1 UNIDAD I MODOS BASICOS DE TRANSFERECNIA DE CALOR Y CONDCCION UNIDIMENSIONAL Y BIDIMENSIONAL
Modos básicos de transferencia de calor conducción, convección y radiación. se aprendió que la energía se puede transferir por medio de las interacciones de un sistema con su alrededor, las mismas que se denominan trabajo y calor.
En Termodinámica
Pero la termodinámica no proporciona información con respecto a la naturaleza de esta interacción o la rapidez con la que se produce. ¿Qué es la transferencia de calor?
Es la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas.
Siempre que exista una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos debe ocurrir una transferencia de calor.
Procesos o Modos de transferencia de calor Conducción: Cuando existe una diferencia de temperaturas en un medio estacionario (puede ser sólido o un fluido) se utilizara el termino conducción para referirnos a la transferencia de calor que se puede producir a través del medio.
Convección: Se refiere a la transferencia de calor que ocurrirá entre una superficie y un fluido en movimiento cuando están a diferentes temperaturas.
2
Radiación Térmica: Todas las superficies con temperatura finita emiten energías en forma de ondas electromagnéticas. Por tanto en ausencia de un medio, existe una transferencia neta de calor por radiación entre dos superficies a diferentes temperaturas.
CONDUCCIÓN Debemos inmediatamente referirnos a conceptos de actividad atómica y molecular, pues hay procesos en estos niveles que sustentan este modo de transferencia de calor. La conducción se considera como la transferencia de energía de las partículas más energéticas a las menos energéticas de una sustancia debido a las interacciones entre las mismas.
3
Se habla de transferencia neta de energía debido al movimiento molecular aleatorio como una difusión de energía. La situación es muy similar en los líquidos aunque las moléculas están menos esparcidas y las interacciones moleculares son más fuertes y frecuentes. De igual manera en un sólido la conducción se atribuye a la actividad atómica en forma de vibraciones reticulares, modernamente se atribuye la transferencia de energía a ondas reticulares inducidas por el movimiento atómico (en un no conductor se da esto). En un conductor además, tenemos el movimiento de traslación de electrones libres. Es posible cuantificar los procesos de transferencia de calor en términos de ecuaciones o modelos apropiados, estos sirven para calcular la cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo. Ley de Fourier Para pared plana unidimensional:
El signo – es consecuencia de que el calor ca lor que se transfiere en dirección de la temperatura decreciente. K: conductividad térmica (W/m*K); característica del material
/
: Velocidad con que se transfiere el calor por unidad de área perpendicular a la dirección de transferencia y es proporcional al gradiente de temperatura.
4 Para condiciones de estado estable el gradiente se transforma:
Esta ecuación proporciona un flujo de calor, es decir velocidad del calor transferido por unidad de área.
∗
El calor transferido por unidad de tiempo
a través de una pared plana de área A es:
Ejemplo: La pared de un horno industrial se construye con ladrillo de arcilla refractaria de 0.25 m d espesos, que tiene una conductividad térmica de 1.7 (W/m*K). Mediciones realizadas durante la operación en estado estable revelan temperaturas de 1400 ºK y 1150 ºK en la superficie interna y externa. ¿Cuál es la velocidad de perdida de calor a través de una pared que tiene 0.5 m por 3 de lado?
5
Problemas de conducción: 1. Si un flujo de calor de 3 KW se conducen a través de una sección de un material aislante de área de sección transversal 10 y espesor 25 cm. Si la temperatura de la superficie interna (caliente) es de 415 ºC y la conductividad térmica del material es 0.2W/m*K ¿Cuál es la temperatura de la superficie externa?
Datos: q= 3Kw k=0.2 W/m*K
A=10
e=0.25m T=415 ºC=688 ºK
6
′′ ∆ ′′ ∗ ′′ 3000 10 300 ′′ 21 ′′0.220.2688 300∗0.250.22137.6 2313ºK40ºC
ºC
2. Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50 mm de espesor, cuyas temperaturas sobre las superficies interna y externa son 40 y 20 respectivamente es de 40 W/ ¿Cuál es la conductividad térmica de la madera?
ºC ′′ Datos:
= 40 W/
e=50mm Ti=40 ºC
Te=20 ºC
′′ ∆ ′′∆ ∗ 0.05 40∗ 2040 0. 1 ∗
7 3. La temperatura de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 5mm de espesor son 15 y 5 ºC ¿Cuál es la perdida de calor a través de una ventana que mide 1*3m de lado? La k del vidrio es 1.4
∗
Datos: e=5mm Ti=15 ºC=288 ºK Te=5 ºC=278 ºK
∗
k=1.4
h=3m a=1m
′′ 1.4 ∗ 278288ºK 0.005 ′′ 2800 2800 ∗1∗3 8.4 KW
Ejercicios sugeridos: 1.2-1.4-1.5-1.6-1.7
8 CONVECCIÓN Se compone de dos mecanismos: movimiento molecular aleatorio (difusión) y movimiento global o macroscópico del fluido, este se da en presencia de un gradiente de temperatura que contribuye a la transferencia de calor. La transferencia se da por una superposición de transporte de energía por el movimiento aleatorio de las moléculas y por el movimiento global del fluido. Convección
transporte acumulado del fluido.
La convección ocurre entre un fluido en movimiento y una superficie limitante cuando estos tienen diferentes temperaturas.
La velocidad varía desde cero sobre la superficie a un valor finito
µ
asociado con el flujo.
Esta región se la denomina capa límite hidrodinámica o de velocidad.
′′
Además si las temperaturas de la superficie y del fluido difieren, habrá una región del fluido a través del cual la temperatura varía de en y=0 a en el flujo exterior. Esta región denominada capa limite térmica puede ser más pequeña, más grande o del mismo tamaño que aquella en la que varía la velocidad, de todos modos si > ocurrirá la transferencia de calor por convección entre la superficie y el flujo exterior. Flujo de aire
a
Caloportador
L
>
9 Se analiza en relación al fluido caloportador mas no al sólido, existen dos tipos de convección. Convección Forzada: cuando el caloportador es obligado a pasar con una velocidad o caudal.
Convección Natural: cuando el caloportador está en reposo
La convección se da por el movimiento del fluido inducido por las bur bujas de vapor generadas en el fondo de una cacerola en la que está hirviendo agua.
10 Ley de Enfriamiento de Newton
′′
′′ ℎ /
= flujo de calor por convección (
=temperatura de la superficie =temperatura del fluido
h= coeficiente de transferencia por convección, es relativo al caloportador.
A= área de convección (
′′ ∗
)
RADIACIÓN La radiación térmica es la energía emitida por la materia que se encuentra a una temperatura finita. Aunque la atención será la radiación de superficies solidas también existe radiación térmica de líquidos y gases. La energía emitida entre superficies a diferente temperatura se da por ondas electromagnéticas.
Si la radiación se produce en vacío la Fluido
A
transferencia es más efectiva
B
La radiación que la superficie emite se origina a partir de la energía térmica de la materia limitada por la superficie y la velocidad a la que libera energía por unidad de área .
/
Se denomina Potencia Emisiva Superficial Ley de BOLTZMANN.
. ∗−
: La superficie se denomina cuerpo negro o radiador ideal de la superficie
: Constante de BOLTZMANN
: Temperatura absoluta (°K)
Si el flujo de calor emitido por una superficie real es menor que la de un cuerpo negro:
11
: emisividad
0≤
≤1
∗∗
Es una propiedad que proporciona la eficiencia con la que una superficie emite energía en relación con un cuerpo negro. La emisividad depende del material, de la superficie y del acabado.
=α, área A y temp
La radiación puede incidir sobre una superficie desde sus alrededores. La radiación se origina desde una fuente especial, como el sol, o de otras superficies a la que se expone la superficie de interés. Sin tomar en cuenta la fuente designamos la velocidad a la que tarda esa radiación incide sobre un área unitaria de la superficie como la irradiación G. La velocidad a la que la energía radiante es absorbida por área superficial unitaria se la evalúa a partir de una propiedad radiativa de la superficie denominada absortividad.
donde: α: absortividad
G: irradiación 0≤α≤1
G=
∗
Si α<1 y la superficie es opaca, partes de la irradiación se reflejan.
Si la superficie es semitransparente partes de la irradiación se transmiten. Si suponemos que la superficie es tal que α=ε(superficie gr is), la velocidad neta de transferencia
de calor por radiación desde la superficie expresada por unidad de área de la superficie es:
12
Diferencias Energía térmica liberada debido a la emisión por radiación y la que se gana debido a la absorción por radiación. Existen muchas aplicaciones en las que conviene expresar el intercambio neto de calor por radiación en la forma.
Las superficies pueden transferir simultáneamente calor por convección a un gas contiguo; donde la velocidad total de transferencia de calor desde la superficie es:
Ejemplo 1.2 Una tubería de vapor sin aislamiento pasa a través de un cuarto en el que el aire y las paredes están a 25°C. El diámetro exterior de la tubería es 70 mm y la temperatura superficial y emisividad son 200°C y 0.8 respectivamente. ¿Cuánto vale la potencia emisiva de la superficie y la irradiación? Si el coeficiente asociado con la transferencia de calor por convección libre de la superficie al aire es 15
/°
¿Cuál es la velocidad de perdida de calor de la superficie por unidad de longitud de la tubería? Datos: Aire
25° / ° 200° ∅ ∗ ∗∗ 0.85.67∗10− 200273° 2270 h=15
ε=0.8
=70mm
CEE: perdida de calor por convección irradiación
Potencia emisiva
13
5. 6 7∗10− ∗25273° 447 Perdida de calor en la tubería
Por convección con el aire del cuarto y por intercambio de radiación con las paredes
ℎ ( ) − 473 ∗0. ´15 ° ∗0. 0 14732980. 8 0 1∗5. 6 7∗10 298 ´ hrεσ hr0.8∗5.67∗10− 473298°473 298 ° ℎ 11 ° 20025° 1925 EJERCICIOS: 1.1/1.4/1.5/1.6/1.7/1.9/1.11/1.17
Balance de Energía
Para realizar el análisis de balance de energía debemos establecer al igual que en termodinámica el volumen de control.
La primera ley se aplica una vez determinado e identificado el volumen de control, una región del espacio limitado por una superficie de control a través de la cual pueden pasar la energía y la materia.
