UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
MONOGRAFÍA DE SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO Desarrollado por: -
MEDRANO MALAVER LUIS PALOMINO MINAYA JOHAN TORRES CUYUTUPA ANTHONY
Curso: - Investigación de Operaciones II Profesor:
-
Ing. Luis Medina Aquino
2014 -I
DEDICATORIA:
A nuestra facultad por todo lo que dedicación, paciencia, esmero y profesionalismo nos dirigió durante todo este trayecto, con el objetivo de enseñarnos e instruirnos para nuestro futuro.
atc
INDICE
INTRODUCCION OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL OBETIVOS ESPECIFICOS CAPITULO I: TEORIA DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO CONCEPTOS PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO GRAFO CONEXO GRAFO EULERIANO ALGORITMO DE FLEURY ALGORITMO DE DIJSKTRA ALGORITMO DE EMPAREJAMIENTO DE EDMONDS DIAGRAMA PARA SOLUCIÓN DEL CARTERO CHINO CAPITULO II: APLICACIÓN DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO DESCRIPCION DEL PROBLEMA DESCRIPCION DEL SERVICIO SECTORIZACION Y RECOPILACION DE DATOS DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE ENTREGA DISTRIBUCION DE ENTREGA REQUERIMIENTOS Y LOGÍSTICA PARA LA IMPLEMENTACIÓN COSTOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA “PANES CALIENTES” CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFIA
INTRODUCCION
El problema del cartero chino (CPP) consiste en encontrar un circuito de coste mínimo, en un grafo no dirigido, que atraviesa cada arista al menos una vez. Este problema fue propuesto por Mei-Ko en 1962 y resuelto eficientemente por Edmonds y Johnson en 1973. En el presente trabajo se presenta una breve explicación concisa de las diferentes soluciones para el problema del cartero chino, el cual tiene una aplicación en el Capítulo II para la solución de un problema real el cual nos indica brevemente sobre los aspectos a tomar para la selección de una ruta óptima para la distribución de panes a un cierto sector.
OBJETIVOS
OBJETIVO PRINCIPAL Plantear una nueva propuesta para la entrega de panes a domicilio teniendo como base los conceptos de la solución del problema del cartero chino. ONJETIVOS ESPECIFICOS Analizar los costos de implementación de una propuesta de delivery de panes. Crear nuevas oportunidades laborales de medio tiempo y al mismo tiempo ayudar a las familias a tener más tiempo por las mañana de hacer sus actividades.
CAPITULO I TEORÍA DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO
CONCEPTOS PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO
GRAFO CONEXO Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo. Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS). En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes (fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
GRAFO EULERIANO Cubre todas las líneas de un grafo, comenzando y terminando en un mismo vértice, recorriendo sin repetición y en forma continua todas las líneas de un grafo G cualquiera. Cuando tal recorrido existe, se denomina euleriano y un grafo que se puede trazar mediante un recorrido euleriano se llama grafo euleriano. En la fig. 3.11, G1 es obviamente un grafo euleriano; G2 no lo es, a pesar de que se puede trazar continuamente, ya que el recorrido comienza y termina en vértices distintos; finalmente, G3 no es un grafo euleriano, porque no se puede trazar continuamente.
TEOREMA 1.- Existencia de trayectorias de Euler.
1. Si un grafo tiene más de dos vértices de grado impar, entonces no puede tener una trayectoria de Euler. 2. Si un grafo conexo tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces tiene por lo menos una trayectoria de Euler. Cualquier trayectoria de Euler debe iniciar en uno de los vértices de grado impar y terminar en el otro.
ALGORITMO DE FLEURY Este algoritmo permite determinar un circuito de Euler, y un circuito de Euler es aquel que recorre todas las aristas de un grafo pasando solo una vez. Los pasos a seguir en el algoritmo de Fleury para encontrar una trayectoria de Euler son:
1. Verificar que el grafo cumpla con los criterios de grafos Euleriano (todos los vértices deben tener grado par, salvo dos como mucho). 2. Escoger un vértice de grado impar. En caso de que no exista, se puede escoger cualquier vértice. 3. En cada paso, recorre cualquier arista disponible, eligiendo un puente solo cuando no haya alternativa. Al recorrer la arista borrarla y continuar el proceso hasta que todos los vértices tengan grado cero.
