Apuntes Resistencia de Materiales Iei

1

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA FACULTAD DE INGENIERIA

APUNTES ASIGNATURA ASIGNATURA RESISTENCIA DE MATERIALES INGENIERIA DE EJECUCION INDUSTRIAL

PROFESOR: RAUL ROSAS LOZANO 2006

Autor: Raúl Rosas Lozano

2

INDICE

I CONCEPTO DE ESFUERZO 1.1 Introducción

1 1

1.1.1 Fuerzas y esfuerzos

1

1. Car!a a"ia# y esfuerzo nor$a#

%

1.& Esfuerzo cortante

'

1.( Esfuerzos so)re *#anos o)#icuos

1&

1.% Esfuerzo )a+o car!as )ia"ia#es

1,

1.- Esfuerzos *rinci*a#es

1

1.' Defor$ación de e#e$entos so$etidos a car!a a"ia#

,

II TORSIN

(1

.1 Introducción

(1

. Esfuerzo cortante

((

.& Defor$ación *or cortante

(,

.( F#ec/as !iratorias

%0

III FE2IN

-(

&.1 Introducción

-(

&. Esfuerzo de f#e"ión

-%

I3 ESFUERZOS CO45IN6DOS

'%

(.1 Introducción

'%

(. Car!as co$)inadas a"ia#es y de f#e"ión

'-

(..1 F#e"ión asi$7trica

',

(.. Car!as e"c7ntricas

,1


3

3 TEOR86S DE F66

,%

%.1 Introducción

,%

%. Teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o

,,

%.& Teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o

0;

%.( Teor9a de #a ener!9a de distorsión

01

3I C<CUO DE E=ES

0-

-.1 Introducción

0-

-. Dise>o de e+es de trans$isión se!?n e# códi!o 6S4E

0,

-.& Dise>o de e+es *or ri!idez torsiona#

1;;

3II EE4ENTOS DE SU=ECIN

1;0

'.1 Introducción

1;0

'. Uniones re$ac/adas

11;

'..1 6n:#isis de #as +untas re$ac/adas

11

'.& =untas atorni##adas

11

'.( =untas so#dadas

1

'.(.1 Dise>o de so#daduras

1%

3III EE4ENTOS DE TR6NS4ISIN

1&1

,.1 6co*#a$ientos de f#ec/as


1&1

4

I

CONCEPTO DE ESFUERZO

1.1 INTRODUCCIN E# *rinci*a# o)+eti@o de# estudio de #a resistencia de $ateria#es es dar a# in!eniero #os $edios necesarios *ara ana#izar y dise>ar diferentes e#e$entos de $:Auinas y estructuras.

Tanto e# an:#isis co$o e# dise>o de una estructura i$*#ican #a

deter$inación de esfuerzos y deformaciones.

1.1.1 Fuerzas y esfuerzos En #a fi!ura 1B se $uestra una estructuraB #a cua# consta de dos e#e$entos 65 y 5C Aue en con+unto so*ortan una car!a de &; N.

Fi!ura 1


5

Por consideraciones de #a est:tica se reconoce Aue 65 y 5C son e#e$entos de dos fuerzas *or #o Aue estar:n so$etidos a car!as a"ia#es o*uestas y de# $is$o @a#or en sus e"tre$osB co$o se indica en #a fi!ura .

Fi!ura  6# construir un dia!ra$a de só#ido #i)re de #a estructura y a*#icando #as corres*ondientes ecuaciones de eAui#i)rioB se deter$ina Aue e# e#e$ento 65 se encuentra so$etido a #a fuerza FA ! "# $N y e# e#e$ento 5C a FC ! %# $N. Cortando #a )arra 5C en un *unto ar)itrario DB se o)tienen dos *artes 5D y CD fi!ura &. Co$o de)en a*#icarse fuerzas de %; N en D a a$)as *orciones de #a )arra *ara $antener#as en eAui#i)rioB se deduce Aue se *roduce una fuerza interna de %; N en #a )arra 5C cuando se a*#ica en 5 una fuerza de &; N yB se nota ade$:sB Aue #a )arra 5C est: so$etida a tensión. Un an:#isis si$i#ar de$uestra Aue #a fuerza en #a )arra 65 es de (; N y Aue est: so$etida a co$*resión.


6

Fi!ura& 6unAue #os resu#tados o)tenidos re*resentan un *aso inicia#B necesario en e# an:#isis de #a estructuraB no dice si #a car!a dada *uede so*ortarse con se!uridad. E# Aue #a )arra 5CB se ro$*a o no )a+o esta car!a de*ende no so#o de# @a#or de F5C sino ta$)i7n de# @a#or de #a sección trans@ersa# de #a )arra y de# $ateria# de Aue est: /ec/a. a fuerza *or unidad de :reaB o intensidad de #as fuerzas distri)uidas so)re una sección dadaB se conoce co$o e# esfuerzo en dic/a sección y se desi!na *or #a #etra !rie!a . E# esfuerzo en un e#e$ento de #a sección trans@ersa# de :rea A so$etido a una fuerza a"ia# P co$o se indica en #a fi!ura ( se o)tiene di@idiendo #a $a!nitud P de #a car!a *or e# :rea 6.

&!P'A

(1)

(b) (a)


Fi!ura (

7

Un si!no *ositi@o indicar: un esfuerzo de tensión e#e$ento en tensión y un si!no ne!ati@o se>a#ar: un esfuerzo de co$*resión e#e$ento co$*ri$ido. En e# S.I. #a unidad de esfuerzo se e"*resa en NG$ . Esta unidad es un *asca+

(Pa). Sin e$)ar!oB e# *asca# es una cantidad $uy *eAue>a y en #a *r:ctica se usan sus $?#ti*#os co$o e# i#o*asca# PaB e# $e!a *asca# 4*a y e# !i!a*asca# H*a. Se tiene Aue 1 Pa J 1; & Pa J 1; & NG$ 1 4Pa J 1;- Pa J 1; - NG$ 1 HPa J 1; 0 Pa J 1; 0 NG$ Cuando se usan #as unidades a$ericanasB e# esfuerzo se e"*resa en #)G*u#!  *si ó #)G*u#! *si.


8

1. C6RH6 62I6 K ESFUERZO NOR46 Co$o ya se /a @istoL #a )arra 5C es un e#e$ento de dos fuerzas y *or #o tanto #a fuerza F5C est: diri!ida a #o #ar!o de# e+e de #a )arra. Se dice entonces Aue #a )arra est: so$etida a car!a a"ia#. a sección Aue se /izo en #a )arra *ara deter$inar #a fuerza interna y e# esfuerzo corres*ondiente era *er*endicu#ar a# e+e de #a )arraB #a fuerza interna era *or tanto nor$a# a# *#ano de #a sección y e# esfuerzo corres*ondiente es conocido co$o un esfuerzo norma+. 6s9B #a e"*resión de# esfuerzo nor$a# en un e#e$ento so$etido a car!a a"ia#B es

&!P'A

(,)

De)e notarse Aue en esta e"*resiónB  se o)tiene di@idiendo #a $a!nitud PB de #a resu#tante de #as fuerzas internas distri)uidas en #a sección trans@ersa#B *or e# :rea 6 de dic/a secciónL re*resenta entonces e# @a#or $edio de# esfuerzo so)re #a secciónB $:s Aue e# @a#or de# esfuerzo en un *unto es*ec9fico de #a sección trans@ersa#. Para definir e# esfuerzo en un *unto M de #a sección trans@ersa#B se de)e considerar una *eAue>a :rea 6 fi!ura % Fi!ura %


9

Di@idiendo e# @a#or F *or 6 se o)tiene e# @a#or $edio de# esfuerzo so)re 6. aciendo Aue 6 tienda a ceroB se /a##a e# esfuerzo en e# *unto M

σ Q

En !enera#

σ med

≠

σ Q

= lim ( ∆ F ∆ A) ∆ A → 0

B aunAue e# esfuerzo @ar9a *oco en una sección a#e+ada de#

*unto de a*#icación de #a car!a. En #a *r:cticaB se su*ondr: Aue #a distri)ución de esfuerzos nor$a#es en un e#e$ento car!ado a"ia#$ente es unifor$eB e"ce*to en #a in$ediata @ecindad de #os *untos de a*#icación de #as fuerzas.


10

1.& ESFUERZO CORT6NTE as fuerzas internas estudiadas anterior$ente y #os corres*ondientes esfuerzos eran nor$a#es a #a sección considerada. Un ti*o $uy diferente de esfuerzo se o)tiene a# a*#icar #as fuerzas trans@ersa#es P y P a# e#e$ento 65 $ostrado en #a fi!ura -a.

a

)

c

Fi!ura -

as fuerzas internas Aue a*arecen a# cortar e# e#e$ento 65 en #a sección CB co$o se indica en #a fi!ura -)B y cuya resu#tante de)e ser i!ua# a P fi!ura -c son #as fuerzas cortantes. ue!o en función de estoB e# esfuerzo cortanteB Aue se desi!na *or #a #etra !rie!a τ tauB se define co$o


11

τ med

=

P A

(-)

a distri)ución de# esfuerzo cortante nunca *uede su*onerse unifor$e de)ido a Aue 7ste @ar9a desde cero /asta un @a#or $:"i$o Aue *uede ser $uc/o $ayor Aue e# @a#or $edio. os esfuerzos cortantes se *resentan *rinci*a#$ente en *ernosB *asadores y re$ac/es usados *ara unir di@ersos e#e$entos estructura#es y co$*onentes de $:Auinas.

Eercicio N/ 1 Una !r?a est: co$*uesta de un *oste de $adera 5C de (Q( *u#! y un tirante )arrenado de acero 65 de 1 *u#!. de di:$etroB co$o se $uestra en #a fi!ura '. a !r?a #e@anta una car!a  de ';;; #). Deter$inar e# esfuerzo nor$a# en #os $ie$)ros 65 y 5C y e# esfuerzo cortante trans@ersa# en e# *erno de 1 *u#!. de di:$etroB en 6B Aue est: tra)a+ando a do)#e corte.


12

Fi!ura '

So+uci0n o *ri$ero Aue se de)e /acer es deter$inar #as car!as Aue so*orta cada $ie$)roL *ara e##o se de)e considerar e# dia!ra$a de só#ido #i)re de #a !r?a y de #a cone"ión en 6B ta# co$o se $uestra en #a fi!ura ,.

(a)

) Fi!ura , os $ie$)ros 65 y 5C est:n so$etidos a car!a a"ia#. Si se a*#ica #as ecuaciones de eAui#i)rio a# dia!ra$a de só#ido #i)re de #a fi!ura ,aB se o)tiene #os si!uientes resu#tados

∑ M

C

σ AB

#ue!o

5  = 0 :  ( 5) = 0 → F A = 13000 lb ( T )   F A ( 7 ) − 7000  13 

=

F A A AB

=

13000 π (1)

2

⇒

σ AB

= 16552,1 psi ( T )

4

∑ F

Y

= 0:


(

F C 1 

2

) − 7000 − 13000 ( 5  13) = 0 → F = 16970,56 lb ( C ) C

13

#ue!o

σ BC

=

F C A BC

=

16970,56 4!4

⇒

σ BC

= 1060,66 psi ( C )

K de# dia!ra$a de só#ido #i)re de #a fi!ura 1.,) Aue es e# de #a cone"ión en 6B se tiene

∑ F

X

= 0:

F A

− 2V = 0

→

V

= 6500 lb

#ue!o

τ P

=

V A P

=

6500 π (1)

4


2

⇒

τ P

= 8276,05 psi

14

Eercicio N/ , En #a fi!ura 0a e# esfuerzo a"ia# de co$*resión en e# *oste de $adera 5 es de 11%; *si y e# esfuerzo de tensión en #a )arra de acero 6 es de 10;;; *si. Deter$inar e# @a#or de #a car!a P.

(a)

" #$

C2 %

(b)

Fi!ura 0


15

So+uci0n En #a fi!ura 0) se $uestra e# dia!ra$a de só#ido #i)re de #a )arra /orizonta#B *#anteando #a ecuación de eAui#i)rio de $o$ento con res*ecto a# e"tre$o C y considerando e# sentido anti/orario co$o *ositi@oB se tiene

Σ M C = 0 :

T (6)

+ N (16) − P (16) = 0

*ero de #as condiciones de# *ro)#e$a se *uede esta)#ecer Aue T

=

N

=

σ A x A A σ

x A A

=

19000 x 0,5

=

1150 x 7

⇒ ⇒

T = 9500 N = 8050

Ree$*#azando estos dos @a#ores en #a ecuación de $o$entoB se o)tiene e# @a#or

P


=

11612 ,5 lb

16

1.( ESFUERZOS SO5RE P6NOS O5ICUOS asta aAu9 se /a @isto Aue #as fuerzas a"ia#es e+ercidas so)re e#e$entos de dos fuerzas !enera)an esfuerzos nor$a#es en dic/os e#e$entosB $ientras Aue #as fuerzas trans@ersa#es causa)an esfuerzos cortantes. a razón *ara Aue se o)ser@ara ta# re#ación entre fuerzas a"ia#es y esfuerzos nor$a#esB *or una *arteB y fuerzas trans@ersa#es y esfuerzos cortantes *or otraB era Aue #os esfuerzos esta)an deter$in:ndose só#o en *#anos *er*endicu#ares a# e+e de# e#e$ento. 6# considerar un e#e$ento de dos fuerzas so$etido a #as fuerzas P y PB co$o se $uestra en #a fi!ura 1;a. Si se /ace un corte Aue for$e un :n!u#o  con e# *#ano nor$a# fi!ura 1;) y se di)u+a e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *arte de# e#e$ento a #a izAuierda de #a sección fi!ura 1;c se deter$inaB *artiendo de #as ecuaciones de# eAui#i)rioB Aue #as fuerzas distri)uidas en #a sección de)en ser eAui@a#entes a #a fuerza P.

( a)

c


(b)

d

e

17

Fi!ura 1; Desco$*oniendo P en sus co$*onentes F y 3B nor$a# y tan!encia# a #a sección res*ecti@a$ente fi!ura 1;dB se tiene Aue F = P &osθ

V = P senθ

y

a fuerza F re*resenta #a resu#tante de #as fuerzas nor$a#es en #a sección y 3 re*resenta #a resu#tante de #as fuerzas cortantes. E# @a#or $edio de #os esfuerzos en dic/a sección son

σ

= F A

y

θ

τ

= V A

donde Aθ

= A&os

θ

θ

Ree$*#azando #as e"*resiones de F y 3 en #as de  y τ res*ecti@a$enteB se tiene

σ

=

P A0

2

&os θ

τ

y

=

P A0

(")

senθ &osθ

De estas e"*resiones se *uede deducir Aue σ es $:"i$o cuando θ @a#e ; o 1,;L Aue τ es $:"i$o cuando θ @a#e (% o 1&% y ta$)i7n AueB

τ máx

Por #o tantoB #os esfuerzos $:"i$os est:n dados *or

σ máx


= P A

y

τ máx

=

P 2 A

= σ máx 2

18

Se de)e considerar dos cosas res*ecto de estas ecuaciones. a *ri$era es Aue son a*#ica)#es a *artes Aue est:n car!adas ya sea a tensión o a co$*resión. a se!unda y $:s i$*ortante es Aue #a #9nea de acción de #a car!a de)e *asar a tra@7s de# centroide de #a sección trans@ersa# y de)e coincidir con e# e+e. Sie$*re e# esfuerzo nor$a# ser: $:"i$o o $9ni$o en #os *#anos *ara #os cua#es e# esfuerzo cortante es cero.

Eercicio N Dos e#e$entos de $aderaB con sección trans@ersa# unifor$e de & " % *u#!B est:n unidos con *e!a$ento. Si P J ,;; #)B deter$ine #os esfuerzos nor$a# y cortante en #a unión $ostrada en #a fi!ura 11.

'iura 11

So+uci0n 6*#icando #as ecuaciones (")B se tiene Aue

σ

=

800 15

&os 2 ( 25)

⇒


σ

= 43,8 psi ( T )

τ

=

800 15

sen( 25) &os( 25)

⇒

τ

= 20,4 psi

19

Se *uede de$ostrar Aue si e"iste un esfuerzo cortante en un *unto de cua#Auier *#anoB de)e ta$)i7n e"istir en dic/o *unto un esfuerzo cortante de #a $is$a $a!nitud *ero con si!no contrario en un *#ano orto!ona#. Para este efectoB se considerar: e# dia!ra$a de só#ido #i)re de un *eAue>o )#oAue rectan!u#ar de es*esor dzB se!?n se $uestra en #a fi!ura 1.

Fi!ura 1 Si una fuerza cortante cuación

∑ F

x

V x

= τ yx dx dz se a*#ica a #a cara su*erior de# )#oAueB #a e

= 0 o)#i!a a esta)#ecer una fuerza diri!ida en sentido o*uesto a 3 "

en #a *arte inferior de# )#oAueB Auedando as9 e# )#oAue so$etido a un *ar de sentido /orarioB este *ar de)er: ser co$*ensado *or otro *ar en sentido anti/orario co$*uesto *or #as fuerzas @ertica#es de# )#oAue.

∑ M

z

V y

= τ xy

dy dz

a*#icadas a #as caras

Por ?#ti$o #a a*#icación de #a ecuación de eAui#i)rio

= 0 da #a si!uiente e"*resión

∑ M

z


= 0 : (τ xy dy dz ) dx − (τ yx dx dz ) dy = 0

20

de #a Aue se o)tiene Aue τ xy

=

τ yx

Con #o cua# Aueda de$ostrado #o Aue se *retend9a. Este *rinci*io es ta$)i7n @:#ido cuando est:n actuando esfuerzos nor$a#es so)re #os *#anosB *uesto Aue estos esfuerzos se *resentan en for$a de *ares co#inea#esB *ero de dirección o*uesta y as9 e# $o$ento es cero con res*ecto a cua#Auier e+e.


21

1.% ESFUERZO 56=O 56=O C6RH6S 5I62I6ES 6unAue se de+ó esta)#ecido Aue #as e"*resiones desarro##adas en #a sección anterior son de @a#idez restrin!idaB #i$itada a #os casos de car!as centradasB e# $7todo de# dia!ra$a de só#ido #i)re Aue se e$*#eo *ara deter$inar#as *uede ta$)i7n ser usado *ara reso#@er #os *ro)#e$as en #os Aue inter@en!an car!as en dos direcciones )ia"ia#es. a $anera de co$o *roceder Auedar: esta)#ecida en e# si!uiente e+e$*#o.

Eercicio N/ " En un *unto dado de un e#e$ento de una $:AuinaB se e@a#uaron #os si!uientes esfuerzos ,;;; *si T y corte ceroB en un *#ano /orizonta# y (;;; *si C en un *#ano @ertica#. @ertica#. Deter$ine Deter$ine #os esfuerzos esfuerzos en este *untoB en un *#ano inc#inado inc#inado con *endiente de & unidades @ertica#es *or ( /orizonta#es.

