APUNTES DE LA CÁTEDRA DE MINERALOGÍA UNIDAD TEMÁTICA 1: CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA
Autores: Camacho, María *, Kruzynski, Graciela Wanda** y Montañez, Carlos Daniel *** *Geóloga, *Geóloga, Profesora Profesora Adjunta de la la Cátedra de Mineralo Mineralogía gía - Facultad Facultad de Ingeniería Ingeniería y Departa Dep artamen mento to de Min Mineral eralogía ogía – IDGYM IDGYM - Univer Universida sidadd Naciona Nacionall de de Jujuy Jujuy.. E-mail: E-mail:
[email protected] ** Arquitec Arquitecta, ta, Profeso Profesora ra Adjunta Adjunta de la Cátedr Cátedra a de Dibujo Dibujo - Faculta Facultadd de Ing Ingeni enierí eríaa - Univer Universid sidad ad Nacional Nacional de Jujuy. E-mail: E-mail:
[email protected] ***Becar ***Becarios ios alumno alumno - Univers Universida idad d Nacional Nacional de Jujuy. E-mail: E-mail:
[email protected] Av. Bolivia 1313 (4600) San Salvador de Jujuy – Tel.: 0388-4221593/4221321 – Fax: 03884221594 Agradecemos al Proyecto SECTER- UNJu 08/E013: APOYO APOYO AL PROCESO DE DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE DE MINERALOGÍA CON HERRAMIENTAS DE ANIMACIÓN MULTIMEDIAL. MULTIMEDIAL.
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE MINERALOGÍA: Mineralogía, definición: Estudia aquellas sustancias cristalinas llamadas minerales, ya sea como
individuos o formando parte de las rocas de la corteza terrestre y de otros cuerpos del universo (meteoritos, testigos). Para su estudio se ha dividido a la Mineralogía en seis unidades temáticas (módulos): Unidad temática 1: CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA Unidad temática 2: CRISTALOGRAFÍA II: ORDEN INTERNO DE LOS CRISTALES. DIFRACTOMETRÍA . OTROS MÉTODOS DE ESTUDIO DE LOS MINERALES. Unidad temática 3: PROPIEDADES FÍSICAS –MACROSCÓPICA- DE LOS MINERALES Unidad temática 4: PROPIEDADES FÍSICAS-MICROSCÓPICA-DE LOS MINERALES. Unidad temática 5: CRISTALOQUÍMICA. Unidad temática 6: MINERALOGÍA SISTEMÁTICA. Mineral, definición: Es una sustancia de origen natural, sólida y homogénea, que tiene una composición química mas o menos definida, con una estructura atómica ordenada. Normalmente formada mediante un proceso inorgánico. Ej. Blenda ZnS, puede haber reemplazo de Fe por Zn.(Fig. 1)
Fig. 1. Ejemplo del mineral cuarzo (Si02) Por origen natural distinguimos entre sustancias formadas por procesos naturales en la tierra o
proveniente de meteoritos y de sustancias sintéticas (sintetizadas en Laboratorio), en ese caso agregamos el adjetivo sintético luego del nombre de la especie mineral. Por ejemplo: rubí sintético y diamante sintético Sólido homogéneo: significa que consta de una sustancia única (fase) sólida que no puede ser subdividido, físicamente, en simple componentes químicos. Sólido: excluye a líquidos y gases. Ej. El agua, cuando está en forma de hielo es un mineral del sistema hexagonal. El mercurio líquido (Hg) es una excepción y se lo considera un mineraloide. Por composición química definida: implica que este puede expresarse mediante una fórmula química específica. Por ejemplo el cuarzo que sólo contiene a los elementos químicos: silicio (Si) y oxígeno (O), se expresa con la fórmula química SiO2. Sin embargo la blenda ZnS (sulfuro de cinc) puede tener un reemplazo de Fe (hierro) por Zn (cinc), por el mecanismo de solución sólida de iones de radio iónico semejantes o muy próximos. Por disposición atómica ordenada: Indica que debe poseer una distribución atómica interna ordenada. Es decir, sus átomos deben estar dispuestos en una estructura tridimensional característica de cada mineral. Los sólidos como el vidrio, que carecen de una disposición atómica ordenada, reciben el nombre de amorfos. Normalmente formados por procesos inorgánicos (disoluciones, fundidos y vapores): Es decir se forman principalmente por procesos inorgánicos. Ejemplos: Sal de mesa (halita NaCl) en los salares y el azufre (S) asociado a volcanes. Hay excepciones como por ejemplo el CaCO3 de las conchillas de los moluscos y las perlas pueden estar constituidas por el mineral aragonita construido por estos moluscos. (Lámina 1) Roca: Está formada por la agrupación de dos o más minerales constituyendo grandes masas en la corteza terrestre. En algunos casos pueden estar constituidos por masas mono minerales (calizas).
