Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS E MISTAS

APONTAMENTOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS

DINAR CAMOTIM CILMAR BASAGLIA NUNO SILVESTRE

LISBOA, SETEMBRO DE 2010

1

Estruturas Metálicas (de Aço)

ESTRUTURAS METÁLICAS (DE AÇO) 1. INTRODUÇÃO • Em Portugal, as estruturas metálicas são quase exclusivamente utilizadas na construção de edifícios com fins de natureza industrial e/ou comercial (instalações fabris, armazéns, centros comerciais, pavilhões gimnodesportivos, etc.). Utilizam-se ainda frequentemente em pontes de pequeno porte e em passadiços para peões.

Figura 1.1 – Estruturas de edifícios industrial e comercial • Recentemente, tem-se observado a utilização de estruturas metálicas em várias obras “de prestígio” (e.g., na Expo 98), com grande impacto estético/visual, e ainda na reparação de estruturas deterioradas (constituídas por diversos materiais: betão, madeira, etc.).

Figura 1.2 – Edifícios (i) “Turning Torso” (Suécia) e (ii) “Burj Al Arab” (Dubai) • É (ainda) rara a utilização de estruturas metálicas em edifícios destinados a habitação ou a escritórios, apesar de esta tendência esteja a mudar lentamente. Existem várias razões para este facto, nomeadamente razões de natureza económica/comercial (não científica). 1


Figura 1.3 – Estruturas de edifícios destinados a habitação • Tem-se ainda assistido recentemente a um incremento significativo da construção mista – elementos estruturais em que o aço e o betão (armado) trabalham conjuntamente.

Figura 1.4 – Estruturas mistas aço-betão • O objectivo da primeira parte da disciplina de Estruturas Metálicas e Mistas (EMM) consiste em fornecer os conhecimentos necessários para o dimensionamento e verificação de segurança de estruturas constituídas por um conjunto de pórticos planos, nomeadamente edifícios industriais correntes.

Figura 1.5 – Pórticos planos com divesas configurações

2


Figura 1.6 – Estrutura tridimensional constituída por um conjunto de pórticos planos • Procurar-se-á proporcionar uma familiarização com a filosofia, os fundamentos e a aplicação das disposições do novo Eurocódigo 3, o qual está já em vigor no nosso país com o estatuto de Norma Europeia (EN). Após um “período experimental”, que se estenderá até 2012-2013, a utilização deste regulamento passará a ser obrigatória em todos os países da Comunidade Europeia. • Algumas disposições do Eurocódigo 3 (versões ENV ou EN) foram já introduzidas na disciplina de Estruturas Metálicas e/ou de Dimensionamento de Estruturas. • O Eurocódigo 3 (EC3) – Dimensionamento de Estruturas de Aço – é um de um conjunto de dez regulamentos estruturais europeus. É constituído pelos seguintes 17 documentos, os quais se encontram agrupados em 6 “Partes”: (i)

Parte 1.1: Regras Gerais e Regras para Edifícios

(ii)

Parte 1.2: Segurança ao Fogo

(iii) Parte 1.3: Elementos e Chapas Enformados a Frio (iv) Parte 1.4: Aços Inoxidáveis (v)

Parte 1.5: Estruturas Laminares Planas (carregadas no seu próprio plano)

(vi) Parte 1.6: Cascas (vii) Parte 1.7: Estruturas Laminares Planas Carregadas Transversalmente (viii) Parte 1.8: Ligações (ix) Parte 1.9: Fadiga (x)

Parte 1.10: Tenacidade

3


(xi) Parte 1.11: Estruturas com Elementos Traccionados (xii) Parte 1.12: Aços de Alta Resistência. (xiii) Parte 2: Pontes (xiv) Parte 3: Torres, Mastros e Chaminés (xv) Parte 4: Reservatórios, Silos e Condutas (xvi) Parte 5: Estacas (xvii) Parte 6: Estruturas de Aparelhos de Elevação • Nesta disciplina apenas se vão abordar disposições contidas nas Partes 1.1 (regras gerais e regras para edifícios), 1.5 (estruturas laminares planas) e, eventualmente, 1.8 (ligações). Note-se que algumas das Partes referidas atrás não se encontram ainda traduzida em português – encontram-se em vários “estágios de evolução” (muito provavelmente, algumas delas não chegarão msmo a ser traduzidas). • Apresentar-se-ão ainda vários anexos da Parte 1.1 da versão anterior do EC3 (ENV – estatuto de Pré-Norma Europeia), os quais deixaram de figurar na nova versão (EN). • Para além destes apontamentos, fundamentais para o acompanhamento da primeira parte desta disciplina (Estruturas Metálicas), referem-se ainda os livros (i) “Estabilidade Estrutural”, de António Reis e Dinar Camotim, (ii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas”, de Rui Simões, e (iii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas: Métodos Avançados”, de Luís Simões da Silva e Helena Gervásio. Enquanto o primeiro contém princípios fundamentais de estabilidade estrutural e métodos de análise não-linear de estruturas (esbeltas), o segundo e terceiro abordam e ilustram a aplicação das disposições das Partes 1.1 e 1.5 do EC3. • A restante bibliografia fornecida na disciplina tem um carácter mais abrangente e destinase a proporcionar conhecimentos fundamentais e/ou especializados sobre tópicos relacionados com a análise e o dimensionamento de estruturas metálicas (de aço).

4


2. SISTEMATIZAÇÃO DAS DISPOSIÇÕES DO EC3 RELATIVAS A PÓRTICOS PLANOS • A utilização do EC3 para dimensionar e verificar a segurança de pórticos planos envolve o cumprimento sequencial de um certo número de etapas que não se encontram explicita e/ou adequadamente identificados no texto do EC3. • Identificam-se e descrevem-se sucintamente as várias etapas, definidas de modo a minimizar o (inevitável) grau de interdependência entre elas. Em seguida, trata-se cada uma delas separadamente, introduzindo os conceitos fundamentais e ilustrando a aplicação das respectivas disposições regulamentares. • Pode dizer-se que, para cada combinação de acções relevante, o Dimensionamento e a Verificação da Segurança (DVS) de um pórtico plano envolve as seguintes etapas: (I)

Classificação do Pórtico - Necessidade de considerar efeitos de 2ª ordem (equilíbrio na configuração deformada – não linearidade geométrica) - Secção das barras (fenómenos de encurvadura local – esbelteza das paredes) Classe 1: Análise plástica (com formação de rótula plástica) Classe 2: Análise plástica (sem formação de rótula plástica) Classe 3: Análise elástica (secção bruta) Classe 4: Análise elástica (secção efectiva − “enfraquecida”) Rigidez (análise elástica) - Ligações Resistência (análise plástica)

(II) Consideração das Imperfeições - Imperfeições Globais (do pórtico) - Imperfeições Locais (das barras) - Forças Equivalentes às Imperfeições

5


(III) Escolha do Método de Análise Global - Análise Elástica Rígido-Plastica - Análise Plástica

Elástica-Perfeitamente Plástica (conceito de rótula plástica − RP) Elasto-Plástica (espalhamento)

(IV) Cálculo dos Esforços de Dimensionamento - Análise de 1ª ordem (geometricamente linear) - Análise de 2ª ordem (geometricamente não-linear − várias possibilidades) (V) Verificação da Estabilidade do Pórtico - Escolha e cálculo dos comprimentos de encurvadura das barras comprimidas (VI) Verificação da Segurança das Barras - Tensões Directas (secções) - Fenómenos de Instabilidade (barras e/ou troços livres de barra – contraventamento) - Outros Fenómenos (VII) Verificação da Segurança das Ligações corte Parafusos tracção corte + tracção - Ligações aparafusadas Conjuntos de parafusos - Ligações soldadas – tipos de cordões de soldadura - Ligações mistas – parafusos + soldadura (VIII)

Verificação da Deformabilidade do Pórtico Deslocamentos

- Estados Limites de Utilização (Serviço) Vibrações 6


• Para combinações de acções que incluam uma acção sísmica, há ainda que satisfazer as disposições relevantes do Eurocódigo 8 (EC8). Estas disposições serão abordadas na disciplina de “Dinâmica e Engenharia Sísmica”. • De uma maneira um pouco simplista, pode dizer-se que o processo de DVS de um pórtico plano pode subdividir-se nos seguintes grandes blocos: Dados: Geometria + Acções (I) – (V) Esforços de Dimensionamento Comprimentos de Encurvadura (VI)

(VII)

VS das

VS das

Barra

Ligações

Estados Limites Últimos (ELU)

Deformabilidade Estados Limites de Serviço (ELS) (ou de Utilização)

• Inicialmente, aborda-se a Verificação da Segurança (VS) das barras, admitindo conhecidos os valores dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura. • Abordam-se em seguida os aspectos relacionados com a determinação dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura. • Finalmente, no caso de haver ainda tempo disponível, apresentam-se alguns conceitos relativos à VS das ligações.

7


3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS BARRAS 3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS • A geometria da secção transversal dos perfis é, muitas vezes, condicionada pelos requisitos específicos de uma determinada aplicação, o que faz com que existam secções com uma enorme variedade de formas e dimensões (sobretudo no caso dos perfis enformados a frio). A figura 3.1 mostra as geometrias das secções de alguns dos perfis de aço utilizados com mais frequência em estruturas de edifícios: secções em U, C, Z, “hat”, “rack” e I.

