APLICACIÓN DEL METODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL ANÁLISIS DEL FLUJO POTENCIAL EN UN CANAL DE TRAN TRANSI SICI CIÓN ÓN CON CON UN PILA PILAR R CUAD CUADRA RANG NGUL ULAR AR EN SU CENTRO Flores Huallpayunca Luis Angel
[email protected] León Gómez Alexander
[email protected] uiz !al"atierra #oel $mar
[email protected] Gonzalez !aa"edra #uan %"&n %"angonzalezsaa"
[email protected] 'alle(os )astro (honatan tcmaster_*992@li"e.com
RESUMEN )on la +nalidad de conocer las l,neas de corriente- hallar el "alor de los "ectores de "elocidad en el campo de u(o- hallar las zonas de m&xima y m,ni m,nima ma pres presió ión n as, as, como como tam/ tam/i0 i0n n las las regio egione nes s de di"e di"errgenc gencia ia-sim simulam ulamos os un canal anal de trans ransic ició ión n con con u(o u(o uni1 uni1or orm me y un pila pilarr cuadrangular cuadrangular en su centro centro para poder poder o/ser"ar o/ser"ar y analizar analizar los e1ectos e1ectos ue ocurren ocurren con la 1unción 1unción de corrientecorriente- el campo campo de "elocidade "elocidadess- el campo de presiones y regiones de con"ergencia3 estudiamos tam/i0n la trayectoria de las part,culas en este canal- sus e1ectos y los cam/ios ue estos tienen al modi+car las "elocidades
I.- INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 4n la actualidad los pro/lemas ingenieriles relacionados a 1enómenos de uidos son a/arcados mediante la mec&nica de uidos computacional (CFD)- siendo 0sta una herramienta de gran utilidad para resol"erlos- ya ue ue nos nos per permite mite asig asigna narr par& par&me metr tros os para para anal analiz izar ar los los u(o u(os s en di1erentes condiciones. 4s por por ello ello ue ue al repr epresen esenta tarr un u(o u(o pote potenc ncia iall con con geom geomet etr, r,as as complicadas o condiciones de corriente inusuales- como el estudiado en este caso- el uso de la trans1ormación con1orme /asada en las t0cnicas
de la "aria/le comple(a y el m0todo cl&sico de superposición en las secciones de(a de ser 5tiles. 4n este caso la moderna t0cnica del an&lisis num0rico nos permite un en1oue m&s apropiado existiendo al menos 6 m0todos distintos como7
80todo de elementos +nitos FEM, fniteElementMethod: ;<-*9=. 80todo de di1erencias +nitas F>8- Finite>i?erence8ethod: ;- 226B2C=. a: 80todos integrales de singularidades distri/uidas. /: 80todo de los elementos de contorno.
)onsiderando lo expuesto anteriormente mostraremos a continuación la presentación de un caso particular- a manera de e(emplo- en el cual utilizaremos como herramienta el Método de dierencias fnitas- para el desarrollo de la simulación en el canal de transición con un pilar de sección cuadrangular en el centro.