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA CRISTALOGRAFÍA Cristalografía geométrica
Comprende la descripción de los caracteres de los cristales en general, la distinta formas de los cristales y su división en clases y sistemas, los métodos de estudios de los cristales, incluyendo la determinación de las relaciones matemáticas de sus caras y la medición de los ángulos entre ellos. Una descripción de los cristales compuestos o maclas, irregularidades en los cristales, agregados cristalinos y cristales pseudomorfos. Periodicidad de los cristales. Elementos de Simetría Cristal:
Del griego “Krystallos” (hielo), nombre con el cual los antiguos griegos designaban al cristal de roca (variedad transparente del cuarzo) en creencia que se trataba de hielo súper congelado. Definición: Cuando los minerales están limitados por caras planas y tienen formas geométricas regulares, se denominan cristales. Esta forma exterior es el resultado de una distribución atómica ordenada en una estructura tridimensional (Fig. 2). 2
Sin embargo el término alcanza a toda la materia sólida de variadas presentaciones masivas o irregulares, cuyas partículas constitutivas (átomos, iones o moléculas) se disponen simétricamente entre sí según redes homogéneas tridimensionales (Lámina 1). Debe tenerse presente que la limitación poliédrica de los cristales de un buen crecimiento y desarrollo surge como consecuencia del ordenamiento íntimo y regular de la materia anisótropa y este ordenamiento es el verdadero fundamento del estado cristalino.
Fig. 2. Ejemplo de algunos dibujos de cristales Cristalización: Los minerales se forman por cristalización a partir de soluciones, fundidos y/o
vapores (Lámina 2). Los átomos en estos estados desordenados tienen una disposición al azar, pero al cambiar la temperatura, presión y concentración pueden agruparse con una disposición ordenada característica del estado cristalino (Fig.1 cuarta condición de la definición de mineral) Maclas: Es el crecimiento conjunto de acuerdo con una ley de dos o mas cristales de la misma especie (Lámina 2). Sustancias cristalinas (Lámina 1): Es toda materia sólida de variadas presentaciones, masivas o
irregulares, con una distribución atómica ordenada (o periodicidad), con traslaciones periódicas, es decir con distancias constantes entre los átomos, iones o moléculas y dispuestas según redes homogéneas, en una estructura tridimensional. Sustancias amorfas: Es cuando la materia carece de orden atómico (periodicidad). Es el ejemplo
de los vidrios, de los líquidos y gases. Forma externa de un cristal:
Un cristal perfecto está formado por un cierto número de caras planas distribuidas según características de simetría (Lámina 2). Pero, por lo general los cristales no aparecen perfectamente desarrollados debido a fenómenos de intercrecimiento, presiones, variación en la condición de formación. Agregados de cristales: Son sustancias o masas de minerales formadas por pequeños cristales ya sea en forma granular, fibrosa, laminar, etc. Elementos geométricos del cristal:
Como en todo poliedro, es posible reconocer en los cristales los siguientes elementos geométricos: Caras: los planos que delimitan el poliedro. Aristas: las líneas de intersección de dos planos. Vértices: los puntos de reunión de tres o mas aristas. Simetría cristalina: Elementos de simetría y operaciones de simetría:
Las caras de los cristales se distribuyen de acuerdo a ciertas leyes de simetría y esta simetría es la base natural de la división de los cristales en clases y formas. En los cristales de buen desarrollo, libre de deformaciones, es posible apreciar que las caras, vértices y aristas guardan una distribución que semeja el resultado de la multiplicación de un elemento inicial que se repite en forma simétrica y armónica en el espacio. De esta manera es posible efectuar cambios en la posición del cristal logrando coincidencias, en la distribución espacial de sus elementos geométricos, de tal manera que nada permite distinguir las nuevas posiciones de la posición original. Estos cambios de posición se conocen como operaciones de simetría y tienen lugar a través de planos, líneas o puntos que representan los elementos de simetría. (Cuadro 1). Elementos de simetría Ejes de (giras)
Operación
simetría Rotación
Simbología 1, 2, 3, 4, 6.
Simples Plano de simetría
Reflexión
m
Centro de simetría
Inversión
i
1
Combinados Ejes de giro-inversión Rotación + Inversión 1 2 3 4 6 (giroides) Cuadro 1: Elementos de simetría.
