Tema 9. Fenómenos de interferencia Eva M. Valero October 2nd, 2012
Índice 1. Interferencias de dos haces por división del frente frente de ondas 1.1. Intr Introducc oducción ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Definic Definición ión de interf interferenc erencia ia . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Condic Condiciones iones de interf interferenc erencia ia . . . . . . . . . . . . 1.2. Experim Experimento ento de Young oung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Vis Visibilida ibilidad d de las franja franjass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Efect Efectoo de la exten extensión sión espacial espacial de la fuent fuentee . . . . 1.3.2. Efect Efectoo de la monocr monocromati omaticidad cidad . . . . . . . . . . . 1.4. Disposi Dispositivos tivos interf interferomé erométricos tricos . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Interferencias de dos haces por división de amplitud 2.1. Interferencias en láminas láminas de espesor constante constante . . 2.2. Interferencias en láminas láminas de espesor variable variable . . . 2.2.1. Franja Franjass de Fizeau Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Anillos de Newton Newton . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Locali Localización zación de las las franjas franjas . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Interferómetros de doble haz haz y aplicaciones aplicaciones . . . . 2.4.1. Interf Interferómetr erómetroo de Miche Michelson lson . . . . . . . . 2.4.2. Interferómetro de Twyman-Green . . . . . 2.4.3. Interf Interferómetr erómetroo de de Mach-Z Mach-Zender ender . . . . . . 2.4.4. Interf Interferómetr erómetroo de Sagna Sagnacc . . . . . . . . . . 2.4.5. Interf Interferómetr erómetroo de Jamin Jamin . . . . . . . . . . . 2.4.6. 2.4 .6. Apli Aplicac cacion iones es . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Interfere Interferencias ncias con con haces haces múltiples múltiples 3.1. Lámina Láminass de espesor espesor constante: constante: fórmulas fórmulas de de Airy . . 3.2. Antirreflejantes monocapa y filtros interferenciales interferenciales . 3.2.1. Recub Recubrimien rimientos tos antirrefl antirreflejante ejantess monocapa monocapa . 3.2.2. Filtr Filtros os interf interferen erenciales ciales . . . . . . . . . . . . . 3.3. Interf Interferómetr erómetroo Fabry-P Fabry-Perot erot . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Descri Descripción pción genera generall . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Poder resolu resolutivo tivo espect espectral ral . . . . . . . . . . . 3.4. Multic Multicapas apas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. 3.4 .1. Apli Aplicac cacion iones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Resumen En este tema, abordamos uno de los grandes fenómenos que reflejan el comportamiento ondulatorio de la luz: las interferencias. El contenido se divide en tres grandes secciones, agrupando las dos clasificaciones más comunes utilizadas para estudiar los fenómenos interferenciales: según el procedimiento de obtención del patrón (por división del frente de ondas o por division de amplitud) y por el número de haces involucrados (dos haces o haces múltiples). Las dos primeras secciones se dedican a interferencias con dos haces, y la última a haces múltiples. Este tema es c lave dentro de los contenidos del curso, por lo que se trabaja con muchos ejemplos de clase relativos a diferentes dispositivos para generar patrones interferenciales, y bastantes problemas de la relacion. También suele preguntarse en los exámenes, tanto en la parte de teoria como en la de prácticas.
1. Interferenci Interferencias as de dos haces haces por por división división del frente frente de ondas ondas 1.1. Introd Introducc ucción ión Vamos a comenzar con este tema a analizar para el caso de las ondas e.m. (en particular la luz) un fenómeno que ya comentamos en el tema de superposición de ondas (tema 6): la interferencia. 1.1.1. Definición Definición de interferen interferencia cia
Este fenómeno se relaciona muy estrechamente con la naturaleza ondulatoria de la luz, de hecho el experimento de Young a principios del s. XIX que que fue el principio del fin de la teoría corpuscular de Newton ponía de manifiesto precisamente un caso de interferencias que estudiaremos más a fondo a lo largo del tema. Los fenómenos interferenciales son comunes a todas las ondas, por ejemplo también se dan con el sonido (cuando se superponen en determinadas condiciones ondas sonoras procedentes de altavoces), en ondas mecánicas como las producidas en la superficie del agua (por ejemplo cuando se superponen las ondas de ida y vuelta tras un choque de las olas en un dique), o en una cubeta de ondas como la que vemos en la imagen. Ya volveremos sobre este ejemplo más adelante. En definitiva, la idea básica es que los fenómenos interferenciales son el resultado de la superposición de ondas (en nuestro caso van a ser haces de luz) en un punto del espacio bajo determinadas condiciones. ¿Qué tienen de especial estos fenómenos de interferencia? En primer lugar, la irradiancia (o intensidad) resultante de la superposición no es la suma de las irradiancias o intensidades de cada una de las ondas que se superponen, como vimos que pasaba al estudiar la polarización. En general, la irradiancia resultante resultante va a depender depender de la posición relativa relativa de ambas fuentes fuentes con respecto al punto donde se superponen. Por ejemplo, volviendo a la figura de la cubeta de ondas, vemos que hay zonas en las que se alternan máximos de intensidad muy brillante brill ante con mínimos muy oscuros, mientras que hay otras en las que no se aprecian variaciones de intensidad, el resultado es una especie de gris uniforme. Las primeras corresponden a puntos del espacio en los que la onda procedente de una de las fuentes vibra en fase con la procedente de la otra fuente (es decir, los máximos de una coinciden con los máximos de otra, y los mínimos también). Las segundas (zonas grises) corresponden a puntos para los cuales los máximos de la primera fuente coinciden con mínimos de la segunda, resultando una intensidad nula (superficie plana) de la superposición de ambas. En el caso particular de la luz, veremos que por lo general vamos a considerar superposición de ondas emitidas por la misma fuente, a las que vamos a separar para luego observar el resultado de su superposición en una determinada zona del espacio. Si la separación es en dos componentes a partir de una fuente emisora común, según el procedimiento de separación utilizado hablamos de interferencia por divisió divisiónn del frent frentee de ondas ondas (gener (generalm alment entee para para fuente fuentess de pequeñ pequeñaa extens extensión ión,, de ella nos ocupam ocupamos os a lo largo de esta primera seccion, vemos el ejemplo de “partir” físicamente el frente plano de ondas por medio de una doble rendija); si lo que hacemos es dividir la amplitud de la onda inicial por medio de superficies reflectantes y/o refractantes, hablamos de interferencia por división de amplitud, que puede construirse para fuentes extensas también. La división en ambas categorías no se refiere tanto al uso o no de supe superfi rfici cies es refle reflect ctan ante tess o refr refrac acta tant ntes es,, sino sino a la dupli duplici cida dad d de la fuen fuente te origi origina nall ante antess de cons consid ider erar ar la superposición. Tras considerar las interferencias con dos haces, trataremos aquellas con más de dos haces, llamadas generalmente de haces múltiples. Este tipo de interferencias dan lugar a las distintas zonas coloreadas col oreadas que 2
podemos observar al iluminar películas delgadas (de jabón o de grasa sobre agua) con luz blanca. En el caso de películas de grasa, para observar bien las franjas coloreadas necesitamos un buen contraste con el fondo, por eso suelen verse bien sobre el asfalto (que es negro) y no si hacemos la experiencia con aceite en un vaso de agua sobre una superficie blanca. Veamos ahora las condiciones necesarias para que se produzcan configuraciones o patrones interferenciales observables. En realidad, ya las avanzamos en el tema 5, cuando hablamos de superposición de ondas de igual frecuencia y con vectores eléctricos paralelos. Recordemos el resultado obtenido entonces: si escribimos las ecuaciones de ambas ondas en forma compleja, la intensidad resultante es proporcional al módulo cuadrado del vector resultante de la suma de ambos, de forma que si están desfasados δ (constante en el tiempo) y son paralelos, podemos expresar la intensidad resultante como la suma de las intensidades de ambas ondas mas un término que depende directamente de cos (δ) y que suele denominarse término interferencial. Si lasdos ondas son de igual amplitud, la intensidad δ 2 resultante puede escribirse como proporcional al cos 2 . Con esto, tendremos que si ambas amplitudes son iguales, entonces, dibujando la función intensidad resultante, obtenemos un patrón regular de máximos y mínimos nulos de intensidad, con lo cual dado que los mínimos son nulos, la configuración se aprecia mucho mejor que si no lo fueran. Cuando ambas amplitudes no son iguales, esto es precisamente lo que ocurre, que los mínimos no resultan nulos y por tanto las franjas se observan un poco peor. Pero el que las amplitudes sean iguales no es condición necesaria para que se produzcan interferencias. Los máximos de intensidad se darán para aquellos puntos del espacio para los cuales cos δ = 1, o sea, δ = 2mπ , con m = 0, 1, 2, .. . . Cuando esto se produce, hablamos de ondas que se superponen en concordancia de fase o más brevemente en fase. Los mínimos de intensidad se producen cuando cos δ = −1, o sea, δ = (2m + 1)π , con m entero. En este caso, decimos que las dos ondas se superponen en oposición de fase. Según el punto del espacio en el que se produzca la superposición, las dos ondas llegarán a él con una cierta diferencia de camino óptico, que por la relación que vimos en el tema 5 se traduce en diferencia de fase considerando el número de ondas para el vacío y el índice de refracción del medio. Esto lo vemos representado en la figura. En términos de diferencias de camino óptico, la concordancia de fase se dará cuando la diferencia de camino óptico sea un múltiplo entero de veces la longitud de onda de las ondas que se superponen, mientras que la oposición de fase corresponderá a un múltiplo impar de semilongitudes de onda. Podemos tratar, pues, la interferencia considerando bien desfases o bien diferencias de camino óptico, de forma totalmente equivalente. Como vemos a partir de la expresión de la intensidad, en unos puntos vamos a tener una intensidad cuatro veces superior a la de las ondas que se superponen (suponiendo que sean de igual amplitud), mientras que en otros vamos a tener intensidad nula. Si comparamos esta situación con la resultante de una superposición simple sin interferencias (intensidad uniforme doble de la de cada onda), nos damos cuenta de que en realidad el fenómeno interferencial supone una redistribución de energía, de acuerdo con el principio de conservación. Plantear como pregunta: si en unos puntos tenemos cuatro veces la intensidad de cada onda, ¿se ha creado energía? 1.1.2. Condiciones de interferencia
Veamos ahora cada una de las condiciones necesarias para la interferencia con un poco más de detalle. La primera se refiere a la constancia del desfase, y se denomina coherencia de las ondas que se superponen. En esencia, necesitamos que la diferencia de fase sea constante para cada punto del espacio e independiente del tiempo. Si dos ondas provienen de una misma fuente, están más correlacionadas en su emisión que si se trata de dos fuentes completamente independientes. Por eso, para las interferencias se utiliza una sola fuente de origen. Aun para puntos emisores de una misma fuente, si están alejados entre sí las fases respectivas fluctúan con periodos del orden de 10 −8 s, con lo cual al superponerse la diferencia de fase no se mantiene constante y al depender el desfase del tiempo, podemos demostrar que la intensidad de la superposición es justo la suma de las intensidades de ambas ondas, pues el promedio temporal del cos δ se anula, y por tanto lo hace el término interferencial. Entonces, decimos que las ondas son incoherentes. Así pues, de la superposición de dos ondas incoherentes no resulta nunca interferencia. En una misma fuente, sí es cierto que cuanto más próximos estén los puntos emisores, más coherente será su emisión. Si utilizamos una fuente puntual (o casi puntual) y dividimos los frentes de onda emitidos, 3
aseguramos que la diferencia de fase sea constante para cada punto del espacio (coherencia espacial). Si utilizamos además fuentes monocromáticas o casi-monocromáticas, aseguramos una mayor constancia de la fase en el tiempo (coherencia temporal). Esto no quiere decir que siempre necesitemos fuentes puntuales monocromáticas para observar la interferencia, como veremos más adelante en esta sección y las dos siguientes. Pero la condición de coherencia resulta primordial para obtener patrones interferenciales observables. Esta condición no es la única necesaria: si nos fijamos en la expresión para la intensidad resultante que obtuvimos al principio, vemos que si las dos ondas vibran perpendicularmente, también se anularía el término interferencial y no habría por tanto interferencia, aunque ambas fueran perfectamente coherentes. Esto se relaciona con lo ya visto sobre la intensidad resultante para distintos estados de polarización (superposición de ondas con vectores eléctricos perpendiculares). Así pues, necesitamos también para la interferencia que las ondas que se superponen vibren con vectores campo eléctrico paralelos o casi paralelos. Si son perfectamente paralelos, hemos visto que podemos tratarlos como escalares. Pero también si hay coherencia puede producirse interferencia con ondas cuyos vectores E no vibren exactamente paralelos, como muestra la situación de la figura para las componentes paralelas al plano de incidencia. El patrón se observará peor en este caso que en el de las componentes perpendiculares al plano de incidencia, que son perfectamente paralelas. Si los dos vectores forman un cierto ángulo α , como vemos en la figura la amplitud resultante variará entre un máximo cuando ambos estén en fase (flecha azul), y un mínimo cuando estén en oposición de fase (flecha naranja). La visibilidad del patrón será mayor cuanto mayor sea la diferencia entre las amplitudes máxima y mínima. Si α baja, aumenta la máxima y disminuye la mínima, con lo cual el patrón se aprecia mejor. Mirando de nuevo la figura anterior, nos damos cuenta de que ondas en cualquier estado de polarización pueden producir interferencias, basta que puedan superponerse por separado las componentes paralelas de ambas. Así pues, no es necesario que las ondas que se superponen sean linealmente polarizadas para observar interferencias. Por otra parte, si situamos un polarizador delante del patrón interferencial y lo giramos, vamos a observar generalmente diferencias en la intensidad transmitida por el polarizador según su orientación, o sea, que en general podemos decir que el patrón interferencial está también polarizado. Fresnel y Arago observaron que no había interferencias para ondas que vibran con vectores eléctricos perpendiculares, y dedujeron de ahí el carácter transversal de las ondas luminosas. De hecho, en nuestro desarrollo en ningún momento hemos utilizado que las ondas e.m. sean transversales. Podemos entender mejor el razonamiento de Fresnel y Arago si ponemos el término de interferencia en función del producto escalar de ambos vectores con sus tres componentes. Suponiendo que la dirección de propagación sea el eje z pero que las ondas no sean transversales a la dirección de propagación pero sí perpendiculares entre sí, consideramos que la onda E1 está en el plano xz (entonces anulamos su componente y ) y la E2 en el plano yz (anulamos su componente x ). Entonces, el término de interferencia queda en función de las dos componentes z, y como la evidencia experimental nos dice que es nulo (no hay interferencia para ondas con vectores eléctricos perpendiculares), entonces necesariamente las componentes z de ambas ondas se anulan, y esto implica que E1 vibra según el eje x y E2 según el eje y. Por lo tanto, ambas son transversales a su dirección de propagación. Por último, para que haya interferencia necesitamos que las ondas que se superpongan sean de igual frecuencia. Ya vimos en el tema 6 que si las ondas que se superponen tienen vectores eléctricos paralelos pero diferente frecuencia, la amplitud resultante tiene un término de modulación temporal que depende de la diferencia de frecuencias, ocasionando fluctuaciones que varían con un período múltiplo de T 1 y T 2 , lo que hace que no sean detectables las variaciones de intensidad producidas por el fenómeno interferencial. Esta tercera condición no implica que la luz tenga que ser monocromática, de hecho ya sabemos que se producen interferencias con luz blanca (películas delgadas, por ejemplo). Basta que puedan superponerse las frecuencias dos a dos. Ya hemos visto que si los vectores campo eléctrico son paralelos o casi paralelos, puede perfectamente prescindirse del carácter vectorial de las ondas e.m. en el tratamiento teórico de las interferencias. En este caso, está justificado el uso que haremos de la teoría escalar de las ondas e.m., que nos va a resultar más cómodo para obtener los correspondientes resultados teóricos. De hecho, durante bastantes años se trató el fenómeno de las interferencias considerando a la luz como onda escalar, antes de introducir 4
su carácter de onda transversal y vectorial e.m.