PSEUDOCODIGO DEL ALGORITMO DE FLEURY Bondy en “Graph Theory”, donde da sobre programación del Algoritmo de Fleury. 1: nodo = SeleccionarNodo (ConjuntoNodos) (La función “Seleccionar Nodo” elegirá un nodo de grado impar si es posible) 2: WHILE (Conjunto Nodos ≠ VACÍO) DO arista = Seleccionar Arista Adyacente Nodo (nodo) (La función “Seleccionar Arista Adyacente Nodo” elegirá una arista puente solamente como último recurso) 3: ConjuntoAristas = ConjuntoAristas – arista ConjuntoNodos = Quitar VérticesdecardinalCero (Conjunto Nodos) IF Conjunto Nodos ≠ VACÍO THEN nodo = SeleccionarNodoAdyacenteArista (arista, ConjuntoNodos) END IF END WHILE 4: FIN DEL ALGORITMO.
ALGORITMO DE DIJSKTRA También
llamado algoritmo
de
caminos
mínimos,
es
un algoritmo para
la
determinación del camino corto, dado un vértice origen al resto de vértices en un grafo con pesos en cada arista. Y se sigue el siguiente proceso heurístico para su determinación:
Teniendo un grafo dirigido ponderado de N nodos no aislados, sea x el nodo inicial, un vector D de tamaño N guardará al final del algoritmo las distancias desde x al resto de los nodos. 1. Inicializar todas las distancias en D con un valor infinito relativo ya que son desconocidas al principio, exceptuando la de x que se debe colocar en 0 debido a que la distancia de x a x sería 0. 2. Sea a = x (tomamos a como nodo actual). 3. Recorremos todos los nodos adyacentes de a, excepto los nodos marcados, llamaremos a estos nodos no marcados vi. 4. Si la distancia desde x hasta vi guardada en D es mayor que la distancia desde x hasta a, sumada a la distancia desde a hasta vi; esta se sustituye con la segunda
nombrada,
esto
es:
si (Di > Da + d(a, vi)) entonces Di = Da + d(a, vi) 5. Marcamos como completo el nodo a. 6. Tomamos como próximo nodo actual el de menor valor en D (puede hacerse almacenando los valores en una cola de prioridad) y volvemos al paso 3 mientras existan nodos no marcados. Una vez terminado al algoritmo, D estará completamente lleno.
ALGORITMO DE EMPAREJAMIENTO DE EDMONDS
Emparejamiento
de
Edmonds es
un
algoritmo
de teoría
de
grafos para
construir emparejamientos máximos en grafos. El algoritmo fue desarrollado por Jack Edmonds en 1961, y publicado en 1965. El
emparejamiento
máximo
es
construido
iterativamente
mejorando
el
emparejamiento actual a través de caminos m-incrementos mientras al menos exista uno. La idea esencial del algoritmo es que un ciclo de longitud impar (blossom) es contraído en un solo vértice para luego continuar la búsqueda de caminos mincrementos en el grafo resultante. La idea de contraer los ciclos de longitud impar se debe a que si no se hiciera el mismo algoritmo de búsqueda de caminos mincrementos al entrar en uno de estos ciclos y salir pudiera reportar falsos positivos.