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Ejes de simetría o giras (función de rotación):
Son líneas imaginarias alrededor de las cuales se realizan operaciones de multiplicación por rotación, reproduciendo simétricamente los elementos geométricos de un cristal, tantas veces como lo indique su número de orden. (Fig. 3). En razón de la estructura reticular de los cristales y en conformidad con la ley cristalográfica de racionalidad de las relaciones paramétricas, sólo resulta posible la existencia de giras de orden: 1, 2, 3, 4 y 6. Las giras de orden 1 son mera expresión del principio de identidad, razón por la cual su empleo se descarta en la práctica. Las restantes se denominan respectivamente: digiras, trigiras, tetragiras y hexagiras. El ángulo que se necesita girar alrededor de estos ejes para reproducir simétricamente la geometría del cristal se obtiene dividiendo 360º por n (360/n), siendo “n” el número de la gira, según el caso, igual a 2, 3, 4 ó 6.
Digira (180º) = eje binario
Trigira (120º) = eje ternario
Tetragira (90º)
hexagira (60º)
Figura 3: Ejes de simetría (giras). movimientos de rotación
Planos de simetría (función de reflexión):
Son superficies ideales a través de las cuales se reproducen los elementos geométricos del cristal mediante operaciones de reflexión. A cada elemento de un lado del plano de simetría corresponde un elemento equivalente en el lado opuesto, equidistante y sobre la normal al plano, de manera que el cristal resulta dividido en dos mitades homólogas cada una de las cuales es la imagen especular de la otra. (Fig.4) Notación del plano de simetría: “ m” (del francés mirror = espejo).
Fig. 4: Plano de simetría “m”
Centro de simetría (función de inversión):
Es un punto situado en el centro del cristal a través del cual se reproducen simétricamente sus elementos geométricos en posición equidistantes invertidas y diametralmente opuestas, por medio de un operación de inversión. Es el único elemento de simetría que puede hallarse en los cristales triclínicos.(Fig.5) Notación del centro de simetría: “ i” o bien “ 1” (la segunda notación, la de mayor uso es la función de giro-inversión equivalente a centro de simetría). Ejes de giro-inversión (giroides de inversión):
Un cristal tiene una giroide de inversión si para cada elemento geométrico hay un segundo elemento que puede ser obtenido del primero por rotación alrededor de un eje seguida por inversión a través de un centro de simetría. Ambas operaciones se reiteran consecutivamente hasta
Fig. 5: Centro de simetría “i” o bien “ 1“
alcanzar nuevamente el elemento geométrico de partida. Funcionamiento y notación de los elementos de simetría de giro-inversión: Fig.6: Giroides de inversión
Una giroide de inversión de orden 1 es equivalente a un centro de simetría “i”. Un eje digonal de giro-inversión es equivalente a un plano de simetría “m”. Un eje trigonal de giro inversión es equivalente a una trigira más un centro de simetría 3. Un eje tetragonal de giro inversión es equivalente a una tetragira más un centro de 4
simetría 4. Un eje hexagonal de giro inversión es equivalente a una trigira más un plano de simetría perpendicular a la misma 6.(Fig.6) Clases de simetría:
Es la agrupación de los distintos elementos de simetría. Son posibles 32 clases de simetría.(Cuadro 2) Los Sistemas cristalinos
Es la agrupación de las formas en determinados sistemas de ejes, con relaciones axiales definidas. Son seis sistemas.Ejes cristalográficos: Son líneas determinadas por la simetría de un cristal, y que se usan para definir la cara de un cristal y determinar su posición e inclinación angular. Los ejes se denominan en general a-b-c. ó a1-a2-c ó a1-a2-a3., según si tienen relaciones axiales iguales a dos o tres ejes respectivamente (cuadro 4). Cruz axial: Llámase así al conjunto de relaciones angulares y de longitud, que guardan entre sí los ejes cristalográficos en los distintos sistemas.(Fig.7 y cuadro 3).
