ANUALIDADES DIFERIDAS
S
e caracteriza por que la primera renta no se ejecuta en el primer periodo o la última no se hace en el último.
El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resu resuel elva van n como como inme inmedi diat atas as util utiliz izan ando do las las form formul ulas as ante anteri rior ores es,, para para después trasladar en el tiempo el monto o el capital utilizando la formula del interés compuesto. EJEMPLOS 1. RENTA
Aeromexicana ofrece la promoción “viaje ahora y pague después”, que consiste consiste en liquidar liquidar el precio precio del pasaje en 10 quincenas, quincenas, empezando empezando 3 meses después de haber viajado. ¿Cuánto pagara el licenciado José Luís, si el precio de sus boletos fue de $ 8.320 y le cargan el 11.76% de interés anual compuesto por quincena? SOLUCIÓN
El valor futuro de los $ 8.320, transcurridas 5 quincenas y al iniciar la sexta es: np
5
i 1 + 0.1176 M = 8.320 puesto que M = C 1 + p 24 5 M = 8.320 (1.0049 ) M = 8.320 (1.024741279 ) ó M = 8.525 .85
Para obtener el valor de las 10 rentas quincenales R: i −np 1 − 1 + 1 − (1.0049 ) −10 p C = R 8.525 .85 = R ya que i 0.0049 p 8.525 .85
De donde 2. PRECIO
R
=
= R ( 9.735699224 ) 8.525 .85
9.735699224
ó R = $875 .73
La facultad de ingeniería adquiere un equipo de computo con un pago inicial de $ 70.000 y 7 mensualidades de $25.000 cada una pagando la primera 4 meses después de la compra. ¿Cuál es le precio del equipo, si se está están n cobr cobran ando do inte intere rese ses s del del 13.0 13.08% 8% anua anuall comp compue uesto sto por por meses? SOLUCIÓN
Se calcula el valor presente C de los 7 pagos y posteriormente se traslada hasta el inicio del plazo, y se suma esta cantidad con el enganche. Los valores para reemplazar. R
=
25 .000 ,
la renta mensual vencida
np = 7, el número de pagos p = 12, la frecuencia de pagos y de capitalización de intereses i p
=
0.1308 12
o
i p
, la tasa de interés por periodo intereses
0.0109
1 − (1.0109 ) −7 C = 25 .000 0.0109 C = 25 .000 ( 6.704514468 ) ó C = $167 .612 .86 3 meses antes, esto es equivalente a
C 1
de la igualdad: np
167 .621 621 .86
1 + i M = C = C (1.0109 ) p 3
1
167 .612 .86
=
C 1 (1.033057725
)
De donde C 1
=
167 .612 .86 1.033057725
o
C 1
162 .249 .27
=
Lo cual sumando al anticipo arrojan el precio del equipo: 162 .249 .27
+ 70 .000 = $232 .249 .27
EJERCICIOS
1. TASA TASA VARI VARIAB ABLE LE
Se compra un departamento de $160.000, con un anticipo del 30% pagadero en 6 mensualidades que incluye un “apartado” de $8.000. El 70% restante se pagara con 114 abonos mensuales, luego de pagar el enganche. Obtenga el valor de los abonos, suponiendo que el interés es del 33% nominal mensual en el anticipo y del 18% en los restantes. SOLUCIÓN
Se tien tiene e dos dos anua anualilida dade des, s, la prim primer era a es inme inmedi diat ata a con con 6 rent rentas as vencidas y un valor presente C igual al 30% del precio del departamento menos los $8.000 del apartado. C = 0.30 (160 .000
) −8.000
C = $40 .000
La tasa tasa por por peri period odo o es
i p
= 0.33 = 0.0275 , y el pago mensua sual se 12
obtiene: i −np 1 − 1 + p C = R i p
1 − (1.0275 ) −6 = R 0 . 0275 40 .000 = R ( 5.462366778 )
40 .000
De donde: R
=
40 .000
ó
5.462366778
R
= $7.322 .83
El 70% del precio del departamento es: C = 0.70 (160 .000 )
= 112 .000
Y su valor futuro 6 meses después, al iniciar la anualidad ya que ahora la tasa de interés por periodo es
0.18 12
= 0.015 , es:
C = 112 .000 (1.015 )
6
C = 112 .000 (1.093443264
)
C = $112 .465 .65
Cantidad que debe ser igual al valor presente de los 114 pagos, por tanto:
1 − (1.015 ) −114 122 .465 .65 = R 0 . 0 1 5 122 .465 .65 = R ( 54 .45485987 ) R
=
R
2.
122 .465 .65 54 .45485987
= $2.248 .94
MONTO
¿Cuánto acumulara una compañía en la fecha de jubilación de cada uno de sus empleados, si 3 años antes hace un depósito de $ 4.500 segu seguid ido o de 20de 20depo posi sito tos s mens mensua uale les s de $120 $1200 0 cada cada uno, uno, gana ganand ndo o intereses del 27% nominal mensual? SOLUCIÓN
M A
=
(
4.500 1.0225
)
36
PN PN
M A
=
(
4.500 500 2.227816419
I M = C 1 + P
) M A
$10 .025 .17
=
Por tanto, el acumulado de las 20 rentas al final del mes 21 es:
(1.0225 ) 20 −1 M = 1.200 (1.0225 ) 0.0225 M = 1.200 (1.0225 )( 24 .91152004 ) M = $30 .566 .44 15 meses después, al final del plazo, el acumulado es: M B
=
(
30 .566 566 .44 1.0225
M B
)
15
= $42 .677 .06
El total para la jubilación es entonces: M
=
M A
+
M B
M
= 10.025 025 +
42.677 677 .06
= $52 .702 .23