Aportes de Jean Piaget y Zoltan Dienes a la Matemática
APORTES DE JEAN PIAGET A A MATEM!TI"A
INTROD#""I$N
Jean Piaget estudió las operaciones lógicas que subyacen a muchas de las actividades matemáticas básicas a las
que consideró prerrequisitos para la comprensión del número y de la medida. Aunque a Piaget no le preocupaban los problemas de aprendizaje de las matemáticas, muchas de sus aportaciones siguen vigentes en la enseñanza de las matemáticas elementales y constituyen un legado que se ha incorporado al mundo educativo de manera consustancial. a teor!a del número de Piaget presenta aspectos de gran alcance en cuanto a la manera en que educamos a nuestros niños y niñas. "l presente documento presenta una idea respecto del pensamiento lógico matemático en el sentido de que este pensamiento es construido por cada niño mediante la abstracción re#le$iva en donde la interacción social toma un papel preponderante. os niños pequeños son capaces de %reinventar& las matemáticas y son capaces de aprenderla aún desde antes de ingresar a la escuela. "l pensamiento lógico matemático es inventado por cada niño, es decir, es construido desde dentro hacia #uera y no puede ser descubierto desde el entorno o aprendido por transmisión, a e$cepción de los signos matemáticos, por ejemplo.
El CONOCIMIENTO LOGICO-MATEMATICO
"l conocimiento lógico matemático se compone de relaciones construidas por cada individuo internamente. El conocimiento lógico-matemático es el que no e$iste por s! mismo en la realidad 'en los objetos(. a #uente de
este razonamiento está en el sujeto y )ste la construye por abstracción re#le$iva. *e hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. "l ejemplo más t!pico es el número, si nosotros vemos tres objetos #rente a nosotros en ningún lado vemos el +tres+, )ste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha en#rentado a situaciones donde se encuentren tres objetos. "l conocimiento lógicomatemático es el que construye el niño al relacionar las e$periencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño di#erencia entre un objeto de te$tura áspera con uno de te$tura lisa y establece que son di#erentes. as operaciones lógico matemáticas requiere en el preescolar la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con objetos y sujetos y que a partir de una re#le$ión le permiten adquirir las nociones #undamentales de clasi#icación, seriación y la noción de número. "l adulto que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe plani#icar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con objetos reales, que sean su realidad- personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc. "l pensamiento lógico matemático comprende. Clasificación: constituye una serie de relaciones mentales en #unción de las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por di#erencias, se de#ine la pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases. "n conclusión las relaciones que se establecen son las semejanzas, di#erencias, pertenencias 'relación entre un elemento y la clase a la que pertenece( e inclusiones 'relación entre una subclases y la clase de la que #orma parte(. a clasi#icación en el niño pasa por varias etapasa. Alineamiento- de una sola dimensión, continuos o discontinuos. os elementos que escoge son heterog)neos.
b. /bjetos 0olectivos- colecciones de dos o tres dimensiones, #ormadas por elementos semejantes y que constituyen una unidad geom)trica.
c. /bjetos 0omplejos- 1guales caracteres de la colectiva, pero con elementos heterog)neos. *e variedades- #ormas geom)tricas y #iguras representativas de la realidad.
d. 0olección no 2igural- posee dos momentos. i. 2orma colecciones de parejas y tr!os- al comienzo de esta subetapa el niño todav!a mantiene la alternancia de criterios, más adelante mantiene un criterio #ijo. ii. 3egundo momento- se #orman agrupaciones que abarcan más y que pueden a su vez, dividirse en subcolecciones. 4. Seriación: "s una operación lógica que a partir de un sistemas de re#erencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus di#erencias, ya sea en #orma decreciente o decreciente. Posee las siguientes propiedadesa. 5ransitividad- 0onsiste en poder establecer deductivamente la relación e$istente entre dos elementos que no han sido comparadas e#ectivamente a partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente. b. 6eversibilidad- "s la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores. a seriación pasa por las siguientes etapas•
Primera etapa- Parejas y 5r!os '#ormar parejas de elementos, colocando uno pequeño y el otro grande( y "scaleras y 5echo 'el niño construye una escalera, centrándose en el e$tremo superior y descuidando la l!nea de base(.
•
3egunda etapa- 3erie por ensayo y error 'el niño logra la serie, con di#icultad para ordenarlas
•
completamente(. 5ercera etapa- el niño realiza la seriación sistemática.