1.2. Experimento de Young Vamos a ver con más detalle el experimento realizado por Young en 1801 y presentado posteriormente de forma más elaborada ante la Royal Society en su serie de artículos en 1802 y 1803. Originalmente, Young dividió con un separador de papel fino un haz de luz solar obtenido practicando un orificio pequeño en un panel que cubría una ventana, y observó una serie de franjas coloreadas en una pared a varios metros del divisor del orificio. Posteriormente, refinó el experimento dividiendo el frente de ondas emitido por el orificio primario en dos por medio de dos orificios secundarios practicados en una pantalla opaca. Colocamos la pantalla de forma que la fuente primaria s esté centrada con respecto a las secundarias. No perdamos de vista que con este dispositivo estamos dividiendo efectivamente el frente de ondas, como se ilustra en la figura inferior. Como provienen de la misma fuente casi puntual, ambas emiten en fase y son coherentes entre sí. Si consideramos el resultado de su superposición sobre una pantalla alejada de las dos fuentes secundarias, la diferencia de camino óptico entre la onda procedente de S1 y la procedente de S2 varía en cada punto de la pantalla. Ambas ondas tienen vectores campo eléctrico paralelos (o casi), y son de igual frecuencia, por lo que sobre la pantalla P podremos observar el patrón interferencial. Suponemos que P está en un plano normal a la bisectriz del segmento S1 S2 , y adoptamos un sistema de ejes con x paralelo a S1 S2 e y perpendicular al mismo. Llamamos d a la distancia S 1 − S2 , y a a la distancia S 1 S2 − P. Entonces, la luz desde la fuente S 1 recorre una distancia S 1 A hasta el punto de superposición, d que se calcula como distancia euclídea en función de las coordenadas de A = ( x, y, 0) y S1 = 2 , 0, −a . Igual para la luz procedente de S2 , que
d − , 0, − a 2
ahora tiene coordenadas S1 = . Restando los cuadrados de las dos distancias, y poniendo la diferencia de cuadrados como suma por diferencia, obtenemos una expresión para la distancia s 2 − s1 , en función de x , d y la distancia s 1 + s2 . Si sucede, como suele ser habitual en la práctica, que a d, entonces podemos aproximar s 1 + s2 por 2 a, lo que implica despreciar términos a partir del segundo orden en xa , ya y da . La diferencia de camino óptico queda como el índice de refracción por la diferencia de distancias, y podemos pasar a desfase con ayuda de la expresión correspondiente. Esta aproximación conduce a resultados muy realistas en la mayoría de situaciones experimentales de división del frente de ondas, ya que la distancia entre las fuentes secundarias suele ser del orden de mm o menor, y la distancia entre el plano de las fuentes y la pantalla del orden de m. Bajo nuestra aproximación, el ángulo < S1 , S2 , A > es pequeño, por lo que confirmamos que las componentes paralelas al plano de incidencia de E van a ser casi-paralelas al superponerse sobre A. Como la fuente primaria S está centrada respecto a los dos orificios secundarios, tenemos que ambas ondas serán también de amplitudes iguales, por lo que podemos aplicar la expresión deducida antes para la intensidad resultante. Analicemos ahora dónde se sitúan sobre la pantalla los puntos de máxima y mínima intensidad. Para los máximos, la diferencia de camino óptico será un múltiplo entero de la longitud de onda, con lo cual podemos obtener la expresión de la x correspondiente. Al múltiplo entero recordemos que le denominamos orden interferencial. En cuanto a los mínimos, operando igual obtenemos la correspondiente expresión para la x . Si la escribimos de otra forma, vemos que 2m2+1 = m + 21 , con lo cual el orden interferencial de un mínimo es el mismo que el del máximo inmediatamente anterior al mismo (de menor x ). Si queremos saber si un punto de la pantalla P va a corresponder a un máximo o mínimo o posición intermedia, basta calcular ∆λ y ver si es entero, o semientero, o situación diferente de ambas. De cualquier forma, hemos obtenido que los puntos de máximo y mínimo son de la forma x = cte, es decir, rectas paralelas al eje y (que es perpendicular al segmento overlineS1 S2 , recordemos). En un experimento de Young con luz casi-monocromática, observamos franjas claras y oscuras alternadas orientadas en la perpendicular al segmento S1 S2 . Es importante resaltar que en este tipo de interferencias las franjas no están localizadas en un plano, sino que son observables en muchos planos a diferente distancia del plano de las fuentes secundarias a lo largo del eje z. Definimos además la interfranja como la distancia sobre la pantalla entre máximos adya5
centes, que depende de la longitud de onda, el cociente da y la inversa del índice de refracción del medio. Como vemos en las imágenes, a mayor longitud de onda, mayor interfranja (para el mismo dispositivo, la interfranja obtenida con luz violeta es menor que con luz roja) , y para una misma longitud de onda, a mayor separación entre las fuentes secundarias, menor interfranja. Vemos esto último también con una película. Realizamos dos ejemplos en los que se trabaja con la expresión de la interfranja. Vemos también más fotos de patrones reales con distintas longitudes de onda e incluso luz policromática. También la demo de Matlab como simulación del efecto de cambiar a, d y la longitud de onda. Si no hacemos la aproximación a d , las superficies de igual intensidad serían hiperboloides con focos S1 y S2 , y los cortes con P darían lugar a hipérbolas. Lo vemos con la figura tridimensional del texto de Díaz Navas y Medina. Generalmente, el experimento de Young suele hacerse sustituyendo las fuentes puntuales por rendi jas muy finas, con el fin de ganar intensidad en el patrón. Tratamos a las rendijas como un conjunto de fuentes puntuales no coherentes entre sí, pero sí dos a dos (las que se superponen). Por la geometría del experimento, la diferencia de fase sería constante para una línea orientada perpendicular al segmento S1 S2 . Sin embargo, debemos mantener estrechas las rendijas, pues si las abrimos demasiado perdemos coherencia espacial (ya sí notaríamos los efectos de superponer ondas incoherentes entre sí en la configuración).
1.3. Visibilidad de las franjas A la hora de analizar la visibilidad de las franjas, definimos un parámetro denominado contraste como el cociente entre la diferencia de intensidades máxima y mínima y su suma. A partir de esta definición, recordamos que si la diferencia entre los máximos y mínimos resultantes de la interferencia era pequeña, dijimos que el patrón no se apreciaba bien (contraste o visibilidad bajo). Sin embargo, cuando los vectores campo eléctrico son paralelos y las amplitudes iguales, la diferencia entre máximos y mínimos es máxima, y el contraste es la unidad (I min = 0). Vemos en la animación patrones de contraste variable. Podemos analizar por separado la influencia de dos factores básicos sobre la visibilidad de las franjas, relacionados con la coherencia espacial y temporal de las fuentes que se superponen. 1.3.1. Efecto de la extensión espacial de la fuente
En cuanto al efecto de la extensión espacial de la fuente, si aumentamos la anchura de la fuente originaria en x (y por tanto la de S1 y S2 ), dado que consideramos cada punto emisor de las rendijas de forma independiente (puesto que emiten en principio de forma incoherente), sobre la pantalla vamos a recoger en un punto P las configuraciones interferenciales superpuestas de cada uno de los puntos emisores, cada una de ellas llegando a P con distinta diferencia de camino óptico, y por tanto estarán desplazadas unas con respecto a otras (o sea, si una presenta un máximo en P, otra presentará un mínimo y otra una posición intermedia entre ambos). Vamos a evaluar esta diferencia de camino óptico en las configuraciones superpuestas. Fijamos una diferencia de camino óptico ∆ entre las emisiones de puntos de S1 y S2 . Con esta diferencia de camino óptico, los puntos emisores de S1 y S2 procedentes de un punto S de la fuente originaria centrado con respecto a S 1 y S 2 se superpondrán en un punto P de la pantalla. Ya vimos que con la aproximación a d , podemos calcular la diferencia de camino óptico sobre P como xda . Los puntos emisores de S1 y S2 correspondientes a un punto S de la fuente originaria a distancia x de S, presentarán otra diferencia de camino óptico adicional debida a que S ya no está centrada con respecto a S1 y S2 . Tenemos entonces, con la aproximación x a (distancia entre S y el plano de las rendijas), que esta diferencia adicional puede escribirse como xa d . Entonces, si para la superposición con diferencia de camino óptico ∆ tenemos un máximo sobre P , para la otra configuración no obtendremos un máximo, sinoque la posición de máximo más próxima x d estará en un punto P con diferencia de camino óptico ∆ < ∆ + a = ∆ , y por tanto más cerca del centro de la configuración. Esta posición P sería (para un máximo, haciendo ahora ∆ = mλ) igual a mλ − x a . Vemos que efectivamente x = x menos un término fijo que depende del incremento de p p nd a anchura de la rendija. Sin embargo, la interfranja (distancia entre máximos) no varía para ambas config
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uraciones, con lo que sólo se ha producido un desplazamiento relativo de las mismas. Para una variación pequeña dx, tomamos variacionales en la expresión ∆ anterior y obtenemos la relación entre el incremento de anchura pequeño dx y el desplazamiento de las franjas dx. Si definimos una tolerancia de desplazamiento para que el patrón siga siendo visible, de un cuarto de interfranja, llegamos a que la tolerancia en apertura de la rendija originaria es λ4ad . Así que podríamos calcular cuánto como máximo podemos abrir la rendija para no perder el patrón como consecuencia de la pérdida de coherencia espacial. En la película, vemos simulado el efecto de aumentar la apertura de las dos rendijas en un patrón de franjas de Young.