@isua#izar de $e+or $anera #os datos entre!adosB entre!adosB So+uci0n. Co$o una for$a de @isua#izar se de)e di)u+ar e# )#oAue diferenc di ferencia# ia# Aue se $uestra en #a fi!ura 1&a Aue es un di)u+o de #os esfuerzos y no un dia!ra$a de só#ido #i)re. En se!uida se traza e# dia!ra$a de só#ido #i)reB donde de)en a*arecer #os @ectores de fuerza ordinarios. Para este efecto se *uede uti#izar @arios dia!ra$as de só#ido só#ido #i)re acordes con #a situaciónB ta# co$o e# de# e#e$ento en for$a de cu>a definido *or #os tres *#anos dados en #a fi!ura 1&) en #a Aue e# :rea so$)reada indica e# *#ano en Aue e# esfuerzo Aue de)e ser e@a#uado act?a. 6 esta :rea se #e asi!nar: en for$a ar)itraria #a $a!nitud diferencia#

dA B

#ue!o #as :reas corres*ondientes a #as caras

@ertica# y /orizonta# de# e#e$ento ser:n


0,6 dA y 0,8 dA B

res*ecti@a$ente.

22

as fuerzas Aue act?an so)re estas :reas son #as Aue est:n indicadas en e# dia!ra$a. No se de)e o#@idar Aue son #os @ectores de fuerza fuerza #os Aue act?an so)re dic/as :reas. Para #os fines *r:cticosB e# dia!ra$a de só#ido só#ido #i)re en e# *#ano de #a fi!ura 1&c )astar:. 6/ora se a*#ican #as ecuaciones de eAui#i)rioB es decirB se su$ar:n #as fuerzas en #a dirección nor$a# y tan!encia# *ara o)tener #os esfuerzos *edidos.

(a)

Fi!ura 1& b) Autor: Raúl Rosas(Lozano

(&)

23

∑ F

=

0:

∑ F

=

0 : τ dA

n

t

σ dA + 4000 ( 0,6 dA) ( 0,6)

− 8000 ( 0,8 dA) ( 0,8) = 0

+ 4000 ( 0,6 dA) ( 0,8) + 8000 ( 0,8 dA) ( 0,6) = 0

⇒

⇒

σ = 3680 psi ( T )

τ =

− 5760

psi

ay Aue recordar recordar Aue e# esfuerzo nor$a# sie$*re de)er: ser desi!nado co$o de tensión T o de co$*resión C.


24

1.- ESFUERZOS PRINCIP6ES En #a fi!ura 1( se i#ustra un e#e$ento de# estado !enera# de esfuerzo tridi$ensiona# donde se $uestran tres esfuerzos nor$a#es *ositi@osL y seis esfuerzos cortantes

2y

B

y2

3

yz

3

zy

3

2 z2

3

y

y

3 2z

z

B todos

B ta$)i7n

*ositi@os. Este e#e$ento est: en eAui#i)rio est:tico yB *or #o tanto

2y

!

y2

yz

!

zy

J

z2

2z

os esfuerzos nor$a#es diri!idos /acia afuera de# e#e$ento se consideran *ositi@os y son de tensión. os cortantes son *ositi@os si act?an en #a dirección *ositi@a de un e+e de referencia. E# *ri$er su)9ndice de una co$*onente de esfuerzo cortante indica e# e+e coordenadoB Aue es *er*endicu#ar a #a cara de# e#e$entoL e# se!undo indica e# e+e de coordenadas *ara#e#o a dic/a co$*onente.


25

Fi!ura 1( Un esfuerzo cortante *ositi@o a*unta en #a dirección *ositi@a de# e+e coordenado de# se!undo su)9ndice si act?a so)re una su*erficie Aue ten!a su nor$a# /acia afuera en #a dirección *ositi@a. Contraria$enteB si #a nor$a# /acia afuera de #a su*erficie esta en #a dirección ne!ati@a entonces e# esfuerzo cortante *ositi@o a*unta en #a dirección ne!ati@a de# e+e coordenado corres*ondiente a# se!undo su)9ndice. ue!oB co$o ya se /a)9a $encionado anterior$enteB #os esfuerzos Aue se $uestran en #a fi!ura 1( son todos *ositi@os a fi!ura 1%a i#ustra un estado de esfuerzo *#ano o )ia"ia#B Aue es #o $:s usua#. Una @ez Aue #os esfuerzos nor$a# y cortante so)re estos *#anos orto!ona#es sean conocidosB #os esfuerzos nor$a# y cortante en cua#Auier *#ano o)#icuo es*ec9fico Aue *ase *or e# $is$o *untoB *ueden f:ci#$ente ser deter$inados $ediante e# $7todo de# dia!ra$a de só#ido #i)re estudiado en #a sección anterior. Desde e# *unto de @ista de# dise>oB !enera#$enteB #os esfuerzos cr9ticos son #os @a#ores $:"i$os de tensiónB de co$*resión y de $:"i$o esfuerzo cortante. Por #o tantoB


26

e# $7todo de #a sección 1.% no resu#ta adecuado a $enos Aue se conozcan #as #oca#izaciones de ta#es *#anos.



t 

+*

n

+*-A&os.

+*

.

+nt-A .

*

n-A

*-A&os.

+*-As/n.

a

-As/n.

) Fi!ura 1%

os esfuerzos nor$a#es $:"i$o y $9ni$o en un *unto de# cuer*o car!ado son definidos co$o #os esfuerzos *rinci*a+es y #os *#anos en Aue e##os act?an se deno$inan *+anos *rinci*a+es. esfuerzo en e# *#ano "y es

z

E# tercer esfuerzo *rinci*a# en e# caso de

Aue es i!ua# a cero.

Para deter$inar #as fór$u#as Aue *er$itan e@a#uar y #oca#izar estos esfuerzos *rinci*a#es se su*uso Aue e# e#e$ento de #a fi!ura 1%a fue cortado *or un *#ano inc#inado en un :n!u#o θB co$o se @e en #a fi!ura 1%)L e# :n!u#o θ es considerado *ositi@o cuando se cuenta en sentido anti/orario. a fi!ura 1%) es e# dia!ra$a de só#ido #i)re de# e#e$ento en for$a de cu>a de# cua# fueron deducidas #as fór$u#as antes $encionadas y Aue son #as si!uientes

tg ( 2θ )

=

τ xy

(σ − σ ) x

y

2


(%)

27

σ 1, 2

=

(σ + σ ) x

y

2

τ máx

2  σ x − σ y    + (τ xy ) 2   2 

±

= ±

τ máx

(4)

2  σ x − σ y    + (τ xy ) 2   2 

=

(5)

( σ 1 − σ 2 )

(6)

2

os @a#ores de θ de #a fór$u#a (%) dan #a orientación de #os *#anos *rinci*a#es. Para un +ue!o dado de @a#ores de

τ"yB σ" y σy

/ay dos @a#ores de θ se*arados 0;.

Esto *rue)a Aue #os *#anos *rinci*a#es son nor$a#es entre s9. Cuando #a t! θ es *ositi@aB θ es *ositi@o y #a rotación es en sentido anti/orario desde #os e+es " e y a #os *#anos en Aue #os esfuerzos *rinci*a#es act?an. Cuando #a t! θ es ne!ati@aB #a rotación es en sentido /orario. Se de)e de+ar indicado Aue un @a#or de

θ

se

encontrar: sie$*re entre #os (% *ositi@os y ne!ati@os inc#usi@e con e# otro @a#or 0; $:s !rande. E# esfuerzo *rinci*a# de @a#or nu$7rico $ayor actuar: en e# *#ano Aue for$e un :n!u#o de (% o $enor con e# *#ano de# $ayor nu$7rica$ente de #os dos esfuerzos nor$a#es dados. Ta$)i7n se de)e notar Aue si uno o a$)os esfuerzos *rinci*a#es son ne!ati@osB e# $:"i$o esfuerzo a#!e)raico *uede tener un @a#or a)so#uto $enor Aue e# $9ni$o esfuerzo. a fór$u#a (4) da #os dos esfuerzos *rinci*a#es en e# *#ano "y y e# tercero es σz

J ;.


σ&

J

28

a fór$u#a (5) da #os @a#ores de #os $:"i$os esfuerzos cortantesB estos ocurren en *#anos Aue se encuentran a (% de #os *#anos *rinci*a#es. a fór$u#a (6) esta)#ece una re#ación $uy ?ti# entre #os esfuerzos *rinci*a#es y e# esfuerzo cortante $:"i$o. Si #os @a#ores de σ1 y σ de #a fór$u#a (4) tienen e# $is$o si!noB entonces e# tercer esfuerzo *rinci*a# σ& i!ua# a ceroB ser: e# $:"i$o o e# $9ni$o esfuerzo nor$a#. ue!o e# $:"i$o esfuerzo cortante *uede ser σ1  σGB σ V ; G o σ1 V ; GB se!?n #as $a!nitudes re#ati@as y #os si!nos de #os esfuerzos *rinci*a#es. a dirección de# esfuerzo cortante $:"i$o se *uede deter$inar di)u+ando un )#oAue de for$a de cu>a con dos caras *ara#e#as a #os *#anos en #os Aue se *resentan e# $:"i$o y $9ni$o esfuerzo *rinci*a# y con #a tercera cara a (% con #as otras dos. a dirección de# esfuerzo cortante $:"i$o de)er: ser o*uesta a# $ayor de #os esfuerzos *rinci*a#es. Otra re#ación $uy ?ti# entre #os esfuerzos *rinci*a#es y #os esfuerzos nor$a#es en *#anos orto!ona#esB se o)tiene su$ando #os @a#ores de #os dos esfuerzos *rinci*a#es dados *or #a fór$u#a (4). E# resu#tado es

σ 1

+ σ 2 =

σ x

+ σ y

(7)

Aue se e"*resa diciendo AueB *ara esfuerzos *#anosB #a su$a de #os esfuerzos nor$a#es en dos *#anos orto!ona#es cua#esAuiera en un *unto de un cuer*o es una constante. En todo #o Aue se /a @isto anterior$enteB #os esfuerzos W$:"i$oX y W$9ni$oX se /an considerado co$o cantidades a#!e)raicas. Sin e$)ar!oB en #as a*#icaciones a


29

*ro)#e$as de in!enier9a Aue son #os de este cursoB e# t7r$ino W$:"i$oX sie$*re indicar: a# $ayor @a#or a)so#utoB es decirB #a $ayor $a!nitud. En #os si!uientes e+e$*#os se @er: #a a*#icación de #as fór$u#as @istas en esta sección.

Eercicio N/ % En un *unto de un $ie$)ro estructura# so$etido a esfuerzo *#anoB e"isten #os esfuerzos Aue se $uestran en #a fi!ura 1-aB en #os *#anos /orizonta# y @ertica# Aue *asan *or e# *unto $encionado. a Deter$inar #os esfuerzos *rinci*a#es y e# $:"i$o esfuerzo cortante en e# *unto. )

oca#izar #os *#anos en #os Aue dic/os esfuerzos act?an y $ostrar#os en un croAuis.

So+uci0n. a De acuerdo con #a con@ención de si!nos Aue se /a esta)#ecidoB es *ositi@oB $ientras Aue

σy

y

τ"y

son ne!ati@os. Para ser sustituidos en #as

fór$u#as (4)B (5) y (%) #os @a#ores dados son

σ"

J 1;;;; *siB

σy

J - ,;;; *si

y

6# ree$*#azar estos @a#ores en #a fór$u#a (4)3 se o)tieneB


σ"

τ"y

J  (;;; *si

30

σ 1, 2

=

10000 − 8000 2

2

10000 + 8000  ±    + ( 4000) 2 2  

#ue!o σ1

*uesto Aue σ1 y

σ

τ$:".

J

J 1;,(0 *si T

y

σ

J ,,(0 *si C

son de si!nos contrariosB e# $:"i$o esfuerzo cortante es

[1;,(0

 ,,(0 ] G 

→

τ$:". J

0,(0 *si

) Cuando #os @a#ores dados se sustituyen en #a fór$u#a (%) se o)tiene t! θ J (;;; G 0;;; J ;B((((

→

θ

J 11B0, ó 11B0,

E# croAuis reAuerido es e# Aue se $uestra en #a fi!ura 1- c ó ).


31

(a)

(b)

(&)

Fi!ura 1-

1.' DEFOR46CIN DE EE4ENTOS SO4ETIDOS 6 C6RH6 62I6 Considere una )arra /o$o!7nea 5C de #on!itud  y sección trans@ersa# unifor$e 6B so$etida a una car!a a"ia# P fi!ura 1'.


32

(a)

(b)

Fi!ura 1' Se define #a defor$ación unitaria nor$a# en una )arra )a+o car!a a"ia# co$o e# a#ar!a$iento *or unidad de #on!itud de dic/a )arra. Re*resent:ndo#a *or eB se tiene

e

donde δ es #a @ariación de #on!itud y

=

L #a

δ

L

(1#)

#on!itud inicia#.

Si e# esfuerzo a"ia# no e"cede e# #9$ite de *ro*orciona#idad de# $ateria#B *uede a*#icarse #a #ey de ooe y escri)ir


33

σ

= ! × e

y σ = P l"ego ! e = P omo e = δ entones reemplazan do A A L

δ

=

P L A !

(11)

Esta ?#ti$a e"*resión *uede usarse só#o si #a )arra es /o$o!7nea  ! constanteB tiene sección trans@ersa# A constante y esta car!ada en sus e"tre$os. Si #a )arra est: car!ada en otras *artes o si consta de @arias secciones trans@ersa#esB y *osi)#e$enteB de di@ersos $ateria#esB se de)e di@idir en tantas *artes co$*onentes co$o sea necesarioB de ta# for$a Aue cada una de e##as satisfa!a #as condiciones *ara usar 7sta ecuación. P i , Li , Ai , ! i B

#a$ando res*ecti@a$ente

#a fuerza internaB #on!itudB :rea de #a sección trans@ersa# y $ódu#o

de e#asticidad Aue corres*onde a #a *arte i B e# a#ar!a$iento de #a )arra co$*#eta ser:

n

δ

=∑ i =1

P i Li Ai ! i

(1,)

Eercicio N 4 Deter$ine #a defor$ación de #a )arra de acero  E J 0 " 1; - *si  indicada en #a fi!ura 1,a )a+o #as car!as dadas. Autor: Raúl Rosas Lozano

34

(a)

(b)

(&)

Fi!ura 1,

So+uci0n Se di@ide #a )arra en tres *artes co$o se $uestra en #a fi!ura 1,)B y se tiene

1 =  J 1 *u#!

& J 1- *u#!

61 J 6 J ;B0 *u#! 

6& J ;B& *u#! 

Para encontrar #as fuerzas internas P 1B PB y P &, se de)e *asar secciones *or cada *arte co$*onente di)u+ando en cada caso e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *orción de )arra #oca#izada a #a derec/a de #a sección fi!ura 1,c. Sa)iendo Aue cada uno de #os cuer*os #i)res est: en eAui#i)rioB se o)tiene P1 J -; #)


P J  1% #)

P& J &; #)

35

Ree$*#azando todos #os @a#ores o)tenidos en #a ecuación (1,)B se tiene

δ =

1 29 !10

6

 ( 60 ! 10 3 )(12) ( − 15 ! 10 3 )(12) ( 30 !10 3 )(16)  + +   ⇒ 0 , 9 0 , 9 0 , 3  

δ = 75,9 !10 −3 p" l

a )arra de #a fi!ura 1'B Aue se uti#izó *ara deducir #a ecuación (11) y #a )arra de# *ro)#e$a anteriorB ten9an a$)as un e"tre$o unido a un so*orte fi+o. En cada casoB entoncesB e# a#ar!a$iento δ de #a )arra era i!ua# a# des*#aza$iento de su e"tre$o #i)re. Sin e$)ar!oB cuando a$)os e"tre$os de #a )arra se $ue@enB e# a#ar!a$iento de #a )arra se $ide *or e# desplazamiento relativo de un e"tre$o de #a )arra con res*ecto a# otro. Si a# con+unto de #a fi!ura 10a Aue consta de tres )arras e#:sticas de #on!itud L B conectadas *or un *asador r9!ido en 6B se #e a*#ica una car!a P en 5 fi!ura 10)B cada )arra se defor$ar:.

(a) (b)


36

Fi!ura 10 Co$o #as )arras 6C y 6C est:n unidas a so*ortes fi+os en C y CB su acorta$iento co$?n es

δ A de#

*unto 6. Por otra *arteB co$o a$)os e"tre$os de #a )arra 65

se $ue@enB e# a#ar!a$iento de 65 est: $edido *or #a diferencia entre #os des*#aza$ientos

δ A

y δ B de #os *untos 6 y 5B es decirB *or e# des*#aza$iento

re#ati@o de 5 con res*ecto a 6. Re*resentando este des*#aza$iento *or

δ B

A

B se

escri)e δ B A

=

δ B

− δ A =

P L A !

dónde A es e# :rea de #a sección trans@ersa# 65 y ! e# $ódu#o de e#asticidad.

Eercicio N/ 5 a )arra co$*uesta de acero E J 0Q1;& *si $ostrada en #a fi!ura ;a consta de dos se!$entosB 65 y 5DB cuyas :reas trans@ersa#es son 1 *u#!  y  *u#!  res*ecti@a$ente. Deter$ine e# des*#aza$iento @ertica# de# e"tre$o 6 y e# des*#aza$iento de 5 res*ecto a C.


(a)

(b)

37

Fi!ura ;

So+uci0n De)ido a #a a*#icación de #as car!as e"ternasB #as fuerzas a"ia#es internas en #as secciones 65B 5C y CD ser:n todas diferentes. Esas fuerzas se o)tienen a*#icando e# $7todo de #as secciones y #a ecuación de eAui#i)rio *or fuerza @ertica#B co$o se indica en #a fi!ura ;). Usando #a con@ención de si!nos Aue esta)#ece Aue fuerzas internas de tensión son *ositi@as y fuerzas internas de co$*resión son ne!ati@asB e# des*#aza$iento @ertica# de 6 res*ecto a# so*orte fi+o D es

δ A

=

1 29 !10

3

 (15)( 2 !12) + ( 7)(1,5 !12) − ( 9) (1!12)  ⇒   1 2 2

δ A

= 0,0127 p" l

Co$o e# resu#tado es *ositi@oB #a )arra se a#ar!a y e# des*#aza$iento de 6 es /acia arri)a. 6*#icando #a ecuación (11) entre #os *untos 5 y CB se o)tiene

δ B  C

=

P BC L BC A BC !

=

( 7) (1,5 !12) ⇒ ( 2) ( 29 !103 )

δ B  C

6Au9 5 se a#e+a de CB ya Aue e# se!$ento se a#ar!a.


= 0,00217 p" l

38

Eercicio resue+8o N/ 6 E# con+unto $ostrado en #a fi!ura 1a consiste en un tu)o 65 de a#u$inio con :rea trans@ersa# de (;; $$. Una )arra de acero con di:$etro de 1; $$ est: unida a un co##ar9n r9!ido y *asa a tra@7s de# tu)o. Si se a*#ica una car!a de tensión de ,; N a #a )arraB deter$ine e# des*#aza$iento de# e"tre$o C de #a )arra. Considere Eac J ;; HPa y E a# J '; HPa.

