Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Ica Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas
INTRODUCCIÓN
Los orígenes de las matrices y determinantes se encuentran entre los siglos II y III a.C. No es sorpresa su relación rel ación con el estudio es tudio de sistemas de ecuaciones ec uaciones lineales. En escritos babilonios aparece, se hablan sobre el 300 a.C. a .C. Entre los años 200 y 100 a.C. a .C. circula circ ula en la China el libro "Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático" Arte Matemático" , escrito durante la dinastía Han, que da el primer ejemplo conocido de método matricial . Cardano en su "Ars Magna" (1545) entrega una regla para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas llamada "regula " regula de modo" modo " y que llama madre de las reglas. reglas. Esta regla es, esencialmente, el método de Cramer para sistemas de 2x2. Cardano no da la definición de determinante pero se encuentra latente. En Noviembre de 1850, Sylvester publica en el
" Cambridge Cambridge and Dublín
Mathematical Journal" su memoria titulada "On the intersection, contacts and other correlations of two conics expressed by indeterminate coordinates" sobre las distintas intersecciones de dos cónicas. Estas, habían sido estudiadas por Plücker en 1828, Sylvester utiliza el cálculo de determinantes en lugar del método analítico desarrollado por Hachette por Hachette y Poisson (1802) y por Cauchy Cauch y o Biot en 1826.
Es conocida la relación, iniciada en 1846, entre Sylvester y Cayley. A principios de 1850 se encuentra en plena efervescencia su colaboración en la teoría de invariantes. Cayley adopta por primera vez la noción de matriz en un artículo publicado en 1855 en "Le Journal de Crelle" titulado "Remarques sur la notation de fonctions algebraiques" .
En 1858 las matrices eran consideradas simplemente como notación, cómodas pues permitían distinguir un objeto como un sistema lineal o una forma cuadrática de su determinante. La publicación, este año, de "Memoria sobre la teoría de Matrices" supone una evolución del punto de vista de Cayley sobre esta noción matricial.
Las reglas y propiedades de las operaciones matriciales establecidas por Cayley son, a menudo, consideradas como uno de los orígenes del álgebra asociativa de matrices, en particular la suma de matrices es un paso suplementario hacia la abstracción de una teoría de álgebras asociativas.
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Escuela algebraica inglesa, está formada por una generación de matemáticos ingleses que preceden a Cayley y Sylvester, en la primera mitad del XIX, cuyos principales personajes fueron Babbage, Peacock, Peac ock, Gregory, De Morgan, Hamilton y Boole. Una de las grandes preocupaciones de esta escuela, la generalización de funciones racionales a expresiones simbólicas, fue el objetivo de la memoria de Cayley.
Entre la publicación de la memoria de 1858 y 1890 el término matriz desaparece casi por completo de los escritos matemáticos. Durante este período el término menor, introducido por Sylvester, es adoptado por numerosos matemáticos como Hermite, Jordan, Darboux, e incluso Poincaré. El mismo Riemann utilizó en 1857 la idea de matriz de Sylvester para representar sistemas de ecuaciones diferenciales y extraer sus menores. Sin embargo, entre 1890 y 1900 reaparece, en numerosas citas, la memoria de 1858 como texto fundador de un álgebra asociativa de matrices.
Estas conclusiones de Sylvester ponen de manifiesto un cambio en la forma de entender la matriz, a partir de 1884, la matriz se vuelve para Sylvester, no sólo una cantidad, sino una cantidad que verifica una ecuación algebraica, la ecuación idéntica. A partir de esta est a fecha, caracterizar las mat rices cuya c uya ecuación idéntica es e s de grado menor que la ecuación característica será el objetivo de los trabajos de Sylvester. El primer matemático del continente europeo en emplear la notación matricial de Cayley fue un geómetra de Praga llamado Eduard Weyr. En principio, Weyr utiliza el método de Sylvester para expresar funciones racionales de matrices con el fin de estudiar la función exponencial cuyos argumentos son cuaterniones.
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Índice ……………………………………………………………….. .. Introducción ……………………………………………………………… ………………………………………………………………….. .. 1. Definiciones …………………………………………………………………
2 4
2. Tipos de matrices 2.1 Matrices transpuesta …………………………………………………………. 4 2.2 Matrices cuadradas …………………………………………………………… 5 2.2.1
Matriz nula ……………………………………………………………. 5
2.2.2
Matriz diagonal ……………………………………………………….. 5
2.2.3
Matriz identidad ………………………………………………………. 6
2.2.4
Matriz triangular ……………………………………………………… 6
2.2.5
Matriz simétrica ………………………………………………………. 7
2.2.6
Matriz antisimétrica …………………………………………………… 7
2.2.7
Matriz ortogonal ………………………………………………………. 8
3. Aritmética de matrices 3.1 Suma de matrices ……………………………………………………………… 8 3.2 Multiplicación de una matriz por un escalar ………………………………….. 9 3.3 Producto de matrices ………………………………………………………….. 9 3.4 Errores comunes con la multiplicación matricial …………………………….. …………………………….. 10
4. Transformaciones elementales 4.1 Transformaciones elementales filas …………………………………………... 11 4.2 Transformaciones elementales columnas …………………………………….. 12
5.
