Apuntes de Física del Estado Sólido J. Maza, J. Mosqueira, J. Veira Universidad de Santiago de Compostela, 2007
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Apuntes de Física del Estado Sólido J. Maza, J. Mosqueira, J.A. Veira Universidad de Santiago de Compostela, 2006
Apuntes de Física del Estado Sólido J. Maza, J. Mosqueira, J.A. Veira Universidad de Santiago de Compostela, 2006
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Problemas
12
Cap´ıtulo I: Estructura cristalina
1.7. 1.
Ejercicios
Razonar si son ciertas las siguientes afirmaciones: ~ → −R). ~ a) Una red es siempre invariante por inversiones (R
b) Un conjunto de puntos dados por ~r = u1~a1 + u2~a2 + u3~a3 con los ui no necesariamente enteros no es una red. c) La disposici´on espacial de puntos adjunta constituye una red.
c) La disposición espacial de puntos adjunta constituye una red por celda primitiva es siempre
d ) El n´ umero de puntos de la red por celda primitiva es siempre uno. e)
El n´ umero de ´atomos por celda unitaria es siempre mayor que uno.
f ) En un cristal de base monoat´omica todas las posiciones at´omicas son f´ısicamente indistinguibles. 2.
Para el patr´on de la figura indicar: un nu un nu un nu nu un nu un nu un un nu un nu un nu nu un nu un nu un
a) Una celda unitaria rectangular. b) Una celda unitaria primitiva. c) La base de letras correspondiente a cada tipo de celda. 3.
Una red admite vectores primitivos distintos. Argumentar que, sin embargo, el volumen asociado (celda) es siempre el mismo.
4.
Demostrar que la proporci´on m´axima de espacio que se puede llenar con esferas s´olidas acomodadas en varias estructuras es la siguiente: a) C´ ubica simple π/6 ≈ 52 %
√ b) C´ ubica centrada en el cuerpo π 3/8 ≈ 68 % √ c) Hexagonal compacta π 2/6 ≈ 74 % √ d ) C´ ubica centrada en las caras π 2/6 ≈ 74 %. 5.
Estructura del diamante: a) ¿Cu´antos ´atomos hay en la celda primitiva del diamante? ¿Y en la convencional?. b) ¿Cu´antos ´atomos m´as pr´oximos tiene un ´atomo dado?. c) Calcular la fracci´on de empaquetamiento. d ) Probar que el ´angulo entre los enlaces tetra´edricos es 109◦ 28’.
6. 7.
¿Qu´e estructuras monoat´omicas dan lugar a ´ındices de coordinaci´on de 2,4,6,8,12? p Demostrar que la relaci´on c/a para una hcp ideal es 8/3.
1.7 Ejercicios
13
8.
El m´aximo aprovechamiento del espacio con esferas iguales en disposici´on regular (peri´odica) corresponde a las estructuras fcc ´o hcp con cerca del 75 %. ¿Se puede superar esta cota liberando la restricci´on de que sea una disposici´on peri´odica?
9.
Argumentar que los u ´nicos ejes de simetr´ıa compatibles con una red bidimensional son los de orden 1,2,3,4 y 6. Verificar directamente que con solo pent´agonos no es posible cubrir un plano.
10.
Se podr´ıa esperar que las estructuras m´as frecuentes de los elementos met´alicos (de enlace no direccional y no saturable) fueran las de empaquetamiento m´as compacto: fcc o hcp. Verificar en las tablas pertinentes si en efecto es as´ı. Se observar´a que los metales alcalinos as´ı como Ba, V, Nb, Ta, W y Mo cristalizan en la bcc. Para entenderlo, calcular el n´ umero y distancia de primeros y segundos vecinos en las estructuras fcc y bcc. ¿Qu´e se concluye?
11.
Calcular la densidad del NaCl sabiendo que el radio i´onico del Na+ es 0.102 nm y el del Cl− es 0.181 nm. La masa at´omica del Na es 22.99 g/mol y la del Cl es 35.45 g/mol.
12.
Determinar los radios de los mayores huecos (supuestos esf´ericos) que cabr´ıan en las estructuras sc, fcc y bcc monoat´omicas.
13.
La formaci´on de vacantes de Schottky hace que disminuya la densidad del cristal, ya que su volumen aumenta y su masa no cambia. Estimar el cambio relativo en la densidad del cobre, para el que la energ´ıa de formaci´on de una vacante es de 1 eV, debido a la formaci´on de vacantes a la temperatura justo por debajo de su punto de fusi´on (1356 K). ¿Ser´ıa medible?
14.
Calcular el n´ umero de vacantes y el de divacantes que se encuentran en equilibrio t´ermico a temperatura ambiente en un metal en el que la energ´ıa de formaci´on de una vacante es 1 eV y la energ´ıa de enlace de una divacante 0.2 eV.
2.5 Ejercicios
2.5. 1.
21
Ejercicios
Razonar la veracidad de las siguientes afirmaciones: a) La intensidad de cualquiera de los m´aximos de difracci´on de un cristal es proporcional al n´ umero de ´atomos. b) El factor de forma at´omico hace que la intensidad de los m´aximos disminuya a medida que lo hace el ´angulo de Bragg. c) Dos cristales distintos tienen distinta red rec´ıproca asociada. d ) La primera zona de Brillouin es una celda unitaria primitiva de la red rec´ıproca. e)
En condiciones de m´aximo de difracci´on las ondas reemitidas por dos ´atomos cualesquiera del cristal est´an en fase.
f ) En condiciones de m´aximo de difracci´on la onda reemitida por el conjunto de la base at´omica asociada a un punto de la red est´a en fase con la reemitida por la base at´omica de cualquier otro punto de red. 2.
Realizar la traducci´on geom´etrica de la condici´on de difracci´on [Ec. (2.10)] utilizando la red rec´ıproca. De ah´ı, discutir cuan probable o improbable es que un haz de rayos x incidente (vector de onda ~k) sobre un cristal fijo sufra difracci´on coherente en cualquier direcci´on.
3.
¿Qu´e opinas de la posibilidad de utilizar la difracci´on en un cristal para monocromar un haz de rayos x?
4.
En un difractograma de un cristal uno mide ´angulos e intensidades (relativas). ¿Qu´e informaci´on sobre el cristal se extrae de los ´angulos y cu´al de las intensidades?
5.
Probar que en un cristal c´ ubico la direcci´on (h,k,l) es perpendicular a los planos [h,k,l].
6.
Las direcciones de los m´aximos de difracci´on en un cristal est´an determinadas por la red subyacente (por ~ Sin embargo, como la elecci´on de red tiene un grado de arbitrariedad, parecer´ıa que al ejemplo ∆~k = G). ~ cambiar de red (distintos G’s), debieran cambiar las direcciones de los m´aximos de difracci´on. Resolver la paradoja.
7.
Verificar expl´ıcitamente que un cristal fcc monoat´omico tiene los mismos m´aximos de difracci´on cuando se considera como una red sc con base tetraat´omica.
8.
La aleaci´on CuAu3 tiene una estructura ordenada por debajo de 400 ◦ C, que consiste en ´atomos de cobre en los v´ertices de cubos y ´atomos de oro en los centros de las caras de los cubos. Por encima de esa temperatura la estructura est´a desordenada. Determinar las reflexiones no comunes a ambas estructuras en un diagrama de difracci´on de rayos x.
9.
Supongamos que en un cristal lineal existen centros puntuales de dispersi´on en cada punto de la ~ n = n~a, donde n es un entero. Demostrar que la intensidad difundida es proporcional a red R sen2 (N~a∆~k/2)/sen2 (~a∆~k/2), siendo N el n´ umero de puntos de la red. Analizar la difracci´on para ~ ~a∆k = 2πh + ², donde ² → 0 y h es un n´ umero entero.
10.
En un diagrama de polvo de rayos x de una sustancia c´ ubica, obtenido con la radiaci´on Kα del cobre (λ=0.1542 nm) aparecen l´ıneas para ´angulos de Bragg de 12.3◦ ; 14.1◦ ; 20.2◦ ; 24.0◦ ; 25.1◦ ; 29.3◦ ; 32.2◦ ; 33.1◦ . Asignar ´ındices a estas l´ıneas. Decidir si es c´ ubica simple, centrada en el centro o en las caras, y calcular la constante de red.
11.
Calcular el ´angulo θ de Bragg para el que debe aparecer la l´ınea (300) de un diagrama de polvo de rayos x de piritas de hierro (S2 Fe c´ ubica, a =0.54 nm) obtenido con la radiaci´on Kα del hierro. Con este ´angulo, la l´ınea s´olo aparece en un diagrama si la radiaci´on no se filtra. ¿C´omo se explica esto? (Longitudes de onda: Hierro Kα = 0.1937 nm, Hierro Kβ = 0.1757 nm).
12.
Factor de estructura del diamante: si se considera como celda unidad una celda c´ ubica simple, la base de esta estructura es de ocho ´atomos. Encontrar, si los hay, los ceros del factor de estructura.
22
Cap´ıtulo II: Red rec´ıproca y difracci´ on de rayos x
13.
Utilizando las propiedades del producto mixto, demostrar que el volumen de la celda primitiva en el espacio rec´ıproco (por ejemplo la PZB ) es (2π)3 /Vc , siendo Vc el volumen de la celda primitiva del cristal.
14.
Para el ´atomo de hidr´ogeno en el estado fundamental, la densidad num´erica electr´ onica es n(r) = (πa30 )−1 exp(−2r/a0 ). Demostrar que el factor de forma es fG = 16/(4 + G2 a20 )2 . ¿C´omo se entiende la dependencia con el ´angulo, es decir, con G?
15.
Encuentra una explicaci´on al hecho de que el desorden at´omico propio de los materiales amorfos afecta m´as a los m´aximos de difracci´on de ´angulo alto (de hecho, como hemos visto, ya no aparecen). Explicar tambi´en por qu´e en ausencia de m´aximos de m´as alto ´angulo est´a asociada precisamente al desorden de largo alcance.
16.
Calcular la amplitud de difracci´on producida por una red cuadrada de par´ametro a, con base de dos ´atomos en posiciones (0, 0) y (1/2, δ). Discutir las extinciones de los m´aximos de difracci´on producidas por la base de ´atomos en funci´on del par´ametro δ (δ < 1). Particularizar para los ´angulos m´as bajos.
17.
En la red rec´ıproca se define la n-´esima zona de Brilloin (ZB) como la regi´on del espacio rec´ıproco a la que se puede acceder desde un punto cualquiera de la red (elegido como origen) atravesando n-1 planos Bragg. a) Dibujar la 3 primeras zonas de Brillouin de una red cuadrada y una red rectangular centrada. b) Razonar que todas las zonas tiene el mismo volumen (´area en 2D).
33
3.6 Ejercicios
3.6.
Ejercicios
1.
Las temperaturas de fusi´on de los cristales i´onicos son mucho mayores que las de los cristales de gases inertes. ¿Por qu´e?
2.
Consultando tablas, etc, especificar un orden de magnitud para las diferencias de energ´ıa de cohesi´on en cristales i´onicos seg´ un el tipo de estructura.
3.
Los haluros alcalinos (tipo AB+ ) son los compuestos diat´omicos con car´acter m´as netamente i´onico. ¿Ves alguna raz´on para explicar el hecho de que la estructura mayoritaria de aqu´ellos sea la del NaCl?
4.
Los cristales de los gases inertes cristalizan en la estructura fcc monoat´omica. ¿Se puede justificar este hecho razonando que la energ´ıa de cohesi´on para enlaces de van der Waals (chequear expresiones te´ oricas) es m´axima precisamente para la estructura fcc?
5.
Un cristal de Ne20 tiene una constante de red de 4.464 ˚ A, y uno de Ne22 de 4.456 ˚ A. ¿Ves alguna explicaci´on cualitativa a esta peque˜ na diferencia?
6.
Se dice que para el estudio de las energ´ıas de enlace en los cristales de Van der Waals o i´onicos es aproximadamente v´alido un modelo de esferas duras. ¿En qu´e expresiones vistas te basar´ıas para justificarlo?
7.
Sea una cadena de 2N iones, con carga alternante ±q, y que tienen un potencial repulsivo A/Rn entre vecinos m´as pr´oximos. a) Demostrar que, a la separaci´on de equilibrio, se tiene que la energ´ıa total de la cadena es U (R0 ) = −2N q 2 (1 − 1/n) ln 2/R0 en el sistema CGS. b) Si comprimimos el cristal de forma que la distancia entre vecinos var´ıa de R0 hasta R0 (1 − δ), demostrar que el trabajo por unidad de longitud necesario para comprimir el cristal tiene como t´ermino principal Cδ 2 /2, siendo C = (n − 1)q 2 ln 2/R02 .
8.
Se define el m´odulo de compresibilidad B0 como el inverso del coeficiente de compresibilidad, esto es, B0 = −V (dP/dV ), donde P es la presi´on y V el volumen. Discutir la dependencia de B0 con la energ´ıa de enlace suponiendo que la energ´ıa potencial por par de ´atomos viene dada por U (r) = A/rn − B/rm .
9.
Calcular la constante el´astica asociada al desplazamiento de la carga negativa en la aproximaci´on de nube esf´erica r´ıgida. Aplicar cualitativamente este resultado a la energ´ıa de cohesi´ on de los gases nobles y a sus temperaturas de fusi´on. Elemento Ne Ar Kr Xe
Radio (˚ A) 1.6 1.9 2 2.2
Volumen (˚ A3 ) 16.5 27.8 33.5 42.8
N´ um. At´omico 10 18 36 54
E. Cohesi´on (kJ/mol) 1.9 7.7 11.2 16.0
10.
Con los datos experimentales del m´odulo de compresibilidad B0 (B0 = 1.97×1011 dinas/cm2 a T = 0 K) y de la separaci´on entre vecinos m´as pr´oximos (r0 = 3.14×10−8 cm), calcular la energ´ıa de cohesi´on del KCl, que cristaliza con la misma estructura que el NaCl. Comparar el resultado con el experimental de 7.19 eV/par-de-iones.
11.
Utilizando el potencial de Lennard-Jones, calcular el cociente entre las energ´ıas de cohesi´on del Ne´on en las estructuras bcc y fcc.
12.
12. El ´oxido de bario tiene la estructura del NaCl. Estimar las energ´ıas de cohesi´on por mol´ecula de los cristales hipot´eticos Ba+ O− y Ba++ O−− referidas a los ´atomos neutros separados. La distancia internuclear entre vecinos pr´oximos observada es R0 = 0.276 nm; el primero y segundo potenciales de ionizaci´on del Ba son 5.19 y 9.96 eV; y las afinidades electr´onicas del primero y segundo electr´on a˜ nadidos
34
Cap´ıtulo III: Enlace cristalino
al ´atomo de ox´ıgeno neutro son 1.5 eV y -9.0 eV ¿Cu´al es el estado de valencia que se puede predecir que se produzca? Suponer que R0 es el mismo para ambas formas y despreciar la energ´ıa repulsiva. Las energ´ıas de ionizaci´on, cohesi´on y afinidad electr´onica se definen por los procesos siguientes: ´atomo e− i´on+
+ + +
e. de ionizaci´on ´atomo i´on−
→ → →
i´on+ i´on− i´on+ i´on−
+ + +
e− afinidad electr´onica energ´ıa de cohesi´on
13.
Un conjunto de funciones de onda, normalizadas y mutuamente ortogonales, del estado p para un ´atomo pueden escribirse de la forma px = xf (r) ; py = yf (r); pz = zf (r). Considerando la combinaci´on lineal de la funci´on de onda p: Ψ = ax px + ay py + az pz , encontrar cuatro conjuntos de coeficientes (ax , ay , az ) que den funciones de onda normalizadas del estado p, con l´obulos apuntando hacia los v´ertices de un tetraedro regular.
14.
Consid´erese la combinaci´on lineal Φ = bs+cΨ, donde Ψ es cualquiera de las cuatro funciones del problema anterior, y s es una funci´on de onda del estado s, normalizada y ortogonal a px , py , pz . Encontrar estas cuatro funciones de onda Φ en t´erminos de px , py , pz y s (´estos son los h´ıbridos sp3 ).
15.
La energ´ıa de cohesi´on de un cristal de cloruro s´odico es 7.9 eV por par de iones Na+ Cl− . La energ´ıa de ionizaci´on del Na es 5 eV y la afinidad electr´onica del Cl es 3.75 eV. Despreciando la energ´ıa de repulsi´on, estimar el espaciado interat´omico del NaCl.
16.
En un libro de Estado S´olido, en referencia a los compuestos binarios i´onicos metal - no metal, se dice que: La geometr´ıa del empaquetamiento de esferas de diferente di´ ametro sugiere la siguiente relaci´ on entre el n´ umero de coordinaci´ on z y la raz´ on entre el radio del metal Rm y el del no metal Rnm : z Rm /Rnm
8 1 - 0.73
6 0.73 - 0.41
4 0.41 - 0.22
2 0.22
As´ı para el FeO la raz´on anterior vale 0.54 y en efecto su estructura es la del NaCl (coordinaci´on 6). El ejercicio consiste en entender los fundamentos de la afirmaci´on rese˜ nada.
44
Cap´ıtulo IV: Din´ amica de redes
4.5.
Ejercicios
1.
¿Qu´e sentido f´ısico tiene que la frecuencia ω de los modos ´opticos sea finita para k → 0 en tanto que para los ac´ usticos ω → 0?
2.
Deducir un orden de magnitud para la velocidad del sonido en s´olidos.
3.
Hacer una representaci´on gr´afica de los modos ac´ usticos y ´opticos longitudinales de una cadena diat´omica (con masas M1 y M2 ) para: a) k = ±π/a y M1 /M2 cualquiera. b) M1 À M2 y k cualquiera.
