Apostila - Concreto Armado I.pdf

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CONCRETO I

v. 2009-2

PROF. HENRIQUE GUTFREIND PROFa. MAUREN AURICH Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich 1

SÍNTESE DA DISCIPLINA

DISCIPLINA: CONCRETO ARMADO I CURSO: CURRÍCULO: Engenharia Civil 4/451 TIPOLOGIA: MÓDULO: Teórico-Prático 1/60

CODICRED: 4421U-04 CRÉDITOS/HORAS AULA: 04 créditos / 60 h/a VIGÊNCIA VIGÊNCIA (a partir de): 2004/02

EMENTA

Introdução ao concreto armado. Dimensionamento de lajes: processos elásticos e plásticos. Teoria. Aplicações práticas. Estudo das escadas: soluções estruturais e tipologia. Exemplos de dimensionamento. Projeto das vigas à flexão simples. Indicações teóricas e de norma para o dimensionamento à flexão. OBJETIVOS

Formação profissional, indicando aos alunos como abordar um assunto técnico, indicando como se dimensiona uma estrutura de concreto armado abrindo caminho para a abordagem de livros técnicos e elaboração de programas computacionais. CONTEXTO

Estruturas de Concreto Armado I é a base da aplicação das disciplinas básicas como Isostática, Resistência dos Materiais, Hiperestática conduzindo a novas aplicações através das disciplinas Estruturas de Concreto Armado II e III levando a formação de um projetista de estruturas de concreto armado. PROGRAMA

1 Concreto Armado 1.1 Materiais, componentes 1.2 Histórico, vantagens e desvantagens desvantagens em relação aos demais materiais. 2 Propriedades do concreto 2.1 Ensaios 2.2 Resistência a compressão: compressão: média e característica 2.3 Resistência Resistênci a e tração 2.4 Sugestões para escolha da resistência característica no projeto estrutural 2.5 Diagrama tensão – deformação do concreto. Módulo de deformação tangente e coeficiente de Poisson.

Concreto Armado I – PUCRS. P UCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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SÍNTESE DA DISCIPLINA

DISCIPLINA: CONCRETO ARMADO I CURSO: CURRÍCULO: Engenharia Civil 4/451 TIPOLOGIA: MÓDULO: Teórico-Prático 1/60

CODICRED: 4421U-04 CRÉDITOS/HORAS AULA: 04 créditos / 60 h/a VIGÊNCIA VIGÊNCIA (a partir de): 2004/02

EMENTA

Introdução ao concreto armado. Dimensionamento de lajes: processos elásticos e plásticos. Teoria. Aplicações práticas. Estudo das escadas: soluções estruturais e tipologia. Exemplos de dimensionamento. Projeto das vigas à flexão simples. Indicações teóricas e de norma para o dimensionamento à flexão. OBJETIVOS

Formação profissional, indicando aos alunos como abordar um assunto técnico, indicando como se dimensiona uma estrutura de concreto armado abrindo caminho para a abordagem de livros técnicos e elaboração de programas computacionais. CONTEXTO

Estruturas de Concreto Armado I é a base da aplicação das disciplinas básicas como Isostática, Resistência dos Materiais, Hiperestática conduzindo a novas aplicações através das disciplinas Estruturas de Concreto Armado II e III levando a formação de um projetista de estruturas de concreto armado. PROGRAMA

1 Concreto Armado 1.1 Materiais, componentes 1.2 Histórico, vantagens e desvantagens desvantagens em relação aos demais materiais. 2 Propriedades do concreto 2.1 Ensaios 2.2 Resistência a compressão: compressão: média e característica 2.3 Resistência Resistênci a e tração 2.4 Sugestões para escolha da resistência característica no projeto estrutural 2.5 Diagrama tensão – deformação do concreto. Módulo de deformação tangente e coeficiente de Poisson.


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3 Aços 3.1 3.2 3.3 4 Ações

Classificação Propriedades Diagramas, tensão e deformação.

5 Análise do processo de ruptura de uma viga sob tensões normais. Estádios I, II e III 6 Hipóteses de flexão simples e composta no estado limite último 6.1 Domínios fig. 7 da NBR-6118 Flexão Simples. 6.2 Equação de equilíbrio equilí brio nas vigas de seção retangular. retangular . 6.3 Dimensionamento Dimension amento de vigas de seção retangular com armadura simples e dupla. Exercícios de dimensionamento de vigas de seção retangular. 6.4 Fluxograma para dimensionamento dimensio namento de seções retangulares. retangular es. 6.5 Viga T, largura efetiva. Dimensionamento. Dimensionamento. Exercícios. 7 Lançamento de uma estrutura lajes maciças, conceitos básicos 7.1 Representação Representação gráfica. Substituição por lajes isoladas. 7.2 Vão, vinculação nas bordas, espessura mínima. Cargas (NBR 6120). 7.3 Solicitações. Rebaixos. Classificação. 7.4 Lajes armadas numa direção. 7.5 Exercícios sobre vinculação; Formulário métodos no regime elástico e rígido-plástico, cálculo de sacadas. 7.6 Lajes armadas em cruz. Método elástico. Método de Marcus. Método da teoria da elasticidade. Dimensionamento. 7.7 Exercícios de dimensionamento utilizando as tabelas elásticas do Montoya. Detalhamento. 7.8 Método rígido plástico. Exercícios. Detalhamento. 7.9 Fluxograma para dimensionamento dimensionamento de lajes. Exercícios. 8 Escadas 8.1 Classificação. 8.2 Cargas escadas armadas longitudinalment longitud inalmente. e. 8.3 Escadas. Exercícios Exercíci os e detalhamento detalhament o das armaduras. 8.4 Escadas armadas transversalmente transversal mente e com degraus isolados. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

ASSOCIAÇÃO ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, Rio de Janeiro. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado, 1986. 1986. Norma Brasileira NBR-6120. Cargas para o Cálculo Cálculo de Estruturas de Edificações, 1980. CARVALHO, Roberto Chust; FILHO, Jasson Rodrigues de Figueiredo. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado – Segundo a NBR 6118/80 e Proposta de 1999 (NB1/99) Editora da Universidade Federal de São Carlos. SUSSEKIND, SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Concreto. 2ª Prova vol. I e II. II. Editora Globo. MONTOYA, J.; MEJEGUER, A. G. Hormigon Armado. Vol. 1 e 2. Editorial Gustavo Gili, S. A. Barcelona, 1988. MASSARO JUNIOR, Mário. Manual de Concreto Armado, Vol. 1 e 2.


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CAPÍTULO 11

INTR ODUÇÃO

1.1 Definição Concreto armado é a união do concreto e de um material resistente a tração, normalmente o aço, envolvido pelo concreto e nele convenientemente disposto, de tal modo que ambos resistam solidariamente aos esforços a que forem submetidos. De outra maneira, define-se o concreto armado como um material complexo, constituído pela reunião de dois materiais que se podem admitir simples, o concreto e o aço dispostos de maneira a utilizar econômica e racionalmente as resistências próprias de cada um deles. O princípio básico das peças de concreto armado é combinar o concreto e o aço de maneira tal, que em uma mesma peça os esforços de tração sejam absorvidos pelo aço e os esforços de compressão de preferência pelo concreto. O concreto armado nasceu da necessidade de criar-se um tipo de construção que, utilizando uma pedra artificial, apresentasse a durabilidade da pedra natural, tivesse a propriedade de ser fundida nas dimensões e formas desejadas e associando-se o aço a esta pedra artificial aproveitasse a alta resistência deste material, ao mesmo tempo que protegendoo, aumentasse sua durabilidade. A associação do concreto e do aço é possível e prática, graças às seguintes características dos dois materiais: 

Elevadas resistências do concreto à compressão e do aço à tração;



Aderência dos dois materiais assegurando sua ação conjunta;



Coeficientes de dilatação térmica aproximadamente iguais e



Proteção do aço a corrosão pelo concreto que o envolve.

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1.2 Vantagens do Concreto Armado O concreto armado é hoje largamente empregado em todos os tipos de construção e suas principais vantagens são as seguintes:

a) Flexibilidade O concreto é facilmente moldável; o concreto fresco adapta-se a qualquer tipo de forma e é sempre possível por um conveniente dimensionamento da peça e de suas armaduras absorver os diversos tipos de solicitações a que ela pode ser submetida. Podemos então, executar obras de grandes vãos e balanços audaciosos e peças com as formas mais variadas.

b) Monolitismo O concreto armado é próprio para estruturas monolíticas (sem juntas) que por serem muitas vezes hiperestáticas, apresentam uma elevada reserva de capacidade resistente e segurança. Numerosas obras que sofreram na última guerra avarias graves, mas sem colapso, puderam ser restauradas. Esta qualidade especial das estruturas hiperestáticas de concreto armado de poderem resistir sem colapso a esforços diversos daqueles para os quais foram projetados, foi um dos atrativos dos construtores no início do concreto armado e nos 20 ou 30 anos que se seguiram. Após este período, houve diversidade de opinião, já que alguns projetistas estruturais admitem que não há vantagem em multiplicar as ligações hiperestáticas, uma vez que complicam o cálculo e podem introduzir esforços que em certos casos são difíceis de avaliar. Entretanto, a facilidade e exatidão de cálculo das estruturas isostáticas não compensam as duas vantagens primordiais das hiperestáticas: economia de materiais e reserva de resistência frente a esforços parasitas.

c) Simplicidade de Execução A execução das estruturas de concreto armado, ao contrário das metálicas, necessita um pequeno número de operários com grande especialização. Além disso, a possibilidade de racionalização e mecanização dos canteiros de obra torna a execução cada vez menos dependente de mão-de-obra especializada. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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d) Economia de Execução O concreto resistente a compressão substituindo o aço é um material mais barato (matéria-prima areia e brita).

e) Economia de conservação As estruturas metálicas devem ser conservadas constantemente através de pinturas. Isto não acontece com o concreto armado exceto em casos especiais, como por exemplo, quando sujeito a águas agressivas, ácidos, etc.

f) Incombustibilidade Esta é uma vantagem incontestável sobre as estruturas metálicas, sobre as quais o fogo tem um poder de deformação considerável. As estruturas reparadas após a última guerra foram a demonstração desta vantagem do concreto armado. Em caso de incêndio, as peças estruturais em concreto armado ficam expostas às altas temperaturas das chamas. Devido a má condutibilidade térmica do concreto, o calor penetra lentamente, de modo que as estruturas normais apresentam em geral, uma boa resistência ao fogo, mesmo sem proteção adicional. Para incêndios de curta duração, o fogo afeta só as camadas externas, até uma profundidade de 50 a 100 mm provocando fissuras superficiais seguidas de descascamentos que podem deixar as armaduras expostas ao calor e ao fogo. A resistência do concreto não se reduz até 200ºC, é de 80% de uma resistência normal aos 300ºC e de 50% aos 500ºC. O aquecimento do aço é particularmente perigoso, porque com temperaturas acima de 400ºC o aço perde rapidamente sua resistência, chegando a valores da ordem de 40% de sua resistência a frio quando atinge a 600ºC.

g) Maior resistência a choques e vibrações As pontes e as vigas de pontes rolantes de prédios industriais e outras estruturas de concreto armado, sujeitas a cargas móveis são menos sensíveis aos esforços rítmicos destas ações do que as executadas com materiais que conduzam a um peso próprio menor.


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1.3 Desvantagens do Concreto Armado Como desvantagens do material concreto armado, podem-se citar: 

Maior peso próprio das peças;



Menor proteção térmica dos ambientes em vista das paredes sem finalidade portante serem mais finas;



Reformas e demolições trabalhosas e caras.

1.2 Normas relacionadas NBR - 6118 Projeto e execução de obras de concreto armado; NB - 2 Cálculo e execução de pontes de concreto armado; NB - 4/80 Cálculo e execução de lajes mistas; NBR - 6120 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações; NBR - 7480 Barras e fios destinados a armaduras de concreto armado; NB - 6 Carga móvel em pontes rodoviárias; NB - 7 Carga móvel em pontes ferroviárias; NB - 16 Execução de desenhos para obras de concreto simples e armado; NBR - 8953 Concretos para fins estruturais.


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CAPÍTULO 22

CONCR ETO

2.1 Generalidades e Propriedades O concreto é um aglomerado constituído de agregados e cimento como aglutinante. É, portanto, uma rocha artificial. Os agregados, quanto às dimensões de seus elementos, são classificados em fino (areia ou pó de pedra) e graúdos (brita, cascalho, resíduos de altos fornos, argila expandida). A fabricação de concreto é feita pela mistura dos agregados com cimento e água, à qual, conforme a necessidade, são acrescidos aditivos que influenciam as características físicas e químicas do concreto fresco ou endurecido. O concreto fresco é moldado em formas e adensado com vibradores. O endurecimento do concreto começa após poucas horas e de acordo com o tipo de cimento e aditivo, atinge aos 28 dias 60 a 90% de sua resistência. O concreto pode ser fabricado no local da obra ou prémisturado (fabricado em usina). De acordo com a maneira de ser executado, distinguem concreto fundido, socado, jateado, bombeado ou centrifugado. As propriedades do concreto que interessam ao estudo do concreto armado, são as resistências à ruptura e a deformabilidade, quer sob a ação de variações das condições ambientes, quer sob a ação de cargas externas.

2.2 Resistência à Ruptura 2.2.1 Resistência à Compressão 2.2.1.1 Resistência característica do concreto A resistência à compressão simples é a característica mecânica mais importante de um concreto. Geralmente sua determinação se efetua mediante o ensaio de corpos de prova executados segundo procedimentos operatórios normalizados estabelecidos pelas normas Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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NBR 5738 e NBR 5739 para moldagem e cura de corpos de prova cilíndricos de concreto e ensaio à compressão de corpos de prova cilíndricos de concreto. Há, entretanto, o seguinte fato a ser considerado: os valores do ensaio que proporcionam os diversos corpos de prova são mais ou menos dispersos, variam de um corpo de prova para outro, de uma obra para outra, segundo o cuidado e rigor que se confecciona o concreto. Em outras palavras, a resistência do concreto não é uma grandeza determinística, mas está sujeita a dispersões cujas causas principais são variações aleatórias da composição, das condições de fabricação, e da cura. Além desses fatores aleatórios, existem também influências sistemáticas, como, por exemplo, influências atmosféricas (verão, inverno) mudança da origem de fornecimento das matérias-primas ou alterações na composição das turmas de trabalho. A maneira mais adequada de representação das dispersões que pode sofrer a resistência de um concreto é o diagrama de freqüência em que se registram no eixo das abcissas as resistências e no eixo das ordenadas a freqüência com que aparecem os valores determinados. Se a grandeza representada no diagrama só está sujeita a influências aleatórias, quanto maior for o número de ensaios, mais se aproximará a forma da curva da de uma campânula denominando-se então, curva de distribuição normal ou curva de Gauss.

fci (MPa) Figura 2.1 – Diagrama de freqüência de uma amostra de 50 corpos de prova.


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Observações sobre unidades: 1 kgf = 10 N 1 kN = 1000 N = 100 kgf

1 kgf = 0,01 kN (exemplo: 500 kgf = 5 kN)

1 tf = 1000 kgf = 10000N = 10 kN (exemplo: 3 tf = 30 kN) 1 MPa = 1N/mm² = 100 N/cm² = 0,1 kN/cm² = 10 kgf/cm² (exemplo: 550 MPa = 55 kN/cm² = 5500 kgf/cm² = 5,5 tf/cm²) A forma da curva de Gauss é definida pela média aritmética, no caso da resistência do concreto pelo valor fcj e pelo desvio padrão da amostra sn. Interpretados geometricamente fcj é a abcissa que mede a resistência de maior freqüência e sn é a distância entre as abcissas dos pontos de inflexão da curva e a abcissa do ponto de maior freqüência . As expressões que permitem determinar estes dois elementos são: fcj = (Σ fci)/n

e

sn =

∑

(fci − fcj) 2 n −1

Para um número grande de valores (n > 30) faz-se na expressão de sn, o denominador do radicando igual a n; demonstra-se em estatística que a divisão por n - 1 é mais representativa da dispersão de valores no caso de pequeno número destes (n ≤ 30 ). O problema prático que se apresenta é o seguinte: Dados n resultados obtidos ao ensaiar a compressão simples n corpos de prova de um mesmo concreto, determinar um valor que seja representativo da resistência da amostra e, por conseguinte, do próprio concreto. Nos primórdios do concreto armado, quando eram empregados para verificação da segurança das estruturas os métodos clássicos ou de tensões admissíveis, o valor adotado para a resistência do concreto era a média aritmética, fcj dos n valores de ruptura, chamada resistência média na idade de "j" dias (normalmente "j" = 28). A média aritmética, entretanto, apresenta o inconveniente de não representar a verdadeira resistência do concreto na obra, por não levar em conta a dispersão da série de valores. No ensaio dos corpos de prova da amostra de um concreto, metade deles terá resistência inferior e metade resistência superior a fcj.


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fci Figura 2.2 Entre dois concretos cujas curvas de distribuição por freqüência sejam as da figura acima apesar de terem a mesma resistência média, não há dúvida que o mais seguro é o concreto (1), aquele que apresenta menor dispersão, apresentando um número de pontos de menor resistência consideravelmente menos elevado que o concreto (2). Em conseqüência, o coeficiente de segurança a adotar no cálculo, deve ser maior para o concreto (2) de maior dispersão. A conclusão a que se chega é que, ao adotar a resistência média como base dos cálculos, ter-se-á coeficientes de segurança variáveis segundo a qualidade de execução. Para eliminar este inconveniente e conseguir que se trabalhe com um coeficiente de segurança único e homogêneo em todos os casos, se adota modernamente o conceito de "resistência característica do concreto ", que é uma medida estatística que tem em conta não só o valor da média aritmética, fcj, das rupturas dos diversos corpos de prova, como também o coeficiente de variação δ, da série de valores. Define-se como resistência característica fck do concreto, aquele valor que apresenta uma probabilidade de 95% de que se apresentem valores individuais de resistência de corpos de prova mais altos do que ele, ou seja, somente 5% de valores menores ou iguais. Admitindo-se a hipótese de distribuição estatística normal de resistências, a definição anterior conduz à adoção do valor do quantil de 5% para valor da resistência característica fck. Esta maneira é considerada mais lógica e segura para definir a resistência do concreto.


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Assim, entre dois concretos que tenham a mesma resistência média e coeficientes de variação diferentes (controles de execução diferentes) o de menor coeficiente de variação será o de maior segurança por ter um fck maior (ver fig. 2.2) Por outro lado, para uma mesma resistência característica, um concreto de menor coeficiente de variação (melhor execução), será dosado para uma resistência média menor, com evidente redução de custo (ver fig. 2.3). Portanto a adoção do valor característico como limite de resistência representa um estímulo real a uma maior qualidade de execução.

fci (MPa) Figura 2.3 Das tabelas de áreas da curva de distribuição normal, adotando a forma reduzida para que a probabilidade de 5% dos resultados sejam iguais ou menores que fck resultam as seguintes relações: fck = fcj - 1,65 sn, onde sn é o desvio padrão da resistência. Uma coletânea executada a nível internacional dos resultados estatísticos do controle de qualidade do concreto e a análise destes resultados demonstraram que o desvio padrão é bastante independente da resistência do concreto e que pode ser considerado como uma medida de cuidado empregado na fabricação do concreto. De acordo com o item 8.2.4 da NBR 6118-03 as prescrições se referem à resistência à compressão obtida em ensaios de cilindros moldados segundo a NBR 5738 realizados de acordo com a NBR 5739.


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Quando não for indicada a idade as resistências referem-se à idade de 28 dias. A estimativa da resistência à compressão média fcmj, correspondente a uma resistência fckj especificada, deve ser feita conforme indicado na NBR 12655 onde: fcmj = fckj + 1,65 s d onde sd é o desvio padrão de dosagem que, depende entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto. A NBR 8953/1992 classifica os concretos para fins estruturais em classes de resistência que são designadas pela letra C seguida do valor da resistência característica à compressão (fck) expressa em MPa conforme as tabelas 1 e 2. Tabela 1 - Classes de resistência do grupo I Grupo I de resistência

Resistência característica à compressão (MPa)

C 15

15

C 20

20

C 25

25

C 30

30

C 35

35

C 40

40

C 45

45

C 50

50

Tabela 2 - Classes de resistência do grupo II Grupo II de resistência

Resistência característica à compressão (MPa)

C 55

55

C 60

60

C 70

70

C 80

80


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2.2.1.2 Redução da resistência do concreto sob a ação das cargas de longa duração: Efeito Rüsch Ensaios efetuados por Rüsch mostraram que o concreto apresenta uma resistência a longo prazo cerca de 20% inferior a resistência a curto prazo. A determinação da resistência em laboratório é efetuada através de ensaios de curta duração em que mesmo com baixas velocidades de deformação e máxima carga atingida dura pouco tempo. Na estrutura, a carga é geralmente aplicada em curto espaço de tempo e depois é mantida constante. Este tipo de carregamento, que corresponde à realidade, é desfavorável em relação ao primeiro, de acordo com os ensaios de Rüsch. A figura da página seguinte reproduzida do CEB - 1964 ilustra o fenômeno. Na figura são marcadas em abcissas os encurtamentos relativos do concreto e em ordenadas as relações entre a tensão do concreto σc e a resistência à ruptura por compressão determinado em ensaio rápido. À medida que o tempo t aumenta, a tensão σc última cai. Se a tensão σc for mantida mais baixa que a resistência em longo prazo (ponto A) após o tempo t de duração de carga (100 minutos) não haverá ruptura; se a carga for mantida indefinidamente também não haverá ruptura (ponto B), apenas aumento de deformação (deformação lenta).

