Flujo monofásico en un reservorio Ley de Darcy y Permeabilidad Esta ley describe con algunas limitaciones, el movimiento de otros fuidos. Incluy Incluyen endo do dos o más más fuidos fuidos inmisc inmiscibl ibles es en roca rocas s conso consolid lidada adas s y otros otros medios porosos. La ley de Darcy establece que la velocidad de un fuido homogéneo en un medi medio o por poroso oso es prop propo orcion ciona al a la uer uera a e!er e!erci cida da e inve invers rsam amen ente te proporcional a la viscosidad, es decir"
v =−0.001127
[
]
k dp −0.433 γcosα μ ds
Donde" # $ velocidad aparente, bbl%dia&t' ( $ permeabilidad, permeabilidad, milidarcies )md* + $ viscosidad del luido, cp p $ presin, psia s $ distancia a lo largo de la trayectoria del fuido en t - $ gravedad especiica especiica del luido siempre siempre relativa al al agua/ 0 $ el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del relo! de la vertical hacia aba!o a la direccin positiva de s
Clasicación Clasicación de sistemas de ujo de reservorios Los sistemas de fu!o en reservorios usualmente se clasi1can acorde a" El tipo de fuido. La geometr2a del reservorio o la porcin del mismo. El caud caudal al relat elativ ivo o al cual cual el fu!o fu!o se apro apro3i 3ima ma a cond condic icio ione nes s de equilibrio después de una perturbacin. perturbacin. 4ara propsitos de ingenier2a, el fuido de reservorio se puede clasi1car como" Incompresible Ligeramente compresible 5ompresible 6n fuido ligeramente compresible, el cual es la descripcin cercana a un l2quido. 7uchas veces de1nido como aquellos que cambian ligeramente su volumen con la presin y se e3presan por la ecuacin" c ( P P − p ) V =V R e R
Donde" 8 $ condiciones de reerencia. 6n fuido compresible es aquel que el cambio de volumen tiene una uerte depe depend nden enci cia a con con la pres presi in. n. 9odos odos los los gase gases s se encu encuen entr tran an en esta esta categor2a. De la ley de gases ideales se describe cmo cambia el volumen con la presin"
V =
znRT p
: dierencia del caso de los fuidos ligeramente compresibles compresibilidad no puede tratarse como una constante, es decir" 1 1 dz cg= − p z dp
la
Las dos geometr2as de mayor interés practico son aquellas que dan lugar a un fu!o linear y radial.
;casionalmente el fu!o esérico es de interés, en el cual las l2neas de fu!o convergen en un centro com es la compresibilidad total. 4ara considerar las tres clasi1caciones restantes de dependencia del tiempo, se debe discutir el cambio de presin que e3iste cuando hay un cambio en la tasa del fu!o de un poo localiado en el centro de un reservorio.
?racias a las perturbaciones de presin del reservorio, se asume lo siguiente" El fu!o en el sistema está hecho para un reservorio de espesor y propiedades de roca constantes. El radio de un reservorio circular es r e.
La tasa de fu!o, después de una perturbacin es constante. La compresibilidad total es obtenida por ponderacin de la compresibilidad de cada ase por su saturacin y a@adiendo la compresibilidad de ormacin, es decir"
c t =c g S g + co So + c w Sw + c f La compresibilidad de ormacin, c , debe ser e3presada en cambio de volumen poroso por unidad de volumen de poro por psi. 6na estimacin para el tiempo cuando un sistema de fu!o del tipo circular, alcana un estado de pseudo&equilibrio se representa de siguiente manera" 2
t pss =
1200 r e
η
2
=
1200 ϕμ c 1 r e
k
Sistemas de ujo en estado estacionario Flujo lineal para uido incompresible, estado estacionario Es un fu!o lineal a través de un cuerpo de seccin constante, donde ambas terminaciones son enteramente abiertas al fu!o y donde ning
Ai el fuido es incompresible, entonces la velocidad es la misma en todos los puntos, como en el total de la tasa de fu!o a través de cualquier seccin, entonces"
ν=
qB k dp =−0.001127 Ac μ dx
Aeparando las variables e integrando a través de la longitud del cuerpo poroso.
