ANT-13, 1 Y 2

Francisco Rehak Arenas

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO DIVISIÓN: CIENCIAS DE LA SALUD MATERIA: FÍSICA Requisitos para permanecer en clase • • • • • • • •

“NO” celulares ni otro equipo de comunicación en función activa,

durante el periodo de clase Evitar ejecutar actividades diferentes a la asignatura (tareas de otras materias, plática de asuntos ajenos a la l a temática, etc.) Contar en todas las sesiones con calculadora científica, NO sustituir con otro aparato Traer un dispositivo de almacenamiento de información electrónica (memoria), para recuperar la tarea en cada clase Realizar la lectura previa de la tarea para cada sesión Revisar la temática a tratar en los textos a su alcance Procurar llegar a tiempo al inicio del trabajo y permanecer durante todo el periodo de la clase Consultar las dudas, al profesor, acerca de los temas a tratar


B IB LI OG RAF ÍA

P ROP UE ST A

-

Beiser Arthur. Física Aplicada Segunda Edición, (Colección Schaum), McGraw-Hill

-

Bueche Frederick J. Física General (Colección Schaum), McGraw-Hill

-

Bueche Frederick J. Fundamentos de Física I y II, Quinta Edición en Inglés (Tercera Edición en Español), McGraw-Hill

-

Giancoli Douglas C. Física. Principios con aplicaciones, Sexta Edición, PEARSON Educación

-

Hewitt Paul G. Física Conceptual, Décima Edición, PEARSON Addison Wesley

-

Serway Raymond A. / Chris Vuille. Fundamentos de Física I y II, Octava Edición, CENGAGE Learning

-

Tippens Paul E. Física Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición, McGraw-Hill

-

Wilson Jerry D. / Buffa Anthony J. Física, Quinta Edición, PEARSON Educación

-

Zitzewitz Paul W., Neff Robert F., Davids Mark. Física Principios y problemas 1 y 2, McGraw Hill


B IB LI OG RAF ÍA

P ROP UE ST A

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Beiser Arthur. Física Aplicada Segunda Edición, (Colección Schaum), McGraw-Hill

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Bueche Frederick J. Física General (Colección Schaum), McGraw-Hill

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Bueche Frederick J. Fundamentos de Física I y II, Quinta Edición en Inglés (Tercera Edición en Español), McGraw-Hill

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Giancoli Douglas C. Física. Principios con aplicaciones, Sexta Edición, PEARSON Educación

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Hewitt Paul G. Física Conceptual, Décima Edición, PEARSON Addison Wesley

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Serway Raymond A. / Chris Vuille. Fundamentos de Física I y II, Octava Edición, CENGAGE Learning

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Tippens Paul E. Física Conceptos y Aplicaciones, Séptima Edición, McGraw-Hill

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Wilson Jerry D. / Buffa Anthony J. Física, Quinta Edición, PEARSON Educación

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Zitzewitz Paul W., Neff Robert F., Davids Mark. Física Principios y problemas 1 y 2, McGraw Hill


TAREA 1 SESIÓN 1 TEMÁTICA:

1) Generalidades. 2) La Física y su impacto en la ciencia y la tecnología. 3) Los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia. 4) Magnitudes físicas y su medición. 5) Magnitudes fundamentales y derivadas. 6) Sistema Internacional de unidades (otros sistemas de medición) 7) Métodos directos e indirectos de medida. 8) Notación Científica y prefijos. 9) Transformación de unidades de un sistema a otro. 10) Movimiento en una dimensión. 11) Concepto de posición y sistemas de referencia. ref erencia. 12) Conceptos de distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad y aceleración. 13) Movimiento rectilíneo uniforme. EXPLORACIÓN 1. Define lo que es ciencia Conjunto de conocimientos organizados 2. ¿Qué sabes o crees que estudia la Física? Creo que estoy en un buen nivel de física porque se me facilita mucho entender las cosas 3. ¿Qué es una magnitud física? f ísica? Propiedad de un cuerpo que puede ser medida 4. Anotar tres magnitudes físicas básicas y tres magnitudes físicas derivadas Longitud Velocidad Peso Densidad Temperatura Volumen 5. ¿Qué es una cantidad física? La magnitud de una cantidad física comprende un número y una unidad asociada. 6. ¿Cuáles son los sistemas de unidades más usuales en el mundo? El internacional y estadounidense estadounidense


7. ¿Qué es una trayectoria? Línea descrita en el espacio por un punto que se mueve 8. ¿Cuál es la diferencia entre desplazamiento y distancia? Una es escalar y la otra es vectorial 9. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y rapidez? Una es escalar y la otra vectorial

1) Generalidades. La Física es una ciencia que para su estudio se divide en: clásica y moderna, cada una de ellas, consta de cinco ramas clásica moderna mecánica física relativista termodinámica mecánica cuántica acústica física atómica óptica física nuclear electromagnetismo física del estado sólido Históricamente la física clásica o física de Newton le llevó al ser humano siglos de construcción, desde el manejo de las primeras herramientas, tal vez palancas de diversos géneros, planos inclinados o cuñas aplicadas por el hombre primitivo, después las poleas (ruedas, rodillos) y tornillo (Arquímedes) hasta su consolidación como ciencia (finales del siglo XVII). En su desarrollo y construcción aparecen aportaciones muy destacadas de Arquímedes, Galileo, Newton, Joule, Faraday, Watt, etc. La física moderna tiene apenas siglo y medio de existencia. Una no sustituye a la otra, la física moderna explica fenómenos que la física clásica, por sus limitaciones, ya no puede describir ni estudiar. 2) La Física y su impacto en la ciencia y la tecnología. Una ciencia estudia los fenómenos para conocer su comportamiento y así obtener un beneficio de ellos. En específico las aplicaciones de la física se reconocen en los avances de la tecnología. En otras épocas aparecía un nuevo


invento cada cincuenta años; en la actualidad aparecen cincuenta inventos cada día, en diferentes puntos del planeta. 3) Los métodos de investigación y su relevancia en el desarrollo de la ciencia. Las ciencias se clasifican como: formales (lógica y matemáticas) y factuales (química, biología, física, astronomía, etc.). Las formales sólo requieren del razonamiento, las factuales se apoyan en las formales para su estudio, la principal herramienta de la física son las matemáticas. Además las ciencias factuales deben seguir un método para llegar a establecer sus principios o leyes. El método aceptado, por la física, es el propuesto por Galileo Galilei, conocido como método científico. La aplicación del método no garantiza el llegar siempre a una ley general o la explicación correcta de los hechos estudiados, pero, en muchos casos, puede presentar una alta pr obabilidad de lograrlo.

ACTIVIDAD 1. Investiga los elementos (pasos) que conforman el método científico y elabora una descripción de cada punto.

1. Observación Análisis sensorial sobre algo -una cosa, un hecho, un fenómeno,… - que despierta curiosidad. Conviene que la observación sea detenida, concisa y numerosa, no en vano es el punto de partida del método y de ella depende en buena medida el éxito del proceso. 2. Hipótesis Es la explicación que se le da al hecho o fenómeno observado con anterioridad. Puede haber varias hipótesis para una misma cosa o acontecimiento y éstas no han de ser tomadas nunca como verdaderas, sino que serán sometidas a experimentos posteriores para confirmar su veracidad. 3. Experimentación Esta fase del método científico consiste en probar -experimentar- para verificar la validez de las hipótesis planteadas o descartarlas, parcialmente o en su totalidad. 4. Teoría Se hacen teorías de aquellas hipótesis con más probabilidad de confirmarse como ciertas. 5. Ley Una hipótesis se convierte en ley cuando queda demostrada mediante la experimentación.


