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Instituto Tecnológico de Sonora Ciudad Obregón, Sonora.

Análisis Estructural, Plan de Estudios Estudios 2009 Ing. Jesús Horacio Zazueta Villaseñor

MÉTODO DE LA RIGIDEZ PARA ARMADURAS PLANAS 1

Ing. Jesús Horacio Zazueta Villaseñor

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Supuestos para el análisis estructural de armaduras planas McCormac (2002) define a las armaduras como «una estructura formada por un grupo de elementos estructurales dispuestos en forma de uno o más triángulos», sin embargo, las armaduras pueden ser simples y complejas, por su parte Hibbeler (2012) lo define como «una estructura compuesta de elementos delgados unidos en sus extremos»; en conclusión para poder llevar a cabo el análisis estructural de armaduras planas deben de tomarse en consideración los siguientes puntos:

1. Todos los los elementos elementos de la armad armadura ura están unidos unidos por medio medio de articulac articulaciones iones (pasad (pasadores ores sin fricción o lisos) por lo que cada nodo solo transmitirá fuerzas en X y en Y. Y. 2. Los elementos elementos de de la estructura estructura son son rectos rectos (de otra otra manera manera las fuerza fuerzass axiales axiales producir producirían ían momentos flexionantes respecto al eje de elemento). 3. Los elemento elementoss que confor conforman man a la armadura armadura mantiene mantienen n un compo comportamie rtamiento nto elástico elástico lineal. lineal. 4. Las acciones acciones externas externas y las las reacciones reacciones se aplicar aplicarán án como cargas cargas puntuales puntuales en los los nodos nodos de la armadura.


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Métodos clásicos y modernos de análisis estructural Dentro del análisis estructural existen métodos clásicos y modernos, los cuales pretenden dar solución al problema de determinación de incógnitas en sistemas estructurales. Los métodos clásicos buscan la determinación analítica del problema y es adecuado para sistemas estructurales con grados muy bajos de indeterminación estática; los métodos modernos utilizan algebra matricial y generalmente se llevan a cabo con ayuda de una computadora, lo que los hace ideales para resolver sistemas con muchas incógnitas; los métodos modernos son los siguientes (McCormac 2002): •

•

El método de la flexibilidad: En este método se suprime un número suficiente de redundantes (reacciones, o fuerzas internas, o ambas) de la estructura hiperestática, de modo que se logre una estructura estable y estáticamente determinada. El método de los desplazamientos o de las rigideces: En este método se establecen ecuaciones con los desplazamientos de los nudos (rotaciones y traslaciones) necesarios para describir completamente la configuración deformada de la estructura.



Métodos modernos de análisis estructural Los métodos modernos permiten analizar sistemas estructurales con altos grados de indeterminación estática, sin embargo, el método de rigideces es más apropiado para resolver las incógnitas de indeterminación estática de forma más sistemática, ya que a diferencia del método de las flexibilidades, éste presenta el mismo procedimiento para estructuras isostáticas e hiperestáticas.

Gere y Weaver (1982) sugieren la siguiente selección de métodos: Grados de indeterminación

Método apropiado

Estática

Cinemática

A mano

Calculadora

Baja

Baja

Cualquiera

Rigidez

Baja

Alta

Flexibilidad

Rigidez

Alta

Baja

Rigidez

Rigidez

Alta

Alta

Ninguno

Rigidez



Método de la Rigidez Hibbeler (2012) resume el método de rigideces de la siguiente forma: «El método de la rigidez requiere subdividir la estructura en una serie de elementos finitos discretos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de la armadura, los elementos finitos se representan mediante cada uno de los elementos que la componen y los nodos representan las juntas. Se determinan las propiedades de la fuerza-desplazamiento en cada elemento y después se relacionan entre sí usando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas escritas en los nodos. Luego estas relaciones para toda la estructura K . Una vez establecido esto, se pueden determinar los desplazamientos desconocidos de los nodos para cualquier carga dada sobre la estructura. Al conocer estos desplazamientos pueden calcularse las fuerzas externas e internas en la estructura utilizando las relaciones de fuerza-desplazamiento para cada elemento».



Identificación de los elementos y los nodos Para comenzar es necesario identificar los nodos y los elementos junto con sus extremos cercano y lejano. Para lo cual, cada uno de los elementos se identificará con un número el cual estará encerrado en un cuadrado, y para los nodos, se colocará un número encerrado en un circulo; también se identificarán los extremos cercano y lejano por medio de una flecha que apunta hacia el extremo lejano, tal como se aprecia en la siguiente figura (Hibbeler, 2012):

Respecto a la numeración de los grados de libertad, puede sugerirse numerar primero los nodos que no corresponden a reacciones.