7. Número: es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento #!sico o social, ya que no se e$trae directamente de las propiedades #!sicas de los objetos ni de las convenciones, sino que se construye a trav)s de un proceso de abstracción re#le$iva de las relaciones entre los conjuntos que e$presan número. 3egún Piaget, la #ormación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la clasi#icación y la seriación8 por ejemplo, cuando agrupamos determinado número de objetos o lo ordenamos en serie. as operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando se logra la noción de la conservación, de la cantidad y la equivalencia, t)rmino a t)rmino. 0onsta de las siguientes etapasa. Primera etapa '9 años(- sin conservación de la cantidad, ausencia de correspondencia t)rmino a t)rmino. b. 3egunda etapa '9 a : años(- "stablecimiento de la correspondencia t)rmino a t)rmino pero sin equivalencia durable. c. 5ercera etapa- conservación del número.
LA TEORÍA DEL NÚMERO DE PIAGET
3egún Piaget, el número es una estructura mental que construye cada niño mediante una aptitud natural para pensar, en vez de aprenderla del entorno. "sto nos lleva a pensar, que por ejemplo, no hace #alta enseñar la adición a los niños y niñas del primer nivel y que es más importante proporcionarles oportunidades que les haga utilizar el razonamiento num)rico. Para Piaget, el número es una s!ntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre objetos. ;na es el orden y la otra la inclusión jerárquica. Piaget entend!a por orden, la única manera de asegurarnos de no pasar por alto ningún objeto o de no contar el mismo más de una vez es poni)ndolos en orden. 3in embargo, el niño no tiene que poner los objetos literalmente
en un orden especial para establecer entre ellos una relación de orden. o importante es que los ordene mentalmente. a reacción de los niños pequeños a las tareas de inclusión de clases nos ayuda a comprender lo di#!cil que es construir la estructura jerárquica. *espu)s de muchos ejemplos Piaget e$plicó la consecución de la estructura jerárquica de la inclusión de clases mediante el aumento de la movilidad del pensamiento del niño. *e ah! la importancia que tiene para los niños establecer todo tipo de relaciones entre todo tipo de contenidos. 0uando los niños establecen relaciones entre todo tipo de contenidos, su pensamiento se hace más móvil, y uno de los resultados de esta movilidad es la estructura lógicomatemática del número.
LA CONSERVACIÓN DE CANTIDADES NUMÉRICAS
a conservación de las cantidades num)ricas es la capacidad de deducir 'mediante la razón( que la cantidad de objetos de una colección permanece igual cuando la apariencia emp!rica de los objetos es modi#icada. "jemplo- a disposición de los objetos cuando se pregunta al niño'a( si hay tantas #ichas blancas como negras, o si hay más blancas que negras.
LA IMPORTANCIA DE LA INTERACCIÓN SOCIAL Piaget a#irma que la interacción social es indispensable para que el niño desarrolle la lógica. "l clima y la situación que crea el maestro son cruciales para el desarrollo del conocimiento lógico matemático. *ado que este es construido por el niño mediante la abstracción re#le$iva, es importante que el entorno social #omente este tipo de abstracción. as matemáticas es algo que nuestros niños y niñas pueden reinventar y no algo que les ha de ser transmitido. "llos pueden pensar y al hacerlo no pueden dejar de construir el número, la adición y la sustracción. Por otro lado si las matemáticas son tan di#!ciles para algunos niños, normalmente es porque se les impone demasiado pronto y sin una conciencia adecuada de cómo piensan y aprenden "n palabras de Piaget- %5odo estudiante normal es capaz de razonar bien matemáticamente si su atención se dirige a actividades de su inter)s, si mediante este m)todo se eliminan la inhibiciones emocionales que con demasiada #recuencia le provocan un sentimiento de in#erioridad ante las lecciones de esta materia&.
