Apuntes sobre análisis matemático II

Nelson G. Lombardo

Apuntes de Análisis Matemático II. Nelson G. Lombardo Primera edición: Abril 2008 Edición: © Copyright 2008-2009, Nelson G. Lombardo. Esta documentación esta licenciada bajo los términos de la Licencia GNU para la Documentación Libre. Ver en http:/www.gnu.org/copyleft/ This documentation is licensed under the terms of the GNU Free Documentation License. See http:/www.gnu.org/copyleft/ . Para cualquier consulta sobre este texto en forma electrónica se pide que el subject o sujeto sea: “amII”. Esta edición electrónica se ha realizado íntegramente con software libre, mediante el procesador Lyx. Imagen de tapa: Función de ejemplo ’Trap’ dentro de las "IsoSurface" del software K3DSurf v0.6 (GPL). Editada usando GIMP 2.4.0-rc3 ("GNU Image Manipulation Program").

Índice general Capítulo 1. Acerca del texto 1.1. Objetivo 1.2. Metodología 1.3. Consideraciones 1.3.1. Enunciados de los ejemplos 1.3.2. Referencias pasadas 1.3.3. Función trigonométrica 1.3.4. Función trigonométrica inversa 1.3.5. Sobre el lenguaje

1 1 1 1 1 2 2 2 2

Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales 2.1. Teoría 2.1.1. Ecuaciones Lineales 2.1.2. Clasificación 2.2. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

3 3 3 3 5

Capítulo 3. Funciones de dos variables 3.1. Ejemplos de funciones de dos variables

24 24

Capítulo 4. Integrales 4.1. Ejemplos de integrales dobles

39 39

Capítulo 5. Transformada de Laplace 5.1. Requisitos 5.2. Transformadas indirectas 5.2.1. Trigonométricas

44 44 44 44

Capítulo 6. Tablas 6.1. Derivadas 6.1.1. Básicas 6.1.2. Trigonométricas 6.1.3. Trigonométricas inversas 6.1.4. Hiperbólicas 6.2. Integrales 6.2.1. Básicas 6.2.2. Racionales que contienen a + bu

45 45 45 45 45 45 45 45 45

Capítulo 7.

47

Historial

Bibliografía

48

iii

CAPíTULO 1

Acerca del texto 1.1.

Objetivo

Este texto intenta resolver ejercicios típicos de la cátedra de Análisis Matemático II para ayudar en el aprendizaje de esta materia básica para Ingeniería. Espera ayudar a los alumnos que están en la cátedra o por rendir el final de la materia. Los ejercicios que se presenta son extraídos directamente de los prácticos que generalmente se presentan. La resolución de los siguientes ejercicios fue en gran parte realizada por el autor y en algunos casos especiales se necesito de ayuda del JTP (Jefe de Trabajos Prácticos) puesto que en el momento de resolverlos como es costumbre el alumno no siempre tiene las “herramientas” de resolución pulidas y cada tanto algunos casos en esos momentos no pudieron resolverse. La idea en estas páginas, es ayudar al lector que supongo ha de estar en la misma situación que estuvo el autor al cursar la materia, facilitar la interpretación de los ejercicios es fundamental puesto que en los momentos en donde se cursan la materia la visión del alumno es un poco más “reducida”, puesto que entre los estudiantes en primera instancia no son capaces de contemplar todo el panorama y como los Profesores y Ayudantes ya poseen un conocimiento más amplio que a veces apabullan, con lo cual es difícil comprender del todo las técnicas y definiciones. No se intenta evadir de ninguna forma el aporte del estudio formal en la cátedra, sino ampliar e intentar llegar a mejores interpretaciones de la teoría y práctica a través de ejercicios resueltos como “recetas”. ¿Cuantas veces se tiene ese click en la mente al ver un ejercicio resuelto o sólo al ver una parte? 1.2.

Metodología

Los ejercicios están resueltos de la forma más lógica teniendo en cuenta de cómo se suelen resolver entre varias personas. Cuando se deba resolver sistemas de ecuaciones se resolverán por el método de Gauss-Jordan, es el método con que el autor se siente más cómodo, el lector podrá evadir (si quiere) esta parte aunque la resolución siempre será desarrollada. En el último capitulo del texto se destinará para los cambios realizados sobre el mismo para poder llevar un control más preciso y que el lector que utilice este material pueda visualizar más cómodamente el progreso y mejoras como también los errores que se estén dando. 1.3.

Consideraciones

1.3.1. Enunciados de los ejemplos. Se opto por introducir al principio de los enunciados un código sencillo y con colores para tener una primera aproximación sobre la dificultad del ejercicios y si se resolvió a través de caminos alternativos. El código es como sigue: [1] = sencillo [2] = intermedio [3] = difícil [4] = asistido con profesor Se le concatenara la letra “a” cuando la resolución sea a través de más de una alternativa: [3a] = difícil con resolución alternativa A veces algunos ejercicios se resolverán en parte suponiendo los resultados parciales como generales y dejando al lector la resolución complementaria para la práctica, la forma de indicar esto es utilizando la letra “p” como por ejemplo: [1p] = sencillo con resolución parcial 1

1.3. CONSIDERACIONES

2

Algunos ejercicios son problemas de Física por lo que aunque su resolución en general no variara pero si se indicará con la letra “F”: [2F] = intermedio, problema Física En ciertas ocasiones, algunos de los ejemplos necesitan de cálculo numérico para ser resueltos, en esos casos el siguiente icono a resolver. 1.3.2.

indicara el uso de software de cálculo especializado según el ejercicio

Referencias pasadas. Cuando se necesite realizar referencias sobre resoluciones anteri-

ores se etiquetara la zona a tomar nota con un icono esta requiriendo esta marca.

y se hará la referencia a la página donde se

1.3.3. Función trigonométrica. Por cuestiones técnicas a la función seno se la denominara “sin” y no como “sen”. 1.3.4.

Función trigonométrica inversa. Se adopta la siguiente convención: arcsin (x) | sin−1 (x) = asin (x)

1.3.5. Sobre el lenguaje. Muchos de los cambios en la redacción de las funciones, generalmente trigonométricas se debe al uso del formato AMSbook del LYX, en general esta más acorde para la utilización de software de análisis numérico que en general es de gran ventaja familiarizarse con los comandos, la mayor parte de las veces y en gran parte de los software que existen se denotan las funciones como se han escrito en este texto hasta ahora.

CAPíTULO 2

Ecuaciones Diferenciales 2.1. 2.1.1.

Teoría

Ecuaciones Lineales. diferenciales

   

(

ordinarias

lineales no lineales

  parciales

Ordinaria Lineal. Donde la variable y no esta afectada: tan y √ (sin x) y n − 2 − xy = ex x Ordinaria No Lineal. La variable y esta afectada tan y √ sin (xy) y 00 − 2 y 0 − y = ey x 2.1.2. Clasificación. Lineales de 1er orden homogénea. Veamos la forma a (x) y 0 + b (x) y = c (x) b (x) c (x) y0 + y= a (x) a (x)

.

y 0 + P (x) y = Q (x) Es homogénea cuando Q (x) = 0, o sea: y 0 + P (x) y = 0 Para resolverlas se introduce un factor integrante al que llamamos µ (x) µ (x) y 0 + µ (x) P (x) y = 0 Supondremos que la ecuación es la derivada del producto µ (x) y: µ (x) y = µ0 (x) y + µ (x) y 0 Se igualan las expresiones µ (x) y 0 + P (x) µ (x) y = µ0 (x) y + µ (x) y 0 P (x) µ (x) y = µ0 (x) y µ0 (x) P (x) = µ (x) Integrar miembro a miembro Z

µ0 (x) dx µ (x)

Z

P (x) dx = Z

P (x) dx = ln (µ (x)) ∴ e

R

P (x)dx

= µ (x)

Se puede realizar la sustitución e

R

R

P (x)dx 0

y + P (x) e

R

e

P (x)dx 3

y

0

P (x)dx

=0

y=0

2.1. TEORÍA

4

Integrar R

e

P (x)dx

y=C

Despejamos y y = Ce−

R

P (x)dx

Lineales de 1er orden no homogénea. De la forma y 0 + P (x) y = Q (x) R

e

P (x)dx

= µ (x)

Realizando la sustitución µ (x) y 0 + P (x) µ (x) y = Q (x) µ (x) y 0 0

(µ (x) y) = Q (x) µ (x) Integrar Z

µ (x) y =

Q (x) µ (x) dx

Despejamos y R

y=

Q (x) µ (x) dx µ (x)

Por lo que y = e−

R

Z

P (x)dx

R

Q (x) e

P (x)dx

No lineales de 1er orden de variables separables. De la forma dy = f(x;y) dx h(y) dy = g(x) dx y0 =

g(x) dy = dx h(y)

. Homogéneas. Todos los términos tienen el mismo grado F(x;y) = y 0 Por ejemplo, la variable de esta ecuación diferencial v=

y x

entonces y0 =

x2 + y 2 x2

y0 =

x2 y2 + x2 x2

es homogénea

y0 = 1 +

2

y

x

dx

2.2. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

2.2.