Imagen 1: Determinación de los elementos, n odos y extremos lejano y cercano para cada un o de los elementos del sistema estructural consid erando su posición en coordenada s globales (Fuente: imagen tomada del li bro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012 ).)



Coordenadas Globales y Coordenadas Locales Debido a que las cargas externas y los desplazamientos son cantidades vectoriales, es necesario establecer un sistema de coordenadas con el fin de precisar adecuadamente el sentido correcto de la dirección, dichos sistemas pueden ser globales y locales. El sistema de coordenadas global se describe respecto a los ejes X y Y, siendo el único para toda la estructura y sirve para identificar el sentido de las componentes de cada una de las fuerzas externas y el desplazamiento de los nodos (Imagen 1). El sistema de coordenadas locales se utilizará para definir el sentido de dirección de las deformaciones y cargas internas en el elemento, el cual se identificará con los ejes X’ y Y’, el origen se encontrará en el nodo cercano y se dirige hacia el nodo lejano (Imagen 2).

Imagen 2. b) Elemento unitario considerando su posición respecto a coordenadas locales.



Matriz de rigidez local o del elemento La matriz de rigidez local del elemento se considera respecto al sistema de coordenadas locales de cada uno de los elementos X’ y Y ’, los términos de esta matriz representan las relaciones de carga-desplazamiento para el elemento observe la siguiente imagen:

Imagen 3. b) Elemento unitario considerando su posición respecto a coordenadas locales. (Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012).)

Cada uno de los elementos de la armadura plana solo puede desplazarse sobre su eje X’ puesto que las acciones internas en el elemento son exclusivamente fuerzas axiales.



Matriz de rigidez local o del elemento (continuación) Sobre el elemento se están aplicando dos cargas externas, las cuales actúan en el nodo cercano y el nodo lejano (q ’ N y q’F respectivamente), por lo tanto pueden ocurrir dos desplazamientos independientes; para la primer acción externa aplicada sobre el nodo cercano y su correspondiente desplazamiento d N, mientras el nodo lejano se mantiene articulado (tal y como se observa en la Imagen 3 (a)), las fuerzas desarrolladas en cada uno de los extremos por acción de q’ N son:

Observese que q ’F tiene sentido negativo en el sentido de X’ debido a que es necesario mantener el equilibrio estático; del mismo modo un desplazamiento positivo de d F en el extremo lejano, que mantiene al extremo cercano articulado (tal y como se observa en la Imagen 3 (b)), las fuerzas desarrolladas en cada uno de los extremos por acción de q ’F son:



Matriz de rigidez local o del elemento (continuación) De las ecuaciones anteriores, correspondientes a las acciones en función a los desplazamientos locales de los nodos, por medio del principio de superposición obtenemos lo siguiente: Ec. (1) Ec. (2)

Escritas de forma matricial se obtiene lo siguiente:

O bien:  =  ′

Ec. (3)

dónde:

Ec. (4)



Matriz de rigidez local o del elemento (continuación) La matriz presentada en la Ec (4) corresponde a la matriz de rigidez local o del elemento y tiene la misma forma para todos los elementos en el sistema estructural; los cuatro elementos que la componen se llaman coeficientes de influencia de la rigidez del elemento k’ij, la cual representa la fuerza en la junta i cuando se impone un desplazamiento unitario en la junta j; por lo tanto, si i=j=1 entonces k’11 es la fuerza en la junta cercana cuando la junta lejana se mantiene fija y la junta cercana experimenta un desplazamiento unitario de d N=1, es decir:

De la misma forma, la fuerza en la junta lejana se determina a partir de i=2, j=1, cuando hay un desplazamiento en la junta cercana, por lo que:

Las ecuaciones anteriores representan las acciones generadas en las juntas cuando el extremo cercano experimenta un desplazamiento unitario.



Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento Lo que se determinó anteriormente corresponde a las fuerzas y los desplazamientos locales de los miembros que componen el sistema estructural, sin embargo, es necesario un método para transformar lo anterior a coordenadas globales. Para lo cual, conviene hacer la consideración de que las coordenadas globales X positivas van hacia la derecha y las coordenadas Y positivas hacia arriba. Los ángulos menores entre los ejes globales X y Y positivos. Y el eje local X’ positivo, se definirán como θX y θY, tal y como se muestra en la siguiente imagen:

Los cosenos de éstos ángulos se utilizarán en el análisis matricial que sigue.