Figura 3.1 – Geometria das secções dos erfis em U, C, Z, “hat”, “rack” e I • A classificação de uma secção está relacionada com a sua resistência e capacidade de rotação quando submetida a tensões normais. Essa classificação depende das dimensões e da tensão de cedência dos seus elementos (paredes) comprimidos, os quais podem ser (i) interiores (ambas as extremidades apoiadas) ou (ii) salientes (uma extremidade apoiada e a outra livre). Elemento interior

Elementos salientes Elemento interior

Figura 3.2 – Defnição dos elementos (paredes) interiores e salientes de uma secção • Esta classificação destina-se a permitir avaliar a resistência última e a capacidade de rotação da secção, tomando em consideração a possibilidade da ocorrência de fenómenos de encurvadura local (das paredes da secção – a abordar mais adiante).

8


• O EC3 considera 4 Classes de Secção, as quais se caracterizam em seguida (aprsenta-se a exemplificação para o caso de uma secção a flexão pura)

σ (σcr)EL Encurvadura Local

4

3

1

2

ε (i) Classe 1 – secções em que se pode atingir a resistência plástica e, para além disso, existe capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica. fy

M

M

Mpl

Mpl

EL

EL

fy

ϕpl

Mpl

ϕpl

ϕ

ϕ

(ii) Classe 2 – secções em que se pode atingir resistência plástica, mas sem ser possível garantir capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica (é necessário efectuar a verificação, a qual depende da ordem de formação das rótulas plásticas na estrutura m análise). fy

M

M

Mpl

Mpl

EL

EL

fy

Mpl

ϕpl

ϕ

ϕpl

ϕ

9


(iii) Classe 3 – secções onde se pode atingir apenas a resistência elástica (tensão de cedência na fibra mais solicitada), em virtude de os fenómenos de encurvadura local impedirem que se chegue à resistência plástica. fy

M

M Mpl EL

Mel

fy

Mel

ϕel

ϕ

Mel

EL

ϕ

(iv) Classe 4 – secções onde a ocorrência (prematura) de fenómenos de encurvadura local faz com que não se atinja sequer a tensão de cedência na fibra mais solicitada. σmax < fy

fy

M

M

Mpl Mel Mmax

Mpl Mel EL

EL

ϕ

ϕ

Mmax < Mel

O processo de dimensionamento das secções de classe 4 envolve a substituição da secção bruta por uma secção efectiva, a qual é posteriormente tratada como uma secção de classe 3.

σ

fy Zona não efectiva da secção

σ

fy

10


11


ANEXO: FENÓMENOS DE ENCURVADURA LOCAL • Os “fenómenos de encurvadura local”, de grande importância no dimensionamento de estruturas metálicas constituídas por perfis com paredes muito esbeltas (por exemplo, as vigas de alma cheia ou os perfis enformados a frio), consistem na encurvadura das paredes dos perfis, enquanto os respectivos eixos permanecem indeformados (rectos). Deste modo, é indispensável utilizar conceitos de estabilidade de placas para efectuar a verificação da segurança das barras em relação a estados limites últimos que envolvam este tipo de fenómenos de encurvadura. • A figura A.1 ilustra fenómenos de encurvadura local em barras de aço com secção em I.

Figura A.1 – Fenómenos de encurvadura local em barras com secção em I. A.1 PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS E SIMPLESMENTE APOIADAS • A tensão crítica de bifurcação elástica de uma placa quadrada “ideal” (geometricamente “perfeita”) simplesmente apoiada e uniformemente comprimida é dada por

σ cr = 4

π 2E

t 2   12(1 − v )  b 

2

, (A.1)

onde (i) E é o módulo de elasticidade, (ii) v é o coeficiente de Poisson e (iii) b e t são a largura/comprimento e a espessura da placa. A bifurcação ocorre num modo de instabilidade (ou encurvadura) caracterizado por uma semi-onda tanto na direcção longitudinal (a da compressão) como na direcção transversal.

12


σ/σcr b σ

σ

b

1 b b

δ

Figura A.2 – Bifurcação de equilíbrio e modo de encurvadura de uma placa quadrada

“ideal” simplesmente apoiada e uniformemente comprimida • Em “placas longas” (a >>b − em termos práticos, basta que se tenha a > 4 b), como é o caso das paredes das barras metálicas com secção de parede fina, os valores de σcr são (praticamente) independentes do comprimento da placa (a) e do grau de restrição à rotação dos bordos transversais (de comprimento b). Esta característica deve-se ao facto de o modo de encurvadura da placa envolver uma combinação de (i) várias semi-ondas longitudinais, de comprimento igual à sua largura, com (ii) uma única semi-onda transversal. Deste modo, pode dizer-se que uma placa longa se comporta como um “conjunto” de placas quadradas ligadas entre si, conforme mostra a figura A.3, o que quer dizer que os resultados relativos a placas quadradas são também válidos para placas longas. a >>b

b σ

σ

b

σ

b b

Placa quadrada

σ

b

b

b

b

b

b

Placa longa

Figura A.3 – Modo de encurvadura de uma placa quadrada e uma placa longa

• A título de exemplo, a figura A.4 mostra dois elementos estruturais constituídos por placas longas e submetidos a compressão: (i) uma coluna tubular e (ii) um painel reforçado. Em ambos os casos, podem obter-se estimativas (em geral, conservativas) da tensão crítica das placas/paredes através de (A.1), pois são placas longas cujos bordos longitudinais se admitem (conservativamente) como simplesmente apoiados (i.e., sem restrição à rotação). 13


(a)

(b)

Figura A.4 – Elementos estruturais constituídos por placas longas: (a) coluna tubular e (b) painel reforçado.

• As placas comprimidas têm, em regime elástico, um comportamento de pós-encurvadura (trajectória de equilíbrio) estável caracterizado por uma elevada “resistência pós-crítica” (ou “resistência de pós-encurvadura”). Isto significa que, mesmo após ocorrer a encurvadura (bifurcação), a placa pode ainda suportar um aumento de carga considerável sem apresentar deslocamentos significativos. O comportamento de pós-encurvadura de uma placa (quadrada ou longa) comprimida “ideal” (sem imperfeições geométricas) é definido por 3 σ q = 1 + (1 − v 2 )  σ cr 8 t

2

, (A.2)

onde σ é a tensão aplicada e q o deslocamento transversal máximo por ela provocado. A trajectória de pós-encurvadura da placa está representada na figura A.5, onde se mostra também as distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação. Observa-se que as tensões permanecem uniformes até à bifurcação, passando a exibir um andamento não linear após essa occorrência − dá-se uma redistribuição das tensões normais longitudinais, caracterizada por uma “transferência” da zona central (mais flexível ou “fraca”) para a vizinhança dos bordos longitudinais (zona mais rígida ou “forte”). Por outro lado, a figura A.6 mostra as distribuições das tensões normais longitudinais (σx) e transversais (σy) instaladas na placa na fase de pós-encurvadura. Para além da redistribuição de σx, já referida, desenvolvem-se também tensões transversais de tracção na zona central da placa, as quais têm um papel crucial na resistência de pós-encurvadura (a tracção transversal aumenta a rigidez de flexão da zona central da placa − analogia com um cabo). 14

Estruturas Metálicas (de Aço) σ/σcr

σcr

δ

Figura A.5 – Distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação

Figura A.6 – Distribuição de tensões, na fase de pós-encurvadura, de uma placa quadrada

• A figura A.7 compara qualitativamente as trajectórias de equilíbrio de colunas e placas “ideais” comprimidas. Observa-se que a resistência de pós-encurvadura das placas é muito superior à das colunas (quase desprezável), o que justifica a diferença entre os métodos de dimensionamento destes dois elementos estruturais. Enquanto é aceitável σ/σcr Placa

Coluna

Trajectórias de Pós-encurvadura

Bifurcação

1

Trajectória Fundamental

q/t

Figura A.7 – Trajectórias de equilíbrio de placas e colunas uniformemente comprimidas

15


admitir que σcr é a máxima tensão (carga) que as colunas podem suportar, essa hipótese é claramente demasiado (excessivamente) conservativa no caso das placas. • Põe-se então a seguinte questão, de grande importância para o dimensionamento de estruturas metálicas constituídas por perfis de parede fina: qual o valor da tensão (carga), já em fase de pós-encurvadura, que corresponde ao estado limite último da placa (colapso iminente)? Na grande maioria dos regulamentos de estruturas metálicas, a resposta a esta questão envolve o conceito de “largura efectiva”. A.1.1 CONCEITO DE LARGURA EFECTIVA • A resposta mais lógica à questão colocada no ponto anterior consiste em admitir que o estado limite último da placa corresponde a atingir-se a tensão de cedência (fy) na fibra mais solicitada. Esta situação está representada na figura A.8. Note-se que, ao admitir esta hipótese se está a desprezar a “reserva de resistência elasto-plástica” da placa (o colapso dá-se quando se atinge um ponto limite da trajectória). Esta resistência adicional, de difícil determinação (é necessário um método numérico que contabilize o espalhamento da plasticidade), é pequena e pode ser encarada como um “factor de segurança” − a figura A.8 ilustra este facto.