1.3.2. Efecto de la monocromaticidad
Nos planteamos ahora qué efecto tiene sobre la configuración interferencial el que la fuente de origen no sea monocromática. Ya dijimos que no es necesario que la luz sea monocromática para producir interferencias, pero vamos a plantearnos qué características tiene el patrón resultante de superponer varias configuraciones, cada una correspondiente a una longitud de onda determinada. Partimos de una fuente puntual (o lineal, si es rendija), para no mezclar con el efecto de aumentar la anchura de rendija que hemos visto antes. En primer lugar, si iluminamos con luz blanca, tenemos que para todas las longitudes de onda, la posición del máximo central (orden cero) no varía, con lo cual la franja central va a ser blanca (resultado de la superposición en el mismo punto de todas las longitudes de onda en máximo). Para el resto de máximos, sin embargo, la interfranja y por tanto la distancia al centro depende directamente de λ, y diferenciando la expresión de la posición de los máximos para un orden m dado, obtenemos que la variación de x cuando λ varía en d λ depende del orden del máximo ( m), y del cociente nda , que es constante para todas las longitudes de onda. Para el primer mínimo, la variación va a ser muy pequeña dentro del espectro visible (porque m es cero), con lo cual veremos franjas oscuras al lado del máximo central. Esto también ayuda en su localización. Como las longitudes de onda menores tienen menor interfranja, esperamos ver las primeras franjas coloreadas como azules hacia el centro, y rojas hacia la periferia. Luego, como el desplazamiento crece con m, podemos encontrar todo tipo de variaciones en el aspecto de las franjas. Si iluminamos, por el contrario, con luz casi-monocromática (la variación en longitud de onda es muy pequeña alrededor de la media del intervalo de longitudes de onda de la fuente), entonces la variación de x (al menos para los primeros órdenes) es mucho menor que la interfranja, con lo cual apenas apreciamos efectos sobre la configuración. De todas formas, algunos aparecen, como puede verse en el montaje de las prácticas de dispositivos interferenciales con luz de Na. El uso de configuraciones interferenciales con luz blanca tiene la ventaja de que es más fácil localizar la posición del máximo central (orden cero). Algunas aplicaciones interferométricas utilizan los patrones obtenidos con luz policromática, como las que miden distancias de acoplamiento o profundidades de superficies rugosas (FLIC y CPM entre otras, esto sería mejor verlo mediante un seminario dedicado a este tipo de aplicaciones). La aplicación que vamos a ver un poco más despacio es la obtención de índices de refracción de gases utilizando el interferómetro de Rayleigh . Presenta el montaje esquematizado en la figura: una fuente S situada en el foco objeto de una lente L0 , que manda un haz paralelo al eje hacia dos rendijas S1 y S2 . La luz atraviesa dos cámaras de la misma longitud y material (t1 y t2 ), luego dos láminas compensadoras C1 y C2 y la lente L1 , que focaliza de nuevo ambos haces. El plano de su combinación se observa aumentado por medio de una lente cilíndrica L 2 en el plano P . La última lente es cilíndrica porque sólo es crítico el aumento en la dirección perpendicular a las franjas. La diferencia de camino óptico entre los brazos se produce al introducir un cierto gas en el brazo T 2 . Al hacer esto, se produce un desplazamiento de las franjas, y contando el número de órdenes de este desplazamiento se calcula directamente la diferencia de camino óptico inducida y por tanto ( conociendo la longitud l de los brazos) el índice del gas en cuestión. Hay varios aspectos secundarios del dispositivo que resultan interesantes: por ejemplo, inicialmente se vacían T 1 y T 2 e iluminando con luz blanca, se comprueba que las posiciones de orden cero los brazos y el patrón de referencia coinciden. Mediante una lámina auxiliar G situada debajo de C1 y C2 , puede obtenerse el patrón de referencia (sin que la luz pase por las cámaras de los brazos). Primero se calibra 7
con luz blanca, luego se afina con luz monocromática una vez encontrada la posición del orden cero. Una vez calibrado, se introduce el gas en T 2 , y esto ocasiona un desplazamiento de toda la configuración. Más que contar el número de franjas desplazadas, lo que se hace es compensar el desplazamiento girando la lámina C2 . De nuevo, primero se hace con luz blanca, y después se afina con luz más monocromática. Se mide el incremento de m a partir del giro de C2 (con una escala calibrada), y conociendo la longitud de onda de la luz casi-monocromática que permite afinar las medidas, se obtiene el índice de refracción del gas.
1.4. Dispositivos interferométricos por división del frente de ondas Ya hemos visto varias técnicas de interferometría aplicada bastante recientes, lo que nos confirma que los dispositivos basados en generar patrones de interferencia siguen en constante evolución y resultan todavía muy útiles para caracterizar superficies o distancias de acoplamiento. Pero todo esto ha supuesto una evolución a partir de unos dispositivos mucho más simples y primitivos para producir patrones interferenciales, algunos de los cuales vamos a tratar en esta sección. 1. Doble rendija de Young . En primer lugar, volvemos a mencionar este dispositivo, que puede utilizarse para estimar la longitud de onda de una fuente casi-monocromática a partir de medidas precisas de la interfranja y la distancia rendijas-pantalla. En esencia, como ya hemos dicho, en la división del frente de ondas se trata de ingeniárselas para generar dos fuentes coherentes a partir de una dada (duplicarla). 2. Espejos de Fresnel. El dispositivo de espejos de Fresnel utiliza dos espejos que forman un ángulo obtuso para lograr dos imágenes de una fuente puntual S. Si observamos las marchas de rayos (utilizando los conocimientos que ya tenemos de óptica geométrica) veremos que las dos fuentes virtuales que hemos creado están localizadas en un plano situado detrás de ambos espejos. Además, ambas están a una distancia b de los espejos (la misma de la fuente S con respecto a los mismos). También, para los dos rayos centrales tenemos que el efecto equivalente es como si hubiéramos girado el espejo un ángulo alpha, al incidir casi en el mismo punto de uno y otro espejo; entonces, sabemos que el rayo reflejado gira un ángulo 2 α, con lo cual el ángulo entre las prolongaciones de ambos rayos reflejados que van a parar a las dos fuentes virtuales será también 2α. Las razones por las cuales cumplen las condiciones de interferencia son completamente análogas a las expuestas para la doble rendija. Si observamos el patrón obtenido en una pantalla P situada a bastante distancia de los espejos, la zona ocupada por las franjas (sin considerar problemas de coherencia) es la rayada en la figura. Recordemos que realizando la aproximación a d, la interfranja queda como λda . En nuestro caso, podemos conocer d midiendo la distancia de la fuente S al vértice de los espejos, y el ángulo que forman ambos. Así mismo, podemos conocer a como la suma de b cos2α y la distancia vérticepantalla. De nuevo, podemos medir la interfranja y determinar la longitud de onda, o medir b a partir de la interfranja si conocemos la longitud de onda. Vemos un ejemplo de trabajo con los parámetros de los espejos de Fresnel. 3. Espejo de Lloyd. Otro dispositivo aún más simple es el espejo de Lloyd. En él, situamos una fuente alejada y a escasa altura sobre el plano de un espejo horizontal (no es un espejo metálico sino una lámina de medio homogéneo no metálico pero pulido para que sea altamente reflectante), que nos crea una imagen virtual de la fuente. La interferencia se produce entre la propia fuente y su imagen virtual (o, si queremos ser más precisos, entre la luz directa de la fuente que llega a la pantalla P y la que llega tras reflejarse en el espejo). De nuevo, nuestro problema se reduce a calcular d y a y la zona de superposición de ondas (marcada en la figura). d lo podemos determinar conociendo la altura de la fuente sobre el plano del espejo (o la distancia de la fuente al borde del espejo y el ángulo α), y a conociendo además la separación entre la fuente y el borde inicial del espejo. Necesitamos además la longitud del espejo y la distancia espejo-pantalla. El espejo de Lloyd tiene una característica adicional interesante, y es que al reflejarse la luz en el vidrio que recubre el espejo se introduce una diferencia de fase adicional de π (recordemos lo dicho sobre reflexión en dieléctricos cuando se pasa de menor a mayor 8
índice). Entonces, para la franja central ( m = 0) tenemos un mínimo en vez de un máximo, y toda la configuración es complementaria de la que se obtendría para la doble rendija o los espejos de Fresnel (pensar por qué). Vemos mediante un ejemplo cómo determinar (sin incluir problemas de coherencia) el número máximo de franjas visibles en la pantalla en un caso concreto de espejo de Lloyd. 4. Biprisma de Fresnel. Otro de los dispositivos clásicos es el biprisma de Fresnel, que se verá montado en el laboratorio. En esta ocasión, utilizamos un dispositivo formado por dos prismas de pequeño ángulo α , unidos por sus bases, que refractan la luz proveniente de una fuente casi-puntual S. Como los ángulos de incidencia del rayo central y el superior (o inferior) que llega al borde del prisma no son iguales, en realidad los rayos refractados no formarían un pincel estigmático. Pero el efecto aberrante puede despreciarse si tanto los ángulos de incidencia como el de refringencia de ambos prismas son lo bastante pequeños (entonces, recordemos que la desviación no depende del ángulo de incidencia, aprox. Prismas delgados). Bajo esta restricción, podemos considerar que cada prisma forma una imagen virtual de S,yambas imágenes quedan situadas en el mismo plano que S. Vemos las marchas de rayos y la zona de superposición de las dos ondas. Podemos determinar d y a a partir de la desviación con aproximación de prismas delgados y las distancias S-biprisma y biprisma-pantalla. Pero en el laboratorio, se miden d y a por un método basado en las dos posiciones de Bessel de una lente delgada convergente de focal conocida. A partir de d y a, y midiendo la interfranja, se determina la longitud de onda de la fuente utilizada ( Na). Vemos el método teórico propuesto para determinar la longitud de onda y el número máximo observable de franjas en el ejemplo 5. 5. Semilentes de Billet . Este dispositivo se basa en colocar una fuente S sobre el eje óptico de una lente delgada, cortarla por la mitad y separar una distancia h las dos partes de la lente. Como consecuencia del desplazamiento de 2h de cada eje óptico respectivo, se forman dos imágenes reales de la fuente S, separadas una cierta distancia d y que cumplen las condiciones de interferencia. Se recoge el patrón sobre una pantalla a distancia A de las dos fuentes, y distancia a2 de las semilentes. Vemos mediante el ejemplo 6 cómo la separación d queda en función de h y el aumento lateral introducido por la lente original para S , y A puede calcularse a partir de a 2 y la distancia d , que queda también en función de la longitud de las semilentes, h y a (distancia imagen para la lente original y S, ver folio adicional de cuentas). En el ejemplo, resulta más fácil porque se aplica al caso de S en el punto antiprincipal de la lente original. Una aplicación interesante de interferometría para medidas de tamaños angulares de fuentes estelares es el interferómetro estelar de Michelson, pero al ser un dispositivo que ilustra muy bien la coherencia espacial de las fuentes, se desarrolla como ejemplo en el tema dedicado a coherencia, puesto que si lo introducimos en este tema no podríamos darle toda la complejidad conceptual que merece, pues podríamos hablar sólo de fuentes puntuales separadas una cierta distancia angular. Este dispositivo se utiliza (todavía hoy día, como veremos) con resoluciones del orden de la diezmilésima de segundo de arco.
2. Interferencias de dos haces por división de amplitud Vamos a tratar en esta segunda sección del tema las interferencias por división de amplitud de dos haces. En la siguiente sección, nos referiremos al mismo tipo de interferencias con haces múltiples (entendiéndose por múltiples un número superior a 2). La diferencia fundamental entre ambos tratamientos vendrá dada por el factor de reflexión de la superficie de que se trate. Si la superficie es muy reflectante, no podremos considerar que el resultado global de las interferencias es consecuencia de la superposición de los dos primeros haces, puesto que habrá más contribuyendo de manera significativa. Así pues, en la misma situación experimental, la intensidad final resultante tendrá la expresión que calcularemos en esta sección o bien la de la siguiente, según la reflectancia de la superficie con la que estemos tratando.