14
SISTEMA
COND CONV
T COND CONV
Aplicamos conservación de Energía al Volumen de control
En un instante estos términos incluyen la velocidad a la que la energía térmica y mecánica entra y sale de la superficie de control.
Ealm: Este tipo de energía se almacena dentro del sistema cuando la temperatura en su interior se incrementa o decrementa con el tiempo.
∗∗∗
: Energía Almacenada [BTU/h]
:
Densidad del material [lb/p3]
:
Volumen p3
:
:
:
Capacidad calorífica [BTU/lb°K] Diferencial de temperatura en función del tiempo Tiempo
Eg: Este tipo de energía se la obtiene cuando otras formas de energía en el interior del sistema se convierten en energía térmica.
15
∗ : :
Tasa de generación por unidad de volumen [w/m 3] Volumen [m3]
Ejemplo: fricción, electricidad (resistencia) Reacción combustible.
En el balance solo hay energías térmicas, no hay energías mecánicas ni trabajo.
Balance de energía en una superficie
Con frecuencia aplicaremos el requerimiento de conservación de energía a la superficie de un medio. En este caso especial la superficie de control no incluye masa o volumen.
La Rg y Ealm no son relevantes y es necesario tratar el fenómeno superficial
0 Tenemos 3 formas de transferencia de calor para la superficie de control, conducción desde el medio hacia la superficie de control q” cond; convección desde la superficie al fluido e intercambio de radiación desde la superficie hacia los alrededores q” rad.
El balance toma la forma
q”cond – q”conv – q”rad = 0
16 Ejercicio 1.1 , Ejemplo 1.5 Los gases calientes de combustión de un horno se separan del aire ambiental y sus alrededores, que están a 25°C mediante una pared de ladrillos de 0,15m de espesor. El ladrillo tiene una conductividad térmica de 1,2 W/(m°K) y una emisividad superficial de 0,8. Se mide una temperatura de la superficie externa de 100°C en CEE. La transferencia de calor por convección libre del aire contiguo a la superficie se caracteriza por un coeficiente de convección de h=20 w/m2°K. ¿Cuál es la temperatura de la superficie interior del ladrillo?
1. CEE Solución
0 " " " 0 − ℎ 1,2 0,373 1520 3732980,85,67∗10− 373 298 1500 520 373 1,0,215 2020 625 352 ℃ –
T1 = ?
Ejercicios 1.7/1.9/1.23/2.22/2.25 Ejemplos 1.6/1.7
= 2020
17
Ejemplo 1.6 El recubrimiento sobre una placa se cura exponiendo ésta a la acción de una lámpara infrarroja que proporciona una irradiación de 2000 W/m2. El recubrimiento absorbe 80% de la irradiación y tiene una emisividad de 0,50 también expuesta a un flujo de aire y a amplios alrededores para los cuales las temperaturas son 20°C y 30°C respectivamente.
1. Si el coeficiente de convección entre la placa y el aire ambiente es 15 W/m 2K. ¿Cuál es la temperatura de curación de la placa? 2. Las características finales del recubrimiento, incluidos uso y durabilidad se sabe que dependen de la temperatura a la que ocurre la curación. Un sistema de flujo de aire es capaz de controlar la velocidad del aire sobre la superficie cerrada, pero el ingeniero de procesos necesita saber en que forma depende la temperatura del coeficiente de convección. Proporcione la información deseada con el cálculo y aplicación de la temperatura de la superficie como función de h temperatura de 50°C.
2≤ℎ≤200
. Que valor de h proporcionara una
∝ 0 ∝ ℎ( )0 0,8∗2000 15 2930, 5 ∗5, 6 7∗10− 304 377°K→104℃ Ejemplo 1.23
18
℃
Se conecta un resistor eléctrico a una batería como se muestra en el esquema. Después de una breve fluctuación transitoria la resistencia toma una temperatura de EE casi uniforme de 95 , mientras que la batería y los alambres de conexión permanecen a la temperatura ambiente de 25 .
℃
No tome en cuenta la resistencia eléctrica de los alambre de conexión.
a) Considere el resistor como un sistema alrededor del cual se coloca una superficie de control y se aplica . Determine los valores correspondientes de estas energías. Si se coloca una superficie de control alrededor del sistema entero. ¿Cuáles son los valores de Eent, Eg, Esale, Ealm. b) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor que es un cilindro de y longitud L = 25 cm. ¿Cuál es la velocidad de generación de calor volumétrica (W/m3) (tasa de generación). c) Sin tener en cuenta la radiación del resistor. ¿Cuál es el coeficiente de convección?
∅60 ̇
a.
24∗6144 Eg, Ealm Ein
0
V.C
Esale
144 144
19
0 Eg, Ealm Ein
Esale
0 0 Eentra = 144W =
b.
∀ 4 ∗ 0, 0 6 144 4 ∗0,25 2, 0 4∗10
c. AT
4 4
20
2 4 ℎ ∞ 0, 0 6 144ℎ ∗0,06∗0,252 4 9525 144ℎ 0,04710,00579525 ℎ39 °K Conducción en Estado Estable
∆∆ "
El signo (-) es necesario porque el calor se transfiere en la dirección que la temperatura decrece.
21
El flujo de calor siempre será normal hacia una superficie de temperatura constante denominado isotérmica.
Las superficies isotérmicas son planos normales a la dirección de X.
El flujo de calor es una cantidad vectorial.
"∇ ∇: donde; nabla (
∇
T(x, y, z):
:
es el operador tridimensional es el campo escalar de temperatura
En coordenadas cartesianas
"" " " " " "
22
Propiedades Térmicas de la materia
≡ "
Propiedad física
El flujo de calor por conducción aumenta con el incremento de conductividad térmica.
La
> >
PROPIEDAD TERMODINAMICA Se relacionan con el estado de equilibrio. La densidad
y el calor específico (Cp)
∗/°
Capacidad térmica volumétrica
Mide la capacidad de un material para almacenar energía térmica
la razón de la conductividad térmica a la capacidad térmica es una importante propiedad denominada difusividad térmica.
∗
Mide la capacidad de un material conducir energía térmica en relación con la capacidad de almacenar.
23 CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE. Pared Plano
> = = = = 0 0 = = 0 ∗ Balance de Energía
Si existe energía generada en el interior de la pared
: densidad
V: volumen
∗∆ ∗∗∆ = ∗ ∗∆ = 0 = ∗∆ = 0
24
= = ∗∆0 =∆ = 0 0
Si k=cte.
Modelo matemático de la temperatura con generación
0
Modelo matemático de la temperatura sin generación Clasificación de las condiciones de Borde Primera clase
0
Se la obtiene cuando se define un valor numérico de temperatura o una función de temperatura en los límites del sistema.
0
,
Temperatura superficial constante
25
Segunda clase Se la obtiene cuando se define un valor numérico del calor o función de calor en los límites del sistema.
= 0
Tercera clase Se la obtiene cuando los límites del sistema están sometidos a transferencia de calor por convección Fluido 1
ℎ = = De:
= ℎ =
0 0 1 . 12 Si x=0 T1=C2
26 Si x=L T2=LC1+T1
1 21 211
Ecuación de distribución de temperatura
Tarea: demostrar la ecuación de la difusión de calor a partir de esta la ecuación de distribución de temperatura.
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ 0 0 Ecuación de difusión de calor
Si en condición de estado estable no existe cambio de energía almacenada
Si la transferencia de calor es unidimensional
27 EJERCICIO
1000 /
La distribución de temperatura a través de una pared de 1m de espesor en cierto instante está dada como , donde T en °C y x en m. a=900°C, b=-300°C, c=-50°C/ . Una generación de calor uniforme g=1000 W/ , está presente en la pared de área 10 cuya y si conductividad térmica es de k=40 W/m°K. Determinar:
1. La rapidez de calor que entra en la pared (x=0) y sale de la pared (x=Lm) 2. La rapidez de cambio del almacenamiento de energía en la pared Ealm=?? 3. Velocidad respecto al tiempo del cambio de temperatura en x=0; 0.25; 0.5 m Datos:
T(x)=
a=900°C
b=-300°C
1000 / c=-50°C/
g=1000 W/ A=10
k=40 W/m°K.
1:
a bxcx dTdx b2cx q q0kA dTdx= q = 300 ° ∗40 ° ∗10 = = 2= 2 300 ° 250 ∗1250 ∗1∗40 ° ∗10 T(x)=
28
2:
̇ ̇ ∗∗ ̇ ̇ 1201000 ∗10 ∗1160 ̇
Ejercicios: 1.9/1.11/1.17/1.22/1.23/2.4/2.21/2.23
Ecuación de Distribución de temperatura
Ecuación de Fourier
1 21 Ecuación de Fourier
Calor constante no depende de x
Analogía Eléctrica
R: resistencia térmica a la conducción
29
12
23 34 12 12 23 34 1 2 3 122334 14 14 → ∑ 123
30
Convección
∞
,1
R= (L1/k1A)
1
2
3
ℎ∆ ℎ∆1 ℎ1 ∞
1
ℎ1
4
∞,2
31 Ejercicio 3.11 Se desea mantener a 5°C el interior de un refrigerador cuyas dimensiones en la base son de 45cm * 45cm y la altura de 1,2m, las paredes del refrigerador están construidas por dos láminas de acero de 0,318 cm de espesor con 5cm de aislante de fibra de vidrio entre ellas. Si la temperatura ambiente en la cocina es de 30°C determinar: El flujo de calor que debe extraer el refrigerador para mantener las condiciones especificadas, determine además las temperaturas en sus paredes interiores.
