Estudo de Dosagem e Controle de Qualidade do Concreto Prof. Dario de Araújo Dafico, Dr.
Versão: Ago./2012
Sumário 1. O Traço .................................... ............................................................................................................ ...................................................................................... .............. 2 2. Obtenção das Equações das Leis Leis Fundamentais Fundamentais ......................................................... 10 3. Método de Estudo de de Dosagem Dosagem do IPT / EPUSP ........................................... ......................................................... .............. 18 4. A Curva de de Gauss Gauss .......................................................... ............................................... 22 5. Controle de Qualidade do Concreto............................................ .................................. 30
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Sumário 1. O Traço .................................... ............................................................................................................ ...................................................................................... .............. 2 2. Obtenção das Equações das Leis Leis Fundamentais Fundamentais ......................................................... 10 3. Método de Estudo de de Dosagem Dosagem do IPT / EPUSP ........................................... ......................................................... .............. 18 4. A Curva de de Gauss Gauss .......................................................... ............................................... 22 5. Controle de Qualidade do Concreto............................................ .................................. 30
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1 - O TRAÇO 1.1 - DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS Denomina-se TRAÇO a expressão da proporção dos materiais componentes de uma “receita particular de concreto”. O traço expressa as quantidades relativas de agregados miúdos, agregados graúdos e de água em relação à quantidade de cimento. Chama-se DOSAGEM o ato de medir e misturar os componentes do concreto (cimento, agregados, água, aditivos e adições) a partir de um TRAÇO pré-definido. DOSAGEM TÈCNICA é aquela feita em obra que possui o conhecimento de um TRAÇO elaborado de acordo com a técnica. DOSAGEM EMPÍRICA é aquela feita em obra que não possui o conhecimento de um TRAÇO elaborado de acordo com a técnica, para dosagem de concreto com os materiais disponíveis na obra, mas utiliza um TRAÇO EMPÍRICO, ou seja, uma “receita de bolo” que não considera a implicação da variabilidade das fontes de materiais para o concreto nas suas propriedades. Atualmente é inconcebível a utilização de dosagem empírica para o preparo de concreto estrutural. Denomina-se ESTUDO DE DOSAGEM ao procedimento técnico utilizado para obtenção do traço que satisfaça certos pré-requisitos particulares de uma obra, em geral um certo valor mínimo de resistência à compressão aos 28 dias, mas podem ter vários outros como, por exemplo, resistência à tração na compressão diametral, módulo de deformação, retração, fluência, massa específica, etc. ESTUDO DE DOSAGEM EXPERIMENTAL é aquele realizado utilizando dados de misturas experimentais feitas com amostras dos materiais que serão utilizados para o preparo do concreto para a obra. Para isso são realizados diversos ensaios de caracterização dos materiais em laboratório e realizados ensaios para determinação das propriedades dos concretos, obtidos através das misturas experimentais. ESTUDO DE DOSAGEM NÃO EXPERIMENTAL é aquele realizado sem os dados de misturas experimentais feitas com amostras dos materiais que serão utilizados para o preparo do concreto para a obra. Para que seja possível a realização de um ESTUDO DE DOSAGEM NÃO EXPERIMENTAL é necessário haver uma grande “massa de dados” acerca dos materiais de uma determinada região, para que se possa obter os “valores de referência” de cada material componente da mistura, necessário para a realização dos cálculos do estudo, através de simples avaliação visual. ESTUDOS DE DOSAGEM NÃO EXPERIMENTAIS eram muito utilizados antigamente no Brasil para a obtenção de TRAÇOS para obras de menor porte em função da dificuldade de se encontrar laboratórios especializados. Hoje isso não faz mais sentido, o país se desenvolveu e se integrou. Há laboratórios espalhados por todo o território nacional. Nas localidades mais longínquas do Brasil, aonde não há laboratório nas proximidades, também não faz sentido a realização de Estudo de Dosagem Não Experimental pois, neste caso, também não haverá dados que fundamentem o estudo. É importante lembrar que atualmente há uma grande diversidade de tipos e marcas de cimento no país, o que dificulta ainda mais a realização desse tipo de estudo. No nosso curso iremos aprender como obter um TRAÇO através do ESTUDO DE DOSAGEM EXPERIMENTAL e como fazer a DOSAGEM TÉCNICA na usina ou na obra, em massa, ou volume unitário. A expressão do traço será sempre feita em proporção da massa de cimento. 2
1.2 - EXPRESSÃO DO TRAÇO DO CONCRETO O traço do concreto pode ser expresso em termos de proporções em massa ou volume, além de uma forma mista, que expressa o cimento em massa e os agregados em volume. No nosso curso a expressão do traço será sempre feita em termos de proporções sobre a massa de cimento (kg/kg). É a forma moderna de se expressar o traço do concreto. A expressão do traço do concreto segue a seguinte configuração: 1 : a : b : a/c onde: 1 => Primeiro termo que representa a Massa de cimento em relação à Massa de cimento (Mc/Mc = 1); a => Massa de areia em relação à Massa de cimento (M a/Mc = a); b => Massa de brita / Massa de cimento(M b/Mc = b); a/c => Massa de água em relação à Massa de cimento (M água/Mc = a/c). Observação: Observação: Deve-se ter o cuidado para não confundir o significado da letra “ a” quando a/c” que representando a proporção de areia do traço, com a letra “a” do parâmetro “ a/c” representa a proporção de água e relação ao cimento.
Para entendermos melhor como funciona a representação através do traço vamos ao seguinte exemplo. Seja uma mistura para concreto composta por 1 saco de cimento, 150 kg de areia, 250 kg de brita 1 e 25 kg de água, então temos que: 50 / 50 : 150 / 50 : 250 / 50 : 25 / 50 (cimento : areia : brita : água) Logo o traço será expresso como: 1 : 3 : 5 : 0,5 No caso de se utilizar mais de um agregado miúdo (areia) e/ou mais de um agregado graúdo (pedra britada ou seixo rolado) o traço é expresso do material mais fino para o mais grosso. Por exemplo, 2 areias e 3 britas: 1 : a1 : a2 : b1 : b2 : b3 : a/c Temos algo como o exemplo de traço mostrado abaixo: 1 : 1,50 : 1,50 : 1,00 : 2,00 : 2,00 : 0,50, sendo a seqüência: (1 : a 1 : a2 : b1 : b2 : b3 : a/c) obs.2: Exceto o primeiro termo t ermo do traço que é sempre 1, todos os outros são expressos com números contendo duas casas decimais.
Denomina traço bruto “m “ m”, ou traço não desdobrado, à proporção do agregado total (miúdo + graúdo) em relação ao cimento. Por exemplo, quando dissemos que m = 3, temos um traço 1:3, e isso significa que para cada kg de cimento temos a utilização de 3 kg de agregado total.
3
1.3 - CÁLCULO DA QUANTIDADE DE CIMENTO DO CONCRETO Para se calcular a quantidade de cimento de um concreto, em kg de cimento por m3 de concreto utilizamos a fórmula que obteremos a seguir: Sabemos que um certo volume de concreto é o resultado da soma dos volumes absolutos de seus constituintes, isto é, do cimento, areia (agregado miúdo), brita (agregado graúdo) e água. Também sabemos que em 1 m 3 temos 1000 dm 3. Logo podemos escrever: Vc + Va + Vb + Vágua= Vconc
(1)
Sabemos ainda que a massa específica de um material é por definição a sua massa dividida pelo seu volume absoluto. Logo o seu volume é a massa dividida pela massa específica ou seja: se:
M
=
ρ
então: V =
,
V
M
(2)
ρ
Como queremos uma fórmula que calcule a quantidade de cimento em 1 m 3 de concreto, que é o mesmo que dizer a quantidade de cimento por 1000 dm3 de concreto, mas a unidade de massa específica utilizada pelas normas técnicas é kg/dm 3 , fazemos: (2) em (1) temos: M c
+
M a
ρ c
+
ρ a
M b
+
ρ b
M água
= 1000
(3)
ρ água
Como a massa específica da água é igual a 1 ( ρágua = 1 kg/dm3), temos: M c
+
M a
ρ c
ρ a
+
M b ρ b
+ M água = 1000
(4)
Usando o artifício de dividirmos ambos os lados pela massa de cimento (M c), pois trabalhamos com traços, que são proporções em relação à massa de cimento, temos: M c M c . ρ c
+
M a M c . ρ a
+
M b M c . ρ b
+
M água M c
=
1000 M c
(5)
Vemos na equação resultante até aqui as relações sobre a massa de cimento que no traço representamos por: 1 : a : b : a/c, que substituindo em (5) fica: 1 ρ c
+
a ρ a
+
b ρ b
+ a/c =
1000 M c
(6)
Isolando a massa de cimento finalmente obtemos a fórmula desejada:
4
=
M c
1
1000 a b
+
+
ρ c
ρ a
(7)
+a/c
ρ b
É costume representar a massa de cimento contida em um m 3 de concreto pela letra C, maiúscula, então na formula substituiremos o símbolo M c por C, ficando assim: C =
1
1000 a b
+
ρ c
+
ρ a
(8)
+a/c
ρ b
Na fórmula (8) não foi considerado nenhum teor de ar incorporado ao concreto, que em concretos plásticos normais se situam por volta de 20 dm 3 por m3 de concreto. Para obtermos uma fórmula que considere o volume de ar incorporado ao concreto temos que fazer: Vc + Va + Vb + Vágua + Var = Vconc
(9)
Repetindo os mesmo procedimentos feitos para obtenção da fórmula (8) temos: M c
+
M c . ρ c
M a M c . ρ a
+
M b
+
M c . ρ b
M água M c
+
V ar M c
=
1000 M c
(10)
Passando o termo que contém o volume de ar para o outro lado fica: M c
M a
+
M c . ρ c
M c . ρ a
+
M b M c .ρ b
+
M água M c
=
1000 M c
−
V ar M c
(11)
Substituindo pelos parâmetros do traço (1 : a : b : a/c) temos: 1
a
+
ρ c
+
ρ a
b
+ a/c =
1000 − V ar
ρ b
(12)
M c
Isolando a massa de cimento obtemos a fórmula desejada: M c
=
1000 − V ar a b
1
+
ρ c
+
ρ a
+ a/c
(13)
ρ b
Novamente, para seguirmos o costume de utilizamos a letra maiúscula C para representarmos a massa de cimento por m 3 substituimos Mc por C na fórmula ficando, quando consideramos o volume de ar incorporado:
C =
1 ρ c
1000 − V ar a b
+
+
ρ a
+ a/c
(14)
ρ b
5
1.4 - CÁLCULO DAS DIMENSÕES DAS PADIOLAS Padiolas são recipientes utilizados para a dosagem dos agregados em volume unitário quando não é possível fazê-lo em massa. É utilizado para a dosagem de concretos, em obras de menor responsabilidade. A padiola pode ser construída em madeira, compensado ou aço, podendo ser feita para ser carregada por dois operários, ou montada sobre rodas (estrutura semelhante à de carrinhos de mão), para poder ser transportada por somente 1 operário. Neste caso, montada sobre rodas, é preciso estar utilizando betoneira com carregador, que permite a construção de uma pequena rampa para o acesso da padiola sobre rodas. No caso de padiola de padiola sobre rodas, a seção vertical que corta longitudinalmente a padiola forma um trapézio como mostrado na figura abaixo, para facilitar o escoamento do agregado para o carregador da betoneira. Vista superior
e = 40 cm
Corte vertical h = 35 cm
15 cm
Li Ls
Para se obter uma fórmula para o cálculo da altura da padiola sobre rodas, sendo a variável volume da padiola Vpad em dm3 e a medida de comprimento Li em dm, temos: Vpad = 4 . Li . 3,5 + ((3,5 . 1,5)/2) . 4
(15)
simplificamos temos: Vpad = 14 . Li + 10,5
(16)
14 . Li = Vpad – 10,5
(17)
Finalmente obtemos: Li
=
V pad
− 10,5
14
(sendo Li em dm)
(20) 6
Se quisermos o valor de Li em centímetros, que é a unidade de medida usada pelo carpinteiro, é só multiplicar o resultado da equação (20) pelo número 10. A dimensão da seção horizontal de uma padiola para carregamento por dois operários geralmente é de 45 x 35 cm, sendo a altura variável conforme o volume necessário para a dosagem do traço. Uma padiola deve ser dimensionada para uma massa de agregados não superior a 70 kg qualquer que seja o tipo de padiola.
