3

2n  1

x2

2

b) 2 e) 41

e) 7/8

35. Reducir:




2 x  3x  2x  3 x

x

47. Simplificar E 

12

c)

 4 , hallar

a) 64 d) 4

2n 1



2

c) 5

n 4

2

a)

x 1

2

. 3

6

a) 4 d) 3

x 4

3

2

3 2

)

2(2 n  3 )

b)

d) 3/4

M 

1

hallar

b) 10 e) 1

34. Simplificar:

2

)

2

n

x  12

m 2 1

c) 3

e) m

3 x

a) 1 d) 27

)  12(3

b) 2

33. Si

a)

m 2 1

 3(3

3

a) 1 d) m


39. Calcular

2

c) CNM

33

33



n 1

n

 

c) 3

23


e) N.A.

a  .b  a .b  b a c

63. Siendo:

b


a bc

a c

 4.

a) d)

Calcular

b) 2 e) 5

3

64. Si

M

n 1

2

Calcular:

M   

3

3

3 3

3 3



3 3

3 3 3

  

b) 27 e) N.A.

c) 83

67. b) e)

b) e)

c)

c)

b) e)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

70. a) d)

b) e)

c)

b) e)

c)


c)

77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.

2

2

. x a 2 .y



2

b) 2 e) 5

c) 3

  

P ( x; y )  3 x

m2

y

n 1

 5x

m6

. GR(x)=10; GA(P)=20; hallar GR(y) a) 10 b) 11 d) 13 e) 14

y

n

x

m4

x 4  x n  2 . x 2n  3    P   x n 2 .x 4    a) 2.5 b) 4.5 d) 8 e) 10 3

si se sabe que es homogéneo. a) 14 b) 13 d) 11 e) 10

y

n4

2

c) 6.5

86. Calcular el coeficiente del siguiente monomio

M  3 a  b x 2 a y b  2 . Sabiendo que el

c) 12

90. Hallar M[G(2)], si p(x)=x; p[M(x)+G(x)]=4x+6 y p[M(x)-2G(x)]=x+12 a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 91. El grado absoluto de la expresión

M

xby c

c 1

xay b

es 3. Determinar el grado

1

yc

polinomio

admite grado 8, proporcionar la suma de los grados relativos de “x” e “y” a) 12 b) 8 c) 7 d) 9 e) 11 el

 1   2

M 

“n”, n

n

coeficiente

n

si n

x . x 2 . x 3 ..... x n

sexto grado a) 10 d) 14

b) 11 e) 15

es

de

c) 12

96. Encontrar el valor de m+n para el siguiente polinomio homogéneo:

P ( x ; y )  x 3 y n  2  5 x n y m 1  xy m  3 a) 11 d) 44

b) 22 e) 55

c) 33

97. El polinomio

P ( x ; y )  ax a  3  abx a 1 y b  2  2by b  es homogéneo. Hallar coeficientes. a) -1 b) -2 d) -4 e) -5 98. Hallar

el

monomio:

P ( x ; y )  x n y n  2  2 x n  3 y n  x 2n y 4

n

c) 3

95. Hallar

R 

sea de primer grado

grado 3

la

de

suma

de

los

c) -3 la

expresión:

4  2 3 4  23 4  ....

b) 2 e) 5

c) 3

99. Hallar la suma del coeficiente con el grado del

c) 9

el

c) 1/25

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

xa

b) 6 e) 18

93. Hallar

x a2

M  4a x

absoluto de N= (2 b ) a) 3 d) 12

x a 2 x 3a

M  a) 1 d) 4

c) 12

89. Si el grado de 3 x 2 n  3 y n  4 es igual a 5, el grado relativo de “x” es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a 1

b) 5/27 e) 81/16

94. Determinar “a” de modo que la expresión:

88. Cual es la suma de los coeficientes del polinomio.

92. Si

85. Hallar “n” para que el polinomio sea de segundo grado:



69. a) d)

c)

b) e)

a) 1 d) 4

68.

a) 12/7 d) 12/48

P ( x ; y )  ax a  4  3 x a y b  bx b  5 ,

76. c) 256



a) d)

a) d)

a) d)

b) 128 e) 512 

c)

75.

2b

a 2b  a 3b  a 4b  4

66. Efectuar:

b) e)

a) d)

c) 3

ab  2 . a 3b.a

a) d)

74.

b) 2 e) 8

a) 64 d) 32

a) 3 d) 81

Calcular


grado absoluto es 5 y el grado relativo a “y” es -1 a) 9 b) 27 c) 81 d) 243 e) 3 87. En el siguiente polinomio

73. 2n .

3 n  2 2n 3

65. Si

M

c) 3

3 n 1  2 2n 1

a) 1 d) 5

c)

72.

el valor de ab a) 1 d) 4

b) e)


de

.9m. x 3m  2 n .y 5 m  n cuyo

grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14.


a) 1 d) 5

E  7x

3

6  3 6  3 6  ...

b) 7 e) 9

c) 3

100. Cual es el valor de “n” si la expresión es de 5º grado. N  3 a) 6 d) 9

a n  2 a 3n a n2 b) 7 e) 0

c) 8

101. Hallar el valor de “a” en el siguiente monomio si GA(M)=8 y el grado relativo con respecto a

Academia Pre-universitaria “SIGMA” “y”

es ab

1  M  9   3  a) 11/45 d) 25/22


z a  b x 3 a  2b y 3a  b

b) 10/13 e) 1/13

c) 11/13

103. El

b) 12 e) 15

término

c) 13

independiente

(x

2

es

215 . Hallar el valor de “n”

a) 1 d) 4

104. Dado

 2)( x

4

 4)( x

8

del

 8)...( x

b) 2 e) 5

P (x )  x

3

 4x

calcular P[P(4)] a) 21 b) -12

2

2 )

 3 x  13

SUMA Y RESTA: Para sumar o restar expresiones algebraicas se suma o se restan términos semejantes. NOTA: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. MULTIPLICACION: Multiplicar expresiones algebraicas significa obtener una expresión denominada producto, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION:  El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.  El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores.

PRODUCTOS NOTABLES



a b

P

Calcule:

 

c) -21

OPERACIONES CON EXPRESIONESALGEBRAICAS

c) 3

108. Sabiendo que: P(x)=3x+4 y P(P(x))=ax+b.



a) 5/2

112. Si

“m”,

 

b) 1/2

c) 3/2

y



2b

 Suma y diferencia de cubos

a 3  b 3  c 3  3abc PRÁCTICA Nº 09 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRODUCTOS NOTABLES

a

a

3

b

b

3

 (a  b )(a

2

2

 ab  b )

 (a  b)(a

2

 ab  b 2 )

 Trinomio al cuadrado 2 2 2 2 (a  b  c )  a  b  c  2ab  2ac  2bc

a) 18 d) 4

1.

(a  b ) 3  a 3  b 3  3ab(a  b ) 3

(a  b )  a

3

2

 3a b  3ab

2

b

( x  y )3  8( p 2  q 2 )

Si

xy  3

3

c

4.



(a  b  c )3  a 3  b3  c 3  3(a  b )(a  c )(b  c )

a) 3/4

b) 3/2

 Identidades de Legendre

d)

e)

(a  b ) 2  (a  b ) 2  2(a 2  b 2 )

(a  b ) 2  (a  b ) 2  4ab

 Binomio al cuadrado

 Identidad de Lagrange

(a  b ) 2  a 2  2ab  b 2

(a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax  by ) 2  (ay  bx ) 2

 Diferencia de cuadrados

 Identidades auxiliares Si a  b  c  0 se cumple:

x

4n

x

2n

 1  (x

2n

x

n

 1)( x

3 /2

2.

Hallar

x

n

 1)

4

2ab  b 2

a) (2b  1) c) b d)

2

E  x  2 x  1 , si a



a

b)

¿Cuál es el valor de x?

cumple

que

Si

hallar

x ( x  y )  y (y  z ) z(x  z) b) -2 e) 0

c) 1

 a  b  3  a3  b3  23(a  b ) b) 64 e) 16

y

c) 49

Si P  5 x 3  3 x 2  4 ,

Q  3ax 3  6bx 2  2 x 3  c  4 x 2  3 2ab  b

b

4

2

1

4

(2a  1) e) (a  b )

se

a) 121 d) 36

3 /4

2

c) 8

ab  3 , hallar (a  b )2

3 6.

x  2n

5. c)

5x  3x  0

Si

a) 2 d) -1

1/ 2

4 2 2 4  x  2 x y  y 

 Trinomio al cubo

a.b  0

La suma de tres números es 21 y la suma de sus cuadrados es 179. La suma de los productos de dichos números tomados de dos en dos es: a) 311 b) 113 c) 131 d) 262 e) 226

E

hallar

E

.

( x  y  z ) 2  xy  xz  yz , y

p2  q 2 ,

 x 4  x 2y 2  y 4 

(a  b ) 3  a 3  b 3  3ab(a  b )

 6z b

a2b

b) 16 e) 2

Si

 Binomio al cubo

(a  b ) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3

b

y

2b

¡Tú si puedes!

3.

a 2  b 2  c 2  2(ab  ac  bc )

3

a

.b a

3a 3

a 2n  b 2n  (a n  b n )(a n  b n ) 3

de

c) 16

b

P ( y ; z )  y (a  1)

polinomio y x xy z

z

valor

b) 4 e) 10

Calcular: a b(a  1) , donde

4a b P  a b c c a b c 5 z

el



M ( x )  ax (a  1)

si:

c) 9

el x

 Identidad de Argand


calcule

calcular

xy

113. Al sumar M(x) y P(y;z) se obtiene un polinomio homogeneo donde:

111. Si f ( x  1)  x  2 x , el valor de f(2) es: a) 1 b) -2 c) -1 d) 2 e) -3



Son productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones por esto se le reconoce fácilmente.

a 2  b 2  (a  b)(a  b)

c) 12

110. Si: P(x+5)=3x-2, P(2x+m)=6x+7 a) 11 b) 10 d) 8 e) 7



z

x

a) 2 d) 18

P ( x  1)  (2 x  3) 2n  4 x 4 b) 5 e) 40

homogeneo,

G   x 2x 

109. Hallar la suma del termino independiente con la suma de los coeficientes del polinomio:

2

2002 b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

es

c) 1/3

P  (...  P  (P  (2))...) 

n


e) 5/3

a) 70 d) 13

107. Si : P ( x )  x 2  2 . Calcule:

c) 3

2

d) 4/2

106. Hallar f(0); si f(2x-1)=x a) 1 b) 1/2 d) 1/4 e) 1/5

producto n


e) 1/2

105. Si f ( x  2)  x 2  5 x  2 , calcular f(-5) a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

102. Hallar el termino independiente del polinomio P ( x )  ( x  2)5  ( x  3)3  ( x  2)( x  3) a) 11 d) 14

d) 12

4


; además P=Q, hallar a) 1/64 d) 1/121

b) 1/4 e) 1/81

 a  b  c   

2

c) 1/25



Resolver:

x(x  yz)  y(y xz)  z(z  xy) x(x  yz)  y(y xz)  z(z  xy) y x z   1 Si yz xz xy a) -7 d) -3 8.

9.

b) 18 e) 64

c) 27

hallar

c) 9

a  b  c  20 2

2

a b c

2

x

d)

a 12

b)

a

c)

calcular

b) 800 e) 600

c) 900

a) 0 d) 3

b)

x2

d)

x 72

e)

x 24

 x 2  1    x  

c)

3

 27 ;

a

a

c) 27

 123 ,

P  a n  a n 3 3 E  (  x )(3 x )(  x )( x )...(  x )( x )             a) 9 b) 11 24 factores

d)

b) x

x 10

c)

 8 x  14

independiente de

Hallar

y el

termino

B 2C  3 A   2 

b) -20 e) 2



el

c) 15


de:

E  (a  b) 3  (b  c ) 3   c  a  3  3abc

a) 5 d) 0

b) 3 e) 1

21. Simplificar: 1 c) 40

valor

P

(a

a) 2/(ab) d) 8/b

c) 2

 b 1 ) 2  (a 1  b 1 ) 2  ab 1 2  ab b) 4/a e) 3/(ab)

c) 5

b) 2 e) 5

x 4y  2, y x

32. Si

e) 2x+9

c) 3

b) a12 e) N.A.

c) b16

2

 ab   2 

2



b) b e) N.A.

c) ab

calcular

5 x  2y 5 x  2y  x  2y 3 x  2y

E  a) 1 d) 4

b) 2 e) x+2y

33. Hallar

 ab  2  

“M”

para

c) 3 que

se

cumpla:

M M  4 4 4 4 4 4 M M 2 ( a  b )  (a  b )  M (a  b )a b 2

a) 6 d) 5

b) 4 e) N.A.

c) 8

34. Si 16 x

4

 2x  1

 2x  1



m 2

x 3  ( n  1) x 2  ( p  1) x

, hallar m+n+p+q a) 13 b) 17 d) -4 e) N.A.

c) 19

c) 7/(ab)

( x  1)2  ( 3  2) x ,

35.)2 Si E  ( x  2)( x  4 )( x  7)( x  5)  ( x 2  9 x  17 a) x-3 d) -9

20. Si

A  x 2  2x  1 , 2

hallar

e) 10

hallar

b) 4 e) 7

27. Reducir:

a  b  c  (1  x ) 2  (1  x ) 2  4 x ,

C  x 2  2x  2 .

a) 20 d) -40

x4

e) 120

13. Sean

B  6 x

d) 13

c) 2x+7

26. Efectuar: P   a) a d) 2ab

b) 42 e) 47 2 n

calcular

a) a 8 d)1

a 3  b 3  c 3  86 ; ab  ac  bc  3 ;

1/ 2

E  (a  b )(a  b )(a 2  b 2 )(a 4  b 4 )  b 8

x 36

c) 3

abc  2 . Hallar “a+b+c”

25. Reducir

(1  x 4  x 8 )(1  x 12  x 24 )  1

x 12

19. Si

a) 1

3 5  2 11 3 5  2 11

b) -2 e) N.A.

a) 3 d) 6

2  ( x  1)( x  2)( x  5)( x  6)  9

d) 4

a)

c) ab

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 4 1 / 2 1/ 8 E  (2  1) (2  1) (2  1) (3  8 )

c) 2

52 6 

31. Si

a2  b2 a 2b 2

24. Efectuar

2

P  x 4  x 4

12. Efectuar

e)

a) 2x-7 b) x+7 d) x-7

E  (1  x 2  x 2 )(1  x 2  x 2 )

2n

d) abxy



b) 1 e) 4

a) 50 d) 40

b)

52 6

d) 2

x2  y2

a) a

E  ( x  2 )( x  5 )

1  ( x  y ) [1  (y  x ) ]

18. Si

11. Si 7-x = m(x-1) + n(x+2), hallar “m+n” a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 12

a) 1

(ax  by )2  (ay  bx )2

23. Simplificar

e) 3/2

17. Simplificar: y

 300 ,

x

16. Resolver:

Q  (a  b ) 2  (a  c ) 2  (b  c ) 2 a) 700 d) 500

F 

a) 1

18

( y  x )  ( x  y  1)(1  x  y )

2

b) 3 e) 16

10. Si

a)

24

6

a b c G   bc ca ab a) 6 d) 12

Q

2

abc0, 2

12


22. Simplificar

c) 24

6 6 12 12 24 ( a  x )( a  x ) x

c) -2

a  b  c  6 y a 3  b 3  c 3  24 , hallar G  (a  b )(a  c )(b  c )

2

E  x 3  x 3

b) 18 e) 52

2 2 2 2 E  ( a  x )( a  x )( a  ax  x )(a  ax  x )

Si

Si

a) 16 d) 26 15. Simplificar:

b) 3 e) 2

a) 36 d) 32

14. Si 1=x(4-x). hallar


b) 2x e) N.A.

c) -9x

J

28. Si la suma de dos números es igual a la raíz cúbica del cuadrado de 27 y el producto de dichos números es la tercera parte de su suma. Hallar la suma de sus cuadrados. a) 32 b) 62 c) 70 d) 75 e) N.A.



b a  29. Efectuar: E   a b   a b   a) 4ab

b) 0

d) ab 2

e) N.A.