Fibra de vidrio
acero
acero
Convección
ℎ11 10∗0.145∗1.2 0.185 ° Conducción
ℎ110 ° ℎ215 ° 40 ° 0.04 °
32
11 00318 40∗0.40.5∗1. 2 ° ∗ 0.00015 ° 22 0.04∗0.40.5∗1.05 2 ° ∗ 2.31 °
0.1850.00152.30°5° 310.0150.1235 ° 9.55 →1 9.55∗438.19 4 paredes
calor que debe remover la unidad de refrigeración
Temperaturas
30° 9.55∗0.1235 .° 28.82° 9.55∗0.00015 .°
33
28.81° 9.55∗2.31 .° 6.75° 9.55∗0.0015 .° Ejercicio La pared plana de un tanque con área de 5 m 2 está cubierta con un aislamiento térmico de 2 capas. La pared del tanque es de acero con espesor L1=8mm y R1=46,5 W/m , la primera capa de aislamiento en contacto con el acero está hecha de un refractario (NOVOASBOZURITA) con espesor L2=50mm y R2= 0,144 W/m , la segunda capa de aislamiento mas externo es un enlucido con espesor L3=10mm y R3= 0,698 W/m . Si la temperatura de la pared interna de tanque es T1=250 y de la superficie más externa del aislamiento T4=50 . Determinar la cantidad de calor que se transmite a través de las paredes del tanque y las temperaturas internas en las superficies de contacto de los aislamientos.
℃
℃
℃ ℃
℃
Datos
L1=8mm
R1=46,5
L2=50mm
R2=0,144
L3=10mm
R3=0,698
34
Q
Circuito
T1
T2
R1
46,0,05085 0,000034 ℃/
T3
R2
T4
R3
05 0,10,445 0,069 ℃/
01 0,60,985 0,00286 ℃/
2781,87 1
2502920,95∗ 249,9 ℃
35
2
249,9℃2920,95∗ 57,956 ℃
EL CILINDRO
Para condiciones de EE sin generación de calor la forma apropiada de la ecuación de calor es:
1 0
Consideración: Donde k es una variable por el momento.
36 La rapidez a la que se conduce la energía a través de cualquier superficie cilíndrica se expresa:
2
en 1
es independiente de r
Ecuación de Fourier
1 0 1 0 1 ln lnln lnln ⇒ ln Distribución de temperatura Fourier
37
, , , ln , ln Suponemos
y
(Condiciones de frontera)
(3)
(4)
(3) – (4)
(, , ) ln ln (, , ) ln (, , ) ln (,ln, ) 5 (5) en (3)
, (,ln, ) ln , (,ln, ) ln 6 ln (,ln, ) ln, (,ln, ) ln
(5) y (6) en la distribución de temperatura
38
, (,ln, ) ∗ln 7 , (,ln, ) ∗ln 8 " 2 (, ln, ) ∗ 1 2 2 (,ln, ) ∗ 1 2∗(,−, ) 9
39
, , Coeficiente global de T.C : U
∗∗∆ 2 ∑1
40
Ejemplo:
ℎ1 ln ln 1 ln ℎ1
La posible existencia de un espesor de aislamiento óptimo para sistemas radiales lo sugiere la presencia de efectos que compiten asociados con un aumento en este espesor. En particular, aunque la resistencia de conducción aumenta al agregar un aislante, la resistencia de convección disminuye debido al aumento del área de la superficie exterior. Por ello puede existir un espesor de aislamiento que minimice la perdida de calor al maximizar la resistencia total a la l a transferencia de calor. Resuelva este problema considerando el siguiente sistema:
1. Un tubo de cobre con pared delgada de radio se usa para transportar un fluido refrigerante de baja temperatura y está a una temperatura , que es menor que la del aire del medio a alrededor del tubo. ¿Hay un espesor óptimo asociado con la aplicación de aislante al tubo?
0,055 °
R térmica total
41
con
Transferencia de calor por unidad de L
0 1 ∗ 2 1 21ℎ 12 21ℎ 0 ℎ ℎ5 0,055 y
calcule el radio crítico
0,0555 0,011 Ejercicio 3.49 pág. 143
°
El vapor que fluye a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared del tubo a una temperatura uniforme de 500 K. El tubo está cubierto con una manta aislante compuesta con dos materiales diferentes A y B. Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene una resistencia de contacto infinita, y que toda la superficie externa está expuesta al aire, para el cual = 300 K y h = 25 W/ K.
°
°
42 a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando los símbolos precedentes, marque todos los nodos y resistencias pertinentes. b) Para las condiciones que se establecen, ¿Cuál es la pérdida total de calor del tubo? ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie externa T s,2(A) y Ts,2(B)?
1ℎ l n l n
43
∗0, 1 ∗25− °0,1273 ° 0, 1 l n ∗20,05 0,1103 ° 0, 1 l n ∗0,0,0255 0,88254 ° , , 500300 0,1500300 1030,1273 0,88250,1273 841,75198,051039,8 , ,
, , , , , 500841,75∗0,1103 , 407,15 °
44
, ,
, , , , , 500198,05∗0,8825 , 325,22 ° ,
Ejercicios 3.54 pág. 144
Una esfera hueca de aluminio, con un calentador eléctrico en el centro, se utiliza en pruebas para determinar la conductividad térmica de materiales aislantes. Los radios interior y exterior de la esfera son 0.15 y 0.18 m respectivamente, y la prueba se hace en condiciones de estado estable, en las que la superficie interna del aluminio se mantiene a 250°C. En una prueba particular, una capa esférica de aislante se funde sobre la superficie externa de la esfera y alcanza un espesor de 0 .12 m.
°
El sistema está en un cuarto para el que la temperatura del aire es 20°C, y el coeficiente de convección en la superficie externa del aislante es 30 W/m 2 K. Si se disipan 80 W por el calentador bajo condiciones de estado estable. ¿Cuál es la conductividad térmica del aislante?
Continuación del ejercicio de la hoja 39-A
T1
1 1 4
1 1 4
q = 80W
45
ℎ41 80 80 0,115 0,118 0,25020 1 1 1 1 8 0, 3 0 4 4230 3040,3 3,84∗10− 0,177 0,029 23080 2,875 0,062 ° LA ESFERA Consideremos una esfera hueca para analizar la conducción
Volumen diferencia de control La conservación de energía es
Para condiciones unidimensionales de Estado Estable sin generación interna de calor: Fourier:
4 4 Como
es una constante independiente de r
46
4 , ,
Como k es constante
Ejercicios propuestos 3.40/3.46/3.59 Ejemplos 3.4/3.3
Ejemplo 3.5 Un contenedor metálico esférico de pared delgada se utiliza para almacenar nitrógeno líquido a 77°K. el contenedor tiene un diámetro de 0.5m y está cubierto de un aislante reflector al vacío compuesto de polvo de dióxido de silicio. El aislante tiene un espesor de 25mm y la superficie externa se expone al aire del ambiente a 300°K. Se sabe que el coeficiente de convección es 20
° kg/
. La entalpia de vaporización y la densidad del nitrógeno líquido son 2
respectivamente.
1. Cuál es la transformación de calor al nitrógeno liquido 2. Cuál es la velocidad de evaporación del nitrógeno
Propiedades: polvo de dióxido de silicio al vacío (300°K) k=0.0017 W/m°K Análisis
∗10 /
y 804
47
El balance de energía para una superficie de control alrededor del nitrógeno
Se asocia con la perdida de energía latente debido a la evaporación
Pérdida por día
48 Volumétrica:
Observaciones:
Conducción con generación de energía La sección anterior se analizó la distribución de temperatura en un medio; mediante condiciones de frontera. Se analizaran distribuciones de temperatura de procesos que pueden ocurrir dentro del medio. En particular se analizara situaciones para las que la energía térmica se genera debido a la conversión de alguna otra fuente de energía. Un proceso común es la conversión de energía eléctrica a térmica en un medio conductor de corriente. re
La razón a al que se genera E al pasar una corriente I a través de un medio de resistencia eléctrica Re.
Si la generación de potencia (W) ocurre de manera uniforme a lo largo del medio de volumen V la razón de generación volumétrica es
/
La Pared Plana Consideraciones:
Generación de E uniforme por unidad de volumen ( a Ts,1 y Ts,2 para una k=constante.
a) Condiciones de frontera asimétricas.
̇
) y las superficies se mantienen
49
b) Condiciones de frontera simétricas
= ℎ ̇ℎ
c) Superficie adiabática en el plano medio
̇ Por las condiciones de frontera se establece
50 Distribución de temperatura flujo de calor en cualquier punto de la pared
Con generación de
̇
el flujo de calor ya no es independiente de x
Si ambas superficies se mantienen a una misma temperatura común
La temperatura máxima se tiene en el plano medio
Temperatura adicional generada por
̇ ̇ 2̇ o
Para este caso la distribución de temperatura es
Para el plano simétrico el gradiente de temperatura es cero
= 0
No existe transferencia de calor a través del plano y se representa con la superficie adiabática c)
Pared con generación de energía considerando convección
51
∞ x=-L
∞ x=0
x=L
ℎ= ∞ ℎ Número de Biot
̇ 1. 5 ∗10 75 ° 50 150 ° 20 ∞30° ℎ 1000 ° Una pared plana se compone de dos materiales Ay B. la pared del material A tiene una generación de calor uniforme , y un espesor . El material b de la pared no tiene generación y su
y un espesor . La superficie interior del material A esta bien aislada, mientras que la superficie exterior del material B se enfría con un flujo de agua con y . 1. Dibuje la distribución de temperatura que existe en el compuesto bajo condiciones de EE. 2. Determinar la temperatura To de la superficie aislada y la temperatura T2 de la superficie enfriada.
1)
52
b) pendiente cero a) parabólica d) cambio de pendiente
2
c) pendiente lineal e) el gradiente para el agua es grande
Balance de energia
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Para relacionar T2 No existe generación de calor en B Tenemos Estado Estable y para la superficie de control área unitaria el flujo de calor hacia el material x= es igual al flujo de calor desde el material en x= debido a la convección
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ℎ → ̇ ℎ
Volumen de control sobre el material A
Para una area superficial unitaria
Como To es la temperatura máxima en el plano medio
Aplicamos analogía eléctrica en B porque el material A esta aislado
53
¨ 1 ℎ
Para un área superficial
54 Sistemas Radiales La razón a la que se que genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la rapidez con que se igual a la rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento.
1 ̇ 0 1 2̇ 2 4̇ ln 3 |= 0
Esta condición permite que la
temperatura de la superficie se mantenga en un valor
Se integra separando variables y suponiendo generación uniforme
Repitiendo el procedimiento: Solución general para la distribución de temperatura
Para
se aplica las condiciones de frontera
En condiciones de frontera simétrica estamos ubicados en el plano medio de una pared por lo que
0̇ ⇒ 0 4 ⇒ ̇ 4 1
Se determina entonces que la distribución de temperatura es:
Se puede evaluar la T-C para cualquier radio r en el cilindro.
