Aplicación de Integrales definidas al volumen de un sólido con base parabólica - Daniela Carrillo

Colegio Nuevo Colombo Americano. Carrillo, Daniela. Aplicación de Integrales definidas al volumen de un sólido.

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Aplicación de Integrales definidas al volumen de un sólido con base parabólica Carrillo Reyes, Daniela. [email protected] Colegio Nuevo Colombo Americano

Resumen—El trabajo consistió en calcular el volumen de un sólido cuya base está encerrada por una parábola con ecuación y = 1 − x 2 y el eje x y cuyas secciones transversales perpendiculares al eje y son cuadrados.1

⎯ Cálculo Cálculo integral, integral definida, límites de integración, secciones transversales, teorema Índice de términos

fundamental del cálculo.

I. INTRODUCCIÓN El cálculo integral es una rama de las matemáticas que estudia la forma de hallar áreas y volúmenes principalmente, a partir de la integración o antiderivación. Dependiendo de su carácter de indefinida o definida tiene determinadas aplicaciones, a grandes rasgos podemos observar que una integral indefinida genera una función, mientras que una definida produce como resultado un real, que puede representar un área o un volumen dependiendo de las características del integrando. El trabajo aquí descrito fue realizado analizando el objeto matemático como aplicación de una integral definida. Teniendo esto en cuenta se puede ver que el cálculo integral se puede aplicar a esta situación utilizando el método de suma de volúmenes. Para poder entender el desarrollo de esta investigación es conveniente aclarar que una integral representa una suma, la “suma de Riemann”, es decir que se suman áreas de lado que tiende a ser cero, o de volúmenes de grosor que tiende a ser cero, y así realizar una aproximación al área o volumen total de la figura en cuestión. El caso a tratar en este proyecto describe una situación en la cual se tiene un sólido formado por la unión de secciones transversales cuadradas de área A(y) que son perpendiculares al eje y en la parábola y = 1 − x 2 , y cuyo volumen es el objeto matemático a desarrollar en esta investigación. Con los insumos anteriormente descritos, se puede ver que una forma óptima de dar solución a este caso es usando la suma de volúmenes de grosor que tiende a ser cero, es decir integrando esa función.

II. CONTENIDO Para el desarrollo de la situación problema descrita en el resumen se aplicará la siguiente estrategia… Información dada y teoría

Grafic Graficar ar la funció funciónn

Volumen del sólido

PMV de Matemáticas 2009

Modelar el sólido y la sección sección transversa transversall

Hallar la formula para calcular el área de la sección transversal A(y)

Integrar la función encontrada para A(y)

Determinar los límites de integración


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Graficar la función Para poder analizar el sólido formado por la parábola y = 1 − x 2 delimitada por el eje x y de altura h, lo primero que se debe hacer es poder visualizar la parábola como tal y así poder analizarla, es por ello que el primer paso planteado en la estrategia para el desarrollo de la situación problema es graficar la función dada. Esto se va a realizar a través del uso del cálculo diferencial, determinando diferentes características de la función, se hallarán los puntos en los cuales ésta corta con el eje x y el eje y, y a partir de la primera y segunda derivada se determinarán sus puntos críticos. y = 1 − x 2 Donde el Dominio de la función son todos los reales Domf ( x) = R .

Asimismo se puede decir que es simétrica, puesto que la variable x se encuentra elevada al cuadrado, lo que quiere decir que sin importar si el valor ingresado a x es negativo o positivo va a dar como resultado un mismo valor para y. 2 1 − x 2 = 1 − ( − x ) (1) 2 2 1 − x = 1 − x Puntos de corte con los ejes Si y = 0 entonces 0 = 1 − x 2 x 2 = 1 x = 1 x = ±1

(2)

Si x = 0 entonces y = 1 − 02 y = 1

(3)

Puntos críticos • No hay asíntotas • Primera derivada: y = 1 − x 2 (4) y ' = −2 x Si y ' = 0 entonces 0 = −2 x (5) 0 = x • Segunda derivada: y ' = −2 x (6) y '' = −2 Si y '' = 0 entonces 0 = −2 Lo cual quiere decir que no hay puntos de inflexión Análisis de Datos x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,∞)


ƒ(x) x 0 x 1 x 0 x

ƒ′(x) + + + 0 -

ƒ″(x) -

Conclusión Creciente y cóncavo hacia abajo Creciente y cóncavo hacia abajo Creciente y cóncavo hacia abajo Punto máximo Decreciente y cóncavo hacia abajo Decreciente y cóncavo hacia abajo Decreciente y cóncavo hacia abajo


De esta forma la gráfica que resulta es la siguiente…

Figura 1

Donde la base del sólido es la parte sombreada de la gráfica 2, pues la situación problema establece que ésta es la parábola delimitada por el eje x.

Figura 2

Modelar el sólido y la sección transversal z

y

x Figura 3


3


4

z

x

y

A(y)

l

l Figura 4

A(y) representa la sección transversal cuadrada perpendicular al eje y, y su área está dada por la formula A( y ) = l 2 . Encontrar una formula para calcular el área de la sección transversal A(y) Por lo indicado en el enunciado de la situación problema se entiende que la sección transversal cuadrada tiene su base determinada por el eje x, delimitado por la parábola descrita, pues éste es perpendicular al eje y.