4.
Comprobar que en el l´ımite M1 → M2 , el espectro vibracional de una cadena diat´omica con ´atomos equidistantes coincide con el de la monoat´omica.
5.
Demostrar que para longitudes de onda largas la ecuaci´on de movimiento M
d2 u s = C(us+1 + us−1 − 2us ) dt2
se reduce a la ecuaci´on de onda el´astica del continuo 2 ∂ 2 us 2 ∂ us = c , ∂t2 ∂x2
siendo c la velocidad del sonido. 6.
La velocidad del sonido c en medios continuos se suele ver escrita como c = (E/ρ)1/2 siendo ρ la densidad y E el m´odulo de Young que expresa la rigidez el´astica de un medio; m´as precisamente para una muestra con geometr´ıa cil´ındrica se define E por F/S = E∆`/`, donde ` es la longitud, F la fuerza aplicada y S el ´area de la secci´on transversal. Justificar la expresi´on rese˜ nada.
7.
Probar que si la direcci´on de k coincide con la de un eje de simetr´ıa de orden 3,4,6, entonces un modo normal est´a polarizado paralelamente a k y los otros dos son degenerados y polarizados perpendicularmente a k.
8.
Consideremos iones puntuales de masa M y carga e inmersos en un mar uniforme de electrones de conducci´on. Imaginemos que los iones est´an en equilibrio estable cuando ocupan los puntos de la red regular. Si un i´on se desplaza una peque˜ na distancia r de su posici´on de equilibrio, la fuerza restauradora se debe fundamentalmente a la carga el´ectrica dentro de la esfera de radio r centrada en la posici´on de equilibrio. Tomemos la densidad num´erica de iones (o electrones de conducci´on) como 3/4πR3 , que define R. a) Demostrar que la frecuencia de un solo i´on que entra en oscilaci´on es ω = (e2 /π²0 M R3 )1/2 . b) Estimar los valores es esta frecuencia para el sodio, de forma aproximada. c) A partir de a), b) y de cierto sentido com´ un, estimar el orden de magnitud de la velocidad del sonido en el metal.
9.
Consideremos los modos normales de una cadena lineal en la cual las constantes de fuerza entre los ´atomos m´as pr´oximos son alternativamente C y 10C. Supongamos que son iguales las masas y que la separaci´on entre los vecinos m´as pr´oximos es a/2. Hallar ω(k) para k = 0 y k = π/a. Hacer un esquema de la relaci´on de dispersi´on de forma cualitativa. Este problema simula un cristal de mol´eculas diat´omicas tales como las de H2 .
10.
Los neutrones t´ermicos de una determinada energ´ıa se dispersan por los fonones de un cristal perdiendo energ´ıa. Las longitudes de onda antes y despu´es de la dispersi´on son 3.14 y 5.00 ˚ A, respectivamente, y el vector de onda de los neutrones dispersados, ~k 0 , forma un ´angulo de 45o con el vector ~k de los neutrones incidentes. Calc´ ulese la longitud de onda del fon´on que interviene en este proceso de dispersi´on.
45
4.5 Ejercicios
11.
Considerar un cristal c´ ubico simple con base monoat´omica. Constatar que con interacci´on s´olo entre vecinos m´as pr´oximos no es posible mantener la resistencia de cortadura caracter´ıstica de los s´olidos. Se debe pues extender la interacci´on como m´ınimo a los segundos vecinos. En estas condiciones consider la propagaci´on del sonido en la direcci´on [100]. Calcular la constante equivalente de fuerza y la frecuencia m´axima en esa direcci´on.
12.
Calcular el momento lineal total de un cristal monoat´omico unidimensional de N ´atomos de masa M en el que hay excitado un fon´on de vector de onda k.
13.
Demostrar que la ley de dispersi´on de una cadena lineal monoat´omica de masa M con interacci´on hasta los vecinos n-´esimos es ω 2 (k) =
4 X nka 2 X ). Cn [1 − cos(nka)] = Cn sen2 ( M n>0 M n>0 2
Analizar los casos l´ımites. 14.
Considerar vibraciones en el plano de una red cuadrada. Los ´atomos son id´enticos de masa M y est´an acoplados el´asticamente con constante C. Determinar los dos modos de vibraci´on y la frecuencia m´axima para ondas el´asticas en la direcci´on [11].
15.
Demostrar la expresi´on (4.21) suponiendo que cada ´atomo sigue un movimiento en forma de modo normal de vector k (en la rama p): us = uk ei(ksa−ωt) .
55
5.4 Ejercicios
5.4.
Ejercicios
1.
Cu´al es el sentido f´ısico de la temperatura de Debye. ¿Por qu´e se dice que es una medida de la rigidez del cristal?
2.
En un s´olido a temperatura T , encontrar la frecuencia (esto es energ´ıa) m´as probable de los fonones en la aproximaci´on de Debye.
3.
Calcular la energ´ıa de vibraci´on del punto cero de un cristal en la aproximaci´on de Debye. Estimar dicho valor para el helio s´olido, suponiendo una temperatura de Debye de 24 K (valor comparable al de otros gases inertes).
4.
Calcular la densidad de estados de una cadena lineal monoat´omica.
5.
Utilizando el modelo de Debye, calc´ ulese la frecuencia m´axima de los modos de vibraci´on de una red c´ ubica simple de constante a = 3 ˚ A en la que la velocidad del sonido es c = 4.2×105 cm/s.
6.
Estimar la importancia relativa de los procesos U para la resistividad t´ermica a 100 K y 20 K, para un cristal con θD = 300 K .
7.
En un modelo cin´etico simple, la probabilidad por unidad de tiempo de que una part´ıcula sufra una colisi´on es τ −1 . Probar entonces que: a) En cualquier instante, el tiempo transcurrido desde la u ´ltima colisi´on (o hasta la siguiente), promediado para todas las part´ıculas, es τ . b) El tiempo medio entre sucesivas colisiones de una part´ıcula es tambi´en τ . c) Razonar si las conclusiones en a) y b) son compatibles.
8.
Aunque, en general, los metales conducen mejor el calor que los aislantes debido a la presencia de electrones libres se pueden citar algunos contraejemplos: El diamante conduce el calor cuatro veces mejor que el cobre a temperatura ambiente, y a 50 K un cristal de Al2 O3 tiene una conductividad t´ermica de 60 W/cmK, que es mayor que el mejor valor para el Cu a cualquier temperatura. Explicar estos comportamientos.
9.
Se argumenta que, en un enfoque de teor´ıa cin´etica, las colisiones entre fonones de tipo N , es decir con conservaci´on del (cuasi)impulso, no contribuyen a la degradaci´on en la propagaci´on del calor. La paradoja resulta de considerar ahora las part´ıculas de un gas cl´asico. Aqu´ı, todas las colisiones son de tipo N , y por lo anterior, no deber´ıa haber degradaci´on en la propagaci´on del calor, o sea, una conductividad t´ermica infinita. Explicar la paradoja.
10.
Un modelo semifenomenol´ogico afirma que un s´olido se funde cuando el cociente hu2 i/r02 excede un cierto valor cr´ıtico, siendo hu2 i el valor cuadr´atico medio de la desviaci´on de cada ´atomo de su posici´on en ausencia de vibraciones y r0 la distancia entre vecinos m´as pr´oximos. En un modelo de Debye, encontrar una relaci´on entre la temperatura de fusi´on TF y la temperatura de Debye θD , suponiendo aplicable dicho modelo semifenomenol´ogico. Estudiar la precisi´on con que el cociente anterior se mantiene constante para los materiales de la Tabla.
Elemento Al Au Cu Ni Pd Pt
Masa at´omica (g) 27 197 63.5 58.7 106.4 195.1
r0 (nm) 0.286 0.289 0.255 0.249 0.275 0.277
θD (K) 394 170 315 375 275 230
TF (K) 933 1337 1356 1726 1825 2045
56
Cap´ıtulo V: Propiedades t´ermicas reticulares
11.
El calor espec´ıfico de la red cristalina de una determinada forma de carbono se ha medido experimentalmente y resulta ser proporcional a T 2 a muy bajas temperaturas. ¿Qu´e se puede decir acerca de la estructura de esta fase particular del carbono?
12.
Suponiendo v´alida la aproximaci´on de Einstein D(ω) = 3N δ(ω − ω0 ) para las frecuencias propias de vibraci´on, deducir cu´al es el orden de magnitud del desplazamiento m´aximo de los iones de Cl− y Na+ en un cristal de NaCl, debido a la energ´ıa t´ermica a 30 K y a 300 K.
13.
Estimar el recorrido libre medio de los fonones en el Ge a 300 K utilizando los siguientes datos: κ = 80 W/mK, θD = 360 K , Pat = 72.6, ρ = 5.5×103 kg/m3 , c = 4500 m/s.
14.
~ →R ~ + ~u(t), hay que reconsiderar la dispersi´on Debido al movimiento t´ermico inevitable de los ´atomos, R de rayos x por un cristal. A partir de la expresi´on general de la amplitud dispersada, probar que la intensidad media (promedio temporal) de las distintas l´ıneas de difracci´on viene dada aproximadamente por −hu2 iG2 I = I0 exp 3 donde I0 es, como se ve, la intensidad despreciando efectos t´ermicos y hu2 i, la amplitud cuadr´atica media de vibraci´on. ¿Por qu´e las l´ıneas Bragg m´as atenuadas son las de ´angulo de dispersi´on mayor?
15.
La relaci´on de dispersi´on de una cadena de longitud L de N ´atomos de masa M puede aproximarse por 2 ω 2 (k) = M [A (1 − cos ka) + B (1 − cos 2ka)], donde a es el par´ametro de red y A y B constantes de acoplamiento entre primeros y segundos vecinos, respectivamnete. a) Determinar la velocidad de grupo de las ondas el´asticas en la cadena. b) Determinar para qu´e longitudes de onda se producen ondas estacionarias. c) Determinar la velocidad propagaci´on del sonido. d ) Determinar la funci´on densidad de modos general, la de Debye y el vector de ondas de Debye. e)
Discutir cuales de los siguientes pares de valores (A, B) son f´ısicamente posibles: (30, 15), (30,-15), (30, 5), (30,-5). Esto valores est´an dados en unidades MKS, ¿cu´ales son estas unidades?
68
Cap´ıtulo 6: Gas de Fermi de electrones libres
6.8.
Ejercicios
1.
Determinar, a partir de alg´ un criterio previo razonable, la anchura de la distribuci´on de Fermi-Dirac a temperatura T .
2.
Suponer que por un metal est´a circulando una corriente bajo el efecto de un campo el´ectrico. A t=0 “desconectamos” el campo el´ectrico. Determinar el tiempo que tarda el mar de electrones en “relajar” al estado de equilibrio.
3.
Razonar que debe aparecer un voltaje el´ectrico si a un metal lo sometemos a una diferencia de temperatura mientras lo mantenemos en circuito el´ectrico abierto.
4.
a) Bosquejar las funciones de distribuci´on de desequilibrio en el espacio de fases de un gas de Fermi en presencia de un campo el´ectrico y en presencia de un gradiente de temperatura. b) Dibujar algunos procesos de dispersi´on posibles. c) En funci´on de lo anterior, ¿podemos concluir algo sobre los diferentes tiempos de relajaci´on el´ectrico y t´ermico?
5.
Si se admite que los procesos de dispersi´on electr´onica son el´asticos e is´otropos, se puede calcular que el tiempo de relajaci´on τ que debe aparecer en la ecuaci´on din´amica (6.25) se expresa por τ (~k)−1 =
Z
d3~k 0 (1 − kˆ · kˆ0 )Q(~k, ~k 0 ) 8π 3
donde Q(~k, ~k 0 ) es la probabilidad por unidad de tiempo de la transici´on ~k → ~k 0 . Comentar la f´ısica de esta ecuaci´on. 6.
Admitiendo el modelo jalea para un metal, sup´ongase una perturbaci´on local en la carga electr´onica que produce una densidad de carga neta local. Despreciando el efecto de las colisiones y linealizando la ecuaci´on de continuidad, demostrar que la ecuaci´on del movimiento de los electrones es la de un movimiento arm´onico simple de frecuencia igual a la frecuencia de plasma ωp . ¿Es l´ogico despreciar las colisiones dado el valor de ωp ?
7.
Comparar num´ericamente el calor espec´ıfico electr´onico de un metal con el reticular a T = 300 K admitiendo θD ≈ 300 K. ¿A qu´e temperatura ser´ıan del mismo orden?
8.
Calcular el m´odulo de rigidez, definido como B ≡ −V (∂P/∂V )T , de un gas de electrones libres a T =0 K y aplicarlo a los metales de la tabla adjunta, en la que se da, para su comparaci´ on, el valor experimental. Comentar los resultados. Metal Al K Cs Cu
n (1022 cm−3 ) 18.1 1.40 0.91 8.47
Bexp (GPa) 76.0 2.81 1.43 134
9.
Suponer que el Na tiene un coeficiente de expansi´on t´ermica lineal entre 0 K y 300 K de α =1.5×10−6 K−1 . ¿Cu´al es el cambio porcentual entre esas temperaturas de εF , TF , vF y kF ?
10.
En el modelo cin´etico de Drude la energ´ıa no se conserva en las colisiones, ya que si sometemos el metal a un campo el´ectrico externo la velocidad de salida de un electr´on de una colisi´on no depende de la energ´ıa que el electr´on adquiere del campo. Supongamos un metal a temperatura uniforme bajo la acci´on de un campo el´ectrico uniforme y est´atico, E. Demostrar que la p´erdida de potencia en un hilo de longitud L y secci´on transversal A es I 2 R, siendo I la intensidad que atraviesa el hilo y R la resistencia el´ectrica del mismo.
69
6.8 Ejercicios
11.
El ´atomo de 3 He tiene esp´ın 1/2. La densidad del 3 He l´ıquido es de 0.081 g/cm3 cerca del cero absoluto. Calcular la energ´ıa de Fermi y la temperatura de Fermi.
12.
~ a lo largo del Probar que la densidad de corriente estacionaria, ~j, en presencia de un campo magn´etico B eje z, se puede escribir como 1 −ωc τ 0 Ex jx σ 0 ωc τ Ey jy = 1 0 1 + ωc2 τ 2 Ez 0 0 1 + ωc2 τ 2 jz donde ωc = eB/m. Estudiar los casos l´ımite.
13.
Sabiendo que la energ´ıa de Fermi de la plata es 5.48 eV y su temperatura de fusi´on 1230 K, estima la fracci´on de electrones que est´an excitados (esto es, con energ´ıa superior a la energ´ıa de Fermi) en el punto de fusi´on, utilizando el modelo de electrones libres.
14.
Desarrollar las ecuaciones de Maxwell introduciendo: a) La polarizaci´on P = ε0 (ε − 1)E con σ = 0 (enfoque diel´ectrico) b) P = 0 (ε = 1), σ 6= 0 (enfoque conductor)
(ε es la permitividad, σ la conductividad y E el campo el´ectrico; en ambos casos tomar densidad de carga neta nula.) Verificar que ambas descripciones son equivalentes siempre y cuando se verifique la relaci´on ε(ω) = 1 + iσ(ω)/ε0 ω. 15.
Cuando se estudia la conductividad AC de metales en la aproximaci´on de electrones libres, en la ecuaci´on ~ = din´amica se ignora un t´ermino asociado a la existencia de un campo magn´etico, dado por µ10 rotB ~ ~ ~j + ε0 ∂ E , que est´a inevitablemente presente al aplicar un campo el´ectrico E(t) dependiente del tiempo. ∂t Discutir la importancia del error que se comete al ignorar dicho t´ermino. Suponer campos de la forma ~ r, t) = E ~ 0 ei(~k~r−ωt) , E(~ ~ r, t) = B ~ 0 ei(~k~r−ωt) . B(~
79
7.7 Ejercicios
7.7.
Ejercicios
1.
Determina el n´ umero efectivo de electrones por ´atomo (Neff ) que debe tener un metal bcc para que la superficie de Fermi correspondiente a dicha densidad de electrones, supuestos libres, sea tangente a la frontera de la primera zona de Brillouin. ¿Y si la estructura es fcc?
2.
En un cierto metal monovalente, de estructura c´ ubica simple y par´ametro de red a = 0.3 nm, la relaci´on de dispersi´on para electrones en la banda de conducci´on es ε(k) = 5 − 0,84 cos(ka) con ε en eV. a) Dibujar ε(~k) a lo largo de la direcci´on [100]. b) Determinar la energ´ıa de Fermi. Compararla con el valor que se obtendr´ıa para electrones libres.
3.
Consideremos una red bidimensional en la que los iones ejercen un potencial peri´odico d´ebil sobre los electrones de la forma ¶ µ ¶ µ 2πy 2πx cos . U (x, y) = −4U cos a a Hallar aproximadamente la anchura de la brecha de energ´ıa (gap) en la esquina (π/a, π/a) de la PZB.
4.
El potencial cristalino d´ebil sobre los electrones de un cristal de dos dimensiones viene dado por U (x, y) = −10 + 0,1 cos(πx) + 0,3 cos(πy), donde x e y est´an dados en ˚ A y las energ´ıas en eV. a) Dibujar las dos primeras zonas de Brillouin. b) Calcular las componentes Fourier del potencial. c) Dar los intervalos prohibidos a lo largo de [01], [10] y [11]. d ) Suponiendo que cada ´atomo aporta dos electrones a las bandas, dibujar el c´ırculo de Fermi.
5.
