1.
2
Q=200 ( 30 −t ) dQ =200 ( 2 )(−1 )( 30 −t ) dt dQ =−400 ( 30−10 )=−8000 t =10 → dt
Kecepatan mengalir keluar pada akhir menit kesepuluh sebesar 8000 gallon/menit, 2
¿ ¿ Q=200 ( 30− t ) selama sepuluh menit pertama 2 2 ∆ Q= {200 ( 30−10 ) −200 (30 −0 ) }
¿ 200 ( 400 )− 200 ( 900 ) ¿−100.000 ∆ Q −100.000 = =−10.000 ∆ t 10 laju perubahan selama 10 menit pertama sebesar 10.000 gallon/menit,
2.
4
y =( x −1 ) ( x −6 ) ' ' ' y =u × v → y =u v + v u 4 3 ' y =( x −1 ) + 4 ( x −1 ) ( x x −6 ) 3 ¿ ( x −1 ) ( x −1 + 4 x −24 ) 3 ¿ 5 ( x x −1 ) ( x −5 ) 2 ¿ 5 ( x x −2 x + 1 ) ( x −1 ) ( x x − 5 ) 3 2 2 ¿ 5 ( x x −2 x + x − x + 2 x −1 ) ( x −5 ) 3 2 ¿ 5 ( x x −3 x + 3 x −1 ) ( x −5 ) 4 3 2 3 2 ¿ 5 ( x x −3 x + 3 x − x −5 x + 15 x −15 x + 5 )
¿ 5 ( x x −8 x + 18 x −16 x + 5 ) 4
3
2
y = 5 {( x −1 ) + 3 ( x x − 1 ) ( x −5 ) } 3
' '
2
2
¿ 5 ( x x −1 ) ( x −1 + 3 x −15 ) 2 ¿ 20 ( x x −1 ) ( x − 4 ) ¿ 20 ( x 2−2 x + 1 )( x − 4 ) 3 2 2 ¿ 20 ( x x −2 x + x − 4 x + 8 x − 4 ) 3 2 ¿ 20 ( x x −6 x + 9 x − 4 )
Titik kritis x =1 ∨ x = 5 '
x < 1 → y > 0 → graf grafik ik naik naik ' 1 < x < 5 → y < 0 → grafik grafik turun turun ' x > 5 → y > 0 → grafik grafik naik naik ' '
x < 1 → y < 0 →cekung '' 1 < x < 4 → y < 0 →cekung
' '
x > 5 → y > 0 →cembung ' ' 1 > 4 → y =0 →titik balik
x
-1 0 1 2 ' 4 ( $ '. )0* )1* )2* )'*
y
y' ' Keterangan
y'
-112 ! -$ ! 0 0 -4 -48 -1$2 -2($ 0 0 !
0 0 ! !
"aik, #ekung "aik, #ekung %aksimum relati& Turun, #ekung Turun, #ekung Turun, titik balik %inimum relati& "aik, #embung
84 × 118,8 (+,4 × 84 42 × (+,4 2+, × 42
84-2
118,8-2
0 < x < 42
V = p ×l ×t ¿ ( 118,8−2 x ) ( 84 −2 x ) ( x )
¿ ( 9979,2−237,6 x −168 x + 4 x ) ( x ) ¿ 9979,2 x −405,6 x 2+ 4 x 3 2
dV = 9979,2 + 811,2 x + 12 x 2 dx
2 −b ± √ b 2−4 ac −(−811,2 ) ± √ 811,2 −4 × 12 × 9979,2 = x 12=
¿
2a 811,2 ± √ 658045,44 −479001,6
2 × 12
24 811,2 ± √ 179043,84 ¿ 24 811,2 ± 423,14 ¿ 24 x 1=51,43 → x 1> 42 x 2=16,17
L= x . x = 16,17 × 16,17=261,47 cm
4.
2
y = x − 4 x = x ( x −4 ) 3
2
memotong sumbu di x =0, x =2, x =−2
-2.(
0 0 0 ' -'
-2 0 2 -1 1
uas bidang datar 0
2
A =∫ x − 4 x dx +∫ x − 4 x dx 3
3
−2
|
¿
1 x 4
4
0
|
0
−2 x 2
−2
!
|
1 x 4
¿|0 −( 4 −8 )|+|( 4 −8 )−0| ¿ 4 + 4 =8 satuanluas
(.
4
|
2
−2 x 2
0
a
V =
∫ π [ x ] dy 2
❑
−a a
❑
❑
¿ ∫ π [ a2− y 2 ] dy −a
¿
[[
1 π a y − y 3
] ]
[(
¿ π a − 1 a 3
3
3
(
2 3
3
¿ π 2 a − a
❑
3 a
2
−a
)( )
− −a3 + 1 a3 3
)]
3
4 3
¿ π a 3 satuanvlume $.
y = ln sec x x =0 sampaix =
π 6
misal du =sec x + c dx
u= sec x→
dy dy du 1 = =ln u . sec x. tan x = sec x . tan x =tan x dx du dx sec x π
√
6
L=∫ 0
π
( )
dy 1+ dx
2
dx
6
∫ √ 1 +tan x dx 2
L=
0
π 6
L=∫ sec x dx 0
π
L= ln|sec x + tan x|06
|
L= ln
2 √ 3 3+ √ 3 3
|
L= ln √ 3 satuan pan!ang
.
x
3
dy 3 x y = 2 → = 2 dx a a a
3
2
√ ( )
x 3 x " = 2 π 2 1+ 2 a a 0
∫
√
1+
9 x
a
4
4
=
1 2
a
2 2
√ a 4 + 9 x 4
dx
a
3
x 1 4 4 " =∫ 2 π 2 2 √ a + 9 x dx a a 0
"=
2 π
a
4
a
∫ x √ a + 9 x 3
4
4
dx
0
misal 4
4
u= a + 9 x →
"=
2 π
a
4
a
∫ 0
du du =36 x3 → dx = 3 dx 36 x 1
1 2 u du 36 3 a
|
2 π 1 2 4 4 2 "= 4 . . ( a + 9 x ) a 36 3 0
"= "=
π 4
.
a π
27
1 ( a 4 + 9 x 27
3 a 4 2
)
|
a ( 10 √ 10 −1 ) 2
0
