apunte sedimentacion 2010

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT DEPARTAMENTO DE INGENERIA

APUNTE OPERACIONES DE SEPARACION Y CONCENTRACION

CARRERA: PROFESOR:

Ingeniería Civil Metalúrgica Aldo Quiero Gelmi

2010

INDICE Pagina

ESPESAMIENTO. Capitulo 1: INTRODUCCIÓN, DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN 1.1 1.2

Descripción de una suspensión en sedimentación. Parámetros de Sedimentación.

Capitulo 2: BALANCE DE MASA EN UN ESPESADOR CONTINUO EN ESTADO ESTACIONARIO: MÉTODOS CLÁSICOS DE DISEÑO DE ESPESADORES 2.1 2.2

Ecuación de Mishler Método de Coe y Clevenger

Capitulo 3: MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN MODELOS CINEMÁTICAS 3.1 3.2 3.3 3.4

Teoría de sedimentación de Kynch Análisis de la curva de sedimentación Diseño de espesadores continuos basado en la teoría de sedimentación discontinua de Kynch Método de diseño de espesadores basado en el proceso de sedimentación continua de Kynch

Capitulo 4: TEORÍA FENOMENÓLOGICA DE LA SEDIMENTACIÓN DE SUSPENSIONES FLOCULADAS 4.1 4.2

Introducción Método de Diseño de Espesadores de Adorjan

BIBLIOGRAFÍA

1 5 8

11 11 12

16 16 19 21 23

26 26 26

33

INDICE Pagina

ESPESAMIENTO. Capitulo 1: INTRODUCCIÓN, DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN 1.1 1.2

Descripción de una suspensión en sedimentación. Parámetros de Sedimentación.

Capitulo 2: BALANCE DE MASA EN UN ESPESADOR CONTINUO EN ESTADO ESTACIONARIO: MÉTODOS CLÁSICOS DE DISEÑO DE ESPESADORES 2.1 2.2

Ecuación de Mishler Método de Coe y Clevenger

Capitulo 3: MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN MODELOS CINEMÁTICAS 3.1 3.2 3.3 3.4

Teoría de sedimentación de Kynch Análisis de la curva de sedimentación Diseño de espesadores continuos basado en la teoría de sedimentación discontinua de Kynch Método de diseño de espesadores basado en el proceso de sedimentación continua de Kynch

Capitulo 4: TEORÍA FENOMENÓLOGICA DE LA SEDIMENTACIÓN DE SUSPENSIONES FLOCULADAS 4.1 4.2

Introducción Método de Diseño de Espesadores de Adorjan

BIBLIOGRAFÍA

1 5 8

11 11 12

16 16 19 21 23

26 26 26

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Capitulo 1: INTRODUCCIÓN, DEFINICIÓN, EQUIPOS Y OPERACIÓN(1). Espesamiento es la operación de separación de parte del líquido de una suspensión para obtener un producto más denso y un flujo de líquido puro. El objetivo del proceso puede enfocarse en obtener una pulpa de descarga más densa o en recuperar el líquido de la suspensión. En el primer caso se habla de espesamiento y en el segundo se usa el término clarificación. El mecanismo clásico del espesamiento es la sedimentación bajo la fuerza de gravedad. La operación se realiza industrialmente en espesadores, esto es, en estanques cilíndricos donde a la suspensión se le permite sedimentar. Se alimenta la suspensión en la parte superior y en el centro del estanque y se permite su salida por dos aberturas, una en el centro y fondo y otro en la periferia y parte superior del estanque. La abertura del fondo descarga la pulpa y el vertedero de la periferia elimina el líquido limpio que rebalsa. Una rastra, accionada desde un eje en el centro del estanque, lleva el material sedimentado hacia la abertura de descarga. Espesadores pequeños tienen fondo plano, pero generalmente el fondo tiene una pequeña inclinación hacia el centro, lo que ayuda a descargar el producto.

Fig. 1.1.1: Feedwell de dos entradas y rastra de tracción central (Dorr-Oliver).

Fig. 1.1.2: Rastra de tracción periférica (Eimco Process Equipment)

Operaciones de Separación y Concentración Concentración IN-796. Profesor: Aldo Iván Quiero Quiero Gelmi. Departamento Departamento de Ingeniería. Universidad Arturo Prat

2

De acuerdo a Coe y Clevenger (2) (1916), se distinguen cuatro zonas en un espesador convencional continuo. En la parte superior está la zona de líquido claro, que denotaremos por zona I. Este líquido, que ha sido separado de la suspensión, es recuperado en el rebalse. Cuando el material de alimentación contiene muchas partículas finas, la zona I puede ponerse turbia, a menos que se le agregue un reactivo químico para flocular los finos. En este último caso, se forma una interface nítida en la parte inferior de la zona I. El espesor de la zona I depende de la cantidad de floculante agregado. Es precisamente de esta manera que la profundidad de líquido claro es controlada en un espesador industrial y se le mantiene a un mínimo de 0.5 a 1 metro para una operación segura. Cuando la zona I es invadida por partículas sólidas se dice que el espesador se rebalsa. Bajo el líquido claro está la zona II, denominada zona de sedimentación obstaculizada. Ella consiste en pulpa de concentración uniforme que sedimenta a velocidad constante. De acuerdo a Coe y Clevenger (2) (1916), la concentración de esta zona es la misma que la de la alimentación,

pero Coming et al(3) (1954) reconocieron que esto no siempre es así y que, en la mayoría de los

casos, la alimentación se diluye al entrar al espesador. Coming(3) informa de muchos experimentos que prueban que en una operación normal, la concentración de la zona II depende del flujo de sólidos en la alimentación más que su concentración. La concentración en esta zona es pequeña si el flujo de sólidos de alimentación es pequeño y aumenta cuando éste aumenta, llegando a un máximo cuando el sólido sedimenta a la máxima velocidad posible en esta zona. Si se alimenta sólido en exceso sobre este flujo máximo, la concentración de la zona II continuará siendo la misma que corresponde al flujo máximo y el exceso de sólido no sedimentará a través de la zona II sino que pasará a la zona I y será eliminado junto al líquido de rebalse. Comings(3) también reporta que si la concentración de la alimentación supera la concentración máxima mencionada para la zona II, la concentración en esta zona será la de la alimentación y la capacidad de sedimentación de la zona II aumentará. Debajo de la zona II hay una región que contiene un gradiente de concentración y que designaremos como zona III y llamaremos zona de transición porque lleva la concentración desde el valor constante de la zona II al valor que tiene en el sedimento. No está claro si esta zona realmente existe en todos los casos. Algunos investigadores como Comings et al(3) (1954), Fitch

y Stevenson(4) (1977) y Eklund y Jernqvist(5) (1975) simplemente ignoran esta zona mostrando un abrupto cambio de concentración entre la zona II y el sedimento. Finalmente, en la parte inferior del espesador está la zona IV de sedimento, también conocida como zona de compresión. Ella consiste en pulpa espesa en que los flóculos, que descansan unos sobre los otros formando una red, ejercen presión sobre los inferiores debido a su peso, dando origen a un gradiente de presión. Este gradiente de presión origina, a su vez, un gradiente de concentración. Coming et al(3) (1954) divide la zona IV en una zona superior de compresión con las características mencionadas y una zona de acción de las rastras , en que el movimiento de éstas permite un incremento de la concentración lográndose un segundo gradiente de concentración.

