APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL
Las probabilidades asosiadas con experimentos binomiales se obtiene fácilmente a partir de ña formula b(x;n,p) de la distribución binomial o de la tabla A.1 n es pequeña. La distribución de poisson se puede utilizar para aproximar probabilidades binomiales cuando n es bastante bastante grande y p esta esta muy cercene a 0 o a 1. Las distribuciones binomial y de poisson son ambas discretas. La distribución normal a menudo es una buena aproximación a una distribución discreta cuando la ultima adquiere una forma de campana simétrica. Algunas distribuciones convergen a la normal conforme sus parámetros se aproximan a ciertos límites. Un teorema que nos permitirá utilizar areas bajo las curvas normal para aproximar propiedades binomiales binomiales cuando n es suficientemente suficientemente grande. TEOREMA: si x es una variable aleatoria binomial con medida µ=np y varianza σ²=npq, entonces la forma limite de la distribución de
Conforme n→∞, es la distribución normal estándar n(z;0,1) Resulta que la distribución normal con µ=np y σ²=np (1-p) no solo ofrece una
aproximación muy precisa a la distribución binomial cuando n es grande y p no esta extremadamente cercana a 0 o a 1, sino que también brinda una aproximación bastante buena aun cuando n sea pequeña y p este razonablemente cercana a ½. Primero dibujamos el hitograma para b(x;15,0.4) y después superponemos la curva normal particular que tenga las mismas medidas y la varianza que la variable binomial X. de aquí dibujamos una curva normal con
σ²
el hitograma para b(x;15,0.4) y la curva normal superpuesta correspondiente , que esta determinada por completo por su medida y su varianza, se ilustra en la figura.
La probabilidad exacta de que la variable aleatoria bunomial X tome un valor dado x es igual al area de la barra cuya base se sentra en x. Por ejemplo La probabilidad exacta de que X tome el valor de 4 es igual al area del rectángulo con base centrada en x=4 con la tabla A.1 encontramos que esta area es
Que es aproximadamente igual al area de la región sonbreada bajo la curva normal entre las dos ordenadas x1=3.5 y x2=4.5 en la figura. Al convertir a valores z, tenemos
Si X es una variable a leatoria binomial y Z una variable normal astandar, entonces
esto coinsidebastante con el valor exacto de 0.1268
sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p. en tonses, X tiene aproximadamente una distribución normal con µ=np y σ²=npq=np(1p) y
∑
≈area bajo la curva normal a la izquierda de x+0.5
Y la aproximación será buena si np y n(1-p) son mayores que o iguales a 5. Como indicamos antes, la calidad de la aproximación es bastate buena para n grande. Si p es cercana a 1/2, un tamaño de la muestra moderado o pequeño será suficiente para una aproximación razonable. Se dan tanto la aproximación normal como las probabilidades binomiales acumuladas reales. Obserbe que en p=0.05 y p=0.1 aproximacion es bastante grueza para n=10. Sin embargo, aun para n=10, note la mejoría para p= 0.5. por otro lado, cuando p es fija en p=0.5 observe la mejoría de la aproximación conforme vamos de n=20 a n=100
DISTRIBUCIONES GAMA Y EXPONENCIAL
La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante en la teoría de colas y en problemas de confiabilidad. DISTRIBUCIÓN GAMA: la variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros α y β, si su función de densidad esta dada por
Donde α>0 y β>0
En la figura se muestran graficas de varias distribuciones gamma para ciertos valores específicos de los parámetros α y β. La distribución gamma especial para la que α=1
se llama distribución exponencial.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL: la variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función de densidad esta dada por
Donde β>0
El siguiente teorema y colorario dan la medida y la varianza de las distribuciones gamma y exponencial Teorema: La medida y la varianza de la distribución gamma son: µ=αβ
y
σ²=αβ²
Corolario: La medida y la varianza de la distribución exponencial son: µ=β
y
σ²=β²
RELACIÓN CON EL PROCESO DE POISSON Las aplicaciones mas importantes de la distribución exponencial son situaciones donde se aplica el proceso de poisson, la distribución de poisson se utiliza para calcular la probabilidadde números específicos de eventos durante un periodo o espacio particulares. usando la distribución de poisson, encontramos que la probabilidad de que no ocurra algún evento, en el periodo hasta el tiempo t, esta dada por
Ahora podemos utilizar lo anterior y hacer que Z sea el tiempo para el primer evento de poisson. La probabilidad de que la duración del tiempo hasta el primer evento exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra algún evento de poisson en x. esto ultimo, esta dado por como resultado
Asi la función de distribución acumulada para X esta dada por
LA PROPIEDAD DE FALTA DE MEMORIA Y SU EFECTO DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Los tipos de aplicación de la distribución exponencial en la confiabilidad y en los problemas de tiempo de vida de una maquinq o de un componente están influidos por la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial. Por ejemplo en el caso de uncomponente eléctrico donde la distribución del tiempo de vida sigue una distribución exponencial, la probabilidad de que el componente dure, t horas P(X t) es la misma que la probabilidad condicional
|
De manera que el componente alcansa las adisionales es la misma de durar t horas.
horas, a probabilidad de durar t horas
La importancia de la dustribucion gamma radica en el hecho de que define una familia de la que otras distribuciones son casos especiales. Pero la gamma misma tiene aplicaciones importantes en tiempo de espera y teoría de confiabilidad. Mientras que la distribución exponencial describe el tiempo hasta la ocurrencia de un evento de poisson, el tiempo que trascurre hasta que ocurre un numero especifico de eventos de poisson es una variable aleatoria, cuya función de densidad esta dada por la distribución gamma. DISTRIBUCIÓN DE CHI CUADRADA Se llama distribución chi cuadrada al hacer que α=v/2 y β=2, de la distribución gamma
donde v es un entero positivo.
Teorema:
La media y la varianza de la distribución chi cuadrada son:
DISTRIBUCIÓN LOGARÍTMICA NORMAL
La distribución logarítmica normal se utiliza enuna amplia variedad de aplicaciones. La deistribucion se aplica en casos donde una transformación logarítmica natural tiene como resultado una distribución normal. La variable aleatiria continua X tiene una distribución logarítmica normal si la variable aleatoria Y=ln(X) tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ la
función de densidad de X es
{√ }
Teorema: La media y la varianza de la distribución logarítmica normal
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
( )
La variable aleatoria continua X tiene una distribucion de weibull, con perametros α y β Si su funcion de dencidad esta dada por
