unesp
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE ENGENHARIA ENGENHARIA
PONTES DE CONCRETO
Notas de aulas Prof. Yzumi Taguti
2002
1. 1
ÍNDICE
páginas Capítulo I Capítulo II Capítulo III Capítulo IV Capítulo V Capítulo VI Capítulo VII Capítulo VIII Capítulo IX
-Critérios de avaliação e bibliografia do curso ........................................... ........................................... - Introdução ao curso de pontes...................................................... pontes................................................................... ............. - Elementos de Projetos .............................................. ..................................................................... ............................. ...... - Cargas em Pontes................................................... Pontes.......................................................................... ................................... ............ - Exemplo de Pontes em Vigas Independentes ........................................... ........................................... - Cálculo das Vigas Principais ............................................. .................................................................... ....................... - Cálculo das Transversinas .............................................. ..................................................................... .......................... ... - Cálculo das Lajes ............................................. .................................................................... ......................................... .................. - Cálculo dos Pilares .............................................. ..................................................................... ..................................... ..............
1.2 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1
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ÍNDICE
páginas Capítulo I Capítulo II Capítulo III Capítulo IV Capítulo V Capítulo VI Capítulo VII Capítulo VIII Capítulo IX
-Critérios de avaliação e bibliografia do curso ........................................... ........................................... - Introdução ao curso de pontes...................................................... pontes................................................................... ............. - Elementos de Projetos .............................................. ..................................................................... ............................. ...... - Cargas em Pontes................................................... Pontes.......................................................................... ................................... ............ - Exemplo de Pontes em Vigas Independentes ........................................... ........................................... - Cálculo das Vigas Principais ............................................. .................................................................... ....................... - Cálculo das Transversinas .............................................. ..................................................................... .......................... ... - Cálculo das Lajes ............................................. .................................................................... ......................................... .................. - Cálculo dos Pilares .............................................. ..................................................................... ..................................... ..............
1.2 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1
1. 1
CAPÍTULO I (2002)
CURSO DE PONTES E CONCRETO PROTENDIDO AVALIAÇÃO NA = Nota de aproveitamento NA = MP MP = Média das 4 melhores notas entre as 4 Provas e a MT MT = Média das 05 melhores notas de testes
Pontes: Protendido:
2 provas e 3 testes 2 provas e 3 testes
Calendário de Pontes: a) provas : P1 P1 ; P2 ; 1a. época: ; 2a. época: b) testes : T1 ; T2 ; T3 Calendário de Protendido: a) provas : P3 P3 ; P4 ; 1a. época: ; 2a. época: b) testes : T4 ; T5 ; T6 Bibliografia Normas:
NBR-7188 - Carga móvel em pontes rodoviárias e passarelas de pedestres - 1984. NBR-7189 - Carga móvel em pontes ferroviárias - 1985 NBR-6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado - 1978 NBR-7187 - Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido 1986 (revisão) NBR-8681 - Ações e segurança nas estruturas - 1984
Livros:
-LEONHARDT, -LEONHARDT, F. Construções de concreto, vol 6 1979 -PFEIL, N. Pontes de concreto armado, 2v. 1979 -O'CONNOR C. Pontes, 2 vol, 1975 -MASON, J. Pontes em concreto armado e protendido 1977
Apostilas:
-EL DEBS, M.K. & TAREYA, T. Pontes de concreto - notas de aula - 5 fascículos - EESC-USP-1990. -MARTINELLI, -MARTINELLI, D.A.D. Pontes de concreto - EESC-USP-1971. -FREITAS, M. Introdução Geral. Pontes - EPUSP-1981 -BERNARDO, GRAULO - Pontes - Grêmio Politécnico-1980. -HANAI, J.B. - Fundamentos do Concreto Protendido - Notas de Aulas, EESCUSP, 1991
2.1
CAPÍTULO II (2002) 2. CONCEITOS GERAIS 2.1. Definições Ponte: obra necessária para manter a continuidade de uma via qualquer, através de um obstáculo natural ou artificial. PONTE, VIADUTO, GALERIA, PASSARELAS
2.2. Requisitos a) Funcionalidade
. permitir tráfego atual com previsões para seu incremento. . escoamento das águas sob ponte com o mínimo de perturbação.
b) Segurança
. considerar as tensões, deformações e duração.
c) Estética
. atender a boa aparência sem criar grandes contrastes com o ambiente.
d) Economia
. objetivo da engenharia, apresentar uma solução de menor custo.
2.3. Elementos Constituintes • Superestrutura
estrutura principal estrutura secundária
• Aparelhos de apoios suportes { Pilares Encontros • Infra-estrutura fundações
a) Superestrutura: elemento suporte direto ( ver Fig. 2.1) .Estrutura principal: - função de vencer o vão livre - recebe as cargas que atuam na ponte Ex: vigas, lajes, pórticos, arcos, pênseis estaiadas .Estrutura secundária: .Recebe a ação direta das cargas e a transmite à estrutura principal Ex: tabuleiro, pendurais, tímpanos, passeios
2.2
b) Aparelhos de apoio
. Elementos colocados entre a infra e a superestrutura. Transmite reações de apoio e permite determinados movimentos da superestrutura. Fixo e móvel. superestrutura aterro
encontro
aterro
aparelhos de apoio
pilar
VISTA LONGITUDINAL (infra e superestrutura) infra-estrutura
fundação viaduto de acesso guarda-corpo defensa . . . .
viaduto de acesso
ponte
passeio
estrado = laje superfície de rolamento . . . . . .. . . . . . . . .
CORTE TRANSVERSAL
laje em balanço
(superestrutura) transversina
longarina
viga principal
Fig. 2.1 - Elementos constituintes de uma ponte
L
l1
l2
hc aterro
hl
aterro
l3
l5
l4 pista de rolamento
N.A.
Fig. 2.2 - Elementos geométricos de uma ponte
c) Infra-estrutura
. Recebe as cargas e as transmite ao solo
2.3
Fundações
- tem por finalidade transmitir ao solo as reações provenientes dos diversos carregamentos da ponte.
2.4. Elementos Geométricos ( ver Fig. 2.2 )
2.5. Sistema Estrutural a) Isostática ou Hiperestática (estr. principal) c / balanço - Simplesmente apoiada s / balanço Contínua −Vigas - Gerber c / balanço - Simplesmente apoiada s / balanço Contínua − Lajes - Em pórtico
- Pórtico - Arcos e abóbodas pênseis { - Pontes com sustentação por cabos estaiadas
b) Seção Transversal - maciça - atá 15m
- Lajes
- vazada - protendida até 35m
2.4
- fácil execução formas e montagem das armaduras - peso próprio elevado
- aberta
vigas −−−> tabuleiro solidário { -- grelha
- Viga - celular −−−> láminas solidárias e rígido à torção - treliça (metálica)
3.1
CAPÍTULO III (2002) 3. ELEMENTOS NECESSÁRIOS PARA A ELABORAÇÃO DO PROJETO DE UMA PONTE 3.1. Introdução A elaboração de um projeto de pontes envolve o conhecimento de uma série de dados sobre as particularidades locais, tais como, condições topográficas, hidrológicas e geotécnicas. Tais informações são fundamentais no processo de escolha do local de colocação dos pontos, as quais devem respeitar algumas normas gerais. Estas visam: a) alcançar o menor custo para a obra b) obter condições de boas fundações c) não interferir no regime líquido ou, se preciso, alterar o mínimo possível d) travessia perpendicular ao eixo do rio e sem pilares intermediários e) escolher o local de modo que o rio tenha a menor largura
3.2 - Fases principais para a elaboração do Projeto Projeto de uma ponte é um conjunto de estudos, cálculos e gráficos que permitem definir, justificar e construir uma ponte: definir, quanto ao sistema estático e materiais a empregar; justificar, quanto às dimensões adotadas para o vão, outras partes da estrutura e o custo; construir, de acordo com os detalhes gráficos e especificações do memorial descritivo. As fases, em geral, dos projetos são as seguintes:
a) Estudos preliminares Fundamentados nos estudos geológicos, hidrológicos e topográficos, definem-se o vão da ponte e sua localização.
b) Ante-projeto Aqui são formuladas as várias soluções técnicas que permitam respeitar as condições indicadas nos estudos preliminares. Estas soluções são acompanhadas de orçamento estimativo e do tempo necessário para a execução. Nesta fase a experiência, o conhecimento de outras obras e a intuição profissional do projetista exercem significativa relevância.
c) Projeto definitivo Entre os diversos ante-projetos procede-se a escolha daquele que melhor atenda os aspectos de economia, estética e execução.
3.3 Documentos de Projeto Em geral são os seguintes: a) Planta de situação do local da travessia, indicando as cidades ou regiões habitadas mais próximas (1:1000 a 1:2000);
3.2
b) Corte do conjunto estrada-ponte com escalas diferentes: alturas (1:100) e comprimentos (1:1000); c) Corte transversal indicando o sub-solo, com detalhes de sondagens; d) Elevação da ponte, podendo ser metade em vista e metade em corte longitudinal (1:50 a 1:100); e) Seções transversais da superestrutura e plantas das mesmas (1:20 a 1:50); f) Plantas e elevações da mesoestrutura e infra-estrutura; g) Detalhes de construção (plantas de forma, de ferragem etc.); h) Memorial descritivo acompanhado da parte de cálculos estáticos e hidráulicos etc.) i) Orçamento j) Projeto de execução
4.1
CAPÍTULO IV (2002) 4. CARGAS EM PONTES (NBR-8681; NBR-7188; NBR-7189) 4.1 INTRODUÇÃO Para a análise da resistência e da estabilidade de uma estrutura, em geral, necessitam-se: a) conhecer todas as forças que atuam ou poderão ser aplicadas na estrutura b) determinar as reações destas forças e verificar se resulta em equilíbrio estável c) determinar as tensões solicitantes e verificar se são admissíveis para o material que constitui a peça As cargas externas podem ser agrupadas em: * Ações permanentes * Ações variáveis * Ações excepcionais
4.2 AÇÕES PERMANENTES São aquelas que, uma vez, construída a ponte, mantêm-se atuantes.
4.2.1 Peso próprio - peso próprio dos elementos estruturais - peso próprio dos elementos, tais como, pavimentação, passeios, guarda-corpo, trilhos, lastros etc. O peso próprio dos elementos estruturais é avaliado em função do material a empregar, por meio de fórmulas empíricas, pela observação de estruturas anteriormente projetadas. Este procedimento é conhecido por PRÉ-DIMENSIONAMENTO. As variações entre o peso próprio no dimensionamento final e aquele do prédimensionamento, de acordo com a norma brasileira, são as seguintes: Aço ............ 3% Concreto ........... 5% Madeira ............10%
4.2.2) EMPUXOS DE TERRA E ÁGUA - Empuxo de terra Determinados conforme os princípios da Mecânica dos solos. peso específico ≥ 18kN / m3 • solo úmido ângulo de atrito interno ≤ 30o
• Considerar os empuxos ativos e de repouso nas situações mais desfavoráveis e o empuxo passivo quando sua ocorrência for garantida ao longo da vida útil da obra.
4.2
- Empuxo da água • estudo dos níveis máximo e mínimo do curso d'água e do lençol freático • empuxo d'água é considerado se não houver sistema de drenos adequados.
4.2.3 FORÇA DE PROTENSÃO Consideradas de acordo com a NBR 7197 relativo às obras de concreto protendido. 4.2.4 DEFORMAÇÕES IMPOSTAS a) ⋅ Fluência (deformação lenta) Importantes em concreto protendido, por causar b) ⋅ Retração de concreto perdas de protenção - NBR 7197 - estruturas isostáticas - permitem a deformação - estruturas hiperestáticas - acréscimos de tensões devido ao impedimento das deformações c) Deslocamentos de apoio (recalques) É um dos critérios para a escolha do sistema estrutural. Quando são previstos recalques excessivos, evita-se estruturas hiperestáticas.
4.3 AÇÕES VARIÁVEIS São as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção.
4.3.1 FORÇA CENTRÍFUGA Ocorrência - pontes de eixo curvo, através do atrito das rodas com o pavimento. C = força centrífuga para cada eixo do veículo Mv 2 C= R R = raio de curvatura do eixo da estrada v = Velocidade do veículo M = massa do veículo onde, 0,0077Qv 2 C= Q = peso do veículo (kN) R v = km/h R=m Na prática admite-se, segundo a NBR-7187, as seguintes forças centrífugas, uniformemente distribuída:
a) pontes rodoviárias C = 0,25 do peso do veículo-tipo para R ≤ 300 m. 75 C= do peso do veículo-tipo para R > 300 m. R C atua na superfície de rolamento. b) pontes ferroviárias - bitola larga (1,60 m)
C = 0,15 da carga móvel para R ≤ 1200 m
4.3
180 C = R da carga móvel apara > 1200 m - bitola estreita (1,0 m)
C = 0,10 da carga móvel para R ≤ 750 m 75 C= da carga móvel para R > 750 m R C atua no centro de gravidade do trem (suposto 1,60 m acima do topo do trilho). M
C
C
e
M=C.e
força C transferida ao C.G. da seção
seção transversal
Fig. 4.1 - Efeitos da força centrífuga Efeito da força centrífuga sobre a ponte - no caso, haverá aumento de solicitação nas vigas à direita da seção, e uma diminuição nas vigas situadas à esquerda.
• solicitação vertical é pequena, exceto para estruturas leves. • solicitação horizontal requer contraventamento lateral, dada pela laje ou tabuleiro.
4.3.2 IMPACTO LATERAL Surge apenas nas pontes ferroviárias devido à folga entre o friso das rodas e o boleto do trilho. I = 20% da carga do eixo mais pesado. Carga concentrada contra o topo do trilho na situação mais desfavorável.
4.3.3 EFEITO DA FRENAGEM E DA ACELERAÇÃO • São forças horizontais ao longo do eixo da ponte. • Flexão na infra-estrutura • Fração das cargas móveis pontes rodoviárias5% do carregamento total móvel de rolamento (o maior dos dois) 30%nadopista peso do veículo - tipo
pontes ferroviárias15% de carga móvel para a frenagem (o maior dos dois) 25% do peso dos eixos motores p / a aceleração
4.3.4 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (NBR 7187 - pág. 9) variação uniforme
∆ t = ±15o C α = 10-5 / oC
- coeficiente de dilatação térmica
uniforme → alteração dos comprimentos dos elementos efeitosvariação ao longo da altura da seção → flexão
4.4
4.3.5 AÇÃO DO VENTO (NBR 6123) A ação do vento é traduzida por carga uniformemente distribuída horizontal, normal ao eixo da ponte. ponte descarregada → p = 1,5kN / m2 Duas situações ponte carregada → p = 1,0 kN / m2 pontes
p = 0,7 kN / m2 passarelas No caso de ponte de laje dispensa-se a consideração da ação do vento, pois, a área exposta é pequena e por haver grande rigidez à ação horizontal. ponte carregada → projeção da estrutura sobre plano normal à ação do vento Área de atuação ponte carregada → Aquela projeção é acresc ida de uma do vento faixa limitada superiormente por
linha paralela ao estrado, distante da superfície de rolamento de 3,50m, 2,00m, 1,70m, respectivamente, para pontes ferroviárias, rodoviárias e pe destres PRESSÃO DO VENTO SOBRE PONTES - NBR 6123 (ver Fig.4.2 )
PRESSÃO DE VENTO SOBRE PONTES . NBR 6123 1,0 kN/m2
1,5 kN/m2
0,7 kN/m2 2,00 m
a)
1,70 m
c)
b) 1,0 kN/m2
3,50m 1,5 kN/m2 . .. . . .. . . . ..
d)
.
. . .. . . .. . . . .
. .. . . .. . . . e) ..
.
. . .. . . .. . . . .
Fig. 4.2 - Pressão de vento sobre pontes, segundo a NB2, para vigas de alma cheia : a) ponte rodoviária descarregada ; b) ponte rodoviária carregada ; c) passarela de pedestres, carregada ; d) ponte ferroviária descarregada ; e) ponte ferroviária carregada.
4.5
4.3.6 - EMPUXO DE TERRA PROVOCADO POR CARGAS MÓVEIS A passagem de um veículo sobre um aterro, vizinho à entrada da ponte, produz, na superfície vertical de encontros e cortinas, uma pressão lateral uniforme, dada por Ka. q , produzindo um empuxo: E q = K a qbh ; q =
q v .3,0 + q. ( p − 3, 0) p
onde, p = largura da ponte Ka = coeficiente de empuxo ativo qv = carga uniformemente distribuída, resultante da divisão do peso total do veículo-tipo pela área (3 x 6 m2) b,h = dimensões da cortina ou encontro q = cargas dos demais veículos 3,0m q
q
v
q
p
Fig. 4.3 - Esquema para o cálculo da carga q equivalente q
K a. q
q
h
K a. q cortina
encontro
Fig. 4.4 - Empuxo de terra provocado por cargas móveis
4.3.7 PRESSÃO D'ÁGUA EM MOVIMENTO (NBR - 7187 - pág. 13) Esta solicitação deve ser considerada em pilares e elementos de fundação. q = K .v 2 onde, q = pressão estática equivalente em kN/m2 v = velocidade da água em m/s K = é um coeficiente dimensional determinado experimentalmente
h
4.6
45 o direção de fluxo K = 0,34
K = 0,71
K = 0,54
Fig. 4.5 - Coeficiente de fluxo d'água 4.3.8 CARGAS DE CONSTRUÇÃO Equipamentos e estruturas provisórias de montagem e lançamento de elementos estruturais.
4.3.9 AÇÕES EXCEPCIONAIS São ações de curta duração e baixa probabilidade de ocorrência: choque de veículos contra elementos estruturais, explosões, enchentes, sismos etc.