σc / f c

t = duração do carregamento Idade do concreto no instante de aplicação da carga: 28 DIAS

εc (‰)


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σc / f c

Idade do concreto no instante de aplicação da carga: 1 ANO

εc (‰)

Se a tensão σc for mantida superior à resistência em longo prazo (ponto C) não haverá ruptura após os 20 minutos do ensaio, mas se mantiver a carga por mais tempo, a ruptura poderá ocorrer em D (antes de 100 minutos). Ocorre, portanto, com o aumento da duração da carga, uma redução da resistência do concreto, com rupturas para relações σc/fc menores que 1. Se os ensaios forem realizados em corpos de prova com 1 ano de idade quando da aplicação da carga, os resultados são análogos, com deformações máximas menores, uma vez que a deformação lenta é menor nos concretos mais velhos. A redução da resistência do concreto devido às cargas de longa duração se opõe o aumento da resistência ao longo do tempo, devido ao endurecimento, independente da atuação ou não das cargas. Para que os resultados sejam reais, a resistência em curto prazo é definida como a resistência de um corpo de prova moldado na mesma época e nas mesmas condições que o corpo de ensaio e que permanece descarregado até o instante em que o corpo de prova gêmeo rompe sob carga mantida, ocasião em que o primeiro é levado à ruptura num ensaio rápido. Desta maneira, as rupturas no ensaio lento e no ensaio rápido são comparáveis pois ambas referem-se à mesma idade do concreto, isto é, ao mesmo grau de endurecimento ou maturidade.


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2.2.1.3 Influência da idade na resistência à compressão do concreto De acordo com o Projeto de revisão da NBR 6118, quando não for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 28 dias. A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados experimentais podem-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados na tabela 3 abaixo, onde fc é a resistência aos 28 dias e fcj a resistência para outras idades. Tabela 3 – Evolução da resistência à compressão Cimento Portland CP III CP IV CP I CP II CP V

Idade (em dias) 3

7

14

28

63

91

120

240

360

720

0,46

0,68

0,85

1

1,13

1,18

1,21

1,28

1,31

1,36

0,59

0,78

0,9

1

1,08

1,12

1,14

1,18

1,20

1,22

0,66

0,82

0,92

1

1,07

1,09

1,11

1,14

1,16

1,17

NOTA: CP I = cimento comum; CP II = cimento composto; CP III = cimento de alto forno; CP IV = cimento pozolânico; CP V = cimento de alta resistência inicial

2.2.2 Resistência do Concreto à Tração Ainda que não se conte com a resistência a tração do concreto para a verificação das estruturas de concreto no estado limite último de ruptura, é necessário conhecer seu valor porque desempenha um papel importante em certos problemas como a fissuração, a deformação, o esforço cortante, a aderência e deslizamento das armaduras, etc. Além disso, em certos elementos de concreto, como no caso de pavimentos, pode ser mais interessante o conhecimento da resistência à tração do que a compressão, por refletir melhor certas qualidades, como a resistência e limpeza dos agregados. Como ocorre com a resistência à compressão, a resistência à tração é um valor convencional que depende do tipo de solicitação, das dimensões e forma do corpo de prova e principalmente da aderência dos grãos dos agregados com a argamassa de cimento.


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A resistência à tração pode ser verificada através de 3 métodos diferentes: por fendilhamento, por tração axial e por flexão:

Tração axial

Flexão

Fendilhamento

2.2.2.1 Resistência à Tração por Fendilhamento Quando uma carga linear atua sobre um corpo cilíndrico ou prismático colocado horizontalmente, surgem tensões de tração transversais, aproximadamente constantes no trecho médio da seção transversal, que, levados ao valor máximo produzem o fendilhamento da seção. O estado de tensões na peça é biaxial. O ensaio para determinação da resistência à tração por fendilhamento foi preconizado pelo engenheiro e pesquisador Fernando Luiz Lobo Carneiro e reconhecido pelo CEB - FIP e RILEM que o denominaram "ensaio brasileiro". A resistência à tração por fendilhamento é determinada de acordo com a NBR 7222 e pode ser calculada pela expressão: fct = 2/π × P/(DL) onde fct: limite de resistência à tração em MPa. P: carga máxima em N indicada pelo dinamômetro da máquina na ocasião da ruptura. D: diâmetro do corpo de prova em mm. L: comprimento do corpo de prova em mm. A resistência à tração por fendilhamento deveria ser um pouco menor que a resistência à tração axial, devido as tensões de compressão que atuam simultaneamente (caso de solicitação "biaxial "). Na realidade, observa-se o contrário, o que é explicado pelo fato de que, neste tipo de ensaio, as maiores tensões de tração não ocorrem na superfície, mas sim no interior da seção, onde a retração produz tensões de compressão que necessitam ser primeiramente eliminadas.


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Por esta razão a resistência à tração pura do concreto pode determinar-se pela fórmula: fct = 0,85 . 2P/( π DL) = 0,55 P/(DL) uma vez que é menor, aproximadamente 15%, do que a resistência à tração por fendilhamento, como já foi visto anteriormente.

2.2.2.2 Resistência à Tração Axial Antigamente, a resistência à tração axial do concreto era raramente determinada, pelas dificuldades de transmitir, sem perturbações, a força de tração ao corpo de prova ensaiado. Com o aparecimento de colas artificiais de alta qualidade, tornou-se possível produzir tensões de tração axiais e uniformemente distribuídas em corpos de prova prismáticas, através de placas de aço coladas nestes prismas. Na falta de ensaios comparativos pode-se tornar a resistência à tração axial igual a 85% da resistência à tração por fendilhamento ou 60% da resistência à tração na flexão.

2.2.2.3 Resistência à Tração por Flexão A resistência à tração na flexão, de acordo com a NBR 12142 é determinada submetendo-se à flexão uma viga de concreto simples. A resistência à flexão é calculada mediante a fórmula: fct = Mr/W onde: Mr: momento de ruptura, W: módulo de resistência da seção de ruptura. Esta resistência depende muito das dimensões dos corpos de prova, principalmente de sua altura e do carregamento. O seu valor é maior do que a resistência à tração axial ou a obtida por compressão diametral, porque a maior tensão ocorre apenas na fibra mais externa e, por conseguinte, as fibras internas, menos solicitadas, colaboram na resistência.


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2.2.2.4 Relação entre a Resistência à Compressão e a Resistência à Tração do Concreto Os valores da resistência à tração de um concreto apresentam uma dispersão muito maior que a sua resistência à compressão, principalmente no caso de tração axial. De acordo com o código Modelo do CEB - FIP/ 1978 a variação da resistência à tração pode estender-se no intervalo 0,7 a 1,3 do seu valor médio. A resistência à tração depende muito mais da forma e das dimensões do corpo de prova que a resistência à compressão. Além disso, certos fatores influem na resistência e compressão de forma diferente que na resistência à tração, como, por exemplo, o fator águacimento, o tamanho, a forma e a resistência dos agregados e o tempo de cura (armazenagem em ambiente úmido ou seco), responsável principalmente pelas diferenças no desenvolvimento das resistências à tração e a compressão com o decorrer do tempo. Por esta razão, as fórmulas estabelecendo relações entre as resistências à tração e à compressão fornecem valores apenas aproximados. A NBR 6118-03 no item 8.2.5 chama a resistência à tração por fendilhamento de resistência à tração indireta f ct,sp e a resistência à tração na flexão f ct,f às quais devem ser obtidas em ensaios realizados segundo a NBR 7222 e a NBR 12142 respectivamente. A resistência à tração direta que seria a tração axial f ct pode ser considerada igual a 0,9 f ct,sp ou 0,7 f ct,f , ou na falta de ensaios para obtenção de f ct,sp e f ct,f pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das equações seguintes: f ct,m = 0,3 f ck 2/3 f ctk,inf = 0,7 f ct,m f ctk,sup = 1,3 f ct,m onde: f ct,m e f ck são expressos em megapascal, sendo f ckj > 7 MPa estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias.

2.2.3 Fatores que Influem na Resistência do Concreto 

Qualidade dos materiais: cimento, água de amassamento, agregados e aditivos.



Influência da dosagem: fator água-cimento, proporção de agregados.



Influência da confecção: mistura, transporte, lançamento, vibração e cura.



Influência da idade já vista anteriormente. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

19

2.2.4 Diagrama Tensão - Deformação do Concreto 2.2.4.1 Deformações do Concreto As deformações do concreto devido às cargas podem classificar-se em: 

Deformações elásticas: são as que desaparecem tão logo cessa a atuação da carga.



Deformações plásticas: devidas a cargas elevadas que não desaparecem com a retirada das cargas.

2.2.4.2 Diagrama Tensão - Deformação do Concreto Este diagrama σc (tensão no concreto) - ε (deformação específica) mostra que o material não obedece a lei de Hooke. A figura abaixo mostra que a característica do diagrama muda depois de repetidos carregamentos e descarregamentos.

σ

ε Verifica-se que, depois de carregado pela primeira vez, o concreto se comporta para tensões não superiores às atingidas no primeiro carregamento mais ou menos de acordo com a lei de Hooke: as deformações são proporcionais às tensões (diagrama retilíneo).


20

CAPÍTULO 33

AÇO 3.1 Classificação Os aços estruturais para concreto armado podem ser classificados em 2 grupos: 

Aços classe A (dureza natural ou laminados a quente) que não sofrem tratamento

algum após a laminação sendo as características elásticas alcançadas unicamente por composição química adequada com ligas de C, Mn, Si. Como são laminados a quente, não perdem suas propriedades de resistência quando aquecidos ao rubro e resfriados em seguida (condicionalmente até 1200º). Por isso podem ser soldados e não sofrem demasiadamente com a exposição a chamas moderadas em caso de incêndios. O diagrama tensão-deformação destes aços que apresentam escoamento definido é:

σ fyk

ε 

Aços classe B (encruados a frio) obtidos por trefilação a partir do aço classe A com o

aumento da resistência a tração à custa da grande perda de tenacidade. Estes aços não apresentam patamar no diagrama tensão - deformação sendo definidos por um valor convencional da tensão que corresponde a uma deformação residual de 2‰. Este valor chama-se tensão convencional de escoamento. σ fyk

2‰

ε


21

Pelo gráfico da figura abaixo, nota-se a transformação radical que surge no diagrama tensão-deformação de um mesmo aço em conseqüência do encruamento:

σ fyk 1 fyk 2

2‰

εsr1 εsr2

ε

De acordo com o valor característico da tensão de escoamento os aços são classificados pela NBR 7486/1996 em categorias representadas por um número que é a tensão característica de escoamento em kN/cm², seguido das letras A ou B conforme a classe do aço. Assim teremos o aço CA - 25A que se representa simplesmente por CA - 25, cujo fyk = 25 kN/cm² (não existe CA - 25B), o aço CA - 50A que se representa por CA - 50 cujo fyk = 50 kN/cm² (não se fabrica o aço CA - 50B) e o aço CA - 60B que se representa simplesmente por CA - 60, já que não existe o aço CA - 60A. Estas armaduras são comercializadas em barras com comprimentos de 10 a 12 m e rolos dentro das seguintes bitolas: 

CA - 50 :

φ 6,3 mm e φ 8,0 mm em rolo ou em barra. 

Somente em barra:

φ 10,0 mm, 12,5 mm, 16,0 mm, 20,0 mm, 22 mm e 25 mm. (muito pouco utilizados φ 32,0 mm e 40,0 mm) 

aço CA - 60 comercializado em rolo ou barra:

φ 3,4 mm, 4,2 mm, 4,6 mm, 5,0 mm, 6,0 mm, 6,3 mm, 7,0 mm e 8,0 mm. (muito pouco utilizados φ 3,8 mm e 10,0 mm)


22

CAPÍTULO 44

VALOR ES D DE C CÁLCULO

4.1 Valores de cálculo para concreto e aço De acordo com o item 12.3.1 da NBR 6118-03 a resistência de cálculo f d é: f d = f k / ϒm De acordo com o item 12.3.3 da NBR 6118-03 no caso específico da resistência de cálculo do concreto (f cd) alguns detalhes adicionais são necessários conforme a seguir descrito: quando a verificação se faz em data “j” = ou superior a 28 dias adota-se a expressão: f cd = f ck / ϒc Nesse caso o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feita aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de f ck adotado no projeto. Os coeficientes de ponderação das resistências no estado limite (ELU) estão indicados na tabela 12.1 da NBR 6118-03, colocada abaixo: Tabela 12.1 (NBR 6118-03) – valores dos coeficientes ϒc e ϒs Combinações

Concreto ( ϒc)

Aço ( ϒs)

Normais

1,4

1,15

Especiais ou de Construção

1,2

1,15

Excepcionais

1,2

1,0

Para execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições desfavoráveis, o coeficiente ϒc deve ser multiplicado por 1,1. Para elementos estruturais prémoldados e pré-fabricados, deve ser consultada a NBR 9062. Admite-se no caso de testemunhos extraídos da estrutura dividir o valor de ϒc por 1,1. Admite-se nas obras de pequena importância, o emprego de aço CA-25 sem a realização do controle de qualidade estabelecido na NBR 7480, desde que o coeficiente de segurança para o aço seja multiplicado por 1,1.


23

CAPÍTULO 55

DIAGR AMAS

TENSÃO-DEFOR MAÇÃO D DE C CÁLCULO

5.1 Diagrama Tensão-Deformação de Cálculo do Concreto De acordo com o item 8.2.10.1 da NBR – 6118/03, o diagrama tensão-deformação à compressão será suposto o diagrama simplificado da figura 8.2 da NBR 6118/03 composto de uma parábola do 2º grau que passa pela origem e tem seu vértice no ponto da abcissa 2‰ e ordenada 0,85 fcd e de uma reta entre as deformações 2‰ e 3,5‰ tangente à parábola e paralela ao eixo das abcissas.

Figura 5.1 – Diagrama tensão-deformação atualizado O coeficiente de minoração 0,85 leva em conta: 

Sob a ação de cargas de longa duração a resistência reduz-se a cerca de 0,85 da

resistência verificada no ensaio de curta duração (Efeito Rusch); 

No bordo comprimido de vigas fletidas e em peças prismáticas comprimidas a

resistência deve ser a prismática que é menor que a resistência cilíndrica; 

As condições de concretagem e higrométricas que conduzem a face superior da zona

comprimida a uma secagem mais rápida e consequentemente a uma diminuição da resistência à compressão. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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5.2 Diagrama Tensão-Deformação de Cálculo do Aço 5.2.1 Diagrama Tensão-Deformação de Cálculo dos Aços Classe A De acordo com o item 8.3.6 da NBR 6118-03 para o cálculo nos estados limites de serviço e último (objetivo do nosso curso) pode-se utilizar o diagrama simplificado mostrado na figura 5.2, admitindo uma deformação de ruptura de 10% 0 resultando na figura 5.3. Será adotado o diagrama de cálculo da fig. 5.3 com os valores de Es, fyd e fycd indicados: Es = tgα = 210000 MPa = 21000 kN/cm² fyd = fyk/ ϒs fycd = fyck/ ϒs As resistências de cálculo (fyd e fycd) serão fixadas com as resistências características determinadas em ensaios. Se não houver ensaios de compressão; na falta de determinação experimental fyk e fyck serão considerados ambos iguais ao valor mínimo nominal de fyk fixados na NBR - 7486/1996.

σs f y f yd ELS

εs Figura 5.2

Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode ser aplicado para tração e compressão.


25

σs

εs

Figura 5.3

5.2.2 Diagramas Tensão - Deformação de Cálculo dos Aços Classe B De acordo com o item 8.3.6 da NBR 6118-03, pode-se utilizar o mesmo diagrama dos aço classe A. Para a compressão no aço classe B valem as mesmas observações dos aços classe A. Sendo que, para qualquer aço a deformação limite última é de 10‰.


26

CAPÍTULO 66

AÇÕES

E S SOLICITAÇÕES

6.1 Generalidades A partir das cargas fornecidas pela NBR 6120 se obterão através da análise estrutural as solicitações características que denominamos S k (M,N,V). (M,N,V). De acordo com o item 11.2 da NBR 6118-03 as ações a considerar na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos (objetivo do nosso curso) e os de serviço. De acordo com o item 11.2.2 as ações a considerar classificam-se de acordo com a NBR 8681 em permanentes, permanentes, variáveis e excepcionais. excepcionais. De acordo com o item 11.3 da NBR 6118-03 as ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. De acordo com o item 11.3.2 da NBR 6118-03 as ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. permanentes. De acordo com o item 11.4.1 as ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, pela ação do vento, da chuva e da neve devendo-se respeitar as prescrições feitas por normas brasileiras específicas. específicas. O item 11.6.3 da NBR 6118-03 fixa que os valores de cálculo F d das ações são obtidos a partir dos valores representativos multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação ponderação ϒf definidos definidos em 11.7. Estes coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU) são definidos para cada espécie de carga pelas tabelas 11.1 e 11.2 e levam em Concreto Armado I – PUCRS. P UCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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conta a possibilidade de desvios desfavoráveis das ações em relação aos valores característicos.

1 2) 3)

ϒf = = ϒf1 ϒf2 ϒf3 Em geral para cargas permanentes permanentes e acidentais: ϒf = = 1,4 sendo, portanto: Sd = ϒf Sk = = 1,4 S k


28

De acordo com o item 11.2.3 a seção transversal de pilares e pilares – paredes maciços, qualquer que seja a sua forma não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 e 12 cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente ϒf1 de acordo com o indicado na tabela 13.1 e na seção 11. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm². Tabela 13.1 – Valores do Coeficiente Adicional ϒn b

> 19

18

17

16

15

14

13

12

ϒn

1,0

1,05

1,10

1,15 1,15

1,20

1,25

1,30 1,30

1,35

Onde:

ϒn = 1,95 – 0,05b; sendo b é a menor dimensão da seção transversal do pilar. NOTA: O coeficiente ϒn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento. dimensionamento.


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CAPÍTULO 77

ANÁLISE D DO P PR OCESSO D DE R R UPTUR A D DE V VIGA S SOB T TENSÕES N NOR MAIS ESTÁDIOS D DE F FLEXÃO

7.1 Solicitações Normais Designam-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem tensões normais nas seções transversais das peças estruturais. As solicitações normais englobam o momento fletor e a força normal. De acordo com os princípios da resistência dos materiais, os esforços solicitantes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Numa viga a solicitação predominante é a de flexão que pode ser normal ou oblíqua conforme o plano do momento fletor contenha ou não um eixo principal de inércia da seção. A flexão nas vigas, em geral, é a flexão simples quando além da flexão pura temos esforço cortante. O estudo dessas duas solicitações é feito separadamente, de onde para o efeito do dimensionamento na flexão não há necessidade de distinguir entre flexão pura e simples. Nos pilares e tirantes temos em geral flexão composta onde além do momento fletor atua ainda uma força normal de compressão (compressão não uniforme) ou de tração (tração não uniforme), podendo ou não coexistir o esforço cortante.