Fig. 7. Ejemplos del desarrollo de cristales en minerales recolectados de la corteza terrestre, su representación geométrica (caras, aristas y vértices) y la ubicación de la cruz axial del sistema cristalino respectivo. Sistema cristalino Clase Nº Nombre Contenido de la cristalina simetría Triclínico 1 1 Pedial Ninguno 2 Pinacoidal i 1 Monoclínico: 2 3 Esfenoídica 1E2 m 4 Domática 1m 2/m 5 Prismática i, E2, 1m Ortorrómbico:
222 6 Rómbica biesfenoídica 3E2 mm2 7 Rómbica piramidal 1E2, 2m 2/m2/m 2/m 8 Rómbica bipiramidal i, 3E2, 3m Tetragonal: 4 9 Tetragonal piramidal 1E4 10 Tetragonal biesfenoídica 4 1E 4 11 Tetragonal bipiramidal 4/m i, 1E4, 1m 12 Tetragonal trapezoédrica 422 1E4, 4E2 13 Ditetragonal piramidal 4mm 1E4, 4m 14 Tetragonal escalenoédrica 42m 1E 4, 2E2, 2m 15 Ditetragonal bipiramidal 4/m 2/m 2/m i, 1E4, 4E2, 5m Hexagonal: 3 16 Trigonal piramidal 1E3 División 17 Romboédrica 3 1 E 3 Romboédrica: 18 Trigonal trapezoédrica 32 1E3, 3E2 19 Ditrigonal piramidal 3m 1E3, 3m 20 Ditrigonal Escalenoédrica 3 2/m 1 E 3, 3E2, 3m Hexagonal: 6 21 Hexagonal piramidal 1E6 División Hexagonal: 22 Trigonal bipiramidal 6 1E 6 23 Hexagonal bipiramidal 6/m i, 1E6, m 24 Hexagonal trapezoédrica 622 1E6, 6E2 25 Dihexagonal piramidal 6mm 1E6, 6m 26 Ditrigonal bipiramidal 6m2 1E 6, 3E2, 3m 27 Dihexagonal bipiramidal 6/m 2/m 2/m i, 1E6, 6E2, 7m Cúbico o 23 28 Tetartoédrica 3E2, 4E3 Isométrico: 29 Diploédrica 2/m 3 i, 3E2, 4E 3, 3m 30 Giroédrica 432 3E4, 4E3, 6E2 31 Hexatetraédrica 3E4, 4E3, 6m 4 3m 32 Hexaoctaédrica i, 3E4, 4E 3, 6E2, 9m 4/m 3 2/m Cuadro 2: Derivación de los 32 Grupos Puntos (Clases de Simetría) por combinación de los elementos de simetría compatibles con las traslaciones periódicas. 5
Sistema cristalino Triclínico
Cruz axial a#b#c α#β#γ#90º
Monoclínico:
a#b#c α=γ=90º#β
Ortorrómbico:
a#b#c α=β=γ=90º
Tetragonal:
a1=a2#c α=β=γ=90º
Hexagonal: División Romboédrica:
a1= a2= a3 #c α1= α2 = α3 = 120º # γ=90º
Agrupación de simetrías Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 1 (de inversión o de identidad) Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 2 y/o un plano m. Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Ejes de orden 2 planos m. Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 4 Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 3 o 3
Hexagonal: División Hexagonal:
Agrupa a todas las clases de simetría que posean: Un eje de orden 6 o 6 Cúbico o a1= a2= a3 Agrupa a todas las clases de simetría que Isométrico: α=β=γ=90º posean: Cuatro ejes de orden 3 con una inclinación de 54º 44’ de los ejes cristalográficos Cuadro 3: Cruz axial de los seis sistemas cristalinos
Fig.8. Los seis sistemas cristalinos, con sus respectivas cruces axiales y ejemplos de cristalesParámetros: Los parámetros de una cara consiste en una serie de valores numéricos, los cuales
expresan las distancias que esta cara o su prolongación corta a los ejes cristalográficos. Estos valores están dados en función de la unidad de medida establecida para cada eje. En la Fig. las líneas OX – OY – OZ, son los ejes cristalográficos y OA –OB y OC representan las unidades de medida sobre cada uno de ellos, representados por las letras a- b- c. El plano H-K-L intercepta a los ejes a las distancias OH –OK – OL; para el plano AMN, las distancias son: OA, ON y OM. Pero si tenemos en cuenta la unidad de medida sobre cada eje tendremos los siguientes parámetros de Weiss: El plano ABC: 1a; 1b; 1c. El plano HKL: 1/4a; 1/3b; 1/2c. El plano ANM: 1a;4/3b; 2c. Índices de Miller: Para el cálculo cristalográficos conviene trabajar con número enteros. Para ello se usa los índices de Miller, que se obtienen a partir de los parámetros (o índices de Weiss), haciendo la inversa y eliminando las fracciones, si es necesario. 6
Fig.9. Deducción de los parámetros o índices de Weiss e índices de Miller.