Evaluando la temperatura en la línea central se obtiene:
̇ 4 1
To es la temperatura de la línea central
Para relacionar la temperatura de la superficie , con la temperatura del fluido frio un balance de energía en la superficie o un balance global de energía.
, se usa
55
̇ℎ2 2ℎ̇ Factor de Forma del Calor para varias geometrías (Conducción)
Pared plana
(, ,)
Cilindro
Esfera
2 ,ln , ln2 , , 1 4 1 (, ,)
56 Otras geometrías
Cilindros Excéntricos
(, ,) Cilindro circular en un ducto hexagonal
ln 0,210669 (, ,) Cilindro circular en un ducto cuadrado
ln 0,227079 (, ,)
57 Cilindro infinito en un medio semi infinito
ℎ2− (, ,) Resistencia Térmica a la Radiación
ℎ1 ℎ ⇒ó ℎ1 1 1 1 ℎ 1ℎ
58
3 3 2 ≡4 2 4 4 ℎ ℎ 1∗ ℎ 4 2 ℎ ≡ℎ
Por lo general se considera que
.
Valores de emisividad
Superficie Aleación de Al Al negro anodizado Tierra Pintura blanca acrílica Pintura negra esmaltada Asfalto Concreto Vidrio Pirex Acero inoxidable
0,035 0,80 0,94 0,90 0,78 0,88 0,90 0,80 0,30
59 Conducción y convección combinadas en un elemento estructural.
Sistemas aleteados
.
Si es fija dos formas en las que es posible aumentar la transferencia de calor. El h podría aumentarse incrementando la velocidad del fluido y/o podría reducirse la temperatura del fluido Existe una opción adecuada incrementando el área de la superficie a través de la cual ocurre la convección. Esto se logra con el empleo de aletas que se extienden desde la pared al fluido circundante.
La conductividad térmica del material de la aleta tiene fuerte efecto sobre la distribución de temperatura a lo largo de la aleta y por tanto influye en el grado al que la transferencia de calor aumenta. Idealmente el material de la aleta debe tener una conductividad térmica grande para minimizar variaciones de temperatura desde la base hasta la punta.
60 Formas de aletas (Configuraciones)
a) b) c) d)
Aleta recta de sección transversal uniforme. Aleta recta de sección transversal no uniforme. Aleta anular. Aleta de aguja.
Modelo matemático
Área superficial del elemento diferencial
Área de la sección transversal varia con x
+ 1 í
61
2 + 3 + ℎ 4 La conducción de calor en x + dx es:
Fourier
1. 2. ℎ
dAs: Área superficial del elemento diferencial
sustituyendo (3) y (4) en (1)
ℎ 0 5 3. 1 1 ℎ 0 6 Para resolver esta expresión acudimos primero a aletas simples aletas rectangulares rectas.
Aletas de área de sección transversal uniforme
Cada aleta se une a una superficie de base de temperatura de temperatura .
⇒ 0
Para estas aletas el perímetro.
Entonces (6) se reduce a:
y
, donde
y se extiende en un fluido
es el área de la superficie de la base a x y P es
62
ℎ 0 7 Para simplificar la ecuación transformamos la variable dependiente definiendo:
≡ 8
Definimos un exceso de temperatura
y transformamos la variable dependiente
como
; 0 9
(8) en (7) y cambiando de variables dependientes
de la (9) haciendo una analogía con (7)
ℎ 10 la ecuación (9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea con coeficiente cte y su solución general es: Solución de
0
63
− 11 Para conducir
se aplican condiciones de frontera:
1. Condición en la base de la aleta (x=0)
≡ 12 2. Condición en el extremo de la aleta (x=L) implica cuatro situaciones física: Caso A
Transferencia de calor por convección desde el extremo de la aleta
ℎ[ ] |= 13 ℎ |= 14 La rapidez a la que la energía se transfiere haca el fluido por convección desde el extremo debe ser igual a la rapidez a la que la energía alcanza el extremo por conducción a través de la aleta.
(11) en (12) y (14)
(7) en (8) y (10)
15 ℎ −. 16 coshℎℎ ℎ 17 cosh
64
Al aumentar x la gradiente de temperatura disminuye.
Es consecuencia de la reducción de Transferencia de calor por conducción q (x) con el aumento de x debido a las perdidas por convección continuas en la superficie de la aleta.
qp se puede evaluar utilizando distribución de temperaturas pero se puede usar Fourier en la base de la aleta.
|= |= 18 ℎ ℎ cosh 19 √ ℎ coshℎ ℎ − 20 − 21
65
Ejemplo 3.8 Una varilla muy larga de 5 mm de diámetro tiene un extremo que se mantiene a I00°C.
°
La superficie de la varilla se expone al aire ambiente a 25 C con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 100 W/m 2 K. Determinar:
1. Las distribuciones de temperaturas a lo largo de varillas construidas de cobre puro, aleación de aluminio 2024 y acero inoxidable tipo AISI 316. ¿Cuáles son las pérdidas de calor correspondientes de las varillas? 2. Calcule el largo de las varillas para que la suposición de una longitud infinita de una estimación exacta de la pérdida de calor.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Condiciones de estado estable. Conducción unidimensional a lo largo de la varilla. Propiedades constantes. Intercambio de radiación insignificante con los alrededores. Coeficiente convectivo constante y uniforme. Varilla infinitamente larga.
66 Tabla A1. Incropera
Cobre
2 62,5℃ ≈335° 398 ° ° ° ° ° − − − ℎ 4 4ℎ
Aluminio (2024)(T=335
); k = 80 W/m
Acero inoxidable AISI 316 (T=335
; k=14 W/m
67
14,2 − 21,2 − 75,6 − 316 5010015020025300
68
La pérdida de calor
√ ℎ 100 ° ∗∗0,005∗398 ° ∗ 4 0,005 10025℃ 8,3 5,6 1,6
b) Como no hay pérdida de claro en el extremo de una varilla infinitamente larga, podemos utilizar:
Caso B la pérdida de calor en el extremo es insignificante
√ ℎ tanh √ ℎ tanh1 arctanh1 mayor que -1 (-1 y 1) y menor que 1 Si:
tanh ≥0,99
Caso B = Caso D qf = Mtanh mL = M qf = qf
69
≥2,65 2, 6 5 ≥ ≡ 2,65 ℎ 0,19 0,13 0,04 Por teoría no tiene sentido extender la aleta mas allá de
,
2,3 ≤≤ 2,65 Desempeño de una aleta
Las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor de una fuente porque aumentan el área efectiva de la superficie. Sin embargo la aleta misma produce una resistencia a la transferencia de calor.
No
∋
seguridad que la transferencia aumente.
Evaluamos la efectividad de la aleta
se define como la razón de la T.C de la aleta a la TC que existirán sin la aleta.
ℎ,
70
,
donde,
área de la sección transversal en la base de la aleta .
Para cualquier diseño
debe ser tan grande como sea posible.
Para una aleta infinitamente larga
ℎ
La efectividad de una aleta aumenta por la elección de un material de alta conductividad térmica. Aleaciones de Al y Cu son las adecuadas pero el Al tiene bajo costo y peso. La efectividad aumenta al aumentar la razón del perímetro al área de la sección transversal. Por esto se prefiere el uso de aletas delgadas pero poco espaciadas, con la salvedad de que el hueco de la aleta no se reduzca de tal manera que se reduzca el coeficiente de convección.
ℎ Aquí el caso de aleta se justifica si h es pequeño, h es pequeño para gases la necesidad de aletas en este tipo de fluido es grande. Si tenemos gas y liquido las aletas van del lado del gas. El radiador de un carro las aletas van en la superficie externa del tubo. Si
>2 >4
Para
Proceso convección libre Gases Líquidos C.F gases C.F líquidos
°
h (W/m 2 2 – 25 50 – 1000 25 – 250 50 – 20000
71
Para el caso B 98% se alcanza con mL=2.3b por lo que no tiene sentido extender las aletas más allá de L=2.3/m
2.3 ≤≤ 2.65
También en función de resistencia térmica se puede cuantificar Resistencia de aleta
,
Diferencia de temperaturas entre la base y el fluido
Este resultado es útil cuando tenemos superficies con aletas mediante un circuito térmico
La resistencia en la base expuesta debido a la convección
, ℎ1, ,,
La efectividad en una razón de resistencias
En función de las temperaturas
El impulso máximo para la convección es la diferencia de temperaturas en la base (x=0) y el . Si toda la aleta estará a la temperatura de la base tendríamos la máxima fluido Ɵb= rapidez para disipar energía. Pero siempre existe un gradiente de temperatura a lo largo de la aleta Af: es el área de la superficie de la aleta
Cuando la perdida en el extremo es insignificante B
:
Se aproxima a máx. 1 y min 0 Si L→0
Lc=L+ (t/2) para una aleta rectangular Lc=L+ (D/4) para una aleta recta alfiler.
o
∞
L→
72
Lc/ / Los errores asociados a la aproximacion son insignificantes En una aleta rectangular si
: :
ancho
≫
espesor
Se aproxima el perímetro a: P=2w Eficiencia global:
es la transferencia de calor total del área de la superficie asociada con las aletas y la parte expuesta de la base (denominada superficie primaria). Si existe N aletas cada una de las áreas superficiales y el área de la superficie primaria
La transferencia total por convección de las aletas y la superficie principal (sin aleta) se expresa como:
h: equivalente para las superficies principal y con aletas y
73 en la equivalencia de una sola aleta.