Demostrar que las relaciones de dispersi´on εn (k) para un electr´on en un cristal verifican εn (k) = εn (−k). Para eso, probar primero que, por la hermiticidad del Hamiltoniano, a Ψk y Ψ∗k les corresponde la misma energ´ıa, es decir, son degeneradas, y segundo que las funciones Bloch Ψk y Ψ∗−k tienen asociado el mismo k y por tanto la misma energ´ıa.
6.
Determinar la anchura de los dos primeros intervalos de energ´ıa prohibida en la aproximaci´on de electrones cuasilibres para el potencial unidimensional de la figura.
7.
El modelo de Kronig-Penney es un modelo unidimensional resoluble para el problema de un electr´on en un potencial peri´odico. El potencial supuesto para los ´atomos es el que se ilustra en la figura. De resolver la ecuaci´on de Schr¨odinger para el electr´on se encuentra para la relaci´on de dispersi´ on cos(ka) = cos(αa) + P
sen(αa) αa
p donde α = 2mε/¯h y P = bV0 ma/¯h2 es un par´ametro que da cuenta de la amplitud de la barrera. Sacar todas las consecuencias posibles de la ecuaci´on anterior en funci´on de αa. Contestar por ejemplo: a) ¿Hay bandas de energ´ıa?, (¿hay energ´ıas prohibidas?) b) ¿Qu´e se puede decir de la velocidad de los electrones? ¿Ocurre v = 0 en los bordes de zona?
80
Cap´ıtulo 7: Electrones en un potencial peri´ odico
c) ¿Qu´e pasa para P → 0 y P → ∞?
d ) ¿Qu´e influencia tiene a? 8.
a) ¿Es cierto que una sustancia con un n´ umero impar de electrones de valencia por ´atomo siempre ser´a un conductor? b) ¿Un aislante siempre tiene un n´ umero impar de electrones por celda primitiva?
9.
Probar que la energ´ıa de una banda s en la aproximaci´on de electrones fuertemente ligados es, a lo largo de las direcciones principales de simetr´ıa de un cristal monoat´omico f cc, como sigue (se tiene que 0 ≤ µ ≤ 1): a) ky = kz = 0, kx = µ2π/a → ε = εs − b − 4γ[1 + 2 cos(µπ)] b) kx = ky = kz = µ2π/a → ε = εs − b − 12γ cos2 (µπ)
c) kz = 0, kx = ky = µ2π/a → ε = εs − b − 4γ[cos2 (µπ) + 2 cos(µπ)]
d ) kz = 0, kx = µ2π/a, ky = µπ/a → → ε = εs − b − 4γ[cos(µπ) + cos(µπ/2) + cos(µπ) cos(µπ/2)] 10.
Estudiar si la derivada normal de ε se se anula, es decir, si (∂ε/∂~k) · n ˆ = 0 en las distintas caras de la frontera de la PZB (ˆ n es la normal a la frontera de zona) para el ejemplo del problema anterior.
11.
Los metales alcalinos tienen iones +e con la configuraci´on, muy estable, de los gases nobles (ejemplos Li: 1s1 2s1 , Na: [Ne]3s1 , Cs: [Xe] 6s1 ), por fuera de los cuales se mueve un electr´on de conducci´on por ´atomo. Tratando a estos electrones como libres, determinar el radio de la superficie de Fermi y compararla con el tama˜ no de la (primera) zona de Brillouin. La estructura es bcc. Razonar de ah´ı por qu´e, tal como hemos venido viendo, los metales alcalinos se ajustan bien al modelo de electrones libres.
12.
Comprobar que para una red cuadrada simple la energ´ıa cin´etica de un electr´on libre en una esquina de la primera zona es mas alta que la de un electr´on en el punto medio de una cara lateral de la zona en un factor 2. ¿Cu´al es el factor en el caso de una red c´ ubica simple? ¿Ves que esto tenga algo que ver con la conductividad de los metales divalentes?
13.
Considerar una estructura cristalina bidimensional, de red cuadrada y base formada por dos ´atomos id´enticos en (0,0) y ( 21 , 41 ). Indicar a lo largo de qu´e direcciones y entre qu´e bandas no se observar´a el gap de energ´ıa (dar algunos ejemplos). ¿Encuentras que puede haber una relaci´on entre los “ceros” del factor de estructura de la base (visto en el Cap´ıtulo 2) y la anulaci´on del gap de energ´ıa en determinadas direcciones?
88
Cap´ıtulo VIII: Din´ amica semicl´ asica de e− Bloch
8.5. 1.
Ejercicios
Considerar un cristal unidimensional para el que la energ´ıa var´ıa con el vector de onda seg´ un µ ¶ ka ² = ²1 + (²2 − ²1 ) sen2 2 Suponer un solo electr´on en esta banda y sin sufrir scattering. a) Discutir el comportamiento de la masa efectiva, la velocidad electr´onica, y la posici´on en el espacio real bajo la influencia de un campo el´ectrico uniforme. b) Si a = 1 ˚ A, ¿cu´anto tiempo se debe aplicar un campo de 100 V/m para que el electr´on ejecute una oscilaci´on completa en el espacio? Si la banda tiene una anchura de 1 eV, ¿qu´e distancia se recorre en esa oscilaci´on?
2.
Considerar un electr´on con la energ´ıa de Fermi del Na movi´endose en el plano xy. Probar que una inducci´on magn´etica Bz = 1 T producir´a una resonancia ciclotr´on con un radio de ´orbita de 6 µm. ¿C´omo est´a relacionada el ´area en el espacio real (en m2 ) con el ´area en el espacio k (en m−2 )?
3.
Considerar la ecuaci´on de Schr¨odinger para un electr´on en un potencial peri´odico U (r) y sometido a un campo el´ectrico uniforme: · ¸ ¯h2 2 ∂Ψ ~r Ψ = − ∇ + U (~r) + eE~ i¯h ∂t 2m Suponer que en t = 0, Ψ(0) es una combinaci´on lineal de funciones Bloch, las cuales tienen todas el mismo vector de onda ~k. Probar entonces que, a cualquier tiempo t, Ψ(~r, t) ser´a una combinaci´on lineal ~ h. Este resultado da soporte a la ecuaci´on de funciones Bloch, todas con el mismo vector de onda ~k − eEt/¯ ~ ~ ~ semicl´asica k(t) = k(0) − eEt/¯h .
4.
En presencia de un campo magn´etico los electrones describen ´orbitas manteniendo constante su energ´ıa, ε(~k) y su componente de momento paralela al campo, k|| . El tiempo necesario para recorrer un tramo de ´orbita entre dos puntos k⊥1 y k⊥2 (el s´ımbolo ⊥ ´ındica componente perpendicular al campo magn´etico) es Z t2 Z k⊥2 dk t2 − t1 = dt = , ˙ t1 k⊥1 |~ k|
˙ ˙ siendo dk un elemento de l´ınea tangente a la ´orbita en cada punto y |~k| = |~k⊥ | la variaci´on temporal de k seg´ un esa misma direcci´on.
˙ a) Teniendo en cuenta que |~k⊥ | = v⊥ eB/¯h = |(∂ε/∂~k)⊥ |eB/¯h2 , probar que el periodo de una ´orbita cerrada de ´area A(ε, k|| ) es T (ε, k|| ) =
¯h2 ∂ A(ε, k|| ). eB ∂ε
b) Por analog´ıa con la frecuencia ciclotr´on (ωc = eB/m) del electr´on libre, se define la frecuencia ciclotr´on ωc = eB/m∗c , siendo ¯h2 ∂ m∗c (ε, k|| ) = A(ε, k|| ). 2π ∂ε p la masa ciclotr´ on. Probar que cerca de un extremo de banda, m∗c (ε, k|| ) = m∗1 m∗2 , siendo m∗1 y m∗2 las componentes del tensor de masa efectiva en el plano perpendicular al campo magn´etico. 5.
Demostrar la Ec.(8.27) siguiendo los siguientes pasos: ~ en sus componentes sobre los ejes propios a) Descomponer la ecuaci´on b´asica (8.4) con F~ = −e~v × B del elipsoide
89
8.5 Ejercicios
b) Usar las ecuaci´ones (8.1) para la velocidad y (8.12) para la energ´ıa. c) Suponer para cada componente ki de ~k una evoluci´on de la forma ki = ki0 ei(ωt+φi ) . d ) Exigir que exista soluci´on en los ki0 (determinante de los coeficientes igual a cero). 6.
Comparar la se˜ nal de resonancia ciclotr´on para el Si en la Fig.8.5 adjunta con la geometr´ıa de los elipsoides de la banda de conducci´on en la misma figura y explicar por qu´e s´olo hay dos picos electr´ onicos, siendo que hay seis “bolsillos” elipsoidales de electrones. Determinar a partir de las figuras las masas efectivas del Si (el campo magn´etico est´a en el plano (110) y forma un ´angulo de 30o con el eje [001]). Energía (eV) kz
30º
Z
B
Si 10
Q= 2.4 × 10 Hz e
2.5
45º
e
1.1 Y X
h 0
0 [100]
T=4K
–
–
+
ky
kx [111]
Absorción
+
h
0.2 0.4 B (Tesla)
0.6
Figura 8.5:
7.
La superficie de Fermi de un s´olido c´ ubico tiene por ecuaci´on ²F =
¢ ¯h2 ¡ 2 k + ky2 + 2kz2 . 2m x
Determ´ınese la relaci´on entre las tres componentes ax , ay , az de la aceleraci´on de un electr´on en la superficie de Fermi cuando se aplica un campo el´ectrico seg´ un la direcci´on [111]. Determinar tambi´en la ~ ~ trayectoria que sigue un electr´on del cristal en el espacio k cuando se aplica un campo magn´etico B. 8.
exp teo Vimos que para el Al (en campo magn´etico intenso) RH /RH ≈-0.3, lo que sugiere que el Al (metal trivalente [Ne]3s2 3p1 con estructura fcc) act´ ua como si aportara a la conducci´on un hueco por ´atomo en teo vez de tres electrones. Por otro lado sabemos que a altos campos magn´eticos RH = 1/(ne −nh )e siendo ne y nh las concentraciones de electrones y huecos m´oviles, respectivamente. Probar que en efecto (ne − nh ) es −1/3 de la concentraci´on correspondiente a tres electrones por ´atomo, para lo cual basta saber que el Al tiene la primera banda llena, la segunda casi llena y la tercera casi vac´ıa.
9.
a) Probar que los resultados de la teor´ıa de electrones libres para la corriente inducida por un campo ~ = ρ~j donde el tensor el´ectrico perpendicular a uno magn´etico se puede escribir de la forma E resistividad ρ viene dado por µ ¶ ρ −RB ρ= RB ρ siendo R = −1/ne el coeficiente Hall y ρ = m/ne2 τ la magnetorresistividad.
~ n = ρn~jn b) Considerar un metal con varias bandas parcialmente llenas para cada una de las cuales E donde ρn se expresa por µ ¶ ρn −Rn B ρn = Rn B ρn ~ = ρ~j con ρ−1 = P ρ−1 Probar que la corriente total inducida est´a dada por E n n
90
Cap´ıtulo VIII: Din´ amica semicl´ asica de e− Bloch
c) Mostrar que si hay s´olo dos bandas, entonces el coeficiente Hall y magnetorresistividad est´an dados por R=
R1 ρ22 + R2 ρ21 + R1 R2 (R1 + R2 )B 2 (ρ1 + ρ2 )2 + (R1 + R2 )2 B 2
ρ=
ρ1 ρ2 (ρ1 + ρ2 ) + (ρ1 R22 + ρ2 R12 )B 2 (ρ1 + ρ2 )2 + (R1 + R2 )2 B 2
(8.34)
Analizar en particular el caso l´ımite de ρ a altos campos cuando existen electrones y huecos simult´aneamente. ¿Qu´e pasa si ne = nh ? ¿Puede anularse el coeficiente Hall? 10.
~ se puede tambi´en describir como si La traslaci´on global de la esfera de Fermi bajo un campo el´ectrico E s´olo los estados alrededor de la superficie de Fermi resultaran alterados. a) Por suma directa sobre los estados electr´onicos al nivel de Fermi verificar que si la velocidad de estos estados es ~vSF (~k) ≈ ~vF = ¯h−1 (∂ε(~k)/∂~k)~kF , la densidad total de corriente se puede expresar por 2 Z ~F (~vF · E). ~ ~j = e τ dS 4π 3 ¯h SF b) De (a) probar que para electrones libres σ = e2 `SF /4π 3 ¯h, siendo SF la superficie de Fermi y ` el recorrido libre medio. ~ deja la densidad de corriente invariante. c) Probar que la aplicaci´on de un campo magn´etico B d ) Probar que si la velocidad de los estados al nivel de Fermi se aproxima por ~vSF (~k) ≈ ~vF + ¯hδ~k/m∗ , siendo δ~k el desplazamiento de la esfera de Fermi debido a la aplicaci´on de campos transversales ~ B, ~ la densidad de corriente, despreciando t´erminos del orden de (δ~k)2 , se puede expresar como E⊥ ~ +σ ~ × E), ~ ~j = σ ¯E E ¯B (B con
¯E = σ σ ¯B =
e2 4π 3 h ¯ e3 4π 3 h ¯
H
HSF
SF
τ vF 1+(ωc τ )2 ~ τ /m∗ ~ 1+(ωc τ )2 vF
~F ⊗ dS ~F ⊗ dS
(8.35) )
~F )ij = vF i dSF j y ωc = eB/m∗ . donde (~vF ⊗ dS e)
A partir de (d), probar que si τ y m∗ se aproximan como independientes de ~k, la densidad de corriente se simplifica y es ~ + σB (B ~ × E) ~ ~ ~j = σE E ¯ (B)E, = σ donde
σE =
e2 τ eτ SF vF y σB = ∗ σE , con β = 1 + (ωc τ )2 3 12π ¯hβ m
y
σE ¯ (B) = BσB σ 0
−BσB σE 0
0 0 . 1
f ) Probar que si no se desprecian los t´erminos del orden de (δ~k)2 (y como en (e) τ y m∗ se aproximan ~ se puede expresar como ¯ (B) como independientes de ~k) la conductividad σ ³ ´ 2 1 − 4(ωβc τ ) σE − β2 BσB 0 ´ ³ 4(ωc τ )2 2 σ ¯ (B) = Bσ σ 0 1 − B E β β 0 0 1 Obtener de aqu´ı la expresi´on 8.32.
102
Cap´ıtulo 9: Cristales semiconductores
9.6. 1.
Ejercicios
Para una relaci´on de dispersi´on en banda de la forma ² = ²0 +
¯h2 k22 ¯h2 k32 ¯h2 k12 + + ∗ ∗ 2m1 2m2 2m∗3
determinar la densidad de estados de la banda. 2.
a) Calcula la dependencia con la temperatura del potencial qu´ımico µ(T ) y de la concentraci´on de portadores n(T ) para un semiconductor de tipo n. Considera que la temperatura es lo suficientemente baja como para suponer despreciable la promoci´on de electrones desde la B.V. a la B.C. b) Para este tipo de semiconductores, la temperatura de saturaci´on (en la cual se transita del r´egimen de ionizaci´on al de saturaci´on) se define generalmente por la condici´on µ(Ts ) = εD . Demuestra que, seg´ un esa condici´on, εc − εD . Ts = kB ln[Nc (Ts )/ND ]
3.
Supongase un semiconductor dopado con impurezas aceptoras y dadoras en la misma medida (NA ≈ ND ). ¿Qu´e ocurre cualitativamente con la conductividad en funci´on de la temperatura?
4.
¿Qu´e determina que un semiconductor se pueda considerar no degenerado? ¿Depende de la concentraci´on de impurezas?
5.
El antimoniuro de indio (InSb) tiene ²g =0.23 eV, la permitividad relativa κ = 18 y masa efectiva electr´onica m∗e = 0· 015 me . Calcular: a) La energ´ıa de ionizaci´on de los dadores b) El radio de la ´orbita del estado fundamental c) ¿A qu´e concentraci´on m´ınima de dadores habr´a efectos apreciables de solapamiento entre ´orbitas de ´atomos de impurezas adyacentes (este solapamiento tiende a producir una “banda de impurezas”, es decir, una banda de niveles de energ´ıa que permite una conducci´on el´ectrica por un mecanismo de salto de los electrones de un ´atomo a otro)? ¿C´omo afectar´a a la conductividad el´ectrica que se espera de un superconductor de tipo n?
6.
En un cierto semiconductor hay 1013 dadores/cm3 con una energ´ıa de ionizaci´on de εd = εc − εD = 1 meV y una masa efectiva m∗e = 0· 01 me . Suponiendo que no hay aceptores y que ²g À kB T , a) Estima la concentraci´on de electrones de conducci´on a 4K. b) Calcula el coeficiente Hall.
7.
Una muestra de silicio contiene 1014 dadores/cm3 . ¿Por debajo de qu´e temperatura dejar´a de tener comportamiento intr´ınseco? (²g =1.1 eV y la concentraci´on intr´ınseca de portadores a 300 K es de 2 × 1016 m−3 )
8.
Un semiconductor con un gap de energ´ıa de ²g = 1 eV e iguales masas efectivas para electrones y huecos (m∗e = m∗h = me ) se dopa con una concentraci´on de aceptores de NA = 1018 cm−3 . El nivel aceptor est´a situado a 0.2 eV por encima del borde de la B.V. Probar que la conducci´on intr´ınseca es este material es despreciable a 300 K.
9.
Calcular la posici´on del nivel de Fermi a T = 4 K y T = 300 K para un semiconductor intr´ınseco con ²g = 1 eV, m∗e =0.1 me , m∗h =5 me .
10.
5 µA fluyen a trav´es de un diodo de uni´on p − n simple, a temperatura ambiente, cuando se polariza en sentido inverso (negativo) con 0.15 V. Calcular el flujo de corriente cuando se polariza en forma directa con el mismo voltaje.