Por ejemplo, para el caso anterior tendremos: HKL: 1/4a; 1/3b; 1/2c. La inversa es 4a; 3b; 2c. Que es igual a (432). ANM: 1a;4/3b; 2c. La inversa es 1a; 3/4b; 1/2c. Eliminando fracciones es: 4a;3b;2c ó (432) Las letras que indican los distintos ejes se desprecian y los índices en este caso se escriben sencillamente(432), indicándose las intersecciones de los diferentes ejes por el orden en que se dan los números. Una expresión general, frecuentemente usa para los índices que pertenece a cualquier sistema de tres ejes ó (h k l) y para el sistema hexagonal (h k i l) Ley de la racionalidad de los índices: Las relaciones entre las intersecciones de los ejes para las
diferentes caras de un cristal siempre son números racionales. Por ejemplo: ½;1/3; ¼, pero no 1: (raíz cuadrada de 2). Constancias de los ángulos interfaciales: Los ángulos entre las caras de una misma especie
cristalina son siempre constantes, independiente de donde se encuentre, ya sea naturales o artificiales. El mineral apatito, el ángulo entre las caras adyacentes x y m es de 130º18’ (Fig. 10).
Fig. 10. Cristal del mineral apatito
Como lo dice la Ley de Steno, los ángulos entre caras equivalentes de la misma sustancia son constantes, independientemente de que el cristal sea ideal o mal formado. Los ángulos que se miden entre las normales a las caras cristalinas caracterizan un cristal y deben medirse cuidadosamente . Una representación gráfica de la distribución de los ángulos y las normales a las caras cristalinas pueden definir la simetría del cristal y por lo tanto su clase cristalina. Los ángulos se miden con goniómetros y para trabajo preciso se utiliza un goniómetro de reflexión. En este instrumento se monta el cristal de modo que gire alrededor de un eje de zona y refleje un rayo de luz colimado desde sus caras por un anteojo hasta el ojo. El ángulo que debe girarse el cristal para que sucesivos rayos de luz pasen por el anteojo desde dos caras adyacentes, determina el ángulo entre caras. La figura 17 b ilustra un goniómetro de reflexión de dos círculos. Un instrumento más sencillo utilizado para trabajos menos precisos y con cristales mayores se conoce como goniómetro de contacto (Fig. 11 a). Al utilizar el goniómetro de contacto, es imperativo que el plano determinado por los dos brazos del goniómetro esté exactamente en ángulo recto con las aristas entre las caras a medir. Debe recordarse que es el ángulo interno el que se registra. Así, en la figura 11 a y b, el ángulo ß debe leerse como 40º y no como 140º.
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Fig.11. (a) Goniómetro de contacto. (b) Ampliación esquemática de (a) mostrando la medida del ángulo interno ß. Zona: Una zona incluye una serie de caras de un cristal, cuyas líneas de intersección son paralelas entre sí y a su vez a una línea común que pasa por el centro del cristal y se llama eje de zona
(Fig.12).
Fig. 12. Zonas cristalinas y eje de zona
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Pro yec cio nes cris talog ráficas Definición: Es el modo de representar un cristal tridimensional en una superficie plana
bidimensional. Los dibujos de los cristales que se presentan en un libro se llaman proy ecci on es clino gráficas mediante un tipo de perspectivas que se asemejan a una fotografía en dos dimensiones (Fig. 12). Pr o ye cc ión es fé ri ca :
Con el fin de situar las caras de las diferentes formas cristalinas de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de sus formas o tamaños podemos usar la proyección esférica. La cual es la base para otras proyecciones. Imaginemos un modelo hueco de un cristal que contenga un foco en su interior. Situemos al modelo en una esfera transparente. Coloquemos el centro del cristal (foco) con el centro de la esfera. Si hacemos un orificio en cada cara de tal modo que cada rayo que emerja del orificio sea perpendicular a la cara. Estos rayos incidirán en la superficie interna de la esfera y harán una mancha brillante. Si marcamos en la esfera la posición de cada mancha de luz tendremos un registro permanente de las caras del cristal. Cada una de las caras viene representadas en la esfera por un punto denominado polo de la cara, Fig. 13 (b). Esta es la proyección esférica de las caras del cristal, KLEIN et al (1998 y 1999) La posición de cada polo y por lo tanto sus relaciones angulares con los demás pueden fijarse mediante sus coordenadas angulares en la esfera. Similar a la localización de puntos en la superficie terrestre por medio de la latitud y longitud. Por ejemplo, las coordenadas angulares 25º00’ de latitud norte y 74º00’ de longitud oeste, sitúan un punto localizado en las Bahamas. Esto significa que el ángulo medido desde el centro de la tierra, entre el plano del ecuador y las Bahamas es de 25º00’ y el ángulo entre el meridiano de Greenwich y el meridiano que pasa por el punto citado es de 74º00’,Fig. 13 (a). Pero existe una variante fundamental en la proyección esférica de un cristal donde se utiliza la longitud y la colatitud . Esta última se mide en grados desde el polo norte. El polo norte tiene una colatitud de 0º, el ecuador 90º ρ (rho) . La longitud se mide hasta 180º a partir de la cara 010 (equivalente al meridiano de Greenwich = 0º LW)) y en sentido de las agujas del reloj y se designa con la letra griega Ø (fi). Si la esfera se corta por un plano la intersección será un círculo. Los círculo de diámetro máximo son los formados por planos que pasan por el centro y tienen por diámetro el de la esfera. Se denominan círculos máximos. Todos los demás son círculos menores. Los meridianos de la tierra son círculos máximos así como el ecuador, mientras que los paralelos de latitud son círculos menores. Un ejemplo de Proyección esférica En la figura 13 a y b se han dibujado a manera de ejemplo las proyecciones esférica y estereográfica de un cristal en el espacio en 3D y luego en 2D, visualizándose los polos de las caras de tres formas cristalinas de la clase Hexaoctaédrica del sistema cúbico, los planos y los ejes de simetría.