Imagen 4: Determinación de los áng ulos menores en miembro del sistema estructural (Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (201 2).)



Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación) Los cosenos de éstos ángulos se identificarán como λ X=CosθX y λ Y=Cos θY, sus valores pueden ser determinados una vez que se han identificado las coordenadas X y Y del extremo cercano N y del extremo lejano F del elemento; por lo tanto las coordenadas de N y F (X N,Y N) y (XF,YF) respectivamente se definen como:

Ec. (5) Ec. (6)

Imagen 5: Determinación de los cosenos de los á ngulos menores (Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012).)



Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación) En las coordenadas globales, cada extremo del elemento puede tener dos grados de libertad o desplazamientos; por lo tanto, la junta N tiene D NX y D NY, y la junta F tiene DFX y DFY, si se considerará cada uno de estos desplazamientos por separado, puede determinarse su desplazamiento de componente a lo largo del elemento. Cuando el extremo lejano se mantiene fijo y al extremo cercano se le da un desplazamiento global D NX, el desplazamiento correspondiente (deformación) a lo largo del elemento es D NXCosθX, del mismo modo un desplazamiento global D NX producirá un desplazamiento correspondiente en el elemento es D NYCosθY (Ver Imagen 6). El efecto de ambos desplazamientos globales, se define como:

Imagen 6: Desplazamientos glob ales en el nodo cercano N (Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012).)



Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación) Si de la misma manera se consideran los desplazamientos en F (D FX,DFY) y se considera que λ X=CosθX y λ Y=Cos θY, se tiene lo siguiente:

Escrito en forma matricial sería:

Ec. (7)

O bien:

 = 

Ec. (8)

dónde:

Ec. (4)



Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación) En la Ec. 8, T transforma los cuatro desplazamientos D globales X y Y, en dos desplazamientos locales X’. Por lo tanto, T se conoce como la matriz de transformación de los desplazamientos. De la misma forma deberá definirse una matriz de transformación de fuerza; considere una aplicación de fuerza q N sobre el extremo cercano del elemento, el extremo lejano se mantiene fijo, por lo tanto las componentes de la fuerza global de q N en N son:

Imagen 6: Acciones globales en el nodo N y F (Fuente: imagen tomada del libro de «Análisis Estructural» de Hibbeler (2012).)



Matriz de transformación de fuerza y desplazamiento (continuación) Si de la misma manera se consideran las acciones en F (Q FX,QFY) y se considera que λ X=CosθX y λ Y=Cos θY, se tiene lo siguiente:

Escrito en forma matricial sería:

Ec. (10)

O bien:

 = 

Ec. (11)

dónde:

Ec. (12)



Matriz de rigidez global del elemento Es la matriz que relaciona los componentes de la fuerza global Q del elemento con sus desplazamientos globales D. Si en la Ec. 8 d=TD se sustituye la Ec.3 q= k’d, es posible determinar las fuerzas q de los elementos, las cuales corresponden a las fuerzas internas axiales de compresión y tensión, las cuales quedarán en función de los desplazamientos globales D en sus puntos extremos:

 =  ′ D

Ec. (13)

Al sustituir la Ec. 11 Q=TTq, se obtiene el resultado final:  =    ′  O bien:  = 

Ec. (14)

Donde: k =    ′ 

Ec. (15)

La matriz k es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales, dado que TT, T y k’ ya se conocen.



Matriz de rigidez global del elemento (continuación) De lo anterior, si se realizan las operaciones matriciales se obtiene:

Ec. (16)

La ubicación de cada elemento en esta matriz simétrica de 4x4 está referenciada con cada grado de libertad global asociado con el extremo cercano N. seguido por el extremo lejano F. por lo tanto, k representa las relaciones de fuerza-desplazamiento para el elemento cuando las componentes de éstas en los extremos del elemento están en las direcciones globales X y Y, cada uno de los elementos de la matriz es un elemento k ij lo que denota la componente de fuerza X o Y en i necesaria para producir una componente unitaria de desplazamiento asociada X o Y en j. Por ejemplo, un desplazamiento unitario D NX=1, creará las cuatro componentes de fuerza sobre el elemento que se muestran en la primera columna de la matriz.