4.3.10 CARGAS MÓVEIS 4.3.10.1 - INTRODUÇÃO A transposição de obstáculos pelos veículos é a função principal das pontes ou dos viadutos. Como se sabe, existem vários tipos de veículos transitando nas estradas. Por motivos econômicos, as pontes são construídas para determinadas classes de veículos. Fica a critério dos órgãos governamentais, fundamentadas em dados sobre a circulação de veículos, a escolha da classe das pontes. Para cada classe de ponte, esses mesmos órgãos estabelecem cargas máximas por eixo, na chamada "lei da balança". A ABNT fixa as cargas móveis a serem consideradas no cálculo de pontes, por meio das seguintes normas: Pontes rodoviárias Pontes ferroviárias
NBR 7188 NBR 7189
4.3.10.2 - PONTES RODOVIÁRIAS ( Ver Figs. 4.6 e 4.7) Segundo a NBR-7188 as cargas de veículos utilizadas no cálculo de pontes são de três classes:
classe 45 . veículo-tipo de três eixos com peso total de 450 kN, sendo 150 kN por eixo. . carga uniformemente distribuída em toda a pista de rolamento, inclusive no acostamento, e exceto na área ocupada pelo veículo-tipo igual a q = 5kN/m2 classe 30 . veículo-tipo de três eixos com peso total de 300 kN, sendo 100 kN por eixo. . carga uniformemente distribuída q = 5 kN/m2 classe 12 . veículo-tipo de dois eixos, com peso total de 120kN, sendo 40 kN para o eixo dianteiro e 80 kN para o eixo traseiro. . carga uniformemente distribuída q = 4 kN/m2 OBS.: . Todos os veículos tipos têm 3m de largura e 6m de comprimento . O conjunto das cargas do veículo-tipo e a carga "q" é denominada TREM-TIPO.
4.7
. Nos passeios das pontes considera-se uma carga uniformemente distribuída q' = 3 KN/m2, relativos a multidão, desde que essa carga produza efeitos desfavoráveis no elemento estudado. IMPORTANTE - O veículo tipo, q e q' serão colocados na posição mais desfavorável para o cálculo do elemento estrutural, não considerando a porção do carregamennto que provoque redução das solicitações q A
veículo-tipo 3,0 m 2 ou 3 eixos
q
A
q
PLANTA
6,0mm 6,0 q
q
q o
o
CORTE A-A
o
cargas por eixo do veículo-tipo
Fig. 4.6 - Trem - tipo de ponte rodoviária
1,50
1,50 m
1,50 m
1,50 m 40 kN
150 kN 150 kN 150 kN ( classe 45 ) ; b = 0,50m 100 kN 100 kN 100 kN ( classe 30 ) ; b = 0,40m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 0,5m
b
2,0m
0,5m
1,5 m
80 kN ( classe 12 ) 3,0 m
1,5 m
0,2
0,3 m
3,0 m 2,0m 0,3 m
0,2
b
0,5m
3,0 m
0,5m 0,2 m
0,2 m
0,2 m
0,2 m
6,0 m
0,2 m
0,2 m
6,0 m
Fig. 4.7 - Veículo- tipo rodoviário rodoviário - NBR - 7188
CARGAS RODOVIÁRIAS EXCEPCIONAIS São constituídas por carretas de grandes dimensões, destinadas a transportes de turbina, transformadores, e os caminhões "fora de estradas" com cargas totais entre 1000 kN a 2000 kN. (ver exemplos em PFEIL - VOL.1)
4.3.10.3 - PONTES FERROVIÁRIAS ( Ver Ver Fig. Fig. 4.8) A norma NBR-7189 estabelece quatro classes de trens brasileiros:
4.8
TB 360 - Ferrovias para transportes de minérios ou equivalentes (cimento areia) TB 270 - Ferrovias para transportes de cargas em geral TB 240 - adotado para verificação e projeto de reforço de obras existentes TB 170 - Ferrovias para transportes de passageiros em regiões urbanas ou suburbanas. Q
q
Q
Q
Q
q
q'
q'
a
b
b
c
a
Q = carga por eixo da locomotiva q e q' = cargas dos vagões vagões carregados e descarregados, respectivamente respectivamente
Fig. 4.8 - Trem- tipo ferroviário CARACTERÍSTICAS DAS CARGAS FERROVIÁRIAS TB 360 270 240 170
Q (kN) 360 270 240 170
q (kN/m) 120 90 80 25
q' (kN/m) 20 15 15 15
a (m) 1,00 1,00 1,00 11,00
b (m) 2,00 2,00 2,00 2,50
c (m) 2,00 2,00 2,00 5,00
4.3.10.4 PASSARELAS Carga uniformemente distribuída q = 5 kN/m2
4.3.10.5 - COEFICIENTE DE IMPACTO φ ( Efeito dinâmico das cargas móveis) O deslocamento das cargas ao longo de uma estrutura produz oscilações desfavoráveis à sua estabilidade. As causas, em geral, são as irregularidades das pistas e a aplicação bruscas das cargas. Embora, a análise dos efeitos deva ser feita pela teoria da dinâmica das estruturas, permite-se majorar as cargas móveis, através do coeficiente de impacto, e considerá-las como se fossem aplicadas estaticamente. A NBR 7187 adota as seguintes expressões empíricas do coeficiente de impacto:
Pontes rodoviárias φ = 1,4 − 0,007 ≥ 1,0 para φ =1, tem-se
com
em me metros
=57m
Pontes ferroviárias φ = 0,001(1600 − 60
+ 2, 25) ≥ 1, 2
p/ φ = 1,2, tem-se = 169 m onde:
co m
em metros
4.9 a) viga simplesmente apoiada
= vão teórico
b) viga contínua
Se mí n ≥ 0,70 má x , então, usa-se a média dos comprimentos dos tramos, caso contrário, = vão teórico de cada tramo l1
l2
l3
l4
Fig. 4.9 - Fixação do vão " l " , relativo ao coeficiente φ
l5
,
para vigas contínuas
, = vãos teóricos dos balanços 2 a 4 = vãos teóricos dos tramos internos 1 5
c) vigas em balanço
= o dobro do vão teórico do balanço
d) lajes com vínculos nos quatro lados
= menor vão teórico, a favor da segurança
O coeficiente de impacto é desconsiderado nos seguintes casos: - Nos passeios - Nos cálculos das fundações - Empuxo de terra provocado por cargas móveis - maciço atenua os efeitos dinâmicos 4.4 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES 4.4.1 INTRODUÇÃO Um conjunto de ações atuando sobre uma estrutura, em geral, tem probabilidade não desprezível de atuarem simultaneamente, durante o período de sua vida útil. A fim de que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura, aquelas ações devem ser combinadas corretamente. Segundo a NBR 8681, consideram-se, para as combinações últimas, os seguintes critérios: a) Ações permanentes Devem figurar em todas as combinações b) Ações variáveis Em cada combinação última, uma das ações variáveis é considerada como a principal, admitindo-se que ela atue com seu valor característico FK; as demais ações variáveis são consideradas como secundárias, admitindo-se que elas atuam com seus valores reduzidos de combinação Ψ0 FK.
4.10
A verificação da segurança é feita considerando-se as seguintes combinações: Estado limite último (ELU) : Combinações últimas das açoes Estado limite de utilização : Combinações de utilização
4.4.2 - COMBINAÇÕES ÚLTIMAS DAS AÇÕES Para as combinações últimas normais, o valor de cálculo vale: m
n
i =1
j= 2
Fd = γ gi .FGi, k + γ q (FQ1, k + ψ 0 j.FQj, k ) onde, FGi,k = valores característicos das ações permanentes. FQ1k = valor característico da ação variável admitida como principal. ψ oj FQjk = valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis γ gi , γ q = coeficientes de ponderação, respectivamente, das ações permanentes e das ações variáveis
4.4.2.1 COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS COMBINAÇÕES ÚLTIMAS NORMAIS a) Para as ações permanentes formadas pelos pesos próprios
• Peso da estrutura < 75% do peso total permanente γ g = 1,4 γ g = 0,9
para efeitos desfavoráveis para efeitos favoráveis
• Peso da estrutura > 75% do peso total permanente (situação mais comum em pontes) γ g = 1,3 γ g = 1,0
para efeitos desfavoráveis para efeitos favoráveis
b) Para as ações permanentes formadas pelas deformações impostas (recalque de apoio, retração, fluência) γ g = γ ε = 1,2 para efeitos desfavoráveis γ g = γ ε = 1,0 para efeitos favoráveis
c) Para as ações variáveis cargas móveis :
q = 1,4
4.11
efeitos de temperatura: γ q = ε = 1,20
4.4.2.2 - FATORES DE COMBINAÇÃO • pontes de pedestres: ψ o = 0,4 • pontes rodoviárias : ψ o = 0,6 • pontes ferroviárias : ψ o = 0,8 OBS.: Nos casos particulares de combinações últimas excepcionais, especiais ou de construção, a norma NBR 8681 fornece outros valores de
4.4.3 COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO 4.4.3.1 - INTRODUÇÃO Nestas combinações não se consideram os coeficientes de majoração g , γ q e γ ε , retratando-se, com estas providências, as condições reais de utilização da obra. Os itens 1.1 e 1.2 do anexo da NBR 6118 estabelecem uma combinação de utilização para cada verificação do estado limite de utilização, tais como: a) Para verificação do estado limite de fissuração (abertura de fissuras) - Combinação frequente de utilização. b) Para verificação de estado limite de formação de fissuras - Combinação rara de utilização. c) Para verificação de estado limite de deformação excessiva (flecha) - Combinação quasepermanente de utilização.
4.4.3.2 COMBINAÇÕES QUASE-PERMANENTE (longa duração) DE UTILIZAÇÃO m
n
i =1
j=1
Fd,uti = FGi, k + ψ 2 jFQj, k
4.4.3.3 COMBINAÇÕES FREQÜENTES (QUE SE REPETEM MUITAS VEZES) DE UTILIZAÇÃO m
n
i =1
j= 2
Fd,uti = FGi, k + ψ 1FQ1, k + ψ 2 jFQj, k
4.4.3.4 COMBINAÇÕES RARAS DE UTILIZAÇÃO m
n
i =1
j= 2
Fd ,uti = FGi, k + FQ1, k + ψ 2 jFQj, k onde, os valores dos fatores de combinações são os seguintes:
4.12
pontes de pedestres pontes rodoviárias pontes ferroviárias
ψ 1 = 0,3 e ψ 2 = 0,2 ψ 1 = 0,4 e ψ 2 = 0,2 ψ 1 = 0,6 e ψ 2 = 0,4
OBS.: Os fatores de combinação ψ o , ψ1 e ψ 2 levam em conta que é muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de natureza diferentes.
5.1
CAPÍTULO V (2002) EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS
ROTEIRO DE CÁLCULO
I - DADOS Ponte rodoviária. classe 45 (NBR-7188) Planta, corte e vista longitudinal (Anexo) Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura Concreto : fck = 18 MPa Aço : CA-50 Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3 concreto armado : 25 kN/m3 pavimentação : 24 kN/m3 recapeamento : 2 kN/m2 Viga principal - pré-dimensionamento : valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971) tipo de ponte pedestres rodoviária ferroviária
concreto armado 15 a 20 10 a 15 8 a 10
concreto protendido 20 a 25 15 a 20 10 a 15
II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g) 1.1 - Cálculo da carga permanente g 1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g 1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g 1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g 2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q) 2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal 2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q 2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q 2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q 3- Esforços totais 3.1 - Momentos fletores extremos 3.2 - Esforços cortantes extremos 3.3 - Reações de apoio extremas 4- Dimensionamento das armaduras 4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção 4.2 - Cálculo da armadura de flexão 4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento 4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão 4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento
III - CÁLCULO DAS TRANSVERSINAS IV - CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO
5.2
V - CÁLCULO DA INFRA-ESTRUTURA VI – ANEXO
5.3
Corte e Vista longitudinal da ponte
5.4
Seção Transversal no apoio e no meio do vão
5.5
Vista inferior e Locação da Fundação
6.1
CAPÍTULO VI (2002) 6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos de cálculo:
Seções transversais monolíticas P
laje
squemas e c cu o as v gas pr nc pa s P I vigas independentes
a vigas
P
laje transversina
αP
(1−α) P
6.1
CAPÍTULO VI (2002) 6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos de cálculo:
Seções transversais monolíticas P
laje
squemas e c cu o as v gas pr nc pa s P I vigas independentes
a vigas laje
P
transversina
αP
(1−α) P II
b
grelhas
vigas laje
P
transversina
simplificação satisfatória simplificação menos satisfatória
c vigas
P
P
e
P. e III
d
seção celular
e Fig. 6.1 - Esquemas de cálculo das vigas principais
Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas como grelha.
6.2
6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada viga, inclusive o peso próprio das transversinas. Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da viga, porém, sem o momento fletor correspondente.
6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes.
p'
p'
P
P 2
1
p'.. A RR11 == PP.. ηη ++ p' (parcelas das cargas P e p' suportadas pela viga 1 )
A
η
LI de R 1
(reação da viga 1 )
1
Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes
As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um determinado ponto da viga 1 . Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as cargas sobre a viga 1 , correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse carregamento obtido sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal.
6.3
6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS
A
A φQ
φq
q'
φQ
B
+
+
+ +
+ +
q2 Q1
φq
q1
Q1
B
Q1
φQ
C
φq
q'
C q2
PLANTA
TREM-TIPO DA VIGA V1 (devido à simetria o trem-tipo da viga V2 é igual ao da V1 )
V2
V1
Q1 = φ Q ( y1 + y2 ) SEÇÃO TRANSVERSAL q 1 = φ q A 1 + q' A 6 q 2 = φ q ( A 1 + A + A 3 + A ) + q' ( A 5 + A ) 4 6 2
φq
q'
CORTE A-A = CORTE C-C φQ
φQ
φq
q'
CORTE B-B A3 A4 A5 A6
A2 A1
.
. .. . . . . y1
y
1
LINHA DE INFLUÊNCIA ( LI ) DOS QUINHÕES DE CARGA SOBRE A VIGA1V
2
Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas principais OBS. Para se obterem os máximos valores de Q1 , q 1 e q 2 , observando a LI, deve-se colocar o veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 .
6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS
6.4
Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes ( M e V) Exemplo: Extremos de Mc C
Vi a rinci al V
1
Q1 Q Q 1 1 2 Posi ão do trem- ti o ara o cálculo de
1
( Mc,mín = máximo momento fletor negativo na seção C)
2
Q1 Q Q1 1
2
Posi ão do trem- ti o ara o cálculo de ( M c,máx = máximo momento fletor posit ivo na seção C)
1
-
C
-
LI de M c
+
1
Fi .6.4 - Linha de influência do momento fletor na se ão C e as osi ões do trem-
6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis. O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-se: vão dividido em 10 partes
L = 26 m Recomenda-se :
5 seções para vão L entre 5 e 10 m 10 seções para vão L entre 20 e 30 m
Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga
6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO (Dados referentes ao grupo "0")
6.5
6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE
6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes - Peso próprio de meia seção transversal
5 15
5
15 5
40 40 15
6
5 cm
12 25
2 10 cm
4 3 1
40
260 cm
40
200 cm
80 cm
230 cm
Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte elemento 1 2 3 4 5
6 7
descrição alma da viga : 0,40x2,25x25 laje interna : 0,25x3,10x25 0 , 10 x 0, 80 mísula : x 25 2 0 , 15 + 0 , 35 laje em balanço : x 3, 00 x 25 2 0, 40 + 0, 25 x 0, 40x 25 = 3,25 2 defensa : 0,15 + 0,25 x 0,40 x 25 = 2,0 2 0 , 05 + 0, 12 pavimentação : x 6 , 10 x 24 = 12 , 44 2 recapeamento : 6,10x2,00 = 12,2 alargamento da alma : 5,0 m 0,40 0,60 2,0 m 0 , 60 x 5 , 0 4 x 2 , 0 x x 25 = 10 , 0 2 30
peso / m 22,50 19,37 1,00 18,75
5,25
24,64
10,0
6.6 = g1 = 101,51kN / m
- Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m) laje já considerada
25 cm 10 cm 200 cm
50
30 50 cm
Fig.6.7 - Seção transversal da transversina . alma: 0,30x2,00x3,10x25 = 45,5kN 50,37kN 0,10x0,50 .mísula: 2 , x25 = 3,87kN x 310 2 . descontos nos apoios: 0,30x2,00x0,60x25 = 9,00kN total = 3x50,37 - 2x9,00 = 133,11kN 5,0 m
viga principal
0,40 0,60
2,0 m
transversina
Fig. 6.8 - Desconto nos apoios 13311 , = 4,44 kN / m carga distribuída ao longo da viga g2 = 30 -carga distribuída total g = g1 + g 2 = 105,95kN / m - Peso próprio das cortinas
6.7
cortina
Ala 0,25
0,25 m
cortina
12,50 m
laje já considerada
0,25
0,25 0,10
0,50 m
1,65 m 2,0 m
Ala
0,25 0,25
2,25
0,50 m
0,25
Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas 0,50 + 2, 25 ALA: x2,25x0, 25 + 0,50x 2, 25x 0, 25 x 25 = 26, 37kN 2 0,10x 0,50 CORTINA: 0, 25x0, 25 + 0, 25x 2, 0 + 6,25x 25 = 91,80 kN 2 G = 26,37 + 91,80 = 118,17 kN
carga concentrada nas extremidades dos balanços
- CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais G = 118,17 kN
G = 118,17 kN
g = 105,95 kN/m
20,0 m
5,0 m
5,0 m
Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal - Seções para cálculo dos esforços solicitantes 0
1
2
2,5 m 2,5 m 2,0
3
4 2,0
5 2,0
6 2,0
7 2,0
8 2,0
9 2,0
10 2,0
11 2,0
12
13
2,0 2,5 m 2,5 m
Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal 6.4.1.2 - REAÇÕES DE APOIO Rg 2 = Rg12 = 1703, 37 kN
14
6.8
6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg : (convenção: tração embaixo: positivo) 1915 627
-
-
8
Mg [ kN . m ]
+
1475 2535 3170
3382
Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes
6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (convenção: horário positivo)
648 383 118
-
0
+
212
+
424 636 848 1060
Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes
6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15) Hipótese de cálculo: vigas independentes coeficiente de impacto: φ=1,4 - 0,007 no balanço : φ= 1,4 - 0,007(2x5) = 1,33 no vão central : φ= 1,4 - 0,007 x 20 = 1,26
Vg [kN]
6.9 C C
0,40 0,5
2,00 2,0 mm
0,40 0, 5 m q 1,5 m
+ + +
B
Q
+ +
veículo-tipo classe 45
1
1,5 m Q
q = 5 kN/m2
+
+
Q
+
Q = 450 / 6 = 75
1
B
1,5 m
A
2
1
A
1,5 m
q q = 5 kN/m2
q
φq
V2 0,40
0,40 0,40
2,80
2,80 m
6,60 m
0,40 m
SEÇÃO TRANSVERSAL
9,8 m 9,4 m
8,9 m 6,9 m 6,6 m
+ . . .
