Apuntes sobre el problema de la analiticidad

Apuntes sobre el problema de la analiticidad Curso: Filosofía de la Lógica Profesor: Numa Tortolero Universidad Simón Bolívar

1 La noción de análisis en filosofía fue introducida por primera ve en forma influ!ente por "nmanuel #ant $%&'()%*+(, a trav-s de su distinción entre .uicios analíticos ! .uicios sint-ticos/ Para #ant0 los .uicios analíticos son a1uellas donde el predicado está !a contenido en el concepto del su.eto como una de sus notas características/ 2cá0 el concepto de análisis es similar al empleado en la 1uímica: tomamos un concepto0 por e.emplo0 el de un efecto0 ! encontramos 1ue está compuesto de los conceptos de ser un evento ! el de tener una causa0 lo mismo 1ue encon encontra tramo moss el agua agua compue compuesta sta de 3idró 3idrógen geno o ! o4íge o4ígeno/ no/ Bertra Bertrand nd 5ussel 5ussel $%*&' $%*&')%6 )%6&+ &+,, reintrodu.o el t-rmino de análisis con implicaciones similares a las propuestas por #ant/ 5ussell ! atomistas lógicos lógicos ! decí sus sus cole colega gass se 3ací 3acían an llam llamar ar atomistas decían an 1ue 1ue su tare tareaa era era el anál anális isis is de proposiciones moleculares en sus constitu!entes atómicos/ Se trata en am7os casos0 en el de #ant ! en el de 5ussell0 de procedimientos análogos a los de la 1uímica/ 8onde se diferencia7an no era pues en su uso del t-rmino analítico sino en el o7.eto de sus análisis0 siendo para los atomistas lógicos no t-rminos como 9efecto9 o 97ac3iller90 sino proposiciones tales como 9sto es un tomate9 o 9l espíri espíritu tu del tiempo tiempo es incan incansa7 sa7le9 le900 consi conside derad rados os como como compue compuesto stoss de propo proposic sicion iones es atómicas/ sta idea0 de 1ue los sistemas conceptuales ! los lengua.es lengua.es naturales 1ue los materialian materialian pueden ser tratados como edificios donde todos nuestros conceptos son construidos a partir de un con.unto de conceptos simples $o ideas simples, ! su noción 3i.a de 1ue todas las proposiciones e4presa7les en un lengua.e sea lógicamente simple o reformula7le como un comple.o de tales proposiciones proposiciones simples murió 3ace tiempo0 ! con ello desapareció el sentido 91uímico9 asociado al t-rmino análisis/ ntonces ;cómo es posi7le 1ue se use todavía el t-rmino filosofía analítica< n la actualidad0 la filosofía analítica se dedica a tomar e4presiones ! proposiciones empleadas en el lengua.e com=n para clarificarlos ! 3acerlos más inteligi7les a partir del análisis/ n este sentido0 la filosofía analítica toma los conceptos ! proposiciones en uso ! los trata como datos a ser e4aminados ! clarificados0 no como candidatos a ser criticados0 pro7ados o rec3aados/ Lo 1ue no se entiende muc3o es por 1u- se toma la noción de análisis como más o menos un sinónimo de empirismo0 siendo 1ue lo 1ue 3o! llamamos filosofía analítica se corresponde o es consecue consecuencia ncia de los principi principios os conside considerado radoss como como fundamen fundamentale taless por el llamado llamado empirismo lógico/

2 Los positivistas lógicos consideran 1ue cual1uier enunciado 1ue no se apo!e en la e4periencia o 1ue no sea una tautología es un enunciado carente de sentido/ Se 3an dedicado a la clarificación