2. ¿Cómo defines un experimento? Como cuando se prueba una teoria 3. ¿Qué diferencia existe entre una teoría y una ley? La teoría es solo una suposición y la ley ya esta establecida y probada

4) Magnitudes físicas y su medición. Un fenómeno físico es todo cambio que se presenta, ya sea en forma natural o provocado (experimento). Para determinar el valor de ese cambio, se requiere de las magnitudes físicas, éstas son las características de los cuerpos o de los fenómenos que se pueden medir o cuantificar, por ejemplo: distancia, fuerza, tiempo, potencia, densidad, etc. Las cantidades físicas representan el valor d e una característica en un caso específico y en la mayoría de las ocasiones aparecen como un número acompañado de una unidad de medida (el tiempo de calentamiento de un material, las dimensiones de una mesa, la velocidad de un jet, etc.), las magnitudes, por su naturaleza, se consideran en dos tipos: continuas (representan cualquier número real) y discretas (admiten sólo valores enteros). Por su aplicación se dividen en escalares y vectoriales, las primeras sólo tienen valor numérico (módulo); mientras que las segundas tienen su magnitud y una dirección como características principales, como características secundarias el sentido y el punto de aplicación.

5) Magnitudes fundamentales y derivadas. Otra manera de clasificar las magnitudes es considerando a unas como fundamentales o básicas (longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) y otras derivadas (área, volumen, velocidad, fuerza, potencia, etc.), reciben el nombre de derivadas porque se componen de combinaciones de las básicas Para representar una cantidad física, se requiere de un número y una unidad de medida, las unidades de medida en muchas ocasiones determinan de por sí la magnitud física a la que se refieren. Unas cuantas magnitudes son adimensionales, es decir, no tienen unidad de medida (coeficiente de rozamiento, factor de capacitancia y otras)

6) Sistema Internacional de unidades (otros sistemas de medición) Inicialmente las mediciones se realizaban empleando patrones arbitrarios (codos, pasos, varas, relojes de arena o de agua, palmos, etc.), existiendo, en ocasiones, muchas diferencias entre las dimensiones de lo medido, variaban de un lugar a otro, considerando que se utilizaban, como referencia, partes del


cuerpo humano (brazas, gemes, cuartas, pies, etc.) o algunos objetos propios de un lugar o región (varas, cestos, piedras, etc.). Por lo anterior se vio la conveniencia de unificar criterios y generar ciertas unidades de medida encuadradas en un sistema de medición único e intentar aplicarlos de manera universal. Actualmente los sistemas más usuales son tres. El Sistema Internacional (SI), anteriormente Sistema MKS, a su vez, derivado del Sistema Métrico Decimal, otro es el Sistema de Unidades de Estados Unidos (SUEU), conocido también como Sistema Común de Estados Unidos (USCS), este sistema proviene del Sistema Inglés, el tercer sistema es derivado del MKS y es el Sistema Centesimal (cgs) que son siglas de centímetro, gramo y segundo ,

Conociendo los sistemas de medición y las cantidades físicas se pueden construir las siguientes tablas ACTIVIDAD 1. Completar las tablas Magnitudes y unidades de medida fundamentales o básicas Magnitud física Unidad de Símbolo Unidad de Símbolo medida SI medida SUEU longitud metro m Pie ft masa kilogramo kg slug slug tiempo segundo s segundo s temperatura Grado Kelvin k rankine R intensidad de amper A amper A corriente eléctrica Intensidad luminosa candela cd candela cd cantidad de masa molecular g mol mol sustancia gramo Unidades complementarias: para el ángulo plano (grado sexagesimal [ 0], revolución [rev], radián [rad] Magnitud física área volumen velocidad fuerza potencia Energia presion

Magnitudes derivadas Unidad de símbolo Unidad de medida SI medida SUEU 2 metro cuadrado m Pie cuadrado Metro cubico m pie cúbico Metro por m/s pie/segundo segundo Newton N libra Watt W Libra por pies/segundos libra∙pie Joule J kilogramo/metro kg/m slug/pie cúbico cúbico

Símbolo ft2 ft Ft/s lb lb∙ft/s slug/ ft


Las unidades de medida derivadas son muchas más, ellas admiten el análisis dimensional, es decir, se descomponen en unidades básicas, ejemplos: m2  m∙m; N  kg∙m/s2  kg∙m/s∙s; W  J/s  N∙m/s  kg∙m2/s3  kg∙m∙m/s∙s∙s 2. Investiga la definición de cada una de las unidades fundamentales de medida para el Sistema Internacional Magnitud física Longitud

Unidad fundamental de medida Metro (m)

Masa

Kilogramo (kg)

Definición Distancia recorrida por un rayo de luz, en el vacío, en 1/299 792 458 de segundo Cantidad de materia que con nuestra gravedad pesa 1000gramos

Tiempo

Segundo (s) Unidad fundamental de tiempo

Temperatura

Grado Kelvin (K)

Escala que va desde el 0 absoluto (-273 grados Celsius) hasta después del punto de ebullición del agua

Intensidad de corriente eléctrica

Ampere (A)

Intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados en el vacío a un metro de distancia entre sí, produce en éstos una fuerza igual a 2X10 -7 N por cada metro de longitud

Intensidad luminosa

Candela (cd) La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 hercios y de la cual la


intensidad radiada en esa dirección es 1/683 W vatios por estereorradián Cantidad de sustancia

mol Dada cualquier sustancia (elemento o compuesto químico) y considerando a la vez un cierto tipo de entidades elementales que la componen, se define como un mol a la cantidad de esa sustancia que contiene tantas entidades elementales del tipo considerado, como átomos hay en 12 gramos de carbono-12.

NOTA: Las unidades de medida se escriben siempre en singular, 14 mts es incorrecto, 14 m es correcto; 3.5 hrs es incorrecto, 3.5 h es correcto, etc. 7) Métodos directos e indirectos de medida. Debido a diferentes circunstancias las mediciones y los métodos empleados pueden ser directos o indirectos, por ejemplo: la masa de un zapato puede hacerse de manera directa, pero la masa de la Luna, necesariamente se obtiene de forma indirecta, la distancia entre un poste y otro se encuentra directamente, la distancia entre el Sol y el planeta Júpiter no se puede obtener de la misma manera. Otros elementos que intervienen en la medición son los instrumentos y las personas que los operan además de las escalas en los mencionados instrumentos. Por tanto en los procesos de medición siempre debe tomarse en cuenta un margen de error. ACTIVIDAD 1. Investiga los siguientes conceptos: a) medir Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la primera. b) medida Expresión del resultado de una medición c) medición Acción y efecto de medir


d) error sistemático es aquel que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud e) error aleatorio quel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar

8) Notación Científica y prefijos. Los valores numéricos que se manejan en esta asignatura pueden ser muy elevados o muy pequeños por lo cual es conveniente utilizar la escritura científica, ésta se expresa de dos maneras: la forma exponencial y con empleo de prefijos, la forma exponencial es mucho más general y se opera directamente, mientras los prefijos corresponden a valores muy específicos, la escritura de números en forma exponencial aparece en todas las calculadoras electrónicas de tipo científico. La expresión de números fuera de la notación científica es llamada escritura decimal Notación científica Exponencial Prefijo Nominación Símbolo 1X10 Yotta Y 1X10 Zeta Z 18 1X10 Exa E 1X10 Peta P 1X10 Tera T 9 1X10 Giga G 1X10 Mega M 1X10 Kilo k 2 1X10 Hecto h 1X10 Deca da 1X10 UNIDAD ---1 1X10 Deci d 1X10 Centi c 1X10 Mili m -6 1X10 Micro  -9 1X10 Nano n 1X10 Pico p 1X10 Femto f -18 1X10 Atto a 1X10 Zepto z 1X10 Yocto y Como se observa en la tabla no existe un prefijo para cada valor exponencial, como por ejemplo para 1X10 10 o para 1X10 -8, lo cual hace la escritura exponencial más amplia. Una condición para la notación científica exponencial, es emplear solamente una cifra como entero y las demás serán decimales que se pueden cortar o redondear. Ejemplos: 34 537 h (forma decimal) = 3.4X10 4 h (forma exponencial); 0.0000713 lb (forma decimal) = 7X10 -5 lb (forma


exponencial); 0.00000282 g (forma decimal) = 2.82X10 -6 g (forma exponencial) = 2.82 g (prefijo); 9 542 388 432 m (forma decimal) = 9.54X109 m (forma exponencial) = 9.54 Gm (prefijo). La notación científica con prefijos no puede presentarse de l a misma manera porque no existe un prefijo para cada potencia de diez, así se permite escribirlos aproximando al prefijo, sin tomar en cuenta cuantos valores enteros se deban escribir ejemplos: 300 000 000 m/s (decimal) = 300 Mm/s (prefijo); 6.45X10-7 m (exponencial) = 645 nm (prefijo); 23 768 N (decimal) = 23.76 kN (prefijo). NOTA: los valores numéricos enteros no se separan con comas ni apóstrofes, se separan por clases (3 cifras) con un espacio. ACTIVIDAD Completar la siguiente tabla escribiendo los números en sus tres formas Decimal Exponencial Prefijo 13460 min 1.346X10 min 13.4 Km .000000083 V 8.3X10 V 80.3 nV 429243112867 N 0.00000000000842 m 4.16 GJ 9.54 ns 0.0000186 mi 4.51X10- A 2.12 W