DIAGRAMA PARA SOLUCIÓN DEL CARTERO CHINO
CAPITULO II APLICACIÓN DEL PROBLEMA DEL CARTERO CHINO
DESCRIPCIÓN DE LOS PROBLEMAS Problema de los Clientes: Este trabajo está basado en busca de la solución a los problemas que todos los días afrontan las familias de un sector establecido a la hora de tomar un buen desayuno, ya que ir a comprar el pan es la principal tarea que demanda tiempo, tiempo que podría ser aprovechado en descansar un poco más o realizar otras actividades. Problema de la Panadería: Además otro problema que se puede detectar son las bajas ventas que presenta en horas de la mañana la panadería “Doña Elena”, debido a muchos factores dentro de los principales pocas ventas a partir de las 8:00 am y 9:00 am, además que en el horario de 6:00 am a 7:00 am hay una gran cantidad de clientes, lo cual dificulta el control de cobros y la buena atención a los clientes apresurados.
DESCRIPCIÓN DEL SERVICIO
La propuesta se presentara a la panadería “Doña Elena” ubicado en el cruce de la Av. Universitaria y la Av. Antúnez de Máyalo, con la cual ayudaremos a solucionar su problema y la de los clientes. Dirección de la panadería:
Panadería Doña Elena, Mz A Lt. 1B, Lima Para este tipo de entregar se utilizara triciclos los cuales recorrerán rutas optimizando el tiempo, ya que este es nuestro principal limitante como ya habíamos expuesto anteriormente ya que tenemos que hacer la entrega entre las 6 y 7 am. Para cumplir con los clientes. Además los triciclos deben estar acondicionados con planchas herméticas para mantener calientes los panes mientras se hacen las entregas desde el primero hasta el final y deben tener una capacidad de 1000 panes aproximadamente los cuales deben estar en bolsas para sus distribución en las puertas de las casas.
SECTORIZACIÓN Y RECOPILACIÓN DE DATOS
Tumalina
Palmas reales
Calles angostas
El siguiente cuadro detalla el número de casas y el tiempo de entrega por aristas. El tiempo de entrega por una casa es: 20 s
Aristas de
Número de
Tiempo de
reparto
casas
entrega (s)
1-2
5
100
1-15
4
80
2-3
3
60
2-16
2
40
3-4
10
200
3-17
3
60
4-5
3
60
5-6
5
100
5-22
8
160
6-7
4
80
7-8
10
200
7-21
9
180
7-22
1
20
8-9
7
140
8-11
10
200
9-10
8
160
10-11
2
40
11-12
3
60
12-13
2
40
12-20
3
60
13-14
3
60
13-17
8
160
14-15
4
80
14-16
6
120
15-16
4
80
17-18
3
60
18-19
2
40
18-20
3
60
19-21
3
60
19-22
4
80
20-21
8
160
CUADRO DEL TIEMPO QUE SE TARDARÍA EN RECORRER CADA ARISTA V1 V1
-
V2
78
V2 78
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9
V10
V11
V12
V13
V14
-
-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
172
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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-
-
-
-
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-
-
-
-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
53
V16
V17
V18
V19
V20
V21
V22
-
-
-
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-
-
-
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-
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-
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-
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-
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-
-
-
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-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
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-
-
-
-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
47
V3
-
V4
-
-
172
V5
-
-
-
V6
-
-
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-
V7
-
-
-
-
-
V8
-
-
-
-
-
-
V9
-
-
-
-
-
-
-
V10
-
-
-
-
-
-
-
-
149
V11
-
-
-
-
-
-
-
180
-
V12
-
-
-
-
-
-
-
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V13
-
-
-
-
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-
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V14
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
93
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
125
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V15
53
47
21
45 45
-
46 46
-
6 6
-
40 40
-
41 41
-
-
180
149
-
-
38 38
-
46 46
37
V16
-
V17
-
-
V18
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V19
-
-
-
-
-
-
-
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V20