Es por ello que de la ecuación principal de la parábola se deriva la siguiente ecuación, que será utilizada más adelante. y = 1 − x 2 x 2 + y = 1 x 2 = 1 − y

(7)

x = 1 − y

Más enfocado al área de A(y), también se puede deducir que

A(y)

x1

0 l

Figura 5


l

x2


Encontrando así que l = x2 − x1 Donde x2 ∈ ( 0,1]

5

(8)

x1 ∈ [ −1, 0 )

Teniendo en cuenta la información presente anteriormente se puede decir que x2 = 1 − y (9) x1 = − 1 − y Y por lo tanto l = 1− y − (− 1− y ) (10) l = 2· 1 − y

Aplicando este valor para l en A(y) se puede ver que

l = 2· 1 − y

A(y)

l = 2· 1 − y Figura 6 2

Y sabiendo que A( y) = l se puede decir que A( y) = (2· 1− y ) 2 A( y) = 4·(1 − y)u 2

(11)

Esta última formula o ecuación encontrada será la que procederá a ser integrada para finamente hallar el volumen de sólido en cuestión. Determinar los límites de integración La Fig. 2 muestra que la parte de la parábola que se usa en esta situación particular, en términos del eje y esta encerrada en el intervalo de [ 0,1] , por lo cual estos serán los límites de integración. Esto se puede interpretar de diferentes maneras, una de ellas es que estos son los límites gracias a que el diferencial usado para el desarrollo de la situación planteada está determinado por el eje y (dy), ó se puede ver que las secci seccione oness transv transvers ersale aless forma formarán rán una una figur figuraa uniénd uniéndose ose desd desdee que empie empieza za la base base ( y =0 ) hasta que ésta termina ( y = 1 ). Integrar la función encontrada para A(y) Se integrará de acuerdo al método de secciones transversales, usando la formula 1

V = ∫ A( y )dy

(12)

0

donde A(y) representa el área de la sección transversal hallada anteriormente.



6

1

V = ∫ 4·(1 − y )dy 0

1

V = 4·∫ 1 − ydy 0 1

1

0

0

V = 4·∫ 1dy − 4·∫ ydy y 2 V = 4· y 0 − 4· 2

1

V = 4· y 10 −2· y 2

1 0

1

0

(13)

V = 4·1 − 4·0 − ( 2·12 − 2·02 ) V = 4·1 − 2·12 V = 4 − 2 V = 2u 3

III. RESULTADOS El proceso realizado lleva a concluir que el volumen del sólido formado por la unión de secciones transversales cuadradas perpendiculares al eje y en la parábola y = 1 − x 2 delimitada por el eje x, es… V = 2u 3 • • •

•

IV. CONCLUSIONES La comprensión del componente geométrico del problema es parte fundamental en el desarrollo óptimo de éste, pues una concepción errónea puede llevar a encaminar el proyecto en una línea equivocada y producir un resultado incorrecto. El volumen de un sólido determinado por secciones transversales, a pesar de tener la misma base, puede variar dependiendo de la figura que represente esta sección. La elección del método y estrategia a usar para el desarrollo de la situación problema es un aspecto muy influyente y determinante, pues cada uno de los métodos que se encuentran para hallar volúmenes a través del cálculo integral tiene casos específicos para ser aplicado, y si la situación en la cual se va a usar el método no cumple con las especificaciones requeridas se van a encontrar inconsistencias e inexactitudes en la solución propuesta para el problema. Más allá del nuevo conocimiento adquirido a nivel matemático se puede decir que también hubo un aprendizaje personal, observando que una modalidad de autoaprendizaje, en donde la autonomía y la independencia juegan un papel muy importante, puede llevar a la preparación del estudiante para las nuevas experiencias que la vida universitaria traerá consigo.

V. REFERENCIAS [1] THOMAS, George B. B . 1964. “Cálculo infinitesimal y Geometría analítica”. [2] THOMAS, George B. “Cálculo: Una variable”. [3] PURCELL, Edwin. RIGDON, Steven. VARBERG, Dale. 2007. “Cálculo”. [4] STEWART, James. 2006. “Cálculo: Conceptos y contextos”. [5] STEWART, James. 2001. “Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas”. [6] GÓMEZ MULLET, Alfonso. “Cálculo Integral”.



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VI. AUTORES Daniela Carrillo Reyes se encuentra finalizando sus estudios de educación media en el Colegio Nuevo Colombo Americano, institución en la cual cursó todo su bachillerato. A través de esta etapa de su vida tuvo la influencia de grandes mentes como Derly Áreas, Sandra Solórzano y Carlos Díez, profesores del área de matemáticas. Asimismo recibió un gran apoyo por parte de su familia y a nivel de sus compañeros ha tenido una gran influencia por parte de personas como Luisa Vélez y Gabriela Díaz. Por medio de la experiencia de esta investigación se pudo adquirir nuevo conocimiento acerca de la aplicación del cálculo integral a los volúmenes, de una forma muy independiente y autónoma, llevando a la formación personal en aspectos como la disciplina y el autoaprendizaje, modalidades de estudio muy usadas en un ámbito de educación superior.


Aplicación de Integrales definidas al volumen de un sólido con base parabólica - Daniela Carrillo

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