APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL 2011-pag 45

Ing. Manuel Zamarripa Medina

Apuntes de Cálculo Diferencial 2011

APUNTES DE

CÁLCULO DIFERENCIAL

Ing. Manuel Zamarripa Medina Academia de Matemáticas CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS Industrial y de Servicios 33 1



PROLOGO: Estos apuntes de Matemáticas “Cálculo Diferencial” fueron preparados como apoyo didáctico para que el estudiante se introduzca en la comprensión y dominio de esta rama de las matemáticas. En los apuntes se expone la parte teórica correspondiente seguida de ejemplos resueltos, los cuales incluyen los pasos a seguir y las formulas empleadas, las cuales se disponen hacia el margen derecho de los ejercicios planteados. La solución de los ejercicios propuestos al estudiante es de vital importancia para la consolidación de los conocimientos adquiridos. Como ayuda al estudiante se preparó también un Formulario de Matemáticas, al cual hay que reproducir por separado. Lo anterior porque para la solución de problemas se requiere del conocimiento de otras áreas de las matemáticas, tales como: Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Ing. Manuel Zamarripa Medina “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”. René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés. Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario por su invención de la Geometría Analítica. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas. Como filosofo fue fundador del racionalismo, se le recuerda por su frase: “pienso, luego existo”. “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano. Galileo comenzó la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton. Su principal contribución a la astronomía fue el uso del telescopio para la observación y descubrimiento de las manchas solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter y las fases de Venus. En el campo de la física descubrió las leyes que rigen la caída de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles.

Cultura Maya: la refinación en las ciencias matemáticas, la astronomía y la arquitectura. Calendario Maya: el más preciso de su tiempo. Numeración Maya: sistema de numeración vigesimal, que incluía el concepto de cero.

2



ÍNDICE Página PROLOGO ---------------------------------------------------------------------------------------2 Lectura: Citas Matemáticas -------------------------------------------------------

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1.

6 CONCEPTOS GENERALES --------------------------------------------------------------------1.1 Antecedentes -----------------------------------------------------------------------------6 1.2 Conjuntos ---------------------------------------------------------------------------------8 1.3 La recta real -----------------------------------------------------------------------------8 1.4 Valor absoluto de un número ------------------------------------------------------9 1.5 Intervalos ---------------------------------------------------------------------------------12 1.6 Par ordenado ------------------------------------------------------------------------- 15 15 1.7 Producto cartesiano -------------------------------------------------------------------15 1.8 Concepto de relación y función ------------------------------------------------------1.9 Funciones ------------------------------------------------------------------------------- 16

2.

33 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES -----------------------------------------------2.1 Definiciones de límites ----------------------------------------------------------------33 34 2.2 Teoremas de límites -------------------------------------------------------------------37 2.3 Continuidad de funciones -------------------------------------------------------------38 2.4 Análisis de funciones continuas y discontinuas -------------------------------------

3.

LA DERIVADA ----------------------------------------------------------------------------------41 41 3.1 Noción de derivada --------------------------------------------------------------------43 3.2 Concepto de derivada -----------------------------------------------------------------43 3.3 Regla general de derivación ---------------------------------------------------------45 3.4 Formulas de derivación ---------------------------------------------------------------49 3.5 Derivada de una función de función -----------------------------------------------50 3.6 Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas ------------------------57 3.7 Derivaciones de funciones trigonométricas directas ---------------------------54 3.8 Derivadas sucesivas de una función ------------------------------------------------3.9 La derivada como razón de cambio ------------------------------------------ 56 60 3.10 Puntos de inflexión y sentido de concavidad de una curva ---------64 3.11 Máximos y mínimos relativos ----------------------------------------------3.12 Aplicación de los máximos y mínimos en problemas de optimización 70

3


Lectura de comprensión:


Citas Matemáticas

* "Esto, por tanto, es matemáticas; te recuerda la forma invisible del alma; da luz a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; ilumina nuestras ideas intrínsecas; elimina el olvido y la ignorancia que nace con nosotros." o Proclo * "Con números se puede demostrar cualquier cosa."

o Thomas Carlyle

* "Conviene que todos los ciudadanos entren en contacto con la verdadera matemática, que es método, arte y ciencia, muy distinta de la calculatoria, que es técnica y rutina." o Luis Antonio Santaló * "Dondequiera que haya un número está la belleza."

o Proclo

* "El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos." o Joseph Fourier * "El propio Dios geometriza."

o Platón

* "... excelsas, supremas, excelentísimas, incomprensibles, inestimables, innumerables, admirables, inefables, singulares..., que corresponden por semejanza a Dios mismo." o Luca Pacioli, matemático italiano del s.XV. * "La elegancia de un teorema es directamente proporcional al número de ideas que vemos e inversamente proporcional al esfuerzo necesario para comprenderlas." o George Pólya, matemático húngaro. * "La música es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando." o Gottfried Leibniz * "Las abejas... , en virtud de una cierta intuición geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material." o Pappus de Alejandría, matemático griego del s.III-IV * "Las leyes de la matemática no son meramente invenciones o creaciones humanas. Simplemente "son": existen independientemente del intelecto humano. Lo más que puede hacer un hombre de inteligencia aguda es descubrir que esas leyes están allí y llegar a conocerlas." o Maurits Cornelis Escher * "Las matemáticas convierten lo invisible en visible."

o Keith Devlin

* "No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real." o Nikolai Lobachevski * "Si quisiéramos obtener la certeza sin dudas y la verdad sin errores, habríamos de basar nuestro conocimiento en las matemáticas." o Francis Bacon

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* "Siempre debiera pedirse que un asunto matemático no se considere agotado hasta que haya llegado a ser intuitivamente evidente." o Félix Klein, matemático alemán. * "Sin matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de las matemáticas; sin las dos no se ve el fondo de nada." o Bordas-Desmoulin * "Sólo en las ciencias matemáticas existe la identidad entre las cosas que nosotros conocemos y las cosas que se conocen en modo absoluto." o Umberto Eco * "Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática." filósofo francés.

o Henri Poincaré, matemático, y

* "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles." o René Descartes * "La ciencia de la matemática es como un simple castillo de cristal, donde adentro se ve todo, pero de afuera no se ve nada." o Norma Banicevich * "Parece que uno de los rasgos fundamentales de la naturaleza es que las leyes físicas fundamentales se describen en términos de una teoría matemática de gran belleza y poder, para comprender la cual se necesita una norma muy elevada de matemáticas. . . . Uno quizás pudiera describir la situación diciendo que Dios es un matemático de orden muy elevado, y que Él usó matemática muy adelantada al construir el universo." o Paul Dirac, Físico y matemático de la universidad de Cambridge * "Sabemos que la naturaleza se describe con la mejor de todas las posibles matemáticas porque Dios la creó." o Alexander Polyakov, matemático ruso. * "No es verdad que las llamadas 'matemáticas abstractas' sean tan difíciles. (...) No creo que haya por un lado un pequeño número de personas extrañas capaces de comprender las matemáticas y por el otro personas normales. Las matemáticas son uno de los descubrimientos de la humanidad. Por lo tanto no pueden ser más complicadas de lo que los hombres son capaces de comprender." o Richard P. Feynman * "Es increíble que la matemática, habiendo sido creada por la mente humana, logre describir la naturaleza con tanta precisión". * "Lo más asombroso de la naturaleza es que resulte tan sorprendentemente simple." * "No te preocupes por tus problemas con las matemáticas, los míos son todavía mayores". o Albert Einstein * "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" * "Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza." o Galileo Galilei * "La Geometría existía antes de la Creación. Es co-eterna con la mente de Dios... La Geometría ofreció a Dios un modelo para la Creación... La Geometría es Dios mismo." Johannes Kepler Astrónomo y matemático alemán * "Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza." Bertrand Russell 5


UNIDAD 1. 1. 1


CONCEPTOS GENERALES Antecedentes

El Cálculo Infinitesimal es la parte de las matemáticas que trata sobre las cantidades infinitamente pequeñas. Se subdivide en Diferencial e Integral, que son entre sí operaciones inversas de manera similar a la suma y la resta o la multiplicación y la división. Aplicaciones del Cálculo.- La ventaja de trabajar con infinitésimos proporciona a los investigadores, ingenieros, economistas y otros profesionistas una herramienta invaluable para que mediante la Derivada se pueda medir la rapidez con que se producen los cambios; se optimice el uso o aplicación de materiales, inversión, trabajo, etc. y se obtenga el máximo beneficio, resistencia, ganancia, etc. A la Integral se dan aplicaciones geométricas, para el cálculo de áreas y volúmenes; Físicas en la determinación de trabajo, presión de líquidos, lanzamiento de proyectiles, etc.; también tiene aplicación en procesos industriales, de economía y negocios entre otros; por lo cual el Cálculo como herramienta nos ayuda a una mejor calidad de vida. Historia del Cálculo.- Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia en el siglo III a.C. pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después, en el siglo XVII por obra de Newton y Leibniz. En lo que se refiere al Cálculo Diferencial existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:  El problema de la tangente a una curva (Apolonio)  El problema de los extremos –máximos y mínimos- (Fermat) Que en su conjunto forman el principio de lo que en la actualidad se conoce como Cálculo Diferencial. A principios del siglo XVII matemáticos como Kepler y Cavallieri empezaron a emplear las cantidades infinitas, lo que llevaría medio siglo después al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, lo que dio origen al cálculo diferencial; y del cálculo de áreas y volúmenes, lo que dio origen al cálculo integral. Sir Isaac Newton (1642 – 1727) Inglaterra.- Desarrollo su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Alemania.- Descubrió y comenzó a desarrollar el Cálculo Diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes.