q =0.001127
k Ac ( p 1− p2 )
Flujo lineal estacionario
BμL
de
un
uido
lieramente
compresible,
estado
:nteriormente de1nido el cambio de volumen para un fuido ligeramente compresible y viendo su dependencia a la presin. Entonces decimos que el
producto de la tasa de fu!o de1nida en A9B, y el acto volumétrico de ormacin tiene una dependencia similar a la presin y está dada por" qB =q R 1 + c ( p R − p )
[
]
Donde q8 es la tasa de fu!o a una presin de reerencia p 8. Ai la ley de Darcy es descrita para este caso, se separan las variables y la ecuacin resultante se la integra a través de la longitud del cuerpo poroso, se obtiene"
q R =
0.001127 k A c
μ LC
ln
[
1 + c ( p R − p 2 ) 1 + c ( p R − p 1 )
]
Flujo lineal para un uido compresible, estado estacionario El fu!o que a través de cualquier seccin 3, donde la presin p puede ser e3presada en términos de fu!o en pies c
q=
2
psc TzLμ
4ara presiones menores a 'CCC psia, la grá1ca muestra el t2pico comportamiento de μz
4ara presiones arriba de 'CCC
μz / p es constante.
4ara presiones apro3imadamente menores al rango de >CC a 'CCC, asumiendo que μz / p es constante, la ecuacin que se obtiene es"
q=
0.006328 k T sc A c ( p1− p2 )
p sc T ( zμ / p )
!ariación de permeabilidad en sistemas lineales" 4ara un sistema lineal"
En el cual se asume la misma tasa de fu!o y un fuido incompresible. La ca2da de presin es"
( p1− p4 )=( p1 − p 2 )+ ( p2− p3 ) + ( p3 − p 4 ) 4ara gases a presiones menores a >CC a 'CCC psia.
( p − p )=( p − p )+ ( p − p )+ ( p − p ) 2 1
2 4
2 1
2 2
2 2
2 3
2 3
2 4
Austituyendo la ca2da de presin de la ecuacin de tasa de fu!o, obtenemos"
q t Bμ Lt 0.001127 k vg A c
=
q 1 Bμ L1
+
q2 Bμ L2
+
q3 Bμ L3
0.001127 k 1 Ac 1 0.001127 k 2 A c 2 0.001127 k 3 A c 3
E3cluyendo las variables constantes" Lt L1 L2 L3
k vg
=
k 1
+
k 2
+
k 3
; k vg =
Lt L1 L2 L 3 + + k 1 k 2 k 3
=
∑ L! ∑ L! / k !
5onsiderando que hay más de una cama de igual longitud y que fuye el mismo fuido a través de la seccin transversal, es decir"
La ca2da de presin seria" q t =q 1 + q2 + q 3 k vg A ct ( p1 − p 2 ) BμL
=
k 1 A c 1 ( p 1− p2 ) k 2 A c 2 ( p 1− p2 ) BμL
+
BμL
+
k 3 A c 3 ( p1− p2 ) BμL
5ancelando algunos términos obtenemos" ∑ k ! A c! k vg = ∑ Ac! cuando las camas tienen el mismo ancho, entonces las áreas son proporcionales al espesor" ∑ k ! "! k vg = ∑ "!
Flujo a trav#s de capilaridades y fracturas 5onsiderando una capilaridad de longitud L y un radio interno de r C, por el cual fuye un fuido incompresible de viscosidad + en régimen laminar, ba!o la presin p>&p'/ La ley de 4oiseuille, describe una tasa de fu!o total a través de una capilaridad, como" 2 10 # r 0 ( p1− p2 ) q = 1.30 ( 10 ) BμL 2
Escribiendo A c = # r 0 por área en la ley de Darcy, obtenemos" 13
2
k =1.15 ( 10 ) r o 4ara un fu!o viscoso a través de una ractura con ancho constante, se obtiene" $ Ac ( p1− p2 ) 2
q =8.7 ( 10 )
9
BμL
Donde F es el ancho de la ractura.
Flujo radial en estado estacionario"
5onsiderando un fu!o radial a través de un poo vertical de radio rF en un estrato horiontal de espesor y permeabilidad uniorme.