5

Ejemplos de ecuaciones diferenciales

Ejemplo 1. [1] Resolver directamente: y 0 = x ex

2

Desarrollo 1. En primer lugar reescribiremos esta ecuación para una mayor claridad: dy 2 = x ex dx

dy = x ex

2

dx

La idea es integrar directamente miembro a miembro pero al segundo miembro no se puede integrar R 2 puesto que matemáticamente no existe ex dx, por lo que una buena alternativa sería realizar un cambio de variables, por ejemplo convertir a x2 como la nueva variable m, entonces resultaría en x2 = m Al realizar un cambio de variables se debe realizar los cambios no sólo en función de la antigua variable también de su diferencial, √ 0 m (x)0 = 1 dx = √ dm 2 m procederemos a realizar la sustitución,

dy = x ex dy = simplificamos

√

√

m em

2

dx

1 √ dm 2 m

m dy =

1 m e dm 2

sólo resta integrar 1 em dm 2 1 y = em + c 2 Volveremos a sustituir para volver a la variable original para obtener la solución: Z

Z

dy =

y=

1 x2 e +c 2

Verificaremos si la solución que se obtuvo es correcta 1 2 y = ex + c 2 dy 1 2 = 2x ex + 0 dx 2 y 0 = x ex

2

El cambio de variables ayudo a resolver esta ecuación diferencial. Ejemplo 2. [1] Comprobar que la solución dada es la correcta y determinar el valor de c para que la solución particular satisfaga la condición inicial: y y0 + x = 0 y 2 + x2 = c


6

Desarrollo 2. Se comenzara despejando la variable y de la solución particular y=

p

c − x2

se derivara miembro a miembro y0 = − √

x c − x2

en la ecuación diferencial se realizaran las sustituciones correspondientes y y0 + x = 0 p

c−

x2

−√

x c − x2

+x=0

De la solución particular el valor de c√es siempre≥ 0 y además que c ≥ x2 , por lo que resulta de este análisis la simplificación del término c − x2 : −x + x = 0 Por lo que resta verificar que la solución particular dada es correcta. Se necesita hallar el valor de c que satisfaga las condiciones iniciales √

r

2=

c−

√

√

2=

√ 2

2

c−2

2=c−2 c=4 Ejemplo 3. [1] Determinar la raíz cuadrada de 5. √Desarrollo 3. Utilizando el cálculo diferencial se calculará la la 4 como trabaja la tangente:

√

5. Estudiamos en la cercanía de

Figura 2.2.1. Notar que la función en cercanías de la tangente el el punto (4; 2) prácticamente se confunde, si nos acercamos mejor


7

Figura 2.2.2. Entonces es posible aplicar que: y=

√

x

si diferenciamos 1 dy = √ dx 2 x si reemplazamos dx = 1 y x = 4 dy =

1 4

ahora sólo queda plantear lo visto gráficamente √ √ 5 = 4 + dy √ 1 5=2+ 4 √ 5 ≈ 2,25 √ el valor más aproximado de la 5 = 2,236, notemos que la diferencia es 0,014, o sea que el error es del 0, 626 % por encima del valor real. Puesto que el valor más cerca que conocemos con exactitud es la raíz de 4 el dx es la unidad pero si conociéramos una raíz más cercana el cálculo se refinaría mucho más. Ejemplo 4. [1] Determinar el valor de r al sustituir y = erx en la ecuación diferencial: 3y 00 + 3y 0 − 4y = 0 Desarrollo 4. Para poder determinar el valor de r se necesita sustituir el valor de la variable y, pero en primera instancia se ha de derivar y dos veces y = erx y 0 = r erx y 00 = r2 erx se pueden realizar las sustituciones correspondientes

3 r2 erx + 3 (rerx ) − 4 (erx ) = 0 factor común erx


8

erx 3r2 + 3r − 4 = 0 Esta ecuación tendrá solución cuando alguno de los dos factores o ambos sea cero, del análisis erx 6= 0 por lo que el primer factor nunca puede anularse entonces el segundo factor es el único factor que podría anularse 3r2 + 3r − 4 = 0 utilizando la resolvente (−3) ±

r1−2 =

p

(32 ) − [(4) (3) (−4)] (−2) (3)

se obtiene r1 ≈ −0,7583 r2 ≈ 1,7583 Como existen dos raíces reales para esta ecuación, los valores calculados de r1 y r2 verifican la ecuación diferencial original. Ejemplo 5. [1] Mediante separación de variables resolver la siguiente ecuación diferencial teniendo en cuenta la condición inicial y(0) = 1: y 0 + 5x4 y 2 = 0 Desarrollo 5. Nuevamente se comenzara agrupando convenientemente las variables dy + 5x4 y 2 = 0 dx dividiendo por y 2 y multiplicando por dx dy + 5x4 dx = 0 y2 dy = −5x4 dx y2 se procederá a integrar Z

reescribir

1 y2

1 dy = −5 y2

Z

x4 dx

Z

x4 dx

en forma de exponente Z

y

−2

dy = −5

integrar directamente −y −1 = −5

x5 +c 5

1 = −x5 + c y Reescribir dejando en función de x como generalmente se trabaja −

−

1 =y c − x5


9

Se analizara este resultado a través de las condiciones iniciales para hallar el valor de c: 1 c − 05 1 1=− c

1=−

c = −1

Ejemplo 6. [1] Resolver con el valor inicial y( 1 π) = −1: 4 y 0 = 4 y + 1 cos (2x) p

Desarrollo 6. Se comienza la resolución con el agrupamiento conveniente p dy = 4 y + 1 cos (2x) dx 1 √ dy = 4 cos (2x) dx y+1 Para realizar una integración más sencilla se realizara un cambio de variables

m=y+1 como en cualquier cambio de variables también se necesita hallar los diferenciales pertinentes dm = dy Se realiza la sustitución, se escribe la raíz en forma de exponente y se integra Z

1

m− 2 dm = 4

Z

cos (2x) dx

1

2m− 2 = −4 sin (2x) 2 + c 1

2m− 2 = −8 sin (2x) + c Resuelta la integral se vuelve a las variables originales: 1

2 (y + 1)− 2 = −8 sin (2x) + c reescribir en función de x e y a la constante c, una técnica muy utilizada cuando la separación de variables no es viable en primera instancia 1

2 (y + 1)− 2 + 8 sin (2x) = c De la condición inicial se intenta obtener el valor de c: 2 (−1 + 1)

− 12

1 + 8 sin 2 π 4

=c

1 8 sin π =c 2

Ejemplo 7. [1] Resolver la siguiente ecuación homogénea usando separación de variables sustituyendo u = xy : x2 y 0 = y 2 + xy + x2