La concentración de la descarga es la concentración de la parte inferior de la zona de compresión. Ella depende de la altura de esta zona porque una mayor altura implica mayor peso de sólidos soportados por la red de flóculos, o esqueleto sólido, produciendo un mayor gradiente de presión

Operaciones de Separación y Concentración IN-796. Profesor: Aldo Iván Quiero Gelmi. Departamento de Ingeniería. Universidad Arturo Prat

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y, por lo tanto, un mayor gradiente de concentración. El tiempo de retención de la pulpa en el espesador también ha sido mencionado como causa de diferentes concentraciones de la descarga, para una misma altura de sedimento (Coming et al 1954(3)).

Fig. 1.1.3: Esquema de las zonas de sedimentación presentes en un espesador industrial, según Coe y Clevenger (1916).

Fig. 1.1.4: Resultados obtenidos en Espesador Piloto. Quiero A. (1994) El espesor de cada zona en un espesador depende de las características de sedimentación de la

(2) (1916) definen la capacidad de tratamiento de cada zona como la pulpa. Coe y Clevenger cantidad de sólidos que pasan de esa zona a la siguiente por unidad de área y de tiempo. Ellos razonaban que la velocidad de sedimentación es una función de la concentración de la pulpa y, por lo tanto, también lo será la capacidad de tratamiento. Si no pasa sólido al rebalse, en el estado estacionario, el mismo flujo de sólidos debe pasar por todas las zonas del espesador. Esto


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significa que aquellas zonas con menor capacidad de tratamiento crecerán a expensas de las zonas con mayor capacidad de tratamiento. Diremos que un espesador se rebalsa si partículas sólidas pasan de la zona II a la zona I. De acuerdo a Dixon(7) (1979), hay tres maneras en que un espesador se puede rebalsar. Ya hemos discutido dos de ellas, esto es, aquella en que las partículas finas pasan al rebalse por falta de floculante y cuando se alimenta un espesador más allá de su capacidad. La tercera corresponde a una operación normal del espesador y ocurre cuando la alimentación del espesador es mayor que la descarga. En este caso el sólido en exceso se acumula en el equipo y eventualmente comienza a emerger en el rebalse. Cuando, debido a cambios en la concentración de sólidos de la alimentación, la concentración de la descarga disminuye, es posible llevarla a su valor original controlando el flujo de descarga. Este, a su vez, se controla manipulando la bomba de velocidad variable de la descarga, cuando ésta existe, o cambiando anillos en la abertura de descarga cuando ésta es por gravedad. El resultado es que, al disminuir el flujo de descarga, la altura del sedimento crece en el espesador por acumulación de sólidos, aumenta el gradiente de presión y, como consecuencia, el gradiente de concentración. Lo opuesto sucede cuando el flujo de descarga es aumentado. Estos efectos son utilizados para el control de espesadores.

La Figura 1.1.5 resume las variables que describen el comportamiento y permiten el control de un espesador. F y φF son el flujo másico y la concentración de sólidos en la alimentación al espesador, QD y φD son el flujo volumétrico y la concentración de sólidos en la descarga, QR es el flujo volumétrico de líquido en el rebalse, Qfl es el flujo volumétrico de floculante, FF es la distribución de tamaño en las partículas de la alimentación y ha y hs son las alturas, o profundidades, de líquido claro y sedimento respectivamente.

Figura 1.1.5: Variables en un espesador continuo.


5

1.1

Descripción de una suspensión en sedimentación.

Cuando una suspensión de partículas iguales sedimenta en una columna con fondo cerrado, se puede distinguir las siguientes etapas en el proceso: 1.

Antes de comenzar la sedimentación la concentración de la suspensión es constante en todo el volumen de la columna.

2.

Debido a la sedimentación de las partículas, se forma una interface agua-suspensión en la parte superior de la columna. La velocidad con que desciende esta interface al comienzo del proceso es lo que se denomina velocidad inicial de sedimentación .

3.

Las partículas que sedimentan se acumulan en el fondo de la columna y tendrán una concentración mayor que la de la suspensión original. Se forma así una interface suspensión-sedimento que sube por la columna a medida que se acumula mayor cantidad de material.

4.

Dentro del material en sedimentación cualquier nivel de coordenada fija aumentará su concentración con el tiempo, lo que significa que un lugar de concentración determinada que al comienzo se encontraba cerca del fondo de la columna se desplazará posteriormente a regiones superiores. Podríamos decir que cada concentración se propaga en la columna como una onda de concentración constante a una velocidad determinada.

5.

En un instante determinado la interface agua-suspensión se encontrará con la interface suspensión-sedimento constituyendo lo que se denomina instante crítico. Las coordenadas de la interface en este instante reciben el nombre de coordenadas críticas , y ellas definen el punto crítico de la sedimentación.

6.

Si el material es incompresible, esto es, si después del instante crítico no hay cambio de concentración en el sedimento, la sedimentación cesa. Esta condición raramente se cumple en el espesamiento de suspensiones industriales, pero si puede ser observada en la sedimentación de pequeñas esferas vidrios (Shannon y Tory 1966(7)).

7.

Las suspensiones de partículas minerales tienen un comportamiento semejante al descrito en 6. cuando cada partícula está bien dispersa en la fase continua. Estas partículas son tan finas que su velocidad de sedimentación es muy pequeña. Para acelerar el proceso de sedimentación las partículas son floculadas. Cada flóculo puede ahora ser considerado una partícula y como el tamaño ha crecido también lo ha hecho la velocidad de sedimentación. Sin embargo, estas nuevas partículas mantienen una cierta cantidad de agua al formar el sedimento, la que sólo puede ser exprimida de él. Este fenómeno se produce por la presión ejercida sobre los flóculos por el material que sobre ellos descansa. En este caso la sedimentación continúa más allá del instante crítico a una velocidad reducida que recibe el nombre de consolidación . Como la concentración del sedimento en una determinada posición dependerá de la cantidad de agua que expulse, y ésta dependerá del peso que soporte el material en esa posición, es obvio que las capas inferiores que soportan todo el peso del sedimento serán más concentradas que las capas superiores de


6

éste. Es así como en el sedimento se establecerá un gradiente de concentración que tomará un valor constante en el equilibrio final. Si se grafica la posición de las interfaces de la suspensión en función del tiempo se obtienen las curvas de la Figura 1.1.6.

Figura 1.1.6: Suspensión en sucesivas etapas de sedimentación. 1) Suspensión de concentración constante, 2) agua, 3) suspensión en sedimentación, 4) sedimento en consolidación y 5) sedimento en equilibrio final.

Fig. 1.1.7: Gráfico de posición de las interfaces versus tiempo para el proceso de sedimentación de la Figura 1.1.6.


7

Ejemplos de Determinación de Velocidad de Sedimentación en Curvas de Sedimentación Discontinua.

Fig. 1.1.8: Curva de Sedimentación para una suspensión floculada, con φ0=0.025




8

1.2

Parámetros de Sedimentación.