1.5 - EXERCÍCIOS Para resolução das questões, utilizar as características físicas dos materiais a seguir indicadas. Materiais
Cimento 3
Massa específica (kg/dm ) Massa unitária (kg/dm 3) Umidade (%) Inchamento (%)
3,14 -
Areia Fina 2,63 1,50 4,50 30
Areia Grossa 2,62 1,52 3,50 27
Brita 0
Brita 1
Brita 2
(12,5 mm)
(19 mm)
(25 mm)
2,78 1,38 0,80 -
2,75 1,40 0,80 -
2,75 1,43 -
I - Calcular as quantidades de materiais a serem adquiridos para a execução de uma estrutura cujo volume de concreto é 55 m 3. O traço do concreto estudado para a obra é: 1 : 2,20 : 1,15 : 2,52 : 0,56 (cimento, areia grossa, brita 0, brita 2, água) II - Utilizando o traço acima, que volume de fôrmas se encherá com o concreto de uma betonada em que se utilizam 3 sacos de cimento ? III - Quantas betonadas de um saco de cimento seriam necessárias para fabricar 1 m concreto ?
3
de 7
IV - Qual o percentual do volume de pasta (cimento + água) do concreto acima ? V - Qual o percentual do volume de argamassa (cimento + areia + água) ? VI - Uma obra solicitou 6 m 3 de concreto a uma central. Quais as quantidades dos materiais colocadas no caminhão betoneira para atender ao traço 1 : 2,0 : 3,5 : 0,5 (cimento, areia fina, brita 0, água) ? obs.: Os materiais na central são medidos em massa úmida. VII - Para os materiais medidos em volume, quais as dimensões das padiolas com seção paralelepípeda e trapezoidal, para betonadas de 2 sacos de cimento, a serem confeccionadas para o uso do traço acima (questão VI) ? VIII - Fornecer as quantidades de materiais (cimento em sacos, areia, brita e água em volume) que se deve adquirir para fabricar 200 m 3 de concreto, sabendo-se que em cada betonada utilizam-se as seguintes quantidades de materiais nas condições de canteiro: cimento = 1 saco; areia fina úmida = 87 kg; brita 1 úmida = 36 kg; brita 2 úmida = 118 kg; água adicionada = 25 l. IX - Que volume de materiais são necessários para produzir 5 m 3 de concreto, sabendo-se que em cada betonada deste concreto usam-se: cimento = 1 saco; areia fina = 85 dm 3; brita 1 = 52,8 dm3; brita2 = 83 dm 3; água = 22 dm3, considerando-se as condições de canteiro ? X - Dado o traço de concreto 1 : 2,15 : 1,85 : 2,80 : 0,62 (cimento, areia grossa, brita 0, brita 1, água), pede-se calcular a quantidade em massa dos materiais (agregados e água) a serem colocados numa betoneira de 2 (dois) sacos de cimento, considerando: a) Os agregados secos; b) Os agregados na condição do canteiro. XI - Para o mesmo traço do item anterior pede-se a quantidade dos materiais em volume, considerando-se as condições do canteiro. XII - Na fabricação de um concreto de traço (em massa de materiais secos) expresso como 1 : 2,20 : 4,50 : 0,60 (cimento, areia fina, brita 2, água) verificou-se que o concreto produzido não correspondia ao volume esperado. Por um lapso, o encarregado não levou em consideração a umidade e o inchamento dos materiais. Determine: a) Qual o traço realmente utilizado se os materiais foram medidos em massa? b) Qual o traço realmente utilizado se os materiais foram medidos em volume? XIII - Qual o traço verdadeiro adotado (em massa de materiais secos) sabendo-se que os materiais úmidos no canteiro foram: - 2 sacos de cimento; - 220 kg de areia grossa; - 150 kg de brita 1; - 250 kg de brita 2; - 40 litros de água. XIV - Calcular o traço de um concreto (em massa de materiais secos) em que se misturaram: - 1 saco de cimento; - 1 padiola de areia fina (L i = 3,5 dm); - 1 padiola de brita 1 (L i = 3,0 dm); - 2 padiolas de brita 2 (L i = 2,1 dm); - 24 litros de água. 8
Respostas: I - 360 sacos de cimento; 33,2 m 3 de areia grossa úmida (26,1 m 3 seca); 15 m3 de brita 0; 31,8 m3 de brita 2. II - Vconc = 0,46 m3. III - 7 betonadas. IV - Volume da pasta = 28,8 % do volume do concreto. V - Volume da argamassa = 56,3 % do volume do concreto. VI - 2112 kg de cimento; 4.414 kg de areia fina; 7.451 kg de brita 0; 807 litros de água. VII –
Padiola de seção paralelepípeda: Areia fina (3 padiolas) => L = 45 cm x e = 35 cm x h = 36,7 cm Brita 0 (5 padiolas) => L = 35 cm x e = 40 cm x h = 32,2 cm Padiola de seção trapezoidal: Areia fina (3 padiolas) => e = 40 cm; h = 35 cm; L i = 33,8 cm; Ls = 48,8 cm Brita 0 (5 padiolas) => e = 40 cm; h = 35 cm; L i = 28,7 cm; Ls = 43,7 cm
VIII - 1509 sacos de cimento; 109 m 3 de areia fina; 38 m 3 de brita 1; 125 m 3 de brita 2; 38 m 3 de água. IX - 33 sacos de cimento; 2.805 dm 3 de areia; 1.742 dm 3 de brita 1; 2.739 dm 3 de brita 2; 726 litros de água. X e XI material
traço correto
material seco
cimento areia grossa brita 0 brita 1 água
1 2,15 1,85 2,80 0,62
2 sacos 215 kg 185 kg 280 kg 62 l
material nas condições de canteiro massa úmida volume úmido 2 sacos 2 sacos 222,5 kg 179,6 l 186,5 kg 134,1 l 282,2 kg 200,0 l 50,8 l 50,8 l
XII a) 1 : 2,10 : 4,50 : 0,70 b) 1 : 1,69 : 4,50 : 0,68. XIII - 1 : 2,12 : 1,49 : 2,50 : 0,49 XIV - 1 : 1,37 : 1,47 : 2,28 : 0,55
9
2 - OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DAS LEIS FUNDAMENTAIS 2.1 - REGRESSÃO LINEAR AOS MÍNIMOS QUADRADOS Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Y
Y3
D1 , D2 , D3 , ... , D i , ..., Dn são os erros de previsão (desvios)
D2
Y2 Y1
Y = a.X + b
D3
D1
X1
X2
X
X3
Figura 1 – Representação esquemática da regressão aos mínimos quadrados Para obter os coeficientes “a” e “b” da equação da reta de regressão representativa de um fenômeno linear é só obter: X
= média dos valores de “x”
Y =
média dos valores de “y”
S xx
= Σ in=1 ( X i − X ) 2
S xy
= Σ in=1 ( X i − X ).(Y i − Y )
E calcular os coeficientes “a” e “b” através das seguintes expressões: a
=
S xy S xx
b = Y − a. X
Encontrados os valores dos coeficientes é só colocá-los na equação: Y = a. X + b 10
Para auxiliar a tarefa de encontrar os valores de X , Y , S xx e S xy , constrói-se uma tabela seguindo o modêlo abaixo: Ponto
Xi
Yi
X
Y
( X i
− X )
( X i
− X ) 2
(Y i − Y )
( X i
− X ).(Y i − Y )
1 2 3 4 5 6 7 8 M
n S xx
= Σin=1 ( X i − X ) 2
S xy
= Σin=1 ( X i − X ).(Y i − Y )
Resultados
Exercício de fixação: Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo. Os dados são os seguintes: Yi Xi
Preço (R$/bloco) Distância (Km)
36,00
48,00
50,00
70,00
42,00
58,00
91,00
69,00
50
240
150
350
100
175
485
335
a) Estimar a reta de regressão para representar essa relação. (Resp.: p = 30,19 + 0,12.d) b) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo. (Resposta: R$ 80,58) c) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.