9) Transformación de unidades de un sistema a otro. En cada sistema se pueden realizar conversiones de una unidad a otra, también de un sistema a otro, la condición es que correspondan a la misma magnitud física, esto es, una cantidad física que representa fuerza, solamente se puede convertir a otra cantidad con unidad equivalente (dentro del mismo sistema o de un sistema diferente) pero que represente fuerza; una unidad de velocidad, sólo se puede cambiar por otra unidad de velocidad; una unidad de energía se transforma a otra unidad de energía; pero una unidad de potencia NO se puede convertir a unidad de fuerza o a una unidad de energía porque no corresponden a la misma característica o concepto físico (magnitud) Debe tenerse mucho cuidado con unidades de magnitudes que tienen estrecha relación como: velocidad y aceleración; peso y masa; densidad y peso específico, etc. Una estrategia, no la única, para hacer la transformación de unidades es aplicando los factores de conversión. Los factores de conversión provienen de igualdades o equivalencias entre unidades, por ejemplo 1h = 60 mi n = 3 600 s; 1 km = 1 000 m; 1 mi = 1 609 m; 1 m 2 = 10 000 cm 2 ó 1 m3 = 1 000 000 cm 3.


Un factor de conversión se expresa como una fracción que es igual a la unidad, por caso (1 h/60 min) = 1, porque una hora es lo m ismo que sesenta minutos, por tanto, se divide una cantidad entre ella misma, resultado [1], así mismo, se tiene (1 000 m/1 km) = 1, ó (1 km/ 1 000 m) = 1, para fines prácticos no se iguala a uno y sólo se escribe la fracción (1 m/100 cm) ó (100 cm/1 m), según se requiera. Si se convierte de “centímetro” a “metro”, se aplica el primer factor, pero si se convierte de “metro” a “centímetro”, entonces se usa el segundo

factor

Ejemplo: ¿Cuál es la equivalencia de 12.48 m en cm? Solución: 12.48 m(100 cm/1 m) se divide (m/m); 12.48 m(100 cm/1 m) se multiplica 12.48x100 12.48 m = 1 248 cm. Ejemplo: Se tienen una longitud de 317 cm, ¿cuál es su valor en m? Solución: 317 cm(1 m/100 cm) = 317(1 m/100) = 3.17 m 317 cm = 3.17 m Ejemplo: ¿Cuánto representan 40 min en h y en s? Solución: 40 min(1 h/60 min), se simplifica min/min y solamente se opera [(40)(1)]/60 = 2/3 40 min = 2/3 h Segunda parte 40 min(60 s/1 min) se opera [(40)(60)]/1 40 min = 2 400 s. Ejemplo: Convertir 55 mi/h a m/s Solución: En este ejemplo se pueden convertir cada una de las unidades o las dos al mismo tiempo 55 mi/h(1 609 m/1 mi)(1 h/3 600 s), la operación numérica es: [(55)(1 609)(1)]/[(1)(3 600)]; como es sabido, multiplicar por uno o dividir entre uno no afecta el valor, por tanto, se puede escribir: [(55)(1 609)]/[3 600]; y operar sólo con cantidades diferentes a la unidad 55 mi/h = 24.58 m/s.


Cuando se requiere de una conversión con unidades que portan una potencia, se eleva el factor de conversión a la potencia requerida y se procede operar al igual que en los casos anteriores

Ejemplo: Transformar 286.35 cm 2 a m2 Solución: Como se señaló, el factor se eleva a la potencia necesaria, (1 m/100 cm)2, equivalente a (1 m 2/10 000 cm2), así, 286.35 cm2(1 m2/10 000 cm2), operando, 286.35 m2/10 000 286.35 cm2 = 0.028635 m 2 = 2.8635X10-2 m2 Ejemplo: Calcule la aceleración de 2.85 m/s 2 en km/h2 Solución: Se debe tomar en cuenta que sólo una de las unidades tiene potencia 2.85 m/s2(1 km/1 000 m)(3 600 s/1 h) 2, equivalente a: 2.85 m/s2(1 km/1 000 m)(12 960 000 s 2/1 h2), la operación numérica [(2.85)(12 960 000)]/1 000 2.85 m/s2 = 36 936 km/h 2 Se desea saber la velocidad de un móvil en km/h, si manifiesta 13.34 m/s El camino se puede abreviar si se aplica la simplificación de números tanto el valor 1 000 como 3 600 son múltiplos de 200, entonces se puede escribir la conversión como: 13.34 m/s(1 km/5 m)(18 s/1h), resulta 48.024 km/h, la ventaja está en operar con valores más pequeños. El número de factores no está limitado y pueden aplicarse cuantos sean necesarios.

Ejemplo: ¿A qué valor en ft equivalen 6.65 mi? Solución: suponiendo que se ignora el factor que lleva directamente a la solución (mi → ft), a cambio, se hace uso de las equivalencias conocidas, 1 mi = 1 609 m; 1 m = 100 cm; 1 in = 2.54 cm y 1 ft = 12 in, se aplicarán cuatro factores de conversión, 6.65 mi(1 609 m/1 mi)(100 cm/1 m)(1 in/2.54 cm)(1 f t/ 12 in), las divisiones de unidades son: mi/mi; m/m; cm/cm y in/in, así la única unidad que permanece es ft(pie), la operación numérica se puede recordar fácilmente si consideramos que todos los numeradores son factores (multiplicación) y todos los denominadores son divisores, [(6.65)(1 609)(100)(1)(1)]/[(1)(1)(2.54)(12)], como multiplicar por uno, o dividir entre uno, no modifica las cantidades, la operación se abrevia como: [(6.65)(1 609)(100)]/[(2.54)(12)] 6.65 mi = 35 104.49 ft (con dos decimales) Desde luego si se recuerda que la equivalencia de 1 milla es de 5 280 pies, el trabajo es menor por tener un factor de conversión directo


6.65 mi(5 280 ft/ 1 mi) = 35 112 ft, entonces, 6.65 mi = 35 112 ft La diferencia en los resultados es por redondeos que no se toman en cuenta; por caso, 1 mi = 1 609.32 m. Otras estrategias son: la regla de tres y la reducción a la unidad. Ejemplos: ¿cuál es la equivalencia de 12.48 m en cm? La regla de tres se plantea como: Si 1 m = 100 cm; ¿a cuánto corresponden 12.48 m en cm? ó 1 m es a 100 cm, como 12.48 m es a “x”, matemáticamente,

1 m : 100 cm : : 12.48 m : x; se resuelve aplicando el teorema de proporciones “Producto de extremos igual a producto de medios” (1 m)(x) = (100 cm)(12.48 m), despejando, x = (100 cm)(12.48 m)/1 m; x = 1 248 cm ¿Cuánto representan 40 min en h y en s? planteamiento: 1 h es a 60 min, como “x” es a 40 min; 1h : 60 min : : x : 40 min; (1 h)(40 min) = (60 min)(x), despejando, (1 h)(40 min)/60 min = x; 2/3 h = x. segundo planteamiento 1 min es a 60 s como 40 min es a “x”;

1 min : 60 s : : 40 min : x; aplicando el teorema mencionado, (1 min)(x) = (60 s)(40 min), despeje de “x”; x = (60 s)(40 min)/1 min; x = 2 400 s Reducción a la unidad, consiste en tomar la equivalencia para la unidad a convertir, así: ¿cuál es la equivalencia de 12.48 m en cm? Si 1 m = 100 cm, en este caso la unidad a convertir es el metro, el caso es directo, es decir 100 cm por cada metro (12.48)(100 cm) = 1 248 cm ¿Cuánto representan 40 min en h y en s? Para la primera conversión 1 min = (1/60) h, se tiene un sesentavo de hora por cada minuto (40)(1/60)h = 2/3 h Para la segunda 1 s = 60 min, (40)(60 s) = 2 400 s NOTAS: Cuando se habla de unidades de tiempo NO se usan comillas como el caso de medida de ángulos, tiempo minuto (min), segundo (s); medidas angulares minuto („), segundo (“)