. ..
1,35 (w x 8,9)
+
-
6,4 m
w = 1 / 6,60 =
0,97 (w x6,4) 1,00 (w x6,6)
1,05 (w x6,9)
1,48 (w x 9,8)
(quinhão de carga para a viga V1 )
φq
CORTE A-A = CORTE C-C φQ
0, 4
0, 5
φQ
2,0 m
φq
6,40 m
0,5
.
0,48
LINHA DE INFLUÊNCIA ( LI )DA REAÇÃO DO APOIO
1,42 (w x 9,4)
9,40 m
CORTE B-B Fig. 6.15 - Esquema para o cálculo do TREM-TIPO da viga
2
TREM-TIPO
PLANTA - CARREGAMENTO DO TABULEIRO
V1
1
3,20 m
1
6.10
TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL Q1 Q 1 Q1
q2
q2
q1
Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal Balanço vão central Q1 → kN φ=1,33 φ=1,26 CARGAS q 1 → kN / m Q1 = φ x 75x (1, 35 + 1, 05) 239,40 226,80 0, 97 x 6, 40 ) 2 1, 42 x 9 , 40 q2 = φ x 5x ( ) 2 q1 = φ x5 x (
20,64
19,56
44,38
42,05
6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS 0
1
2
A
5,0 m
12
7
14
Q1 Q 1 Q 1 q1
q2
q1
0,10 0,025
0,175
. -. . .
+
1,25
. .. . .
Viga principal
B 5,0 m
20,0 m q2
Q1 Q 1 Q 1
13
0,25
Posicionamento do TREM-TIPO para a obtenção da mínima reação do apoio A ou da seção 2 , R qA,mín = R q2,mín Posicionamento do TREM-TIPO para a obtenção da máxima reação do apoio A ou da seção 2 , R qA,máx = Rq2,máx Linha de Influência da reação do apoio A ou da seção 2 , R A = R 2
1,00 1,025 1,10 1,175
1,5 1,5 1,5
20,0 m 0,50 m
1,5 1,51,5 0,50 m
Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis
0,025 + 0,25 0,025x0,5 Rq 2,mín = −239,40x(0,10 + 0,175 + 0,25) − 20, 64x x4,5 − 44,38 = − 138,74 KN 2 2
6.11
1,025 + 1,25 1,025x20,5 − Rq 2,máx = 239,40x(1,25 + 1175 , + 110 , ) + 20,64 x , KN 4,5 + 42,05 = 139133 2 2
6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,33
0
1
2
5,0 m
12
7
A
13
14
B 5,0 m
20,0 m
Viga principal
239,4 kN 20,64 kN
Posicionamento do trem-tipo para o cálculo de 2.5
.
M q1,mín
. - 1,0
Linha de influência do momento M q1 fletor da seção 1 ,
1 2,5
1,5 1,0
Fig. 6.18 - Momentos fletores extremos, causados pelas cargas móveis
Mq1,mín = − 239 , 4 ( 2 , 5 + 1, 0) − 20, 64( Mq1,máx = 0
2 , 5x2 , 5 ) = − 902 , 40 kN . m 2
Momentos fletores Mq (kNm) Seção M
Mq ,mín
0 1/13 2/12 3/11 4/10 5/9 6/8 7/7
0 -902,40 -2.774,67 -2.552,68 -2.330,68 -2.108,69 -1.886,70 -1.664,71
q ,máx
0 0 0 1.682,21 2.952,74 3.836,88 4.397,61 4.590,81
6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq)
6.12
Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,33 0
1
2
5,0 m
7
A
12
20,0 m
13
14
B 5,0 m
Viga principal
239,4 kN 20,64 kN/m
Posicionamento do trem-tipo para o cálculo de V q1,mín
. 1,0 . 1,0 1,5
Linha de influência do esforço cortante da seção 1 , V q1
2,5 1,0
Fig. 6.19 - Esforços cortantes extremos, causados pelas cargas móveis
ESFORÇOS CORTANTES Vq (kN) Seção V
Vq, mín
q , máx
0/-14 1/-13 2e/-12d 2d/-12e 3/-11 4/-10 5/-9 6/-8 7/7
0 0 0 986,45 850,00 720,57 599,58 487,00 382,82
-239,40 -530,40 -833,27 -138,74 -142,94 -155,15 -199,70 -287,06 -382,82
6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações) O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então, g = 1,3 para efeitos desfavoráveis γ g = 1,0 para efeitos favoráveis γ q = 1,4
6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md) M d ,máx = γ g Mg +
q M q ,máx
M d ,mín = γ g Mg + γ q M q ,mín Exemplo: seção 1
, kN / m Mg = − 6260 M q , máx = 0 ; M q , mín = − 902, 4kNm
6.13
Md,máx = 1,3 (-626) + 1,4 x 0 = -813,8 kNm Md,mín = 1,3 (-626) + 1,4 (-902,4) = -2077,16 kNm
MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO Md (kN.m) Seção
0,14 1/13 2/12 3/11 4/10 5/9 6/8 7/7
Mg 0 -627 -1915 -8 1475 2535 3170 3382
Mq,máx 0 0 0 1682,21 2952,74 3836,88 4397,61 4590,81
Mq,mín
γ g
γ q
Md ,máx
g
γ q
Md,mín
0 -902,40 -2774,67 -2552,68 -2330,68 -2108,69 -1886,70 -1664,71
1,3 1,3 1,0 1,3 1,3 1,3 1,3
1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
0 -815,10 -2489,50 2347,09 6051,34 8667,13 10277,65 10823,73
1,3 1,3 1,3 1,0 1,0 1,0 1,0
1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
0 -2078,46 -6374,04 -3584,15 -1787,95 -417,17 528,62 1051,41
6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd) Vd ,máx = γ g Vg + q Vq ,máx Vd,mín = γ g Vg + γ q Vq ,mín ESFORÇOS CORTANTES DE CÁLCULO Vd (kN) Seção
Vg
0 1 2e 2d 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12e 12d 13 14
-118 -383 -648 1060 848 636 424 212 0 -212 -424 -636 -848 -1060 648 383 118
Vq , máx 0 0 0 986,45 850,00 720,57 599,58 487,00 382,82 287,06 199,70 155,15 142,94 138,74 833,27 530,40 239,40
Vq , mín
γ g
γ q
Vd , máx
γ g
γ q
Vd , mín
-239,440 -530,40 -833,27 -138,74 -142,94 -155,15 -199,70 -287,06 -382,82 -487,00 -599,58 -720,57 -850,00 -986,45 0 0 0
1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,3 1,3 1,3
1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
-153,40 -497,90 -842,40 2759,03 2292,40 1835,60 1390,61 957,40 535,95 189,88 -144,42 -418,79 -647,88 -865,76 2008,98 1240,46 488,56
1,3 1,3 1,3 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3
1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
-488,62 -1240,46 -2008,98 865,76 647,88 418,79 144,42 -189,88 -535,95 -957,40 -1390,61 -1835,60 -2292,40 -2759,03 842,40 497,90 153,40
6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (R d) Rd 2,má x = Rd12,má x = 1,3x1707,42 + 1,4x1391,33 = 4167,51kN Rd 2,mí n = Rd12,mí n = 1,0x1707,42 + 1,4(−138,744) = 1513,18 kN 6.4.3.4 - ENVOLTÓRIAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES (Md e Vd)
6.14 6374,04
2489,50
mínimos 3584,15
-
2078,46
6374,04
3584,15
-
1787,95
1787,95
815,10
417,17
2078,46
417,17
2347,09
1051,41
2347,09
Md [ kN . m ]
815,10
528,62
528,62
6051,34
+
6051,34
2489,50
máximos
8667,13
8667,13
2759,03
10277,65
10277,65
10823,73
2292,40 1835,60
2008,98 1390,61
mínimos
1240,46 842,40 497,90 488,62 153,40
-
957,40
-
865,76
647,58
535,95 418,79
189,88 144,42
153,40 488,56
144,42 189,88
418,79 865,76
647,58
497,90
Vd [kN]
535,95
+
842,40
+
1240,46
1390,61 1835,60
máximos
2008,98
2292,40 2759,03
Fig. 6.20 - Envoltórias dos esforços solicitantes
6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Nas regiões submetidas a momentos fletores positivos, tração na alma, as vigas ao se deformarem são acompanhadas pelas lajes. Portanto, as lajes coloboram na resistência aos esforços de compressão. Conseqüentemente, a seção resistente é a seção T. Segundo a NBR-6118, a largura colaborante, bf , da laje é dada por: b1 + b a + b 3 ou b f = 2 b1 + bw 2 b 3 + bw - Largura colaborante
onde, 0,10a b1 ≤ 8h f 0,5b 2
0,10a b3 ≤ 6h f
onde, a = , viga simplesmente apoiada 3 a == , tramo com momento em uma só extremidade 4 3 a == , tramo com momento nas duas extremidades 5 a == 2 , viga em balanço
6.15
b f
b f h f
b3
h f
b1
b1
b f b1
b3
b3
b2 bw ba
bw
bw
Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes 6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas seções são as seguintes: momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 10823,73 kN.m momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = - 6374,04 kNm cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2759,03 kN
a) Seção 7 M d,máx = 10823,73 kN.m ; tração embaixo → T 120 cm
60 cm
120 cm
120 cm
60 cm
120 cm
h f = 25 cm
hf = 25
10 cm
10 cm
b2 = 620 - 20 = 600 cm viga V1 40 cm 10 cm
10 cm
Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante
3 0 , 10 a 0 , 10 x x2000 = |120cm| = 5 b1 ≤ 8hf = 8x 25 = 200cm 0,5b = 0,5x 600 = 300cm 2 0,10a = |120cm| b3 ≤ 6h f = 150cm b f = 120 + 60 + 120 = |300cm| Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se:
h = 225 cm
viga V2 40 cm 10 cm
10 cm
6.16
bf d 2 300x (202,5) 2 = = 11,37 Kc = Md 1.082.373 x fCK = 18MPa → tabela → ξ = ≅ 0,10 x = 0,10x 202, 50 = 20, 25cm d entao, x < h f = 25cm ∴ L. N. na laje 300 xd 2 d = 104 cm d = 93cm h = CA − 50A → Kc lim = 2,4 = 1082373 0,9 x > ξ = = 0,6283 x = 0,6283x 93 = 58, 43cm > 1, 25hf = 31, 25 d L. N . corta a alma. OBS.: A princípio, a altura da seção poderia ser diminuída, entretanto, será mantida a altura inicial, por se tratar de exercício didático.
b) Seção 2: Md,máx = −637.404 kNcm tração em cima ∴seção retangular verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio) CA − 50A bwd 2 40x202,52 = 2,4 M d ,lim = = = 683438 . kNcm K fCK = 18mPa c lim Kclim 2,4 Md,máx < Md,lim
então, não é necessário alargar a seção,porém, essa conclusão é válida somente após a verificação da cortante máxima.
c) cortante máxima: Vd,máx = 2759,03 kN Segundo a NBR-6118 item 6.1.4.1 tem-se : 0,25f cd (estribos verticais) Vd ≤ τ wu = o bwd 0,30fcd (estribos a 45 do eixo) f 1,8 = 12857 f cd = ck = , kN / cm2 1,4 1,4 τ wu = 0,25x1,2857 = 0, 3214 kN / cm2 Vdu = τ wu .bw .d = 0,3214 x 40x 202, 5 = 2603, 57 kN Vd,máx > Vdu necessário alargar a seção
τ wd =
OBS.: As dimensões iniciais, deste exercício didático, serão mantidas, porém, nota-se que é possível modificá-las. Se, no entanto, forem feitas modificações deve-se refazer os cálculos, desde que a variação do peso próprio seja maior que 5%.
6.4.4.2 - CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO
6.17
Para cada seção preestabelecida, calcular-se-ão as armaduras. Note-se que, caso os momentos Md,máx e Md,mín forem de sinais contrários, determinar-se-ão duas áreas de armaduras. Exemplo: Seção
bw ou (bf ) (cm) 76 (336)
3
Md+ kN.cm
Md(kN.cm)
KC
KS
358.415
8,70 (58,70)
0,024 (0,023)
(234.709)
As1+ (cm2)
As2 (cm2) 442,55
(27,244)
bd 2 Md → Ks → As = Ks Kc = Md tabela d A s2
..... d = 202,5 cm
Fig. 6.23 - Armaduras superior e inferior
..... A s1
6.4.4.3 - CÁLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO τ d = 115 , τ wd − τ c > 0 τ c = ψ 1 f ck ( MPa ) Vd τ wd = bwd
ρw =
τd f yd
ρw mínimo = 0,14 % para aço CA-50
onde,
ψ 1 = 0,15 → flexão simples e flexo-tração M o ψ 1 = 0,15 1 + → flexo-compressão ou flexão com protensão M d ,máx
ψ 1 = 0 → Flexo-tração (LN fora da seção) Mo = momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida
Exemplo
6.18
Seção
bw ou (cm)
Vd (kN)
5
40
1391
τ wd =
τ wd (
kN ) cm2
τd (
0,172
kN ) cm2
ρw (%)
0,134
0,31
Vd 1391 kN = = 0.172kN / cm 2 2 b w .d 40 x 202,5 cm
τc = 0,15 18 = 0,637MPa = 0,0637kN / cm2 τ wd = 1, 15. τ wd − τ c = 1, 15x 0, 172 − 0, 0637 = 0, 134 f yd =
f yk 50 = 1,15 1, 15
ρw =
τd 0, 134 x1, 15 = 0, 0031 = 0, 31% = f yd 50
6.4.4.4 - VERIFICAÇÃO DA FADIGA DAS ARMADURAS (NORMA ALEMÃ - DIN-1045) Os ensaios de flexão revelam que após 2 x 106 de ciclo de flutuações de carga, a armadura pode romper com tensão inferior à medida em ensaio estático. Este fenômeno denomina-se fadiga de armadura.
- Limites máximos da amplitude das variações de tensões:
∆σs =
18 kN/cm2 para barras retas com pequena curvatura 14 kN/cm2 para barras com grandes curvaturas (estribos) 8 kN/cm2 para barras soldadas e emendas com soldas
- Elementos que devem ser verificados à fadiga: vigas e lajes do tabuleiro de pontes - Fator de fadiga É o fator pelo qual devem ser multiplicadas as áreas de armadura de uma seção, para atender as flutuações de tensões. Fator de fadiga = Se,
∆ σs ≥ 1, 0 ∆ σs
∆σs > 1, 0 , então, corrige-se a armadura calculada, ∆σs ∆σ As,corrig = s . As,calculado ∆σs
onde,
6.19
∆σ s = variação de tensões calculadas ∆σ s = var iação de tensões admissíveis OBS.:As tensões σ s devem ser calculadas com esforços solicitantes de serviços, isto é, sem majorá-los com os coeficientes de majoração.
6.4.4.5 - VERIFICAÇÃO DA FADIGA DA ARMADURA DE FLEXÃO Solicitações de serviço: M máx = M g + M q ,máx M mín = M g + M q ,mín Cálculo das tensões nas armaduras - armadura tracionada (As) M σs = ZAs
;
0,87d seção retangular (M < 0) Z = h f d - 2 seção T (m > 0) M máx M = ou M mín
- armadura comprimida
σs = αeσc ; α e ≅ 10 M σc = yi I
;
σs = 10
onde, I = momento de inércia σc = tensão no concreto σs = tensão na armadura comprimida yi = distância do C.G. da seção até a armadura comprimida
EXEMPLO Seção 3
M y I i
6.20
M g = −800kN.cm
Mmáx = 167. 421 kN.cm
M q, máx = 168.221kN.cm
Mmín = - 256.068 kN.cm
M q, mín = −255.268kN.cm bf = 336 cm bw = 76 cm h = 225 cm hf = 25 cm
b f = 336 cm A s2 = 42,55 cm2
.....
25 cm
I = 1.1957 x 10
d = 202,5 cm
C.G.
y1 = 117,5 140 cm
..... 76 cm
z= A s1 = 27,24 cm2
Fig. 6.24 - Características geométricas da viga principal
a) armadura superior, A s 2 a.1) momento, M = Mmáx = 167. 421 kN cm (armadura será comprimida) σs = 10
M 167.421 2 y 2 = 10x x 72 , 5 1 , 015 kN / cm = I 1,1957 x108
a.2) momento, M = Mín = -256. 068 kN cm (armadura será tracionada) σs =
M 256.068 = = 34,16kN / cm 2 z.As2 176,18x 42,55
a.3) variação das tensões na armadura As2 ∆σs = 1,015 + 34,16 = 35,18 > ∆σs = 18 As2,corrig. =
cm 4
y2 = 72,5 85 cm
+
200 cm
8
35,18 x 42,55 = 83,16cm 2 18
b) armadura inferior, A s1 b.1) momento, M = Mmáx = 167. 421 kN cm (armadura será tracionada)
0,87.d = 176,18 cm d - h f / 2 = 190 cm
6.21
σs =
M 167.421 = = 32,35kN / cm2 z.As1 190x 27,24
b.2) momento, M = Mín = -256. 068 kN cm (armadura será comprimida) M 256.068 2 = y1 = 10 x x 117 , 5 2 , 52 kN / cm I 1,1957 x108 b.3) variação das tensões na armadura As1
σs = 10
∆σs = 32,35 + 2,52 = 34,87 kN / cm2 > ∆σs = 18kN / cm 2 ∴ As1,corrig =
∆ σs 34,87 As1 = x 27,24 = 52,77.cm 2 ∆σs 18
OBS.: Nos cálculos das variações ∆σs , as parcelas foram adicionadas, pois, o que se procura é a amplitude total das tensões. Caso os momentos máximos e mínimos forem de mesmo sinal, as parcelas que compõem ∆σ s devem ser subtraídas uma da outra.