7.2 Comportamento de uma Viga Solicitada a Flexão Pura. Estádios de Flexão Analisar-se-á a seguir o comportamento de uma viga de concreto armado submetida à flexão simples quando as cargas aumentam zero até a ruptura. Seja uma viga retangular simplesmente apoiada carregada nos terços do vão com duas forças concentradas P iguais, a fim de obter o diagrama de momentos com uma zona central solicitada unicamente a flexão pura, isto é, com momento constante (para isto desprezamos o peso próprio). Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

30

P

P ℓ/3

ℓ

P -P

Pℓ / 3

Pℓ / 3

A viga tem armadura principal na parte inferior e estribos. Supõe-se, por outro lado, que a armadura principal é suficiente para assegurar que com o aumento das cargas a viga rompe finalmente por plastificação do concreto na zona comprimida. Supondo duas seções na zona central AB e CD afastadas entre si de ∆ℓ, valor muito pequeno. A ∆ℓ C B

A’ ∆ℓ1 C’

D

B’ ∆ℓ D’ 2

Os encurtamentos unitários máximos devidos à compressão nas fibras superiores serão

ε' = (∆ℓ1 - ∆ℓ ) / ∆ℓ e os alongamentos unitários máximos devido à tração nas fibras inferiores serão ε = (∆ℓ2 - ∆ℓ ) / ∆ℓ . A deformação que experimenta uma fibra qualquer da seção pode ser medida colocando na sua altura extensômetros (strain gages) os quais colocados sobre uma linha vertical nos determinam o giro da seção reta da viga. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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Conhecendo a curva σ - ε do concreto podemos determinar a tensão em cada altura que corresponde a deformação específica e traçar o diagrama de tensões correspondente. Dependendo dos valores de ε' e ε ou das tensões no concreto em conseqüência dessas deformações (obtidas na curva tensão - deformação do concreto), quando se modifica a intensidade das forças podemos dizer que a viga está solicitada na seção considerada (AB ou CD muito próximos) em diferentes estádios que veremos a seguir:

σ fck III

II Ib

εt

Ia

εr

ε

σt 7.2.1 Estádio I a Quando as cargas são muito fracas a seção se deforma muito pouco e as tensões internas são também pequenas; se pode considerar que existe proporcionalidade linear entre as tensões e deformações. Com efeito para cargas tão pequenas que produzem na borda superior uma deformação de ordem de 1/50 da que provoca a ruptura do concreto se pode supor que a distribuição de tensões de compressão é praticamente linear. Na parte tracionada da seção se pode considerar ainda também linear a variação de tensões de tração. Como o módulo elástico Ec do concreto é, para pequenos esforços, igual para compressão e tração, ambos os diagramas estão constituídos pela mesma reta. O concreto no estádio Ia é estudado como material homogêneo valendo para ele todos as fórmulas da resistência. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

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ε’

σ’

εr ’

ε’ σ’= σc

ε’

0,85 . fcd 2‰ Md

Mk

εs ε σ Estádio I a

εT

εs

σT

Estádio I b

Estádio II

Estádio III

7.2.2 Estádio I b Aumentando as solicitações e consequentemente as tensões na seção estudada, se ε atinge um valor tal que o diagrama de tensões na parte tracionada não é mais linear, e sim curvo, desenhando uma curva afim ao diagrama tensão - deformação do concreto à tração estamos diante do estádio Ib em que o concreto não está fissurado, mas no limiar do início da fissuração. Na parte comprimida continua a lei de Bernouilli ou seja, as tensões são proporcionais as suas distâncias à linha neutra.

7.2.3 Estádio II Com o aumento das solicitações a deformação ε ultrapassa a máxima admitida pelo concreto à tração e o material fissura. Neste caso passa a armadura a resistir integralmente à força de tração do binário reagente ao momento fletor atuante. Não mais se considera no cálculo o pequeno valor das tensões de tração existentes próximos a linha neutra onde termina a fissura. Na borda comprimida neste estádio o concreto pode atingir uma tensão máxima igual a metade de fck que é chamada tensão admissível.

σc = fck/2 Por outro lado, a tensão de tração na armadura estará condicionada a deformação unitária do concreto naquela região que será a mesma da armadura εs. A seção transversal da seção não é mais toda útil e a parte útil da seção (isto é, a parte considerada estaticamente resistente) depende do estado de deformação ou, em outras palavras, da posição da linha neutra.


33

7.2.4 Estádio III Aumentando mais as cargas as fissuras se estendem, o eixo neutro segue subindo e a deformação εs cresce sem que se verifique paralelamente um incremento de Rst. Para poder equilibrar o aumento de momento externo correspondente o eixo se desloca ainda mais rapidamente para cima a fim de incrementar o braço de alavanca o mesmo acontecendo com as fissuras que crescem aproximando-se cada vez mais do eixo neutro. As fissuras, entretanto não o alcançam, somente chegando ao ponto em que a tensão atinge um valor ftk. A borda mais comprimida sendo levada até a capacidade máxima de tensão do concreto fck esta se mantém constante e a fibra imediatamente inferior tem a tensão aumentada até atingir fck; este processo continua até que uma quantidade de material suficientemente grande atinja o estado de ruptura. Só então se produz o desmembramento, pois para isto, exige-se que um volume grande, não simples fibra do material que constitui a peça atinja a situação da ruptura. Temos então os diagramas de distribuição de tensões na seção obtidas do diagrama tensão - deformação do concreto correspondente ao estádio III ou estado de ruptura. A NBR – 6118-03 no item 16.2.3 determina que o dimensionamento das peças e esforços resistentes seja feito através do estado limite último (de ruína). Este estádio III não ocorre na peça ou, por outra, não deve ocorrer. O dimensionamento no estádio III é puramente fictício: Procura-se determinar qual é a solicitação que leva a peça a ruína, de modo que as cargas estejam com valores inferiores, de acordo com determinados coeficientes, aos valores que levariam a peça à ruína.


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CAPÍTULO 88

HIPÓTESES BBÁSICAS D DE C CÁLCULO D DE P PEÇAS D DE C CONCR ETO A AR MADO SUBMETIDAS A A S SOLICITAÇÕES N NOR MAIS, N NO E ELU

8.1 Generalidades Generalidades Designam-se por solicitações normais os esforços solicitantes que originam tensões normais sobre as seções seções transversais e são são constituídas pelo momento momento fletor e a força normal, referidos ao centro de gravidade da seção de concreto. De um modo tradicional a ruptura das peças de concreto armado era caracterizada apenas pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio das armaduras. Com a ruptura do concreto atingia-se o estado limite último (estádio III). Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alongamento da armadura tracionada, pois o alongamento excessivo acarreta uma fissuração exagerada atingindo-se o estado último sem que necessariamente tenha ocorrido a ruptura do concreto do banzo comprimido da da peça. Por esta razão, presentemente a verificação da segurança é feita admitindo-se que o esgotamento da capacidade resistente, ou seja, que uma seção de concreto armado alcança o estado limite último tanto pode ser por esmagamento do concreto como pela deformação plástica excessiva excessiva da armadura armadura tracionada. tracionada. Face à dificuldade de caracterização da capacidade resistente de uma peça, o estado limite último é convencional e admite-se alcançado quando na fibra mais comprimida de concreto o encurtamento encurtamento é igual igual a um valor último convencional convencional (variável (variável entre 2‰ para a compressão uniforme a 3,5‰ na flexão simples) dependendo portanto da solicitação, ou quando a barra de aço mais deformada da armadura de tração tem o alongamento igual ao valor último convencional de 10‰. De acordo com o item 17.2.2 da NBR 6118-03, o estudo das seções de forma qualquer, submetidas a solicitações normais, no estado limite último de resistência é feito com base nas seguintes hipóteses básicas: Concreto Armado I – PUCRS. P UCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

35



Manutenção da seção plana

Admite-se a hipótese de Bernouilli de que as deformações normais a uma seção transversal seguem uma lei plana. Esta hipótese é válida para peças em que a relação ℓ/d, da distância entre os pontos de momento nulo é a altura útil da seção transversal, transversal, seja superior a 2. Com esta hipótese, as deformações normais específicas, em cada ponto são proporcionais à sua distância à linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança o estado limite último. Para vigas curtas, não se verifica a hipótese de Bernouilli devido a grande influência que tem as deformações deformações por esforço cortante. 

Solidariedade dos materiais

Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que as envolve. Com esta hipótese, a deformação específica das barras passivas aderentes (concreto armado) em tração ou compressão é a mesma do concreto em seu entorno.  Resistência do concreto à tração

É totalmente desprezada, a favor da segurança a pequena resistência do concreto a tração.  Limites de

deformação

Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente comprimidas considera-se o valor convencional de 3,5‰, para a compressão uniforme 2‰. Nas seções inteiramente comprimidas a “configuração “configuração última do diagrama de deformações específica” o encurtamento da borda mais comprimida pode variar de 3,5‰ (limite da flexão) a 2‰ (compressão uniforme) uniforme) mas a configuração configuração deverá passar passar pelo ponto C intersecção das configurações DE e BF. Este ponto C estará da borda mais comprimida a uma distância 3/7 h como se deduz pela semelhança dos triângulos DCB e CEF. 1,5‰ / y = 2‰ / (h-y)

y = 3/7 h


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O D

B

C

A F

E

A figura 17.1 da NBR 6118-03 mostra os domínios em que se encontram as configurações últimas de uma seção sujeita a solicitações normais. A reta “a” corresponde à tração axial uniforme. Cada domínio é caracterizado pela passagem da configuração por um ponto que pode ser o ponto A (alongamento da armadura de 10‰) para os domínios 1 e 2, o ponto B (encurtamento de 3,5‰ para o concreto), para os domínios 3, 4, 4a e o ponto C (2‰, 3/7 h) para o domínio 5. Além disso, cada configuração será caracterizada pela distância x da fibra mais comprimida ou menos tracionada a linha neutra (positiva para baixo de O). Observe-se que nos domínios 1 em que x é negativo e no domínio 5 em que x é maior que h, x não tem o significado de distância a linha neutra, mas distância de O ao ponto onde a configuração intercepta a seção. Denominaremos k x = x/d

Domínio 1: Tração não uniforme, sem compressão. O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada.

Neste domínio - ∞ < x ≤ 0 A seção resistente é composta pelas armaduras de aço não havendo participação resistente do concreto o qual é admitido como inteiramente fissurado.


37

Domínio 2: Possui fibras comprimidas e tracionadas: flexão O estado limite é caracterizado pela deformação εs = 0,010 do aço, sem que o concreto atinja o encurtamento de ruptura. A configuração limite do domínio 2 é obtida por semelhança de triângulos: 3,5‰ x 2 lim 0,0035 = 0,010 d − x 2 lim

x2lim d

x2lim = 0,2593 d

d - x2lim

εs = 10‰ Neste domínio: 0 < x ≤ x2lim Domínio 3 O estado limite é caracterizado pela deformação εc = 3,5‰ (ruptura do concreto) e com escoamento da armadura tracionada (deformação mínima εyd do aço). Este domínio será limitado pela reta que une o ponto B com εyd que é a deformação que corresponde ao início do escoamento. Será, portanto, um flexão simples ou composta com peça sub-armada (melhor chamar adequadamente armada) onde a armadura atinge o escoamento. ( εs ≥ εyd).

Neste domínio: 0,2593 d < x < x3lim x3lim = k xlim . d e, k xlim depende exclusivamente do tipo de aço empregado, sendo também determinado por semelhança de triângulos. 3,5‰ x3lim d

x 3 lim 0,0035 = ε yd d − x 3 lim

εyd Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

38

O cálculo de εyd, por sua vez, depende da tensão de cálculo fyd.

σ fyd

ε yd =

εyd

10‰

f yd f = yd E s 21000

ε

então: x 3 lim =

0,0035 f yd + 0,0035 21000

.d =

1 .d 1 + 0,0136.f yd

com fyd em kN/cm 2

x3lim = k xlim . d De acordo com o item 8.3.6 da NBR 6118-03, pode-se utilizar o mesmo diagrama de cáculo, tanto para os aços classe A como B. Assim, os valores de x lim podem ser calculados pela mesma fórmula. 

Para o aço CA - 50 fyk = 50 kN/cm²

fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm² k xlim = 0,628



Para o aço CA - 60 fyk = 60 kN/cm²

fyd = 60/1,15 = 52,17 kN/cm² k xlim = 0,585

No domínio 3, a deformação da armadura é pelo menos igual a deformação do início do escoamento e a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto uma vez que os dois materiais tem as suas resistências aproveitadas integralmente e além disso não há o risco da ruptura brusca. As peças que chegam ao estado último no domínio 3 são impropriamente chamadas peças subarmadas, na verdade devem ser chamadas peças normalmente armadas. As peças realmente sub-armadas pertencem ao domínio 2 em que o estado limite último é atingido por deformação plástica excessiva da armadura sem ruptura a compressão do concreto.


39

Domínio 4 O estado limite é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰, flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e sem escoamento da armadura (seção superarmada), ou seja, εs < εyd. A ruptura da peça ocorre de forma frágil, pois a deformação da armadura sendo inferior ao início do escoamento não há aviso prévio da ruptura.

Neste domínio x3lim < x ≤ d Quando x = d, a deformação da armadura de tração é nula e, portanto, ela não é solicitada.

Domínio 4a O estado limite é caracterizado pela deformação εc = 3,5‰. A linha neutra ainda corta a seção transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida. No domínio 4a, teremos flexão composta com ambas as armaduras comprimidas, embora sejam realmente desprezadas as tensões na armadura menos comprida.

Neste domínio d < x ≤ h Domínio 5 O estado limite é caracterizado por uma deformação 2‰ ≤ εc ≤ 3,5‰, sendo 2‰ para a compressão uniforme e 3,5‰ para x = h. Pelo fato dos diagramas de deformação dos dois casos limites se cruzarem no ponto C afastado de 3h/7 da borda mais comprimida da seção, adota-se a hipótese que todas as configurações últimas passam pelo ponto C neste domínio, ou seja, a fibra situada a uma distância 3/7 h de O terá a deformação de 2‰.

Neste domínio h ≤ x < ∞ 8.2 Diagrama de cálculo das tensões do concreto O diagrama de tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama retangular parabólico:


40

0,85.fcd

3,5‰

d’ d

2‰

x

2   ε c   σ c = 0,85 fcd. 1 − 1 −   0 , 002    

d”

Permite-se a substituição do diagrama parabóla-retângulo pelo diagrama retangular de tensões da figura abaixo:

εC

0,85 ou 0,8 . fcd 0,8.x

x

0,2.x

No trecho 0,2.x a partir da linha neutra são desprezadas as tensões de compressão. No trecho de altura 0,8.x admite-se distribuição uniforme de tensões. Admite-se a tensão constante e igual a 0,85fcd nas seções em que a largura na zona comprimida, medida paralelamente a linha neutra é crescente ou constante no sentido das fibras mais comprimidas. Nas seções em que a largura decresce neste sentido admite-se uma tensão constante e igual a 0,8fcd (seções circulares, triangulares, trapezóides com o vértice ou a base menor comprimida respectivamente a seções retangulares sujeitas a flexão oblíqua). O diagrama retangular de tensões válido para qualquer forma de seção e para todas as posições da linha neutra é uma aproximação de cálculo, que conduz a resultados praticamente iguais aos do diagrama parábola-retângulo. As diferenças são mais sensíveis quando a linha neutra é muito alta ou muito baixa.


41

CAPÍTULO 99

FLEXÃO SSIMPLES: DIMENSIONAMENTO D DE S SEÇÕES R R ETANGULAR ES

9.1 Generalidades Nos problemas de dimensionamento de vigas de seção retangular são fornecidos como dados o momento fletor de serviço M em kN.m e as resistências características dos materiais fck (MPa) e fyk (kN/cm²). Fornece-se a base b (cm) podendo-se fixar ou não a altura h (cm). As incógnitas serão as áreas das seções de armadura As (cm²) e A’s (cm²) e a altura mínima, caso a altura não tenha sido fixada. Transformações úteis:

Md = 1,4 . M . 100 [kN.cm] fcd = fck / (1,4 . 10) [kN/cm²] fyd = fyk / 1,15 [kN/cm²]

O problema será resolvido através das equações de equilíbrio e de compatibilidade. O cálculo da altura útil “d” será feito a patir de “h” conforme a figura:

d

φw φℓ

h

bw


42

A altura útil “d” é a distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal e a borda mais comprimida: h - d = φℓ / 2 + φw + cobrimento onde φℓ: é o diâmetro da armadura longitudinal

φw: é o diâmetro da armadura transversal (estribos) cobrimento: é a camada de concreto que envolve as armaduras e depende da agressividade ambiental, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes. De acordo com os itens 7.5.1 e 7.5.2 da NBR 6118-03, as barras devem ser dispostas dentro do componente ou elemento estrutural de modo a permitir e facilitar a boa qualidade das operações de lançamento e adensamento do concreto, sendo vital prever no das disposições das armaduras espaço suficiente para a entrada da agulha do vibrador. Na falta de maior esclarecimento, o espaçamento entre barras não deve ser inferior a 2 cm, diâmetro da barra e 1,2 do diâmetro máximo do agregado.

De acordo com a agressividade ambiental será utilizada uma qualidade de concreto de acordo com a tabela 7.1 da NBR 6118-03


43


44

Exemplo: Classe de agressividade I, concreto C20, relação água/cimento = 0,60 cnom > φ barra ( vamos admitir φℓ = 20 mm) cnom > 25 mm Admitindo φw = 5 mm h – d = φℓ / 2 + φw + cobrimento = 2 cm/2 + 0,5 + 2,5 = 4 cm


45

9.2 Equações de Equilíbrio da Seção Retangular com Armadura Simples. Momento Limite para dimensionamento

εc

0,85.fcd y = 0,8.x d

h

x

0,85 . fcd . b . y

Md

d

εs As . fyd

b Como o dimensionamento deverá ser feito no domínio 3, a tensão na armadura deverá ser fyd, que é a tensão de escoamento. As equações de equilíbrio são: 0,85.fcd . b . y - As fyd = 0

(1)

0,85.fcd . b .y . (d - 0,5y) = Md

(2)

Pelos dados fornecidos determina-se y pela 2ª equação. À medida que Md aumenta para manter o equilíbrio cresce o valor de y. Entretanto, como o dimensionamento é feito dentro do domínio 3 haverá um valor limitado para y (ylim=0,8 xlim) e um momento limite para que a peça possa ser dimensionada com armadura simples. Observação: Passamos a representar x 3lim por xlim. Mdlim = 0,85 fcd.b.ylim (d - 0,5 ylim ) = 0,85 fcd.b. 0,8x lim (d - 0,5. 0,8x lim) = 0,85fcd . b . 0,8 . k xlim . d (d - 0,4 k xlim . d) = 0,68 . k xlim (1 - 0,4 k xlim) b d² fcd Mdlim = µlim . b . d² . fcd, onde µlim = 0,68 k xlim (1 - 0,4 k xlim) Teremos: Aço

CA - 25

CA - 50

CA - 60

fyk (kN/cm²)

25

50

60

fyd (kN/cm²)

21,74

43,48

52,17

k xlim

0,772

0,628

0,585

µlim

0,363

0,320

0,246


46

9.3 Cálculo da Altura Mínima com Armadura Simples (sem armadura de compressão) . Determinação da armadura de tração. Dados M [kN.m], fck [MPa], fyk [kN/cm²] e b [cm] Md = 1,4 x M x 100 [kN.cm] fcd = fck/(1,4 x 10) [kN/cm²] fyd = fyk/1,15 [kN/cm²] Equações de equilíbrio para armadura simples 0,85 fcd b.y - As fyd = 0 0,85 fcd b.y (d - 0,5y) = Md Somente se poderá aplicar estas equações até o valor máximo de: Md = Mdlim = 0,85 fcd b.ylim (d - 0,5 ylim) = µlim b d² fcd ao qual corresponderá o valor limite para y: ylim = 0,8 k xlim dmin Portanto, dmin =

Md e o valor de As será obtido na primeira equação: µ lim b . fcd

0,85 fcd b.ylim - As fyd = 0 As = (0,85 fcd b ylim)/fyd Os valores de k xlim e µlim dependem exclusivamente da classe e da resistência do aço fyk. 

Usando as tabelas teremos para cada tipo de aço na coluna do k6, k6 lim e na coluna do

k3, k3lim, na mesma linha. Determinamos: dmin =

Mk .k 6 lim e no limite na mesma linha obtemos k3 lim: b

As = k3lim Mk/d [tf, cm] 

Pelas tabelas do Prof. Schäffer

d min =

Md km lim bw . fcd

zlim = k zlim . d As = Md / (zlim .d)


47

9.4 Cálculo da Armadura quando as dimensões são pré-fixadas e a altura é superior a mínima Dados b [cm], d [cm], M [kN.m], fck [MPa] e fyk [kN/cm²] Md = 1,4 x M x 100 [kN.cm] fcd = fck/(1,4 x 10) [kN/cm²] fyd = fyk/1,15 [kN/cm²] Caso Md ≤ Mdmin = µlim . b . d² . fcd Pelas equações de equilíbrio 0,85 fcd . b . y - As . fyd = 0 0,85 fcd . b . y (d - 0,5 . y) = Md Resolvendo a 2ª equação se obtém y ≤ ylim = 0,8 k xlim . d

y = d [1 -

1 − Md /(0,425. b . d 2 . fcd) ]

Pela 1ª equação: As = 0,85 fcd . b . y / fyd 

Usando as tabelas calculamos k6 = b . d² / Mk [t, cm]

entrando na linha para este k6 corresponde um k3 (depende do aço) As = k3 . M / d [tf, cm] A armadura mínima de acordo com o item 6.3.1 da NBR - 6118 é o 0,0015 bh. 