Figura 13: (a) Latitud y longitud de una localidad de las Bahamas: 25º00’ LN – 74º00’ LW y (b) Proyección esférica de un cristal resultante de la combinación de cubo {100}, octaedro {111}y rombododecaedro {110}, pertenecientes al Sistema Cúbico, Clase Hexaoctaédrica. Proyección estereográfica
La proyección estereográfica es una representación en un plano de la mitad de la proyección esférica. El plano de proyección es el plano ecuatorial de la esfera y el círculo primitivo (que limita a la proyección) es el propio ecuador . Si se mira los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio norte de la proyección esférica con los ojos puestos en el polo sur, las intersecciones de las visuales con el plano ecuatorial serían las que indicarían los polos correspondientes en la proyección estereográfica, Fig.14 (b).
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Figura 14: (a) Relación entre la proyección esférica y la estereográfica, en el hemisferio norte y (b) proyección estereográfica de los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio norte de las formas: cubo {100}, octaedro {111}y rombododecaedro {110}, pertenecientes al Sistema Cúbico, Clase Hexaoctaédrica.
Figura 15: Sección de la esfera de proyección mostrando la relación de los polos esféricos a los estereográficos
Podemos construir de igual modo las intersecciones de las visuales con el plano ecuatorial de los polos de las caras situadas en el hemisferio sur con los ojos puestos en el hemisferio norte las cuales indicarían en la proyección estereográfica los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio sur de las formas: cubo {100}, octaedro {111} y rombododecaedro {110}, perteneciente al Sistema Cúbico, Clase Hexaoctaédrica. Fig.16 (b).
Figura 16 (a)Relación entre la proyección esférica y la estereográfica en el hemisferio sur y (b) proyección estereográfica de los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio sur de las formas: cubo {100}, octaedro {111}y rombododecaedro {110}, perteneciente al Sistema Cúbico, Clase Hexaoctaédrica
La representación de las caras de los cristales o polos en la proyección estereográfica en un plano (2D) se hace marcando con una cruz para las caras del polo norte y un círculo para las caras que caen en el polo sur, Fig.17. 10
Figura 17 (a) Proyección estereográfica de los ejes cristalográficos del Sistema Cúbico y elementos de simetría de la Clase Hexaoctaédrica (4/m 3 2/m) y (b) proyección estereográfica de los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio norte representadas con una cruz y un círculo para las caras que ubicadas en el polo sur de las formas: cubo {100}, octaedro {111}y rombododecaedro {110}, perteneciente al Sistema Cúbico, Clase Hexaoctaédrica.
(a)
(b)
Fig. 18 (a) Proyección estereográfica de una cara cristalina utilizando el ángulo entre las caras de un cristal medido con (b). un goniómetro de reflexión de doble esfera con montaje de cristal a la derecha, telescopio en la parte superior izquierda y una fuente luminosa abajo a la izquierda.