Desarrollo 7. Por el tipo de la sustitución se necesita agrupar de forma que se respete x2

dy = y 2 + xy + x2 dx

dividimos por x2 dy y2 y = 2 + +1 dx x x En esta última expresión notamos que se repite la forma de la sustitución sugerida y x como cualquier sustitución requiere de el cálculo de la derivadas correspondientes u=

ux = y derivando factores du dx dy x+u = dx dx dx u0 x + u = y 0 con este último resultado la sustitución ya es posible y2 y dy = 2 + +1 dx x x xu0 + u = u2 + u + 1 cancelamos los términos u xu0 = u2 + 1 el próximo paso es la separación de variables du = u2 + 1 dx 1 1 du = dx u2 + 1 x x

ya es posible la integración Z

1 du = 2 u +1

Z

1 dx x

La integración es directa: atan (u) = ln (x) + c sustituyendo por las variables originales y = ln (x) + c x Puesto que no se puede lograr la separación de variables en primera instancia reescribimos

atan

y x

c = atan

− ln (x)

Ejemplo 8. [2a] Empleando la sustitución x2 y 2 = u resolver:

y 0 2x2 y = tan x2 y 2 − 2xy 2

10


11

Desarrollo 8. Se aplicaran dos caminos para la resolución, se comienza utilizando los despejes normales: x2 y 2 = u r u y= x2 √ u y= x derivar y y0 =

1 √ u0 x − 2 u x2

√

u

Se realizará la sustitución y se trabajará algebraicamente √ 1 √ u0 x − u √ u 2 u 2x u = tan (u) − 2 2 x x u x2 u0 − 2xu = tan (u) − 2 2 x x x2 u0 2xu u − 2 = tan (u) − 2 x2 x x u u u0 − 2 = tan (u) − 2 x x cancelar lo que resulta en

u0 = tan (u) agrupar du = tan (u) dx du = dx tan (u) 1 du = dx sin(u) cos(u)

cos (u) du = dx sin (u) integrar cos (u) du = dx sin (u) para este cálculo una buena opción es la realización de una nueva sustitución Z

Z

z = sin (u) dz = cos (u) du sustituir e integrar Z

1 dz = z

Z

dx

ln (z) + c = x se volverá a las variables originales z = sin (u) por lo tanto z = sin x2 y 2


+c=x

=x−c

ln sin x2 y 2 ln sin x2 y 2

x − c = ln sin x2 y 2

12

con las propiedades de logaritmos se trabajara ex−c = eln(sin(x

como

1 ec

2 y2

))

ex 2 2 = sin x y ec sigue siendo una constante la llamaremos C

sin x2 y 2 C= ex

En este ejercicio se puede optar por una resolución diferente que logrará el mismo resultado, empezando por derivar y 2 : x2 y 2 = u u y2 = 2 x derivar u0 x2 − u2x 2yy 0 = x4 y0 =

u0 x2 − u2x 2yx4

Ahora si se reemplaza

y 0 2x2 y = tan x2 y 2 − 2xy 2 !

u0 x2 − u2x 2yx2 = tan (u) − 2xy 2 2yx4 simplificar el primer miembro u0 x2 − u2x = tan (u) − 2xy 2 x2 multiplicar por x2 u0 x2 − 2ux = tan (u) x2 − 2x3 y 2 terminar de sustituir u0 x2 − 2ux = tan (u) x2 − 2ux cancelar u0 x2 = tan (u) x2 dividir por x2 u0 = tan (u) Notar que se ha llegado a la misma forma que en la página anterior por lo que el desarrollo continua como se realizo anteriormente. Ejemplo 9. [1] Resolver usando la sustitución u = y − 3: y0 =

q

6y − y 2 − 8

Desarrollo 9. Se comienza despejando y de la sustitución


u+3=y derivamos para poder realizar la sustitución u0 = y 0 reemplazar y0 = q

u0 =

q

6y − y 2 − 8

6 (u + 3) − (u + 3)2 − 8

distributiva u0 =

q

u0 =

q

6u + 18 − (u + 3) (u + 3) − 8

trabajo algebraico

u0 =

6u + 10 − (u2 + 3u + 3u + 9) q

6u + 10 − (u2 + 6u + 9)

cancelar 6u p

u0 =

6u + 10 − u2 − 6u − 9 u0 =

p

1 − u2

realizar la separación de variables du p = 1 − u2 dx √

1 du = dx 1 − u2

√

1 du = 1 − u2

integramos directamente Z

Z

dx

asin (u) + c = x reemplazamos u = y − 3 asin (y − 3) + c = x por último despejamos c por la dificultad que presenta separar x e y: c = x − asin (y − 3)

Ejemplo 10. [1] Resolver utilizando la sustitución lineal y − x = u: y0 =

y−x+1 y−x+5

Desarrollo 10. Se comienza despejando y como normalmente se realiza

13


y−x=u y =u+x también se deriva correspondientemente y 0 = u0 + 1 Se comienza con el trabajo de sustitución sobre la ecuación: y−x+1 y−x+5 u+1 u0 + 1 = u+5 y0 =

se empieza el trabajo algebraico u0 =

u+1 −1 u+5

común denominador (u + 5) u+1−u−5 u+5 −4 u0 = u+5 se puede realizar la separación de variables u0 =

du −4 = dx u+5 (u + 5) du = −4dx Ya es posible la integración: Z

(u + 5) du = −4

Z

Z

u du + 5

Z

du = −4

dx Z

dx

u2 + 5u = −4x + c 2 reemplazar u por y − x (y − x)2 + 5 (y − x) = −4x + c 2 puesto que la separación de x e y no es posible se despejará c (y − x)2 + 5 (y − x) + 4x = c 2 (y − x)2 + 5y − 5x + 4x = c 2 (y − x)2 + 5y − x = c 2

Ejemplo 11. [1] Resolver la siguiente ecuación diferencial, comprobar de que tipo es:

6xy − y 3 dx + 4y + 3x2 − 3xy 2 dy = 0

14


15

Desarrollo 11. Sin realizar cálculos es posible ver que la separación de variables no va ha ser posible, revisemos a ver si la ecuación es del tipo diferencial total: M (x;y) = 6xy − y 3 → My0 = 6x − 3y 2 N (x;y) = 4y + 3x2 − 3xy 2 → Nx0 = 6x − 3y 2 Como las derivadas parciales cruzadas son iguales entonces la ecuación diferencial dada es exacta, por lo tanto procedemos a resolver, por simpleza de calculo tomamos M (x;y) : Z

M (x;y) dx =

Z

6xy − y 3 dx

Fy = 3yx2 − y 3 x + g(y) Derivar en y

Fy0 = 3yx2 − y 3 x + g(y) dy 0 Fy0 = 3x2 − 3y 2 x + g(y) 0 , igualando Calcular g(y)

Fy0 = N(x;y) 0 g(y) = 4y

integrando con respecto a y Z

0 g(y) =4

Z

(y) dy

g(y) = 2y 2 + c Por lo que la función potencial es: F(x;y) = 3x2 y − xy 3 + 2y 2 + c

Ejemplo 12. [1] Resolver la siguiente ecuación diferencial, comprobar de que tipo es: (4y) dx + (x) dy = 0 Desarrollo 12. Se tratara como una ecuación diferencial exacta: M (x;y) = 4y → My0 = 4 N (x;y) = x → Nx0 = 1 La ecuación no es exacta pero las derivadas parciales cruzadas sólo difieren en una constante, es posible que la ecuación sea reducible a exacta. Se intentara hallar el factor integrante: f(x) =

My0 − Nx0 N(x,y)

4−1 x 3 f(x) = x Como f(x) sólo esta dependiente de una sola variable y es x entonces se ha encontrado un factor integrante, procedemos a su cálculo f(x) =

R

ñ(x) = e

f(x) dx

ñ(x) = e3

R

1 dx x


16

la integral es directa ñ(x) = e3 ln x por propiedades de logaritmos al factor 3 se lo transforma en un exponente ñ(x) = eln x

3

nuevamente se aplicamos propiedades de los logaritmos ñ(x) = x3 Se ha de introducción el factor integrante en la ecuación diferencial original para transformarla en exacta: ñ(x) ((4y) dx + (x) dy) = 0 x3 ((4y) dx + (x) dy) = 0

4yx3 dx + x4 dy = 0

verificar si la “nueva” ecuación diferencial es exacta M (x;y) = 4yx3 → My0 = 4x3 N (x;y) = x4 → Nx0 = 4x3 Realizada la comprobación se comienza la resolución como cualquier ecuación diferencial exacta: Z