6



Ventajas Comparativas Del Cálculo Diferencial

7


1.2


Conjuntos

Conjunto es una lista o colección de objetos bien definidos. Estos objetos pueden ser números, personas o cosas. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplo de conjuntos:

a) Los números 1,3,7 y 10 b) Los números 2, 4, 6, 8…. c) Los ríos de México

Notación o simbología.- los conjuntos se denotan por letras Mayúsculas A, B, X, Y …; al conjunto universal o total de todas las cosas, se le asigna la letra U . Por ejemplo, en estudios de población humana, el conjunto universal es el de todas las personas del mundo. Algunos de los símbolos más utilizados en notación de conjuntos son los siguientes: Llaves indican principio y fin de un conjunto. Cuando se listan los elementos de un conjunto deben estar separados con comas; por ejemplo: A = { 3, 5, 9 } ...

Indican continuación de un patrón; ejemplo: B = { 5, 10, 15 . . . 85, 90 } Al final indican un conjunto infinito; por ejemplo: C = { 2, 4, 6, 8 . . . }

ε

“pertenece a” o bien “es elemento de”; ejemplo: si A = { 3, 5, 9 } , 5 ε A porque 5 está en el conjunto A.

ε

“no pertenece a” o bien “no es elemento de”; ejemplo: si C = { 2, 4, 6, 8 . . . } entonces 5

εC

φ

Conjunto vacio (sin elementos)

C

“es subconjunto de”; ejemplo: si A = { 3, 5 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces A C B

C

“ no es subconjunto de”; ejemplo: si D = { 2, 3 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces DCB

R

1.3

entonces

“el conjunto de los números reales”: está integrado por los números racionales ( enteros positivos y negativos, cero y los fraccionarios de la forma a/b siendo a y b números enteros) y el de los números irracionales ( de infinitas cifras decimales que no se pueden expresar como una relación de enteros, como: 2 = 1.4142 …, π = 3.14159 …, e = 2.7182 …, Tan 140° = - 0.8390…, etc).

La Recta Real

El conjunto de todos los números reales se puede representar geométricamente por puntos en una recta numérica o Recta Real.

8



Para establecer una recta de números reales, realizamos las siguientes operaciones: 1. Tomamos un punto cualquiera como origen (asignándole el 0), 2. Elegimos un sentido positivo, por convención a la derecha del origen y lo indicamos por medio de una flecha, y 3. Establecemos una unidad de medida. El punto +1 estará una unidad a la derecha de 0; los números n y -n estarán representados por puntos a n unidades del origen.

(-)

( +) -π -3

-2

- 3/2

-1

0

½

1

2

2

3 π

Una propiedad de los números reales es la de orden, llamada tricotomía, de la cual se derivan los siguientes signos: > > =

Combinaciones: ≥ “mayor o igual a” ≤ “menor o igual a”

“mayor que” “menor que” “igual a”

Expresiones como a > b, a < b, a ≥ b

se llaman desigualdades

Constantes son cantidades que conservan siempre un valor fijo (son un solo número); por ejemplo: 5, , ½, π, -2, etcétera. Variables son cantidades que representan un número cualquiera del conjunto de números; por ejemplo: x, y, z, φ, θ, etcétera. Ejemplo 1.- Al conjunto formado por las diferentes longitudes de una barra sometida a diversas temperaturas se le puede representar por la letra L (inicial de longitud) y al conjunto de temperaturas por la letra T (inicial de temperatura). Las letras L y T son variables. Ejemplo 2.- Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares consideramos las coordenadas de todos los puntos, el conjunto formado por las abscisas de todos los puntos del plano, lo representamos por la letra x, y al conjunto de las ordenadas por la letra y, pues es una convención internacional. Las literales x, y son variables.

1.4

Valor Absoluto de un Número

El Valor Absoluto de un número es la distancia siempre positiva de un número desde cero en una recta numérica. Simbología. El valor absoluto de un número se define por: ІaІ=a І -a І = a

si a es cero o un número positivo si a es un numero negativo 9



Ejemplo: І -4 І = 4

І -4 І = 4

І4І=4

І4 І=4 -4

0

4

Ejercicios (1).- Conjuntos, recta real y valor absoluto.

1.- Escribe en notación de conjuntos: a) el conjunto A de los números nones positivos b) el conjunto D los días de la semana c) el conjunto B de las personas mayores de 200 años 2.- Escribe las siguientes expresiones en notación de conjuntos: a)

x no pertenece a B

b)

a no pertenece a D

c)

A es un subconjunto de C

d)

D no es subconjunto de E

e)

X pertenece al conjunto de los números reales

3.- Dados los siguientes conjuntos, indica entre las dos columnas el símbolo de correspondencia que se requiera: *2

2

a)

B

A

b)

10

A

c)

2

B

d)

5

C

+

*

+

*

+

4.- Indica sobre la recta real los números: -9, - 5/3, -1, 1/2, 2 , 9

10



5.- Propiedad de los números reales. Indica los signos correspondientes entre los números de las dos columnas que se indican. Ejemplo 2 < 6 a)

8

5

b)

½

0.5

c)

X2

0

d)

32

6

e)

-(42)

8

6.- Define: a) constante, b) variable

7.- Resuelve las siguientes expresiones: a)

|

b)

| 2|( )

c)

| |

d)

|

e)

|

|

|(

)

|

11


1.5


Intervalos

Intervalo de una variable es el campo de variación o conjunto de números que representa; por ejemplo: a) Si X es un libro de un conjunto formado por 10 libros, el intervalo de X es el conjunto { 1, 2, … 10 } b) Si X es un día del mes de Julio, el intervalo o campo de variación de X es el conjunto { 1, 2, 3, … 31 } c) Si X es la cantidad de agua en litros que se puede sacar de un depósito lleno de 10 litros, su campo de variación es el intervalo 0 ≤ X ≤ 10 Notación de intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados, según contengan o no a sus puntos extremos. Intervalo Cerrado es el conjunto de puntos o números que si considera a los puntos extremos. Por ejemplo sean a y b números reales, tal que a < b ; el intervalo cerrado [ a, b ] representa el conjunto de valores de la variable X tal que a ≤ X ≤ b. Puntos extremos a

b

[

] Campo de variación de X

(Los valores que puede tomar X incluyendo los extremos)

Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo cerrado [ -5 , 3 ] Gráfica

[

Desigualdad

]

-5

0

-5 ≤ X ≤ 3

3

Intervalo Abierto es el conjunto de puntos o números que no considera a los puntos extremos. Por ejemplo sean a y b números reales, tal que a < b ; el intervalo abierto ( a, b ) representa el conjunto de valores de la variable X tal que a < X < b. Puntos extremos a

b

(

) Campo de variación de X

(Los valores que puede tomar X sin incluir los extremos)

Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo abierto ( 2 , 6 ) Gráfica 0

Desigualdad

(

)

2

6

2
12



Intervalo Mixto es el conjunto de números que considera un extremo cerrado y otro abierto. Por ejemplo los intervalos: (2 , 8] y [-3, 6) son mixtos por que contienen un extremo cerrado y otro abierto. Intervalo Infinito.- cuando alguno de los puntos extremos se denota como abierto ∞ se trata de un intervalo infinito, este puede ser ( + ) ó ( - ). Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo ( -2 , +∞ ) Gráfica

Desigualdad

( -2

+∞

-2
0

Ejercicios resueltos.- dada la expresión matemática representar en forma gráfica y en forma de desigualdad los siguientes intervalos: Notación a)

b)

Gráfica

(-3 , 5]

( -3

0

( -4

(-4 , +∞)

c)

( -∞ , 6]

d)

(2 , 8)

e)

(-∞ , +∞)

] 5

-3 < X ≤ 5

-4 < X +∞

0

-∞

0

0

-∞

Desigualdad

( 2

X≤6

] 6 ) 8

0

+∞

2
-∞ < X < +∞ ó también: X ε R “ X pertenece al

conjunto de números reales”

los

Ejercicios (2).- expresa cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalos y representa su gráfica. 1) -2 < X ≤ 2

2) -3 ≤ X ≤ 1

3) 0 < X

4) X ≤ 5

7) 8 < X

8) -4 ≤ X ≤ 10

9) X ≤ 7

10) 4 ≤ X

5) -3 < X

6) -50 ≤ X < 25

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14


1.6


Par Ordenado

Definición. Se llama par ordenado o pareja ordenada a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. Un par ordenado de componentes o distancias ortogonales a los ejes coordenados x, y se denota por (x, y)

A partir de dos objetos x, y se forma un nuevo objeto (x, y) llamado par ordenado. En general a "x" se le llama primera componente o abscisa y a "y" se llama segunda componente u ordenada. Intuitivamente, dos pares ordenados son iguales sí y sólo sí son iguales sus primeras componentes y sus segundas componentes. (x, y) = (u, v) sí y solo sí x = u , y = v.

1.7

Producto Cartesiano

Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Ejemplo.- Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece así una relación de correspondencia entre Rx (abscisas) y Ry (ordenadas): el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x , y); Los números en un par ordenado son llamados coordenadas. 1.8

Concepto de relación y función entre dos conjuntos

Uno de los conceptos más útiles en matemáticas es el de relación y, como caso particular, el de función. Estas palabras no tienen en matemáticas el mismo significado que en la vida ordinaria cuando decimos, por ejemplo, "la función de la escuela es educar" o bien "la relación entre dos países es satisfactoria", etcétera. Las palabras relación y función implican la idea de una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, es decir, la formación de "parejas ordenadas de objetos" cualesquiera: personas, números, figuras geométricas, etcétera. En una Relación a cada elemento de un conjunto A se le puede asignar uno o más elementos del conjunto B. En una Función a cada elemento del conjunto A le corresponde exactamente un solo elemento del conjunto B. Ejemplos: 1. Los asientos de un teatro se localizan por una letra (fila) y un número (asiento). Así decimos: tenemos la localidad (A, 4) o la localidad (D, 10), etcétera. Son parejas ordenadas (primero la fila y después el 15



número) de un conjunto de letras y un conjunto de números. Esta correspondencia se trata de una relación porque a una misma fila le corresponden varios asientos. 2. Si hacemos corresponder a cada número natural su doble tendremos las parejas (1,2), (2, 4), (3, 6), etcétera. Esta correspondencia es una función porque ninguna pareja tiene igual el primer elemento. 3. De la misma manera se dice que la longitud de una circunferencia es función del radio, que el espacio recorrido por un móvil es función del tiempo, etcétera. Si a cada elemento de un conjunto A se le puede hacer corresponder exactamente otro elemento de un conjunto B se dice que B es función de A. La manera de establecer la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos es arbitraria pero debe estar perfectamente definida. Se puede expresar por una ecuación o fórmula, por una gráfica, mediante una regla, etcétera. Los elementos de los conjuntos A y B pueden pertenecer a un mismo conjunto que, en Cálculo, suele ser el conjunto de los números reales, es decir, A y B suelen ser generalmente conjuntos de números reales. Si los conjuntos son de elementos geométricos la palabra función se suele sustituir por "aplicación".