6.4.4.6 VERIFICAÇÃO DA FADIGA DA ARMADURA DE CISALHAMENTO Solicitação de serviço: Vmáx = Vg + Vq ,máx Vmín = Vg + Vq ,mín
V = maior valor em módulo
1 V2 = menor valor em módulo
V1 e V2 com mesmo sinal
∆σs =
1,15( V1 − V2 ) d . b w . ρw
caso contrário
∆σs =
1,15V1 − τc . bw . d d . b w . ρw
Se ∆σs ≤ ∆σs = 14 kN / cm2 → Se ∆σs ≥ ∆σs = 14 kN / cm2 →
Exemplo: seção 5
bw (cm) 40
ρw ,corrig. = ρw ∆ σ ρw,corrig. = s . ρw ∆σs
ρw (%) V1 (kN) V2 (kN) 0,31 1023,58 224,30
Vmáx = 424 + 599,58 = 1023,58 kN = V1 Vmín = 424 - 199,70 = 224,30 kN = V2
∆σs =
1,15(1023,58 − 224,30) = 36,6kN / cm2 202,5x 40x 0,0031
∆σ s ( kN / cm 2 ) ρw ,corrig (%)
36,6
0,81
6.22
ρ w ,corrig. =
36,6 x 0,31 = 0,0081 → 0,81% 14
7.1
CAPÍTULO VII (2002) 7. CÁLCULO DAS TRANSVERSINAS 7.1. Cálculo dos esforços devidos à carga permanente Calculam-se os esforços solicitantes para cada transversina, tendo como base as seguintes considerações: - carga uniformemente distribuída sobre o tabuleiro; - os pesos próprios da laje e da pavimentação, suportada pela transversina, são
proporcionais à sua
área de influência, obtida a partir das bissetrizes entre a transversina e as vigas principais; - Consideram-se as transversinas como vigas biapoiadas sobre as vigas principais e sem a consideração da largura colaborante da laje.
7.1.1. Áreas de influência viga principal
transversina
3.2
cortina 45
6.6
o 45
T1
o
T2
3.2
T3
T4
T5
área de influência da transversina T1 5.0
10.0
10.0
transversina T1=T5 T2=T4 T3
5.0
área de influência (m2) (6,60+1,60)x2,50/2 =10,25 10,25 + (6,60x3,30)/2 =21,14 2(6,60x3,30)/2 = 21,78
- peso próprio da laje ... 0,25x25
= 6,25
- pavimentação .......... (0,12+0,05)24/2
= 2,04
(altura média x peso específico) - recapeamento
= 2,00 total
= 10,29kN/m2
- peso próprio da transversina ...0,30x2,0x25 = 15,00kN/m
7.2
7.1.2.Carga uniformemente distribuída ao longo das transversinas transversina
área de influência (m2)
T1=T5 (cortinas)
10,25
T2=T4 T3
21,14 21,78
carga distribuída ao longo da transversina "g"(kN/m) [ (10,25x10,29)/6,60] +15 = 30,98 g=30,98 distribuída em toda a cortina G=26,37kN (peso da ala aplicada em cada extremidade da cortina) [ (21,14x10,29)/6,60] +15 = 47,96 [ (21,78x10,29)/6,60] +15 = 48,96
7.1.3 -Cálculo de M e V devidos a "g"
Seções de cálculo Cortina
A
B
0
1
0
1
2
3
4
C
D
.........
Transversina ....
2
3
4
1.60 1.60 1.65 1.65 1.65 1.65 1.60 1.60m
transversina g(kn/m) T1=T5 g=30,98kn/m
seção
M(kN.m)
A B 0 {
0,00 -81,85 -243,00
1 2 3 4{
-116,49 -74,32 -116,49 -243,00
G=26,37kn
T2=T4 g=47,96kn/m
T3 g=48,96kn/m
C D 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
7.2. Cálculo dos esforços devidos à carga móvel
7.2.1. Coeficiente de impacto
-81,85 0,00 0,00 195,86 261,14 195,86 0,00 0,00 200,00 266,59 200,00 0,00
V(kN) -26,37 -75,94 -125,50 V0,esq. 102,23 V0,dir. 51,11 0,00 -51,11 -102,23 V4,esq. 125,50 V4,dir. 75,94 26,37 158,27 79,14 0,00 -79,14 -158,27 161,57 80,79 0,00 -80,79 -161,57
7.3
ϕ = 1,4-0,007x6,60 = 1,354
7.2.2. Cálculo do trem-tipo Hipótese : lajes simplesmente apoiadas sobre as trasnversinas
exemplo: T 3 laje Esquema estático para o c cálculo das reações das transversinas
transversina
T1
T2
T3
T4
T2
T3
T4
B
q
T5
q
2
B q
q
q
Q 1
A
A
Q 1
q q PLANTA do tabuleiro Q
q
Q
2
TREM-TIPO da transversina
Q
q CORTE A-A LI DE T3 laje
0.70 7.00
1.50
0.85 1 1.50 1.50 1.50
(região c/veículo-tipo)
7.00
q CORTE B-B LI DE T3 (região s/veículo-tipo)
1 10.00
Q1=1,354x75x(1+2x0,85) = 274,2kN q1 =1,354x5x[2x(0,70x7)/2] = 33,17kN/m q2 =1,354x5x[2x(1x10)/2] = 67,7kN/m
(1*10)/2=5 10.00
1
7.4
7.2.3. Cálculo de M e V Exemplo: seção 1 das transversinas T 2 , T3 e T4
0
1
2
1.65 q
3
1.65 Q 1
2
q
4
1.65
1.65
Q 1
q
2
1
0.25
1.65
Seções de Cálculo
0.86
LI de M q (seção 1 )
0.61
0.74
1 1.24 1.15 q
0.50
2.00
0.50
2.45
Q 1
2
q q
Q 1
1
0.17
q
Q 1
1
p/ V q,mín 2 p/ V q,máx
0.25 _ LI de V +
0.15
1.00 0.45
q
(seção 1)
0.37
0.75
Mq(1)=274,2(1,24+0,74)+33,17[2,5x(1,24+0,61)/2+0,50x(1,24+0,86)/2]+ +67,7[(0,86x1,15)/2+ (0,61x2,45)/2] = 721,10 kN.m Vq,máx(1)=274,2(0,75+0,45)+33,17x2,50(0,75+0,37)/2+67,7(0,37x2,45)/2=406,16kN Vq,min(1)=-274,2x0,25-33,17x0,50(0,17+0,25)/2-67,7(0,17x1,15)/2=-78,65kN OBS.: - Construir tabelas idênticas àquelas das cargas permanentes - - Para cada transversina obter o TREM-TIPO correspondente
7.5
7.3. Esforços totais
(NBR-8681,ítem 5.1.4)
Nota-se pelos cálculos que: o peso próprio da transversina < 75%da carga permanente total, então,
γ g = 1,4 ou 0,90 e γ q = 1,4 Md = γ gMg+γ qMq Vd = γ gVg+γ qVq OBS.: Elaborar as tabelas de M d , Vd com os valores máximos e mínimos
7.4. Envoltória de esforços Para a envoltória de momentos fletores deve-se considerar nos apoios os
seguintes
valores:
Esta providência visa a considerar momentos que podem ocorrer,caso as vigas principais
tenham
1/3 M máx 1/4 M máx M
M
máx
máx
deslocamentos diferentes.
viga principal tração
transversina tração
8.1
CAPÍTULO VIII (2002) 8. CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO 8.1 Introdução Os esforços solicitantes de lajes são obtidos através da Teoria das Placas. Embora as lajes , em geral , têm comportamento anisotrópico , isto é , rigidez diferente nas duas direções , considera-se , para efeito de cálculo de solicitações , que seja elástica e isotrópica . Existem também o cálculo à ruptura, onde se abandona o comportamento elástico da laje, e outros procedimentos alternativos que não serão objeto deste curso. Encontram-se na literatura , em forma de tabelas , as soluções de placas elásticas , tais como as de Czarny e Marcus . Porém , estas são válidas apenas para cargas distribuídas . No caso de lajes de pontes , as principais solicitações são provocadas pelas cargas concentradas das rodas dos veículos, que além de serem preponderantes em relação às outras cargas , são móveis . Com isso , faz-se necessário outras tabelas. As tabelas , freqüentemente utilizada , são as de Rüsch , que serão aquí adotadas . Vale salientar que em lajes de pontes , o problema resume-se em encontrar as posições das cargas que produzam as solicitações mais desfavoráveis para as lajes . Este cálculo é extremamente trabalhoso. Para facilitá-lo foram desenvolvidos diversos procedimentos , tal como o de Rüsch.
8.2 Esquema Estático Adotam-se , para o cálculo das lajes do tabuleiro , os esquemas estáticos resultantes da divisão do tabuleiro em vários painéis , contornados por vigas principais , transversinas e cortinas . Cada painel será considerado apoiado sobre estas estruturas lineares(vigas , transversina ,etc.) . Quando houver continuidade da laje , na linha de apoio sobre aquelas estruturas lineares , esta será considerada engastada na posição desta linha. Para visualizar estas considerações , observe-se a figura abaixo :
cor na
ransvers na
v ga pr nc pa
ex rem a e vre B
L1
L2
A
L1
L3
L4
L5
L6
L4
L6
PLANTA DO TABULEIRO L2
A
B
CORTE B-B
L4 L3
L5
CORTE A-A
Figura 8.1
8.2
Os esquemas estáticos foram adotados como lajes isoladas para que se possam utilizar as tabelas de Rüsch , que foram elaboradas como tais . Após os cálculos dos esforços solicitantes das lajes isoladas consideram-se a continuidade da estrutura por meio de um coeficiente α . Estes coeficientes afetam apenas os esforços devidos às cargas móveis , cujos esforços são preponderantes em relação àqueles devidos às cargas permanentes. l
x
x
l x = dire ão da continuidade
Valores de αo para momentos de carga móvel e momentos de engastamento MA da viga de borda, para o cálculo aproximado de placas contínuas. Modos de apoio das lajes isoladas
Valores para os pontos :
extrema ou marginal
A
ly lx
1
MA
interna
B
2
C
constante αo
Pontes Placas
≤ 0,80
1,00
1,00
1,05
vinculadas
= 1,0
1,05
0,96
1,13
nos quatro
= 1,20
1,07
0,94
1,18
lados
=∞
1,10
0,92
1,23
Pontes
Placas
=∞
1,10
0,92
1,23
em
vinculadas em
= 1,0
1,14
0,89
1,30
lajes
dois lados
= 0,50
1,22
0,82
1,45
opostos
= 0,25
calculam-se como vigas contínuas
em vigas
1/2 MB
1/3 MB
1/3 MB
Correção de ao para vãos menores que 20,0 metros :
1,00
8.3
1,20 α = . αo 1 + 0,01 . lx Conseqüentemente , os momentos fletores de cálculo serão obtidos da seguinte forma : M d = γ g . M g + γ q . α. M q
Nos apoios internos serão obtidos dois valores de momentos fletores, porém será utizado ,para dimensionamento, apenas o maior valor , o qual corresponde o caso mais desfavorável ,pois, este é aquele em que somente a laje correspondente ao maior momento sofre a ação do trem-tipo . OBS. : Na prática utilizam-se, freqüentemente, as transversinas intermediárias desligadas da laje . Neste caso a laje apoia-se apenas nas vigas principais e nas transversinas de extremidade (cortinas) .
8.3 Tabelas de Rüsch As tabelas de Rüsch foram obtidas para veículos-tipo com cargas de rodas e cargas uniformemente distribuídas unitárias. Ou seja, os esforços solicitantes das tabelas resultaram da aplicação deste carregamento unitário sobre a superfície de influência destes esforços. O conceito de superfície de influência é o mesmo do de linha de influência das estruturas lineares, isto é, cada ordenada da superfície ,no ponto de aplicação da carga unitária, é o valor do esforço solicitante em uma determinada seção. Graças à coincidência dos trens-tipo da norma brasileira NBR 7188 daqueles da norma alemã DIN 1075 ,utilizadas por RÜSCH, pode-se utilizar as referidas tabelas nas pontes brasileiras. Entretanto, deve-se considerar nestas tabelas a carga distribuída p' = p ,pois na norma brasileira a carga distribuída ao redor do veículo-tipo é igual à carga p (no curso é "q") ,enquanto que na norma alemã , atrás e em frente ao veículo-tipo a carga distribuída é p e nos lados a carga distribuída é p' ., conforme Fig. 8.2 . NOTA : A nomenclatura utilizada no curso e nas tabelas de Rüsch é a seguinte :
Tabela 8.2 Nomenclatura carga curso distribuída na faixa do veículo q distribuída na faixa lateral do veículo q' concentrada da roda Q permanente g lateral do veículo
q q
+ + + + + + q
a)
q
lateral do veículo
p'
faixa do veículo
p
lateral do veículo
Norma brasileira (q' apenas no passeio)
Rüsch p p' L g
+ + + + + +
p
p' b)
Norma alemã
Figura 8.2 - cargas móveis sobre o tabuleiro
8.3.1 Condições de contorno
faixa do veículo lateral do veículo
8.4
As tabelas de Rüsch foram obtidas para condições de vinculações prefixadas, tais como : borda livre borda apoiada borda engastada
Identificados o tipo de vinculação, a direção do tráfego e determinado a relação ly /lx , localiza-se a tabela correspondente no índice de tabelas ,ou melhor, no índice de placas , pois, Rüsch colocou números nas placas , conforme a Fig. 8.3 . y
Núm. l
86
x
y
l
l
l
y
0,80
x
direção de tráfego
Figura 8.3
x
OBS. Não existe uma convenção para lx e ly .
8.3.2 Parâmetros para a utilização das tabelas t , onde , a
No uso das tabelas de Rüsch são necessários os parâmetros: lx e a
a = distância entre as rodas de um mesmo eixo, no caso dos veículos-tipo brasileiros, a=2,0m , t = lado do quadrado de área equivalente à do retângulo de contato de roda , propagado até a superfície média da placa , Fig.8.4 , lx = vão da laje na direção x . contato da roda com a laje b 0,20m
o projeção a 45 t'
superfície quadrada equivalente t'
planta da projeção no plano médio
pavimentação
45
o
t'
45
o
e
t'
h/2 h/2
t'
t
t laje
plano médio
t
direção de tráfego
Figura 8.4
Da Fig. 8.4 , tem-se : t' =
0,20 . b
e
t = t' + 2e + h
.
Segundo a NBR 7188 a largura "b" do contato da roda com a laje depende da classe da ponte : - classe 45 → b = 0,50m - classe 30 → b = 0,40m - classe 12 → b = 0,20m (roda dianteira) b = 0,30m (roda traseira)
8.5
0,50m
b
0,50m 0,20m 0,20m
0,20m
2,00m
b
0,30m 0,20m
0,50m
1,50m 1,50m 1,50m 1,50m
0,50m 1,50m
veículo-tipo / classe 45 e 30
2,00m
3,00m
1,50m
veículo-tipo / classe 12
Figura 8.5
No caso de trem-tipo classe 12 (dois eixos, com cargas diferentes) , Rüsch considera como efeito mais desfavorável um segundo veículo-tipo , colocado lateralmente ao existente , porém considerando-se apenas as rodas traseiras(mais pesadas) de ambos os veículos . Isso implica em utilizar somente um valor de t/a , o correspondente ao eixo traseiro .
8.3.3 Cálculo dos momentos fletores 8.3.3.1 Momentos provocados por cargas permanentes " g " São calculados pela expressão , M g = K . g . l 2x , sendo , K = coeficiente fornecido pela tabela , em sua parte superior , depende da relação ly/lx e dos vínculos , g = carga permanente uniformemente distribuída .
8.3.3.2 Momentos provocados por cargas móveis As tabelas de Rüsch fornecem , conforme o caso , os valores dos momentos no centro , no meio da borda engastada e no meio da borda livre das lajes . Nas tabelas estes valores são fornecidos em três parcelas : a primeira devida à pressão unitária de cada roda do veículo-tipo (coluna L da tabela) , a segunda devida à carga distribuída unitária na faixa do veículo (coluna p) e a terceira devida à carga distribuída unitária na faixa lateral ao veículo (coluna p') . Neste curso, estas parcelas são denominadas , respectivamente , mL , mq e mq' , por se tratarem de momentos fletores devidos a carregamentos unitários. Portanto , para se obter o efeito global das cargas do trem-tipo(veículo-tipo mais as cargas distribuídas ao redor do veículo-tipo) , num determinado ponto , utiliza-se a seguinte expressão : M q = ϕ . ( Q . m L + q . mq + q . mq' )
onde , Mq = momento total devido à carga móvel ϕ = coeficiente de impacto, Q = carga de uma roda do veículo-tipo ( no caso de ponte classe 12 , roda traseira), q = carga distribuída ao redor do veículo, mL = momento fletor provocado pelo veículo-tipo com cargas das rodas unitárias, mq = momento fletor provocado por carga distribuída unitária na faixa do veículo, mq' = momento fletor provocado por carga distribuída unitária nas faixas laterais do veículo . OBS. : No caso de ponte classe 12 há uma quarta parcela (coluna L' da tabela) ,correspondente ao veículo lateral . Com isso , a expressão anterior fica da seguinte forma :
8.6
M q = ϕ .[ Q ( m L + m L' ) + q . m q + q . m q' ]
onde , Q = carga de uma roda do eixo traseiro do veículo-tipo, mL = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo-tipo, mL' = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo lateral(na realidade é idêntico ao veículo-tipo), os demais termos têm o mesmo significado da expressão anterior . A seguir indica-se a forma das tabelas de Rüsch que fornecem os extremos dos momentos fletores, devido ao carregamento unitário , em alguns pontos da laje . Estes extremos são obtidos a partir da posição mais desfavorável do trem-tipo, composto de cargas unitárias , observando-se a forma da superfície de influência . Salienta-se que a tabela abaixo corresponde à uma parte das tabela original de uma laje engastada nos bordos , com ly /lx = 1 , já com a nomenclatura do curso .