(a)

(b)

Fi!ura 1

So+u So+uci ci0n 0n E# dia!ra$a de cuer*o #i)re de# tu)o y de #a )arra fi!ura 1)B $uestra Aue #a )arra est: so$etida a una tensión de ,; N y e# tu)o a una co$*resión de ,; N. 6# deter$inar e# des*#aza$iento de# e"tre$o C con res*ecto a# e"tre$o 5B se tiene

δ C  B

=


P L A !

(80!10 )( 0,6) = ⇒ π ( 0,005) ( 200 !10 ) 3

2

9

δ C  B

= 0,003056 m

39

E# si!no *ositi@o indica Aue e# e"tre$o C se $ue@e /acia #a derec/a con res*ecto a# e"tre$o 5B ya Aue #a )arra se a#ar!a. E# des*#aza$iento de# e"tre$o 5 con res*ecto a# e"tre$o fi+o 6 es

δ B

=

P L A !

( − 80 !10 )( 0,4) ⇒ = 400!10 − ( 70 ! 10 ) 3

6

9

δ B

= − 0,001143 m

E# si!no $enos indica aAu9 Aue e# tu)o se acortaB *or #o Aue 5 se $ue@e /acia #a derec/a res*ecto a 6. Co$o a$)os des*#aza$ientos son /acia #a derec/aB e# des*#aza$iento resu#tante de C res*ecto a 6 es

δ C

=

δ B

+ δ C B =


0,001143

+ 0,003056

⇒

δ C

= 0,004199 m = 4,199 mm

40

Eercicio resue+8o N/ 7 Una @i!a r9!ida 65 descansa so)re #os dos *ostes cortos $ostrados en #a fi!ura a. 6C es de acero E J ;; HPa y tiene un di:$etro de ; $$L 5D es de a#u$inio E J '; HPa y tiene un di:$etro de (; $$. Deter$ine e# des*#aza$iento de# *unto F cuando se a*#ica una car!a @ertica# de 0; N so)re este *unto.

(b) (a)

(&)

(-)

Fi!ura 

So+uci0n as fuerzas de co$*resión Aue act?an so)re cada *oste se deter$inan a *artir de# eAui#i)rio de# e#e$ento 65B fi!ura ). Esas fuerzas son i!ua#es a #as fuerzas internas en cada *osteB fi!ura c.


41

E# des*#aza$iento de #a *arte su*erior de# *oste 6C es

δ A

=

P AC L AC A AC ! a

( − 60 !10 )( 0,3) ⇒ = π ( 0,01) ( 200 ! 10 ) 3

2

= 2,86 !10 −4 m ↓

δ A

9

E# des*#aza$iento de #a *arte su*erior de# *oste 5D es

δ B

=

P B# L B# A B# ! al

( − 30 !10 )( 0,3) ⇒ = π ( 0,02) ( 70 !10 ) 3

2

9

δ B

= 1,02 !10 −4 m ↓

En #a fi!ura d se $uestra un dia!ra$a de #os des*#aza$ientos de #os *untos 6B 5 y F situados en e# e+e de #a @i!a. Por *ro*orciones en e# tri:n!u#o so$)readoB e# des*#aza$iento de# *unto F es

δ F


400  = 0,102 + 0,184     600 

⇒

δ F

= 0,225 mm ↓

42

Eercicio resue+8o N/ 1# a )arra CE de Y *u#! de di:$etro y #a )arra DF de  *u#! de di:$etro est:n unidas a #a )arra r9!ida 65CD co$o se $uestra en #a fi!ura &a. Sa)iendo Aue #as )arras son de a#u$inio y Aue E J 1;B1 Q 1; - *siB deter$ine a #a fuerza en cada )arra y ) e# des*#aza$iento de# *unto 6.

(b)

(a)

(&) (-)

Fi!ura &

So+uci0n Considerando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a )arra 65CDB fi!ura &)B se o)ser@a Aue #as reacciones en 5 as9 co$o #as fuerzas Aue e+ercen #as )arras son indeter$inadas. Sin e$)ar!o recurriendo a #a est:tica se escri)e


43

Σ M B = 10 (18) − F C! (12 ) − F #F ( 20 ) = 0

Q

Des*u7s de a*#icar #a fuerza de 1; #)B #a *osición de #a )arra es 65CD fi!ura &c. De #os tri:n!u#os se$e+antes 566B 5CC y 5DD se tiene

 δ C  =  δ #       12   20 

⇒

δ C

=

0,6 δ #

QQ

 δ A  =  δ #       18   20 

⇒

δ A

=

0,9 δ #

QQQ

Considerando #os des*#aza$ientos de #os e"tre$os C y D de #as )arras EC y FD *roducidos *or #as fuerzas FCE y FDF res*ecti@a$enteB se tiene

δ C

Sustituyendo

F C! LC! AC! !

δ C

=

=

F C! LC! AC! !

δ #

=

F #F L #F A #F !

y δ # en QQB

F L 0,6 #F #F A #F !


2 30   14 π ( 12 )   ⇒ F C! = 0,6   1 3 2  F #F ⇒  24   4 π ( 4 ) 

F C! = 0,333 F #F

44

Sustituyendo

10 (18)

F C!

en QB se tiene

− (0,333 F #F ) (12) − F #F ( 20 ) = 0

⇒

F #F

= 7,5 $lb

y

F C!

= 2,5 $lb

E# des*#aza$iento de# *unto D es

δ #

=

F #F L #F A #F !

(7,5 !10 ) ( 30) = π ( ) (10,1 !10 ) 3

1 4

3 2 4

⇒

6

δ #

= 0,0504 p" l 

Ree$*#azando δ # en QQQB se tiene δ A


=

0,9 ( 0,0504 )

⇒

δ A

=

0,04536 p" l 

45

II

TORSION

.1 INTRODUCCIN En e# $ateria# descrito en #a sección anteriorB #as car!as e"teriores se a*#icaron en ta# for$a Aue se *roduc9an ya esfuerzos nor$a#esB ya esfuerzos cortantes en #os $ie$)ros. En 7sta unidad se estudiar: e# efecto de car!as de torsión so)re #os $ie$)ros. Estas car!as !enera#$ente se *resentan en for$a de *ares Aue /acen !irar #os $ie$)rosB yB co$o se @er: $:s ade#anteB *roducen esfuerzos cortantes. as f#ec/as o e+es circu#ares son #os $ie$)ros $:s co$?n$ente asociados con car!as de torsión y se *resentan $uc/as a*#icaciones *r:cticas *ara e##osB es*ecia#$ente en e# ca$*o de# dise>o de $:Auinas. as car!as de torsión !enera#$ente se a*#ican *or $edio de *o#eas o en!ranes Aue $ue@en o son $o@idos *or #as f#ec/as. Co$o e+e$*#os de $ie$)ros su+etos a car!as de torsiónB considere$os #as fi!uras ( y %. a fi!ura (a i#ustra una f#ec/a ci#9ndrica fi+a en un e"tre$oB con un disco en e# otro e"tre$o. Se a*#ican dos fuerzas i!ua#es y o*uestas P en e# *#ano de# discoB co$o se $uestra. Estas dos fuerzasB se*aradas una distancia d for$an una *ar. E# efecto de este *ar o *ar de torsiónB co$o !enera#$ente se #e ##a$aB es torcer e# e+e a#rededor de su e+e #on!itudina#. En #u!ar de re*resentar e# *ar co$o dos fuerzasB se usar: #a desi!nación a#ternati@a de una #9nea cur@a cuya *unta indica #a dirección de# *arB co$o se $uestra en #a fi!ura ().


46

(b) (a)

(-)

(&)

Fi!ura (

E# *ar resistente interno *uede deter$inarse a*#icando #a ecuación de eAui#i)rio [4 e+e J ; a un dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a f#ec/a. Es decirB *ara deter$inar e# *ar interno en cua#Auier *osición de #a f#ec/aB corta$os 7sta $ediante un *#ano i$a!inario *er*endicu#ar a# e+e de #a $is$a en e# #u!ar deseado y /a##a$os #a su$a de #os $o$entos de# dia!ra$a de cuer*o #i)re resu#tanteB con res*ecto a# e+e #on!itudina#. Para e# caso considerado aAu9B #a fi!ura (d indica Aue e# *ar resistente interno es i!ua# a# *ar e"terno T. Para una f#ec/a Aue est7 su+eta a @arios *ares a*#icados en diferentes #u!aresB es necesario /acer e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de @arias secciones. E# *ar resistente interno es #a su$a de todos #os *ares e"ternos /asta e# *#ano en cuestión.


47

Otro $7todo co$?n *ara a*#icar car!as torsiona#es se i#ustra en #a fi!ura %a. En este casoB se a*#ica una so#a car!a P a una distancia r de# e+e #on!itudina#. Por est:ticaB esta fuerza *uede desco$*onerse en una fuerza y un *ar en e# centro de #a f#ec/aB co$o se indica en #a fi!ura %) y c.

(a)

(b) % Fi!ura

(&)

En este casoB #a f#ec/a esta su+eta a un *ar TB Aue #a /ace !irar res*ecto a su e+eB y ta$)i7n a una fuerza P. Si #a f#ec/a est: a*oyada en e# *unto de a*#icación de #a fuerzaB e# *ro)#e$a es de torsión si$*#e. Sin e$)ar!oB si ade$:s #a f#ec/a *uede f#e"ionarse #i)re$ente )a+o #a a*#icación de esta fuerzaB e# *ro)#e$a se con@ierte en uno en Aue se co$)ina f#e"ión y torsión. os *ro)#e$as Aue contienen una co$)inación de esfuerzos de torsión y de f#e"ión yGo esfuerzos a"ia#es se estudiar:n $:s ade#ante. En esta secciónB se tratar: so#a$ente #a teor9a de #a torsión en f#ec/as de sección circu#ar. Por consi!uienteB en cua#Auier *ro)#e$a Aue se *resente en este ca*9tu#oB se su*one Aue #as f#ec/as est:n a*oyadas de ta# $anera Aue todos #os esfuerzos Aue no sean de torsiónB se des*recian. Esta sección cu)re e# an:#isis y dise>o de f#ec/as circu#ares su+etas a esfuerzos *or de)a+o de# #9$ite de *ro*orciona#idad de# $ateria#. Se discutir: )re@e$ente #a torsión de f#ec/as no circu#ares. as f#ec/as circu#ares su+etas a esfuerzos en e# inter@a#o ine#:stico no se discuten en este a*unte.


48

. ESFUERZO CORT6NTE Cuando un $ie$)ro de sección circu#ar es so$etido a car!as de torsiónB se *roducen en e#B fuerzas cortantes internas. E# *roducto de estas fuerzas cortantes *or sus res*ecti@as distancias desde e# e+e de #a f#ec/a *roduce $o$entosB cuya su$a o resu#tante es e# *ar resistente interno descrito en #a sección anterior. a fi!ura -) i#ustra #a acción de #as fuerzas internas Aue for$an e# *ar resistente. Ka Aue estas fuerzas son tan!entes a #a su*erficie de# $ateria#B *roducen esfuerzos cortantes. a re#ación entre #as fuerzas tan!encia#es y sus esfuerzos cortantes asociados es

τ = P A .

En este casoB τ es e#

esfuerzo cortante so)re e# :rea so$)readaB y P es #a fuerza cortante actuando so)re esa :rea. as fuerzas cortantes y #os esfuerzos cortantes act?an en dirección *er*endicu#ar a# radio @ector Aue une a# *unto en cuestión con e# e+e de# $ie$)ro.

(b)

(a)

(&)

(-)

Fi!ura -


49

Para in@esti!ar #a torsión en #os e+esB se de)e conocer #a re#ación entre e# *ar a*#icado y #os esfuerzos internos *roducidos *or ese *ar. Para esta)#ecer esa re#aciónB se /acen #as si!uientes su*osiciones a)

Una sección de #a f#ec/a Aue es *#ana antes de #a torsiónB *er$anece *#ana des*u7s de #a torsión. Esto si!nifica Aue una sección trans@ersa# de #a f#ec/a no se a#a)ea des*u7s de #a car!a. E#

b)

di:$etro de #a f#ec/a no ca$)ia durante #a car!a. &)

os esfuerzos est:n en e# ran!o e#:stico. Es decirB #os esfuerzos est:n de)a+o de# #9$ite de *ro*orciona#idad cortanteB y se a*#ica #a ey de ooe.

-)

as defor$aciones *or cortante @ar9an #inea#$ente desde cero en e# e+e de# e#e$entoB /asta un $:"i$o en #as fi)ras e"tre$as.

a o)ser@ación y #a @erificación e"*eri$enta# co$*rue)an Aue estas su*osiciones est:n +ustificadas. Ka Aue #as defor$aciones *or cortante @ar9an *ro*orciona#$ente a #a distancia a# e+eB #os esfuerzos cortantes de)en tener #a $is$a re#ación ey de ooe. Esto se $uestra en #a fi!ura -dB donde #os esfuerzos so)re cua#Auier ani##o de#!adoB ta# co$o e# :rea n #oca#izada a una distancia radica# p a *artir de# e+eB son directa$ente *ro*orciona#es a #os esfuerzos $:"i$osB Aue ocurren en #as fi)ras e"teriores e"tre$as.


50

6# deter$inar #a re#ación entre estos esfuerzos $:"i$os y e# *ar Aue #os *roduceB se ##e!a a #a si!uiente re#ación

τ

=

T  %

(1-) donde τ

es e# $:"i$o esfuerzo cortante en e# e+e

T es

e# *ar interno

 es e# radio de #a sección trans@ersa# de #a f#ec/a % es

e# $o$ento *o#ar de inercia de #a sección circu#ar

Para secciones circu#ares $acizasB

%

=

π #

4

32

=

π &

4

2

Para secciones circu#ares /uecas tu)osB

% =

π ( #e4 − #i4 ) 32

=

π ( &e4 − &i4 ) 2

E# esfuerzo so)re cua#Auier fi)ra interna situada a una distancia ρ a *artir de# e+e de# $ie$)ro es

τ


= T ρ %

(1")

51

Eercicio N/ 11 Deter$inar e# $:"i$o esfuerzo cortante en un e+e de & *u#! de di:$etro. E# *ar a*#icado es de &;;; #)*ies.

So+uci0n 6*#icando #a ecuación (1-) *ara ca#cu#ar e# esfuerzo cortante en #as fi)ras $as a#e+adasB se tiene

τ

=

T  %

=

( 3000 !12) (1,5) 4 π ( 3)

⇒

τ

= 6790,6 psi

32

Eercicio N/ 1, Ca#cu#ar e# *ar $:"i$o Aue *uede trans$itir un e+e $acizo de aceroB de (; $$ de di:$etroB sin e"ceder un esfuerzo cortante de -; 4Pa.

So+uci0n Des*e+ando e# *ar T de #a ecuación (1-) B se tiene

τ

=

T  %




4   π ( 40 ) 60  32  τ %   = T =



20

⇒

T = 753982,23 N − mm

52

.& DEFOR46CION POR CORT6NTE os esfuerzos cortantes descritos en #as secciones anteriores son tan!entes a #a su*erficie de #as secciones trans@ersa#es de# e+e. En #a discusión de esfuerzos cortantes y #as defor$aciones *or cortante corres*ondientesB es $:s con@eniente considerar un cu)o e#e$enta# de $ateria#B en @ez de una su*erficie *#ana. En #a fi!ura ') se $uestra un cu)o e#e$enta# t9*ico de un e+e. E# ta$a>o de# cu)o es e"tre$ada$ente *eAue>oB tan *eAue>oB Aue #os esfuerzos Aue act?an so)re #as su*erficies de# cu)o *ueden considerarse co$o unifor$e$ente distri)uidos.

(a)

(b)


(&)

(-)

(/)

()

53

Fi!ura ' En cua#Auier $o$ento en Aue se *resenten esfuerzos cortantes so)re una su*erficie de un cu)o e#e$enta#B de)en *resentarse en #as cuatro su*erficiesB co$o se $uestra en #a fi!ura '). Si se consideraB *or e+e$ *#oB e# cu)o e#e$enta# de $ateria# $ostrado en #a fi!ura 'c. So)re #a cara ab act?a /acia arri)a una fuerza cortante @ertica#. Ka Aue e# cu)o de)e estar

en eAui#i)rioB [F y J ; y de)e /a)er una fuerza @ertica# a P s Aue act?e /acia a)a+o. Esta fuerza act?a so)re #a cara cd fi!ura 'd. Sin e$)ar!oB estas dos fuerzasB for$an un *ar. Ka Aue [4 J ; *ara e# cu)oB de)e /a)er un *ar i!ua# y de sentido o*uesto *ara i$*edir #a rotación. Este act?a en #as caras ac y bd fi!ura 'e. os esfuerzos cortantes Aue act?an so)re un cu)o e#e$enta# de $ateria# /acen Aue e# cu)o se defor$e. Esta defor$aciónB !enera#$ente se considera co$o un :n!u#o fi!ura 'f. a re#ación entre e# esfuerzo cortante y #a defor$ación se e"*resa co$o e# :n!u#o γ de #a fi!ura 'f y est: dada *or #a ey de ooe. a constante de *ro*orciona#idad se ##a$a $ódu#o de e#asticidad a# cortanteB ' ó $ódu#o de ri!idez a #a torsión. E"*resada a#!e)raica$enteB τ

=

' γ

donde τ

es e# esfuerzo cortante

' es e# $ódu#o de e#asticidad a# esfuerzo cortante

γ es #a defor$ación *or cortante


(1%)

54

,.-.1 9n:u+o de 8orsi0n E# $:"i$o esfuerzo cortante en una f#ec/a su+eta a torsión *uede deter$inarse a *artir de

τ

= T 

%

. E# *ar a*#icado ta$)i7n /ace Aue e# e+e

se tuerza. E# :n!u#o de torsión es de i$*ortancia en $uc/as a*#icaciones de in!enier9a. 4uc/as f#ec/as *ara $aAuinaria de)en dise>arse de ta# $anera Aue no se defor$en de$asiadoL es decirB Aue no se tuerzan e"ce si@a$ente. as /erra$ientas y $aAuinaria de *recisión frecuente$ente reAuieren Aue e# :n!u#o de torsión Auede dentro de ciertos #9$ites es *ecificados. Si se considera una *arte de una f#ec/a so$etida a torsión $ediante *aresB co$o se $uestra en #a fi!ura ,L #a #9nea interru$*ida indica #a *osición de una fi)ra #on!itudina# antes de #a torsiónB y #a #9nea continua re*resenta su *osición des*u7s de Aue se /an a*#icado #os *ares. a defor$ación *or cortante \ se $uestra en #a fi!ura , co$o e# :n!u#o n]$n. De)ido a Aue se *roducen :n!u#os re#ati@a$ente *eAue>os co$o consecuencia de esfuerzos cortantes $enores Aue e# #9$ite de *ro*orciona#idad a cortanteB #a tan!ente de# :n!u#o *uede darse $ediante e# :n!u#o \ en radianes. E"*resado $ate$:tica$ente

tg γ = γ =


n n L

55

Fi!ura , E# :n!u#o de torsión de #a f#ec/a es e# :n!u#o de rotación de #a sección trans@ersa# y es e# :n!u#o  $ostrado en e# e"tre$o 5 de #a fi!ura ,. a e"*resión Aue *er$ite deter$inar e# @a#or de 7ste :n!u#o  es

θ

=

T L ' %

(14)

donde θ

es e# :n!u#o de torsiónB en radianes

T es

e# *ar interno

L es

#a #on!itud de #a sección de #a f#ec/a

'

es e# $ódu#o de ri!idez a #a torsión

% es

e# $o$ento de inercia *o#ar de #a sección trans@ersa#

a ecuación (14) e usarse ?nica$ente si e# e+e es /o$o!7neo H J constanteB de sección trans@ersa# constante y car!ado só#o en sus e"tre$os. Si e# e+e est: car!ado de otra $anera o si consta de @arias *orciones con diferentes secciones y *osi)#e$ente de diferentes $ateria#esB se de)e di@idir en sus *artes co$*onentes Aue satisfacen indi@idua#$ente #as condiciones reAueridas *ara #a a*#icación de #a ecuación (14) .