2

( x 2  1)2 x4  1

a) -3 d) 2

30. Simplificar:


b) -2 e) 3

c) 4

36. Resolver la ecuación 4 x  2 x  1  24  0 y dar el valor de a) 10/3 d) 2 37. Resolver:

c) a

calcular

x  x 1

b) 5/2 e) N.A.

y x  125 ; y

c) 17/4 x 1 x 2

 25

. Dar

como respuesta la suma de todos los valores de y. a) 19000 b) 100 c) 124 d) 15630 e) 850

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 38. Al


simplificar

( x  y )4  xy ( x  y )2  2 x 2 y 2 3

3

2

( x  y )( x  y )  2 x y

2

, la

suma de los coeficientes del denominador es: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5 39. Determinar el valor de G para que la igualdad 2 2 2 2 2 2 2 2 2 se G  (x  y  z  G)  ( x  y  z) ( x  y  z ) , convierta en una identidad. a) xyz b) xy+xz+yz c) x+y+z d) x+y e) y+z 40. Si

1 3 x e y  15 5

calcular

2

a) 1/20 d) 1 41. Si

b) 3 e) 1/3

b) 1/2 e) 1/3

E

y

x 

3

1

3

2

x  x y  xy

b) -1 e) 4

2

el

3 14 5 5

c) 7(x+y)

c) 1

E 

( x  a  b  c )( x  a  b  d )  cd (x  a  b  c  d )

 3 1

3 14 5 5

,

3, p 

x 1 x 1  1 a) 764 b) 564 d) 684 e) 784

5, q 

termino

independiente

6 ,

 1) 

x

xx

xx

x 4 x x

a) d)

valor de a) 1 d) 4

4

a x9

4

9

x , el a

c) 3

b) e)

E

56. Si

2

c)

2

3b 2

calcular el valor de:

2

a b 5 a 3  b 3  10

el

de x

valor

ab  bc 

3



1 x3

,

sabiendo:

x 2  3x  1  0 b) 15 e) 27

c) 18

a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc ,

P

3

b) 3 abc e) 0

 x  1 x  1  x

a)

calcular

3(a  b  c)(ab  ac  bc)

x 1

d) 1

b)



 



2

 1 x4  1 x8  1  1

x

c)

x2

e) 0

61. Si (a  a 1 ) 2  3 , calcular a 3  a 3 a) 27 b) 6 c) 12 d) 0 e) 3 62. Hallar:

H

x y  , y x

c) 1/3

3.

Calcular:

a) 0 d) 3 63. Sabiendo

b) 1 e) N.A.

sabiendo

que:

hallar: P  xy a) 1 d) 38

c) 2

x  y  8 y xy  4 ,

que 2

 yx 2

b) 12 e) 72

c) 24

c) 9 64. Efectuar: 2 2 ( x  1)( x  2)( x  5 )( x  6)  ( x  2) ( x  5 )  40

a)  4 x 2  28 x


c) 2x

x  y  3 2 y xy  6

b) 2 e) 1/5

b) 3 e) 27

b) 3x e) 9x

60. Efectuar:

a(a2  bc)  b(b2  ac )  c(c2  ab) T abc a) 6 d) 18



x  1   x  1 2

a) 3 a 3  b 3  c 3 c) abc d) a+b+c

c) 2

2b 2 5b 2

a  b  ab  5 ;

a) 1/2 d) 2/3

c) 4

E 2 es: b) 2 e) 5

,

x

calcular P(1). a) 0 b) 2 d) 6 e) 8

x 7 y E a

 xx

x 2 x x

b2 4b 2



x 1 x

a) x d) 4x

59. Si

cd

(3b  a)(3b  a)  (2a  3b)

de

x 

a) 12 d) 20 c) -1

b) 1 e) 3

x 12 x  1

9

x 3  y 3  a3  b3 a2  b2  x 2  y 2

P  3(a  2b) 2  2(a  2b)(a  2b) 

c) 464

57. Efectuar:

58. Hallar

G  4 2( a  b )

a) 0 d) 4

55. Si

x9

x

36

54. Reducir:

es 1440, determinar el valor de “m”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



x x 24

c)

b) -3 e) 1

e) 1

3

a

E

, hallar:

c) 80

3

50. Si

e)

51

53. Si (a  b  c  d) 2  4(a  b)(c  d)

9 2 2 3 3 3  ( a  b )  3( a  b ) [(a  b )  ( a  b ) ]

a) 8000 b) 800 d) 8

c) 10

b)

a) -2 d) 0

c) b

3 , b  1 , hallar

P (x

x x 72

; hallar

b) a e) d

xx

12



(x  a  b  c)

a) x d) c

el

51

x . x .51 x .....51 x 50 x            

x 2  (a  1)( x  a )  y 2  (b  1)( y  b )

( x  a  b )( x  a  c )  bc

46. Si a 


expresión:

52. Si

45. Simplificar:

49. Si

44. Si 2, b 

d)

E  ( x  3)2 ( x  2)3 ( x  m )2 ( x 2  5)

7 x 4  7 xy 3

hallar G  5 x 3  3 x a) 8 b) 7 d) 9 e) 6

a 

a)

2ab

a) 0 d) 5

50  1

la

51 radicales

4 4 2 2 [(a  b )  (a  b ) ][(ap  bq )  (aq  bp ) ]

48. Si

c) 2

numerador es: a) 7x b) x+y d) x e) 1 43. Si

E 

2

47. Hallar G  64 x 3  129 x 2  876 x , si

x3  y3 1  , hallar la a/b 3 xy ( x  y ) 3

42. Al simplificar

2

c) 3/20

x  y  a, xy  b 2

a) 1 d) 3

2

2( a  b ) p  q

( x  y )3  ( x  y )2 ( x  y )  xy ( x  y )G  (a  b) ( x  y )2  ( x  y )2  4 xy

51. Simplificar 1

G

9

M


calcular


b)  4 x 2  8 x

2

Academia Pre-universitaria “SIGMA” c)  4 x 2  28

Aritmética y Álgebra 3

3

Academia Pre-universitaria “SIGMA” a) d)

3

a  b  c  8 .Hallar:

d)

4 x  28

 1 1 1     a b c

P

e) N.A.

1

calcular:

ab  bc  ac

a) 112 d) 88

b) 12 e) 113

c) 22

a) 1/3 d) 3/5

b) 3/2 e) 2/5

 a   b

encontrar

66. Si xy  xz  yz  18 y x 2  y 2  z 2  64 , calcular:

xyz

a) 9 d) 12

b) 10 e) N.A.

c) 11

a  b  5 y a 3  b 3  95 ,

67. Si

Hallar

b) 1/3 e) N.A.

c) 21

Calcular:

b) 1000 e) N.A.

c) 2000

y

además

x3  y3 1  . La relación entre a y 3 xy ( x  y ) 3 b

a) 1 d) 4

y x 3  y 3  z 3  1 , hallar xyz

b) 2 e) 1/3

70. Sabiendo 2

2

c) 1/2

a  b  c  1;

que: 3

2

3

3

a b c  3,

a b c  2;

b) 17 e) N.A.

 1 3     47   

efectuar:



4

 1 3    47   

el valor de: K 

,

a) 1 d) 4

c) 2

75. La

expresión:

3

a) 8(a  c ) c) 8c d) 8a 3

b) 8b

71. Conociendo

b) 1000 e) N.A.

c) 1/2

las

relaciones

abc  5;

siguientes

a2  b2  c2  7 ;


verifica:

y x



1

  

x

c) 3

3

3

1 

1    125  

.

1  27  3 4

(  2) . 4

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) d)

b) e)

c)

83

1

e) 8(a  b )3 81.

76. Hallar

el

valor

de:



 2x  y 2x  y   2 x  y 2x  y  2 3      4x  y 2 x  y 2 x  y 2 x  y 2 x  y    

G 

, sabiendo que x e y verifican



b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

88.

efectuar: 42

a) d)

87.

x y1

b) 2 e) 5

 1  S   16 

c)

 3 x . Calcule

80. Al

(a  b  c )3  (a  b  c )3  6b[(a  c )2  b 2 ]

b) e)

86.

 x  3 y   2  y yx

4



b) 56 e) 6



 x 

obtenemos: a) 28 d) 8

2

a) d)

c) 3

se 1

c)

85.

a6  b6  c6 b) 2 e) 5

y  

c) 4

Hallar abc a) 900 d) 1/6

(a  b  c ) 6

5

79. Si

, por medio de las propiedades se reduce a:

a) 1 d) 3

l

c) 1

73. Si:

74. Al

x  y  a y xy  b 2

anbn

b) e)

84.

(a  b  c) 2  3(ab  ac  bc)

78. Si

b) 5 e) N.A.

c) 8

de:

an  bn

a) 3/5 d) 2

b) 16 e) 2

a) d) 83.

abc

a) 4 d) 64

 62 ,

equivalente

hallar

a 3  b3 a) 216 d) 2592

3

a) 13 d) -4

68. a  b  12 y a 2  b 2  60 ,

69. Si

Q

el

 b   a

n



y

xy  xz  yz  4; x 2  y 2  z 2  9

a2  b2 a) 2 d) 12

Calcular:

72. Si se cumple que: 

a2  b2  c2  2

(a  b  c)(1  ab  ac  bc)  32 .

c) 2/3

n


c)

77. Dadas las condiciones:

65. Si a  b  c  12 y a 2  b 2  c 2  100 ,

b) e)

82.


89.

90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100.

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112.


Academia Pre-universitaria “SIGMA” 

efectuar la división. Son cocientes exactos (su residuo es cero) y tienen la siguiente forma.

n ( n  2)

x n  an xa

n

CASOS DE UNA DIVISION Cuando se trata de dos monomios: Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coeficientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponentes Cuando se trata de dos polinomios: Para dividir polinomios existen varios métodos entre ellos: Método normal Método de los coeficientes separados Método de Horner Método de Ruffini TEOREMA DEL RESTO: Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar la misma. El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomios de la forma “ ax  b ”, es igual al valor numérico que adquiere dicho



de

términos

DIVISION ALGEBRAICA: La división algebraica es un operación que consiste en obtener un cociente q(x) a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo D(x) y divisor d(x). Quedara un resto o residuo r(x) cuando se trate de una división inexacta.

polinomio cuando se reemplaza en el por “

n

x a m n    Nº p r x p  ar

DIVISION ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES

b a

”. COCIENTES NOTABLES Son divisiones polinómicas cuyos resultados se obtienen mediante una regla y sin tener que


NOTA: El exponente común “n” obtenido después de adecuar las bases del cociente es igual al número de términos.

De la forma general

x a xa

x n  an xa

Sea la división

UN

tk

si

notable. Dicho

tk

t k  (signo ) x

nk

.a

 (m  1) x 3  2 x 2  4 x  m   1 x2  

, hallar el valor de “m” a) -1 b) 2 d) 1 e) 3/2

represente a

se calcula así:

5.

Donde:

 

n

se desprenden

Si “k” es par, el signo es negativo Si “k” es par el signo es positivo

6.

; Es un cociente notable cuando n es

x n  an xa

; Es un cociente notable cuando n es

impar TERCER CASO:

1.

Determinar 3

“m”

4 x 3  14 x 2  30 x  ( x  5 )B ,

hallar

B  x (4 x  5) b)

10x 2

c) -2x d) 7.

7x 2

e) 3x

el 5

residuo 4

Si

de

x  5 x  3 x  12m

2.

Hallar

,

sea

b) 1/2 e) -1/2 el

resto

de

la

a) 0 d2 3.

que

el

28

27

x

a) 25 d) 35

 2x

resto

tiene

la

(a 2  1)( x  1)  (3a  1) ,

Hallar 5a  3

bx

el

c) 4 resto

 abx 2b  7  10

a 3 x  3a  b

al

dividir

, sabiendo que

el dividendo es ordenado y completo. a) 1 b) 4 c) 12 d) 18 e) 20

división

Hallar el resto de: 2n 3n  2 2n n 2n n ( x  x  6)  ( x  x  1)( x  x  1)  3 4n 2n x  x 5 a) 0 b) 1 c) 5 d) 8 e) N.A. 4n

c) -1 de

la

división:

2

 3x  7x  9 x 2 b) 28 e) 45

8.

divisible

división:

9.

b) 1 e) -2

Obtenga

,

hallar el valor de ”a”. a) -3 b) 3 d) -4 e) 18

c) -3/4

( x  1)2  n  x 2 n  1 x2  x  1

la

3

36 x  17 x  4 x  18

; No es cociente notable

OBSERVACION:  Cuando el divisor es de la forma (x-a) todos los signos de los términos del cociente son positivos

c) -6

Si

forma:

para

2

por x-2 a) 1/3 d) -1/3

par CUARTO CASO:

x n  an xa



b) -1 e) 6

a) x

PRÁCTICA Nº 10 DIVISION ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES

; Es un C.N. para cualquier valor de

x n  an xa

  2 x  3 , hallar

9x 2  2x  4

PRIMER CASO:

“n” SEGUNDO CASO:

2 x  2x  1



los cuatro casos siguientes:

x n  an xa

c) -2

 2 x 4  x 3  3 x 2  mx  n 

RESTO 

Si

“m+n” a) -5 d) -7

k 1

a,x: bases del cociente k: termino buscado o pedido n: es el exponente que indica el número de términos del C.N. SIGNO: Cuando el divisor es de la forma (x-a); entonces el signo de los términos es positivo Cuando el divisor es de la forma (x+a); existen dos criterios:

Si

RESTO 

TÉRMINO

cualquier término de lugar “k” en el cociente

CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES: n

Cuando el divisor es de la forma (x+a) los signos de los términos del cociente son intercalados.

DETERMINACION DE CUALQUIERA DE UN C.N.

CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR UN COCIENTE NOTABLE  Las bases deben ser siempre las mismas y si no lo son hay que adecuarlo  Los exponentes de las bases del dividendo deben ser iguales  En todo cociente notable se cumple:


10. Hallar le valor de 5

c) 29


m  n  p , si la división:

4

12 x  9 x  14 x 3  mx 2  nx  p 3x 3  2x  6 es exacta


b) 30 e) 60


c) 40 18. En el desarrollo de

11. Al

dividir: 4

3

,

2

4 x  2x  1 residuo es: a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

el

c) 2

x8  1 x4  1 d) x 2  1 a)

82 63 24 3 ( x  2 )  4 ( x  2 )  5 ( x  2 )  3( x  2 )  7 E 2 x  4x  5

b) 2x+1 e) x-1

13. Hallar R

c) 2x-1

“m”,

 x 3  x 2  3mx  5     

si:

 2.R



x 1



a) 27 d) 9





x 2





c) 18

x 3  px  q 2

x  mx  1

es exacta,

E

15. Calcular

“m”

3

c) 1024 para

2

2 x  mx  2 x  1

“x+1” a) 5 d) -8

sea divisible por

b) -5 e) N.A.