;btenemos la relacin" qB qB k dp =−0.001127 v= = Ac 2 #r" μ dr Aeparando variables e integrado, obtenemos"
q=
0.00708 k" ( p 2− p1 )
μB ln ( r 2 / r 1 )
Grecuentemente a relacin los radios que nos interesan son el del poo y el radio de drena!e, es decir que nuestra relacin ( r 2 / r 1 ) cambia a ( r e / r w ) %
Flujo radial estacionario
para
uidos
lieramente
compresible,
estado
Ai sustituimos en la ecuacin de fu!o radial obtenida de la ley de darcy, obtenemos"
qB =
[
q R 1 + c ( p R− p ) 2 #r"
] =−0.001127 k dp μ dr
Aeparando las variables, asumiendo constante la compresibilidad sobre toda la ca2da de presin e integrando para toda longitud del medio poroso, obtenemos"
(
1 + c ( p R− p2 ) 0.00708 k" qB = ln 1 + c ( p R− p1 ) μc ln ( r 2 / r 1 )
)
Flujo radial para uido compresible, estado estacionario 4ara un fu!o de gas a cualquier radio" q psc Tz q Bg = 5.615 T sc p Austituyendo en la ley de Darcy"
q psc Tz
5.615 T sc p ( 2 #r" )
=−0.001127
k dp μ dr
Aeparando variables e integrando" 0.01988 T sc k" ( p 1− p2 ) 2
q=
2
p sc T ( zμ ) ln ( r 2 / r 1 )
4ara rangos de presin mayores a >CC a 'CCC"
q=
0.03976 T sc k" ( p 1− p2 )
p sc T ( z μ / p ) ln ( r 2 / r 1 )
Hariacin de permeabilidad en fu!o radial
5onsiderando la tasa total e fu!o como"
q t =q 1 + q2 + q 3 + & + q n Austituyendo la ley de Darcy y cancelando términos, se obtiene"
k vg =
∑ k ! "! ∑ "!
5uando uno considera un sistema de fu!o radial con espesor constante, entonces"
La ca2da de presin seria" ( pe − pw ) =( pe− p ) +( p − pw )
5ancelando y resolviendo la ecuacin" k k e ln ( r e / r w ) k vg = k ln ( r e / r w ) + k e ln ( r e / r w )
D$S%&&'LL' D$ L% $C(%C)*+ D)F$&$+C)%L &%D)%L :sumiendo un balance de masa en un volumen con un tiempo
' t
, es
decir"
El balance de masa seria" (s entrnte) vo)*(en d*rnte ' t − (sq*e s)e de) vo)*(en d*rnte ' t = tsde c*(*)c!on d*rn
La masa que entra al volumen durante un t está dado por"
( qB+ )r+ ' r= 2 # ( r + ' r ) " ( +v ( 5.614 / 24 ) )r +' r La masa que abandona el volumen durante t está dado por"
( qB+ )r=2 #r" ( +v ( 5.615 / 24 ) )r La tasa a la cual se acumula la masa durante el intervalo t es"
[
]
2 # r ' " ( ϕ+ )t +' t −( ϕ+ )t
' t 5ombinando y actoriando, obtenemos la ecuacin de continuidad válida para cualquier sistema geométrico, la cual es" 0.234 , ( r+v )= , ( ϕ+ ) r ,r , t 7inimiando la ecuacin de Darcy, para obtener la menor ca2da de presin se obtiene"
(
)
0.234 , k , p , 0.001127 +r = ( ϕ+ ) r ,r μ ,r , t
La porosidad del término de la derivada parcial es"
, ( ϕ+ )= ϕ , p + + , ϕ ,t , t , t La porosidad está relacionada con la compresibilidad, mediante la siguiente e3presin"
c f =
1 ,ϕ ϕ ,p
Ginalmente combinando y sustituyendo, la resultante es la ecuacin dierencial usada para describir el fu!o en un medio poroso y en direccin radial"
(
)
0.234 , k , p , p , p = +ϕ c f +ϕ 0.001127 +r r ,r μ ,r , t , t
Sistema de ujo transitorio Flujo radial para un uido lieramente compresible, ujo transitorio El cambio de volumen se puede e3presar en densidad, el cual es la inversa del volumen espec21co, obteniendo" c ( p − p ) += + R e R
La ecuacin de diusividad en orma radial es" 2 ϕ μ c 1 , p 1 , p ,p + = 2 , r r ,r 0.0002637 k , t
La presin de reservorio, seg
[ (
2
)]
−ϕμ c t r 70.6 qμB − . ! p ( r - t ) = p!− 0.00105 kt k"
Flujo radial para uido compresible, ujo transitorio De la ecuacin dierencia para fu!o radial, la ley de gases ideales y la de1nicin de compresibilidad se obtiene" ϕ c t p p ,p ,p 1 , = r r , r μz , r 0.0002637 kz ,t
(
]
La transormacin involucra la presin parcial de un gas real, mp/, la cual tiene como unidades psia'%cp en unidades estándar de campo y se de1ne como" p