Algoritmos de Gauss – Gauss – Jordán Jordán 5.1 Matriz inversa ………………………………………………………………… 17 5.2 Algoritmo de Gauss – Gauss – Jordán Jordán ………………………………………………… 17
6. Ejercicios resueltos ………………………………………………………….. 18 7. Ejercicios propuestos ……………………………………………………….. 21
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1. DEFINICIONES Definición 1. (Matriz) Una matriz es es un conjunto de elementos de un cuerpo K, ordenados en m filas y n columnas.
Es costumbre representar por letras mayúsculas A, B,…, etc. y a sus elementos de la forma donde el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece dicho elemento.
,
Así pues, una matriz
con
adopta la forma:
Definición 2. (Orden de una Matriz)
Una matriz de m filas y n columnas se dice que tiene dimensión o dimensión o que es de orden mxn, mxn, y al conjunto de todas las matrices de orden mxn mxn lo denotaremos por (esto es cuando los elementos de matriz A sean sea n elementos de IR).
Dos matrices
se dice que son equidimensionales. equidimensionales.
Dos matrices
, se dice que son iguales si: iguales si:
donde
Definición 3. (Matrices fila y columna)
Se denomina matriz fila a fila a aquella que consta de una única fila. Así:
,
De manera similar, se denomina matriz columna a columna a aquella que consta de una única columna. Así:
.
2. TIPOS DE MATRICES 2.1.Matriz Transpuesta Transpuesta
Sea . Se llama matriz traspuesta traspuesta de A y se denota por a la matriz resultante de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera, que si llamamos
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∑ ∑ ∏ ∏ entonces
con
Por lo que si
,
.
Propiedades:
o generalizando
o generalizando,
.
.
2.2.Matriz Cuadrada Definición 4.
Se denomina matriz cuadrada de cuadrada de orden n a aquella que tiene n filas y n columnas.
, ,
Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos donde .
2.2.1. Matriz nula Definición 5.
Se denomina matriz nula
, simplemente a la matriz cuyas entradas son 0.
2.2.2. Matriz diagonal Definición 6.
Se denomina matriz diagonal a aquella matriz cuadrada cuyos elementos no diagonales son todos nulos. Es decir si .
6
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,
Definición 7.
Se denomina matriz escalar a aquella matriz diagonal cuyos elementos diagonales son todos iguales.
2.2.3. Matriz identidad Definición 8. Se denomina matriz unidad de orden n a aquella matriz escalar cuyos elementos diagonales son todos unos. Es decir,
.
2.2.4. Matriz Triangular
Definición 9. (Matrices triangular superior)
Se denomina matriz triangular superior a a aquella matriz cuadrada cuyos elementos situados por debajo de su diagonal principal son todos nulos. Es decir:
, .
.
Definición 10. (Matrices triangular inferior)
Se denomina matriz triangular inferior a aquella matriz cuadrada cuyos elementos situados por encima de su diagonal principal son todos nulos. Es decir:
, .
.
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El equivalente para matrices rectangulares de una matriz triangular son las denominadas matrices escalonadas escalonadas que son aquellas matrices en las que
( ) ( ) .
,
En caso de tratarse de una matriz cuadrada se tendría una triangular superior.
2.2.5. Matriz Simétrica Definición 11.
Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si simétrica si coincide con su transpuesta. (Es simétrica respecto a su diagonal principal).
+ + A es simétrica
Ejemplo 1.
es simétrica y
.
2.2.6. Matriz Antisimétrica Definición 12.
Una matriz cuadrada A se dice que es antisimétrica si antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. (Los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal es de ceros).
+ + A es antimétrica
Ejemplo 2.
es antisimétrica y
8
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.
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2.2.7. Matriz ortogonal ortogonal Definición 13. Una matriz cuadrada y no singular se dice ortogonal si si su traspuesta coincide con su inversa, es decir, si
O bien
+ *
A es ortogonal
.