En las proporciones geométricas como: a : b : : c : d, los símbolos (:) se lee “es a” (significa razón geométrica o división) (: :) se expresa “como” (equivalencia), esto es: a/b = c/d (“a” entre “b” es igual a “c” entre “d”)

ACTIVIDAD 1. Ejecutar las siguientes conversiones A. Calcule cuantos metros cubren una longitud de 7.2 millas con 19 yardas, 2.4 pies y 11 pulgadas B. Convierta 58.92 km/h a m/s y mi/min C. ¿Cuál es el equivalente de 165 dm 2 en in2? D. Encuentre la cantidad de kg que existen en 48.26 lb con 13.6 Oz (1 Oz = 28.3 g)


E. ¿A cuánto corresponden 35 yd 3 en cm3?

10) Movimiento en una dimensión. La cinemática es la parte de la mecánica que describe el movimiento de los cuerpos y para este fin se deben definir algunos conceptos que son importantes como: trayectoria, distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad (constante, promedio, instantánea), aceleración (positiva, negativa), etc.

11) Concepto de posición y sistemas de referencia. La posición de un móvil, es su ubicación con respecto a un sistema de referencia, si el movimiento es en línea recta, el sistema de referencia es un eje que contiene puntos asociados a valores numéricos y uno de ellos señala el punto de partida para el sistema (no para el móvil), el mencionado punto es el origen representado por el cero (0). Si no se establece el sistema de referencia la posición no puede determinarse. Para un movimiento en dos dimensiones, el sistema de referencia es el plano [dos ejes perpendiculares entre sí, con un punto común <> (0, 0)]. Por lo general se trabaja con el plano cartesiano, pero también puede hacerse con la “Rosa de los vientos” (se

posiciona con los puntos cardinales). En ocasiones se toman como referencia objetos, edificios, parques o lugares que pueden ser fáci lmente reconocibles, para ubicar otros puntos o cuerpos en movimiento.

12) Conceptos de distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad y aceleración. Los términos: distancia y desplazamiento para algunas personas pueden significar lo mismo, la distancia es el valor absoluto de la separación entre dos posiciones, es decir, no importa si se registra a partir del punto “A” y se termina en el punto “B” o se inicia en el punto “B” y finaliza en el punto “A”, por tanto, tiene dirección, pero no sentido, es simplemente la separación entre puntos. En cambio el desplazamiento si tiene una dirección y un sentido, si el origen es “A” y el extremo es “B”, convencionalmente lo podemos suponer positivo (o negativo) si el punto inicial es “B” y el punto final es “A” su sentido será contrario al anterior. La dirección no cambia, el sentido si. El ejemplo que ilustra la diferencia entre distancia y desplazamiento, puede ser el siguiente: un transporte viaja de la ciudad de Valencia a la ciudad de Toledo separadas por 135 km, en línea recta, y luego regresa, ¿qué distancia recorrió? ¿Qué desplazamiento registra?, repuestas: distancia recorrida 270 km, desplazamiento 0 km, explicación: la distancia es el total del recorrido. El desplazamiento es dirigido de Valencia a Toledo + 135 km de Toledo a Valencia – 135 km, por tanto el desplazamiento es 0 km. El argumento más sólido es el siguiente: la distancia es un escalar, el desplazamiento es un vector


La cinemática también tiene como uno de sus conceptos imprescindibles la velocidad, la cual se define como el desplazamiento entre el tiempo [ v = s/t] (la velocidad es un vector que resulta de dividir el vector desplazamiento entre el escalar tiempo). El concepto semejante al anterior, es el de rapidez [v = s/t] (la rapidez es un escalar que resulta de dividir el escalar distancia entre el escalar tiempo). En el caso de un movimiento en línea recta, numéricamente son iguales la velocidad y la rapidez, haciendo énfasis en que la velocidad debe indicar una dirección (vector), la rapidez no La velocidad se puede considerar en tres casos: a) velocidad constante (desplazamientos iguales en tiempos iguales); b) velocidad promedio (desplazamiento total entre tiempo total); c) velocidad instantánea (variación del desplazamiento entre variación del tiempo, cuando la variación del tiempo se aproxima a cero) {v = limt→0 s /t ó v = ds /dt} NOTAS: Los vectores se indican con letra “negrita”, los escalares con letra “normal” v (velocidad); v (rapidez);

(desplazamiento); s (distancia) En el caso del movimiento rectilíneo, la velocidad y la rapidez tienen el mismo valor numérico, por eso, en muchos textos no hacen distinción entre estos conceptos

13) Movimiento rectilíneo uniforme. El movimiento que no presenta modificaciones en su velocidad es considerado uniforme, es decir, velocidad constante. Este tipo de velocidad difícilmente se presenta, por diferentes condiciones, en su lugar se puede tr abajar con la velocidad promedio o velocidad media v prom = s TOTAL/tTOTAL o vm = (v0 + vf )/2, donde “v0” velocidad inicial y “vf ” velocidad final. El hecho de considerar una velocidad constante nos lleva a la ecuación: v = /t; aquí la “s” indica el desplazamiento aunque la literal es lo de menos, se puede utilizar la “d” o la “x”,

así v = d/t ó v = x/t, ello depende únicamente de las preferencias de los autores

Ejemplo: Un barco navega a una velocidad constante de 15 km/h. a) ¿Qué distancia recorre en un día? b) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 500 km?

Solución: Conversión 1 día(24 h/día) = 24 h a) v = s /t v·t = s (15 km/h)(24 h) = s 360 km = s b) v = s /t


t = s /v t = 500 km/15 km/h t = (100/3)h ó t = 33.33 h

Ejemplo: La Luna se mueve en una órbita casi circular alrededor de la Tierra, y el radio promedio R de esa órbita es 3.84X10 5 km. Si tarda 27.3 día para completar una revolución, determine su rapidez orbital promedio en m etro entre segundo Solución: Aún cuando el movimiento de la Luna en su órbita es casi circular, se puede calcular como un movimiento recto (lineal), tomando como distancia la longitud de la circunferencia (perímetro) Conversiones, para el radio, 3.84X10 5 km(1 000 m/1 km) = 3.84X10 8 m, Para el tiempo, 27.3 día(24 h/1 día)(3 600 s/1 h) = 2 358 720 s s = P = 2R s = 2(3.14)(3.84X108 m) s = 2.41152X109 m Movimiento uniforme (rapidez constante) v = s /t v = 2.41152X10 9 m/2 358 720 s v = 1 022.38 m/s Ejemplo: Hallar el alcance de vuelo de un aeroplano si el tanque de combustible contiene 160 litro. Suponer que la velocidad de crucero es de 270 km/h y que el consumo es de 45 litros/h Solución: Si con la velocidad de 270 km/h consume 45 litros/h, ¿cuál es su rendimiento “R” en km/litro? R = velocidad entre consumo R = (270 km/h)/(45 litros/h); R = 6 km/litro Alcance “s ” = rendimiento por volumen s = R·V s = (6 km/litro)(160 litro)

s = 960 km

ACTIVIDAD 1. Analiza y soluciona los problemas siguientes:


A. Un vehículo tiene su velocímetro en Sistema de Unidades de Estados Unidos, si mantiene una rapidez constante de 59.56 mi/h, ¿cuánto tiempo le lleva recorrer 292.5 m? B. Un corredor se mueve con una rapidez de 6 m/s, su hijo sólo puede moverse a 3.25 m/s. En una prueba decide dejar que el hijo salga medio minuto antes que él. ¿Cuánto tarda el padre en alcanzar al hijo? ¿A qué distancia del punto de salida lo alcanza? C. Un joven se mueve en patineta a 5.87 m/s y su novia lo hace en bicicleta a 6.38 m/s. Si parten del mismo punto y al mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo se requiere para que ella le aventaje 12.44 m? D. Un acelerador atómico emite partículas que se desplazan a 2.9X10 8 m/s. ¿Cuánto tardan las partículas en recorrer 3 mm? E. Un automóvil viaja durante 2 h a 100 km/h, durante las siguientes 2h viaja a 60 km/h y, finalmente, durante 1 h viaja a 80 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del automóvil durante el viaje completo? Lista de conceptos que reconozco Lista de conceptos que no recordaba Lista de conceptos nuevos Dudas despejadas Dudas pendientes