16. Hallar

que

de:

 ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)( x x 2  7 x  11  a) 1 d) 4 17. Hallar

y

B

x y

4

x

A

b) 2 e) 5 “A+B” en

3

a) 53 d) 32

, si

c) 3 el

cociente

notable

 t6  t9   x 12y 28  t7 

b) 34 e) 48

x p  y 432 x3  y p

c) 84


en

t( 40 )

el

cociente

x y x3  y m

b)  x 9 y 351

x 9 y 351 d) x 9 y 315

x

45

c) 14

x

x  x 2 3

,

e) x 9 y 531

x a) 10 d) 6 27. Si

y

tiene

notable

n 3 2

c) 5

es un cociente notable,

calcular el valor de “n” a) 3 b) 5 d) 2 e) 1

c) 4

t (30  n )  y (29  n ) ,

a) y 14

hallar el término

(3 x  y ) n  y n 3

x

c)

c) 323

2

a)  16a n  1

x  1

b) 128 e) N.A

b) 8a n  1

c) 12a n  1


c) 256

( x  y )n  y n , xy

uno de sus términos es ( x  y )25 y 13 . Hallar el lugar que ocupa dicho término, contado a partir del final. a) 14 b) 15 c) 26 d) 40 e) 13 34. Si “A” es el penúltimo término del cociente de x 40  1 , señale el término que sigue en el 8

x 1

cociente notable: A  x 6 y 3  ... a) x 4 y 6 d) x y 6

tiene su desarrollo a x a y 70

a

2x  3

para a) 28 d) 64

b) x 6 y 4

c) x y

d) 15y 14 e) 15y 13 29. Hallar Z=q-3p-a, si el cociente notable

c) 35

32. Hallar el valor numérico del término de lugar ( x  3)36  x 36 , 29 del cociente notable:

6

c) 15y 3

como término central a) 354 b) 234 d) 435 e) 534

b) 30 e) N.A.

4

b) 4y 13

xp  yq x2  y2

x 4y

33. En el cociente notable

b) 7 e) 9

x 2n  2  y 3 n x n  1  y 2n  1

e) N.A.

x 17,5  y 8,75

a) 16 d) 42

30

el número de términos fraccionarios es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

n 2 2

d) 16 a n  1

31. Hallar el número de términos del cociente notable:

30. Encontrar el término quinto en el cociente a 6n  6  64 notable: n 1

507

a) x 8 y 351

b) 12 e) 16

independiente de

c) 16



t10

x 3  x 5

25. Al efectuar el desarrollo de

28. Si

grado absoluto 87, halla el número de términos de dicho cociente notable.  6)a) 48 b) 50 c) 52  54 d) e) 56

m

a) 10 d) 15

es exacto,

22. Si los grados absolutos de los términos del x nm  a m cociente notable van n

23. Calcular

x 75  x 125

del cociente notable

notable

b) 64 e) 81

disminuyendo de 3 en 3, y si resto

24. Hallar el número de términos fraccionarios

x n5  y n

( x  y )18  ( x  y )12 ( x  y )3  ( x  y )2

a) 32 d) 128


26. Calcular el número de términos del cociente

e) 1

x a

c) 10

el



c)

21. Si x  2 3  y  10 , calcular el cuarto término del desarrollo de

2 hallar E  (q  p  2)q  p

b) 4 e) 121

x6  1

indicar el total de sus términos de su desarrollo. a) 21 b) 14 c) 12 d) 17 e) 15

2

a) 1 d) 81

b)

20. Si el cociente

 x 3  x 2  3mx  5   

b) 21 e) 3

14. Si la division:

x y

, existe un

3

x  x  x 1

12. Hallar el resto de:

a) x+2 d) x+1

5

término cuyo grado absoluto es 128. Hallar la suma de los exponentes de x e y de dicho término. a) 93 b) 101 c) 112 d) 136 e) 128 x 14  x 12  ...  x 2  1 19. Reducir G  6 4 2

2

12 x  14 x  15 x  6 x  4

x 165  y 99


35. Si

t

4

e) N.A.

(1  51)1999  21999 (1  51)1999  21999

1 t  valor de Z  1999    1 t 

a) 1999 d) 25/2

b) 1999/2 e) 1

36. Si en el desarrollo de

, hallar el

2

 1999

1 t 1 t

c) 51

x 275  y m xp  y2

, el

término central es x q y 24 . Hallar el valor de m+p+q. a) 120 b) 223 c) 493 d) 193 e) 220

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 37. Hallar el número de términos del cociente notable:

x 4 n  12  y 4 n  3 x

n8

y

( x  y )100  ( x  y )100

a) 1 b) 2 c) 100 d) 200 e) 10000 39. Calcular el lugar que ocupa el termino de grado absoluto 85 en el cociente notable:

x

x

m 1

y

15 m  10

x

 y m 2

y

a) 1 d) 19

a) 7 d) 10

x

c) 18

x

10

c) 5



 , tiene como valor 

de

x  y 15

como

grado

b) 45

3

160

x

de:

48. Hallar:

2

x 15  x 12  x 9  x 6  x 3  1

270

a) 6 d) 11

c) 18

(n 2  m 2  1) si el t(25) del

.a

x 129m  a 86n x 3m  a 2n

termino

que

tiene

b) 32 e) 33

2n1

x

x a) d)

2n 2

x

n 2

n

x 1 x 2n  1

52. Calcular

el

x

x

2n 3

n 3

n

2

 ...  x  x  1

 ...  x 2  x  1

 1 c)

x

2n

4

a) 7 d) 12

1

número

de

términos

de

y3 c) 9

53. Siendo “n” un número impar, halla el cuadrado del término central del desarrollo

1  (p  q) n  (p  q) n    2  q 

a) (p  q) n 1

(p  q) c) 10

n1

(p  q)

b) n

c) (p  q) n (p  q) n 1 d)

(p 2  q) n

e)

c) 27


x 9m  y 8n

55. Si el C.N. originado al dividir

x 2n  y 4m

,

tiene “K” términos. Hallar “k” b) 15 e) 3

c) 9

notable:

a1

32  2a 8  15

a) 25 d) 96

b) 32 e) 48

c) 128

x 371  y 212

57. En el desarrollo de:

b) 8 e) N.A.

de

, el valor de:

c) 91

e) N.A.

x 2 .3 x  y.4 y 3 x 

x c  y2

56. Hallar la suma de los terminos del cociente

x

b)

x 75  y b

b) 73 e) 89

a

x

n1

es el termino central del

desarrollo del C.N. :

a) 7 d) 11

c) 31

considerado como C.N. , es igual a:

288

b) 9 e) 12

el

51. Reduce:

2

b) 54 e) 4

,

x y

24

a) 49 d) 85

c) 5

280

a) 30 d) 34

x 69  x 66  x 63  ...  x 3  1

a) 69 d) 16

y

54. Si:

a

a+b+c es:

(p 2  q 2 ) n1

absoluto 185 a) 50

4

t 60  x 56 y 708

50. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del CN

3

x tiene

desarrollo 4

, tenga en su

GA=252? c) 20

8

y

4p

b) 4 e) N.A.

x 4  y7

3

e) 1

c) 8

43. Hallar “n” si el décimo termino del desarrollo

x 3n  y 15n

x y

93

x 1 x6  x 4  x2  1 c) x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1 d) x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1

desarrollo de: b) 7 e) NA

a) 3 d) 7

6

numerico de 1024 para x=2. Calcular “n” a) 6 d) 10

y

5

x

2m

desarrollo como

 x  ...  x  x  1

5

división:

42. Si el tercer termino del desarrollo del CN:

1  ( x  2)  x  2  x1

12

x

x 148m  y 296p

cociente

47. Cuantos términos tiene el cociente de la

x a  y a 1

n

CN

x x  x x x x1

b) 11 e) 21

n

del

c) 9

155

lel

6

b)

b) 3 e) 9

termino

b) 15 e) 30

46. Hallar

a)

x ab  y ab  b

a) 1 d) 7

5º

b) 8 e) N.A.

término? El CN es

es

41. Si a, b   ; a  b  10 y Tc  x 15 , hallar el número de términos del cociente notable

el

, tiene como GA 32

x 4  y5

3n

x3  y 2

y

si 5n

a) 10 d) 25

a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13 40. El grado Absoluto del sexto termino del desarrollo del cociente notable 3n  9

“n”

4n


49. Determinar (m+p) con la condición que el

45. En el desarrollo del CN, existe un término de GA igual a 122. ¿Qué lugar ocupa dicho

( x  y )4  ( x  y ) 4

15 m  50

x


e) N.A

44. Halla

n 9

a) 14 b) 13 c) 12 d) 15 e) 16 38. Si y  2 2 y x  3 , hallar el valor numérico del termino central de :

E 



x7  y4

, un

termino que ocupa la posición “r” contando a partir del extremo, supera en GA en 12 unidades al termino que ocupa el lugar “r-2” contando a partir del primer termino. Hallar el GA de

t r 7

a) 250 d) 256

b) 244 e) 260

c) 254

58. Siendo “n” un número natural. Calcula el lugar que ocupa el termino de grado 135 en el 2 3

siguiente CN:

a) 16 d) 19

x 2n

2  22

 y 2n

x n 3  y n 2 b) 17 e) 20

c) 18

59. sabiendo

( x  a)

que 2

2

 A  x  b  B ; ¿Cuántos

Academia Pre-universitaria “SIGMA” terminos en funcion de A y B tiene el cociente notable:

(x  a) 32  (x 2  b) 16

?

a 2  2ax  b

a) 15 d) 16

b) 14 e) 10

c)

x 2 y2

2 3

en el CN:

2

2 3

(x  xy  y )  (x  xy  y ) 2

b) 2 e) 5

x 6  a m 5 a) 4 d) 7

8

x a

c) 3

del

c) 3

x 2 a) 100 d) -100

2

x 150  y 100

CN:

 y2

x 3  y2

x1

e)

x

a) 3 d) 81

,

b) 9 e) 243

para

c) -64

5

a) 3 d) 81

es notable:

b) 5 e) 25

del

a) 100 d) -100

x 700  y 300

CN

x

150

y

x7  y3

100

x 3  y2

a)

x1 x2  1 x2  1

b)

x1

e)

x

x 9  y 27

b) 9 e) 243

c) 10

polinómicas surgen diversos procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina factorización, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado. El termino factorización proviene de la palabra factor. Es decir en factorización vamos a transformar en factores (de una multiplicación indicada) un polinomio.

;

es:

a) 21 d) 31

b) 40 e) 42

d)

x 7  y6

, contando del ultimo.

 x 17 y 3 c)  x 16 y 3  x 17 y 2

b)

x 17 y 3

e)

x 16 y 3

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

74. c) 41

x 10  y 10 xy a) 7 d) 10

c) 5

73.

con

70. Hallar la suma de las potencias de las variables en el termino 8 del desarrollo de:

1

a)

c) 27

x 560  y 480

b) 4 e) 7

72. Hallar el termino 18 del desarrollo de:

3

respecto al primero de ellos?

para

x 48  x 46  x 44  ...  x 4  x 2  1  x 25  1 .  x 24  x 23  x 22  ...  x 2  x  1  x 2  1 

d)

Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre la teoría de los números, los cuales se apoyan en la parte algebraica. Como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones Fracciones, radicación, valor verdadero

b) -10 e) -1000

x 3  y9

a) 3 d) 6

x 21  y 21 xy

69. ¿Qué lugar ocupa el término que es idéntico en los CN:

c) 3

66. Reduce:

c)

FACTORIZACION PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS


35

c) 27

68. El número de términos de

x  10  y  10 1

3

b) 64 e) NA

n 3

a) 4 d) 6

30 b) 5 e) 25

b)

65. Hallar el valor numérico del termino de lugar

es notable.

62. Hallar le valor numerico del termino de lugar 25

d)

x1 x2  1 x2  1

x n 3  a 2

61. Hallar el valor de “m” si el cociente:

x m 5  a 4

92

64. Hallar le valor de “n” si el cociente:

2

2(x  y ) a) 1 d) 4


x y 1 x 56  x 52  x 48  ...  x 8  x 4  1  x 30  1 67. El número de términos en x 3  y 9 es: .  x 28  x 26  x 24  ...  x 4  x 2  1  x 4  1 

a)

c) 32

60. El coeficiente de: 2

Aritmética y Álgebra 63. reduce

75.

76. b) 8 e) 11

c) 9

71. Hallar la deferencia de los exponentes de las variables en el termino 10 del desarrollo de:

x 24  y 24 xy Ahora si podemos dar una definición formal de lo que es factorización. Factorización: Es la transformación de un polinomio en la multiplicación indicada de sus factores primos (o potencias de sus factores primos) sobre un determinado campo numérico. Antes de empezar con factorización de polinomios es necesario establecer el campo numérico en el cual se ha de trabajar. Generalmente, usaremos la Fracciones, radicación, valor verdadero

77.

78.

regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros entonces los factores primos serán polinomios con coeficientes enteros primos entre si. Si empezamos con un polinomio con coeficientes racionales, entonces los factores primos también deben tener coeficientes racionales. Normalmente se trabaja en el campo de los números Racionales (Q). CRITERIOS PARA FACTORIZAR

Academia Pre-universitaria “SIGMA” Existen diversos criterios para factorizar polinomios, entre ellos tenemos: METODO DEL FACTOR COMUN: Para aplicar este método tendremos en cuenta lo siguiente:  Observar si toda la expresión tiene uno o mas factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que esta elevado a la menor de las mismas  Se extrae el factor común y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los términos del polinomio entre el factor común extraído. El factor común puede ser de tres tipos:  Factor común monomio  Factor común polinomio  Factor común por agrupación F.C. Monomio: ab+ac=a(b+c) F.C. Polinomio: 2a(x+y)+3b(x+y)=(x+y) (2a+3b) F.C. por agrupación: ax+by+ay+bx Agrupando se tiene: ax+by+ay+bx (by+ay)

=(ax+bx)+ =x(a+b)+y(b+a) =(a+b)(x+y)

 METODO DE LAS IDENTIDADES: Se le llama así por que utiliza los productos notables estudiados anteriormente.  METODO DEL ASPA SIMPLE: Se utiliza para factorizar trinomios de la ax 2  bx  c forma: x 2n  x n  c Procedimiento: Fracciones, radicación, valor verdadero






Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplicadas nos da dichos términos  Luego multiplicamos en aspa y sumamos estos productos. Este último debe coincidir con el término central.  Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado según el ejemplo. Ej: Factorizar:

6x

2

- 2

2x x

-1 = -1x +2 = 4x 3x

 ASPA DOBLE: Se aplica para factorizar polinomios de la forma: P ( x ; y )  ax 2n  bx m y n  cy 2n  dx m

Es decir se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2 o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar los términos del polinomio de forma conveniente; si falta algún término se completa con coeficiente cero. También el método del aspa doble se aplica a algunos polinomios de cuarto grado. Veamos con un ejemplo:

2

 19 x  13 y  10  ( 2 x  y  5 )( 3 x  3 y  2 )

Se observa que el nuevo término de 2º grado es 10x 2 , luego hallamos la diferencia entre el término de 2º grado del polinomio y el nuevo: 19 x 2  10 x 2  9 x 2

P ( x )  Ax 4 n  Bx 3n  Cx 2 n  Dx  E

Este nuevo resultado se reemplaza en el Se descompone los polinomio y se procede de la siguiente términos extremos en manera: sus factores primos con signos adecuados.  Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene un término de segundo grado.  Se halla la diferencia entre el término de 2º grado del polinomio y el encontrado.  ey n  f  Este nuevo resultado Luego la expresión factorizada será: reemplaza al termino de 2º grado del polinomio E  ( x 2  9 x  9)( x 2  x  1)  Luego se procede verificar los resultados de los términos  METODO DE LOS DIVISORES medios mediante aspa simple para cada lado. Veamos un ejemplo: DIVISORES DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE Ej Factorizar: POSIBLES CEROS

Factorizar

M  6 x 2  3 xy  3 y 2  19 x  13 y  10

Acomodamos convenientemente y comprobando los valores:

 3 xy  3 y

 ASPA DOBLE ESPECIAL: Se usa para factorizar polinomios de cuarto grado de la forma general:

2x2 + 3x

Entonces la factorización será: 2 x 2  3 x  2  (2 x  1)( x  2)

Ej:

Luego los factores de M serán:



RACIONALES

E  x 4  10 x 3  19 x 2  8 x  9 Descomponemos convenientemente:


=

DIVISORES DEL PRIMER COEFICIENTE

BINOMIOS O EVALUACION BINOMICA: Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admiten factores de primer grado de la forma general (ax+b).