Ecuación de Richardson y Zaki.(13) La ecuación propuesta por Richardson y Zaki(13) en 1954, para describir el comportamiento de un mineral es la siguiente: vs

= v ∞ (1 − φ) n

(1.2.1)

donde v∞ y n son dos parámetros ajustables. Esta ecuación es valida cuando la concentración es menor que la crítica, es decir, cuando no tenemos un proceso de sedimentación del tipo obstaculizado. Como podemos ver esta ecuación se ajusta cuando existe régimen de Kynch, por lo tanto será utilizada en los métodos de diseño que suponen este régimen. Descripción del método. 1.-

2.3.-

Realizar ensayos de sedimentación discontinua con la suspensión en una probeta, intentando cubrir el rango más amplio posible de concentraciones. En cada caso se debe calcular la velocidad de sedimentación inicial. En forma alternativa se puede realizar un sólo ensayo, a una concentración intermedia, y determinar la velocidad de sedimentación y la concentración correspondiente por el método de Kynch. Con los pares de datos generados en el paso 1, graficar log(vs) v/s log(1-φ), tal como se muestra en la Figura 1.1.11. Ajustar a una línea recta todos los pares de datos que estén en régimen de Kynch, es decir, que su concentración sea menor que la crítica.

Figura 1.2.1cua: Método de Richardson y Zaki (1954) para ajustar la velocidad de sedimentación de una pulpa para una concentración de sólidos φ.


9

Concentración Crítica (φc).(19) Como ya se mencionó anteriormente, las suspensiones se comportan idealmente, siguiendo la teoría de Kynch, cuando no existe contacto permanente entre los flóculos. En esas condiciones la velocidad de sedimentación depende únicamente de la concentración local de sólidos. Llamamos fracción volumétrica crítica de sólidos o simplemente concentración crítica φc a la concentración de sólidos que separa un cambio de régimen de la sedimentación. Para concentraciones mayores que la crítica, el proceso de sedimentación es del tipo obstaculizado, y está caracterizado porque no existe contacto permanente entre los flóculos. En el segundo caso, en que la concentración es mayor que la crítica, el proceso es una sedimentación con compresión y recibe el nombre de consolidación, donde existe un contacto permanente entre los flóculos. En el primer régimen las suspensiones siguen la teoría de Kynch mientras en el segundo no lo hacen. Como algunos métodos de diseño que utilizaremos posteriormente suponen que la sedimentación ocurre en régimen de Kynch, es importante disponer de un método que nos permita determinar la concentración crítica de una suspensión. Aunque existen varios métodos en la literatura que pretenden detectar en forma clara la concentración crítica, intentando determinar el cambio de régimen; desafortunadamente, la mayoría se caracteriza porque no existe una visión clara del punto de transición. Este método se basa en la adaptación de la ecuación de Richardson y Zaki(13) (1954) para la velocidad de sedimentación, v s (φ) = v ∞ (1 − φ)

n

donde v∞ y n son dos parámetros ajustables. El método que usaremos, propuesto por Michaels y Bolger (19) (1962), permite la identificación con exactitud apropiada de la concentración crítica. La ecuación propuesta es la siguiente: 4.65

 φ   v s (φ) = v ∞ 1 − φ  m  donde v∞ y φm son dos parámetros ajustables.

(1.2.2)

Descripción del método. 1.-

2.-

Realizar ensayos de sedimentación discontinua con la suspensión en una probeta, intentando cubrir el rango más amplio posible de concentraciones. En cada caso se debe calcular la velocidad de sedimentación inicial. En forma alternativa se puede realizar un sólo ensayo, a una concentración intermedia, y determinar la velocidad de sedimentación y la concentración correspondiente por el método de Kynch. Con los pares de datos generados en el paso 1, graficar v1s/ 4.65 v/s φ, tal como se muestra en la Figura 1.1.12.


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3.-

El valor de φc será aquel valor de φ en que el gráfico deja de ser una línea recta, ya que en ese punto deja de existir una relación única entre la velocidad de sedimentación y concentración. Es decir, si efectuásemos otras pruebas discontinuas, con otros valores iniciales de altura de la suspensión en la probeta, justamente en este valor los datos experimentales se separarían, existiendo una curva diferente por cada altura inicial considerada.

Figura 1.1.12: Método de Michaels y Bolger (19) (1962) para determinar la concentración crítica de sólidos φc.


11

Capitulo 2: BALANCE DE MASA EN UN ESPESADOR CONTINUO EN ESTADO ESTACIONARIO: MÉTODOS CLÁSICOS DE DISEÑO DE (1) ESPESADORES . Ecuación de Mishler.(8)

2.1

La primera ecuación para predecir la capacidad de un espesador fue propuesta por Mishler (8) en 1912 y corresponde a un simple balance macroscópico de masa en el equipo. Consideremos un espesador en el estado estacionario, tal como se muestra en la Figura 2.1.1. Usando las variables que Mishler plantea en su estudio, realiza un balance de sólidos y líquido obteniendo:

Figura 2.1.1: Balance macroscópico de masa en un espesador continuo. Sólido : F= D Líquido : F D F = D DD + R

(2.1.1) (2.1.2)

donde F y D son los flujos másicos de sólido en la alimentación y la descarga respectivamente, R es el flujo másico de líquido en el rebalse y DD y DF son las diluciones de la alimentación y descarga. Dilución es una medida de concentración que consiste en la razón de la masa de líquido a la masa del sólido. Entonces: R = F (DF -DD ) El flujo volumétrico de agua, QR , eliminado del espesador será: Q R =

R

=

− DD ) ρf

F( D F

ρf donde ρf es

(2.1.3)

(2.1.4)

la densidad del líquido. De acuerdo a Mishler (8) (1912) el flujo de líquido en el

rebalse por unidad de área del espesador, QR /S, debe ser igual a la velocidad de formación de la capa de líquido en un ensayo de sedimentación continua con la misma pulpa, a la concentración de la alimentación. Como esta velocidad es igual a la velocidad de descenso de la interface líquido-suspensión en un ensayo discontinuo, que denotaremos por σI(DF), podemos escribir:


12

σI (DF ) =

F( D F

− DD )

(2.1.5)

ρf S

y el área requerida para tratar un flujo de alimentación F es: S=

F( D F

− DD )

(2.1.6)

ρf σ I ( D F )

donde S es el área del espesador, F es el flujo másico de alimentación, DF y DD son las diluciones de la alimentación y la descarga respectivamente, y σI(DF) es el valor absoluto de la velocidad de descenso de la interface líquido-suspensión en una prueba de sedimentación discontinua con una suspensión de dilución DF igual a la de la alimentación. Mishler (8) uso las unidades de F en [toneladas cortas/día], de

σI en [pies/min] y de ρf en

[lb/ft3] y obtuvo S en [pies2] S = 0. 0222

F( D F

− DD )

ρf σ I ( D F )

,

pies2

(2.1.7)

Método de Coe y Clevenger.(2)

2.2

Como ya hemos discutido, Coe y Clevenger (2) (1916) distinguían cuatro zonas en un espesador continuo en el estado estacionario, cada una con concentración diferente. Por esta razón ellos proponen utilizar la ecuación de Mishler para cada dilución Dk presente en el espesador (ellos no mencionan a Mishler como proponente de la ecuación que utilizan) y encontrar la mínima capacidad de tratamiento de sólidos F/S en la columna de sedimentación. Entonces, de la ecuación (2.1.5):

 ρ f σ I ( D F )   F  min  = min    S  D K  ( D K − D D ) 