Pelas tabelas do Prof. Schäffer

km = Md/(bw . d² . fcd)

z = kz . d

As = Md/(z . fyd)

εc

0,85.fcd y = 0,8.x d

h As

x

0,85 . fcd . b . y

Md

d

εs As . fyd

Por exemplo, para o concreto C20 a armadura mínima será Asmin = 0,0015 bh


48

9.5 Seção Retangular com Armadura Dupla Dados b [cm], d [cm], M [kN.m], fck [MPa] e fyk [kN/cm²] Md = 1,4 x M x 100 [kN.cm] fcd = fck/(1,4 x 10) [kN/cm²] fyd = fyk/1,15 [kN/cm²] Quando Md > Md lim = µlim . b . d² . fcd, o equilíbrio com armadura simples só é possível para o domínio 4 dos diagramas de deformações. Para evitar o domínio 4 com ruptura frágil do concreto, fixamos a posição da linha neutra em x lim = k xlim . d, o que equivale fixar y lim = 0,8 k xlim . d , introduzindo uma armadura de compressão A’s localizada na zona comprimida mais afastada da linha neutra possível. d’ A’s

0,85.fcd y = 0,8.x

d

h

0,85 . fcd . b . y

Md

As

εc = 3,5‰ ε’s

A’s . fyd

xlim

εs As . fyd

b Será necessária armadura dupla quando

Md > Mdlim = 0,85 fcd . b. y lim (d - 0,5 ylim) = µlim . b . d² . fcd As equações de equilíbrio para os problemas de dimensionamento (limite do domínio 3) de acordo com a figura são: 0,85 fcd b ylim + A’s . fyd - As . fyd = 0

(1)

0,85 fcd b ylim (d- 0,5 ylim.) + A’s fyd (d - d’) = Md

(2)

Admite-se, como ocorre nos aços CA-50, que a armadura comprimida entre em escoamento. 

As tabelas usam como unidades tf, cm.

Mk lim = b d²/k6lim

∆ Mk = Mk – Mk lim

As = k3lim . Mk lim/d

A’s = (1,4 . ∆ Mk)/((d – d’) fyd)



Pelas tabelas do Prof. Almir Schäffer

∆ M = Md – Mdlim

Mdlim = kmlim bw . d² . fcd

zlim = kzlim .d

As = Mdlim/(zlim.fyd) A’s = ∆ M/(fyd(d-d’)) Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

49

9.6 Exemplos 9.6.1 Determinar a altura útil mínima (d min) e a armadura de tração As de uma viga de seção retangular de base b = 15 cm para resistir a um momento fletor de serviço M = 150 kN.m usando concreto C 20 e armadura de aço CA - 50. Dados: b = 15 cm fck = 20 MPa fyk = 50 kN/cm² M = 150 kN.m. Md = 1,4 . 150 . 100 = 21000 kN.cm fcd = 20/(1,4 . 10) = 1,43 kN/cm² fyd = 50/1,15 = 43,38 kN/cm² Em especial neste exemplo deduziremos o valor de y lim xlim =[0,0035/(εyd + 0,0035)].d = [0,0035/(fyd/21000 + 0,0035)]. d = [1/(1+ 0,0136 fyd)]. d xlim = 0,628 . d

ylim = 0,8 . 0.628 . d = 0,502 . d

Equações de equilíbrio: 0,85 fcd b.y - As fyd = 0 0,85 fcd b.y (d - 0,5 y) = Md Fazendo y = ylim = 0,502 d , teremos pela 2ª equação: Md = 0,85 . fcd . b . 0,502 . d min (dmin - 0,5 . 0,502 d min) 21000 = 0,4267 . 1,43 . 15 . d min (dmin - 0,251 . dmin) dmin = 55,35 cm Substituindo na 1ª equação: As = (0,85 fcd . b . ylim)/ fyd = (0,85 . 1,43 . 15 . 0,502 . 55,35)/43,38 As = 11,65 cm² → 4 φ 20 Usando as tabelas 

Mk = 150 kN.m = 1500 t.cm b = 15 cm fck = 20 MPa 30,58 .1500 k 6 lim . Mk dmin = = = 55,30 cm b 15 As = k3lim . Mk/d = 0,434 . 1500/ 55,30 = 11,70 cm²

fyk = 50 kN/cm²



Pela Tabela do Prof. Almir Schäffer: d = Md /(km lim . b w .fcd) = 21000 /(0,317.15.1,43) = 55,57 cm z = kzlim . d = 0,752 . 55,54 = 41,79 As = Md/(z . fyd) = 21000/(41,79 . 43,48) = 11,55 cm² Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

50

9.6.2 Determinar a armadura necessária a uma viga de seção retangular com dimensões b = 15, altura útil d = 70 cm para resistir a um momento fletor de serviço de 150 kN.m usando concreto C20 e aço CA - 50 Dados: b = 15 cm

d = 70 cm

M = 150 kN.m

fck = 20 MPa

fyk = 50 kN/cm²

Md = 1,4 . 150 . 100 = 21000 kNcm fcd = 20/(1,4 . 10) = 1,43 kN/cm² fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm² Md = 21000 kN.cm < Md lim = 0,85 f cd b ylim (d – 0,5 ylim)= 33620,28 kN.cm Armadura simples Equações de equilíbrio: 0,85 fcd . b . y - As . fyd = 0 0,85 fcd . b . y (d - 0,5y) = Md Resolvendo a 2ª equação: 0,85 . 1,43 . 15 y (70 - 0,5 y) = 21000 y = 19,04 cm Substituindo na 1ª equação: As = 0,85 . 1,43 . 15 . 27,33/43,48 As = 7,98 cm² → 2 φ 25 

Usando as tabelas da Promon:

Mk = 150 kN.m = 1500 t.cm

k6 = b . d²/Mk = 15 . 70²/1500 = 49 As = k3 . M/d = 0,373 . 1500/70 = 7,99 cm² Armadura mínima Asmín = 0,0015 . b . h = 0,0015 . 15 . 74 = 1,665 cm² 

Pela Tabela do Prof. Almir Schäffer km = 21000/(15 . 70² . 1,43) = 0,199 z = kz . d = 0,864 . 70 = 60,48 As = 21000/(60,48 . 43,48) = 7,98 cm²


51

9.6.3 Determinar as armaduras de uma viga de seção retangular com dimensões b= 25 cm, h = 60 cm, d = 56 cm, d’= 4 cm para resistir a um momento fletor de serviço de 335 kN.m usando concreto C20 e aço CA - 50 Dados: b = 25cm d = 56cm d’= 4cm h = 60cm fck = 20 MPa fyk = 50 MPa M = 335 kN.m fcd = 20/(1,4 . 10) = 1,43 kN/cm² fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm² Md = 1,4 . M . 100 = 1,4 . 335 . 100 = 46900 kN.cm Mdlim = 0,85 fcd . b . y lim . (d - 0,5 ylim) ylim = 0,8 . x lim = 0,8 . 0,0035/(0,0035 + 43,48/21000) . d = 0,8 . 0,628 . d ylim = 0,502 . d = 0,502 . 56cm = 28,11 cm Mdlim = 0,85 f cd b ylim (d – 0,5 ylim) Mdlim = 0,85 . 1,43 . 25 . 28,11 (56 - 0,5 . 28,11) = 35829,10 kN.cm Md = 46900 kN.cm > Md lim = 35829 kN.cm

armadura dupla.

Equações de equilíbrio: 0,85 fcd . b . y lim + A’s . fyd - As . fyd = 0 0,85 fcd . b . y lim (d - 0,5 ylim) + A’s . fyd . (d - d’) = Md A 2ª equação será: Mdlim + A’s . fyd . (d - d’) = Md A’s = (Md - Mdlim)/ fyd . (d - d’) = (46900 - 35829)/[43,48.(56-4)] A’s = 4,90 cm² → 4 φ 12,5 Na 1ª equação teremos: As = (0,85 fcd b.ylim + A’s fyd)/fyd = (0,85.1,43.25.28,11 + 4,90.43,48)/43,48 As = 24,55 cm² → 8 φ 20 (divididas em duas camadas)


52



Usando as tabelas da Promon: Mk = 335 kN.m = 3350 t.cm k6 = bd²/Mk (t.cm) = 25 . 56²/3350 = 23,40 < k6 lim = 30,58 Mk lim = b d²/k6lim = 25 . 56²/30,58 = 2563,77 t.cm

∆Mk = Mk - Mk lim = 3350 - 2563,77 = 786,23 t.cm

As1 = k3lim Mk lim/d = 0,434 . 2563,77 /56 = 19,87 cm² As2 = (1,4. ∆Mk)/(d - d’)/fyd (t.cm²) = (1,4 . 786,23)/(56 - 4)/4,348 = 4,87 cm² A’s = (1,4.∆Mk)/(d - d’)/fyd = (1,4 . 786,23)/(56 - 4)/4,348 = 4,87 cm² As = As1 + As2 = 19,87 + 4,87 = 24,74 cm² 

Pela Tabela do Prof. Almir Schäffer Mdlim = kmlim bw d² fcd = 0,317 . 25 . 56² . 1,43 = 35539,50 ∆M = Md – Mdlim = 46900 – 35539,50 = 11360,50 zlim = kzlim . d = 0,752 . 56 = 42,11 As1 = Mdlim / (zlim . fyd) = 35539,50 / (42,11 . 43,48) = 19,41 A’s = ∆M / (fyd (d-d’)) = 11360,50 / (43,48.(56-4)) = 5,00 As = As1 + A’s = 19,41 + 5,00 = 24,45 cm²


53

9.6.4 Determinar as armaduras de uma laje cuja altura h = 9 cm, altura útil d = 7 cm para resistir a um momento fletor de serviço de 9 kN.m/m usando concreto C 20 e aço CA - 60. Obs: lajes são dimensionadas como vigas retangulares com base b = 100 cm Dados: d = 7 cm fck = 20 MPa fyk = 60 kN/cm²

M = 9 kN.m

fcd = 20/(1,4.10) = 1,428 kN/cm² fyd = 60/1,15 = 52,17 kN/cm² Md = 1,4 . 9 . 100 = 1260 kN.cm Nas lajes, em geral, não é necessário testar Md = 1260 kN.cm < Md lim = 0,85 f cd b ylim (d – 0,5 ylim) = 1721,31 kN.cm, porque terão sempre armadura simples. Equações de equilíbrio 0,85 fcd b.y - As fyd = 0 0,85 fcd b y (d - 0,5 y) = Md Pela 2ª Equação: 0,85 . 1,428 . 100 . y (7 - 0,5 y) = 1260 y = 1,69 cm Substituindo na 1ª equação: As = 0,85 . 1,428 . 100 . 1,69/52,17 As = 3,91 cm²/m 

Usando as tabelas: M = 9 kN.m/m = 90 t.cm k6 bd²/M = 100 . 7²/90 = 54,44 As = k3 M/d = 0,305 . 90/7 = 3,92 cm²/m → φ 10 c/20



Pela Tabela do Prof. Almir Schäffer km = 1260/100 . 7² . 1428 = 0,18 z = 0,896 . 7 = 6,272 As = 1260/(6,272 . 52,17) = 3,85cm²/m Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

54

9.6 Fluxograma para dimensionamento das armaduras de viga de seção retangular na flexão reta simples

k xlim = 0,585

k xlim = 0,628

µlim = 0,305

µlim =0,320

/f d


55

CAPÍTULO 110

FLEXÃO SSIMPLES: DIMENSIONAMENTO D DE V VIGAS D DE S SEÇÃO T T

10.1 Generalidades Referem-se estas vigas as seções em T nas quais as máximas compressões aparecem na borda correspondente à mesa (em geral momento positivo). Chamamos largura eficaz b f da mesa aquela que, supondo que as tensões se repartam uniformemente seja capaz de substituir a largura real b submetida às tensões reais sem modificar a capacidade resistente da peça. bf hf h d bw A largura eficaz depende de muitos fatores entre os quais as condições de apoio da viga (apoiada ou contínua) o tipo de carga (concentrada ou distribuída) a espessura da mesa, a existência eventual de mísulas, a distância entre os pontos de momento nulo, a largura da viga e distância entre vigas. O item 14.6.2.2 da NBR 6118-03 estabelece que no cálculo de vigas de seção T só poderão ser consideradas lajes que obedeçam no que lhes for aplicável às prescrições desta Norma. No item 14.6.2.2 temos que nas mesas das vigas T deve haver armadura perpendicular a nervura que se estenda por toda na largura útil, com seção transversal de no mínimo 1,5 cm² por metro. bw designa a largura real da nervura; b a a largura da nervura fictícia obtida Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

56

aumentando-se a largura real para cada lado de valor igual ao do menor cateto do triângulo da mísula correspondente, b 2 a distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas. Para o cálculo da resistência ou da deformação, a parte da laje a considerar como elemento da viga (parte de b f ) medida a partir da face da nervura fictícia é conforme o caso:

b1 ≤

0,10. a  0,5. b 2

b3 ≤ 0,10 . a

onde, “a” tem o seguinte valor:

• viga simplesmente apoiada a = ℓ • tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75ℓ • tramo com momento nas duas extremidades a = 3ℓ/5 • tramo em balanço a = 2ℓ

Se não houver mísula, que é o caso mais comum, b 2 é a distância entre as faces das nervuras.


57

10.2 Dimensionamento O principal problema de dimensionamento de vigas de seção T solicitadas à flexão simples é o da determinação das armaduras conhecendo as dimensões geométricas da seção, as resistências de cálculo dos materiais e o momento fletor. O dimensionamento é feito de acordo com as mesmas hipóteses gerais, equações de equilíbrio e compatibilidade adotadas para as seções retangulares; há necessidade apenas de adaptação das equações de equilíbrio a nova forma de seção. Para a determinação das armaduras, três situações distintas podem ocorrer, dependentes da posição da linha neutra ou se adotando o diagrama retangular de tensões, do valor da altura y da zona de compressão equivalente.

10.2.1 A altura y da zona de compressão equivalente é menor ou igual à espessura de mesa hf .

y ≤ hf bf

bf y

d

y

d As

As

bw Neste caso, tudo se passará como se tivesse uma viga de seção retangular de largura bf, altura útil d e altura total h podendo ser empregados, para fim de dimensionamento as equações de equilíbrio 0,85 fcd bf .y - As fyd = 0 0,85 fcd bf .y (d - 0,5 y) = Md das quais resultam: y= d . 1− 1 − Md /(0,425. b f .d 2 .fcd) As = 0,85 fcd . b f . y/fyd Este caso ocorre quando o momento de cálculo atuante Md é menor ou igual ao momento fletor M0 que comprime toda a espessura de mesa, ou seja: Md ≤ M0 = 0,85 fcd . b f . hf (d - 0,5 hf )


58

10.2.2 A altura y da zona de compressão equivalente está compreendida entre hf e ylim. hf < y ≤ ylim bf

εc = 3,5‰

0,85 . fcd . (bf - bw) . hf

hf

y

x

0,85 . fcd . bw . y

d

εs As . fyd

bw As equações de equilíbrio neste caso são as seguintes: 0,85 fcd bw . y + 0,85 fcd (b f - bw) hf - As fyd = 0 0,85 fcd bw . y (d - 0,5 y) + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) = Md Da segunda equação se obtém o valor de y: y = d - d 2 − 2[Md /(0,85 fcd b w ) − ( b f / b w − 1) h f (d − 0,5 h f )] e, da primeira: As = 0,85 fcd/fyd [b w . y +(bf - bw) hf ] Esta solução é válida para hf < y ≤ ylim uma vez que para y > y lim ou o que é o mesmo x > xlim a peça com armadura simples será superarmada, ou seja, a armadura de tração não atingirá a tensão de escoamento fyd. Chamando Mdmax o momento correspondente a y = ylim resulta: Mdmax = 0,85 fcd b w ylim (d - 0,5 ylim) + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) Porém, 0,85 fcd b w ylim (d - 0,5 ylim) = Mdlim = µlim bw d² fcd Mdlim é o momento limite de nervura para uma viga de seção retangular de largura b w e altura útil d, logo: Mdmax = Mdlim + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) Sendo M0 o momento fletor do resultante das tensões de compressão para y = h f e Mdmax correspondente a y = ylim esta solução é válida para: M0 < Md ≤ Mdmax Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

59

10.2.3 Dimensionamento com armadura dupla Se a altura y da zona de compressão equivalente com armadura simples fosse maior que ylim e em correspondência x > x lim a seção seria superarmada, o problema deverá ser resolvido como nas vigas de seção retangular, fazendo y = y lim e recorrendo a armadura dupla, isto é, uma armadura comprimida que com um acréscimo da armadura tracionada deverá absorver o acréscimo do momento ∆Md = Md - Mdmax. bf hf

ylim

A’s . fyd 0,85 . fcd . (bf - bw) . hf 0,85 . fcd . bw . y

εc = 3,5‰ ε’s

x lim

d

εs As . fyd

bw Este caso ocorre quando Md > Md max e as equações de equilíbrio são as seguintes: 0,85 fcd bw ylim + 0,85 fcd (b f - bw) hf + A’s fyd - As fyd = 0 0,85 fcd bw ylim (d - 0,5 ylim) + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) + A’s fyd (d - d’) = Md Pela 2ª equação temos: Mdmax + A’s fyd (d - d’) = Md A’s = (Md - Mdmax)/fyd/(d - d’) E, substituindo na 1ª equação A’s fyd por (Md - Md max)/(d - d’) As = 0,85 fcd [b w ylim + (bf - bw) hf ]/fyd + (Md - Md max)/fyd /(d - d’) As = A s1 + A s2 onde, As1 é a armadura necessária para absorver o momento Md max com armadura simples e As2 = ∆Md/fyd/(d - d’) é a armadura necessária para absorver a diferença de momentos.


60

10.3

Exemplos

10.3.1 Determinar as armaduras da viga de seção T com dimensões b f = 100 cm, bw = 20 cm, hf = 10 cm e altura útil d = 60 cm, para resistir a m momento fletor M= 300 kN.m usando concreto C20 e armaduras de aço CA - 50. bf = 100 cm

Dados: bf = 100cm b w = 20cm h f = 10cm d = 60cm M = 300kN.m fck = 20MPa

hf = 10 cm

fyk = 50kN/cm²

d = 60 cm

Md = 1,4 . 300 . 100 = 42000 kN.cm fcd = fck/1,4/10 = 20/1,4/10 = 1,43 kN/cm²

bw = 20 cm

fyd = 50/1,15 = 43,38 kN/cm² M0 = 0,85 fcd b f hf (d - 0,5 hf ) = 0,85 . 1,43 . 100 . 10 (60 - 0,5 . 10) = 66852,50 kN.cm. Md = 42000 kN.cm < M 0 = 66852,50 kN.cm Equações:

viga T dimensionada como viga de seção retangular de base b f e altura útil d

0,85 fcd bf . y - As fyd = 0 0,85 fcd bf . y (d - 0,5y) = Md Na 2ª equação teremos: y = 6,07 cm E, pela 1ª equação: As = 0,85 fcd bf . y/fyd = 0,85 . 1,43 . 100 . 6,07/43,48 As = 16,97 cmª

→

2 φ 22 + 3 φ 20

Poderíamos usar as tabelas da seção retangular: 

k6 = bf . d²/M = 100 . 60²/3000 (t.cm) = 120 As = k3 M/d = 0,339 . 3000/60 = 16,95 cm² Asmin = 0,0015. b w h = 0,0015.20 . 64 = 1,8 cm² As = 17,3 cm² > Asmin = 1,8 cm²



Pela Tabela do Prof. Almir Schäffer km = 42000/(100.60².1,43) = 0,082 z = 0,896.60 = 53,76 As = 42000/(53,76 . 43,48) = 16,96cm²


61

10.3.2 Determinar a armadura da viga de seção T com dimensões b f = 100 cm, b w = 20 cm, hf = 10 cm e d = 60 cm, para resistir a um momento fletor de serviço M = 550 kNm usando concreto C20 e armaduras de aço CA - 50. Dados: bf = 100 cm, b w = 20 cm, h f = 10 cm, d = 60 cm, fck = 20 MPa, fyk = 50 kN/cm², M = 550 kNm Md = 1,4 . 550 . 100 = 77000 kN.cm fcd = 20/1,4 / 10 = 1,43 kN/cm² fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm² M0 = 0,85 fcd b f hf (d - 0,5 hf ) = 0,85 . 1,43 . 100 . 10 (60 - 0,5 . 10) = 66852,5 kN.cm Mdmax = Mdlim + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) Mdlim = 0,85 fcd b w hf ylim (d – 0,5 ylim) Mdmax = 0,85 . 1,43 . 20 . 10 . y lim (60 – 0,5 ylim)+ (0,85 . 1,43 (100 - 20) . 10 (60 - 0,5 . 10) Mdmax = 86429,2 kN.cm M0 = 66852,5 < Md = 77000 < Md max = 86429,2 kNcm

simplesmente armada.