1.9

Funciones

Definición. Se tiene una función cuando dos variables están relacionadas de tal manera que para cada valor de una, la otra depende tomando un solo valor. En: y = 5x2 + x + 3

x es la variable independiente y es la variable dependiente, y es función de x

Dominio de una Función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Rango o Contradominio de una Función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Una función es una relación de dependencia entre dos variables, de tal manera que al dar un valor a una de ellas queda determinado el valor de la otra.

rango o contradominio

16



Un conjunto de pares ordenados (x, y), tales que x ε A y y ε B es una función o aplicación de A en B si a cada x ε A le corresponde un único elemento y ε B; es decir, una relación que tiene la propiedad de que a cada elemento de su dominio le corresponde uno y sólo un elemento de su codominio, se llama función. Una relación es una función cuando en el conjunto de pares ordenados que la constituyen no hay dos con la primera componente igual, o sea, que para cada valor de x del dominio le corresponde uno y sólo uno del codominio. Es importante precisar que toda función es una relación, pero no toda relación es una función. La función entre los conjuntos mencionados A y B se denota por f: A → B que se lee “f es una función de A en B". Los elementos del dominio de una función se llaman argumentos de la función y los del codominio se denominan imágenes. Por ejemplo, la relación R = {(l, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20)} es una función porque no se repite ningún elemento del dominio; en cambio R = {(1, 1), (1, -1), (4, 2), (4, —2)} no es función, ya que se repiten el 1 y el 4 como elementos del dominio de la relación. Para que una relación no sea función basta con que se repita un elemento del dominio. Veamos los siguientes ejemplos: Determina cuáles de los diagramas que se indican definen una función de X = {2, 3, 4} en Y = {A, B, C}.

Ejemplos

Dominio (X)

Codominio o Rango (Y)

1.

Solución: No, porque al elemento 4 de X no le corresponde algún elemento de Y. 2.

Solución: No, porque al elemento 3 de X le corresponden los elementos A y C de Y. 17



3.

Solución: Sí, porque a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. 4.

Solución: Sí, porque en una función puede un mismo elemento de su codominio corresponder a más de un elemento del dominio.

Ecuaciones que representan una función Si una relación está definida por una ecuación con las variables x y y, donde x es la variable independiente y la variable dependiente es y, ésta representa una función si por cada valor de x para la cual está definida le corresponde uno y sólo uno de y. Veamos los siguientes ejemplos: 1. En la ecuación y = 4x — 5, por ejemplo si x = 3, entonces y = 4(3) - 5, o sea, y = 7. Podemos observar en esta ecuación que a cada valor de x le corresponde uno de y; por lo tanto, ésta ecuación si define una función. 2. y2 = 8x En esta ecuación, por ejemplo si x = 2, entonces y2 = 8(2) ; y2 = 16 ; ; ; Hemos determinado en esta ecuación que para x = 2, y = ±4; o sea, (2, 4) (2,-4) son los pares ordenados de la relación y2 = 8x; por consiguiente, esta expresión no representa función, porque para cada valor de x, corresponden dos de y.

Prueba de la recta vertical para determinar si una gráfica representa una función Para determinar si una gráfica representa una función se utiliza la prueba de la recta vertical que consiste en lo siguiente: 18



Si la gráfica de una relación es intersecada en solo un punto por cualquier recta perpendicular al eje de las x por un solo punto del dominio, entonces la gráfica corresponde a una función; en caso de que dicha recta interseque en dos o más puntos, entonces la gráfica no corresponde a una función.

Ejemplos: Determina cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. 1.

Esta gráfica si corresponde a una función, ya que observamos que si imaginariamente se desplaza la recta vertical punteada hacia la derecha o hacia la izquierda ésta siempre interseca en un solo punto a la gráfica. 2.

Esta gráfica no corresponde a una función, ya que una recta vertical, solamente en x = 0, interseca en un solo punto a la gráfica; pero por cualquier punto donde x > 0 corta siempre en dos puntos a la curva. 3.

De acuerdo con la posición de la recta vertical punteada en este ejemplo, ésta corta en un solo punto a la gráfica; sin embargo, al trasladarla imaginariamente hacia la derecha se observa que al pasar por la parte vertical de la gráfica la corta en un conjunto infinito de puntos; por lo tanto, esta gráfica no corresponde a una función. 19



El concepto de función es muy importante para describir o modelar matemáticamente problemas muy variados de diferentes áreas de la ciencia, la industria, la economía, la naturaleza, etc. Esto implica que todo fenómeno de la vida real que se pueda cuantificar (medir), se puede representar por medio de una expresión matemática: la función. En la siguiente figura se indican las gráficas de tres tipos de funciones: lineal, cuadrática y exponencial, (Ver más graficas de funciones elementales en formulario).

Función Exponencial

Función Cuadrática

Función Lineal

La Función Lineal expresa fenómenos de crecimiento o variación lineal y su grafica es una línea recta. Fenómenos de crecimiento lineal: 1. La velocidad como función del tiempo. 2. La depreciación en el costo de un bien en función del tiempo. 3. Un grifo que llena un depósito de agua con un flujo constante; el volumen de agua está en función del tiempo La Función Cuadrática expresa fenómenos de crecimiento cuadrático y su grafica es una parábola, o un segmento de ella. Fenómenos de variación cuadrática: 1. lanzamiento de proyectiles, tiro parabólico. 2. El área A de un cuadrado en función de su lado l La Función Exponencial expresa fenómenos de crecimiento exponencial y la gráfica de la función es una asíntota para valores negativos de X (se aproxima a cero) y para valores positivos de x un crecimiento exponencial. Fenómenos con crecimiento exponencial: 1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. 2. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n. 3. El número de bacterias que se reproducen por mitosis. 20



Ejemplo de función.- A una cisterna le quedan 540 litros de agua, al accionar la bomba de succión se extraen 1.2 lt/seg. El siguiente croquis muestra las condiciones de operación de la cisterna. Flujo = 1.2 lt/seg

Bomba

Cisterna

Respondamos las siguientes Preguntas: a) b) c) d) e) f) g)

V = 540 lt

¿Cómo varía el volumen de agua que hay en la cisterna conforme transcurre el tiempo? ¿Cuáles son las variables que intervienen en este fenómeno? ¿Cuál es la variable independiente y cual la variable dependiente? Determina la función que relaciona estas dos variables ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cisterna quede vacía? ¿Qué valores puede tomar la variable independiente? ¿Qué valores puede tomar la variable dependiente?

Solución: a).- El volumen de agua disminuye conforme transcurre el tiempo. b).- Las variables que intervienen son el tiempo y el volumen de agua. c).- La variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es el volumen de agua. d).- La relación entre las dos variables puede establecerse por medio de una función de primer grado, representada por la ecuación de la recta forma pendiente - ordenada al origen.

Dónde: x & y son variables, en nuestro caso:

Y Volumen

540

x representara al tiempo

m = -1.2

y representara el volumen de agua

b X Tiempo

m & b son parámetros (constantes) m representa la pendiente o inclinación de la recta, y

0

b es la distancia sobre el eje y, del origen al punto de corte de la recta con el eje y. Si m = -1.2 y

b = 540

entonces:

21



e).- El tiempo que debe transcurrir para que la cisterna quede vacía, se cumple cuando el volumen de agua es cero. Cisterna vacía y = 0 ; sustituyendo en la ecuación y despejando el tiempo x: 0 = -1.2x + 540 1.2x = 540

La cisterna queda vacía en 450 segundos. f).- Los valores que puede tomar la variable independiente, es el intervalo de x, o sea el dominio de la función. Domino: g).- Los valores que puede tomar la variable dependiente, es el intervalo de y, o sea el rango de la función. Rango:

Y (Vol. de Agua en lts.)

Flujo = 1.2 lt/seg

Y = -1.2 x+540 Con 0 ≤ x ≤450

Bomba

Cisterna V = 540 lt

X (Tiempo en seg)

Grafica de la función Obsérvese que una vez que se cuenta con el modelo matemático de un fenómeno, este se puede estudiar para diferentes valores de la variable, por ejemplo estimar el volumen de agua a los 50 ó 200 segundos, esto sin tener necesidad de estar físicamente ante el fenómeno en estudio.