APORTES DE ZOTAN DIENES
A A MATEM!TI"A PRINCIPIOS DE DIENES PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LOS PRIMEROS GRADOS
runner, elaboró cuatro principios para la enseñanza de la matemática en los primeros grados, diseñando e incorporando materiales didácticos que #inalmente los denominó materiales *idácticos 3ensoriales '?*3(, a partir de los cuales el niño e$traerá los conocimientos matemáticos, mediante la manipulación de los mismos y con la gu!a del pro#esor. *e Piaget tomó los planteamientos sobre el desarrollo del pensamiento del niño que hemos visto, básicamente lo que se re#iere a que el niño en los primeros años tiene pensamiento concreto y necesita realizar las acciones sobre los objetos para lograr aprendizajes signi#icativos8 aún no le es posible aprender a partir de hipótesis. *e >runner tomó lo que se re#iere a las reacciones de los sujetos a las di#erentes combinaciones lógicas de conceptos ya #ormados. *ienes acepta las tres etapas que Piaget distingue en la #ormación de todo concepto- la primera, de juego, en la que se usan los elementos del concepto pero sin tener idea alguna de lo que e#ectivamente son8 una segunda etapa en la que el sujeto va descubriendo enlaces entre aquellos elementos incone$os, y una última en la cual el concepto se #orma, y por la práctica de su utilización queda interiorizado e incorporado a los que ya poseen, es decir, entra a #ormar parte de las estructuras mentales e$istentes. Por otro lado, toma muy en cuenta las investigaciones de >runner en cuanto a que personas distintas abordan un mismo problema de modo di#erente. "sto lleva a que en el aprendizaje haya que tenerse en cuenta no sólo la estructura lógica del contenido, sino tambi)n la estrategia mental que cada persona utiliza con pre#erencia o únicamente.
*e acuerdo a estas consideraciones, *ienes plantea que el aprendizaje de las personas consiste en encontrar un ajuste óptimo entre las e$igencias de la materia por aprender y la peculiar estrategia mental del alumno, es decir, una didáctica que compatibilice contenidos con capacidades de aprendizaje. 0omo una cuestión metodológica básica, *ienes plantea que al enseñar matemática a los niños de los primeros grados, deben utilizarse sistemáticamente el Material Didáctico Sensorial 8 trabajar en lo posible con pequeños grupos 'dos o tres integrantes( y no insistir demasiado con el simbolismo en los más pequeños. @eamos los mencionados principios. 1. Principio Dinámico. 3e re#iere a que el aprendizaje de los niños, particularmente el de la ?atemática, debe
pasar por tres etapas dinámicas bien de#inidas y secuenciales. "stas sona( Primera etapa . "n )sta, al niño se le debe permitir el má$imo de libertad posible en la manipulación de los materiales didácticos sensoriales, es decir, no proponer ningún tipo de tarea a realizar, simplemente, dejar que lo manipulen a voluntad. "sto va a permitir que, por un lado se concentren en lo que hace y, por otro, que vaya descubriendo por s! mismo, propiedades matemáticas en los materiales. Por ejemplo, si se le entrega los bloques lógicos, podrá descubrir que hay tres colores, dos tamaños, dos grosores y cuatro #ormas geom)tricas distintas. b( Segnda Etapa. 3erá orientada y dirigida. "n esta #ase se deben presentar al niño múltiples e$periencias, que probablemente aparecerán como incone$as, pero que en el #ondo están todas dirigidas a la #ormación de un mismo concepto. 3i nos re#erimos al ejemplo anterior de los bloques lógicos, se les propondrá e$periencias como agrupar !todos los ro"os#$ !todos los gresos#$ !los ro"os % gresos#$ etc. , apuntando hacia el concepto de intersección, por ejemplo. c( &ercera etapa. Proporcionará al niño la práctica su#iciente para #ijar el concepto y manejarlo en distintas aplicaciones. Por lo tanto, para el desarrollo de cada concepto deberán utilizarse juegos preliminares, juegos estructurados y juegos de práctica, de modo que estos últimos, además de aplicar el concepto adquirido, sirvan como preliminares para otro concepto posterior. '.
Principio de Constrcti(idad. *ienes nos dice que este principio se basa en el hecho de que la
construcción que hace el niño de los conceptos matemáticos es anterior al análisis lógico de esa construcción. a e$plicación la encontramos en lo a#irmado por Piaget de que el pensamiento #ormal o hipot)tico deductivo no está al alcance de los niños antes de los doce años. "n razón de esto, los juegos utilizados serán pre#erentemente constructivos y solamente despu)s de esta construcción tendrá lugar un análisis del concepto adquirido. ). Principio de *aria+ilidad . Aqu! se trata de hacer variar, de todos los modos posibles, las di#erentes variables
que puedan aparecer en la #ormación de un concepto. as di#erentes invariantes que puedan e$istir aparecerán en todas las construcciones realizadas. "sas invariantes servirán para la construcción del concepto que interesa. "n el ejemplo de los bloques lógicos, debemos hacer notar a los niños que hay piezas rojas, amarillas y azules 'variable color(8 c!rculos, rectángulos, cuadrados y triángulos 'variable #orma(8 gruesas y delgadas 'variable grosor(8 grandes y pequeñas 'variable tamaño(, hasta agotar todas las posibilidades del atributo considerado del material.