N (x;y) dy = x4 y + g(y) 0 Fx0 = 4x3 y + g(y)

F(x;y) = M(x;y) 0 g(y) =0

integrar Z

0 g(y) dy

Z

=

(0) dy

g(y) = c La función potencial es: F(x;y) = x4 y + c

Ejemplo 13. [1] Encontrar la solución de la siguiente ecuación homogénea de segundo: y 00 + 6y 0 + 9y = 0 Desarrollo 13. Realmente sencilla de resolver, por ser homogénea solo debemos hallar la solución complementaria:


17

r2 + 6r + 9 = 0 aplicando resolvente r = −3 La ecuación anterior tiene raíces reales y coincidentes por lo que la solución complementaria es: YC = (c1 + c2 x)e−3x

0 = 11: Ejemplo 14. [1] Resolver con las condiciones iniciales y(0) = 7 e y(0)

y 00 − 4y 0 + 3y = 0 Desarrollo 14. En primera instancia se comenzará calculando la solución complementaria: r2 − 4r + 3 = 0 aplicando resolvente (

r1 = 3 r2 = 1 Como las raíces son reales y distintas la solución complementaria es: YC = c1 e3x + c2 ex Se trabajara con las condiciones iniciales dadas para hallar el valor de c1 y c2 , primero es necesario hallar las correspondientes derivadas de la solución complementaria

YC0 = c1 e3x + c2 ex

0

YC0 = 3c1 e3x + c2 ex De esta forma se armará el sistema de ecuaciones para hallar los valores de los coeficientes utilizando 0 = 11 las condiciones iniciales y(0) = 7 e y(0) (

7 = c1 e0 + c2 e0 11 = 3c1 e0 + c2 e0 (

c1 + c2 =7 3c1 + c2 = 11 El sistema de ecuaciones puede resolverse mediante cualquier método que el lector conozca, en este caso se resolverá usando Gauss-Jordan:

1 1 7 3 1 11 se toma como pivote la posición (1, 1) y se ejecuta el algoritmo

1 1 7 0 −2 −10

se divide por −2 la segunda fila

1 1 7 0 1 5 se toma como pivote la posición (2, 2) y se ejecuta nuevamente el algoritmo

1 0 2 0 1 5


18

por lo que la soluciones son (

c1 = 2 c2 = 5 La solución complementaria con las condiciones iniciales: YC = 2e3x + 5ex

0 = 2: Ejemplo 15. [2] Resolver con las condiciones iniciales y(0) = 1 y y(0)

y 00 − 3y 0 + 2y = 3e−x − 10 cos (3x) Desarrollo 15. En este caso la ecuación diferencial no es homogénea por lo que necesitamos encontrar las soluciones particulares y complementaria, se comienza por la última: r2 − 3r + 2 = 0 aplicando resolvente (

r1 = 2 r2 = 1

La solución complementaria es: YC = c1 e2x + c2 ex El cálculo de la solución particular en este caso se podrá separar en dos términos, se resolverá en primer lugar el primer término por lo que se propone una solución particular para esta forma: YP1 = (Bx + C) e−x distributiva YP1 = Bxe−x + Ce−x se calcula la primer derivada YP0 1 = Be−x − Bxe−x − Ce−x se calcula la segunda derivada YP001 = −2Be−x + Bxe−x + Ce−x Se reemplaza en la ecuación diferencial original pero igualando solamente al primer término: y 00 − 3y 0 + 2y = 3e−x −2Be−x + Bxe−x + Ce−x − 3Be−x + 3Bxe−x + 3Ce−x + 2Bxe−x + 2Ce−x = 3e−x trabajando algebraicamente −5Be−x + 6Bxe−x + 6Ce−x = 3e−x se necesita que los coeficientes de los términos e−x tomen el valor 3 y que los restantes se anulen: (

+6B + 0 −5B + 6C

=0 =3

Resolver el sistema de ecuaciones1, en este caso se utiliza el método de Gauss-Jordan:

6 0 0 −5 6 3

se divide la primer fila por 6 1El lector puede utilizar cualquier método para la resolución.


1 0 0 −5 6 3

19

se toma como pivote la posición (1, 1) y se aplica el método

1 0 0 0 36 18

se divide la segunda fila por 36

1 0 0 0 1 21

las soluciones del sistema son (

B=0 C = 12

Por lo que la primer solución particular tiene la siguiente forma: 1 YP1 = e−x 2 Se procede con genera la segunda parte de la solución particular, en general al existir funciones trigonométricas (seno o coseno) se trabajará como sigue: YP2 = A sin (3x) + D cos (3x) hallamos la primer derivada YP0 2 = 3A cos (3x) − 3D sin (3x) también hallamos la segunda derivada YP002 = −9A sin (3x) − 9D cos (3x) Se reemplaza en la ecuación diferencial original esta vez igualando al segundo término: y 00 − 3y 0 + 2y = −10 cos (3x) −9A sin (3x) − 9D cos (3x) − 9D cos (3x) + 9D sin (3x) + 2A sin (3x) + 2D cos (3x) = −10 cos (3x) se procede algebraicamente agrupando convenientemente (−7A + 9D) sin (3x) + (−9A − 7D) cos (3x) = −10 cos (3x) puesto que la solución de la ecuación diferencial requiere de la función trigonométrica coseno se debe hallar los coeficientes de la función seno para anularla, se procede a armar el siguiente sistema de ecuaciones (

−7A + 9B −9A − 7B

=0 = −10

Resolver el sistema de ecuaciones2, se vuelve a recurrir al método Gauss-Jordan,:

−7 9 0 −9 −7 −10

0 1 − 79 −9 −7 −10

dividir la primer fila por −7

el pivote a usar será el de la posición (1, 1) 2El lector puede utilizar cualquier método para la resolución.


"

1 − 79 0 − 130 7

0 −10

"

0

20

#

7 se multiplica la segunda fila por − 130

1 − 79 0 1

#

7 13

la posición (2, 1) será el nuevo pivote "

1 0 0 1

9 13 7 13

#

las soluciones del sistema presentado son: (

9 A = 13 7 D = 13

La forma que adopta la segunda parte de la solución particular es: YP2 =

9 7 sin (3x) + cos (3x) 13 13

Sólo resta agrupar las soluciones y presentar la solución general: YG = YC + YP1 + YP2 9 7 1 sin (3x) + cos (3x) YG = c1 e2x + c2 ex + e−x + 2 13 13 Luego de obtener YG restaría hallar los valores de c1 y c2 que estén en concordancia con las condiciones iniciales: (

y(0) = 1 0 =2 y(0)

(

YC = c1 e2x + c2 ex YC0 = 2c1 e2x + c2 ex

reemplazando (

1 = c1 + c2 2 = 2c1 + c2

Se puede resolver el sistema de ecuaciones, se utiliza el método de Gauss-Jordan:

1 1 1 2 1 2

el pivote a usar es la posición (1, 1)

1 1 1 0 −1 0

dividir la segunda fila por −1

1 1 1 0 1 0

la única posición que se puede utilizar como pivote es (2, 1)

las soluciones son:

1 0 1 0 1 0


(

21

c1 = 1 c2 = 0

Por lo que la solución general con las condiciones iniciales dadas es: 1 9 7 YG = e2x + e−x + sin (3x) + cos (3x) 2 13 13

x

Ejemplo 16. [1] Verificar que la solución particular YP = 6 ex sea solución de la ecuación y encontrar la solución general: ex x Desarrollo 16. Comenzar calculando la primer derivada de YP : y 00 − 2y 0 + y = 12

YP0 =

6ex x − 6ex x2

también calcular la segunda derivada 6ex x3 − 12ex x2 + 12ex x x4 Reemplazar en la ecuación diferencial dada: YP00 =

6ex x3 − 12ex x2 + 12ex x x4

!

