NAMA
: _________________________________ ________________________________________ _______
Kelas
: _________________________________ ________________________________________ _______
Masalah: Lumba-lumba berenang di lautan bebas. Terkadang, lumba-lumba berenang mengikuti kapal yang melaju di sekitarnya. Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Gerakan lumba-lumba berperiode timbul dan tenggelam di permukaan air laut. Misalkan, lumba-lumba kembali ke permukaan setiap 15 detik dan tampak di permukaan selama 3 detik.
Gambar 1. Sketsa pergerakan lumba lumba
A. FUNGSI NAIK TURUN DAN STASIONER STASIONER Perhatikan gambar di bawah ini !
= 4 − maka ’ = − .....
4 = 4 − −2 1. Bila
< 0
maka
0
2
’ > 0 (Gradien (Gradien
di di setiap titik positif). Terlihat
grafiknya NAIK, dikatakan fungsi selalu NAIK . 2. Bila
>0
maka
’ < 0 (Gradien
di setiaptitik negatif). Terlihat
grafiknya MENURUN, maka dikatakan fungsi selalu TURUN. TURUN. Dapat disimpulkan disimpulkan bahwa pada interval interval tertentu tertentu suatu fungsi fungsi f(x) akan: 1. NAIK jika f’(x) > 0
2. TURUN jika f’(x) < 0.
SIFAT : Misalkan adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap maka 1. Jika ′ > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I. 2. Jika ′ < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I. 3. Jika ′ ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I. 4. Jika ′ ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.
____ Oktober 2017
∈
Masalah 1 : Tentukan pada interval mana fungsi = 2 + 5 − 4 , akan mengalami: a. Naik b. Turun. Penyelesaian : = 2 + 5 − 4 ’ = ...... + 10 - ..... = 2 (.... + .... - ..... ) = 2 (3 - ..... ) ( + ..... ) Pembuat nol fungsi:
2 (3 - ..... ) ( + ..... ) = 0 (3 - ..... ) = 0
3 a. Fungsi Naik jika
’ > 0
=
= .....
1 ......
6 + 10 4 > 0
untuk menentukan intervalnya, diuji dengan titik (0, 0) > 0 (Salah) 1
-2 S
6(....) 2 + 10. 0
– 4
Jadi fungsi naik pada: x < -2 dan x >
3
B
∨ ( + ..... ) = 0 ∨ = - ......
1 3
B 0
b. Fungsi Turun jika f’(x) < 0 6x2 + 10x - 4 < 0 untuk menentukan intervalnya, diuji dengan titik (0, 0) < 0 (Benar) 1
-2
S B
____ Oktober 2017
10. 0 – 4
Jadi fungsi turun pada: -2 < x <
3
S
6(....) 2 +
1 3
Masalah 2 :
Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi Penyelesaian:
____ Oktober 2017
= – 2 .
NILAI STATIONER. Pengantar materi: Perhatikan gambar di bawah ini !
= 4 –
’ = .......
= 4 − 2
−2
Bila = 0, maka ’ = 0 (gradien sama dengan nol). Di titik (0, 4) grafik tidak naik & tidak turun, dikatakan fungsi dalam keadaan stationer di = 0 dan mempunyai nilai stationer 0 = 4. Coba perhatikan grafik fungsi: f(x) = 3x5 – 5x3 berikut ini:
2
−2 −1
1
2
= 3 – 5
Bila ’
=0
maka
’ = 15x4 – 15x2 = 15 ( ....2 - ....) = 15 (x +....) (.... -1) 15 (x +....) (.... -1) = 0
Di titik yang absisnya: x = 0, x = 1 dan x = -1 adalah stationer (berhenti bergerak) yaitu titik A, O, B 0 = 3(...)5 -5. 03 = ..... - ..... = 0 (0, ....) −1 = 3(...)5 -5. (...)3 = ..... + ..... = .... (-1, ....) 1 = 3(...)5 -5. (...)3 = ..... - ..... = .... (...., ....) Jadi titik stationernya A(-1, 2), O(0, 0) dan B(1, 2)
____ Oktober 2017
Dari grafik nampak bahwa jenis nilai stationernya tidak sama, sekarang akan diseldiki keadaan nilai stationer itu dengan memperhatikan tanda f’(x) di sekitar titik-titik tersebut: 1. Nilai stationer di A: Jika x < -1 maka ’ > 0, untuk x = -1 maka ’ = 0 dan untuk > −1 maka ’ < 0 Jadi , ’ berganti tanda dari ( + ) melalui 0 terus ( - ), hal ini dikatakan bahwa mempunyai Nilai balik maksimum sebesar f(-1) = 2 pada x = -1 2. Nilai stationer di O: Jika < 0 maka ’ < 0, untuk = 0 maka ’ = 0 dan untuk > 1 maka ’ < 0 Jadi , ’ bertanda dari ( - ) melalui 0 terus tetap ( - ), hal ini dikatakan bahwa f mempunyai Titik belok horizontal di titik O. 3. Nilai stationer di B: Jika < 1 maka ’ < 0, untuk = 1 maka ’ = 0 dan untuk > 0 maka ’ > 0 Jadi , ’ berganti tanda dari ( - ) melalui 0 terus ( + ), hal ini dikatakan bahwa f mempunyai Nilai balik minimum sebesar f(1) = 2 pada x = 1 Ke tiga nilai stationer tersebut dapat ditentukan dengan syarat: f’(a) = 0 , maka f(a) adalah nilai stationer fungsi f pada x = a. Masalah 3 : Tentukan nilai-nilai stationer fungsi jenisnya! Penyelesaian :
= −
= − ,
’ = .... x 2 - ..... x ’ = 0
dan tentukan pula
Syarat mencapai stationer
.... x2 - ..... x = 0 3 ( ..... 2 - ..... ) = 0 3 (x + .....) (x - ....) = 0
sehingga didapat: x + .... = 0
∨
x = - .... Untuk Untuk
x - .... = 0 x = ......