56

Fi!ura 0 En e# caso de# e+e 65 de #a fi!ura 0 de)en considerarse cuatro *artes diferentes 6CB CDB DE y E5. E# :n!u#o tota# de torsión entre 6 y 5 se o)tiene su$ando a#!e)raica$ente #os :n!u#os de torsión de cada *arte co$*onente. #a$ando

T i

B

Li

B

y

% i

'i

B e# torAue internoB #on!itudB

$o$ento *o#ar de inercia de #a sección y $ódu#o de ri!idez corres*ondiente a #a *arte

i

B e# :n!u#o de torsión tota# de# e+e se e"*resa co$o

θ

=

T i Li

∑ % ' i

E# torAue interno

T i

i

(15)

i

en cada *arte de# e+e se o)tiene /aciendo un corte a

tra@7s de esa *arte y di)u+ando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *orción de e+e #oca#izada a un #ado de #a sección.

Eercicio N/ 1Deter$inar e# :n!u#o de torsión en una f#ec/a de acero H J 1;;; *si de  *u#! de di:$etro y - *ies de #on!itud. E# *ar es de 1;;; #)*ie.

So+uci0n E# :n!u#o de torsión  *uede ca#cu#arse se!?n #a ecuación (14) B

θ

=

T L ' %

=

(1000 !12)( 6 !12) 4  6  π ( 2 ) (12 !10 ) 




32 

⇒

θ

= 0,0458 rad

57

Eercicio N/ 1" Un e+e $acizo de & $ de #on!itud de)e trans$itir un *ar de &;;; N$ sin e"ceder un esfuerzo cortante de '% 4PaB y ta$)i7n sin e"ceder un :n!u#o tota# de torsión de &. Considerando Aue H J '' HPaB deter$ine e# di:$etro $9ni$o Aue de)e tener este e+e.

So+uci0n To$ando co$o condición cr9tica e# esfuerzo cortanteB se tiene

τ

=

T  %

⇒

75 !10

6

=

( 3000)( #  2)

⇒

4

π #  32

# = 0,0588 m

=

58,8 mm

To$ando a/ora co$o condición cr9tica e# :n!u#o de torsiónB se tiene

θ

=

T L ' %

⇒

3 ! ( π  180 )

=

( 3000 )( 3)

( 77 !10 )(π # 9

4

 32 )

⇒

# = 0,069 m

=

69 mm

6Au9B co$o en #a $ayor9a de #os *ro)#e$as de dise>oB #os reAuisitos de# $ateria# re*resentado *or e# esfuerzo y su co$*orta$iento re*resentado *or #a defor$ación no est:n re#acionadosB resu#tando dos di$ensiones diferentes *ara e# dise>o. Co$o de)e$os esco!er un di:$etro Aue satisfa!a tanto #os reAuisitos de# $ateria# co$o su co$*orta$ientoL este de)e ser e# $ayor de #os dosB es decirB e# di:$etro $9ni$o de# e+e de)e ser -0 $$.


58

Eercicio N/ 1% E# e+e @ertica# 6D est: unido a una )ase fi+a en D y so$etido a #os torsores $ostrados en #a fi!ura &;a. Un /ueco de (( $$ de di:$etro /a sido *erforado en #a *orción CD de# e+e. Sa)iendo Aue todo e# e+e est: /ec/o de acero con H J ,; HPaB deter$ine e# :n!u#o de torsión en e# e"tre$o 6.

(b) (&)

a


59

d

e Fi!ura &;

So+uci0n Co$o e# e+e consta de tres *orciones 65B 5C y CDB cada una de sección unifor$e y con torAue interno constanteB *uede usarse #a ecuación

(15) . aciendo un corte en e# e+e entre 6 y 5B y usando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re $ostrado en #a fi!ura &;)B se deter$ina Aue

Σ M y = 0 :

250 − T AB

=0

→

T AB

= 250 N − m

6/ora /aciendo un corte entre 5 y CB y usando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a fi!ura &;cB se tiene

Σ M y = 0 :

250 + 2000 − T BC

=0

→

T BC

= 2250 N − m

Co$o no /ay torAue a*#icado en D entonces T CD J T 5C J %; N$. Ca#cu#ando #os $o$entos de inercia *o#ar de #as secciones indicadas en #a fi!ura &;dB se tiene


60

% AB

=

% BC

=

% C#

=

π ( 0,030)

4

32 π ( 0,060)

32

% AB

= 7,952 !10 −8

m

→

% BC

= 1,272 !10−6

m

4

4

32 π

→

[( 0,060) − ( 0,044) ] 4

4

→

% C#

4

= 9,043 !10 −7

m

4

Uti#izando #a ecuación (15) y recordando Aue H es constante *ara todo e# e+eB se tiene

θ A

=

1 80 !10

9

 ( 250)( 0,4) ( 2250)( 0,2) ( 2250)( 0,6)  −6 +  7,952 !10 −8 + 1,272 !10  9,043 !10 −7  

⇒

θ A

= 0,0388 rad

Eercicio N/ 14 Un e+e circu#ar 65 consta de un ci#indro de acero de 1; *u#! de #on!itud y 'G, *u#! de di:$etroB a# cua# se #e /a a)ierto una ca@idad de % *u#! de #ar!o y %G, *u#! de di:$etro desde e# e"tre$o 5. E# e+e est: unido a so*ortes fi+os en a$)os e"tre$os y se #e a*#ica un torAue de 0; #)*ie en su sección centra#B co$o se $uestra en #a fi!ura &1a. Deter$ine e# torAue e+ercido so)re e# e+e *or cada uno de #os so*ortes.


61

a

) c

d

Fi!ura &1

So+uci0n Construyendo e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de# e+e y ##a$ando T 6 y T 5 #os torAues e+ercidos *or #os so*ortes fi!ura &1)B se tiene

T 6 ^ T 5 J 0; #)*ie

Co$o esta ecuación no es suficiente *ara deter$inar #os torAues desconocidos T 6 y T 5 B e# e+e es est:tica$ente indeter$inado. Sin e$)ar!oB estos torAues *ueden ser ca#cu#ados si se considera Aue e# :n!u#o tota# de torsión de# e+e 65 de)e ser ceroB ya Aue a$)os e"tre$os est:n restrin!idos. Si  1 y   son #os :n!u#os de torsión de #as *artes 6C y C5B se tiene Aue  J  1 ^   J ;

En #os dia!ra$as de cuer*o #i)re de una *eAue>a *orción de# e+e inc#uyendo e# e"tre$o 6 fi!ura &1c y e# e"tre$o 5 fi!ura &1dB se o)ser@a Aue T 1 J


62

T 6 y Aue T  J T 5. Recordando #a ecuación (15) y notando Aue #as *orciones 6C y C5 de# e+e est:n so$etidas a torAues o*uestosB se tiene

θ

= θ 1 + θ 2 =

T A L1 % 1 '

−

T B L2 % 2 '

=0

( 5)( π  32 ) [( 7  8) 4 − ( 5  8) 4 ] T B = ( 5)( π  32) [( 7  8) 4 ]

de donde

→

T B

T B

=

L1 % 2 L2 % 1

T A

= 0,739 T A

Sustituyendo esta ?#ti$a e"*resión en #a ecuación de eAui#i)rio ori!ina#B resu#ta

1B'&0 T 6 J 0; #ue!o entonces T 6 J %1B'% #)*ie y T 5 J &,B% #)*ie.


63

.( FEC6S HIR6TORI6S 4uc/os *ro)#e$as en dise>o de $:Auinas contienen f#ec/as Aue trans$iten *otencia desde una fuente /asta e# #u!ar donde se e+ecuta e# tra)a+o. Por e+e$*#oB una f#ec/a trans$ite *otencia desde un $otor *ara /acer !irar #a /7#ice de un )arco. De)ido a su !ran uti#idad en esta sección @ere$os #a

re#ación entre #a

*otencia desarro##ada y e# *ar en una f#ec/a. Si se considera una f#ec/a de radio R con una fuerza F a*#icada a su su*erficie e"teriorB co$o se $uestra en #a fi!ura &.

Fi!ura &


64

E# tra)a+o /ec/o *or #a fuerza P se define co$o #a fuerza $u#ti*#icada *or #a distancia recorrida en #a dirección de #a fuerza.

En una re@o#ución

co$*#etaB #a fuerza /a)r: recorrido una distancia i!ua# a #a circunferencia de #a f#ec/aB o  π R. EntoncesB e# tra)a+o desarro##ado *or #a fuerza es

Tra)a+o J P π R

a

Si #a f#ec/a est: !irando a una @e#ocidad de N re@o#uciones *or $inuto r*$B #a distancia tota# recorrida *or $inuto es  π RN. Co$o #a Potencia se define co$o #a cantidad de tra)a+o rea#izada en #a unidad de tie$*oB #a *otencia desarro##ada *or #a fuerza P ser9a

Potencia J P  π R N

)

a unidad usua# de *otencia es e# ca)a##o de fuerza /*B Aue es i!ua# a &&;;; *ie#)G$in. Si en #a ecuación ) P esta en #). y R en *u#!.B *o de$os entonces di@idir#a entre 1 *u#!G*ie *ara con@ertir #a *otencia a #as unidades *ie#)G$in. y di@idir#a nue@a$ente *or &&;;; *ie#)G$in.B #a e"*resión entonces se con@ierte en

Potencia J P  π R N G 1Q&&;;; J PRN G -&;;;

c

Refiri7ndose otra @ez a #a fi!ura &B se encuentra Aue e# *ar en #a f#ec/a es TJ PR. Sustituyendo esta e"*resión en #a ecuación cB se o)tiene Autor: Raúl Rosas Lozano

65

Potenia

=

T N 63000

(16)

(P

donde Potenia J

T J

N

*otencia en ca)a##os de fuerza. *ar en #a f#ec/a en #)  *u#!

J @e#ocidad de #a f#ec/a en r*$.

Eercicio N/ 15 Deter$inar #a *otencia trans$itida *or una f#ec/a si e# *ar es de 1;;; *u#! #) y #a @e#ocidad es de -&; r*$.

So+uci0n. Usando #a ecuación (16) B se ca#cu#a #a *otencia en ca)a##os de fuerzaB co$o si!ue

Potenia

=

T N 63000

=

(1000 ) ( 630) 63000

⇒

Potenia = 10 (P

Eercicio N/ 16 Un $otor $ediante un con+unto de en!rana+esB $ue@e un e+e a -&; r*$.B co$o se $uestra en #a fi!ura &&. E# $otor entre!a -; /* en 6 y (; /* en C. E# esfuerzo cortante *er$isi)#e es de -;;; *siB y e# :n!u#o de torsión *er$isi)#e es de 1G1 rad. Si este e+e de)e ser $acizo y con un ?nico di:$etroB deter$ine e# @a#or $9ni$o de este di:$etro.


66

Fi!ura &&

So+uci0n. a so#ución de este *ro)#e$a in@o#ucra cuatro consideraciones. os esfuerzos cortantes en #a f#ec/a 65 y #a f#ec/a 5C no de)en e"ceder de -;;; *siB y e# :n!u#o de torsión en estos dos e+es no de)e e"ceder de 1G1 rad. E# *ri$er *aso consiste en deter$inar e# *ar en #os e+es 65 y 5C. F#ec/a 65

Potenia

=

T N 63000



T =



T =

( 60) ( 63000 ) 630

⇒

T = 6000 lb − p" l

⇒

T = 4000 lb − p" l

F#ec/a 5C

Potenia

=


T N 63000

( 40) ( 63000) 630

67

E# si!uiente *aso es dise>ar e# di:$etro so)re #a )ase de #a #i$itación de# esfuerzo cortante. Co$o

τ

= T  % B so#a$ente de)e dise>arse e# e+e 65

*ara esta condición. E# *ar en #a f#ec/a 5C es $enor Aue en #a f#ec/a 65B de $odo Aue e# esfuerzo cortante no re!ir: #a f#ec/a 5C. ue!o

τ

=

T  %

% T





=

τ



 π # 4    32   = #

2

6000 6000

→

# = 1,72 p" l(

Fina#$ente #as f#ec/as se dise>ar:n so)re #a )ase de #a #i$itación de# :n!u#o de torsión. En este caso no es entera$ente e@idente cua# f#ec/a ri!e e# dise>oB ya Aue aunAue 65 es $:s corta Aue 5CB e# *ar en 65 es $ayor Aue en 5C. Para estar se!urosB se dise>ar:n a$)as f#ec/as.

F#ec/a 65

θ =

T L ' %



% =

T L

% =

T L

' θ



π #

=

( 6000) (10 × 12) (12 ×106 ) (1 12)

→

# = 1,65 p" l

=

( 4000) ( 25 × 12) (12 ×106 ) (1 12)

→

# = 1,87 p" l

4

32

F#ec/a 5C

θ =

T L ' %




' θ



π #

32

4

68

a co$*aración de #os tres di:$etros ca#cu#ados indica Aue e# di:$etro necesario *ara #a f#ec/a de)e ser D J 1B,' *u#!. !o)ierna e# :n!u#o de torsión en 5C.

III F;E
&.1 INTRODUCCIN En #a asi!natura de $ec:nica 3 se discutió e# /ec/o de Aue #as car!as a*#icadas e"terior$ente *roducen en #as @i!as $o$entos internos resistentes y fuerzas cortantes internas. Pero nada se $encionó acerca de #as di$ensionesB for$a o $ateria# de #a @i!a Aue so*orta #as car!as a*#icadas.

Estos factores est:n $uy re#acionados con #a ca*acidad de

so*ortar car!a de #a @i!a y con #a natura#eza y distri)ución de #os esfuerzos internos. En esta unidad se e"*#ican #as re#aciones $:s i$*ortantes entre estos factores. 6Au9 se *ueden considerar dos ti*os !enera#es de *ro )#e$asB an:#isis y dise>o. En e# an:#isisB se conocen #as di$ensiones de #a @i!aB y e# *ro)#e$a consiste en deter$inar ya e# esfuerzo $:"i$o *ara una car!a dadaB ya #a car!a *er$isi)#e *ara un esfuerzo *er$isi)#e dado.

En

*ro)#e$as de dise>oB se conocen #a #uz de #a @i!aB #as condiciones de car!a y #os esfuerzos *er$isi)#esL y e# *ro)#e$a consiste en deter$inar #as di$ensiones necesarias de #a sección trans@ersa# de #a @i!a. 6# dise>ar


69

sur!en $uc/as cuestiones *r:cticasB ta#es co$o #a se!uridadB econo$9a y deta##es

!enera#es.

6unAue

estas

*re!untas

se

res*onden

$:s

co$*#eta$ente en un curso de dise>oB a#!unos de estos as*ectos se considerar:n en esta unidad.

&. ESFUERZO DE FE2IN Para descri)ir #a acción de #os esfuerzos de f#e"iónB se considerar: una @i!a su+eta a f#e"ión *uraB co$o #a indicada en #a fi!ura &(a. Su*on!a Aue #a @i!a est: for$ada de un !ran n?$ero de fi)ras #on!itudina#es. Cuando #a @i!a se f#e"ionaB #as fi)ras de #a *orción su*erior se co$*ri$enB $ientras Aue #as de #a *orción inferior se a#ar!an. Intuiti@a$ente *ode$os @er Aue en a#!una su*erficie se de)e *roducir #a transición entre co$*resión y tensión. Esta su*erficie en #a cua# e# esfuerzo es cero se conoce co$o #a su*erficie neutra o e+e neutroB y est: #oca#izada en e# centro de !ra@edad de #a sección trans@ersa#. a fi!ura &() es un dia!ra$a de só#ido #i)re de #a *orción izAuierda de #a @i!a y $uestra #a distri)ución de #as fuerzas en #as fi)ras de #a @i!a.


70

(b)

(a)

Fi!ura &(

as fuerzas resu#tantes de tensión y co$*resión C y T son i!ua#es en $a!nitud y for$an e# $o$ento interno resistente de #a @i!a. a $a!nitud de #os esfuerzos $:"i$os de tensión y de co$*resión en #a @i!aB asociados a este $o$ento *uede deter$inarse a *artir de #a fór$u#a de #a f#e"iónB Aue se *resenta en #a sección si!uiente. En #a deducción y uso de #a fór$u#a de #a f#e"iónB se /acen ciertas su *osiciones con res*ecto a #a acción de #a @i!a. En un tra)a+o de dise>o nor$a#B estas su*osiciones se a*ro"i$an a #a acción rea# de #a @i!a. Si en casos re#ati@a$ente raros de dise>o e#e$enta# sur!en situaciones donde estas su*osiciones no son @:#idasB de)en e$*#earse otros $7todos de an:#isisL #os cua#es est:n fuera de# a#cance de este curso. as su*osiciones Aue se /acen a# usar #a fór$u#a de #a f#e"ión son 1 a @i!a inicia#$ente es rectaB tiene sección trans@ersa# constante y se conser@a esencia#$ente recta cuando est: car!ada.  as car!as se a*#ican de ta# for$a Aue no se *roduce torsión.


71

& Todos #os esfuerzos en #a @i!a est:n *or de)a+o de# #9$ite de *ro*orciona#idadL es decirB #a #ey de ooe es @:#ida. ( E# $ódu#o de e#asticidad de #as fi)ras a co$*resión es i!ua# a# de #as fi)ras a tensión. % a *arte de #a @i!a Aue est: co$*ri$idaB est: restrin!ida *ara $o@erse #atera#$ente. - as secciones *#anas antes de #a f#e"ión se conser@an *#anas des*u7s de #a f#e"ión.

Es decirB un *#ano Aue *ase a tra@7s de una sección

trans@ersa# antes de #a f#e"ión no se a#a)ear: des*u7s de Aue se car!ue #a @i!a. Esta su*osición e"*#ica #a distri)ución de esfuerzos en for$a #inea# O6B y O5 $ostrada en #a fi!ura &(). Estas su*osiciones y #as caracter9sticas f9sicas asociadas con #a f#e"ión *ueden @erse en #a fi!ura &%. a fi!ura &%a y ) $uestra #a @i!a y dos secciones *#anas a) y cd antes y des*u7s de #a f#e"ión.