(2.2.1)

Coe y Clevenger usaron las unidades de F en [lb], de ρf en [lb/ft3], de S en [pies2] y de

σI en

[pies/hr], para dar:

 ρ f σ I ( D F )   F  min  = min 62.35 , ( D K − D D )   S  D K 

 lb   hrft 2 

(2.2.2)

definiendo el Area Unitaria Básica AUo como el recíproco de la capacidad mínima de tratamiento de sólidos, podemos escribir de acuerdo a Coe y Clevenger (2):

AU o

 D − D  = max  k D  , D  ρ f σ I ( Dk ) 

DD

< D k < D F

(2.2.3)

K


13

Taggart(9) (1927) usa el valor de ρf en [lb/ft3] y las unidades de σI en [pies/hr], dando AUo en [pies2/ton corta/día]

AU o

  D − D   pie 2 = max 1.33 k D  ,   D  ρ f σ I ( Dk )   toncorta/día 

(2.2.4)

K

Para referencia futura expresaremos la ecuación (2.2.3) en términos de la fracción volumétrica de sólidos φ. Como la dilución está dada por: D=

ρf (1 − φ) ρsφ

(2.2.5)

el área unitaria AUo resulta

AU o

  1 1   1  −   , φ F ≤ φ k < φ D = max  φ  ρ s σ I (φ k )  φ k φ D  

(2.2.6)

K

La ecuación (2.2.6), que da el área unitaria de un espesador basada en los resultados de varios ensayos de sedimentación discontinua en el laboratorio, la denominaremos Ecuación de Mishler y el método de diseño basado en ella lo denominaremos Método de Coe y Clevenger . Si se seleccionan las siguientes unidades ρs en [gr/cm3], σIen [cm/s] y AU o en [m2/TPD] (tons métricas/24hrs) resulta:

1.1574 *10 −3  1 1   m 2   −  ,  AU o = max   φ ρ σ ( φ )  s I k  φ k φ D   TPD 

(2.2.7)

K

La expresión (2.2.7) será la que en secciones posteriores denominaremos ecuación de Coe y Clevenger.

Descripción del método para el diseño de un Espesador. Se realizan pruebas de sedimentación a diferentes concentraciones φk , comprendidas entre las concentraciones de alimentación y descarga del espesador a diseñar. 2.Registrar para diferentes tiempos la altura de la interface agua-suspensión. 3.Graficar la altura de la interface en el tiempo de sedimentación. 4.Calcular para cada prueba la velocidad inicial de sedimentación vs. 5.Definir la concentración φD deseada en la descarga del espesador. 6.Con estos datos, calcular el área unitaria mediante la ecuación (2.2.7). 7.Elegir el área unitaria mayor obtenida. 8.El área unitaria del espesador se obtiene utilizando un coeficiente de seguridad de un 25%, AU = 1.25 AUo. 9.El área total del espesador es el producto del área unitaria calculada, con el tonelaje de sólidos que se desee tratar por día. 1.-


14

Cálculo de la Altura del Espesador. De acuerdo a Coe y Clevenger (2) (1916), cuando la concentración de la descarga está en el rango de la sedimentación obstaculizada, la altura del espesador es irrelevante, excepto para permitir un adecuado espacio para el líquido claro y para absorber fluctuaciones del flujo de alimentación. Por otra parte, cuando la concentración de la descarga está en el rango del sedimento, se debe proveer suficiente altura al espesador para que, dada una cierta área, exista un volumen de equipo para permitir un tiempo de retención suficiente de la pulpa en compresión para llegar a la concentración deseada. Para hacer el cálculo se estima, primero, a partir de la curva de sedimentación, el tiempo t* necesario para que la suspensión en la experiencia de sedimentación discontinua en el laboratorio llegue a la concentración deseada en la descarga. De acuerdo con la nomenclatura de la Figura 2.2.1, t* es el tiempo necesario para que: zD

= zo

φo φD

Luego se divide t* en "n" intervalos iguales, de duración

(2.2.8)

∆ti=t*/n es decir, el método considera

los intervalos dados por ∆t1=[0,t1]; ∆t2=[t1,t2]; ......; ∆tn=[tn-1,tn-2] (en su artículo original Coe

y Clevenger (2) considera 4 intervalos de este tipo para un ejemplo de cálculo, aunque no consideran ∆ti estrictamente constantes por conveniencia numérica). Luego se calcula la altura necesaria en el espesador para que la pulpa pase desde una concentración φi-1 a φi, dándole a la pulpa el volumen necesario para ello, es decir, el volumen Vi=S*hi.

Figura 2.2.1: Método de Coe y Clevenger para determinar la altura del espesador.


15

Se considera que la concentración durante este período es igual a la concentración media φ i = ( φi −1 + φi ) / 2. Así, esta altura está dada por: hi

=

Vi S

=

F∆t i

ρi S

=

1 AU

∆t i 1 + (ρs − 1) φ i

por lo tanto n

h=

∑h i =1

i

=

∆t ∑ AU 1 + (ρ − 1) φ 1

n

i

i =1

s

(2.2.9) i


16

Capitulo 3: MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN MODELOS CINEMÁTICOS (1) El desarrollo de la teoría de Kynch(10) en 1952 abrió de inmediato un nuevo campo de investigación, el de la búsqueda de un nuevo método más rápido y más preciso para el diseño de espesadores. Varios investigadores se involucraron en esta búsqueda y sus nombres han quedado asociados a métodos de diseño de espesadores.

3.1

Teoría de Sedimentación de Kynch.(10)

Consideremos una mezcla de partículas sólidas en un líquido que satisface las siguientes

propiedades (Kynch(10) 1952): 1.2.3.4.-

las partículas sólidas son pequeñas (con respecto al contenedor) y del mismo, tamaño, forma y densidad, los componentes sólido y líquido de la mezcla son incompresibles, no hay transferencia de masa entre los componentes, la velocidad de sedimentación en cada punto de la suspensión es una función de la concentración local de partículas solamente.

Una mezcla tal se denomina suspensión ideal (Shannon y Tory(7) 1966) y puede ser considerada como un medio continuo formado por la superposición de dos medios continuos incompresibles, uno del sólido y uno del líquido (Bustos y Concha(11) 1988b, Concha y Bustos(12) 1991). La concentración φ de la suspensión es, en general, una función de las tres coordenadas del espacio y del tiempo, pero en el caso de la sedimentación discontinua, una columna de sedimentación se define como una vasija vertical de sección transversal constante sin roce en la pared. Por ello la concentración de partículas es constante en cada sección transversal y las variables de campo son funciones de una sola coordenada espacial y del tiempo. Llamando z a la coordenada vertical en la dirección contraria a la gravedad y t al tiempo, la sedimentación gravitacional de una suspensión ideal en una columna de sedimentación se puede describir mediante las siguientes variables: la fracción volumétrica de sólidos φ(z,t) y la densidad de flujo de sólidos f (φ ( z , t ) ) . Estas dos variables de campo constituyen un Proceso de Sedimentación de Kynch (KSP) si, para cada z y t>0 ellas obedecen las siguientes ecuaciones (Kynch(10) 1952, Bustos y Concha(11) 1988b, Concha y Bustos(12) 1991) en las regiones donde las variables son suaves:

∂φ ∂ + (f (φ) ) = 0 ∂t ∂z bk

(3.1.1)

y en las discontinuidades ellas satisfacen las condiciones de Rankine-Hugoniot o condiciones de salto y las condiciones de entropía de Lax:

σ( φ + , φ− ) =

fbk ( φ + ) − f bk ( φ − )

φ+ − φ−

(3.1.2)


17

f k ( φ − ) ≥ σ( φ + , φ − ) ≥ f k ( φ+ )

(3.1.3)

donde f bk (φ)=φvs es la densidad de flujo de sólidos ajustada por una ecuación válida para la teoría de Kynch, σ(φ+,φ-) es la velocidad de propagación de la discontinuidad de concentración φ + en el frente y φ- en la parte de atrás. La desigualdad (3.1.3) establece cuales son las discontinuidades admisibles en la suspensión. Una discontinuidad se denomina una onda de choque si la condición de entropía de Lax se satisface estrictamente. Si se cumple alguna de las igualdades, la discontinuidad se llama discontinuidad de contacto . El proceso cinemático queda completamente definido una vez que se ha postulado una ecuación constitutiva para la función f(φ) y se han establecido las condiciones de contorno para φ. Una gran mayoría de los experimentos de sedimentación discontinua son representados por una función de densidad de flujo f bk (φ) con un punto de inflexión, tal como la que propone

Richardson y Zaki(13) (1954). Como un ejemplo, considere el caso de una suspensión descrita por una función de densidad de flujo como la de la Figura 3.1.1.

Fig. 3.1.1: Curva de densidad de flujo con un punto de inflexión

Fig. 3.1.2: Curva de sedimentación para las condiciones iniciales (3.1.5).

φ*0 es el punto en que la recta que comienza en f(φ0) es tangente a la curva f bk (φ), y φ**∞ es el punto donde la recta que comienza en φ∞ con pendiente f(φ∞), intersecta a la curva f bk (φ). donde

La ecuación (3.1.1) puede ser escrita en la forma:

∂φ ' ∂φ + f bk (φ) = 0 ∂t ∂z ' donde f bk ( φ) es la primera derivada de la densidad de flujo de concentración φ. Las condiciones iniciales para el caso elegido son: 0 , L ≤ z  φ z ( ,0) = φ 0 , 0 ≤ z ≤ L φ , z<0  ∞

(3.1.4) sólido con respecto a la

(3.1.5)


18

La solución global a la ecuación parabólica cuasi-lineal (3.1.4) con condiciones de contorno (3.1.5) se puede obtener mediante el método de características, que dice que φ es constante a lo largo de líneas características de inclinación dz/dt=f ' bk ( φ) en el plano z-t, donde dz/dt son las velocidades de las ondas de concentración constante. Las características que comienzan en el eje z son paralelas

f ' (0) dz  ' = f (φ 0 ) dt  ' f (φ ∞ )

,L≤z ,0≤z≤L ,

(3.1.6)

z<0

Estos términos pueden ser obtenidos gráficamente de la Figura 3.1.1. La velocidad de la discontinuidad σ(φ0,0), que comienza en z=L y t=0 y que separa el líquido de la suspensión de concentración inicial φ0, esta dada por:

σ( 0, φ0 ) =

f ( φ 0 ) − f (0)

φ0 − 0

=

f ( φ 0 )

φ0

= σ I ( φ0 )

(3.1.7)

Esta onda de choque también aparece en la Figura 3.1.2 y puede ser obtenida gráficamente como la pendiente de la cuerda trazada desde el punto (0,0) al (f(φ0),φ0) en la Figura 3.1.1. Otra cuerda

(

)

puede ser trazada directamente desde (f(φ0),φ0) a f (φ 0* ),φ 0* obteniéndose la discontinuidad de velocidad σ(φ0, φ*0 )

σ( φ0 , φ ) = * 0

f ( φ 0 ) − f ( φ *0 )

(3.1.8)

φ 0 − φ*0

La intersección de las dos discontinuidades de pendientes dadas por las ecuaciones (3.1.7) y (3.1.8) define el punto (z1,t1) en la curva de sedimentación, Figura 3.1.2. Extendiendo las características que emanan del eje z para 0
sedimentación. El abanico de inclinación f '(φ) se denomina onda de rarefacción. La interface líquido-suspensión, que hasta el punto (z1,t1) tenía una inclinación dada por la ecuación (3.1.7), tendrá luego inclinaciones crecientes dadas por σI(0,φ), con concentraciones φ entre φ*0 a φ∞:

σ ( 0, φ) =

f ( φ) − f ( 0)

φ−0

=

f ( φ)

φ

= σ I ( φ), φ*0 ≤ φ ≤ φ ∞

(3.1.9)


19

La intersección de la discontinuidad de pendiente σ(0,φ∞) y la característica de pendiente f ' k ( φ ∞ ) define el punto crítico (zc,tc). La pendiente de la discontinuidad que comienza en (zc,tc) y separa zonas con concentraciones constantes φ=0 y φ=φ∞ queda expresada por:

σ ( φ ∞ , 0) =

f ( 0) − f ( φ ∞ )

=0 (3.1.10) 0 − φ∞ Finalmente un balance global de masa da SLφo=Sz∞φ∞, desde la cual se puede calcular la altura final de la suspensión: z∞

3.2

=L

φ0 φ∞

(3.1.11)

Análisis de la Curva de Sedimentación Discontinua.

Consideremos un Proceso de Sedimentación Discontinuo de Kynch(10) y dibujemos una curva de sedimentación y una línea característica para la concentración φk . La línea Z-T es tangente a la curva en el punto (zk ,tk ). Como ya hemos visto, para todas las regiones de una curva de sedimentación, en que las variables son continuas, es posible obtener los parámetros de sedimentación: φ, σI(φ), f(φ) y f '(φ) en forma gráfica (ver Figura 3.2.1).

Velocidad de Sedimentación. De la solución global, ya descrita, se sabe que la velocidad de caída de la interface líquidosuspensión σI(φk ) está dada por: f ( φ k ) (3.2.1) σ( 0, φk ) = σ I ( φ k ) =

φ k

por lo tanto σI(φk ) será igual a la pendiente de la curva de sedimentación en el punto (zk ,tk ): Z (3.2.2) σ I ( φ k ) = T

Fig. 3.2.1. Análisis de la curva de sedimentación.