= - 1, maka f(-1) = (.....) 3 – 3 ( ..... ) = - ...... + ...... = ....... = 1, maka f( 1) = (.....) 3 – 3 ( ..... ) = ...... - ...... = - ......
Jadi, fungsi f mempunyai nilai stationer f(-1) = ...... untuk x = -1 dan f(1) = .... untuk x = 1 Atau dengan kata lain titik-titik stationernya adalah (-1, ....) dan (1, .....)
= − – ____ Oktober 2017
-1+
-1 0
= -1+ -
1-
1 0
1+ +
Bentuk grafiknya Titik balik maksimum (-1, 2)
Titik balik minimum (1, 2)
Masalah 4 : Tentukan nilai-nilai stationer fungsi = jenisnya! Penyelesaian :
____ Oktober 2017
− + , dan tentukan pula
B. NILAI MAKSIMUM dan MINIMUM FUNGSI. Masalah: Seorang anak menarik sebuah tali dan kemudian membuat gelombang dari tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah. Dia melihat bahwa gelombang tali memiliki puncak maksimum maupun minimum. Dapatkah kamu menemukan konsep nilai maksimum ataupun minimum dari sebuah fungsi? Alternatif penyelesaian: Gradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya. Sketasa gelombang tali
Pengantar materi: Jika suatu fungsi dalam interval tertutup , nilai maksimum dan minimum fungsi dapat diidentifikasi melalui proses penentuan nilai fungsi terhadap beberapa nilai yang merupakan titik-titik stationer, dan ujungujung interval yang dipersyaratkan. SIFAT: Misalkan adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada ∈ sehingga: 1. Jika = 0 maka titik ( , ) disebut stasioner/kritis 2. Jika = 0 dan > 0 maka titik ( , ) disebut titik minimum fungsi 3. Jika = 0 dan < 0maka titik ( , ) disebut titik maksimum fungsi 4. Jika = 0 maka titik ( , ) disebut titik belok.
____ Oktober 2017
Masalah 5 : Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi = 4 – 1 x 4 ! Penyelesaian : 4 – f(1) = 4.(....)3 – (....)4 = ...... = f(4)
Syarat stationer : =
0
(.....)x.....
= 4.(....) 3 – (....)4 = ...... - (…..) x3 = 0 ……x2 (….. – x )= 0
= …… f(0) = ……. , f (3) =
4.(....) 3
= x
–
0+
0 0
pada interval
atau = ….. – (....)4 = ......
= 0+ -
3- +
3 0
3+ -
Bentuk grafiknya Titik belok horisontal
Titik balik maksimum
Berarti nilai minimumnya = 0 di x = 4 dan nilai maksimumnya = 27 di x = 3. Masalah 6 : Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi interval 2 x 6 ! Penyelesaian :
____ Oktober 2017
= −2 + 4 − 5 pada
C. MODEL MATEMATIKA TERKAIT NILAI EKSTRIM FUNGSI. Di dalam kehidupan sehari – hari banyak hal yang berkaitan dengan maksimum dan minimum. Perhatikan permasalahan berikut ini, dan diskusikan dengan kelompok belajar anda ! Masalah 7 : Kita akan membuat kotak tanpa tutup dari sehelai karton yang berbentuk bujuur sangkar (persegi) dengan rusuk = 20 cm, dengan jalan memotong bujur sangkar kecil pada setiap sudutnya, tentukan ukuran kotak sup[aya isinya sebanyak – banyaknya ! Penyelesaian : Bila masalah di atas kita tuangkan dalam gambar adalah sebagai berikut : Misal potongan bujur sangkar pada sudutnya adalah x cm. Maka ukuran kotak yang akan dibuat adalah : Panjang = (..... – 2x) cm Lebar = (..... – ....x)cm Tinggi = ...... cm Sehingga volum kotak : Volum = (..... – 2x) (….. – ….x) (….) cm3 = ...... – ..... + 4 cm3 Terdapat suatu fungsi x dari volume kotak:
V(x) = ...... – ..... + 4 Supaya kotak tersebut mempunyai volume yang maksimum, maka : v’ (x)
=0
........ – ……… +12
=0
....... – 160 + ......