TAREA 2 SESIÓN 2


TEMÁTICA

1) Conceptos de distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad y aceleración. 2) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. 3) Caída libre y tiro vertical. 4) Movimiento en dos dimensiones. 5) Breve introducción a los vectores. 6) Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares. 7) Tiro parabólico. EXPLORACIÓN 1. Define la aceleración 2. Describe el movimiento (velocidad de salida, aceleración, altura máxima, velocidad de regreso, tiempo de vuelo, etc.), de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba 3. Define lo que es un vector. 4. ¿Cuáles son las formas de representar un vector? 5. ¿Qué son las componentes rectangulares de un vector y por qué se llaman así? 6. Describe el movimiento de un proyectil que inicia su movimiento desde el suelo (velocidad inicial, altura máxima, alcance, posición, etc.) 7. Describe el movimiento de un proyectil que inicia su movimiento desde un punto elevado, es decir, sobre nivel (velocidad inicial, altura máxima, alcance, posición, etc.) 8. Describe el movimiento (velocidad inicial, altura máxima, alcance, posición, etc.), de un proyectil que inicia su movimiento desde un punto bajo nivel

1) Conceptos de distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad y aceleración. Otro elemento básico en cinemática es el de aceleración, la aceleración es el cambio de velocidad con respecto al tiempo [a = v/t], el cambio en la velocidad se puede obtener a través de dos registros: la velocidad final (v f ) y la velocidad inicial (v0), así v = vf – v0, por tanto [a = (vf – v0)/t]. La expresión anterior corresponde a la aceleración rectilínea, la aceleración instantánea es la variación de la velocidad entre la variación del tiempo cuando éste se aproxima


a cero {a = dv/dt} o la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo {a = d2s /dt2}

2) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Cuando se presentan modificaciones en las velocidades, ya sea que se aumenta o se disminuye con respecto a una referencia i nicial, se establece un movimiento variado o acelerado, si la tasa de cambio en la modificación se mantiene en un valor constante, entonces se le llama movimiento uniformemente variado o uniformemente acelerado, no siempre ocurre así. A partir de la velocidad promedio y de la aceleración [s /t = (vf + v0)/2], y de la aceleración [a = (vf – v0)/t], se deducen las siguientes ecuaciones: 2 s = s vm = ½(v0 + vf ); vf = v0 + at; vf 2 = v02 + 2as ; 0 + v0t + ½ at ; aplicables a la cinemática rectilínea, por lo general en dirección horizontal

Ejemplo: Un joven en bicicleta deja caer su vehículo por una calle inclinada, en un determinado punto su velocidad es de 4.5 m/s, por efecto de la pendiente, después de recorrer 17 m, su velocidad es de 5.1 m/s. ¿Cuánto tardará en llegar al final de la calle 31 m más, sin cambio en las condiciones? Solución: El problema se divide en dos partes, en la primera se toma en cuenta la siguiente información: v 0 = 4.5 m/s; vf = 5.1 m/s; s = 17 m, con estos datos se calcula la aceleración vf 2 = v02 + 2as vf 2 – v02)/2s = a; ( [(5.1 m/s)2 – (4.5 m/s)2]/2(17 m) = a [26.01 m2/s2 – 20.25 m2/s2]/34 m = a [5.76 m2/s2]/34 m = a 0.169 m/s2 = a Para la segunda parte se considera: v 0 = 5.1 m/s; s = 31 m; 0.169 m/s 2 = a Se descuenta el recorrido previo s = v0t + ½ at2; 31 m = (5.1 m/s)t + ½ (0.169 m/s 2)t2, “ecuación de segundo grado” (0.0845 m/s2)t2 + (5.1 m/s)t – 31 m = 0 Para resolver t = { – b  [b2 – 4ac]}/2a Siendo a = 0.0845 m/s 2; b = 5.1 m/s; c = – 31 m t = { – (5.1)  [(5.1)2 – 4(0.0845)( – 31 m)]}/2(0.0845) t = { – 5.1  [26.01 + 10.478]}/0.169 t = { – 5.1  [36.488]}/0.169 t = { – 5.1  6.04}/0.169 Solución positiva, t = { – 5.1 + 6.04}/0.169; t = 0.94/0.169


t = 5.56 s NOTAS: Se omiten las unidades de medida para facilitar el manejo de la “fórmula general” Se elige la solución positiva porque el tiempo “negativo” estrictamente no es

posible

Ejemplo: Un móvil aumenta su velocidad con una aceleración constante mientras recorre una distancia de 39 m, empleando 6 s, si su velocidad final es de 12.5 m/s. a) ¿Cuál es su aceleración? b) ¿Cuál es su velocidad al iniciar el recorrido? Solución: Por las condiciones del problema resulta más conveniente calcular primero la segunda incógnita (velocidad inicial) b) La velocidad media equivale a la velocidad promedio vm = vp vm = ½(v0 + vf ) vp = s /t, por lo tanto, ½(v0 + vf ) = s /t v0 + vf = 2s /t v0 = 2s /t – vf v0 = 2(39 m)/6 s – 12.5 m/s v0 = 78 m/6 s – 12.5 m/s v0 = 13 m/s – 12.5 m/s v0 = 0.5 m/s a) vf = v0 + at (vf – v0)/t = a (12.5 m/s – 0.5 m/s)/6 s = a (12 m/s)/6 s = a 2 m/s2 = a

Ejemplo: Los frenos de un auto pueden desacelerar, 15.75 ft/s 2 a) ¿Cuánto tiempo requiere para detenerse por completo a partir de 98.42 ft/s? b) ¿Qué distancia recorre durante el frenado? Solución: Por ser una desaceleración – 15.75 ft/s2, la velocidad final es 0 ft/s a) vf = v0 + at (vf – v0)/a = t (0 ft/s – 98.42 ft/s)/( – 15.75 ft/s2) = t ( – 98.42 ft/s)/( – 15.75 ft/s2) = t 6.24 s = t b) vf 2 = v02 + 2as (vf 2 – v02)/2a = s


[(vf )2 – (v0)2]/2a = s [(0 ft/s)2 – (98.42 ft/s)2]/2( – 15.75 ft/s2) = s [0 ft2/s2 – 9 686.4964 ft 2/s2]/( – 31.5 ft/s2) = s [– 9 686.4964 ft 2/s2]/( – 31.5 ft/s2) = s 307.5 ft = s ACTIVIDAD 1. Realiza la deducción de la ecuación v f 2 = v02 + 2as , a partir de las ecuaciones: s /t = (vf + v0)/2 y vf = v0 + at; sugerencia: despeje el tiempo de una de ellas y sustituya en la otra 2. A partir de s /t = (vf + v0)/2 y vf = v0 + at, deduce la ecuación s = v0t + ½ at2. Sugerencia: sustituya la velocidad final en la primera ecuación, despejándola de la segunda. 3. Explica en qué caso la aceleración es negativa (desaceleración), y en qué caso es positiva. 4. Encuentra las respuestas solicitadas en las situaciones problemáticas propuestas A. Un vehículo arranca del reposo y acelera hasta alcanzar una rapidez de 5 m/s en 10 s, al desplazarse por un terreno nivelado. Determinar la aceleración y la distancia recorrida en ese tiempo B. Suponga que un transporte se mueve a 18 km/h, frena y se detiene completamente en 20 m. Calcule la aceleración y el tiempo empleado en el frenado C. Un automóvil se desplaza a 60 km/h, cuando comienza a reducir su velocidad a razón de 1.5 m/s 2. ¿Cuánto tarda en recorrer 70 m al ir disminuyendo su velocidad? D. Un avión toca tierra a 136.7 mi/h y debe detenerse totalmente en un recorrido de 3 937 ft. a) ¿Qué velocidad presenta a la mitad del recorrido? b) ¿A qué distancia, después de tocar el piso, su velocidad se ha reducido a la mitad? c) ¿Cuánto tiempo dura el frenado? d) ¿Qué distancia recorre entre el 5º y 6º segundo de frenado? e) ¿Cuál es su recorrido en el último segundo antes del alto total? E. El conductor de un auto que va a 82.02 ft/s observa repentinamente una esquina. Inmediatamente aplica el freno, la esquina se localiza a 196.85 ft delante de él, el automóvil desacelera y llega en 3 s al punto donde está la esquina. a) ¿Qué rapidez presenta el vehículo en esa posición? b) ¿Cuál es la aceleración?


