ANALOGIAS ELECTROMECANICAS
Índice INTRODUCCIÓN COMPRENDIENDO LAS ANALOGÍAS ELECTROMECÁNICAS LA IMPEDANCIA MECÁNICA COMPONENTES DE LA IMPEDANCIA MECÁNICA Resistencia mecánica Rm Masa mecánica Mm Compliancia Mecánica Cm CANTIDADES GENÉRICAS EN LOS CIRCUITOS POTENCIA Y ENERGÍA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y MECÁNICOS Potencia disipada en los elementos resistivos Energía almacenada en los elementos reactivos DIBUJO DEL CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO DE UNO MECÁNICO PRINCIPIO DE DUALIDAD EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS MÉT MÉTOD ODO O PRÁCT ÁCTICO ICO DE CAM CAMBIO BIO DE ANALO NALOGÍ GÍA A (MOV (MOVIL ILID IDAD AD A IMPEDANCIA) BIBLIOGRAFIA • • •
• •
Introducción El concepto de sistemas análogos es muy práctico para tratar o analizar dete determi rmina nado doss tipos tipos de sist sistem emas as.. Así, Así, en vez vez de cons constru truir ir un sist sistem ema a mecánico, se puede realizar el sistema análogo eléctrico o electrónico, que generalmente es más sencillo de manipular contando además con una amplia gama gama de herra errami mie entas ntas de simu simula lacción ión dispo ispon nible ibless. De hech echo, los los comput computad adore oress electr electrón ónico icoss analó analógic gicos os son ampliam ampliament ente e utiliza utilizados dos para para simular el comportamiento de cualquier sistema físico, ya que el principio de anal analog ogía ía es apli aplica cabl ble e a cual cualqu quie ierr tipo tipo de sist sistem emas as siem siempr pre e que que sus sus ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia sean idénticas. De esta forma, también es posible por ejemplo obtener el circuito mecánico análogo de un sistema sistema acústico dado, dado, y analizarlo mediante mediante el programa programa a través través de una nueva analogía a sistema eléctrico. Es importante que sepas que el texto escrito fue presentado (y lo de Fourier, y lo de análisis de circuitos, y lo de Delphi, y....) como mi Proyecto Fin de Carrera (teleko técnica). En realidad el proyecto es un simulador de sistemas mecánicos mediante el análisis del circuito eléctrico análogo. El prog progra rama ma se llam llama a ANAL ANALOG OGIA IA.E .EXE XE,, así así que que cuan cuando do me refi refier era a a un programa, ya sabes de lo que hablo ;).
Comprendiendo las analogías electromecánicas Para comprender las analogías vamos a ver un caso sencillo de un circuito mecánico con un grado de libertad. No importa en ningún caso la complejidad de los sistemas, solo importa que las ecuaciones que rigen su comportamiento sean iguales. Sea el siguiente sistema mecánico de traslación:
En este sistema M es la masa, R el coeficiente de rozamiento o amortiguamiento, K la constante de elasticidad del muelle, x el desplazamiento lineal y F la fuerza aplicada. La ecuación diferencial que define su comportamiento es:
(Expresión A)
Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:
En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:
que puede ponerse en términos de la carga eléctrica q como:
(Expresión B)
A la vista de las expresiones A y B es evidente que las ecuaciones diferenciales para ambos sistemas son idénticas, por lo que estos sistemas se denominan sistemas análogos, y las magnitudes que los representan se llaman magnitudes análogas. Esta correspondencia es conocida como analogía de impedancia, o Fuerza-Tensión, y se representa en la siguiente tabla: Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza (F)
Tensión (v)
Desplazamiento (x)
Carga (q)
Velocidad (dx/dt)
Corriente (i)
Cte. elasticidad (K)
Capacidad (1/C)
Rozamiento (R)
Resistencia (R)
Masa (M)
Inductancia (L)
Existe otro tipo de analogía, también muy útil, entre sistemas mecánicos y eléctricos que es la analogía de movilidad o admitancia y que es simplemente la dual de la anterior . De hecho, es este tipo de analogía la que se suele emplear (y la que se ha empleado en el análisis que realiza este programa) por la facilidad con que se halla el circuito eléctrico a partir de su mecánico análogo, y porque el circuito eléctrico es fácilmente analizable eléctricamente usando análisis nodal. Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:
En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:
que puede ponerse en términos de carga eléctrica como:
(Expresión C)
Comparando las expresiones A y C, vemos que al igual que ocurría con la analogía de impedancia, las ecuaciones diferenciales son iguales. La correspondencia mecánico-eléctrico de la analogía de movilidad se muestra en la siguiente tabla: Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza (F)
Corriente (i)
Desplazamiento (x)
Carga (q*Z)
Velocidad (dx/dt)
Tensión (v)
Cte. elasticidad (K)
Inductancia (1/L)
Rozamiento (R)
Resistencia (1/R)
Masa (M)
Capacidad (C)
La impedancia mecánica En el punto anterior hemos visto las analogías entre elementos mecánicos y eléctricos, manejando sus componentes. Vamos ahora a entrar más en detalle sobre cada uno de los componentes mecánicos en concreto y sus análogos eléctricos. La impedancia mecánica Zm se define como la relación compleja entre la fuerza eficaz que actúa sobre un área de un dispositivo mecánico (o un medio acústico) y la velocidad eficaz compleja lineal resultante a través de tal área. Sus unidades son los Ohmios mecánicos (N*seg)/m.
La inversa de la impedancia compleja mecánica recibe el nombre de movilidad mecánica, y se representa por Zm . Su unidad es el Mho mecánico. En los circuitos mecánicos vamos a manejar tres componentes básicos: Resistencia mecánica Rm Masa mecánica Mm Compliancia mecánica Cm estando los tres están relacionados con la impedancia mecánica, como se verá.
Componentes de la impedancia mecánica En los circuitos mecánicos vamos a manejar tres componentes básicos, relacionados con la impedancia mecánica: Resistencia mecánica Rm Masa mecánica Mm Compliancia mecánica Cm Resistencia mecánica Rm
La resistencia mecánica está asociada a la parte real de la impedancia, y es donde se disipa toda la potencia mecánica entregada al dispositivo. Un dispositivo mecánico se comportará pues como una resistencia mecánica cuando accionado por una fuerza, ésta es proporcional a la velocidad que adquiere, es decir:
Sus unidades son el
Como , si sustituimos podemos obtener también que la unidad de Resistencia mecánica es también Kilogramo/Segundo. Esta expresión se corresponde con la analogía de tipo impedancia que hemos visto, puesto que: Fuerza = Resistencia Mecánica * Velocidad
por analogía se convierte en: Tensión = Resistencia Eléctrica * Corriente
El símbolo usado para la resistencia mecánica suele ser el de la figura, aunque también se usa un símbolo similar a la resistencia eléctrica:
A la inversa de la Resistencia Mecánica se le llama Responsabilidad Mecánica , cumpliéndose que:
de forma que podemos obtener:
Lo que se corresponderá con la analogía de movilidad puesto que Velocidad= Responsabilidad Mecánica * Fuerza
por analogía se convierte en: Tensión = Resistencia Eléctrica
* Corriente
Masa mecánica Mm
La masa mecánica está asociada con la parte imaginaria positiva de la impedancia compleja. Un dispositivo mecánico se comportará como una masa mecánica cuando accionado por una fuerza resulta acelerada en proporción directa con la fuerza, es decir:
Su unidad es el Kilogramo. En la analogía de impedancia hemos visto que sustituimos Fuerza por Tensión, Masa por Inductancia, y Velocidad por Corriente, por lo que sustituyendo tenemos:
Lo que efectivamente es cierto. El símbolo usado para la masa mecánica se representa en el programa como:
Si en la primera expresión despejamos u(t), nos queda:
Lo que en la analogía de tipo movilidad se corresponde a (se sustituye Velocidad por Tensión, Masa por Capacidad, y Fuerza por corriente):
Efectivamente esto se corresponde con el comportamiento de un condensador, por lo que el del análogo de movilidad de la masa será el condensador
Compliancia Mecánica Cm
La compliancia mecánica está relacionada con la parte imaginaria negativa de la impedancia compleja. Una estructura o dispositivo mecánico se comporta como una compliancia mecánica cuando, accionada por una fuerza, sufre un desplazamiento, en proporción directa con la fuerza. Es decir: y como
tendremos que haciendo una analogía de tipo impedancia, obtenemos:
Como vemos el análogo eléctrico de la compliancia mecánica es el condensador en la analogía de impedancia puesto que ambas ecuaciones son correctas e iguales. En la mayoría de los casos (incluído ANALOGIA.EXE) no se trabaja con compliancias, sino con sus inversos. Se define la elasticidad (caracterizada por la constante de elasticidad K) como el inverso de la compliancia mecánica, es decir:
Siendo su símbolo:
En cuanto a la analogía de movilidad de la compliancia (o de la elasticidad) tenemos:
Cantidades genéricas en los circuitos
Aparte de los elementos ya vistos que forman un sistema mecánico existen tres cantidades genéricas en cualquier circuito: Magnitud del elemento del circuito. Flujo a través de un elemento. Caída en un elemento. Debe tenerse en cuenta que la caída en el elemento, no tiene por qué ser una tensión eléctrica, ni el flujo una corriente eléctrica. En ocasiones, la caída puede representar una fuerza, una velocidad, una presión, o una velocidad volumétrica. Lo mismo puede decirse para el flujo que pasa por el elemento. De modo similar, la magnitud no tiene por qué ser eléctrica (capacidad, resistencia, etc) sino que puede ser cualquier cantidad, como la masa, la compliancia, etc. El significado físico de los elementos del circuito (la magnitud que los define) depende de la manera en que se elija interpretar el flujo y la caída, con la restricción de que el producto de caída*flujo tiene en todos los casos dimensiones de potencia. Además de los componentes mecánicos ya comentados, se introducen en los circuitos fuerzas que excitan los diferentes elementos. Como hemos visto, según el tipo de analogía se cumple la siguiente correspondencia:
Analogía tipo impedancia
Analogía tipo admitancia
Fuerza <---> Tensión
Fuerza <---> Corriente
Por tanto las fuerzas aplicadas al circuito se modelan en el análogo eléctrico como generadores eléctricos independientes de corriente o de tensión.
Potencia y Energía en los circuitos eléctricos y mecánicos
Potencia disipada en los elementos resistivos
ANALOGIA.EXE calcula tensiones y corrientes en los circuitos eléctricos, así como velocidades y fuerzas en los circuitos mecánicos. Si quisiéramos averiguar las potencias disipadas en los elementos, tendríamos que aplicar simplemente la siguiente fórmula:
Vemos pues, que los únicos elementos que disipan potencia (tanto en el caso mecánico como eléctrico) son los elementos de tipo resistivo. Hay que hacer notar que en la fórmula anterior (y en lo que sigue) me refiero a potencia media, o activa. En el caso eléctrico, la potencia disipada en una resistencia será:
En el caso mecánico, mediante analogía de impedancia, sustituimos resistencia eléctrica por resistencia mecánica, y corriente por velocidad, de forma que obtenemos la potencia disipada en una resistencia mecánica:
Si ahora hacemos el análogo de movilidad, sustituiremos resistencia eléctrica por responsabilidad mecánica (la inversa de la resistencia mecánica), y corriente por fuerza, de forma que obtenemos de igual forma que antes la potencia disipada en una resistencia mecánica:
Si igualamos los términos de la derecha de las dos expresiones anteriores, vemos que despejando Rm nos queda:
, lo que es cierto, ya que proceso es correcto.
, quedando demostrado que el
Energía almacenada en los elementos reactivos
Los elementos reactivos no disipan potencia, pero almacenan una energía que se disipará en forma de potencia en los elementos resistivos. La potencia disipada en los elementos reactivos (bobina y condensador) es nula puesto que existe un desfase de pi/2 entre la tensión instantánea y la corriente instantánea del componente. Eléctricamente sabemos que en el caso de una bobina se cumple:
Por lo que haciendo el análogo mecánico de impedancia, sabemos que en una masa mecánica la energía viene dada por:
Y haciendo el análogo mecánico de movilidad obtenemos que la energía en un resorte viene dada por:
o lo que es lo mismo Otra forma de obtener la energía del resorte y de la masa es obteniéndola a partir de la analogía (de movilidad e impedancia) del condensador. De igual forma a como hemos hecho con la bobina, sabemos que la energía almacenada en un condensador es:
Por lo que haciendo el análogo mecánico de impedancia, sabemos que en un resorte la energía viene dada por:
o lo que es lo mismo Y haciendo el análogo mecánico de movilidad obtenemos que la energía en la masa mecánica viene dada por:
Efectivamente comprobamos que los resultados derivados de las analogías tanto de la bobina como del condensador son los mismos.