Tabela 8.3 No
M g = K . g . l2 x
y direção de tráfego
97
x
ly/lx = 1
carga uniforme em toda placa - para Mg,xm : K=0,021 - para Mg,ym ; K=0,021 - para Mg,xe ; K= - 0,053 - para Mg,ye ; K= - 0,053
g ( kN 2 ) m l x em metros
lx /a
Ponte classe 30 a 60 Mq,xm no centro da laje t/a 0,250
0,50
mL
mL
mL
0,50 1,00 1,50
0,157 0,223 0,245
0,063 0,116 0,168
0,035 0,064 0,100
lx /a
Momentos nos centros dos engastes da laje Ponte classe 30 a 60 carga da roda 1,0 kN carga distribuída 1,0 kN/m2 -Mq,xe no centro da laje -Mq,ye no centro da laje - Mq,xe - Mq,ye t/a t/a para todos os valores de t/a
0,50 1,00 1,50
0,250
0,50
mL
mL
mL
0,140 0,250 0,350
0,115 0,210 0,300
0,072 0,140 0,225
0,125
0,250
mL
mL
mL
mL
mL
0,010 0,020 0,045
0,100 0,160 0,244
0,073 0,120 0,180
0,039 0,066 0,100
0,010 0,022 0,040
1,00
0,50
carga distribuída 1,0 kN/m2 Mq,xm Mq,ym para todos os valores de t/a
0,125
0,125
1,00
Momentos no centro da laje carga da roda 1,0 kN Mq,ym no centro da laje t/a
0,50
1,00
0,125
0,250
mL
mL
mL
mL
mL
0,030 0,080 0,170
0,193 0,270 0,380
0,180 0,235 0,330
0,100 0,155 0,230
0,090 0,150 0,200
mq
mq'
mq
-
-
-
mq' 0,020
1,00
mq -
mq' 0,08 0,18 0,20
mq -
mq' 0,030 0,080
A partir dos máximos momentos calculados no centro e nas bordas , Rüsch apresenta diagramas de cobrimento para toda a superfície da laje , que são necessários para o detalhamento das armaduras . Na fig. 8.6 apresenta-se um desses diagramas , relativos aos momentos devido à carga permanente .
y
8.7
y
Mg,xe Mg,xm
Mg,xe x
Mg,xm
ly
x
Mg,xe
Mg,ym 0,20 ly
ν Mg,ye lx
ν Mg,ye
0,20 lx
a) Diagrama de Mg,x devido a g
b) Vetores dos momentos
Figura 8.6 - Diagramas de momentos fletores
8.3.4 Esforços Cortantes Segundo Rüsch, o tipo de apoio , a relação entre os vãos da laje têm pequena influência no valor dos esforços cortantes . Por isso , o esforço cortante produzido pela carga móvel é tratado somente para quatro casos característicos , apresentados nas tabelas 99,100,101 e 102 . Portanto , deve-se adotar , para a situação de projeto , aquela que mais se aproxima da laje em estudo.
8.4 APLICAÇÃO DAS TABELAS DE RÜSCH Considere-se as lajes do tabuleiro do projeto proposto : L1
L2
L3
3,20m
L4
L5
L6 5,00m
10,0m
6,60m
3,20m 10,0m
5,00m
Figura 8.7
a) carga permanente h = 0,25m (espessura da laje) e = (0,12+0,05)/2 = 0,085m (espessura média da pavimentação) peso próprio da laje : 0,25 . 25 = 6,25 kN/m2 pavimentação : 0,085 . 24 = 2,04 kN/m2 recapeamento : 2,00 kN/m2 g = 10,29 kN/m2 b) carga móvel - ponte classe 45 Q = 75 kN
; q = 5 kN/m2
; q' = 3 kN/m2 (passeio , se existir )
8.8
coeficiente de impacto : ϕ = − 0007 . ( = menor vao teorico) laje L2=L5 laje L3=L4 laje L1=L6
→ → →
= 1,365 ϕ = 1,4 - 0,007 . 5,00 = 1,354 ϕ = 1,4 - 0,007 . 6,60 ϕ = 1,4 - 0,007 . (2 . 3,20) = 1,355
8.4.1 Lajes internas ( L2 , L3 , L4 , L5 ) 8.4.1.1 Momentos fletores 8.4.1.1.1 Laje L2=L5 (cálculo como laje isolada) x ~ = 0,80
ly / lx = 5,0 / 6,6 = 0,76 direção de tráfego y
6,60
placa N
índice de placas (pág.78)
_o
86 , pág.58
Figura 8.8 5,00
contato da roda : classe 45 t' =
2,0m
0,5 . 0,2 = 0,316m
t = t' + 2.e + h = 0,316 + 2 . 0,085 + 0,25 = 0,736m
0,5m
t /a = 0,736 / 2,0 = 0,368
0,2m
lx /a = 6,60 / 2,0 = 3,30
a) Momentos devido à carga permanente M g = K.g. l 2x M g,xm = 0,017x10,29x 6, 602 = 7, 62kN.m / m M g,ym = 0,030x10,29 x 6,602 = 13, 45kN.m / m M g,ye = −0,064x10,29x 6,60 2 = − 28, 69kN.m / m
b) Momentos devido à carga móvel ( t/a=0,368 ; lx/a=3,30) Para esses valores de t/a e lx/a ,inexistentes na tabela , devem ser obtidos os momentos mL , mq ,mq' , por interpolação linear :
Para t/a = 0,250 , tem-se : mL
y
0,351 y
0,3
0,087
=
0,087 1
0,264 3,0
3,3
4,0
lx/a
mL = 0,264 + 0,0261 = 0,2901
y = 0,0261
8.9
Para t/a = 0,50 , tem-se : mL
y
0,284 y
=
0,3
0,081
0,081
y = 0,0243
1
0,203 3,0
3,3
lx/a
4,0
mL = 0,203 + 0,0243 = 0,227
Para t/a = 0,368 e lx/a = 3,30 , temmL
y
0,291 0,06
=
0,132
y
0,064
y = 0,0338
0,250
0,227 0,250
0,368
0,50
t/a
mL = 0,227 + 0,0338 = 0,261
Figura 8.9 Portanto ,
Tabela 8.4 Mq,xm no centro da laje t/a para todos os valores de t/a
lx /a
3,00 3,30 4,00
0,250 mL 0,264 0,291 0,351
0,368 mL 0,261
0,500 mL 0,203 0,227 0,284
mq 0,003 0,010
mq' 0,120 0,168 0,280
Procedendo-se de forma análoga, para Mq,ym e Mq,ye , tem-se :
Tabela 8.5 Mq,ym no centro da laje t/a para todos os valores de t/a
lx /a
3,00 3,30 4,00
0,250 mL 0,310 0,339 0,406
0,328
0,500 mL 0,287 0,315 0,380
mq -
mq' 0,350 0,485 0,800
Tabela 8.6 - Mq,ye no centro da borda t/a para todos os valores de t/a
lx /a
3,00 3,30 4,00
0,368 mL
0,250
0,368
0,500
mL
mL
mL
mq
0,822
0,720 0,786 0,940
0,05 0,065 0,10
0,790 0,856 0,1,01
mq' 0,800 1,064 1,68
Considerando-se mL, mq, e mq' para cada momento , tem-se o efeito global , dado por :
8.10
Mq = ϕ ( Q . m L + q . mq + q . mq' ) , então , Mq , xm = 1, 365( 75x 0,261 + 5,0x0,003 + 5,0x0,168) = 27 ,89 kN. m / m Mq , ym = 1, 365( 75x 0,328 + 5,0x0,485) = 36,89 kN . m / m Mq , ye = −1, 365( 75x 0,822 + 5,0x0,065 + 5,0x1,064 ) = −91,86 kN. m / m x
8.4.1.1.2 Lajes L3 = L4 (cálculo como laje isolada) ly / lx = 10,0 / 6,6 = 1,51 direção de tráfego
6,60
y 10,00m
~ =
1,50
índice de placas (pág.78)
placa N
_o
89
OBS. Esta placa não foi tabelada por Rüsch , mas no índice (pág.78) há indicação para o seu cálculo, na coluna 6.
Figura
No índice de placas, pág.78 , coluna 6 ,encontra-se a seguinte indicação do cálculo da placa No. 89 : - carga permanente , Mg,xe → K=0,054 ; Mg,ym → K=0,039 ; Mg,ye → K= -0,105 - carga móvel , calcular como a : placa No.1 (pág 2) , para Mq,xm e Mq,ym , placa No.58 (pág 46) , para Mq,ye .
a) Momentos devido à carga permanente M g = K.g. l 2x M g,xm = 0,054x10,29x 6,602 = 24,20 kN.m / m M g,ym = 0,039x10,29x 6,602 = 17, 48kN.m / m M g,ye = −0,105x10,29x 6,60 2 = − 47, 06kN.m / m
b) Momentos devido à carga móvel (lx/a = 3,30 e t/a = 0,368) Note-se que os parâmetros lx/a e t/a são os mesmos da laje L2=L5 ,pois, foi adotado a mesma orientação dos eixos e o mesmo veículo-tipo (trata-se da laje da mesma ponte) . Realizandose as interpolações lineares necessárias , obtêm-se : Tabela 8.7 - Placa No.1 (pág. 2) Mq,xm no centro da laje lx /a t/a para todos os valores de t/a 3,00 3,30 4,00
0,250
0,368
0,500
mL
mL
mL
mq
0,727
0,670 0,715 0,820
1,000 1,360 2,200
0,690 0,738 0,850
mq' 1,350 1,800 2,850
8.11
Tabela 8.8 - Placa No. 1 (pág.2) Mq,ym no centro da laje lx /a t/a para todos os valores de t/a 3,00 3,30 4,00
0,250 mL 0,408 0,445 0,530
0,368 mL 0,420
0,500 mL 0,361 0,394 0,472
mq 0,170 0,230 0,370
mq' 0,400 0,589 1,030
Tabela 8.9 - Placa No. 58 (pág.46) - Mq,ye no centro da borda lx /a t/a para todos os valores de t/a 3,00 3,30 4,00
0,250 mL 0,990 1,053 1,200
0,368 mL 1,042
0,500 mL 0,960 1,029 1,190
mq 0,750 0,945 1,400
mq' 1,550 2,105 3,400
Portanto, os efeitos globais são : M q, xm = 1,354(75x0,727 + 5, 0x1,360 + 5, 0x1,800 ) = 95, 22 kN. m / m M q, ym = 1,354(75x0,420 + 5,0 x0,230 + 5,0 x0,589 ) = 48,20 kN. m / m M q, ye = −1,354(75x1,042 + 5,0 x0,945 + 5, 0x2,105) = −126,46 kN. m / m
8.4.1.1.3 Correção dos momentos devido à continuidade das lajes . Por causa da preponderância dos momentos devidos à carga móvel frente àqueles devidos à carga permanente , faz-se a correção apenas nos primeiros .
Laje L2=L5 x
coordenadas da tabela de continuidade
Mq,xm = = 27,89
y'
lx' = 5,0m
ly'
ly' = 6,6m
lx'
y
6,60
x' Mq,ym =
x' = direção da continuidade
= 36,89kn.m/m
Figura 8.11 5,00m
Da Tabela 8.1 , referente à continuidade das lajes , tem-se : 1 MA = M B 2
;
α 01 = 1, 07
;
α 0 B = 0 , 94 ; pois,
ly ≅ 1, 20 lx
= 1,32
8.12
como lx' < 20,0m , então , α1 =
1, 20 x1, 07 = 1, 223 1 + 0 , 01x 5, 0
αB =
;
Mq,x'm = 36,89x1,223=45,12 kN.m/m Mq,y'm = sem alteração = 27,89 kN.m/m (pois, não há continuidade de lajes) Mq,x'e = - 91,86x1,074 = - 98,66 kN.m/m Mq,x'a = 1/2 Mq,x'e = - 49,33 kN.m/m
1, 20 x 0 , 94 = 1, 074 1 + 0 , 01x5, 0
→ meio da laje → meio da laje
= Mq,ym = Mq,xm
→ lado engastado → lado apoiado
= Mq,ye = Mq,ya
Portanto , x onde , Mq,ya = momento negativo no meio do apoio simples da esquerda .
Mq,xm = = 27,68 Mq,ya = 6,60
y
= - 49,33 Mq,ym =
Mq,ye = - 98,66kn.m/m
= 45,12kn.m/m
Figura 8.12 Laje L2=L5 - Momentos corrigidos devidos à carga móvel.
5,00m
Laje L3=L4 x
6,60 Mq,ye= = -126,46
coordenadas da tabela de continuidade y' lx' = 10,0m ly' ly' = 6,6m
Mq,xm=95,22
y
Mq,ym= 48,20 [kn.m/m]
Mq,ye= = -126,46
10,0m
x' x' = direção da continuidade
Figura 8.13
Da Tabela 8.1 , referente à continuidade das lajes , tem-se : α 0 B = 1,00
;
α 02 = 1,05
;
α 0 c = 1,00
como lx' < 20,0m , então , α1 =
1,20 1,20 x1, 05 = 1145 , ; αC = αB = x1,00 = 1, 091 1 + 0, 01x10, 0 1 + 0, 01x10, 0
Mq,x'm = 48,20x1,145 = 55,19 kN.m/m = Mq,ym Mq,x'e = -126,46x1,091 = - 137,97kN.m/m = Mq,ye Mq,y'm = sem alteração = 95,22 kN.m/m = Mq,xm Portanto ,
lx'
= 0,66
8.13 x
6,60 Mq,ye= = -137,97
Mq,xm=55,19
y
Mq,ym= 55,19 [kn.m/m]
Mq,ye= = -137,97
10,0m
Figura 8.14
Laje L3=L4 - Momentos corrigidos devidos à carga móvel .
8.4.1.1.4 Envoltória (diagrama) dos momentos fletores Após a determinação dos valores extremos dos momentos fletores , no centro e no engaste das lajes , é necessário obter a envoltória dos momentos das lajes , para que se possa retratar as condições reais de vinculação das lajes e ,portanto, possibilitar um melhor detalhamento das armaduras . Rüsch fornece envoltórias de momentos fletores ,construídas a partir dos valores extremos obtidos por meio de suas tabelas , para os tipos usuais de vinculação. As envoltórias são fornecidas para momentos devidos à carga permanente e à carga móvel . Veja a seguir (Fig.515), um exemplo através da laje L2 do projeto : x
Mg,xm=7,62 kn.m/m
Mg,ym=13,45kN.m/
x
Mg,xe=− ν. Mg,ye= = - 0,2x28,69=5,74 kN.m/m y
Mg,ye= -28,69 kN.m/m y lx=6,6m 0,5.ly=2,5
0,2.lx=1,32m
0,20.ly=1,00m 0,25.ly=1,25
0,25.ly=1,0m
ly=5,00m
a) Mg,y
b) Mg,x x
Mq,xm=27,89 kN.m/m
Mq,ym=45,12 kN.m/m 0,3.ly
0,25.ly Mq,ye= - 98,66 kN.m/m y
Mq,ya= - 49,33
0,2.ly
x
Mq,xe= −ν . Mq,ye= = -0.2x98,66= = -19,73kN.m/m y
0,5.ly 0,2 lx
c) Mq,y Figura 8.15
d) Mq,x Envoltórias(diagramas) de momentos fletores
8.14
Observe-se nas Figs.8.15b e 8.15d que deve-se considerar, no engaste,momentos na direção x, Mg,xe e Mq,xe, que não foram calculados pela tabela. Isto significa que são necessárias armaduras negativas(superior) no engaste, na direção x, além das principais na direção y. A partir dos diagramas da Fig. 8.15 , é possivel fazer a combinação dos momentos, para cada seção préfixada. Entretanto, a combinação dos momentos será feita somente no centro e nos apoios da laje. No detalhamento das armaduras deve ser considerado o cobrimento dos diagramas de Rüsch(envoltórias).
8.4.1.1.5 Momentos finais de cálculo M d = 1, 4 Mg + 1, 4 Mq
( M q , corrigido )
Laje L2=L5 Md , xm Md , ym Md , ye Md , xe Md , ya
= 1,4 x 7, 62 + 1,4x 27,89 = 49, 71kN. m / m → centro da laje = 1,4 x13,45 + 1, 4x 98, 66 = 82, 00kN. m / m → centro da laje lado engastado = −1,4x28,69 − 1, 4x 98, 66 = − 178, 29kN. m / m → = ν. Md ,ye = 0,20x( −178, 29) = − 35, 66kN. m / m → lado engastado = −1,4 x 0 − 1,4x 49,33 = − 69, 06kN. m / m → lado apoiado
Laje L3=L4 Md , xm Md , ym Md , ye Md , xe
= 1,4 x24 ,2 + 1,4x 95,22 = 167,19kN. m / m = 1,4 x17,48 + 1, 4x55,19 = 101, 74kN. m / m = −1,4x47, 06 − 1,4x137, 97 = − 259, 04kN. m / m = ν. Md ,ye = 0,2x( −259, 04) = −51,81kN. m / m
Conseqüentemente, os extremos dos momentos fletores para o cálculo das armaduras são os seguintes: Md (kN.m/m) x 69,06
259,04
82,0
101,74
259,04 y
6,60 49,71 5,00m
51,81
167,19 [kN.m/m]
51,81
10,0m
Figura 8.16 Momentos de cálculo
ObS. Note-se que o momento sobre a segunda transversina foi considerado o maior dos dois momentos obtidos. Por ser mais desfavorável.
8.4.1.1.6 Cálculo das armaduras Após a determinação dos momentos de cálculo , obtêm-se as armaduras pelas tabelas usuais de concreto armado , obedecendo-se as armaduras mínimas fixadas por norma. O detalhamento e o cálculo dessas armaduras devem obedecer o diagrama de momentos de Rüsch (item 8.4.1.1.4). Por exemplo, no caso de laje engastada e apoiada na direção do tráfego,
8.15
Rüsch estabelece um momento negativo no lado apoiado igual à metade do momento do lado engastado, além disso , no engaste, considera também momentos na outra direção.
8.4.1.1.7 Verificação à fadiga A NBR 7187 recomenda a verificação à fadiga da lajes sujeitas a efeitos de cargas móveis relevantes , que é o caso das lajes de pontes . O procedimento para esta verificação e se necessário a correção das áreas de armaduras é idêntico ao já visto para o caso de vigas.
8.4.1.2 Esforços Cortantes O tipo de apoio , a relação entre os vãos , como já citado , têm pouca influência nos valores dos esforços cortantes. Por isso , supõe-se para as lajes em questão , a forma quadrada e engastada nos quatro lados , que , dentre as poucas tabelas fornecidas , é a que mais se aproxima das lajes em pauta .
8.4.1.2.1 Laje L2=L5 a) Laje do projeto y
Vy direção de tráfego x
6,60 m
convenção de Rüsch
y
Vq,x .