20

Concentración. Si Wo es el volumen de sólidos presente en la columna de sedimentación por unidad de área, el flujo de sólidos que atraviesa la onda de concentración constante φk , a medida que se mueve desde z=0 a z=zk , es: t k

W 0

= ∫ φ k [v s (φ k ) + f ' (φ k )]dt

(3.2.3)

0

donde vs(φk )=σI(φk ) es la velocidad de sedimentación de las suspensiones de concentración φk . Como a lo largo de una característica de concentración φk , la velocidad vs(φk ) y la pendiente f '(φ bk ) de la línea característica son constantes, podemos integrar la ecuación (3.2.3) directamente:

W 0

 z  = φ k  v s (φ k ) + k t k t k  

(3.2.4)

de la Figura 3.2.1. podemos observar que: Z T

=

( Z − z k )

(3.2.5)

t k

Por otra parte, como la suspensión es homogénea con concentración φo, para t=0, la cantidad de sólido por unidad de área en la columna de sedimentación será: W0=Lφ0

(3.2.6)

Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la ecuación (3.2.4) resulta:

φ k = φ0

L

(3.2.7) Z Como conclusión podemos decir que, conociendo la curva de sedimentación de un Proceso de Sedimentación Discontinua de Kynch para una determinada suspensión con concentración inicial φo y altura inicial L, se puede obtener los parámetros en forma gráfica para cualquier concentración φk de la curva. Resumiendo se puede escribir:

φ k = φ0

L Z

σ I (φ k ) = v s (φ k ) =

,

f ( φ k ) = φ 0

L T

,

f ( φ k ) = '

z k

Z T

(3.2.8)

t k


21

3.3

Diseño de Espesadores Continuos basado en la Teoría de Sedimentación Discontinua de Kynch.(10)

Como hemos visto, el método de diseño de Coe y Clevenger (2) usa la ecuación de Mishler para calcular el área unitaria básica:

  1 1  1  −  = max  φ ρ σ ( φ )  s I k  φ k φ D  donde ρs es la densidad del sólido, σI es la velocidad inicial de suspensión de concentración φk y φD es la concentración de la descarga. AU 0

(3.3.1)

K

sedimentación de una

Coe y Clevenger (2) sugirieron realizar numerosos ensayos de sedimentación discontinua en el laboratorio, con suspensiones de concentraciones en el rango desde la concentración de la alimentación al espesador a diseñar hasta aquella de la proyectada descarga, para encontrar σI(φ k ). Si la suspensión a espesar puede ser considerada una suspensión ideal, esto es, si [φk ,f(φk )] corresponde a un KSP, un sólo ensayo de sedimentación, adecuadamente elegido, puede dar toda la información necesaria para calcular el área unitaria AU0. Ver la ecuación (3.2.8). Para calcular φk y

σI(φk ), se traza una tangente en cada punto de la curva de sedimentación, y se calcula φk y σI(φk ) desde: φk = φ0

L Z

,

σ I (φ k ) =

y

Z T

(3.3.2)

donde Z y T son las intersecciones de la tangente con los ejes coordenados y L es la altura inicial de la suspensión. Ver Figura 3.2.1 Se puede desarrollar un método completamente gráfico si se observa que las ecuaciones (3.3.2) también deben cumplirse para φD (recordar que hemos supuesto que la suspensión es ideal), esto es, (ver Figura 3.2.1):

φD = φ0

L

(3.3.3)

zD

sustituyendo las ecuaciones (3.3.2) y (3.3.3) en la ecuación (3.3.1) resulta: AU 0

=

1 ρ sφ 0 L

 T ( Z − z D )   Z 

max  φ k

(3.3.4)

Por una concentración apropiada entendemos una condición inicial para el KSP que dará una curva de sedimentación continua. La mejor concentración sería aquella del punto de inflexión en la curva de densidad de flujo, ya que ésta daría un Modo de Sedimentación III (Concha y Bustos(12) 1991). Obviamente no sabemos la concentración que corresponde al punto de inflexión y, por lo tanto, deberemos hacer nuestra mejor estimación. Valores muy bajos de la Operaciones de Separación y Concentración IN-796. Profesor: Aldo Iván Quiero Gelmi. Departamento de Ingeniería. Universidad Arturo Prat

22

concentración inicial darán un Modo de Sedimentación I , lo que no daría posibilidades de trazar tangentes.

Método de Talmage y Fitch.(14) Talmage y Fitch (1955) observaron que la velocidad de sedimentación para una suspensión de concentración φk se puede expresar, en relación a la Figura 3.3.1, en la forma:

σ I ( φ k ) =

Z T

=

Z − zD tu

(3.3.5)

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (3.3.1) da: AU =

1

ρsφ 0 L

max( t u )

(3.3.6)

De la Figura 3.3.1 se puede observar que el valor máximo de tu se obtiene cuando tu coincide con tk . Denominaremos a este tiempo máximo tU: AU =

tU

ρsφ 0 L

(3.3.7)

Figura 3.3.1: Método de diseño de espesadores basado en la teoría de Kynch. El método de Talmage y Fitch(14) (1955) puede resumirse en la siguiente forma: 1.2.3.-

Realizar un ensayo de sedimentación discontinua a una concentración intermedia (ya nos hemos referido a esta concentración como la concentración apropiada). Se mide la altura inicial L. Se elige la concentración de descarga φD y se calcula la altura mediante el balance de masa zD = φ0L/φD.


23

4.-

5.6.7.-

Trazar una línea horizontal en el gráfico de sedimentación desde el punto (zD,0) y determinar el punto de intersección de esta línea con la curva de sedimentación. Esta define el punto tU. Calcular el área unitaria AU0 usando la ecuación (3.3.7). Se repite el procedimiento hasta obtener el área unitaria mayor. En aquellos casos en que la línea horizontal, trazada desde el punto (zD,0), no intersecta la curva de sedimentación (caso común para las suspensiones floculadas), la concentración límite es la concentración crítica y se debe trazar una tangente en este punto de la curva. La intersección de esta tangente con la línea horizontal define el tiempo tU.

3.4 Método de Diseño de Espesadores basado en el Proceso de Sedimentación Continua de Kynch. En esta ocasión analizamos un método de diseño de espesadores que utiliza la función de densidad de flujo continua en forma explícita. Los investigadores involucrados son: N. Yoshioka(18) y N.J. Hassett(19).

Método de Yoshioka y Hassett. Yoshioka et al(18) (1957) desarrolló un método gráfico de diseño de espesadores basado en la función de densidad de flujo continua. De la sección anterior sabemos que: f k (φ)=qφ+f bk (φ)

(3.4.1)

y que en el estado estacionario f k (φ)=f F, de manera que: f F=qφ+f bk (φ)

(3.4.2)

Resolviendo la ecuación (3.4.2) para f bk (φ) con q=qD, da como resultado: f bk (φ)=f F-qDφ

(3.4.3)

donde qD es la velocidad promedio volumétrica en la descarga. La ecuación (3.4.3) representa una línea recta con pendiente qD [qD= f ' k ( φ M )] en φ=φM y f F es la intersección de la ordenada en un gráfico de f bk (φ) versus φ. Ver la Figura 3.4.1. Por esta razón la intersección de la línea recta con el eje de ordenadas en la Figura 3.4.1 da la función densidad de flujo continua en el estado estacionario. El Area Unitaria, por supuesto, es proporcional al recíproco de la densidad de flujo de alimentación.


24

Fig. 3.4.1: Gráfico de la densidad de flujo continuo discontinua y la concentración de Yoshioka.

AU =

1 ( −ρs f F )

.