Se basa en el criterio de divisibilidad de polinomios y por lo tanto usa el criterio del teorema del resto en forma inversa. El procedimiento es el siguiente:  





Se determinan los ceros del polinomio Deduces el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de divisibilidad algebraica visto en temas anteriores: “Si un polinomio P(x)” se anula para x=a o P(a)=0, entonces dicho polinomio tendrá un factor (x-a)”. Este (x-a ) es el factor que estamos buscando El otro factor lo determinas utilizando el método de Ruffini, el cual emplearas tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general te recomiendo llevarlo hasta un cociente de cuarto grado para poder aplicar el aspa doble especial o a uno de segundo grado para aplicar el aspa simple. Cuando los términos del polinomio son positivos, solamente pruebas los valores negativos.

Para hallar los posibles ceros del polinomio se procede de la siguiente manera: 

SI EL POLINOMIO TIENE COMO PRIMER COEFICIENTE LA UNIDAD

En este caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del termino Fracciones, radicación, valor verdadero

independiente con su doble signo (  ) Ej: Si se tiene el siguiente polinomio: P ( x )  x 3  6 x 2  11x  6

Dirás entonces que los posibles ceros estarán determinados por los divisores de 6: 1;2;3;6;



SI EL PRIMER COEFICIENTE DEL POLINOMIO ES DIFERENTE DE LA UNIDAD. En este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.

Ej:

Sea

el

polinomio

P ( x )  6 x 3  11x 2  6 x  1

Los divisores de 1: 1 Los divisores de 6: 1; 2; 3; 6 Los posibles ceros serian: 1 ; 

1 1 1 ;  ;  2 3 6

MÁXIMO COMUN DIVISOR Y MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO  MAXIMO COMUN DIVISOR: Para determinar el MCD se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPONENTE  MINIMO COMUN MULTIPLO: Para determinar el MCM se factorizan las expresiones y se forma el producto



de factores comunes y no comunes con su MAYOR POTENCIA. Ej: Hallar el MCD y el MCM de A y B ya factorizadas: A  ( x  1) 7 ( x  8) 5 ( x  5) 3

P  18(ab )2  13mn( 4ab  1)  6(mn  1)(mn  1

Es: a) 4 d) 0

b) 3 e) 2

c) 1

6. La suma de los coeficientes de uno de los factores cuadráticos de SOL: E  x 4  2 x 3  x  6 es: MCD ( A : B )  ( x  8) 3 ( x  5) 3 a) 0 b) 1 c) 2 MCM ( A; B )  ( x  1) 7 ( x  8) 5 ( x  5) 9 ( x  1d) ) 3 e) 4 B  ( x  1)( x  8) 3 ( x  5) 9

PRÁCTICA Nº 11 FACTORIZACIÓN Y PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

1. El

nº

de

factores

primos

de

3 3 3 G  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x )  2( x  y )( y  z )(z  x )

es: a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

2. El promedio de los términos independientes de los factores de: E  (a 2  b 2 )( x 2  1)  2(a 2  b 2 ) x

es: a) a+2b d) a 2

b) a e) b 2

c) b

3. Hallar el número de factores primos del MCM ( x 8  x 4  1; x 4  x 2  1; x 2  x  1)

a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5

4. El número de factores primos de G  a 5 bc 3  a 3 b 5 c  ab 3 c 5  a 5 b 3 c  a 3 bc 5  ab 5 c 3

es: a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

7. La suma de los factores primos de E  x 6  x 2  2 x  1 es: a) 0 b) 2x+2 c) -2x-2 d) 2x 3 e) 2x 3 -2

c) 5

5. La suma de los términos independientes de los factores de: Fracciones, radicación, valor verdadero

8. Un

factor

de

E  28 xy  44 y 2  35 x  40  23 y

es: a) 4y+5 d) y 9. Uno

b) 4y-5 e) 5 de

c) y+5

los

M  3( x  2 y  5)

factores 2

de

 2 x  4y  5

es: a) 2x-4y-15 b) x-2y-10 d) x-2y-4 e) x-2y+4

c) x-2y

10. La suma de los términos independientes de los factores de

G  4 x 28  13 x 14 y 14  10 y 28  18 x 14  27 y

es: a) 3 d) -9

b) 6 e) 8

c) 9

11. El coeficiente lineal de uno de los factores de P  x 4  2x 3  5 x  2 es: a) 1 b) 2 c) -3 d) 3 e) 6

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 12. Un

factor

de

P  ( x 2  xy ) 3  ( xy  y 2 ) 3 es:

a) xy-1 c) x+y d) x 2  xy  y 2

b) xy+1

M  (a  b  1)

es: a) a-b c) c-a d) a+2b+3c

de

factores: es:

d)

e) a+2b-c-3

5 y 2  xy

20. El número de factores primos de R  x 6  2x 5  3x 4  4 x 3  3x 2  2x  1 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 21. La

c) 3

suma

de

los

factores

de

Q  x 4  x 3  7x 2  x  6

los

factores de Q  m 4  4m 2  117 es: a) m+3 b) m+9 c) m+13 e) 3m

b) 7 e) 8

a) 4x b) 4x-1 c) 4x+2 d) 4x+3 e) 4x+1 22. La suma de los coeficientes de los factores de la expresión: E  1  x ( x  1)( x  2)( x  3) a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 2 23. La suma de los coeficientes de un factor primo de: P  6 x 2  7 x 2 y  3 x 2 y 2  5 xy  4 x  2


c) 18

a) 1 d) 3

26. La suma de los coeficientes de los factores lineales de M (t )  t 4  5t 3  7t 2  29t  30

a) 9 d) 0

e) 2 xy

15. La suma de los coeficientes de uno de los factores de : 2 2 R  ( x  4 x  2)( x  2)  5 es: a) 1 b) 4 c) 2 d) -4 e) 6

d) m+6

los

a) -9 d) 6

18 x 2  14 y 2

b) a+b+c

b) 2 e) 5

de

de

 (a  b  1)(c  b  1)  c  bc) 82x 2  y 2  y

P  x 5  x 4  13 x 3  13 x 2  36 x  36

16. Uno

suma

c) -3

a) 3 x 2  2 y 2  xy b)

14. El número de factores binomios de es: a) 1 d) 4

b) 9 e) 4


P  81x 4  62 x 2 y 2  49 y 4

factor 2

a) 7 d) 2 19. La

e) 3

13. Un


b) 30 e) 6

factor

33. Calcular la suma de coeficientes del MCD(A;B), si A  x 3  3 x  2 y a) 0 d) -1

b) 1 e) -2

c) 2

27. Un factor de M  a 5  a  1 para a=3 toma el valor de a) 8 b) 18 c) 27 d) 14 e) 13

34. Después de factorizar x 4  6 x 3  5 x 2 , señalar la suma de los términos independientes de los factores a) 5 b) 6 c) -6 28. La suma de los factores primos de: d) -5 e) N.A. N  ( x  3)( x  2)( x  1)  ( x  1)( x  2)  ( x  1) 35. Indicar un factor de a) 2x-4 b) 3x-5 c) 4x-6 d) 5x-7 e) 6x-8 D  ( x 2  4 x  2)( x  2)2  5 29. La suma de los coeficientes de uno de los factores cuadráticos de la expresión: F (z )  z 4  z 3  2z 2  2z  4

a) 1 d) 7

b) 3 e) -2

c) 5

30. Sean

las

expresiones ;

A  5 x 3  5 x 2  2x  2

B  2x

3

 2x

2

y

 2x  2

C  x4  x3  x2  x

P  (x )  x

 3( x )

, hallar el MCD

 3x

a) x+1 d) x+3

b) x-2 e) N.A.

c) x-3

36. Cuantos factores de primer grado tiene el polinomio R  x 2 y  xy 2  x 2  y 2  2 xy  x  y

de


c) 2

B  x 4  2x 2  1

c) 16

(A;B;C) es: a) x+1 b) x+2 c) x-1 a) -1 b) 2 c) 3 d) x-3 e) ( x  1) 2 E  abc (a  1) x 2  b 2 c 2 (3a  5) x  10b 3 c 3d) 4 e) 5 a) ax-2 b) bx-2ac 24. Un factor de: 31. La suma de los coeficientes de los c) bx-3ac 2 2 2 2 2 2 d) ax+5bc e) cx+2ba P ( x; y ; z )  ( x  y  z )  4y z factores de P ( x )  x 5  x  1 a) x+y b) x+z c) y+z a) 1 b) -2 c) 2 18. La suma de los coeficientes del d) x-y-z e) x-z d) 3 e) 0 termino “x”, tomando los factores de: 25. El termino independiente de uno de 32. Indicar la suma de coeficientes de 2 2 2 W  12 x  xy  6 y  16 yz  10 xz  8z  26 z  19 x  27 y  21 los factores de: un factor de es: 321 2 320 320 N  (2m  3n  p ) 2  14 m  21n  7 p  18 es: 17. Un

b) -2 e) 0

1


a) 1 d) 4

b) 2 e) N.A.

c) 3

37. Factorizar: T  ( x  2)( x  2)( x  3)( x  1)  3 e indicar la suma de los coeficientes de uno de sus factores a) -3 b) -2 c) -10 d) 1 e) N.A. 38. Indicar

un

R  ( x  4)( x  5)

a) x+5 d) 2x+3

factor 4

b) x-3 e) N.A.

 (5  x )

de 5

 x 5

c) x-4

39. La suma de los coeficientes de uno de los factores de P  x 4  3 x 2  1 a) 0 b) -1 c) 3 d) 4 e) x+2y



40. La suma de los coeficientes de los factores de W  x y y x  xy  x y  1  y x  1

a) -3 d) -4

b) 3 e) 18

c) 4

A  x 2  4x  3 ;

41. Si 2

B  x  4x  3 ; y C  x 4  10 x 2  9 3 2 D  x  9 x  x  9 ; entonces no es un factor de MCM(A;B;C;D) a) x+1 b) x-3 c) x-1 d) x+2 e) x+3

a) a+1

b) a-1

d) a 2 +1

e) (a+1)/(a-1)

47. Luego P  x

de 4

57. La suma de los coeficientes de uno MCM [ M ( x ); N ( x )]  ( x 2  1) 2  4 x 2 de los factores de MCD[ M ( x ); N ( x )] 4 3 2 E  x  10 x  19 x  18 x  9 6 2 6

y N ( x ).M ( x )  ( x  1)  4 x , hallar el MCD[M(x);N(x)], e indique cuantos factores lineales tiene. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

 (b  1) x

factorizar: 2

2

3

4b 2  5

b) 1

c) 2-b e) -2+b

P  24 x 3 y 2  60 x 2 y 2  6 xy 4  6 xy 3  36 xy 2

a)

b) 4 x 2  y  1

3x  y 2  5

c) 2 x  y  3 e) 2 x  y  2 43. Si

d) 3 x  y 2  1

E  16 x 3  20 x 2  8 x  4

P ( x )  x 3 (3 x  1) 3  (6 x  1) 2  15

y

F  16 x 3  12 x 2  6 x  2 ;

Hallar la suma de los coeficientes cuadráticos del MCM(E;F) y el MCD(E;F). a) 8 b) 12 c) 44 d) 34 e) 15 44. Hallar el valor numérico cuando x=1, para uno de los factores lineales de la expresión E  x 6  2x 3  3

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

45. Al factorizar:

48. La suma de los coeficientes de un factor lineal de

c) 2 a4  a3  a  1

(a 2  1)(a 2  1  a )

se obtiene: Fracciones, radicación, valor verdadero

; es: a) 0 d) -17 49. ¿Cuántos segundo Z (x )  x 7

a) 1 d) 3

b) 12 e) 11

c) -10

factores primos de grado tiene 5  2x  1 ? b) 2 c) 0 e) 4

50. Siendo (b+1) y (a-1) cuadrados perfectos, factorizar: E  x 6  (a  b  1) x 4  (ab  2a  1) x 2

y señale aquel que no es un factor de E. a) x  b  1 b) x  a  1 c) x  b  1 d)

x2 1 e) x 2  1  a

a) 1 d) 4

M (x; y ; z)  x (x

es: a) 0 d) 5

2

 yz )  z ( x

b) 1 e) 6

2

y

2

)y

c) 2

3

es: a) 3 d) 6

MCD ( x

si

a) 1 d) 4

b) 6 e) 5

c) 5

4

 x

3

 6x

2

 5 x  1; x

b) 2 e) 5

4

 7x

2

 1)

c) 3

60. Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores cuadráticos de P(x)  4x 4  1

a) 2 d) 5

:

P ( x )  ( x 2  4 x  2)( x 2  4 x  6)  4  a( x  2) c

a) 7 d) 4

b) 1 e) 7

59. Indicar el coeficiente del termino lineal del

factorizar 2 E  zw ( x  y )  xy ( z  w ) 2 uno de sus factores es: a) xz-yw b) xz+yw c) wx-zy d) zy-wx e) 17 “a+c”,

c) 2

P  x 4  y 4  2 xy ( x 2  y 2 )  3 x 2 y 2

53. Al

54. Calcular

b) 0 e) 6

58. El producto de los coeficientes de uno de los factores primos de

52. La suma de los coeficientes de un factor de

 (b  2b ) x  b (1  b )

, hallar el valor numérico entero de un factor primo para a) 0 d) 3b


51. Si

-1

46. Hallar la suma de los coeficientes de un factor de: E=(x+1)(x-2)(x+2)(x+5)-13 a) -9 b) -7 c) -5 d) 5 e) 9

2x  1 

42. Indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes en:

c) a

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 2

b) 3 e) 6

c) 4

c) 2

61. Hallar la suma de los dos factores de tercer grado que se obtienen al factorizar X 6  X 2  2 X  1 55. Factorizar: a) 0 b) 2x+2 c) -2x-2 2 E  6 x 4  5 x 2 y  25 y 2  5 yz  23 x 2 z  20 zd) e) 2 x 3  2 2x 3 e indicar la suma de los coeficientes de uno de los factores primos. 62. Luego de factorizar P  x 17  x  1 a) 1 b) 2 c) 2 a) 11 b) 13 d)4ab  1 e) 5 ab c) 14 d) 15 e) 16 56. Si P  x 2  x  2 ; Q  x 2  x  2 ; R  x 4  5x 2  4 MCM (P ; Q; R )  x

y 8

 Ax

6

 Bx

4

 Cx

2

, hallar A+B+C+D a) 0 d) -2

b) 1 e) 2

c) -1


63. Hallar la suma de los coeficientes de  D un factor de R ( s )  ( s  3) 5  81s a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 64. Si


P(x)  x 4  x 3  x 2  x  1;

Al

x5 1 x 1 6 x 1 x5 1 d) 2 x 1 65.

Al

b) x-1

a) 4x d) 4x+2

71.

x5  1 e) x 1

66.

b) -8 e) 34

73.

c) 3

a)

d)

69.

b) -2 e) 1

x 25  x 2  1 ,

número

b)

e)

x2  x  1

79.

2

b) x+3 e) N.A.

2

80.

b) -2 e) 2 el

MCD

de

los

76.

c) x+2

hallar

b) 3 e) -12

81.

Indicar el coeficiente del termino lineal del

e indicar

b) 4 e) -3

c) 3

d)

b) 4x-6 e) 5x-2

P  x7  x5  1

uno de los

b)

1 x  x2 e)

2

Cual de los siguientes trinomios es un factor de:

a) a+b+5 b) a+b+70 c) a+b-5 d) a+b-70 e) N.A.

c) 3x-7

88.

Descomponer 2

Factorizar 2

c) x+y+1

1  2x  x 2 c) 1  2 x 1 x  x2

1  2x  3x 87.

b) x+y-1 e) N.A.