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V21
-
-
-
-
-
-
72
-
-
-
-
-
V22
-
-
-
-
-
133
-
-
-
-
-
39
46
37 -
46 46
141
V15
-
21
93
141
46 72
86
-
-
-
-
-
-
72
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
43
-
-
86
-
-
-
-
93
-
-
41
-
-
-
-
-
-
86
-
-
-
-
-
-
24
86
133
125
72
39
41 41
-
43
93
41 -
24 -
-
-
-
-
V1 V1
-
V2
178
V2 178
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9
V10
V11
V12
V13
V14
-
-
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-
-
-
113
372
V17
V18
V19
V20
V21
V22
-
-
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-
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-
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-
-
-
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-
-
127
-
V4
-
-
V5
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-
-
V6
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-
-
-
V7
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-
-
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V8
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-
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V9
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V10
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-
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V14
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-
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-
-
-
-
-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
173
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
245
-
-
-
-
-
-
-
-
-
127
-
V16
V3
V15
113
372
61
-
105 105
-
146 146
-
86 86
-
240 240
-
181 181
-
-
380 309
309 380
-
-
-
78 78
-
106 106
77
V16
-
V17
-
-
V18
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V19
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V20
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V21
-
-
-
-
-
-
252
-
-
-
-
-
V22
-
-
-
-
-
153
-
-
-
-
-
99
206
77 -
106 106
301
V15
-
61
173
301
206 252
146
-
-
-
-
-
-
152
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
83
-
-
146
-
-
-
-
153
-
-
201
-
-
-
-
-
-
146
-
-
-
-
-
-
104
146
153
245
152
99
101 101
-
83
153
201 -
104 -
-
-
-
-
CUADRO FINAL DE TIEMPOS
Tiempo total = (Tiempo que se demora caminando por cada arista) + (Tiempo que se demora en entregar un pedido por arista)
El siguiente cuadro detalla el número de casas y el tiempo total por aristas. El número total de clientes son 150 los cuales están distribuidos de la siguiente manera por las aristas Aristas de
Número de
Tiempo total
reparto
casas
(s)
1-2
5
178
1-15
4
127
2-3
3
113
2-16
2
61
3-4
10
372
3-17
3
99
4-5
3
105
5-6
5
146
5-22
8
206
6-7
4
86
7-8
10
240
7-21
9
252
7-22
1
153
8-9
7
181
8-11
10
380
9-10
8
309
10-11
2
78
11-12
3
106
12-13
2
77
12-20
3
146
13-14
3
106
13-17
8
301
14-15
4
173
14-16
6
245
15-16
4
152
17-18
3
101
18-19
2
83
18-20
3
153
19-21
3
146
19-22
4
104
20-21
8
201
150
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE ENTREGA El sistema de entrega está basado en la teoría de la solución del problema del cartero chino estudiando en puntos anteriores. Para la solución del problema separaremos en dos grafos el grafo principal, lo cual nos ayudara
a
identificar si es o no un
ciclo Euleriano.
Grafo A
Nodo
T
1
P
2
Im
3
P
12
P
13
Im
14
Im
15
Im
16
Im
17
Im
18
P
20
P
Nodo
Tipo
3
Impar
4
Par
5
Impar
6
Par
7
Par
8
Impar
9
Par
10
Par
11
Impar
12
Par
18
Par
19
Impar
20
Par
21
Impar
22
Impar
Luego realizamos un artificio en los grafos para cumplir la condición del de grafo euleriano ya que si el grafo G es euleriano, un circuito euleriano es la solución del problema del cartero chino. Definición: Un camino euleriano en un grafo G no direccionado, es un camino que pasa por cada arista de G una y solo una vez Teorema: Un grafo conexo tiene un camino euleriano si y solo si tiene exactamente dos nodos de grado impar y el resto de los nodos tiene grado par. Entonces teniendo en cuenta las siguientes consideraciones hacemos artificios en los grafos y logramos los siguientes grafos:
En el grafo A: En los nodos 14 y 16, 16 y 2, 13 y 17 creamos aristas artificiales las cuáles serán las rutas que se recorrerán una vez más para hacer todo el recorrido.