22



Ejercicios (3).- Relaciones y funciones

1. Define los siguientes conceptos: Relación: _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Función: _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Indica la forma algebraica de las siguientes funciones, expresadas en forma tabular. x 0 1 2 3 a) ejemplo: y = x2

y 0 1 4 9

x 0 1 2 3

y 0 2 4 6

x 0 1 2 3

y 1 2 3 4

b) ___________________

c)

x 0 1 2 3

y 0 1 4 9

d) ____________________ x 0 1 2 3

y 0 1 8 27

e) ____________________

_______________________ x 0 2 4 5

y 0 1 2 2.5

f) ____________________

3. Indica si los siguientes pares ordenados representan una función. a) b) c) d) e) f) g)

(1,3), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3) (1,3),(2,4),(3,5),(6,7),(8,5) (2,4), (2,5),(3,4),(5,2),(1,4) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) (0,0), (1,1,(2,4,(3,9),(4,16) (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5)

__________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________________

23



4. Indica si las siguientes relaciones determinan a y como función de x.

1 x b) y  x a)

c)

y

y

__________________________ __________________________

1

__________________________

x 4 2 2 d) x  y  5 e) y  2  x

__________________________

f)

y  2x

__________________________

g)

y  x3

__________________________

h)

y x5

2

2

2

__________________________

__________________________

5. Indica cuales de las siguientes figuras representan una función.

a)

x y z w

1 2 3 4

__________________________

c)

x y z w

x y z w

x y z w

1 2 3 4

__________________________

1 2 3 4

__________________________

e)

b)

d)

x y z w

1 2 3 4

__________________________

1 2 3 4

___________________________

24



6. Indica cuales de las siguientes graficas representa una función y cuáles no (Argumenta).

a)

b)

__________________________

__________________________

c)

d)

__________________________

__________________________

e)

f)

__________________________

g)

__________________________

__________________________

h)

_____________________________

25



Notación de una función. Para expresar que y es una función de x se escribe:

y = f ( x ) ; para el ejemplo de la cisterna: y = f ( x ) = -1.2x + 540 f ( x ) Se lee “efe de x”; a la letra f se le llama característica de la función. En la característica se indica el valor de la variable independiente, en el segundo miembro de la igualdad se indican las operaciones que hay que realizar con la variable independiente para obtener el valor de la función. Ejemplos: 1. Si f (r) = 4 πr2, la letra f representa que a la variable r hay que elevarla al cuadrado y multiplicar el resultado por 4 π . Asi: f ( 2) será igual a 4 π ( 2 )2 = 16 π f ( -1) será igual a 4 π ( -1 )2 = 4 π 2.

Si f(x) = xx tendremos: f ( 3 ) = 33 = 27 ;

f ( -1 ) = ( -1 )-1 = -1

3. Dada la función f (x) = x2 -5x +6 = 1 – 5 ( 1 ) +6 ; determina a) f(1), b) f(0), c) f(h) a) f(1) = (1)2 -5 (1) + 6 = 1 -5 +6 = 2 b) f(0) = (0)2- 5 (0) + 6 = 0 -0 + 6 = 6 c) f(h) = (h)2 – 5(h) +6 = h2 - 5h +6

Ejercicios (4).- Resuelve lo que se pregunta: 1.- ¿Qué es un intervalo?

2.- ¿Cuándo a una variable se le llama variable independiente?

26



3.- ¿Qué es la variable dependiente?

4.- ¿Qué es el dominio de una función?

5.- ¿Qué es el rango de una función?

6.- Dada f(x) = x2 – 5x +6 ; obtener: a) f(1), b) f(-3), c) f(x+1)

7.- Dada f(x) = 3x2 – 1 ; obtener: a) f(1/2), b) f(3), c) f(0)

8.- Dada f(x) = 3x2 - 2x + 5 ; obtener: a) f(2), b) f(-3/2), c) f( a/5)

27



Tipos de funciones Racionales: Son aquellas que no requieren extracción de raíz. Como: y = ax ; y = 2x2, y = 4x-3 ; y = 3x2 + 2x Algebraicas: Su valor puede ser obtenido mediante un determinado número de operaciones algebraicas. Tipos de Funciones

Trascendentes: Su valor no puede ser obtenido por medio de alguna de las cuatro operaciones algebraicas en un número limitado de veces.

Irracionales: El exponente de la variable es una fracción irreducible. Como: y = x ; 3 3/2 Z=x ; y= x

Enteras: Cuando el exponente es positivo y la variable no está en el denominador. Como: y = 5x2 + 4x – 3 t = -2x3 ; y = x +5 Fraccionarias: Cuando la variable figura en el denominador o está afectada por un exponente negativo. Como: y = x-2 ; y = 2x + 5 y = ( 3x2 + 5)-5 3x3 +2

Exponenciales: Cuando la variable esta en el exponente. Como: y = ax ; y = 2e3x ; y = 5x + 2 Funciones Logarítmicas: la variable está afectada por un logaritmo. Como: y = ln x ; y = loga x +5 Trigonométricas: la variable es un ángulo afectado por una función trigonométrica. Como: y = sen x ; φ = cos 5x +3

Funciones explicitas y funciones implícitas Función explicita es aquella en la que están directamente indicadas las operaciones que deben efectuarse para obtener el valor de la función; en: y= 2x – 3 ; “y es función explicita de x” Función implícita es cuando la dependencia no se expresa en forma de ecuación ya resuelta; en: 3x – 2y = 5 ; “y es función implícita de x”

Función de función. Cuando una función depende de otra y esta es a su vez es función de una variable independiente, a la primera se le llama función de función de dicha variable independiente. Dada: y = u2 , siendo u = 2x4 - 4x + 3 “y es función de función de la variable x”; se tiene entonces: y = u2 ; sustituyendo “u” ; y = (2x4 - 4x + 3)2

28



Ejercicios (5).- de las siguientes funciones indica si son: a) explicitas o implícitas; b) algebraicas o trascendentes; en caso de ser algebraicas, si son c) racionales o irracionales, d) enteras o fraccionarias; si son trascendentes, si son d) exponenciales, logarítmicas o trigonométricas. 1.

y = x2 – 2x +2

2.

y = 2 sen x

3.

x2 + y2 = 4

4.

y = 2xx

5.

y = 8x1/2

6.

2x + sen y = 2

7.

y = 2x-5

8.

y = ln 2x + 3

29



Estudio de la variación de una función por medio de su grafica La unión del algebra y la geometría en la geometría analítica, permiten que en el plano coordenado o cartesiano los conceptos geométricos se puedan formular analíticamente y los conceptos algebraicos se puedan contemplar en forma gráfica. Lo cual permite ver al cálculo desde diferentes perspectivas: gráfica, analítica y numéricamente, lo cual ayuda a aumentar la comprensión de los conceptos centrales. Ejercicio 1.- dada la función y = x2 -2: a) traza la gráfica de la función, b) determina el dominio y rango y c) estudia la variación de la función. Solución: a) en primer lugar hacemos y = f(x), determinamos pares ordenados tabulando valores propuestos de “x” y obteniendo los correspondientes de “y”, enseguida se grafican los puntos obtenidos.

2

-3

y = f(x) = x -2 2 f( -3) = (-3) - 2 = 9 – 2 =

-2

f( -2) = (-2) - 2 = 4 – 2 =

y 7.0

2

2.0

2

-1.0 -2.0

2

-1.0 2.0 7.0

-1 0

f( -1) = (-1) - 2 = 1 – 2 = 2 f( 0 ) = ( 0 ) - 2 = 0 – 2 =

1 2 3

f( 1 ) = ( 1 ) - 2 = 1 – 2 = 2 f( 2) = ( 2 ) - 2 = 4 – 2 = 2 f( 3 ) = ( 3 ) - 2 = 9 – 2 =

b) El Dominio de la función, o sea los valores que puede tomar la variable independiente “x” como se puede observar es cualquier número real positivo o negativo, por tanto: Dominio (-∞ , +∞); o bien x ε R

Parábola 2 y=x –2

Rango

x

+∞

Pares ordenados

x

-∞

+∞ Dominio

El Rango o Contradominio lo representa el intervalo de variación de “y”, que como se puede deducir de la gráfica es el intervalo: Rango [-2, +∞); o sea -2 ≤ y < +∞

c) Examinando la grafica observamos que:  La función está definida para cualquier valor de x,  La función (y) es decreciente para valores de x de -∞ hasta 0 y es creciente para valores de x de 0 hasta +∞  En el punto (0, -2) el valor de y es menor para valores anteriores y posteriores de x=0. Se dice que la función tiene un mínimo relativo en ese punto. Ejercicios (6).- Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones:

a) y = 5x + 2

b) y = x

c) y= x

d) y =

e) y = x

30



31



32


UNIDAD 2. 2. 1


LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definiciones de límites

Límite de una sucesión. Si se sitúan sobre la recta real los puntos correspondientes a los términos de la sucesión: 0, 1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375… sucesión ( I ) se observa que se van aproximando al punto 2, de manera que existen puntos de la sucesión cuya distancia a 2 es menor que cualquier cantidad dada por pequeña que sea. En estas condiciones se dice que el límite de la sucesión es 2.

(

)

0

1

1.5

1.75 1.875 2

Si x es una variable cuyo campo de variación es la sucesión ( I ) se dice que x se aproxima al límite 2, o bien, que x “tiende a dos”, y se representa como x→2. La sucesión ( I ) no contiene a su límite 2, es decir que x→a implica x≠a (x diferente de a), con esto se sobreentiende que cualquier sucesión dada no contiene a su límite como término. Límite de una función. Si x→2 según la sucesión (I):

x 1 1.5 1.75 1.875 1.9375 1.96875

x2 1.00 2.25 3.06 3.52 3.75 3.86

En estas condiciones se establece que “el Límite de x2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”, y se representa por la notación:

Concepto de límite. Cuando una variable x se aproxima cada vez mas y mas a una constante a, de tal manera que la diferencia x – a en valor absoluto sea tan pequeña como se quiera, se dice que la constante a es el límite de la variable x. Se expresa como: X→a

;

ó también como:

Lim x = a

Límites por la derecha y por la izquierda. Cuando x → 2 según la sucesión (I), cada término es siempre menor que 2. Se expresa diciendo que “x tiende a 2 por la izquierda”.

33



Análogamente, en la sucesión 2.5, 2.25, 2.125, 2.0625…; cada término es siempre mayor que 2. Se expresa diciendo que “x tiende a 2 por la derecha”. La existencia del límite por la derecha o por la izquierda no indica necesariamente la existencia del otro límite extremo por la izquierda o por la derecha. 2.2 Teoremas de límites I.

lim c = c ; siendo c una constante y a un número real. x a

Ejemplo: II.

lim 5 = 5 x2

lim x = a x a

Ejemplo: III.

lim x =1 x 1

( )

lim

( )

x a

Ejemplo: IV.

lim

x

lim

x2

( ) ( )

x a

(2)

lim ( ) lim

( )

x lim

(

x a

Ejemplo:

lim

x2

x a

x2

x

2)(

2)

Esta propiedad también se expresa en forma más general, para cualquier entero positivo “n” IV’.

V.

VI.

lim

x a

Ejemplo:

lim x

lim , ( )

( )-

Ejemplo:

lim ( x

x a

lim

x a

lim ( )

2x)

x 5

( )

( )

( )

( )

lim

x a

( )

Ejemplo: VII.