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2.2 - LEI DE ABRAMS
f c
f c
=
K 1 K 2
a/c
a/c
Figura 2 – Curva de Abrams e a sua equação Segundo a Lei de Abrams o principal parâmetro a provocar variações na resistência à compressão do concreto “f c” é a relação “a/c”. A resistência varia segundo a expressão mostrada na figura 2, sendo K 1 e K2 constantes que dependem das características particulares dos materiais utilizados em uma determinada mistura. Num estudo de dosagem do concreto, para encontrarmos a equação representativa daquelas misturas particulares a partir de alguns poucos pontos conhecidos (mínimo 3), é preciso linearizar a equação para se utilizar o Método dos Mínimos Quadrados. Então, se: f c
=
K 1 K 2
a/c
Linearizando, através de logarítimos, temos: K 1
log f c
= log
log f c
= log K 1 − log K 2 a / c
log f c
= log K 1 − a c . log K 2
K 2
a/c
Reorganizando na forma da equação da reta temos: log f c Y
= (− log K 2 ). a c + log K 1 a
X
b
12
Para obter a equação de Abrams particular fazemos uma regressão linear entre “log f c” e “a/c” obtendo-se “a” e “b” como coeficientes da reta. Se:
= − log10 K 2
a
log K 2 K 2
= −a
= 10 − a
Então: K 2
=
1 10 a
Se: b = log 10 K 1
então: K 1
= 10 b
Com os valores numéricos dos coeficientes K 1 e K2 monta-se a Equação de Abrams. Para se encontrar o valor da relação “a/c” necessária para uma resistência especificada faz-se: a
c
=
log K 1
− log f c
log K 2
Exercício resolvido: Em um estudo de dosagem do concreto elaborou-se, para um dado conjunto de materiais, concretos com relações “a/c” de 0,41 – 0,55 – 0,70, quando foram moldados corpos-deprova para ensaio de resistência à compressão aos 28 dias de idade, cujos resultados obtidos foram, respectivamente, 38,0 MPa – 28,0 MPa – 20,0 MPa. Obter a equação de Abrams desse concreto. log f c
= (− log K 2 ). a c + log K 1
Y
a/c
a
X
f c
b
log f c
(MPa)
0,41 0,55 0,70
38,0 28,0 20,0
1,5798 1,4472 1,3010 13
Ponto
X
Y
( X − X )
( X − X ) 2
(Y − Y )
( X − X ).(Y − Y )
1 2 3
0,41
1,5798
- 0,1433
0,0205
0,1371
- 0,0196
0,55
1,4472
- 0,0033
0,0000
0,0045
- 0,0000
0,70
1,3010
0,1467
0,0215
0,1417
- 0,0208
X
Y
0,5533
1,4427
Resultados
a
=
S xy S xx
=−
0,04040 0,0420
S xx
= Σ( X − X ) 2 0,0420
S xy
= Σ( X − X ).(Y − Y ) - 0,0404
= −0,9619
b = Y − a. X = 1,4427 − ( −0,9619.0,5533) = 1,9749
log f c
= (−0,9619). a c + 1,9619 - log K 2
log K 1
K 1
= 10 b = 101, 9749 = 94,38
K 2
=
f c
=
1 10 a
=
1 10 −0,9619
= 9,16
94,38 9,16 a / c
14
2.3 - LEI DE LYSE Petrucci, baseado em Inge Lyse, estabeleceu afirma que . . . “para concretos plásticos de mesma consistência, feitos com os mesmos materiais, a quantidade total de água por unidade de volume é constante, independente do traço”.
Figura 3 – Teor de água em relação à quantidade de materiais secos é independente do traço segundo a Lei de Lyse Abatimento constante
a t s a a s p s a m a g r a
H 2O
H 2O
H2O
Cimento
Cimento
Cimento
Areia
Brita
1:3 diminui a/c aumenta f c ( + ) coeso ( + ) plástico ( + ) pasta ( - ) atrito
Areia
Brita
1:4
Areia
Brita
1:5 aumenta a/c diminui f c ( - ) coeso ( - ) plástico ( - ) pasta ( + ) atrito
Figura 4 – Esquema de variação das propriedades reológicas do concreto de mesmo valor de abatimento em função da variação do traço 1:m Obs.: Na figura 4 o termo plástico significa capacidade da mistura fresca ser deformada sob ação de uma força externa. A maior plasticidade das misturas mais ricas é conseqüência da redução do atrito interno. 15
De acordo com a Lei de Lyse, para um determinado abatimento do concreto, o teor de água a ser utilizado para sua elaboração depende das características particulares do cimento e agregados utilizados. Essa regra também vale para concretos com aditivos plastificantes desde que o teor de aditivo em relação ao teor de cimento seja mantido constante. Denomina-se Teor de Água do Concreto, representado pela letra “H”, o valor da relação “massa de água / massa de materiais secos” presentes na mistura. Assim sendo: M água
H =
( M c
+ M a + M b ) obs.: Alguns autores preferem expressar o “H” em porcentagem da massa de materiais secos. Para isso esse valor é multiplicado por 100%. O “H” também é chamado por alguns autores de umidade da mistura.
Como: a
c
=
M água
,
M c
a
=
M a M c
,
b=
M b M c
Logo: H =
H =
( a c ). M c ( M c
+ a. M c + b. M c )
M c .( a c ) M c .(1 + a + b)
Como o traço “m” é a soma das proporções de areia “a” e brita “b” em relação ao cimento, ou seja: m = a+b
Logo: H =
(a c ) (1 + m)
Considerando “H” constante como afirma a Lei de Lyse e fazendo “m” como função de “a/c” temos: (a c )
1+ m =
H
m=
(a c )
m=
1
H
H
−1
.( a c ) − 1
16
Chamando:
K 4
=
1 H
e
Fazendo:
− 1 = K 3
Obtemos a equação de uma reta:
m
= K 4 .( a c ) + K 3
Y
a
X
b
Assim, a partir de um conjunto de pontos de coordenadas (a/c,m) podemos, através do método dos mínimos quadrados, obter a equação que representa a variação do traço em função da relação “a/c”. Importante entender que substituir o valor da constante -1 por k 3 significa aceitar a possibilidade de se encontrar valores diferentes de -1 para essa constante da equação, quando obtida através do método dos mínimos quadrados. Essa adaptação da Lei de Lyse feita pelos autores melhora a capacidade da equação de prever o traço como função da relação a/c. 2.4 - LEI DE MOLINARI Molinari obteve uma equação que correlaciona o consumo de cimento por m 3 de concreto “C” com o traço bruto “m”, desde que as várias misturas de traços distintos possuam mesmo abatimento e tenham sido dosados com o mesmo cimento e agregados. A equação tem a seguinte forma: C =
10 3 K 5
+ K 6 .m
sendo: K5 e K6 coeficientes representativos de um conjunto particular de materiais (cimento e agregados) Essa equação é muito útil em estudos de dosagem pois permite obter o consumo de cimento para qualquer traço desejado entre o intervalo de misturas do estudo. Para obtenção dos valores numéricos K 5 e K 6 é necessário linearizar a equação para colocá-la na forma linear (equação de uma reta), permitindo assim o uso do Método dos Mínimos Quadrados. Para isso fazemos: K 5
+ K 6 .m =
10 3 C
Rearranjando, para o formato da equação da reta, temos: 10 C Y
3
=
K 6 . m a
X
+ K 5 b 17
3 - MÉTODO DE ESTUDO DE DOSAGEM DO IPT / EPUSP 3.1 - Fundamentos básicos do método I – LEI DE ABRAMS: Para um certo conjunto particular de materiais, a resistência do concreto é função da relação a/c. f cj
=
k 1 k 2
a/c
II – LEI DE LYSE (adaptada => k3 ≠ -1): Para um certo conjunto particular de materiais, a consistência do concreto, medida pelo abatimento do tronco de cone, é função da relação água/materiais secos “H” (em porcentagem) e é independe do traço seco (1:a:b). m
= k 4 .(a c ) + k 3
III – TEOR IDEAL DE ARGAMASSA SECA: Para um certo conjunto particular de materiais, existe um teor ideal de argamassa seca “ α” (em relação unitária) que é independente do traço (ou da resistência requerida). Por definição:
α
=
(1 + a ) (1 + m)
Logo: a = α .(1 + m) − 1
,
b = m−a
IV – CÁLCULO DO CONSUMO DE CIMENTO: O consumo de cimento (em kg por metro cúbico de concreto) pode ser determinado a partir do ensaio de massa específica do concreto ( ρ cf ) e do traço (1:a:b:a/c) através da expressão: C =
1000 .ρ cf (1 + a + b + a c )
e
1
Teor _ de _ ar _(%) = 100 − 0,1.C .