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2.1. Interferencias en láminas de espesor constante La primera situación que vamos a estudiar se refiere a láminas de espesor constante, es decir, de caras paralelas. Por simplificar, tratamos el caso de la lámina sumergida en medios de igual índice, siendo este índice n1 . Supondremos que la lámina es de un material dieléctrico de índice de refracción n, y tiene espesor d. Como ya hemos indicado, la reflectancia va a ser lo bastante baja como para que consideremos sólo los dos primeros haces por reflexión. Supondremos que el medio no es absorbente, y vamos a iluminar con una fuente puntual monocromática que incide con un cierto ángulo θ . Al incidir sobre la lámina plano-paralela, ésta actúa como un divisor de amplitud (en el sentido de que parte de la energía incidente se refracta y parte se refleja). El primer haz reflejado lo denotamos por Er1 . Al punto de incidencia lo llamamos A . El primer haz transmitido llega a la segunda cara de la lámina en el punto B, formando un ángulo θ con la normal a la lámina en A . De nuevo, parte de él se refracta (formando el haz E1t ) y el resto se refleja y vuelve a la cara superior de la lámina en el punto C . Parte de él vuelve a reflejarse (pero el coeficiente de reflexión es tan bajo que no lo tendremos en cuenta), y la parte que nos interesa se refracta en C y sale paralelo a Er1 , formando el haz Er2 . Si vamos a estudiar la superposición de ambos haces reflejados ( Er1 y Er2 ), que se produciría en el infinito, nos interesa saber la diferencia de camino óptico que hay entre ambos. Señalamos entonces el punto D , que marca el camino recorrido en el medio n 1 por el haz Er1 mientras el haz Er2 estaba en el interior de la lámina. Expresamos esta diferencia de camino óptico (pizarra) en función de la longitud de los segmentos recorridos y los índices correspondientes. Aplicamos que AB = BC, y relacionamos ambos con d y cos θ . AD lo expresamos en función de AC y sin θ, utilizando la ley de la refracción en función de sin θ . Así mismo, ponemos AC en función de d y de la tan θ . Sustituimos todo en AD y luego en la diferencia de camino óptico, y nos queda la expresión conocida de 2nd cos θ . Si consideramos el desfase total entre las dos ondas reflejadas, deberemos incluir un término adicional que tenga en cuenta el salto de fase por diferencia entre reflexión interna y externa en ambas caras de la lámina. Si ésta está sumergida en medios de igual índice, este salto de fase adicional es de π . Si la fuente es extensa, en este caso el patrón recogido en el infinito también sería visible, puesto que el desfase depende del ángulo de incidencia y no de la posición de cada uno de los emisores de la fuente. Dicho patrón estaría localizado en el infinito, como ya hemos señalado. Estudiamos entonces el desfase y la diferencia de camino óptico para los máximos y mínimos de intensidad (observando que el patrón es complementario al de franjas de Young que vimos en el capítulo anterior, debido al salto de fase adicional por reflexión). Entonces, los máximos de intensidad se dan para diferencias de camino óptico 2 nd cos θ que sean múltiplos impares de semilongitudes de onda, y los mínimos para múltiplos enteros de la longitud de onda. Dado que las franjas van al infinito, si utilizamos una lente (o nuestro ojo, convenientemente enfocado al infinito) para recoger el patrón resultante, todos los rayos de igual θ (o sea, igual θ ) van a parar al mismo punto del plano focal imagen de la lente o retina, así que se denominan en general franjas de igual inclinación, pues los máximos o mínimos corresponden a haces reflejados con el mismo ángulo. Veamos ahora el aspecto que presentan estas franjas. Dado que hay simetría alrededor de la posición de la fuente (variando el ángulo desde incidencia normal hasta el máximo que seamos capaces de recoger con nuestra lente u ojo), en el plano de superposición final veremos anillos concéntricos. El círculo central corresponde a incidencia normal (θ = θ = 0 ◦ ), y como tiene la máxima diferencia de camino óptico, tendrá también el orden interferencial máximo, dado por 2 nd = m o λ. Observemos que el valor m o no tiene por qué ser necesariamente entero; si no lo es, tomaremos como orden el entero inferior más próximo. En la figura, vemos la manera de resolver el problema de la iluminación normal sin que la propia fuente nos estorbe para ver la configuración, por medio de un divisor de haz ( beamsplitter en inglés), que es una lámina semitransparente que refleja la luz de la fuente hacia la lámina y deja pasar la luz proveniente de la lámina hasta la lente o dispositivo colector. Para fuente puntual, si consideramos la configuración mostrada en la figura, nos damos cuenta de que hay también franjas en una determinada zona del espacio por encima de la lámina (reales) o por debajo de la misma (virtuales), según las condiciones de iluminación y observación. Estas franjas son no localizadas, como las que hemos visto en el tema anterior, y no las vemos con una fuente extensa por problemas ligados a la falta de coherencia. Otra configuración posible es la que resulta de la super10
posición en la propia superficie de la lámina (pizarra). Siempre con fuente puntual, según la colocación de nuestro dispositivo de observación veremos una pequeña porción de la lámina con franjas. En el momento en que la apertura del dispositivo de observación permita sólo recoger uno de los haces, no se podrá recoger el resultado de la superposición en el punto correspondiente del plano imagen. Discutiremos más ampliamente la cuestión de la localización de las franjas en apartados posteriores de esta sección. Volviendo a las franjas de igual inclinación, para fuente puntual, observando las figuras de Hecht vemos que en general sólo vamos a poder recoger la luz que provenga de una pequeña porción de la lámina, y cuando el espesor se hace grande tampoco las vemos porque la distancia AC crece y no podemos recoger los dos haces con nuestro dispositivo de observación. Este problema se hace menor si utilizamos fuente extensa, puesto que podemos recoger sobre nuestro elemento de observación rayos procedentes de distintos puntos de la fuente con diferentes inclinaciones (obviamente, cada uno irá a parar a distinto punto del plano focal imagen, como muestra la figura). No hemos hablado de la interfranja hasta ahora, pero parece claro que no es constante a lo largo del patrón interferencial, o sea, que cuando nos pidan la interfranja deberán especificarnos a qué anillo o franja se están refiriendo. Lo vemos con un ejemplo para franjas de igual inclinación. En cuanto al efecto de la monocromaticidad de la fuente, vemos con dos ejemplos que en general es mayor cuanto más gruesa sea la lámina. Por ejemplo, para una lámina de 1 cm de grosor, calculamos los órdenes correspondientes a los extremos del espectro visible y vemos que se diferencian en 32000, luego hay potencialmente 32000 longitudes de onda superpuestas en una configuración con luz blanca. Sin embargo, para una lámina de 0,1 mm (100 µ m) , habría 320 configuraciones superpuestas. En las fotos, vemos anillos de Haidinger para una lámina delgada con luz espectral (no blanca), también con luz blanca para una lámina muy delgada, pero no es posible observar nada si la lámina es gruesa, y aún peor si como en la foto la situamos sobre fondo blanco, porque no hay apenas contraste (experiencia de clase con láminas de vidrio de diferente grosor).
2.2. Interferencias en láminas de espesor variable Discutimos ahora el conjunto de configuraciones interferenciales para las cuales el parámetro dominante es el espesor óptico (producto nd ) frente al ángulo de incidencia que hemos visto en las franjas de Haidinger. A esta clase de patrones suele denominarse franjas de igual espesor, puesto que para una lámina de material dieléctrico dado e índice n constante, corresponden a zonas de igual espesor de material. 2.2.1. Franjas de Fizeau
Consideramos ahora el mismo esquema que para las láminas de caras planas, pero con una cuña de material dieléctrico de índice n sumergida en un medio de índice n1 (ver esquema en pizarra). El ángulo de la cuña lo denotamos por α . Localizamos los puntos de incidencia A , B y C sobre la cuña, los rayos reflejados Er1 y Er2 , el punto D y el punto E sobre la cuña, a mitad de camino entre A y C . Este punto nos sirve como referencia para el espesor d. Como vemos, en la situación que hemos dibujado las franjas serían virtuales y no localizadas (están en una región por debajo de la lámina). El punto D se obtiene trazando un arco de circunferencia desde P (punto de superposición virtual), arco que pasa también por C. Tomamos el eje x desde el vértice de la cuña. También hará falta tener en cuenta el desfase adicional de π por la diferencia entre reflexión interna y externa en la cuña, pero esto lo haremos al final. Pensemos que, si el ángulo α de la cuña es relativamente grande, el espesor aumenta rápidamente con la distancia x, con lo cual las franjas se acumulan en la zona cercana al vértice, y serán menos visibles. Por eso es más habitual trabajar con cuñas de ángulo pequeño. Vamos a calcular la diferencia de camino óptico entre los haces reflejados, de nuevo suponiendo que la reflectancia del material es lo bastante baja como para que sólo debamos considerar los dos primeros haces. Hay una demostración alternativa en Born y Wolf[1], que conviene mirarse, pero aquí vamos a seguir la que se muestra en el Casas[ 2]. Pintamos un esquema mayor de la cuña, con los puntos A ,B y C como siempre; trazamos la normal a la cara inferior de la cuña por el punto B, y trazamos las perpendiculares a ella por C (que determina el punto D sobre la normal), el punto E que como antes es el punto de corte de la normal con la cara superior de la cuña, 11
y el punto F que resulta de cortar la paralela a la base de la cuña que pasa por A con la normal trazada en B . Por último, el punto G es el que marca el camino óptico recorrido por Er1 mientras Er2 está en el interior de la cuña. Planteamos la ecuación de la diferencia de camino óptico global en función de los índices y los segmentos recorridos. Nos damos cuenta de que con cada reflexión en la cuña sumamos α al ángulo de refracción θ , de forma que el primer ángulo de reflexión es θ + α (podemos utilizar el triángulo ABF para ver esto si fuera necesario, de ángulos θ r (el que queremos averiguar), 90 ◦ y 90 ◦ −(θ + α)). Entonces, la distancia AF + DC (distancia horizontal entre A y C ) puede escribirse como ( AB + BC ) sin(θ + α) o bien como ( AE + EC ) cos α. Por otra parte, la distancia AG es AC sin θi , y por útlimo podemos aplicar la ley de Snell para relacionar el sin θi con sin θ . Utilizamos la expresión de AG para sustituir en la parte de ∆ que depende de n 1 , luego cambiamos AC por AE + EC , y AE + EC por su correspondiente expresión en función de AB + BC . Ya tenemos todo ∆ en función de AB + BC . Ahora, nos damos cuenta de que si d es pequeño, podemos aproximar BF + BD por 2d (que sería la distancia BE), con lo cual 2d = ( AB + BC ) cos(θ + α), y podemos poner ∆ en función de d , n, θ y α , sacando factor común 2nd cos(θ +α) . Ahora es cuando consideramos que α θ , y cos α = 1, con lo que queda la misma expresión que para la lámina de espesor constante, sólo que ahora d se aproxima por x α. Entonces, las franjas (zonas de ∆ cte) serían líneas paralelas a la arista de la cuña (x=cte). Si añadimos el desfase por reflexión, obtenemos las correspondientes expresiones generales para la diferencia de camino óptico y el desfase. Si trabajamos en incidencia próxima a normal, podemos obtener las diferencias de camino óptico y espesores correspondientes a máximos y mínimos. De nuevo la interfranja depende de la incidencia, pero a incidencia normal ( franjas de Fizeau), podemos obtener la interfranja como diferencia de espesores entre dos máximos (o diferencia de valores x entre dos máximos). Para una cuña de aire entre dos vidrios, bajo incidencia normal la interfranja es 2λα , y los espesores correspondientes a máximos serían múltiplos impares de λ4 . Vemos en la foto cómo efectivamente la interfranja es fija para franjas de Fizeau con una cuña. ¿Para qué sirve todo esto? La primera aplicación que veremos es la detección de irregularidades en superficies, mediante el dispositivo denominado interferómetro de Fizeau , que no es más que una fuente con un divisor de haz y un colector de las franjas. Como sabemos, las franjas representan contornos de igual espesor óptico, así que si, por ejemplo, queremos controlar la superficie superior de dos pernos de aluminio, podemos colocar una lámina transparente encima de forma que se apoye un poco inclinada sobre uno de los pernos y se forme una pequeña cuña de aire, iluminar normalmente con nuestro divisor de haz y una fuente adecuada y recoger la configuración con una lente. Así, seríamos capaces de detectar las irregularidades de la superficie de los pernos tan pequeñas como media interfranja (siendo poco exigentes, en realidad se puede llegar a bastante más sensibilidad). También podemos obtener franjas de Fizeau utilzando un escáner, como tuvimos ocasión de comprobar hace unos años en nuestro laboratorio, si el escáner tiene la tapa lo bastante reflectante, con la fuente de iluminación del mismo pueden observarse contornos de igual espesor en la capa de aire que queda entre la tapa y el vidrio del escáner. Son los contornos que vemos en la foto, que se observan mejor manipulando el histograma de color mediante el software del escáner. Sin embargo, como ya hemos dicho, necesitamos que la tapa sea lo bastante reflectante y que tenga una componente importante de reflexión especular, por lo que en rigor deberíamos atenernos a la descripción de interferencias con haces múltiples que veremos en el próximo capítulo. Experiencia de clase sobre los tres experimentos y las preguntas que deben contestar los diferentes grupos. También se discuten diferentes aspectos de las franjas de Fizeau a partir de la foto del ejemplo 10.