3) Caída libre y tiro vertical. Una variante del movimiento en trayectoria rectilínea, es la caída libre o el lanzamiento vertical, éstos se reconocen cuando la dirección es vertical. Si el sentido es de arriba hacia abajo le llamamos caída libre, cuando el sentido es de abajo hacia arriba se denomina lanzamiento vertical, en este movimiento los desplazamientos son alturas y la aceleración es conocida como la aceleración gravitacional, tratándose del planeta Tierra tiene un valor promedio de 9.8 m/s 2, en el Sistema Internacional (SI) Cuando el movimiento es de abajo hacia arriba la aceleración es negativa porque el cuerpo o proyectil pierde velocidad, en cambio, cuando se mueve de arriba hacia abajo el cuerpo gana velocidad, entonces la aceleración es positiva. Esto es convencional pero permite determinar las posiciones de los cuerpos durante su trayectoria y el sentido de la velocidad en un punto en específico Las ecuaciones de la cinemática sufren modificaciones en cuanto a las literales pero no en su estructura: v f = v0 + gt; vf 2 = v02 + 2gh; h = h0 + v0t + ½ gt2; los desplazamientos (s) son alturas (h) y la aceleración (a) es la aceleración gravitacional (g), los demás elementos se mantienen con la misma notación.

Ejemplo: Se lanza una pelota directamente hacia arriba, con rapidez de 15 m/s y sale de la mano a 2 m sobre el piso. Calcule: a) la rapidez y el tiempo, mientras sube, al pasar frente a un observador a 12 m de altura, b) la altura máxima que alcanza, c) el tiempo que permanece en el aire (hasta regresar al suelo) y d) l a velocidad de choque con el suelo Solución: a) La altura efectiva de la pelota respecto al observador es de 10 m; 10 m = 12 m – 2 m, conforme la pelota sube pierde velocidad ( – 9.8 m/s2) vf 2 = v02 + 2gh vf = [v02 + 2gh] vf = [(15 m/s)2 + 2( – 9.8 m/s2)(10 m)] vf = [225 m2/s2 – 196 m2/s2]; vf = [29 m2/s2]; vf = 5.385 m/s Para encontrar el tiempo: vf = v0 + gt vf – v0)/g = t; (5.385 m/s – 15 m/s)/( – 9.8 m/s2) = t ( – 9.615 m/s)/( – 9.8 m/s2) = t 0.98 s = t b) En el punto más elevado la velocidad final es cero v f = 0 m/s vf 2 = v02 + 2gh [vf 2 – v02]/2g = h [(0 m/s)2 – (15 m/s)2]/2( – 9.8 m/s2) = h [0 m2/s2 – 225 m2/s2]/( – 19.6 m/s2) = h [– 225 m2/s2]/( – 19.6 m/s2) = h;


11.47 m = h, como la altura inicial de salida es de 2 m, la altura total (altura máxima) es: hmáx = 11.47 m + 2 m hmáx = 13.47 m c) h = h0 + v0t + ½ gt2 0 m = 2 m + (15 m/s)t + ½( – 9.8 m/s2)t2 (4.9 m/s2) t2 – (15 m/s)t – 2 m = 0, La ecuación de segundo grado que se resuelve aplicando la “fórmula general” t = { – b  [b2 – 4ac]}/2a; a = 4.9, b = – 15; c = – 2 (Se omiten las unidades de medida para facilitar el cálculo) t = { – ( – 15)  [( – 15)2 – 4(4.9)( – 2)]}/2(4.9) t = {15  [225 + 39.2]}/9.8 t = {15  [264.2]}/9.8 t = {15  16.25}/9.8, se toma la solución positiva t = {15 + 16.25}/9.8 t = 31.25/9.8 t = 3.189 s d) Se parte de las condiciones iniciales v f = v0 + gt; vf = 15 m/s + ( – 9.8 m/s2)(3.189 s) vf = 15 m/s – 31.2522 m/s vf = – 16.2522 m/s

Ejemplo: Una piedra que cae tarda 0.3 s para pasar delante de una ventana de 2.4 m de altura, ¿a qué altura sobre la parte superior de la ventana comenzó a caer la piedra? Solución: Se investiga la velocidad inicial de la piedra en la parte superior de la ventana V0 = ¿? 2.4 m Se conoce la altura de la ventana h = 2.4 m; el tiempo de caída 0.3 s y la aceleración terrestre g = 9.8 m/s 2, positiva porque al transcurso del tiempo la velocidad (de caída) aumenta, no se considera altura previa ( sólo ventana) h = v0t + ½ gt2 [h – ½ gt2]/t = v0 [2.4 m – ½(9.8 m/s2)(0.3 s)2]/0.3 s = v0 [2.4 m – ½(9.8 m/s2)(0.09 s2]/0.3 s = v0 [2.4 m – 0.441 m]/0.3 s = v0 [1.959 m]/0.3 s = v0; 6.53 m/s = v0 La velocidad calculada será ahora la velocidad final del proceso de caída, para ubicar el punto sobre la ventana donde inició el movimiento con v 0 = 0 m/s v0 = 0 m/s


h’

vf = 6.53 m/s 2.4 m La velocidad inicial es 0 m/s, la velocidad final es 6.53 m/s, la aceleración es 9.8 m/s2 y la incógnita es h‟ (altura por encima de la ventana vf 2 = v02 + 2gh‟ [vf 2 – v02]/2g = h‟ [(6.53 m/s)2 – (0 m/s)2]/2(9.8 m/s2) = h‟; [42.6409 m2/s2 – 0 m2/s2]/(19.6 m/s2) = h‟ [42.6409 m2/s2]/(19.6 m/s2) = h‟; 2.175 m = h‟

Ejemplo: Se deja caer una piedra desde un precipicio y un segundo más tarde se lanza otra piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 50 ft/s. ¿A qué altura por debajo del punto de salida alcanzará la segunda piedra a la primera? Solución: Para la primera piedra la v0 = 0 ft/s (se deja caer) h = v0t1 + ½ gt12; h = (0 ft/s)t1 + ½(32 ft/s2)t12 h = (16 ft/s2)t12 La diferencia en tiempos es: t 1 – t2 = 1 s, así, t 1 = 1 s + t2 h = (16 ft/s2)(1 s + t2)2 h = (16 ft/s2)(1 s2 + 2(1 s)(t2) + t22) h = (16 ft/s2)(1 s2 + (2 s)t2 + t22) h = (16 ft/s2)(1 s2) + (16 ft/s2)(2 s)t2 + (16 ft/s2)t22 h = 16 ft + (32 ft/s)t2 + (16 ft/s2)t22 Para la segunda piedra la v 0 = 50 ft/s (se lanza) h = v 0t2 + ½ gt22; h = (50 ft/s)t2 + (16 ft/s2)t22 Como la altura es la misma, se igualan (o se sustituye una en otra) (50 ft/s)t2 + (16 ft/s2)t22 = 16 ft + (32 ft/s)t2 + (16 ft/s2)t22 (50 ft/s)t2 = 16 ft + (32 ft/s)t2 (50 ft/s)t2 – (32 ft/s)t2 = 16 ft (18 ft/s)t2 = 16 ft t2 = 16 ft/(18 ft/s) t2 = (8 s)/9 t2 = 0.88 s El tiempo 2 se sustituye en h = (50 ft/s)t2 + (16 ft/s2)t22; h = (50 ft/s)(0.88 s) + (16 ft/s2)(0.88 s)2 h = (50 ft/s)(0.88 s) + (16 ft/s2)(0.7744 s2) h = 44 ft + 12.3904 ft h = 56.3904 ft NOTAS: El desarrollo de una suma al cuadrado (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2