Ejemplo 3. Las matrices A, B y C son ortogonales
,
se cumple
Definición 14. (Traza de una matriz)
Se define la traza traza de A y se denota por trA como la suma de los elementos de su diagonal principal. Es decir:
∑ .
Propiedades:
.
.
3. ARITMÉTICA DE MATRICES 3.1. Suma de matrices : Sean la matriz
, se denomina matriz suma A suma A y B, y se denota por tal que
donde
,a
.
Propiedades de la suma de matrices : Asociativa:
.
Conmutativa:
.
Elemento neutro :
Existe la matriz nulos, tal que
denomina matriz nula y nula y cuyos elementos son todos .
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{ ∑
Elemento opuesto :
Para cualquier matriz existe la matriz llamada matriz opuesta y opuesta y cuyos elementos son los opuestos de los elementos de la matriz A tal que , Por tanto, es un grupo conmutativo. es
3.2. Multiplicación de de una matriz por un escalar Sean
y , se define producto define producto por un escalar esc alar de de por A a la matriz tal que sus elementos son los de A multiplicados por . Se denota por . , con
,
.
Propiedades: Asociativa:
.
Distributivas:
Elemento unidad :
. es un espacio vectorial sobre el cuerpo IR de los números
Por tanto, ( reales. Para matrices complejas, de los números complejos.
sería un espacio vectorial sobre el cuerpo C
3.3. Producto de matrices Si
(número de columnas de A igual al número de filas de
B), se define la matriz matri z producto de A por B como la matriz ,
,
tal que:
.
Propiedades: Asociativa:
.
Distributiva:
No conmutativas : En general, es
.
No cancelativa : 10
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no implica que
.
Para el caso de matrices cuadradas de cuadradas de orden n:
Elemento unidad : Existe
Si existe
(matriz unidad de orden n) tal que
diremos que es regular o no singular si si posee matriz inversa, es decir, tal que .
3.4. Errores comunes comunes con la multiplicación matricial i)
En general
no es lo mismo que
.
Ejemplo 4:
,
,
entonces
,
ii) Si se tiene que Ejemplo 5. Si
no se tiene necesariamente que
,
.
,
entonces
,
pero ninguna de las dos matrices es la matriz nula. iii) Si no necesariamente . Por ejemplo, ,
,
Entonces
Vemos que iv) En general,
son matrices distintas. no es igual que
. Sin embargo es cierto
Pero cuando
Es cuando se tiene
.
4. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Se denomina transformaciones elementales elementales a ciertas transformaciones que se realizan en una matriz y que no serán de utilidad en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Estas transformaciones modifican, de varias formas los
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elementos de una fila o una columna de la matriz o intercambian dos filas o columnas de esta. Tenemos dos formas de hacerlo: a) Transformaciones elementales fila. b) Transformaciones elementales columna.
4.1. Transformaciones elementales fila i) Transformaciones
Esta acción intercambia las filas de una matriz . Este efecto se produce al multiplicar, por la izquierda, la matriz A por su matriz matri z , siendo esta el resultado de intercambiar las filas
de la matriz
Ejemplo 6. Consideremos la matriz
.
+ + + + + +
Para intercambiar las filas fi las 2 y 3 aplicamos
Aquí en
cuya matriz es
se han permutado las filas segunda y tercera. terce ra. Luego ,
Al final de la operación han quedado permutadas las filas segunda y tercera de la matriz A.
ii) Transformaciones
Esta acción multiplican la fila de de una matriz por un número . Este efecto se produce al multiplicar, por la izquierda, izquierda, la matriz A por la matriz , siendo esta el resultado de multiplicar por la fila de de la matriz .
Ejemplo 7. Consideremos la matriz
Para multiplicar por 5 la segunda fila de A, aplicamos es
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, cuya matriz asociada
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+ + + + + + + + como se observa se ha multiplicado por 5 la segunda fila de
,
,
donde se observa que ha quedado multiplicada por 5 la segunda fila de la matriz A.
iii) Transformaciones Transformaciones
Esta acción suma a la fila de de una matriz su fila multiplicada multiplicada por . Este efecto se produce al multiplicar, por la izquierda, izquierda, la matriz A por la matriz , siendo esta la resultante de sumar a la fila de la matriz su fila
multiplicada por
, es decir, la matriz resultante de reemplazar el elemento
por .
Ejemplo 8. Consideremos la matriz
Queremos restar a la segunda fila de A el triple de la primera, aplicamos cuya matriz asociada es .