M  a 2  2ab  b 2  2a  2b  35

 15 y

2

 19 xy  18 x  29 y  12

a) (2x-2y-3)(2x+y+1) b) (3x+y-3)(2x3y+4) c) (2x+5y-3)(2x+3y-4) d) (3x-y+1)(6x-9y+2) e) (2x+3y-4)(3x+5y-3)

MCD( x 4  x 3  6x 2  5 x  1; x 4  7x 2  1)


Al factorizar: factores es: a)

factorizar:

R  6x c) 6

86.

Factorizar:

a) 3x-5 d) 4x+6

82.

3 3 Al factorizar: E  x  y  3xy  1

a) x+y d) x-y+1

P( x )  ( x 2  3 x ) 2  22 x 2  66 x  72

es termino del

85.

c) 3

de los factores siples, uno de los terminos independientes

y

el

b) 2 e) 18

a) -2 d) 5

polinomios

d) ( x 2  7x  1)( x 2  6x  2) e) N.A.

E  x 5  4 x 4  10 x 2  x  6

c) -4

MCM[P( x ); Q( x )]

a) 2 d) 12

c) 4

b) x-1 e) 3x

a) 1 d) 4

c) x+4

independiente 2

de:

P(x )  x 6  6x 4  5 x 2  2x 3  6x  1

( x  1)(x  3) ,

2

factor

MCD(x 2  x  12; x 2  9; x 2  4 x  3)

Q(x )  x  cx  d de

un

El

P(x )  x 3  4 x 2  ax  b

x 2  3x  2

b) ( x  1)(x  2)(x 2  1)

Calcular la suma de los coeficientes de un factor de

Si

Factorizar:

c) ( x 2  7 x  1)(x 2  6 x  2)

 2x 3 y 4 z

a) x+1 d) x-2

c) 24

Hallar la suma de los coeficientes de un factor de:

75.

P  2abc  ac  b c  bc  a b  a c  ab b) 3 e) 6

b) 72 e) 36

a) 5 d) 4

dando uno

factores 2

Indicar 3

c) 1

a) ( x  1)( x  12)( x 2  x  1)

P( x )  x 5  x 2  2x  2

P  a 3  3a 2  5ab  2b 2  b 3

es: a) 2 d) 5

378. 7

b) 3 e) 5

S  x 4  13x 3  45 x 2  20x  2

d) ( x 2  2x  3)(x 4  x  1)

factorizar

3

de 2

74.

 3 x  1)

84.

2

e) N.A. de

a) x-3 d) x-2

c) -3

x2  x  2 c) x 2  2x  1 x2  1

El

c) 4

es

Señale el coeficiente de x 2 que se obtiene en un factor de:

Factorizar G  de sus factores

b) ( x

2

c) ( x 3  x  1)( x 3  x )

b) 3 e) 6

a) 5 d) 96

a) 4 d) 2

P  1  x( x  1)(x  2)(x  3)

 1)  a(2 x  a)

el número de factores primos de la expresión resultantes es:

P( x )  x 6  x 5  6x 4  5 x 2  1

68.

2

¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el polinomio

P  (a 2  x 2 ) 2  (1  a 2 x 2 ) 2 ?

Factorizar

R  4 x 2 y 3 z 2  8x 3 y 4 z  5 x 4 y 8 z 2  2x y z

tiene k factores lineales. Hallar el valor de k b) 2 e) 0

83.

c) 3

a) (x 3  x 2  1)( x 3  x  1)

factorizar

Luego

c) 22

polinomio

a) 3 d) 5

Al

72.

2 , se tiene

P(x)  x 4  6x 3  5 x 2  42 x  40

67.

77.

c) 4x+1 e) 4x+3

a) 2 d) 5

polinomio:

El

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

el número de factores es:

P  4 x 4  81y 4 , y evaluar uno de sus

a) 8 d) -2

b) 4x-1

E  ax (ax  2)  ( x

el

factores para: x  y 

a) 1 d) 4

la


suma de sus factores es:

c)

factorizar

descomponer:

E(x )  x 4  x 3  7x 2  x  6 ,

hallar el MCD[ P ( x ); P ( x 2 )] a)



3

en 2

2

2

factores: 2

Q  x y  x y  x y  x  y3  y2  dar como respuesta el factor primo repetido. a) x-1 d) y-1

b) x+1 e) x+y

c) y+1


hallar

90.

a 2  ab  b 2

2

Eb a

a) a d)

a 4  3a 2 b 2  b 4

E

Simplificar

Aritmética y Álgebra y

2

93.

b) b

a2 a

Hallar (b  c) , polinomios

si

tienen

d) x-3

e) ( x  1) 2

Uno

de

los


c) x-1

factores

a) a+b d) a+c-2

los

P( x )  ax 4  bx 3  (a  c )x 2  bx  c

94.

b) a+c e) a+c+2

c) b+c

Al

99.

factorizar

, la suma de los terminos de sus factores Q( x )  4ax 3  (4b  5a)x 2  (4c  5b)x  5cprimos es: y se cumple la condicion: a) 5x-y b) 5x+y c) 10x-2y 2 P( x )  Q( x )  MCD [P( x ); Q( x )] d) 10x+2y e) x

91.

b) 8 e) 81

c) 16

95.

Hallar el valor de “a” para que la suma de los factores primos del MCM sea el doble del MCD

de

A  x 2  ( 4  a )x  4 a

96.

B  x  8x  16 a) 1 d) 4

92.

las 3

c) 3

Cuantos a) 2 d) 3

expresiones:

2

A  5 x  5 x  2x  2 ;

B  2x 3  2 x 2  2 x  2 ; C  x4  x3  x2  x ;

de

b) x+y e) z-y factores

c) x-z

lineales

posee

G  m 2 (m 2  3n 2 ) 2  n 2 (n 2  3m 2 ) 2

b) 2 e) 5

Sean

factor

F  x(x  y  w )  z( y  z  w ) es: a) x+z d) y+z

y

2

Un

97.

b) 4 e) 1

c) 6

Factorizar y dar el grado de uno de los factores: P(z )  z 10  z 2  1

hallar

el

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

de

factorizar:

L(a, b, c)  (a  2b  3c)(2a  4b  8c  3)  3c

a) 34 d) 32

E  9(x  y) 2  12( x 2  y 2 )  4( x  y) 2

,

a) 27 d) 25

Luego


Indicar el valor numérico del factor con menos términos para a  2, b  4, c  6

de:

es:

b2 se

b) x+2

E  (a  b) 2  (b  c) 2  2(a  b)(b  c)  a  c  2

c) ab e)

a) x+1

b) 35 e) 41

c) 36

La diferencia de sus factores primos de:

k(x )  x 4  (1  x 4 )(1  x 2 ) 2 , es: a) x d) 4x

b) 2x e) 5x

c) 3x

100. Factorizar el polinomio: P(x )  ( x  1)( x  3)(x  4)( x  6)  48 . Indique el número de factores primos: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

b) e)

c)

b) e)

c)

b) e)

c)

101. a) d)

102. a) d)

103. a) d)

MCD(A;B;:C)

FRACCIONES ALGEBRAICAS Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denominador donde este ultimo es a lo menos de primer grado. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES: Para simplificar una fracción se factoriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunes que se aceptan.


OPERACIONES ALGEBRAICAS

CON

FRACCIONES

SUMAS Y RESTAS : Tener presente lo siguiente:  Simplificar las fracciones si es necesario.  Se halla el MCM de los denominadores  Se divide el MCM entre cada denominador y el resultado se multiplica por su respectivo numerador  Finalmente se simplifica la fracción obtenida.

MULTIPLICACION Y DIVISION:  Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y denominadores y luego multiplicar estos entre si.  Para dividir una fracción en otra se invierte la fracción que actúa de divisor y se procede como en una multiplicación.

RADICACION

RADICACION ALGEBRAICAS:

EXPREXIONES

Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”, llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad “A” llamado radicando. En general: n Donde:


DE

A  r  A  rn n: índice A: Radicando r: raíz



: signo radical

A2  B  C Donde C es la raíz cuadrada exacta, si esto es cierto, entonces:

RAIZ DE UN MONOMIO: Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raíz del signo luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentes de las letras entre el índice de la raíz.

A B 

AC  2

AC 2

A B 

AC  2

AC 2

RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO: Explicaremos el procedimiento con un ejemplo: Hallar la raíz cuadrada del siguiente polinomio:

x 4  8 x 3  26 x 2  40 x  25 Sol:

Academia Pre-universitaria “SIGMA” Se racionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador, es decir:

A a

A

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equivalente que sea racional. Se llama irracional cuando esta presenta una raíz. Se presentan los siguientes casos: CASO I: Cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:

A

entonces

Son aquellas en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por las operaciones de sumas y restas; son de la forma:

A

B

Los radicales de esta forma se pueden transformar en radicales simples teniendo en cuenta los siguientes casos: CASO I:

a

Procedimiento: Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión de la forma: n

an k Que recibe el nombre RACIONALIZANTE. Es decir: n nk

A

n k a



A

n k a


a

n nk a

A a b Procedimiento:

a b



A a b a b

PRÁCTICA Nº 12 FRACCIONES, RADICACION, RACIONALIZACION Y VALOR VERDADERO

3 2 3 3 a  ab  b2

1.

a 2 3 ab 

3

b2

ó

3 a 3 b

Respectivamente, es decir:

A 3a 3b



3a 3b

.

2.

n

tiene

Si

2x 2  3x  7 3 2

A 3



3

3 2

3

3

3.

Si

3

3

 b  (a  b )(a

2

A B C   x x 3 x 4 c) 6

3 x 3  14 x 2  17 x  2 Ax  1 xB   x 1 x3  5x 2  9x  5 x2  4x  5

hallar “A+B”

3 a 3 b a) -2  . d) 1 3 a 3 b 3 2 3 3 3 2 3 3 a  ab  b2 a  ab  b2 4. Si A(3 a 3 b )

A





, hallar el valor de “A+B+C” a) 4 b) 2 d) 8 e) 9

a 3 ab  b2

A.( a 2 3 ab  b2 ) ab

2

x  7 x  12 x

3

a 3 ab  b2

Ó en todo caso:

FACTOR

A an k a

P  ax 4  bx 3  11x 2  2 x  1

Multiplicamos el numerador y denominador por

a



Si

raíz cuadrada exacta, calcular “a+b” a) 30 b) -30 c) 35 d) -35 e) 1

Procedimiento:

b) -1 e) 2

c) 0

5 x 2  19 x  18 a b c    x ( x  3)( x  2) x x  3 x  2

a b

NOTA: Recordar que: de

CASO II: Cuando el denominador presenta radicales de índice 2, y son de la forma

Radicales de la forma

A B En este caso se podrá transformar en radicales simples solo si:

.

a b

A

ó

A

n k

.

b

Radicales de la forma:

RACIONALIZACION

RADICALES DOBLES:

a

3a 3b

3

x 4  8 x 3  26 x 2  40 x  25  x 2  4 x  5

A



b

Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indeterminación.

CASO III: Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyos radicales son de tercer orden o de la forma:

CASO II:

A  B  2 A.B  A  B Es decir buscamos que la suma de dos números sea el producto dentro de la otra raíz.


; hallar el valor de “a+b+c” a) 2 b) 3 d) 5 e) 17

2

 ab  b )

a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )

VERDADERO VALOR Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar operaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado.


5.

Simplificar: a) 2 d) x-4

F 

c) 4

(1  x 2 ) 4  (1  x 4 ) 2 (1  x 2  x 4 ) 2  x 4

b) 1/2 e) x+4

c) x-2

;


E .F  ( x

Si

2

 1)

2

MCM (E ; F )  ( x  1) 2 MCD (E ; F )

,

Aritmética y Álgebra y

S 

hallar

a) 1 d) 4

x ( x  y )(z  x )

x2 1 x 1 d) x  1 7.

b)

c)

13. Reducir:

c) 3 E 

b) 3 e) -2

 



20. La



E  4( ax 

b) y

d) 2xy

e)

a) 89 d) 356

E

15. Si

; hallar el valor de

by 

cz 

b) 178 e) 445

 

;



si

c) 267

d)

c) xy 2

x 1

9.

Reducir:

G

20

x

10

 1)

( x 10  x 5  1)



(x

20

15 10  2x x  1) 10 5 (x  x  1)

; dando la suma de coeficientes. a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

10. Si

5

3

a  2b

2

;

2b 2  a 2  2 a 2  2 b 2

2

P  ( x  16)G  x a) -2 d) 5

b) -1 e) -25



b) 3 e) 1

( a  b )( b  c ) 

2

;

hallar:

G

3

 

c) 0 a) 6

2 

3 

bc 

d)

( b  c )(c  a )

2

1/ 2

2

c) -

3

11. Efectuar

4ab  2b 2  12a 2 b  2a 7a L   2 2 ba 3(a  b)18. 3(a  b ) a) -1 d) 1

b) 0 e) 1/3

c) 3

12. Simplificar


32

b)



a) 35 d) 17

2

2(

3 )(

32

x

y 1

5

E m

18.3 4

e)

2  1.4 m

2  1.8m 3 

c)

b) 63 e) 14

2

m

2. 2

 

b) 2bc-a e) 1

( a  b )(c  d  b ) b

;

8

7  2 10

a) 2 d) 6

2

2

6 

4



27 ) 

c) 32



5 

2(

c) 0

4



84 3



1

11  2 3

c) 4

3 )(

7 

2.

45 

2.

6 

6



27 



2

a) 108 d) 138

b) 118 e) 148

c) 128



c d







( a  b )(c  d  a ) a



xx

G  

hallar

el

m  radicales



de

E  ( A  1)1  (B  1)1 a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4


m  radicales

 

; si x 3  x a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

31. Si L  y

valor



x x x ... x . ... x             

c) 3

3 )1



 

A  (2 



x



c) 3

b) 2 e) 5

x



2

3)

3

30. Hallar

( a  c  d )(c  d  b )

1 ;

hallar

E

; hallar

E  4 97  56 3 (2 3  3) ;

E

;

7

b) 3 e) 0

x+y=c,

c) 2ac-b

b) 2 e) 4

a) 1 d) 4

45 



7  5  b) -1 e) -25

3



2a  bc   c 

3  y 3 )c  

5

29. Si

 a ; x2  y2  b



a) 2ab-c d) 2ab

calcular

16

7 

3

3

28. Simplificar:

b) 2

2

1

P H  a) -2 d) 5

8.3 4

2  1.2m

a) 1

24. Si

37

2

es:

2( 15  7 )

H

27. Si

A

B  (2  5 

e)

a) 1 d) 0

Resolver 

8

semejantes

12. 4 3

25. Si

G  

radicales

y 2

23. Resolver si: ac+ad+bc+bd+ab=0

 2 3 2 3    3 1 3  1   

e)

 x 1

3

hallar ( x

ca

( a  b )(c  a ) 

3

2



c) 6 32 5

los y

22. Si x  y

b) 6

14

x

E  

17. Resolver

2

 x 1

c) 0

 2. 2

3

e)



2

16. 4

E 

2

2

c) 4

b) 2

2

d)

x

de

43 4

d) m

2

ab 

a) -2

c) 3

x  25 x  x  25 x 5  16 x 3  x 2  16

G

G 

x

21. Calcular

2

hallar E  a) 2 d) 5

dw )

suma

expresar el denominador resultante a) 13 b) 12 c) 14 d) 7 e) 5

2

x

b) 2 e) 6

c)

16. Simplificar (x

a)

xy  0 a) x

1 1 1  1   2 2 x x



a) 1 d) 3

y .3 2

Si

x y z w    a b c d

1 x

c) 1/n

2 2  x2  1  y 2  1          x  1  y  1  2 E          x y y x xy

c) 1

( x  y  z  w )(a  b  c  d )  7921

1

y

( 2  3  5 )2

19. Simplificar

b) 0 e) n+1



1

G

26. Racionalizar

14. Resolver:

y 2 z 2 ( y 2  b2 )(z 2  b 2 ) ( y 2  c 2 )(z 2  c 2 )   b2c 2 b2 (b2  c 2 ) c 2 (c 2  b2 )


( z  x )( y  z )

(n  1)(n  1) P 2 (n  1)(n 4  n 2  1)

a) 1 d) n

e) ( x  1) 2

a) 5 d) -3

y



( y  z )( x  y )

6

Reducir: Q

8.

x2  1



Academia Pre-universitaria “SIGMA” z

b) 2 e) 0

MCD(E;F) a)

y

c) 7

20 6  49 

4

441  180 6

; hallar L  3 6 b) 4 e) 1/3

a) 21 d) 8

32. Hallar

el

1 11  2 x

c) 6

valor



de

3 7  2 10

“x”



en

4 84 3


b) 20 e) 50


c) 30

d) 80 41. Hallar

R

33. Si 4

8x

2

 24 x  9  4(2 x  3 ) x

; hallar

2

A B

a) 2 d) 8

2

 3x 

x  A  B x

2

b) 4 e) 10

c) 6

2x  5  c) 2

3x

R 

x  y  1 2

a) 1 d) 5

x  y 

x  y

6  4

E  

2  7

3 2

4

3 2

a) 8 d) 0

c) 5

E 

el

x 3  3 x 2  4 x  12 b) 4/15 e) 0 el

72 6

valor

de

para x=2

valor

x3 

3

x  

x 

 

x

b) -16 e) -5/16

M  x 2  2x  1 

a) 0 d) 5



x  x  

, cuando x=0.