de las matemáticas0 la lógica ! la relación de estas ciencias con el mundo de la e4periencia/ Uno de los principales principios 1ue sostienen los positivistas lógicos es 1ue las le!es o verdades de la lógica son tautologías0 así 1ue no tienen contenido factual/ Para e4presar esto0 frecuentemente los lógicos afirman 1ue los enunciados 1ue e4presan verdades lógicas son >analíticos?0 para diferenciarlos de los enunciados sint-ticos0 1ue son a1uellos cu!a verdad es esta7lecida por las ciencias fácticas o empíricas/ No es poco com=n 1ue se pase de esta afirmación a la conclusión de 1ue la necesidad 1ue se alega como ine4ora7le de las le!es de la lógica es reduci7le de alguna manera a convenciones ling@ísticas/ sta tesis a veces se le denomina convencionalismo lógico/ Para clarificar me.or los t-rminos en los 1ue se plantea el pro7lema acerca de la naturalea de las verdades lógicas es necesario profundiar en el significado de los t-rminos claves implicados: >tautología? ! >necesidad?/ n general0 por tautología se entiende cual1uier proposición 1ue es verdadera 7a.o cual1uier interpretación de sus constitu!entes atómicos/ sta definición coincide con la 1ue da Lei7ni para las verdades de raón: las 1ue son verdaderas en todos los mundos posi7les/ l prototipo simple de una tautología es un enunciado de la forma > p o no  p?0 donde  p representa un enunciado0 de manera 1ue podríamos reemplaar  p por >ese 3om7re es un artista? ! o7tener >ese 3om7re es un artista0 o no lo es?/ Tal enunciado es o7viamente una verdad0 no importa si su enunciado componente  p es verdadero o falso0 pues una dis!unción0 es decir0 un enunciado de la forma > p o q?0 es verdad siempre 1ue al menos uno de sus componentes sea verdad/ Aeneraliando a partir de este e.emplo0 llamamos tautología a cual1uier enunciado compuesto 1ue sea verdad independientemente de si sus enunciados componentes simples sean verdad o falsedad/ Tomemos0 por e.emplo0 las tesis o afirmaciones de un positivista lógico: 2lfred 2!er en su o7ra  Lenguaje, Verdad y Lógica $%6&,/ Seg=n 2!er0 la certidum7re de las proposiciones a priori depende del 3ec3o de 1ue son tautologías0 en el sentido de 1ue una proposición es una tautología si es analítica/ Sostiene además 1ue una proposición es analítica si es verdadera sólo en virtud de la significación de sus sím7olos constitu!entes0 así 1ue no puede ser ni confirmada ni refutada por ning=n 3ec3o de la e4periencia/ Una proposición analítica no descri7e entonces un 3ec3o en a7soluto/

3 Como !a 3emos sealado0 la noción de proposición analítica se remonta a #ant0 1uien la define como opuesta a las proposiciones sint-ticas/ #ant además distingue entre proposiciones a priori ! proposiciones a  posteriori, ! dice 1ue las proposiciones a  priori  son a1uellas cu!a verdad es independiente de la e4periencia ! 1ue las proposiciones a  posteriori son a1uellas cu!a verdad se funda en 3ec3os de la e4periencia/ La noción de proposición a priori0 es similar a la noción de verdades de raón desarrollada originalmente por A/ Lei7ni/ Lei7ni esta7leció una diferencia entre las verdades de raón ! las verdades de 3ec3o0 3aciendo -nfasis en su carácter mutuamente e4clusivo ! con.untamente e43austivo/ n su  Monadología,

Lei7ni0 en %&%(0 dos aos antes de su muerte0 afirma: DEa! tam7i-n dos clases de verdad dice0 la del raonamiento ! la de los hechos. Las verdades del raonamiento son necesarias0 ! su contrario es imposi7le/ Cuando una verdad es necesaria0 su raón puede encontrarse mediante a nálisis0 resolvi-ndola en ideas ! verdades más simples0 3asta llegar a las 1ue poseen la primacía///D 2sí0 pues0 las verdades de raón se 7asan0 seg=n la formulación de Lei7ni0 en el Dprincipio de no contradicciónD0 el cual0 seg=n Lei7ni0 comprende los principios de identidad ! de tercero e4cluido/ No sólo las tautologías 7anales0 sino tam7i-n todos los a4iomas0 postulados0 definiciones ! teoremas de la matemática son verdades de raón , o sea 1ue son "proposiciones idénticas? cu!os opuestos implican contradicción e4presa/ Por otro lado0 Lei7ni no sólo creía con 2ristóteles 1ue toda proposición se de.a reducir en =ltima ins tan cia a la forma su.eto)predicadoG tam7i-n creía 1ue el su.eto DcontieneD al predicado/ sto 3a de cumplirse para todas las verdades de raón0 1ue son de la forma su.eto)predicado0 ! por consiguiente0 seg=n -l0 para todas la s verdades de raón en general/ n cuál sentido de7a considerarse 1ue una verdad de 3ec3o digamos0 la verdad de 1ue mi 7olígrafo es negro tiene un su.eto 1ue contiene a su predicado0 esto es muc3o menos claro/ n efecto0 con o7.eto de e4plicar el significado de su aseveración en el sentido de 1ue el su.eto de una verdad de h ec ho contiene a su predicado0 Lei7ni se ve o7ligado a introducir las nociones de 8ios ! de infinito/ La reducción de una proposición contingente0 1ue e4pondrá su predicado como contenido en su su.eto0 sólo es posi7le para 8ios/ Lei7ni e 4plica es to diciendo 1ue0 lo mismo 1ue en el caso de las raones de n=meros irracionales: Dla reducción implica un proceso infinito ! se apro4ima0 sin em7argo0 a una medida com=n0 de modo 1ue se o7tiene una serie definida pero intermina7le0 así re1uieren tam7i-n las verdades contingentes un análisis infinito 1ue sólo 8ios puede efectuarD/ $ De ci enti a !n iv ers ali seu al cu lo #h ilo so phi co , Htra dificultad a propósito de las verdades de 3ec3o resulta del principio de raón suficiente: D1ue afirma 1ue nada tiene lugar s in raón suficiente0 lo 1ue e1uivale a decir 1u e n ad a o cu rr e s i n 1 ue s ea p os i7 le0 p ar a 1 uie n co no c a las cosas suficientementeG dar una raón suficiente para decidir 1ue las cosas sean como son0 ! no de otro modoD/ sto es para Lei7ni no solamente una e43ortación general a 7uscar raones suficientes seg=n nuestras má4imas posi7ilidades 0 si no 1ue en alguna forma es tam 7i-n0 lo mismo 1ue el principio de contradicción0 un principio de inferencia ! análisis/ Sin em7argo0 la manera en 1ue -ste de7a aplicarse no se especifica claramente0 ! en muc3os casos0 si no en todos0 solamente 8ios conoce la s cosas en grado suficiente para 3acer posi7le su aplicación efica/ Para Lei7ni0 l as proposiciones matemáticas ! las proposiciones lógicas no son c ie rt as