Por resistencia térmica
ℎ Aletas como parte integral
Aletas adheridas a la base
74
, ≪,
Para ingresar en el grafico 3.18 y 3.19
/ /
Calculo de
(método gráfico)
1)
Ap
determinantes
Lc 2) calculamos
/ /
3) determinamos
de las gráficas 3.18 y 3.19 (pág. 123)
4) calculamos calor ideal a) aleta rectangular recta b) aleta triangular recta c) aleta circunferenciales
ℎ∗ ℎ∗ ℎ 2 ∗
a)
b) c)
5)
75
Ejemplo:
°
Se colocan aletas circunferenciales de acero de 3/8 “de largo y t=1/4” en un tubo de 1” de diámetro, con el fin de disipar calor desde la superficie del tubo que se encuentra a 400 F al ambiente que se encuentra a 70 . Calcular el calor que disipa cada aleta considerando un y
° ℎ 20 / ° 30 /° L=3/8 “→1/32’
r1=1/2”→1/24’ t=1/4”→1/48’
° 20 / ° ° 30 /°
Tb=400
h=
T∞=70
k=
Lc=L+t/2
Lc=1/32 + (1/48)/2 Lc=1/24’
r2c=r1+Lc r2c=1/24 + 1/24 r2c=1/12’
Ap=Lc*t Ap=1/24’+1/48’
∗10− / / ℎ 1 20 / 24 30∗8.6805∗10− 0.2357 1 1∗24 12∗1 2 93% ℎ 2 20 ° 2121 241 40070° 215.98 ∗ 0.93215.98200.86 Ap=8.6805
Grafico 3.19
76
Eficiencia global
Aletas son parte integral de la base
Aletas adheridas a la base Ejemplo 3.9 El cilindro del motor de una motocicleta está fabricado de aleación de aluminio 2024T6 y tiene una altura H=0.15m y un diámetro exterior D=50mm. Bajo condiciones de operación típicas la superficie exterior del cilindro está a una temperatura de 500 y se expone al aire ambiental a 300 , con un coeficiente de convección de 50 .
°
/°
°
Unas aletas anulares están fundadas integralmente con el cilindro para aumentar la transferencia de calor a los alrededores. Considere cinco de estas aletas, de espesor t=6mm, longitud L=20mm e igualmente espaciadas. ¿Cuál es el aumento en la transferencia de calor debido al uso de aletas?
77
Con las aletas colocadas la transferencia de calor es
r2c=r1+Lc Lc=L+t/2 Lc=0.02+0.003 Lc=0.023 r2c=0.025+0.023 r2c=0.048
21 5∗0.0105 20.0250.155∗0.06 0.0.00716 1 0.04825 1.92 Ap=Lc*t
Ap=0.023*0.006
∗10−/ / ℎ 50 / 0.023 186∗1.38∗10− 0.1539 95%
Ap=1.38
Grafico 3.19
78
Sin aletas la transferencia de calor por convección seria:
q=236 W
Ejemplo 3.10
200 10− 20
La transferencia de un transistor se puede aumentar insertándolo en una base de aluminio que tiene 12 aletas longitudinalmente fabricadas integralmente sobre su superficie externa. El radio del transistor y la altura son r1=2mm y H=6mm, respectivamente, mientras que las aletas n son de longitud L=r3-r2=1mm y espesor uniforme t=0.7mm. El espesor de la base de la manga es r2-r1=1mm, y la resistencia de contacto de la interfaz base-transistor es . Aire a
",
fluye sobre la superficie de la aleta, lo que proporciona un
coeficiente de convección aproximadamente uniforme de h=25
.
1. Suponiendo una transferencia de calor unidimensional en la dirección radia, dibuje el circuito equivalente para la transferencia de calor de la capa del transistor (r=r1) al aire. 2. Evalué cada una de las resistencias en el circuito anterior. Si la temperatura del transistor es T1=80C ¿Cuál es la rapidez de la transferencia de calor de la base?
1) Condición de estado estable 2) La transferencia de calor es insignificante en las superficies inferior y superior. 3) Conducción radial unidimensional
El circuito debe explicar la resistencia de contacto, conducción en la base, convección en la base expuesta y conducción/convección en las aletas
79 4) Radiación insignificante.
Para una sola aleta
, ,
80 Para una sola aleta:
ℎ cosh ℎ , ℎ ℎ cosh/ −ℎ 0.1997 1 9976. 2 5∗10 , ℎcosh0. 0.19976.25∗10− cosh0.19970.0168 , 293.13/ R,f 293.1213 K/W 24.427/ Para 12 aletas:
,
Para la base expuesta:
Ejercicio 3.113 Un arreglo experimental para medir la conductividad térmica de materiales solidos implica el uso de las varillas largas que son equivalentes en todos los aspectos excepto que una está fabricada de un material estándar de kA conocida mientras que el otro está fabricado con el material cuya kB queremos conocer. Ambas varillas se unen en un extremo a una fuente de calor de temperatura fija Tb, se expone a un fluido de temperatura T∞ y se instrumentan con
termopares para medir la temperatura a una distancia fija x1 de la fuente de calor. S i el material estándar es aluminio en kA=200(W/mK) y las medidas revelan valores de TA=100C y Tb=60C a x1 para Tb=100C y T∞=25C ¿Cuál es el calor de kB?
81
Varillas muy largas
− − / ln −− / ℎ ln 1 / ℎ ln 2 ln / ln 56.6 (1)/ (2)
82 Ejercicio 3.124 Un calentado de aire consiste en un tubo de acero (k=20W/mK) con radios interno y externo de r1=13 mm y r2=16 mm, respectivamente y ocho aletas longitudinales fabricadas integralmente, cada una de espesor t=3mm. Las aletas se extienden a un tubo concéntrico que tiene radio
, 25
r3=40mm y aislado en la superficie externa. Agua a T∞= 90 C fluye a través del tubo interno
mientas que aire a concéntrico más grande
fluye a través de la región anular formada por el tubo
a) Dibuje el circuito térmico equivalente del calentador y relacione c/resistencia térmica con los parámetros apropiados del sistema b) Si hi=5000 y ho=200 ¿Cuál es la transferencia de calor por unidad de longitud?
a)
0.49
83
1 1 1 8∗0.0.4602048 10.49 0.5744 1 4602 , 1ℎ 0.5744∗200∗0. , 18.91∗10− , , 3025 2824 ∑ Ejercicios: 3.126/3.127/3.128/3.129 3.142/3.143/3.144/3.145
7.2 considere aire atmosférico a 25 C en un flujo paralelo a 5m/s sobre ambas superficies de una placa de 1m de longitud que se mantiene a 75C. a) determine el espeso de la capa límite de velocidad b) el coeficiente local de convección hL c) el flujo de calor al final de la placa 7.3 sobre ambas superficies de una placa plana de 1m de longitud se mantiene a 20C, fluye aceite de motor a 100C y a una velocidad de 0.1 m/s a) Espesor de la capa límite de velocidad y capa límite térmica al final de la placa b) El flujo local de calor hL y q”x
84 Ejercicio 3.130 Se instala aletas anulares de aluminio de 2mm de espesor y 15mm de longitud sobre un tubo de aluminio de 30mm de diámetro. Se sabe que la resistencia de contacto térmico entre una aleta y el tubo es
", 2∗10−
a 25C con h=75
. Si la pared del tubo está a 100C y el fluido contiguo está
¿Cuál es la transferencia de calor de 1 sola aleta?
¿Cuál sería la transferencia de calor si la resistencia de contacto pudiera eliminarse?
, " ,
Ab=2π (0.015*0.002)
,
∗10− − 2∗10 , 1.88495∗10− , 1.06 ℎ , ∗ ∗ℎ , ∗ℎ1 2, Ab=1.88495
85
, /2 , 30 22 , 0.031 2 15 22 0.016 ∗ 0.016∗0.−002 3.2 ∗10 / ℎ / 0.20 0.94 0.94∗75∗20.1031 0.015 3.07 ∑ 1.10025 063.07 18.2 Sin resistencia de contacto
10025 3.07 24.4
86
CONDUCCION TRANSITORIA
ρ∗Cpcapacidad termica volumetrica ρg ° CTVρ∗Cp ° α α= difusividad térmica
Mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con
su capacidad de almacenar energía térmica.
Cuando un sólido experimenta un cambio súbito en su ambiente térmico, se considera una pieza forjada de metal caliente que se encuentra a una temperatura inicial uniforme Ti y que se templa por inmersión en un líquido que se encuentra a una temperatura más baja T∞
comienza en t=0, la temperatura del solido disminuye para un t > 0, hasta llegar a T∞. Esto
se da debido a que la transferencia de calor por convección en la interfaz solido-liquido. Ti: temperatura uniforme del cuerpo (inicial) Suponemos que la temperatura del solido es espacialmente uniforme en cualquier instante Los gradientes de temperatura del solido son insignificantes. Método de la resistencia interna despreciable. Si no tenemos gradientes de temperatura no podemos calcular la difusión de calor. Para resolver el problema usamos la temperatura transitoria, para esto realizamos un balance de energía global en el sólido. Debemos relacionar la velocidad de perdida de calor en la superficie con la rapidez de cambio de la energía interna. 1)
2)
3)
̇ ̇ ℎ ≡
Separando variables e integrando desde la condición inicial para la que t=0 y T(0)=Ti
87
ℎ l n ℎ ℎ
4)
5)
6)
Constante térmica de tiempo
7)
τ ℎ τ ℎ1
: Resistencia a la transferencia de calor por convección
: Resistencia interna despreciable del solido
NOTA: cualquier aumento en y cambios en su ambiente térmico.
Transferencia total de calor Q
ocasionaría que un sólido responda más lentamente a
ℎ
Sustituyendo θ de la ecuación 6) e integrar se tiene
88
1
Además Q está relacionada con el cambio de energía interna de salida
≡∆ ,
Consideración de Conducción en estado estable a través de una pared plana de área A.
, <, <, <
Esta superficie se mantiene a y la otra se expone a un fluido de temperatura por lo que será un valor intermedio
, ,
Curva b): Bi
≈
Curva a): Bi << 1 1
Curva c): Bi >> 1
<, <, <, (, ,)ℎ, ,, , 1 ℎ ℎ
La resistencia a la conducción dentro del solido es mucho menor que la resistencia a la convección a través de la capa límite del fluido. 9)
≡ ℎ
Biot proporciona la variación de temperatura en el sólido / variación de temperatura entre la superficie y el fluido.