( )

x 3

x a

lim

x 5

x

lim 2x x 5

; siempre que lim

x a

3

lim

x2

=

(

3

(

( )

2( )

(x)

)

( )3

)

( )

lim √ ( )= √ lim ( ) x a x a

Ejemplo:

lim

x2

2x

= √ lim (2x x2

)= √2(2)

34



Ejercicios (7). Calcula el límite de de las siguientes funciones aplicando los teoremas adecuados:

3x  4 x2 5x  7

1. lim

2. lim 5 x 3  3x 2  6 x 2

5x 2  2 x  1 x 3 4x3  7

3. lim

9 x 2  3x 2  3 2x  3

4. lim

x 3

5. lim 1 x

2

2 x 2  5x  3 6x 2  7x  2

6. lim x 2  2 x  1 x2

7. lim ( x 2  x  2) 2 x3

35



8. lim ( x 2  2)(x  5) x 2

9. lim

x2

x2  x  5 x3  2x  8

Otros tipos de límites 1.- Cuando x → 0; siendo la constante c ≠ 0 En forma de límites a) b)

En forma abreviada a) c

c

c

c

b)

2.- Cuando x  o; siendo la constante c ≠ 0 a) b)

a)

c c

b) x

c)

c c ∞

c) c + d) c

x

d)

∞

= =

Ejemplos. Calcula el límite de las siguientes funciones:

1) lim

x 1

2) lim

x 2

=

( )

=

( )

=

( ) (

) (

( )

)

=0 =

=

36



Ejercicios (8).- determina los siguientes límites

a) lim

5 x 5

b) lim

2 ( x  6) 2

x 5

x 6

2x  1 x4 x  4

c) lim

d) lim

x2 x2  4

e) lim

x x 9

x 2

x 3

2.3

2

Continuidad de funciones

Noción de continuidad. Una función es continua si su gráfica no presenta vacíos o saltos. Se dice que una función f ( x ) es continua para el valor x = a , si existe el limite f ( x ) cuando x → a, siendo este límite f ( a ) Ejemplo: La función f( x ) = x2 es continua para x = 3 porque existe f ( 3 ) = ( 3 ) 2 = 9. Noción de discontinuidad. Si no se cumplen las condiciones de continuidad la función es discontinua. Ejemplo: la función f ( x )= es discontinua para x = 1 porque no existe f ( 1 ); para x = 1 el denominador es igual a cero y se indetermina la función.

Función continua

Función continua

Función discontinua

37


2.4


Análisis de funciones continuas y discontinuas

Teoremas de continuidad. 1) Una función es continua en los puntos de su definición, es decir que es continua en todos los puntos del intervalo de la variable. 2) Todo polinomio entero en “x” es una función continua para los valores de la variable x. Por ejemplo: 4x2 - 3x + 2 = 0 es continua para todo valor de x. 3) La suma, diferencia y producto de funciones continuas, es una función continua. Por ejemplo: (4x3 + 3x) + ( 6x + 3) ; ( 3x + 2) - (5x + 8) ; ( 3x + 7 ) ٠(5x3 + 3x) ; son funciones continuas. 4) Las funciones racionales son continuas para todos los valores de x que no anulen el denominador. Por ejemplo: , es discontinua en x = 1 porque se anula el denominador. Para encontrar la discontinuidad se iguala a cero el denominador y se despeja x. Para nuestro caso: x -1 = 0 ; x = 1 ; la función es discontinua en 1 5) La raíz enésima de una función es continua para todo valor de x que de un radicando positivo. Por ejemplo: ; la función no es continua para valores de x mayores que 5, o sea x > 5 porque el radicando sería negativo, y un radicando negativo no es un número real, es un número imaginario. Ejemplos: Determina los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes: 1. f ( x ) = 3x2 + 5x + 4 ; La función es continua para todo valor de x ; x ε R , porque la expresión es un polinomio entero en x. 2. f ( x ) = anulan.

; Revisamos el denominador igualándolo a cero para definir los valores de x que lo x2 – 4 = 0 ; x2 = 4 ; x = ±

; x1 = 2 ; x2 = -2 La función es discontinua en x=2, x = -2

3. f ( x ) = ; aparentemente la función es discontinua en x = 7; revisamos para ver si es evitable la indeterminación, factorizamos el numerador: f(x)=

=

(

)(

)

= x + 7 ; la función equivalente es continua para todo valor de x. La función es continua para todo valor de x.

Ejercicios (9).- Determina los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes:

1. f ( x ) = 4x3 - 3x2 + 5 ; 2. f ( x ) =

; 3. f ( x ) =

; 4. f ( x ) =

; 5. f ( x ) = 2x 38



39



40


UNIDAD 3 3. 1


LA DERIVADA

Noción de la derivada

Incremento de la variable independiente. Es la variación del valor de variable independiente. Por ejemplo si se da a x un valor inicial a y después un valor final b, se llama incremento de la variable x a la diferencia b-a. Notación. El incremento de x se representa Δx , es decir, la letra griega delta colocada delante de la variable x. Δx = b – a El incremento puede ser positivo o negativo, según el valor final sea mayor o menor que el valor inicial. Ejemplo.- calcular el incremento de temperatura ( t ) al pasar de 15 ° a 20°. Δt = 20° - 15° = 5° Incremento de una función. Es la variación del valor de la variable dependiente o función. Por ejemplo sea la función y = f (x ). Si x varia de a a b, el valor inicial de la función es f ( a ) y el valor final f ( b ). La diferencia f ( b ) – f (a ) se denomina incremento de la función. Notación. Se expresa como: Δf( x ) = Δy = f(b) – f(a) Ejemplo.- Determinar el incremento de la función y = 2x – 3 en el dominio [ 2 , 5 ] Hacemos y = f (x) ; f (x) = 2x – 3 ; siendo a=2 y b=5 los extremos inicial y final del dominio; obteniendo los pares ordenados del dominio:

41



Recta

Pendiente de una recta: es la inclinación de la recta respecto del eje “x”; es la razón del incremento de “y” (∆y) entre el incremento de “x” (∆x), lo que da por resultado la tangente del ángulo de inclinación.

∆y θ ∆x Pendiente m =

Δy Δ

= tan θ

Geométricamente la derivada es la pendiente de la recta que pasa por el punto P(x, f(x)) de una curva. y = f(x)

Recta Secante

Explicación: Siendo P1 un punto fijo y P2 un punto móvil que se aproxima a P1 ; haciendo que el límite de ∆x tienda a cero: ∆x → 0

P2 (x2 , f(x2)) a) ∆y θ

y P2

∆x

P1 (x1 , f(x1))

P2

P1

P2 0

b)

x

∆y P1 (Ver secuencia a, b, c)

∆x

Recta Tangente

c)

P1 (x1 , f(x1)) θ

m = tan θ =

𝛥𝑥

Δ𝑦 Δ𝑥

=

42


Donde

3.2


es la notación de Leibniz para la derivada.

Concepto de derivada

La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

El valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Otras notaciones para la derivada son: D f ( x ) : Cauchy

f ‘ ( x ) : Lagrange

Y’ : Lagrange

Lo cual nos permite establecer las siguientes igualdades para la derivada de y con respecto a x: 𝛥𝑥

Δ𝑦 Δ𝑥

=

= y’ = f’ ( x ) = D f ( x )

Que son algunas de las notaciones más usuales para la derivada y las podemos encontrar en en diferentes textos.

3.3

Regla general de derivación o Derivación por los cuatro pasos

La derivada de una función, se obtiene siguiendo los siguientes pasos: 1. Se da un incremento a la variable independiente x para obtener el correspondiente incremento de y. 2. Se resta la función original. 3. Se divide entre Δx. 4. Se determina el límite cuando Δx→0 :

𝛥𝑥

Δ𝑦 Δ𝑥

43



Ejemplo. Calcula la derivada de la función y = 3x + 2

1. 2.

Dando incremento a x, obteniendo el de y y + Δy = 3( x + Δx ) + 2 Realizando el producto

y + Δy = 3 x + 3Δx + 2

Restando la función original

-y

= -3x Δy =

-2 3Δx

y

3.

Dividiendo entre Δx

4.

Hallando el límite cuando Δx→ 0

lim

x 0

La derivada de y = 3x + 2 es 3 y se puede expresar empleando las diferentes notaciones como: y

=3 ; y ’ = 3 ;

f ’(x)= 3 ; D (3x +2) = 3

La aplicación de la regla general de derivación da como resultado una serie de teoremas de aplicación general estos teoremas se traducen en las Formulas de Derivación que simplifican el cálculo de las derivadas de funciones.

Aplicación de los teoremas de derivadas de funciones algebraicas: Normalmente la derivación se realiza aplicando las formulas de derivación obtenidas de la regla general de derivación. Para resolver una derivada en ocasiones es necesario utilizar dos o más formulas, el cambio de formula se da de un paso a otro. Se recomienda al inicio de la derivación, identificar qué operación se está realizando y compararla con alguna de las formulas respectivas. Como referencia para el número de las formulas, se está utilizando el formulario anexo:

44


3.4


Fórmulas de derivación:

d (c )  0 dx d ( x)  1 2.dx d d d d (u  v  w)  (u )  (v)  ( w) 3.dx dx dx dx 1.-

La derivada de una constante es 0 La derivada de la variable independiente es 1 La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

4.-

d du (cu)  c dx dx

5.-

d dv du (uv)  u  v dx dx dx

La derivada de un producto de funciones es igual al producto de la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.

du dv u dx dx v2

La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

d u 6.  dx  v 

v

La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

7.-

d  u  1 du   dx  c  c dx

La derivada del cociente de una función sobre una constante es igual al reciproco de la constante por la derivada de la función.

8.-

d  c   c du   dx  u  u 2 dx

La derivada del cociente de una constante sobre una función es igual a la constante negativa dividida por el cuadrado de la función, multiplicado este cociente por la derivada de la función.

9.-

d n ( x )  nx n1 dx

La derivada de la potencia de la variable es igual al exponente que multiplica a la variable elevada a ese exponente disminuido en uno.