11.
Seg´ un la informaci´on vista en la Secci´on 9.5, ¿qu´e tama˜ no m´ınimo debe tener una uni´on p-n para comportarse como tal? ¿C´omo compara con el nivel de miniaturizaci´on alcanzado hoy d´ıa?
116
Cap´ıtulo 10: Magnetismo de s´ olidos
10.9.
Ejercicios
1.
Considerar un i´on con una capa parcialmente llena con momento angular J y n´ umero at´omico Z. Evaluar aproximadamente a temperatura ambiente la raz´on entre el paramagnetismo de Curie y el diamagnetismo de Larmor.
2.
La funci´on de onda del ´atomo de hidr´ogeno en el estado fundamental (1s) es Ψ(r) = (πa30 )−1/2 exp(−r/a0 ), donde a0 = ¯h2 /me2 = 0,53×10−8 cm. Probar que para este estado hr2 i = 3a20 , y calcular su susceptibilidad diamagn´etica.
3.
Considerar el mar de Fermi de un metal a temperatura T . Al aplicar un campo, s´olo los electrones alrededor de la superficie de Fermi se pueden alinear con el campo ya que para los dem´as los estados con esp´ın paralelo ya est´an ocupados por otros electrones. Aplicar el paramagnetismo de Pauli a los “electrones de Fermi” y estimar la magnetizaci´on resultante.
4.
Calcular expl´ıcitamente la magnetizaci´on de un sistema de N iones de esp´ın 1/2. Determinar el l´ımite de altas temperaturas (µB B ¿ kB T ). Escribir la energ´ıa interna y de ah´ı calcular la capacidad calor´ıfica magn´etica CB de los iones en un campo B. Encontrar la forma l´ımite de CB a altas temperaturas.
5.
˚. Un electr´on de En el benceno los ´atomos de carbono forman un hex´agono regular de lado ` ≈ 1,4 A valencia de cada ´atomo tiene la funci´on de onda que se extiende por todo el anillo de ´atomos (los otros tres electrones externos est´an en orbitales at´omicos sp2 ). Estimar la contribuci´on de estos electrones a la susceptibilidad diamagn´etica del benceno l´ıquido. El valor experimental de la susceptibilidad diamagn´etica del benceno es 7.7×10−6 . Densidad de benceno: ρ=880 Kg/m3 ; Peso molecular: M =78 g/mol
6.
Determinar num´ericamente las diferencias de energ´ıa que se ponen en juego por la anisotrop´ıa. ¿Son del mismo orden que la energ´ıa magnetost´atica? ¿C´omo ser´ıa cualitativamente la curva M (H) de un s´olido is´otropo (sin energ´ıa de anisotrop´ıa?
7.
Suponer que el giro de esp´ın de una pared Bloch est´a distribuido entre N planos como esquematiza la figura.
a) Probar que la energ´ıa de intercambio disminuye con N . b) Introduciendo una energ´ıa de anisotrop´ıa proporcional al espesor de pared, determinar el espesor ´optimo de pared. 8.
Para x peque˜ no la funci´on de Brillouin BJ (x) tiene la forma Ax − Bx3 donde A y B son positivos. Deducir que conforme T → Tc por abajo, la magnetizaci´on espont´anea de un ferromagn´etico se anula como (Tc − T )1/2 seg´ un la teor´ıa de campo medio (como comparaci´on, el exponente experimental es pr´oximo a 1/3).
9.
Se puede aproximar el efecto de la interacci´on de intercambio entre electrones de conducci´on si suponemos que los electrones con esp´ın paralelo interaccionan entre s´ı con energ´ıa −U (U > 0), mientras que los electrones con esp´ın antiparalelo no interaccionan. Sean N ↑ = 21 N (1 + x) y N ↓ = 21 N (1 − x) el n´ umero de electrones con esp´ın ↑ y ↓ respectivamente (N es el n´ umero total de electrones).
117
10.9 Ejercicios
a) Probar que en un campo magn´etico la energ´ıa total de la subbanda con esp´ın ↑ es E↑ =
1 1 3 N ²F (1 + x)5/3 − U N 2 (1 + x)2 − N µB B(1 + x), 10 8 2
con una expresi´on similar para E ↓ . b) Minimizar la energ´ıa total y resolver en x en el l´ımite x ¿ 1. Mostrar que la magnetizaci´on es M=
3nµ2B B 2²F − 32 U N
de modo que la interacci´on de intercambio aumenta la susceptibilidad. c) Mostrar que con B = 0 la energ´ıa total es inestable para x = 0 cuando U > 4²F /3N . Si esto se satisface el estado ferromagn´etico (x 6= 0) tendr´a menor energ´ıa que el paramagn´etico. 10.
La deducci´on del paramagnetismo de Pauli presupone que en cada estado ~k del mar de Fermi se siguen ~ tendr´an ubicando dos electrones con espines opuestos, s´olo que, en presencia de un campo magn´etico B, ~ distinta energ´ıa. Se trata de analizar el escenario en el que en cada estado k s´olo queda el electr´on con ~ yendo el otro a ocupar las “casillas” ~k vac´ıas para poner su esp´ın tambi´en opuesto esp´ın opuesto a B, ~ a B, bajando as´ı ambos su energ´ıa magn´etica. Demostrar que esta posibilidad es energ´eticamente muy desfavorable.
139
11.9 Ejercicios
11.9.
Ejercicios
1.
Sea una l´amina superconductora de espesor d sometida a un campo magn´etico paralelo a su superficie. Calcula la distribuci´on de flujo magn´etico y de corriente el´ectrica en su interior. Calcula la susceptibilidad magn´etica χ = M/H y estudia su dependencia con d y con la temperatura.
2.
El campo magn´etico en el interior de un cuerpo de tama˜ no “finito”, Hi , es en general diferente del campo magn´etico aplicado Ha : se relacionan seg´ un Hi = Ha − DM donde M es la magnetizaci´on del cuerpo y D ∈ [0, 1] es un factor (desmagnetizante) que depende de la geometr´ıa del cuerpo. Este efecto desmagnetizante es de gran importancia en los materiales superconductores dado que M puede llegar a ser del orden de −Hi (diamagnetismo perfecto) y, seg´ un la anterior relaci´on, para determinadas geometr´ıas Hi puede ser mucho mayor que Ha . Calcula la susceptibilidad magn´etica efectiva M/Ha en el estado Meissner de los superconductores con las geometr´ıas y orientaciones indicadas en las figura.
Figura 11.25: Factor desmagnetizante para elipsoides de revoluci´on. 3.
En presencia de efectos desmagnetizantes (Ejercicio 2) un superconductor de tipo I transita al estado normal cuando el campo magn´etico interno Hi = Ha − DM > Ha iguala el campo cr´ıtico Hc . Sin embargo, dado que en estado normal M ≈ 0, se tiene que Hi ≈ Ha < Hc . Tendr´ıamos un superconductor en estado normal con Hi < Hc . La paradoja se resuelve teniendo en cuenta que cuando Ha es tal que Hi = Hc el material se divide en una sucesi´on de zonas normales y superconductoras (paralelas al campo) en equilibrio conocida como estado intermedio. Seg´ un Ha aumenta, el volumen de las zonas normales (en gris en la figura) aumenta a costa del de las superconductoras (ver figura). Finalmente, cuando Ha = Hc el material est´a completamente en estado normal.
Calcula la fracci´on de volumen de las zonas en estado normal y la magnetizaci´on en funci´on de Ha para un elipsoide con factor desmagnetizante D. Analiza los casos l´ımite (D → 1 y D → 0).
140
Cap´ıtulo XI: Superconductividad
4.
Consid´erese un hilo superconductor transportando una corriente el´ectrica I. Cuando esta corriente es tal que el campo generado por ella misma en la superficie del hilo supera el campo cr´ıtico Hc , el material transita al estado normal (regla de Silsbee). Calcula el valor de esta corriente cr´ıtica Ic para un hilo de plomo de 0.1 mm de di´ametro sumergido en He liquido. Calcula Ic cuando adem´as se aplica un campo magn´etico externo en la direcci´on del hilo.
5.
Sea un cilindro hueco, de radio exterior R e interior r. Si se aplica un campo en la direcci´on axial, analiza las diferencias entre la susceptibilidad magn´etica que se medir´ıa en el estado Meissner en los siguientes casos (desprecia posibles efectos desmagnetizantes): a) Alcanzando el punto de medida en modo “field cooled” (enfriando por debajo de Tc en presencia del campo magn´etico). b) Alcanzando el punto de medida en modo “zero-field cooled” (aplicando el campo una vez se ha enfriado la muestra por debajo de Tc ). Repite los apartados a) y b) para el caso de un cilindro macizo, pero con un agujero completamente contenido en su interior.
6.
La imagen que se muestra fue obtenida por decoraci´on Bitter en una muestra superconductora (Nb) a 1.2 K. ¿Cu´al es la densidad de flujo magn´etico (B) en el interior de la muestra?
Pm 7.
Cuando un metal normal se pone en contacto con un superconductor, puede manifiestar efectos superconductores cerca de la superficie de contacto (si el metal ocupa el semiespacio x > 0, se tiene > 0). Es lo que se conoce como efecto de proximidad. Suponiendo que el metal normal que ψ 6= 0 para x ∼ puede describirse por la teor´ıa de GL con α > 0, demuestra que la funci´on de onda superconductora en el interior del metal normal puede aproximarse por ψ(x) = ψ(0) exp(−x/ξ), donde ψ(0) es el valor del par´ametro de orden en la superficie de contacto y ξ = (¯h2 /2m∗ α)1/2 .
8.
Un v´ortice en un superconductor puede aproximarse por un n´ ucleo cil´ındrico en estado normal de radio ξ. Demuestra, a partir de la 2a ecuaci´on de London (11.19), que la densidad de flujo magn´etico B fuera del n´ ucleo obedece la ecuaci´on de Bessel µ ¶ 1 d dB B r = r dr dr λL donde r es la distancia al centro del n´ ucleo. Demuestra que la soluci´on puede aproximarse por: a) B(r) ≈ cte + cte0 ln(r) cuando ξ < r ¿ λL . b) B(r) ∝ exp(−r/λL ) cuando r
> ∼
λL .
Exámenes
1
Estructura cristalina 1.
En la figura adjunta se representa la celda unitaria de un cristal constituido por tres tipos ´atomos: A, en los v´ertices del cubo; B, en la mitad de las aristas del cubo; C, en el centro del cubo. a) Dar la red y la base de ´atomos de la estructura. b) Dar la f´ormula estequiom´etrica. c) Dar la red rec´ıproca. d ) Suponiendo que la estructura es compacta, calcular el radio rC m´aximo del ´atomo C en funci´on del tama˜ no relativo de los radios rA > rB . Calcular rC para rA /rB = 2 y rA /rB = 3, dando en cada caso la fracci´on de empaquetamiento. Un cristal formado por iones de ´atomos A y B tiene una estructura (tipo rutilo) como se indica en la figura adjunta. Los par´ametros de la celda convencional son a = b = 0.459 nm y c = 0.396 nm. Cada i´on B (en el interior y en las caras superior e inferior) est´a en el centro de un tri´angulo definido por tres iones A, mientras que cada i´on A est´a en el centro de un octaedro definido por seis iones B. a) Describir la estructura como red m´as base de ´atomos. A
2.
B
C
b)
Dar la f´ormula estequiom´etrica.
c) Dar la red rec´ıproca. d) 3.
Determinar el volumen de la primera y segunda zona de Brillouin.
En el γ-Fe, los ´atomos de Fe ocupan posiciones de red fcc y los ´atomos de C los huecos octa´edricos de la estructura. En la fase α-Fe, los ´atomos de Fe ocupan posiciones bcc y los de C nuevamente los huecos octa´edricos de esta estructura. a) Determinar cu´al fase α o γ puede disolver (% en masa) m´as C. b) En una estructura bcc los mayores huecos son de coordinaci´on tetra´edrica, por lo que la fase α-Fe podr´ıa disolver aun m´as C. Sin embargo, experimentalmente se observa que la fase γ-Fe disuelve intersticialmente un 2.14 % en masa de carbono y la α-Fe un 0.02 %. ¿Cu´al es la raz´on de esta discrepancia?
4.
~ = u1~a1 +u2~a2 +u3~a3 Verificar que en una red, definida como el conjunto de puntos con vectores posici´on R donde los ui barren todos los enteros, todos sus puntos son equivalentes.
5.
Un s´olido cristalino monoat´omico posee una estructura hcp. El volumen de la celda hexagonal convencional es 7.2 nm3 . Calcula el volumen de la celda primitiva. ¿Cu´ales son los planos de mayor y menor densidad?
6.
a) ¿Cu´ales son los planos reticulares m´as separados en una red fcc y en una bcc? ¿Y los menos separados? b) ¿Cu´antos ´atomos por celda primitiva tiene un cristal monoat´omico (un solo tipo de ´atomo) si su estructura es: 1) Tetragonal 2) Tetragonal centrada en el cuerpo 3) Hexagonal Ca 4) Monocl´ınica centrada en bases F
7.
La figura adjunta muestra la estructura de la fluorita, forma mineral del fluoruro de calcio. Describir la estructura y dar la f´ormula estequiom´etrica.
8.
Para el patr´on de la figura adjunta, indicar: a) Una celda unitaria rectangular b) Una celda unitaria primitiva c) La base de ´atomos correspondiente a cada tipo de celda
9.
Uno de los compuestos m´as de moda es el fullereno C60 K3 . Los ´atomos de carbono entran en la estructura formando las mol´eculas bola C60 , y cada bola de C60 est´a coordinada con 12 ´atomos de K. Sabiendo que la estructura pertenece al sistema c´ ubico, deducir una red y una base at´omica compatible con los datos.
2
10.
Considerar las tres estructuras del carbono mostradas en la figura adjunta. Razonar si en alguna de ellas los ´atomos de carbono forman una red monoat´omica. En caso contrario, proponer un sistema de red m´as base de ´atomos e indicar el n´ umero de ´atomos de la base elegida.
(a) Diamante
11.
(b) Grafito
(c) Fullereno (C60)
En la figura adjunta se representan las estructuras de los compuestos binarios Fem Sn y Nip Sq . a) Determinar los ´ındices m, n, p, q. b) Determinar la red y base de ´atomos correspondiente a cada estructura.
12.
La estructura de la figura adjunta ha sido construida con el criterio de apilamiento de esferas r´ıgidas de la manera m´as compacta posible. a) Describirla como red m´as base de ´atomos. b) Describirla como red c´ ubica m´as base de ´atomos. c) Dar en cada caso los par´ametros de red en funci´on de los radios de los ´atomos.
13.
Una determinada forma de grafito tiene la estructura que se muestra en la figura adjunta, desde dos perspectivas diferentes.
2.25 Å
4.12 Å
a) Determinar una combinaci´on de red m´as base de ´atomos v´alida para describir esta estructura. b) Determinar la densidad que tendr´ıa una muestra monocristalina de grafito cristalizado en esa estructura. (Peso molecular del C: 12.011 g/mol) 14.
Describir la estructura de la figura adjunta como red m´as una base at´omica y dar su f´ormula estequiom´etrica.
15.
Discutir si ser´ıa estructuralmente posible la existencia de cristales i´onicos de iones positivos (A) con radio R y negativos (B) de radio 0.25R ´o 0.5R en alguna de las configuraciones siguientes: √ a) Iones positivos formando una red fcc de par´ametro a = 4R/ 2. √ b) Iones positivos formando una red bcc de par´ametro a = 4R/ 3. c) Calcular para cada estructura factible la m´axima compacidad posible y dar la f´ormula estequiom´etrica correspondiente.
16.
17.
El sodio se transforma de bcc en hcp a T ≈ 23 K. Suponiendo que la densidad permanece constante y que el cociente c/a de la fase hcp es el ideal, calcular el par´ametro de red ahcp , sabiendo que el par´ametro de red de la celda convencional para la fase c´ ubica es abcc = 4.23 ˚ A. ¿Por qu´e la estructura c´ ubica centrada en bases (figura adjunta) no es una red de Bravais como tal y s´ı lo son las centradas en bases de los sistemas ortorr´ombico y monocl´ınico? a) Describirla como red de Bravais m´as base de ´atomos. b) ¿Podr´ıa describirse como red de Bravais monoat´omica?
18.
En tres dimensiones existen 14 tipos de redes cristalinas distintas atendiendo a sus simetr´ıas (redes de Bravais). Explicar cuales son las correspondientes redes cristalinas en dos dimensiones, especificando para cada una unos vectores base primitivos y sus coordenadas.
3
19.
Considerar el patr´on de la figura adjunta (las distancias est´an en ˚ A). a) Dar unos vectores unitarios ortogonales (coordenadas con respecto a los ejes indicados), la celda unitaria que determinan y la base de ´atomos asociada para reproducir el patr´on.
2 1 y
b) Dar unos vectores primitivos (coordenadas con respecto los ejes indicados), la celda unitaria que determinan y la base de ´atomos asociada para reproducir el patr´on. 20.
21.
Para el patr´on de la figura adjunta, a) Dar una red m´as la base de letras correspondiente.
pq
x
b qp
b pq
b qp
b pq
qp
pq
pq
pq
pq
pq
qp
pq
qp
pq
qp
pq
pq
pq
pq
pq
qp
pq
qp
pq
qp
a pq
b) Con respecto a esa red dar una celda unitaria rectangular y la correspondiente base de letras.
a
c) Con respecto a la misma red dar una celda unitaria primitiva y la correspondiente base de letras.
a
pq
a pq pq
Para las estructuras cuya celda convencional se muestra en la figura adjunta, a) Dar la f´ormula estequiom´etrica. b) Dar una red y su base de ´atomos (basta dibujar unos vectores base y marcar los ´atomos de la base en las figuras).