σ Colapso Reserva de resistência elasto-plástica

σmax = f y

σmax = f y

δ

Figura A.8 – Estado último (cedência da fibra mais solicitada) e colapso da placa quadrada

• Subsiste a (muito importante) questão de saber para que carga (isto é , em que ponto da trajectória de pós-encurvadura) se tem σmax=fy. Para resolver este problema, von Karman sugeriu uma metodologia aproximada baseada nas seguintes duas ideias fundamentais (uma delas é uma hipótese simplificativa que foi posteriormente validada experimentalmente):

16


IDEIA 1: Substituir a secção bruta com uma distribuição de tensões variável por uma

“secção efectiva” submetida a uma distribuição de tensões uniforme (ambas estaticamente equivalentes ao esforço de compressão actuante) − a secção efectiva obtém-se removendo material da zona central da placa (a zona mais “fraca”). No estado limite último da placa, o valore do esforço normal (Nu) é então dado por

fy

fy

fy

fy be /2

b be /2 b

N u = ∫ σ ( y ) t dy = b t σ u (secção bruta)

N u = be t f y (secção efectiva)

0

onde σ u é a tensão média da placa no estado limite último (ou “colapso”). Igualando as duas expressões, obtém-se

σu =

be fy b

expressão que relaciona a tensão média no colapso com a largura efectiva. DIFICULDADE: Para determinar o valor de be é necessário conhecer a distribuição de

tensões instalada na placa ( σ ( y ) ), no estado último da placa (σmax=fy). Por outras palavras, apenas se “substituiu o conceito de “pós-encurvadura” pelo conceito de “largura efectiva”, mas sem dimnuir a complexidade do problema a resolver. Para simplificar o problema, é indispensável a segunda “ideia” que se apresenta a seguir. Antes disso, apresenta-se na figura A.9, a título ilustrativo, a variação “exacta” da largura efectiva com a tensão aplicada (σm é a tensão média actuante na placa). be / b 1 0.5

1

σm / σcr

Figura A.9 – Variação da largura efectiva com a tensão actuante (placa simplesmente apoiada)

17


IDEIA 2 (Hipótese Simplificativa): Na placa com a secção efectiva a encurvadura ocorre

precisamente quando se atinge a tensão de cedência, isto é, tem-se σcre=fy. Logo, vem

σ cr = 4

σ cre

π 2E

t 2   12(1 − v )  b 

2

 t    =4 2  12(1 − v )  be 

π 2E

(placa real) 2

(placa efectiva − fictícia)

Utilizando agora a hipótese simplificativa , tem-se

σ cre

2

2

 t  b   = σ cr   = f y =4 2  12(1 − v )  be   be 

π 2E

be σ cr (mas sempre < 1) = b fy

⇒

Finalmente, utilizando a relação da página anterior, vem

σu =

be f y = σ cr f y b

expressão que permite determinar (aproximadamente) a tensão média no colapso a partir de duas quantidades fáceis de calcular − deste modo, evita-se a necessidade de conhecer o comportamento de pós-encurvadura da placa. A.2 PLACAS SUBMETIDAS A OUTRAS DISTRIBUIÇÕES DE TENSÕES No caso de placas submetidas a outras distribuições de tensões, definidas por um parâmetro ψ=σ1 / σ2, onde σ1 é a máxima tensão de compressão e σ2 é a tensão actuante na outra extremidade da placa, é necessário introduzir, na expressão que fornece σ u , o valor correcto de σcr, o qual é dado pela expressão genérica

σ1

σ2= ψσ1 (ψ > 0) π 2E

t σ cr = kσ 2   12(1 − v )  b 

σ1

σ2= ψσ1 (ψ < 0)

2

, (A.3)

18


onde kσ é um coeficiente de encurvadura que depende da distribuição das tensões actuantes e pode ser encontrado na literatura (por exemplo, nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5). A título ilustrativo, refira-se que (i) kσ=4.0 para a compressão pura (ψ=1 − problema estudado) e (ii) kσ=23.4 para a flexão pura (ψ= −1 ). A.3 PLACAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA • A expressão (A.3) também se aplica a placas com outras condições de fronteira (apoio) − é válida para placas com combinações arbitrárias de distribuições de tensões actuantes

e condições de apoio. Os valores de kσ podem ser encontrados na literatura, nomeadamente nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (para duas condições de apoio: (i) quatro bordos simplesmente apoiados e (ii) três bordos simplesmente apoiados e um bordo livre). A tabela A.1 ilustra alguns valores de coeficientes de encurvadura. Condições de Fronteira

Carga

Coeficiente de encurvadura (kσ)

Compressão Uniforme

4.0

Compressão Uniforme

0.43

Flexão Pura

23.9

Tabela A.1 – Valores de kσ

A.4 ESBELTEZA NORMALIZADA DE PLACA − LARGURA EFECTIVA • Tal como as restantes esbeltezas normalizadas (de coluna, de viga, etc.), a “esbelteza

normalizada de (uma) placa”, definida como

λp =

fy

σ cr

é uma grandeza que traduz a importância relativa da plasticidade e da instabilidade no colapso da placa. Assim, enquanto (i) valores baixos e elevados de λ p (em relação a 1.0) indicam colapsos governados pela plasticidade e pela instabilidade, respectivamente, (ii) um 19


valor de λ p próximo de 1.0 significa que ambos os fenómenos têm uma influência significativa no colapso da placa. • No caso de uma placa constituída por uma aço com E=210 GPa (103 N/mm2), tomando

em consideração (A.3) e fazendo ε = [235 / f y ( MPa )] , o valor de λ p é dado por 0.5

λp =

b/t 28.4 ε kσ

expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa no seu estado limite último (be). • Tem-se então que be = ρ b , onde ρ é um coeficiente (ou factor) de redução. Pode

mostrar-se que este coefciente de redução relaciona também os valores de Nu (esforço normal último) e Npl (esforço normal de plastificação ou resistência plástica). De facto, N u = be t f y =

be b t f y = ρ N pl b

• Com base neste conceito, von Karman propôs a seguinte fórmula para determinar a

resistência útima de uma placa (a qual corresponde à curva da figura abaixo) ρ = 1  1  ρ = λ p 

se

λp ≤ 1

se

λp ≥ 1

σ ρ

σcr fy

δ

σ fy σcr

1

δ

1 / λp

λp 1 Note-se que os dois troços da curva correspondem ao colapso de placas em que se tem

(i) σcr > fy (troço horizontal) e (ii) (i) fy >σcr (troço horizontal) expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa 20


no seu estado limite último (be). Para além disso, é importante realçar a semelhança formal entre a fórmula de von Karman e a expressão da curva de dimensionamento de colunas perfeitas, estudada na disciplina de Estruturas Metálicas. A única (e muito importante) diferença reside na troca de “ 1 / λ 2 ” (colunas) por “ 1 / λ p ” (placas), o que

traduz o facto de o dimensionamento de colunas não contabilizar qualquer resistência de pós-encurvadura (a curva de colunas fica “abaixo” da de placas − ver a figura A.11). A.5 PLACAS “REAIS” (COM IMPERFEIÇÕES) • No caso das placas “reais”, as quais possuem imperfeições geométricas (sobretudo) e

tensões residuais, deixa de ocorrer bifurcação de equilíbrio. O conjunto “trajectória fundamental + trajectória de pós-encuvadura” das placas “ideais” é substuído por uma trajectória de equilíbrio não linear, à qual estão associados deslocamentos de flexão desde o início do carregamento, conforme mostra a figura A.10. • Como, para um determinado nível de carregamento, existem maiores deslocamentos na

placa “real” que na placa “ideal”, o correspondente estado limite último é atingido para uma carga mais baixa − ver a figura A.10.

σ Placa “ideal”

σcr

σmax = fy Placa “real” q

Figura A.10 – Trajectórias de equilíbrio e estados limites últimos das placas “ideais” e “reais”

• Para contabilizar a diminuição da carga última, devido à presença das imperfeições

geométricas e das tensões residuais, Winter propôs, com base num elevado número de resultados experimentais, a substituição (modificação) da fórmula de von Karman por ρ = 1 se  λ p − 0.22  ρ = λp 2 

λ p ≤ 0.673 se

λ p ≥ 0.673

21


expressão que ainda hoje figura em vários regulamentos, nomedamente no EC3. Deve referir-se, no entanto, que os valores do coeficiente 0.22 e da esbelteza limite 0.673 têm sofrido variações resultantes de estudos mais recentes (a título de curiosidade, é interessante mencionar que Winter propôs originalmente o valor 0.25 para o coeficiente). • Finalmente, a figura A.11 mostra uma comparação entre as curvas de dimensionamento (i) de von Karman, (ii) de Winter e (iii) baseada na carga crítica de bifurcação (semelhante à curva de dimensionamento de colunas). É interessante observar que, para valores de λ p superiores a cerca de 1.3, a curva de Winter (placas “reais”) passa a estar acima da curva baseada na tensão crítica de bifurcação (placas “ideais” ), facto que reflecte a contabilização da resistência de pós-encurvadura (note que a diferença aumenta com λ p ).

Figura A.11 – Comparação entre curvas de dimensionamento de von Karman, de Winter e

baseada na tensão crítica de bifurcação.