ρ c
+
a ρ a
+
b ρ b
+ a c
V – LEI DE MOLINARI: O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o valor do traço seco “m” através de uma curva do tipo: C =
1000 k 5
+ k 6 .m
3.2- Principais Requisitos do Projeto Estrutural - Resistência característica à compressão do concreto; - Relação a/c máxima em função da agressividade do meio; - Abatimento pelo ensaio do tronco de cone; - Dimensão máxima característica do agregado. 3.3 - Dados Preliminares Necessários (para se fazer uma estimativa da relação água/materiais secos “H” e do teor ideal de argamassa seca “ α” antes da determinação experimental desses parâmetros)
- Conhecimento do tipo e classe do cimento a ser utilizado; - Avaliação visual do tipo de agregado a ser utilizado e de sua dimensão máxima característica. 18
3.4 - Etapas do Estudo de Dosagem I - Ensaios preliminares => simples avaliação visual II - Estimativa do “H” para um traço 1:5 III - Determinação experimental do teor de argamassa seca ideal “ α” e da relação água/materiais secos “H” de traço 1:5, acrescentando-se aos poucos cimento, areia e água para o ajuste da trabalhabilidade. Fixa-se o “ α” para todos os traços a serem dosados. O valor de "H" encontrado serve como estimativa do valor real necessário para o abatimento. IV – Mistura de 3 traços, sendo eles : 1:3,5 – 1: 5,0 – 1:6,5 Mede-se as massas específicas desses concretos e moldam-se corpos-de-prova para as idades de 3, 7, 28 e 91 dias V – Construção do diagrama de dosagem
3.5 - Recomendações quanto ao abatimento dos concretos Elemento estrutural Laje Viga e parede armada Pilar do edifício Paredes de fundação, sapatas, tubulões
Abatimento (mm) Pouco armada Muito armada ≤ 60 + 10 ≤ 70 + 10 ≤ 60 + 10 ≤ 80 + 10 ≤ 60 + 10 ≤ 80 + 10 ≤ 60 + 10
≤ 70 + 10
observação.: Para aceitação do concreto na obra utiliza-se esses limites de + 10 mm. Entretanto, no Estudo de Dosagem feito em laboratório, é possível e recomendável utilizar-se de uma faixa menor de aceitação, de + 5 mm.
19
3.6 - Determinação da composição ideal entre agregados graúdos - Considera como sendo a melhor composição aquela que produz o maior da massa unitária no estado compactado seco Tabela exemplo da determinação da composição “ideal” entre brita 1 e brita 2 através da massa unitária no estado compactado seco Massa Massa da acréscimo unitária no brita 2 brita 2 brita 1 mistura no de brita 1 estado * recipiente (kg) (kg) brita 1 + brita 2 compactado (kg) (kg) (kg/dm3) 1,0
30
0,9
30
0,8
30
0,7
30
0,6
30
0,5
30
0,4
30
0,3
30
3,33 7,50 12,86 20,00 30,00 45,00 70,00
+ 3,33 + 4,17 + 5,36 + 7,14 + 10,00 + 15,00 + 25,00
24,50
1,63
24,80
1,65
25,40
1,69 (escolhido)
25,50
1,69
* Recipiente com volume de 15 dm 3
3.7 - Determinação experimental do teor ideal de argamassa seca de uma mistura com 30 kg de agregado graúdo Tabela dos acréscimos de cimento e areia Quantidade de areia Teor de argamassa (%)
Traço
(kg)
Quantidade de cimento (kg)
(1 : a : b)
acréscimo na mistura
Massa total
acréscimo na mistura
Massa total
35
1: 1,10 : 3,90
8,46
7,69
37
1 : 1,22 : 3,78
1,22
9,68
0,25
7,94
39
1 : 1,34 : 3,66
1,31
10,99
0,25
8,20
41
1 : 1,46 : 3,54
1,37
12,36
0,27
8,47
43
1 : 1,58 : 3,42
1,50
13,86
0,30
8,77
45
1 : 1,70 : 3,30
1,59
15,45
0,32
9,09
47
1 : 1,82 : 3,18
1,72
17,17
0,34
9,43
49
1 : 1,94 : 3,06
1,85
19,02
0,37
9,80
51
1 : 2,06 : 2,94
2,00
21,02
0,40
10,20
53
1 : 2,18 : 2,82
2,17
23,19
0,44
10,64
55
1 : 2,30 : 2,70
2,36
25,55
0,47
11,11
57
1 : 2,42 : 2,58
2,59
28,14
0,52
11,63
59
1 : 2,54 : 2,46
2,84
30,98
0,57
12,20
61
1 : 2,66 : 2,34
3,12
31,10
0,62
12,82
63
1 : 2,78 : 2,22
3,47
37,57
0,69
13,51
65
1 : 2,90 : 2,10
3,86
41,43
0,78
14,29
Quantidade de água (kg) acréscimo na mistura
Relação a/c
Massa total
20
Tabela contendo os traços em função do teor ideal de argamassa encontrado Teor de argamassa (%)
Traços desdobrados a partir dos traços brutos 1:3,5 , 1:5,0 e 1:6,5 1:a:b 1:3,5
1:5,0
1:6,5
35
1 : 0,58 : 2,92
1 : 1,10 : 3,90
1 : 1,63 : 4,87
37
1 : 0,67 : 2,83
1 : 1,22 : 3,78
1 : 1,78 : 4,72
39
1 : 0,76 : 2,74
1 : 1,34 : 3,66
1 : 1,93 : 4,57
41
1 : 0,85 : 2,65
1 : 1,46 : 3,54
1 : 2,08 : 4,42
43
1 : 0,94 : 2,56
1 : 1,58 : 3,42
1 : 2,23 : 4,27
45
1 : 1,03 : 2,47
1 : 1,70 : 3,30
1 : 2,38 : 4,12
47
1 : 1,12 : 2,38
1 : 1,82 : 3,18
1 : 2,53 : 3,97
49
1 : 1,21 : 2,29
1 : 1,94 : 3,06
1 : 2,68 : 3,82
51
1 : 1,30 : 2,20
1 : 2,06 : 2,94
1 : 2,83 : 3,67
53
1 : 1,39 : 2,11
1 : 2,18 : 2,82
1 : 2,98 : 3,52
55
1 : 1,48 : 2,02
1 : 2,30 : 2,70
1 : 3,13 : 3,37
57
1 : 1,57 : 1,93
1 : 2,42 : 2,58
1 : 3,28 : 3,22
59
1 : 1,66 : 1,84
1 : 2,54 : 2,46
1 : 3,43 : 3,07
61
1 : 1,75 : 1,75
1 : 2,66 : 2,34
1 : 3,58 : 2,92
63
1 : 1,84 : 1,66
1 : 2,78 : 2,22
1 : 3,73 : 2,77
65
1 : 1,93 : 1,57
1 : 2,90 : 2,10
1 : 3,88 : 2,62
3.8 - Lubrificação da betoneira (caso o estudo se destine a concretos produzidos na obra) O abatimento do concreto é muito sensível ao teor de pasta da mistura. Como a pasta do concreto tende a aderir às paredes da betoneira, no caso de misturas de pequeno volume, é recomendável fazer uma lubrificação prévia da mesma com um concreto traço 1:2:3, com 1 kg de cimento. Para isso, molha-se previamente a betoneira, acrescenta-se a brita, um pouco de água e a areia. Acrescenta-se mais água até que se forme um concreto que tenha aparência de um concreto com a trabalhabilidade que se pretende produzir. Retira-se esse concreto com a betoneira em movimento, pára-se a betoneira e retira-se o restante de concreto com uma colher de pedreiro, deixando-se uma camada de pasta aderida por toda a cuba. 3.9 - Seqüência de mistura No preparo dos concretos, após a lubrificação da betoneira, coloca-se primeiramente a brita, um pouco de água, o cimento, mais água, a areia, mais água aos poucos até alcançar o abatimento desejado. O ensaio de abatimento é feito quantas vezes for necessário.
21
4 – A CURVA DE GAUSS Fenômenos naturais representados por variáveis aleatórias de tendência central possuem boa aderência à Curva de Gauss. A resistência à compressão do concreto é um fenômeno aleatório natural de tendência central, portanto, a Curva de Gauss é uma boa ferramenta matemática para avaliação de riscos. Mas, primeiramente, é importante definir alguns conceitos. Então vamos lá: - Fenômeno natural: todo fenômeno governado por leis da natureza, ou seja, leis da física e da química. Por exemplo: velocidade das moléculas de água dentro de um copo, altura das pessoas, peso das pessoas, resistência do concreto, etc. Fenômeno não natural (ou social) é todo aquele governado por decisões humanas. Por exemplo: Salário de presidentes de empresas privadas, riqueza pessoal, taxa de suicídios entre adolescentes, etc. - Variável aleatória: toda variável cujas alterações são resultantes da influência de vários fenômenos agindo de modo independente ao mesmo tempo. - Variável de tendência central: toda variável cujos valores tendem para um valor médio sendo os desvios, em relação à média, na maioria das vezes relativamente pequenos. - Avaliação de riscos: cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento indesejável. Por exemplo: Probabilidade de ser atingido por um raio, probabilidade de um jovem de 18 anos do sexo masculino estudante de engenharia civil bater o carro a cada ano, probabilidade de uma betonada de concreto resultar numa resistência inferior à metade da esperada, etc. Um modo de descrever o comportamento probabilístico de eventos aleatórios é fazendo a distribuição gráfica da ocorrência dos eventos na forma de um gráfico de barras verticais conforme mostra a figura 1. Neste exemplo a categoria altura foi dividida entre 7 intervalos e os todos os alunos foram classificados conforme suas alturas em um desses intervalos. Essa classificação, ou seja, a computação do número de eventos (eixo y) ocorridos em cada categoria (eixo x) é denominada de distribuição, pois é uma forma de distribuir, neste caso, distribuir os resultados conforme a regra criada para classificá-los. Este tipo de distribuição chama-se distribuição descontínua, porque qualquer dado “cabe” dentro de um intervalo relativamente grande (não infinitesimal). Esses intervalos são como gavetas de um armário onde as coisas são organizadas conforme seu tamanho. Se distribuirmos os dados em intervalos infinitesimais, então a distribuição será denominada contínua. 44
22 18 8
5
2
1 131-140
141-150
151-160
161-170
171-180
181-190
191-200
Altura (cm)
Figura 1 – Distribuição do número de alunos de uma classe com 100 exemplares conforme a altura
22
Veja que, sendo a altura uma variável aleatória natural de tendência central, a maioria dos alunos (44 %) possui altura entre 161 e 170 cm, intervalo que também deve conter o valor médio da altura dos alunos. Observe também, pelo mesmo motivo, que não há nenhum aluno com altura de na faixa de 1 milímetro ou com 10 km de altura. Em fenômenos não naturais (sociais), como por exemplo, fenômenos econômicos, distribuições alargadas são muito comuns. O mesmo conjunto de dados do exemplo anterior pode ser distribuído em intervalos um pouco menores, como mostra a figura 2. Observe como o desenho formado pela união das colunas lembra a forma de um sino (ou chapéu). Podemos ir construindo outros gráficos com intervalos cada vez menores se tivermos número suficiente de eventos para distribuir nos intervalos. Imagine que ao invés da amostra do exemplo anterior estivéssemos trabalhando com uma amostra de 100.000 estudantes brasileiros matriculados em um curso superior e os intervalos de altura fossem de 1 mm. Então, um determinado exemplar, por exemplo um certo aluno chamado João da Silva, se tivesse 1765 mm de altura, seria esse dado colocado no intervalo que coubesse esse valor.