89
, ≈
Variación de temp y el tiempo
La T.C se la relaciona entre el sólido y el fluido, internamente la significante
∆
Muy grande la T.C en el interior del solido es muy grande
∆
Significante
∆
Se debe satisfacer la siguiente condición:
≡ ℎ <0.1
Longitud característica Lc Lc -> relación entre el volumen del sólido y el área de superficie
≡/
Para una pared plana de 2L Lc=L
/2 /3 /2 /3 ℎ ℎ ℎ ∗ ∗ ℎ ∗ ≡ Cilindro largo: Esfera:
Para un cilindro o esfera calentada en forma simétrica Lc sería igual al radio real o .
en lugar de
Con Lc=V/As
Fo es un tiempo sin dimensión que junto con Biot son características de conducción transitoria
90
exp∗
Ejemplo 5.1
Una unión termopar cuya forma se aproxima a una esfera, se usara para la medición de la temperatura en un flujo de gas. Se sabe que el coeficiente de convección entre la superficie de unión y el gas es h= 40 , y que las propiedades termofisicas de la unión son
° / 20° ° 8500 c=400
y
. Determine el diámetro de la unión esta a
25°C y se coloca en un flujo de gas que está a 200°C ¿Cuánto tiempo tardara la unión en alcanzar 199°C?
Ejemplos 5.2/5.4
91 Ejercicios 5.6/5.7/5.9/5.31 Análisis General del Método de Resistencia interna Despreciable Resistencia Interna
Aunque la conducción transitoria en un sólido normalmente se inicia mediante la transferencia de calor por convección hacia o desde un fluido contiguo, otros procesos tal vez introduzcan condiciones térmicas transitorias dentro del sólido, por ejemplo: Un sólido se separa de sus alrededores mediante un gas o un vacío. Si las temperaturas del sólido y los alrededores difieren el intercambio de radiación ocasiona que cambie la energía térmica interna y por ello la temperatura del sólido.
Aplicando conservación de energía para cualquier instante t:
Ecuacion diferencial ordinaria de primer orden no lineal y no homogenea no es posible
integrara para obtener una soluccion exacta.
Pero si no existe flujo de calor impuesto o generado y convección son insignificantes frente a la radiación, se reduce a:
Al separar variables e integrar desde la condición inicial hasta cualquier tiempo t se ti ene:
Al evaluar las integrales y reacomodar con el tiempo que se requiere para alcanzar T
92
Pared plana con convección Solución EXACTA
∗ ∗
Es una coordenada adimensional espacial
Tiempo adimensional
∗ ∗
L: es la mitad del espesor de la pared.
Si el espesor es pequeño en relación al ancho y la altura de la pared es razonable suponer que la conducción ocurre en la dirección X
Cilindro Infinito o Esfera
Si la pared esta inicialmente a una temperatura uniforme
, ∗ ≡
≠
y se la sumerge súbitamente en un fluido las temperaturas se encuentran resolviendo la ecuación:
∗∗ ∗ Para las condiciones:
Relación adimensional de la variable
∗ −−
dependiente
∗∗∗, 01 ∗= 0 ∗∗∗= ∗1,∗ ∗ ±1 ∗ 0
La convección para las superficies en son las mismas, la distribución de temperaturas en cualquier instante debe ser simétrica alrededor del plano medio (
93 La solución exacta: 1)
∗ ∗ exp =
Cn ^ se encuentra en la tabla 5.1 pág. 227 2)
3)
4 22 tan
Valores característicos de 4)
son las raíces positivas de la ecuación
Solución aproximada: Para valores de Fo > 0.2 5) 6)
∗ 1 exp11 ∗ ∗ ∗cos 1 ∗
La dependencia de la temperatura con respecto al tiempo x en cualquier lugar dentro de la pared es la misma que la de la temperatura del plano medio
7)
8)
∗
∗ 0
Representa la temperatura en el plano medio
∗ 1 exp1
TRANSFERENCIA TOTAL DE ENERGIA En algunas situaciones es útil conocer la energía total que disminuye en la pared en cualquier tiempo t eh el proceso transitorio. Se aplica para condiciones de tiempo limitado por la condición inicial (t=0) y cualquier t > 0 9)
94
∞
Energía interna inicial de la pared. Cantidad máxima de transferencia de energía que podría ocurrir para un t= 10)
∗ 8 1 C1 ^
tabla 5.1
Cilindro infinito
∗ ,
: Energía total transferida de la pared : Funciones de Bessel de primera clase Tabla B-4
Esfera
Donde:
Donde
son las raíces positivas de la ecuación trascendental
1cot
Ejemplo 5.2/5.4 Propuestos 5.5/5.6/5.7/5.31 Ejemplo 5.3 pág. 231 Considere una tubería de acero (AISI 1010) que tiene 1m de diámetro interno y una pared con espesor de 40 mm. La tubería está fuertemente aislada en el interior y antes del inicio del flujo las paredes de la tubería se encuentran a una temperatura uniforme de -20 C. con el inicio del flujo se bombea aceite caliente a 60 C por la tubería, con lo que se crea una condición conectiva de superficie que corresponde a en la superficie interior de la tubería.
ℎ500
1) Cuáles son los números de Biot y Fourier apropiados, 8 minutos después de iniciado el flujo 2) A t=8min ¿Cuál es la temperatura de la superficie exterior cubierta por aislante? 3) ¿Cuál es el flujo de calor q”
a la tubería desde el aceite en t= 8 min?
4) ¿Cuánta energía por metro de longitud de tubería se ha transferido del aceite en t= 8 min?
95
0.313>0.1 5. 6 4>0. 2
No se puede usar resistencia interna
Podemos usar convección en una pared plana
Temperatura Del plano medio
TABLA 5.1
0.313;11.047; 0.531
INTERPOLAR
Bi 0.30 0.313 0.40
Para 8 min tenemos
∗
,
0.5218 0.531 0.5932
C1 1.0450 1.047 1.0580
96
∗ 600.2132060 42.92 3) la transferencia de calor a la superficie interna en x=L se da por convección y para cualquier tiempo Ley de Newton t=8min=480 s
El flujo de calor en t=8 min
Transferencia total de energía
97
INTRODUCCION A LA CONVECCION Hemos analizado la transferencia de calor por conducción y se ha analizado la convección solo hasta el punto en que proporciona una posible condición de frontera en problemas de conducción. En esta sección analizaremos la convección como la transferencia de energía entre una superficie y un fluido que se mueve sobre esta comprender los mecanismos físicos que fundamentan la transferencia de calor por convección.
Determinar los métodos adecuados para realizar los cálculos de transferencia de calor por convección
" ℎ 1
El flujo de calor local se expresa como: como las condiciones de flujo varían de punto a punto sobre la superficie q” y h también va rían a lo largo de la superficie.
∫ " 2 ∫ ℎ 3 ℎ̅ ℎ̅ 4 ℎ̅ 1 ℎ 5
Definiendo un coeficiente de convección promedio para toda la superficie el calor transferido:
Igualando (3) y (4)
El flujo sobre una placa plana de manera especial h varía con la distancia x desde la primera orilla por lo que la ecuacion (5) se reduce a:
̅ℎ 1 ℎ 6
Tarea ejemplo 6.1 Capa límite de velocidad o hidrodinámica
98
una y otra vez hasta llegar a una distancia
Considere el flujo sobre una placa plana. Cuando las partículas entran en contacto con la superficie adquieren una velocidad cero. Estas partículas actúan para retardar el movimiento de la capa contigua al fluido por lo que también retarda el movimiento de las partículas en la capa. Esto se repite de la superficie.
0.99
Esta desaceleración del movimiento del fluido se asocia con los esfuerzos cortantes que actúan en planos paralelos a la velocidad del fluido.
La cantidad espesor de capa límite y se define como el valor de (velocidad del fluido). Este perfil de velocidad se refiere a la forma en la que
para el que
varía con
a través de la capa límite.
existe dos regiones distintas -> capa fluida delgada =, gradiente de velocidad y esfuerzos cortantes grandes ->una región fuera en la que y son insignificantes.
Capa limite térmica
Si las temperaturas del flujo sobre la superficie difieren se produce una capa limite térmica. Al inicio de la placa el perfil de temperatura es uniforme con . Pero las partículas del fluido hacen contacto con la placa alcanzando el equilibrio térmico a la temperatura de la superficie de la placa. A su vez intercambian energía estas partículas, con las de la capa adyacente del fluido y se producen en el fluido gradientes de temperatura.
En donde se cumple
−− 0.99
El flujo de calor se puede obtener en y=0 a través de Fourier (6)
En la superficie no existe movimiento del fluido y la transferencia de calor ocurre solo por conducción. Combinando (1) y (6)
99
→ = " ℎ
Convección Capa limite
Es necesario determinar si el flujo es laminar o turbulento. La transferencia de calor por convección depende de estas condiciones
Región turbulenta
Capa de amortiguamiento Subcapa laminar
Laminar: Re ≤ 2100
Transición: Re <
3∗10 3∗10
Turbulento: Re ≥
en la capa limite laminar el movimiento del fluido es altamente ordenado y es posible identificar líneas de flujo a lo largo de las cuales se mueven las partículas. El movimiento del fluido a lo largo de una línea de flujo se caracteriza por componentes de la velocidad en X y Y. El componente de la velocidad en la dirección normal contribuye significativamente a la trasferencia de movimiento, energía o especias a través de la capa limite. El movimiento del fluido en la capa limite turbulenta es altamente irregular y se caracteriza por fluctuaciones de velocidad; estas aumentan la transferencia de movimiento, energía y especies por lo que aumenta la fricción de la superficie así como la transferencia por convección. Se caracteriza por gradientes de velocidad y esfuerzos cortantes.
100 En la región completamente turbulenta las condiciones se caracterizan por un movimiento tridimensional aleatorio de porciones grandes de fluido => aumentos en el espesor de la capa límite, esfuerzo cortante de la pared y coeficiente de convección.