54. después

, Hallar

E

1 x

4

2

x  2x  1

2 2 x1



A( x ) 

de

B(x ) 

y

racionalizar

22

el numerador de la

37  4 78

a) 4 6 

13

b) 4 6  2 13

c) 2 6 

13

d) 4 6  2 13

e) 2 6 

13

55. Simplificar:

E

(a 2  x 2 ) 2  a 2 x 2 a6  x 6

c) 2

1 x 1 a

c) 1/x

fracción resultante es:

c) 16/5

b) 1 e) 6

50. Si

c) 4

1 x 1 a

a) , d)

hallar E  MCM[ A( x ); B( x )]

x 2  2 x  15 x 2  25

de

; para x=0 c) 3


el

46. Hallar

a)

, para x=5

b) 5/4 e) -5/4

c) -4/5

verdadero

x  x  12 x 2

valor

de

d)

:

valor

b) 7 e) 0

5x  3 2

x  x  12

1 ax 1 a2  x2

c)



b)

1

c)

a  x2

2

1 ax

e) 1

A B  x3 x4

,

a) 1/2 d) 1/5

hallar

E

a 2  b 2  c 2  2ab a 2  c 2  b 2  2ac

b) 2a e) a+b-c

x 6x  1

G2

,

el

para x=1 es:

b) 1/3 e) 1/6

x x  5x  6



3

a) 3 d) 4 ,

c) 1/4

7 ( 13 

7 

5

7)

15 x  9x  14



c)

5

transformar:

E

x3  x2  2  2 x5  x4  1

radicales simples uno de ellos es:

c) 2b

2

b) 7 e) 5

58. Al

Efectuar: 2

x 2x  1 

c) 121/49

la suma de los terminos de la nueva fraccion es:

M

x 3x  1

57. Reducir:

de

2(64  x 2 ) 2(64  y 2 ) 2(64  z 2 ) 53.   x ( yz  1) y ( zx  1) z ( xy  1)

xx  1 

verdadero valor de

E 

c) 6

c) 60

G

56. Si

b) 100/49 e) 49/144

a) 0 d) 2c

b) 40

2  a2

e) 15

52. Al simplificar:

; para x=1

si 3 xyz  4( x  y  z )  24 a) 20

a2  1

a) 144/49 d) 49/121

47. Hallar

G

b)

( A  B) 2 c) 29

verdadero

2x 2  x  3 W  2 x  3x  2

51.

, para x=4

b) 28 e) 31 le

1  a2

1 x2

2

a) 27 d) 0

a) 8 d) -5

c) 4

verdadero

b) 2 e) 5

A B  x3 x2

49. Efectuar:

c) 0

b) 3 e) 6

45. Hallar

c) 6

verdadero

3125 x  1024 x W  5x  4x a) 1 d) 4

11  2 30 

x 3  2x 2  5 x  6

a) -15/4 d) -15 40. Hallar

28 

b) 7 e) -5

39. Hallar

x

a) 4/5 d) 1

E  8



b) 1/(x+2) e) -1x

44. Hallar el verdadero valor de la fracción:

38. Evaluar: 140 

x x6

a) 16 d) -16/5

de

2

E

b) 3 e) 9

12 

2

A 1 .B

; para x=3

b) 2 e) -2

 x2 

c) 3

3 2

E 

a) 1 d) 7

W 

x 3  4 x 2  5 x  20



6

valor

x 3  3 x 2  5 x  15

3x  10

48. Si

c) 1/2

verdadero



c) 1

b) 2 e) 4

37. Simplificar:

el

a) 2 d) 1 6

; para x=0

b) 1 e) -2

e) 50

de

43. Hallar el verdadero valor de la expresión:

36. Simplificar: 6 

2 x



valor

Aritmética y Álgebra a) 0 d) 1/(x-2)

y luego hallar el valor del numerador de la fraccion resultante.

b) -2 e) 4

P 

1 x  1

a) 1 d) 3

35. Resolver a) -1 d) 2

verdadero

1

a) 0 d) -1/2

R 3x  2  b) 1 e) 4

el

42. Hallar

34. Resolver 2x  3  a) 0 d) 3


12 2

a)

x2  x  1

b)

x2  x  1

c)

x3  x  1

d)

x3  x  1

e)

x1

x  10x  21


a



59. Efectuar: 12

E

2 .4

3 

a) 1

b)

d)

e)

6

2 .3

3 

3  c)

3 2 

3

19  4 21 

a) 1 d) b-5

a) -2 d) 1

a) 2

2

62. Expresar:

H radicales simples:

a) 3x 

3x 

11x

2

e) 8 

2x

 2 18 x

4

en

64. Si

d) 3 

b) -6 e) -3

la

expresión

68.

7x  1 1  5 x  6x

2



c) -7

A B  1  3x 1  2x

E

3

x n 4

9x  x

2

se

b) 1-8n e) 9n+1

c) 1-10n

c) e)

b) 1 e) -2

el

sabiendo

3

3 1

hallar

b) -1 e) 2

la

expresión:

b) d)

valor de que

M la

b

d)

c) 1

 c) 3

2. 6

3

2 .4

3

2

3

2

c) 3

b) -6 e) -3

b) 16 e) 256

Q

b) 1/2 e) 1/5

E  2( x  a) x d) y

2

3

x 1, x 1

c) 1/3

x 2  y 2 )( y 

x2  y2 ) ,

x2  y2 ”

b) x-y e) 8

81. Si x 



c)

80. Si

calcular



729  1

e) N.A.

6

a) 1 d) 1/4

c) b



3 4

42 3 

b) -2

hallar “ E 

1  xy , 1  xy

3 

para x=1.

c) -7

b) a+b e) 3

2x  y

3

79. Hallar el verdadero valor de

3 

2 e y

c) x+y

3 

2 , hallar

x  xy  1   y  1    x  y y1   x  1 2x  y 2x  y   4x 2  y 2  2x  y 2x  y  a) 11 b) 2 c) 10



c) 32

fraccion


E



d) 12

e) 1

a) d)

b) e)

82.

a (a  b ) , 83.


 

b) 2 e) 5

P 

b) x+3 e) x

 2x  y 2x  y   M     2x  y 2x  y  a) 8 d) 64

3

a) 1 d) 4

P , hallar (b  c )(a  c )

75. Si

12

 x 2  6x  9   x 2  4 x  3     . 2    -1 x  2 x  4 x  4 a)    

2 2 2 P  (a  ab  bc  ca )(bc  ca  ab  b )( bc  ca  ab  c )

2a b1 2a ab  1

5)

143

84 

78. Resolver:

74. Si

a) a d) a-b

( 3 b) 4 e) 1

E

c) 0

73. Hallar la suma de los coeficientes de: a) -2 d) 7

10 

77. Resolver: y

,

c) -1

140 

933

 x 2  3x  2   M    x  3   a) x+2 d) x-3

a) 5 d) 2

x 4  10 x 3  29 x 2  20 x  4

a b1 2a a1 2a ab  1

70. Hallar

E

24  2

72. Reducir

1 1  b1 E  b ab  1 1 1 1 b ab a a)

3

a) -2 d) 1

69. Simplificar

2

descompone como la suma de dos fracciones parciales, hallar la suma de los coeficientes de los numeradores de dichas fracciones a) 9n d) n+8

E

c) 3



c) 24

3

12 

G   

b) 18 e) 48

(c  a )(c  b )

e) 1



es independiente de x e y

71. Simplificar:

c)

b) 1 e) 10

a) 0 d) 2

b)

hallar el termino independiente del residuo de G . a) 5 d) 7



ab

2

5 x 2  13xy  by 2  4

hallar A+B

G  x 4  5  6 x 2  4 x 3  12 x ,

63. Si

(b  c )(b  a )

b) abc

a) 0 d) 9

2x 2

ac

x  1 x 1 x   3     x  1  x 1  x 4 x 4   

2x

c) 3 



c) 4a

P

2 2 2

(a  3)x  (2a  b)xy  (a  b  2) y  (76. 4 / 3Calcular )b

a) 22 d) 36

67. Ejecutar:

2

d) 4  2 2

2

(a  b )(a  c )

a) 0 (a+b+c)/2 d) 2(a+b+c)

b) 4  2 2

2

c) 2 

F 

c) 0

2

b) 3 e) 2

66. Efectuar: 29  2 28 bc

12 

b) -1 e) 2

61. Racionalizar: E 

e)

7 


2

 3a 2  a  2   3a 2  8a  4     P   2   4a 2  5a  6  4 a  7 a  3    

2

2

60. Reducir: G


65. Simplificar:

c)

Academia Pre-universitaria “SIGMA” a) d)

b) e)

c)

84. a) d)

b) e)

c)

85. a) d)

b) e)

c)


 Si

D. Según el grado: Pueden ser

Dada la ecuación:

 De primer grado: ax  b  0  De segundo grado o cuadrática: tercer 3

b) e)

grado

o

Si

trinómica:

x1 

 b  b  4ac 2a

x2 

 b  b 2  4ac 2a

ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

ax  b  0

Siendo a y b coeficientes y x la incógnita. Tiene como solución a

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES A. Según que sus incógnitas estén o no afectadas de radicales las ecuaciones pueden ser:  Ecuaciones Racionales: Cuando sus incógnitas no están afectadas de radicales.  Ecuaciones Irracionales: Cuando al menos una de sus incógnita esta afectada de radicales B. Según el número de raíces o soluciones, las ecuaciones pueden ser:  Ecuaciones Compatibles.- Cuando tiene solución a su vez pueden ser: a. Compatibles determinadas: Cuando el número de raíces es limitado b. Compatibles Indeterminados: Cuando el número de raíces es ilimitado  Ecuaciones Incompatibles.- Cuando no tiene solución


B. INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Son aquellos que pueden reducirse a la forma: ax  b  0 ó ax  b  0

2

C. INECUACIONES DE 2do GRADO: Son aquellas que pueden reducirse a la forma:

ax 2  bx  c  0

Entonces se cumple:

FORMA GENERAL:

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que queda satisfecha solo para algunos valores asignados a sus letras.

sus

raíces son:

2

b x  a

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas de la forma siguiente:

ax 2  bx  c  0

FORMACION CUADRATICA:

x1 y x 2

Sean

ax 2  bx  c  0

una

ecuación

cuadrática, entonces las raíces de dicha ecuación se halla por medio de la formula:

 b  b 2  4ac 2a Resolver la ecuación x 2  5 x  4  0

x 1,2  Ej.

UNA

ECUACION

raíces de una ecuación.

Entonces dicha ecuaciones se formara así:

x 2  ( x 1  x 2 ) x  x 1. x 2  0

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita: Se resuelve de dos formas: A. Resolución por factorización B. Resolución por formula general: Sea:

DE

b a c x 1. x 2  a

x1  x 2  

 El producto de raíces:

DESIGUALDADES E INECUACIONES: Una desigualdad, es aquella relación que se establece entre dos número reales y que nos indica que tienen diferente valor. Si: a, b  R / a  b  a  b  a  b Nota: El conjunto solución de una inecuación generalmente se presenta por medio de intervalos.

de las dos formas DISCUSIÓN DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA: La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valor de la discriminante ( ) Donde: casos:  Si

  b 2  4ac ;

  0,

A. CLASES DE INTERVALOS  Intervalo abierto: Si

axb

entonces el intervalo es:

 a , b    a , b  ( a , b ) 

analicemos los tres

Intervalo cerrado:

Si

axb

entonces el intervalo es:

[ a, b ] las dos raíces son diferentes y



a  x  b entonces el intervalo es.

[ a, b   [ a, b[  [ a, b)

PROPIEDADES DE LAS RAICES.-

ax 2  bx  c  0

a  x  b entonces el intervalo es:

 a, b ]  ]a, b ]  (a, b ]

Las dos raíces son complejas y

 La suma de raíces:

ECUACIONES

Si

conjugadas.

ax  bx  cx  d  0

c)

0,


Las dos raíces son iguales y

reales  Si  

ax 2  bx  c  0

86.

 0,

C. Según el tipo de coeficientes:  Ecuaciones numéricos: Cuando los coeficientes son números  Ecuaciones literales: Cuando al menos uno de sus coeficientes es letra.

 De a) d)


Intervalos mixtos:

reales.


ó

ax 2  bx  c  0

D. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR: Son aquellas cuyo grado es mayor o igual que tres. OBSERVACION: Para resolver inecuaciones de 2º grado y grado superior se recomienda usar el método de puntos críticos. METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES: Se usa para resolver inecuaciones que involucran productos y cocientes, y que luego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas: 

( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  0

signo de relación puede variar entre 

, , 

( x  a1)( x  a2 )...( x  an ) 0 ( x  b1 )( x  b2 )...( x  bn ) signo de relación puede variar entre

el

el

, , 

En lugar de ( x  a ) puede ser (cx  a ) donde c>0 PROCEDIMIENTO:  Se hallan todos los puntos críticos (raíces) de cada uno de los factores, ordenando en forma creciente sobre la recta real.  So coloca entre estos puntos críticos los signos (+) y (-) en forma alternada de derecha a izquierda.  La solución de la inecuación estará dada por: Zonas positivas: Si el sentido de la última desigualdad es

, 

Academia Pre-universitaria “SIGMA” Zonas negativas: Si el sentido de la

, 

última desigualdad es

 Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es



o

de lo

contrario no serán parte de la solución. OBSERVACIONES:  En lo posible debe tratarse que el coeficiente (principal) sea positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo miembro figure el cero.  Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá como una ecuación de segundo grado (Formula General); donde las raíces representan “Puntos críticos”  Si las raíces son imaginarias, el trinomio se reemplaza por la unidad.  En el cociente

A( x ) 0 B( x )

los puntos

críticos provenientes del denominador no forman parte de la solución (son abiertos) Ej. Resolver las siguientes inecuaciones

 x 3  x 2  22 x  40 0 x 2  7x b. x 2  3 x  2  0 c. 1  2 x  3 x 2  0 d. 2 x 2  6 x  3  0 a.