de ning=n o7.eto eterno particular ni de o7.eto idealiado alguno0 producto de la a7stracción0 ni de 3ec3o0 de alguna otra clase de o7.etos/ Son ciertas por1ue su negación sería lógicamente imposi7le0 es decir0 son verdades necesarias/ La proposición matemática ! la proposición lógica son tanto Dproposición deD un o7.eto o una clase de o7.etos particulares0 como la proposición Dsi algo es una p l u m a ? lo es de mi pluma particular0 de la clase de las plumas0 o de la clase de los o7.etos físicos o de cual1uier otra clase de o7.etos/ Podríamos decir 1ue am7os tipos proposición $la lógica ! la matemática, son necesariamente ciertas de todos los o7.etos o de todas las situaciones posi7les o0 sirvi-ndonos de la c-le7re frase de Lei7ni0 en todos los mundos posi$les. Todas estas formulaciones de7en entenderse en el sentido de 1ue las verdades matemáticas ! l ógicas son c i e r t a s por1ue su negación seria lógicamente imposi7le/ Tenemos pues 1ue la proposición analítica0 1ue se remonta a #ant0 tiene como antecedente la noción de verdad de raón de Lei7ni/ #ant define las proposiciones analíticas como a1uellas donde el predicado está !a contenido en el concepto del su.eto como una de sus notas características/ n una proposición sint-tica0 en cam7io0 el predicado aporta una información acerca del su.eto 1ue no se encuentra en el propio concepto del su.eto/ Seg=n #ant0 la proposición >todos los cuerpos son e4tensos?0 sería una proposición analítica0 !a 1ue la el concepto de e4tensión está !a contenido en el concepto de cuerpo0 como una de las notas 1ue caracterian este concepto/ n cam7io0 seg=n #ant0 >todos los cuerpos son pesados? sería una proposición sint-tica0 pues el concepto de peso no está incluido en el concepto de cuerpo/ #ant además distingue entre proposiciones a priori ! proposiciones a  posteriori, ! dice 1ue las proposiciones a  priori son a1uellas cu!a verdad es independiente de la e4periencia ! 1ue las proposiciones a  posteriori son a1uellas cu!a verdad se funda en 3ec3os de la e4periencia/ Para #ant0 los enunciados de la matemática son enunciados a priori0 por1ue no dependen de o7servaciones ni en 3ec3os de la e4periencia0 pero contrario a lo 1ue esta7lece la mu! posterior tradición de la filosofía analítica0 para #ant los enunciados matemáticos no son analíticos/ Seg=n #ant0 la matemática pura no es analítica0 sino sint-tica a priori, toda ve 1ue es del tiempo ! el espacio $los descri7e,/ Por este motivo0 para #ant la matemática es una actividad constructiva 1ue presupone la actividad de la construcción0 1!e no significa postulación: DConstruir un conceptoD es ir más allá de proponer o consignar su definición: consiste en proveerlo de un o7.eto a  priori. Por e.emplo0 el concepto de una esfera de 1uince dimensiones congruente por si misma no puede construirse0 pese a 1ue podamos $! de7amos,  postular o7.etos para ella sí es 1ue vamos a enunciar 1ue en un DespacioD de cuando menos 1uince dimensiones Dse cumplenD cuando menos dos esferas sin ning=n DpuntoD com=n/ n cam7io podemos construir0 ! no meramente postular0 una esfera tridimensional0 o un círculo $esfera 7idimensional,0 en un espacio de tres dimensiones/ Su construcción resulta posi7le no sólo por la congruencia en si del concepto de > esfera tridimensional?0 sino por ser el espacio percepti7le lo 1ue es/ La construcción a priori de una esfera física tridimensional no de7e confundirse con la construcción de una esfera0 digamos0 de madera o de metal/ Sin em7argo0 la posi7ilidad de la construcción material se 7asa en la posi7 i l i d ad de la construcción a priori  Fla esfera de metal en la pos i7 il id ad de un a esfe ra en el espaci oF0 e4actamente del mismo modo 1ue la imposi7ilidad de la constituc ió n material de una esfera de 1uince dimensiones se 7asa en la imposi7ilidad de la correspondiente