22


3.2 DETERMINAÇÃO DA CLASSE DE UMA SECÇÃO

• A determinação da classe de uma secção faz-se classificando os seus elementos (paredes) comprimidos, através das Tabelas 5.2 do EC3-1-1 (ver figs. 3.2 a 3.4) e com base nos diagramas das tensões actuantes. • A classificação faz-se com base na esbelteza dos elementos b/t, envolve o parâmetro

ε = 235 / f y e o coeficiente de encurvadura kσ. Depende ainda do tipo de elemento, o qual pode ser interior (tratado como simplesmente apoiado) ou saliente (tratado como apoiado-livre). • Os valores limites de esbelteza dos elementos comprimidos são fixados com base em análises estatísticas de resultados experimentais e/ou numéricos, os quais contabilizam a influência de imperfeições geométricas iniciais, tensões residuais, etc. • A classe de uma secção é maior das classes dos seus elementos comprimidos. • A classe de uma barra é maior das classes das suas secções. • A classe de uma secção depende (i) dos esforços que nela actuam, no estado limite último, e (ii) do aço que a constitui (ver tabelas). • A determinação da classe de uma secção submetida a flexão composta não é imediata – conservativamente, pode sempre considerar-se o caso da compressão pura. • Um grande número de perfis laminados correntes (formados por aços de resistência “normal”) são de classe 1 ou 2 para qualquer solicitação (e.g., ver a tabela da fig. 3.5). • Os perfis soldados e as chapas utilizadas na construção mista têm frequentemente secções de classe 3 ou 4.

23


Figura 3.2

24


Figura 3.3

25


Figura 3.4

26


Figura 3.5

27


EXEMPLO ILUSTRATIVO

b=210mm

Aço S235 (fy=235 MPa = 235N/mm2) ⇒ ε=1 Área A=13440 mm2

d=468mm

t f =17.2mm

IPE 550

t w =11.1mm

Classificar a secção representada, quando submetida a flexão em torno do eixo de maior inércia composta com compressão de valor NEd=1300kN (Caso I) ou NEd=750kN (Caso II) RESOLUÇÃO • Classificação do Banzo Comprimido Compressão uniforme c=

b − t w 210 − 11.1 = = 99.45 (desprezando os raios de concordância) 2 2

c 99.45 = = 5.78 < 9ε = 9 tf 17.2

⇒ Banzo de classe 1

• Classificação da Alma c 468 = = 42.2 > 42ε = 42 ⇒ Alma de classe 4 à compressão pura (classificação conservativa) t w 11.1

∴ Nada se pode concluir (i) Determinação da classe da secção para NEd=1300kN (Caso I) Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2) - Cálculo do esforço normal de plastificação da alma

28


N pl ,w = dt w f y = 468 × 11.1 × 235 × 10 −3 = 1221 kN Como Npl,w=1221kN < NEd=1300kN, a alma estaria submetida a compressão uniforme e, portanto, seria de classe 4 – esta conclusão estaria em contradição com a hipótese admitida, pois numa secção de classe 4 não pode existir uma distribuição plástica de tensões. Hipótese 2: Distribuição elástica de tensões no estado limite último da secção (classe 3 ou 4) - Determinação da relação entre tensões ψ Parcela da compressão

Parcela da flexão

fy

N Ed A N ψ f y = −σ f + Ed A fy =σ f +

h1 h

c h2

ψ =

ψ fy

Eliminando σf

2 N Ed 2 × 1300 × 10 3 −1= − 1 = −0.177 A fy 13440 × 235

- Determinação das alturas h1 e h2 h = 468 + 2 × 17.2 = 502.4 mm (desprezando os raios de concordância)

h1 =

502.4 = 426.85 mm 1.177

h2 = h − h1 = 75.55 mm

- Determinação da relação entre tensões na alma ψw

ψw = −

(75.55 − 17.2) = −0.141 > −1 (426.85 − 17.2)

c 42ε 42 = 42.2 < = = 67.36 tw 0.67 + 0.33ψ w 0.67 − 0.33 × 0.141

⇒ Alma de classe 3

∴ Secção de classe 3 (ii) Determinação da classe da secção para NEd=750kN (Caso II) Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2)

29


Como Npl,w=1221kN > NEd=750kN, a linha neutra plástica cruza a alma, como mostra a figura 3.18. Assim, o primeiro passo consiste em determinar a zona plastificada da alma devido ao esforço normal, i.e.,

N Ed = cN tw f y

αC =

⇒

cN =

750 × 10 3 = 287.52mm 11.1 × 235

c cN 468 + 287.52 + = = 377.76 mm 2 2 2

Em seguida, determina-se o parâmetro α, o qual corresponde à relação entre a altura da zona da alma comprimida (αc) e a altura total da alma (c).

α=

αC c

=

377.76 = 0.807 > 0.5 468

c 396 ε 396 = 42.2 > = = 41.7 tw 13α − 1 13 × 0.807 − 1 c 456 ε 456 = 42.2 < = = 48.05 tw 13α − 1 13 × 0.807 − 1

⇒ Alma de classe 2

∴ Secção de classe 2 fy

fy fy αc

h

c

cN

fy

fy Zona da alma plastificada devido a NEd=750kN

Zona da secção plastificada devido ao momento flector

Figura 3.6 − Zonas plastificadas da secção devido ao esforço normal e ao momento flector

30


3.3 RESISTÊNCIA A TENSÕES DIRECTAS 3.3.1 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + Mz,Ed)

• Secções de Classe 1 e 2 - Resistência Plástica - Critérios (diagramas) de interacção não lineares N / Npl 1

Resistência plástica (a forma do diagrama varia de secção para secção) Resistência plástica (aproximação linear – conservativa)

Resistência elástica

1

M / Mpl

Figura 3.7 – Critérios (diagramas) de interacção não lineares

No caso mais geral (comportamento tridimensional), existem N+My+Mz. É habitual serem desenvolvidos critérios de interacção planos MN,y – MN,z, em que a presença do esforço normal já está “embebida” nos valores de MN,y e MN,z. Em alternativa, pode utilizar-se um critério (diagrama) de interacção espacial (tridimensional). • Secções de Classe 3 - Resistência Elástica - Critérios (diagramas) de interacção lineares equivalente a

σ x , Ed ≤ f yd

, (3.10)

onde f yd = f y / γ M 0 e γ M 0 é o coeficiente parcial de segurança (para o qual o EC3-1-1 propõe o valor 1.0).

31


N / Nel 1

1

M / Mel

Figura 3.8 – Critério de interacção linear

• Secções de Classe 4 - Resistência Elástica da secção efectiva

• Critérios que envolvem secções efectivas correspondentes à actuação individual de cada um dos esforços actuantes (NEd, My,Ed, Mz,Ed)

• Equivalência a

σ x , Ed ≤ f yd

f yd = f y / γ M 0

, (3.11)

na reunião das secções efectivas.

• Já se estudaram, na disciplina de Estruturas Metálicas, as VS das secções de Classe 1 e 2. • A VS das secções de Classe 3 envolve apenas a resistência elástica e resume-se a um simples problema de Resistência de Materiais.

• A VS das secções de Classe 4 é qualitativamente semelhante à das secções de Classe 3, mas requer o conhecimento prévio das características geométricas da(s) secção (ões) efectivas envolvidas − propriedades efectivas. EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 2) Verificar a segurança da secção

32


IPE 270

d=hw=249.6mm

A=45.94cm2

tw=6.6mm

Wpl.y=484cm3

b=135mm

Wpl.z=96.95cm3

tf=10.2mm de aço S235 (fy=235MPa), sujeita aos esforços NEd=580kN, My,Ed=25.5 kNm e Mz,Ed=16.4 kNm RESOLUÇÃO

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.y,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1) N pl , Rd =

Af y

γ M0

=

4594 × 235 × 10 −3 = 1079.59 kN 1.0

NEd=580kN > 0.25Npl,Rd=270kN N Ed = 580 kN > 0.5 N pl , w, Rd = 0.5

hwtw f y

γ M0

= 0.5 × 249.6 × 6.6 ×

235 × 10 − 3 = 193.56 kN 1

∴ É necessário reduzir Mpl.y,Rd (bastava uma das condições) • Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.z,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1) N Ed = 580 kN > N pl , w, Rd =

hwtw f y

γ M0

= 249.6 × 6.6 ×

235 × 10 − 3 = 387.12 kN 1

∴ É necessário reduzir Mpl.z,Rd • Como a secção está submetida a flexão desviada, adopta-se o critério α

β

 M y , Ed   M z , Ed    +  ≤1  M N , z , Rd   M N , y , Rd 

onde (i) MN,y,Rd e MN,z,Rd são momentos plásticos reduzidos pela presença de NEd e (ii) α e β são constantes que dependem do tipo da secção Secção em I: α = 2 ; β = 5 n mas β ≥ 1 n=

N Ed 580 = = 0.537 ⇒ β=2.685 > 1.0 N pl , Rd 1079.59

33


34


35


M N , y , Rd = M pl , y , Rd

M pl , y , Rd =

(1 − n ) (1 − 0.5 a )

W pl , y × f y

γ M0

=

484 × 10 3 × 235 × 10 −6 = 113.74 kNm 1.0

A − 2bt f   45.94 − 2 × 13.5 × 1.02   a = min 0.5,  = min 0.5,  = min{0.5, 0.401} = 0.401 A  45.94    M N , y , Rd = 113.74

(1 − 0.537 ) = 65.87 kNm ( > M y , Ed ) (1 − 0.5 × 0.401)

n ≤ a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

n > a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

e

n=0.537 M pl , z , Rd =

  n − a 2    1 −    1 − a  

a=0.401

W pl , z × f y

γ M0

=

⇒

n>a

96.95 × 10 3 × 235 × 10 −6 = 22.78 kNm 1.0

  0.537 − 0.401  2  M N , z , Rd = M pl , z , Rd 1 −    = 21.61 kNm (> M z , Ed )   1 − 0.401   Finalmente, tem-se α