=0
3 – ....... + ...... (.... – ..... )( – ......)
=0
3 – .... =
0 atau
=0
– ...... = 0
sehingga:
=
..... 3
atau
= ......
untuk = 10, maka V(10) = ......, mendapatkan titik (10 , 0) merupakan titik balik minimum. Sehingga titik ini tidak memenuhi, karena yang diminta adalah volume maksimum.
____ Oktober 2017
Untuk x =
10 3
maka v(
10 3
) =
......... 27
10 16.000 , menunjukkan 27 3
mendapatkan titik
titik balik maksimum. Sehingga volume kotak yang di buat, maksimum dicapai bila
x =
10 3
.
Atau dengan kata lain : karton tersebut di potong pada ke empat sudutnya dengan bentuk bujur sangkar dengan sisi
10 3
cm.
Jadi ukuran kotaknya adalah : Panjang
= (...... – 2 .
Lebar
=
Tinggi kotak
=
____ Oktober 2017
......
panjang ........ 3
cm
3
) cm =
....... 3
cm
NAMA
: ________________________________________
Kelas
: ________________________________________
Pengantar: Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut beberapa kegunaan Turunan Fungsi diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG. Pengantar materi: Perhatikan gambar di bawah ini ! y koordiB2
Pada gambar di samping terlihat bahwa B
nat titik: C [ a, f(a) ] dan
E B [ (a +h) , f(a +h) ] a
h
A2
C
O
A1
D B1
f ( a h) f ( a) h
A2 B2
A1 B1
BD CD
Gradien tali busur CB
Sehingga akan diperoleh : Lim
f (a h) f (a)
h 0
h
Lim (Gradien tali busur CB) = Gradien garis singgung C. h 0
Bila diambil h cukup kecil, maka arah tali busur melalui titik C semakin dekat ke arah garis singgung dari C, sehingga:
’ =
Lim h 0
pada grafik .
____ Oktober 2017
f (a h) f (a ) h
Gradien garis singgung pada titik (
, )
Masalah 1 : Tentukan gradien garis singung dari fungsi = Penyelesaian : = ’ = ..... - ..... – 3 (....) = ..... - ..... Ix = - 2 maka
= ’−2
= 3 (....)2 – 6 (.....) = ......
− 3
di titik (-2, -20)!
+ ...... = .......
a. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada kurva. Persamaan gari singgung melalui titik P(x 1 , y1) dengan gradien m sudah dikenal saat SLTP sebagai berikut: – = – , dan konsep ini dapat digunakan untuk menentukan korelasi antara Turunan fungsi dengan persamaan garis singgung kurva. Masalah 2 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
1,−4 !
= − 5 di
titik
Penyelesaian :
= − 5 maka ’ =
dy
= 3 ......2 - ...... didapat
dx
=
dy dx x
= 3(....)2- .... 1
= −2 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
– = – - ..... = ..... ( - ..... ) + .... = −2 + ....... = −2 - ...... b. Persamaan garis inggung pada kurva, jika gradien garis singgung diketahui. Persamaan garis – = – , jika diketahui nilai gradiennya, dapat ditentukan titik singgungnya, sehingga garis singgungnyapun dapat ditentukan. Masalah 3 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva = 5 − 6 , Bila diketahui gradien garis singgungnya 4 ! Penyelesaian :
= 5 − 6 ’ = .... -6
sehingga:
=
dy dx
= .... -6 = 4
= ..... = 5
− 6
10 = 4 + .... 10 = ...... x = ......
y = 5 (….) 2 – 6 (….) = ….. - ….. = ……. Didapat Titik singgung ( ....., ..... ) Jadi persamaan garis singgungnya adalah: y + 1= ….. ( x – …. )
____ Oktober 2017
– = – ,
y + …. = 4x - ……
y = …. x - 5
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1.
Diketahui = 5 − √ , Tentukan gradien garis singgung kurva tersebut di titik yang ordinatnya 3 !
2. Diketahui kurva = −5 +4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik yang absisnya -1 !
____ Oktober 2017
3.
Jika
= − 3 .
Tentukan persamaan garis singgung dari kurva
tersebut yang mempunyai gradien -9 !
4. Tentukan persamaan garis singgung kurva berikut ini: a. b. c.
____ Oktober 2017
= 5√ pada = 4 = − 2 pada = 7 = − 3 + 4 di titik (0, 4)
5. Diketahui kurva a.
= − − 2
Tentukan titik pada kurva tersebut, sehingga garis-singgung di titik tersebut bergradien nol ! b. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung
____ Oktober 2017