72

Fi!ura &% Co$o #as secciones *#anas antes de #a f#e"ión se conser@an *#anas des *u7s de #a f#e"ión su*osición -B #as fi)ras de #a @i!a de)en ca$)iar de #on!itud. a *osición ori!ina# de #as fi)ras Aue se $uestran en #a fi!ura &%c con #9neas interru$*idas se /a $o@ido des*u7s de #a f#e"ión a #a *osición $ostrada *or #a #9nea continua. as fi)ras su*eriores se /an acortadoB #as fi)ras inferiores se /an a#ar!ado y #as fi)ras #oca#izadas en e# e+e neutro no /an ca$)iado de #on!itud. a fi!ura &%d es un dia!ra$a de #a distri)ución de #a defor$ación en #a sección trans@ersa#. O)ser@e Aue #a defor$ación @ar9a #inea#$ente desde cero en e# e+e neutro /asta un @a#or $:"i$o de co$*resión en #as fi)ras su*eriores y /asta un @a#or $:"i$o de tensión en #as fi)ras inferiores. Co$oB *or #a #ey de ooeB e# esfuerzo es *ro*orciona# a #a defor$aciónB #a distri)ución de esfuerzos de #a fi!ura &%e tiene #a $is$a for$a Aue #a distri)ución de defor$acionesB *ero a una esca#a diferente. Por consi !uienteB #os esfuerzos en una @i!a @ar9an ta$)i7n desde cero en e# e+e neutro /asta un $:"i$o en #as fi)ras e"tre$as.

-.,.1 F0rmu+a de +a f+e2i0n En #a fór$u#a de #a f#e"ión se esta)#ece #a re#ación entre #os esfuerzos en #as fi)ras y e# $o$ento resistente internoB #o cua# se #o!ra /acer de #a si!uiente $anera


73

a Se ana#iza una fi)ra #oca#izada a una distancia cua#Auiera a *artir de# e+e neutroB y se deter$ina #a fuerza e+ercida en esta fi)ra de)ida a su esfuerzoB y e# $o$ento de esta fuerza con res*ecto a# e+e neutro. ) Se o)tiene #a su$a de todos #os $o$entos de todas #as fi)rasB con res*ecto a# e+e neutro. E# resu#tado ser: e# $o$ento interno resistente de #a @i!a. Des*u7s de rea#izar todo este desarro##o en for$a $ate$:ticaB se o)tiene Aue #a fór$u#a de #a f#e"ión es

σ

=

M  )

(17)

donde σ

J esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a.

M J $o$ento f#ector interno en #a @i!a.

)

J $o$ento de inercia de #a sección trans@ersa# de #a @i!a.  J distancia desde e# e+e neutro de #a @i!a /asta #as fi)ras

e"tre$as. Se de)e notar Aue e# e+e neutro sie$*re coincide con e# centroide de #a sección trans@ersa# si #a @i!a est: su+eta a esfuerzos $enores a #os de# *unto de f#uencia y no se *resentan fuerzas a"ia#es. Se su!iere Aue antes de a*#icar #a fór$u#a de #a f#e"ión 3 re@ise sus a*untes de #a asi!natura de $ec:nica en #o Aue res*ecta a# c:#cu#o de $o$ento f#ectorB centroides y $o$entos de inercia. a fór$u#a de #a f#e"ión *uede ser usada *ara deter$inar #os esfuerzos $:"i$os en #as fi)ras de @i!as en #as cua#es se conocen 4B cB e IB o se *ueden deter$inar a *artir de #as car!as dadas y de #as di$ensiones.


74

Frecuente$enteB #as @i!as tienen secciones trans@ersa#es asi$7tricas se$e+antes a #as indicadas en #a fi!ura &-.

(a)

(b)

(&)

(-)

Fi!ura &-

E# *rocedi$iento *ara ana#izar estas @i!as es se$e+ante a# usado *ara ana#izar @i!as con sección trans@ersa# si$7trica. a ?nica diferencia es Aue e"isten dos @a#ores de c. Si se Auiere deter$inar e# esfuerzo $:"i$o se de)e usar #a $ayor distancia c. Sin e$)ar!oB si se @an a deter$inar #os esfuerzos tanto en #as fi)ras de #a *arte su*erior co$o en #as fi)ras de #a *arte inferiorB se a*#ica #a fór$u#a de #a f#e"ión dos @ecesB usando #as res*ecti@as distancias c.

Eercicio N/ 17 Deter$inar e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a $ostrada en #a fi!ura &'. a Des*recie e# *eso de #a @i!aB ) Inc#uya e# *eso de #a @i!a densidad J &- #)G*ie &.


75

(a)

(b)

Fi!ura &'

So+uci0n. a Tanto e# $o$ento $:"i$o de)ido a #a car!a concentrada co$o

e#

$o$ento

de

inercia

*uede

deter$inarse

uti#izando

#os

*rocedi$ientos descritos en #a asi!natura de 4ec:nica. os res*ecti@os @a#ores son (;; *ie#) y ' *u#! (. E# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as su*eriores o inferiores es

σ

=

M  )

=

( 2400 × 12) ( 3) 72

⇒

σ

= 1200 psi

) Si se inc#uye e# *eso de #a @i!a co$o una car!a unifor$e$ente distri)uida de _ J ( - &- G 1(( J - #)G*ie e# $o$ento adiciona# de)ido a esta car!a es 1;, *ie#). E# esfuerzo adiciona# de)ido a este $o$ento es


76

σ

M 

=

)

=

(108 × 12) ( 3) 72

⇒

σ

= 54 psi

E# esfuerzo $:"i$o en #a @i!aB inc#uyendo su *ro*io *esoB es entonces

σ

=

1200

+ 54

⇒

σ

= 1254 psi

De)e indicarse en a$)os casosB Aue si )ien e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as tiene e# $is$o @a#orB #a so#icitación en #as fi)ras su*eriores es de co$*resión y en #as fi)ras inferiores de tensión.

Eercicio N/ ,# Deter$inar e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a $ostrada en #a fi!ura &,.

(a) (b)


77

Fi!ura &,

So+uci0n. E# esfuerzo $:"i$o *uede deter$inarse a *artir de #a fór$u#a de #a f#e"ión. Sin e$)ar!oB en este caso se de)e ca#cu#ar *ri$ero I. Este $o$ento de inercia con res*ecto a# e+e neutro #o de)e ca#cu#ar ustedB a*#icando #os *rocedi$ientos *resentados en #a asi!natura de 4ec:nica. E# @a#or de este $o$ento es -0& *u#! (. E# $o$ento f#ector $:"i$o se deter$ina de #a $is$a $anera Aue en e# e+ercicio anterior y su @a#or es de 1;; #)*ies. 6/ora se ca#cu#a e# esfuerzo y se o)tiene

σ

=

M  )

=

(100 × 12 ) ( 6)

⇒

693

σ

= 10,39 $psi

Eercicio N/ ,1 Deter$inar #os esfuerzos en #as fi)ras e"tre$as su*eriores e inferiores de #a @i!a de sección T $ostrada en #a fi!ura &0.

(&)

(a) (b)


78

Fi!ura &0

So+uci0n. Para a*#icar #a fór$u#a de #a f#e"iónB se de)e conocer 4B I y c. Todos estos @a#ores *ueden ser deter$inados a *artir de #o estudiado en #a asi!natura de 4ec:nicaB *or #o tanto aAu9 se dar:n so#a$ente #os @a#ores y usted de)er: @erificar#os. En #a fi!ura &0c se indica #a *osición de# e+e neutro y #os @a#ores de c. E# $o$ento f#ector $:"i$o @a#e (B% N$ y e# $o$ento de inercia con res*ecto a# e+e neutro 1B'- Q 1; - $ (. ue!o e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as inferiores es

σ

=

M  )

( 4,5) (100 × 10 −3 )

=

21,76 × 10

−6

⇒

σ

= 20680,15

$N

m2

( T )

E# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as su*eriores es

σ

=

M 


)

=

( 4,5) (60 × 10 −3 ) 21,76 × 10

−6

⇒

σ

= 12408

$N

m

2

( C )

79

IV ESFUERZOS

CO=INADOS

(.1 INTRODUCCIN asta e# $o$entoB so#a$ente se /a tra)a+ado con car!as Aue *roducen un so#o ti*o de esfuerzo. En #a rea#idad frecuente$ente se encuentran car!as Aue no concuerdan con #as condiciones )a+o #as cua#es #as teor9as ):sicas son @:#idas. a fi!ura (; $uestra @arios e+e$*#os de *ro)#e$as de este ti*o.

Estos *ro)#e$as *ueden reso#@erse $ediante una co$)inación

adecuada de #os $7todos ya estudiados.


80

(/) (a)

(b)

(&)

(-)

Fi!ura (;

En esta unidad ana#izare$os a#!unos *ro)#e$as Aue in@o#ucran #a su*er*osición de esfuerzos PG6 y 4cGI.

(. C6RH6S CO45IN6D6S 62I6ES K DE FE2IN Considere #a @i!a e$*otrada en un e"tre$o y su+eta a una car!a inc#inada PB co$o se $uestra en #a fi!ura (1a. Esta car!a no es una car!a de f#e"ión *ura ni a"ia# *uraB sino Aue una co$)inación de a$)as.

Si se

desco$*one esta fuerza en sus co$*onentes /orizonta# y @ertica#B co$o se indica en #a fi!ura (1) y cB estas co$*onentes act?an en #as direcciones Aue *er$iten a*#icar #as t7cnicas ):sicas @istas con anterioridad.


81

(a)

(b)

(&)

Fi!ura (1

a fuerza a"ia# P " *roduce esfuerzos de tensión σ J P "G6 en todas #as fi)ras. a fuerza P y *roduce esfuerzos de f#e"ión

σ J

4cGI. Co$o estos dos

esfuerzos act?an *ara a#ar!ar o acortar #as fi)rasB *ueden co$)inarse a#!e)raica$ente. os esfuerzos en cua#Auier fi)ra *ueden ca#cu#arse co$o

σ

= ± P ± A

M  )

(,#)

Todos #os esfuerzos de tensión se consideran *ositi@osB $ientras Aue #os de co$*resión ne!ati@os. Esta con@ención de si!nos ayuda a deter$inar #a natura#eza de #os esfuerzos fina#es. E# t7r$ino  *uede ree$*#azarse *or #a distancia !enera# y a *artir de# e+e neutroB si se reAuiere e# esfuerzo en un *unto diferente a# de #as fi)ras e"tre$as.

Eercicio N/ ,,


82

Ca#cu#ar #os esfuerzos esfuerzos $:"i$os en #a @i!a en @o#adizo de (; $$ " 1;; $$ $ostrada en #a fi!ura (.

(a)

(b)

(&)

Fi!ura (

So+uci0n. E# esfuerzo $:"i$o ocurrir: en e# e"tre$o e$*otradoB *ues en ese *unto e# $o$ento f#ector es $:"i$o. a car!a trans@ersa# de #a fi!ura (c *roduce esfuerzos de tensión en #as fi)ras su*eriores y de co$*resión en #as inferiores. a car!a a"ia# de #a fi!ura () *roduce esfuerzos de tensión en todas #as #as fi)ras. Entonces

σ

= ± P ± A

σ su

=

11520

( 40 !10− )(100 !10− ) 3


3

+

M  )

( 3360) ( 360 !10−3 )(50 !10−3 ) 1 ( 40 !10 −3 ) (100 !10 −3 ) 3 12

⇒

σ su

= 21,024 MPa (T )

83

σ in

=

11520

( 40 !10 − )(100 !10 − ) 3

3

−

( 3360) ( 360 !10−3 )(50 !10−3 ) 1 ( 40 !10 −3 ) (100 !10 −3 ) 3 12

⇒

σ in

= 15,264 MPa (C )

".,.1 F+e2i0n asim>8rica Este es otro de #os casos en Aue e# *rocedi$iento de #a su*er*osici-n ofrece una so#ución si$*#e a un *ro)#e$a $:s co$*#e+o Aue es e# de #a f#e"ión asi$7trica. asi$7trica. Una de #as condiciones condiciones Aue de)e cu$*#irse cu$*#irse *ara Aue #a fór$u#a

σ

J 4cGI sea @:#idaB es Aue #a car!a de)e estar a*#icada a #o #ar!o

de uno de #os e+es *rinci*a#es *rinci*a#es de #a sección. sección. os e+es *rinci*a#esB *rinci*a#esB $ayor $ayor y $enorB son aAue##os e+es con res*ecto a #os cua#es ocurren #os $o$entos de inercia $:"i$o y $9ni$o res*ecti@a$ente. os e+es de si$etr9a son sie$*re e+es *rinci*a#es. a fi!ura (& $uestra una @i!a en @o#adizo Aue so*orta una car!a en e# e"tre$o #i)re. a car!a no se a*#ica a #o #ar!o de un e+e *rinci*a# 22 o KK KK $ostrados en #a fi!ura (&).


84

(a)

(b)

(&)

Fi!ura (& Sin e$)ar!oB si #a car!a se desco$*one en co$*onentes a #o #ar!o de es tos e+esB co$o se indica en #a fi!ura (&cB entonces #a fór$u#a @:#ida *ara #os $o$entos *roducidos *or P " y P y.

σ J

4cGI es

E# esfuer esfuerzo zo tot tota# a# en en

cua#Auier *unto es #a su$a a#!e)raica de #os esfuerzos *roducidos *or #as dos co$*onentes. Este enunciado se e"*resa a#!e)raica$ente *or

σ

= ±

M X y ) X

±

M Y x ) Y

(,1)

Nue@a$ente Nue@a$ente se usa e# t7r$ino y en #u!ar de# ter$ino c *ara /acer $as !e nera# #a ecuación. ecuación. Si se desea desea conocer e# esfuerzo esfuerzo $:"i$oB $:"i$oB se de)e de)e si$ *#e$ente ree$*#azar y *or c.


85

Eercicio N/ ,Para #a @i!a en @o#adizo de ( *u#! " - *u#! ta$a>o no$ina# $ostrada en #a fi!ura ((B deter$inar e# esfuerzo en #as cuatro esAuinas de# a*oyo.

A, #,

(a)

(b)

(&)

Fi!ura ((

So+uci0n. a fuerza o)#icua se desco$*one a #o #ar!o de #os e+es 2 e K. E# $o$ento f#ector 4 " *roduce esfuerzos de tensión a #o #ar!o de #a cara 65 y esfuerzos de co$*resión a #o #ar!o de #a cara CDB $ientras Aue e# $o$ento 4 y *roduce esfuerzos de tensión a #o #ar!o de #a cara 5C y esfuerzos de co$*resión a #o #ar!o de #a cara 6D. os esfuerzos o)tenidos a *artir de esos $o$entos se su*er*onen $ediante #a a*#icación de #a fór$u#a (,1) .

4 " ! (;- J 1((; *ie#).

4 y J 1;;- J -;; *ie#).

I " J 1G1(- & J ' *u#! (.

I y ! 1G1-( & J & *u#! (.


86

Sustituyendo estos @a#ores en #a fór$u#a (,1) B se tiene σ A

=

σ B

=

σ C

σ #

(1440 !12)( 3) 72

(1440 !12)( 3) 72

=−

=−

(1440 !12)( 3) 72

(1440 !12)( 3) 72

−

+

+

−

( 600 !12)( 2) 32

( 600 !12)( 2) 32

( 600 !12)( 2) 32

( 600 !12) ( 2) 32

⇒

σ A

= 270 psi ( T )

⇒

σ B

= 1170 psi ( T )

⇒

σ A

= − 270 psi ( C )

⇒

σ A

= − 1170 psi ( C )

".,., Car:as e2c>n8ricas Cuando a un $ie$)ro se #e a*#ica una car!a a"ia#B esta de)e coincidir con #os e+es centroida#es de 7ste *ara Aue sea @:#ida #a e"*resión

σ

J PG6. En

a#!unos casos #a car!a se a*#ica *ara#e#a a #os e+es centroida#es de# $ie$)roB *ero a una cierta distancia de e##osB co$o se indica en #a fi!ura (%a. Este ti*o de car!a se descri)e co$o e"c7ntricaB dónde #a distancia

e 2 y e y entre #a #9nea de acción de #a car!a y #os e+es centroida#es K y 2 res*ecti@a$ente es #a e"centricidad con res*ecto a cada uno de e##os.

(a)

(b)

Fi!ura (%


(&)

87

Para reso#@er este ti*o de *ro)#e$asB #a car!a e"c7ntrica se desco$*one en una fuerza Aue *asa *or e# centroide de #a sección y un *arB co$o se $uestra en #a fi!ura (%). Sin e$)ar!oB e# *ar no act?a a #o #ar!o de un e+e *rinci*a#B *or #o Aue de)e desco$*onerse en #os *ares 4 " J Pe y y 4 y J Pe ". E# *rocedi$iento *ara /acer esta desco$*osiciónB se ana#izó en #a asi!natura de $ec:nica

ue!o e# esfuerzo en cua#Auier *unto *uede

ca#cu#arse usando #a ecuación (,#) con e# $o$ento 4 J PeB y su @a#or corres*onder: a #a su$a a#!e)raica de #os esfuerzos de)idos a PB 4 " y 4 y B y se e"*resa co$o

σ

= ±

P A

±

M X y ) X

±

M Y x ) Y

(,,)

Eercicio N/ ," Deter$inar #os esfuerzos en #as cuatro esAuinas de un )#oAue de , *u#! " 1 *u#!B cuando se a*#ica una car!a de (, #) en una esAuinaB co$o se indica en #a fi!ura (-a.


88

(a)

(b)

(&)

(-)

(/)

Fi!ura (-

So+uci0n. a car!a e"c7ntrica se desco$*one en una fuerza a"ia# y dos *aresB 4 "B y 4 y.

E# car:cter de #os esfuerzos ori!inados *or estas tres

cantidades se indica $ediante #os si!nos ^ o  en #as esAuinas de #as fi!uras (-cB d y e. Pri$ero se deter$inan #os $o$entos de inercia con res*ecto a #os e+es 2 e K de #a si!uiente $anera

I " J 1G1 1 , & J %1 *uI! (.

c " J - *u#!.

I y J 1G1 , 1 & J 11% *uI! (.

c y J ( *u#!.