(3.4.4)

Yoshioka et al(18) (1957) y Hassett(17) (1968), en forma independiente, interpretaron el resultado de la Figura 3.4.1 de otra manera. Si se grafica la función densidad de flujo continua f k (

φ) en función de φ, en vez de la función densidad de flujo discontinua f bk (φ), se obtiene la Figura 3.4.2. Aquí la densidad de flujo de sólido, en el estado estacionario, es la línea horizontal tangente a la curva densidad de flujo continuo en su punto máximo de concentración φM. Hassett(17) (1968) se dió cuenta que había un problema de interpretación en este enfoque, porque la Figura 3.4.2 muestra que solamente son posibles dos concentraciones en el espesador, la concentración límite φM y la concentración conjugada φ ** M (ver ecuaciones (3.4.19), (3.4.21) y Figura 1.3.14). Hassett dice: "... Por lo tanto la teoría predice la ausencia de las concentraciones de alimentación y descarga en el espesador y muestra que debe haber un incremento abrupto de concentración en la descarga...". Es obvio que esta conclusión es absurda porque ella significaría que el paso de la suspensión por una serie de aberturas incrementaría su concentración haciendo que el espesador fuera un equipo innecesario. La principal objeción a estos métodos gráficos de diseño de espesadores es que utilizan la función de densidad de flujo de Kynch para valores de la concentración que están fuera de su rango de validez. Debemos recordar que la función densidad de flujo discontinua se obtiene haciendo ensayos de sedimentación con concentración inicial y que, por lo tanto, ella es válida solamente para concentraciones bajo la concentración crítica. Obviamente que la definición de la función densidad de flujo de sólidos sigue siendo válida más allá de esta concentración, pero en este rango ella no es una función de la concentración solamente.


25

Fig. 3.4.2: Gráfico de la función densidad de flujo continuo y la construcción de Yoshioka y Hassett.


26

Capitulo 4: METODO DE DISEÑO DE ESPESADORES QUE CONSIDERAN FUERZAS COMPRESIVAS (20 y 28) 4.1

Introducción.

La teoría de Kynch(10) describe bastante bien la sedimentación de suspensiones de partículas tales como esferas de vidrio y partículas minerales no floculadas. Ella predice que en la suspensión las líneas de igual concentración son líneas rectas en el plano z-t (Kynch (10) 1952,

D'Avila(21) 1976, Bustos y Concha(22) 1988a, Concha y Bustos(12) 1991). Desgraciadamente la evidencia experimental publicada sobre la distribución de concentración en las suspensiones floculadas en sedimentación discontinua no satisface este modelo (Scott(23) 1968, Been y Sills(24) 1981, Tiller et al(25) 1990). En general, la sedimentación de suspensiones floculadas, tales como las que se encuentran en la industria minero-metalúrgica, no pueden ser descritas por la teoría de Kynch debido a que la consolidación de sedimentos densos involucran fuerzas que no están contempladas en el modelo cinemático. La observación cuidadosa de la sedimentación discontinua muestra que aparecen dos zonas en una columna de sedimentación. La zona superior, que dura solamente hasta el tiempo crítico, está en sedimentación obstaculizada mientras que la zona inferior se encuentra en consolidación desde el principio hasta el final del proceso. En un espesador continuo convencional, la parte superior está siempre en sedimentación obstaculizada mientras que la parte inferior se encuentra en consolidación, de manera tal que, en este caso, los dos tipos de proceso coexisten siempre. La transición de sedimentación obstaculizada a consolidación es gobernada por la concentración de la suspensión, llamándose concentración crítica aquella por la cual se produce el cambio. Modelos que describen estos fenómenos han sido propuestos por diversos autores, entre ellos Shirato et al(26) (1970), Adorjan(27,28) (1975,1977), Concha y Bascur (29) (1977), Kos(30,31,32) (1977a, 1977b, 1980), D'Avila(21,33,34) (1976, 1978, 1982), D'Avila e Sampaio(35) (1978), Sampaio e D'Avila(36,37) (1976, 1979), Concha y Barrientos(38) (1980),

Hill et al(39) (1980), Been y Sills(24) (1981), Tiller y Khatibb(40) (1984), Buscall y White(41)

(1987), Azurais et al(42) (1988) y Bustos y Concha(11) (1988b). El trabajo de estos investigadores y el de muchos otros ha servido de fundamento para una teoría cuantitativa del espesamiento de suspensiones floculadas.

4.2

Método de diseño de Espesadores de Adorjan.(28)

A diferencia de los métodos anteriores(8,2,14,17,18) de diseño, este método calcula las dimensiones de un espesador considerando las fuerzas existentes entre las partículas de la pulpa. Cuando estas fuerzas existen, la concentración de sólido de la zona de compresión depende de la

presión de éste, por lo tanto, de la altura del sedimento en compresión. Adorjan(28) estudió este fenómeno y dice: "si una pulpa presenta fuerzas compresivas significativas, las dimensiones de un espesador no pueden ser calculadas de test de sedimentación discontinua". Para este caso se deben aplicar parámetros de compresión y permeabilidad. Adorjan, para su estudio, realizó las siguientes suposiciones:


27

(1)

Las fuerzas compresivas y la compresibilidad de la suspensión, en una capa; son definidas únicamente por la concentración de sólidos en aquella capa. El flujo es unidireccional, es decir, no existen flujos laterales ni circulatorios. La pulpa no presenta segregación de partículas o flóculos al sedimentar. El sistema no presenta perturbaciones mecánicas como agitación, barrido o vibración. Existen fuerzas de equilibrio en cualquier capa durante el transcurso del proceso de sedimentación.

(2) (3) (4) (5)

Las fuerzas que actúan en un elemento, de altura δh y sección A, de una capa de la pulpa o de un espesador son: 1.-

Fuerza efectiva gravitacional = (ρs-ρf )φgAδh.

2.-

Fuerza debida a esfuerzos de compresión del sedimento = -(dσe/dh)Aδh.

3.Fuerza debida al flujo viscoso del líquido = resistencia de la pulpa.

µKuAδh,

donde K es el coeficiente de

La ecuación de equilibrio de fuerzas para la pulpa es: (ρs − ρ f ) φg =

dσ e

(4.2.1) + µK u dh El esfuerzo efectivo de sólidos, σe, será calculado de la ecuación de Concha y Barrientos

σ e = ae bφ

(4.2.2)

y para el coeficiente de resistencia de la pulpa utilizamos la ecuación (4.2.1), con la suposición que σe=0, por lo tanto: K =

∆ρφg µu

(4.2.3)

y reemplazando la ecuación de Richardson y Zaki en la ecuación anterior K =

∆ρg φ µv ∞ (1 − φ) n

(4.2.4)

Área del Espesador. Cuando una pulpa sedimenta desde una concentración φF hasta una concentración φD, con una alimentación QF, la velocidad de agua removida Qa es:

Qa

=

 1 1   −  ρ s  φ F φ D 

QF

(4.2.5)

Por lo tanto la velocidad relativa sólido-fluido, u (calculada sobre una sección del área), es:


28

 1   − 1  ρ s A  φ F φ D  QF

u=

(4.2.6)

Sustituyendo las ecuaciones (4.2.4) y (4.2.6) en la ecuación (4.2.1)

 1   − 1  dσ Q ∆ρφg  φ F φ D  ∆ρφg = − e + F dh ρ s Av ∞ (1 − φ F ) n

(4.2.7)

La condición límite ocurre en alguna capa de concentración de sólido del espesador, cuando el peso neto del sólido en aquella capa es igual a la fuerza debida al flujo viscoso sobre la misma capa, es decir dσe/dh=0. Por lo tanto, el área del espesador es:

A=

QF

ρs v ∞

 1 1   −   φ F φ D  (1 − φ F ) n

(4.2.8)