A
B
C
D
1
Red rec´ıproca y difracci´ on de rayos x 1.
Para la estructura de la figura adjunta (tipo cuprita), a) Describirla como de red m´as base de ´atomos.
z
A B
y
x
b) Dar la formula estequiom´etrica. c) Determinar el factor de estructura de la base SG (los ´atomos B est´an en posici´on intermedia entre los correspondientes vecinos m´as pr´oximos A). ¿Pueden ocurrir extinciones (SG = 0) producidas por la base de ´atomos? 2.
El hierro es un material alotr´opico (puede tener m´as de una estructura cristalina). A temperatura inferior a 912 o C es bcc y a temperaturas entre 912 o C y 1394 o C es fcc. a) Despreciando efectos de dilataci´on t´ermica y utilizando un modelo de esferas duras, determinar el cambio porcentual del par´ametro de red de la celda convencional cuando se calienta por encima de 912 o C. b) Sabiendo que el radio at´omico del hierro es 1.24 ˚ A determinar cu´al es el ´angulo m´as bajo para el que A) en cada una de las fases. se observar´ıa difracci´on de rayos x (λ = 1.54 ˚
3.
Se hace un difractograma de rayos x sobre una muestra en polvo de una aleaci´on compuesta por dos elementos diferentes (◦ y •) en proporci´on 1:1. Por debajo de cierta temperatura T0 ambos elementos se disponen de manera regular sobre una red c´ ubica (figura adjunta izquierda). Sin embargo, por encima de T0 el sistema se desordena, y los ´atomos ocupan los nodos de la red c´ ubica de forma aleatoria (figura adjunta derecha). Calcular la posici´on (θ) de los 3 primeros picos de difracci´on para T > T0 y para T < T0 . La longitud de onda de los rayos x es 1.54 ˚ A.
4.
Se hace un difractograma de rayos x sobre una muestra en polvo con la estructura cristalina de la figura adjunta. La longitud de onda de los rayos x es de 1.54 ˚ A, y el par´ametro de red a temperatura ambiente A. 5˚ a) Calcular la posici´on (θ) de los 3 primeros picos de difracci´on a temperatura ambiente. b) Repetir el apartado (a) para T = 1000 K. El coeficiente de dilataci´on t´ermica es α = ℓ−1 (dℓ/dT ) = 10−5 K−1 . ¿C´omo cambia la intensidad de los picos? 5Å
5.
6.
c) Repetir el apartado (a) suponiendo ´atomos iguales.
La figura adjunta representa una c´amara de difracci´on de rayos x. Una muestra policristalina de estructura fcc monoat´omica de par´ametro a = 0.632 nm se ilumina con radiaci´on ~k (λ = 0.1542 nm) reemitiendo radiaci´on ~k ′ . ¿A qu´e altura, h, debe colocarse el detector para detectar los tres primeros m´aximos de difracci´on? ˚) se hacen incidir Sobre una muestra de Rb en polvo (bcc, con par´ametro 5.59 A rayos x de longitud de onda 1.541 ˚ A. Se sit´ ua seg´ un la figura adjunta una placa fotogr´afica sensible a los rayos x para recoger en ella la figura de difracci´on.
& k'
Detector
& k
h R=0.5 m
4 cm 4 cm
d
Rb
a) ¿Qu´e tipo de figura se observar´a? (rayas, estrellas, puntos, anillos ...)
O=1.541 Å
b) ¿A qu´e distancia m´axima de la muestra debe situarse la placa para recoger el primer m´aximo de difracci´on? La placa es un cuadrado de 4 cm. 7.
Se tiene una muestra policristalina de Nb (c´ ubico de par´ametro de red a = 3.3 ˚ A y con estructura bcc). Si se realiza un difractograma de rayos x con una longitud de onda λ = 1.540 ˚ A, ¿en qu´e ´angulos (θ) aparecen los cuatro primeros picos de difracci´on?
8.
Sobre una muestra en polvo de un s´olido cristalino con estructura sc y constante de red 2 ˚ A se hace incidir radiaci´on x con longitud de onda de 10 ˚ A. ¿Se producir´an m´aximos de difracci´on? ¿Y si la constante de red fuese de 8 ˚ A?
2
9.
Se realiza un experimento de difracci´on Bragg para determinar la longitud de onda de un haz monocrom´atico de rayos x. Para ellos se usa un cristal c´ ubico simple y monoat´omico. Se conoce tambi´en (y con precisi´on que para nuestros prop´ositos podemos considerar infinita) que su constante de red es 5 ˚ A. Si el ´angulo que los rayos incidentes y los reflejados forman con el plano del cristal es 6o , y es medido con una precisi´on de 3.4 minutos de arco, ¿cu´al es el error en la determinaci´on de la longitud de onda de los rayos x?
10.
˚. Si se quiere investigar su estructura con rayos x, Un cristal c´ ubico tiene un par´ametro de red de 5 A razona cu´al es la longitud de onda m´axima y m´ınima que pueden tener.
11.
Un difract´ometro de rayos x (λ = 0.15406 nm) recoge un gr´afico para un elemento del sistema c´ ubico y muestra picos de difracci´on en los ´angulos 2θ: 40.113o , 46.659o , 68.080o y 82.090o . Determinar la estructura cristalina del elemento y su constante de red.
12.
El ´angulo de Bragg de cierta reflexi´on de una muestra en polvo de Cu es 47.75o a 293 K, y de 46.60o a 1273 K. Calcular el coeficiente de expansi´on t´ermica del Cu.
13.
Probar que existe un l´ımite superior en la longitud de onda que puede difractar un cristal en condiciones de m´aximo. ¿Cu´al es el sentido f´ısico de dicha limitaci´on?
14.
Sobre un cristal monoat´omico en polvo se hacen incidir rayos x de λ = 2 ˚ A. Se sabe que la estructura es tetragonal simple. En el intervalo de ´angulos de Bragg 0 < θ < 30o se observaron m´aximos de difracci´on para los siguientes ´angulos: 11.5o , 14.5o , 18.7o , 20.7o , 23.6o , 24.0o , 28.1o . Determinar las dos constantes de la estructura.
15.
Rayos x de longitud de onda 5.15 ˚ A inciden sobre un cristal monoat´omico de estructura fcc con par´ametro de red 3.85 ˚ A. ¿Cu´antos m´aximos de difracci´on se podr´an observar seg´ un la orientaci´on del cristal?
16.
Considerar la difracci´on de rayos x de una muestra c´ ubica simple en polvo. ¿Puede haber coincidencia de m´aximos? De otro modo: ¿Hay l´ıneas (distintas) de reflexi´on que correspondan al mismo ´angulo de salida?
17.
Una muestra en polvo ha dado un difractograma de rayos x con reflexiones a ´angulos Bragg 16.4o, 23.6o, 29.3o, 34.4o, 39.2o, 43.8o, 48.4o. ¿Podr´ıa ser NaCl?
18.
Un cristal es sometido a difracci´on de rayos x para determinar su estructura. Si la orientaci´on del cristal respecto del haz es tal que el extremo del vector de onda incidente coincide con una esquina (intersecci´on de dos o m´as planos Bragg) de la frontera de un zona de Brillouin, ¿qu´e ocurre a la salida?
19.
En un cristal bcc monoat´omico con a = 0.40 nm: a) Determinar la gama de longitudes de onda para las que es imposible que se produzca difracci´on (condici´on de Bragg). b) ¿Cu´ales son los planos at´omicos m´as densos de esta estructura?
20.
El grafeno es una l´amina plana de ´atomos de carbono, dispuestos en los v´ertices de hex´agonos regulares (figura adjunta (a)), de un solo ´atomo de espesor, que se apila con otras l´aminas iguales para formar el grafito: las minas de los l´apices. Una estructura similar es la del nitruro de boro (figura adjunta (b)) donde en vez de ´atomos de C, la estructura est´a formada por ´atomos de N y de B.
Ɛ y x (a)
(b)
a) Describir ambas estructuras como red m´as base de ´atomos (si fuese necesaria) y dar las coordenadas de unos vectores primitivos y de las posiciones de los correspondientes ´atomos de la base con respecto a los ejes xy indicados. b) Representa las correspondientes redes rec´ıprocas (dando unos vectores base y sus coordenadas), e indica las dos primeras zonas de Brillouin. c) Se hacen incidir sobre el grafeno rayos x de longitud de onda 3ℓ/2 seg´ un la direcci´on x. ¿Cu´antos haces difractados se observan, y para qu´e ´angulos con respecto al haz incidente? d ) Si se tratase del nitruro de boro, ¿cu´ales ser´ıan las diferencias con el difractograma de rayos x del grafeno?
3
21.
La dimensi´on de la celda convencional del cobre (fcc) es 0.36 nm. Calcular la longitud de onda m´as grande para los rayos x, capaz de producir difracci´on por los planos m´as compactos. ¿Qu´e planos podr´ıan difractar rayos x de longitud de onda 0.5 nm?
22.
Calcular los ´angulos de difracci´on a primer orden (n = 1) de los planos [100] y [110] de una red c´ ubica simple de par´ametro 3 ˚ A cuando la longitud de onda es 1 ˚ A. Si la red fuese bcc, ¿se encontrar´ıan haces difractados para los mismos ´angulos?
23.
El hierro tiene estructura bcc por debajo de 912 o C y fcc por encima de esta temperatura. En un experimento de difracci´on de rayos x aparece que la l´ınea 200 se observa para un ´angulo 2θ = 32.1o justo por debajo de 912 o C, mientras que justo por encima se observa a 2θ = 25.5o . Calcular la raz´on de las densidades de las dos estructuras.
24.
Sea una sustancia cristalina de estructura tetragonal (con a = b = 0.3 nm, c = 0.4 nm). Si se hace difracci´on de rayos x sobre una muestra en polvo de esa sustancia, ¿cu´ales son los 3 primeros ´angulos de difracci´on? (longitud de onda de los rayos x = 0.15 nm).
25.
Consid´erese un cristal bidimensional cuya estructura es la del patr´on de la figura del ejercicio 1.19. Si sobre el incidiesen en la direcci´on horizontal rayos x policrom´aticos con longitudes de onda comprendidas entre A, ¿cu´antos picos de difracci´on se observar´ıan, en qu´e direcciones y para qu´e longitudes A y 2.2222 ˚ 1.3333 ˚ de onda?
26.
Una sustancia monoat´omica presenta una estructura tetragonal centrada en el cuerpo. Si se hace un difractograma de una muestra en polvo de esa sustancia ¿cu´ales son los tres ´angulos (2θ) m´as bajos para los que se observa difracci´on? Datos: Los par´ametros de red de la celda convencional son a = 0.378 nm y c =1.325 nm. La longitud de onda de los rayos x es 0.154 nm.
27.
Sobre un monocristal c´ ubico simple con par´ametro de red a = 0.4 nm inciden rayos x con una orientaci´on arbitraria. Dicho haz presenta longitudes de onda λ entre 0.01 nm y 0.1 nm. ¿Existe alguna probabilidad de observar alg´ un haz difractado? ¿Y si el haz fuese monocrom´atico con λ = 0.1 nm?
1
Enlace cristalino Para dar cuenta de la interacci´on repulsiva (a distancias muy cortas) entre iones en un cristal i´onico se n emplea un t´ermino de la forma B/rij ´o λe−rij /ρ , donde B, n (n ≫ 1), λ y ρ son par´ametros a determinar y rij la distancia entre dos iones i,j cualesquiera. Determinar la relaci´on ente ρ y n para que la energ´ıa (potencial) total del cristal a la distancia de equilibrio, U (R0 ), calculada con uno u otro t´ermino repulsivo no difiera en m´as del 10 %.
2.
Discutir cu´ales son los factores principales que determinan el empaquetamiento de iones en un cristal i´onico.
3.
El potencial de interacci´on de Lennard-Jones por par de ´atomos presenta un m´ınimo para la separaci´on r0 = 4.09 ˚ A (figura adjunta). Para un cristal con estructura fcc compuesto por este tipo de ´atomos, ¿cu´al ser´ıa la distancia R0 entre los vecinos m´as pr´oximos? Explicar cualitativamente por qu´e esa distancia es menor que r0 .
U(r)/4
1.
0
12
(r )
r 0
6
(r )
r
4.
Utilizando U (R) = λe−R/ρ como potencial repulsivo entre ´atomos a distancia R, R0 = 0.3147 nm, B0 = 1.74 × 1010 N/m2 (R0 es la distancia entre vecinos m´as pr´oximos y B0 el m´odulo de compresibilidad en el equilibrio), calcular la energ´ıa de cohesi´on del KCl con la estructura c´ ubica ZnS. Compararla con el valor que se obtendr´ıa si se calcula con la estructura NaCl.
5.
Para un conjunto de cristales i´onicos, todos con la estructura del NaCl, se observa (tabla adjunta) el sistematismo de que, fijado el elemento alcalino, al ir descendiendo en el grupo de los hal´ogenos va disminuyendo el m´odulo de compresibilidad (definido por B0 = −V dp/dV ). Discutir cu´al puede ser la causa de este sistematismo. Cristal
LiF
LiCl
LiBr
LiI
NaF
NaCl
NaBr
NaI
B0 (1010 N/m2 )
6.71
2.98
2.38
1.71
4.65
2.40
1.99
1.51
6.
La constante de Madelung, α, determina la energ´ıa de cohesi´on de las estructuras i´onicas binarias t´ıpicas. ¿Porqu´e no todos los compuestos i´onicos binarios cristalizan en la estructura CsCl, siendo que es la que corresponde aparentemente, a la de mayor (en valor absoluto) energ´ıa de cohesi´on?
7.
¿Qu´e argumentos se pueden dar para explicar que la temperatura de fusi´on de los cristales de los gases nobles crece seg´ un descendemos en el grupo (columna de la tabla peri´odica)?
8.
Para el NaCl, el valor medio de la compresibilidad adiab´atica K es 4 × 10−11 m2 /N y la separaci´on de los iones en el equilibrio 2.8 ˚ A. Calcular la sobrepresi´on que se necesitar´ıa ejercer para reducir la separaci´on de equilibrio en un 10 %.
1
Din´ amica de Redes 1.
La velocidad de propagaci´on del sonido en una barra cil´ındrica es un 5 % mayor cuando se la somete a un esfuerzo en la direcci´on longitudinal. Suponiendo que la deformaci´on es uniforme: a) Discutir si el esfuerzo es de tracci´on o de compresi´on. b) Sabiendo que el m´odulo de Young del material de la barra es de 2 × 1011 Pa estimar el valor de dicho esfuerzo.
2.
Considerar la muestra bidimensional de la figura adjunta. En ella la velocidad de grupo de las vibraciones en la rama acustica viene dada por, en la direcci´on [21] del espacio de momentos, dω/d|~k| = 5000(1 − 1.8|~k|) m/s, con |~k| expresado en ˚ A−1 . a) Describirla como red+base de ´atomos. Dibujar la red rec´ıproca, indicando el tama˜ no de los vectores base.
4Å 1Å
8Å
1Å
y
x
b) Dibujar la primera y segunda zonas de Brillouin.
c) Calcular la frecuencia de las vibraciones de la rama ac´ ustica en la direcci´on [21]. ¿Cu´al es la velocidad del sonido en esa direcci´on? d ) Calcular la frecuencia m´axima de las vibraciones de la rama ac´ ustica en la direcci´on [21]. 3.
En una red c´ ubica simple de espaciado 0.2 nm, un fon´on viajando en la direcci´on [100] con longitud de onda 0.45 nm interacciona y se combina con otro fon´on de igual longitud de onda que viaja en la direcci´on [110]. Representa en el espacio de fases los fonones incidentes y el resultante. Comentar el resultado.
4.
¿Qu´e fonones en un cristal se ver´an m´as afectados por los defectos puntuales, como pueden ser las vacantes, impurezas qu´ımicas, etc, los ´opticos o los ac´ usticos?
5.
Consid´erese un cristal bidimensional formado por un solo tipo de ´atomos dispuestos como se indica en la figura adjunta. a) ¿Cu´al ser´a la menor longitud de onda que puede tener una onda de presi´on que se propague en ese cristal? b) ¿Cu´antos modos normales puede haber en un cristal como este que mida en total 1 cm2 ?
6.
4Å 2Å
5Å 2Å
Suponer la cadena lineal monoat´omica de constante de red a con una ley de dispersi´on ω 2 (k) = cos(ka)]. ¿Cu´al es la velocidad del sonido en ese medio? Calcular la densidad de estados.
2 C[1 − M
7.
¿Hay alguna raz´on fundamental por la que la pendiente de las ramas de vibraci´on de los s´olidos sea cero en las fronteras de la PZB?
8.
¿Por qu´e el espectro de vibraci´on del Na s´olido (bcc monoat´omico) tiene tres ramas (1 LA, 2 TA) en la direcci´on [110], en tanto que en la direcci´on [100] s´olo tiene dos (1 LA, 1 TA)?
9.
Se argumenta que, debido a la simetr´ıa de traslaci´on interna de un cristal, vibraciones con vectores de onda ~k que difieren en un vector de la red rec´ıproca son equivalentes. Pero, en realidad, ¿c´omo se entiende que no se pueda diferenciar entre dos ondas con una sustancial diferencia entre sus longitudes de onda?
10.
Al estudiar vibraciones at´omicas las interacciones entre ´atomos las incluimos en una constante de fuerza entre ´atomos m´as pr´oximos, C. Deducir un orden de magnitud para C.
11.
Discutir la veracidad de la siguientes afirmaciones: Para los modos ac´ usticos en un cristal... a) ...la m´axima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la rigidez del enlace cristalino. b) ...la m´ınima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la masa de los ´atomos del cristal.