Equações: 0,85 fcd [bw y + (bf - bw) hf ] - As fyd = 0 0,85 fcd [bw y (d - 0,5 y) + (b f - bw) hf (d - 0,5 hf )] = Md Na 2ª equação teremos: y = 19,19 cm Pela 1ª equação As = 0,85 . 1,43 [20 . 19,19 + (100 - 20) . 10] /43,48 As = 33,10 cm²

→

4 φ 25 + 4 φ 22


62

10.3.3 Determinar as armaduras de uma viga de seção T com dimensões b f = 100 cm, hf = 10 cm e altura útil d = 60 cm para resistir a um momento fletor de serviço M = 720 kN.m usando o concreto C20 e aço CA - 50. bf = 100 cm

Dados: bf = 100 cm, b w = 25 cm, hf = 10 cm,

d’ = 4

hf = 10 cm

d = 60 cm, d’(arbitrado) = 4 cm, M = 520 kN.m, fck = 20 MPa e fyk = 50 kN/cm² Md = 1,4 . 720 . 100 = 100800 kN.cm fcd = 20/(1,4 . 10) = 1,428 kN/cm²

bw = 25 cm

fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm² M0 = 0,85 fcd . b f hf (d - 0,5 hf ) = 0,85 . 100 . 10 . 1,428 (60 - 0,5 . 10) = 66759 kN.cm Md = 100800 kN.cm > M 0 = 66759 kN.cm então: Mdmax = Mdlim + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) Mdlim = 0,85 fcd b w hf ylim (d – 0,5 ylim) Mdmax = 0,85 . 1,428 . 25 . 10 . ylim (60 – 0,5 ylim) + 0,85 . 1,428 (100 - 25) . 10 (60 - 0,5 . 10 ) Mdmax = 41126,4 + 50069,3 = 91195,7 kNcm Md = 100800 kN.cm > Mdmax = 91195,7 kN.cm (caso pouco freqüente.)

armadura dupla

Equações: 0,85 fcd bw ylim + 0,85 fcd (b f - bw) hf + A’s fyd - As fyd = 0 0,85 fcd bw ylim (d - 0,5 ylim) + 0,85 fcd (b f - bw) hf (d - 0,5 hf ) + A’s fyd (d - d’) = Md ylim = 0,8 . x lim = 0,8 . 0,628 d = 0,8 . 0,628 . 60 = 30,14 cm Na 2ª equação teremos: A’s = 3,95 cm² 2 φ 16 Pela 1ª equação As = 0,85 fcd [b w ylim + (bf - bw) hf ]/fyd + (Md - Mdmax)/fyd/(d - d’) As = 0,85 . 1,428 [25. 30,14 + (100 - 25) . 10]/43,48 + + (100800 - 91195,7)/43,48/(60 - 4) As = 41,97 + 3,95 = 45,92 →

5 φ 25 + 6 φ 22


63

CAPÍTULO 111

LAJES

11.1 Generalidades e tipos de lajes As lajes, segundo 3.3.2 da NBR - 6118, são estruturas laminares planas solicitadas predominantemente por cargas normais ao seu plano médio; são principalmente aqueles elementos que constituem os pisos das estruturas, onde predominam duas dimensões, comprimento e largura sobre a terceira que é a espessura ou altura. Enquanto que as vigas são representadas pelo eixo médio por serem lineares as lajes são representadas por seu plano médio. Quanto às deformações, o problema é semelhante ao das vigas que são elementos da simples curvatura enquanto que as lajes são consideradas de dupla curvatura. O importante nas lajes é a forma que em geral é retangular, o vão e a vinculação.

11.2

Vãos efetivos de lajes ou placas

A NBR 6118/03 fixa os vãos efetivos de lajes ou placas no seu item 14.7.2.2:

ℓef = ℓef + a1 + a2 onde: a1: menor valor entre t 1/2 e 0,3h a2: menor valor entre t 2/2 e 0,3h


64

11.3 Vinculação A laje pode estar simplesmente apoiada sobre vigas, paredes de alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou pedras. Considera-se uma laje simplesmente apoiada quando termina sobre uma viga ou parede ou quando ela não tem continuidade no seu plano devido a um rebaixo, caso em que ambas as lajes são consideradas apoiadas. CORTE:

CORTE:

L1

L1

L2 R =-20

ESQUEMAS:

L1

L1

L2 R =-20

No esquema de cálculo, a borda da laje simplesmente apoiada é representada por traço duplo, cheio-tracejado. Considera-se engastada toda borda em que há continuidade com a laje vizinha de espessura aproximadamente igual (diferença máxima 2 cm). A borda engastada é representada no esquema de cálculo por linha hachuriada.

L1

L2

h=8

h = 10

L1

L2

h=8

h = 10


65

Quando duas lajes adjacentes tem diferença de espessura superior a 2 cm (seria o caso se L2 tivesse espessura h = 11 cm, a laje de menor espessura L1 é considerada engastada enquanto a de maior espessura L2 é considerada apoiada naquela borda). Em geral, quando o vão da menor é inferior a 40% da maior usa-se o mesmo critério. A borda livre é representada esquematicamente por traço simples. Toda laje que tem 3 bordas livres deve ter a quarta engastada. Nesta borda, mesmo que exista rebaixo é necessário criar o engaste por questão de equilíbrio.

L1

L1

R =-15

R =-15

L1

Quando numa borda ocorrem duas situações de vínculo, considera-se a favor da segurança em toda a borda apoio simples, a não ser que o trecho engastado corresponda a mais de 2/3 da borda podendo-se neste caso, sem grande erro, considerar a borda engastada.


66

PROJETO BASE: PRÉDIO DE ESCRITÓRIOS:


67

11.4 Classificação das lajes retangulares 11.4.1 Lajes armadas em uma direção - São aquelas em que existe predominância de uma dimensão (comprimento b) sobre a outra (largura a) podendo-se arbitrar: b >2 a Neste caso pode-se considerar a deformada da laje cilíndrica sem deformação no sentido longitudinal. As lajes têm uma armadura principal paralela ao lado menor sendo a outra de distribuição construtiva paralela ao comprimento b.

11.4.2 Lajes armadas em duas direções (em cruz) - São aquelas onde: b ≤2 a Portanto, será necessário calcular 2 armaduras ortogonais (dupla curvatura).

11.5 Espessura mínima das lajes A espessura mínima das lajes é especificada no item 13.2.4 da NBR 6118-03, onde devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para espessuras:

11.5.1 Lajes maciças 

5 cm para lajes de forro (de cobertura) não em balanço



7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço



10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN



12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN



15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, ℓ/42 para lajes de pisos biapoiadas

e ℓ/50 para lajes de piso contínuas 

16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.

11.5.2 Lajes nervuradas A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm.


68

11.6 Ações a considerar De acordo com o item 11.2 da NBR 6118-03:


69

As ações a considerar em edifícios, tanto permanentes (g) como acidentais (q) serão determinadas a partir da NBR 6120-80. Para edifícios residenciais a carga acidental é em geral 1,5 kN/m² (2 kN/m² em

áreas de serviço e lavanderias, 3 kN/m² em corredores e escadas com acesso ao público) . A carga permanente é determinada por composição de acordo com a NBR - 6120, mas podemos dar alguns valores totais das sobre-cargas fixas comuns em lajes: 

Peso específico do concreto armado 25 kN/m 3



Peso específico do concreto simples 24 kN/m 3



Peso específico do tijolo furado 13 kN/m 3



Peso específico do tijolo maciço 18 kN/m 3



Revestimento de piso de tacos 0,7 kN/m²



Revestimento de piso de mármore, ladrilhos, cerâmica, granitina 0,85 kN/m²



Enchimento de lajes rebaixadas 14 kN/m 3



Assoalho com barrotilhos 0,27 kN/m²



Assoalho com vigamento (8 x 16) 0,34 kN/m²



Forro de madeira 0,16 kN/m²



Forro de fibro-cimento com 6 mm de espessura 0,18 kN/m²



Reboco de laje 0,25 kN/m²



Carga acidental em forros não destinados a depósitos 0,5 kN/m²



Telhados por m² de projeção



Telha colonial 1,20 k/m² Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

70



Telha fibro-cimento 6 mm 0,38 kN/m²



Telha fibro-cimento 8 mm 0,44 kN/m²



Telha zinco 1 mm 0,32 kN/m²



Telha folha galvanizada 1 mm 0,34 kN/m²

11.6.1 Determinação da carga atuante sobre uma laje: Para arbitrar a espessura h da laje pode-se usar fórmulas empíricas que serão confirmadas ou não no decorrer do cálculo: 

Para lajes armadas numa direção a altura útil d ≥ 0,025 do vão menor



Para lajes armadas em duas direções a altura útil d ≥ 0,025 (1 - n . 0,1) . ℓ

Onde: n é o número de bordas engastadas e ℓ ≥ lado menor da laje ou 0,75 do lado maior 

Para lajes em balanço d ≥ ℓ /12,5 onde ℓ é o comprimento teórico do balanço.

Em todos os casos deverá ser respeitada a espessura mínima (item 6.1.1.1 da NBR - 6118). De preferência arbitram-se as lajes com a mesma espessura a não ser quando os vãos forem muito diferentes. 

Peso próprio h (m) x 25kN/m3 + revestimento + reboco + (caso haja enchimento + altura do enchimento x 14kN/m3) + carga acidental.



Nas bordas livres das lajes deve-se considerar de acordo com a NBR - 6120, uma carga acidental de 2 kN/m linear.



Nas lajes de banheiro em que não foi projetado rebaixo deve-se considerar a carga de um forro falso da ordem de 0,30 a 0,50 kN/m².



Quando a laje recebe paredes divisórias leves considera-se uma carga de 1 kN/m².



Quando se trata de uma parede de tijolo cerâmico atuando sobre a laje atuando segundo uma linha, calcula-se o peso da parede linear por metro que multiplicado por seu comprimento dá o peso total, que como simplificação dividido pela área da peça dá a carga de parede por m² de laje.

Exemplo: Uma parede de 15 de tijolo furado com 2,60 m de altura dá uma carga por metro de: 2,60 x 0,15 x 13 kN/m 3 = 5,07 kN/m (alvenaria = 13 k/m3 para tijolo furado)


71

11.7 Solicitações em lajes armadas em uma direção As solicitações em lajes armadas em uma direção serão calculadas considerando a laje como viga com 1 m de largura, isto é, um elemento linear, pois a deformada sendo uma superfície cilíndrica não haverá praticamente deformação no sentido longitudinal.

a

1m

b > 2.a

O cálculo é feito no processo elástico, segundo a menor dimensão a em cujos extremos define-se a vinculação existente, por exemplo:

p

a

M

p

Momentos:

Reações sobre as bordas maiores:

M = p.a2/8

R = p.a/2

X = –p.a2/12 M = p.a2/24

R = p.a/2

X = –p.a2/8 M = p.a2/14,2

Ra = 3/8.p.a Rb = 5/8.p.a

X = –p.a2/2 – Pa

R = p.a + P

X

p

a

p

M X

p

a

p

X

P/m

P p

a

M

p

X Se fizermos o cálculo no processo rígido-plástico, poderemos utilizar grau de engastamento igual a -1,5. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

72

X M = p.a2/20

a

ϕ

M

X = - p.a2/13,3

X M = p.a2/14,7 a

ϕ

X = - p.a2/9,80

M

R = p.a/2

X 11.7.1 Dimensionamento As lajes armadas numa direção serão dimensionadas para estes momentos e para determinados concreto e aço, com b = 100 cm e uma altura útil “d” que é obtida considerando um cobrimento que depende da classe de agressividade ambiental de acordo com as tabelas 6.1, 7.1 e 7.2 da NBR 6118-03 já transcritas quando estudamos dimensionamento do concreto. De acordo com o apêndice 2 da tabela 7.2 que permite nos casos correntes de edifício: cnom = 1,5 cm. d cnom

φℓ

h

d = h – cnom – φℓ/2 = h – 1,5 cm – 0,5 cm = h – 2 cm Para as lajes armadas numa direção obtém-se através deste dimensionamento a armadura principal As a ser colocada perpendicularmente à maior dimensão.


73

A norma denomina taxa de armadura a relação entre a seção de aço e do concreto:

ρs = As/Ac = As/(b.h) = As/(100 . h) Para as lajes armadas numa direção paralelamente à maior dimensão se usará uma armadura de distribuição As secundária (que a NBR 6118-03 no seu item 20.1 denomina armadura secundária de flexão) a qual segundo o item 20.1 da NBR 6118-03 abaixo transcrito deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, devendo ainda de acordo com a tabela 19.1 da NBR 6118-03, abaixo transcrita: As secundária de flexão > 0,9 cm²/m e ρsf > 0,5 ρmin sendo ρmin fixado na tabela 17.3 da NBR 6118-03, abaixo transcrita (para lajes comuns esta última condição geralmente é atendida quando se respeitou as duas primeiras condições). Ainda de acordo com o item 20.1 abaixo transcrito se manterá para As secundária de flexão um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. A emenda destas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal (adota-se em geral 50 cm).

11.7.2 Detalhamento de lajes – prescrições gerais: As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem. Qualquer barra de armadura de flexão deve ter diâmetro máximo igual a h/8. As barras de armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2.h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal. Os estribos em lajes nervuradas, quando necessários, não devem ter espaçamento superior a 20 cm. Para as lajes armadas em duas direções será necessário calcular duas armaduras ortogonais positivas correspondentes aos momentos m x e my nas duas direções com b = 100 cm e d = h – 2 cm.


74

Apenas para lajes de grandes vãos (> 4 m) se considerará duas alturas úteis “d y” e “dx” sendo dy = dy – 0,5 cm.

Asy

Asx

h – 2 h – 2,5

Os momentos, tanto os positivos nos vãos como os negativos nos engastes, podem ser calculados pelo método elástico, utilizando as tabelas do Montoya ou de acordo com o item 14.7.4 da NBR 6118-03 para a consideração do estado limite último, para análise dos esforços pode ser realizada através da teoria das charneiras plásticas desenvolvida no item 11.9.3.2.2 das apostilas. De acordo com o item 14.7.4 da NBR 6118-03 para condições apropriadas de dutilidade, dispensando-se a verificação da rotação plástica deve-se ter a posição da linha neutra limitada em x/d < 0,3. De acordo com o item 14.7.6.2 da NBR 6118-03 quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser calculadas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada. Permite-se simplificadamente a adoção do maior valor absoluto do momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum, adotando-se para o dimensionamento a menor altura útil entre as duas lajes quando forem diferentes. A armadura mínima será fixada pelas tabelas 19.1 da NBR 6118-03 e a tabela 17.3 da taxa de armadura mínima.


75

Por exemplo, a armadura mínima de uma laje armada numa direção para um concreto com fck < 25 MPa será As min = 0,0015 x 100 x h.


76

11.8 Dimensionamento de lajes armadas em uma direção do projeto base 25 cm

L3

15 cm

1m h=? 1,40 m

p

P

Para arbitrar a espessura utilizamos a fórmula empírica:

a

d = a/12,5 = 145/12,5 = 11,7 ~ 12 cm → h = 14 cm De acordo com o item 14.7.2.2 da figura 14.5 da NBR 6118-03 o vão efetivo: ℓ0 a<

ℓ0 + t parede /2 = [1,40 – 0,15/2] + 0,25/2 = [1,325] + 0,125 = 1,45 m ℓ0 + 0,3 . h = 1,325 + 0,3 . 0,14 = 1,367 ~ 1,40 m

Adotamos o menor dos valores acima: a = 1,40 m Cálculo da carga distribuída (p): Peso próprio = 0,14 . 25

= 3,5

Revestimento

= 0,85

Reboco

= 0,25

Enchimento = 0,10 . 14

= 1,40

Carga acidental

= 2,00 p = 8,0 kN/m²

Cálculo da carga linear de peitoril (P/m.l): Peitoril do tijolo furado com 1m de altura: 0,15 . 1 . 13

= 1,95 kN/m

Item 2.2.1.5 da NBR - 6120

= 2,00 kN/m P = 3,95 kN/m

Momento negativo máximo e reação: X = – p.a²/2 – P.a = (-8 x 1,40²)/2 - 3,95 x 1,40 = -13,37 kN.m/m R = p.a + P = 8,0 .1,40 + 3,95 = 15,15 kN/m


77

Dimensionamento: Concreto C 20 → fck = 20MPa

aço CA 60 → fyk = 60 kN/cm²

b = 100 cm d = 12 cm

M = - 13,37 kN.m kN.m = -133,7 t.cm

k6 = bd²/M = (100 . 12²)/133,7 = 107,7 As = k3 M/d = (0,283 .133,7)/12 = 3,16 cm²/m → φ 8 c/ 15cm Asmin = 0,0015 x 100 x h = 0,0015 x 100 x 14 = 2,10 cm²/m 0,20 As = 0,20 . 3,16 = 0,63cm 2 / m Assecundária de flexão ≥  0,9cm 2 / m → φ4,2 c / 15cm

L4

p = 4,85 kN/m kN/m

b = 4,65 > 2.a = 2 . 1,50 = 3 m

↓ laje armada em uma direção

a = 1,5 m

+M De acordo com a fórmula empírica d min = 0,025 x 150 = 3,75 Portanto, arbitramos arbitramos a espessura mínima h = 7 cm d = 5 cm p:

peso próprio = 0,07.25

= 1,75 kN/m²

revest + reboco = 0,85 + 0,25

= 1,10

carga acidental

= 2,00 kN/m² p = 4,85 kN/m²

Momento e reações: M = pa²/8 = (4,85 . 1,50²)/8 = 1,37 kNm/m R = pa/2 = (4,85 . 1,50)/2 = 3.64 kN/m

Dimensionamento: Concreto C 20 → fck = 20 MPa

aço CA 60 → fyk = 60 kn/cm²

b = 100 cm h = 7 cm d = 5 cm

M = 1,37 kNm = 13,7 tcm

k6 = bd²/M = (100 . 5²)/13,7 = 182,48 As = k3 M/d = (0,277 . 13,7)/5 = 0,76 cm²/m Asmín = 0015 bh = 0,0015 . 100 . 7 = 1,05 cm²/m → As < Asmín → φ 4,2 c/13 0,20.As = 0,20.1,05 = 0,21 Assecundária de flexão ≥  2 0,9cm / m → φ4,2 c / 15 Concreto Armado I – PUCRS. P UCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

78

L8 p = 4,85 kN/m b = 3,15 > 2.a = 2. 1,40 1,40 = 2,80 a = 1,40 m

↓ laje armada em uma direção

X M

Da mesma forma que na L4, arbitramos h min = 7 cm e d = 5 cm. A carga será idêntica à L4: p = 4,85 kN/m Pelo processo baseado no regime elástico (momentos máximos e reações): X = - p.a²/8 = - 4,85 . 1,40²/8 = - 1,19 kN.m M = p.a²/14,2 = (4,85 . 1,40²)/14,2 = 0,67 kN.m Ra = 5/8 . p . a = 5/8 . 4,85 . 1,40 = 4,25 kN Rb = 3/8 . p . a = 3/8 . 4,85 . 1,40 = 2,55 kN Pelo processo baseado no regime rígido – plástico (momentos máximos e reações): M = (4,85 . 1,40²)/14,7 = 0,64 kN.m X = - (4,85 . 1,40²)/9,7 = 0,98 kN.m Ra = Rb = p . a /2 = (4,85 . 1,40)/2 = 3,40 kN

Dimensionamento: Como o maior momento nesta laje para qualquer um dos processos (X = - 1,19 kN.m) é menor que o momento máximo (M = 1,37 kN.m) da L4 para o qual já foi calculada armadura mínima, para a mesma altura útil, então, nesta laje, os dois momentos terão armadura mínima φ 4,2 c/ 13 cm e a armadura armadura secundária secundária de flexão φ 4,2 c/ c/ 15 cm.


79

11.9 Solicitações em lajes armadas em duas direções 11.9.1 Generalidades Quando a relação entre os lados b/a for menor ou igual a 2, e quando a laje não for apoiada apenas em dois lados opostos ela deverá ser armada em duas direções ou armada em cruz. Devem-se determinar os momentos nos vãos e nos engastes nas direções paralelas aos lados da laje. Os momentos podem ser determinados considerando a laje como placa, funcionando ou em regime elástico ou em regime rígido-plástico, pelos itens 14.7.3 e 14.7.4 da NBR 6118-03. Material elasto-plástico:

Material rígido-plástico:

σ

σ

ε

ε

No regime elástico as lajes poderão ser calculadas através da teoria das placas ou por processos simplificados devidamente justificados como, por exemplo, o processo de Marcus. No regime rígido-plástico, quando as cargas atuarem sempre no mesmo sentido e as deformações específicas da seção estiverem nos domínios 2 ou 3 as lajes poderão ser calculadas pela teoria das charneiras plásticas.

11.9.2 Métodos baseados no regime elástico O estudo das placas apresenta dificuldades bem maiores do que os elementos lineares que são as vigas. O funcionamento é bem mais complexo e mesmo um exame intuitivo, que é muito útil, resulta mais difícil. Há a contração transversal que não ocorre nas vigas que tem as faces laterais livres, há o momento torsor que tem uma importância significativa sobre o comportamento da laje.


80

Seja uma placa retangular de espessura constante h fletida no plano xz e no plano yz.