6ex x − 6ex −2 x2

+6

ex ex = 12 x x

distributiva

ex ex ex ex ex ex ex − 12 2 + 12 3 − 12 + 12 2 + 6 = 12 x x x x x x x cancelar los términos correspondientes 6

ex ex = 12 x x Se puede concluir que la solución particular dada es solución de la ecuación diferencial. Se intentara hallar la solución general, comenzando por al solución complementaria: 12

r2 − 2r + 1 = 0 a través de la resolvente r=1 por existir raíces reales coincidentes la solución complementaria es YC = (c1 + c2 x) ex Con este último cálculo se puede proponer la solución general: YG = (c1 + c2 x) ex + 6

ex x

Ejemplo 17. [2] Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de orden superior teniendo en cuenta las condiciones iniciales y(0) = 1 y y(0) = −3: y 00 − 4y 0 + 3y = 10e−2x Desarrollo 17. La resolución comienza por la búsqueda de la solución complementaria:


r2 − 4r + 3 = 0 resolviendo usando la resolvente (

r1 = 3 r2 = 1

por lo que la solución complementaria sería YC = c1 e3x + c2 ex Se propone una solución particular para la forma 10e−2x : YP = Bxe−2x + Ce−2x hallando la primera derivada YP0 = Be−2x − 2Bxe−2x − 2Ce−2x como así la segunda YP00 = −4Be−2x − 4Bxe−2x − 4Ce−2x Se realizara el reemplazo correspondiente: y 00 − 4y 0 + 3y = 10e−2x −4Be−2x − 4Bxe−2x − 4Ce−2x − 4Be−2x + 8Bxe−2x + 8Ce−2x + 3Bxe−2x + 3Ce−2x = 10e−2x realizando trabajo algebraico la ecuación se reduce a −8Be−2x + 7Bxe−2x + 7Ce−2x = 10e−2x Se necesita anular el termino xe−2x y lograr que el coeficiente de los términos e−2x sea 10: (

+7B + 0 −8B + 7C

=0 = 10

Resolver el sistema de ecuaciones (Gauss-Jordan por ejemplo):

7 0 0 −8 7 10

1 0 0 −8 7 10

se divide la primer fila por 7

la posición (1, 1) será el pivote en este cálculo

1 0 0 0 49 70

1 0 0 1

la segunda fila se divide por 49 0 10 7

las soluciones (

B=0 C = 10 7

La solución general sería:

22


YG = c1 e3x + c2 ex +

10 −2x e 7

23

CAPíTULO 3

Funciones de dos variables 3.1.

Ejemplos de funciones de dos variables

Ejemplo 18. [1] Determinar el dominio y dibujarlo en R2 , las curvas de linea y puntos marcaran los lugares donde la frontera no pertenece al dominio, luego graficar las trazas y curvas de nivel:

f(x;y) =

x4 − y 4 x2 − y 2

Desarrollo 18. De la expresión anterior notamos que cuando el denominador se hacer cero es indeterminada la función por lo que tenemos que descubrir para que valores sucede ello: x2 − y 2 6= 0 Es una diferencia de cuadrados: (x − y) (x + y) 6= 0 Por lo tanto: x 6= y x 6= −y Ya podemos dibujar el dominio:

Figura 3.1.1. Nota 1. Para realizarlo utilizando como en la Figura el software Maxima y usando como graficador el GnuPlot el código sería: F(x):=x; H(x):=-x; plot2d([F,H],[x,-2,2],[y,-2,2],[style,[linespoints]]); 24

3.1. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Procedamos a hacer las trazas de la función, cuando z = 0: 0=

x4 − y 4 x2 − y 2

Sabemos que el (0, 0) no pertenece al dominio: x2 − y 2 x2 + y 2 0= x2 − y 2

0 = x2 + y 2 y 2 = −x2 La traza anterior no tiene ningún resultado por lo tanto no existe. Veamos que pasa cuando x = 0: z=

−y 4 −y 2

z = y2

Figura 3.1.2. Nota 2. Para usar con el maxima: plot2d(x^2,[x,-2,2],[y,0,2],[ylabel,"z=y^2"],[xlabel,"y"],[legend,"Traza x=0"]);

Ahora cuando y = 0: z=

x4 x2

z = x2

25


26

Figura 3.1.3.

Ahora procederemos a calcular algunas curvas de nivel para mayor comprensión de la función, empecemos con z = 1: 1=

x4 − y 4 x2 − y 2

1 = x2 + y 2 1 − x2 = y 2 p

± 1 − x2 = y Con z = 2 : 2=

x4 − y 4 x2 − y 2

2 = x2 + y 2 p

± 2 − x2 = y Con z = 3: 3=

p

x4 − y 4 x2 − y 2

± 3 − x2 = y


Figura 3.1.4. Nota 3. Para usar con el Maxima y GnuPlot: plot2d([sqrt(1-x^2),sqrt(2-x^2),sqrt(3-x^2),-sqrt(1-x^2),-sqrt(2-x^2),-sqrt(3-x^2)],[x,-2,2],[y,-2,2]);

En fin la apariencia de la función sería:

Figura 3.1.5. Nota 4. Para reproducirlo usando Maxima con OpenMath usar: plot3d((x^4-y^4)/(x^2-y^2),[x,-2,2],[y,-1,1],[plot_format, openmath]); Ejemplo 19. [1p] Calcular el límite de la siguiente función cuando x → 0 e y → 0: f(x;y) =

x2 − y 2 x2 + y 2

27


28

Desarrollo 19. En primera instancia se revisa lo que sucede con la sustitución directa: l´ım (x;y)→(0;0)

0 x2 y 2 = x3 + y 3 0

Puesto que la sustitución directa presenta una forma indeterminada como solución se comenzará acercándose a través de infinitas rectas de la forma y = mx: l´ım (x;mx)→(0;0)

x2 m 2 x2 x3 + m3 x3

Factor común x2 : l´ım (x;mx)→(0;0)

x4 m2 x3 (1 + m3 )

simplificamos x puesto que x → 0 por lo que nunca vale 0 así que este paso es válido l´ım (x;mx)→(0;0)

m2 1 + m3

notemos que mx → 0, por lo que cualquiera de los dos factores pueden acercarse a 0 tanto como se quiera por lo que: l´ım (x;mx)→(0;0)

m2 =0 1 + m3

Ahora nos acercaremos a 0 a través de x2 : x2 x4 l´ım (x;x2 )→(0;0) x3 + x6 x6 l´ım (x;x2 )→(0;0) x3 + x6 x6 l´ım (x;x2 )→(0;0) x3 (1 + x3 ) simplificamos x x2 l´ım )→(0;0) 1 + x3

x;x2

( como x → 0 entonces:

l´ım (x;x)→(0;0)

x2 =0 1 + x3

Concluiremos que: l´ım (x;y)→(0;0)

x2 y 2 =0 x3 + y 3

El lector podrá tomar la tarea de resolver con las sustituciones correspondientes que quedan como práctica. ~ = cos Ejemplo 20. [1] Hallar la derivada direccional en la dirección del vector U f(x,y) = 2x2 + 5y 2

π 4

î + sin

π 4

ˆj:


29

Desarrollo 20. Se comenzara calculando las derivadas parciales primeras de la función: ∂f(x,y) ∂f(x,y) = 4x ; = 10y ∂x ∂y ~ hallando su forma Se trabajará sobre el el vector U √ √ 2 ~ = î + 2 ˆj U 2 2 verificamos el módulo v u √ !2 u 2 ~ =t + U

2

s √ !2 r 2 2 2 4 = + = 2 4 4 4

~ k= 1 kU Ya es posible armar el gradiente de la función ~ (x,y) = 4x î + 10y ˆj ∇f

→ − Por último se puede calcular la derivada direccional en la dirección del vector U √ √ ! 2 î + 2 ˆj DU~ f(x;y) = 4x î + 10y ˆj · 2 2 √ √ DU~ f(x;y) = 2 2 x + 5 2 y = DU~ f(x;y) =

√

2 (2x + 5y)

Ejemplo 21. [2F] La temperatura en cualquier punto (x; y) de una placa rectangular está dada por T(x;y) = x2 + y 2 Calcular la tasa de variación de la temperatura en el punto P = (3; 4) en la dirección que forma un ángulo θ de valor θ=