II.- OBJETIVOS 2.1 OBJETIVO S GENERALES •
epresentar las condiciones hidrodin&micas del canal de transición con pilar de sección cuadrangular
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS •
•
•
•
•
Hallar los "alores de las l,neas de corriente y "isualizarlas en el canal de transición con un pilar de sección cuadrangular. Hallar el "alor de los "ectores en el campo de u(o Hallar el "alor de las presiones y "isualizar las zonas de m&xima y m,nima presión. 4ntregar al alumno las herramientas num0ricas para simulaciónmodelamiento y caracterización de 1enómenos de u(o de uidos. Al +nal del curso el alumno ser& capaz de modelar mediante un so1tDare de mec&nica de uidos pro/lemas comple(os ue pueden in"olucrar por e(emplo7 geometr,as complicadas- interacción uidoBestructura- tridimensionalidad- etc. >iscutir algunos ue pueden aproximarse ue pueden usado la mec&nica de uidos computacional
84E$>$L$G%A
Flujo Po!"#$%l La ecuación de continuidad de un uido relaciona a "ariación de la masa en el "olumen de control por unidad de tiempo con la cantidad de masa ue uye hacia o desde las 1ronteras de este "olumen de control. 4scrita en 1ormadi1erencial
. *: >onde ρ es la densidad del uido y qel "ector de "elocidad. n uido incompresi/le es auel cuyos elementos no pueden experimentar un cam/io de "olumen. >e/ido a ue la masa del uido es constante- los elementos de un uido incompresi/le tam/i0n deen de tener densidad constante- as, la ecuación *: se reduce a
La cantidad ue est& relacionada con la rotación del uido es llamada "orticidad y esta de+nida por ζ =∇ x q . or otro lado- en auellos uidos donde los e1ectos "iscosos son muy peueIos comparados con os e1ectos cinem&ticos a "orticidad es nula. 4n este tipo de uidos son llamados irrotacionales. !i la "orticidad es igual a cero podemos expresar la "elocidad como el gradiente de n campo escalar q =∇ ɸ . )on esta suposición- la ecuación de continuidad para n uido incompresi/le es 2
∇ ɸ =0 .6:
>e 6:- en esta ecuación di1erencial se presenta con muchas &reas di1erentes de ingenier,a y 1,sica y se denomina la ecuación de Laplace. As,- los campos de u(os irrotacionales- incompresi/les y no "iscosos est&n go/ernados por la ecuación de Laplace. 4ste tipo de u(os se denominan u(os potencial para completar el planteamiento matem&tico de un pro/lema dado es necesario especi+car las condiciones de 1rontera. 4stas condiciones suelen ser "elocidadesespeci+cadas so/re los l,mites del campo de u(o de inter0s. !e concluye ue si es posi/le determinar la 1unción potencial- entonces a partir de la ecuación de las componentes de "elocidad7 u=
∂ɸ ∂x
-
v=
∂ɸ ∂y
!e puede calcular la "elocidad en todos los puntos del campo de u(o- y apartir de la ecuación de Jernoulli7 2
2
p1 v 1 p2 v 2 + + z1 = + + z γ 2 g γ 2 g 2
!e puede determinar la presión en todos los puntos. Aunue el concepto de potencial de "elocidad es aplica/le a u(o esta/le e inesta/le la atención se restringir& a u(o esta/le. La ecuación a usar7 La ecuación de Ka"ierB!toes con las condiciones de 1rontera apropiadas permite en principio resol"er los pro/lemas de mec&nica de uidos. !in em/argo- no siempre es 1&cil hallar la solución e incluso en algunos casos puede ue esta no exista. Eam/i0n hay pro/lemas de con"ergencia por la no linealidad de las ecuaciones. 8uchos pro/lemas no reuieren de la ecuación de Ka"ierB!toes porue auellos u(os presentan en una región no "iscosa donde los e1ectos tur/ulentos pr&cticamente se pueden despreciar. 4n este caso particular la circulación de la "elocidad es nula y por tanto el rotacional de la "elocidad seria cero. or tanto para un uido no rotacional la "elocidad se podr,a escri/ir como el gradiente de una 1unción escalar potencial. ara un r0gimen su/sónico la densidad del uido se puede considerar incompresi/le- es decir- constante- y por tanto la ecuación o conser"ación de la masa se reduce a ue la di"ergencia de la "elocidad es nula. 4ntonces usando el car&cter no rotacional de uidos relati"amentele(anos de las super+cies y uidos su/sónicos- el pro/lema ideal e irrotacional se reduce a resol"er la ecuación de Laplace con ciertas condiciones de 1rontera.
