Aporte Individual Microeconomia Momento 2Descripción completa
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Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos.
Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. “Un virus ha destruido parte de la información de los datos de aprobación del curso
de Álgebra Lineal (e-learning) del año 2018. Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 de ese año fue de 1.243 estudiantes. Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3. Así mismo, se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 3 es menor en 90 estudiantes al promedio de los estudiantes que aprobaron las Tareas 1 y 2. Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.”
Solución
Primero hay que plantear las ecuaciones para poder solucionar posteriormente con el método gauss jordan X = Estudiantes tarea 1 Y = Estudiantes tarea 2 Z = Estudiantes tarea 3
La primera ecuación quedaría de la siguiente manera Como sabemos que el promedio de estudiantes es de 1243 La primera ecuación será
+ + =
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Para la segunda ecuación tenemos que tener en cuenta lo siguiente Y es mayor 230 que el promedio de X y Z y=
x + z + 230
Organizando la ecuación para dejar a un lado del igual las variables x y z se inicia de la siguiente forma pasamos el 230 a restar al otro lado del igual −230 + =
1 2
+
1 2
Dejando a un lado el -230 la ecuación queda de la siguiente manera pasando la variable y a restar
Para hallar la tercera ecuación tenemos en cuenta lo siguiente Z es 90 menor que X y Y =
1 2
+
1 2
− 90 90
Para empezar a dejar todas las variables al otro lado del igual realizamos lo siguiente, pasamos el -90 a sumar y la letra z la pasamos a restar al otro lado del igual quedando.
Teniendo las tres ecuaciones las organizamos para empezar a realizarlas por el método de gauss jordan + + =
+
− = − −
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Realizando la matriz 1 0.5 0.5
1 -1 0.5
1 0.5 -1
1243 -230 90
Se realiza la primera operación que es el operar la primera fila con la segunda lo hacemos multiplicando la primera por -0.5 y la segunda por 1 0.5 -1
0.5 -0.5 0
1 0.5 0.5
0.5 1 1.5
0.5 -0.5 0
1 -1 0.5
1 0.5 -1
1243 -230 90
621.5 621 .5 230 851.5
Es tos valore resaltados en amarillo los colocamos en la segunda fila de la matriz
1 0
0.5
1 1.5 0.5
1
1243 851.5 90
0
-1
Para obtener el siguiente cero c ero operamos las filas 1 y filas 3, la fila 1 la multiplicamos por -0.5 y la fila tres por uno. 0.5 -1
1 0 0.5
1 1.5 0.5
1 0 -1
1243 851.5 90
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Es tos valore resaltados en amarillo los colocamos en la tercera fila de la matriz 1 0
0
1 1.5 0
1 0
1.5
1243 851.5 531.5
Para obtener el siguiente cero operamos las filas 3 y filas 1, la fila 1 la multiplicamos por -1.5 y la fila tres por uno. 1.5
1 0
-1 1.5 0 1.5
0 1.5 0 1.5
1.5 -1.5 0
1 -1.5 0
1 0
1.5
1243 851.5 531.5
1864.5 -531.5 1333
Es tos valore resaltados en amarillo los colocamos en la la primera fila de la matriz 1.5 0
0
1.5 1.5 0
0 0
1.5
1333 851.5 531.5
Para obtener el ultimo cero operamos las filas uno y dos la fila 1 la multiplicamos por 1.5 y la fila dos por 1.5 1.5 -1.5
1.5 0
0 2.25 0 2.25
2.25 -2.25 0
0 0 0
1.5 1.5 0 1999.5 -1277.25 722.25
0 0
1.5
1333 851.5 531.5
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2.25
0
0 0
1.5
0 0
0
1.5
722.25 851.5 531.5
Como ya obtuvimos todos los ceros de la matriz procedemos a obtener la diagonal de unos de la siguiente manera El renglón 1 lo dividimos por 2.25 y el resultado lo colocaremos en la matriz principal El renglón 1 sería igual a 1
0
0
321
El renglón 2 lo dividimos por 1.5 y el resultado lo colocaremos en la matriz principal El renglón 2 sería igual a
0
1
0
567.66
El renglón 3 lo dividimos por 1.5 y el resultado lo colocaremos en la matriz principal El renglón 3 sería igual a 0