4.2. Transformaciones elementales columna
Son las mismas que las transformaciones elementales elementales fila pero operando por columnas:
i) Transformaciones Transformaciones
Intercambian las columnas de una matriz multiplicar, por de derecha, derecha, la matriz A por la matriz de intercambiar las columnas
de la matriz
Ejemplo 9. Consideremos la matriz
+
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. Este efecto se produce al , siendo esta el resultado
.
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+ + + + +
Si deseamos intercambiar las columnas primera y cuarta de la matriz A, aplicamos cuya matriz asociada es
Se observa que se han permutado las columnas 1 y 4 de matriz
.
,
se han permutado las columnas 1 y 4 de la matriz ma triz A.
ii) Transformaciones Transformaciones
Multiplican la columnas de una matriz por un número . Este efecto se produce al multiplicar, por de derecha, , derecha, la matriz A por la matriz siendo esta el resultado de multiplicar por la columna de la matriz .
Ejemplo 10. Consideremos la matriz
Para multiplicar por 3 la tercera columna de la matriz A, aplicamos matriz asociada es
cuya
.
Se observa que se ha multiplicado por 3 la tercera columna de
.
,
habiendo quedado multiplicada por 3 la tercera columna de la matriz original A.
iii) Transformaciones Transformaciones
Suman a la columna de de una matriz su columna multiplicada multiplicada por . Este efecto se produce al multiplicar, por la derecha, derecha, la matriz A por la matriz , siendo esta la resultante de sumar a la columna de de la matriz su columna
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+ + +
multiplicada multiplicada por .
, es decir, la matriz resultante de sustituir elemento
por
Ejemplo 11. Consideremos la matriz
Para sumar a la tercera columna de A el triple de la primera aplicamos matriz asociada es
cuya cuya
,
Se ha sustituido el elemento
de la matriz
por 3.
,
Donde puede verse que se ha producido en A el efecto deseado.
5. ALGORITMO DE GAUSS-JORDAN
Teorema 1 . Dada una matriz cualquiera siendo
existen matrices F y U tales que
una matriz escalonada. escalonada.
c onstructiva. Demostración: Para la prueba seguiremos de manera constructiva. Iniciamos anulando todos los elementos eleme ntos
Si
.
, mediante transformaciones elementales filas
podemos anular
todos los elementos de la primera columna situados debajo de él.
i) Estas transformaciones serían de la forma
.
ii) Si y algún elemento de la primera columna c olumna es no nulo, podemos llevarlo al lugar (11) mediante una transformación y proceder después como en el
caso anterior. iii) Si , la primera columna es de ceros y por tanto, , es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices escalonadas.
Procedemos después con (el elemento resultante de las transformaciones anteriores) al igual que procedimos con anteriormente, es decir, si lo utilizamos para hacer por debajo de él en la segunda columna. Si fuese vemos si existe por debajo de él algún elemento y, en caso de haberlo, realizamos la transformación , continuar así.
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Reiteramos el proceso, llegamos a una matriz escalonada U. La matriz F no es más que el producto de las matrices de las transformaciones elementales filas elementales filas realizadas para pasar de A a U.
Ejemplo 12. Consideremos la matriz
+
Aplicamos transformaciones elementales.
Solución:
+ + + + + + + ahora,
Luego
Definición 15. (Matriz escalonada canónica)
Se denomina matriz escalonada canónica a canónica a una matriz escalonada con la propiedad de que el primer elemento no nulo de una fila es un uno y además, es el único elemento no nulo de su columna.
Teorema 2. Toda matriz puede ser reducida mediante transformaciones elementales fila a una escalonada canónica.
Demostración. Basta con observar que una vez obtenida la matriz U, si en una fila
+
hay algún elemento no nulo, la dividimos por el primer elemento no nulo de ella mediante y lo utilizamos para hacer cero todos los de su columna (que se encontrarán por encima de él).
Ejemplo 13. Consideremos la matriz
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Transforma a su forma escalonada canónica.
Solución:
+ + + , ( ) ( ) + .
Lo cual se trata de una escalonada canónica.
Los elementos que utilizamos para anular a los demás elementos de una columna se conocen como pivotes. pivotes. Si en un determinado paso del proceso de pasar de A a U alguna columna es de ceros, diremos que el correspondiente pivote es nulo.
Teorema 3. Toda matriz
transformarse en una del tipo
puede, mediante transformaciones elementales, teniendo en cuenta que para ello es necesario
realizar tanto transformaciones fila como transformaciones columna.
Ejemplo 14. Si fijamos en la matriz, del ejemplo 8, que transformamos, mediante transformaciones elementales fila en la escalonada canónica:
+
Podemos ahora, mediante la composición de las transformaciones columna llevarla a
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+ | .