π = 60ř 3

con el eje de las abscisas. Determinar el ángulo de la dirección en que la tasa de variación de la temperatura en el punto (−3; 1) sea un máximo. Desarrollo 21. Se comienza calculando las derivadas parciales directamente sin ser necesario cálculos previos: ∂T(x,y) ∂T(x;y) = 2x ; = 2y ∂x ∂y Esto permite hallar la forma del gradiente: → − ∇T(x;y) = 2x î + 2y ˆj Ahora se valorizará el gradiente en el punto (3; 4) ~ (3;4) = 6 î + 8 ˆj ∇T ~ en función del ángulo que se nos da como dato Se calculara el vector U ~ = cos π U 3

î + sin π 3 √ ~ = 1 î + 3 ˆj U 2 2

ˆj


30

verificar el módulo del vector √ !2 3 2

v u 2 u ~ k= t 1 + kU

2

~ k= kU

r

s

1 3 + = 4 4

4 √ = 1 4

~ k= 1 kU Ya es posible el cálculo de la derivada direccional en el punto (3; 4) √ ! √ 1 î + 3 ˆj = 3 + 4 3 ≈ 9, 93 DU~ T(3;4) = 6 î + 8 ˆj · 2 2 La primer parte del problema esta resuelta, se continuara con la búsqueda de la máxima tasa de variación de la temperatura en el punto (−3; 1). Se comenzará presentando la definición de la derivada direccional para estudiarla: ~ kU ~ k · cos α DU~ T(x;y) = ∇· ~ es primero, notemos que el valor del módulo de U ~ k= 1 kU segundo, el factor que varía es el cos α pero por se una función trigonométrica básica esta varía entre −1 ≤ cos α ≤ 1, para que el factor permite un valor máximo: cos α = 1 entonces se puede proceder al cálculo del gradiente valorizado en el punto (−3; 1): ~ (−3;1) = 2 (−3) î + 2 (1) ˆj ∇T ~ (−3;1) = −6 î + 2 ˆj ∇T Sólo resta hallar el ángulo que se forma con el eje de las x, por ser un vector podemos utilizar las componentes para hallarlo:

atan −

2 6

= atan −

1 3

= −18, 4ř

Ejemplo 22. [1] Calcular el gradiente en el punto (2; 5) y también la derivada direccional en la dirección del vector V = (3; −3) de la siguiente función: f(x;y) = x2 − 5xy Desarrollo 22. Se calcularan las derivadas parciales directamente por la forma polinómica que presenta: ∂f(x;y) ∂f(x;y) = 2x − 5y ; = −5x ∂x ∂y ~ (gradiente) de la función: Ahora se presentará el ∇ ~ (x;y) = (2x − 5y) î − 5x ˆj ∇f Puesto que ya se ha obtenido el gradiente se remplazaran los valores de x e y para valorizarlo en este punto ~ (x;y) = (2 (2) − 5 (5)) î − 5 (2) ˆj ∇f ~ (2;5) = −21 î − 10 ˆj ∇f


31

Ahora se calculará el valor del vector que nace en el punto (2; 5) y se dirige a (3; −3): ˆ ˆ ˆ ˆ V(RQ ~ ) = (3 − 2) i + (−3 − 5) j = i − 8 j Calcularemos el módulo de este vector para transformar el vector U en unitario o en mejores términos en un versor M od =

p

12 + 82 =

√ 65

~ k= 1 ~ = √1 î − √8 ˆj =⇒k U U 65 65 Por lo que ya es posible el cálculo de la derivada direccional requerida ~ · ∇f ~ (2;5) DU~ f(2;5) = U

DU~ f(2;5) =

1 8 21 80 101 √ î − √ ˆj · −21 î − 10 ˆj = − √ − √ = − √ 65 65 65 65 65

≈ 12, 5275 Ejemplo 23. [1] Determinar los extremos relativos de la siguiente función: f(x;y) = 2x4 + y 2 − x2 − 2y Desarrollo 23. Iniciamos calculando las derivadas parciales, como la función es tipo polinómica no es necesario ningún trabajo algebraico previo: ∂f(x;y) ∂f(x;y) = 8x3 − 2x ; = 2y − 2 ∂x ∂y ∂ 2 f(x;y) ∂ 2 f(x;y) 2 = 24x − 2 ; =2 ∂x2 ∂y 2 ∂f(x;y) ∂f(x;y) =0; =0 ∂x∂y ∂y∂x Como las primeras derivadas parciales son exclusivas cada una de la variable derivada entonces se puede calcular los ceros por separado, con respecto a x:

8x3 − 2x = 0 =⇒ x 8x2 − 2 = 0 solución    x = 0 1

x= 2   x = − 1 2 luego la derivada con respecto a y 2y − 2 = 0 =⇒ y =

2 2

solución n

y=1

De las combinaciones de las soluciones anteriores obtendremos los puntos críticos 1 1 1 ; ; − ;1 2 2 2 Ahora se calculan el Helessiano para cada punto crítico. Calculamos | H(0;1) |:

(0; 1) ;


| H(0;1) | =

−2 0 0 2

= −4 < 0 ∴

existe un punto de ensilladura en (0; 1). Calculamos | H( 1 ;1) |: 2

| H( 1 ;1) |= 2

y como 4 > 0 =⇒ ∃ mR en Calculamos | H(− 1 ;1) |:

1 ;1 2

4 0 0 2

=8>0

.

2

| H(− 1 ;1) |= 2

4 0 0 2

=8>0

y como 4 > 0 =⇒ ∃ mR en − 12 ; 1 .

Figura 3.1.6. Nota 5. Usando Maxima: plot3d((2*(x^4))+(y^2)-(x^2)-(2*y), [x,-1,1], [y,0.5,1.5], [gnuplot_pm3d, true]);

32


33

Figura 3.1.7. Nota 6. Usando Maxima: plot3d((2*(x^4))+(y^2)-(x^2)-(2*y), [x,-1,1], [y,0.5,1.5], [gnuplot_pm3d, true]);

Figura 3.1.8. Nota 7. Usando Maxima: plot3d((2*(x^4))+(y^2)-(x^2)-(2*y), [x,-1,1], [y,0.5,1.5]);

Ejemplo 24. [2]

Hallar los extremos locales y puntos de ensilladura: f(x;y) = x3 y 2 (1 − x − y)

Desarrollo 24. Se comenzará con las derivadas parciales de la función, convenientemente en primer lugar aplicaremos distributiva y luego calcularemos: f(x;y) = x3 y 2 − x4 y 2 − x3 y 3 ∂f(x;y) ∂f(x;y) = 3x2 y 2 − 4x3 y 2 − 3x2 y 3 ; = 2yx3 − 2yx4 − 3y 2 x3 ∂x ∂y


∂ 2 f(x;y) ∂ 2 f(x;y) 2 2 2 3 = 6xy − 12x y − 6xy ; = 2x3 − 2x4 − 6yx3 ∂x2 ∂y 2 ∂f(x;y) ∂f(x;y) = 6x2 y − 8x3 y − 9x2 y 2 ; = 6x2 y − 8x3 y − 9x2 y 2 ∂x∂y ∂y∂x Armamos el sistema de ecuaciones para hallar los puntos críticos:   ∂f(x;y) = 0 ∂x  ∂f(x;y) = 0

(

→

∂y

3x2 y 2 − 4x3 y 2 − 3x2 y 3 = 0 2yx3 − 2yx4 − 3y 2 x3 = 0

(

→

x2 y 2 (3 − 4x − 3y) = 0 yx3 (2 − 2x − 3y) = 0

Notamos dos grupos de factores en cada ecuación, con lo cuál deducimos por ahora que: (

x=0 y=0

ahora el segundo sistema (

(

3 − 4x − 3y = 0 2 − 2x − 3y = 0 Se resuelve el sistema de ecuaciones:

4x + 3y = 3 2x + 3y = 2

→

4 3 3 2 3 2

1 43 2 3

3 4

2

dividimos la primer fila por 4

el pivote será la posición (1; 1)

multiplicamos por

2 3

"

1 0

3 4 3 2

3 4 1 2

#

"

1 43 0 1

3 4 1 3

#

"

1 0 0 1

1 2 1 3

#

la segunda fila

el nuevo pivote será (2; 2)

1 1 ; y= 2 3 Los puntos críticos que se hallan las siguientes combinaciones: ∴x=

1 1 1 1 (0; 0) ; 0; ; ;0 ; ; 3 2 2 3 Ahora se calculará el Helessiano para cada punto crítico. Se calcula | H(0;0) |:

| H(0;0) |=

0 0 0 0

0 0 0 0

=0

no aporta información. Se calcula | H(0; 1 ) |: 3

| H(0; 1 ) |= 3

no aporta información.