2.2.2. Anillos de Newton
Un caso especial de franjas de igual espesor se produce cuando se crea una capa de aire de espesor variable entre una lente convexa y una lámina plano-paralela de vidrio (en realidad, debe ser lo que denominamos un plano óptico, es decir, una superficie que no se desvíe más de un cuarto de longitud de onda de un plano perfecto). Supondremos que iluminamos con luz monocromática e incidencia normal. Este fenómeno fue observado por Newton, y de ahí su nombre (aunque él no pudo encontrar una explicación adecuada para el mismo debido a que no utilizó el modelo teórico adecuado para describir la luz). Dada la simetría 12
del conjunto, la configuración estará formada por un conjunto de anillos concéntricos centrados en la fuente, como vemos en la foto. Para el anillo oscuro de orden m, la diferencia de camino óptico (teniendo en cuenta el desfase por reflexión interna-externa correspondiente) será un múltiplo impar de semilongitudes de onda, de lo que deducimos que el espesor de la capa de aire correspondiente es un múltiplo de semilongitudes de onda. Para el círculo central, si la lente está en contacto perfecto con el plano óptico, toda la luz pasará (no hay interfase), con lo cual tendremos una diferencia de camino óptico nula, y como toda la luz pasa, el círculo central es oscuro. Naturalmente, si observamos la configuración por transmisión el círculo central sería máximo, y los anillos oscuros por reflexión corresponderían a anillos brillantes por transmisión. Del triángulo dibu jado en la figura, aplicando el teorema de Pitágoras y despreciando el término en d m 2 frente a 2 Rd m , obtenemos la expresión del radio del anillo de orden m en función del radio de la lente, el orden m y la longitud de onda. Con la simulación de Matlab, podemos observar el efecto previsible de aumentar o disminuir R sobre la configuración, e igual para la longitud de onda. Por ejemplo, si aumentamos la longitud de onda, el anillo de orden m aumenta su radio, con lo cual estará situado más hacia la periferia, y observando el mismo campo veremos menos anillos y con mayor interfranja entre ellos. Si disminuimos R, el efecto es el contrario: podemos razonarlo pensando que al disminuir R , d aumenta más rápidamente en la capa de aire creada, con lo cual los anillos se desplazan hacia el centro y se acercan más unos a otros. Por otra parte, vemos que como ocurría con los anillos de Haidinger, la interfranja no es constante en esta configuración (es inmediato comprobar que depende del orden m, haciéndose menor conforme m crece). En el laboratorio, se utilizan para medir el radio de la lente R , tras haber obtenido dos radios de anillos no consecutivos. Como caso especial de las franjas de Fizeau, los anillos de Newton pueden utilzarse para control de irregularidades en superficies de lentes o espejos. Como vemos, son observables con luz blanca en condiciones favorables. En la parte inferior de la diapositiva, vemos diferentes patrones de anillos de Newton obtenidos con diferentes fuentes casi-monocromáticas. Vemos con un ejemplo la posibilidad de formar los anillos de Newton con dos lentes, una convexa y otra cóncava.
2.3. Localización de las franjas En los dispositivos para generar interferencias por división del frente de onda, se genera el desfase por diferencia de camino óptico entre dos rayos que se superponen en un punto P, de forma que el valor del desfase, fijada la posición de las fuentes, depende de la posición de P pero queda determinado unívocamente para todo P. En una región amplia del espacio, podemos encontrar franjas en todos los planos. Hablamos entonces de franjas no localizadas , que son características del uso de fuentes puntuales, como ya hemos visto para las láminas y cuñas en interferencias por división de amplitud (pero no para las franjas de igual inclinación, que están localizadas en el infinito). Si la fuente es extensa (compuesta de infinidad de fuentes puntuales), entonces el desfase en P no será el mismo para todos los rayos de la fuente, por lo que hay desplazamiento de las configuraciones individuales en la vecindad de P y la visibilidad es menor. Entonces, trabajando con fuente extensa puede suceder que haya una determinada zona del espacio para la cual la visibilidad se aproxima a la que tendríamos con fuente puntual, y para el resto de zonas no puedan apreciarse las franjas. En este caso, hablamos de franjas localizadas. En general, si no se fijan las condiciones de iluminación y observación, la localización de las franjas puede ser un proceso bastante largo (ver la figura en pizarra con los dos casos). Las franjas para ángulos de incidencia pequeños son virtuales y se sitúan alrededor de P1 , mientras que para ángulos grandes son reales y se sitúan alrededor de P2 . Colocando un diafragma en la fuente S y seleccionando un conjunto de rayos, podemos escoger entre ambas situaciones. Para una cuña con ángulo pequeño e incidencia próxima a la normal, las franjas aparecen localizadas en una de las superficies de la cuña. Puede consultarse la demostracion de la expresion que permite obtener la distancia AP en funcion de los parámetros que controlan la iluminación y la geometría de observacion en Born y [1]. Sirve también para el caso de franjas virtuales. Si la cuña es de aire entre dos vidrios delgados, encontramos AP = x sin θi , con lo cual P estaría en un círculo de diámetro OS 1 , donde O es el vértice de la cuña y S 1 la imagen de la fuente S en la primera cara de la cuña. Esto quiere decir que en ocasiones las franjas pueden curvarse, como veremos 13
en algunos casos del siguiente apartado. Si estamos cerca de la incidencia normal, θ i se acerca a cero y la distancia AP se aproxima a cero, con lo que las franjas estarían situadas en la cara inferior de la cuña (para P virtual). Por otra parte, si la fuente está muy lejos de la cuña o bien inciden sólo rayos paralelos entre sí, resulta que la distancia AP es directamente proporcional a x , con lo cual las franjas se localizan en un plano que pasa por x = 0 (vértice de la cuña). Vemos un ejemplo de este caso, en el que se pide localizar el plano de las franjas.
2.4. Interferómetros de doble haz y aplicaciones Vamos a analizar una serie de dispositivos que sirven para producir interferencias por división de amplitud, con bastantes aplicaciones en distintos campos, como veremos. 2.4.1. Interferómetro de Michelson
En primer lugar, vemos el interferómetro de Michelson. Con este dispositivo, se producen interferencias por división de amplitud de forma mucho más versátil que con láminas plano-paralelas o cuñas. En su formulación original, consta de una fuente extensa que ilumina un divisor de haz colocado a 45 ◦ con dos espejos perpendiculares entre sí (como muestra la figura). Si seguimos la marcha de un haz que parta de la fuente con incidencia sobre la horizontal, al llegar al divisor de haz se refracta (despreciando la reflexión en la primera cara) y en la segunda cara parte se refleja y va hacia el espejo E2 , y parte se refracta y va hacia el espejo E1 . Los dos haces se reflejan en sus respectivos espejos, y el que proviene de E1 se refleja en la segunda cara de la lámina al volver, mientras que el que proviene de E2 atraviesa de nuevo la lámina. Entonces, el haz que va a E1 atraviesa la lámina sólo una vez, mientras que el que va a E2 la atraviesa tres veces. Para compensar esto, se introduce la lámina C en el brazo de E1 . Los dos haces salen paralelos del divisor de haz, por lo que se superpondrían en el infinito o bien en el plano focal del elemento de observación. Si ponemos nuestro ojo, entonces para nosotros los dos haces vendrían desde arriba, con lo cual el dispositivo es equivalente a que el haz 1 provenga de una superficie E1 (reflejo de E1 en el divisor de haz). Entonces, la situación creada por el Michelson es equivalente a una lámina plano-paralela de aire de espesor d = d 2 − d1 , y para el rayo que hemos visto, la diferencia de camino óptico asociada sería 2d (sin tener en cuenta los saltos de fase por diferencia entre reflexión interna y externa en el divisor de haz). ¿Qué pasaría para haces con otros ángulos de incidencia? Viendo la equivalencia con la lámina planoparalela de aire, es fácil ver que la diferencia de camino óptico entre los dos haces será entonces 2d cos θ, siendo θ el ángulo que forma el haz incidente con la horizontal. Como hay simetría circular alrededor del centro de la fuente, para luz casi-monocromática, la configuración constaría de un conjunto de anillos concéntricos claros y oscuros alternados. De nuevo, la máxima diferencia de camino óptico (y por tanto, el orden máximo) corresponde al círculo central. A esta diferencia de camino óptico habría que añadir, como ya hemos dicho, el desfase por diferencia de reflexiones interna y externa en el divisor de haz. También, como muestran algunos textos, podemos considerar al sistema como el producto de la interferencia de las dos imágenes que producen E1 y E2 de la imagen de la fuente que da el divisor de haz. La configuración interferencial puede observarse por medio de una lente o tele scopio, a ojo desnudo (siempre que la fuente no sea un láser) o recogerse directamente sobre una pantalla, como hacemos en el laboratorio. Generalmente, uno de los espejos está dotado de un mecanismo de desplazamiento para poder variar la distancia entre ambos, y por tanto, la diferencia de camino óptico. Si partimos de la situación inicial ( E2 en el brazo más largo), y alejamos E1 del divisor de haz, el camino óptico disminuye globalmente, con lo cual el orden del círculo central también disminuye, y como los órdenes van decreciendo hacia la periferia, tenemos que desaparecen anillos por el centro. La variación de orden en la periferia va a ser más lenta, puesto que la diferencia de camino óptico va modulada por el término cos θ . Si, por el contrario, acercamos E1 al divisor de haz, entonces globalmente el camino óptico crece, con lo cual el orden del círculo central crece y surgen anillos por el centro. Podemos ver un ejemplo en
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la película, y decidir qué está ocurriendo globalmente y especular sobre la posición probable (en qué brazo) del tornillo de desplazamiento. Si bajamos tanto la diferencia de camino óptico que la longitud de ambos brazos llega a igualarse, tendríamos diferencia de camino óptico nula para todos los haces, con lo cual obtendríamos un campo uniforme (no habría variaciones de intensidad). Tampoco si la diferencia de camino óptico crece mucho veremos anillos, debido a problemas de coherencia de la fuente que comentaremos más adelante. La separación angular entre máximos (diferencia de cosenos) resulta proporcional a 21d por el producto de la diferencia de órdenes por la longitud de onda. Entonces, es inmediato deducir que los anillos más en la periferia estarán más juntos entre sí que los del centro, pues si el ángulo crece, el coseno disminuye y a menor variación angular corresponde una mayor diferencia de cosenos. ¿Para qué puede servir este dispositivo? Vemos tres posibles usos: 1. Medida de distancias. Si consideramos que podemos apreciar perfectamente cuándo el círculo central pasa de brillante a oscuro (entonces, la diferencia de camino óptico ha variado en una semilongitud de onda, y el desplazamiendo de los espejos en un cuarto de longitud de onda), podemos medir distancias de desplazamiento de dos espejos con mucha precisión contando los anillos que aparecen o desaparecen por el centro. Aquí tendríamos la limitación de la longitud de coherencia de la fuente, por ejemplo resultaría imposible medir distancias de 50 cm con una fuente de Na. En realidad, hemos sido demasiado generosos con la sensibilidad mínima, puesto 1 de orden, y visualmente de hasta 1 que se han llegado a detectar desplazamientos de hasta 1000 20 de orden. 2. Medida de índices de refracción. . Si partimos de la posición d = 0, e introducimos una lámina de espesor e conocido en uno de los brazos, aparece una configuración de anillos debida a la diferencia de camino óptico introducida por la lámina (2 ne). Compensando esta diferencia adicional con el desplazamiento gradual de uno de los espejos, hasta volver a conseguir que d = 0, y contando los anillos que desaparecen por el centro, obtendríamos la diferencia de camino óptico y por tanto el índice de la lámina. 