Aristas
Número
Tiempo
de
de casas
total
1-2
5
178
1-15
4
127
2-3
3
113
2-16
2
61
3-17
3
99
12-13
2
77
12-20
3
146
13-14
3
106
13-17
8
301
14-15
4
173
14-16
6
245
15-16
4
152
17-18
3
101
18-20
3
153
14-15
-
93
13-17
-
141
2-16
-
21
reparto
Tiempo total
2287
En el grafo B: En los nodos 5 y 22, 8 y 11, 19 y 21,
Aristas de
Número
Tiempo
creamos aristas artificiales las cuáles serán
reparto
de casas
total (s)
las rutas que se recorrerán una vez más
3-4
10
372
para hacer todo el recorrido.
4-5
3
105
5-6
5
146
5-22
8
206
6-7
4
86
7-8
10
240
7-21
9
252
7-22
1
153
8-9
7
181
8-11
10
380
9-10
8
309
10-11
2
78
11-12
3
106
Y en el caso de los nodos 18 y 20 se creara una también una arista teniendo en cuenta que esta será recorrida por segunda vez ya que en el Grafo A ya se había recorrido.
18-19 2 83 Con los tiempos totales obtenidos tanto en el 146 Grafo A como el B, 19-21 3 será el tiempo ya que19-22 habíamos delimitado que104 la entrega se haría 4
con lo cual nos vemos en la necesidad de contratar 20-21 8 201 a dos emplea los recorridos. 5-22 46
DISTRIBUCION DE ENTREGA
19-21
-
86
8-11
-
180
18-20
-
93
Tiempo total
3553
El primer empleado realizara 53 pedidos en el recorrido que hará en el Grafo A en un tiempo de 2287 segundos, teniendo en cuenta la siguiente ruta señalada:
El segundo empleado realizara 97 pedidos en el recorrido que hará en el Grafo B en un tiempo de 3553 segundos, teniendo en cuenta la siguiente ruta señalada:
REQUERIMIENTOS Y LOGÍSTICA PARA LA IMPLEMENTACIÓN
Se debe tener el registro de las 150 familias a las cuales se les debe atender sus pedidos, hemos considerado que cada familia en promedio consumen 10 panes.
Además se debe considerar la capacidad de producción necesaria para abastecer a estos clientes de parte de la panadería “Doña Elena”,(1500 panes aprox)
Logística
2 Triciclos para panes de capacidad para (1000 panes aprox). Se debe considerar para estos triciclos tener una capa hermética dentro de este, para poder mantener calientes los panes hasta la entrega final.
Equipamientos para distribución( bolsas, canastillas)
Personal:
2 personas de tiempo parcial.
COSTOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA “PANES CALIENTES” Ingresos Ingreso Bruto = 0.30 céntimos por día x 150 número de clientes x 30 días por mes = 1350 soles Gastos Gastos = Sueldo mensual de empleados= 2 empleados x 300 soles= 600 soles Gastos de mantenimiento = 2 triciclos x 100 soles = 200 soles Gastos en equipamientos = 300 soles Beneficios Beneficio = Ingresos bruto – Gastos Beneficio = 1350 – (600 + 200 + 300) = 250 soles Entonces el beneficio para la panadería “Doña Elena” mensual seria 250 soles los cuales se podrían invertir a futuro en triciclos más modernos los cuales se utilizan en otros países para la distribución de panes, además también se lograría optimizar el recurso tiempo por la facilidad de transitividad.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Podemos concluir que el problema del cartero chino se adecua correctamente a la solución de este problema dándonos como resultado un buen sistema de entregas dentro de un pequeño sector de entrega. Podríamos recomendar que para la solución de problemas afines se mas nodos se haga uso de programas que brinden eficiencia y rapidez de análisis de datos.
BIBLIOGRAFÍA
http://es.scribd.com/doc/455422/Problema-Del-Cartero-OP2
http://graphics-lol.blogspot.com/2011/11/algoritmo-de-fleury.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Emparejamiento_de_Edmonds
http://es.scribd.com/doc/57886605/21/EJEMPLOS-DE-ALGORITMO-DEFLEURY
http://deteoriaydetaller.wordpress.com/2011/02/06/i-o-investigaciondeoperaciones-taha-handy-pdf/