10.-

d n du (u )  nu n1 dx dx

La derivada de la potencia de una función es igual al exponente que multiplica a la función elevada a ese exponente disminuido en uno por la derivada de la función.

11.-

d 1 du (log u )  log e dx u dx

La derivada del logaritmo vulgar de una función, es igual al logaritmo de e dividido entre la función, multiplicado este cociente por la derivada de la función.

12.-

d 1 du (ln u )  dx u dx

La derivada del logaritmo natural de una función, es igual al reciproco de la función, multiplicado por la derivada de la función.

d u du (a )  a u ln a 13.dx dx

La derivada de una función exponencial, es igual a la función exponencial, multiplicada por el logaritmo natural de la base y por la derivada del exponente.

d u du (e )  e u dx dx

La derivada de una función exponencial de base e, es igual a la función exponencial, multiplicada por la derivada del exponente.

14.-

Ver el formulario completo de derivación en: Formulario de Matemáticas

45



Ejemplos. Deriva las siguientes funciones algebraicas aplicando los teoremas correspondientes: 1)

y = 3

(1)

d (c )  0 dx

3π es una constante, aplicando la formula (1); derivando 1º y 2º miembros de la igualdad, tenemos: y

2)

(

y

) ;

y = 4x Se trata de una constante (4) por una función (x), aplicamos la formula (4) y

3)

( x)

(4)

Aplicando (2), recuérdese que:

y = x3 Se trata de la potencia de la variable independiente, aplicamos (9) con n=3 y

4)

d du (cu)  c dx dx d ( x)  1 dx

x

x

(9)

d n ( x )  nx n1 dx

Nótese que para abreviar procedimiento en el segundo miembro se procedió a derivar directamente.

y=3x4 En este caso tenemos al producto de una constante por la potencia de la variable independiente, por lo que aplicamos las formulas (4) y (9) secuencialmente. y

5)

6)

( )x

y=

Cambiando a notación de potencia (ver formulario) : y =

y

. /x

y

x

y

8)

Para el resultado final expresamos

(x

(

x)

y

(x

)

x

(x )

( x)

( )

2x + 5

Aplicamos (5) (

)

= (4 – x ) (1) + (

y = ( x2 – 3 )4

en notación de raíz

Inicialmente aplicamos (3), posteriormente (9), (4) y (1):

y = (4-x) (3+x) y

; aplicando (9):

3

y = x2 - 5x +3 y

7)

Para aplicar la formula (4) c= 3, para aplicar la (9) n=4

= 12x

(

x)

(5) (

)

La derivada de (3+x) es 1 ; la derivada de (4-x) es -1

x)(-1) = 4 –x -3 –x = 1 – 2x

Aplicamos (10), haciendo: u = (x2 – 3), n=4 )

d dv du (uv)  u  v dx dx dx

(x

)

(x

) (2x) =

x(x

(10)

d n du (u )  nu n1 dx dx

)

46


9)

y= y

y=

d u   dx  v 

Es un cociente de dos funciones, aplicamos (6): (

) ( (

10)


) ( )

)

=

(

)(

) (

(

)

)( )

=

(

)

=-

(

( )(3)

(x )

x

du dv u dx dx 2 v

)

Es el caso de una constante sobre una función, aplicamos (8):

y

v

d  c   c du   dx  u  u 2 dx

=

Ejercicios (10): Aplicando los teoremas correspondientes calcula la derivada de las siguientes funciones: 1) y = -3

2) y = x

3) y = 12x

4) y = x

5) y = x2

6) y= 3x4

7) y = 2x3 + 3x + 4

8) y= (2x+3) (3x-2)

9) y =

10) y =

11) y = 4 x

12) y = 5x4 – 2x3 + 3x2

47



48


3.5


Derivada de una función de función (regla de la cadena)

Cuando y está en función de x por intermedio de u, de v o de ambas, a esto se le llama función de funciones. En la siguiente expresión y está en función de x: ( Si hacemos

)

u = 3x + 5

Resulta Donde y es una función de funciones de x, u es una nueva variable denominada variable intermedia. La función de funciones se expresa como:

y = f(x) = f [u(x)]

Derivada de una función de funciones:

Ejemplo.- Deriva la siguiente función mediante la regla de la cadena. y = (3x + 5)2

;

hacemos u = 3x+5

y = u2 y

derivamos y en función de u; u en función de x. u = 3x + 5

2

=3

Sustituyendo las derivadas en la formula de función de funciones: y

y

2 ( ) ( x

; )

;

sustituyendo el valor de u y

x

49


3.6


Derivación de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

En las funciones exponenciales la variable independiente esta en el exponente, sean las funciones: ; en las que u es una función de x: u = f (x).

,

En las funciones logarítmicas la variable independiente está afectada por un logaritmo, estas unciones son del tipo: log u , ln u ; en las que u es una función de x: u = f (x). Se sugiere consultar en el formulario las reglas de los logaritmos. Ejemplos. Derivar las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales aplicando los teoremas correspondientes: 1)

y = ln x2

Aplicamos (12):

y

2)

(x ) =

y = log (x2 – 4) y

3)

=

)

y = log 5x

(2x)

=

Ver en formulario: reglas de los logaritmos

Aplicamos (11) siendo u = 5x ( x)

( )

y=

= log

Aplicamos (13):

y

d 1 du (log u )  log e ; siendo u = (x2 – 4) dx u dx

Aplicamos (11):

(x

y

4)

(2x) =

d 1 du (ln u )  ; siendo u = x, sustituimos: dx u dx

ln 10

(-3x) =

Ver en formulario: reglas de los logaritmos

d u du (a )  a u ln a ; siendo a = 10 , u = -3x dx dx

ln 10 (-3)

y

Pasamos 10-3x al denominador para presentar el resultado con potencia positiva.

3

5)

y=

Aplicamos (13) siendo u = 5x

y

6)

ln a

(5x) =

y= y

ln a (5) = Aplicamos (14):

=

(2x)

ln a

d u du (e )  e u ; siendo u = 2x dx dx

(2) = 2

Ejercicios (11): Aplicando los teoremas correspondientes calcula la derivada de las siguientes funciones:

1) y = log 3x

2) y = log x

5) y = 2

6) y =

+4

3) y = 3x + ln 4x

4) y = ln 2x

7) y = 2

8) y =

50



51


3.7


Derivación de funciones trigonométricas directas

En el caso de las funciones trigonométricas la variable independiente es un ángulo. Ejemplos. Deriva las siguientes funciones trigonométricas aplicando los teoremas correspondientes; para acostumbrar al estudiante a emplear y reconocer las diferentes notaciones de derivada y trabajar con otras variables independientes y dependientes, a continuación se introducen estos conceptos. Recuérdese que: = y’ = f ’ ( x ) = D f ( x ) 1)

f (x) = sen 2x f ' (x) = cos 2x

2)

f (t) = cos

4)

5)

6)

d du (cosu )  senu dx dx

Aplicamos (16): )

(3

y= y‘=

(3)(2)θ = – 6θ

Aplicamos (19): x

x

( x)

( x)1

y‘=50

x

f (x) =

=

;

f ' (x) =

2x

(2x)

x

f ' (x) = 3

( )(

x

x (20):

x )( )

x

f (x) =

x

2

x) x( ) x

x

(

x 2

x

(17)

2x

Es un producto de dos funciones, aplicamos las siguientes formulas: (

d du (cscu )   cscu cot u dx dx

ver identidades trigonométricas en formulario, aplicamos (17)

2x (2)

f (x) =

f ' (x) =

x( )

x

En esta expresión θ representa la variable independiente y t la variable dependiente o función.

d du (secu )  sec u tan u dx dx

Primero consideramos el producto de una constante: 5, por una función: 𝐜𝐬𝐜 𝟑𝒙 ; aplicamos formulas (4) y (20).

y=5

f ' (x) =

En esta función y su derivada 2x representa el valor natural de un ángulo.

(2x) = cos 2x (2) = 2 cos 2x

f ' (t) = 3)

d du ( senu )  cosu dx dx

Aplicamos (15):

(5)

)

(14)

(-2) (15)

x

Ejercicios (12): Aplicando los teoremas correspondientes calcula la derivada de las siguientes funciones: x 5) f (t) = 4 sec 2t 1) f (x) =

2) f (x) = 2 tan 2x 6) y = sen

3) f (x) = c 7) y =

x

4) y = 8) f (x) = sen 2 52



53


3.8


Derivadas sucesivas de una función

Para el estudio de máximos y mínimos relativos, sentido de concavidad y determinación de los puntos de inflexión, es necesario obtener las derivadas sucesivas de una función.

Es la primera derivada 0 0

1

Es la segunda derivada que se expresa: 1

Es la tercera derivada que se expresa:

3 3

Notación para las derivadas sucesivas de funciones.