3. Medida de variaciones del índice de refracción en gases. Otra aplicación relacionada con esta última es el estudio de las variaciones de índices de refracción de gases con la presión. Esto es lo que realizamos en el laboratorio. Se necesita la ayuda de un manómetro auxiliar que nos de la presión en el interior de una cápsula situada en uno de los brazos. Vamos extrayendo aire progresivamente y calculando la variación de índice a partir de la variación de camino óptico observada en la configuración de anillos del Michelson. Cuando la separación entre los espejos es pequeña (de unas cuantas longitudes de onda), podemos ver la configuración con luz blanca. En realidad, hoy en día el instrumento apenas se utiliza fuera de los laboratorios docentes, pero es muy famoso a causa del experimento de Michelson-Morley para medir la velocidad de desplazamiento del éter. Además, es la base de otros dispositivos que veremos a continuación que sí se utilizan bastante hoy día para algunas aplicaciones. Algunas complicaciones prácticas que pueden surgir: 1. Si los espejos no están perpendiculares entre sí, el sistema equivalente será una cuña de aire en vez de una lámina plano-paralela, con lo cual se formarán franjas en vez de anillos como resultado de la interferencia. 2. Si utilizamos una fuente puntual, ya hemos visto que pueden formarse patrones interferenciales de tipo no localizado, en este caso reales. Si utilizamos una fuente extensa, estos patrones desaparecen por problemas de coherencia. 3. Coherencia de los trenes de onda: las fuentes reales, como vimos anteriormente, no emiten un continuo de radiación, sino trenes de ondas discretos (pulsos de longitud finita). Esto implica que dos pulsos emitidos al mismo tiempo (y por tanto, coherentes) pueden no llegar a superponerse en un punto P si la diferencia de camino óptico entre ellos es muy grande (pintar figura con lámina plana). Los pulsos 1 y 1 son coherentes, pero los que en realidad se superponen, 1 y 3 , no lo son. Puede haber distintos grados de coherencia si los pulsos coherentes se superponen parcialmente. 15
Si la longitud del pulso emitido por la fuente (longitud de coherencia) es l o , disponemos de un tiempo máximo to = lco para poder lograr una superposición coherente. Por eso no podemos medir distancias muy grandes con el Michelson, pues si la diferencia de camino óptico es muy alta, los pulsos coherentes no llegan a superponerse. Ya vimos que la coherencia espacial también da problemas en los dispositivos de Young, por la misma razón que en el Michelson (los pulsos coherentes no llegan a superponerse). En el ejemplo 13, se ve cómo utilizar el interferómetro para medida de índices de refracción. 2.4.2. Interferómetro de Twyman-Green
El interferómetro de Twyman-Green es un dispositivo Michelson modificado para que haya incidencia con haces colimados. Su utilidad principal es la comprobación de superficies ópticas. Se coloca una lente L 1 de forma que la fuente esté situada en su foco, y otra lente L2 para recoger los haces a la salida del interferómetro. Por lo general, los haces inciden siempre paralelos a la horizontal, con lo cual a la salida obtendremos un campo uniforme, brillante u oscuro según sea la diferencia de camino óptico entre ambos brazos. Si colocamos en el brazo de E2 (por ejemplo) una superficie plana transparente, cualquier irregularidad de la superficie de tamaño λ4 ocasionaría una variación de camino óptico de media longitud de onda, con lo que en el punto de superposición tendríamos oscuridad si el interferómetro estaba regulado para mostrar un campo uniforme brillante antes de insertar la superficie. El resultado sobre el plano focal de L 2 es una serie de contornos de nivel, entre cada dos contornos hay λ2 de diferencia en camino óptico, sobre una cantidad fija que puede medirse poniendo previamente el interferómetro a diferencia nula de camino óptico. También puede utilizarse para caracterizar un objetivo de cámara fotográfica, si en el brazo E2 se coloca un espejo convexo con el centro coincidente con F del objetivo. Podemos obtener configuraciones que reflejen las distintas aberraciones que presenta el objetivo. También podría comprobarse un anteojo o telescopio refractor (pensar cómo) y superficies de prismas, como vemos en el ejemplo 14. 2.4.3. Interferómetro de Mach-Zender
En el interferómetro de Mach-Zender, disponemos de dos divisores de haz y dos espejos de forma que cada uno ocupa los vértices de un cuadrado (o rectángulo). Así, el camino de cada brazo no se recorre dos veces, como en el Michelson, sino sólo una. El resultado de la interferencia puede observarse en el plano focal del colector L2 . Como vemos, trabaja normalmente con haces colimados, y suele utilizarse para medir variaciones de índice de refracción (ligadas a variaciones de densidad) en flujos de gases bajo presión. De nuevo, suele inclinarse ligeramente uno de los espejos para producir un patrón equivalente a unas franjas de Fizeau que sirva como referencia. Se miden diferencias de camino óptico (desplazamientos de franjas) en la imagen obtenida con L 2 . Si se utiliza fuente puntual, la localización de las franjas varía a lo largo del brazo E2 , y L2 se regula convenientemente para recoger las franjas en el plano imagen. Los desplazamientos (incrementos de órdenes) observados pueden relacionarse fácilmente con diferencias de índice de refracción en las distintas zonas de la muestra, y por tanto con este interferómetro podemos elaborar un mapa de niveles de densidad. Por ejemplo, la región de localización de las franjas puede regularse de forma que coincida con el extremo de un túnel de viento o una cubeta de ondas de choque. Deberán incorporarse en el otro brazo los correspondientes dispositivos compensadores para los nuevos elementos introducidos. En una modificación posterior debida a Bates, este dispositivo puede utilizarse también para medir aberraciones en frentes de onda, sin necesidad de un frente de referencia libre de aberraciones como le ocurre al Twyman-Green. Suele llamarse en este caso interferómetro shearing (corte, división). En la parte inferior de la diapositiva, vemos un ejemplo de montaje real de un interferómetro MachZehnder para un experimento de óptica cuántica, con las trayectorias del haz láser en su recorrido en ambos brazos. Y en la diapositiva siguiente, un esquema típico del montaje utilizado para controlar la intensidad en circuitos de fibra óptica. También se usa este interferómetro para estudiar el efecto Pockels, creando interferencias destructivas por aplicación de voltaje en uno de los brazos selectivamente. 16
2.4.4. Interferómetro de Sagnac
El interferómetro de Sagnac es otra variación del Mach-Zender, con tres espejos en vez de dos espejos y dos divisores de haz. El resultado es que los dos haces recorren el mismo camino en sentidos opuestos. Entonces, si introducimos una lámina de vidrio amorfo en un lado cualquiera, no tendríamos diferencia de camino óptico adicional, como sucede con el resto de interferómetros. ¿En qué casos resulta útil este dispositivo entonces? Principalmente, cuando queramos estudiar efectos no recíprocos, es decir, comportamiento de sistemas para los cuales el sentido de paso de la luz a través de los mismos es importante. Por ejemplo, si insertamos una célula cerrada en uno de los lados y aplicamos un campo magnético H en un sentido, al utilizar luz circularmente polarizada en el interferómetro encontramos que el índice de refracción asociado a un sentido y a otro es diferente (esto se relaciona con el fenómeno de actividad óptica), con lo cual ya estamos creando una diferencia de camino óptico. Una modificación adicional es el girómetro de Sagnac, en versión circular (sólo con fibra de vidrio y un divisor de haz) o triangular, con dos espejos y el divisor. Sirve para medir velocidades angulares de rotación. Veamos la versión circular: con la plataforma en reposo, la diferencia de camino óptico entre los dos sentidos es nula. Pero si la plataforma gira a velocidad angular ω en un sentido, en el tiempo que se tarda en recorrer una vuelta, el divisor de haz avanza una distancia ω Tr en el mismo sentido, con lo cual el haz que viaja en el mismo sentido que la plataforma debe recorrer más distancia que el haz que viaja en sentido contrario. La diferencia de camino óptico adicional en cada vuelta puede escribirse como función lineal de ω incluyendo el índice de refracción de la fibra, c y el radio del círculo. Para que la medida sea efectiva, necesitamos un número bastante alto de vueltas, como puede verse con el ejemplo 15. Normalmente, se introducen dos láminas L 1 y L 2 para que los haces reflejen y refracten el mismo número de veces. Como fuente suele utilizarse un láser de He-Ne, que como veremos es una de las fuentes más coherentes de que disponemos. En la foto, se ilustra un montaje del interferómetro con componentes no muy difíciles de conseguir, y la referencia donde puede encontrarse explicado el proceso de montaje. 2.4.5. Interferómetro de Jamin
Por último, vemos brevemente otro dispositivo basado en las interferencias de dos haces por división de amplitud: el de Jamin. También presenta un recorrido simétrico de ambos haces, y se construye con dos láminas de caras planas. Se utiliza de forma similar al interferómetro de Rayleigh, para medir índices de refracción de gases. Pero a diferencia del Rayleigh, los ajustes no se realizan comparando con una configuración de referencia, sino fijando el retículo del telescopio en una franja de referencia (obtenida con luz blanca en la fase de calibrado), y midiendo su desplazamiento al introducir el gas en una de las cámaras. Vemos un montaje real, con el recorrido de los dos haces cuando se utiliza una fuente de He-Ne. También se muestra un patrón real conseguido con este interferómetro. Además, puede utilizarse para la medida de efectos relativamente poco intensos como el Pockels (ej. medida de diferencias de camino óptico absolutas para varias temperaturas). Vemos en el ej. 16 la aplicación a medida de índices. 2.4.6. Aplicaciones
Para finalizar la seccion, vamos a ver tres aplicaciones más de los dispositivos de interferometría por división de amplitud. 1. Determinación de gradientes de temperatura. Podemos obtener mapas de gradientes de T contando franjas simplemente con un Michelson (vemos en la figura el ej con una vela). 2. Medidas de grosor en películas delgadas. Por ejemplo, mediante el dispositivo de la figura (TwymanGreen), ajustado para generar franjas de Fizeau, se coloca la lámina fina cubierta por una capa reflectante en uno de los espejos. Si el borde de la lámina tiene un bisel para que la transición no sea abrupta, podemos controlar el desplazamiento y contar el número de franjas desplazadas y
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por tanto el espesor de la lámina (en realidad es una lámina de aire, que queda entre la parte realzada que contiene el revestimiento y el resto del espejo, por lo que la diferencia de camino óptico adicional es directamente 2d). También pueden realizarse medidas de este tipo con un montaje parecido al interferómetro de Fizeau, creando una capa de aire entre una lámina semitransparente y otra revestida de Ag o Al sobre el depósito de espesor fino. En este caso, como vemos en la figura, el corte es abrupto entre las dos partes de la foto. 3. Interferogramas con medios cristalinos anisótropos. . Por último, veremos otra aplicación curiosa en cristalografía, para el estudio de medios anisótropos mediante un diagrama interferencial creado en láminas finas y observado entre dos polarizadores. Suele realizarse la observación en un instrumento especial denominado polariscopio (microscopio adaptado), y el objetivo es determinar cualitativamente el grado de birrefringencia y el tipo de material cristalino de que se trata (uniáxico o biáxico, aunque puede profundizarse más en la clasificación por comparación de diferentes diagramas con elementos conocidos). El fundamento detallado de la formación de estos interferogramas puede consultarse en Born[1]. En el ejemplo 17, se analizan cualitativamente dos casos simples de medio uniáxico.
