Aplicación de la Ley de Torricelli. El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli la cual se encarga de estudiar el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio bajo la acción de la gravedad; mediante el teorema de Torricelli puede ser calculado el caudal de salida o la cantidad de agua que sale en un determinado tiempo por un orificio. La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio, es decir que la velocidad de salida por el orificio será la misma que la velocidad final de un cuerpo en caída libre. A continuación, un problema el cual será utilizado para dar una explicación más clara de la aplicación de este teorema y de manera puede ser utilizado al presentarse una situación similar. Problema: un tanque está lleno de agua a una altura H. en una de sus paredes se perfora un orificio a una profundidad h, bajo la superficie del agua, Calcular: a) la rapidez con que sale el agua por el orificio, b) El alcance x del chorro medido desde la base del tanque. c) a que profundidad h se debe perforar un agujero para que el alcance x sea máximo y d) a que profundidad debe abrirse otro agujero para que el alcance sea el mismo que el del inciso b).
Para poder llevar a cabo el problema anterior primero se tuvo que realizar lo siguiente: Primero se hizo selección del recipiente ideal para este experimento, en esta ocasión se utilizó una botella que presentaba una altura de 29.4cm que es equivalente a 0.294m, luego de elegir la botella y de haber tomado la medida de su altura se perforo el recipiente, con una tachuela a una altura de 9cm iguales a 0.09m, tomada desde la parte superior de la botella hasta su base, obteniendo así los datos principales para poder realizar el ejercicio anterior. A continuación, los diferentes cálculos tomados con el fin de responder los incisos anteriores planteados por el problema. a. En el primer inciso, nos piden determinar la velocidad con la cual el agua es expulsada del recipiente, esto pudo ser calculado de dos maneras por la ecuación de Bernoulli y por el teorema de Torricelli. Método de Bernoulli: cual establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente. 1 𝑃 + 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 2 𝑃1 +
1 2 1 𝜌𝑣 1 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣 2 2 + 𝜌𝑔𝑦2 2 2
Teniendo la ecuación anterior se puede plantear lo siguiente, ubicamos el nivel de referencia en el punto más bajo del recipiente, este sería en la altura 𝑌2 , gracias a esto se puede considerar que la altura en ese punto es cero, así mismo debido a que la velocidad con la que está saliendo el agua por el agujero es mucho más pequeña que la velocidad con la que desciende el agua dentro de la botella se considera que esta es cero, de igual forma pueden ser simplificadas las presiones 1 y 2 por ser la misma, teniendo como resultado la siguiente ecuación. 1 𝜌𝑔𝑦1 = 𝜌𝑣 2 2 2 Al despejar la velocidad de la ecuación, trasladando el 2 a multiplicar al lado izquierdo de la ecuación y la densidad a dividir para luego ser cancelada con la otra, para finalizar se eleva raíz cuadrada a ambos lados obteniendo lo siguiente. 𝑣2 = √2𝑔𝑦1
Luego de introducir en la ecuación el valor de 𝑦1 , obtenemos que la velocidad con la que sale el agua por el primer orificio es el siguiente: 𝑣2 = √(2(9.81𝑚/𝑠 2 )(0.09𝑚) = 1.33𝑚/𝑠
Por el teorema de Torricelli. Como se explicó anteriormente el Teorema de Torricelli estudia el flujo de un líquido que se encuentra contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. La velocidad con la que sale el agua por un orificio puede ser calculado de la siguiente forma. 𝑉 = √𝑉𝑜𝑦 + 2𝑔(ℎ +
𝑉0 2 ) 2𝑔
Antes de introducir los valores, primero se plantea lo siguiente: La velocidad inicial en “Y” se hace cero esto es debido, a que el recipiente no se encuentra inclinado sobre el eje “Y”, por lo tanto, solo existe velocidad en el Eje X, y de igual forma se cancela la velocidad inicial, obteniendo así la siguiente ecuación. 𝑉 = √2𝑔ℎ Introduciendo valores: 𝑉 = √(2(9.8𝑚/𝑠 2 )(0.09𝑚) = 1.33𝑚/𝑠 De esta manera se puede apreciar que velocidad con la que es expulsada el agua del recipiente puede ser obtenido por ambos teoremas, consiguiendo así el mismo valor.