construcción a priori. La e4plicación de #ant de las proposiciones de la ar it m-tica pura es si m i la r a su e4plicación de la geometría pura/ La proposición de 1ue al aadir ' unidades a I uni dades producimos J unidades descri7e F si nt -t i ca me nt e ! a p ri or i% algo construido en el tiempo ! el espacio0 e sto es0 la sucesión de unidades ! su reunión/ Conviene o7servar 1ue no se niega la posi7ilidad lógica de aritm-ticas alternativas/ Lo 1ue se afirma es 1ue esto s s istemas no serian descripciones del espacio ! el tiempo percepti7le/ :n resumen0 para #ant0 las proposiciones de la aritm-tica ! la geometría puras son proposiciones necesarias/ No o7stante0 son proposiciones sin t-t ica s a priori0 no analíticas/ Son sint-ticas por1ue son acerca de la estructura del espacio ! el tiempo t a l como lo reve la lo 1ue en -stos puede construirse/ K son a priori, por1ue espacio ! tiempo son condiciones invariantes de toda percepción de o7.etos materiales/ Las proposiciones de la matemática aplicada0 por su parte0 son a  posteriori en la medida de 1ue son acerca del material empírico de la percepción0 ! son a priori en la medida en 1ue son acerca de espacio ! tiempo/ L a matemática pura ti en e su o7.eto de estudio en la estructura del espacio ! el tiempo0 li7re de material empírico/ La matemática aplicada0 en cam7io0 tiene su o7.eto de estudio en la estructura del espacio ! el tiempo .untamente con el mat er ia l 1u e la llena/

4 2lfred 2!er coincide con #ant cuando afirma 1ue una proposición es analítica si es verdadera sólo en virtud de la significación de sus sím7olos constitu!entes0 !a 1ue0 si aceptamos la definición de #ant0 la verdad de una proposición analítica depende de si en realidad el concepto e4presado por su predicado forma parte de la significación del su.eto: no 3a! necesidad de recurrir a o7servaciones ni a la e4periencia para verificar una proposición analítica/ Pero 3a! un punto de divergencia entre la concepción de 2!er ! la de #ant: para 2!er toda proposición a  priori es necesariamente analítica0 mientras 1ue para #ant algunas proposiciones a priori pueden ser sint-ticas0 como ocurre0 seg=n -l0 con las proposiciones de la matemática/ 8e 3ec3o0 esta circunstancia0 1ue los enunciados de la matemática son sint-ticos e4plica 1ue en las matemáticas 3a!a descu7rimiento e invención/ Seg=n 2!er0 al contrario0 una proposición sólo es a priori cuando es una tautología ;u- entiende 2!er por tautología< Para 2!er0 !a lo 3emos dic3o0 una tautología es una proposición 1ue es verdadera en virtud de la significación de sus sím7olos/ 2!er sostiene 1ue las verdades de los enunciados de las matemáticas ! de la lógica son verdades necesarias0 una calificación 1ue se remonta a la filosofía de Aottlo7 Lei7ni0 1uien afirma7a la e4istencia de verdades de raón o verdades necesarias0 en el sentido de 1ue su negación constitu!e una contradicción o a7surdo/ 2 las verdades necesarias se oponen las verdades de 3ec3o0 cu!a verdad puede ser confirmada o refutada a partir de los 3ec3os de la e4periencia/ Para los empiristas ninguna proposición con contenido factual puede ser necesariamente verdadera0 entonces0 para ellos0 las verdades de la lógica de las matemáticas0 1ue consideran como necesarias0 carecen de contenido fáctico/ Siendo así0 las verdades matemáticas ! lógicas de7en fundarse en el significado de los componentes de las proposiciones 1ue las e4presanG por lo tanto0 se trata de proposiciones analíticas/