Figura 2 – Mesmos dados distribuídos em intervalos menores
Note que, quanto menor o intervalo, menor a porcentagem relativa do mesmo. Numa distribuição com intervalos infinitesimais (contínua), a porcentagem de cada intervalo é também infinitesimal e, desse modo, perde o sentido físico. No entanto, numa distribuição com intervalos infinitesimais podemos, ao invés de perguntar o número de eventos dentro daquele intervalo infinitesimal (que é aproximadamente zero), podemos perguntar qual o número de eventos que está compreendido entre um conjunto de intervalos infinitesimais. Por exemplo, qual o número de alunos com altura de no máximo 150 cm? Repare que na figura 2 cada quadrado representa um exemplar, ou seja, um aluno. Logo a soma das alturas das colunas dos intervalos que contêm os exemplares que satisfazem os quesitos da 23
pergunta corresponde ao número de alunos, e a resposta é 6, ou seja, como a amostra possui 100 alunos, 6 % do número total de alunos possuem altura de no máximo 150 cm. O exemplo da figura 2 foi proposto com uma amostra de 100 exemplares para facilitar a compreensão. Entretanto, se a amostra tivesse, por exemplo, 200 exemplares, a curva teria a mesma forma, a diferença é que seriam 200 quadrados, cada um deles representando um exemplar. Do mesmo modo a amostra poderia ser formada por 758 exemplares e abaixo da curva seriam então 758 quadrados, cada um representando um exemplar, ou qualquer outro número. O que se pode perceber é que a área total abaixo da curva é formada pela soma de todos os quadrados (toda a amostra), cada quadrado representando um exemplar. A contagem do número de quadrados em um certo intervalo, dividido pelo total de exemplares, vezes 100, dá a freqüência de valores nesse intervalo. Em função dessa interpretação, ao invés de plotarmos a altura das colunas como número de exemplares, podemos plotá-las em termos de porcentagem da amostra (freqüência), ou como relação unitária, o que é mais comum. Desse modo, se a freqüência em um certo intervalo (coluna ou soma de colunas) for, por exemplo, 0,23, isso significa que 23 % dos eventos se dão com valores dentro de tal intervalo. A soma das freqüências de todas as colunas de um mesmo gráfico dará sempre 1, ou seja, 100 %. Observe que até agora estamos falando somente de gráficos de colunas. Se os intervalos forem infinitesimais ainda assim o conjunto de colunas de largura infinitesimal definirá um desenho na forma de sino. Essa forma pode ser descrita matematicamente de vários modos. A equação preferida é da Curva de Gauss, porque é relativamente simples, e também porque utiliza como coeficientes para particularização de uma determinada amostra somente dois números. Esses números são a média de valores da amostra e um índice de desvio, um número que representa a tendência apresentada pelo fenômeno em desviar-se de sua média. Esse índice é denominado de desvio-padrão e tem como origem histórica a Curva de Gauss. A função matemática que descreve a Curva de Gauss, chamada de função densidade de probabilidade, possui a seguinte configuração: 1
f ( x) = σ
onde:
2π
e
−
( x − µ ) 2 2σ 2
f(x) = densidade de probabilidade (1) de eventos de valor x µ = média da população; σ = desvio-padrão da população. (1)
Observação: Densidade de probabilidade não é o mesmo que probabilidade (freqüência). Não há um sentido intuitivo para essa variável. A probabilidade (freqüência) de ocorrência de eventos de valores dentro do intervalo entre x e x + ∆x é de aproximadamente f(x).(x + ∆x), ou seja, a área abaixo da curva entre x e x + ∆x. Veja como é simples. Basta conhecer a média de uma população e sua tendência de desvio em relação à média para podermos construir uma equação matemática que descreve a ocorrência de eventos em qualquer intervalo não muito distante da média. Ou seja, basta o valor da média e do desvio-padrão para podermos calcular probabilidades, calcular os riscos de ocorrência de eventos indesejáveis. E melhor, não é preciso um número elevado de dados para construir a equação. Com uns poucos resultados tem-se uma boa aproximação. Quanto maior o número de dados melhor será a equação que descreve um fenômeno 24
particular. Com 30 resultados (tamanho de uma amostra) a precisão se torna praticamente igual àquela conseguida com todo o universo (todos os eventos de um fenômeno analisado). A Curva de Gauss não surgiu por acaso. Os matemáticos (não foi somente Gauss) procuravam por uma equação que tivesse a forma de sino e que pudesse descrever a distribuição estatística dos valores de um fenômeno aleatório a partir de sua média e de sua tendência de desvio em relação à média. Conseguiu-se encontrar uma equação relativamente simples, particularizada através da média “µ” e do índice “σ” que é função da dispersão dos valores. Verificou-se que o índice “σ” poderia ser obtido a partir de uma amostra que tivesse pelo menos de 30 resultados usando a seguinte equação: σ
=
( x1 − x ) 2
+ ( x 2 − x ) 2 + ( x3 − x ) 2 + L + ( x n − x ) 2 n
onde: x1 , x2 , x3 , L, x n =
valores de cada exemplar;
x = valor médio; n = número de exemplares.
Esse valor “σ” é denominado de desvio-padrão da população. Se a amostra contiver menos que 30 exemplares, então o desvio-padrão será chamado de desvio-padrão da amostra, representado pela letra “S”, sendo seu valor obtido através da seguinte equação: S =
( x1 − x ) 2
+ ( x 2 − x ) 2 + ( x3 − x ) 2 + L + ( x n − x ) 2 n −1
A figura 3 mostra como o gráfico da função densidade de probabilidade pode ser utilizado para cálculo de probabilidades. Note que para um certo fenômeno de média “µ” a probabilidade de ocorrência de eventos com valores entre µ-2σ e µ+2σ é de 95,4%, pois a área abaixo da curva entre esses valores de x é de 95,4 % da área total abaixo da curva que representa a totalidade de eventos. Por exemplo, imagine que a média de altura de alunos seja 170 cm e o desvio-padrão das alturas seja de 10 cm. Então, podemos afirmar que 95,4 % dos alunos possuirão alturas entre 150 e 190 cm. Ou podemos afirmar que somente 4,6 % dos alunos (100 % - 95,4 %) possuem alturas menores que 150 cm (µ-2σ) e maiores que 190 cm (µ+2σ). Ainda que somente 2,3 % dos alunos (4,6 % ÷ 2) possuem alturas menores que 150 cm ou que somente 2,3 % dos alunos possuem alturas maiores que 190 cm. Do mesmo modo podemos dizer que 68,3 % dos alunos possuirão alturas entre 160 cm (µ-1σ) e 180 cm (µ+1σ). Essa é uma propriedade da Curva de Gauss, não importa se a tendência de desvio do fenômeno, em relação à média, é pequeno ou grande.
Figura 3 – Porcentagens das áreas abaixo da curva para intervalos entre + 1 σ e + 2 σ. 25
A figura 4 (a) mostra duas distribuições com médias diferentes, mas de mesmo desviopadrão. Poderia ser, por exemplo, a distribuição dos alunos do sexo feminino cuja média seria µ1 e dos alunos do sexo masculino cuja média seria µ 2. Em média os dois grupos, separados por sexo, possuem alturas médias diferentes, mas ambos possuem desvios em relação à média semelhantes. Esse é um exemplo bem próximo da realidade. A figura 4 (b) mostra a distribuição de valores de três grupos de mesma média, mas com tendências de desvios em relação à média diferentes. Um exemplo poderia ser a distribuição da variável tamanho de pães produzidos por 3 diferentes fábricas de pães de fôrma. A fábrica com melhor controle sobre a produção (melhor qualidade) possui um σ pequeno, enquanto a fábrica com controle de qualidade ruim irá apresentar um σ grande.
a) Médias diferentes e desvios-padrão iguais. b) Médias iguais e desvios-padrão diferentes. Figura 4 – Curvas de Gauss de diferentes amostras caracterizadas por suas médias e desviospadrão.