Y

my

mx mx Z

X

my

A placa flete em ambas as direções, devido aos momentos mx e my por unidade de comprimento, e o plano médio xy se transforma numa superfície de dupla curvatura, que se chama superfície elástica da placa. Para as lajes armadas numa só direção fez-se a hipótese de que fosse constituída de um conjunto de faixas ou vigas de b = 1m cada uma suportando a carga correspondente e funcionando como uma viga independente da adjacente. Bem diverso é o comportamento da laje armada em duas direções

11.9.2.1 Método da grelha Considera-se a laje como constituída de dois conjuntos de faixas ortogonais entre si. A carga é suportada pelas faixas das duas direções, portanto, cada conjunto de faixas resulta menos solicitado do que se estivesse sob a ação da carga total.

1m

f y

ℓy

1m

py

ℓx

px f x


81

A teoria das grelhas admitia que as faixas nas duas direções ortogonais fossem independentes, sendo a carga total p subdividida em dois quinhões de carga px e py. A distribuição dos quinhões de cargas resulta da consideração de que as duas faixas centrais ortogonais cada uma recebendo as cargas px e py, tenham o ponto médio com o mesmo deslocamento. A flecha para as faixas é:

5 ( px . lx 4 ) fx = 384 EI

5 ( py . ly 4 ) fy = 384 EI

Sabendo-se que:

px + py = p

e, que no centro:

fx = fy

determina-se:

px = α.p quinhão de carga segundo a direção x, e, py = p - px

Além disso, conhecendo os quinhões de carga se determina o momento nas duas faixas: Mx = px . ℓx²/8 My = py . ℓy²/8 A aplicação deste método fica facilitado pelo uso de tabelas em que se entra com as condições de vinculação nas 4 bordas e a relação entre os vãos ℓx e ℓy .

11.9.2.2 Método de Marcus Ao utilizar o método das grelhas se observou que as lajes resistiam a carga bem superior para as quais foram dimensionadas. Marcus observou que entre as faixas ortogonais existe uma solidariedade de outra natureza: a flexão da faixa ab constrange a faixa cd a se torcer, fazendo com que as faixas transversais transmitam mutuamente momentos torsores. Marcus aperfeiçoou em 1924 o método das grelhas (1915) e deu solução ao problema introduzindo fatores de redução que levam em conta os momentos torsores.

c

Resultam as tabelas de Marcus utilizadas no

a

b

cálculo

de

lajes

retangulares

sob

carregamento uniforme a partir de 1930 (vejase Manual de Concreto Armado de Mário Massaro Jr., 1979).

d


82

11.9.2.3 Método baseado na teoria da elasticidade O cálculo exato das solicitações em regime elástico é feito com aplicação da teoria matemática da elasticidade, resultando a tabela 23.1 de J. Montoya para placas apoiadas nos 4 lados. As tabelas apresentam 9 casos de vinculação para carga uniformemente distribuída e triangular com ℓy/ℓx compreendido entre 0,5 e 1 (ℓy = lado menor). As tabelas também fornecem coeficientes que permitem determinar os momentos positivos nos vãos e negativos de engastamento (quando houver) nas direções ℓy e ℓx. m = coef. q . ℓy² . 0,001

11.9.2.4 Exemplo de lajes armadas em cruz do projeto base calculadas pelo método elástico usando concreto C 20 e aço CA-60 L2 ℓx = 6,00 + (0,15/2) + (0,25/2) = 6,20

ℓy = 4,95

ℓy = 4,70 + (0,25/2) + (0,25/2) = 4,95 ℓx = 6,20 Admitiremos um cobrimento de 1,5 cm o que daria → h - d = 2 cm. Para arbitrar a altura útil podemos usar a fórmula: d ≥ 0,025 (1 - n . 0,1) . ℓ n = nº de bordas engastadas ℓ≥

lado menor da laje (ℓy) 0,75 do lado maior (0,75 . ℓx)

d ≥ 0,025 (1 - 2 . 0,1) . 495 = 9,9 ~ 10 cm h = d + 2 = 12 cm h d Entretanto, como a L3 (laje em balanço que se engasta em L2) tem espessura h = 14cm, devemos adotar para L2 → h = 14 cm e d = 12 cm.


83

p:

peso próprio = 0,14 . 25

= 3,5


= 1,1

carga acidental

= 2,0 p = 6,6 kN/m²

Momentos atuantes ℓy / ℓx = 4,95/6,20 = 0,799 ≅ 0,8 → 3º caso da tabela Montoya my = 0,001 . q. ℓy² . 39 = 0,001 . 6,6 . 4,95² . 39 = 6,31 kNm mx = 0,001 . q. ℓy² . 26 = 0,001 . 6,6 .4,95² . 26 = 4,20 kNm my − = - 0,001 . q. ℓy² . 91 = - 0,001 . 6,6 . 4,95² . 91 = - 14,70 kNm mx − = - 0,001 . q. ℓy² . 78 = - 0,001 . 6,6 . 4,95² . 78 = - 12,59 kNm

Dimensionamento Obs: dimensionaremos neste momento apenas as armaduras positivas já que as negativas dependerão das lajes adjacentes. concreto C20 → fck = 20 MPa aço CA-60 → fyk = 60 kN/cm² h = 14 cm 

d = 12 cm

b = 100

my = 6,31 kN.m = 63,10 t.cm k6 = b d²/M = (100.12²)/63,10 t.cm = 228,2 As = k3 M/d = (0,276 . 63,10)/12 = 1,45 Asmín = 0,67 . 0,0015 b.h = 0,67 . 0,0015 .100.14 = 1,41 cm²/m As = 1,45 > As mín = 1,41 → φ 5 c/ 13 cm



mx = 4,20 kN.m < 6,31 kN.m (= my), portanto, usa-se a armadura mínima Asmin = 1,41 → φ 5 c/ 14


84

L6 ℓy = 4,65

ℓx = 6,00 + (0,15/2) + (0,25/2) = 6,20 ℓy = 4,40 + (0,25/2) + (0,25/2) = 4,65

ℓx = 6,20 Arbitramos a mesma espessura h = 14 cm e a mesma carga q = 6,6 kN.m² da laje L2. Momentos atuantes: ℓy / ℓx = 4,65/6,20 = 0,75 → 5º caso da tabela Montoya my + = 0,001 . q.ℓy² . 38 = 0,001 . 6,60 . 4,65² . 38 = 5,42 kNm mx + = 0,001 . q.ℓy² . 15 = 0,001 . 6,60 . 4,65² . 15 = 2,14 kNm my − = 0,001 . q. ℓy² . 80 = - 0,001 . 6,60 . 4,65² . 80 = - 11,40 kNm

Dimensionamento (das armaduras positivas) concreto C20 → fck = 20 MPa aço CA-60 → fyk = 60 kN/cm² h = 14 cm 

d = 12 cm

b = 100

my = 5,42 kN.m = 54,2 t.cm k6 = b d²/M = (100.12²)/54,2 t.cm = 265,7 As = k3 M/d = (0,275 . 45,2)/12 = 1,24 Asmín = 0,67 . 0,0015 b.h = 0,67 . 0,0015 .100.14 = 1,41 cm²/m As = 1,24 < As mín = 1,41 → φ 5 c/ 14 cm



mx = 2,14 kN.m < 5,42 kN.m (= my), portanto, usa-se a armadura mínima Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . 14 = 1,41 cm²/m → φ 5 c/14


85

L1

ℓx = 4,80 + (0,15/2) + (0,25/2) = 5,00 ℓy = 4,95

ℓy = 4,70 + (0,25/2) + (0,25/2) = 4,95

ℓx = 5,00 Para arbitrar a altura útil usaremos a fórmula: d ≥ 0,025 (1 - n . 0,1) . ℓ = 0,025 (1 - 1 . 0,1) . 495 = 11,13 ~ 12 cm h = d + 2 = 14 cm p:


= 3,5


= 1,1

carga acidental

= 2,0 p = 6,6 kN/m²

carga linear da parede de tijolo furado (15cm de espessura e 2,67m de altura): q’ = (1,75+1,20) 2,67. 0,15. 13 = 15,36 kN distribuída na laje por m²:

q’/m = 15,36 / (4,95 . 5)= 0,62 kN/m²

carga distribuída total equivalente por m²:

qT = 6,60 + 0,62 = 7,22kN/m²

Momentos atuantes: ℓy / ℓx = 4,95/5,00 = 1 → 6º caso da tabela Montoya my+ = 0,001 . 7,22 . 4,95² . 30 = 5,28 kNm mx+ = 0,001.7,22 . 4,95² .36 = 6,37 kNm mx − = - 0,001 . 7,22 . 4,95². 84 = - 14,86 kNm

Dimensionamento (das armaduras positivas) concreto C20 → fck = 20 MPa h = 14 cm 

d = 12 cm

aço CA-60 → fyk = 60 kN/cm²

b = 100

my = 5,28 kN.m < 5,42 kN.m (da L6, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmín = 1,41 cm²/m → φ 5 c/ 13 cm



mx = 6,37 kN.m k6 = (100.12²)/63,7 = 226,05 As = (0,276.63,7)/12 = 1,47 > As min → φ 5 c/ 13


86

L10 e L7 (rebaixados 20 cm)

ℓx = 1,80 usaremos os vãos da L10

ℓy = 1,40 Para arbitrar a altura útil usaremos a fórmula: d ≥ 0,025 (1 - n . 0,1) . ℓ = 0,025 140 = 3,5 cm → adotaremos: h = 7 cm p:

d = 5 cm


= 1,75


= 1,10

enchimento = 0,20 . 14

= 2,80

carga acidental

= 1,50 p = 7,15 kN/m²

Momentos atuantes: ℓy / ℓx = 1,40/1,80 ~ 0,80 → 1º caso da tabela Montoya my+ = 0,001 . 7,15 . 1,40² . 61 = 0,86 kN.m mx+ = 0,001 . 7,15 . 1,40² . 42 = 0,59 kN.m


d = 5 cm

b = 100

my = 0,86 kN.m = 8,60 t.cm k6 = (100.5²)/8,6 = 418,6 As = 0,275 . 8,6/5 = 0,40 Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . 7 = 0,71 As < As min → φ 4,2 c/19 cm



mx = 0,59 kN.m = 5,90 t.cm armadura mínima → φ 4,2 c/19 cm


87

L5 ℓx = 1,70

ℓy = 1,35 Adotaremos: h = 7 cm p:

d = 5 cm


= 1,75


= 1,10

carga acidental

= 2,00 p = 4,85 kN/m²

Momentos atuantes: ℓy / ℓx = 1,35/1,70 ~ 0,80 → 8º caso da tabela Montoya my+ = 0,001 . 4,85 . 1,35² . 33 = 0,30 kN.m mx+ = 0,001 . 4,85 . 1,35² . 18 = 0,16 kN.m my − = - 0,001 . 4,85 . 1,35² . 74 = - 0,65 kN.m mx − = - 0,001 . 4,85 . 1,35² . 58 = - 0,52 kN.m


d = 5 cm

b = 100

my = 0,30 kNm < 0,86 kN.m (da L7, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 0,0015 . 100 . 7 = 0,71 As < As min → φ 4,2 c/19 cm



mx = 0,16 kN.m < 0,86 kN.m (da L7, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 0,0015 . 100 . 7 = 0,71 As < As min → φ 4,2 c/19 cm


88

L9 ℓx = 4,95

ℓy = 3,60 Para arbitrar a altura útil usaremos a fórmula: d ≥ 0,025 (1 - n . 0,1) . ℓ = 0,025 (1 – 1.0,1) . 360 = 8,1 cm → adotaremos: h = 12 cm p:

d = 10 cm


= 3,00


= 1,10

carga acidental

= 2,00 p = 6,10 kN/m²

Momentos atuantes: ℓy / ℓx = 3,60/4,950 = 0,73 ~ 0,70 → 7º caso da tabela Montoya my+ = 0,001 . 6,10 . 3,60² . 51 = 4,04 kN.m mx+ = 0,001 . 6,10 . 3,60² . 23 = 1,82 kN.m my - = 0,001 . 6,10 . 3,60² . 109 = -8,62 kN.m


d = 10 cm

b = 100

my = 4,04 kN.m = 40,4 t.cm k6 = 100 . 10²/ 40,4 = 247,5 As = 0,275 . 40,4/10 = 1,11 cm²/m Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . 12 = 1,21 cm²/m As < Asmin= 1,21 cm²/m → φ 5 c/16 cm



mx = 1,82 kN.m = 18,20 t.cm armadura mínima → φ 5 c/16 cm Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

89

Dimensionamento das Armaduras Negativas:

L2-6

L2 (my = -14,70 e h = 14 cm) L6 (my = -11,40 e h = 14 cm)

m = -14,70 kN.m e h = 14 d = 12

k6 = 100. 12²/147 = 97,96 As = 0,287 . 147/12 = 3,52 cm²/m > Asmin = 0,0015 . 100 . 14 = 2,10 cm²/m

↓ φ 8 c/14 cm

L2–9

L2 (mx = -12,59 e h = 14 cm) L9 (mx = -8,62 e h = 12 cm)

m = -12,59 kN.m e h = 12 d = 10

k6 = 100. 10²/125,9 = 79,43 As = 0,292 . 125,9/10 = 3,68 cm²/m > As min = 0,0015 . 100 . 12 = 1,80 cm²/m

↓ φ 8 c/13 cm

L1–2

L1 (mx = -14,86 e h = 14 cm) L2 (mx = -12,59 e h = 14 cm)

m = -14,86 kN.m e h = 14 d = 12

k6 = 100. 12²/148,60 = 96,91 As = 0,287 . 148,6/12 = 3,56 cm²/m > As min = 0,0015 . 100 . 14 = 2,10 cm²/m

↓ φ 8 c/14 cm


90

11.9.3 Métodos baseados no regime rígido-plástico Pelo item 14.7.4 da NBR – 6118/03, o efeito das cargas atuantes normalmente ao plano médio das lajes será considerado calculando-as como placa em regime elástico que corresponde aos métodos anteriores, ou em regime rígido-plástico. Quando as cargas atuarem sempre no mesmo sentido e as deformações de laje estiverem nos domínios 2 e 3 da fig. 17 da NBR – 6118/03 as lajes poderão ser calculadas no regime rígido plástico pela teoria das charneiras plásticas. Este processo é um recurso relativamente simples para a solução dos casos mais variados de cargas e condições de contorno. O trabalho original sobre este método acha-se traduzido sob o título “Linhas de Ruptura de autoria de K. W. Johansen”

11.9.3.1 Regime plástico Para uma viga bi-engastada com carga uniformemente distribuída, surgem no engaste momentos M = 1/12 q.ℓ² e no vão 1/24 q.ℓ ². Junto aos engastes não há deslocamento angular. Haverá uma carga q ℓ que produz o momento X ℓ de plastificação nos engastes.

Quando este momento é atingido ele se conserva constante havendo uma rotação nos engastes, que a partir deste instante transformam-se em rótulas que denominaremos rótulas plásticas. Mesmo após a formação das duas rótulas X ℓ plásticas nos engastes a viga continua admitindo

Mℓ

Xℓ Mℓ

acréscimo de carga até a formação de uma terceira rótula na seção central ao ser atingido o momento de Xℓ plastificação Mℓ, quando então caracteriza-se um sistema hipostático com liberdade de rotação e conseqüente colapso da estrutura.

Mℓ Mℓ

Xℓ ℓ


91

Arbitrando o grau de engastamento i = X ℓ/Mℓ e estabelecendo as equações de equilíbrio, determinamos os momentos X ℓ e Mℓ, que produzem a cadeia cinemática e o colapso da estrutura. De acordo com a exigência da nova norma, utiliza-se o grau de engastamento mínimo, i = -1,5

p Xℓ

Mℓ p Xℓ

Mℓ = p.ℓ2 / 20,0

Xℓ = - p.ℓ2 / 13,3

Mℓ = p.ℓ2 / 14,7

Xℓ = - p.ℓ2 / 9,8

Mℓ

11.9.3.2 Lajes retangulares pelo método rígido-plástico Para lajes, em vez de rótulas plásticas formam-se linhas de ruptura, ou charneiras plásticas, ao longo das quais a seção se plastifica e teremos no estado limite último, ao longo das charneiras plásticas momentos de plastificação que, em cada parte em que fica dividida a laje, estarão em equilíbrio com a carga p. Esta é a teoria das charneiras plásticas que, de acordo com o item 14.7.4 da NBR 6118-03 pode ser utilizada na análise de esforços nas lajes. Para garantia de condições apropriadas de dutilidade, dispensando a verificação explícita da capacidade de rotação plástica deve-se ter a posição da linha neutra limitada em x/d < 0,30. Xℓ

m’4

4 1 Mℓ

my

m’3

m’1

mx

Mℓ

3

m’2

2 11.9.3.2.1 Lajes retangulares com armaduras isótropas

ℓy

ℓx

O momento fletor unitário de plastificação nos vãos será o mesmo nas duas direções (aplicável quando a laje tem a forma aproximadamente quadrada). Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

92

11.9.3.2.2 Lajes retangulares com armaduras ortótropas São aquelas em que os momentos de plastificação (portanto as armaduras) nos vãos tem a relação:

ϕ=

mx my

ℓy ≤ ℓx

ϕ - coeficiente de ortotropia

Processo de cálculo: 1 - Para arbitrar o coeficiente de ortotropia pode-se usar a tabela do Montoya: ly/lx

0,3 0,4

0,5 0,6

0,7 0,8 0,9

1

ϕ = Asx/Asy 0,3 0,3 0,3 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 Que pode ser resumida em: 

para ℓy/ℓx ≤ 0,5

ϕ = 0,3



para 0,5 < ℓy/ℓx ≤ 0,7

ϕ = 0,5

ϕ =1,0 1, 7 12 + i1 + i 3  ly   ou, usar a fórmula ϕ =   e, se ℓy/ℓx ≥ 0,8 → ϕ =1,0 12 + i 2 + i 4  lx  2 - Numeramos as bordas de 1 a 4 a partir da de menor dimensão no sentido anti-horário. 

para 0,7 < ℓy/ℓx ≤ 1

Chamamos de graus de engastamento as relações não positivas: i1 = m1’/mx

i2 = m2’/my

i3 = m3’/mx

i4 = m4’/my

Quando houver engastamento, na falta de dados experimentais de acordo com o item 14.7.4 da NBR 6118-03: | i | > 1,5 (para que “i” não seja muito diferente do que resulta de uma análise elástica deve-se adotar - 2 < i < - 1,5) E, para apoio simples, utiliza-se i = 0.