,. Principio de Concretiación Múltiple . "n este principio lo que se plantea es que debemos presentar a la
percepción del niño, una misma estructura conceptuada de tantas #ormas equivalentes como sea posible, de modo que se pueda dar oportunidad de que actúen las di#erentes #ormas como los alumnos puedan abordar la #ormación de un concepto que en los materiales pueda e$istir. Buevamente re#iri)ndonos a los bloques lógicos y tratando de #ormar el concepto de intersección, se aplicará este principio haciendo que los niños realicen la intersección de piezas gresas con ro"as$ delgadas con ales$ amarillas con delgadas$ etc. Casta agotar todas las posibilidades.
MATERIAL DIDÁCTICO SENSORIAL 0omo dijimos, *ienes da mucha importancia al uso de lo que llama Material Didáctico Sensorial$ cuyo signi#icado dimos a conocer. 5ambi)n a#irma que el material didáctico que seleccionemos no debe ser elegido al azar sino constituir modelos adecuados de los conceptos matemáticos que se enseñan. "stos modelos deben tener el m!nimo de propiedades e$trañas a los conceptos o relaciones que se pretenden poner en evidencia. "l modelo utilizado debe ser claro y sugerente, de modo que sea #ácil destacar en )l las particularidades sobre las que se desea trabajar. *ienes clasi#ica los materiales y modelos ena. Materiales poli(alentes . Pueden emplearse en varios campos 'bloques lógicos, por ejemplo(. b. Materiales mono(alentes . 3irven para desarrollar un solo concepto, la regla graduada para el ?.0.*. es un ejemplo de este materia. c. Modelos de constrcción escolar . 2ácilmente pueden ser elaborados en la escuela, por ejemplo, las tarjetas para operadores. d. Modelos fa+ricados . Por la precisión que deben tener, deben ser de #ábrica. os números en color y los bloque multibase son ejemplos pertinentes. e. Modelos indi(idales . Para uso de un solo alumno. Deoplano por ejemplo. #. Modelos colecti(os . Para uso de más de un alumno. 5arjetas para operadores puede ser el caso.
SEIS ETAPAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS SEGÚN ZOLTAN P. DIENES
as seis etapas de aprendizaje en la ?atemática según
. etapa de adaptación o juego libre
4. etapa de estructuración o restricción de acuerdo a las reglas del juego 7. etapa de abstracción o cone$ión con la naturaleza abstracta del juego E. etapa de representación grá#ica 9. etapa de representación del lenguaje :. etapa de #ormalización o descripción e implementación de m)todos.
/02ES /034C0S DE 50/&6N D4ENES
*os particularidades sobre el nombre de este material"l creador #ue Filliam Cull8
sobre todo, al hecho de que los procesos lógicos no sólo son propios del aprendizaje de las matemáticas. @ayamos por partes y veamos en primer lugar, cómo son estos bloques. "l conjunto completo está #ormado por ,< pieas$ ningna igal a la otra . 0ada pieza se caracteriza por catro atri+tos: s forma =trianglar$ circlar$ cadrada$ rectanglar>$ s grosor =greso$ delgado>$ s color =amarillo$ ro"o$ al> % s tama?o =grande$ pe7e?o>.
"lijamos cualquiera de ellas, podr!amos describirla as!- es triangular, gruesa, amarilla y grande. "stas caracter!sticas o valores es lo que las hacen únicas, pues una y sólo una de ellas los reunirá. G0ómo los usamosH 3irven para poner a los niños ante unas situaciones que les permitan llegar a determinados conceptos matemáticos. 6 partir de las acti(idades los ni?os llegan a: •
Nom+rar % reconocer cada +lo7e.
•
@econocer las (aria+les % (alores de Astos.
•
Clasificarlos atendiendo a n solo criterio.
•
Comparar los +lo7es esta+leciendo seme"anas % diferencias.
•
@ealiar seriaciones sigiendo nas reglas.
•
Esta+lecer la relación de pertenencia a con"ntos.
•
Emplear los conecti(os lógicos =con"nción$ negación$ dis%nción$ implicación>.
•
Definir elementos por la negación.
•
4ntrodcir el concepto +ásico de número
Por e$tensión, los bloques tambi)n pueden ser utilizados en el área de lengua, para e$plicar conceptos como clasi#icación y ordenación, #amilias l)$icas, coordinación y, claro está, descripción. Para trabajar con los bloques, a veces, se pueden usar unas tarjetas, en las que representa cada uno de los atributos, en positivo y en negativo.
>ibliogra#ia
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