. 5,00 m
dir. de tráfego
b) Laje de Rüsch adotada Vq,x = Qx Vq,y = Qx
dir. de tráfego
. Vq,x ly=6,6m x
Vq,y lx=6,6m
placa N _o 102 , pág.76 OBS. A escolha de lx e ly a favor da segurança
Figura 8.17 - Esforços cortantes
Os parâmetros obtidos anteriormente são : l x 6,6 t 0,736 = = 3,30 ; = = 0,368 a 2,0 a 2,0 g = 10,29 kN 2 ; Q = 75,0 kN ; q = 5,0 kN ; φ= 1,365 m
a) Efeito da carga permanente Vg ,x = Vg , y = 0,44.g.l x = 0,44 x10,29x 6,60 = 29,88kN / m
b) Efeito da carga móvel Nomenclatura de Rüsch : Qx e Qy " do Curso : Vq,x e Vq,y
8.16
Tabela 8.10 Vq,y (Qx↔) lx/a 3,00 3,30 4,00
t/a 0,368 vL
0,250 vL 1,860 1,890 1,960
1,519
[kN] para valor vq 0,030 0,066 0,150
0,50 vL 1,070 1,103 1,180
Vq,x (Qx↑)
quaisquer de t/a vq' 0,520 0,622 0,150
t/a 0,368 vL
0,250 vL 1,860 1,887 1,950
1,492
0,500 vL 1,020 1,050 1,120
[kN] para valor vq 0,020 0,029 0,050
quaisquer de t/a vq' 0,450 0,603 0,960
Note-se que , embora a laje de Rüsch seja quadrada ,os valores de Vq,x e Vq,y são diferentes . Isto ocorre devido à direção do tráfego , pois , para uma dada direção o veículo-tipo tem três fileiras de rodas ,enquanto que na outra tem duas fileiras Na Tabela 8.10 vL, vL',vq, e vq' ,significam esforços cortantes devido ao trem-tipo unitário . Vq,x = 1,365(75x1,492 + 5,0x0,029 + 5,0x0,603) = 157,06kN/m Vq,y = 1,365(75x1,519 + 5,0x0,066 + 5,0x0,622) = 160,20kN/m
8.4.1.2.2 Laje L3=L4
6,60
direção de tráfego
y
Vq,x .
x
.
10,0m
Vq,x = Qx
convenção de Rüsch
Vq,y y
dir. de tráfego
b) Laje de Rüsch adotada
a) Laje do projeto
. Vq,x
Vq,y = Qx
ly=10,0m
dir. de tráfego
x
placa _o N 102 , pág.76 OBS. A escolha de lx e ly a favor da segurança
Vq,y lx=10,0m
Figura 8.18 - Esforços cortantes
Os parâmetros obtidos anteriormente são : l x 10,0 t 0,736 = = 5,00 ; = = 0,368 a 2,0 a 2,0 g = 10,29 kN 2 ;Q = 75,0kN ;q = 5,0kN; φ = 1,354 m
a) Efeito da carga permanente Vg,x=Vg,y = 0,44x10,29x10,0 = 45,28kN/m
b) Efeito da carga móvel
Vq,x lx/a 5,00
0,250 vL 2,05
t/a 0,368 vL 1,667
(Qx↔ ) 0,50 vL 1,260
Tabela 8.11 [kN] Vq,y para valor vq 0,340
quaisquer de t/a vq' 1,340
0,250 vL 2,02
t/a 0,368 vL 1,624
(Qx↑) [kN] 0,500 vL 1,180
para valor vq 0,009
quaisquer de t/a vq' 1,560
8.17
Vq,x = 1,354(75x1,667 + 5,0x0,34 +5,0x1,34) = 180,66kN/m Vq,y = 1,354(75x1,624 + 5,0x0,09 +5,0x1,56) = 176,09kN/m 8.4.1.2.3 Esforços cortantes totais
Laje L2=L5 Vq,xd = 1,4x29,88 + 1,4x157,06 = 261,72kN/m Vq,yd = 1,4x29,88 + 1,4x160,20 = 266,12kN/m
Laja L3=L4 Vq,xd = 1,4x45,28 + 1,4x180,66 = 316,31kN/m Vq,yd = 1,4x45,28 + 1,4x176,09 = 309,92kN/m
8.4.1.2.4 Considerações finais O cálculo das armaduras de cisalhamento, se necessário , é idêntico ao de edifícios . inclusive em relação às armaduras mínimas . Quanto à verificação da fadiga das armaduras o procedimento é aquele utilizado nas vigas.
8.4.2 Lajes em balanço (L1=L6) As lajes em balanço são calculadas como vigas engastadas, de 1,0m de largura , nas lajes internas . A diferença básica entre o cálculo das lajes em balanço de pontes e o de edi'ficios , é que no primeiro deve-se considerar como solicitações principais as cargas concentradas das rodas do veículo-tipo. A fim de facilitar os cálculos , simplifica-se a seção transversal da laje e da defensa ,considerando-as de espessura constante , de tal forma que as áreas , relativa à seção transversal , sejam equivalentes às áreas reais , resultando : 24 cm 80 25
(área equivalente)
B
pavim. emédio = 8,5cm
C
A
A,B,C = Seções de cálculo
(área equivalente)
150cm
150cm
40
Figura 8.19 Seção transversal simplificada
vão teórico : = 3,00 + 0,25/2 = 3,125cm (NBR 6118 , item 3.3.2.3) = vao teorico da laje em balanç o h L = vao teorico da laje em balanç o L + 2 onde ≤ b h = espessura da laje em balanç o L + 2 b = largura do apoio da laje em balanç coeficiente de impacto : ϕ = 1,4 - 0,007(2x3,125) =1,356
8.4.2.1 Efeito da carga permanente a) Seção A : Não existe b) Seção B , Seção C :
8.18
Tabela 8.12 Seção B
Seção C
Descrição
cortante/carga (kN/m)
braço momento (m) (kN.m/m)
cortante/ carga(kN/m)
braço momento (m) (kN.m/m)
1.Defensa 2.Laje 3.paviment. 4.recapeam. Total
0,24x0,80x25=4,8 0,25x1,50x25=9,375 0,085x1,26x24=2,57 1,26x2=2,52 Vg,B=19,27
1,38 0,75 0,63 0,63
4,8 18,75 5,63 5,52 Vg,C=34,70
2,88 1,50 1,38 1,38
6,62 7,03 1,62 1,59 Mg,B=16,86
13,82 28,13 7,77 7,62 Mg,C=57,34
8.4.2.2 Efeito da carga móvel 8.4.2.2.1 Força horizontal sobre a defensa (NBR 7188 - item 4.5) 60kN
Q1=60kN o 45
0,80m
A
B 1,50m
C 1,50m
x
o 45
z = 0,80m
2z = 1,60m
A,B,C = Seções de cálculo
0,40m
Figura 8.20
Distribui-se o efeito da carga concentrada sobre a laje , em uma extensão igual ao trecho compreendido entre as retas a 45o do ponto de aplicação da carga .
a) Seção A Q .z Q 60 = 30 kN.m / m MA = 1 = 1 = 2. z 2 2 VA =
Q1 60 = = 37,5kN / m 2. z 2 x0, 80
b) Seção B ; Seção C MB = MC = 30kN/m VB = VC = 0
8.4.2.2.2 Cargas do trem-tipo Considera-se atuando, em toda a extensão longitudinal da laje , apenas o veículo-tipo , por ser a condição mais crítica , ou seja , os efeitos (momentos e cortantes ) do trem-tipo(veículo-tipo +q) ,por metro na direção longitudinal , serão causados somente pelo veículo-tipo . Para cada seção longitudinal da laje coloca-se o veículo-tipo na posição mais desfavorável . Observe-se que os esforços são calculados no plano médio da laje. Portanto, a pressão da roda sobre a superfície de rolamento deve ser projetada a 45o sobre este plano :
8.19
0,50m a = 0,50 + 2e + h = 0,50 + 0,17 +0,25 = 0,92m b = 0,62m
0,20m
b = 0,20 + 0,17 + 0,25 = 0,62
a = 0,92m
Figura 8.21
a) Seção A MA = VA = 0
b) Seção B b.1) Momento fletor Para o cálculo do momento fletor em uma dada secão, por unidade de comprimento, consideram-se as cargas das rodas sobre a laje ,compreendidas entre as retas a 45o a partir de um ponto da seção em questão, isto é , são computadas as cargas que têm influência sobre o ponto. A posição da carga mais desfavorável para o momento fletor, na seção B, é aquela em que o veículo-tipo encosta na defensa(ou guarda-roda) com a largura real,ou seja, 40cm.
B z 45
o
b = 0,62m
B
0,31m
2.z
0,31m
45
tráfego
o
PLANTA DO BALANÇO 0,19
0,71m
0,39
1,50m
0,21
Figura 8.22
Da fig.8.22 tem-se :
Esquema para o cálculo do momento fletor na seção B
8.20
M q,B =
ϕ.Q total .z ϕ.Q total = ;onde, Q total = c arg a compreendida entre as retas a 45 o 2.z 2
então, Q total = 75kN 1,356x 75 = 50,85kN.m / m M q,B = 2
b.1) Esforço cortante (NBR 6118 itens 3.3.2.4 e 3.3.2.5) A posição do veículo-tipo mais desfavorável , para o esforço cortante ,é aquela em que a roda encosta na seção B. Segundo a NBR 6188 , o esforço cortante da laje em balanço pode ser determinado como se a mesma fosse uma viga de largura colaborante igual a b w , como indicado a seguir : B
b = 0,62m
bw tráfego a1 0,40
0,92m
1,50m
0,18
PLANTA DO BALANÇO Esquema para o cálculo do esforço cortante na seção B
Figura 8.23
Da Fig.8.23 , tem-se : b b w = b + 0,50a1 ( − )
;
onde,
= 3125 , m = vão teórico, b = 0,62 m = l arg ura da projeç ão da roda sobre a sup erfície mé diada laje, a1 = 0,46m = distância do centro da carg a distribuida, no plano medio da placa, até a seç ão em estudo, b w = l arg ura colaborante; ϕ.Q total = cor tan te por unidade de comprimento, onde, Vq , B = bw Q total = 75kN = c arg a do veículo − tipo na l arg ura bw ,
então , b w = 0,62 + 0,50x 0, 46(1 − Vq , B =
0,62 ) = 0,80m 3125 ,
1,356x 75 = 12712 , kN / m 0,80
c) Seção C c.1) Momento fletor
8.21
C
45
0,92m
o
0,31m
b = 0,62m
C
o
45
0,31m
tráfego
o
0,31
PLANTA DO BALANÇO
2,0m
Esquema para o cálculo do momento fletor na seção C 0,19
0,71m
0,39 0,69m
0,81m
0,21 roda
Figura 8.24
0,50m 0,92m
As cargas que estão dentro da área compreendida entre as duas retas enclinadas de 45o , contribuem para o momento fletor do ponto C (Fig. 8.24) . Carga distribuída de cada roda na área projetada no plano médio da laje: 1,356x 75 ϕQ = = 178,30 kN 2 q1 = m 0,62 x 0,92 0,62 x 0,92 Área total efetiva de contato das rodas, carga total, momento na seção C : 0,62x 0,31 = 2,09m 2 A e = 3x0 ,62x 0,92 + 0,62x 0, 46 + 2 Q total = q1 . A e = 178,30x 2,09 = 372,65kN M q, C =
Q total = 186,33kN.m / m 2
c.2 Esforço Cortante
8.22
a1=2,35m
C a1= 0,405m
b = 0,62m
bw bw 1 2
Q1
Q2
tráfego PLANTA DO BALANÇO Esquema para o cálculo do esforço cortante na seção C
0,81m 0,40
0,25
2,0m
0,35 0,11
3,0 m
Figura 8.25
Da fig.8.25 ,tem-se: b w1 = 0,62 + 0, 50x 0, 405(1 −
b w 2 = 0, 62 + 0, 50x 2,35( 1 −
Q total,1 = ϕ. Q1 = 1356 , x
0,62 ) = 0,782 m 3125 ,
0,62 ) = 1562 , m 3125 ,
75 x0,81x 0, 62 = 89, 54kN 0, 62x 0,92
Q total,2 = ϕ. Q 2 = 1,356x 75 = 101, 70kN Vq, C =
Q total,1 Q total,2 89,54 10170 , + = + = 179,61kN / m b w1 b w2 0,782 1562 ,
8.4.2.3 Esforços totais Vd = 1,4 Vg + 1,4 Vq Md = 1,4 Mg + 1,4 Mq
Seção
Mg
A B
(kN.m/m) 16,89
C
57,34
Tabela 8.13 Mq Md (kN.m/m) (kN.m/m) 30,00 30,00 + 50,85 30,00 + 186,33
Vg (kN/m)
Vq (kN/m)
Vd (kN/m)
42,00 136,84
19,27
37,50 127,12
52,50 205,00
383,14
34,70
179,61
300,00
8.23
8.4.2.4 Considerações finais Após a determinação dos esforços solicitantes nas lajes em balanço , por metro na direção longitudinal, procede-se o cálculo das armaduras de forma semelhante às lajes de edifícios. Além disso, deve-se verificar à fadiga as armaduras obtidas.
9.1
CAPÍTULO IX (2002) 9. PILARES DE PONTES (mesoestrutura) 9.1 Introdução A função dos pilares é transmitir as cargas da superestrutura (carga móvel, peso próprio, frenagem, vento, deformações, etc.) para a infra-estrutura(fundações) . Após a determinação dos esforços que atuam nos pilares(esforços no topo dos pilares e cargas aplicadas diretamente em seu fuste), objeto desta parte do curso, o dimensionamento(dimensões, armaduras) dos pilares é feito da mesma forma que aquela utilizada nas disciplinas de concreto armado. 9.2 Tipos de Pilares Em geral, os apoios das vigas principais são constituídos, transversalmente, por um conjunto de pilares isolados, por um conjunto de pilares ligados por travessa(formando um pórtico transversal), ou por parede transversal. Abaixo, são representados alguns tipos de apoio de pontes. transversina
transversina
travessa
a) Pórtico transversal
b) pilares isolados
travessa
c) Pilar parede
d) pórtico transversal
Figura 9.1 - Tipos de pilares SEÇÕES TRANSVERSAIS DE PILARES: maciças
Parede fina
costante ou variável constante
longitudinal
transversal
Figura 9.2 - Seções transversais de pilares
9.2
9.3 Processos construtivos a) Formas convencionais, com andaimes. Usuais até 10m b) Formas saltantes (ver Pfeil)
estrutura de suporte da forma
forma barra para suporte da forma
a) forma saltante
b) forma deslizante
Figura 9.3 - Tipos de formas 9.4 Esforços atuantes, direta ou indiretamente, sobre os pilares. Os pilares são submetidos, além das cargas verticais (peso da superestrutura, peso próprio, cargas móveis), a esforços horizontais, tais como: a) Esforços longitudinais atuantes no tabuleiro - Frenagem e aceleração de veículos - Empuxo de terra e sobrecarga na cortina - Componente longitudinal do vento, calculadas da seguinte forma: . vento na superestrutura = 25% do esforço de vento na direção transversal . vento no veículo = 40% " " " " " " " b) Esforços transversais atuantes no tabuleiro - Vento - Força centrífuga (pontes em curva horizontal) - Impacto lateral (pontes ferroviárias) - Empuxo de terra nas cortinas ( pontes esconsas) c) Esforços devidos a deformações impostas - Efeito da temperatura nas vigas principais - " " retração " " " d) Esforços que atuam diretamente sobre os pilares - Empuxo de terra - Pressão do vento - Pressão d'água
9.5 Cálculo dos esforços nos pilares No caso de pontes em arco ou pórtico, o cálculo dos esforços não pode, em geral, ser dividido em dois: superestrutura de um lado, meso e infra-estrutura de outro. Nestes casos a estrutura deve ser calculada como um todo. Nas pontes de vigas, lajes ou celulares, que constituem a grande maioria das obras executadas, a separação acima referida pode ser feita, o que simplifica bastante o projeto. A superestrutura
9.3
é assimilada a uma viga contínua articulada na superestrutura (pilares) através dos aparelhos de apoio. Essas articulações são admitidas móveis com exceção de uma, admitindo-se uma vinculação isostática. Esse modelo de cálculo (Fig. 9.4) é usado para os efeitos, M,N,V e reações, das cargas verticais sobre a superestrutura (tabuleiro, ou estrado). Para efeito das cargas horizontais esse modelo não serve, devendo ser substituído. Admitese (Fig. 9.5), usualmente, para esse caso, que a super seja representada por um bloco rígido sobre apoios elásticos. Esses apoios elásticos correspondem ao conjunto: aparelho de apoio, pilar, fundação. A seguir são representados os modelos de cálculo: a) Modelo de viga contínua, para cálculo dos efeitos(esforços solicitantes e reações) das cargas. verticais sobre a superestrutura.
Figura 9.4 - Modelo para cargas verticais 1
3
2
b) Modelo de bloco rígido sobre apoios elásticos, para cálculo dos efeitos das cargas horizontais. F E
k k
a) Modelo para cargas horizontais longitudinais
ap
k
enc
k
2L
3L
k = rigidez do apoio elástico = apoio elástico ap = aparelho de apoio enc = encontro
vento b) Modelo para cargas horizontais transversais
k
1T
k
2T
k
3T
Figura 9.5 - Modelo para cargas horizontais
9.5.1 Distribuição das ações horizontais longitudinais nos pilares e encontros (tabuleiro contínuo) Nos casos em que a superestrutura se apoia nos pilares e encontros através de aparelhos de apoio, a distribuição dos esforços longitudinais entre os pilares é, em geral, estaticamente indeterminada(hiperestática). Por exemplo, na estrutura da Fig. 9.6, há 4 reações incógnitas e apenas 1 equação de equilíbrio.
9.4
F F1
Fi
Fi+1
Fn Fi
P1
Pi
Pi+1
Fi
Pn
Fi Fi
Pilar " i "
Figura 9.6 - Superestrutura sobre aparelhos de apoio Utilizando-se o modelo para as cargas horizontais, onde os pilares e seus respectivos aparelhos de apoio são considerados apoios elásticos, resulta que a superestrutura submetida a um esforço horizontal longitudinal F , sofre um deslocamento ∆ e, conseqüentemente, todos os topos dos pilares também se deslocarão de ∆ (Fig. 9.7) . Com isso, a solução do problema se torna simples, bastando para tanto o cálculo das rigezas dos apoios elásticos (formado pelo conjunto: pilar e aparelho de apoio)
∆
∆
∆
F
∆
∆
∆ corpo rígido apoio elástico (pilar + aparelho de apoio) aparelho de apoio de Neoprene
pilar ∆ = deslocamento produzido pela força F, através da deformação dos apoios elásticos.