(1 s + t2)2 = 1 s2 + 2(1 s)(t2) + t22 = 1 s2 + (2 s)t2 + t22 Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma a(x + y – z) = ax + ay – az (16 ft/s2)(1 s2 + (2 s)t2 + t22) = (16 ft/s2)(1 s2) + (16 ft/s2)(2 s)t2 + (16 ft/s2)t22 = 16 ft + (32 ft/s)t2 + (16 ft/s2)t22

ACTIVIDAD 1. ¿Cuál es el valor de la aceleración terrestre en el Sistema de Unidades de Estados Unidos (SUEU)? 2. ¿Cuál es el valor de la aceleración terrestre en el Sistema Centesimal (cgs)? 3. Cada planeta o cuerpo celeste tiene su propio valor de aceleración gravitacional, ello depende de sus características individuales. Investiga el valor de la aceleración gravitacional de la Luna. 4. Señala que condiciones tiene un cuerpo que es dejado caer de cierta altura (v0 y g) 5. Señala las condiciones de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba (v 0 y g) 6. Resuelve los siguientes casos problemáticos: A. Se deja caer una piedra de lo alto de un puente. Si 3.2 s después choca con el agua. Hallar: a) la altura del puente sobre el agua, b) la velocidad de la piedra al momento de contactar con el agua B. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una rapidez de 13.8 m/s. a) ¿Cuál es su altura máxima? b) ¿Cuánto tiempo invierte en subir hasta la máxima altura? c) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? d) ¿Cuál es la velocidad de la pelota al regresar al punto de partida? C. Se deja caer una pelota desde lo alto de una torre. 1.3 s después se deja caer, desde el mismo punto, otra pelota. ¿Qué distancia separa las pelotas, cuando la segunda ha alcanzado una velocidad de 68.45 ft/s? D. Un par de estudiantes realizan el experimento de hacer chocar dos pelotas en el aire, uno de ellos dejará caer la suya, desde una azotea, a 34 m sobre el piso; al mismo tiempo el otro lanzará su pelota, hacia arriba, desde el piso, con una velocidad de 25 m/s, ¿a qué altura, sobre el piso, se encontrarán las dos pelotas? E. Un estudiante de física descubre la manera de calcular la altura de un edificio. Se deja caer un objeto desde la azotea del edificio. Él mide con un


cronómetro, muy preciso, que tarda 0.125 s en recorrer los últimos 2 m de la caída. Con esta información, ¿qué altura total tiene el edificio?

4. Movimiento en dos dimensiones. Se considera un movimiento en dos dimensiones cuando existe un desplazamiento en el plano, es decir, su referencia es en dos ejes, para ubicarlo se requiere de una pareja ordenada (x, y), en el caso más general, pero se puede reconocer como (avance, altura), o (posición horizontal, posición vertical), en casos particulares.

5. Breve introducción a los vectores. Un vector es un modelo matemático que utilizamos para representar situaciones físicas. Los vectores se representan gráficamente en un plano por medio de “flechas”, cada vector (flecha), tiene una extensión que representa la

magnitud del vector, tiene un punto inicial y un punto final (determinan la dirección) y la punta de flecha representa el sentido. Un vector se puede desplazar por todo el plano y tendrá cuantas proyecciones sean necesarias, todas ellas equivalentes al vector original, si mantienen sus características básicas (magnitud, dirección y sentido) Analíticamente un vector tiene una dimensión o módulo (valor numérico), una dirección (ángulo o punto cardinal) y un sentido, convencionalmente si parte del origen positivo, si regresa al origen negativo, o bien, se toma el sentido con referencia a los ejes cartesianos

6. Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares. La descomposición vectorial es una operación específica de los vectores, este proceso consiste en obtener, a partir de un vector, dos vectores a los que se conoce como componentes rectangulares, los vectores componentes se alinean o son paralelos a los ejes cartesiano o a las direcciones W ↔ E y N ↔ S, el sentido es el mismo de los ejes. La mencionada descomposición se puede realizar en forma gráfica, con la limitante de la exactitud en los valores de las componentes. Si la descomposición se ejecuta en forma analítica, los resultados dependen del redondeo o corte en los decimales que uno se proponga. Ejemplos: Descomponer, en componentes rectangulares, el vector F = 184 N a 225 0 FX

F

FY


Para la descomposición gráfica se proyecta el vector en cada uno de los ejes y se toma la dimensión (a escala) para cada componente, la dirección está automáticamente determinada ( FX) dirección “X”; (F Y) dirección “Y”, el sentido también está definido, ambos vectores son negativos La descomposición analítica se consigue calculando la dimensión de los catetos de un triángulo rectángulo del cual se conoce la hipotenusa (184 N) y un ángulo 225 0 (450 en el tercer cuadrante), así cos 225 0 = FX/184 N, así mismo, sen 2250 = F Y/184 N, despejando FX = (184 N)(cos 2250), para el otro vector componente, F Y = (184 N)(sen 2250); FX y F Y son nuevos vectores y funcionan ambos como equivalentes del vector original. Haciendo operaciones FX = – 130.1 N; F Y = – 130.1 N. Si se desea recuperar el vector original NO se deben sumar algebraicamente ( FX + F Y) Para obtener el vector original se hace una “recomposición” del vector, la mencionada recomposición no es otra que una suma de vectores, la magnitud del vector original se consigue utilizando el teorema de Pitágoras (se conocen los catetos FX y F Y, se desconoce la hipotenusa F). La suma vectorial se plantea como: F = [FX2 + F Y2], la dirección del vector original  = [F Y/FX] tan-1 Generalizando: Para un vector A con dirección (00 < a < 3600); AX = A cos  y A Y = A sen .

Ejemplo: Encuentre las componentes del vector D = 23.67 km a 308 0 Solución: DX = (23.67 km)(cos 308 0) DX = 14.57 km D Y = (23.67 km)(sen 308 0) D Y = – 18.65 km. Ejemplo: Calcule el valor de las componentes del vector H = 9 704.18 libras a 40 0 al este del norte Solución: 400 al este del norte equivale a 50 0, por tanto, HX = (9 704.18 libras)(cos 50 0) HX = 6 237.72 libras H Y = (9 704.18 libras)(sen 50 0) H Y = 7 433.83 libras. NOTAS: Cuando se trabaja con vectores en forma gráfica se emplea, por lo general una escala. No sería posible dibujar 150 N, 115 lb o 71 km/h; tanto por el espacio como por la magnitud (fuerza) En el primer ejemplo la magnitud de los vectores componentes es igual, este es un caso particular. En algunos ocasiones una de las componentes puede tener valor 0 (cero).


Para recuperar el vector original NO se deben sumar algebraicamente las componentes. Se requiere de una suma vectorial. Evidentemente HX + H Y ≠ H, es decir 6 237.72 libras + 7 433.83 libras ≠ 9 704.18 libras; la suma correcta es [(6 237.72 libras)2 + (7 433.83 libras)2] = 9 704.17 libras, se llega a una aproximación por los decimales que no se consideraron, la suma de vectores componentes, como se señaló anteriormente, se obtiene a través del teorema de Pitágoras, por ser éstos los catetos de un triángulo rectángulo y la incógnita es la hipotenusa. La dirección se encuentra usando una función trigonométrica, la función tangente (relaciona los dos catetos) tan  = 7 433.83 libras/6 237.72 libras; tan = 1.1917;  = (1.1917)tan-1  = 500

7. Tiro parabólico. El movimiento en dos dimensiones también conocido como tiro parabólico o movimiento de proyectiles; es un tipo de movimiento donde el móvil sigue una trayectoria curva llamada parábola, para su análisis se descompone la velocidad inicial (v0), en componentes rectangulares (v x y vy). La velocidad horizontal (vx) es constante; mientras que el otro vector, que representa la velocidad vertical (vy), está sujeta a la acción de “g” y su comportamiento es como un lanzamiento vertical. En el caso más general, se considera la velocidad inicial como la hipotenusa de un triángulo rectángulo y el ángulo de elevación es un ángulo agudo del mencionado triángulo. De esta manera el movimiento parabólico se interpreta como dos movimientos rectos simultáneos