El espesor y el coeficiente h varían
La transición comienza en alguna posición Xc la que se determina mediante el agrupamiento de variables llamado Número de Reynolds. Reynolds es una relación de fuerzas de inercia y fuerzas viscosas. Si Re ↑ => fuerzas de inercia son↑
Si Re peq => fuerzas viscosas son↑
∗
x: es la distancia característica
: # de Reynolds crítico y para el flujo sobre una placa plana varia de ª dependiendo de la aspereza de la superficie y del nivel de turbulencia del flujo libre
, 5∗10 Valor representativo
Las propiedades del fluido varían con la temperatura a través de la capa límite
2 : temperatura de la superficie : temperatura de flujo libre
Variables Independientes adimensionales
∗ ≡ ∗ ≡ ∗ ≡ ∗ ≡
L: longitud característica para la superficie de interés (Ej.: longitud placa plana)
: Velocidad a contracorriente
10 3∗10
101 Flujo externo
Flujo laminar
∗,̅ , Pr ó , Pr
Espesor para capa limite
√ 5/ √ 5
0.332√ /
/ , ,2 0.664−
Coeficiente local de fricción es:
Utilizando el coeficiente local de convección
ℎ 0.332∗/ ∗
≥0. 6
Nusselt global
̅ ̅ℎ 0.664∗/ ∗ ≥0. 6 ̅̅ 2 ℎ 2ℎ / 0.3387∗ ∗ 10. 0468/Pr// Para el flujo laminar sobre una placa isotérmica
102 Flujo Turbulento Se asocia con la existencia de fluctuaciones aleatorias en el fluido. Es beneficioso ya que proporciona aumento de transferencia de calor. Sin embargo el movimiento es complicado y difícil describirle teóricamente.
≤10 −/ 0.37 −/ , 0.059 ≤10 0.0296// 0. 6 <<60 Número de Stanton (St)
̅ 0.037 / 0.037, 0.664,/
Condiciones de capa limite mezclada
En la capa limite mezclada: si se supone un numero de Reynolds de transición representativo : Se utiliza:
̅,0.5∗10 037 871/ 0. 6
Rango de aplicación
Coeficiente de fricción
̅, 0.0741/5 1742 8 5∗10 ≤ 105 ,<5∗10 Para estas condiciones:
103
≫ ( ≫ , ); ≪0.037 4/5 ̅ 0.037 ∗/ ̅, 0.0741/5
Si
Ejemplo 7.1
6 ⁄
10⁄
Aire a presión de y a una temperatura de 300 C fluye con una velocidad de sobre una placa plana de 0.5m de longitud estime la velocidad de enfriamiento por unidad de ancho de la placa, necesaria para mantenerla a una temperatura superficial de 27 C.
Un gas a diferentes presiones
Flujo laminar
104
°
Considere los siguientes fluidos a una temperatura de película de 300 K en un flujo paralelo sobre una placa plana con velocidad de 1 m/s: aire atmosférico, agua, aceite de motor y mercurio.
a) Para cada fluido, determine los espesores de la capa límite de velocidad y de la capa térmica a una distancia de 40 mm desde el borde o inicio de la placa.
1 300° 0,04 m x
Aire
300° 1 15, 8 9∗10− 0,707 Agua
− . 855∗10 − 997 0,858∗10 5,83
105
Aceite de motor
− 550∗10
6400
− 0, 1 13∗10
0,0248
Mercurio
5 Fluido Aire Agua Aceite de motor Mercurio
1 ∗0, 04 10 10
2517 4,66* 72,7 3,54*
3,99 0,93 23,5 0,34
4,48 0,52 1,27 1,17
106
0,6 4℃
40℃ L = 1,5 m
x
a) Usando
evaluar
y las propiedades del agua.
295°4402 273° → 295° 295° − 0, 9 61∗10 0,606 ° Pr6,62 → 40℃313° 657∗10− . → 4℃277°
4℃277°
107
. − − 1000 ; 1560∗10 ; 1,560∗10 0,577 ° 11,44 a)
ℎ̅
ℎ̅ ? 0, 6 ∗ 0,961∗1,5 9,365∗10
0,6 <<60 5∗10 < ≤10
⇒
Capa limite Mezclada
̅ 0,037 871 ̅ 0,0379,365∗10 871∗6,62 2522 6 06 ℎ̅ ̅∗ 2522∗0, 1019 1,5 1019∗1,5∗40455
108
∞ ∗ 0, 6 ∗1, 5 1,560∗10− 5,769∗10 ̅ 0,037 871 ̅ 0,037∗5,769∗10 871 11,44 ̅ 1424 ̅ℎ ∗ 1424∗0,1.5 057 575 ° 575∗1, 5 ∗40431,1
a) Con la temperatura de flujo libre
Cuando se genera una capa limite turbulenta desde el inicio de la placa (alambre fino o generador de turb.) se tiene:
̅ ≫ 0,037 ̅ 0,0379,365∗10 6,62 4157
109
ℎ̅ ∗ 4157∗0,1,5 606 1679 ° 1679 ° ∗1,540490,7 5∗10 ∗ ∗ ∗15, 6 0∗10 . 5∗10 0,6 1000
0,0013 ≫ ̅ 0,037
Un concepto que se utiliza para colectar energía solar implica la colocación de un tubo en el punt o local de un reflector parabólico y hacer pasar un fluido por el tubo.
110
El efecto neto de este arreglo se puede aproximar al de crear una condición de calentamiento uniforme en la superficie del tubo. Es decir, se puede suponer que el flujo de calor resultante al fluido q" es una constante a lo largo de la circunferencia y del eje del tubo. Considere la operación con un tubo de diámetro D = 60 mm en un día soleado para el que "= 2000 W/ .
̇
1. Si entra agua presurizada al tubo a = 0.01 kg/s y Tm = 20 °C, ¿qué longitud de tubo L se requiere para obtener una temperatura de salida de 80°C? 2. ¿Cuál es la temperatura superficial en la salida del tubo, donde se puede suponer que existen condiciones completamente desarrolladas?
̇." . ̇ " 0, 0 1 ∗4181 ∗ ∗0.060∗2000 8020℃6.65
111
. ℎ" . ̇ 4 4∗0. 0 1 ∗0.060 ∗352∗10− 603 ℎ 4.36 0. 6 70 ℎ4.36 4.36 0.06 . 48.7 . 2000 . 48.7 . 80℃121℃ Todas las expresiones anteriores del número de Nusselt se restringen a situaciones para las que la temperatura superficial Ts es uniforme.
Una
≠∞
∞
excepción común implica la existencia de una longitud inicial no calentada (Ts = T ), corriente arriba de una sección calentada (Ts T )
112
El crecimiento de la capa limite de velocidad empieza en x = 0 mientras que la capa limite térmi ca empieza en x = .
∄ "
Si
transferencia de calor para 0
≤ ≤
0,453 Pr≥0,6 Longitud no calentada
" ℎ ℎ ∆ " ∗ ∆ ̅ 1 " ̅ " ̅ 0,680
113
Las pruebas experimentales sobre una parte del álabe de turbina que se muestra indican un flujo de calor hacia la hoja de q" = 95000 W/ ; para mantener una temperatura superficial en estado estable de 800 , se elimina el calor que se transfiere al álabe haciendo circular un fluido refrigerante dentro del mismo. Determinar:
℃
℃
1. El flujo de calor que llega al álabe si la temperatura se reduce a 700 al aumentar el flujo de fluido refrigerante.
∞
2. El flujo de calor en la misma posición adimensional para un álabe turbina si milar que tiene una longitud de cuerda L= 80 mm, cuando el álabe opera en un flujo de aire a = 1150°C y V = 80 m/s, con Ts = 800°C.
Condición 1 (inicial)
" ℎ " ℎ Solo se reduce la temp. En la superficie
" ℎ
114
ℎ " Para que h = cte
" ℎ " ℎ ℎ ℎ ℎ " ℎ " ℎ ℎ ℎ No cambia
" " " " ∗ " 95000∗ 1150700 1150800
115
" 122000 Para que h = cte con las condiciones de cambio de temperatura en la superficie.
160∗40 6400 80∗ 80 6400
116
Para el álabe más largo y el flujo de aire reducido
⇒ Pr ⇒ ℎ ℎ ℎ ℎ " ℎ " ℎ " ℎ " ℎ ⇒ " " ∗ " " ∗ " 95000 ∗ 0,0,0048 " 47500 Flujo laminar en un tubo circular de radio uniforme
donde el fluido entra con una velocidad
117
: Velocidad media del fluido sobre la sección transversal del tubo : Diámetro del tubo
Reynolds critico al inicio del tubo
Para flujo interno es importante conocer la extensión de la región de entrada que depende de si el flujo es laminar o turbulento
Para condiciones completamente turbulentas
Flujo laminar turbulentas
≈10000
≤2300
La longitud hidrodinámica de entrada se da por la expresión
Suponemos que el fluido entra al tubo desde una boquilla por lo que el perfil de velocidad es casi uniforme
118
Para un flujo en tubo circular
4̇ El ing. se encuentra siempre con caídas de presión y este parámetro determina los requerimientos de potencia de bombeo o ventilación. Para determinar la caída de presión se trabaja con el factor de fricción de Moody (o de Darcy).
Parámetro adimensional
− ó Factor de fricción de Fanning
2 = 4 Para un flujo completamente desarrollado (Laminar)
64
No se confunde con el coeficiente de fricción.
119
Para un flujo turbulento completamente desarrollado, el análisis es más complicado, y debemos depender finalmente de resultados experimentales. Se utiliza el diagrama de Moody de la figura 8.3, se presentan factores de fricción para un intervalo del numero de Reynolds.
El factor de fricción es una función de la condición de la superficie del tubo. Es un mínimo para superficies suaves y se incrementa al aumentar la rugosidad de la superficie, “e”.
0,316 − ≲ 2∗10 0,184 − ≳ 2∗10 Para números grandes de Reynolds (Expresión Petukhov)
0,790ln 1,64− 3000 ≤ ≤ 5∗10 El factor de fricción y dp/dx = cte
, ⇒∆
para la región completamente desarrollada.
≡
caída de presión de la expresión
∆ 2 2 64
Para una posición axial desde
La potencia P en W requerida para vencer la resistencia al flujo asociada con la caída de
120 presión:
Ρ ∆∆∀ ̇ ∀ ̇ ∀ ̇ ̇
Flujo volumétrico
[Fluido incompresible]
,
Entra fluido al tubo a una temperatura uniforme que es menor que la temperatura de la superficie Ts y empieza a producir una capa limite térmica.
Ahora si en a superficie del tubo nos imponemos una Ts=cte o flujo de calor uniforme se alcanza una capa térmica completamente desarrollada .
La forma del perfil de temperatura completamente desarrollada mantenga una Ts=cte o
"
,
es variable según se
Para el flujo laminar la longitud de entrada térmica se puede expresar como:
, ≈ 0,05 Si
Pr>1
"
La capa limite hidro se desarrolla mas rápido que la capa limite térmica
121
< Pr>1
Si
lo inverso es cierto
≳ ≪
Pr en aceites es extremadamente grande Pr 1000
⇒
El perfil de velocidad se desarrolla completamente en la región de entrada térmica.