( ( p ) =2∫ p R
p dp μz
:plicando la regla de cadena de dierenciacin, sustituyendo las relaciones resultantes y combinándolas, se obtiene" 2 ϕ μct ,( ( p ) 1 , ( ( p ) , + = 2 0.0002637 k ,t ,r r ,r a que la ecuacin continua siendo una ecuacin dierencial no lineal, por la dependencia a + y c t , por eso :l&Kussainy y 8amey usando técnicas de dierencias 1nitas obtuvieron una apro3imacin" 3 1637 (10 ) qT kt −3.23 ( ( p wf ) =( ( p ! )− log 2 k" ϕ μ ! c t! r w
[ (
) ]
El valor de mp/ está dado por"
( ( p1 ) =2 ( re 1 ) Donde" p1
re 1=∫ p2
p dp μz
ndice de productividad La relacin de tasa de produccin, e3presada en A9B%d2a el fu!o l2quido, en la ciada de presin en el punto medio del intervalo de produccin, se llama productividad y se lo simbolia con .
/ =
q ´ − p wf p
El 2ndice de produccin puede declinar por alguna de las siguientes causas" &
Incremento en la turbulencia en la tasa de fu!o.
& &
Decremento en la permeabilidad del crudo debido a la presencia de gas, causado por una ca2da de presin en el reservorio. 8educcin en la permeabilidad debido a la compresibilidad de ormacin.
El 2ndice de inyectividad es usado con la salmuera disponible en poo y con poos de inyeccin para recuperacin secundaria o mantenimiento de presin. Es la relacin de tasa de inyeccin en A9B%dia con el e3ceso de presin sobre la presin de reservorio que causa la tasa de inyeccin.
!nd!cede!n0ect!v!dd = 1 =
q STB / d2 / ps! ´ pwf − p
5uando los otros actores aectan, los 2ndices de productividad esencialmente son los mismos. El 2ndice de productividad espec21co es algunas veces usado, el cual es"
/ q !nd!ce de prod*ct!v!dd espec!f!c= / s = = STB / d2 / ps! / ft " " ( p ´ − p wf )
Coeciente de productividad 4ara evaluar el desempe@o de un poo, la reerencia com
/ =0.00708
k" μB ( ln ( r e / r w ) −0.75 )
El coe1ciente de produccin es la relacin del 2ndice de productividad de un poo cualquiera a condiciones de 4I de un poo estándar, es decir" PR=
/ / sw
Superposición
El principio de superposicin establece que el la ca2da total de presin será la suma de las ca2das causadas por el fu!o del poo > y la presin cae gracias al fu!o del poo '.
' pt =' p 1 + ' p2 5ada término de
' p esta dado por"
[ (
2
ϕμ c 1 r 70.6 qμB − .! ' p= p !− p ( r - t )= k" 0.00105 kt
)]
El principio de superposicin puede establecerse como" la adicin de la solucin linear de una ecuacin dierencial, resultando en una nueva solucin a la ecuacin dierencial original.
Ai hay más de un poo fuyente en el sistema de reservorio, el procedimiento es el mismo y el total de la presin esta dad por" 5
3 p =∑ 3 p 4 4 =1
Superposición delimitados
en
reservorios
delimitados
y
parcialmente
La ecuacin de presin para fuidos parcialmente compresibles para fu!o compresible, en con!unto con el principio de superposicin se puede usar para simular los l2mites reservorios cerrados completamente o parcialmente. El método de imágenes es
5omo se ve en la imagen se toma un poo 3, debido a la produccin en el poo localiado a una distancia d de un allo de estanqueidad, será la suma de los eectos de los poos productores y una imagen superpuesta a una distancia d detrás de la alla. 4ara estos casos la ca2da de presin está dada"
3 p = 3 p1 + 3 p!(gen
[ (
2
ϕμ ct r 1 70.6 qμB − . ! 3 p 1= −0.00105 kt k"
[ (
)]
2
ϕμ c t r 2 70.6 qμB − .! 3 p !(gen = −0.00105 kt k"
)]
)ntroducción al testeo de presión transitoria )ntroducción a pruebas de ca-da de presión Las pruebas de ca2da de presin consisten en hacer fuir el poo a una tasa constante después de un periodo de cierre. El periodo de cierre debe ser lo su1cientemente largo para que la presin del reservorio se estabilice.