β

2 2.685  M y , Ed   M z , Ed   25.2   16.4  ⇒ + ≤ 1 + = 0.15 + 0.477 = 0.627 < 1      65.87   21.61   M N , z , Rd   M N , y , Rd 

∴ A segurança da secção está verificada • Nota: Se se utilizasse o critério linear (mais simples) – EC3-1-1 6.2.1 (7) M y , Ed M z , Ed N Ed 580 25.5 16.4 + + = + + = 0.537 + 0.224 + 0.720 = 1.481 > 1 N pl , Rd M pl , y , Rd M pl , z , Rd 1079.59 113.74 22.78

∴ A segurança da secção não seria verificada (o critério linear é muito conservativo)

36


3.3.1.1 SECÇÕES DE CLASSE 4

• A VS das secções de Classe 4 requer, no caso mais geral, o conhecimento dos valores

das seguintes características geométricas: (i) Área Efectiva Aeff (ii) Excentricidades eNy e eNz (afastamento em relação ao eixo – nova posição de G) (iii) Módulo de flexão efectiva Weff,y,min (fibra com tensão máxima) (iv) Módulo de flexão efectiva Weff,z,min (fibra com tensão máxima) • Os valores de Aeff, eNy e eNz são determinados numa secção efectiva obtida admitindo

que na secção bruta actua apenas Nc,Ed (esforço nomal de compressão) • O valor de Weff,y,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas My,Ed. • O valor de Weff,z,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas Mz,Ed. • Deste modo, constata-se que, no caso mais eral, existem três secções efectivas diferentes.

A figura 3.9 ilustra as secções efectivas de uma secção em I com banzos iguais.

Figura 3.9 – Tipos de secções efectivas numa secção em I

• Em secções bissimétricas e monossimétricas tem-se eNy=eNz=0 e eNy=0 ou eNz=0.

37


3.3.1.1.1 DETERMINAÇÃO DE UMA SECÇÃO EFECTIVA

• Passos

(i) Determinar os valores de ψ (os quais definem o diagrama das tensões actuantes) nos elementos (paredes) comprimidos paralelos ao eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades da secção bruta. (ii) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos paralelos ao eixo de flexão, através do seguinte procedimento: (a) A partir do valor de ψ, determinar o coeficiente de encurvadura kσ , através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5. (b) A partir do valore de kσ, determinar a esbelteza normalizadas de placa λ p , através da expressão

λp =

fy

σ cr

=

b/t 28.4 ε kσ

. (3.12)

(c) A partir dos valores de λ p e ψ, determinar o factor de redução ρ, através de expressões que dependem de o elemento ser interno ou saliente: - Elementos Internos

ρ=1.0 ρ=

λ p − 0.055(3 + ψ ) λ p2

para λ p ≤ 0.673 para λ p > 0.673 [com (3 + ψ ) ≥ 0 )]

- Elementos Salientes

ρ=1.0 ρ=

λ p − 0.188 ) ρ=1.0 λ p2

para λ p ≤ 0.748 para λ p > 0.748

38


39


(d) Uma vez conhecido o valor de ρ, determinar os valores das larguras efectivas (bc,eff) dos elementos comprimidos através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 − a partir dos valores de bc,eff , é imediato obter as respectivas áreas efectivas (Ac,eff). (e) Se for necessário (i.e., se a largura efectiva não for “contínua”), determinar, a partir de bc,eff, as parcelas que constituem a largura efectiva do elemento comprimido (be1 e be2), também através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5. (iii) Determinar os valores de ψ nos elementos (paredes) comprimidos perpendiculares ao eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades de uma “secção fictícia”, constituída pelas respectivas áreas brutas e pelas áreas efectivas dos elementos paralelos ao eixo de flexão (já determinadas em (ii)). (iv) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos perpendiculaes ao eixo de flexão, através do procedimento descrito em (ii). (v) Determinar a(s) propriedade(s) efectiva(s) relevante(s). • NOTA: No caso de uma secção submetida a compressão pura, tem-se sempre ψ = 1. 3.3.1.1.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Flexão desviada composta com tracção M y , Ed f M z , Ed N Ed + + ≤ f yd = y A Weff , y , min Weff , z , min γ M0

. (3.13)

• Flexão desviada composta com compressão f N Ed M y , Ed + N Ed eNy M z , Ed + N Ed eNz + + ≤ f yd = y Aeff Weff , y , min Weff , z , min γ M0

. (3.14)

• OBSERVAÇÕES

(i) A aplicação das equações de interacção faz-se para a fibra mais solicitada pertencente à reunião de todas (no máximo três) secções efectivas. Os valores de Weff,y,min e Weff,z,min dizem respeito a essa fibra.

40


(ii) No caso de a fibra mais solicitada não pertencer a alguma das secções efectivas, o valor da parcela associada ao esforço correspondente será nulo. (iii) Os sinais das parcelas dependem da combinação de compressões e tracções, a qual varia de caso para caso. Não podem “somar-se” compressões e tracções e é conveniente adoptar a convenção de atribuir sinal positivo à tensão “dominante” (compressão ou tracção). EXEMPLO ILUSTRATIVO Verificar a segurança da secção 400 10 6

y

800

zG 10

z

300

(mm)

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

formada por três chapas de aço S355 (fy=355MPa) soldadas entre si (cordões de soldadura de largura a=6 mm), sujeita aos esforços NEd=390kN (compressão ou tracção) e My,Ed=630 kNm (momento flector positivo) RESOLUÇÃO -ε=

235 235 = = 0.814 fy 355

- Área: A = (400 + 300 ) × 10 + 800 × 6 = 11800 mm 2 6 mm a

- Cordões de soldadura: a=6mm ⇒ a = 6 2 = 8.49mm a

41


(I)

Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior c = (400 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 188.51mm

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43 kσ=0.43 ⇒ λ p =

ρ=

(c / t ) f

28.4ε Kσ

=

(188.51 / 10 ) = 1.244 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.682 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.682 × 188.51 = 128.56 mm

(be )banzo. sup = 2bc , eff + tw + 2a = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm • Secção Efectiva do Banzo Inferior c = (300 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 138.51mm


ρ=

(c / t ) f

28.4ε Kσ

=

(138.51 / 10 ) = 0.914 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.869 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.869 × 138.51 = 120.37 mm (be )banzo. inf = 2 × 120.37 + 6 + 2 × 8.49 = 263.72mm • Secção Efectiva da Alma b = (800 − 2 × 8.49 ) = 783.02mm

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0

42


kσ=4.0 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 2.823 > 0.673 28.4 × 0.814 × 4

λ p − 0.055(3 + ψ ) 2.823 − 0.055(3 + 1) = = 0.327 2.8232 λ p2

bc , eff = ρ b = 0.327 × 783.02 = 256.05mm be1 = be 2 = 0.5bc , eff = 128.03mm (be )alma = 128.03 + 8.49 = 136.52mm (junto de cada banzo) A figura abaixo mostra a secção efectiva determinadas.

136.52

136.52 263.72 • Cálculo da área efectiva (Aeff) e da excentricidade (eNy) Aeff = ( 280.1 + 263.72) × 10 + ( 2 × 136.52) × 6 = 7076.44mm 2 ( zG ) eff =

( 280.1 × 815 + 263.72 × 5) × 10 + (136.52 × 78.26 + 136.52 × 741.74 ) × 6 = 419.37 mm 7076.44

eNy = 444.32 − 419.37 = 24.95 mm (↓)

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior (be )b. sup = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm (idêntico ao caso anterior)

43


• Secção Efectiva da Alma - Cálculo de ψ na alma

280.1

σ1

σ2 = ψ σ1 A′ = ( 280.1 + 300 ) × 10 + 800 × 6 = 10601mm 2 zG′ =

( 280.1 × 815 + 300 × 5) × 10 + 800 × 6 × 410 = 402.40 mm 10601

ψ =−

(402.40 − 10 − 8.49 ) = −0.962 810 − 8.49 − 402.40

- Cálculo de ρ na alma

ψ = −0.962 ⇒ kσ = 7.81 − 6.29ψ + 9.78ψ 2 = 22.91 (Tabela 4.1 do EC3-1-5) kσ = 22.91 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 1.179 > 0.673 28.4 × 0.814 × 22.91

λ p − 0.055(3 + ψ ) 1.179 − 0.055(3 − 0.962) = = 0.768 λ p2 1.179 2

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

bc =

b 783.02 = = 399.09 mm 1 − ψ 1 + 0.962

44


beff = ρbc = 0.768 × 399.09 = 306.50 mm be1 = 0.4 beff = 0.4 × 306.50 = 122.6 mm

be 2 = 0.6 beff = 0.6 × 306.50 = 183.9 mm ( be ) alma ,sup = be1 + a = 122.6 + 8.49 = 131.09 mm

(be )alma ,inf = be 2 + bt + a = 183.9 + (783.02 − 399.09 ) + 8.49 = 576.32mm A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada. 280.1 131.09

576.32

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min) (300 × 5 + 280.1 × 815) × 10 + 576.32 × 6 × 298.16 + 131.06 × 6 × (810 - 65.55) = (300 + 280.1) × 10 + (576.32 + 131.09) × 6 = 389.67 mm ( medido a partir da base)