Percebe-se então que, para calcular probabilidades relacionadas a um fenômeno aleatório que segue a distribuição de Gauss, basta calcular a área abaixo da curva de Gauss do fenômeno, no intervalo de interesse. Seria fácil se a função de Gauss fosse integrável, mas não é, pelo menos não por métodos matemáticos convencionais. Uma boa solução é utilizar a capacidade dos computadores em realizar cálculos simples com grande rapidez. Para calcular a área abaixo em um certo intervalo de interesse é só dividir essa área em vários trapézios de altura de altura diminuta ∆x e fazer a soma. Quanto menor o ∆x maior precisão se obtêm para o cálculo da área. Mas em tratando-se de cálculos probabilísticos precisão é algo que não faz muito sentido. O que importa é que atualmente podemos fazer uma rotina simples com uma planilha eletrônica para efetuar esses cálculos. Mas antigamente isso não era possível. Para resolver o problema os matemáticos criaram um artifício. Inventaram a Curva de Gauss Padronizada, ou Curva Normal de Probabilidade, ou simplesmente Curva Normal. A Curva Normal é uma curva de distribuição de um fenômeno abstrato qualquer cuja média de valores é igual a zero e o desvio-padrão é igual a 1. Desse modo, o cálculo da área abaixo da curva pode ser calculado em termos de quantidades de quadrados de lado σ, ou seja, um quadrado desses mede 1 σ 2. Unidades de medida podem ser polegadas, pés, centímetros, km, etc., ou simplesmente sigma. Imagine um ladrilho cerâmico cujo lado mede 1 sigma. Imagine que você viva num país imaginário e a unidade de medida é o sigma (é como o metro). Então o ladrilho cerâmico possui área de 1 sigma quadrado, ou 1 σ 2. O desvio-padrão ao quadrado, ou σ 2, é chamado de variância. A área abaixo da curva de - ∞ a +∞ em uma curva normal possui área de 1 σ 2. Logo, se você souber a área abaixo da curva normal em termos de frações de 1 σ 2 , em qualquer intervalo de interesse em termos de número de sigmas, você saberá automaticamente a freqüência de ocorrência de eventos com valores nesse intervalo. A figura 5 mostra as Curvas de Gauss de quatro diferentes amostras onde há diferenças em termos de médias e variâncias. Note que uma das distribuições é a distribuição normal, pois possui a média igual a zero e o desvio-padrão 26
igual a 1. Na figura 6 vê-se a Curva Normal plotada de tal forma que o eixo da densidade de probabilidade possui a dimensão igual a 1, ou 1 sigma. A escala dos dois eixos é de 0,1, ou seja, cada quadrado possui lado de tamanho 0,1. Logo, a área abaixo da curva de - ∞ a + ∞ possui 100 quadrados.
Figura 5 – Curvas de Gauss de diferentes médias e variâncias.
1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 6 – Curva normal com eixo das ordenadas de dimensão igual a 1 desvio-padrão.
Se podemos saber a freqüência de ocorrência de eventos de um fenômeno abstrato de média µ = 0 e σ = 1 simplesmente contando os quadrados abaixo da curva dentro do intervalo de interesse, podemos utilizar essa mesma curva para calcular a freqüência provável de qualquer outra amostra com µ ≠ 0 e σ ≠ 1, desde que a amostra possua distribuição na forma de sino, fazendo a padronização da variável x. Ou seja, passamos a expressar a variável x em termos de desvio em relação à média, na forma de número de desvios-padrão da própria amostra. Essa padronização é feita do seguinte modo: Troca-se os valores de x pelo valor padronizado z fazendo: z i
=
xi
− µ σ
Por exemplo, caso se queira saber a freqüência provável de ocorrência de um evento de valor entre x 1 = 1,8 e x2 = 2,5 se a média da amostra é 2 e seu desvio-padrão é 0,71. Para isso calcula-se as variáveis padronizadas z 1 e z2 fazendo: z 1
=
1,8 − 2 0,71
= −0,28
e
z 2
=
2,5 − 2 0,71
= +0,70
27
A freqüência provável de ocorrência de um evento de valor entre x 1 = 1,8 e x2 = 2,5 será a mesma freqüência provável de ocorrência de um evento de valor entre z 1 =-0,28 e z2 =+0,70 , que é facilmente obtido da curva normal. Mas não é preciso ter uma curva normal plotada em um grande papel milimetrado e contar quadradinhos toda vez que precisar calcular uma freqüência provável. Desde o começo, quando ainda não haviam computadores, os matemáticos construíram as tabelas mostradas nas figuras 1 e 2 que contêm as freqüências acumuladas entre - ∞ e zi. Na tabela 1 estão as freqüências acumuladas para os casos em que zi for negativo e na tabela 2 quando for positivo. Resultado do exemplo será 36,83 %. Tabela 1 – Valores tabelados da f reqüência acumulada da curva normal para valores de zi < 0.
P(z < zi) quando z i < 0 z i Zi
- 0,0 - 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,4 - 0,5 - 0,6 - 0,7 - 0,8 - 0,9 - 1,0 - 1,1 - 1,2 - 1,3 - 1,4 - 1,5 - 1,6 - 1,7 - 1,8 - 1,9 - 2,0 - 2,1 - 2,2 - 2,3 - 2,4 - 2,5 - 2,6 - 2,7 - 2,8 - 2,9 - 3,0 - 3,1 - 3,2 - 3,3 - 3,4
=
xi
− µ σ
-0
- 0,01
- 0,02
- 0,03
- 0,04
- 0,05
- 0,06
- 0,07
0,5 0,4602 0,4207 0,3821 0,3446 0,3086 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841 0,1587 0,1357 0,1151 0,0969 0,0808 0,0669 0,0549 0,0446 0,0360 0,0288 0,0228 0,0180 0,0140 0,0108 0,0083 0,0063 0,0048 0,0036 0,0027 0,0020 0,0014 0,0011 0,0008 0,0006 0,0004
0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409 0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814 0,1563 0,1335 0,1132 0,0952 0,0793 0,0656 0,0538 0,0437 0,0352 0,0282 0,0223 0,0175 0,0136 0,0105 0,0081 0,0061 0,0046 0,0035 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004
0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0,3373 0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788 0,1539 0,1314 0,1113 0,0935 0,0779 0,0643 0,0527 0,0428 0,0345 0,0275 0,0218 0,0171 0,0133 0,0103 0,0079 0,0060 0,0045 0,0034 0,0025 0,0018 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004
0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0,3336 0,2981 0,2644 0,2327 0,2033 0,1762 0,1515 0,1293 0,1094 0,0918 0,0764 0,0631 0,0516 0,0419 0,0337 0,0269 0,0213 0,0167 0,0130 0,0100 0,0076 0,0058 0,0044 0,0033 0,0024 0,0018 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004
0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0,3300 0,2946 0,2611 0,2297 0,2005 0,1736 0,1492 0,1272 0,1075 0,0902 0,0750 0,0618 0,0506 0,0410 0,0330 0,0263 0,0208 0,0163 0,0126 0,0097 0,0074 0,0056 0,0042 0,0032 0,0024 0,0017 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0004
0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264 0,2912 0,2579 0,2267 0,1977 0,1711 0,1469 0,1251 0,1057 0,0886 0,0736 0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0257 0,0203 0,0159 0,0123 0,0095 0,0072 0,0055 0,0041 0,0031 0,0023 0,0017 0,0012 0,0009 0,0007 0,0005 0,0004
0,4761 0,4364 0,3974 0,3594 0,3228 0,2878 0,2546 0,2237 0,1949 0,1686 0,1446 0,1231 0,1039 0,0870 0,0722 0,0594 0,0485 0,0393 0,0315 0,0251 0,0198 0,0155 0,0120 0,0092 0,0070 0,0053 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0012 0,0009 0,0007 0,0005 0,0004
0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192 0,2844 0,2514 0,2207 0,1922 0,1661 0,1424 0,1210 0,1021 0,0854 0,0708 0,0583 0,0475 0,0384 0,0308 0,0245 0,0193 0,0151 0,0117 0,0090 0,0068 0,0052 0,0039 0,0029 0,0022 0,0016 0,0012 0,0009 0,0006 0,0005 0,0004
- 0,08 0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156 0,2810 0,2483 0,2177 0,1895 0,1636 0,1401 0,1190 0,1003 0,0839 0,0695 0,0571 0,0466 0,0376 0,0301 0,0239 0,0188 0,0147 0,0114 0,0087 0,0067 0,0050 0,0038 0,0028 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,0006 0,0005 0,0003
- 0,09 0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2776 0,2451 0,2148 0,1868 0,1611 0,1379 0,1171 0,0986 0,0823 0,0682 0,0560 0,0456 0,0368 0,0295 0,0234 0,0184 0,0144 0,0111 0,0085 0,0065 0,0049 0,0037 0,0027 0,0020 0,0015 0,0011 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003
28
Tabela 2 – Valores tabelados da f reqüência acumulada da curva normal para valores de zi > 0.