3 - Arbitrados os graus de engastamento e o coeficiente de ortotropia calculam-se os vãos reduzidos: lxr =

2 lx ϕ ( 1 − i1 + 1 − i 3 )

lyr =

2 ly 1− i 2 + 1− i 4

os momentos positivos: my =

e, os momentos negativos serão:

p . lyr . lxr  lyr lxr  8 1 + +   lxr lyr  m 1’= i1 . mx

mx = ϕ.my

m2’= i2 . my m3’= i3 . mx m4’= i4 . my


93

11.9.3.2.3 sando concreto C20 (fck = 20MPa) e aço CA 60 (fyk = 60 kN/cm²) L2 ℓy = 4,95

ℓx = 6,20 Dados retirados da L2 calculada pelo método elástico: p = 6,6 kN/m² , h = 14 e d = 12 cm.  

ly lx

= 4,95/6,20 = 0,798

Adota-se: i3 = i4 = 0 e i1 = i2 = -1,5

ϕ = [(12 – 1,5 + 0)/(12 – 1,5 + 0)] . (4, 95/ 6,20) 1,7 = 0,682 lyr =

2 . 4,95 = 3,84 1 + 1,5 + 1 + 0

lxr =

2 . 6,20 / 0,682 = 5,82 1 + 0 + 1 + 1,5

p . lyr . lxr = 6,60 .3,84 .5,82 / [8(1 +3,84/5,82 +5,82/3,84)]= 5,79 kN.m  lyr lxr  8 1 + +   lxr lyr 



my =



mx = ϕ my = 0,682 . 5,79 = 3,95 kN.m m1’ = - 1,5 . mx = - 1,5 . 3,95 = - 5,93 kN.m m2’ = -1,5 . my = -1,5 . 5,79 = - 8,69 kN.m m3’ = m4’ = 0

Dimensionamento 

my = 5,79 kN.m d = 12 k6 = bd²/my = (100 x 12²)/57,9 = 248,7 As = k3 m/d = 0,275 x 57,9/12 = 1,33 cm²/m Asmin = 0,67 x 0,0015 x 100 x 14 = 1,41 cm² → φ 5 c/14



mx = 3,95 < 5,79 (= my, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 1,41 cm² → φ 5 c/14


94

L6 ℓy = 4,65

ℓx = 6,20 Dados retirados da L6 calculada pelo método elástico: p = 6,60 kNm² , h = 14 e d = 12

 

ly lx

= 4,65/6,20 = 0,75

Adota-se: i1 = i3 = 0 e i2 = i4 = -1,5

ϕ = [(12 + 0 + 0)/(12 – 1,5 – 1,5)] . (4, 65/ 6,20) 1,7 = 0,818 lyr = lxr =

2 . 4,65 = 2,94 1 + 1,5 + 1 + 1,5 2 . 6,20 / 0,818 = 6,85 1− 0 + 1− 0

p . lyr . lxr 6,60 . 2,94 . 6,85 = = 4,42 kN.m  lyr lxr  8(1 + 2,94 / 6,85 + 6,85 / 2,94) 8 1 + +   lxr lyr 



my =



mx = ϕ my = 0,818 . 4,42 = 3,62 kNm m2’ = - 1,5 . my = - 1,5 . 4,42 = - 6,63 kN.m m4’ = -1,5 . my = -1,5 . 4,42 = - 6,63 kN.m m1’ = m3’ = 0

Dimensionamento 

my = 4,42 kN.m < 5,79 (da L2, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 0,67 x 0,0015 x 100 x 14 = 1,41 cm² → φ 5 c/14



mx = 3,62 < 5,79 (da L2, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 1,41 cm² → φ 5 c/14


95

L1 ℓy = 4,95

ℓx = 5,00

Dados retirados da L1 calculada pelo método elástico: p = 7,22 kN/m², h = 14 e d = 12 cm. 



ly lx

= 4,95/5 ≅ 1

Adota-se: i1 = -1,5 e i 2 = i3 = i4 = 0

ϕ = 1 (laje isótropa)



lyr = =

2.4,95 = 4,95 m 1+ 0 + 1+ 0

lxr = =

2.5 = 3,88 m 1 + 1,5 + 1 + 0

my = mx =

7,22.4,95.3,88 = 5,67 8(1 + 4,95 / 3,88 + 3,88 / 4,95)

m1’= - 1,5 . 5,67 = - 8,51

Dimensionamento: 

my = mx = 5,67 kN.m = 56,7 t.cm k6 = 100 . 12²/56,7 = 254 As = 0,275 . 56,7/12 = 1,30 Asmin = 0,067 . 0,0015 . 100 . 14 = 1,4 cm²/m As = 1,30 < As min = 1,4 cm²/m →φ 5 c/14


96

L10 e L7 (rebaixadas 20 cm) ℓx = 1,80

ℓy = 1,40 Dados retirados da L10 calculada pelo método elástico: p = 7,15 kNm², h = 7 e d = 5 cm  

ly lx

= 1,4/1,8 = 0,78

Adota-se: i1 = i2 = i3 = i4 = 0

ϕ = [(12 - 0 - 0) / (12 - 0 - 0)] . (1,40/1,80) lyr = =

2.1,40 = 1,40 m 1+ 0 + 1+ 0

lxr = =

2.5 / 0,65 = 2,23 m 1+ 0 + 1+ 0

1,7

= 0,65



my = 7,15 x 1,40 x 2,23/{8[1 + (1,40/2,23) + (2,23/1,40)]} = 0,87 kNm



mx = ϕ my = 0,65 x 0,87 = 0,57 m1’= m2’= m3’= m4’= 0


my = 0,87 kN.m = 8,7 t.cm k6 = 100 . 5²/8,7 = 287,35 As = 0,274 . 8,7/5 = 0,476 Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . 7 = 0,71 cm²/m As = 0,476< Asmin = 0,71 cm²/m →φ 4,2 c/19



mx = 0,57 kN.m < 0,87 (= my, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 0,71 cm²/m →φ 4,2 c/19


97

L5

ℓx = 1,70

ℓy = 1,35 Dados retirados da L5 calculada pelo método elástico: p = 4,85 kN/m², h = 7 e d = 5cm.  

ly lx

= 1,35/1,70 = 0,794

Adota-se: i1 = 0, i2 = i4 = -2 e i3 = -1,5

ϕ = [(12 + 0 – 1,5)/(12 – 2 – 2 )] . (1,35/1,70) 1,7 = 0,89 lyr =

2 .1,5 = 0,78 1+ 2 + 1+ 2

lxr =

2 .1,70 / 0,89 = 1,40 1 + 0 + 1 + 1,5

p . lyr . lxr = 4,85. 0,78. 1,40/[8 (1+ 0,78/1,40+ 1,40/0,78)]= 0,197 kN.m  lyr lxr  8 1 + +   lxr lyr 



my =



mx = ϕ my = 0,89 . 0,197 = 0,176 kN.m m1’ = 0 m2’ = m4’ = -2 . my = -2 . 0,197 = - 0,394 kN.m m3’ = - 1,5 . mx = - 0,264 kN.m

Dimensionamento como os valores dos momentos são inferiores aos da L7 as armaduras serão todas mínimas: 

my: Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . 7 = 0,71 cm²/m → φ 4,2 c/19



mx: Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . 7 = 0,71 cm²/m → φ 4,2 c/19


98

L9 ℓx = 4,95

ℓy = 3,60 Dados retirados da L9 calculada pelo método elástico: p = 6,10 kN/m², h = 12 e d = 10 cm.  

ly lx

= 3,60/4,95 = 0,73

Adota-se: i1 = i3 = i4 = 0 e i2 = -1,5

ϕ = [(12 + 0 + 0)/(12 - 1,5 - 0)] . (3,60/4,95) 1,7 = 0,67 lyr = lxr =

2 . 3,60 = 2,79 1 + 1,5 + 1 + 0 2 . 4,95 / 0,67 = 6,05 1+ 0 + 1+ 0

p . lyr . lxr = 6,10 .2,79 .6,05 /[8 (1 +2,79/6,05 +6,05/2,79)] = 3,56 kN.m  lyr lxr  8 1 + +   lxr lyr 



my =



mx = ϕ my = 0,67 . 3,56 = 2,39 kN.m m1’ = m3’ = m4’ = 0 m2’ = -1,5 . my = -1,5 . 3,56 = - 5,34 kN.m


my = 3,56 kN.m = 35,6 t.cm k6 = 100 . 10²/35,6 = 280,9 As = 0,275 . 35,6/10 = 0,95 cm²/m Asmin = 0,067 . 0,0015 . 12 . 100 = 1,206 cm²/m As = 0,95 < As min = 1,206 cm²/m → φ 5 c/16



mx = 2,39 kN.m < 3,56 (= my, portanto, usa-se a armadura mínima) Asmin = 1,206 cm²/m → φ 5 c/16


99

Dimensionamento das Armaduras Negativas

L2-6

L2 (m = -8,69 e h = 14 cm) L6 (m = -6,63 e h = 14 cm)

m = -8,69 kN.m e h = 14 d = 12

k6 = 100 . 12²/86,9 = 165,7 As = 0,277 . 74,9/12 = 2,01 cm²/m < As min = 0,0015 . 100 . 14 = 2,10 cm²/m

↓ φ 6,3 c/15

L2-9

L2 (m = -5,93 e h = 14 cm) L9 (m = -5,34 e h = 12 cm)

m = -5,93 kN.m e h = 12 d = 10

k6 = 100 . 10²/59,3 = 168,6 As = 0,278 . 59,3/10 = 1,65 cm²/m < As min = 0,0015 . 100 . 12 = 1,80 cm²/m

↓ φ 6,3 c/17

L1-2

L1 (m = -8,51 e h = 14 cm) L2 (m = -5,93 e h = 14 cm)

m = -8,51 kN.m e h = 14 d = 12

k6 = 100 . 10²/85,1 = 169,2 As = 0,279 . 85,1/12 = 1,98 cm²/m < As min = 0,0015 . 100 . 14 = 2,10 cm²/m

↓ φ 6,3 c/15


100

11.10 Reações das Lajes As reações de apoio são calculadas de acordo com o item 14.7.6.1 da NBR 6118-03

45º 45º

60º

60º

45º

45º

45º 45º

30º 30º

60º

30º

Para lajes apoiadas ou engastadas nos 4 lados existem tabelas que de acordo com as condições de contorno apresentam 9 casos que para a relaçãob (lado maior)/a (lado menor) entre 1 e 2 fornece coeficientes que multiplicados pela carga total K = qab dá a reação total sobre cada um dos 4 lados e - engastado, r - apoiado. Para obter a carga por metro deve-se dividir pelo comprimento do lado. Quando a laje for dimensionada no regime rígido-plástico permite-se calcular com as retas inclinadas de 45º (1º caso) Va = (a . a/2) . q/2 = q . a²/4 Va/m = qa/4

a

Vb = (qab -2 Va)/2 = qab/2 - qa²/4 Vb/m = Vb/b = q . a/4(2 - a/b) = Va/m (2 - ε)

b

onde ε = a/b


101

Nas lajes armadas numa direção consideram-se as reações sobre os lados maiores de acordo com as fórmulas apresentadas.

p A

a

B

R A = R B = p.a / 2

p A

B

a

p A

a

B

R A = 5/8 p.a

R B = 3/8 p.a

(pelo processo rígido-plástico pode-se admitir ainda neste caso R A = R B = p.a/2)

Exemplos: L2

ℓy = 4,95

q = 6,6 kN/m² K = qab = 6,6 . 4,95 . 6,20 = 202,55 kN

ε = b/a = 6,20/4,95 = 1,25 → 6º Caso ℓx = 6,20 Vae = 0,254 . 202,55 = 51,44 kN

Vae/m = 51,44 / 4,95 = 10,39 kN/m

Var = 0,147 . 202,55 = 29,78 kN

Var/m = 29,78 / 4,95 = 6,01 kN/m

Vbe = 0,381 . 202,55 = 77,17 kN

Vbr/m = 77,17 / 6,20 = 12,45 kN/m

Vbr = 0,218 . 202,55 = 44,16 kN

Vbr/m = 44,16 / 6,20 = 7,12 kN/m

Calculando pelo processo simplificado:

ε = 4,95/6,20 = 0,80

Va/m = qa/4 = 6,60 x 4,95/4 = 8,17 kN/m Vb/m = Va/m (2-ε) = 8,17 (2 - 0,80) = 9,80 kN/m


102

L6

q = 6,6 kN/m² ℓy = 4,65

K = qab = 6,6 . 4,65 . 6,20 = 190,28 kN b = ε = 6,20/4,65 = 1,33 a

→ 4º Caso

ℓx = 6,20 Va = 0,109 . 190,28 = 20,74 kN

Va/m = 2,74/4,65 = 4,46 kN/m

Vb = 0,392 . 190,28 = 74,39 kN

Vb/m = 74,39/6,20 = 12,03 kN/m

Calculando pelo processo simplificado: Va/m = 6,60 . 4,65/4 = 7,67 kN/m

a = ε = 4,65/6,20 = 0,75 b

Vb/m = 7,67 (2-0,75) = 9,59 kN/m

L1

q = 7,22 kN/m² K = 7,22 . 4,95 . 5 = 178,70 kN

ℓy = 4,95

ε = 5/4,95 = 1,01 → 3º Caso ℓx = 5,00 Vae = 0,40 . 178,70 = 71,48

Vae/m = 71,48/4,95 = 14,44 kN/m

Var = 0,231 . 178,70 = 41,28

Var/m = 41,28/4,95 = 8,34 kN/m

Vb = 0,185 . 178,70 = 33,06

Vb/m = 33,06/5 = 6,61 kN/m

ε = 4,95/5 = 0,99

Calculando pelo processo simplificado: Va/m = 7,22 x 4,95/4 = 8,93 kN/m Vb/m = 8,93 (2-0,99) = 9,02 kN/m

L10 e L7

q = 7,15 kN/m² K = 7,15 . 1,40 . 1,80 = 18,02 kN

ℓx = 1,80

ε = 1,80/1,40 = 1,29 → 1º Caso ℓy = 1,40 Va = 0,192 . 18,02 = 3,46

Va/m = 3,46/1,40 = 2,48 kN/m

Vb = 0,308 . 18,02 = 5,56

Vb/m = 5,56/1,80 = 3,09 kN/m


ε = 1,40/1,80 = 0,78

Va/m = 7,15 . 1,40/4 = 2,51 Vb/m = 2,51 (2-0,78) = 3,07

Resultados praticamente iguais aos da tabela


103

L5

q = 4,85 kN/m² K = 4,85 . 1,35 . 1,70 = 11,13 kN ℓy = 1,70

ε = 1,70/1,35 = 1,26 → 7º Caso

ℓx = 1,35 Vae = 0,199 . 11,13 = 2,22

Vae/m = 2,22 / 1,35 = 1,64 kN/m

Var = 0,114 . 11,13 = 1,27

Var/m = 1,27 / 1,35 = 0,94 kN/m

Vb = 0,344 . 11,13 = 3,83

Vb/m = 3,83 / 1,70 = 2,26 kN/m


ε = 1,35/1,70 = 0,79

Va/m = 4,85 . 1,35/4 = 1,64 kN/m Vb/m = 1,64(2 - 0,79) = 1,98 kN/m

L9

q = 6,10 kN/m² K = 6,10 . 3,60 . 4,95 = 108,70 kN

ℓx = 4,95

ε = 4,95/ 3,60 = 1,38 → 2º Caso ℓy = 3,60 Va = 0,134 . 108,70 = 14,56

Va/m = 14,56 / 3,60 = 4,05 kN/m

Vbe = 0,465 . 108,70 = 50,55

Vbe/m = 50,55 / 4,95 = 10,22 kN/m

Vbr = 0,269 . 108,70 = 29,24

Vbr/m = 29,24 / 4,95 = 5,91 kN/m


ε = 3,60 / 4,95 = 0,73

Va/m = 6,10 . 3,60 / 4 = 5,49 kN/m Vb/m = 5,49 (2 - 0,73) = 6,98 kN/m


104

Nas lajes armadas em uma direção: L3

p = 8 kN/m

P = 3,95 kN

a = 1,40 m R = pa + P = 8,0 . 1,40 + 3,95 = 15,15 kN/m

L4

p = 4,85 kN/m a = 1,50 m

R A = R A = pa/2 = 4,85 . 1,50/2 = 3,64 kN/m

L8

p = 4,85 kN/m a = 1,40 m

R A = 5/8 x 4,85 . 1,40 = 4,25 kN/m R B = 3/8 x 4,85 . 1,40 = 2,55 kN/m Pelo processo rígido-plástico R A = R B = 4,85 x 1,40/2 = 3,40 kN/m

11.11 Detalhamento das armaduras (planta de lajes) O detalhamento de lajes é apresentado no item 20.1 da NBR 6118-03:


105

Para evitar ocorrência de fissuras, quando o vão for superior a 2,50 m usa-se no vão

φ min = 4 mm e o espaçamento máximo de 15 cm. Nos apoios intermediários como a armadura é negativa, usa-se φ min = 5 mm e o espaçamento máximo de 20 cm. No detalhamento das armaduras na planta de lajes o comprimento das armaduras positivas será o vão livre acrescido das bases das duas vigas de apoio (quando as bases forem muito largas pode-se limitar este acréscimo em 30 cm) menos 4 cm e o comprimento das armaduras negativas de acordo com o item 3.3.2.7 da NBR 6118-78, nos dois lados de um apoio de laje contínua 0,25 do maior dos vãos menores das lajes contíguas. Nas lajes em balanço em geral para dentro da laje de engaste usa-se um comprimento de armadura igual ao do balanço, não inferior a 1 metro. Armadura de borda: De acordo com o código modelo do CEB devemos dispor ao longo dos apoios extremos um armadura de borda em cavalete igual a ¼ da armadura principal, com comprimento igual a 1/5 do vão menor não inferior a 30 cm. a  l menor  a≥ 5 30 cm

Para laje em balanço em desnível, deve-se fazer um laço para engastar na laje adjacente a fim de evitar a tendência de retificação da armadura.

De acordo com o item 3.3.2.8 da NBR 6118-78, em cada canto de lajes retangulares livremente apoiadas quando não for calculada armadura para resistir aos momentos volventes, deverá ser colocada uma armadura superior na direção da bissetriz e uma inferior na direção perpendicular a bissetriz possuindo cada uma área de seção transversal não inferior a metade Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

106

da máxima no centro da laje. Essas armaduras deverão estender-se até a distância média e partir da face dos apoios igual a 1/5 do vão menor. ARMADURA

ARMADURA

SUPERIOR

INFERIOR

1/5 do vão menor

1/5 do vão menor

1/5 do vão menor

1/5 do vão menor

Poderá se substituir estas armaduras simplesmente dobrando em cavalete as duas armaduras positivas de acordo com a figura de armadura de borda, em barras alternadas com cavaletes de comprimento igual a um quinto do vão menor.


107

PRÉDIO DE ESCRITÓRIOS: ARMADURA DAS LAJES – MÉTODO ELÁSTICO


108

PRÉDIO DE ESCRITÓRIOS: ARMADURA DAS LAJES – MÉTODO RÍGIDO-PLÁSTICO


109

11.12 Fluxograma para cálculo e dimensionamento de lajes retangulares utilizando o método baseado na regime rígido-plástico.

25


110


111

CAPÍTULO 112

ESCADAS

12.1 Escadas maciças armadas longitudinalmente A estrutura resistente das escadas de concreto armado de edifícios é geralmente constituída por uma laje inclinada de espessura h (parte ativa). Os degraus da escada são quase sempre de concreto, executados simultaneamente com a laje (durante a concretagem), mas são considerados como material inerte de simples enchimento, cuja eventual colaboração na resistência da escada é desprezada. O tipo mais simples de escada é constituído por uma laje inclinada apoiada na parte superior e inferior, cuja parte ativa tem espessura h e corresponde a uma laje armada numa direção (calculada como viga de largura 1 m), solicitada por cargas verticais.

h

p /m de projeção 1m

p’ PA

p α p”

R A

NB

α PB R B

c

NA α ℓ


112

Esquematicamente temos uma laje inclinada, ou viga de largura 1m, inclinada solicitada por cargas verticais constituídas pelo peso próprio da mesma, peso próprio dos degraus, revestimento e sobrecarga acidental cujo valor por m² pela NBR-6120 é de 2,5 kN/m² para edifícios residenciais e de 3 kN/m² para acesso ao público, sendo que o m² é por m² de projeção. Estas cargas são maiores que as demais cargas acidentais de lajes de piso pelo fato de serem em geral de pequena largura, possibilitando cargas concentradas elevadas como cofres e pianos. Sendo as cargas verticais as reações de apoio também o serão, pelo que, conforme veremos a seguir o cálculo da laje em projeção tomando a carga por m² de projeção nos leva a valores idênticos aos obtidos considerando a laje inclinada com seu real comprimento, pois os momentos fletores nas seções e máximo serão iguais nos dois casos. Com efeito, sendo p a carga por metro de projeção ela se decompor numa carga p’ normal ao eixo da peça e uma tangencial p”. A carga normal p’que produzirá momento fletor será p’= p.cos α, porém, por metro de projeção ela corresponderá a um comprimento c = 1/cos α ao longo do eixo da laje ou viga. A carga normal por metro de eixo da peça será: p1= p’/c = p.cos α/(1/cosα) = p cos² α , sendo o comprimento do eixo da peça ℓ 1 = l/cosα . O momento máximo será: Mmax = 1/8 p1 ℓ1² = 1/8 p.cos²α (l/cosα)² = 1/8 p ℓ² Portanto, calculamos o momento máximo na peça inclinada como se fosse horizontal com vão igual à projeção e carga por metro de projeção.


113

Determinação do peso próprio por m² de projeção: o peso próprio será a soma do peso próprio da parte ativa da laje e dos degraus e pode-se arbitrar a espessura segundo o seguinte critério empírico: a a b a b b

α

h C

Vão:

h:

até 3 m

10 a 12 cm

de 3 a 4 m

12 a 13 cm

de 4 a 5 m

13 a 15 cm

1m

Para vãos maiores podemos arbitrar a altura útil d = 0,028 . ℓ , onde ℓ é o vão. A área da seção da parte ativa da laje será a de um paralelogramo de base c e altura h onde c = 1/cos α e portanto:  

parte ativa = h / cosα sendo o peso por m² de projeção da laje h/cos α . 25 kN/m² área da seção dos degraus será a soma dos triângulos Σ ba/2 = b/2 Σa

sendo Σa = 1 m por metro de projeção e o peso dos degraus por m de projeção será: b/2 . 24,00 kN/m² por se tratar de concreto simples. Se houver peitoril deve-se considerar o seu peso distribuindo ao longo da largura da escada (< 1,50 m). Em geral toma-se para o peitoril 2kN/m. Lembramos que no caso de lajes ou vigas inclinadas o esforço cortante é sempre menor que a reação de apoio, pois, ele é apenas o componente normal ao eixo da peça. A reação vertical poderá ser calculada como se fosse uma laje horizontal com o vão projetado e a carga por metro de projeção. R A = R B = 0,5 pℓ

Mmax = 1/8 pℓ²


114

Este tipo de escada é o mais simples, porém não é o mais comum, pois acontece geralmente que além do lance inclinado há um patamar conforme a figura:

A

B

Os momentos fletores neste caso são calculados para a projeção do vão e a carga vertical por metro de projeção de acordo com o esquema da figura:

p1 A

p2

ℓ1

ℓ2

B

ℓ


115

Deve-se considerar no trecho do patamar uma carga menor do que no lance inclinado, pois não haverá o peso dos degraus e o peso da laje será apenas h . 25 kN/m

3

(sem dividir

por cosα). O ponto de momento máximo estará a uma distância do apoio A: x max = R A/pℓ. O momento máximo será: Mmax = R A . xmax – p1 . ℓ xmax²/2 = R A²/2.p1.ℓ Neste tipo de escada é muito importante o detalhe da armadura na zona de inflexão A da escada onde o esforço de tração das armaduras tenderia a retificá-las pela ação da resultante R que pode romper o cobrimento de concreto da armadura. Para que isto não ocorra, usa-se um dos detalhes indicados a seguir, principalmente o segundo que além de mais prático permite até uma redução da armadura correspondente ao trecho do patamar onde o momento fletor é menor que o máximo. Na zona B da escada o detalhe da armadura não apresenta problema, podendo a mesma ser contínua, tendo em vista que a zona comprimida da laje fornece uma resultante igual e de sentido oposto a resultante Z das trações.