( zG ) eff =

300 × 10 3 280.1 × 10 3 6 × 576.323 6 × 131.09 3 + + + + 12 12 12 12 + 300 × 10 × 384 2 + 280.1 × 10 × (815 − 389.67 ) 2 +

( I y ) eff =

+ 576.32 × 6 × (389.67 − 298.16 ) 2 + 131.09 × 6 × (810 − 65.55 − 389.67 ) 2 = = 1175472955 mm 4 (Weff , y , min )sup =

(Weff , y , min )inf =

( I y )eff (820 − 389.67 )

( I y )eff (389.67 )

= 2731561.72 mm 3

= 3016585.714 mm 3

45


(III) Verificação da Segurança f yd =

fy

γ M0

=

355 = 355 MPa 1.0

• NEd=390kN (Compressão) - Fibras superiores

M + N Ed eNy N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 + 390 × 10 3 × 24.95 + y , Ed = + = Aeff f yd (Weff , y , min )sup f yd 7076.44 × 355 2731561.72 × 355 = 0.155 + 0.660 = 0.815 < 1.0

∴ A segurança da secção está verificada • NEd=390kN (Tracção) - Fibras superiores M y , Ed N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 − + =− + = −0.093 + 0.650 = 0.557 < 1.0 Af yd (Weff , y , min )sup f yd 11800 × 355 2731561.72 × 355

∴ A segurança está verificada - Fibras inferiores M y , Ed N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 − + = + = 0.093 + 0.588 = 0.681 < 1.0 Af yd (Weff , y , min )inf f yd 11800 × 355 3016585.714 × 355

∴ A segurança está verificada • NOTA: As fibra mais solicitada são as inferiores, que não correspondem ao valor mínimo do módulo de flexão efectivo. Por outro lado, como a compressão é sempre mais penalizadora que a tracção, não havia qualquer dúvida que a segurança da secção seria verificada. EXEMPLO ILUSTRATIVO Verificar a segurança da chapa de pavimento misto representada na figura 3.10 durante a fase construtiva (i.e., enquanto o betão está “fresco” e, portanto, não desempenha funções resistentes − traduz-se apenas por uma acção).

46


Secção Transversal

p L=2.60 m h Betão H H = 120mm

b/2 c

t y

b

c

b/2 y

ZG a

a = 150.0mm b = 60.5mm h = 54.0 mm c = 14.5mm t = 1.0mm

Figura 3.10 – Geometria, dimensões e acções da chapa de pavimento misto

47


RESOLUÇÃO (I) Dados - Chapa de pavimento: HI Bond 55 com fy=320MPa

ε=

235 = 0.857 320

- Valor do momento actuante máximo p = (12.83 × 9.8 × 10 −3 + 0.0925 × 25 ) = 2.438 kN / m / m (carga uniformemente distribuída) Chapa

Betão

Coeficiente de majoração

M y , Ed

2.438 × 2.6 2 = 1.5 × = 3.09 kNm / m (momento máximo − meio vão) 8

(II) Características Geométricas da Secção Bruta - Área

α = arctg

14.5 = 15.03º 54

54 = 55.91mm (comprimento das paredes inclinadas) cos15.03º

A = ( 2 × 30.25 × 60.5 + 2 × 55.91) × 1.0 = 232.83 mm 2 (célula com 150mm de largura) A=

232.83 = 1552.2 mm 2 / m (área por metro de largura) 0.15 ( m )

- Centro de gravidade zG=27mm (a partir da linha média) - Momento de inércia: c b

Ia=Ibcos2α + Icsen2α

a

a α

c

48


 60.5 × 1.0 3   55.913 × 1.0 Iy = 2×  + 60.5 × 1.0 × 27 2  + 2 ×  × cos2 (15.03) + 12 12   

+

 55.91 × 1.0 3 × sen 2 (15.03) = 12 

= 88219.08 + 2 × [13584.79 + 0.313] = 115389.29 mm 4 ( por célula ) Iy =

115389.29 = 769261.9 mm 4 / m 0.15

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior c = 60.5 − 2 × 0.5 = 59.5 mm


ρ=

(c / t ) f

28.4ε Kσ

=

(59.5 / 1.0 ) = 1.222 > 0.673 28.4 × 0.857 × 4.0

λ p − 0.055(3 + ψ ) 1.179 − 0.055(3 + 1) = = 0.671 1.222 2 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.671 × 59.5 = 39.92 mm

be1 = be 2 = 0.5bc , eff = 0.5 × 39.92 = 19.96 mm b e1

b e1 b e1 = be2 = 19.96mm

• Secção Efectiva das Almas - Cálculo de ψ nas almas A′ = [2 × 30.25 + 2 × 55.91 + (39.92 + 1.0 )] × 1.0 = 213.24 mm 2

( por célula )

2 × 30.25 × 1.0 × 0.5 + 2 × 55.91 × 1.0 × 27.5 + (39.92 + 1.0 ) × 54.5 = 213.24 = 25.02 mm ( medido a partir da base da secção)

zG′ =

49


ψ=

σ2 − 24.02 = = −0.829 σ 1 (53 − 24.02)


ψ = −0.829 ⇒ kσ = 7.81 − 6.29ψ + 9.78ψ 2 = 19.75 (Tabela 4.1 do EC3-1-5) b = 55.91 − 2 × 0.5 = 54.91 mm kσ = 19.75 ⇒ λ p =

(b / t ) w

28.4ε Kσ

=

(54.91 / 1.0 ) = 0.508 < 0.673 28.4 × 0.857 × 19.75

∴ A alma é toda efectiva • Cálculo de Weff,y,min (zG)eff = 25.02 mm 60.5 × 1.0 3 + 60.5 × 1.0 × ( 25.02 − 0.5 ) 2 + 40.92 × 1.0 × (54.5 − 25.02) 2 + 12 + 2 × (13584.79 + 0.313) + 55.91 × 1.0 × ( 27.5 − 25.02) 2 =

( I y ) eff =

[

]

= 5.042 + 36374.439 + 33895.039 + 27857.944 = 98132.464 mm 4 ( I y )eff =

( por célula )

98132.464 = 654216.427 mm 4 / m 0.15

(III) Verificação da Resistência M y , Ed Weff , y , mim f yd

=

3.09 × 10 6 = 0.443 < 1.0 320 21821.762 × 1.0

∴ A resistência da chapa está verificada 3.3.2 TENSÕES TANGENCIAIS (Vz,Ed + Vy,Ed)

• Secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não tem qualquer relação com a resistência às tensões tangenciais) • O valor de cálculo do esforço transverso VEd deve satisfazer a condição

50


VEd ≤ 1.0 Vc , Rd

, (3.15)

onde Vc,Rd é o valor de cálculo da resistência da secção ao esforço transverso. No caso do dimensionamento plástico, Vc,Rd é igual a Vpl,Rd (valor de cálculo da resistência plástica), dado por Vc , Rd = V pl , Rd =

Av ( f y / 3 )

γ M0

, (3.16)

onde Av é a área de corte da secção, a qual depende da sua geometria e do sentido de actuação esforço transverso. • O dimensionamento elástico é conservativo e, por esse motivo, só se adopta quando tal é indispensável, nomeadamente na verificação da segurança de secções de Classe 3 ou 4 submetidas a combinações de esforço transverso, momento flector e/ou momento torsor. • O valor de Vc,Rd=Vel,Rd obtém-se a partir da condição

fy

τEd ≤ 1,0 ( 3 γ M0 )

, (3.17)

onde τEd é determinado através de expressão (já conhecida da Resistência de Materiais)

τ Ed =

VEd S It

. (3.18)

• Em secções em I ou H em que a relação entre Af (área de um banzo) Aw (área da alma) satisfaz a condição Af / Aw ≥ 0.6 , a tensão tangencial na alma (provocada por um esforço transverso paralelo a ela) pode ser determinada, aproximadamente, através da expressão

τ Ed =

VEd Aw

. (3.20)

51


52


53


3.3.3 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + VY,Ed) + TENSÕES TANGENCIAIS (VZ,Ed + VY,Ed)

• O EC3 estipula que, no caso de se ter VEd ≤ 0.5 V pl . Rd (o esforço transverso actuante não excede 50% da resistência plástica da secção ao corte), a influência do esforço transverso pode ser desprezada e a resistência da secção é condicionada unicamente pelas tensões normais (situação já abordada na secção 3.3.1). • Se Vz , Ed > 0.5 V pl , z , Rd e/ou V y , Ed > 0.5 V pl , y , Rd o EC3 preconiza que a influência do esforço transverso (i) tem que ser considerada e (ii) pode ser traduzida por uma redução da tensão de cedência do aço na(s) respectiva(s) área(s) de corte Av,z e/ou Av,y. Essa redução da tensão de cedência é definida por: 2

Av,z : fy → (1-ρz) fy

 2V  com ρ z =  z , Ed − 1 V   pl , z , Rd 

Av,y : fy → (1-ρy) fy

 2V  com ρ y =  y , Ed − 1 V   pl , y , Rd 

(3.21)

2

. (3.22)

• Verifica-se então a resistência às tensões normais de uma secção transversal “enfraquecida” (pela redução da tensão de cedência) em uma ou em ambas as áreas de corte. • Observe-se que a redução da tensão de cedência pode fazer baixar a classe da secção. Para além disso, nas secções de Classe 4 (sem e com redução de fy), a presença de esforço transverso superior a 50% da resistência plástica da secção influencia as propriedades efectivas (“aproxima-as” das propriedades brutas). • No caso de secções de Classe 3 ou 4, as quais apenas podem atingir uma resistência elástica, pode adoptar-se um procedimento alternativo: verificar a resistência da secção através do bem conhecido critério de von-Mises, cuja expessão é

2 2 σ comp , Ed = σ Ed + 3σ Ed ≤ f yd =

fy

γ M0

. (3.23)

No caso das secções de Classe 4, o valor de σ Ed é nula nas zonas não efectivas da secção.