12.
En la figura adjunta se muestra la relaci´on de dispersi´on para fonones en el Al, en las direcciones [110] y [100].
2
Z/2S (1013 s–1)
1.0
AL
0.8
AL
AT1
0.6
AT2
0.4
AT
0.2 0 1.0
0.8
[110]
0.6
0.4
k/kmax
0.2
0
0.2
0.4
k/(2S/a)
0.6
0.8
[100]
1.0
a) ¿Por qu´e hay dos modos transversales en la direcci´on [110] y s´olo uno en la direcci´on [100]? b) ¿Por qu´e no hay modos ´opticos? c) ¿Es is´otropa la velocidad del sonido? d ) ¿Por qu´e en la direcci´on [100] se representa hasta 2π/a en vez de π/a? 13.
En la figura adjunta se muestra la relaci´on de dispersi´on ω(k) en la direcci´on (100) Determinar la velocidad de propagación del sonido en una cadena diatómica de para una estructura fcc de base diat´omica. En el eje horizontal se representa k/kmax y en el vertical la frecuencia ω/2π en unidades de 1012 Hz. una estructura cubica simple a) Estimar la velocidad de propagaci´on del sonido en este cristal el modode a partirpara la relación longitudinal en la direcci´ n (100). )o que se muestra en la figura adjunta. En el eje horizontal se Hz. b) Determinar la velocidad de propagaci´on del sonido en una cadena diat´omica de ´atomos de masas M1 y M2 , par´ametro a y contante de fuerza entre ´atomos , C. Suponiendo v´alida esta expresi´on para el cristal de la figura, determinarenlala constante de fuerza entre ´atomos C para este compuesto en la direcci´on (100).
(100)
Datos: Par´ametro de red convencional a = 6.59 ˚ A. M1 = 6.5×10−23 g, M2 = 13.3×10−23 g.
1
Propiedades t´ ermicas reticulares 1.
Sea un s´olido cristalino monoat´omico con red sc tridimensional de constante de red 5 ˚ A, con velocidad del sonido 7000 m/s (que consideraremos isotr´opica), y a una temperatura de 300 K. a) Se miden las vibraciones t´ermicas de la red de ese s´olido. Estima a qu´e frecuencia se encontrar´a la mayor energ´ıa de vibraci´on. Utilizar aproximaciones para ello (la de Debye, por ejemplo). b) Estimar la capacidad calor´ıfica por mol de ese s´olido. c) Discutir si el s´olido ser´a un buen espejo a la radiaci´on infrarroja debido a alguno de los modos de vibraci´on de su red. ¿Y si fuese diat´omico?
2.
Razonar brevemente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) A T = 80 K, la capacidad calor´ıfica de un s´olido con temperatura de Debye θD = 100 K ser´a mayor que la de otro con θD = 200 K. b) La m´ınima longitud de onda de los fonones en un s´olido ser´a menor cuanto m´as grande sea su constante de red.
3.
Sea un s´olido con frecuencia de Debye ωD = 7.8 × 1013 rad/s. Cuando se calienta de 30 K a 300 K, ¿aumenta o disminuye su ... a) b) c) d)
4.
n´ umero de fonones con frecuencia ω = 1011 s−1 . n´ umero de fonones capaces de dar lugar a procesos U. n´ umero de fonones capaces de dar lugar a procesos N. conductividad t´ermica reticular?
Sea un cristal con enlace molecular y otro con enlace i´onico. a) ¿Cu´al tendr´a mayor temperatura de fusi´on? b) ¿Cu´al tendr´a mayor coeficiente de dilataci´on t´ermica, α?
5.
Sea una red cuadrada bidimensional con un ´atomo de masa M en cada punto, interaccionando s´olo con sus p vecinos m´as pr´oximos con constante de fuerza C. T´omese como curva de dispersi´on fon´onica: ω(k) = 4C/M | sen(ka/2)|. a) Obtener la densidad de estados fon´onicos a longitudes de onda largas. b) A altas temperaturas, kB T ≫ ~ω, encu´entrese la media cuadr´atica del desplazamiento de un ´atomo respecto a su posici´on de equilibrio. Raz´onese sobre el resultado si la red se fundir´a a altas temperaturas.
6.
7.
Calcular la conductividad t´ermica a 1 K de una varilla de zafiro cristalino de 3 mm de di´ametro (peso molecular del Al2 O3 , 102). La velocidad del sonido se puede tomar como 5 × 103 m/s, la densidad del Al2 O3 como 4 × 103 Kg/m3 y θD = 103 K. Considerar que por estar a muy baja temperatura el recorrido libre medio de los fonones est´a determinado por la talla del cristal. Z (1012 rad/s) Considerar dos materiales sc, monoat´omicos con igual constante de red, y con la misma pureza pero con relaciones de dispersi´on de las vibraciones de su red distintas y dadas por la figura adjunta. a) A una temperatura de 300 K, ¿cu´al sufrir´a m´as procesos U? b) A esa misma temperatura ¿cu´al tendr´a mayor capacidad calor´ıfica?
S (Å–1)
10
8.
a) Sea un cristal i´onico y otro de gases inertes. Raz´onese cu´al tendr´a mayor frecuencia de Debye. b) ¿Puede ser la ocupaci´on de un estado fon´onico superior a la unidad?
9.
Se desea construir una placa que act´ ue como termostato a diferentes temperaturas en el rango de 25o C a o 300 C de tal forma que se puedan conocer los incrementos de temperatura midiendo s´olo la energ´ıa que se le suministra para producir esos incrementos. Para esto lo ideal ser´ıa que la capacidad calor´ıfica del termostato fuese independiente de la temperatura. ¿De los materiales que se relacionan a continuaci´on cu´ales ser´ıan los m´as adecuados para construir el termostato? Ordenarlos por orden de conveniencia y razonar la respuesta. Be, Ti, Fe, Cu, Pb, Ge, Cr, Ag, In, Bi, Si, Sn
2
10.
¿Qu´e tipo de fonones da mayor contribuci´on a la energ´ıa total de vibraci´on de un cristal a temperatura T ? Utilizar si es preciso el modelo de Debye.
11.
Pronunciarse sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones relativas a un s´olido cristalino a temperatura T : a) Los fonones de baja frecuencia son los m´as abundantes pues la energ´ıa asociada ~ω es menor. b) Hay tantos tipos de fonones posibles como ´atomos. c) No o´ımos las vibraciones t´ermicas (zumbido t´ermico) porque la frecuencia de los fonones supera con mucho la m´axima perceptible por el o´ıdo humano (alrededor de 10 KHz). d ) Los fonones se mueven a la velocidad del sonido en el s´olido.
12.
En un cristal c´ ubico monoat´omico de par´ametro de red a = 3.7 ˚ A, la velocidad del sonido para fonones longitudinales y trasversales es aproximadamente la misma c = 3000 m/s y es is´otropa. a) ¿Cu´al es su frecuencia de Debye? b) ¿Cu´al es la m´ınima longitud de onda de los fonones es ese material?
13.
Sea √ un cristal bidimensional en el que los fonones longitudinales tienen una relaci´on de dispersi´on ω(k) = A k (aqu´ı A = cte). a) Determina la densidad de estados D(ω). b) En el l´ımite T → 0, la contribuci´on de los fonones longitudinales al calor espec´ıfico es de la forma C ∝ T s . ¿Cu´al es el valor de s?
14.
Se ha determinado que un s´olido tiene un peso molecular de 35, una densidad de 2.3 × 103 Kg/m3 y que la velocidad del sonido en ´el es de 1800 m/s. a) Determinar su temperatura de Debye. b) Cu´anto calor se requiere para elevar su temperatura de 10 a 30 K. 14
70
(J/mol K) (mJ/mol K)
12
60
10
50
8
40
6
30
4
20
2
10
0
1
2
3
4
T
3
5
3
6
7
8
9
Cv (mJ/mol K)
En la figura adjunta se representa el calor espec´ıfico de dos s´olidos cristalinos medido entre T ≈ 4.2 K (He l´ıquido) y T ≈ 20.2 K (H l´ıquido). Admitiendo que del ajuste de esos datos, l´ınea recta continua (cuadrados) y a trazos (c´ırculos), se pueden extraer sus temperaturas de Debye con un incertidumbre inferior al 10 %, discutir a qu´e materiales pueden corresponder estos datos. ¿Cu´al ser´ıa su calor espec´ıfico a temperatura ambiente?
Cv (J/mol K)
15.
0
3
(10 K )
16.
Suponer la cadena lineal monoat´omica de constante de red a con una ley de dispersi´on ω 2 (k) = 2C[1 − cos ka]/M . ¿Cu´al es la velocidad del sonido en ese medio? Calcular la densidad de estados.
17.
Consid´erese un cristal bidimensional con ´atomos de masa M cuya estructura es la del patr´on de la figura del ejercicio 1.19. Calcular el n´ umero de fonones y la energ´ıa t´ermica contenidos en dicho cristal a temperatura mucho mayor que su temperatura de Debye.
18.
N ´atomos de carbono se pueden ordenar espacialmente para formar tres tipos de cristal, A, B, C, cuyas funciones densidad de estados fon´onicos en la aproximaci´on de Debye se representan (para bajas frecuencias) en la figura adjunta. a) Describir la naturaleza de cada tipo de cristal. b) Si la velocidad del sonido en los tres cristales es de 1000 m/s y ω0 = 2.09×106 s−1 y D0 = 3.18×10−7 s, determinar el tama˜ no de cada cristal. c) ¿Cu´al es el n´ umero de modos normales posibles en cada tipo de cristal?
1
Gas de Fermi de electrones libres 1.
Discutir c´omo var´ıa la energ´ıa de Fermi cuando se comprime un metal. Determinar el coeficiente de compresibilidad κ ≡ (dV /dP )/V del gas de electrones de conducci´on del cobre y compararlo con el experimental (κ = 7 × 10−12 N−1 m2 ). Para el Cu: peso at´omico 63.5, densidad 8.9×103 Kgm−3 .
2.
Explicar el sentido f´ısico de la temperatura de Fermi TF del gas de electrones libres. Aplicado a metales, ¿qu´e consecuencias f´ısicas (observables) tiene el que TF sea tan alto como 5 × 104 K?
3.
¿C´omo se compatibiliza la ley de Wiedemann-Franz con el hecho de que hay compuestos que tienen una muy alta conductividad t´ermica pero pr´acticamente nula conductividad el´ectrica (por ejemplo la al´ umina Al2 O3 )?
4.
Comparar la conductividad el´ectrica de un metal a baja frecuencia (ωτ ≪ 1) con la conductividad DC (ω = 0). ¿Cu´al es el cambio porcentual para ω/2π = 50 Hz (tomar τ = 10−14 s)? ¿Qu´e influencia tiene τ ?
5.
En un experimento de efecto Hall, ¿cambia el signo del voltaje Hall si cambia el sentido del campo magn´etico? ¿Cambia el signo de la magnetoresistencia en las mismas condiciones? ¿Cu´al es la explicaci´on f´ısica en ambos casos?
6.
Por un metal de secci´on transversal 1 mm2 circula una corriente el´ectrica de 2 A bajo un campo el´ectrico aplicado de 0.5 V/m. Estimar el tiempo de relajaci´on electr´onico.
7.
Sup´on que estudiamos la reflectividad de los metales en el rango ωτ ≪ 1. ¿Se puede afirmar que a mayor conductividad el´ectrica es mayor su reflectividad, es decir “m´as brillante” se ve a esas frecuencias?
8.
El Li es monovalente y cristaliza en la estructura bcc con constante de red 3.5 ˚ A. Sup´ongase bien descrito por la aproximaci´on de electrones libres. Debido a que las condiciones de contorno discretizan el espacio ~k, si el cristal es muy peque˜ no la diferencia de energ´ıas entre niveles electr´onicos contiguos en el espacio ~k puede llegar a ser grande. Estimar el tama˜ no de la muestra para el cual dicho espaciado ser´ıa de 0.1 eV para electrones cerca de la energ´ıa de Fermi. (Suponer que el resto de los par´ametros del cristal, como potenciales de interacci´on, constante de red, etc., son independientes del tama˜ no).
9.
Sea un metal a T = 300 K, en aproximaci´on de electrones libres y con potencial qu´ımico µ = 10 eV. ¿Tendr´a mayor, menor o igual n´ umero de electrones con energ´ıa 1 eV que con energ´ıa 10 eV? ¿Y con energ´ıa 15 eV (c´omo ser´a el n´ umero de electrones comparado con 1 y con 10 eV?
10.
Calcular la expresi´on para la densidad de estados D(ε) de un gas de electrones libres bidimensional. ¿Cu´al es la energ´ıa media por electr´on a T = 0 K si la densidad electr´onica es n = 1017 cm−2 ?
11.
En un hilo de Cu (fcc, par´ametro de red 3.6 ˚ A) se mide una ca´ıda de voltaje de 1.7 mV cuando se hace pasar una corriente de 0.5 A. El hilo tiene una de secci´on 1 mm2 y una longitud (entre los terminales de voltaje) de 20 cm. Determinar el recorrido libre medio de los electrones sabiendo que cada a´tomo aporta un electr´on a la conducci´on.
12.
En la aproximaci´on de electrones libres determinar el voltaje Hall que se medir´ıa en una barra de Na de secci´on cuadrada de 25 mm2 cuando por ella circula una corriente de 1 A bajo un campo magn´etico transversal de 1 T.
13.
En la tabla adjunta se da la conductividad t´ermica y la resistividad el´ectrica de cuatro cristales A, B, C, D, para distintas temperaturas. Discutir de cu´ales se podr´ıa afirmar que corresponden a observables medidos en metales puros. Unidades: [κ]=W/mK; [ρ] = µΩcm; [T ]=K A T 80 100 200 300 400 500
14.
κ 432 3.02 2.37 2.37 2.40 2.36
ρ 0.245 0.442 1.59 2.73 3.87 4.99
B κ 557 482 413 401 393 386
ρ 0.215 0.348 1.046 1.725 2.402 3.090
C κ 325 232 96.8 59.9 43.2 33.8
ρ 4.6×1023 1.8×1019 280 3.3×10−9 1.1×10−10 1.5×10−11
D κ 8.5 9.2 13 15 17 18.5
ρ 25.2 28.6 43.2 58.2 73.9 88.2
Una red c´ ubica simple de ´atomos interacciona muy d´ebilmente con los electrones. Si hay 1 electr´on por ´atomo y la intensidad de la interacci´on es muy peque˜ na comparada con la energ´ıa de Fermi, ¿qu´e fracci´on de electrones ocupa la segunda banda m´as baja?
1
Electrones en un potencial peri´ odico: Teor´ıa de bandas 1.
En el aluminio (fcc con par´ametro de red a = 4,05 ˚ A), encontrar el orden de la degeneraci´on del estado ~kA = 2π ( 1 , 0, 1), as´ı como su energ´ıa. a 2 Datos: H = p2 /2m∗ + V , siendo m∗ = 1,72me y U un potencial d´ebil cuyos coeficientes de Fourier toman u ´nicamente dos valores no nulos: ~ = 0,40 eV para G ~ = 2π (1,1,1) U (G) a ~ = 0,75 eV para G ~ = 2π (2,0,0) U (G) a ~ ′ ) = U (G) ~ si |G ~ ′ | = |G| ~ U (G ~ = 0 para cualquier otro G ~ U (G)
2.
En cierto metal divalente, de estructura c´ ubica simple y par´ametro de red a = 0,3 nm, la relaci´on de dispersi´on (is´otropa) para electrones en las bandas m´as bajas puede aproximarse por εi (k) = 5i + (−1)i 0,9 cos(ka) eV, siendo i = 1, 2 el ´ındice de banda. Representar las bandas en las direcciones (100) y (111). ¿Existe m´as de una banda ocupada? ¿Cu´al es la energ´ıa de Fermi? ¿Cu´al ser´ıa (la energ´ıa de Fermi) si el cristal fuese momovalente?
3.
Consid´erese la aleaci´on binaria de CuZn. Esta aleaci´on sufre cambios estructurales al ir variando la proporci´on de Cu y Zn. Cuantitativamente es u ´til argumentar con el n´ umero medio n de electrones de conducci´on por ´atomo (el Cu aporta uno y el Zn dos). Resulta que para el cobre puro (n = 1) la fase es fcc. Al ir aumentando la concentraci´on de cinc (y por tanto n) esta fase se mantiene hasta que n llega a valer aproximadamente 1.36. A partir de entonces, si se sigue a˜ nadiendo cinc empieza a aparecer una fase bcc, hasta que para n ≥ 1,48 todo es bcc. ¿Para qu´e valor de n la esfera de Fermi toca la frontera de la primera zona de Brillouin de una red fcc? ¿Por qu´e crees que hay una relaci´on entre el valor n al cual aparece una nueva fase y el valor de n al cual la superficie de Fermi toca el l´ımite de la primera zona de Brillouin?
4.
Sea una red rectangular con a = 0,3 nm y b = 0,4 nm con un ´atomo tipo A en (0,0) y otro tipo B en (1/2,1/2). Se dispone de dos electrones cuasilibres por mol´ecula AB. Si los coeficientes de Fourier del potencial son U10 = 2 eV, U01 = 1 eV, y U11 = 1,5 eV, ¿el material es conductor o aislante?
5.
Un modelo muy u ´til para metales consiste en considerar al conjunto de electrones de valencia liberados de los ´atomos “padres” formando un gas (gas de Fermi). Un gas familiar es el aire. Brevemente, ¿qu´e diferencias y analog´ıas hay entre ambos?
6.