=0

34


35

Se calcula | H( 1 ;0) |: 2

| H( 1 ;0) |= 2

0 0 0 0

=0

no aporta información. Se calcula | H( 1 ; 1 ) |: 2 3

| H( 1 ; 1 ) |= 2 3

−0, 11 −0, 083 −0, 083 −0, 12475

≈ 0, 0068335

pero como −0, 11 < 0 no aporta información. En este caso los recursos analíticos quedan limitados, una alternativa es usar el cálculo numérico utilizando aproximaciones pero como tal vez se vuelve tedioso otra opción es la utilización de software para la gráfica de la función:

Figura 3.1.9. Nota 8. Usando Maxima: plot3d((x^3)*(y^2)*(1-x-y), [x,-1,1], [y,-1,1], [gnuplot_pm3d,true]);




Así del estudio del gráfico se deduce que la función no posee puntos extremos. Ejemplo 25. [1] Calcular si las derivadas parciales cumplen con ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y de la siguiente función u(x;y) = e−x cos y − e−y cos x

36


37

Desarrollo 25. Se calcularan las derivadas directamente: ∂u = −e−x cos y − −e−y sin x = e−y sin x − e−x cos y ∂x ∂u = −e−x sin y − −e−y cos x = e−y cos x − e−x sin y ∂y ∂2u = −e−x cos x − −e−y cos y = e−y cos x + e−x cos y 2 ∂x ∂2u −x −y = −e cos x − e cos y = −e−y cos x − e−x cos y ∂y 2

Por lo que: ∂2u ∂2u + 2 == 0 ∂x2 ∂y e−y cos x + e−x cos y + −e−y cos x − e−x cos y == 0

e−y cos x + e−x cos y − e−y cos x − e−x cos y == 0 e−y cos x − e−y cos x + e−x cos y − e−x cos y = 0

Ejemplo 26. [1] Aplicando la regla de la cadena donde f(x;y) que es dependiente de la tercera variable t:

f(x;y) = ln x2 + y

con x(t) = cos t ; y(t) = e2t Desarrollo 26. Se comienza con el cálculo de las primeras derivadas parciales: ∂f(x;y) ∂f(x;y) 1 1 = 2 2x ; = 2 ∂x x +y ∂y x +y dy dx = − sin t ; = 2e2t dt dt df(x;y) df(x;y) 2x 1 2 cos t 1 =− 2 sin t + 2 2e2t → =− 2 sin t + 2e2t 2t 2 dt x +y x +y dt cos t + e cos t + e2t df(x;y) 2 2t − cos t sin t + e = dt cos2 t + e2t

Ejemplo 27. [1] Hallar la derivada implícita de la expresión: 1

2y 2 + (xy) 3 = 3x2 + 17 Desarrollo 27. Se trabaja algebraicamente 1

2y 2 + (xy) 3 − 3x2 − 17 = 0 Se hallan las derivadas parciales 2 2 ∂f ∂f 1 1 = (xy)− 3 y − 6x ; = 4y + (xy)− 3 x ∂x 3 ∂y 3 Aplicamos la regla de la cadena


38

2

∂f 1 (xy)− 3 y − 6x dy ∂x =−3 = − ∂f 2 dx 4y + 1 (xy)− 3 x ∂y 3

Ejemplo 28. [1] Hallar tres números naturales cuyo producto sea máximo y su suma sea igual a 90. Desarrollo 28. Presentemos las restricciones: xyz = M ax = C y la idea es llegar a x + y + z = 90 así que podemos plantear los multiplicadores de Lagrange F(x;y;z;λ) = f(x;y;z) + λg(x;y;z) F(x;y;z;λ) = (xyz) + λ (x + y + z − 90) Luego se plantea   Fx0 (x;y;z;λ) = 0     F 0 =0 y (x;y;z;λ) 0  Fz (x;y;z;λ) = 0      0

Fλ (x;y;z;λ) = 0

  Fx0 (x;y;z;λ) = yz + λ = 0     F 0 = xz + λ = 0 y (x;y;z;λ) 0 F = xy + λ = 0   z (x;y;z;λ)   0 

F

(x;y;z;λ)

 λ  λ = −yz 

λ = −xz

= x + y + z − 90 = 0 → −yz = −xz → y = x

  λ = −xy

x2 + λ = 0 → λ = −x2 → −xz = −x2 → x = z x=y=z Por lo que x + y + z = 90 si tomamos x=y=z=η entonces η + η + η = 90 3η = 90 η = 30 Concluimos que si η = 30 =⇒ x = y = z = 30

CAPíTULO 4

Integrales 4.1.

Ejemplos de integrales dobles

Ejemplo 29. [1] Calcular la integral doble para la función f(x;y) = xy en la región del primer cuadrante limitada por la curva x2 = 2 − 2y. Desarrollo 29. Verificar el tipo de función que delimita la región: x3 = 2 − 2y 1 y = 1 − x2 2

Figura 4.1.1. Nota 11. Usando Maxima: plot2d([1-(0.5*x^2)], [x,0,2], [y,0,1], [gnuplot_preamble, "set grid"])$ Por lo que se puede definir el dominio de integración:

R = (x; y) ∈ R 0 ≤ x ≤

√ 1 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 2

Ya es posible la definición de la integral: √ 1 2 Z 2 1− Z2 x

I=

xy dy dx 0

0 39

4.1. EJEMPLOS DE INTEGRALES DOBLES

40

como se integra en primer lugar con respecto a y la variable x trabaja como un valor constante √

Z2"

y2 x 2

I=

#1− 1 x2 2

dx 0

0

reemplazamos los extremos en y √

1 I= 2

Z2"

1 x 1 − x2 2

#

2

− x (0)

2

dx

0 √

I=

1 2

Z2

1 x 1 − x2 2

2

dx

0

trabajamos con el exponente √

1 I= 2

Z2

1 x 1 − x2 + x4 4

dx

0 √

1 I= 2

Z2

1 x − x3 + x5 4

dx

0

distribuimos la integral  √ √ √   Z2 Z2 Z2   1 1 3 5 x dx − x dx + x dx I=   2 4  0

0

0

volvemos a integrar y sólo aparece la variable x, esto es lógico puesto que el diferencial es con respecto a esta variable y si esto no sucede algún error se ha cometido. Como la función que queda representada es polinómica la integración es sencilla " #√ " # √2  " #√2 2   2 4 1 x x 1 x6 I= − +  2 2 4 4 6 0

0

0

reemplazamos por los extremos de integración y trabajamos algebraicamente  √ 2   √ 4   √ 6    2 4 6  1  2 (0)   2 (0)  1  2 (0)  − − − I=  − +   2 2 2 4 2 4 6 6   

1 1 1−1+ 2 4

I=

16 6

I= La gráfica de f(x;y) = xy es:

4 3

=

1 2

8 3

=

4 3


Figura 4.1.2. Nota 12. Usando Maxima y Gnuplot: plot3d(x*y, [x,-10,10], [y,-10,10], [gnuplot_pm3d,true]);

Figura 4.1.3. Nota 13. Usando Maxima y Gnuplot: plot3d(x*y, [x,-10,10], [y,-10,10], [gnuplot_pm3d,true]); Ejemplo 30. [1] Calcular la integral doble de n

o

D = (x; y) ∈ Ry 2 + 1 ≤ x ≤ 4

Desarrollo 30. Se dibuja el recinto D teniendo en cuenta que: y2 + 1 = x √ y =± x−1 por lo que