54


55


EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 1) Verificar a segurança da secção de um perfil IPE 270 de aço Aço S235 (fy=fyd=235MPa) cujas caracteristicas geométricas são A=45.95 cm2

hw=249.6 mm

tw=6.6 mm

Wpl,y=484 cm3

Av,z=22.14 cm3 ,

a qual se encontra submetida à combinação de esforços My,Ed=105 kNm e Vz,Ed=210 kN, a qual ocorre tipicamente em apoios intermédios de vigas contínuas. RESOLUÇÃO V pl , z , Rd =

Av , z ( f y / 3 )

γ M0

=

22.14 × ( 23.5 / 3 ) = 300.4 kN ( > Vz , Ed ) 1.0

Vz , Ed = 210 kN > 0.5 V pl , z , Rd = 150.2 kN

∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais • No caso das secções em I com banzos iguais submetidas a flexão em torno do eixo de maior inércia, o EC3-1-1 preconiza explicitamente a utilização da expressão

M y ,V , Rd

 ρ A2  W pl , y − z w  4 tw  = com Aw=hwtw (área da alma) − em geral, tem-se Aw < Av,z

γ M0

para estimar o momento resistente da secção, tomando em consideração a influência do esforço transverso. No entanto, apesar de designar esse momento resistente por “plástico”, estipula que ele deve ser limitado pela condição

M y,V,Rd ≤ M y,C,Rd =

Wpl,y fy / γM0

(Classe 1 ou 2)

Wel,y fy / γM0

(Classe 3)

Weff,y fy / γM0

(Classe 4)

Como a aplicação desta disposição ao caso das secções de Classe 3 ou 4 parece não fazer sentido (o momento resistente da secção sem esforço transverso é “elástico”), ela será apenas considerada em secções de classe 1 e 2.

56


57


2

2  2Vz , Ed   2 × 210    ρz =  −1 =  − 1 = 0.159   300.4   V pl , z , Rd 

Aw = 249.6 × 6.6 × 10 −2 = 16.47 cm 2 (< Av , z = 22.14 cm 2 )  0.159 × 16.47 2  235  × M y ,V , Rd =  484 × 10 3 − × 10 − 6 = 109.91 kNm 4 × 6 . 6 1 . 0   M y , Ed = 105 kNm < M y ,V , Rd = 109.9 kNm

∴ A resistência da secção está verificada EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 4) Verificar a segurança da secção soldada já considerada anteriormente (ver página 30) 400 10 6

y

800

zG 10

z

300

(mm)

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

É formada por chapas de aço S355 (fy=355MPa), tem cordões de soldadura de largura a=6 mm e está sujeita a NEd=390kN (compressão), My,Ed=630 kNm (momento positivo) e Vz,Ed=800 kN. RESOLUÇÃO Av , z = 800 × 6 = 4800 mm 2 (área da alma ) V pl , z , Rd =

Av , z ( f y / 3 )

γ M0

=

4800 × (355 / 3 ) × 10 −3 = 983.8 kN (> Vz , Ed ) 1.0

Vz , Ed = 800 kN > 0.5 V pl , z , Rd = 491.9 kN

∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais 58


2

2  2Vz , Ed   2 × 800    ρz =  −1 =  − 1 = 0.3923   983.8   V pl , z , Rd 

f y , w = (1 − ρ z ) f y = (1 − 0.3923) × 355 = 215.7 MPa ≡ f yd , w ⇒ ε w =

f y , f = f y = 355 MPa ≡ f yd , f ⇒ ε f =

235 = 1.044 215.7

235 = 0.814 355

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd) • Secção Efectiva do Banzo Superior c = (400 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 188.51mm


ρ=

(c / t ) f

28.4ε f Kσ

=

(188.51 / 10 ) = 1.244 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.682 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.682 × 188.51 = 128.56 mm (be )banzo. sup = 2bc , eff + tw + 2a = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm

• Secção Efectiva do Banzo Inferior c = (300 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 138.51mm


ρ=

(c / t ) f

28.4ε f Kσ

=

(138.51 / 10 ) = 0.914 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.869 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.869 × 138.51 = 120.37 mm

(be )banzo. inf = 2 × 120.37 + 6 + 2 × 8.49 = 263.72mm 59


• Secção Efectiva da Alma b = (800 − 2 × 8.49 ) = 783.02mm

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0 kσ=4.0 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε w Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 2.200 > 0.673 28.4 × 1.044 × 4

λ p − 0.055(3 + ψ ) 2.200 − 0.055(3 + 1) = = 0.409 λ p2 2.200 2

bc , eff = ρ b = 0.409 × 783.02 = 320.26 mm be1 = be 2 = 0.5bc , eff = 160.13mm (be )alma = 160.13 + 8.49 = 168.62mm (junto de cada banzo) A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

168.62

168.62 263.72 • Cálculo de Aeff e eNy Aeff = ( 280.1 + 263.72) × 10 + ( 2 × 168.62) × 6 = 7461.64 mm 2 ( zG ) eff =

( 280.1 × 815 + 263.72 × 5 ) × 10 + (168.62 × 94.31 + 168.62 × 725.69 ) × 6 = 418.89 mm 7461.64

eNy = 444.32 − 418.89 = 25.43mm (↓)

60


(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior (be )b. sup = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm (idêntico ao caso anterior)

• Secção Efectiva da Alma - Cálculo de ψ na alma

280.1

σ1

σ2 = ψ σ1 A′ = ( 280.1 + 300 ) × 10 + 800 × 6 = 10601mm 2 zG′ =

( 280.1 × 815 + 300 × 5) × 10 + 800 × 6 × 410 = 402.40 mm 10601

ψ =−

(402.40 − 10 − 8.49 ) = −0.962 810 − 8.49 − 402.40

ψ = −0.962 ⇒ kσ = 7.81 − 6.29ψ + 9.78ψ 2 = 22.91 (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

kσ = 22.91 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε w Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 0.9196 ≅ 0.920 > 0.673 28.4 × 1.044 × 22.91

λ p − 0.055(3 + ψ ) 0.920 − 0.055(3 − 0.962) = = 0.954 λ p2 0.920 2

61



bc =

b 783.02 = = 399.09 mm 1 − ψ 1 + 0.962

beff = ρbc = 0.954 × 399.09 = 380.73mm

be1 = 0.4 beff = 0.4 × 380.73 = 152.29 mm be 2 = 0.6 beff = 0.6 × 380.73 = 228.44 mm (be )alma ,sup = be1 + a = 152.29 + 8.49 = 160.78 mm

(be )alma , inf = be 2 + bt + a = 228.44 + 383.93 + 8.49 = 620.86 mm A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada. 280.1 160.78

620.86

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min) (300 × 5 + 280.1 × 815) × 10 + 620.86 × 6 × 320.43 + 160.78 × 6 × (810 - 80.39) = (300 + 280.1) × 10 + (620.86 + 160.78) × 6 = 399.90 mm ( medido a partir da base)

( zG ) eff =

62


300 × 10 3 280.1 × 10 3 6 × 620.86 3 6 × 160.78 3 + + + + 300 × 10 × (399.9 − 5 ) 2 + 12 12 12 12 2 + 280.1 × 10 × (815 − 399.9 ) + 620.86 × 6 × (399.9 − 320.43) 2 +

( I y ) eff =

+ 160.78 × 6 × (810 − 80.39 − 399.9 ) 2 = 1200655040 mm 4

(Weff , y , min ) f ,sup =

( I y )eff (820 − 399.9 )

(Weff , y , min ) w, alma =

= 2858021.995 mm3 (fibras superiores do banzo comprimido)

( I y ) eff ( 820 − 399.9 − 10 )

= 2927712.851 mm 3 (fibras superiores da alma)

(III) Verificação da Segurança • Fibras Superiores do Banzo Comprimido M y , Ed + N EdeNy N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 + 390 × 10 3 × 25.43 + = + = Aeff f yd , f (Weff , y , min ) f ,sup f yd , f 7461.64 × 355 2858021.995 × 355 = 0.147 + 0.631 = 0.778 < 1 • Fibras Superiores da Alma M y , Ed + N Ed eNy N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 + 390 × 10 3 × 25.43 + = + = Aeff f yd , f (Weff , y , min ) f ,sup f yd , f 7461.64 × 215.7 2927712.851 × 215.7 = 0.242 + 1.013 = 1.255 > 1

∴ A segurança da seccção não é verificada (nas fibras superiores da alma) • Em alternativa, poder-se-ia ter utilizado o critério de von Mises, o que envolveria os seguintes procedimentos: (i) Determinar as tensões normais devidas a NEd + My,Sd, o que obrigaria a calcular as propriedades efectivas da secção (tal como foi feito anteriormente). (ii) Determinar as tensões tangenciais devidas a Vz,Ed, com base na secção bruta. (iii) Determinar o ponto da secção onde o valor da tensão de comparação σcomp,Ed é máximo e comparar esse valor com fyd – como é óbvio, admite-se que a tensão normal

σEd é nula nas zonas não efectivas da secção.