Considerar la posibilidad de metales unidimensionales (1D). Utilizando como herramienta conceptual la aproximaci´on de electrones cuasilibres, ¿puede haber aislantes, semimetales, semiconductores y conductores igual que en 3D?
7.
Consid´erense tres hipot´eticos s´olidos bidimensionales con concentraciones electr´onicas n1 = 1,30 × 1014 cm−2 , n2 = 1,20 × 1015 cm−2 , n3 = 2,49 × 1015 cm−2 , y par´ametros de celda primitiva rectangular a1 = 2a2 = 0,625 nm. Suponiendo superficies de Fermi circulares, ¿c´omo ser´a en cada s´olido la contribuci´on de los portadores a la conductividad el´ectrica?
8.
Considerar una sustancia (elemental) con un n´ umero par de electrones por celda primitiva que es conductor (se observa experimentalmente). ¿Qu´e se puede deducir de su estructura de bandas? ¿Debe haber igual n´ umero de electrones que de huecos? Lo que acabas de decir ¿se aplicar´ıa al grafito (cuya estructura es como se esquematiza)?
(b) Grafito 9.
Cada ´atomo de un cristal monoat´omico de estructura c´ ubica simple con par´ametro de red de 4 ˚ A aporta dos electrones de valencia. Discutir, en la aproximaci´on de red vac´ıa (el potencial peri´odico es practicamente inexistente), si es aislante o conductor y en este caso si la conducci´on es por electrones o por huecos.
10.
El grafito est´a formado por ´atomos de carbono (1s2 2s2 2p2 ) solamente, al igual que el diamante. El primero conduce el´ectricamente, en tanto que el segundo no. ¿C´omo se puede interpretar esta diferencia desde la teor´ıa de bandas?
11.
Un cristal bidimensional tiene un ´atomo monovalente en una celda primitiva rect´angular simple (a = 2 ˚ A, b=3˚ A).
2
a) Dibujar las dos primeras zonas de Brillouin. b) Calcular el radio del circulo de Fermi de electrones libres. c) Representar el circulo de Fermi sobre las zonas de Brillouin. d ) ¿Es la conducci´on por electrones o por huecos?. ¿Y si el ´atomo por celda primitiva fuese divalente? 12.
Sea un material bidimensional cuya red es rectangular de par´ametros a = 3 ˚ Ayb=2˚ A. La relaci´on de dispersi´on electr´onica es la de un modelo de electrones cuasilibres de modo que en las proximidades de los extremos de la zona de Brillouin la curva de dispersi´on se desdobla generando un gap de energ´ıa de valor 2U/(n21 + n22 ), donde (n1 , n2 ) son las componentes del vector de red rec´ıproca asociado. Determinar y representar las relaciones de dispersi´on de la primera banda de energ´ıa en las direcciones [1 0],[0 1] y [1 0.5].
13.
Criticar la veracidad de las siguientes afirmaciones sobre el efecto de un potencial peri´odico d´ebil sobre los estados electr´onicos: a) El potencial s´olo act´ ua significativamente sobre los estados electr´onicos cuyo vector de onda coincide con un vector de la red rec´ıproca. b) El potencial cambia fuertemente aquellos estados electr´onicos que tienen una energ´ıa coincidente con la de otros estados (existen otros estados con la misma energ´ıa). c) El gap aparece para las fronteras de zona (planos Bragg).
14.
Sea una red monoat´omica hexagonal bidimensional de par´ametro de red a. Su √ red rec´ıproca tambi´en es hexagonal, y su par´ametro de red 4π/ 3a (ver figura).
ky
y a
a) Dibujar la primera, segunda y tercera zonas de Brillouin.
4S a 3
kx
x
R.D. b) Dibujar la circunferencia de Fermi en la aproximaci´on de electrones libres, en los casos en que cada ´atomo aporte uno o dos electrones.
R.R.
c) Si los electrones est´an sometidos al potencial peri´odico creado por el cristal, razona si el material debe ser conductor o aislante en cada uno de los dos casos anteriores. ¿Depender´ıa de la amplitud del gap de energ´ıa en las fronteras de la PZB? 15.
Sea una estructura cristalogr´afica como la de la figura. Tanto los ´atomos “blancos” como los “negros” aportan un electr´on a la conducci´on.
5Å
a) Discutir si el material ser´ıa aislante o conductor (indicando en este u ´ltimo caso el tipo de portador mayoritario) en la aproximaci´on de electrones libres.
16.
17.
b) Hacer la misma discusi´on, pero ahora suponiendo que los ´atomos crean sobre los electrones un potencial peri´odico cuyo efecto es un gap de energ´ıa de 1 eV sobre todo el borde de la primera zona de Brillouin. Considerar un metal c´ ubico simple (a = 1 ˚ A) tres de cuyos electrones tienen como vectores de onda (en ˚ A−1 ), ~k1 = (10−2 , 0, 0), ~k2 = (1, 1, 0) y ~k3 = (π, π/3, 0). En la aproximaci´on de electrones cuasilibres, ¿cu´al de ellos es el m´as afectado por el potencial peri´odico (se aparta m´as del resultado para e− libres)? a) Explicar brevemente cu´al es el efecto de un potencial peri´odico d´ebil sobre la relaci´ on de dispersi´on electr´onica. b) Dar alguna raz´on por la que los metales alcalinos, a diferencia de otros como Al, Bi, etc, se ajustan bien a las predicciones del modelo de electrones libres. c) Razonar si es cierto que una sustancia con un n´ umero impar de electrones de valencia por ´atomo siempre ser´a un conductor. d ) Razonar si es cierto que una sustancia con un n´ umero par de electrones de valencia por celda primitiva siempre ser´a un aislante.
18.
Discutir el car´acter conductor, semiconductor o aislante de las estructuras adjuntas teniendo en cuenta que los ´atomos que las forman son divalentes, y que el potencial peri´odico que ejercen sobre los electrones del mar de Fermi es el que se indica (expresado en eV). a) Cadena lineal: U (x) = 0,1 cos( 2πx a ). 2πy b) Estructura bidimensional: U (x, y) = 0,1 cos( 2πx a ) cos( a ).
3
19.
Considerar un metal unidimensional con ´atomos espaciados regularmente. Cada a´tomo aporta un electr´on a la conducci´on. a) Calcular y representar la relaci´on de dispersi´on de la primera banda ε(k) utilizando la aproximaci´on de electrones fuertemente ligados. Considera s´olo orbitales s. b) Calcular y representar la correspondiente densidad de estados electr´onicos D(ε). c) Calcular una expresi´on para la energ´ıa electr´onica total (utilizar T ≈ 0 K).
20.
Sean los dos cristales unidimensionales de la figura. Los iones ejercen un potencial peri´odico d´ebil sobre
Cristal 1:
los electrones de conducci´on, que da lugar a un gap
d
Cristal 2: Gd<
de energ´ıa en las fronteras de zona. Cada ´atomo aporta 1 electr´on a la conducci´on. a) Discutir si a T = 0 K son conductores o aislantes. b) Discutir para cu´al de las dos estructuras la energ´ıa electr´onica total es menor. 21.
Considerar un cristal monoat´omico de estructura cs. a) En la aproximaci´on de electrones fuertemente ligados calcular la energ´ıa electr´onica correspondiente a un nivel s (no degenerado) teniendo en cuenta la contribuci´on de primeros y segundos vecinos. R ~ = d3~rΨ∗ (~r)Ψ(~r − R) ~ para R ~ 6= 0. Suponer despreciable la integral α(R) R 3 ∗ ~ = − d ~rΨ (~r)∆U (~r)Ψ(~r − R) ~ var´ıa con la distancia entre ´atomos b) Suponiendo que la integral γ(R) −1 como γ ∝ R , discutir la importancia relativa de la contribuci´on de primeros y segundos vecinos a la energ´ıa electr´onica. c) Determinar la velocidad de los electrones en esta banda en el borde de la PZB seg´ un las direcciones [100] y [111].
22.
Sea una red unidimensional de espaciado a. El potencial que cada ´atomo ejerce sobre los electrones viene dado por U (x) = au0 δ(x − R), donde R = na son los vectores de red (n entero) y δ(x) la funci´on delta de Dirac. Determinar la amplitud de los intervalos de energ´ıa prohibidos entre las bandas, suponiendo v´alida la aproximaci´on de electrones cuasilibres. R∞ Nota: −∞ f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 ).
23.
Una red c´ ubica simple de ´atomos interacciona muy d´ebilmente con los electrones. Si hay 1 electr´on por ´atomo y la intensidad de la interacci´on es muy peque˜ na comparada con la energ´ıa de Fermi, ¿qu´e fracci´on de electrones ocupa la segunda banda m´as baja?
24.
Considerar la red monoat´omica de la figura. Los ´atomos ejercen un potencial d´ebil sobre los electrones que viene dado por la expresi´on: µ µ ¶¸ · ¶¸ µ ¶¾ ½ · y y 2π 4πy 2π √ √ √ x+ + cos x− + cos U (x, y) = U0 cos a a 3 3 a 3 a) Calcular el gap de energ´ıa en el centro de las caras de la PZB.
a a a y x
b) Calcular el gap de energ´ıa en una esquina de la PZB (basta con plantear el sistema de ecuaciones lineales que conduce al resultado). 25.
Considerar una cadena de ´atomos de espaciado a. El potencial que cada ´atomo ejerce sobre los electrones viene dado por U (x) = aU0 δ(x − R), donde R = na, con n entero, son los vectores de red y δ es la funci´on delta de Dirac.(1) Determinar la amplitud de los intervalos de energ´ıa prohibidos entre las bandas, suponiendo v´alida la aproximaci´on de electrones cuasilibres.
26.
Sea un cristal bidimensional de red monoat´omica hexagonal de par´ametro a. a) Calcular la relaci´on de dispersi´on electr´onica de la primera banda en la aproximaci´on de electrones fuertemente ligados (considerar s´olo la contribuci´on de primeros vecinos). Suponer que la integral R ~ = d3~r φ∗ (~r) φs (~r − R) ~ para R ~ 6= 0 es despreciable. α(R) s
b) Si el n´ umero efectivo de electrones por ´atomo es mucho menor que 1, ¿c´omo ser´ıa la topolog´ıa de la superficie (l´ınea) de Fermi? ¿C´omo ser´ıa esta superficie en la aproximaci´on de electrones cuasilibres?
1 δ(x
− x0 ) =
½
∞ si x = x0 0 si x 6= x0 .
Z
∞
dx f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ). −∞
1
Din´ amica semicl´ asica de electrones Bloch 1.
Discutir si el voltaje Hall en un cristal no aislante puede ser nulo.
2.
Razonar si los huecos electr´onicos de una banda casi llena y los electrones de una banda casi vac´ıa dan contribuciones a la conductividad el´ectrica que se refuerzan o, por el contrario, que se contrarrestan.
3.
La energ´ıa electr´onica alrededor del techo de una banda de valencia en un semiconductor es ε = −10−37 k 2 J, donde ~k es el vector de onda. Se quita un electr´on del estado ~k = 109 ˆı m−1 donde ˆı es el vector unitario seg´ un el eje x. Calcular las siguientes cantidades del hueco resultante, explicitando su signo: a) La masa efectiva b) La energ´ıa c) El vector de onda d ) La velocidad
4.
Suponer un electr´on en una banda de un cristal c´ ubico simple de par´ametro de red 4 ˚ A sometido a un campo el´ectrico de 100 V/m. ¿Cu´al deber´ıa ser el tiempo medio m´ınimo entre colisiones de ese electr´on para observar una oscilaci´on completa en su recorrido?
5.
~ = (B, B, 0), con B = 5 T. Sobre una muestra monocristalina de Si se aplica un campo magn´etico B Determ´ınese la frecuencia ciclotr´on de los electrones de conducci´on situados en el bolsillo electr´onico de la direcci´on [100].
6.
La figura representa la relaci´on de dispersi´on para los electrones de un s´olido unidimensional. a) Cu´al es la relaci´on entre la densidad de electrones en la banda de conducci´on y la densidad de huecos en la banda de valencia, n/p?
ε (eV)
εV = 0.403
εF = 0.400 εC = 0.389
b) ¿Cu´al es el signo de la masa efectiva de los electrones en la banda de conducci´on y de los huecos en la banda de valencia? 0 ¿Cu´al de ellas ser´a mayor (en valor absoluto)? Estimar num´ericamente sus valores con respecto a la masa del electr´on.
k (nm-1) 0.55
5.45 6.00
c) ¿Tiene este material un n´ umero par o impar de electrones por celda unidad? A T=0 K, ¿conducir´ıa la corriente el´ectrica? d ) ¿Podr´ıa el modelo de electrones cuasilibres dar cuenta de una estructura de bandas como la representada? 7.
Discutir la veracidad de la siguiente afirmaci´on: Cuando se aplica un campo magn´etico a un cristal conductor, un electr´on se mueve, en la direcci´on del campo, con velocidad constante.
8.
Sea un cristal unidimensional de par´ametro de red a y energ´ıa electr´onica dada por ε(k) =
~2 [1 − cos(ka)] ma2
(m ≡ masa electr´onica)
a) Determinar la masa efectiva en el fondo y en el techo de la banda. b) Determinar una masa efectiva m∗v (k) tal que v(k) = ~k/m∗v (k). c) Determinar la energ´ıa electr´onica total si cada ´atomo aporta un electr´on a la conducci´on. ¿Cu´anto menor es que la que tendr´ıan electrones libres? d ) Determinar la densidad de estados. 9.
Sea una estructura c´ ubica simple monoat´omica con par´ametro de red a = 0.4 nm. Cada ´atomo aporta un electr´on a la conducci´on. La relaci´on de dispersi´on electr´onica, que est´a bien descrita por el modelo de electrones cuasilibres, presenta un gap de energ´ıa de 0.1 eV en las caras de la PZB. a) ¿Cu´ales son las masas efectivas electr´onicas en el fondo de la primera banda? b) Discutir si a T = 0 K el material conduce la corriente el´ectrica.
1
Cristales semiconductores 1.
Una muestra de Ge (4.4×1022 ´atomos/cm3 ) tiene los siguientes valores de resistencia el´ectrica a las temperaturas que se indican: T (K) 310, 321, 339, 360, 383, 405, 434 R(Ω) 13.5, 9.10, 4.95, 2.41, 1.22, 0.74, 0.37 a) Calcular el gap de energ´ıa. b) Se a˜ nade una concentraci´on del 0.0001 % de ´atomos de As. 1) 2) 3)
2.
Probar que a temperatura ambiente pr´acticamente todas las impurezas est´an ionizadas. ¿C´omo se ver´a afectada la conductividad el´ectrica a 300 K? ¿A qu´e temperatura (aproximadamente) coincidir´an la conductividad intr´ınseca y la producida por las impurezas?
Considerar un equipo electr´onico, en un local a temperatura ambiente, que contenga componentes con uniones p − n formadas por dos semiconductores (ver datos), uno tipo n, Nd = 1012 dadores/cm3 , y otro tipo p, Na = 1012 aceptores/cm3 . ¿Ser´a necesario refrigerar el equipo? Datos: εg ≈ 0,7 eV; εc − εd ≈ εa − εv ≈ 0,01 eV; m∗e ≈ m∗h ≈ 0,3me
3.
Al medir el coeficiente Hall en un semiconductor, en presencia de campo magn´etico d´ebil, ¿en qu´e condiciones se podr´ıa encontrar RH = 0?
4.
Una muestra de Si es uniformemente dopada con NA = 1015 aceptores/cm3 . A T ≈ 0 K, ¿cu´ales son las concentraciones de huecos y electrones en equilibrio? ¿Y a T ≈ 400 K?
5.
Se desea utilizar el efecto Hall de cierto material para medir campos magn´e-ticos. Para tener una mejor sensibilidad, ¿es m´as conveniente utilizar un semiconductor dopado, un semiconductor no dopado o un metal? ¿Por qu´e?
6.
¿Es posible afirmar que un metal conduce por huecos o se trata de un concepto que s´olo se puede aplicar propiamente a semiconductores? ¿Se podr´ıa saber si un semiconductor conduce por electrones o huecos midiendo su resistividad el´ectrica (en concreto su signo)?
7.
A trav´es de una uni´on p-n actuando como rectificador pasa una corriente de 10 µA cuando se polariza en modo inverso. ¿Qu´e corriente pasar´ıa si se polariza en modo directo con una tensi´on de 1 V? Suponer T =300 K.
8.
¿Depende la condici´on de no degeneraci´on en un semiconductor de la concentraci´on de impurezas? ¿Por qu´e?
9.
Una muestra de Germanio (εg = 0,7 eV) contiene 1013 dadores/cm3 . ¿Por encima de qu´e temperatura dejar´a de estar en r´egimen extr´ınseco? La concentraci´on intr´ınseca de portadores a 300 K es de 9,5 × 1018 m−3 .
10.
Los portadores de un semiconductor de germanio dopado est´an controlados exclusivamente por la cantidad de impurezas. Sin embargo, siempre hay una temperatura, Ti , por encima de la cual esta afirmaci´on deja de ser cierta. a) ¿De qu´e variables f´ısicas depende Ti y por qu´e? b) Si las impurezas pertenecen al grupo III, ¿de qu´e signo ser´a el coeficiente Hall en el r´egimen de saturaci´on (r´egimen extr´ınseco)?
11.
En una uni´on p − n aumentamos el dopado del semiconductor p. Razonar si ello afectar´a (y c´omo) a la ca´ıda de potencial en la regi´on de carga espacial.
12.
Calcular la concentraci´on m´axima de portadores en un cristal de Si no degenerado a 250 K. ¿Cu´anto cambia esta concentraci´on m´axima si el cristal se dopa con una concentraci´on de impurezas dadoras de ND = 1015 cm−3 ?