5.1. MATRIZ INVERSA
Se denomina matriz inversa de de orden n, que verifica que
, y designaremos .
, a la matriz cuadrada
Teorema 4. i) ii) iii) iv)
La inversa de una matriz, si existe, es única. Si son inversible, entonces es inversible inversible y Si A es inversible, entonces Si A es inversible, entonces
.
Demostración: i)
Sean
son matrices inversas de la matriz A, entonces: entonces entonces . ii) Demostraremos la definición de inversa
iii) Por definición de inversa que A es la inversa de , luego iv) Demostraremos que Por tanto .
entonces podemos decir que . . En efecto,
es la inversa de A y .
Teorema 5. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada
posea inversa es que su forma escalonada canónica sea la matriz unidad.
Demostración. Si su forma escalonada canónica es
, existe
tal que
.
Si existe tal que es la forma escalonada canónica de A.
tal que
y por tanto,
5.2. ALGORITMO DE GAUSS – JORDAN JORDAN Este teorema nos permite calcular la matriz inversa de una matriz dada, mediante transformaciones elementales (filas o columnas, pero no ambas simultáneamente).
+
Ejemplo 15. Considere la matriz
Encontrar Solución :
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.
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| + → + → + → + → + → + → + → + → + → + + + + entonces
como:
Se tiene la inversa,
.
6. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1. Se considera la matriz
. Hallar una fórmula para
siendo n un entero positivo.
Solución:
+ + + + +
+
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,
Probemos por inducción matemática en n que
+ + + + + + + + + → + → + → + → + → + → + + + Para
se cumple, pues
Si
.
entonces
Por tanto
Ejercicio 2. Si
. Encuentre
si existe.
Solución: Primero se pone A seguido de I en e n la forma de matriz aumentada
Ahora, hacemos la reducción por filas
Como A se redujo a I, se tiene
.
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+ + → + → + → + → + → +
Ejercicio 3. Sea
. Determine
si existe.
Solución. Se escribe la matriz aumentada
Hasta aquí se puede llegar. La matriz A no puede reducirse a la matriz identidad por lo que se puede concluir que a no es invertible. Observación: si la reducción por renglones de A produce un renglón de ceros, entonces A no es invertible.
Ejercicio 4. Dada la matriz
, probar que:
i) Es simétrica ii) iii) .
Solución: Denotemos por i) Se tiene
, ahora señalando transpuesta en ambos miembros,
Por tanto A es simétrica. ii) Sea
,
entonces
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iii) Se tiene
.
7. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Demostrar que el producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. ¿Es conmutativa este producto? R. Es conmutativo. 2. Si son matrices simétricas de nxn, es simétrica. nxn, demuestre que 1. Si son matrices simétricas de nxn, nxn, demuestre que . 2. Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica. 3. Encontrar todas las matrices cuadradas de orden 2 cuyo cuadrado sea nulo.
+ + +
R.
4. Encuentre los números
tales que
es simétrica.
5. Sean dos matrices antisimétricas de nxn. nxn. Demuestre que es antisimétrica. 6. Si es una matriz real antisimétrica, demuestre que toda componente en la diagonal principal de A es cero. 7. Si son matrices antisimétricas de nxn, demuestre que de manera que AB es simétrica si sólo si conmutan. 8. Encontrar las potencias n-ésimas de las matrices ,
R.
,
9. Sea A una matriz nxn. nxn. Demuestre que la matriz
es es simétrica.
10. Sea A una matriz nxn. nxn. Demuestre que la matriz
es es antisimétrica.
11. Demuestre que cualquier cuadrada se puede escribir de una manera única como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. 12. Encuentre la inversa de la matriz fundamental dada.
i)
ii)
iii)
13. Decidir cuáles de las siguientes siguientes afirmaciones son verdadera y cuales son falsas, dando en cada caso una demostración o un contraejemplo, según corresponda: i) Si son simétrica, entonces es simétrica. ii) Si es simétrica y P es cuadrada, entonces es simétrica. iii) Si A es una matriz cualquiera, entonces y son simétricas.
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iv)Si iv) Si
es simétrica, entonces y
R. V,V,V,F.
también lo son.
14. Demostrar que una matriz cuadrada de orden n puede descomponerse de forma única como una suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. Realizar la descomposición de la matriz
R.
+ + + ∑ +
15. Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar: i) es simétrica. ii) Si es simétrica, entonces es simétrica si, y sólo si 16. Hallar todas las matrices que conmutan con
.
.
R. Las matrices escalares de orden 2. 17. Encuentre una matriz 18. Se define Si
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tal que
.
para todo A todo A matriz matriz cuadrada.
, halle
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.
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