Figura 9.7 -Modelo de cálculo da distribuição de forças longitudinais entre os apoios elásticos
9.5.1.1 Cálculo das rigezas dos apoios elásticos Por definição, rigidez é o esforço que provoca deslocamento unitário. Assim, como o topo do apoio "i" sofre o deslocamento ∆ , a rigidez ki deste apoio é dada por : ki = Fi / ∆
Fi
∆ Neoprene Rigidez do apoio elástico = pilar
ki =
Fi ∆
apoio elástico é o conjunto pilar + aparelho de apoio de Neoprene
Figura 9.8 - Rigidez do apoio elástico a) Rigidez do pilar
9.5
d pi
Fi
rigidez do pilar= kpi = pilar
Fi d pi
Figura 9.9 -Rigidez do pilar Da fig.9.9, tem-se: Fi k pi = δ pi
mas,
Fi l 3pi δ pi = 3E pi I pi
∴ k pi =
3E pi I pi = rigidez do pilar l 3pi
(9.1)
onde, l pi = comprimento do pilar i I pi = momento de inércia do pilar i E pi = módulo de elasticidade do pilar i
b) Rigidez do aparelho de apoio Fi h ai
k ai =
δ ai
Figura 9.10 - Rigidez do aparelho de neoprene
γ Fi δ ai
mas, pela lei de HoO ke, γ =
pela Fig.7.10 tem − se: γ h ai = δ ai
Por tan to,
k ai =
∴
τ G ai
e
δ ai =
τ=
Fi A ai
∴ γ =
Fi G ai A ai
Fi h ai G ai A ai
G ai A ai = rigidez do aparelho de apoio h ai
(9.2 )
c) Rigidez do apoio elástico (pilar + aparelho de apoio) Da associação do pilar com o aparelho de apoio resulta (fig. 9.11), ∆ δpi δai
k
i
Figura 9.11 - Rigidez do apoio elástico ( pilar + aparelho de apoio )
9.6
F F 1 1 1 1 1 ) , definindo − se : ), ∆ = δ ai + δ pi = i + i = Fi ( + = + k ai k pi k ai k pi k i k ai k pi tem − se em cada conjunto pilar + aparelho de apoio ,
onde,
Fi = k i ∆
(9.3)
1 = = rigidez do apoio elástico ( pilar + aparelho de apoio) i ki 1 1 ( ) + k ai k pi
(9.4)
9.5.1.2 - Força absorvida pelo apoio elástico (pilar+aparelho de apoio) i Por equilíbrio, da superestrutura vem, F = Fi = k i ∆ = ∆ k i , então,
∆=
substituindo - se (9.5) em (9.3), tem - se :
onde,
F ki
k Fi = i F ki
(9.5)
(9.6)
Fi = parcela de F absorvida pelo apoio elástico( pilar + aparelho de apoio) i F = força horizontal longitudinal aplicada no tabuleiro (ex. frenagem,vento, etc.) k i = rigidez do apoio elástico, dada pela expressão (9.4) Note - se que a distribuiçã o da carga F, que atua no tabuleiro, para os apoios elásticos ocorre na proporção de suas rigezas.
Deve-se também observar que, caso o apoio elástico seja constituído por mais de um pilar, na direção transversal, a carga absorvida por cada pilar será igual a (Fi / n), onde n é o número de pilares naquele apoio elástico. Pois, na dedução da expressão (9.6) foi considerado, no equilíbrio, que o apoio elástico continha, na direção transversal, apenas um pilar (ver eq. (9.5)). Se, o apoio fosse constituído por "n" pilares, ele absorveria, considerando Fi a força absorvida por cada pilar do apoio, nFi , conseqüentemente, o equilíbrio seria escrito da seguinte forma: F=###nFi . Portanto, a carga em cada pilar seria: 1 ki Fi = F n Σk i substituindo - se na expressão acima a eq.(9.6), tem - se: Fi =
1 F n i
...... c.q.d.
9.5.1.3 - Caso de deformações impostas(retração, temperatura, protensão). Estes casos não se incluem no procedimento de cálculo visto anteriormente, pois não há força resultante aplicada na superestrutura, apenas deformações longitudinais impostas. Para efeito de projeto, considera-se a variação de temperatura e a retração reunida numa única variação de temperatura equivalente: ∆Teq = f (var iação de temperatura, retração)
9.7
Em geral, admite-se uma variação de temperatura ∆Teq = ±25o C , que engloba a variação de temperatura e a retração. Sob a ação da retração, o tabuleiro se encurta. Sob a ação da temperatura o tabuleiro encurta ou se alonga, conforme a temperatura diminui ou aumenta. Dada a sua ligação com o tabuleiro, os pilares são obrigados a acompanhar esses movimentos, resultando esforços aplicados nos topos dos pilares. Se todos os apoios forem elásticos, os movimentos de alongamento ou de encurtamento do tabuleiro se processam nos dois sentidos da direção longitudinal do tabuleiro, e há, evidentemente, um plano vertical transversal, no qual o deslocamento é nulo. Considerando-se esta propriedade, o deslocamento δoi em um apoio elástico "i" é função da sua distância até o plano de deslocamento nulo. Obtido o deslocamento δ oi , o esforço correspondente a esse deslocamento é dado por : Fi = ki δoi . A solução desse problema se obtém superpondo-se duas soluções: uma em que se aplica ∆Teq à superestrutura com uma extremidade fixa (deslocamento nulo, com isso, os deslocamentos e os esforços correspondentes nos topos dos apoios elásticos são determináveis)e outra em que se devolve à superestrutura a reação do apoio (Fig. 9.12) . Portanto, o problema é resolvido da seguinte forma: ∆Teq F1 k1 apoio introduzido δ
o1
Fo
δ
xi
Fo1
δo1
Fi
Fn
kn ki r) estrutura real submetida a variação de temperatura , ∆Teq
δ
oi
on
Fo
∆Teq Fon
Foi
δ oi = α ∆ T x eq i
δ on
a) estrutura com apoio introduzido e com ∆Teq
∆ F1
∆ Fi
∆ Fn
b) estrutura submetida à força F o
Figura 9.12 - Forças nos apoios elásticos devido a ∆Teq a) Efeito de ∆Teq , com extremidade fixa (Fig.9.12a) Sendo o deslocamento da extremidade da superestrutura nulo, então, o deslocamento do topo do apoio "i" , devido à variação de temperatura, é dado por : δ oi = α.∆Teq . x i
onde,
(9.7)
α = coeficiente de dilatação térmica , para o concreto, α = 10−5oC−1 , ∆Teq = variação de temperatura equivalente à retração e temperatura, xi = distância da extremidade fixa até o apoio "i" . A força no topo do apoio "i" devido ao deslocamento δ oi , produzido por ∆Teq , é dada por, (9.8) Foi = k i . α. ∆Teq . x i
9.8
Por equilíbrio, da estrutura da Fig.9.12a, tem-se: Fo =
Foi
(9.9)
Substituindo-se (9.8) em (9.9), resulta, Fo = k i .α.∆Teq .x i
(9.10)
b) Efeito da devolução de Fo à estrutura A
força
no
apoio
"i"
,
devido
a
Fo
, é Σk . x k k k ∆Fi = i Fo = i (Σk i . α. ∆Teq . xi ) = i α. ∆Teq . Σk i . xi = k i . α. ∆Teq . i i Σk i Σk i Σk i Σk i
dada
por
,
(9.11)
c) Superposição dos efeitos
Fi = Foi + ∆Fi
(9.12)
Substituindo-se (9.8) e (9.11) em (9.12) tem-se o esforço no apoio "i”:
Σk . x Fi = k i . α. ∆Teq . ( x i − i i ) Σk i
(9.13)
onde, Fi = força correspondente a cada aparelho de apoio , pois, nasce caso não foi utilizado a equação de equilíbrio, e só depende da deformação produzida pela variação de temperatura no aparelho de apoio. ki = é a rigidez do conjunto (aparelho de apoio + pilar) xi = é a distância da origem "o" , do sistema de coordenadas oxy, colocada na extremidade da viga com deslocamento nulo, até o apoio "i".
9.5.2 - Distribuição de esforços horizontais transversais nos pilares (tabuleiro contínuo) Neste caso, também, pode ser considerada a superestrutura como rígida apoiada sobre apoios elásticos (aparelho de apoio + pilar), devido à grande rigidez das lajes no plano horizontal. Nas Figs. 9.13a 9.13c representam-se tabuleiros solicitados por esforços horizontais transversais.
9.9
Fc (força centrífuga)
tabuleiro pilar
E (empuxo)
E
w(vento)
w
a) Ponte reta(cortina perpendicular ao eixo)
b) Ponte curva horizontal Pi
E xi
E w
α xi
α
o d) Deslocamento do pilar P i provocado pela rotação α do tabuleiro em torno do ponto "o"
c) Ponte esconsa
Figura 9.13 - Forças horizontais transversais Essas ,ações referidas a um ponto "o"do plano horizontal, produzem os esforços resultantes Fres e Mres , respectivamente, força e momento fletor resultantes. Considerando-se, inicialmente, apenas a ação do momento Mres, o tabuleiro gira em torno de um ponto "o",de um ângulo α, provocando em cada pilar um deslocamento αxi e, conseqüentemente, uma força Fi = ki.α.xi . Do equilíbrio do tabuleiro, sem considerar a força Fres, resulta: ΣF = 0 ΣFi = Σk i . α . x i = αΣ k i . x i = 0 ΣM = 0 ΣFi x i =
Σk i . α. x i2
=
αΣ k i . x i2
(9.14)
= M res
(9.15)
As equações (9.14) e (9.15) são idênticas àquelas da flexão simples da Resistência dos Materiais, deduzidas a seguir (Fig.9.14): dA y
M x
σy
σy = c.y onde, c = coeficiente de proporcionalidade
y
CG LN
Figura 9.14 - flexão simples Por equilíbrio, tem-se:
ΣF = 0
σ y . dA = c y. d A = 0
ΣM = 0
σ. d A . y = c y
2 . dA
=M c=
(9.16) M
y 2 . dA
=
M I
(9.17)
9.10
Das eqs. (9.16) e (9.17) resultam, respectivamente: momento estát estático ico nulo nulo ( origem origem "o" "o" do sistema sistema de eixos eixos oxy oxy em que que o momento momento y. dA = 0 momento estático
é nulo corresponde ao centro de gravidade (CG) da seção transversal);
σy =
M . y onde onde,, I = mom momen ento to de inér inérci ciaa em em rel relaç ação ão ao CG da seçã seção. o. I y = distância do CG da seção até o ponto onde se quer a tensão. Portanto, pode-se estabelecer uma analogia entre os dois problemas:
Analogia Problema de flexão simples da resistência dos Problema de cargas transversais horizontais materiais de pontes dA = área elementar da seção ki = rigidez de cada apoio(pilar+ aparelho de apoio) y = distância do CG até a área elementar xi = distância do centro de gravidade das rigezas ki até a rigidez ki do apoio "i" CG = centro de gravidade das áreas CGr = centro de gravidade das rigezas dos elementares apoios da seção Do exposto, pode-se escrever: A = Σ ki I = Σ k i . x 2i
(9.18)
onde, A = somatório das rigezas dos apoios(pilar + aparelho de apoio) I = momento de inércia das rigezas ki Se, no ponto CGr (centro de gravidade das rigezas) for aplicado a força Fres , o sistema sofrerá uma translação. Nessas condições, se todas as cargas transversais horizontais aplicadas forem referidas ao CGr das rigezas dos pilares, resulta um problema análogo ao de flexão composta da resistência dos materiais, cuja expressão da tensão σi em um ponto "i" , é dada por : _ F M σ i = res ± res . x i A I
(9.19)
onde, M res = Fres . e
:
e = e x ce n tr ic id a d e d e Fres e m re la ç ã o a o C G r
_
x i = dist distân ânci ciaa do CG r ao apoi apoioo "i"
Como a área elementar é análoga à rigidez ki de cada apoio "i" , do problema de pontes, então, considerando-se (9.18) e (9.19) ,a força correspondente ao apoio "i" é dada por : F M 1 Fi = σ . k i = k i ( r e s ± r e s . x i ) = k i . Fr e s . ( ± A I A
e. x i ) 2 k . x i i
(9 .2 0 )
9.11
OBS. a) Fi é a força recebida pelo conjunto de "n" pilares (pórtico transversal) do apoio elástico "i" , se houver mais de um pilar nesse apoio na direção transversal, então, a força recebida por cada pilar do apoio será Fi /n . Pois, na dedução da expressão (9.20), foi considerada aplicada na estrutura total a força resultante Fres . Para que a força Fi representasse a carga recebida por cada pilar do apoio elástico "i", a força Fres teria que ser dividida pelo número "n" de linhas longitudinais de pilares. b) A parcela, da eq. (9.20), devido ao momento, pode ter direção diferente daquela devido à força, por isso o sinal vetorial. c) De forma análoga ao que é feito com áreas, pode-se calcular o centro de gravidade das rigezas, da seguinte forma:
x CG r =
Σk i . x i Σk i
(9.21)
d) É usual se adotar para estruturas contínuas, o critério simplificado de distribuição de esforços utilizados em estruturas isostáticas, o qual consiste em distribuir a carga transversal horizontal, para cada apoio, proporcionalmente ao comprimento de influência do mesmo.Esse comprimento é igual, para cada apoio, à soma das metades dos vão adjacentes ao apoio(ver Fig.9.15). Os resultados obtidos, às vezes, são muito diferentes dos reais. juntas de dilatação P1
a 2 a 2
P 4
P 3
P2
b 2
b 2
c 2
ELEVAÇÃO
c 2
PLANTA
w(vento)
Figura 9.15 - Comprimentos de influências dos apoios Segundo a fig. 9.15, os comprimentos de influência de cada apoio são dados por: a 2 a+b apoio 2 → l2 = 2 b+c apoio 3 → l3 = 2 c apoio 4 → l4 = 2 apoio 1 → l1 =
;
Σ li = a + b + c
e, a força absorvida por cada apoio Fi , da resultante Fw , devido à pressão do vento w, é dada por : Fi =
li .F Σ li w
9.12
9.5.3 - Forças aplicadas diretamente nos pilares 9.5.3.1 - Pilares com apoio móvel no topo Os aparelhos móveis podem ser de rolo, de deslizamento(camada de teflon) ou de pêndulo. Neste caso as cargas são resistidas pelo próprio pilar, não havendo "ajuda"de outros pilares, figura (9.16).
E P1
P3
P2
E
P1
Obs.: O apoio superior do pilar P não oferece resistência ao deslocamento 1
Figura 9.16 - Cargas em pilares com apoio móvel no topo
9.5.3.2 - Pilares com apoio elástico no topo Neste caso (figura 9.17) , a carga aplicada no pilar provoca no apoio superior uma reação horizontal R11 , devido à resistência ao movimento do apoio de concreto ou elástico. apoio de concreto apoio de concreto
apoio de neoprene
R11 E P1
P2
P3
Figura 9.17 - Cargas em pilares com apoio elástico no topo O problema é resolvido com o auxílio do artifício de separar a deslocabilidade(fig.9.18): a) Inicialmente, coloca-se um apoio para impedir o deslocamento na direção horizontal. Obtémse assim, uma reação R11 no topo do pilar carregado(pilar P1) , figura (9.18a). b) Aplica-se na estrutura real , apenas a força (- R11 ), do item anterior, obtendo-se no pilar P1 a reação R21 , figura (9.18b) c) Por superposição dos efeitos, tem-se: R11 = R11 − R21
(9.22)
9.13 apoio introduzido R 11 E
E
P1
R11
P2
P2
P1
P3
P3
P1
R11
P3
P2 R21
E
r) estrutura real
P1
P1 a) estrutura fixada submetida a E
b) estrutura submetida a R11
Figura 9.18 - Procedimento para a solução de problemas com cargas aplicadas diretamente em pilar com apoio elástico no topo. A) Cálculo da reação R11 (figura 9.18a) A reação R11 é obtida através das tabelas de momentos de engastamento perfeito, para as seguintes vinculações: B
R11
R11
E
B
E
E
A
R11
MB
R11
E
A MA
MA M A = momento de engastamento perfeito
M A , M B = momentos de engastamentos perfeitos
a) apoio superior = Freyssinet b) apoio superior contínuo = engaste Figura 9.19 - cálculo da reação R11 OBS. : Os esforços nos outros apoios do problema da Figura (9.18a) , são nulos, pois esses apoios não sofrem deslocamentos e os pilares correspondentes estão descarregados. Chamando-se esses esforços de R1i , tem-se que para i 1 , R1i = 0 .
B) - Cálculo da reação R21 (figura 9.18b) No problema da Figura 9.18b , o apoio "i" absorve uma parcela de R11 , como visto na eq. (9.6), dada por: R2 i =
ki .R Σk i 11
(9.23)
particularmente, o apoio 1 (P1), absorve : R21 =
k1 .R Σ k i 11
Por superposição dos efeitos (eq. 9.22), tem-se, para o apoio 1:
(9.24)
R11 = R11 − R21 = R11 (1 −
k1 ) ; para o pilar 1 carregado diretamente, cujo aparelho Σki
9.14
(9.25)
de apoio é do tipo Freyssinet ou contínuo.
Para os demais apoios (exceto aquele que suporta carregamento direto, que no caso é o apoio 1 , (P1) ) R1 i = R1i − R2 i = 0 −
ki k R11 = − i R11 ; para i ≠ 1 Σki Σ ki
(9.26)
Se no topo do pilar carregado diretamente (pilar P1) existir ,um aparelho de apoio de Neoprene, a reação R11 será menor que nos casos de aparelho de Freyssinet ou de aparelho contínuo, devido à deformação do Neoprene. k a1 R11 .( ) k a1 + k p1
R11
E
E a) Reação sem a deslocabilidade do aparelho de apoio Neoprene
b) Reação com a deslocabilidade do aparelho de apoio de Neoprene
Figura 9.20 - Reação no aparelho de apoio de Neoprene A figura 9.20a representa a reação R11 obtida sem a deslocabilidade do aparelho de apoio ( idêntico à reação do problema da figura 9.19a). Como o aparelho de apoio de Neoprene se deforma, então, a reação absorvida pelo Neoprene será proporcional à sua rigidez, figura 9.20b, e é dada por: R11 = R11.
k a1 ; reação no apoio carregado do problema da figura 9.18a, k a1 + k p1
(9.27)
quando o aparelho de apoio for de Neoprene Conseqüentemente, a expressão (9.25) será alterada para, k ka 1 k R11 = R11 (1 − 1 ) = R11 . .( 1 − 1 ) ; para o pilar 1 carregado diretamente, cujo Σki Σ ki k a 1 + k p1 aparelho de apoio é de Neoprene .