Como el flujo en un tubo está encerrado en cerrado se puede explicar un balance balan ce de energía para determinar cómo varia la temperatura media con la posición a lo largo del tubo, y como esta relacionada la transferencia total de d e calor por convección con la diferencia de temperaturas en la entrada y salida del tubo.
La temperatura media , es una temperatura de referencia conveniente para flujos internos que desempeña una función muy similar a la de la temperatura de flujo libre para flujo externo.
⇒
La ley de enfriamiento de Newton:
(1)
Si
Si
" ℎ
debe variar en la dirección del flujo
≠ 0 > ⇒ < ⇒
122
≡ 2 ̇ ̇ ̇ 0 3 ̇ Si suponemos que el fluido es un gas ideal
;; la Ecuación (3) queda:
4 ̇ Una forma especial de la ecuación (4) se relaciona con las condiciones para todo el tubo. En particular al ingresar de la entrada i, a la salida O del tubo:
123
5 , ̇ , ∃ 3 : ;,;, ̇
Es una expresión que se aplica independientemente de las condiciones térmicas de la superficie o de las condiciones de flujo, de la ecuación (4)
La transferencia de calor para cada elemento diferencial
6 " ; ̇ " ̇ ℎ → ̇ " " ℎ 7 ̇ " ℎ ̇ (4) La expresión (7) es extremadamente útil. La solución de (7) para Tm(x) depende de la condición térmica de la superficie.
1: Flujo de calor superficial cte. 2: Temperatura superficial cte.
" Para flujo de calor superficial cte observamos que es sencillo determinar
. Como
"
es
124 independiente de X
⇒ " ∗ 8 Se puede utilizar la ecuación (5) para determinar el cambio en la temperatura del fluido Tm,o – Tm,i
Para
"
se puede usar la ecuación (7)
̇ " ≠ Al separar variables e interpretar desde x=0
" 9 , ̇ "
Condiciones superficiales constantes
En consecuencia la temperatura media, varia en forma lineal con x a lo largo del tubo.
Ts – Tm inicialmente es pequeña (debido al valor grande de h en la entrada). Al aumentar x el valor de h disminuye porque se desarrolla la capa limite.
Pero en la R.C.D h es indepediente de x.
Por lo tanto Ts – Tm es independiente de x en la R.C.D.
125
Los resultados para T.C total y distribución axial de la t emperatura son completamente diferentes para Ts=cte.
Definido
∆
la ecuación (7) se puede expresar como:
10 ∆ ̇ ℎ ∆ Separando variables e integrando desde la entrada hasta la salida del tubo:
∆ ∆ ∆ ∆ ̇ ℎ ∆ ln ∆ ̇ 1 ℎ El coeficiente promedio de convección se expresa como:
ℎ ∆1 ∆ ℎ; ℎ̅ 1 ℎ 11 ln ∆∆ ̇ ̅ℎ ̇ − 12 ∆∆ , , (5)
ℎ̅
es el valor promedio desde x=0 (entrada del tubo) hasta un valor x
126
⇒
disminuye exponencialmente.
̇ ,,.
La expresión para la T.C se complica por la naturaleza exponencial de la disminución de la Temperatura de la ecuación (5)
Reacomodada:
̇ , , ̇ ∆ ∆ ̇∆ ∆ 13 ℎ̅ ∆ ∗ ∆ ∆ 14 ∆ ∆ ln ∆∆ ℎ̅
.
Para algunas implicaciones en la temperatura del fluido externo la que se fija en lugar de la temperatura de la superficie del tubo y el valor de se reemplaza por
127
∆ , − 15 ∆ , ̇ 16 ∆ Un sistema para calentamiento de agua desde una temperatura de entrada Tm,i = 20°C a una temperatura de salida Tm,o = 60°C implica hacer pasar el agua por un tubo de pared delgada que tiene diámetros interno y externo de 20 y 40 mm. La superficie externa del tubo está bien aislada y el calentamiento eléctrico dentro de la pared proporciona una generación uniforme de .
10
̇
̇
a) Para un flujo de masa de agua = 0 l kg/seg, ¿que tan largo debe ser el tubo para alcanzar la temperatura de salida que se deseada? a) Si la temperatura de la superficie interna del tubo es Ts=70 en la salida; cual es el coeficiente local de transferencia de calor por convección en la salida.
℃
128
2060℃ ̅ ,, ̅ ; 2 2 ; ̅ 40℃; ̅ 313° 4,179 ° ∄ . ≡ 6 4 ̇ ∗ ̇ 4 ∗ ̇,, " ̇ 4 ∗ ̇ ,, , , ⇒ 4 ̇ ̇
129
17,74 b)
" ℎ ∆ ∆
Para la salida del tubo; ho es coeficiente local en la salida. En la salida x=L. en la superficie interna de la salida del tubo
∆,, " ℎ,, ̇ 4 " ⇒ ̇ " " 4 " ̇ 4 ; " 1,5 ∗10 " ℎ , , " ̇ ℎ ,, ; ℎ ,, ℎ1500 °
La condensación de vapor sobre la superficie externa de un tubo circular de pared delgada de 50 mm de diámetro y 6 m de longitud mantiene una temperatura superficial un iforme de 100°C. Por el tubo fluye agua a razón de = 0.25 kg/s, y sus temperaturas de entrada y de salida son Tm,i = 15°C y Tm,o = 57°C. ¿Cuál es el coeficiente promedio de convección asociado con el flujo de agua?
̇
130
̅ 1557 2 36℃ → 309° 4178 ° ̇ ,, ℎ̅ ∆ → ̇,, ℎ̅ ∆ , ℎ̅ ̇, ∆ ∆ ∆ ∆ ln ∆∆ 1005710015 , ∆ ,ln , ∆ 10057 l n , 10015 ∆61,63℃ 4178 ̅ℎ ° ∗0,525 ∗5715
131
ℎ̅ 755,22 ° ANÁLISIS TÉRMICO Y CORRELACIONES DE CONVECCIÓN
Es necesario conocer los coeficientes de convección, por lo que se explicará la manera teórica de obtenerlos para el flujo laminar.
REGIÓN COMPLETAMENTE DESARROLLADA
En cualquier punto del tubo se suponen aplicables las aproximaciones de capa limite.
Combinando la ley de enfriamiento de Newton.
" ó 4 ̇ " 48 11 ℎ 11 48 5
3 " ℎ Si
" 6 ℎ 4,36
,
Por lo tanto en un tubo circular caracterizado por flujo de calor superficial uniforme y condiciones completamente desarrolladas es una constante, independiente de y la posición axial.
132
Para condiciones laminares completamente desarrolladas con una temperatura superficial constante las aproximaciones de capa limite de velocidad o hidrodinámica se satisfacen otra vez exactamente y la aproximación de capa limite térmica
a menudo es razonable.
≪
El perfil de velocidad se expresa como:
21 Para Ts = cte
0 |, |, Combinando estas expresiones: Sii Ts = cte:
1 2 1 Para resolver esta ecuación se puede utilizar un procedimiento iterativo que implica hacer aproximaciones sucesivas al perfil de temperaturas.
El resultado no se lo puede describir mediante una simple expresión algebraica. Sin embargo se puede mostrar que el número de Nusselt que se obtiene es:
Sii Ts = cte
ℎ 3,66
133 Revisar Tarea ejemplo 8.4
Para resolver la Ecuación de Energía:
En la región de entrada es complicado, ya que la velocidad y temperatura dependen de x así como
también de . El gradiente de temperatura
tal vez ya no se pueda simplificar mediante
|, |, " |, |, A pesar de esto se obtienen dos diferentes soluciones de longitud de entrada. La solución mas sencilla es para el problema de longitud de entrada térmica, y se basa en la suposición de que las condiciones térmicas se generan en presencia de un perfil de velocidad completamente desarrollado.
Esta situación existirá si la posición a la que comienza la T.C. estuviera precedida por una longitu d inicial no calentada o para fluidos con Pr muy alto como los aceites
134
∞
Los números de en principio don infinitos para x = 0 y disminuyen a sus valores asintóticos (completamente desarrollados) al aumentar x. Conforme Pr
las condiciones completamente desarrolladas se alcanzan para
≈0,05 ̅ℎ 0, 0 668 ̅ 3,66 10,04 Pr
Para la condición de Ts = cte se puede determinar
a partir de la correlación de Hausen. Longitud de entrada térmica
Para la longitud de entrada combinada (Térmica y de velocidad). La correlación adecuada es la de Sieder y Tate.
, ̅ 1,86
0,48
135
El análisis es mucho más complicado, por lo tanto se hace mas énfasis en correlaciones empíricas.
2 8
Una expresión clásica para calcular local para F.T.C.D (hidrodinámica y térmicamente) en un tubo circular suave se debe a Chilton-Colburn
Si
0,790ln 1,64− 0,023
De manera general Dittus-Boelter proponen la siguiente correlación
0,023 Donde:
> <
n= 0,4 para calentamiento n= 0,3 para enfriamiento
Experimentalmente confirmado para las siguientes condiciones
0,7 ≤Pr≤160
136
≳ 10000 ≳10 Esta expresión se debe usar solo para diferencias de temperaturas de pequeñas a moderada (Ts – Tm) con todas las propiedades evaluadas a Tm.
Para variaciones grandes de las propiedades se puede utilizar la correlación de Sieder y Tate.
, 0,027
0,7 ≤Pr≤16700 ≥10000 ≳10
Todas las propiedades evaluadas a Tm excepto
Con estas expresiones se podrían en determinados casos incidir en errores al 25%.
Mediante el uso de correlaciones mas recientes se puede reducir los errores en al menos un 10%.
Por ejemplo Petukhov propone:
8 1,0712,7 8 1 Valida para:
137
0,5
f se puede obtener del diagrama de Moody o para tubos suaves
Para numros de Reynolds pequeños Gnielinsky modifica la correlación de Petakhov y propone:
1000 8 112,7 1 8 Valida para:
0,5
Consultar Correlaciones de convección en tubos no circulares.
Ejemplo 8.6