Plantilla estereográfica:
En la proyección estereográfica se facilita mucho el trazado de ángulos mediante una plantilla como la de la figura 19. Se usa la plantilla estereográfica (Wulff) de: (a) 5 cm o de (b)10 cm de radio. Tanto los círculos máximo como los menores están dibujados en la plantilla a intervalos de 2 ó 1º según la elección de la plantilla a ó b, esta última es la más utilizada, la que es montada sobre
Fig. 19. Plantilla estereográfica (Wulff) 11
un soporte rígido. El centro exacto de la plantilla puede perforarse con una chinche la cual actuará como pivote alrededor de la cual puede girar una hoja de papel transparente (Fig. 20). El alumno debe trazar el círculo exterior (primitivo) sobre la cubierta y marcará también las direcciones E-O y N-S. El extremo oriental de la línea E-O se marcará con Φ = 0º; el extremo meridional de la línea N-S se marcará con Φ = 90º y el extremo septentrional de la misma línea N-S se marcará con Φ = -90º. De este modo los ángulos Φ pueden representarse directamente a lo largo del círculo primitivo
Fig. 20. Plantilla estereográfica (Wulff) montada sobre un soporte rígido y con un papel transparente sobre ella. El centro exacto de la plantilla está perforado con una chinche que actúa como pivote.
en el sentido de las agujas del reloj (+) o en el sentido contrario (-). El ángulo ρ (rho) puede localizarse directamente a lo largo de dos grandes círculos verticales (N-S y el E-O, que se cortan en el centro de la proyección); sólo a través de estas do direcciones se obtienen graduaciones apropiadas para la representación directa de ángulos. El ángulo ρ de cualquier cara que se proyecta sobre el centro de la proyección (en la ubicación de la chinche) es igual a 0º. Cualquier cara que se encuentre sobre el perímetro exterior del círculo primitivo tiene un ángulo ρ = 90º. Por tanto , cualquier ángulo ρ entre 0º y 90º viene representada hacia fuera desde el centro de la proyección (alejándose de la chinche) a lo largo de las direcciones E-O o N-S. Si en una combinación de los ángulos Φ y ρ es tal que el ángulo Φ no es ni 0º ni 90º y ρ tampoco es 0º ni 90º, la cubierta transparente debe girarse alrededor del centro hasta que la dirección Φ del plano específico coincida con la dirección N-S ó E-O. Sólo entonces puede el ángulo ρ de dicho plano representarse. Si un plano se caracteriza por Φ=30º y ρ = 60º, la localización del ángulo del polo al plano viene marcada por una línea corta a Φ=30º sobre la circunferencia; a continuación este ángulo Φ=30º se gira hasta buscar su coincidencia con las líneas E-O ó N-S y el ángulo ρ = 60º se representa directamente usando la graduación disponible sobre la plantilla estereográfica subyacente. Así se localiza el polo de la cara correspondiente a una cara Φ=30º y ρ = 60º. (Fig. 20). En lugar de medir los ángulos Φ y ρ, el estudiante que comienza mide usualmente ángulos interfaciales, que pueden expresarse como ángulos respecto a las caras (010) o (001) del cristal. Los ángulos interfaciales medidos, o los ángulos Φ y ρ disponibles, pueden representarse fácilmente con la ayuda de la plantilla estereográfica. En la Fig. 21 en cambio puede observarse la proyección estereográfica utilizando el concepto de dominio fundamental, mediante la acción de los elementos de simetría, en este ejemplo, los planos de simetría..
La Fig. 21. Proyección estereográfica utilizando el concepto de dominio fundamental, mediante la acción de los elementos de simetría. (ver Fig. 21) 12
Principales propiedades de la proyección estereográfica:
1º) Los círculos sobre la esfera (máximos y menores) se proyectan también como círculos en el plano de la proyección estereográfica. a) Los círculos máximos son planos diametrales de la esfera de proyección (pasan por su centro) b) El círculo máximo ecuatorial de la esfera coincide con la proyección de esta y se llama círculo fundamental. c) Todas las proyecciones de los restantes círculos máximos pasan por dos puntos diametralmente opuestos al círculo fundamental. d) Los círculos máximos que pasan por el polo superior e inferior de la esfera y que son perpendiculares al plano ecuatorial, se proyectan como líneas rectas. e) Los círculos menores son planos secantes a la esfera de proyección. El radio de los círculos menores es función del ángulo que forma el plano secante con la esfera de proyección. f) Los círculos menores que pasan por uno de los puntos de vista (polo superior o inferior de la esfera), se proyectan como líneas rectas. 2º) Los ángulos sobre la esfera se reproducen fielmente en el plano de la proyección estereográfica. 3º) Los ángulos que forman entre sí las caras de los cristales aparecen en la proyección como lados de triángulo esféricos. Los ángulos entre las aristas de las caras cristalinas aparecen como ángulo de esos triángulos. 4º) En la proyección estereográfica, los polos de las caras de una zona se encuentran sobre un mismo círculo máximo. En esta proyección las zonas se representan como círculos máximos denominados círculos de zona. Proyección estereográfica de un cristal ortorrómbico utilizando multimedia (CD Klein).