La operación de un espesador en las condiciones críticas requiere considerar, en forma adicional, de una altura apreciable para que la pulpa pueda sedimentar, ya que cualquier incremento en la velocidad de alimentación llevará a los sólidos hasta la zona de rebalse. Por lo tanto, un espesador debería ser operado hasta una cierta fracción del flujo crítico de alimentación. Adorjan definió un factor para controlar esta condición, y lo llamó "factor de carga". Q=λQc, donde 0<λ<1

(4.2.9)

El área requerida por el espesador es

A=

QF

λρ s v ∞

 1 1   −   φ F φ D  (1 − φ F ) n

(4.2.10)

la elección de un factor de carga λ adecuado, nos dará como resultado una operación exitosa del espesador, ya que las fluctuaciones no afectan la operación eficiente, aún, en las condiciones críticas. El máximo matemático del área está dado por la concentración crítica de sólido, φc, y se determina derivando la ecuación (4.2.10) con respecto a φ, e igualándola a cero y realizando además simplificaciones llegamos a:

φ 2c −

n +1

φ Dφc +

φD

2n n las soluciones son

=0

(4.2.11)

2

n + 1  n + 1 φ  − φ D φ c =  φ ±  D D  n  2n   2n 

(4.2.12)


29

la concentración crítica de sólido se obtiene de la ecuación (4.2.12) con signo positivo. El signo negativo entrega la concentración para el área mínima. Es fácil notar que este mínimo no existe cuando D≤0 en la ecuación siguiente: 2

 n + 1 φ  − φ D D= D  n  2n 

(4.2.13)

El valor real de la concentración crítica de sólidos depende de la distribución de velocidad relativa sólido-fluido, dada por la ecuación (4.2.6) y de la relación para el coeficiente de resistencia. Sabemos que la fuerza viscosa sobre una capa elemental de pulpa es proporcional al producto de la velocidad relativa y del coeficiente de resistencia. En condiciones críticas la fuerza debida al flujo viscoso del líquido expelido de la pulpa es balanceada exactamente por el peso efectivo de los sólidos en la capa crítica. Para concentraciones de sólidos de la descarga, la resistencia específica es alta, pero; la velocidad relativa es cero, de manera tal que las condiciones críticas no aparecen aquí. El máximo matemático del área puede ser calculado sustituyendo el valor de φc en la ecuación (4.2.10). Pero, el máximo absoluto puede que no coincida con el máximo matemático del área, ya que para ciertos valores bajos de la concentración de sólidos en la descarga, el área máxima es dada por la concentración de alimentación; por lo tanto, el área requerida podría ser calculada dependiendo del valor de D en la ecuación (4.2.13). En resumen, para calcular el área de un espesador debe procederse de la siguiente manera: 1) 2) 3)

Calcular el valor de D, en la ecuación (4.2.13); Si D es negativo, el área de sedimentación se calcula de la ecuación (4.2.10), sustituyendo la concentración de sólidos de alimentación por la crítica. Si D es positivo, la concentración crítica es determinada de la ecuación (4.2.13) con signo positivo y el área es calculada de la ecuación (4.2.10) con el valor de φF=φc. Además debe calcularse el área de la ecuación (4.2.10) usando la fracción volumétrica de alimentación φF. El área final del espesador debe ser el valor mayor.

Cuando se presentan partículas no floculadas o flóculos deshechos en la alimentación, debemos asegurarnos que ellas no rebalsen. Por lo tanto, se calcula el área usando las partículas de menor tamaño. Nuevamente debe elegirse el área mayor de todas las calculadas.


30

Altura del Espesador. Derivando la ecuación (4.2.2) con respecto a la altura dσ

=

dσ dφ

= abe bφ

dφ

dh dφ dh dh sustituyendo la ecuación (4.2.14) en la ecuación (4.2.7) y ordenando dh dφ

=

abe bφ

  QJ * ∆ρφg 1 − n   ρ s Av ∞ (1 − φ F )  donde J*=(1/φF-1/φD)

= f (φ), φ > φ c

(4.2.14)

(4.2.15)

La ecuación (4.2.15) nos entrega una relación entre la concentración del sólido y su altura en el espesador. Como todos los parámetros de la ecuación anterior son variables separables, se empleará el método de Runge-Kutta de cuarto orden, cuyos valores son calculados con un incremento de fracción volumétrica de sólidos de δc k 1 = F(c j) k 2 = F(c j+δc/2) k 3 = F(c j+2δc/3) k 4 = F(c j+δc) El valor de la altura del espesador está dada por 1 (4.2.16) h j+1 = h j + ( k 1 + 3k 2 + 3k 3 + k 4 ) 8 A esta altura se le debe agregar un valor adicional para la alimentación, zona de agua clara y la base cónica que debe tener en la descarga. La altura adicional es alrededor de 1 metro.


31

Determinación de los Parámetros de Compresión de una Pulpa. Los parámetros de compresión de la pulpa, están dados por la ecuación (4.2.2), la que es conocida como la ecuación de Concha y Barrientos. Para determinar los parámetros a y b de la ecuación (4.2.2) debemos encontrar, una relación entre la concentración que presente el sedimento a diferentes alturas y la presión efectiva de sólidos en la zona de compresión, para un proceso de sedimentación continua. La relación anterior se obtiene con el siguiente desarrollo: Tomando el siguiente sistema de referencia:

Figura 4.4.1: Sistema de Referencia 1. Adorjan(28) desarrolló la ecuación de equilibrio de fuerzas (ec. 4.5.1), al reemplazar el coeficiente de resistencia dado por la ecuación (4.2.4) y recordando que u=(f-qφ)/φ(1-φ) llegamos a dσ e dZ

 f − qφ( Z)  = −∆ρg φ( Z) + n  [ ] − φ v 1 ( Z )   ∞

e integrándola se obtiene

 f − qφ( Z)  dZ σ e = −∆ρg ∫ φ( Z) + n  − φ v 1 ( Z ) [ ]   ∞

(4.2.17)

para resolver la integral de la ecuación anterior, se utilizó el método de Integración Numérica de Simpson; para aplicar este método debemos realizar el siguiente cambio de variables: Y = L - Z , por lo tanto dY = -dZ luego, el nuevo sistema de referencia es el siguiente:

Figura 4.4.2: Sistema de Referencia 2. realizando las transformaciones anteriores a la ecuación (4.2.17), obtenemos:


32

 f − qφ( Y )  φ + ( Y ) dY  n  ∫ v 1 ( Y ) [ ] − φ Y =0   ∞

Y=Y

σ e = ∆ρg

reemplazando los límites de la integral, llegamos finalmente a la ecuación siguiente:

 f − qφ(Y )  φ + ( Y ) dY  n  ∫ L  v ∞ [1 − φ( Y )] 

L−Y

σ e = ∆ρg

(4.2.18)

La ecuación (4.2.18) será el nexo entre la altura del sedimento, su fracción volumétrica y el esfuerzo efectivo del sólido, lo que nos permitirá obtener un set de datos de esfuerzo efectivo de sólidos v/s fracción volumétrica y éstos son ajustados a la ecuación (4.2.2) y obtener los parámetros de compresión de la pulpa. Para efectuar todo el procedimiento anterior se hizo un programa en lenguaje de programación Turbo Basic llamado AJCB.EXE.


33

BIBLIOGRAFIA. 1.-

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apunte sedimentacion 2010

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