b. En segundo inciso se desea obtener el valor del alcance que tendrá el agua que sale por la primera perforación, esta puede ser calculada de la siguiente forma. Para poder desarrollar este ejercicio es posible considerar que el agua es una partícula la cual está realizando una caída libre o bien un tiro parabólico, gracias a esto podemos decir que el alcance es igual a la velocidad inicial en X por el tiempo, esto se puede plantear de la siguiente forma. 𝑋 = 𝑉𝑜𝑥 𝑡 Como se puede apreciar en la ecuación no se tiene conocimiento del tiempo, pero sí de la Velocidad Inicial en X, el tiempo puede ser calculado de la siguiente manera: 1 𝑌 = 𝑉𝑜𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 En este caso Y es igual a la diferencia de altura que sería de la siguiente manera -(H-h), es negativo debido a que la altura que tiene el agua en el recipiente está cambiando de manera negativa o bien se puede decir que esta se encuentra descendiendo y así como se canceló la velocidad inicial en Y en la ecuación anterior de igual forma se realizara en esta ocasión de modo que tenemos como resultado lo siguiente. 1 −(H − h) = − 𝑔𝑡 2 2
Al despejar el tiempo de la igualdad e introducir valores, se obtiene lo siguiente. t=√
2(𝐻−ℎ) 𝑔
=√
2(0.294𝑚−0.09𝑚) 9.81𝑚/𝑠2
= 0.204s
luego se introduce este resultado en formula anterior con el fin de encontrar así el alcance que tendrá el agua al salir del recipiente por el primer punto. 𝑋 = 𝑉𝑜𝑥 𝑡 1.33𝑚 𝑋=( ) (0.204𝑠) = 0.271𝑚 𝑠
c. Con el fin de obtener una altura en la cual el alcance sea máximo, este es posible encontrarlo haciendo uso del teorema de integrales para encontrar máximos y mínimos, si el resultado de este es menor que cero, el valor critico es máximo y si es mayor este será mínimo. Se tiene que: 𝑋 = 2[ℎ(𝐻 − ℎ)]1/2 al aplicar derivadas obtenemos: 𝑑𝑥 1 = 2 [ℎ(𝐻 − ℎ)]−1/2 (𝐻 − 2ℎ) 𝑑ℎ 2 Simplificamos el dos y bajamos a dividir [ℎ(𝐻 − ℎ)] ya que este esta elevado por un exponente negativo, al final obtendremos lo siguiente. 𝑑𝑥 (𝐻 − 2ℎ) = =0 𝑑ℎ √[ℎ(𝐻 − ℎ)] Al pasar el denominador al lado derecho a multiplicarlo por cero, dejamos el numerador igualado a cero cumpliendo con que la primera derivada sea cero. 𝐻 − 2ℎ = 0 ℎ=
𝐻 2
luego introducimos el valor obtenido a la ecuación anterior a este nos queda lo siguiente: 𝑋𝑚𝑎𝑥 = 2 √ℎ(𝐻 − ℎ) = 𝐻
𝐻
𝐻2
𝑋𝑚𝑎𝑥 = 2 √( 2 (𝐻 − 2 ) ) = 2 √ 4 = Xmax=H=0.294m
d. El 4 y ultimo inciso nos piden encontrar una altura en la cual se iguale el alcance obtenido por el primero orificio, esto es posible encontrarlo elevando al cuadro la ecuación anterior con el fin de convertirla en una función cuadrática, y de este modo poder encontrar otra distancia que pueda igualar el alcance del primer punto. 𝑋 2 = (2)2 (√ℎ(𝐻 − ℎ))2 𝑋 = 4 (ℎ(𝐻 − ℎ)) 𝑋 = 𝐻ℎ − ℎ2 4 𝑋 − 𝐻ℎ + ℎ2 = 0 4 Al introducir valores nos queda lo siguiente: 0.271 − 0.294ℎ + ℎ2 = 0 4 Obtenemos que: ℎ1= 0.21𝑚 ℎ2= 0.09𝑚 Conociendo así la otra altura que tendrá el mismo alcance que el primer punto, esto es debido también que al existir mayor profundidad, ocasiona que el flujo del agua sea mayor presión, esto se pudo apreciar en el punto anterior que hubo un mayor alcance, gracias a este principio.