P(z < zi) quando z i > 0 z i Zi
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
0 0,5 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6914 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9031 0,9192 0,9331 0,9451 0,9554 0,9640 0,9712 0,9772 0,9820 0,9860 0,9892 0,9917 0,9937 0,9952 0,9964 0,9973 0,9980 0,9986 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996
=
xi
− µ σ
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8437 0,8665 0,8868 0,9048 0,9207 0,9344 0,9462 0,9563 0,9648 0,9718 0,9777 0,9825 0,9864 0,9895 0,9919 0,9939 0,9954 0,9965 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9992 0,9994 0,9996
0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6627 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8887 0,9065 0,9221 0,9357 0,9473 0,9572 0,9655 0,9725 0,9782 0,9829 0,9867 0,9897 0,9921 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996
0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7356 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8707 0,8906 0,9082 0,9236 0,9369 0,9484 0,9581 0,9663 0,9731 0,9787 0,9833 0,9870 0,9900 0,9924 0,9942 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996
0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264 0,8508 0,8728 0,8925 0,9098 0,9250 0,9382 0,9494 0,9590 0,9670 0,9737 0,9792 0,9837 0,9874 0,9903 0,9926 0,9944 0,9958 0,9968 0,9976 0,9983 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9996
0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7421 0,7733 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8943 0,9114 0,9264 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9743 0,9797 0,9841 0,9877 0,9905 0,9928 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9993 0,9995 0,9996
0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7122 0,7454 0,7763 0,8051 0,8314 0,8554 0,8769 0,8961 0,9130 0,9278 0,9406 0,9515 0,9607 0,9685 0,9749 0,9802 0,9845 0,9880 0,9908 0,9930 0,9947 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9988 0,9991 0,9993 0,9995 0,9996
0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7156 0,7486 0,7793 0,8078 0,8339 0,8576 0,8790 0,8979 0,9146 0,9292 0,9417 0,9525 0,9616 0,9692 0,9755 0,9807 0,9849 0,9883 0,9910 0,9932 0,9948 0,9961 0,9971 0,9978 0,9984 0,9988 0,9991 0,9994 0,9995 0,9996
0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8105 0,8364 0,8599 0,8810 0,8997 0,9161 0,9305 0,9429 0,9534 0,9624 0,9699 0,9761 0,9812 0,9853 0,9886 0,9913 0,9933 0,9950 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9995 0,9997
0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8132 0,8389 0,8621 0,8829 0,9014 0,9177 0,9318 0,9440 0,9544 0,9632 0,9705 0,9766 0,9816 0,9856 0,9889 0,9915 0,9935 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
29
5 – O CONTROLE DE QUALIDADE DO CONCRETO 5.1. CONCEITO DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA DO CONCRETO – fck Quando construímos uma estrutura, o fazemos baseados em uma expectativa de durabilidade e segurança. Podemos construir estruturas para durar 10 anos ou 1000 anos, mas quanto maior a exigência de durabilidade e menores forem os riscos admitidos, maiores serão os custos da obra. A essência da engenharia é estabelecer o equilíbrio custo admissível x segurança admissível. A engenharia utiliza as ferramentas da estatística para projetar as estruturas e controlar a execução das obras de tal forma que esse equilíbrio se mantenha. A resistência à compressão do concreto é uma variável aleatória de tendência central. Logo, os resultados dos ensaios de resistência à compressão de corpos-de-prova moldados durante uma produção possuem distribuição de freqüências que aderem à Curva de Gauss. Assim, a Curva de Gauss pode ser utilizada para estimar os riscos de uma produção de concreto não atingir a resistência necessária ao bom desempenho de uma estrutura. Desse modo é possível especificar as características de um traço do concreto de acordo com os riscos que aceitamos correr. Também podemos, após realizada a produção, verificar se o volume total produzido atende às especificações. A Resistência Característica à Compressão do Concreto (fck) é o valor, segundo a Curva de Gauss de Distribuição das Resistências, em relação a qual a probabilidade de existência de valores mais baixos é de 5 %. Esse valor estatístico é que é especificado como resistência à compressão do projeto. A Resistência Média (fc), relaciona-se com o fck segundo a expressão: fck = fc – 1,65.Sn onde,
fck = Resistência característica à compressão do concreto em MPa; fc = Resistência média à compressão do concreto em MPa; Sn = Desvio-padrão (da população se n ≥ 30 exemplares ou da amostra se n < 30). Observação: Costuma-se também incluir a letra “j” para indicar que a resistência se refere a uma certa idade de “j” dias. Por exemplo, a resistência média fcj, aos 28 dias, é representada pelo símbolo fc28.
A figura 1 ilustra um caso hipotético de produção de concreto cuja resistência média aos 28 dias resultou em fcj = 29 MPa, teve desvio-padrão Sn = 5,5 MPa e sua resistência característica foi exatamente igual ao valor especificado em projeto, ou seja, fck = 20 MPa.
Figura 1 – Distribuição de freqüência de resistências em que o fck = 20 MPa, Sn = 5,5 MPa e fcj = 29 MPa.
30
Resistência de Dosagem (fcd) é a resistência média especificada à compressão do concreto, que relaciona-se com o fck segundo a expressão: onde,
fcd = fck + 1,65.Sd
sendo que: Sd = Kn.Sn
fcd = Resistência média especificada à compressão do concreto em MPa; fck = Resistência característica à compressão do concreto em MPa; Sd = Desvio-padrão de dosagem. O Kn possui o seguinte valor, mostrado na tabela 1, em função do número “n” de exemplares utilizado para o calculo do desvio-padrão da produção: Tabela 1 – Kn em função do número de exemplares do cálculo de desvio-padrão da produção
n Kn
20 1,35
25 1,30
30 1,25
50 1,20
200 1,10
A resistência média especificada, como vimos, é um valor calculado em função de um valor adotado de desvio-padrão de dosagem, que por sua vez deve ser maior que o desviopadrão esperado da produção. Se tudo correr conforme o esperado, a resistência média do concreto produzido ficará próxima da média especificada e a resistência característica resultante (fckest) será maior que a resistência característica de projeto (fck). O uso da tabela 3 existia na antiga NBR 6118 (1978) que a suprimiu em função da responsabilidade pelos critérios de dosagem e controle de qualidade do concreto terem passado totalmente para a NBR 12655 (2006). Entretanto essa norma falha ao prescrever a utilização do valor do desvio-padrão simples quando deve utilizar o limite superior da faixa de desvios-padrão prováveis referente à amostra estudada. A figura 2 ilustra a distribuição de freqüências de um caso hipotético em que a resistência característica estimada do lote é maior que a resistência característica especificada. E é assim mesmo que tem que ser pois, se programarmos para produzir concretos cujo fck esperado seja igual ao fck de projeto erraremos em 50 % dos casos.
Figura 2 – fck est = 25 MPa é maior que o fck de projeto que é 20 MPa.
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Exercícios: I - Certa usina de concreto produz um concreto de resistência à compressão média aos 28 dias de 25 MPa. O desvio-padrão estimado de seu processo de produção é de 3 MPa. Considerando o desvio-padrão estimado como o desvio-padrão da produção determine o valor da resistência característica desse concreto (fck), ou seja, a resistência para a qual 5% dos resultados sejam menores que ele. Faça isso utilizando a tabela de freqüências da Curva Normal. II - Com os mesmos dados do problema anterior, mas um desvio-padrão de 5 MPa, determine o fck. III - Duas concreteiras A e B produzem concreto de fck = 20 MPa, mas a Concreteira A possui desvio-padrão de 3 MPa e a Concreteira B de 7 MPa. Pergunta-se: a) Qual a resistência média dos concretos produzidos por cada uma das usinas? b) Qual concreteira gasta mais cimento para produzir concreto de fck = 20 MPa? c) Qual a melhor concreteira sob o ponto de vista do consumidor? d) Determine o valor da resistência à compressão para a qual 1 % dos resultados sejam menores que ele. IV - Dada uma produção de concreto de fck = 20 MPa e desvio-padrão de 5 MPa, determine o valor de cálculo da resistência do concreto após utilizar o coeficiente de minoração do concreto γc = 1,4 e calcule a probabilidade de ocorrência de betonadas com concretos de resistência menor que a resistência de cálculo. Observação: Numa produção industrial define-se como lote toda uma quantidade do produto produzido, quantidade esta que poderá ser aceita ou rejeitada pelo controle de qualidade conforme demonstre estar conforme ou não conforme com os padrões estipulados pela fábrica. O tamanho do lote depende da variabilidade do processo, dos custos de controle e dos custos de rejeição. Uma amostra é um conjunto de exemplares (eventos) que representa um lote.
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5.2. O CONTROLE DE ACEITAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO SEGUNDO A NORMA NBR 12.655 (2006) A norma NBR 12655 (2006) trata do preparo, controle e recebimento do concreto. No texto a seguir extraímos os conteúdos mais importantes, especialmente os que tratam do controle de aceitação. O texto e as numerações são os mesmos da NBR 12.655 (2006), não possuindo relação com as numerações da apostila. O formato de letra monotype corsiva delimita a parte da apostila cujos textos foram extraídos integralmente da NBR 12655 (2006). (início) . . . 5.6.3.1 – Condições de preparo do concreto O cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definidas a seguir: a) condição A (aplicável às classes C10 até C80); o cimento e os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados; b) condição B: - aplicável às classes C10 até C25: o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 5.4; - aplicável às classes C10 até C20: o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado miúdo é corrigido através da curva de inchamento e stabelecida especificamente para o material utilizado; c) condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em volume e sua quantidade é corrigida em função da estimativa da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto, conforme disposto na ABNT NBR NM 67 ou outro método normalizado. . . . 5.6.3.3 Concreto com desvio-padrão desconhecido No início da obra, ou em qualquer outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão S d , deve-se adotar para o cálculo da resistência de dosagem o valor apresentado na tabela 6,de acordo com a condição de preparo (ver 5.6.3.1), que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Tabela 6 – desvio-padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto Condição de preparo do concreto Desvio-padrão de dosagem (MPa) A 4,0 B 5,5 (1) C 7,0 (1) Para a condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os concretos de classe C15 o consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico de concreto.
. . . 6.2 – Ensaios de resistência à compressão Os resultados dos ensaios de resistência, conforme a NBR 5739, realizados em amostras formadas como descrito em 6.2.1 e 6.2.2, devem ser utilizados para aceitação ou rejeição dos lotes.
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6.2.1 Formação de lotes A amostragem do concreto para ensaios de resistência à compressão deve ser feita dividindo-se a estrutura em lotes que atendam a todos os limites da tabela 7. De cada lote deve ser retirada uma amostra, com número de exemplares de acordo com o tipo de controle (ver 6.2.3). Tabela 7 – Valores para a formação de lotes de concreto Solicitação principal dos elementos da estrutura
Limites superiores
Compressão ou compressão e flexão Flexão simples 3 Volume de concreto 50 m 100 m 3 Número de andares 1 1 (1) Tempo de concretagem 3 dias de concretagem (1) Este período deve estar compreendido no prazo total máximo de 7 dias, que inclui eventuais interrupções para tratamento de juntas. 6.2.2 Amostragem As amostras devem ser coletadas aleatoriamente durante a operação de concretagem, conforme a NBR NM 33. Cada exemplar é constituído por dois corpos-de-prova da mesma amassada, conforme a NBR 5738, para cada idade de rompimento, moldados no mesmo ato. Toma-se como resistência do exemplar o maior dos dois valores obtidos no ensaio do exemplar. 6.2.3 Tipos de controle da resistência do concreto Consideram-se dois tipos de controle de resistência: o controle estatístico por amostragem parcial e o controle do concreto por amostragem total. Para cada um destes tipos é prevista uma forma de cálculo do valor estimado da resistência característica, f ckest , dos lotes de concreto. 6.2.3.1 Controle estatístico do concreto por amostragem parcial Para este tipo de controle, em que são retirados exemplares de algumas betonadas de concreto, as amostras devem ser de no mínimo 6 exemplares para os concretos do Grupo I (classes até C50, inclusive) e 12 exemplares para os concretos do Grupo II (classes superiores a C50), c onforme define a NBR 8953: a) para lotes com números de exemplares 6 compressão (f ckest ), na idade especificada, é dado por: fck est
=
2.( f 1 + f 2
m
onde:
≤ n < 20, o valor estimado da resistência característica à
+ L + f m−1 ) − f m m −1
n
= . Despreza-se o valor mais alto de n, se for ímpar; 2
f 1, f 2 , . . . , f m = valores das resistências dos exemplares, em ordem crescente. Não se deve tomar para f ckest valor menor que Ψ6 .f 1, adotando-se para Ψ6 os valores da tabela 8, em função da condição de preparo do concreto e do número de exemplares da amostra, admitindo-se interpolação linear. b) para lotes com número de exemplares n ≥ 20: f ckest = f cm – 1,65 . S d onde: f cm é a resistência média dos exemplares do lote, em megapascals; 34
S d é o desvio-padrão da amostra de n elementos, calculado com um grau de liberdade a menos [(n-1) no denominador da fórmula] em megapascals. Tabela 8 – Valores de Ψ6
Condição de Número de exemplares ( n ) preparo 2 3 4 5 6 7 8 10 12 A 0,82 0,86 0,89 0,91 0,92 0,94 0,95 0,97 0,99 B ou C 0,75 0,80 0,84 0,87 0,89 0,91 0,93 0,96 0,98 Nota – Os valores de n entre 2 e 5 são empregados para os casos excepcionais (ver 7.2.3.3).