La primera animación multimedia muestra secuencialmente la proyección esférica (3D) de un cristal ortorrómbico (2/m2/m2/m) localizado dentro de una gran esfera traslúcida de color violeta. El plano ecuatorial es de color celeste. Aparecen en primer lugar la proyección esférica de varios rayos (perpendiculares a cada rara, saliendo del centro del cristal luminoso). Los rayos rojos son los polos de las caras correspondientes a las formas {100}{010}{001}; los grises localizan a las formas {hk0}{h0l}{0kl} y los azules la forma {hkl} La segunda animación multimedia localiza en la proyección esférica (3D) los polos de las caras cuyos índices de Miller corresponden a las formas: a) pinacoidales {100}{010}{001}; b) prismáticas {hk0}{h0l}{0kl}; c) a todas las caras de la bipirámide rómbica {hkl} y d) a las siete formas juntas de la Clase Rómbica bipiramidal (2/m2/m2/m). Los círculos máximos de la esfera correspondiente a los tres planos m aparecen temporalmente y los índices de Miller aparecen al final. La tercera animación multimedia muestra ahora el mecanismo de la proyección estereográfica (2D) de los polos de las caras en el círculo ecuatorial, a) vistos desde el hemisferio situado en el polo norte con la vista puesta en el polo sur y representados sobre el círculo ecuatorial por una cruz +; b) ahora de los polos de las caras existentes en el hemisferio sur con la mirada fija en el polo norte, proyectados sobre el círculo ecuatorial mediante un círculo abierto O; c) todos los polos de las caras, las del polo norte y sur, con los índices de Miller en el plano ecuatorial o plano de la proyección estereográfica y d) en la última animación se encuentran todos los polos de las caras de las siete formas de la Clase Rómbica bipiramidal (2/m2/m2/m) con sus respectivos índices de Miller a los que se le superponen secuencialmente los elementos de simetría que caracterizan a este clase. Los tres planos de simetría de color rojo, uno de ellos el círculo máximo de proyección coincidente con el propio Ecuador y los otros dos círculos máximos perpendiculares a este plano y que se representan como líneas rectas. Los ejes de simetría de orden dos coincidente con los ejes cristalográficos a, b y c son perpendiculares a cada una de estos planos y se representan de color blanco con el símbolo () El dominio fundamental y las siete (7) formas derivadas:
El dominio fundamental es una porción del espacio (o de la esfera de proyección) que, por acción de los elementos de simetría correspondiente, llena todo el espacio sin dejar huecos y sin recubrir otros dominios, Fig. 22. La porción del espacio del dominio fundamental en cada Clase de Simetría (o Grupo Punto), se ve multiplicada en todo el espacio por los elementos de simetría que forman sus límites. Como es lógico, todos los elementos geométricos del cristal que ocupan el dominio han de sufrir esta multiplicación generando así el cristal completo. El concepto de dominio fundamental es sumamente útil en Cristalografía pues permite simplificar la goniometría al reducido recinto del dominio, limitando a un mínimo el número de mediciones a realizar sobre los cristales. 13
El polo de una cara en un dominio fundamental resulta repetido por los elementos de simetría de la Clase, originando en el espacio (o en la esfera de proyección) un conjunto de caras equivalentes que constituyen una forma simple la cual puede ser abierta o cerrada. En el dominio fundamental de cada Clase de Simetría, el polo de una cara puede tener siete posiciones dando lugar a siete formas simples de la Clase. Los polos 1, 2 y 3 se ubican en los vértices del triángulo esférico y su posición es siempre fija (sin grados de libertad). Los polos 4, 5 y 6 ocupan los lados del triángulo esférico y pueden tener cualquier posición a lo largo de ellos (tienen un grado de libertad); El polo 7 está en el interior del triángulo esférico y origina la llamada forma general (hkl), la cual puede ocupar cualquier posición en el interior del dominio (tiene dos grados de libertad) y da el nombre a la Clase de Simetría correspondiente. La forma general es la que tiene el mayor número de caras dentro de las siete formas de la Clase. Los seis polos ubicados en los límites del dominio fundamental, cuando estos límites están formados por los elementos de simetría, originan formas con menor número de caras que la forma general puesto que los elementos de simetría no actúan sobre los polos que coinciden con ellos. Pueden deducirse así las siete formas de cada una de las 32 Clases de Simetría o Grupos Puntos. Fig. 23. Todo cristal posible será, o bien una forma simple cerrada, o una combinación de formas abiertas o cerradas. Es importante recalcar que una combinación sólo puede asociar formas pertenecientes a una misma Clase de Simetría y en consecuencia no pueden existir mas de siete (7) formas diferentes en un cristal
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