2

1

D Z

D Z

Nas escadas armadas longitudinalmente encontramos ainda um outro tipo de escada constituído pelo lance inclinado e por dois patamares um em cada extremo, sendo que os apoios podem ser em número de dois.


116

Neste caso o problema continua isostático e, portanto, podemos resolvê-lo com a projeção total do vão, e carga por metro de projeção. Calculamos as reações, o ponto de momento máximo e o seu valor.

p2

p1 ℓ1

P3 ℓ3

ℓ2 ℓ

12.2 Exemplos 12.2.1 Dimensionar a escada da figura com dois lances armada longitudinalmente usando concreto C 20 (fck = 20 MPa) e aço CA-50 (fyk = 50 kN/cm²)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 150

28

h

16,7

10

α

150 18 17 16 15 14 13 12 11 10 20

8 X 28 = 224

150

20

cosα = 28/ 16,7 2 + 28 2 = 0,858 Como o vão é 3,94 m poderíamos adotar h = 13 cm , mas resolvemos adotar h = 12 cm

d = 10 cm. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

117



Carga no lance inclinado. admitindo peitoril de ferro com carga de 1,5 kN/m.ℓ distribuindo-a na largura de escada de 1,50 m: carga do peitoril = 1,5 kN/1,50 m

= 1,00 kN/m²

peso próprio dos degraus = 0,167 x 24/2

= 2,00

peso próprio da laje (0,12 x 25)/0,858

= 3,50

carga acidental

= 2,50

revest. + reboco = (0,85 + 0,20)

=1,05 p1 = 10,05 kN/m²



Carga no patamar: peso próprio da laje = 0,12 x 25,00

= 3 kN/m

revest. + reboco = (0,85 + 0,20)

= 1,05

carga acidental

= 2,50 p2 = 6,55 kN/m²

Teremos o seguinte esquema de cálculo:

p1

p2

A 2,34

B

RB = 15,34 kN RA = 18,67 kN

1,60

Dimensionamento: Ponto de momento máximo:

x max = R A/p1 = 18,67/10,05 = 1,86 m

Mmax = 17,32 kNm = 173,2 t cm 100 . d 2 k 6 = = (100 . 10²)/173,2 = 57,67 M k . M A s = 3 (t, cm) = 0,364 . 173,2/10 = 6,32 cm²/m → φ 10 c/12 d As secundária ≥

0,20 . As 0,9 cm2/m

= 1,26 cm²/m → φ 6,3 c/ 25


118

φ 6,3 c/ 25 comprimento = 146

φ 6,3 c/ 25 comprimento = 306

trespasse = 55 cm

14 φ 10 c/ 12

trespasse = 55 cm 14 10 c/ 12

Obs: pelo fato de ter arbitrado uma altura pequena as armaduras determinadas foram de grande diâmetro ( φ = 10 mm)


119

12.2.2 Dimensionar a escada da figura usando concreto C 20 (fck = 20 Mpa) e aço CA 50 (fyk = 50 kN/cm²) para acesso ao público (carga acidental = 3 kN/m²).

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

130

13 14 15 16 17

4 x 29 = 116

L1

peitoril

L2

PATAMAR L3

VE

130

V30 18 19 20 21 22 23 24 25 24 27 28 29

20

130

11 x 29 = 319

120

15

Peitoril: parede de tijolo furado com 10 cm de espessura por 80 cm de altura cos α =

29

h

17

a 2

a + b

2

= 0,86

α p1

ℓ1 = 1,40

p2

ℓ2 = 3,19

p3

ℓ3 = 1,28


120



Arbitramos a altura útil: d = 0,028 x 587 cm (aproximadamente) 16 cm h = 16 + 2 = 18 cm



Determinação das cargas

Patamar: peso próprio = 0,18 x 25

= 4,50 kN/m²

revestimento

= 0,85

reboco

= 0,25

carga acidental

= 3,00

peitoril = (0,10 . 0,8 . 13)/1,20

= 0,87 p = 9,47 kN/m²

Lance inclinado: peso parte ativa h/cosα . 25 = 0,18/0,86 . 25

= 5,23 kN/m²

revestimento

= 0,85

reboco

= 0,25

peso dos degraus b/2 . 24 = 0,17/2 . 24

= 2,04

carga acidental

= 3,00

peitoril = (0,10 . 0,80 . 13)/1,30

= 0,80 p = 12,17 kN/m

Admitindo que a reação de um lance secundário sobre o principal se distribua de forma triangular a resultante se encontra a um terço do início do apoio. Por exemplo: o lance L2 se apoia sobre os Lances L1 e L3, cuja largura é 1,30 m, logo o centro de apoio estará a uma distância 1,30/3 = 0,43 da face e teremos para L2 o seguinte esquema de cálculo:


121

L2 p = 12,17 kN/m

R A = R B = (12,17 x 1,16)/2 = 7,06 kN/m Momento máximo (centro do vão):

0,43

M = 7,06. 1,01 -12,17 . 0,58²/2 = 5,08 kN.m/m

0,43

1,16

k6 = 100 x 16²/50,8 = 503,83 As = 0,327 x 50,8/16 = 1,08 cm²/m < Asmin = 0,0015 x 100 x 18 = 2,7 cm²/m φ 8 c/18 cm 0,20 . As = 0,2 . 2,70 = 0,54 Assecundária >  2 0,9cm / m → φ6,3 c / 33

LANCE PATAMAR: R A = R B = (9,47 . 1,16)/2 = 5,49 kN/m

p = 9,47 kN/m

0,43

0,43

1,16

Como na L2 em que a carga era maior para o mesmo vão, e altura útil, as armaduras eram mínimas, neste caso também o serão: As → φ 8 c/18 cm Assec → φ 6,3 c/ 33

p1

p2

L1 e L3

ℓ2 = 3,19

ℓ1 = 1,40 carga p1:

p3

ℓ3 = 1,28


= 4,50

revestimento

= 0,85

reboco

= 0,25

carga acidental

= 3,00

reação da L2 = 7,06/1,30

= 5,43 p1 = 14,03 kN/m


122

carga p2: carga de lance inclinado = 12,17 kN/m carga p3:

peso próprio

= 4,50

revestimento

= 0,85

reboco

= 0,25

carga acidental

= 3,00

reação do patamar = 5,49/1,30

= 4,22 p3 = 12,82 kN/m

14,03 12,17

1,40 

12,82

1,28

determinação das reações: carga total

p1 x ℓ1 = 14,03 . 1,40 = 19,64 kN p2 x ℓ2 = 12,17 . 3,19 = 38,82 kN p3 x ℓ3 = 12,82 . 1,28 = 16,41 kN

Σ p = 74,87 kN ∑MB = 0 → R A . 5,87 = 19,64 . 5,17 + 38,82 . 2,875 + 16,41 . 0,64 R A = 38,11 kN R B = 74,87 - 38,11 = 36,76 kN 

cálculo do momento máximo: xmax = 2,92 m Mmax = 38,11 . 2,92 - 19,64 . 2,22 - 12,17 . 1,52²/2 = 53,63 kNm = 536,3 tcm

k6 = bd²/M = (100 x 16²)/536,3 = 53,88 As = k3 M/d = (0,368 x 536,3)/16 = 12,31 cm²/m → φ 12,5 c/ 10 cm 0,20 . As = 2,46 cm 2 / m → φ8 c / 20 Assecundária >  0,9 cm 2 / m


123

6 2 V30

8

L3

68cm de trespasse

1

7

14cm de trespasse

2 14 φ12,5 c/10 68 cm 14 cm

8 19 φ8 c/20

VE

1 14 φ12,5 c/10 Comprimento de trespasse:

5

L1

ℓ b = 54φ

3

54 . 1,25 ~ 68 cm

4

VE

54 . 8,0 ~ 44 cm

8

4 14 φ12,5 c/10

3 14 φ12,5 c/10

6 V30

L2 1 7 9 5

5 8 φ8 c/18

3

7 8 φ8 c/18 44cm de trespasse

9

2

6

4

9 4 φ6,3 c/33

PATAMAR 6 7 φ8 c/18 Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

124

12.3 Classificação das Escadas As escadas podem ser classificadas em: 

Escadas maciças;



Escadas com degrau isolados; As escadas maciças podem ser:

• Armadas longitudinalmente que são as escadas até aqui estudadas. • Armadas transversalmente com degraus resistentes quando há duas vigas laterais ou apenas uma com os degraus em balanço.

• Armadas em cruz quando há quatro vigas de apoio no contorno da laje da escada. Escadas especiais: 

Escada com estrutura plissada espacial.



Escadas curvas

12.4 Escadas maciças armadas transversalmente com degraus resistentes 12.4.1 Duas vigas laterais Os degraus são calculados como vigascde concreto aproximadamente triangulares. Seguindo o processo geral de peças sujeitas a flexão estaríamos diante de uma flexão desviada dada a assimetria da seção transversal da peça devendo-se determinar a inclinação e posição da linha neutra.

p p’ α p”

a

a ℓ

a

α 1m A determinação da carga p por m² de projeção é idêntica a das lajes armadas longitudinalmente. Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

125

Dada a solidariedade dos degraus entre si, a flexão dos degraus sob ação de cargas verticais só pode se dar segundo um plano normal a direção da viga. Este fato simplifica o problema, pois, a fibra neutra será paralela a direção da borda da face inferior da laje. Sendo “a” o comprimento do piso do degrau, podemos determinar a armadura “por degrau” sobre o qual a carga vertical será p = p/m² . a A componente normal a inclinação da escada que produzirá flexão no degrau será: p’ = p cosα

e por degrau será:

p’deg = p cos α . a

Sendo ℓ a distância entre o centro das vigas de apoio, o momento máximo no degrau será: Mmax, deg = p’deg . ℓ²/8 = p cosα a ℓ²/8 O dimensionamento da armadura não é fácil resolver analiticamente devendo ser solucinado por tentativas, arbitrando a posição da linha neutra pela sua distância ao vértice e usando as equações de equilíbrio:

x

LN

As d Chamando Mmax, deg = M, as equações de equilíbrio serão: b1 . x/2 . 0,80 fcd - Asfyd = 0 b2 . x/2 . 0,80 fcd (d-2/3 x) = Md

12.4.2 Uma viga lateral A componente normal a inclinação da ℓ

escada será a mesma do caso anterior p’deg = p . cosα . a

Devemos também considerar uma carga linear no extremo do balanço de P [kN/m] que dará por degrau P . a e a componente normal será:

P . a cos α.

O momento máximo negativo por degrau será:

M max/deg = - p cos α . ℓ²/2 - P a cosα ℓ


126

LN

LN x

x As

As d

b)

d

a)

Caso a linha neutra caia no degrau (caso a) o problema será resolvido por tentativas, arbitrando a posição da linha neutra, determinando o centro geométrico da parte comprimida cuja distância ao centro da gravidade da armadura (braço da alavanca) será z e as equações de equilíbrio serão: 0,85 fcd . Acc - As fyd = 0 0,85 fcd . Acc . z = Md Caso o momento seja tal que a linha neutra caia fora do degrau, na laje (caso b) se calcula a armadura para uma seção retangular de base a/cos α e altura útil d.

12.5 Projeto de uma escada com degraus isolados engastados em uma viga lateral Aço: degraus: CA-60 viga: CA-50 estribos: CA-60 Concreto C20 (fck = 20 MPa)

Prédio Residencial

cobrimento c = 1,5 cm

29

parede: 8 kN/m 17 45

7

10

α 22

22

8 x 29 = 232

110

22

cosα = 29/ 29 2 + 17 2 = 0,862 Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

127

Cálculo do degrau:

P = 2,5 kN NBR6120

p

1,21 

carga p:

peso próprio = (0,07 +0,10)/2 . 0,29 . 25,00

= 0,62 kN/m

revest. + reboco = 0,29 . 1,00

= 0,29

carga acidental = 0,29 . 2,5

= 0,72

.

p = 1,63 kN/m 

momento máximo: X = - 1,63 .1,21²/2 - 2,5 . 1,21 = 4,22 kNm = 42,2 tcm



dimensionamento: b = 29

d=9

k6 = 43,98 k3 = 0,317

As = 0,317 . 42,2/8 = 1,68 cm² → 4 φ 8

p

Cálculo da viga:

m 2,54 

cálculo da carga p:

peso próprio (0,22 . 0,45/ 0,862) . 25

= 3,00

degraus (1,63/0,29) . 1,10

= 6,20

parede

= 8,00

.

p = 17,20 kN/m 

cálculo do momento máximo: V = pl/2 = 17,20 . 2,54/2 = 21,80 kN X = - pl²/12 = - 17,20 . 2,54²/12 = - 9,25 kN M = pl²/24 = (17,20 . 2,54²)/24 = 4,63 kN.m



dimensionamento:

Flexão M = 9,25 kNm k6 = (22 . 42²)/92,5 = 419,5 As = 0,33 . 92,5/42 = 0,73 cm² < 0,0015 . 22 x 42 = 1,39 → 3 φ 8 Observação: este tipo de escada também deve ser dimensionada ao cisalhamento e à torção.


128

ANEXO A A: NBR 6120 – CAR GAS P PAR A O O C CÁLCULO D DE E ESTR UTUR AS D DE E EDIFICAÇÕES


129


130


131


132


133


134


135

ANEXO BB: TTABELAS


136

TABELAS PROMON

εcd

0,85.fcd y

As

fck = 20 MPa

k x

k 6

b w . d 2 k 6 = Mk

k x

k 6

y = 0,8 . x As = k 3 .

Mk d

fck = 26 MPa

fck = 25 MPa

k 3

γ s = 1,15

UNIDADES: t, cm

εsd

fyd

γ c = 1,4

x = kx . d

x

d

bw

γ f = 1,4

k 3

k x

k 6

k

Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich 137

TABELA PROF. ALMIR SCHÄFFER


138

TABELA “FERREIRO” – VIGAS


139

TABELA TEORIA ELÁSTICA – LAJES – MONTOYA


140

TABELA REAÇÕES DE APOIO – LAJES


141

TABELA “FERREIRO” – LAJES


142

ANEXO C C: F FOR MULÁR IOS D DAS P PR OVAS


143

FORMULÁRIO – CONCRETO ARMADO I – VIGAS VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR: f cd = f ck / 1,4

f yd = f yk /1,15

Md = 1,4 . M σs

0,0035

b

ylim = 0,8 x lim

x d d–x

εs

As

εyd = f yd / 21000 0,0035 / xlim = εyd / (d - x lim)

Mdlim = 0,85 f cd b ylim (d – 0,5 ylim)

x lim 

=

0,0035 . d 0,0035 + ε yd

Se Md ≤ Mdlim ⇒ armadura simples, equações: 0,85 f cd b y − A s f yd = 0 0,85 f cd b y (d − 0,5 y ) = M d



Se Md > Mdlim ⇒ armadura dupla, equações: 0,85 f cd b y lim − A s f yd + A' s f yd = 0 0,85 f cd b y lim (d − 0,5 y lim ) + A' s f yd (d − d ') = M d

VIGAS DE SEÇÃO T: M0 = 0,85 f cd bf hf (d – 0,5 hf ) 

Se Md ≤ M0 ⇒ calcula como seção retangular, sendo b = b f (equações da seção retangular com armadura simples)

Mdmax = Mdlim + 0,85 f cd (bf – bw) hf (d – 0,5 hf ), 

onde

Mdlim = 0,85 f cd bw ylim (d – 0,5 ylim)

Se M0 < Md ≤ Mdmax ⇒ calcula como T com armadura simples, equações: 0,85 f cd bw y + b f − bw h f − A s f yd = 0 0,85 f cd bw y (d − 0,5 y ) + 0,85 f cd b f − bw h f d − 0,5 h f = M d

Armadura mínima: Asmin = 0,0015 b h , sendo h = d + 3cm TABELAS: Prof. Almir: Mdlim = k mlim (b d2 f cd) ∆M = Md – Mdlim Promon:

Mklim = b d2 / k 6lim As1 = k 3lim Mklim / d ∆M = Md – Mdlim

As = Md / (z f yd) As1 = Mdlim / (zlim f yd) A’s = ∆M / [f yd (d – d’)] As = As1 + A’s

unidades: tf e cm

z = k zlim d

1 kN.m = 10 tf.cm

A’s = 1,4 ∆M / [f yd (d – d’)] ⇒ f yd em tf/cm2 = f yd [kN/cm2] / 10

Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich 144

FORMULÁRIO – CONCRETO ARMADO I - LAJES 

LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO p p ℓ

ℓ

M M = pl2/8 R = pl/2

M X = –pl2/8 M = pl2/14,2 Ra = 3/8pl Rb = 5/8pl

100 . d 2 Dimensionamento: k 6 = M As secundária de flexão ≥ 0,20 . Asprinc 0,9 cm2/m

X X

p ℓ

M X = –pl 2/12 M = pl2/24 R = pl/2

k 3 . M (t, cm) d Asmin = 0,0015 . 100 . h

A s =

LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES Método rígido-plástico:



lx > 2 l

ℓx < 2 ℓ

P

p ℓ

X X

X = –pl2/2 – Pl R = pl + P

d=h–2

i4 m4’

my Grau de engastamento → apoio simples: i = 0 i1 i3 engaste: i = valor indicado na prova ℓy mx m 1’ m ’ 3 Coeficiente de ortotropia → se ly/lx ≥ 0,8 : ϕ = 1 1, 7 12 + i 1 + i 3  ly  se ly/lx ≤ 0,8 : ϕ =   i2 12 + i 2 + i 4  lx  m2’ 2 lx 2 ly lxr = lyr = ϕ ( 1 − i1 + 1 − i 3 ) 1− i 2 + 1− i 4 ℓx p . lyr . lxr my = mx = ϕ . my  lyr lxr  8 1 + +  m1' = i1 . mx m2' = i2 . my m3' = i3 . mx m4' = i4 . my  lxr lyr  k . M 100 . d 2 Dimensionamento: k 6 = A s = 3 (t, cm) d=h–2 M d • Para as armaduras positivas das lajes armadas em duas direções Asmin = 0,67 . 0,0015 . 100 . h  armaduras negativas k . M 100 . d 2 Dimensionamento: k 6 = A s = 3 (t, cm) d = h – 2 Asmin = 0,0015 . 100 . h M d Método elástico: Utilizar as tabelas do Montoya fornecidas → ℓy/ℓx → calcula os momentos pela tabela k . M b . d 2 Dimensionamento: k 6 = A s = 3 (t, cm) d=h–2 M d • Para armaduras negativas das lajes armadas em duas direções: A smin = 0,0015 . 100 . h • Para as armaduras positivas das lajes armadas em duas direções: A smin = 0,67 . 0,0015 . 100 . h Va . K Vb . K Reações K=q.a.b Ra / m = Rb / m = a b q .a  a  Processo simplificado Ra / m = Rb / m = Ra / m 2 −  4  b  Concreto Armado I – PUCRS. Profs. Henrique Gutfreind e Mauren Aurich

145

FORMULÁRIO E ROTEIRO DE CÁLCULO – CONCRETO ARMADO I - ESCADAS

1. Determinação dos lances principais e secundários

2. d = 0,28 . ℓ princ

cos α =

a a 2 + b 2

3. Determinação das cargas nos lances: Peso específico do concreto armado = 25 kN/m 3 Peso específico do concreto simples = 24 kN/m 3 Peso da parte ativa: Peso dos degraus:

h . 25 (sendo h em metros) [kN/m 2] de projeção cos α

b . 24 (sendo b em metros) [kN/m 2] de projeção 2

Carga de peitoril:

A peitoril . γ peitoril [kN/m2] de projeção l arg ura da laje

Carga da reação do lance secundário no lance principal: Reação da LS [kN/m 2] largura da laje

4. Cálculo do momento máximo 5. Dimensionamento via tabelas: k . M 100 . d 2 k 6 = A s = 3 (t, cm) M d As secundária ≥

0,20 . As 0,9 cm2

Asmin = 0,0015 . 100 . h


146

Apostila - Concreto Armado I.pdf

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