5 n un artículo de %6'0 ?T3e LaMs of Logic?0 2tr3ur Pap0 igual 1ue 2!er afirma 1ue las tautologías son enunciados cu!a verdad depende de los significados0 pero no de los conceptos e4presados por el su.eto de un .uicio sino del significado de las conectivas lógicas de la proposición0 por lo tanto la verdad de las tautología no depende de la e4periencia0 son verdades formales/ n esto coincide con la tradición analítica: al ser una verdades formales0 los principios o le!es lógicas son tautologías: su verdad depende del significado de las constantes lógicas ! no del significado de sus t-rminos descriptivos/ Pero Pap sostiene además 1ue 3a! le!es lógicas o verdades formales 1ue no son tautologías: si 7ien toda tautología es una verdad formal0 3a! enunciados analíticos o verdades formales 1ue no son tautologías0 incluso 3a! enunciados 1ue son sint-ticos a priori0 es decir0 independientes de la e4periencia/ Pap cuestiona la tesis de 1ue todas las proposiciones necesarias son tautologías ! sostiene 1ue tanto en lógica como en matemáticas e&iste descu$rimiento de verdades a través de procesos estrictamente intelectuales0 como lo es el descu7rimiento de tautologías por la aplicación de un procedimiento de decisión mecánico como lo es el m-todo de las ta7las de verdad/ uine0 en su li7ro  Desde un punto de vista Lógico0 en el capítulo >8os dogmas del empirismo?0 presenta una crítica al empirismo lógico al o7servar 1ue tanto la distinción entre verdades analíticas ! verdades sint-ticas como la creencia de 1ue todo enunciado con sentido e1uivale a alguna construcción lógica 7asada en t-rminos 1ue refieren a la e4periencia0 son simples dogmas de los 1ue perfectamente se puede prescindir con el costo de derivar en una orientación 3acia el pragmatismo/ Seg=n uine0 dado 1ue la verdad en sentido general depende a la ve del lengua.e ! del 3ec3o ling@ístico0 se cae en la tentación de suponer 1ue la verdad de un enunciado es algo analia7le en un componente ling@ístico ! en un componente fáctico/ ntonces0 se considera 1ue en los enunciados analíticos0 el componente fáctico es nulo/ Todo esto puede ser mu! raona7le a priori0 pero no 3a! línea divisoria propiamente tal entre enunciados analíticos ! sint-ticosG sigue siendo un dogma de los empiristas/

Wittgenstein En su Tractatus logico-philosophicus,  Ludwig Wittgenstein sostenía que toda proposición genuina es una función de verdad de proposiciones elementales, así como el mundo en su complejidad era el resultado de la acumulación de hechos simples. Una vez en posesión de proposiciones elementales  conociendo la forma general de la proposición, se podría decir todo lo que el lenguaje permitiría e!presar" La proposición es la e!presión del acuerdo  desacuerdo con la posi#ilidad de verdad de las proposiciones elementales. Tractatus. $roposición %.%. La proposición es la e!presión de sus condiciones de verdad Tractatus. $roposición %.%&'

$ara Wittgenstein tenían especial importancia dos tipos de proposiciones" las tautologías  las contradicciones" Entre los posi#les grupos de condiciones de verdad, ha dos casos e!tremos. En uno la proposición es verdadera para todas las posi#ilidades de verdad de las proposiciones elementales. (osotros decimos que las condiciones de verdad son tautológicas. En el otro caso la proposición es falsa para todas las posi#ilidades de verdad" las condiciones de verdad son contradictorias. Tractatus. $roposición %.%) La proposición muestra aquello que dice* la tautología  la contradicción muestran que no dicen nada. La tautología no tiene condiciones de verdad, pues es incondicionalmente verdadera*  la contradicción #ajo ninguna condición es verdadera. Tractatus. $roposición %.%)'

Esa relación de dependencia entre el valor de verdad de una proposición  el valor o condiciones de verdad de su proposiciones elementales es lo que llamamos concepción veritativo+funcional de la verdad de las proposiciones" La proposición es una función de verdad de la proposición elemental. La proposición elemental es una función de verdad de sí mismaTractatus. $roposición . Las proposiciones proposiciones.

elementales

son

los

argumentos

de

verdad

de

las

Tractatus. $roposición ./'