13.
Como se puede explicar que semiconductores como Si o Ge tengan dos masas efectivas electr´onicas iguales de las tres posibles (ver Cuadro 9.1)?
14.
Consid´erese un semiconductor intr´ınseco no degenerado para √ de estados en la B.C. √ el que las densidades y la B.V. vienen dadas, respectivamente, por dc (ε) = c1 ε − εc y dv (ε) = c2 εv − ε. Aqu´ı, εc y εv representan la energ´ıa en fondo de la B.C. y el techo de la B.V., respectivamente.
2
a) Encontrar on√para la concentraci´on electr´onica n en la banda de conducci´on. Es u ´til la R ∞una expresi´ √ relaci´on 0 e−x xdx = π/2. b) Calcula la concentraci´on de huecos p en la banda de valencia. c) Encontrar una expresi´on para el potencial qu´ımico µ(T ) 15.
Una muestra semiconductora tiene a temperatura ambiente una densidad de portadores m´oviles de 1016 cm−3 y un coeficiente de movilidad µ = 102 cm2 /Vs. a) Calcular su conductividad el´ectrica b) Si la masa efectiva de los portadores es 0.1 veces la del electr´on libre, ¿cu´al es el tiempo medio entre colisiones?
16.
Se quiere un material cuya conductividad el´ectrica al ambiente sea de 0.1 Ω−1 cm−1 . Para ello dopamos Si con Sb. ¿Cu´al ser´a la concentraci´on de Sb necesaria? Sup´on un tiempo de relajaci´on de 10−14 s.
1
Magnetismo de s´ olidos 1.
¿Cu´al es el fundamento del magnetismo de s´olidos?¿Qu´e determina que algunos metales sean magn´eticos y otros no?
2.
Estimar la raz´on de la respuesta magn´etica at´omica a la respuesta de los electrones de conducci´on en los metales.
3.
Los espines electr´onicos de un material magn´etico, ¿tienden a alinearse o a antialinearse con el campo magn´etico?
4.
Suponer un cristal formado por iones con momento angular J = S = 1/2. D´ando valores aproximados a los par´ametros relevantes (por ejemplo, n´ umero at´omico Z = 30, radio at´omico r = 0.1 nm, etc.) discutir su car´acter paramagn´etico o diamagn´etico a T → 0 y temperatura ambiente.
5.
Calc´ ulese, a partir de los datos tabulados, la magnetizaci´on de saturaci´ on del n´ıquel a bajas temperaturas y a T = TC . Si se considera el magnetismo de dominios, ¿cu´al ser´ıa la magnetizaci´on observable del n´ıquel en ambos casos?
6.
Sea un s´olido que contiene iones con esp´ın no nulo. Considerando el calor espec´ıfico del s´ olido, ¿variar´ıa ´este por aplicaci´on de un campo magn´etico? ¿Por qu´e? Si hay variaci´on ¿la nueva contribuci´on ser´ıa mayor a altas o a bajas temperaturas?
7.
Decidir si es cierto que: a) La energ´ıa dipolar magn´etica de un conjunto de espines tiende a que todos est´en alineados b) La energ´ıa de anisotrop´ıa tiende a desalinear espines.
8.
En el marco del modelo de electrones libres, la raz´on por la que los electrones de conducci´on de cualquier metal no presentan un ferromagnetismo intenso debido al esp´ın es porque (razonar cu´al de las siguientes posibilidades es cierta): a) El momento magn´etico de un electr´on es despreciable frente al momento magn´etico de cada ´atomo de un material ferromagn´etico convencional (Fe, Co, Ni, etc). b) No les es aplicable la interacci´on de intercambio, que tiende a alinear espines. c) El principio de Pauli hace muy costoso energ´eticamente que los espines se alineen.
9.
Considerar los ´atomos de Ne y de Gd (masas at´omicas 20.2 y 157 respectivamente). a) ¿En cu´al el diamagnetismo de Larmor (en un solo ´atomo) ser´a mayor? b) Estima para cada uno de ellos la susceptibilidad magn´etica correspondiente al paramagnetismo at´omico a T = 300 K. Densidad a esa temperatura del Ne: 0.84 g/l; del Gd: 7.89 g/cm3 .
10.
Representar (y explicar brevemente) la dependencia de la magnetizaci´on con la temperatura para un material paramagn´etico y para un material ferromagn´etico.
11.
Calcular la susceptibilidad paramagn´etica a temperatura ambiente de una muestra de La con impurezas magn´eticas de Gd al 1 % (Gd1 La99 ). La estructura es fcc con un par´ametro de red de 0.53 nm.
12.
Se mide la magnetizaci´on (M) o susceptibilidad magn´etica (χ) frente a la temperatura en cuatro materiales. El resultado es el que se muestra en las figuras. Explicar (brevemente) de que materiales se trata y el fen´omeno detr´as del resultado.
F
(a)
F H0
0
(b)
M
M
T
0 –H T
(d)
H=0
H0
H0
0
(c)
T 0
T
13.
Se mide la magnetizaci´on de una muestra de Ni a cierta temperatura y se obtiene el 80 % de la magnetizaci´on de saturaci´on, ¿a que temperatura se ha hecho la medida? Sup´ongase que s´olo existe un dominio ferromagn´etico. Dato: TCNi = 627 K.
14.
Medidas de la susceptibilidad magn´etica de una sustancia con una densidad at´omica n = 3 × 1028 m−3 dan los siguientes valores:
2
T (K) χ (S.I.)
77 6.54×10−2
200 2.52×10−2
273 1.85×10−2
a) Analizar esos datos y explica qu´e modelo puede explicarlos. ¿De qu´e tipo de material magn´etico se trata? b) Utilizando las tablas de datos de los apuntes, discutir de que sustancia se puede tratar. 15.
Sea una sustancia ferromagn´etica con estructura bcc, compuesta por ´atomos con esp´ın 1/2 (J = 1/2, S = 1/2, L = 0). Estimar la magnetizaci´on a T = 0 K y a T = 300 K cuando se aplica un campo B = 1 T. ¿C´omo cambian esos valores en presencia de una posible estructura de dominios magn´eticos? Datos: Par´ametro de red: a = 0,4 nm. Integral de intercambio: J = 10−21 J.
16.
Un material ferromagn´etico de esp´ın 1/2 (S=1/2, L=0, J=1/2) sometido a un campo magn´etico de B = 1 T, presenta una magnetizaci´on a 300 K (que corresponde a la fase paramagn´etica) de 470 A/m. Estimar la magnetizaci´on de este material a 200 K y a 50 K. Datos: n = 1,5 × 1028 m−3 .
1
Superconductividad 1.
Consid´erese un hilo superconductor transportando una corriente el´ectrica I. Cuando esta corriente es tal que el campo magn´etico generado por ella misma en la superficie del hilo supera el campo magn´etico cr´ıtico Bc , el material transita al estado normal (regla de Silsbee). Calcular el valor de esta corriente cr´ıtica Ic para un hilo de esta˜ no de 0.1 mm de di´ametro sumergido en He l´ıquido superfluido a 2 K. Datos: Para el Sn Tc = 3,72 K, Bc (0) = 30,5 mT.
2.
El esta˜ no es un material superconductor con una temperatura cr´ıtica de 3.7 K, una longitud de coherencia de 230 nm, y una longitud de penetraci´on magn´etica de 34 nm. ¿Podr´ıa observarse una red de v´ortices magn´eticos cuantizados en este material? En caso afirmativo indicar para qu´e rango de campos magn´eticos aplicados.
1
Miscel´ anea de problemas 1.
Considerar una estructura c´ ubica simple con par´ametro de red a. a) Calcular la relaci´on de dispersi´on electr´onica ε(~k) para la banda s utilizando el modelo de electrones fuertemente ligados. b) Determinar las masas efectivas en el fondo de la banda. c) ¿En qu´e puntos de la PZB aparecen los valores m´aximo y m´ınimo de la energ´ıa?
2.
y
La figura adjunta representa la estructura de Kagom´e. Todos los segmentos tiene la misma longitud d.
d
a) Dibujar sobre la estructura unos vectores base ~ai e indicar sus componentes con respecto a los ejes x, y indicados. Indicar sobre el dibujo los ´atomos de la base at´omica y dar sus coordenadas. b) Calcular los correspondientes vectores base ~bi de la red rec´ıproca.
x
c) Dibujar la correspondiente red rec´ıproca y la PZB. d ) Calcular el n´ umero efectivo de electrones por ´atomo necesario para que el c´ırculo de Fermi de electrones libres sea tangente a la PZB. e)
3.
Si los ´atomos ejercen un potencial d´ebil sobre los electrones (electrones cuasilibres), ¿es de esperar que la teor´ıa de electrones libres sea una buena aproximaci´on si cada ´atomo aporta 1 electr´on a la conducci´on? ¿Y si cada ´atomo aporta 2 electrones? Justificar las respuestas. d/2
Sea la estructura cristalogr´afica bidimensional de la figura adjunta.
d d
a) Dibujar unos vectores base para esa estructura. Indicar sus componentes en alg´ un sistema de coordenadas. b) Calcular los correspondientes vectores base ~bi de la red rec´ıproca.
d/2
RX (O=d)
c) Dibujar la correspondiente red rec´ıproca y la PZB. d ) Sobre esa estructura incide un haz de rayos x en la direcci´on indicada. Si su longitud de onda es λ = d, ¿puede difractarse en alguna direcci´on? e)
¿Cu´ales son la m´ınima y m´axima longitudes de onda que pueden tener los fonones en esa estructura? ¿En que direcciones se observar´ıan?
f ) ¿C´omo depender´ıa el calor espec´ıfico con la temperatura a bajas temperaturas (T ≪ θD )?
g) Calcula el n´ umero efectivo de electrones por ´atomo necesario para que el c´ırculo de Fermi de electrones libres sea tangente a la PZB. h) Si los ´atomos ejercen un potencial d´ebil sobre los electrones (electrones cuasilibres), ¿es de esperar que la teor´ıa de electrones libres sea una buena aproximaci´on si cada ´atomo aporta 1 electr´on a la conducci´on? ¿Y si cada ´atomo aporta 2 electrones a la conducci´on? Justificar las respuestas. i ) En la aproximaci´on de electrones fuertemente ligados calcular la energ´ıa electr´onica correspondiente a un nivel s (no degenerado) teniendo en cuenta la contribuci´on de primeros y segundos vecinos. Suponer despreciable la integral Z ~ = d3~r Ψ∗ (~r) Ψ(~r − R) ~ para R ~ 6= 0. α(R) 4.
Sea la estructura cristalogr´afica bidimensional de la figura adjunta: a) Dibujar unos vectores base primitivos para esa estructura. Indicar sus componentes en un sistema de coordenadas indicado. b) Calcular los correspondientes vectores base rec´ıprocos, ~bi , y describir la
y RX
a a a
x
red rec´ıproca. c) Dibujar las tres primeras zona de Brillouin. d ) Sobre√esa estructura incide un haz de rayos x en la direcci´on indicada. Si su longitud de onda es λ = d 3, ¿puede difractarse en alguna direcci´on?
2
e)
¿Cu´ales son la m´ınima y m´axima longitudes de onda que pueden tener los fonones en esa estructura? ¿En que direcciones se observar´ıan?
f ) Calcular el n´ umero efectivo de electrones por ´atomo necesario para que el c´ırculo de Fermi de electrones libres sea tangente a la PZB. g) Si los ´atomos ejerciesen un potencial d´ebil sobre los electrones (electrones cuasilibres), ¿es de esperar que la teor´ıa de electrones libres sea una buena aproximaci´on si cada ´atomo aporta 1 electr´on a la conducci´on? ¿Y si cada ´atomo aporta 2 electrones a la conducci´on? Justificar las respuestas. h) En la aproximaci´on de electrones fuertemente ligados calcular la energ´ıa electr´onica correspondiente a un nivel s (no degenerado) teniendo en cuenta la contribuci´on s´olo de primeros vecinos. Suponer despreciable la integral Z ~ = d3~r Ψ∗ (~r) Ψ(~r − R) ~ para R ~ 6= 0. α(R) i ) Representa ε(~k) a lo largo de las direcciones (kx , 0) y (0, ky ). ¿Se anula la pendiente de ε(~k) en las correspondientes fronteras de la PZB? 5.
Dar ordenes de magnitud para las siguientes cantidades en cristales. a) Velocidad del sonido. b) Conductividad t´ermica. c) Resistividad el´ectrica en metales. d ) Frecuencia ciclotr´on en semiconductores. e)
6.
Magnetizaci´on de saturaci´on en ferromagn´eticos.
Responder las siguientes cuestiones razonando brevemente las respuestas. a) Un cristal difracta un haz de rayos x para un ´angulo de incidencia de 45o cuando su temperatura es de 20 o C. Si su temperatura se eleva hasta 150 o C, el ´angulo de difracci´on ¿aumenta o disminuye? b) ¿Qu´e se puede afirmar de un s´olido duro, quebradizo y de alto punto de fusi´on que no conduce la electricidad salvo cuando se funde? c) Seg´ un la Ley de Wiedemann-Franz a mayor conductividad t´ermica mayor conductividad el´ectrica pero el diamante es un excelente conductor del calor y aislante el´ectrico. ¿C´omo se explica esto?
7.
Discutir (brevemente) la veracidad de las siguientes afirmaciones: ˚: a) Cuando un cristal monoat´omico se ilumina con rayos x de longitud de onda 1.5 A (i) La m´axima separaci´on entre planos reticulares capaces de producir difracci´on es 3 ˚ A. (ii) La m´ınima separaci´on entre planos reticulares capaces de producir difracci´on es 0.75 ˚ A. b) Para los modos ac´ usticos en un cristal: (i) La m´axima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la rigidez del enlace cristalino (ii) La m´ınima longitud de onda de una onda viajera es tanto mayor cuanto mayor sea la masa de los ´atomos del cristal. c) Cuando se aplica un campo magn´etico a un cristal conductor, un electr´on se mueve, en la direcci´on del campo, con velocidad constante.
8.
Considerar los s´olidos cristalinos NaCl, Ge y Al. ¿En cu´ales se podr´ıa observar lo siguiente? Justificar brevemente las respuestas. a) Estructura electr´onica de bandas verificando ǫ(~k) = ǫ(−~k). b) Superficie de Fermi. c) Ramas ac´ usticas de fonones. d ) Ramas ´opticas de fonones. e)
Calor espec´ıfico proporcional a la temperatura en alg´ un rango de temperaturas.
f ) Calor espec´ıfico proporcional al cubo de la temperatura en alg´ un rango de temperaturas. g) Conductividad t´ermica dominada por la contribuci´on electr´onica. h) Susceptibilidad magn´etica igual a −1 en alg´ un rango de temperaturas.
3
i ) Resistividad el´ectrica que disminuye al aumentar la temperatura. j)
Magnetizaci´on permanente en alg´ un rango de temperaturas.
9.
Comparar los calores espec´ıficos reticular, electr´onico y magn´etico a 5 K y a 300 K, para un metal paramagn´etcico de espines 12 bajo un campo aplicado de 10 T. ¿Cu´al es la contribuci´on dominante a esas temperaturas? El cristal es sc monoat´omico y monovalente con par´ametro de red 4 ˚ A, TF = 50000 K y θD = 100 K.
10.
Considerar un cristal c´ ubico (par´ametro a = 1,817 ˚ A) monoat´omico con los ´atomos ocupando el centro del cubo, los v´ertices y los centros de las caras. a) Describir el cristal como red m´as base de ´atomos. Dar unos vectores primitivos y las coordenadas de ˆ posici´on de los ´atomos de la base asociada con respecto a unos ejes cartesianos ˆı, ˆ, k. b) Suponiendo que la estructura es compacta, calcular el radio de los ´atomos. ¿Es realista la existencia de un cristal con estas caracter´ısticas? c) Un haz policrom´atico de rayos x, con 1.997 ˚ A ≤ λ ≤ 2.111 ˚ A, incide sobre el cristal en la direcci´on (1,1,1). Determinar si se producir´an picos de difracci´on, para qu´e longitudes de onda y en qu´e direcciones. ¿Podr´ıa el factor de estructura de la base anular alguno de los m´ aximos? d ) Si cada ´atomo aporta un electr´on a la conducci´on, en la aproximaci´on de potencial peri´odico d´ebil, discutir el car´acter conductor o aislante del cristal y el n´ umero m´ınimo de bandas total o parcialmente ocupadas.
11.
Describir brevemente c´omo es la dependencia con la temperatura de la resistividad el´ectrica ρ(T ) de un metal, un semimetal, un semiconductor intr´ınseco, un semiconductor dopado y un superconductor.
12.
Discutir brevemente las diferencias entre:. a) Materiales paramagn´eticos, diamagn´eticos y ferromagn´eticos. b) Materiales superconductores de tipo I y de tipo II.
13.
Discutir brevemente la veracidad de las siguientes afirmaciones: a) En el modelo de electrones cuasilibres la relaci´on de dispersi´on electr´onica siempre presenta un gap de energ´ıa sobre las fronteras de la PZB. b) En el modelo de electrones cuasilibres la relaci´on de dispersi´on electr´onica siempre presenta un gap de energ´ıa sobre el vector de onda de Fermi. c) La interacci´on de intercambio tiende a alinear entre si los momentos magn´eticos de un material. d ) En un material ferromagn´etico la interacci´on cl´asica entre los momentos magn´eticos de dos iones vecinos es despreciable frente a la interacci´on de intercambio y no da lugar a efectos apreciables sobre la magnetizaci´on. e)
En un semiconductor intr´ınseco, cuando kB T es mucho mayor que el gap de energ´ıa, la resistividad depende de la temperatura de manera similar a como lo hace en un metal.