Si se trata de un proyectil que se dispara desde el piso o una altura determinada para caer al mismo nivel, la velocidad inicial (v 0) es diferente de cero y el ángulo de salida es diferente de 0 0 y de 900, entonces 0 0 <  < 900. Haciendo la descomposición vectorial [v x = v0cos ] y [vy = v0sen ]; como la velocidad horizontal es constante v x = x/t, donde “x” es el desplazamiento horizontal y se le llama alcance, “t” es el tiempo de vuelo; la velocidad vertical

corresponde a un movimiento acelerado, entonces las ecuaciones son: vfy = v0y + gt; vfy2 = v0y2 + 2gh; h = h0 + v0yt + ½ gt2; para calcular el alcance máximo (a nivel) x = [v 2(sen 2)]/g En el punto más elevado de la curva, la velocidad vertical es cero. Se pueden calcular alcances parciales y alturas parciales, así como, la velocidad en cualquier punto del viaje (expresando magnitud y dirección) Otras posibilidades son: que el proyectil sea disparado bajo nivel, por ejemplo, desde el fondo del lecho de un río, el disparo es sobre nivel, por caso, desde


un puente, el lanzamiento desde el punto más alto, cuando un avión en vuelo horizontal deja caer un paquete (sin paracaídas)

Ejemplo: Un objeto se lanza, desde el piso, con un ángulo de 37 0 sobre la horizontal y velocidad inicial de 65.6 ft/s. A 105 ft del punto de partida se encuentra un muro con el cual choca. ¿A qué altura del muro se produce el choque? ¿Cuál es la velocidad del objeto al momento del impacto? Solución: Primero se encuentran las velocidades horizontal (v x) y vertical (v0y), aplicando la descomposición vertical vx = v0cos  vx = (65.6 ft/s)cos 370 vx = (65.6 ft/s)(0.8); cos 370 = 0.7986  0.8 vx = 52.48 ft/s v0y = v0sen  v0y = (65.6 ft/s)sen 370 v0y = (65.6 ft/s)(0.6); sen 370 = 0.6018  0.6 v0y = 39.36 ft/s Como la velocidad horizontal es constante, se calcula el tiempo entre el punto de disparo y la ubicación del muro vx = x/t t = x/vx t = 105 ft/(52.48 ft/s) t=2s Con el tiempo calculado se encuentra la altura, parte del piso h 0 = 0 ft; el movimiento es inicialmente hacia arriba, g = – 32 ft/s2 h = h0 + v0yt + ½ gt2 h = (0 ft) + (39.36 ft/s)(2 s) + ½( – 32 ft/s2)(2 s)2 h = (0 ft) + (39.36 ft/s)(2 s) – (16 ft/s2)(4 s2) h = (0 ft) + 78.72 ft – 64 ft h = 14.72 ft La velocidad de choque es una velocidad resultante v R = [vX2 + vfy2] La velocidad horizontal es constante (v x = 52.48 ft/s), se calcula la velocidad final vertical (vfy) vfy = v0y + gt vfy = 39.36 ft/s + ( – 32 ft/s2)(2 s) vfy = 39.36 ft/s – 64 ft/s vfy = – 24.64 ft/s, el proyectil se encuentra en caída vR = [vX2 + vfy2] vR = [(52.48 ft/s)2 + ( – 24.64 ft/s)2] vR = [(2 754.1504 ft 2/s2) + (607.1296 ft 2/s2)] vR = [3 361.28 ft2/s2] vR = 57.976 ft/s La dirección de la velocidad es:  = [vY/vX] tan-1  = [( – 24.64 ft/s)/( 52.48 ft/s)] tan-1


 = [ – 0.4695] tan-1  = – 25.150; un ángulo negativo se posiciona bajo la horizontal Ejemplo: Guillermo Tell debe partir la manzana sobre la cabeza de su hijo desde una distancia de 30 m. Cuando apunta directamente hacia la manzana, la flecha está horizontal. ¿A qué ángulo debe apuntar para dar en la manzana, si la flecha viaja a una velocidad de 35 m/s? Solución: Si apunta horizontal al blanco fallará. Por efecto de la aceleración gravitacional el proyectil impacta en un punto más bajo El alcance se consigue con la ecuación: x = [v 02(sen 2)]/g xg/v02 = sen 2 [(30 m)(9.8 m/s2)]/(35 m/s)2 = sen 2 [294 m2/s2]/(1 225 m2/s2) = sen 2 0.24 = sen 2  (0.24)sen-1 = 2 13.880 = 2 13.880/2 =  6.940 = , debe apuntar con un ángulo de 6.94 0 por encima de la horizontal Ejemplo: Un globo aerostático permanece en reposo a una altura de 76 m. Una persona que viaja dentro de él, lanza un proyectil con un ángulo de 40 0 sobre el horizonte y con velocidad de 12 m/s, ¿cuál es el alcance del proyectil? ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? Y ¿con qué velocidad cae al suelo? Solución: Para iniciar se buscan las velocidades iniciales vx = v0cos  vx = (12 m/s)cos 40 0 vx = (12 m/s)(0.766) vx = 9.19 m/s v0y = v0sen  v0y = (12 m/s)sen 400 v0y = (12 m/s)(0.6427) v0y = 7.71 m/s Tiempo que permanece en el aire h = h0 + v0yt + ½ gt2 0 m = 76 m + (7.71 m/s)t + ½( – 9.8 m/s2)t2 0 m = 76 m + (7.71 m/s)t – (4.9 m/s2)t2 (4.9 m/s2)t2 – (7.71 m/s)t – 76 m = 0 m t = { – b  [b2 – 4ac]}/2a; a = 4.9, b = – 7.71; c = – 76 (se omiten las unidades de medida para facilitar el cálculo) t = { – ( – 7.71)  [( – 7.71)2 – 4(4.9)( – 76)]}/2(4.9) t = {7.71  [59.4441 + 1 489.6]}/9.8 t = {7.71  [1 549.0441]}/9.8


t = {7.71  39.35}/9.8, se toma la solución positiva t = {7.71 + 39.35}/9.8 t = 47.06/9.8 t = 4.8 s El alcance del proyectil vx = x/t vxt = x (9.19 m/s)(4.8 s) = x 44.11 m = x La velocidad en el suelo es la velocidad resultante v R = [vX2 + vfy2] La velocidad horizontal es constante (v x = 9.19 m/s), se calcula la velocidad final vertical (vfy) vfy = v0y + gt vfy = 7.71 m/s + ( – 9.8 m/s2)(4.8 s) vfy = 7.71 m/s – 47.04 m/s vfy = – 39.33 m/s, el proyectil se dirige hacia abajo vR = [vX2 + vfy2] vR = [(9.19 m/s)2 + ( – 39.33 m/s)2] vR = [(84.4561 m2/s2) + (1 546.8489 m 2/s2)] vR = [1 631.305 m 2/s2] vR = 40.389 m/s Por ser la velocidad un vector se especifica su dirección:  = [vY/vX] tan-1  = [( – 39.33 m/s)/( 9.19 m/s)] tan-1  = [ – 4.2796] tan-1  = – 76.8480; ángulo por debajo de la horizontal ACTIVIDAD 1. Si un arquero en competencia olímpica apunta su flecha exactamente en la horizontal al blanco ¿logra acertar? ¿Por qué? ¿Hacia dónde debe apuntar? 2. Si un avión en vuelo horizontal deja caer un paquete, sin paracaídas, exactamente sobre el objetivo, ¿llega el paquete a su destino? ¿Cae delante? ¿Cae detrás? ¿Por qué? 3. Un pequeño tren que se mueve a velocidad constante sobre una mesa, al llegar a la orilla de la mesa y caer ¿lo hace a plomo? ¿Qué tan separado de la mesa? 4. Realizar lo necesario para encontrar la respuesta a lo propuesto a continuación A. Una manguera de bomberos arroja agua horizontalmente desde la parte superior de un edificio hacia la pared de otro separado por 20 m. Si el agua sale de la manguera a 5 m/s, ¿a qué nivel por debajo de la manguera golpea la pared?

ANT-13, 1 Y 2

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