3 3

Primera derivada

Segunda derivada

Tercera derivada

Cuarta derivada

Ejemplo: deriva y = 3 x4 hasta la quinta derivada y = 3 X4 y’ = 2 x y’’ =

x

y’’’ = 72x 2 =0 Ejercicios (13).- determina la tercera derivada de las siguientes funciones:

1) y = 3x3 + 2x2 – 6 2) y = 2x4 - 8x3 + 2 3) t = r3 + 4r2 + r – 10 4) z = 4t5 + 2t3 + 6t 5) y = (2x + 1)3

54



55


3.9


La derivada como razón de cambio

Razón, es comparar dos cantidades por cociente. La función y = f (x) relaciona dos cantidades x, y ; en donde un cambio en el valor de “x” induce un cambio en el valor de “y”. Existen varias aplicaciones sobre el concepto de “razón de cambio”, por ejemplo: la velocidad como razón del desplazamiento en la unidad de tiempo; el costo de producción como razón de la inversión entre las unidades producidas, etc. Ejemplo: sea un cubo de lado x Y = X3 es una expresión que corresponde al volumen de un cubo; donde X

Y es el volumen y X la longitud del lado. Si consideramos inicialmente X = 4

X X

Y = 43 = 64 u3

Si damos un pequeño incremento a X (longitud) que se expresa como X, el nuevo volumen es: Y = ( X + X )3 Y = ( X + X )3 – X3

El cambio en el volumen Y es: (valor final menos valor inicial)

Para comparar el cambio de volumen, lo obtenemos si calculamos la razón que hay entre Y y X : El valor de esta razón depende del valor de X, pero si se aproxima X a cero, entonces el resultado del límite de Y/X (la derivada) se le conoce como velocidad instantánea de cambio de Y con respecto a X. Considerando un valor inicial de X = 4, desarrollamos: Y = (4 + X )3 – 43 = 64 + 48(X) + 12(X)2 + (X)3 - 64 Y = 48(X) + 12(X)2 + (X)3 Dividimos ambos miembros entre X : Y = 48(X) + 12(X)2 + (X)3 = 48 + 12 (X) + (X)2 ; X X Y = 48 + 12 ( 0 ) + ( 0 )2 = 48 X  0 X Lim

Derivada

obtenemos el limite cuando X  0

Este resultado indica que cuando el lado del cubo es 4, la razón del cambio de volumen con respecto al lado es aproximadamente 48 veces el cambio en el lado X .

y

Comprobación: 56



Si el valor inicial del lado es X = 4 ; ( Y = 43 = 64 u3 ) y el incremento en la longitud del lado es 0.01, el volumen final será: Es decir que un incremento de 0.01 en el lado genero un cambio de volumen 48.1 veces más que el incremento del lado.

Y = (4.01)3 = 64.481 u3

Para el ejercicio inicialmente planteado: determina la razón del cambio del volumen de un cubo con respecto a su lado, cuando la longitud del lado es 4 u . SOLUCIÓN: Esquema

Ecuación: volumen de un cubo Y = X3

;

Y = f(X)

DERIVANDO: f ’(X) = 3 X2 ; sustituyendo x = 4 en la derivada

X

f ’(4) = 3 ( 4 )2 = 3 (16) = 48

X X

Confirmando con esto que: cuando el lado del cubo es 4, la razón del cambio de volumen con respecto al lado es de 48 veces el cambio en el lado X . La derivada en el cálculo de velocidades en un movimiento rectilíneo: Dada la ecuación del movimiento de un cuerpo, para calcular su velocidad (v) en un instante dado, se determina el valor de la derivada del desplazamiento (l en metros) respecto al tiempo (t en segundos) en ese instante. Ejemplo 1.- En un movimiento uniforme dado por la ecuación: La velocidad es constante y es igual a: V =

; sustituyendo: V =

l =5t

( )

La velocidad es igual a la razón de cambio desplazamiento respecto al tiempo v = 5 m/seg Ejemplo 2.- Dada la ecuación del movimiento de un móvil, determina la velocidad en el instante t = 3 seg. l=2

Ecuación:

2

Donde: tiempo t en segundos y desplazamiento l en metros

V=

; sustituyendo l

V=

(2

2

)

derivando:

V = 6 t2 -2 m/seg ; la velocidad en el instante t = 3 será: V= (

)

2

2

57



Ejemplo 3.- Sea una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Se sabe por medio de la toma de muestras de la población a ciertos intervalos, que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial es de n0 = 100 bacterias y el tiempo “t” se mide en horas, determina la tasa de crecimiento después de 4 horas. Solución: Sean t = tiempo en horas n0 = población inicial del número de bacterias n = población del número de bacterias en un tiempo “t”

( )

El número de bacterias está en función del tiempo Para t= 1 hora ; f(1) = 2 f(0) = 2 n0 Para t= 2 horas ; f(2) = 2 f(1) = 22 n0 Para t= 3 horas ; f(3) = 2 f(2) = 23 n0 Generalizando:

( )

Derivando la función: (

2)

(2)

2

Sustituyendo valores, para t= 4 horas (2 )(

)

Lo cual significa que un tiempo de 4 horas la población de bacterias crece a razón de unas 1109 bacterias por hora. Siendo el número de bacterias en las 4 horas: ( )

2 (

)

(

)

bacterias

Ejercicios (14): Razón de cambio 1.- determina la razón del cambio del volumen de un cubo con respecto a su lado, cuando la longitud del lado es 10 u .

58



2.- Sea una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Se sabe por medio de la toma de muestras de la población a ciertos intervalos, que esa población se triplica cada hora. Si la población inicial es de n0 = 200 bacterias y el tiempo “t” se mide en horas, determina la tasa de crecimiento después de 3 horas.

59


3.10


Puntos de inflexión y sentido de concavidad de una curva

Localizar los intervalos en los que la derivada de una función crece o decrece, nos permite indicar sobre la grafica en donde hay curvatura hacia arriba o hacia abajo, lo anterior se conoce como concavidad. Concavidad. Es la característica de hundimiento en la parte central de las cosas curvas. Concavidad en un punto.- si P es el punto que describe una curva, la pendiente de la recta tangente en dicho punto varia, dando lugar a las siguientes graficas: Y

P P’

P

P’

P

X

(a)

(b)

(c)

a) Si una curva queda por debajo de sus tangentes, el arco es cóncavo hacia abajo, es decir hacia la parte negativa del eje “y”, se expresa como: b) Si una curva queda por encima de sus tangentes, el arco es cóncavo hacia arriba, es decir hacia la parte positiva del eje “y”, se expresa como: + c) Si una curva cambia el sentido de su concavidad en un punto, indica que tiene un punto de inflexión.

Criterio para la Concavidad. Sea y = f ( x ) una función cuya grafica es cóncava hacia arriba si su segunda derivada es positiva; es cóncava hacia abajo si su segunda derivada es negativa. Punto de Inflexión es aquel que en una curva separa arcos de concavidades de sentidos opuestos.

Reglas para determinar los puntos de inflexión y el sentido de concavidad I.

Se calcula la segunda derivada de la función

II.

Se iguala a cero la segunda derivada, se resuelve la ecuación resultante y se consideran las raíces reales de la ecuación.

III.

Se analizan los valores de las raíces obtenidas, primero para valores un poco menores, después para valores un poco mayores; si el signo de la segunda derivada cambia, indica la existencia de un punto de inflexión. 60



Ejemplo.- Encontrar los puntos de inflexión y el sentido de concavidad para y = x3 – 3 x2 + 3 ; elaborando grafica.

su

Solución: I.

determinamos la segunda derivada y = x3 – 3x2 + 3

II.

;

y’ = 3x2 – 6x

y’’ = 6x – 6 ; reduciendo dividiendo entre 6:

y’’ = x – 1

Igualamos a cero la segunda derivada y resolvemos la ecuación resultante x–1=0 ;

III.

;

x=1

Analizamos el valor x = 1 en la segunda derivada: f ’’(x) = x - 1

a) para un valor un poco menor; hacemos x = 0 Para valores un poco menores de x =1 la concavidad

b) para un valor un poco mayor; hacemos x = 2 f ’’(2) = 2 - 1 = 1 Para valores un poco mayores de x =1 la concavidad

es negativa:

es positiva:

f ’’(0) = 0 - 1 = -1

Existe un cambio de sentido en la concavidad; por tanto, si hay un punto de inflexión en x = 1 Cálculo de la coordenada “y” del punto de inflexión. Sustituimos x = 1 en la ecuación original:

y = f (x) = x3 – 3x2 + 3

f (1) = 13 – 3(1)2 + 3 = 1 – 3 + 3 = 1 ; f (1) = 1 El las coordenadas del punto de inflexión son: ( 1 , 1 ) Grafica de la función: obtenemos pares ordenados para valores de “x” en el intervalo en estudio, para nuestro caso damos valores un poco menores y un poco mayores que x = 1, en f (x) = x3 – 3x2 + 3 . Tabulación para obtener Pares ordenados f (x) = x3 – 3x2 + 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) -51.0 -17.0 -1.0 3.0 1.0 -1.0 3.0

y

+

Punto de Inflexión (1,1)

Grafica de la función f (x) = x3 – 3x2 + 3 Nota: la escala vertical esta exagerada 10 veces más que la horizontal

61



Ejercicios (15): Determina los puntos de inflexión de las siguientes funciones: 1) y=2x3- 24x -1 2) y=2x3 - 12x2 3) y = x3 + 3x2

62



63


3.11


Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas

Un máximo y un mínimo no son necesariamente el mayor ni el menor valor de la función, por eso se les denomina relativos, porque no son los de mayor o menor ordenada de la grafica completa de la función. Existen dos procedimientos para obtener los máximos y mínimos relativos: A. el criterio de la primera derivada, y B. el criterio de la segunda derivada. Descripción de la gráfica:

A. Criterio de la primera derivada

L1 , L2 , L3 , L4 y L5: Tangentes Y

Sus pendientes son:

Máximo

L3

L1 , Es Creciente (Positiva)

L2

L2 y L4 Son cero. En los Puntos Críticos el valor de la derivada es

f (x) 

cero.

Mínimo

L3 , Es Decreciente (Negativa), y L1

L4

L5 , Es Creciente (Positiva) X

L5 En un Máximo Relativo la función pasa de creciente a decreciente; el valor de la derivada pasa de positiva a negativa. En un Mínimo Relativo la función pasa de decreciente a creciente; es decir, el valor de la derivada pasa de negativa a positiva.

Procedimiento para obtener los máximos y mínimos de una función f (x): I. II.

III.

Se calcula la primera derivada. El resultado se iguala a cero y se resuelve la ecuación, las raíces x1, x2, x3,... son los valores críticos, para los cuales la función puede tener un máximo, un mínimo, o no existir ninguno de los dos. Analizamos en f ´(x); sea la raíz x1 ; si para un valor de x < x1 se tiene que f ’(x) es (+) , y para un valor de x>x1 f ’(x) es (-) , la función tiene un máximo. Si pasa de negativa a positiva, la función tiene un mínimo. En forma semejante se analizan las otras raíces.

IV.

Si la derivada pasa de positiva a positiva o de negativa a negativa, no existe en ese punto un máximo o mínimo.

V.