(9.28)
onde, k a 1 , k p1 são, respectivamente, a rigidez do aparelho de Neoprene e a rigidez do pilar
correspondentes ao apoio carregado diretamente (apoio P1 da figura 9.18a)
9.5.3.3 - Pressões de vento e água aplicadas diretamente nos pilares Estes problemas podem ser resolvidos de forma análoga aos itens 9.5.3.1 e 9.5.3.2. Porém, é comum, para esses carregamentos, dimensionar os pórticos transversais(pilares ligados por travessas) como sendo independentes do tabuleiro (ver fig. 9.21).
9.15
aparelho de Neoprene
travessa
w (vento)
p (pressão d'água)
Figura 9.21 - Pórtico transversal independente do tabuleiro, submetido a pressões do vento e d'água. 9.5.4 - Considerações adicionais a) Em geral, o conjunto de pilares na direção transversal, por apoio, constituem um pórtico transversal (pilares ligados por travessas). Este pórtico comporta-se como engastado na base (fundação) e no topo, elasticamente ligado à superestrutura através de aparelhos de apoio. Os itens anteriores permitem o cálculo das reações no topo dos pórticos transversais, para cargas horizontais atuando diretamente sobre os mesmos ou indiretamente quando as cargas atuam na superestrutura. b) Quanto ao modelo de se adotar engastamento dos pilares na fundação deve ser feita de acordo com a situação real. Por exemplo, se a fundação for de tubulão parcial ou totalmente enterrado, a consideração, para o cálculo de esforços solicitantes nos pilares, de engaste na interface entre o pilar e o tubulão é uma simplificação grosseira. Neste caso, se possível, deve-se considerar o engaste não na interface e sim em uma seção do tubulão distante acima de 3,0 metros (ou determinada mais realisticamente pela mecânica dos solos) desta interface, sem levar em conta as reações do solo (fig.9.22a). Entretanto, para o cálculo dos esforços no tubulão, as reações laterais do solo devem ser consideradas (fig. 9.22b). reações da superestrutura vento travessa
pilar
esforços transmitidos pelo pilar
tubulão
a) modelo para o cálculo dos esforços solicitantes nos pilares
rigidez do solo
b) modelo para o cálculo dos esforços solicitantes nos tubulões
Figura 9.22 - Modelos de cálculos para pilares e tubulões
9.16
c) Os esforços longitudinais horizontais, provenientes do tabuleiro, aplicam-se no topo do pilar. Os momentos fletores associados com a transferência desses esforços, da pista de rolamento ou do eixo da viga principal para o nível do topo dos pilares, são, em geral, de importância secundária, alterando muito pouco as reações nos apoios (fig. 9.23). F M
h
F
Momento fletor transferido para o nível do topo dos pilare : M = F.h
ELEVAÇÃO
Figura 9.23 - Transferência de esforços longitudinais d) Os esforços transversais, provenientes do tabuleiro tal como a força centrífuga ou do centro de gravidade da área que obstrui o vento, são também transferidos para o nível do topo dos pilares, produzindo-se um momento que é equilibrado por reações dos pilares. H1
H1
H2
H2
M H1+H2
h2
M Rp
M = H1.h1 +H2.h2 Obs. O momento M solicita o pilar parede de forma constante a) Pilar parede- transferência de esforços
h1
H1+H2 Rp
b M = H1.h1 +H2.h2 Rp . b = M b)pórtico transversal - transferência de esforços
Figura 9.24 - Transferência de esforços transversais 9.5.5 Exemplo de cálculo dos esforços no topo dos pilares, devido às cargas horizontais (Pfeil - vol. 1 - pág 87 e vol. 2- pág. 247). Calcular para a ponte de classe 45 da fig.9.25, de tabuleiro contínuo, os esforços nos topos dos pilares.
9.17
defensa viga
0,80 2,25
neoprene
( φ = 1,0m)
8,0m
neoprene
Freyssinet
P1
( φ = 1,0m)
( φ = 1,0m)
P2
VISTA LONGITUDINAL
( φ = 1,0m) 5,0m
P4
P3
2,0m
5,0 0,40
20,0m
25,0m
6,40m
20,0m 6,40m
5,0 0,40m 0,80m
CORTE TRANSVERSAL
0,10m
2,25m
0,40m 6,0m
Figura 9.25 - Ponte com tabuleiro contínuo ( Ponte classe 45) 9.5.5.1 - Características dos pilares e dos aparelhos de apoio a) Pilares Ep = 2.100kN/cm2 = 2,1x107 kN / m2 d=1m
πd2 Ap = = 0, 785 m2 4
;
πd 4 Ip = = 4 , 91x10−2 m4 64
-Rigezas dos pilares Considerando-se a expressão (9.1) da rigidez do pilar "i”, tem-se: 3x 2,1x107 x 4,91x10−2 = 60,42 x102 kN / m Pilar P1 = P3 : k p1 = k p3 = 3 8 7 3x 2,1x10 x 4,91x10−2 = 30,93x102 kN / m Pilar P2 : k p2 = 3 10 3x 2,1x107 x 4,91x10−2 = 247,46x10 2 kN / m Pilar P4 : k p4 = 3 5
b) Aparelho fretado de Neoprene (Pilares P1 e P4)
(9.29)
9.18
3mm
3mm 3mm 2mm 12mm 3mm 12mm 2mm 3mm
900mm 250mm
37mm
chapa de aço
neoprene
Figura 9.26 - Aparelho fretado de Neoprene O aparelho de neoprene fretado, em geral, é revestido com uma camada protetora de neoprene, que no exemplo é de 3mm. A dimensão útil a serem consideradas nos cálculos não leva em conta a camada protetora, resultando com isto: Área útil de apoio = A a = 24 , 4 x 89 , 4 = 2181, 36 cm2 = 2181, 4 x 10− 4 m 2 Altura útil = h a = 2 x12 = 24 mm = 0 , 024 m Módulo de elasticidade transversal do Neoprene = G a = 1000kN / m 2
-Rigezas dos aparelhos de apoio de Neoprene Considerando-se a expressão (9.2) da rigidez do aparelho de apoio de Neoprene, tem-se: Apoio de Neoprene de P1=P4 :
2181, 4 x10− 4 x103 k a1 = k a4 = = 9089 , 17 kN / m 0 , 024
(9.30)
c) Aparelho de apoio de Freyssinet (pilares P2 e P3) -Rigezas dos apoios Freyssinet Este aparelho não deforma na direção horizontal, portanto, a rigidez é infinita: Apoio de Freyssinet de P2=P3 : k a 2 = k a 3 = ∞
(9.31)
-Rigezas dos apoios elásticos (pilar +aparelho de apoio) Considerando-se a expressão (9.4) da rigidez do apoio elástico Pi , tem-se : 1 Apoio P1 : k1 = = 3629,38kN / m 1 1 + 908917 , 60,42x10 2 1 Apoio P2 : k 2 = = k p 2 = 3093,30kN / m 1 1 + ∞ 30,93x10 8 1 Apoio P3 : k 3 = (9.32) = k p 3 = 6041,60kN / m 1 1 + ∞ 60,42 x10 8 1 Apoio P4 : k 4 = = 6647,54kN / m 1 1 + 908917 , 247, 46x10 2 9.5.5.2 - Cálculo dos esforços horizontais
9.19
a) Frenagem ou aceleração de veículos Ponte classe 45: peso do veículo = 450 kN ; q = 5 kN/m2 Nas pontes rodoviárias considera-se o maior valor entre: - 5% da carga móvel total = 0,05[(75x12,80-3x6)5+450]=258,0kN - 30% do peso do veículo-tipo = 0,30x450 = 135kN Então, a força de frenagem Ff , vale, Ff = 258,0 kN
(9.33)
b) Força horizontal transversal devido ao vento , Fvt
b.1) Ponte descarregada Fvtd - pressão do vento, w = 1,5kN/m2 - altura do tabuleiro = 2,25 + 0,80 = 3,05m - comprimento do tabuleiro = 75m - Área de obstrução ao vento = 75x3,05=228,75m2 então, Fvtd = 1,5x228,75 = 343,13 kN b.2) Ponte carregada, Fvtc - pressão do vento = w = 1,0 kN/m2 - altura da pista de rolamento = 2,25+0,10 = 2,35m - altura do veículo (norma) = 2,00m - altura total = 4,35m - comprimento da ponte = 75m - área de obstrução ao vento = 4,35x75=326,25m2 então, Fvtc = 1,0x326,25 = 326,25kN Portanto, a força transversal do vento a considerar será: Fvt = 343,13kN
(9.34a)
(9.34b)
(9.35)
c) Força horizontal longitudinal devido ao vento, Fvl Segundo a norma americana AASHTO, considera-se atuando na ponte, simultaneamente, à força transversal do vento, uma força longitudinal composta pelas seguintes parcelas: - vento na superestrutura = 25% da força do vento transversal - vento na carga móvel = 40% do vento transversal c.1) Ponte descarregada Fvld = 0,25x Fvtd = 0,25x343,13 = 85,78kN (9.36a) c.2) Ponte carregada Fvlc = w ( Atab x 0,25 + Aveic x 0,40) onde, Atab = Área de obstrução ao vento correspondente ao tabuleiro; Aveic = Área de obstrução ao vento correspondente ao veículo. Fvlc = 1,0(2,35x75x0,25+2x75x0,40) = 104,06kN
(9.36b)
Portanto, Fvl = 104,06kN
(9.37)
9.20
d) Empuxo de terra nas cortinas, E. De acordo com a teoria de Rankine, 1 E = p máx . b . h
(9.38)
2
onde, pmáx = ka.γ .h
;
ϕ
ka= coeficiente de empuxo ativo = tg2 = ( 45o − ) 2
em pontes considera-se, peso específico do solo = γ = 18kN / m3 e, ângulo de atrito do solo = ϕ = 30o ∴ k a = 1 / 3 , então, 1 1 E = × × 18 × 13,6 × 2,25 2 = 206,55kN (9.39) 2 3 OBS. Como a ponte é contínua e possui cortinas idênticas em ambas as extremidades, os empuxos se auto equilibram, não produzindo esforços nos pilares.
e) Empuxo de terra provocado pelas cargas móveis sobre o aterro, Eq. Supondo-se que a pista de rolamento de acesso tenha largara l p = 13,6 m, tem-se(ver cap. II) : E q = k a .q.b.h
;
q=
q v .3 + q (l p − 3,0) lp
onde,q v = c arg a distribuida equivalente ao veículo =
450 = 25kN / m 2 3× 6
(9.40)
q = c arg a móvel distribuída = 5kN / m 2 (classe45) então,
1 [25 × 3,0 + 5(13,6 − 3)] Eq = × x13,6x 2,25 = 96,00kN 3 13,6
(9.41)
9.5.5.3 - Cálculo da distribuição das forças horizontais longitudinais entre os pilares A) Forças de frenagem+empuxo de carga móvel e de vento Considerando-se as rigezas dos apoios elásticos, eqs. (9.32), a eq. (9.6) que calcula a força em cada apoio elástico "i”, e também que: a.1) a ação simultânea da frenagem, eq.(9.33) e do empuxo da carga móvel, eq.(9.41): F fe = Ff + E q = 253,5 + 78,75 = 332,25kN , produzirá no apoio elástico "i" , a força Fife a.2) a ação do vento na direção longitudinal, eq. (9.37): Fvl = 104,06kN , produzirá no apoio elástico "i" , a força Fivl , pode-se construir a tabela 9.1 , que fornece as forças Fife e Fivl em cada apoio elástico "i" .
Tabela 9.1 - Distribuição entre os apoios elásticos dos esforços longitudinais de frenagem+empuxo e de vento Distribuição das forças Ff e e Fvl entre os apoios elásticos "i"
9.21
Apoio elástico 1 2 3 4 Σ
ki Σ ki
ki
fe k Fi = i . Ff e Σ ki
k vl Fi = i . Fvl Σ ki
(kN) (kN) (kN/m) 3629,38 0,19 67,26 19,88 3093,00 0,16 56,64 16,74 6042,00 0,31 109,74 32,43 6647,54 0,34 120,36 35,56 19411,92 1,00 354,00 104,60 OBS. Os esforços das duas últimas colunas atuam longitudinalmente em cada apoio elástico "i" que, no exemplo, é composto de dois pilares. Portanto, para o dimensionamento de cada fuste dos pilares, tomar-se-á a metade do esforço (ver item 9.5.1.2).
B) Forças devido à variação de temperatura +retração A força absorvida por cada apoio elástico é dada pela expressão (9.13). Adotando-se a extremidade esquerda da viga principal como a origem do sistema de coordenadas oxy, e considerandose: ) ∆ Teq = ± 25 o C ( efeito conjunto da temperatura e retração , α = 10 − 5 o C − 1 pode-se construir a tabela 9.2 , que fornece a força FiT , em cada apoio elástico "i" .
Tabela 9.2 - Esforços nos pilares, devido a
apoio elástico 1 2 3 4 Σ
∆ Teq = ± 25 o C ( efeito conjunto da temperatura e retração α = 10 − 5 o C − 1 xi ki FiT (m) (kN/m) (kN) 5 3629,38 −35,80 25 3093,00 −15,04 50 6042,00 8,38 70 6647,54 42,46 19411,92
)
Obs. A última coluna já fornece a força para o dimensionamento de cada fuste de pilar
9.5.5.4 Cálculo da distribuição das forças transversais horizontais entre os pilares Na ponte em questão, a única força transversal horizontal a considerar é a força relativa ao vento, F = 343,13 kN , eq.(9.35). De acordo com o item 9.5.2, os efeitos dessa carga nos pilares são calculados em relação ao centro de gravidade das rigezas dos mesmos, através das expressões (9.20) e (9.21). Para isto, considere-se a fig. 9.27, onde a origem do sistema de coordenadas é adotada no pilar P1. t v
9.22
20,0m
25,0m
20,0m
P1
P2
P3
P4
k1
k2
k3
k4
x
O
Figura 9.27 - Rigezas dos pilares para o cálculo do centro de gravidade das rigezas, CGr A partir da figura 9.27 e dos dados anteriores pode-se obter os valores da tabela 9.3, que são representados na figura 9.28.
Tabela 9.3 -Cálculo do centro de gravidade das rigezas, CGr Pilar ki xi = distância ki xi xi = distância k i x2i das rigezas à das rigezas ao (kN/m) origem do CGr sistema oxy (m) (m) 1 2 3 4 Σ
3629,38 0 0,0 0,0 - 39,45 3093,00 20 61.860,0 1.237.200,0 - 19,45 6042,00 45 271.890,0 12.235.050,0 5,55 6647,54 65 432.090,0 28.085.857,0 25,55 19411,92 765.840,0 41.558.107,0 Σ k i x i 765840 . ,0 oxy x CG r = = = 39,45m = distância do CGr à origem de 19.411,92 Σ ki
20,0m P1
y
25,0m y
P2
x
k1 O
k2
x CG = 39,45m r
P3
P4
k3 CGr 19,45m 5,55m
k4
x
25,55m t Fv
25,0m
20,0m
12,5m
e
e = 12,5 - 5,55 = 6,95m = excentricidade da carga do vento em relação ao CGr
12,5m
25,0m
Figura 9.28 - Centro de gravidade das rigezas, CGr , e o ponto de aplicação da força correspondente ao vento, Fvt . Para o cálculo dos esforços em cada pilar, utiliza-se a expressão (9.20). De forma análoga à resistências dos materiais, o momento de inércia das rigezas, em relação ao CGr , é dada por : I y = I y − A.d 2 onde,
9.23 2 i
I y = Σ k i x = momento de inércia em relação ao sistema oxy A = Σk i = soma das rigezas d = distância entre os centros "o" e "CGr" então, a partir da tabela 9.3, tem-se: I y = 41.557.540,0 − 19.411,71x 39,45 2 = 11.347.047,0 e, da expressão (9.20), repetida abaixo, resultam as cargas absorvidas pelos pilares: Fi = σ.k i = k i (
apoio P1 apoio P2 apoio P3 apoio P4
Fres M res e.x i 1 .x i ) = k i .Fres .( ± ) ± A I A k i .x i2
1 6,95x 39,45 + ) = 94,24kN 19.411,71 11.347,047 1 6,95x19,45 + ) = 67,32kN F2vt = 343,13x3.093,30( 19.411,71 11.347,047 1 6,95x 5,5 − ) = 99,75kN F3vt = 343,13x 6.041,60( 19.411,71 11.347,047 1 6,95x 25,55 − ) = 81,81kN F4vt = 343,13x 6.647,57( 19.411,71 11.347,047
(7.20) (9.20)
F1vt = 343,13x3.629,24(
(9.42)
Como cada apoio é constituído por dois pilares, a força recebida por cada um deles é obtida dividindo-se os resultados anteriores por 2, que são as forças para o dimensionamento dos pilares (ver item 9.5.2).
A título de ilustração, calculam-se as cargas anteriores (9.42) pelo critério simplificado exposto no item (9.5.2): 15 apoio P1 F1vt = x343,13 = 68,63kN 75 22,5 apoio P2 F2vt = x343,13 = 102,94kN (procedimento simplificado) (9.43) 75 22,5 apoio P3 F3vt = x343,13 = 102,94kN 75 15 apoio P4 F4vt = x343,13 = 68,63kN 75 Observa-se que os valores obtidos para os pilares 1 e 4, pelo processo simplificado, são contra a segurança.
9.5.4 Solicitações nos pilares de pontes com tabuleiros descontínuos (juntas deslocáveis) Quando as pontes são muito longas (> 100,0m) deve-se provê-las de juntas de dilatação, a fim de aliviar os efeitos devidos à retração e à variação de temperatura. Nas pontes pré-moldadas as juntas são espaçadas, naturalmente, com vãos da ordem de 15 a 20m, por motivos estéticos ou construtivos (montagem, transporte, etc.).