6 *artir de #a fór$u#a (,,) B se tiene


89

48000

=−

σ B

= − 48000 +

( 48000 ! 6) ( 6 )

48000

( 48000 ! 6 ) ( 6 )

σ C

σ A

96

+

( 48000 ! 6) ( 6)

σ A

96

=−

96

−

1152

1152

1152

+

−

−

( 48000 ! 4) ( 4) 512

( 48000 ! 4) ( 4) 512

( 48000 ! 4 ) ( 4) 512

⇒

σ A

= 2500 psi ( T )

⇒

σ B

= − 500 psi ( C )

⇒

σ C

= − 3500 psi ( C )

σ A

= − 500 psi ( C )

= − 48000 − ( 48000 ! 6 ) ( 6) + ( 48000 ! 4) ( 4) ⇒ 96


1152

512

90

V

TEORIAS DE FA;;A

%.1 INTRODUCCIN 6# dise>ar e#e$entos Aue resistan #as fa##as se de)e estar se!uro de Aue #os esfuerzos internos no so)re*asen #a resistencia de# $ateria#. Si e# $ateria# Aue se e$*#ear: es d?cti#B entonces #o Aue $:s interesa es #a resistencia de f#uenciaB ya Aue una defor$ación *er$anente ser9a considerada co$o fa##aL sin e$)ar!oB e"isten e"ce*ciones a esta re!#a. 4uc/os de #os $ateria#es $:s fr:!i#es o Aue)radizosB co$o #os /ierros co#adosB no *oseen un *unto de f#uenciaB as9 Aue de)e uti#izarse #a resistencia ?#ti$a co$o criterio de fa##a. 6# dise>ar e#e$entos Aue /an de /acerse de $ateria# fr:!i#B ta$)i7n es necesario recordar Aue #a resistencia ?#ti$a a #a co$*resión es $uc/o $ayor Aue a #a tensión. as resistencias de #os $ateria#es d?cti#es son casi #as $is$as a tensión Aue a co$*resión. Por #o !enera#B se considera Aue esto ocurrir: en e# dise>o a $enos Aue se *osea infor$ación contraria. 6/ora se ana#izar: e# e#e$ento !enera# en esfuerzo )idi$ensiona# i#ustrado en #a fi!ura ('. E# *ro)#e$a consiste en co$o re#acionar este estado de esfuerzo con una so#a resistenciaB co$o #a de f#uencia a #a tensiónB a fin de #o!rar se!uridad. a so#ución a este *ro)#e$a ser: #a $ateria de esta unidad.


91

Fi!ura ('


92

%. TEOR86 DE ESFUERZO NOR46 4<2I4O Esta teor9a so#o se *resenta *or su inter7s /istórico. Sus *redicciones no concuerdan con #a e"*eri$entaciónB y de /ec/o a @eces da resu#tados Aue Auedan de# #ado de #a inse!uridad. a teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o e"*resa Aue #a fa##a se *roduce sie$*re Aue e# $ayor esfuerzo *rinci*a# es i!ua# a #a resistencia de f#uenciaB o )ien a #a resistencia ?#ti$a de# $ateria#. os esfuerzos *rinci*a#es sie$*re se deter$inan cuando se conoce e# estado de esfuerzo en un *unto. Si se desi!na a# $ayor de estos tres esfuerzos co$o

σ 1 de

$anera Aue

σ1 > σ > σ&B

entonces esta teor9a afir$a

Aue #a fa##a se *roduce sie$*re Aue

σ1

J Sy ó

σ1

J Su

donde S y y S u son #as resistencias de f#uencia y ?#ti$aB res*ecti@a$ente. En e# caso de torsión *ura

σ 1 J τ

J σ& y

σ  J

;. Por consi!uienteB #a teor9a

de# esfuerzo nor$a# $:"i$o *redice Aue un e#e$ento fa##ar9a a #a torsión cuando

τ

J S y . Sin e$)ar!oB #os e"*eri$entos de$uestran Aue e#e$entos

so$etidos a car!as de torsión se defor$ar:n *er$anente$ente cuando e# $:"i$o esfuerzo torsiona# sea a*ro"i$ada$ente i!ua# a# -;` de #a resistencia de f#uencia.

Esta es una de #as razones *or #as Aue no se

reco$ienda #a teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o. Ta$)i7n es con@eniente definir #a se!uridad uti#izando e# factor o coeficiente de se!uridad n. 6s9 se tiene Aue


93


n

=

n

=

* y σ 1

* " σ 1

*ara #a f#uencia

*ara #a ru*tura

(,-)

94

%.& TEOR86 DE ESFUERZO CORT6NTE 4<2I4O Esta es una teor9a f:ci# de e$*#ear y sie$*re da *redicciones se!uras con res*ecto de #os resu#tados de ensayos. Se e$*#ea ?nica$ente *ara *redecir #a f#uencia yB *or #o tantoB se a*#ica só#o a #os $ateria#es d?cti#es. Esta teor9a afir$a Aue se inicia #a f#uencia sie$*re Aue e# esfuerzo cortante $:"i$o se @ue#@e i!ua# a# esfuerzo cortante $:"i$o en una *ro)eta a tensiónB cuando ese es*7ci$en e$*ieza a ceder.

En consecuenciaB #a

teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o *redice Aue #a fa##a se *roducir: sie$*re Aue

τ $:". J

Sy G 

o )ien

σ1



σ&

J Sy

Nótese Aue esta teor9a esta)#ece ta$)i7n Aue #a resistencia de f#uencia a# cortante est: dada *or #a ecuación

Ssy J ;B%S y

Ta$)i7n es con@eniente definir #a se!uridad uti#izando e# coeficiente de se!uridad n. 6s9 se tiene Aue

n


=

* y 2τ máx

(,")

95

%.( TEOR86 DE 6 ENERH86 DE DISTORSIN Esta teor9a es conocida ta$)i7n co$o #a teor9a de #a ener!9a de cortante o teor9a de @on 4isesency. Esta teor9a es #a $:s con @eniente *ara e# caso de $ateria#es d?cti#es. 6# i!ua# Aue #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$oB esta se e$*#ea só#o *ara definir e# *rinci*io de #a f#uencia. Esta teor9a se ori!inó a *artir de #a o)ser@ación de Aue $ateria#es d?cti#es so$etidos a esfuerzos /idrost:ticos de i!ua# tensión o co$*resiónB ten9an resistencias de f#uencia $uy su*eriores a# de #os @a#ores o)tenidos *or e# ensayo a tensión si$*#e. 6s9 se *ostu#ó Aue #a f#uencia no eraB de nin!una $aneraB un fenó$eno de tensión o de co$*resión si$*#esB sinoB $:s )ienB Aue esta)a re#acionada de a#!?n $odo con #a distorsión defor$ación an!u#ar de# e#e$ento esforzado. a teor9a de #a ener!9a de distorsión *ostu#a Aue #a ener!9a de distorsión ser9a i!ua# a #a diferencia entre #a ener!9a tota# de defor$ación y #a ener!9a uti#izada *ara *roducir ?nica$ente un ca$)io de @o#u$en. Para e# caso de torsión *uraB esta teor9a esta)#ece Aue

Ssy J ;B%'' S y

Si co$*ara$os S sy de #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o con e# de #a teor9a de #a ener!9a de distorsiónB se o)ser@a Aue este ?#ti$o *redice una resistencia de f#uencia a# cortante sensi)#e$ente $ayor. Para e# estudio de an:#isis y dise>o se define e# conce*to de esfuerzo de @on 4ises a *artir de #a ecuación


96

σ 

=

σ 12

− σ 1σ 2 + σ 22

#ue!o #a fa##a *or f#uencia Aueda *redic/a *or. σ

J Sy

y #a se!uridad se *redice *or

n

=

* y σ

(,%)

,

Eercicio N/ ,% ay un e#e$ento $ec:nico Aue se fa)rica con un acero cuyo *unto de f#uencia es de %; *si. E# estado de esfuerzo en un *unto de# e#e$ento esta dado *or

σ " J

; *siB

σ y J

, *si y

τ "y J

1 *si. Deter$inar e# factor de

se!uridad uti#izando #as tres teor9as de fa##a.

So+uci0n. Pri$ero se de)e deter$inar #os esfuerzos *rinci*a#es y e# es fuerzo cortante $:"i$oL *ara e##o se uti#izar: #as fór$u#as (4) y (5) .

σ 1, 2

De aAu9 se o)tiene Aue τ "y

=

20 − 8

σ 1 J

2

2

20 + 8  2 ±    + (12)  2 

(B(( *si TB Aue

σ

! 1B(( *si C y Aue

J 1,B(( *si. ue!o uti#izando #as fór$u#as *ara cada una de #as tres

teor9as de fa##aB se tiene


97

Esfuerzo nor$a# $:"i$o

n

=

50

Esfuerzo cortante $:"i$o

n

=

50

24,44

⇒

( 2 ×18,44)

n = 2,046

⇒

n = 1,356

Para #a teor9a de #a ener!9a de distorsión se de)e deter$inar *ri$ero

σ 

=

( 24,44) 2 + ( 24,44 ! 12,44) + ( 12,44) 2

=

32,5

#ue!o entonces

n


=

50

32,5

⇒

n = 1,538

98

Eercicio N/ ,4 a f#ec/a circu#ar $aciza de #a fi!ura (, tiene un #9$ite *ro*orciona# de -( *si. Deter$ine e# @a#or de #a car!a R *ara #a fa##a *redic/a *or cada una de #as tres teor9as de fa##a estudiadas. Se su*one Aue e# *unto 6 es donde se *resentanB #os $ayores esfuerzos.

Fi!ura (,

So+uci0n. Introduciendo dos fuerzas i!ua#es y o*uestas de @a#or R a #o #ar!o de #a #9nea EFB resu#ta e@idente Aue e# $o$ento f#e"ionante en e# *unto 6 es de &-R y e# torAue es (R y #a car!a a"ia# 1R. E# esfuerzo f#e"ionante en 6 es

σ X

=

( 36 & )( 2) 4 π ( 4) 64


=

18 & π

( T )

99

E# esfuerzo dir ecto en 6 es

σ X

=

12 & π ( 4)

3 &

=

2

π

( T )

4

ue!o e# esfuerzo nor$a# tota#  2 J 1RG E# esfuerzo cortante *or torsión en 6 es

τ XY

=

T 

( 24 &) ( 2) = 4 π ( 4)

=

%

6& π

32

os $:"i$os e sfuerzos en 6 son

σ 1, 2

=

21 & 2 π

2

±

 21 &    + ( 6 &  π ) 2   2 π 

de donde

σ 1

=

22,6 &

( T ) π

σ 2

=

1,6 &

( C ) π

τ máx

=

12,1 & π

De acuerdo con #a teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o y uti#izando tiene


n

=1

se

100

=

1

64 22,6 &

⇒

&

=

8,9 $lb

π

De acuerdo con #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o y uti#izando

n

= 1 se

n

=1

tiene

1

=

64 ( 2)12,1 &

⇒

&

=

8,3 $lb

π

De acuerdo con #a teor9a de #a ener!9a de distorsión y uti#izando

se

tiene

1

=

64 2

2

  22,6 &   +   22,6 &    1,6 &   +  1,6 &   π  π   π   π   

⇒

&

=

8,58 $lb

En este e+e$*#o se *uede @er Aue #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o es #a Aue da e# resu#tado $:s conser@ador y #a teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o e# $enos conser@ador.

VI


CA;CU;O DE E?ES

101

-.1 INTRODUCCIN Un e+e de trans$isión o :r)o# es un $ie$)ro ci#9ndrico de sección circu#arB Aue *uede estar fi+o o estar !irandoB so)re e# Aue se $ontan en!ranesB *o#easB @o#antesB ruedas de cadenaB $ani@e#asB as9 co$o otros e#e$entos $ec:nicos de trans$isión de fuerza o *otencia. os e+es de trans$isiónB o si$*#e$ente ees3 son )arras so$etidas a car!as de f#e"iónB tensiónB co$*resión o torsión Aue act?an indi@idua#$ente o co$)inadas.

En este ?#ti$o caso es de es*erar Aue #a resistencia

est:tica y #a de fati!a sean consideraciones i$*ortantes de dise>oB *uesto Aue un e+e *uede estar so$etido en for$a si$u#t:nea a #a acción de esfuerzos est:ticosB co$*#eta$ente in@ertidos en for$a

a#ternante y

re*etidos sin ca$)io de sentido. E# t7r$ino be+eb a)arca otras @ariedadesB co$o #os e+es de so*orte y #os /usi##os. Un ee de so*or8e es e# Aue no trans$ite car!a de torsión y *uede ser fi+o o rotatorio. Un e+e de trans$isión rotatorio de corta #on!itud se deno$ina @usi++o. Cuando #a defor$ación #atera# o torsiona# de un e+e de)e $antenerse dentro de #9$ites estrec/osB entonces /ay Aue fi+ar sus di$ensiones considerando ta# defor$ación antes de ana#izar #os esfuerzos. a razón es Aue si un e+e se /ace #o )astante r9!ido *ara Aue estas defor$aciones no sean considera)#esB es *ro)a)#e Aue #os esfuerzos resu#tantes no re)asen #a se!uridadB *ero de nin!una $anera de)e su*oner e# dise>ador Aue son se!urosB casi sie$*re es necesario ca#cu#ar#os *ara co$*ro)ar Aue est:n dentro de #9$ites ace*ta)#es.


102

Sie$*re Aue sea *osi)#e #os e#e$entos de trans$isión de *otenciaB co$o en!ranes o *o#easB de)en $ontarse cerca de #os co+inetes de so*orte. Esto reduce e# $o$ento f#e"ionante yB en consecuenciaB #a def#e"ión y e# esfuerzo *or f#e"ión.


103

-. DISEO DE E=ES DE TR6NS4ISIN SEHN E CDIHO 6S4E E# dise>o de e+es consiste ):sica$ente en #a deter$inación de# di:$etro correcto de# e+e *ara ase!urar ri!idez y resistencia satisfactorias cuando e# e+e trans$ite *otencia en diferentes condiciones de car!a y o*eración. Henera#$ente #os e+es tienen sección trans@ersa# circu#ar y *ueden ser /uecos o $acizos. Nor$a#$ente #os e+es se construyen con $ateria#es d?cti#esL #ue!o su dise>o )asado en su resistencia estar: contro#ado *or #a teo r9a de# esfuerzo cortante $:"i$o. os e+es de $ateria#es fr:!i#es de)en dise>arse en )ase a #a teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o. a *resentación si!uiente est: /ec/a *ara e+es de $ateria# d?cti# y sección trans@ersa# circu#ar. Co$o ya /a)9a$os dic/o antesB #os e+es *ueden estar so$etidos a car!as de torsiónB f#e"ión y a"ia#es. a ecuación de# códi!o AS=E *ara un e+e $acizo co$)ina torsión y f#e"iónB a*#icando #a ecuación de# esfuerzo cortante $:"i$o $odificada $ediante #a introducción de factores de c/oAue y fati!a se tiene Aue 7sta es

# 3

=

16 π * *

( + b M b ) 2 + ( + t M t ) 2

(,4)

en #a cua#B en #a sección en consideraciónB #

J di:$etro de# e+e

M b

J $o$ento f#ector

M t

J $o$ento torsor

+ b

J factor co$)inado de c/oAue y fati!aB a*#icado a# $o$ento f#ector

+ t

J factor co$)inado de c/oAue y fati!aB a*#icado a# $o$ento torsor

Para ees es8acionarios


B

B8

104

Car!a a*#icada !radua#$ente Car!a a*#icada re*entina$ente

1 1B% a 

1 1B% a 

Para ees en ro8aci0n Car!a a*#icada !radua#$ente

1B%

Car!a re*entina c/oAue $enor

1B% a 

Car!a re*entina c/oAue fuerte

 a&

* s J

1 1 a 1B% 1B% a &

esfuerzo cortante *er$isi)#e. Si no se conoce su @a#orB 7ste de)e ser

i!ua# a# $enor @a#or de entre e# &;` de# #9$ite e#:stico y e# 1,` de# esfuerzo ?#ti$o en tensiónB *ara e+es sin cu>ero. Estos @a#ores de)en reducirse en %` si e"isten cu>eros. Este códi!o ade$:s indica Aue *ara un :r)o# Aue esta so#a$ente so#icitado en f#e"iónB e# esfuerzo nor$a# de c:#cu#o de)e ser i!ua# a# $enor @a #or de entre e# -;` de# #9$ite e#:stico y e# &-` de# esfuerzo ?#ti$o en tensiónB *ara e+es sin cu>ero. Estos @a#ores de)en reducirse en %` si e"isten cu>eros.

-.& DISEO DE E=ES POR RIHIDEZ TORSION6


105

Este dise>o se )asa en e# :n!u#o de !iro *er$isi)#e. a cantidad *er$isi)#e de !iro de*ende de #a a*#icación *articu#arB y @ar9a desde ;B;, *or *ie *ara e+es de $:Auinas /erra$ientas /asta 1 *or *ie *ara e+es de trans$isión. Para un e+e circu#ar /uecoB e# :n!u#o de torsión  se ca#cu#a co$o

θ = 584

M t L

' ( # 4

− d 4 )

(,5)

Para un e+e circu#ar $acizoB e# :n!u#o de torsión  se ca#cu#a co$o

θ

= 584

M t L ' # 4

(,6)

donde θ

J :n!u#o de !iro en !rados.

L

J #on!itud de# e+e.

'

J $ódu#o de e#asticidad en torsión.

# J di:$etro e"terior de# e+e. d M t

J di:$etro interior de# e+e. J $o$ento torsor.

En !enera#B #os $o$entos de torsión y de f#e"ión son #os factores *rinci*a#es Aue inf#uyen en e# dise>o de e+es. Uno de #os *ri$eros *asos en e# dise>o de e+es es /acer #os dia!ra$as de $o$ento f#ector de# e+e


106

car!ado o e# dia!ra$a co$)inado de $o$entos f#ectoresB si #as car!as Aue act?an so)re e# e+e est:n en $:s de un *#ano a"ia#. os *untos de esfuerzo cr9tico de f#e"ión *ueden deter$inarse de# dia!ra$a de $o$entos f#ectores. E# $o$ento de torsión Aue act?a so)re e# e+e *uede deter$inarse de

M t ( lb − p" l)

=

63000 × Potenia( (P )

N ( rpm)

(,7)

Para una trans$isión *or correasB e# $o$ento torsor es

M t

= ( T 1 −

T 2 ) &

(-#)

donde T 1

J tensión en e# ra$a# tirante de #a correa.

T 2

J tensión en e# ra$a# f#o+o de #a correa.

& J radio de #a *o#ea.

Para una trans$isión *or en!rana+esB e# $o$ento torsor es

M t

=

F t &

donde F t

J fuerza tan!encia# en e# radio *ri$iti@o


(-1)

107

& J radio *ri$iti@o de# en!rana+e.

Eercicio N/ ,5. Un e+e de acero co$ercia# S s J -;;; *si. de & *ies de #on!itud de)e trans$itir %; /* a &-;; r*$ *or $edio de un aco*#a$iento f#e"i)#e desde un $otor de corriente a#terna /asta un !enerador de corriente continua. Deter$inar #as di$ensiones Aue de)e tener e# e+e.

So+uci0n. En este caso e# e+e tiene so#a$ente esfuerzos de torsión y  t es i!ua# a #a unidadB su*oniendo Aue #a car!a se a*#ica !radua#$ente. De #a ecuación (,4) se *uede o)tener e# di:$etro si se ree$*#aza en e##a e# @a#or de# $o$ento torsor Aue se o)tiene de #a ecuación (,7) .