41


42

Figura 4.1.4. Nota 14. Utilizando Maxima: plot2d([sqrt(x-1),-sqrt(x-1), [parametric, 4, t, [t, -3, 3]]], [x,0,5]); Se comenzará el cálculo dejando constante al dy, por lo que los límites de integración para dx serán: ( x1 = 4 x0 = y 2 + 1 ahora bien los límites para dy √ √ y1 = 4 − 1 = 3 √ √ y0 = − 4 − 1 = − 3 por lo que se puede presentar la forma de la integral (

√

Z3

Z4

IA =

dx dy √ − 3 y 2 +1 √ Z3

IA =

3 − y 2 dy

√ − 3

"

IA = 3y − 

 √ IA = 3 3 −

y3 3

# √3 √ − 3

√ 3   √ 3  3   √ − 3   − −3 3 − 

3

√ IA = 3 3 −

3

√ 3

3

√

+3 3−

3 √ 2 √ IA = 6 3 − 3 3 3 √ IA = 4 3

√ 3

3

3

Ahora en cambio dx será constante entonces los límites de dy


(

√ y1 = x − 1 √ y0 = − x − 1

y los límites de dx serán (

x1 = 4 x0 = 1

Presentamos y calculamos la integral: √

Zx−1

Z4

dy dx

IB = √ 1 − x−1

Z4

√

x−1 [y]−√ dx x−1

IB = 1

IB = 2

Z4 √

x − 1 dx

1

se realiza la sustitución µ=x−1 dµ = dx reemplazamos Zµ1

1

µ 2 dµ

IB = 2 µ0

"

IB = 2

3

µ2

#µ1

2 3

µ0

se retorna a las variables originales y extremos también 

IB = 2

3

4

(x − 1) 2   2 3

√ IB = 2 IB = 2

1

33

2 3 √ 3 3 2 3

√ IB = 4 3 Notar que IA = IB , por lo que el cálculo de la integral se realizo correctamente.

43

CAPíTULO 5

Transformada de Laplace 5.1. 5.2. 5.2.1.

Requisitos

Transformadas indirectas

Trigonométricas. L {cos (ω0 t + θ)} = L {cos (ω0 t) cos (θ) − sin (ω0 t) sin (θ)} L {cos (ω0 t + θ)} = cos (θ) L {cos (ω0 t + θ)} =

$2

ω0 $ − sin (θ) 2 2 + ω0 $ + ω02

cos (θ) $ − sin (θ) ω0 $2 + ω02

44

CAPíTULO 6

Tablas 6.1.

Derivadas

6.1.1. Básicas. 1. Dx (un ) = nun−1 Dx u 2. Dx (u + v) = Dx u + Dx v 3. Dx (uv) = uDx v + vDx u xv 4. Dx uv = vDx u+uD v2 u u 5. Dx (e ) = e Dx u 6. Dx (au ) = au ln a Dx u 7. Dx (ln u) = u1 Dx u 6.1.2. Trigonométricas. 1. Dx (sin u) = cos u Dx u 2. Dx (cos u) = − sin u Dx u 3. Dx (tan u) = sec2 u Dx u 4. Dx (cot u) = − csc2 u Dx u 5. Dx (sec u) = sec u tan u Dx u 6. Dx (csc u) = − csc u cot u Dx u 6.1.3. Trigonométricas inversas. 1 Dx u 1. Dx (asinu) = √1−u 2 1 2. Dx (acosu) = − √1−u Dx u 2 1 3. Dx (atanu) = 1+u 2 Dx u 1 4. Dx (acotu) = − 1+u2 Dx u 5. Dx (asecu) = u√u12 −1 Dx u

6. Dx (acscu) = − u√u12 −1 Dx u 6.1.4. Hiperbólicas. 1. Dx (sinh u) = cosh u Dx u 2. Dx (cosh u) = sinh u Dx u 3. Dx (tanh u) = sinh2 u Dx u 6.2. 6.2.1. R 1. R 2. R 3.

Integrales

Básicas. du = u + C a h du = au +i C R R f(u) + g(u) du = f(u) du + g(u) du n+1

4. un du = un+1 + C con (n 6= −1) R 5. u1 du = ln | u | +C R

6.2.2. R 1. 2.

R

3.

R

4.

R

Racionales que contienen a + bu. [ a + bu − a ln | a + bu | ] + C

u 1 a+bu du = b2 2 u 1 a+bu du = b3 u du = (a+bu)2 2 u du = (a+bu)2

h 1 b2 1 b3

1 2h(a

a a+bu

h

i

+ bu)2 − 2a (a + bu) + a2 ln | a + bu | + C i

+ ln | a + bu | + C

a + bu −

a2 a+bu

i

− 2a ln | a + bu | + C 45

6.2. INTEGRALES

5.

R

6.

R

7.

R

8.

R

h

i

a u 1 du = b12 2(a+bu) 2 − a+bu + C (a+bu)3 1 1 u u(a+bu) du = a ln | a+bu | +C 1 1 du = − au + ab2 ln | a+bu u | +C u2 (a+bu) u 1 1 1 du = a(a+bu) + a2 ln | a+bu | +C u(a+bu)2

46

CAPíTULO 7

Historial 27/03/10 • Se realiza una revisión ortográfica usando el diccionario aspell. • Se escribe una mínima parte sobre transformadas indirectas de Laplace. • Se comienza a experimentar con una presentación mucho más atractiva. 18/01/09 • Se revisan usando ispell 4598 palabras del texto, en general errores de acentuación. 13/08/08 • El texto se licencia bajos los términos de Licencia1 GNU para la Documentación Libre. Ver en http:/www.gnu.org/copyleft/ 24/07/08 • Se adjuntan más gráficos para proveer mayor aporte visual a las interpretaciones. 22/07/08 • Se comienza capítulo sobre integrales. • Se han adherido casi todas las derivadas más usada en el capítulo de tablas. − • Una mala elección del identificador vectorial (→ u ) es resuelto por el identificador soportado para tal fin (~u). • Información sobre la imagen de tapa se adjunta. • Se adopta las notas numeradas en cada imagen realizada por sistemas CAD’s para poder llegar a realizar referencias rápidas cuando se quiera aportar información técnica sobre el tema. • Más desarrollo sobre el sistema indicativo de los enunciados de los ejemplos. • Comienza ha escribirse la bibliografía consultada y el trabajo de recolección de datos. 18/07/08 • Mejor redacción de los textos con mayor coherencia y cohesión. • Se destacan con estilo negrita (BoldStyle) los resultados parciales y generales. • Mayor cantidad de aclaraciones sobre los pasos algebraicos. • Revisión de la ortografía y gramática, corrección de muchos errores. • Diferente presentación de los sistemas de ecuaciones para mayor compresión. • Se ha cambiado la presentación de las matrices por un modelo más común. • Ingreso de un capítulo sobre tablas de derivación e integración. • Solucionado un problema con el tipo de documento “amsbook” de lyx que producía errores al traducir los layout de ejemplo y nota al español y los dejaba en ingles como así una redeferenciación del “Proof” como Desarrollo, se escribe el siguiente código en el “LaTex Preamble” (sin utilizar babel): \newtheorem{exa}{Ejemplo} \renewenvironment{example}{\begin{exa}}{\end{exa}} \newtheorem{nota}{Nota} \renewenvironment{note}{\begin{nota}}{\end{nota}} \newtheorem{des}{Desarrollo} \renewenvironment{proof}{\begin{des}}{\end{des}} • Se eliminó el token “*” como operador de la multiplicación y se introdujo una escritura normalizada alejando los factores del mismo tipo numérico con un pequeño espacio de separación (Thinspace) y si fuesen signado se utilizan paréntesis. • Se introduce un código en los enunciados de los ejemplos para reconocer la dificultad y caminos alternativos de resolución (KeyLevelFeature). 1GNU Free Documentation License 47

Bibliografía [1] EC7 Leithold - El cálculo séptima edición. De Louis Leithold. ISBN 970-613-182-5. [2] Maxima - Common Lisp version of MACSYMA symbolic mathematics package released under the GNU Public License - http://maxima.sourceforge.net [3] LYX - http://www.lyx.org/

48

Apuntes sobre análisis matemático II

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