14 1,00 1,00
≥ 16 1,02 1,02
6.2.3.2 Controle do concreto por amostragem total (100%) Consiste no ensaio de exemplares de cada amassada de concreto e aplica-se a casos especiais, a critério do responsável técnico pela obra (ver 4.4). Neste caso não há limitação para o número de exemplares do lote e o valor estimado da resistência característica é dado por: a) para n ≤ 20, f ckest = f 1; b) para n > 20, f ckest = f i . onde: i = 0,05 n. Quando o valor de i for fracionário, adota-se o número inteiro imediatamente superior. 6.2.3.3 Casos excepcionais Pode-se dividir a estrutura em lotes correspondentes a no máximo 10 m 3 e amostrá-los com número de exemplares entre 2 e 5. Nestes casos, denominados excepcionais, o valor estimado da re sistência característica é dado por: f ckest = Ψ6 . f 1 onde:
Ψ6 é dado pela tabela 8, para os núme ros de exemplares entre 2 a 5.
6.2.4 Aceitação ou rejeição dos lotes de concreto Os lotes de concreto devem ser aceitos, quando o valor estimado da resistência característica, calculado conforme 6.2.3, satisfizer a relação: f ckest ≥ f ck Em caso de existência de n ão-conformidade, devem ser obedecidos os critérios estabelecidos na NBR 6118. 7 Recebimento do concreto O concreto deve ser recebido, desde que atendidas todas as condições estabelecidas nesta norma. Em caso de existência de n ão-conformidade, devem ser obedecidos os critérios estabelecidos na NBR 6118. (fim)
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5.3 ESTRATÉGIAS PARA O PLANO DE AMOSTRAGEM DO CONCRETO Vimos que a NBR 12.655 (2006) admite amostragens parciais com diferentes tamanhos de amostra. Para o engenheiro que deve planejar a amostragem fica a dúvida. Com quantos exemplares devo formar a amostra parcial? Isso é função da relação entre custo do concreto x custo de laboratório. Para amostras menores há que se ter uma resistência de dosagem mais alta e vice-versa. A análise estatística não é muito simples e por isso não é conveniente sua descrição na presente apostila. A alternativa que propomos aqui é uma delimitação das regras da NBR 12.655 (2006) com o fim de facilitar a vida do engenheiro RT da obra e evitar algumas interpretações errôneas da norma (coisa bastante comum), durante a execução da obra, que possam resultar em amostras de tamanho insuficiente. A seguir vamos às sugestões: I - Concreto usinado (Betonadas em geral de 6 ou 8 m 3) a) Peças submetidas a esforços de compressão ou flexo-compressão (lotes de no máximo 50 m3) Exemplos desse tipo de peça estrutural: pilares, vigas de transição, blocos de coroamento de estacas ou tubulões, estacas tubulões, sapatas, etc. Utilizar sempre AMOSTRAGEM TOTAL => moldar 1 exemplar (2 corpos-de-prova) de cada betonada para ensaio aos 28 dias de idade. b) Peças submetidas somente a esforços de flexão (lotes de até 100 m 3) Exemplos : vigas, lajes, etc. Utilizar preferencialmente AMOSTRAGEM TOTAL mas pode ser economicamente interessante utilizar AMOSTRAGEM PARCIAL => moldar 6 exemplares por lote (total de 12 corpos-de-prova). II - Concreto produzido na obra com betoneiras de pequeno volume (menor que 6 m3) Utilizar AMOSTRAGEM PARCIAL => moldar sempre 6 exemplares por lote (total de 12 corpos-de-prova). Respeitar os seguintes limites: - 1 semana por lote; - Volume máximo por lote de 50 m 3 para peças submetidas a esforços de compressão ou flexo-compressão; - Volume máximo por lote de 100 m 3 para peças submetidas somente a esforços de flexão. III - Concreto usinado com complementações utilizando concreto produzido na obra Além das amostras dos lotes de concreto usinado não esquecer de formar pelo menos uma amostra composta por 6 exemplares a cada semana para o concreto complementar produzido na obra. Distribuir essa amostragem durante a semana.
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IV - Casos excepcionais Mesmo sabendo-se que a NBR 12655 (2006) admite a formação de amostras parciais com número de exemplares entre 2 e 5 para os casos de lotes com volumes menores que 10 m 3 , isso não é recomendável na prática, pois aumenta-se consideravelmente o risco de não aceitação automática de um lote conforme. A nossa recomendação é também formar essa amostra com 6 exemplares. Isso acontece, por exemplo, quando, após a concretagem e aceitação automática dos concretos de vários pavimentos, passa-se à última concretagem, do conjunto barriletecaixa d’água. Com um volume menor que 10 m 3 , pode-se optar por uma amostra menor que 6 exemplares. No entanto, se o concreto utilizado for o mesmo que os anteriores, e os fcks estimados com 6 exemplares foram somente ligeiramente superiores ao fck de projeto, quando a amostra for reduzida, a probabilidade de não aceitação vai ser aumentada consideravelmente. Para que isso não ocorra é necessário mudar o traço do concreto a fim de produzi-lo com uma resistência média maior. Resumindo: Na prática é mais fácil e mais barato fazer a amostragem com 6 exemplares e manter o mesmo traço.
Mudando de assunto. . . Sobre o controle aceitação do concreto fresco observe o que diz a norma americana ASTM C94/94M-04a – Standard Specification for Ready Mixed Concrete . . . Tolerâncias para o Slump Nominal Slump especificado (nominal) 50 mm ou menos 50 a 100 mm mais que 100 mm
Tolerância + 15 mm + 25 mm + 40 mm
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Exercícios de Controle de Aceitação de Estrutura de Concreto 1) Durante um controle da resistência do concreto da estrutura de um edifício cuja resistência característica aos 28 dias era 20 MPa, obteve-se os valores relacionados na tabela abaixo para o concreto das lajes e vigas do 9 o Pavimento Tipo que ao todo dava um lote de concreto usinado. O volume total de concreto das lajes e vigas do Pavimento Tipo era 96 m3 e foi totalmente misturado em caminhões betoneira de volume máximo de 6 m 3. Verifique se a estrutura será aceita automaticamente. Exemplar c.p. 1 c.p. 2
1 20,0 18,5
2 22,5 24,0
3 21,2 21,3
Resistência à compressão (MPa) 4 5 6 7 8 24,2 25,0 23,8 22,9 21,3 25,8 23,3 26,7 24,5 25,2
9 27,2 23,4
10 26,1 24,3
11 22,4 22,4
2) Verifique se a estrutura será aceita automaticamente para os mesmos dados do problema anterior sendo a única diferença o fato de que o volume total de concreto das lajes e vigas do Pavimento Tipo era de 66 m 3. 3) Um edifício de 10 pavimentos é concretado usando concreto de fck de projeto de 20 MPa produzido na obra em uma betoneira de volume útil de 2 m 3. O cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado miúdo é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado. As vigas e lajes de cada pavimento formam um lote de 88 m 3 em que são moldados 22 exemplares para ensaio à compressão cujo resultado à 28 dias do 4 o andar é apresentado na tabela abaixo. Verifique se a estrutura composta pelas vigas e lajes do 4 o andar pode ser aceita automaticamente. Exemplar c.p. 1 c.p. 2 Exemplar c.p. 1 c.p. 2
1 18,8 18,5
2 22,5 24,0
3 20,2 20,3
12 23,0 19,5
13 21,5 25,0
14 20,2 21,3
Resistência à compressão (MPa) 4 5 6 7 8 24,2 25,0 23,8 22,9 21,3 25,8 23,3 26,7 24,5 25,2 Resistência à compressão (MPa) 15 16 17 18 19 21,2 25,5 22,8 24,9 20,3 22,8 24,3 23,7 25,5 25,2
9 27,2 23,4
10 26,1 24,3
11 22,0 22,5
20 28,2 25,4
21 24,1 23,3
22 20,0 20,6
4) Faça a mesma verificação do exercício anterior considerando que só tivessem sido moldados os exemplares de 1 a 6 mostrados na tabela. 5) O conjunto de pilares do Pavimento Tipo do 3 o andar de um edifício com fck = 20 MPa a 28 dias possui volume total de 5,6 m 3. Eles foram concretados utilizando a produção de uma betoneira de volume nominal 320 l (volume útil de 250 litros) e condição de preparo do concreto tipo B. Foram moldados 2 exemplares cujos resultados do laboratório são apresentados na tabela abaixo. Verifique se a estrutura composta pelos pilares do 3 o andar será aceita automaticamente. Exemplar c.p. 1 c.p. 2
Resistência à compressão (MPa) 1 25,5 24,3
2 23,0 19,5 38