3. Interferencias con haces múltiples 3.1. Láminas de espesor constante: fórmulas de Airy En la seccion anterior, hemos descrito los fenómenos de interferencia con láminas plano-paralelas de un dieléctrico, cuando el coeficiente de reflexión era lo bastante pequeño como para despreciar la contribución al fenómeno de más de dos haces reflejados o transmitidos. Ahora vamos a describir el fenómeno de interferencias en láminas plano-paralelas cuando esta aproximación ya no es válida, porque el coeficiente de reflexión es alto y debemos considerar la contribución de múltiples haces al calcular las amplitudes e intensidades resultantes de la superposición. Para empezar el tratamiento teórico de estos fenómenos, supondremos una lámina plano-paralela de material dieléctrico de índice n sumergida en un medio de índice n 1 . Como hemos dicho, vamos a considerar el resultado de la superposición de múltiples haces reflejados y transmitidos. Cada uno de estos haces difiere en camino óptico del precedente en la misma cantidad, que corresponde al doble paso por la lámina. Escribimos la diferencia de camino óptico y fase correspondiente, teniendo en cuenta que si se trata de luz reflejada, hay un salto de fase adicional de π , como vimos en el tema anterior. Llamamos r, t a los coeficientes de reflexión y transmisión (que se calculan de acuerdo a las fórmulas de Fresnel) respectivamente en el paso del medio de índice n1 a la lámina, y r ,t a los correspondientes coeficientes para el paso de la lámina al medio de índice n1 . Teniendo en cuenta estos coeficientes, vamos escribiendo la serie de las amplitudes de los haces reflejados, y utilizando que el producto tt es igual a 1 − r2 (válido si no se trata de un medio absorbente) calculamos el resultado global de la suma, que no es más que la suma de términos de una serie geométrica de razón r 2 e−iδ . Una vez obtenida la amplitud resultante, es inmediato calcular la intensidad resultante de la superposición, con lo que se obtiene la primera fórmula de Airy. En cuanto a la luz transmitida, operamos análogamente y obtenemos los distintos términos de amplitud para los haces transmitidos, calculamos la suma de la serie geométrica y a partir de la amplitud resultante, calculamos fácilmente la intensidad total transmitida (segunda fórmula de Airy). De nuevo, si no hay absorción en el medio, puede comprobarse cómo se verifica el principio de conservación de la energía, y la intensidad incidente es la suma de la reflejada y transmitida según las fórmulas de Airy. Vemos ahora un poco más en profundidad la estructura de la configuración: suponemos que la vamos a recoger en el plano focal de una lente colectora (puesto que todos los rayos de salida tanto refle jados como transmitidos, correspondientes a un mismo ángulo de incidencia, salen paralelos entre sí de la lámina). En cuanto a la intensidad reflejada, tenemos un máximo cuyo valor depende de r, alcanzado siempre que se verifique que el desfase es un múltiplo impar de π . Los mínimos son nulos y se alcanzan cuando el desfase sea un múltiplo par de π . En la figura, podemos ver las distribuciones de intensidad reflejada en función del desfase para tres valores diferentes del coeficiente de reflexión: si aumenta éste, 18
el efecto sobre la configuración es el de aumentar la distancia entre máximos y mínimos y hacer más estrechos los mínimos, y por tanto más anchos los máximos. Esto se ve también en las simulaciones de patrones interferenciales incluidos en la diapositiva. En cuanto a la intensidad transmitida, es inmediato su análisis si consideramos que las configuraciones reflejada y transmitida son complementarias: se alcanzan máximos de valor I o cuando el desfase es múltiplo par de π , y mínimos de valor variable dependiendo de r cuando el desfase es múltiplo impar de π . En la figura, vemos de nuevo el efecto de variar r sobre las distribuciones de intensidad transmitida en función del desfase, y nos damos cuenta de que lógicamente el efecto de aumentar r sobre la configuración transmitida es estrechar los máximos de transmisión y aumentar el contraste (los mínimos se acercan más a cero). Lo vemos claramente en las simulaciones de patrones interferenciales incluidas. Una forma de parametrizar esta dependencia con el coeficiente de reflexión es introducir el factor de Fineza como el término que depende de r y aparece en ambas fórmulas de Airy para los mínimos por transmisión y máximos por reflexión. Este factor controla, como hemos señalado, al anchura de pico y el contraste en las configuraciones: a mayor Fineza, mayor contraste y menor anchura de pico para los máximos por transmisión. En cuanto a la anchura de pico a mitad de altura, vamos a calcular su dependencia con F : definimos como el desfase para el cual la intensidad transmitida baja a la mitad de la incidente: suponiendo que sea bastante pequeño y aproximando el seno por el propio en la fórmula de Airy para la luz transmitida, llegamos a la relación con el factor de Fineza. Se define también (aunque resulte algo confuso) el parámetro separación o fineza como el cociente entre la distancia en desfase entre máximos (2π ) y la anchura a mitad de pico, que hemos denotado por . La separación, como es lógico, resulta directamente proporcional al factor de fineza definido anteriormente. Un caso especial se produce, como ya debemos haber supuesto, cuando trabajamos con láminas plano-paralelas que tienen recubrimientos metálicos, ya que en entonces tratamos con medios absorbentes. Esto influye, por un lado, en el balance energético, que debe incluir un factor de absorción A , ( R + T + A = 1). Por otro lado, ya sabemos también que el desfase introducido por reflexión en una interfase dieléctricometal depende del ángulo de incidencia y las constantes ópticas del metal, con lo cual debemos añadir un término variable 2 φ al desfase debido a las dos reflexiones en el recubrimiento metálico. El efecto del nuevo balance energético sobre la intensidad resultante transmitida es muy fácil de calcular, y nos resulta en una disminución del valor máximo para esta configuración. En cuanto al efecto del desfase o adicional, es equivalente a un incremento en el espesor óptico de la lámina de φλ 2π , y para incidencia casi normal suele despreciarse frente al otro término de desfase. En los ejemplos 18 y 19, vemos casos de cálculo de intensidades reflejada y transmitida para recubrimiento con vidrio y metálico.
3.2. Antirreflejantes monocapa y filtros interferenciales 3.2.1. Recubrimientos antirreflejantes monocapa
Para optimizar la apariencia y el rendimiento de las superficies ópticas de un sistema, resulta interesante evitar las reflexiones parásitas (fenómeno que todo el que haya llevado gafas desde pequeño conocerá seguramente). Una forma eficaz de evitarlas es depositar una capa de material muy delgada sobre el vidrio o compuesto orgánico de la lente, de forma que se minimice la reflexión y se maximice la transmisión en determinadas longitudes de onda. Supondremos inicialmente que trabajamos con luz de longitud de onda en el vacío λ o y que el medio depositado sobre el material de la lente verifica 1 < n < nv . Entonces, el problema se reduce a determinar el índice n y el grosor de la capa necesarios para que todos los haces reflejados de la longitud de onda de trabajo se anulen mutuamente, con lo cual se transmitirá de manera mucho más eficiente. Si miramos el esquema (ya familiar), la forma más simple de operar es conseguir que todos los haces reflejados a partir del segundo estén en fase entre sí, y a su vez en oposición de fase con respecto al primer haz reflejado. Vamos viendo los desfases correspondientes al segundo haz con respecto al primero, en incidencia normal o casi normal. Luego, del tercero con respecto al segundo (exigimos aquí que sea un múltiplo 19
par de π ), y así sucesivamente. Si nos planteamos cuál debería ser el espesor mínimo necesario para la monocapa, vemos entonces que nos sale (poniendo un desfase mínimo de 2 π ) un espesor óptico de λ4o , o equivalentemente un grosor de λ4 , siendo λ la longitud de onda dentro del recubrimiento, para el depósito de material sobre el vidrio. Este valor es muy muy pequeño y se necesitan técnicas complejas para realizar el depósito, pero por otra parte ahorramos material y peso sobre la lente. También, si conviene, podemos aumentar este grosor, siempre que obtengamos un múltiplo impar λ de 4 para el recubrimiento antirreflejante monocapa. Una vez fijado el espesor, nos falta garantizar que la luz reflejada va a ser efectivamente de intensidad global nula: para ello, necesitamos que la suma de amplitudes de los haces 2,3,4, y sucesivos iguale a la amplitud del primer haz reflejado. Como queremos expresarlo todo en función de los índices del vidrio y el material de recubrimiento, trabajando en incidencia normal o casi normal podemos sustituir las expresiones correspondientes para los coeficientes de reflexión en función de los índices de refracción, e igualando el resultado de la suma de los haces a partir del 2 con el haz 1 (que lleva un solo factor r), obtenemos que es condición necesaria y suficiente que los coeficientes de reflexión aire-monocapa y monocapa-vidrio sean iguales, y operando se llega fácilmente a la relación de índices entre el material de la monocapa y el de la lente. Vemos en el ejemplo 20 que esta relación de índices hace que resulte bastante difícil encontrar materiales de recubrimiento adecuados, con lo cual los recubrimientos monocapa resultan poco prácticos. Como vemos en la foto del objetivo de cámara fotográfica, el reflejo observado en las lentes se ve del color complementario a la longitud o longitudes de onda eliminadas por el recubrimiento. Este color puede cambiar en las distintas superficies del sistema, y es conveniente que así sea, puesto que si no cambiamos la longitud de onda eliminada por las distintas superficies, la imagen final quedaría cromáticamente descompensada. Suele eliminarse la longitud de onda central del espectro visible, a la que el ojo es más sensible, para instrumentos ópticos. Entonces, el reflejo queda de color púrpura cuando se ilumina con luz blanca, y verde-violeta cuando se ilumina con un fluorescente como los que tenemos en clase. Por el tipo de recubrimiento presente en las cámaras, se habla generalmente de óptica azul para este tipo de instrumentos formadores de imagen. 3.2.2. Filtros interferenciales
En el caso de los filtros interferenciales, el planteamiento es radicalmente diferente: se trata de eliminar prácticamente todas las longitudes de onda en la luz transmitida, de filtrarla para que pase sólo un conjunto muy reducido de las mismas. Generalmente, se construyen con una lámina muy delgada de material dieléctrico colocada entre dos superficies tratadas para ofrecer una reflectancia muy elevada. La luz (supongamos que en principio es blanca) llega al filtro, atraviesa el recubrimiento, se refleja y transmite múltiples veces en la capa de material dieléctrico y atraviesa el filtro, de modo que el resultado es luz transmitida casi nula para la mayoría de longitudes de onda de entrada. El que la intensidad de mínimo sea casi nula se produce porque las superficies reflectantes tienen alto r, como ya vimos antes. Este es, pues, un requerimiento esencial en el diseño de los filtros. En general, vimos que pasaban en máximo las longitudes de onda que dan un desfase múltiplo par de π (o, lo que es equivalente, sean de valor 2md ). Si d es grande, habrá varias longitudes de onda que cumplan este requisito en el espectro visible, y observaremos entonces un espectro de tipo acanalado. Las longitudes de onda iguales a m2+d 1 2 pasan en mínimo, y corresponden por tanto a las bandas negras del espectro por transmisión del filtro. Si d es lo suficientemente pequeño, sólo habrá una longitud de onda en el visible que pase en máximo, y el filtro alcanzará su mayor eficacia. Vemos un ejemplo para d = 2500 Amstrong y para d = 25 µ m. El espesor mínimo se alcanza para m = 1, o sea, longitud de onda igual a 2 nd. En general, los filtros suelen fabricarse con recubrimientos multicapa de alta reflectancia, que estudiaremos al final de la sección. Si se piensa en utilizar láminas metálicas, ya sabemos que habría que considerar el posible desfase introducido por cada reflexión, pero como ya dijimos, salvo en determinadas situaciones, no resulta muy práctico utilizar recubrimientos metálicos porque son bastante absorbentes. Las características más destacadas de un filtro interferencial son la longitud de onda de pico y el 20
ancho de banda espectral, que si consideramos despreciables las variaciones de r con la longitud de onda en el intervalo espectral considerado, dependen sólo del factor de fineza que hemos visto al principio del tema. De los dos factores anteriores depende esencialmente el tercer parámetro importante, que es la transmitancia de pico o razón de intensidades transmitida/incidente para la longitud de onda de pico. Generalmente, como vemos en la tabla, se encuentra que un menor ancho de banda espectral va también unido a una menor transmitancia de pico, para una longitud de onda de pico similar. En el ejemplo 21, se pide determinar el coeficiente de reflexión y espesor mínimo de un filtro de criolita.