p ( r - t ) = p!−
[
kt 162.6 qμB −3.23 log 2 k" ϕ μ c t r
]
Ai r$ rJ entonces pr,t/ será la presin de poo, la cual puede ser escrita como"
pwf =6 + ( log t Donde pJ es la presin del poo fuyente en psia, b es constante, t es el tiempo en horas y m es"
( =constnte=
162.6 q μ B k"
4ara la ecuacin de presin, se asume lo siguiente" & &
Glu!o laminar y horiontal en un reservorio homogéneo. 4ropiedades de reservorio, k - ϕ - " - c t - μ y B son independientes de la presin. Glu!o de l2quido monoásico en una regin de tiempo transitorio. ?radientes de presin despreciables.
& & & La permeabilidad promedio se puede obtener"
k =
−162.6 qμB ("
Ai la prueba de ca2da de presin se conduce un tiempo lo su1cientemente largo para que la presin transitoria alcance el periodo seudo&estacionario, entonces el comportamiento de presin se lo describe como" 162.6 qμB 4 A 0.2339 qBt − pwf = p!− log 2 k" A"ϕ c t 1.781 C A r w
[
]
:grupando los términos y constantes para un sistema de reservorio dado, se vuelve" 7 7 pwf =6 + ( t Donde
6 7 $ constante y mM es"
7
( =constnte=
−0.2339 qB A"ϕ c 1
4ara una ona da@ada, e3iste una ca2da de presin adicional porque la permeabilidad se reduce en esa ona. Han Everdingen and Kurst desarrollaron una e3presin para esta ca2da de presin y de1ne un actor de dimensin de da@o, llamado A.
3 p sk!n=
141.2 qμB S k"
; 3 p sk!n=−0.87 (S 9omando en cuenta el actor A para la presin de poo se obtiene"
pwf = p!−
[
kt 162.6 qμB − 3.23 + 0.87 S log 2 k" ϕ μ c t r w
]
La ecuacin se pude arreglar y resolver para A"
S =1.151
[
p!− p wf 162.6 μB k − log + 3.23 2 k" ϕ μ c t r w
]
6sualmente se usa el tiempo corresponde a una hora y sustituyendo m en la ecuacin y reorganiando términos obtenemos" p 1 "r− p! k −log + 3.23 S =1.151 2 ( ϕ μ c t r w
[
]
)ntroducción a pruebas de acumulación
Las pruebas de acumulacin son el método más popular de testeo usado en la industria. Ae lleva acabo con un cierre de produccin que obtiene estabiliar la presin en un tiempo de regin seudo&estacionario para que la tasa de produccin del poo sea constante un periodo lo su1cientemente largo. La presin se monitorea a lo largo de todo el periodo. La ran principal por la que este método es tan popular es la acilidad de mantener la tasa de fu!o en cero durante toda la prueba. El tiempo correspondiente de cierre se estima con la siguiente ecuacin"
5 p t p = q Donde Np es la produccin acumulada durante el tiempo de cierre y que el poo fuye a una tasa constante q. La ecuacin que describe el comportamiento de la presin para un poo cerrado es" pws = p !−
[
( t p + 3 t ) 162.6 qμB log k" 3 t
La gra1ca presin vs
]
( t p+ 3 t ) / 3t
,
Introducida por Korner, describe el 5omportamiento de la presin. La pendiente puede ser calculada"
(=
:rreglando la ecuacin se obtiene"
−162.6 qμB k"
k =
−162.6 qμB ("
El actor s(in o A para la prueba de acumulacin se puede escribir de la siguiente orma"
S =1.151
[
p wf ( 3 t = 0 ) − p wf k t p 3 t − log + 3.23 2 ( ϕ μ ct r w ( t p + 3 t )
]
5onsiderando 3 t para una hora y pJs para ese punto, el actor s(in se convierte"
S =1.151
[
p wf ( 3 t = 0 ) − p1 "r (
− log
k + 3.23 2 ϕ μ c1 r w
]