Para calcular la coordenada “y” de los puntos críticos, se sustituyen los valores de x en la función original. 64



Ejemplo.- Calcula los máximos y mínimos relativos de la siguiente función, empleando el criterio de la primera derivada. Función: y = 2x3 + 3x2 – 12x Solución: Calculamos la primera derivada y’ = 6x2 + 6x – 12 ; reduciendo, dividiendo entre 6 : y’ = x2 + x – 2 Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación (por cualquier método) x2 + x – 2 = 0 resolviendo por factorización: (x

2 números que sumados den 1 y multiplicados den – 2 : los números son 2 y -1

)(x

)

(x+2 )(x–1)

Igualamos a cero las raíces para obtener los valores críticos que den solución a la igualdad: x + 2 = 0 ; x1 = - 2

raíces ó valores críticos

x – 1 = 0 ; x2 = 1 La ecuación cuadrática también se puede resolver por otros métodos aparte del de factorización, como el de completar trinomio cuadrado perfecto y el de la formula general. Analizamos los valores críticos en f ’ (x) = x2 + x – 2 Revisamos x1 = - 2 a) Para un valor un poco menor a

b) Para un valor un poco mayor a

x1 = - 2 ; proponemos x = -3

x1 = - 2 ; proponemos x = - 1

f ’(-3) = (-3)2 + (-3) – 2 = 9 – 3 – 2 = 4

f ’(-1) = (-1)2 + (-1) – 2 = 1 – 1 – 2 = - 2

y’=(+)

y‘=(-)  En x = -2 existe un Máximo

Revisamos x2 = 1 a) Para un valor un poco menor a

b) Para un valor un poco mayor a

x2 = 1 ; proponemos x = 0

x2 = 1 ; proponemos x = 2

f ’( 0 ) = ( 0 )2 + ( 0 ) – 2 = – 2

f ’( 2 ) = (2 )2 + (2) – 2 = 4

y’=(-)

 En x = 1 existe un Mínimo

y‘=(+)

Calculamos las ordenadas de los puntos críticos en f ( x ) = 2x3 + 3x2 – 12x Para x = -2 , calculamos f (- 2 ) f (- 2 ) = 2(-2 )3 + 3(-2 )2 – 12(-2 ) f (- 2 ) = -16 +12 + 24 = 20 Máximo (-2 , 20)

Para x = 1 , calculamos f ( 1 ) f ( 1 ) = 2( 1 )3 + 3( 1 )2 – 12( 1 ) f (- 2 ) = 2 + 3 – 12 = -7 Mínimo ( 1 , -7)

65



Tabulación para obtener Pares ordenados: f ( x ) = 2x3 + 3x2 – 12x x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Máximo (-2, 20)

f(x) -32.0 9.0 20.0 13.0 0 -7.0 4.0 45.0 Mínimo (1,-7)

f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x

Grafica de la función Nota: la escala vertical esta exagerada 10 veces más que la horizontal

66



B . Criterio de la segunda derivada para obtener máximos y mínimos Para calcular los máximos y mínimos relativos de una función y = f (x), procedemos de la siguiente manera: I. II. III. IV. V.

Calculamos la primera y segunda derivadas de la función y = f ( x ). El resultado de la primera derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación para obtener las raíces. Las raíces obtenidas x1, x2, x3,..... se sustituyen en f ’’( x ) Si hecha la sustitución, el valor de la segunda derivada es negativo hay un máximo, si es positivo hay un mínimo. Para obtener las ordenadas “y” del máximo o del mínimo relativos, que corresponden a x 1, x2, x3, ... se sustituyen estos valores en la función original.

Si el valor de la segunda derivada es cero, por este método no podremos saber si hay máximo o mínimo, o posiblemente no habrá ni máximo ni mínimo, en este caso se aplica el criterio de la primera derivada. Ejemplo.- Calcula los máximos y mínimos relativos aplicando el criterio de la segunda derivada para la función: y = 2x3 + 3x2 – 12x

(misma función que el ejercicio anterior para comparar)

Solución: Calculamos la primera y la segunda derivadas: y ’ = 6x2 + 6x – 12 ; reduciendo, dividiendo entre 6 : y’ = x2 + x – 2 y ’’ = 2x + 1 Igualamos la primera derivada a cero y obtenemos las raíces: x2 + x – 2 = 0 resolviendo por factorización: 2 números que sumados den 1

(x

)(x

)

y multiplicados den – 2: los números son 2 y-1

(x+2 )(x–1)

Igualamos a cero las raíces para obtener los valores críticos: x + 2 = 0 ; x1 = - 2

raíces ó valores críticos

x – 1 = 0 ; x2 = 1 Sustituimos en la segunda derivada los valores críticos f ’’( x ) = 2x + 1 f ’’(-2 ) = 2(-2 ) + 1 = - 3 ; f ’’( 1 ) = 2( 1 ) + 1 = 3 ;

es ( - )  Hay un Máximo en x = - 2 es ( + )  Hay un Mínimo en x = 1

Calculamos las coordenadas sustituyendo en la función original f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x f (-2 ) = 2(-2 ) 3 + 3(-2 ) 2 – 12(-2 ) = -16 +12 + 24 = 20 ; Máximo en ( -2 , 20 ) f ( 1 ) = 2( 1 )3 + 3( 1 )2 – 12( 1 ) = 2 + 3 –12 = -7 ;

Mínimo en ( 1 , -7 )

67



Ejercicios (16): Determina los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones: 1) y = 2x3- 6x +3 2) y = x2 + 2x + 2 3) y = 2x3 + 3x2

68



69


3.12


Aplicación de los máximos y mínimos en problemas de optimización

En situaciones como el conseguir el menor costo en el menor tiempo, el mayor volumen, el tamaño optimo, la menor área, la mayor ganancia, la menor distancia, el más alto voltaje, la mayor productividad, el menor esfuerzo, la máxima eficiencia; en todos estos casos nos referimos a valores máximos y mínimos. Estrategia de resolución de problemas de aplicación de máximos y mínimos: 1. asignar símbolos (literales o variables) a todas las cantidades, se recomienda hacer un croquis o esquema. 2. escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o minimizar. se recomienda apoyarse en un formulario de geometría. 3. reducir la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente. esto puede comprender el uso de ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. 4. determinar el dominio de la ecuación primaria. es decir, determinar los valores para los que el problema planteado tiene sentido. 5. determinar el valor máximo o mínimo deseado por medio de los métodos de la primera o segunda derivadas. Ejemplo.- Un fabricante desea producir una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 108 cm2. ¿Qué dimensiones producirá una caja con el volumen máximo? Solución: Volumen de una caja con base cuadrada: V = x2 h

(1) ;

ecuación primaria con dos variables

h Área Superficial: A = (área de la base) + (área de los 4 lados laterales)

x

A = x2 + 4Xh = 108

x

( 2 ) ; ecuación secundaria

Queremos maximizar V , así que vamos a expresarla como función de una sola variable: De ( 2 ) , ponemos h en términos de x : x2 + 4xh = 108 h=

(

V=x 0 V = 27x -

)

; Sustituimos h en ( 1 ) 1 ;

V=

Reduciendo:

Función de una variable 70



Dominio factible: como el volumen debe ser mayor que cero, el lado x debe ser mayor que cero, el área de la base es cuando más A = x2 , o sea x < ; por tanto el dominio factible es 0 < x < . Determinamos el máximo por el criterio de la segunda derivada V = 27x -

3

V’ = 27 -

Primera derivada

V’’ =

Reduciendo: V’’ =

Segunda derivada

Igualamos a cero la primera derivada para obtener las raíces 27 x=±

2

; ;

; x

( )

Raíces: x1 = 6 x2 = -6

El valor de x2 = -6 está fuera del dominio, por lo tanto no se considera en el análisis . Sustituimos x = 6 en la segunda derivada f’’(x) = f’’ (6) =

( )

= - 9 ; concavidad ( - )  hay un Máximo en x = 6

=

El lado de la base es de 6 cm Determinamos la altura “h” sustituyendo x = 6 en ( 2 ) x2 + 4xh = 108 ; ( 6 )2 + 4 ( 6 ) h = 108 h=

=

=3

;

; 36 + 24h = 108

h=3

 El volumen es máximo cuando las dimensiones de la caja son: 6 x 6 x 3 cm.

71



EL CÁLCULO Y LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: COMO HACER MÁS, CON MENOS MUNDO REAL

Modelo Matemático

Algebra

Geometría

2

V=X h Aritmética

FUNCIÓN

Trigonometría

CÁLCULO

V = f (x) Fenómeno

DIFERENCIAL

INTEGRAL

Fenómeno: Un fabricante desea producir una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 108 cm2 . ¿qué dimensiones darán como resultado un volumen máximo? Modelo Matemático:

h

Aplicaciones:

Aplicaciones:

-problemas de optimización

- cálculo de áreas y volúmenes

-razón de cambio

-procesos físicos, industriales, economía y negocios

X X Como la caja tiene una base cuadrada, su volumen es: 2 V=X h El área superficial de la caja es: 2

S = X + 4Xh ; sustituimos S=108 y despejamos h 2 h = (108 –X ) / 4X , entonces: V= f (X) = X

2

108 – X 4X

Abreviando para nuestro ejemplo: se determina el máximo por el criterio de la Primera ó Segunda Derivada, obteniendo las dimensiones de la caja, para este caso el volumen es máximo cuando las dimensiones de la caja son: 6 x 6 x 3 cm.

2

EL CÁLCULO es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. El cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros, economistas, biólogos, administradores y sociólogos entre otros profesionales puedan modelar situaciones de la vida real. 72



Ejercicios (17): Aplicación de máximos y mínimos

1. Una empresa ha calculado que su ingreso total por un cierto producto está dado por la ecuación y = -x3 + 450 x2 + 52500 x pesos. Donde x es el número de unidades producidas; ¿qué cantidad de producción dará un ingreso máximo?

73



2. Un ganadero dispone de material suficiente para cercar 360 m; si su intención es construir un corral rectangular, ¿Qué dimensiones tendrá el corral de área máxima que puede cercar?

74

APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL 2011-pag 45

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