VALOR ABSOLUTO: Se llama Valor Absoluto de un número real x a un número no negativo, definido por:

x x   x

, ,

si

x 0

si

x 0

TEOREMAS: Para todo x , y tenemos: a. x  0  x  0 b.

 x  x

c.

xy  x . y

d. e. f.

x

2

 x2

x2  x2

x2  x


Aritmética y Álgebra ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

X  b  b  0   x  b  x   b

Lo anterior establece que el universo dentro del cual se resolverá esta determinado por la condición b  0 , y se resolverá primero. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Sea. x , a  R , entonces:  

Academia Pre-universitaria “SIGMA”  Se llama Rango de la relación R al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R

TEOREMAS: 

a  b  (a  b )(a  b )  0



a  b  (a  b )(a  b )  0

RELACIONES Y FUNCIONES PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO:  Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a,b)  El producto cartesiano AxB, se define:

AxB   (a, b ) / a  A  b  B

R  ( x 1; y 1)  T  ( x 2 ; y 2 ) d 

es:

FUNCIONES Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x;y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. Se distingue lo siguiente:  Conjunto de partida  Conjunto de llegada  Regla de correspondencia

1

2.

1



x a

1



x b c) b

La suma de las raíces de la ecuación

x 2  9  21  x 2 es:

3.

b) 4 e) 2

Las ecuaciones

c) 3

a1 x 2  b1 x  c 1  0

2

a 2 x  b2 x  c 2  0

y

tiene una raíz en

común. Calcular uno de los valores que pueda adoptar dicha raíz. a)

Ran(f )  { y  B / x  Dom (f )  A}  B4.

5.

b1c2  c1b2 c1a2  a1c2

c)

c1  c 2 a1  a 2

e)

a1  a 2 b1  b 2

Dom (f )  { x  A, y  B / y  f ( x )}  A

COMPOSICION DE FUNCIONES La función compuesta fog es aquella función tal que: 

1 x b b) a+b e) ab

a) 5 d) 0

 Rango Ran(f): Es el conjunto de segundas componentes de los pares ordenados de dicha función.

RELACION: Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una relación de A en B, cuando R es subconjunto de AxB. R es una relación de A en B  R  AxB



a) a-b d) a

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION:  Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeras componentes de los pares ordenados de dicha función

La propiedad fundamental de funciones reales de una variable real; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la grafica de f a lo mas en un punto.

DOMINIO Y RANGO DE RELACIONES Sea R una relación de A en B; es decir R  AxB :  Se llama Dominio de la relación R al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R

Resolver

x a

( x 2  x 1)2  ( y 2  y 1 )2

Donde A y B son dos conjuntos  Si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano tiene mxn elementos.

Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA

1.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO: La distancia entre dos puntos

x  a   (a  0)  ( a  x  a )

x  a   x  a  x  a )


b)

a 2 c 1  a 1c 2 a 2 b1  a 1b2

d)

b1  b2 c1  c2

En un teatro las entradas valen S/. 65,00 y S/. 25,00. Si al vender un total de 740 entradas se obtienen S/. 38500,00; ¿Cuántas entradas de S/. 65,00 se vendió? a) 50 b) 500 c) 240 d) 420 e) 400 Resolver

   1  1  1  1  1    x  1  1  1  1  1    Dom (fog )  { x  Dom (g ) / g ( x )  Dom (f )} 3  3  3  3  3      



(fog )( x )  f (g ( x )) su regla de

a) 27 d) 363

correspondencia

PRÁCTICA Nº 13 ECUACIONES, INECUACIONES, RELACIONES Y FUNCIONES


6.

b) 81 e) 0

c) 343

Resolver

( x  1) 2  ( x 2  1)  2(1  x ) a) {-1} d) R

b) {1/5} e) {1}

c) {0}


La suma de las raíces de a) 189 d) 125

8.

25

2 7  3

9

y

Si

3

x

3

x

 3136

y

y

b) 32 e) 16 x

x

y

 727

calcular

2 

3

a) 3 d) 6

3





 1 2  

x



b) 9 e) 1

3



3

c) 12

x 1 3 x 2  3 x 3  0 ,

3

x  3 x 91  3 x 2  1 37

a) 1 d) 9

b) 3 e) 11

2

c) 7

hallar

2

b) 9 e) 68

de: hallar

5

b) 6 e) 15

 x 2  3 xy  6

16. Resolver el sistema

c) 52

2

e

 3y  xy  2 indique el número de soluciones que toma “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Una x  a) 8 d) 16/25

18. Siendo

de

las

x

raíces

1  x  1 es: b) 4/5 e) 4/25

de

c) 7/5

x1 y x 2 las raíces de la ecuación

5x2  4x  2  0 ,

calcular

x2 x1 b) -18/5 e) 8

c) 16

20. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x 2  20 ? b) 3 e) 2

2 x  48  14 2 x  1  a) 1 b) 3 d) 5 e) 9

c) 0

2  5

 ;

b)

2  ; 5

c)



d)

7  ; 3

e)

1 ; 3

a) 5 d) 8 27. Si

 2;   2;  -{3} c)  ;2 

para “x”

c) 2

5 5  8 x 3 x 3 b)

d)

3 x  13 3 2

167 78 167 c) x  78

c) 7

P  { x   /  3  4 x  1  9} , b) 3 e) 0

c) 2

a) 9 d) -7

b) -5 e) 6

c) -6

29. Resolver

2 6 4   2 5 x  2 25 x  4 10 x  4

 2 / 3;8 / 9  c)  2;5   2 / 5;2 / 5  e)  3 / 2;3 / 5  a)

b)

 1;2  d)

30. Hallar el mayor entero que satisfaga la siguiente inecuación:

 2; 

x

en

x 2 1 2x  1  x 0 4 3 3

[ 2;   {3}

a)

x  a, b 

28. Hallar el menor número entero que satisface la siguiente desigualdad

a)

25. Resolver 5

si

b) 6 e) 9

hallar n(P) a) 4 d) 1

4 x  2 4  2x  2 5 3

4x 

“a+b”,

1 1 1   11 2 x  3 7

7 ; 3

número natural. a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 24. Resolver

167 78

26. Hallar

2 ; 5

23. Resolver


e) x  2 x  15  8 2 x  1  17 c) 8

15 x 2  29 x  14  0

a)

e)

19. Hallar un número entero positivo tal que, al sumarlo con su reciproco de 37/6 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A

x  10  a) 1 d) 5




21. Resolver

22. Resolver

c) 9

(2  m ) x 2  mx  (m  1)  0 a) -5/7 b) -4/5 c) 4/5 d) 5/4 e) -3/4

a) -18 d) -2/5

(a  b )(a  b ) a) 47 d) 26

a) 3 d) 12

x E 1 x2

13. Si a y b son raíces de la ecuación

x 2  2 x  15  0 ,

solución



calcular W  49 x 2  6 x 1  4 a) 25 b) 5 c) 15 d) 3 e) 9

12. Resolver:

la



x

10. Eloy amarra su vaca e la esquina de su casa, luego Rene alargo la cuerda 10 metros mas; ocasionando que el animal abarcara cuatro veces el área original. ¿Cuál fue la longitud original de la cuerda? a) 3 b) 2.5 c) 2,75 d) 5 e) 10 11. Si

es

15. Hallar la suma de los valores de “m”, para los cales se obtienen raíces iguales de la ecuación

c) 64

 2  3   2  3 

“a”


x 1 3 x 2  3 x 3  0 ,

 7a  E  9   6 

c) 64

x  0, W 

14. Si

9

 2(15 ) , hallar 2 x  y

a) 8 d) 128 9.

20

x

b) 179 e) 15

Si y

3


6(2 x  1)  (11x  2)  5(2 x  1)



7

8 x 1 27 4

167 78 167 x 78

b) x d)




a) 2 d) -1/3

b) 3 e) N.A.

c) 0

3 x 2  17 x  10  4 indicar la suma de los valores mínimo y máximo que puede tomar “x”. a) 11/3 b) 17/6 c) 15/4 d) 14/3 e) 17/3

31. luego de resolver

Academia Pre-universitaria “SIGMA” 32. Resolver

3x 5 20   2 x 2 x 2 x 4

Aritmética y Álgebra e

indicar un intervalo de solución. a) b) c)

 ; 

b 2

x 4 x 3 4 2  2  2. x x 3 3

2 .4 3  a) 2 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

34. Hallar la suma de los valores enteros que satisfacen la inecuación: a) 10 d) 50

9 3  x5 2

b) 30 e) 60

c) 40

x 3 

c) 36

5 x  1  6x  3  7 x  9

[ 6;   [ 2;   a)

 2;    ;2  c)

raíces

de hallar

2

 3xx

1 x  x2

2

,

e

b) 3 e) 4

b)

d)

c) -3

x 12 x  1 es:   x  1 19 x  2 b) 2 e) 5

c) 3

 ;6 ]

3 2x   2 x1 x1


c)

[ 5;  ) e) ( ; 5 )

42. Un profesor dicta una ecuación de segundo grado a sus alumnos uno de ellos se equivoco al escribir el termino independiente y obtiene como solución 8 y 2. Otro alumno se equivoca en el término de primer grado y obtiene como solución -7 y -3. ¿Cuál fue la ecuación dictada?

c) d)

e) N.A.

c) 17

 10 x  16  0  10x  16  0  10 x  21  0  10 x  21  0

b) [-1;9] e) {-1;-9}

[ 4;  

d) [1;26 ]

e)

b) d)

b) 3 e) 9

b) {-4} e) {5}

indique uno de

conjunto

a) {-1} d) {2}

a) 3 d) 1,5

c) 0,6

resolver

a) x>0 d) x>-33/10

a) 4/3 d) 1/2

2

55. Resolver: a) 1 d) 4

 4

la

inecuación

b) x>-33/10 c) x<0 e) No existe solución real.

56. Determinar 2

x 

b) x=-2 d) es incompatible


57. Resolver:

c) 3

x3 

x2 5

b) 2 e) N.A. el

x  nx  1  a) 0 d) a ó b

x  2  2 2x

b) 4 e) 3/4

valor

c) 6 de

n

a3  b3  2

b) 2 e) b ó c

c) -1

x 2  6x  1  2x  6 ,

como respuesta la suma de las raices. a) 0

en:

0 si a y b son raices de la

c) 1

x 2  4 x  8  4  x , entonces:

a) x=2 c) tiene 2 soluciones e) N.A.

c) {1}

b) 0 e) 2,16

ecuación ademas:

49. Si

de:

  1 0  

b) {0} e) {4}

4x  1 

c) 5

solución de la ecuación: x  2  x b) 2 e) 4

solución

 

54. Resolver:

x2 x1

48. Hallar la suma de los elementos del conjunto

a) 3 d) 0

c) {0}

x 2  10 x  33  0 , podemos afirmar que:

47. ¿Cuál es el menor número impar positivo que verifica x  2  x  3  7 ? a) 1 d) 7

51. El

53. Al

[12;26 ]

1 x  2 x2 x1

de:

x 2  3x  2,16  0 , es: [ 1;2 ]

x 1 0 e x2

solución

52. La diferencia d las raíces de la ecuación

sus intervalos solución a)

conjunto

x  1 x  1 x  20   , es: x  1 x  1 x2  1

1  1  1  1     x  27  3  3  3  3 

c) (1;9)

b)

e)

50. El

a) {-5} d) {4}

45. Resolver: 3 x  x  2  6

c)

a) (;5 ] b) (;5 )

b)

si

b) 12 e) 1

46. Resolver

a (x  1) b ( x  3)  b2   2a 2 ; 2 2

x x2 x2 x2

,

c) [1;6 ]

2

2

expresión:

( x  4) 2  2 x  4  15  0

a)

41. Resolver

a)

la

x  2;5 

40. El número entero que satisface la expresión:

d) (5;  )

de

5x

a) {-1;9} d) {1;9}

indicar una de sus raíces.

a) 1 d) 4

valor


44. Resolver:

3

a) 2 d) -2

E

el

4x  7  x  7

a) 11 d) 10

c) 52

si 0  a  b

2 x

b) 25 e) 81

las

b) 9 e) 26

2

35. Hallar el valor de x en la ecuación:

x 3 

son

43. Hallar

(a  b)(a  b )

39. Resolver:

33. Resolver:

37. Resolver:

y

a) 47 d) 68

d)  ;5 / 3 ] e) N.A.

e)

a

c) 2

x 2  2x  15  0 ,

 ;5 / 3 ]  2;   { 2}

36. Resolver:

b) 5 e) 1

38. Si

 ;5 / 3 ]  2; 

a) 16 d) 9

a) -5 d) -1


b) 1

c) 2

dar



 ;4,5   ;1,5 

e) 4

a)

3x  3 58. Resolver:  2 y hallar la suma x1 de los valores enteros que cumplen la condicion a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) [ 4;10 ] e)

c) 10

b)

d)





R  (x , y )  R2 / y  x 3  3x  x  3 ,

corta

en los puntos (a; b ), (b; d ), (c; d ) . Hallar “a+b+c” a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 60. La

al

eje

grafica

f (x )  2 

X

A={-2;-1;0;1;2}

de

la

x 1 ,

pasa

función por

x  2 . Hallar

Dom (f )  Rang (f )

d)

[3; 

b)

[0; 

e)

[2; 

2x 

1 g( x )  3 x  2 x  3 2

x2

[2; 

c) -21

tal

que

 4x .

y

hallar Dom(f)-

Rang(g)


f (x ) 

función

f

Si

definida

x 6.

y

[ 6;   6; 

por Hallar

Dom (f )  Rang (f ) a)

la

d)

relación

c) 0

77. ¿Cuales son graficas de funciones?

71. Si f={(1;3)(2;5)(1;a-1);(2;b+2);(a;b);(2b;a)}, es una función. Hallar la suma de los elementos del Rang(f) a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

f (x ) 

a) [1;5 ]

B  { x   / f ( x )  f (2  x )} ,

la

si

es una función a) 3 b) -2 d) -3 e) 2

 Dom(f )

hallar la suma de los elementos de “AUB”. a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3 68. Sea

x<0,

[1;14 ] f  {(5; x 2 ); ( x ;2 x ); (5; x  6); (3;7)} e) [ 6;0 ]

73. Si

c) 6

f : 

b)

[0;8 

72. Si f(x)=2x+1 y f(3x+1)=9, hallar el valor de “x” a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 15

1 2x  1 , hallar “g(1)” g x    2 x 1  b) 4 e) 10

2  x  10 , hallar Rang(f)

a) [1;13 ]

70. Si f es una función lineal tal que f(2)=14 y f(2)=8, hallar f(9) a) 24,5 b) 24 c) 23 d) 22 e) 0

A  { x   / f ( x )  f ( x  2)}

máximo valor en x=a, hallar “a+f(a)” a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

f (x) 

R={(x;y) Dom(R)-



f ( x  2)  x

62. Si f ( x )   x 2  2 x  4 , alcanza su

63. Si

y

b) {0}

2

76. Si f(x)=2x-6 y

c)  2;14 ]

Hallar

b) -53 e) -35

67. Sea

d)

e) [ 6;0 ]

2x  1 2x y g( x )  2x  1 2x  1 f (2)  g (1) E  1  f (2).g (1)

a) -31 d) -12

66. Si

 3;4 

f (x ) 

a) 2 d) 8

 0; 

[ 2; 

e)

los

b) (10;-1),(2;1),(1;2) d) (-4;2),(0;1)

61. Sea la función f ( x ) 

c)

d) A

, hallar

puntos: a) (3;1),(0;3),(4,5) c) (-1;2),(2;-1),(2;10) e) N.A

a)

Rang(R) a)  c) {-2;-1;1;2}

65. Si

[0; 

69. Hallar

 AxA / x 2  y 2  5 }. relación 2

c)


 0; 



64. Sea 59. La


b)

2 x 3 ,

hallar

C

b)

 1;5 

c)

 1;5 ] d)

[ 1;5 

74. Si f ( x ) 

e) {}

25  x 2 , hallar Dom(f)

a)  ;5 ]

b)

[5;   c)

 5;5 

d)

[5;5 ] e) [ 6;0 ] 75. Si f(x+1)=f(x)+2x+4 y f(0)=2, hallar f(1)+f(-1) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10


a) Solo IV d) II y IV

b) Solo III e) III y IV

78. Sea la función

f (x ) 

c) I y II

x 1 4 x 2x  6

; hallar Dom (f) a) [1;3    3;4 ] b) [1;4 ]

 1;3    3;4   1;4  e)  3 / 2;3 / 5  c)

79. Hallar

el

f (x)  a) <1;1> d) [0;1> 80. Hallar

rango

d)

de

1 1 x b) <0;1] e) <1/2;1] el

dominio

la

función c) [0;1]

de

la

f (x )  x 2  6x  5 a)

 4;  

b) R

función

Academia Pre-universitaria “SIGMA” c)

[ 4;  

[2 / 3;  [ 4 / 5; 

d)

a)

 4;   e)

[ 4;  

81. Hallar

el

dominio

da

la

función

x 3  9 x 2  23 x  15 f (x )  x 3

a) R-{3} d) R-{5} 82. Sea

b) R-{4} e) R-{2}

f

una

tal

que

f ( x  2)  x 2  7 x  10 , x  R . Hallar el conjunto solución de la inecuación

f ( x  4)  f ( x  4)  0

a)  ;3 ]

b)

 ;3 / 2 ] e)

 ;3 / 2 

83. Sabiendo

que

F ( x )  ax

2

 bx  c ,

84. Sabiendo

que

F ( x )  1  x  x 2  x 3  ... ,

calcular

F (1  x )

x

d) (1  x )

la

función

b)

 3;  [5; 

d)

b) 1 e) N.A.

e) (1  x )

85. Indique el rango de la siguiente función:

G( x )  3 x 2  2 x  1

de

la

x2  1

b) 97 e) 87

f (x)  

  209  x

x (4  x ) Calcular

b)

96. Hallar

d) R

c) 79

, si  24  x  1 2

, si 1  x  40

f (3 x  4 )  f (15  3 x ) ;

a) x-6 d) x+16

d)

si

 2;14 

[ 2;14 

b) x 2  6 e) 1

c) 66x

e)

el

dominio

2x  5 

de

la

función:

x

2

 5x  6

x

2

x2

la

función

2  x  10

a) [2;14 ]

b)

d) [ 2;14 ]

c)

 2;3 

d)

[1;2 ]  [3; 

97. Se

b)

[ 2;14 ]

c) [  2; 14 ] e)

 2;14 ] d)

definen

n  Ζ .

funciones:

¿Cuántos valores positivos

tiene f(x)+g(x)? a) 22 d) 26

b) 23 e) 27

c) 24

f (x )  x 3  95 x 2  499 x  99 .