Dibujo del circuito eléctrico análogo de uno mecánico Hemos visto las analogías de forma teórica a partir de la similitud entre las ecuaciones diferenciales que rigen los sistemas mecánicos y eléctricos. Por tanto, ya estamos en condiciones de dibujar el circuito eléctrico análogo de un circuito mecánico. Para ello deberíamos hacer: Obtener las ecuaciones diferenciales del circuito mecánico. Hacer la analogía de impedancia o movilidad de dichas ecuaciones. Obtener el esquema eléctrico a partir de las ecuaciones diferenciales análogas.
Veamos un ejemplo de conversión mecánico a eléctrico utilizando este método, y lo compararemos posteriormente con otro método mucho más rápido y directo. Sea el siguiente circuito mecánico (dibujado con ANALOGIA.EXE):
Para la conversión, vamos a tratar de encontrar la ecuación de movimiento de cada una de las masas M1 y M2 que forman los dos sistemas vibratorios del circuito mecánico. La ecuación dinámica de la masa M1 será:
Ordenando la ecuación, y poniéndola en función de la velocidad de vibración, obtenemos:
Para la masa M2, la ecuación de la dinámica será:
De igual forma que el caso anterior, podemos escribirla como:
Una vez obtenidas esta dos ecuaciones, obtenemos las ecuaciones eléctricas análogas de tipo impedancia según lo que hemos visto, sustituyendo L (autoinducción) por M (masa), R (resistencia) por Rm (resistencia mecánica), 1/C (capacidad) por k (constante de elasticidad), E (tensión) por F (fuerza), e I (corriente) por V (velocidad):
Como se puede ver, tenemos dos ecuaciones de mallas, cada una con un generador de tensión, que forman una red eléctrica. Por la primera malla circulará la corriente i1, y por la segunda i2. Las dos mallas tendrán una malla común que se verá recorrida por la corriente i1-i2, de forma que el circuito de impedancia será:
Si usamos ahora la analogía tipo movilidad debemos cambiar C (capacidad) por M (masa), 1/R (resistencia) por Rm (resistencia mecánica), 1/L (autoinducción) por k (constante de elasticidad), I (corriente) por F (fuerza) y V (tensión) por V (velocidad). De esta forma obtenemos:
En el circuito que describen estas ecuaciones tenemos un generador de corriente por cada malla. Además tenemos los elementos C1, R1 y L1 sometidos a un potencial V1, mientras que C2, R2 y L2 están al potencial V2,
mientras que R y L tienen un potencial V1-V2, de forma que el circuito eléctrico de movilidad será:
Este procedimiento es correcto, pero trabajoso de realizar. En su lugar, tenemos un procedimiento mucho más rápido para obtener directamente el circuito eléctrico de movilidad a partir del circuito mecánico por simple inspección del mismo. Para ello seguiremos los siguientes pasos (que son los realizados por ANALOGIA.EXE para la creación del circuito análogo): Definimos un punto de masa eléctrica. Las masas mecánicas se transforman en condensadores con uno de sus extremos unido a la masa eléctrica. Las fuerzas mecánicas se transforman en generadores independientes de corriente que salen de la masa eléctrica. Los resortes se transforman en bobinas de valor 1/k o lo que es lo mismo, Cm. Las resistencias mecánicas se convierten en conductancias eléctricas, o lo que es lo mismo, en resistencias de valor 1/Rm. Se unen a la masa eléctrica todos aquellos elementos que están conectados a la tierra en el circuito mecánico. Se unen los elementos eléctricos (los pines que queden libres tras aplicar las reglas anteriores) uniendo los elementos eléctricos entre si tal y como estén conectados los elementos mecánicos análogos.
