Introduction La présente version des notes n’est pas encore une version achevée (portions incomplètes, quelques incohérences dues à des changement de notations/définitions, des erreurs qui survivent toujours). Dessins et exemples viennent parfois à manquer ; l’index est incomplet et il faudrait probablement raccourcir certains passages (ou en mettre en appendice). L’honorable lecteur est ainsi prié de transmettre à l’auteur les erreurs qu’il y trouvera, les références qui lui semblent faire défaut dans l’index, et les passages qui lui semblent trop confus ou trop peu illustrés. Ces notes sont faites pour un cours de 14 × 2 heures. Le matériel contenu dans ces notes dépasse largement 28 heures. Ce cours succède normalement au[x] premier[s] cours d’analyse qui porte[nt] sur l’étude des applications de la droite réelle dans elle-même. Le sujet en est maintenant les applications de Rn dans Rm (où m, n ∈ Z≥1 ). En un certain sens, l’analyse de fonctions à plusieurs variables fait apparaître beaucoup de phénomènes nouveaux. D’un côté, comprendre certains sous-ensembles de Rm mène éventuellement à la géométrie différentielle. D’un autre, le remplacement adéquat de certains concepts en dimension 1 à la dimension supérieure prépare le (ou invite au) voyage vers l’analyse fonctionnelle. Les motivations pour étudier ces fonctions sont abondantes ; par exemple, dans le modèle de la physique newtonienne, le potentiel est une fonction de R3 dans R et la force qu’il engendre une fonction de R3 dans R3 . Il est aussi possible de percevoir les fonctions de C dans C comme des fonctions de R2 dans R2 ; ainsi ce cours entretient aussi un lien avec l’analyse complexe. La plupart des applications seront laissées en exercices, pour des raisons de manque de temps en cours et parce que l’auteur suppose que la curiosité du lecteur le poussera à s’y intéresser de lui-même. Les buts de ce cours sont Chapitre 1 : Rappels sur Rm , espace vectoriel et topologique. Chapitre 2 : Rappels d’analyse en plusieurs dimensions : limite et continuité. Chapitre 3 : Introduire les dérivées (une approximation linéaire d’une application). Les sous-ensembles de Rm peuvent aussi être mieux compris en les “linéarisant”, ceci mènera à l’introduction du concept de plan tangent. Chapitre 4 : Un des objets d’intérêt en plusieurs dimensions sont les courbes. Quelques exemples de questions typiques : comment calculer la longueur d’une courbe ? comment faire un pendule dont la période d’oscillation ne dépend pas de l’amplitude ? comment tracer une voie de chemin de fer afin de minimiser la tension sur les rails ? comment faire un arc de voûte de v
Introduction sorte à minimiser les forces présentes ? Les outils analytiques vont servir pour étudier ces problèmes. Chapitre 5 : Des approximations plus fines pour les fonctions sont aussi possibles (formule de Taylor), ce qui permet le début de l’étude de fonction. Chapitre 6 : La linéarisation des fonctions permet en quelque sorte de linéariser les équations, et en quelque sorte de résoudre des systèmes d’équations non-linéaires (méthode de Newton, théorème des fonctions inverses, théorème des fonctions implicites). Il se trouve que ceci permet d’unifier les différentes notions de plan tangent (dans certains cas). Comme les sousensembles de Rm sont subtils, tout cela est en fait nécessaire pour pouvoir faire des études de fonctions lorsque le domaine de définition est contraint. Chapitre 7 : L’intégration requiert aussi quelques raffinements par rapport au cas des fonctions réelles à valeurs réelles. En particulier, la formule de changement de variable devient plus subtile. Entre autres, certaines intégrales en une variable ne peuvent être évaluées qu’avec des R ∞ −x2 méthodes de deux variables (la célèbre intégrale de Poisson, −∞ e dx). Chapitre 8 : Les questions sur les surfaces sont plus subtiles que sur les courbes. Les théorèmes sur les plans tangents permettront de bien caractériser le genre d’objet qui se porte a l’étude. Seules seront ici traitées les questions d’orientabilité, de calcul d’aire et de flux. Chapitre 9 : En électromagnétisme, les champs de vecteurs jouent un rôle primordial. Ce chapitre s’appuie sur tous les précédents pour montrer les théorèmes de base qui servent (théorème de la divergence, de Green et de Stokes). Puisqu’il n’est pas donné à tous d’étudier l’électromagnétisme, le lecteur peut se rassurer en sachant que ceux-ci sont aussi utiles en analyse complexe. Dans ce cours, les sections qui commencent par une lettre ne seront (au mieux) que partiellement traitées en classe ; leur présence vise plus à présenter de la culture générale ou à approfondir certains thèmes abordés. Le texte des preuves ne contrastant pas beaucoup avec le reste, un en marque la fin. Pour les mêmes raisons, un F termine le texte des définitions, un ♣ clôt les exemples, un ♠ boucle les remarques et les énoncés (lemme, théorème, etc...) sont légèrement encadrés. Ceci est aussi le moment opportun pour mettre de l’avant quelques bizarreries dans les notations et les concepts de ce texte. — Une bizarrerie commune vient du fait que les éléments d’un produit cartésien sont écrits comme (a, b, c) [une ligne] alors que les vecteurs (des éléments de Rn , un produit cartésien) sont notés comme des colonnes. Cette bizarrerie est malheureusement entrée dans les moeurs... — Au chapitre 6, les sous-variétés de Rn possèdent déjà une structure différentielle canonique héritée de Rn , ainsi il n’y aura pas de références aux cartes (la définition habituelle d’une variété différentielle “abstraite”) ; ce concept sera probablement traité dans un cours de géométrie différentielle. C’est l’application inverse d’une carte, appelée ici paramétrage, qui prendra sa place. Cette perspective est plus naturel et accessible (voir par exemple le livre Milnor, “Topology from the differentiable viewpoint”). D’autre part, un théroème difficile vi