Hallar: f (100 ) a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

99. Calcular el dominio de la siguiente función:

f (x)  Fracciones, radicación, valor verdadero

las

f ( x )  10  6n y g( x )  100  2n

98. Si

[2;14 ]


[ 4;6 

[1;2 ]  3;  b) [1;2 ]  [ 3; 

; para

2  x  10 de

c)

e) N.A.

94. Hallar el rango de f ( x )  2 x  6 ; si rango , si

b)

[ 4;6 ]

x  6;4 / 3 

b)



el

[ 4;6  [ 4;6  d) [ 4;6 

f (x) 

 x 2

función

 2;14 ] c)

función

x 2  x  2 es:

a) 108 d) 99

93. Si

dominio

f (x )  2x  6

a)

la

 ;2 ]  [1;   ;2  c) [1; 

c) 2

[0; 

89. Hallar 1

36  x 2

f  {(1;24 ), (2;27), (3; p ), ( 4; q ), (5; r )} a)

hallar

[ 4;4 ]  { 1;1} c)

f (x ) 

de

92. Calcular “p+q+r”, si la función siguiente es lineal

f ( 1)  f (2) f ( 2)  f (1)

f (x )  a)

dominio

si

x2  5

f (x )  4 

c) 153

e) N.A.

f ( x  2)  6 x  8 ,

el

b) 152 e) 170

a)

e) N.A.

1 1

de

[ 0;4 ]  {1} b) x 2

c) x

rango

c)

88. Indique

si

a)

 ;5 ]

a) -1 d) -2

además F(1)=F(3)=0 y F(2)=2, calcular el valor de “a+b+c” a) -8 b) 7 c) 9 d) -16 e) 19

a)

a) 150 d) 158 91. El

 ;3 

E 

f (5 ) ,

f ( x  7)  2( x  7)2  8

e) N.A.

d)

Dom(f )  Ran( f )

95. Hallar

90. Hallar d)

el

87. Si


e) N.A.

f ( x )  4  6 x  x 2 a)

real


b)

c)  ;0 ]  ;1] e) [ 3;9 ] 86. Indicar

c) R

función

 ;2  c)  ;3 / 2 


x1 2x

Academia Pre-universitaria “SIGMA” a)

[ 1;2 

b)

[1;2  d) [ 1;2 

c)

[1;2 

f ( x )  3x

 5 x  6 . Se define: Hallar m(4);

b) 149 e)132 el

rango

c) 142 de

la

funcion: si

x  2;10 

 4;8   4;8  d) [ 4;8 

minimo

c)

 4;8  e)

rango

x4 f (x )  x2

 1 5  31 ; 7   

5  1 c)  ;   31 7  1 5  d)   ;  31 7    1 4  31 ; 7   

valor

de

la

d)

b)

3

e)

6 5

c)

7

y  x 2  4 , determine uno de los intervalos solucion del dominio de la funcion “g” b) [ 3;2 ]

 2;  d)  2;2 

de

la

funcion:

si x  [ 5;29 ]

b)

1 5   31 ; 7   

a)  ;5 ]


a) Gano 544,4 c) gano 445,6 e) no gano ni perdió 3.

c)  ;0,5 ]

[5;  [ 4;  d)

109. Si

f (x ) 

3x x3

4.

5.

y

f (kx ) 

6f (x ) , f (x)  3

b) e)

c)

1 x2

f (x ) 

 2;  [ 2;   ;2 

b) e)

c)

6.

a) d)

b)

b) e)

A que aumento o descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 50% seguidos de dos aumentos sucesivos del 20% y 50%?

porcentajes 1.

rango

f ( x )  4  6x  x

de

la

Angélica tenia s/. 2400 y le robaron el 40% de su dinero. ¿Cuánto tiene ahora? a) 960 d) 1450

funcion

2

2.

b) 1430 e) 1440

b) 28% e) 30%

c) 1480

Carlos Enrique tenia cierta cantidad de dinero y aposto cuatro veces consecutivas;


c) 72%

Si en la mañana cuando sale el sol la temperatura es de 15ºC y al medio día la temperatura es 18ºC. ¿En que tanto por ciento aumenta la temperatura? b) 16,666…% e) 30%

c) 15%

Si en el ancho de un rectángulo aumenta en 20% y el largo disminuye en 10%. En que tanto por ciento varia su área

razonamiento matematico 8.

c) 68% e) 32%

a) 6% d) 10%

c)

e)

b) 60’%

a) 25% d) 20%

c)

c) 55%

A que aumento único equivale dos aumentos sucesivos del 20% y 40 %?

a) 0% d) 70%

7.

111.

 2;   {0} el

a) d)

. Hallar

b) 52% e) 62%

a) 65% d) 78%

e)

b) perdió 544,4 d) perdió 445,6

¿A que descuentos únicos equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 40%? a) 60% d) 65%

b)

[ 39; 

a) d)

Dom(f )  Ran(f )

107. Indicar

e) N.A.

110.

d) R  {0} e)

 3; 

el rabgo de la funcion cuadratica.

e)

a)



c)

 5; 

hallar

 ;2 ]

b)

G(x  0,5)  G(x  0,5)  4(2x  1) para todo x real. Si G(0)  5 encontrar

funcion

de “b”

4

Aritmética y Álgebra en las tres primeras gano el 40%, 10% y 20% y en la ultima perdió 70%, siempre de lo que le iba quedando. Si al final retiro con 554 soles y 40 céntimos. ¿Gano o perdió? ¿Cuanto?

108. Sea G una funcion cuadratica tal que

f ( x )  x 2  bx  5 es 1, hallar el valor

106. Sea la funcion: el

c) 8

 ;3 

 ;5 

c)

b)

 4;8 ]

a)

b) 7 e) 10 el

a)

d)

a)  2;2 ]

a)

hallar:

105. Sea la funcion “g”, definida por la funcion

f ( x )  2  x  4  2x

102. Hallar

104. Si

a)

para h=0 a) 150 d) 1

y

g(n)  2  f (n) , n ,

mn

e)

f (x  h)  f ( x ) m(x )  h

101. Hallar

g( x )  2 x  5

Ademas:

a) 6 d) 9 3


103. Sea la funcion: f  {(m;7), (2; n)} .

 1;2  100. Si


Sea

b) 8%

c) 4% e) 14%

E

( π log 5)x 2 y z 4w

.

Si

x

aumenta en 50% y z disminuye en 64%. ¿En que tanto por siento varia E? a) 50% d) 35%

b) 14% e) 53%

c) 33%


Si se tiene una mezcla alcohólica de 20 litros al 10%. Halle al volumen de agua que contiene dicha mezcla. a) 2 l. d) 19 l.

b) 15 l. e) 17 l.

c) 18 l.

10. Se tiene 54 litros de alcohol de 90º y se mezcla con 81 litros de alcohol de 72º. ¿Qué cantidad de agua debemos agregar adicionalmente para obtener una mezcla con 40% de agua? a) 43,2 L. d) 44 L

b) 44,2 L e) 45 L

c) 45,2 L

11. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos. Si el número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos? a) 78% d) 68%

b) 88% e) 12%

c) 22%

12. En una granja, donde solo hay pavos y conejos, el número de pavos representa el 60% del número total de animales. ¿Qué tanto por ciento de pavos deben morir para que el número de pavos restantes represente el 30% del número de conejos? a) 80% d) 30%

b) 20% e) 50%

c) 90%

13. Si el 40% del número de hombres presentes en una reunión es equivalente al 60% del número de mujeres. ¿Qué tanto por ciento mas son los hombres respecto de las mujeres? a) 40% d) 70%

b) 50% e) 20%

c) 60%

14. Si la base de un triangulo aumenta en 30% y la altura relativa a dicha base disminuye en un 60%. ¿En que tanto por ciento varia su área? a) aumenta 30% b) disminuye en 60% c) disminuye en 48% d) aumenta en 48% e) disminuye en 30%


Aritmética y Álgebra 15. Gaste el 20% de lo que no gaste, luego de lo que me quedaba perdí el 25% de lo que no perdí y finalmente del resto, regale el 33,333…% de lo que no regale. ¿Qué tanto por ciento de lo que tenia al inicio es de lo que me queda del final? a) 20% d) 50%

b) 30% e) 60%

b) 30% e) 50%

c) 25%

17. Una persona vende su caballo ganando el 30% y con este dinero compra otro y lo vuelve a vender, esta vez en S/. 3822, perdiendo el 30%. ¿Cuánto costo el primer caballo? a) 2940 d) 4200

b) 3600 e) 4000

c) 3800

18. Una persona lee durante una semana el 60% de las páginas de un libro, en la segunda semana lee el 75% del restante y la tercena semana las 115 paginas que quedaron. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) 1200 d) 1300

b) 1150 e) 1360

c) 1280

19. De un tanque de combustible que esta completamente lleno, saco el 40% de lo que no saco, y de lo que saque devuelvo el 40% de lo que no devuelvo, resultando al final 195 litros en el tanque. ¿Qué capacidad tiene al tanque? a) 390 L d) 31 L

b) 400 L e) 245 L

c) 500 L

20. Si la base de un triangulo aumenta en 10% y el área no varia. ¿En que tanto por ciento disminuye la altura? a) 9% d)

1 9 % 4

b) 10% e)

1 9 % 11

21. En que tanto por ciento debe aumentarse el costo de un producto para fijar su precio al publico, de tal froma que al realizar un descento del 30%, aun se gane el 40% a) 50% d) 90%

b) 60% e) 100%

c) 80%

c) 40%

16. Un comerciante vende sus artículos con una ganancia del 50% sobre el precio de costo. Si su costo disminuye en 30%. ¿Qué tanto por ciento del descuento puede ofrecer el comerciante sobre el precio de venta, para ganar la misma cantidad de dinero? a) 20% d) 40%


c) 11%

22. Un articulo al venderse se le descuenta el 10%, luego se le recarga el 10%, pero se le vuelve a descontar el 10%, pagandose 8910. ¿Cuál era el precio inicial? a) 10000 d) 12000

b) 13000 e) 10000

c) 12500

b) 100 e) 230

c) 120

24. Una sandia pesa 10 kg. De los cuales el 99% es agua. Después de cierto tiempo al sol, se evaporo parte del agua, siendo ahora el agua el 98% del peso total de la sandia. ¿Cuánto pesa ahora la sandia? a) 9,9 kg d) 9,4 kg

b) 9,8 kg. e) 5 kg

c) 9,6 kg.

25. Si en la venta de un artefacto se gano el 25% del precio de costo. Averiguar que tanto por ciento es la ganacia respecto al precio de venta a) 25% d) 20%

b) 15% e) 18%

c) 10%

26. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular, ¿Qué tanto por ciento hay que aumentar el radio de la piscina para que su volumen, aumente en 150%? a) 20% d) 25%

b) 30% e) 100%

c) 40%

27. A 600 kg. De agua salada que contiene el 7,5% de sal se ha añadido agua pura para reducir la proporcion de sal al 3%. ¿Cuál sera el peso de la nueva mezcla? a) 900 kg d) 1500kg

b) 1000kg e) 1800kg

28. El 40% de los socios de un club juegan

tenis. De lso socios que no juegan al tenis el 25% son varones. El número total de mujeres es una vez y media el número de varones que practican tenis. ¿Qué porcentaje de los socios del club son mujeres? a) 30% d) 51%

b) 35% e) 63%

c) 48%

29. Se quiere obtener 100 litros de alcohol

23. Se tiene una mezcla alcoholica de 240 litros, donde el volumen de agua representa el 60% del volumen del alcohol puro. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe agregar a la mezcla para obtener una mezcla alcoholica de 80º? a) 200 d) 210


c) 1200kg


de 74º, mezclando 30 litros de alcohol de 80º con cantidades convenientes de alcohol puro y agua, pero por error estas cantidades se intercambiaron. ¿Cual fue el grado de la mezcla resultante? a) 48º d) 52º

b) 60º e) 64º

c) 44º

30. Un orador hablo durante sesenta minutos a un auditorio lleno. El 20% de la audiencia escucho todo el discurso, la mitad de los oyentes restantes escucharon la tercera parte del discurso y la otra mitad de los oyentes restantes escucharon las dos terceras partes del discurso. ¿Cuál es el número promedio de minutos del discurso que loas miembros de la audiencia escucharon? a) 20’ d) 36’

b) 25’ e) 33’

c) 28’

31. En la familia Rojas el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representa los niños? a) 20% d) 40%

b) 15% e) 25%

c) 30%

32. Cuando Alicia llego al pais de las maravillas se encontro que algunos gatos se creian ratones y algunos ratones se creian gatos. Los gatos que se creen ratones son el 33,333… % de los que realmente son ratones, y los ratones que se creen gatos son el 16,666… % de los que realmente son gatos. Si los gatos son el 100% ma que los ratones,



¿Qué tanto por ciento de los ratones huiran ante la presencia de otros gatos? a) 100% d) 33,33… %

b) 50% e) 66,66…%

c) 66%

33. A un obrero se le aumenta el sueldo de la siguiente manera: 12% sobre el 20% de su suledo. 15% sobre el 50 % de lo restante. 20% sobre los 300 nuevos soles restantes. ¿Cuál es su nuevo salario? a) 873 d) 825

b) 940 e) 720

b) e)

b) e)

b) e)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

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a) d)

b) e)

c)


c) 900 45.

c) 46.

c) 47.

36. a) d)

c)

44.

35. a) d)

b) e)

43.

34. a) d)

a) d)

c) 48.

37. a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

a) d)

b) e)

c)

38.

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Banco de Preguntas Aritmetica y Algebra

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