63


(iv) Neste caso particular, a máxima tensão de comparação ocorreria na vizinhança do nó alma-banzo superior – (i) nas fibras superiores do banzo comprimido (ponto 1 − máxima tensão normal) ou (ii) nas fibras superiores da alma (ponto 2 − tensão normal um pouco inferior ao valor máximo, mas tensão tangencial cerca do dobro da anterior – ponto 2). Como a tensão de cedência é menor no ponto 2, este condiciona a resistência da secção. 1

2

3.3.4 TORÇÃO

• Uma barra com secção de parede fina aberta submetida a um momento torsor T exibe (i) rotação φ das suas secções transversais em torno do eixo da barra e (ii) deslocamentos axiais de empenamento u (a secção deixa de estar contida num plano). φ

u T x T y

u

Figura 3.11 – Barra submetida a momento torsor T – empenamentos u e rotações φ

• Se as secções puderem empenar livremente, isto é, se (i) os apoios da barra não impedirem o empenamento e (ii) o momento torsor for constante, diz-se que a barra está submetida a “Torção Uniforme” (ou “Torção de Saint-Venant”) – ver a figura 3.12.

64


Figura 3.12 – Barra submetida a torção uniforme

• Se (i) o empenamento for restringido (impedido) em alguma secção (e.g., num apoio) ou (ii) o momento torsor for variável, diz-se que a barra está submetida a “Torção NãoUniforme” – ver a figura 3.13 (o empenamento está impedido no encastramento).

Figura 3.13 – Barra submetida a torção não uniforme

• No caso da torção uniforme, as secções exibem deslocamentos axiais de empenamento que, por serem iguas em todas as secções, não introduzem tensões normais. O momento torsor Tsv é equilibrado unicamente por tensões tangenciais

τsv,

cuja determinação foi

estudada na disciplina de Resistência de Materiais.

65


• No caso da torção não uniforme, para além das tensões tangenciais τsv, desenvolvem-se também (i) tensões normais σw (devidas à restrição ao empenamento), cuja resultante se designa por bimomento (Bw) e (ii) tensões tangenciais τw (também devidas à restrição ao empenamento) que equilibram as tensões normais σw. Deste modo, o momento torsor resistente (TR) é constituído por duas parcelas (ver a figura 3.13) TR = Tsv + Tw Resultante

Resultante

de τsv

de τw

onde (i) Tsv=GJφ’ (torção uniforme) e (ii) Tw=–EIwφ’’’ (torção não uniforme) − φ é o ângulo de rotação da secção em torno do eixo da barra. Conforme mostra a figura 3.13, os valores relativos de Tsv e Tw variam ao longo do comprimento da barra.

Tw

T

Tsv T=TR=Tsv+Tw

Figura 3.13 – Parcelas Tsv e Tw do momento torsor resistente

• Para caracterizar o comportamento de torção de uma secção é necessário conhecer duas propriedades geométricas: (i) a constante de torção de Saint-Venant (J), cuja determinação se estudou na disiplina de Resistência de Materiais, e (ii) a constante de empenamento (Iw). Existem tabelas com expressões analíticas e/ou valores de J e Iw para diversos tipos de secções. • O EC3 estipula que o momento torsor devido ao empenamento (Tw,Ed) pode ser desprezado nas secções de parede fina fechada (por exemplo, secções RHS − secções tubulares rectangulares). Em secções circulares tubulares circulares, Tw,Ed é mesmo nulo (devido à simetria radial da secção). 66


• O EC3 estipula também que o momento torsor de Saint-Venant (Tt,Ed) pode ser desprezado nas secções de parede fina aberta (por exemplo, em I ou H). Neste tipo de secções a resistência à torção é devida, quase unicamente, à resistência das secções ao empenamento. • Como o comportamento das secções de parede fina aberta é bastante complexo (devido ao empenamento), aborda-se aqui apenas a torção das secções de parede fina fechada. • Sabe-se, da Resistência dos Materiais, que a tensão tangencial elástica devido à torção de Saint-Venant, em secções tubulares circulares (CHS) e rectangulares (RHS), é dada por

τt =

Tt r Ip

Ip =

π 2

Re

( Re4 − Ri4 )

Ri

r

t T τt = t 2 Am t

Am = (b − t )( h − t )

h

Am b

3.3.4.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Em secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não envolve a resistência às tensões tangenciais, inclusive as devidas à torção), tem-se TEd ≤ 1.0 TRd

• Dimensionamento Plástico - Secções circulares Tpl , Rd = ∫

Re

Ri

f 2π 3 ( ( × 2πr × r ) dr = Re − Ri3 ) yd 3 3 3

f yd

f yd

r

3

- Secções rectangulares Tpl , Rd = ( 2 Amt )

f yd 3

f yd 3

67


• Dimensionamento Elástico - Secções circulares Tel , Rd =

I p  f yd  f  π   = ( Re4 − Ri4 )  yd  Re  3  2 Re  3

Observe-se que, para um dado valor de Re, quanto maior for o valor de Ri (isto é, menor o valor de t=(Re–Ri)), mais pequena é a diferença entre os valores de Tel,Rd e Tpl,Rd. - Secções rectangulares Como a tensão tangencial se admite uniforme na espessura em regime elástico, os valores das resistências elástica e plástica são idênticos: (TRd)el=(TRd)pl. 3.3.4.1.1 ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação VEd + TEd, a verificação da segurança toma a forma VEd V pl .T . Rd

≤ 1.0

onde Vpl.T.Rd é o esforço transverso resistente (plástico) da secção reduzido pela presença das tensões tangenciais de torção (τt,Ed − tensões elásticas). Nas secções tubulares, tem-se

V pl .T . Rd = V pl . Rd

    τ t , Ed   = 1−  ( f y / 3)    γ M0  

3.3.4.1.2 MOMENTO FLECTOR (MEd) + ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação MEd + VEd + TEd em que o nível de esforço transverso seja elevado em relação ao esforço transverso reduzido pelas tensões tangenciais de torção (VEd > 0.5Vpl.T.Rd), o factor de redução da tensão de cedência do aço na área de corte (ρ) +e dado por  2VEd  ρ =  − 1   V pl .T . Rd 

2

68


69


• Alternativamente, pode sempre recorrer-se ao critério de von-Mises, que neste caso toma a forma 2

2

 σ Ed      + 3  τ Ed  ≤ 1.0  f /γ   f /γ   y M0   y M0 

Como se trata de um critério de resistência elástica, a sua utilização é (i) rigorosa, nas secções de Classe 3 ou 4, e (ii) conservativa, nas secções de Classe 1 ou 2. EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO CIRCULAR) Determine o momento torsor resistente de dimensionamento (i) plástico e (ii) elástico de um perfil de secção CHS 127×10 de aço S235, cujas geometria é definida por (i) um diâmetro exterior igual a 127.0 mm e uma espessura de 10.0 mm. RESOLUÇÃO Re =

127 = 63.5 mm 2

Tpl , Rd =

Tel , Rd =

Ri = Re − t = 63.5 − 10 = 53.5 mm

2π 3 (Re − Ri3 ) f yd = 2π (63.53 − 53.53 )× 235 = 29.25 × 106 Nmm 3 3 3 3 × 1.0

π 2 Re

(R

4 e

− Ri4 )

f yd 3

=

π 2 × 63.5

(63.5

4

− 53.5 4 )×

235 = 27.07 × 10 6 Nmm 3 × 1.0

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO RECTANGULAR DE CLASSE 1) Verifique a resistência da secção RHS 400×200×10 representada, de aço S235 e submetida aos esforços My,Ed=220 kNm, Vz,Ed=435 kN e TEd=100 kNm.

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RESOLUÇÃO 1) Esforço Transverso Resistente Vpl.T.Rd   τ t , Ed V pl ,T , Rd = V pl , z , Rd 1 −   ( f y / 3 ) / γ M 0 

V pl , z , Rd =

Av , z =

3 ×γ M0

alma

A × h 11600 × 400 = = 7733.3 mm 2 ≅ 380 × 10 × 2 = 7600 mm 2 b+h 200 + 400

V pl , z , Rd =

τ t , Ed =

Av , z f y

7733.3 × 235 = 1049.2 kN 3 × 1.0

TEd 100 × 10 6 ( Nmm) = = 67.5 N / mm 2 2 Amt 2 × (390 × 190 ) × 10

  67.5 V pl ,T , Rd = 1049.2 × 1 −  = 527.6 kN (redução de cerca de 50%)  ( 235 / 3 ) / 1.0 

2) Interacção entre VEd e Mpl,y,Rd Vz , Ed = 435 kN > 0.5 V pl ,T , Rd = 263.3 kN ⇒ É necessário considerar a interacção 3) Factor de Redução da Tensão de Cedência em Av,z 2

2  2VEd   2 × 435    ρ = −1 =  − 1  = 0.424   526.7   V pl ,T , Rd 

(1 − ρ ) f y = (1 − 0.424 ) × 235 = 135.6 MPa

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4) Verificação da Segurança M y ,V , Rd = ( 200 × 10 ) × 195 × 2 ×

235 135.6 + (190 × 10 ) × 95 × 4 × 1.0 1.0

Banzos Wpl,y M y ,V , Rd = 281.2 kNm > M y , Ed = 220 kNm

Almas Wpl,y ∴ A resistência da secção está verificada

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Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

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