Veamos un ejemplo de conversión a través de este sistema obtenido con ANALOGIA.EXE:
De esta forma hemos conseguido el circuito eléctrico a través de la analogía de movilidad. En caso de querer obtener el análogo de impedancia, podemos obtenerlo a partir del anterior obteniendo su dual, tal como explicaré en el punto siguiente.
Principio de dualidad en circuitos eléctricos Se llama "principio de dualidad" a una serie de analogías y semejanzas que vamos a ver a continuación, y que nos permitirán el cambio entre los circuitos de movilidad e impedancia: Los lemas de Kirchoff de nudos y mallas son, en cuanto a su enunciado, prácticamente idénticos si se sustituyen las palabras malla por nudo y corriente por tensión. La asociación de resistencias en serie se realiza igual que la asociación de conductancias en paralelo y viceversa. Lo mismo ocurre con la asociación de condensadores en serie o paralelo y bobinas en paralelo o serie, respectivamente. Las expresiones instantáneas de la variación de la tensión en bornas de un condensador (C) y la corriente a través de una bobina (L) son idénticas si cambiamos capacidad (C) por autoinducción (L) y corriente por tensión:
Los métodos de análisis por mallas y por nudos, son totalmente análogos en su aplicación si se sustituye malla por nudo, generador de corriente por generador de tensión, tensión de malla por corriente de nudo, etc. Sea el siguiente circuito de impedancia:
En el circuito de impedancia, al plantear las ecuaciones de malla, se obtiene:
Sea el siguiente circuito de movilidad:
y al plantear las ecuaciones de nudo en el circuito de movilidad, resulta:
Las dos ecuaciones anteriores son formalmente idénticas; cuando esto sucede, se dice que los circuitos de los que proceden son duales. Todo esto nos permite establecer una determinada correspondencia entre circuitos duales con lo que pasaremos de una analogía a otra: Las mallas se transforman en nudos y a la inversa. Los elementos en serie se transforman en elementos en paralelo y a la inversa. Las resistencias se transforman en conductancias (1/R) y a la inversa. Las inductancias se transforman en capacidades y a la inversa. Las fuentes de corriente se convierten en fuentes de tensión y a la inversa. La suma de las caídas de tensión a lo largo de los elementos en serie de una malla corresponde a la suma de las corrientes en un nudo.
Método práctico de cambio de analogía (Movilidad a Impedancia) Como hemos visto, lo normal (ANALOGIA.EXE también lo hace así) es crear el análogo de movilidad de el circuito mecánico. Si queremos obtener el análogo de impedancia, podemos obtenerlo a partir de el circuito eléctrico de movilidad a través de la propiedad de dualidad. En la práctica, existe un método gráfico que permite de forma simple obtener el circuito de movilidad a partir del de impedancia. Es el llamado "método del punto". Sea el siguiente circuito mecánico de movilidad generado a partir de un sistema mecánico determinado:
El procedimiento es el siguiente: Marcamos un punto en el centro de cada malla del circuito y otro fuera (malla dato), numerando sucesivamente todos los puntos. Unimos todos los puntos mediante líneas, de modo que pase una línea a través de cada elemento y que ninguna línea pase a través de más de un elemento. Dibujamos un nuevo circuito de modo tal que cada línea que une dos puntos contenga ahora un elemento inverso del que la línea corta en el circuito original (se cambian bobinas por condensadores y a la inversa, generadores de corriente por generadores de tensión, y resistencias por resistencias). De esta forma se obtiene el circuito dual, esto es, hemos conseguido obtener el análogo de impedancia (y de igual forma se haría para obtener el de movilidad a partir del de impedancia):
Bibliografía 1. Antonio Rodríguez Rodríguez. Electroacústica (Tomo 1). Editorial: Departamento de publicaciones de la E.U.I.T. de Telecomunicación. UPM, 1982. 2. Manuel Recuero López. Acústica. Editorial: Departamento de publicaciones de la E.U.I.T. de Telecomunicación. UPM, 1980.