Matriz de rigidez global del elemento (ejercicio) 1. Determine la matriz de rigidez global de cada uno de los elementos del sistema estructural que se presenta a continuación, donde: E=2.1x10^7 Ton/m² el área de la sección transversal de los elementos es igual a A=10.5 cm².

3m

1.5 m



Matriz de rigidez global de la estructura Ya que se tienen todas las matrices de rigidez de los elementos en coordenadas globales, es necesario combinarlas en el orden correcto, para que pueda determinarse la matriz de rigidez K de todo el sistema, sumando todas las rigideces correspondientes a cada grado de libertad, ejemplo:

+



Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural Una vez que se tiene la matriz de rigidez global de la estructura K pueden relacionarse las acciones externas Q con los desplazamientos, utilizando la siguiente ecuación: Ec. (17)

La ecuación anterior se conoce como la ecuación de rigidez de la estructura; a continuación es importante identificar que parte de las ecuaciones matriciales corresponden a los grados de libertad restringidos y cuales no, teniendo la siguiente ecuación: Ec. (18)

QK y D K corresponden a las fuerzas externas y los desplazamientos conocidos respectivamente, QU y DU corresponden a las reacciones y los desplazamientos desconocidos de los nodos; como puede observarse los desplazamientos de los grados de libertad restringidos D K que se encuentran en las reacciones es 0.



Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural (continuación) Si la ecuación de la rigidez de la estructura se expande, se obtiene: Ec. (19) Ec. (20)

Si no se consideran desplazamientos en los apoyos, D K =0, por lo tanto la Ec. 19 que nos ayuda a determinar los desplazamientos queda:

Despejando DU de la ecuación, que corresponde a los desplazamientos de los grados de libertas normales, queda la inversa de la matriz K 11 multiplicando a QK que son las cargas externas conocidas, por lo tanto: Ec. (21)

De esta forma pueden conocerse todos los desplazamientos que se presentan en todos los nodos del sistema estructural.



Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural (continuación) Habiendo determinado los desplazamientos, puede utilizarse la Ec. 20 para determinar Q U que corresponde a las acciones que se presentan en las reacciones de los apoyos, si se considera que los apoyos no tienen desplazamientos DK =0, la ecuación queda de la siguiente forma: Ec. (22)

De ésta manera pueden obtenerse las reacciones de los apoyos del sistema estructural. Ahora solo será necesario determinar las fuerzas internas de compresión y de tensión que se encuentran en los elementos que conforman el sistema estructural, para lo cual podemos hacer uso de la Ec. 13 en cada uno de los elementos:  =  ′ D

Ec. (13)

Como puede observarse, se pretende considerar los desplazamientos globales conocidos para determinar las fuerzas que los están propiciando, para eso es necesario utilizar la matriz de transformación de desplazamientos T en el vector de desplazamientos globales D, de forma que puedan conocerse los desplazamientos locales d N y dF, pudiendo así obtener q N y qF.



Aplicación del Método de Rigideces para el Análisis Estructural (continuación) Expandiendo la Ec. 13 tenemos:

Ec. (23)

La cual nos permitirá obtener los valores de q N y qF; nótese que si qF tiene un signo positivo va en el sentido del eje local X’ por lo que se habla de una fuerza interna de tensión, caso contrario si qF tuviera un signo negativo significa que la fuerza del nodo va hacia el elemento, por lo tanto la fuerza interna es de compresión. El método de las rigideces es un procedimiento ágil para determinar las incógnitas en sistemas estructurales con altos grados de indeterminación; en la práctica las aplicaciones de software más utilizadas manejan como motor de cálculo el método de las rigideces, como por ej, SAP2000, ETABS, etc.



Casos de Aplicación Determine el Grado de Indeterminación, las reacciones en los nodos 1, 3 y 4, el desplazamiento en el nodo 2 y las fuerzas internas de los elementos 1, 2 y 3, para lo cual considere: E=2.1x10 7 Ton/m², una sección estructural OR 4 ”x4”x3/16” con un área gruesa Ag=17.87 cm² y un peso por unidad de longitud de wm=14.2 kg/m. (Considere el peso propio y mantenga coherencia respecto a las unidades que se van a manejar durante el procedimiento)

α=20.00°

4.5 m

3.85 m



Bibliografía

1. 2. 3.

“Análisis de

Estructuras Reticulares” Gere y Weaver (1982) “Análisis de Estructuras: Métodos Clásico y Matricial” McCormac (2010) “Análisis Estructural” Hibbeler (2012)

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