#

3

=

2

 1! 63000 ! 50    3600 π ( 6000)   16

⇒

#

= 0,906 p" l

Eercicio N/ ,6 Una sección de e+e co$ercia# S y J ---' *siB S u J (%;;; *si. de % *ies de #ar!o entre co+inetesB car!a una *o#ea de ;; #). en su *unto $edioB co$o $uestra #a fi!ura (0. a *o#ea est: acu>ada a# e+e y reci)e ; /* a 1%; r*$B #os cua#es son trans$itidos a un aco*#a$iento f#e"i)#e co#ocado +usta$ente afuera de# co+inete derec/o. a correa conductora es /orizonta# y #a su$a de #as tensiones en e##a es 1%;; #). Su*oner  t J  ) J 1B%. Ca#cu#ar e#


108

di:$etro necesario de# e+e y deter$inar e# :n!u#o de !iro entre #os co+inetes. H J 1Q1; - *si.

30

30 "1 "1"21500 "2

Car!as @ertica#es

Car!as /orizonta#es

200 lb

100 lb

100 lb

1500 lb

750 lb

750 lb 22500 lb ul

3000 lbul

Dia!ra$a de $o$ento de #as car!as @ertica#es

Dia!ra$a de $o$ento de #as car!as /orizonta#es

Fi!ura (0


109

So+uci0n. Pri$eroB es necesario deter$inar #os $o$entos $:"i$os de tor  sión y de f#e"ión Aue act?an so)re e# e+e. E# $o$ento torsor $:"i$o se o)tiene a *artir de #a ecuación (,7) .

M t

=

63000 ( 20) 150

→

M t

=

8400 lb − p" l(

E# $o$ento f#ector $:"i$o se o)tiene a *artir de sus co$*onentes indicadas en #os dia!ra$as de $o$entos de #a fi!ura (0.

M b

= ( 3000 ) 2 + ( 22500) 2 ⇒

M b

= 22699 lb − p" l

E# esfuerzo cortante *er$isi)#e se o)tiene a *artir de #as es*ecificaciones de# códi!o 6S4E *ara un e+e con cu>ero

S s J ;B& ;B'% ---' J -;;; *si. Ss J ;B1, ;B'% (%;;; J -;'% *si.

Entonces S s J -;;; *si. Ree$*#azando en #a ecuación (,4) se tiene Aue


110

# 3

=

16

π ( 6000 )

(1,5 ! 22699 ) 2 + (1,5 ! 8400 ) 2

⇒

#

= 3,135 p" l

E# :n!u#o de !iro se deter$ina a *artir de #a e"*resión

θ

= 584

( 8400)( 5 !12) (12 !106 )( 3,135) 4

430 lb

⇒

Car!as /orizonta#es

A 4



θ

= 0,254; 320 lb # 

8

220 lb

3 550 lb

Eercicio N/ ,7 880 lbul a fi!ura %; $uestra #as fuerzas Aue act?an so)re un e+e de acero Aue so Dia!ra$a de $o$ento de *orta dos en!rana+es. os en!rana+es est:n acu>ados en 5 y D. 6 y C son #as car!as /orizonta#es

#os centros de #os co+inetes. E# e+e trans$ite 0 /* a -%; r*$. De acuerdo con e# códi!o 6S4E e# esfuerzo *er$isi)#e *ara una sección sin cu>ero es de 1;;; *si.  ) J  t J 1B%. Deter$inar e# di:$etro necesario *ara e# e+eB a*ro"i$ado /asta ;B;1 *u#!. 960 lbul 105 lb

Car!as @ertica#es

515 lb

A

 4



8

180 lb

#

3 440 lb 1320 lbul

720 lbul


Dia!ra$a de $o$ento de #as car!as @ertica#es

111

Fi!ura %;


112

So+uci0n. En #a fi!ura %; se $uestran #os dia!ra$as de $o$entos *ara #as car!as @ertica#es y /orizonta#es.

Se ana#izar: #os *untos donde se

*roducen #os $o$entos f#ectores $ayores. En e# co+inete C 4t J -&;;;0 G -%; J ,'B& #)*u#!.

M b

= ( 960) 2 + (1320 ) 2

→

de ecuación (,7) 

M b

= 1632,17 lb − p" l

6*#icando a/ora #a ecuación (,4) B se tieneB

# 3

=

16

π (12000)

(1,5 !1632) 2 + (1,5 ! 872,3) 2

⇒

#

= 1,056 p" l

=usta$ente a #a derec/a de# en!rana+e 5

4 t J ,'B& #)*u#!.

M b

= ( 880 ) 2 + ( 720) 2

→

M b

6*#icando a/ora #a ecuación (,4) B se tiene


= 1137 lb − p" l

113

#

3

=

16

π ( 0,75 ! 12000)

(1,5 !1137 ) 2 + (1,5 ! 872,3) 2

⇒

#

= 1,067 p" l

6 *esar de Aue e# $o$ento de f#e"ión en e# en!rana+e 5 es $enor Aue en e# co+inete CB se reAuiere un di:$etro $ayor de# e+e de)ido a #a *resencia de# cu>ero en 5L #ue!o e# di:$etro *edido es D ! 13#45 *u+:.

VII


E;E=ENTOS DE SU?ECION

114

'.1 INTRODUCCIN E# dise>o de #os e#e$entos de una $:AuinaB edificio u otra estructura se /ace uti#izando #os *rinci*ios *resentados en #os *ri$eros te$as de este curso. Una @ez Aue se /an dise>adoB estos e#e$entos de)en unirse en @arios #u!ares. a resistencia y #os deta##es de estas cone"iones son a#!unos de #os as*ectos $:s i$*ortantes de# dise>o yB des!raciada$enteB a #os Aue no sie$*re se #es *resta #a $is$a atención Aue a# dise>o de #os e#e$entos *rinci*a#es. Por este $oti@o si #a fa##a ocurre en una estructura ter$inadaB es $:s *ro)a)#e Aue sea en una cone"ión Aue en #os e#e$entos *rinci*a#es. 6unAue /ay $uc/os $7todos *ara conectar entre si #os e#e$entos de una estructuraB e# re$ac/adoB e# atorni##ado y #a so#dadura son con $uc/oB #os $:s co$unes. En esta unidad se descri)en #os *rinci*ios ):sicos de dise>o *ara e# re$ac/adoB e# atorni##ado y #a so#dadura de cone"iones car!adas conc7ntrica$enteB es decirB cuando #a #9nea de acción de #a car!a a*#icada *asa a tra@7s de# centro de !ra@edad de# con+unto de re$ac/es o torni##osB ó de #a so#dadura.

'. UNIONES RE46C6D6S


115

as uniones re$ac/adas se usan !enera#$ente *ara conectar entre s9 $ie$)ros de una estructuraB es*ecia#$ente si est:n /ec/os de e#e$entos en for$a de *#acaB ta#es co$o @i!as F e IB cana#esB :n!u#os y *#acas *#anas. E# an:#isis teórico e"acto de #as uniones re$ac/adas es e"tre$ada$ente co$*#e+o. Sin e$)ar!oB un $7todo *r:ctico de an:#isisB Aue est: )asado en #os *osi)#es ti*os de fa##a y Aue uti#iza esfuerzos *er$isi)#es o)tenidos a tra@7s de ensayos y e"*erienciasB /a /ec/o Aue #a so#ución sea senci##a. Para /acer una unión re$ac/adaB se *erforan o ta#adran a!u+eros en #os e#e$entos Aue @an a unirse. os a!u+eros se a#inean y se co#ocan en e##os re$ac/es ca#ientes Aue se fi+an en su #u!ar /incanB !enera#$ente con un $arti##o neu$:tico. a fi!ura %1 $uestra e# *roceso *ara /acer una +unta re$ac/ada. os re$ac/es son )arras $et:#icas redondas con una ca)eza /e$isf7rica

*refa)ricada en un e"tre$oB co$o se $uestra en #a fi!ura

%1c. a es*i!a o @:sta!o de# re$ac/e se /ace #o suficiente$ente #ar!a *ara Aue #a *orción Aue se e"tiende $:s a##: de #a *#acaB co$o en #a fi!ura %1dB for$e otra ca)eza /e$isf7rica des*u7s de AueB se /a /incado e# re$ac/e.

Fi!ura %1 (a) (-)


(b)

(&)

(/)

116

Para faci#itar esta o*eración #os re$ac/es se ca#ientan antes de /incarseL cuando se enfr9anB se ori!inan en e##os esfuerzos de tensiónB de)ido a# descenso de te$*eraturaB Aue /ace Aue e# re$ac/eB tienda a contraerseB i$*edido *or #as *#acas r9!idas. Estas fuerzas de tensión en e# re$ac/e a*rietan fir$e$ente #as *#acas una contra otra *roduciendo entre e##as una resistencia *or fricción. Sin e$)ar!oB esta resistencia *or fricción se des*recia en e# dise>o. as +untas re$ac/adas trans$iten #a car!a de una *#aca a #a otra $ediante un esfuerzo cortante en #os re$ac/es.

os re$ac/es *ueden estar

so$etidos a esfuerzo cortante si$*#e o do)#eB de*endiendo de# n?$ero de *#anos de corte a #os Aue Auede su+eto e# re$ac/e. os re$ac/es de #a +unta de tras#a*e o so#a*o de #a fi!ura %a est:n so$etidos a esfuerzo cortante si$*#eB $ientras Aue #os de #a +unta a to*e de #a fi!ura %) est:n a cortante do)#e.

(a)

(b)

Fi!ura % Autor: Raúl Rosas Lozano

117

5.,.1 An+isis de +as un8as remac@adas E# an:#isis de una +unta re$ac/ada consiste en in@esti!ar #os ti *os *osi)#es de fa##a de #a +unta. Considere #a +unta de tras#a *e si$*#e de #a fi!ura %&a co$o un e+e$*#o Aue i#ustra #os ti*os *osi)#es de fa##a y #as cantidades re#acionadas con su in@esti!ación. a +unta *uede fa##ar *or des!arra$iento de #a *#aca fa##a *or tensiónB a*#asta$iento de #a *#aca o e# re$ac/e fa##a *or a*#asta$iento 3 o *or corte de #os re$ac/es fa##a *or cortante. En #a fi!ura %( se $uestran otros dos ti*os de fa##as Aue son des!arra$iento

se!?n

una dia!ona#

fi!ura %(a

y

cortadura

o

des!arra$iento de #a c/a*a entre un a!u+ero de re$ac/e y e# )orde de #a *#aca fi!ura %().

(a)

(b)

Fi!ura %&


(&)

(-)

118

(a) (b)

Fi!ura %(

E# *ri$ero de estos dos ?#ti$os ti*os de fa##as se e@ita si e# *aso entre fi#as es a# $enos 1B% @eces e# di:$etro de# re$ac/e. E# se!undo ti*o no sue#e ocurrir si #a distancia de# centro de# a!u+ero a# )orde de #a *#aca es a*ro"i$ada$ente e# do)#e de# di:$etro de# re$ac/e.

En este curso

su*ondre$os Aue estas dos condiciones $9ni$as sie$*re se cu$*#enB *or #o tanto no considerare$os estos dos ti*os de fa##a. 3o#@iendo a #os tres ti*os de fa##as Aue estudiare$osB en !enera#B *ode$os decir Aue #a ca*acidad de #a +unta es #a $ayor car!a Aue #a +unta *uede so*ortar con se!uridad.

as car!as se ca#cu#an a*#icando #a fór$u#a

* = P a #os tres ti*os de fa##a. os esfuerzos *er$isi)#es se conocenB y A

#as :reas son aAue##as Aue est:n su+etas a #os diferentes ti*os de esfuerzo.

Fa++a *or 8ensi0n. Una fa##a *or tensión o *or des!arra$iento ocurre en #a sección su+eta a# $ayor esfuerzo de tensiónB es decirB a tra@7s de #os a!u+eros de #a *#aca. E# anc/o netoB es e# anc/o tota# de #a sección $enos #os di:$etros de #os a!u+eros. Cuando /ay @arias /i#eras de #os a!u+eros en #a *#acaB de)en in@esti!arse @arias secciones netas.


119

E# di:$etro de un a!u+ero se to$a co$o e# ta$a>o no$ina# sin /incar de# re$ac/e $:s 1G, de *u#!ada. 6>adi$os 1G, de *u#!ada de)ido a Aue e# a!u+ero se *erfora de $odo Aue su di:$etro es 1G1- *u#! $ayor Aue e# di:$etro de# re$ac/eB y se su*one Aue 1G1- *u#! adiciona# de *#aca se da>a *or e# *roceso de *unzonado. 6s9B *or e+e$*#oB *ara un re$ac/e de &G( *u#! de di:$etroB deduci$os 'G, *u#! de# anc/o tota# de #a sección. E# :rea neta *uede e"*resarse co$o

At

= ( b − ∑ # ) t

(-,) donde b

J anc/o tota# de #a sección neta.

∑ # J su$a de #os di:$etros de #os a!u+eros a tra@7s de #a sección t

J es*esor de #a *#aca.

Fa++a *or a*+as8amien8o. E# re$ac/e e+erce una fuerza de co$*resiónB o de a*#asta$iento so)re #a *#aca Aue est: en contacto con e##aB co$o se $uestra en #a fi!ura '.&c.

a distri)ución rea# de este esfuerzo de

a*#asta$iento es su$a$ente co$*#icada. En @ez de ca#cu#ar e# esfuerzo $:"i$o rea#B usa$os un @a#or ficticio de# esfuerzo de a*#asta$ient*. Esto in@o#ucra e# :rea *royectada e# di:$etro no$ina# de# re$ac/e $u#ti*#icado *or e# es*esor de #a *#aca. Sin e$)ar!oB e# uso de esta :rea *ara ca#cu#ar e# esfuerzo de a*#asta$iento es correctoB *ues #os @a#ores de# esfuerzo de a*#asta$iento *er$isi)#e se deter$inan considerando e# :rea *royectada.


120

E# :rea *royectada de un re$ac/e *ara una fa##a *or a*#asta$iento se e"*resa co$o =

Ab

d × t × n1

(--)

donde d J

di:$etro no$ina# de# re$ac/e.

t J es*esor de 1a *#aca. n1

J n?$ero de re$ac/es

Fa++a *or cor8an8e. E# tercer ti*o de fa##a Aue *uede ocurrir en una unión re$ac/ada es *or corte de #os re$ac/es. os esfuerzos cortantes de este ti*o se discutieron anterior$ente

y se reco$ienda re*asar #a sección

corres*ondiente. E# :rea considerada a# in@esti!ar una fa##a *or cortante en un re$ac/e es

A s

=

π d 2 4

( n1 )( n2 )

donde d J n1

di:$etro no$ina# de1 re$ac/e.

J n?$ero de re$ac/es.

n2 J

n?$ero de *#anos de corte.


(-")

121

os esfuerzos *er$isi)#es *ara #os tres ti*os de fa##a se o)tienen $ediante e# códi!o o #as es*ecificaciones )a+o #as cua#es se est: dise>ando #a cone"ión. Por e+e$*#oB #as es*ecificaciones de# 6ISC #a $:s co$?n$ente usada *ara acero 6&- y un re$ac/e de acero 61(1B son

Tensi0n  S t J ;;; *si. A*oyo

 S) J (,%;; *si.

Cor8an8e  Ss J 1%;;; *si.

os e+ercicios Aue si!uen i#ustran e# *rocedi$iento *ara ana#izar #as +untas re$ac/adas car!adas conc7ntrica$ente. En todos #os casosB es *r:ctica co$?n su*oner Aue cada re$ac/e so*orta una *arte i!ua# de car!a.

Eercicio N/ -# Ca#cu#ar #a car!a $:"i$a Aue *uede trans$itir #a +unta de tras#a*e $ostrada en #a fi!ura %%. as *#acas son de % *u#! " %G1- *u#! y se usan  re$ac/es de &G( *u#!.


122

Fi!ura %%

So+uci0n. Se ana#iza #a +unta ca#cu#ando #a car!a *er$isi)#e *ara cada *osi)#e ti*o de fa##a. Tensión P t

=

* t At

22000 [5 − ( 2 ! 78 ) ] ( 165 )

=

P t

⇒

=

22343,75 lb

6*oyo P b

= * b Ab =

48500 ( 34 ) ( 165 ) ( 2)

⇒

P b

= 22734,375 lb

Cortante

P s

= * s A s

= 15000  

π

( 34 ) 2  4

 ( 2) (1)

⇒

P s

= 13253,59 lb

ue!o #a car!a $:"i$a Aue *uede a*#icarse a #a cone"ión es de 1&%&B%0 #) y est: #i$itada *or e# esfuerzo cortante en #os re$ac/es.

Eercicio N/ -1 Ca#cu#ar #a car!a $:"i$a Aue *uede trans$itir #a +unta a to*e $ostrada en #a fi!ura %-. as *#acas *rinci*a#es son de % " %G1- *u#! y se usan re$ac/es de &G( *u#!. as cu)re*#acas son de % "  *u#!.


123

Fi!ura %-

So+uci0n. as cu)re *#acas se /acen tan !randes o $ayores Aue #a *#aca *rinci*a# *ara ase!urar Aue #a cone"ión no estar: #i$itada *or #as cu)re *#acas. Se ana#izar: #a +unta ca#cu#ando #a car!a *er$isi)#e *ara cada *osi)#e ti*o de fa##a. Tensión P t

=

* t At

22000 [5 − ( 2 ! 78 ) ] ( 165 )

=

P t

⇒

=

22343,75 lb

6*oyo P b

= * b Ab =

48500 ( 34 ) ( 165 ) ( 2)

⇒

P b

= 22734,375 lb

Cortante

P s

= * s A s

= 15000  

π

( 34 ) 2  4

 ( 2) ( 2)

⇒

P s

= 26507,18 lb

a car!a $:"i$a Aue *uede a*#icarse a #a cone"ión es de &(&B'% #) y est: #i$itada *or e# esfuerzo de tensión.


124

Nótese Aue #os c:#cu#os son i!ua#es a #os de# e+ercicio anteriorB e"ce*to *ara #a resistencia a cortante.

Sin e$)ar!oB en este e+ercicioB #os re$ac/es

est:n a cortante do)#e en @ez de a cortante si$*#eB #o cua# du*#ica e# :rea resistente a# corte.

Eercicio N/ -, Deter$inar #a fuerza de tensión $:"i$a Aue *uede trans$itirse $ediante #a cone"ión $ostrada en #a fi!ura %'. as *#acas *rinci*a#es son de 0 " 'G1*u#! y se usan re$ac/es de 'G, *u#!.

Fi!ura %'

So+uci0n.


125

as car!as *er$isi)#es *or cortante y *or a*#asta$iento se ca#cu#an co$o en e# e+e$*#o anterior. Nue@a$ente se /ace #a su*osición ):sica de Aue cada re$ac/e so*orta una *arte i!ua# de #a car!a. En este casoB cada re$ac/e so*orta 1G- de P. a deter$inación de #a car!a de tensión *er$isi)#e reAuerir: e# an:#isis de #as secciones 1B  y & indicadas en #a fi!ura %'B ya Aue /ay tres /i#eras de re$ac/es.