>i"ergencia de un campo "ectorial !ea F un campo "ectorial de+nido en un con(unto a/ierto y consideremos sus coordenadas FM F*-F2--Fn:. !upongamos ue F es di1erencia/le en un punto a perteneciente al campo "ectorial- o ue sa/emos eui"ale a ue todos los campos escalares F con NM *-2-...-nsean di1erenciales en el punto a. de hecho ue cada "ector gradiente ∇ F k ( a ) es la Besima +la de la matriz (aco/iana de F en a. pues /ien- la
traza de dicha matriz es - por de+nición- la di"ergencia del campo F en el punto a- y se denota por di"Fa:. As, pues se tendr& ¿ F ( a ) =
∂ F 1 ∂ x1
( a) +
∂ F 2 ∂ x2
( a )+ … +
∂ F n ∂ xn
n
( a ) =∑ k = 1
∂ F k ∂ x k
(a)
ara un u(o potencial tenemos ue
( )
¿ F a =0
80todos de solución Aunue en los li/ros de texto so/re an&lisis num0rico se aplica el m0todo de di1erencias +nitas a multitud de pro/lemas distintos- au, nos conc0ntratelos en el u(o potencial. La idea de este m0todo es aproximar las deri"adas parciales ue aparecen en la ecuación 1,sica por Odi1erenciasP entre los "alores de la solución en una serie de nodos separados entre s, a una cierta distancia +nita- si /ien los nodos no tienen por estar euiespaciados. La ecuación original en deri"adas parciales se sustituye as, por una serie de ecuaciones alge/raicas para los "alores en los nodos. ara el u(o potencial no "iscoso:- estas ecuaciones alg0/ricas son lineales- pero en general- para el u(o "iscoso son no lineales. %' 4!LEA>$! !e simuló un canal de transición para el cual hicimos ingresar un caudal en u(o uni1orme con una "elocidad de * mQs o/teni0ndose los siguientes resultados7
4n la +gura * se representa la simulación del u(o en el canal sin ning5n o/st&culo en el cual se puede o/ser"ar ue las "elocidades al comienzo del canal son mayores ue en la zona central a la geometr,a misma del canal.
L,neas de corriente y "ectores "elocidad en un canal de Ahora- Figura con la*.presencia de un pilar en el centro del canal +guras 2 y 6: o/ser"amos ue las l,neas de corriente comienzan a cur"arse al expandirse el canal y luego rodean al pilar situado en el centro. 4n las partes superior e in1erior del pilar se o/ser"a ue las "elocidades tienden a aumentar de/ido a ue el &rea por donde uye el agua disminuye.
Figura 2. L,neas de corriente y "ectores "elocidad en un canal de
Figura 6. 'ista de la región cercana al
4n la +gura R se muestran la "elocidades para tres "alores de S di1erentes a lo largo de todo el canal. odemos o/ser"ar ue para posicionesm&s cercanas a la pared del canal la "elocidad aumenta antes de la expansión del canal- mientras ue para posiciones centrales la "elocidad tiende a disminuir de/ido a la presencia del /loue aguas a/a(o.
Figura R. 'elocidades a "alores constantes de S.
Figura . Acercamiento de la +gura R
4n las +guras <- C y T se hace una comparación del comportamiento de las "elocidades para "alores +(os de U considerando el u(o sin la presencia del pilar y con la presencia del mismo. 4n la +gura < se tomó UM*m y se o/ser"a ue la condición de presencia del pilar no inuye en la distri/ución de "elocidades a este ni"el de/ido a ue se encuentra lo su+cientemente ale(ado.
Figura <.
Leyenda7ooo !%K %LAVVV )$K
4n la +gura C se tomó UM26m o/ser"ando ue la presencia del pilar modi+ca la distri/ución de "elocidades de tal manera ue son disminuidas en el centro y aumentadas en los extremos.
Figura C.
Leyenda7 VVV !%K %LAVVV )$K
4n la +gura T se tomó UM6m y o/ser"amos ue la presencia del /loue cam/ia dr&sticamente la distri/ución de "elocidades siendo en este caso de mayor "alor y aumentando desde la pared del canal hasta tomar su m&ximo "alor en la pared del /loue y es cero en la posición del /loue.
Figura T.
Leyenda7 VVV !%K %LAVVV )$K
Figura 9.
Figura 9.
B$&l$o'(%)*% White F.- 2T- Flu(o otencial y 8ec&nica de Fluidos )omputacional- 8ec&nica de Fluidos-
!treeter W.- 2- Fluido %deal- 8ec&nica de los Fluidos-
. 4. odrYZguez Atar a- . 8artZnez a- L. endon /- 2**http7QQre"col+s.orgQo(sQindex.phpQrc1QarticleQ"ieDFileQR62*9Qpd1 - consultado el 26Q2Q2*R