3.3. Interferómetro Fabry-Perot 3.3.1. Descripción general
Algunas de las principales aplicaciones de las interferencias con haces múltiples se basan en un dispositivo de gran sencillez que resulta muy útil como espectroscopio de alta resolución y también forma parte de las cavidades resonantes en algunos tipos de láseres: el dispositivo se denomina usualmente Fabry-Perot, presentado por primera vez en 1899. La configuración más básica consiste en dos láminas de cuarzo o vidrio recubiertas de un material de reflectancia elevada, de forma que entre ellas se forma una lámina de caras planas de aire. Las otras caras pueden tallarse en forma de cuña, para reducir efectos procedentes de la primera interfase aire-vidrio sobre la configuración resultante. Como vemos en el esquema, para una fuente que entre al interferómetro con ángulo de incidencia θ i , tras producirse múltiples reflexiones y transmisiones obtenemos haces de salida con el mismo ángulo θi , que recogidos por una lente colectora nos darían en el plano focal de la misma una configuración en forma de anillos alternados claros y oscuros, con distribución de intensidades correspondiente a reflectancia elevada en las superficies. Si iluminamos con fuente extensa, obtenemos en cada punto del plano de recogida la superposición de los puntos de la fuente que emitan con un determinado ángulo de incidencia. Si utilizamos recubrimientos metálicos en vez de multicapas, debemos recordar que se produce un desfase adicional en cada reflexión, y además tener en cuenta el factor de absorción correspondiente. Sin embargo, para ángulos de incidencia pequeños, puede considerarse el desfase adicional constante, y como en general el espesor es mucho mayor que la longitud de onda de referencia considerada, puede despreciarse el término de desfase adicional. Con estas aproximaciones, podemos decir que en los dispositivos Fabry-Perot los máximos en la configuración interferencial corresponderán a diferencias de camino óptico de 2nd cos θi . El orden máximo en la configuración corresponde al círculo central, y se calcula como 2λd , aunque este resultado no tiene por qué ser necesariamente entero. El orden va entonces disminuyendo conforme aumenta θ i . Vemos ahora el efecto de variar el espesor de la capa de aire en el interferómetro con la película correspondiente: si d aumenta, debe aumentar el orden del máximo central, y por tanto, surgen anillos por el centro de la configuración. Otra forma de razonar lo que sucede es fijarse en un anillo de orden k dado: si 2d crece, para compensar, cos θi debe disminuir, y por tanto θ i aumentar, con lo que los anillos se desplazan hacia la periferia. El efecto opuesto sucede si reducimos el espesor de la capa de aire: desaparecen anillos por el centro, o bien los anillos se van desplazando hacia el centro. Vemos también con otra película el efecto de variar la reflectancia de los recubrimientos sobre los anillos, que ya conocemos de apartados anteriores. Generalmente, cuando el dispositivo tiene un tornillo que permite variar d , se denomina interferómetro de Fabry-Perot, y cuando sólo nos interesa la capa de aire entre las dos láminas pero sin que pueda variarse su espesor, hablamos entonces de etalón Fabry-Perot. En el ejemplo 22, calculamos el orden máximo y el radio del tercer anillo para un Fabry-Perot. 3.3.2. Poder resolutivo espectral
Como hemos visto, la diferencia de camino óptico y por tanto la disposición de la configuración dependen de la longitud de onda de la fuente, con lo cual si iluminamos con luz no monocromática, sobre la pantalla observaremos la superposición de las distintas configuraciones correspondientes a diferentes longitudes de onda, como vemos en la foto. 21
Supongamos que iluminamos con una fuente compuesta de dos longitudes de onda próximas entre sí (λ y λ + ∆λ). Nos planteamos entonces cuál sería la mínima separación entre ellas que permita apreciar que hay dos configuraciones presentes y no sólo una: en definitiva, qué capacidad tiene el interferómetro para separar dos longitudes de onda ( poder resolutivo espectral, que podemos cuantificar en función del cociente ∆λλ ). Consideremos la distribución de intensidades en función del desfase o la posición sobre el plano de recogida: necesitamos un criterio de resolución, que nos diga cuándo vamos a considerar que los dos picos de intensidad, correspondientes a ambas longitudes de onda, están lo suficientemente separados como para distinguirlos. Consideramos los tres puntos clave P (posición del pico de λ ), M (posición correspondiente a la mitad de la intensidad de pico o 2I para λ ) y Q (posición del pico de intensidad correspondiente a λ + ∆λ). Suele emplearse el criterio de considerar ambas longitudes de onda justamente resolubles o separables cuando las dos distribuciones se cortan aproximadamente a mitad de intensidad de pico, como está representado en la figura. Este criterio suele llamarse de Rayleigh, aunque generalmente se formula como que el primer mínimo de una distribución de intensidad corresponde a la posición del pico central de la otra distribución. El punto M estará separado de P por un desfase ∆2δ , y Q estará separado de P por un desfase ∆δ. Si aproximamos la intensidad en M por I m2ax , operando llegamos a una expresión para sin2 δ M 2 , que ponemos en función de ∆δ y si éste es pequeño (como suele suceder si las dos longitudes de onda están muy próximas), podemos aproximar el seno por el ángulo y obtener una expresión para ∆δ en función de r . Nos falta ahora relacionar ∆δ con el poder resolutivo espectral. Hay varias formas de hacerlo; por ejemplo, calculando la variación de ∆δ con ∆θ y luego relacionando con ∆λ por medio de la expresión de la diferencia de camino óptico, o bien calculando directamente la variación de ∆δ con ∆λ, despejando el poder resolutivo espectral y sustituyendo que la diferencia de camino óptico es m λ, para luego utilizar la expresión de ∆δ en función de r , o la más directa utilizando los números de onda para λ y λ + ∆λ y luego aproximando y empleando la expresión obtenida para ∆δ. En todo caso, el resultado final es el mismo: el poder resolutivo espectral depende del orden interferencial (posición del anillo de que se trate), y del coeficiente de reflexión de los recubrimientos reflectantes. Cuanto más alto sea r, mayor poder resolutivo tenemos. Hasta ahora estamos suponiendo que los dos orden m de cada longitud de onda son iguales, pero puede suceder que la diferencia ∆δ ya no sea pequeña, y el desplazamiento de los máximos haga que se solapen máximos adyacentes correspondientes a diferentes longitudes de onda pero con distintos órdenes. Es interesante controlar este factor, por lo que habitualmente se define el denominado rango espectral libre utilizando la expresión que relaciona el poder resolutivo espectral con ∆δ y sustituyendo ∆ δ por 2 π . Obtenemos entonces la máxima separación de longitudes de onda que podríamos utilizar sin estos inconvenientes, y que depende del orden y la longitud de onda de referencia. Si estamos cerca del centro 2 de la configuración, el rango espectral libre se aproxima al cociente λ2d . Podemos relacionar el rango espectral libre con la fineza que definimos anteriormente utilizando la expresión de ∆δ en función de r y la del rango espectral libre en función de m y ?, con lo cual la fineza queda como el cociente entre el rango espectral libre y la mínima separación resoluble en longitud de onda. Está entonces claro que si aumenta la fineza, aumenta también el poder separador del interferómetro, lo que resulta bastante intuitivo. Si tenemos varias longitudes de onda diferentes en la luz incidente, y queremos separar las diferentes configuraciones, es inmediato que podemos tener problemas de superposición de las mismas en el mismo punto de la pantalla. Por esto, puede utilizarse un Fabry-Perot en combinación con un prisma a la salida, para poder observar las distintas configuraciones más cómodamente sobre la pantalla. Una de las principales aplicaciones del Fabry-Perot es la medida de la estructura fina de las líneas espectrales, es decir, del intervalo ∆λ que separa dos líneas muy próximas. Esto es lo que puede verse en el laboratorio aplicado al doblete de Na: se mide la distancia entre dos espesores correspondientes a posiciones adyacentes de discordancia en las configuraciones (máximos de una coincidentes con mínimos de la otra de diferentes órdenes) y puede obtenerse ∆λ en función de esta diferencia de espesores y la longitud de onda media del doblete. En los ejemplos 23 y 24, se comparan las prestaciones de dos FabryPerot con diferentes parámetros, y dos configuraciones Fabry-Perot de diferente r en los recubrimientos. 22
3.4. Multicapas Ya hemos señalado los inconvenientes que presentan los recubrimientos metálicos utilizados para conseguir reflectancia elevada: principalmente elevada absorción, con lo que perdemos luz transmitida. Para evitar este problema, suele recurrirse a los recubrimientos de tipo multicapa, que ofrecen elevada r sin una absorción tan elevada. Vamos a limitarnos en esta sección a describir sus principales aplicaciones. 3.4.1. Aplicaciones
1. Multicapas antirreflejantes . Como nuestro objetivo es evitar las reflexiones parásitas, debemos exigir r = 0 para la multicapa. Ya vimos el resultado sobre la relación de índices que se obtiene para una monocapa. Vemos ahora un recubrimiento bicapa con índices n1 y n2 y espesores λ4 ; obtenemos una relación entre los tres índices para una bicapa sumergida en aire-vidrio que resulta mucho más versátil que la obtenida para la monocapa, como puede verse en el ejemplo 25. Lógicamente, en el diseño podemos utilizar distintas combinaciones de materiales y espesores, incluso λ4 con λ2 , obteniendo los resultados que vemos en la figura para el factor de reflexión en función de la longitud de onda. Se obtiene una eficacia bastante considerable como antirreflectante en amplias zonas del espectro visible. En general, podemos tener mejores prestaciones cuanto mayor sea el número de capas, siempre pensando en un diseño optimizado de la multicapa. Hoy en día, vemos los resultados en los recubrimientos de las lentes utilizadas como corrección óptica e incluso en las pantallas de los monitores de PC y portátiles. 2. Multicapas de alta reflectancia. Veamos a continuación la aplicación de objetivo contrario, que ya indicamos al tratar los filtros interferenciales y el Fabry-Perot: ahora nos proponemos obtener elevada reflectancia para un recubrimiento. Generalmente, se utiliza un diseño que combina capas alternadas de un material de índice elevado con otro de índice más bajo, y ambas de espesores λ4 . Si suponemos una multicapa formada por N láminas de medios de alto y bajo índice alternados, y espesores λ4 (distintos, recordemos que dependen de cada índice, pues λ4 = 4λno ),Si la multicapa está sumergida en aire, se obtiene la expresión para el factor de reflexión global. Comprobamos cómo tiende a la unidad para N grande. En la figura, vemos cómo el rendimiento de la multicapa aumenta conforme crece el número de capas. También podemos aumentar el rango espectral de efectividad calculando los espesores ópticos de las diferentes capas para que vayan pasando en máximo diferentes longitudes de onda, como se muestra en el esquema de la figura. Aplicando la misma estrategia de diseño a una multicapa antirreflejante no sumergida en aire, nos queda una expresión para la relación de índices que puede obtenerse si nm+1 > no y n A < n B , al contrario de lo que sucede para las multicapas de alta reflectancia. 3. Filtros interferenciales. Vemos ahora otra aplicación que también mencionamos en apartados anteriores: aplicación de multicapas a la construcción de filtros interferenciales. Generalmente, el diseño en este caso es el mostrado en la figura: multicapas de alta reflectancia en los extremos (de índices elevado y bajo alternados), y en el centro una estructura con una lámina AB , otra A de espesor λ2 y otra BA de tipo λ4 . Si estuviera sumergido en aire, obtenemos r = 0 y t = 1, pero generalmente no está sumergido en aire sino en vidrio, con lo cual el comportamiento es algo menos perfecto, mostrando la transmitancia espectral del tipo que puede verse en la figura. Aun así, pueden conseguirse anchos de banda espectrales bastante reducidos, y resultan mucho más fáciles de construir que los filtros con capa de aire interna. 4. Espejos dicroicos. Otra aplicación son los espejos dicroicos, que reflejan selectivamente una zona determinada del espectro visible, de forma que combinando tres diferentes podemos descomponer 23
una radiación incidente blanca en tres haces azul, verde y rojo, lo cual tiene muchas aplicaciones, pues como sabemos la mayoría de displays funcionan con base tricromática para reproducir los colores (cámaras de TV, etc), muchos de ellos utilizan tres filtros coloreados o tres sensores con respuesta espectral diferenciada, pero los espejos dicroicos también funcionan bien. En la foto, podemos ver cómo reflejan selectivamente y transmiten el color complementario. 5. Fenómenos de iridiscencia en la naturaleza. Por último, hay algunos efectos de color en muchas especies de animales que se deben a fenómenos interferenciales o multicapas, como en las alas de las mariposas, o el plumaje de algunas aves, o el caparazón de algunos escarabajos (como el Dendroica cerulea), o las conchas de algunos moluscos (como los Haliotis o conchas Paua de Nueva Zelanda). En las fotos, vemos la estructura interna de un ala de la mariposa Rethenor, que actúa como multicapa de alta reflectancia para la zona azul-amarilla del espectro. También otras mariposas presentan efectos de color basados en interferencias, lo que provoca que el aspecto varíe según el ángulo de observación de la superficie (ya vimos que el desfase introducido depende del ángulo de incidencia, aunque hemos hecho casi todo el desarrollo para el caso más simple de incidencia normal). Otros efectos notables son la mezcla de colores, que en el caso de la Rethenor se obtiene con zonas microscópicas de espesor diferente de las multicapas, de forma que se reflejen pequeños puntos de amarillo, no resolubles para el ojo, con lo cual vemos el color resultante como un azul verdoso claro. También hay otras especies que presentan un aspecto espectacular debido a estrucutras multicapa. Además, también podemos observar patrones interferenciales en algunas ocasiones en los bordes de las nubes, debido a un efecto similar obtenido en diferentes capas de vapor de agua y cuando el Sol las ilumina en condiciones específicas.
Referencias [1] B ORN , M. Y W OL F, E., Principles of Optics , Cap. 7,14. [2] C ASAS , J.,Óptica , Cap. 10 [3] P EDROTTI, F. L., Y P EDROTTI, L.S.,Introduction to Optics, Cap. 10, 11, 19. [4] H ECHT, E., Z AJAC , A.,Óptica, Cap. 9 [5] J ENKINS , F.E., W HITE, H.E.,Fundamentals of Optics , Cap. 13, 14. [6] D ÍA Z N AVAS , J.A., M EDINA, J.M.,Ondas de Luz, Cap. 8. [7] K ENYON, I.R.,The Light Fantastic, Cap. 5.
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