6*oyo P b

= * b Ab =

48500 ( 78 ) ( 167 ) ( 6)

⇒

P b = 111398,44 lb

Cortante

P s

= * s A s

= 15000  

π

( 78 ) 2  4

 ( 6) ( 2)

⇒

P s

= 108237,68 lb

Des!arra$iento a #o #ar!o de #a sección 11 P t 1

= * t At =

22000 [ 9 − (1) ] ( 167 )

⇒

P t 1

= 77000 lb

Des!arra$iento a #o #ar!o de #a sección 

5 6

P t 2

= * t At =

22000 [ 9 − ( 2) ] ( 167 )

Des!arra$iento a #o #ar!o de #a sección &&


⇒

P t 2

= 80850 lb

126

3 6

P t 3

= * t At =

22000 [ 9 − ( 3) ] ( 167 )

⇒

P t 3 = 115500 lb

a fuerza $:"i$a Aue #a +unta *uede trans$itir es de 55### +3 y esta #i$itada *or e# des!arra$iento de #a *#aca *rinci*a# a #o #ar!o de #a sección 11.

'.& =UNT6S 6TORNI6D6S Una +unta atorni##ada se ana#iza de #a $is$a $anera Aue #as +untas re$ac/adas de #a sección anteriorB e"ce*to Aue e# esfuerzo cortante *er$isi)#e en #os torni##os tiene un @a#or diferente Aue en #os re$ac/es. E# 6ISC es*ecifica e# esfuerzo cortante *er$isi)#e en torni##os ordinarios co$o de 1;;;; *si.


127

'.( =UNT6S SOD6D6S Con e# tie$*o #a so#dadura /a ##e!ado a ser e# $7todo $:s co$?n *ara unir entre si co$*onentes $et:#icos de estructuras de)ido a Aue #as uniones so#dadas son eficientes #i$*ias y econó$icas.

6de$:s frecuente$ente

*er$iten dise>os $:s econó$icos *ues e# *roceso de so#dadura e#i$ina #as adiciones de $ateria# necesarias *ara co$*ensar #os a!u+eros efectuados en #as cone"iones re$ac/adas y atorni##adas. En esta sección no se discutir: e# *rocedi$ientoB t7cnicas o as*ectos $eta#?r!icos de# *roceso de so#daduraB sino $as )ien #os factores re#acionados con e# dise>o de cone"iones so#dadas. Sin e$)ar!oB co$o infor$ación ):sicaB se descri)e )re@e$ente e# *roceso de so#dadura. a so#dadura *or fusión es un *roceso *ara unir $eta#es $ediante #a a*#icación de ca#or. En #a so#dadura de arco este ca#or se *roduce $ediante un arco e#7ctrico entre #os $eta#es Aue se @an a unir y un e#ectrodo. E# intenso ca#or !enerado *or e# arco e#7ctrico funde e# $eta# )ase de #a *ieza a so#dar y e# e#ectrodo a# de+ar de a*#icar e# ca#or e# $eta# se enfr9a y se


128

o)tiene una cone"ión continua. a fi!ura %, i#ustra #a for$ación de una unión so#dada. E# e#ectrodo es una @ari##aB de $eta# con un recu)ri$iento Aue se funde durante e# *roceso

de so#dadura a*ortando as9 $eta# a #a +unta.

E#

recu)ri$ientoB a# Aue$arse for$a un escudo !aseoso Aue *rote!e a# arco e#7ctrico de #as i$*urezas de #a at$ósfera y ta$)i7n act?a co$o fundente Aue *er$ite Aue #as i$*urezas f#oten /asta #a su*erficie de# $eta# fundido. E"isten cientos de @ari##as y re@esti$ientos *ara satisfacer reAuisitos $uy es*ecia#es Aue /an sur!ido en #a industria de #a so#dadura.

(a)

(b)

(&)

Fi!ura %, ay dos ti*os ):sicos de +untas so#dadas +untas de tras#a*e y +untas a to*e. Una +unta de tras#a*eB co$o #a $ostrada en #a fi!ura %0aB se /ace tras#a*ando una *#aca so)re #a otra y co#ocando un cordón de so#dadura o fi#ete en e# :n!u#o recto co$*rendido entre e# #ado de una *#aca y #a su*erficie *#ana de #a otra. os cordones de so#dadura Aue re##enan e# :n!u#o recto entre #as su*erficieB ta$)i7n *ueden usarse en su*erficies cur@asB ta# co$o se $uestra en #a fi!ura %0).


129

(a)

(&)

(b)

(-)

(/)

Fi!ura %0 as so#daduras a to*e se /acen co#ocando a to*e #as dos *#acas +untas y so#dando #a unión.

a fi!ura %0c $uestra una +unta a to*e de )orde

cuadradoL #as *artes d y e $uestran una +unta a to*e de si$*#e 3 y de do)#e 3 res*ecti@a$ente. Ocasiona#$enteB se descri)en otro ti*o de +untas o so#dadurasB *ero 7stas son si$*#e$ente @ersiones diferentes de #as so#daduras a to*e o de fi#ete. Por e+e$*#oB una so#dadura de ranuraB co$o #a $ostrada en #a fi!ura -;a se usa *ara o)tener una $ayor #on!itud so#dada en una cone"ión. as so#daduras de ta*ónB co$o #a $ostrada en #a *arte )B se usan *ara e# $is$o finB o *ara so#dar #as *#acas a inter@a#os.


130

(a)

(b)

(&)

(-)

Fi!ura -; En #a fi!ura -;c y d se $uestran so#daduras de canto y so#daduras en esAuina. as so#daduras *or resistenciaB se /acen uniendo #as dos *#acas sin usar una @ari##a de so#dadura. E# $eta# de a$)as *#acas se funden entre s9 $ediante #a a*#icación de ca#or y *resión.

as so#daduras *or

*untos son so#daduras cortasB inter$itente$ente es*aciadasB Aue se usan so#a$ente co$o uniones *ro@isoriasB co$o *or e+e$*#oB en *iezas Aue de)er9an conser@arse unidas so#a$ente durante e# e$)arAue.

Estas

so#daduras no se dise>an estructura#$ente.

5.".1 Diseo de so+daduras os ensayos /an de$ostrado Aue una so#dadura a to*eB de *enetración co$*#eta co#ocada adecuada$enteB es tan resistente o $:s resistente Aue e# $eta# de #as *iezas *or so#dar. Por consi!uienteB #as so#daduras a to*e Aue !enera#$ente act?an en tensión o en co$*resiónB no se dise>an estructura#$ente.

Se deter$ina #a resistencia de una cone"ión *or

so#dadura a to*e usando #a fór$u#a P J SG6B donde 6 es e# :rea de #a


131

sección trans@ersa# de #a *#aca $:s de#!ada y S e# esfuerzo *er$isi)#e en #as *#acas. Por otra *arteB #as so#daduras de fi#eteB est:n so$etidas a esfuerzos cortantes y de)en dise>arse adecuada$ente. a resistencia de una so#dadura de fi#ete se deter$ina $ediante S s J PG6B donde S s es e# esfuerzo cortante *er$isi)#e y 6 es e# :rea so$etida a fuerza cortante. Considere #a so#dadura de fi#ete $ostrada en #a fi!ura -1 y @ea$os #a for$a en Aue fa##a y #os $7todos *ara ca#cu#ar su resistencia.

(b) (a)

(&) (-)

Fi!ura -1


132

E# ta$a>o de una so#dadura de fi#ete es e# ta$a>o de# catetoB Aue es #a di$ensión a B Aue se indica en #a fi!ura -1c. Se su*one Aue cada cateto es de i!ua# #on!itud.

a corona de #a so#dadura de)er9a ser #i!era$ente

con@e"a fi!ura -1c. Sin e$)ar!oB co$o #as di$ensiones de #a corona no *ueden conocerseB es una *r:ctica conser@adora *ero co$?nB des*reciar #a corona en e# dise>oB y su*oner Aue #a so#dadura @a a #o #ar!o de #a su*erficie recta 5DC.fi!ura -1d. Una so#dadura de fi#ete se su*one Aue fa##a a #o #ar!o de su $enor di$ensiónB ##a$ada W!ar!antaX de #a so#dadura.

a !ar!anta es #a

di$ensión 8 de #a fi!ura -1dB Aue se ca#cu#a co$o

A

=

t × L

= ( a sen 45) L =

0,707 L

E# esfuerzo cortante *er$isi)#e *ara so#daduras de fi#ete se o)tiene a *artir de #as es*ecificaciones *ara so#daduras. Por e+e$*#o 6ISC da e# esfuerzo cortante *er$isi)#e co$o 1&-;; *si *ara e#ectrodos de #a serie E-; y de 1%,;; *si *ara e#ectrodos de #a serie E';B usando acero con un esfuerzo a# #9$ite de f#uencia de &-;;;*si. Considerando e# esfuerzo cortante *er$isi)#e de 1&-;; *siB #a resistencia de #a so#dadura de fi#ete *uede deter$inarse co$o

P

P


=

* * A

=

=

13600 × t × L

9600 × a × L

(-%)

133

Donde P J fuerza cortante *er$isi)#e.

a J ta$a>o de #a so#dadura. L J #on!itud de so#dadura.

Para una #on!itud de 1 *u#! de so#daduraB #a fór$u#a (-%) se e"*resa co$o

,

=

(-4)

9600 a

donde , J

car!a Aue *uede so*ortar cada *u#!ada de so#dadura en #)G*u#.

a = ta$a>o de #a so#dadura en *u#!.

Eercicio N/ -Deter$inar #a #on!itud tota# de so#dadura necesaria *ara resistir #a car!a de (,;;; #) $ostrada en #a fi!ura -. Use una so#dadura de  *u#!.

(b)

(a)

Fi!ura -

So+uci0n. Autor: Raúl Rosas Lozano

134

De acuerdo con #a ecuación (-4) B una so#dadura de  *u#! es ca*az de resistir

A J 0-;; a J 0-;; 1G(B

A J (;; #)G*u#!

a #on!itud necesaria es

 J (,;;; G (;; JJJJg ; ! ,# *u+:.

a so#dadura de)e co#ocarse de $odo Aue #a #9nea de acción de #a fuerza *ase a tra@7s de# centro de !ra@edad de# *atrón de so#dadura. Cua#Auiera de #os *atrones a y ) $ostrados en #a fi!ura - ser9an adecuados. Frecuente$ente es desea)#e co#ocar a#!una so#dadura en e# res*a#do de #a *#acaB co$o en #a *arte ). Se /a encontrado Aue #as so#daduras co#ocadas *er*endicu#ar$ente a #a #9nea de acción de #a car!a son a#rededor de un &; ` $:s resistente Aue #as so#daduras #atera#es de fi#ete de #ado.

Sin

e$)ar!oB es co$?n en #a *r:ctica su*oner Aue estas so#daduras ta$)i7n fa##an a tra@7s de #a !ar!antaB y se considera Aue tienen #a $is$a resistencia Aue #as so#daduras #atera#es de fi#ete.

Eercicio resue+8o N/ -"


135

Un tu)o de acero est:ndar de ( *u#! 6J&B1' *u#!  y D e J (B% *u#! est: so#dado a una *#aca *#anaB co$o se $uestra en #a fi!ura -&. Si se co#oca una so#dadura a#rededor de #a )aseB deter$inar e# ta$a>o de 7staB *ara Aue resista i!ua# Aue e# tu)oB car!ado a un esfuerzo de ;;; *si.

Fi!ura -&

So+uci0n. a car!a tota# Aue *uede so*ortar e# tu)o es

P J S 6 ! ;;; &B1'

P J -0'(; #).

E# *er9$etro e"terno de# tu)oB Aue es #a #on!itud de so#daduraB es  J

πDe

1(B1& *u#!. a car!a Aue cada *u#!ada de so#dadura de)e so*ortar es A J P G  J -0'(; G 1(B1& J (0&%B- #)G*u#!.


J

136

Se!?n #a ecuación (-4) B A J 0-;; aB entonces

a J (0&%B- G 0-;; JJJJg a J ;B%1 *u#!.

Se *odr9a usar una so#dadura de Y *u#!B aunAue #os c:#cu#os indican Aue es a#!o *eAue>a. E# si!uiente ta$a>o Aue *odr9a usarse es e# de 0G1- *u#!.

VII I


E;E=ENTOS DE TRANS=ISION

137

,.1 6COP64IENTOS DE FEC6S os aco*#a$ientos se usan *ara conectar secciones de e+es o *ara conectar e# e+e de una $:Auina conductora con e# de #a $:Auina conducida. Esto *er$ite una cone"ión *er$anenteB en contraste con #os e$)ra!uesB #os cua#es *roducen aco*#a$iento o desaco*#a$ientoB a @o#untad.

os

e$)ra!ues no ser:n $ateria de este curso. a c#asificación de #os aco*#a$ientos *uede /acerse so)re #a )ase de Aue #os dise>os sean r9!idos o f#e"i)#es.

os aco*#a$ientos r9!idos son

reco$enda)#es *ara @e#ocidades )a+as en e+es a#ineados con *recisión. os aco*#a$ientos f#e"i)#es se usan *ara a Tener

en

cuenta

*eAue>as

cantidades

de

desa#inea$iento

no

intenciona#es. ) Su$inistrar un We"tre$o f#otanteXB esto esB $o@i$iento a"ia# de# e+e. c 6#i@iar e# c/oAueB su$inistrando transferencia de *otencia *or $edio de resortes o *ara a)sor)er a#!unas @i)raciones en e# aco*#a$iento. os aco*#a$ientos *ueden c#asificarse ta$)i7n de acuerdo a su usoB es*ecificado *or #a re#ación entre #as #9neas centra#es de #os e+es conectados a as #9neas centra#es de #os e+es son co#inea#es. ) as #9neas centra#es de #os e+es se intersectan.


138

c as #9neas centra#es de #os e+es son *ara#e#as *ero no co#inea#es.

En este curso se estudiar: #os aco*#a$ientos de )ridasB Aue son un ti*o de aco*#a$iento r9!ido en e# cua# co#inea#es.

#as #9neas centra#es de #os e+es son

Este ti*o de aco*#a$iento consiste de )ridas Aue tienen

a!u+eros *erforados de ante$anoB en #os e"tre$os de #as *iezas Aue se @an a unir. Se co#ocan dos )ridas +untas y se su+etan $ediante *ernos for$ando as9 una f#ec/a $:s #ar!a. os te"tos so)re dise>o de $:Auinas *ro*orcionan una discusión $:s co$*#eta de #os di@ersos $7todos de aco*#a$iento dis*oni)#es. En este curso so#a$ente se tratar: e# an:#isis de #a cone"ión a )ase de *ernos. En #a fi!ura -( se $uestra un aco*#a$iento *ara f#ec/as *or $edio de )ridas.

(a)

(b)

(&)

Fi!ura -(

E# an:#isis de #as fuerzas Aue act?an so)re #os *ernos de un aco*#e es un *ro)#e$a de est:tica senci##o. E# co*#e de)e trans$itir e# *ar entre #as dos secciones de #a f#ec/a. a ?nica for$a *ara Aue este *ar se trans$ita es a Autor: Raúl Rosas Lozano

139

tra@7s de #os *ernos Aue Auedan so$etidos a esfuerzo cortante y esfuerzo de a*#asta$iento. Considerando una sección a tra@7s de #as )ridasB co$o indica #a fi!ura -(cB encontra$os Aue a# *ar T se o*onen e# $o$ento de #as fuerzas cortantes en #os *ernos. Si todos #os *ernos eAuidistan de# centro de #a f#ec/aB #as fuerzas en #os *ernos son i!ua#es. Si e# co*#e contiene *ernos dis*uestos a distancias @aria)#es de# e+e de #a f#ec/aB #a fuerza en cua#Auier *erno es *ro*orciona# a su distancia a# centro de #a f#ec/a. En #a fi!ura -(B cada uno de #os *ernos so*orta una fuerza i!ua# F . Se *uede o)tener #a re#ación entre #as fuerzas en #os *ernos y e# *ar en #a f#ec/a to$ando $o$entos con res*ecto a# centro de f#ec/a. Considerando #a fi!ura -(cB se tiene

∑ M

entro

=

0

⇒

T

=

n × F × r

donde  T

J *ar a*#icado.

n J n?$ero de *ernos. F J fuerza cortante en cada *erno.

r J distancia de #os *ernos a *artir de# centro de #a f#ec/a. Eercicio N/ -%


(-5)

140

Deter$inar e# *ar $:"i$o Aue *uede ser trans$itido *or un co*#e de f#e c/a Aue contiene seis *ernos de Y *u#!B

i!ua#$ente es*aciados so)re un

circu#oB de - *u#!. de di:$etroB co$o se $uestra en #a fi!ura -%. esfuerzo cortante *er$isi)#e *ara #os *ernos es de 1;;;; *si.

Fi!ura -%

So+uci0n. a fuerza cortante *er$isi)#e en cada *erno es

P

=

* A

 π (1 2) 2   = 10000   4  

→

P = 1963,5 lb

To$ando $o$entos con res*ecto a# centro de #a f#ec/aB se tiene

∑ M

entro

=

0 : T

Eercicio N/ -,.


=

n × F × r

=

6 × 1963,5 × 3

⇒

T = 35343 lb − p" l

E#

141

Deter$inar e# esfuerzo cortante Aue act?a en cada *erno de Y *u#! de un aco*#a$ientoB su*oniendo Aue e# *ar a*#icado es de -;;; #)*ie. os *ernos est:n distri)uidos en ta# for$a Aue seis Auedan so)re un c9rcu#o de -B% *u#! de di:$etroB y cuatro Auedan so)re un c9rcu#o de % *u#! de di:$etro fi!ura --.

(b) (&)

(a)

Fi!ura --

So+uci0n . as fuerzas Aue act?an so)re #os *ernos *ueden ca#cu#arse *or est:tica. En este caso se *resentan dos fuerzas desconocidasB c9rcu#o aB y

∑ M

entro

=

F 2

0 : T

so)re e# c9rcu#o . Por consi!uiente se tiene

=

n1 × F 1 × r 1

6000 × 12 72000

=


=

+ n2 × F 2 × r 2

6 × F 1 × 3,25

19,5 F 1

+

+

10 F 2

4 × F 2 × 2,5

F 1

so)re e#

142

Se *uede o)tener #a re#ación entre #as fuerzas

F 1

y

F 2

considerando Aue

#a fuerza en cada *erno es *ro*orciona# a #a distancia de# *erno a# e+e de #a f#ec/a. Por consi!uienteB F 1 3,25

=

F 2 2,5

→

F 1

=

1,3 F 2

Sustituyendo esta ?#ti$a e"*resión en #a e"*resión de #a su$atoria de $o$entos con res*ecto a# centro de #a f#ec/a se o)tiene

72000

F 2

=

=

19,5 (1,3 F 2 )

y

2036,78 lb

+

10 F 2

=

F 1

2647,81 lb

E# esfuerzo cortante en cada *erno de# ani##o e"terior es

* s

=

F 1 A

=

2647,81 0,196

⇒

* s

=

13509,2 psi

E# esfuerzo cortante en cada *erno de# ani##o interior es

* s


=

F 2 A

=

2036,78 0,196

⇒

* s

=

10391,7 psi

Apuntes Resistencia de Materiales Iei

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