APLICACIÓN DE DERIVADAS EN LA INGENIERIA MECATRONICA} LA DERIVADA La derivada de una función en un punto es el valor que tiene la pendiente de la tangente en ese punto concreto. La pendiente viene determinada por la tangente del ángulo que forma la tangente a la curva de la función. La derivada de una función mide la variación de esa función. Su variación indica el crecimiento o decrecimiento de la función.
APLICACIÓN DE LA DERIVADA El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales. En ingeniería mecatrónica, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que esta rama de la ingeniería va de la mano con todas las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas. El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo !"" #asta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálcu cálculo lo infin infinit itesi esima mal. l. Los Los intr introd oduc ucto tores res fuero fueron n $e%t $e%ton on y Leib Leibni nit& t&,, de form formaa independiente. Los conceptos son difíciles y #asta bien entrado el siglo " no se simplificaron. ' ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Derivadas en la Actualidad El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son (tiles en economía, economía, psicología, psicología, medicina, medicina, administració administración, n, ingeniería,e ingeniería,electricid lectricidad, ad, electrónica, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc. Se utili&an para la optimi&ación de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o ma)imi&ar su espacio* en medicina para obtener un cálculo apro)imado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc. En física donde la primera derivada se utili&a para la velocidad y la segunda para la aceleración. En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con muc#a frecuencia y a veces sin darnos cuenta.
TEOREMA
Supongamos que
f es derivable en el intervalo abierto
f es estrictamente creciente en
(a , b ) . Entonces la funcion
(a , b ) si F : ( x )> 0 para a .
EJERCICIOS Se le ide a un in!enier" #ecatr$nic" crear un r"!ra#a %ue er#ita calcular d"s n&#er"s cu'a su#a sea ()) ' de *"r#a %ue su r"duct" sea #+,i#"INCOGNITAS . DATOS X = Primer Numer o
Y = Segundo Numer o X + Y =10 0 Funcionque hay que maximizar : f ( x , y ) = xy Sujeto ax + y =100 y =100 − x
Se escribela funcion conuna sola variable f ( x )= x (100 − x ) f ( x )= 100 x − x
2
Se calculan losmaximos y minimos relacionado s f ( x )=100−2 x
x =5 0 Si x =5 0 !ntonce s
y =5 0 Se com"ruebala segunda derivada : f ( x )=−2< 0
−¿ ¿ ¿ !l "rimer numero es : x =5 0
!l segundonumeroes : y =5 0
#onclusiones : Las derivadas son parte fundamental de la "ngenieria +ecatrónica ya que básicamente la base de la carrera son las matematicas y todo depende de ellas.
/n *"nd" de inversi$n !enera una renta0ilidad de una #a%uinaria %ue deende de la cantidad de diner" invertida1 se!&n la *"r#ula2 $ ( x )=−0.002 % 2+ 0.8 x −5 d"nde $ ( x ) reresenta la renta0ilidad !enerada cuand" se invierte la cantidad
x
- Deter#inar1 teniend" en
cuenta %ue dis"ne#"s de 3)) d"lares2 a4 Cuand" au#enta ' cuand" dis#inu'e la renta0ilidad 04 Cuant" diner" de0e#"s invertir ara "0tener la #+,i#a renta0ilidad "si0lec4 Cual ser+ el val"r de dic5a renta0ilidada La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece.
Procedimiento :
Se derivala funci&n : $ ( x )=−0,004 x + 0,8 Se igualaa 0 y se resuelvela ecuaci&n queresulta :
x =
0.8 0.004
x = 200 $ ( x ) = 0
Se estudia el signo de la derivada a la derec#a e i&quierda de los valores que nos #a dado - la derivada en este caso ) /0--. 1ay varios m2todos, uno muy mecánico3
Se escoge un punto menor que 0--, por ejemplo 4--, y sustituimos y en otro mayor que 0-- por ejemplo 5--
$ ' ( 100 )=0,4 > 0
$ ' ( 300 )=−0,4 < 0 .
Entonces la derivada es positiva en el intervalo -, 0--, y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en 0--, 6-- ya que en ese intervalo nos #a dado negativa la derivada. Lo que nos dice tambi2n que en punto 0-- #ay un má)imo local. b 7eniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 0-- dolares. c La má)ima rentabilidad es $ ( 200 )=−0,002. ( 200 ) 2+ 0,8.200−5 =75 dolares.
S"luci$n !r+*ica-
La dilataci$n de un #etal se #ide en una escala de ) a 3) ' viene e,resada "r la *unci$n V6t47 8)9(3t:;t<9t=1 d"nde t es el tie#"6en 5"ras4 transcurrid" desde %ue c"#ien>" en estudi" 6t7)4- Indicar l"s instantes de #+,i#a ' #?ni#a dilataci$n en las @ ri#eras 5"ras ' l"s interval"s en %ue esta crece ' decrece8ara que la función tenga un má)imo o un mínimo la derivada debe ser cero.
( ' (t )=15 −18 t + 3 t
2
) gualando a 0 2
−18 t + 3 t = 0
15
2
Sim"lificando t − 6 t + 5 =0 t = 1 y t =5 "dentificamos el má)imo y quien el mínimo de la función, en el intervalo 9-, :;, que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los e)tremos del intervalo por el teorema de
( ( t )= t 3− 9 t 2 + 15 t + 40
( ( 0 )= 40 ( ( 5 )=125 −225 + 75 + 40 =15
( ( 1 )=1− 9+ 15 + 40 =47 ( ( 6 )=216 −324 + 90 + 40=2 2 La má)ima dilatación es a las 4 #oras y la mínima a las 6 #oras.
8ara ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada3
( * ( t )=3 t 2−18 t + 15
Luego ! crece desde - a 4 y desde 6 a :, crece en -, 4 unión 6, : y decrece en el intervalo 4, 6. =bservando la gráfica de esta función vemos lo que se #a deducido.
