MECÁNICA
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Analogía Eléctrica en los Sistemas Mecánicos Vibratorios Desde hace tiempo se ha adoptado el método de la analogía eléctrica como recurso para comprender otro tipo de sistemas físicos, basado en la facilidad con la que se asimilan las leyes de Kirchhoff, que bajo determinadas condiciones tiene parecido con, por ejemplo, el segundo principio de Newton, sustento principal en el estudio de la mecánica clásica y vectorial. Dos sistemas físicos son análogos cuando la ecuación diferencial que los describe es la misma. Analogía Fuerza Tensión: Un vínculo entre sistemas que se modela por circuitos en serie, con una tensión como excitación externa. Esta analogía es sencilla de reproducir en un laboratorio, pero es complicada de aplicar para sistemas mecánicos extensos. Analogía Fuerza Corriente: Se modela por circuitos en paralelo, con una fuente de corriente independiente como excitación externa. Esta analogía es más fácil de aplicar en sistemas mecánicos extensos y sobre todas las cosas tiene más sentido físico que la analogía Fuerza Tensión, ya que vincula parámetros absolutos con absolutos, y relativos con relativos. Es necesario siempre indicar referencia absoluta de velocidades (tierra en caso del circuito equivalente). Su desventaja es la dificultad de ensayar en el laboratorio laboratorio con fuente de corriente. Se muestra a continuación la tabla de correspondencia de elementos de los sistemas:
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Números adimensionales Las relaciones indicadas a continuación corresponden a la analogía fuerza tensión, y sirven para hacer el análisis del sistema mecánico con un circuito eléctrico en un laboratorio, ya que se piensa que se tiene más disponibilidad para modificar elementos eléctricos que mecánicos. Cuando se modifique un elemento del sistema mecánico, el circuito eléctrico que lo interpreta deberá respetar estas relaciones: m1 m2
L1
k1
L2
k2
C2
C1
o
e oe
e L C k/m
F m kx
Em C
²
q
km
R² C L
Y de esta forma se podrá predecir su comportamiento de una manera más sencilla.
Diagrama de un sistema mecánico elemental perturbado y sus equivalentes eléctricos
Modelado a condiciones iniciales nulas, tomando cualquiera de las dos analogías, fuerza tensión (serie) ó fuerza corriente (paralelo), y su planteo por Kirchhoff, se llega por la analogía citada a la ecuación de Newton, en dominio de la velocidad y luego se pasa a dominio de la posición, para que desaparezcan las integrales.
L
di
Ri
1
t
i dt E
t
2 d x dx dv kx F m v k v dt F m 2 t dt dt dt du 1 1 0 u u dt I C dt R L0
dt
ANALOGÍA ELÉCTRICA
C 0
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Ejercicio 1:
Para el circuito mecánico mostrado, se pide plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que describe su dinámica por el método de la analogía eléctrica
Solución:
Si se modela la analogía “Fuerza Tensión”, como el sistema mecánico tiene 2 grados de libertad, el circuito eléctrico análogo tendrá 2 mallas. Donde las masas se asocian a inductancias, los resortes a la inversa de la capacidad, los amortiguamientos viscosos a resistencias, los desplazamientos a cargas eléctricas, las velocidades a corrientes, y las fuerzas excitatrices a fuentes de tensión.
Se plantea la 2da Ley de Kirchhoff, deriva en dos ecuaciones integro-diferenciales de las mallas: L1 L2
di1 dt di2 dt
R1i1
t
1
t
i d R i i C (i i ) d E 1
C1
R3i2
1
2
1
2
1 C3
1
2
1
2 0
0
t
i
2
d R2 i2 i1
0
1 C2
t
(i i ) d E 2
1
2
0
Expresando en función de la carga eléctrica: L1 L2
d ² q1 dt ² d ² q2 dt ²
R1
dq1
R3
dq2
dt dt
1 C1
dq1 dq2 1 C ( q1 q2 ) E 1 dt dt 2
q1 R2
1 C3
dq2 dq1 1 C ( q2 q1 ) E 2 dt dt 2
q2 R2
Haciendo la conversión citada: dx1 d ² x1 dx1 dx2 m1 dt ² 1 dt k1 x1 2 dt dt k2 ( x1 x2 ) F1 m d ² x2 dx2 k x dx2 dx1 k ( x x ) F 3 3 2 2 2 2 2 1 2 dt ² dt dt dt
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Y estas son las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica, fueron obtenidas sin considerar el sentido de los vectores, y sin hacer diagramas de cuerpo libre. Una solución eléctrica a un problema de mecánica. En caso de usar la analogía Fuerza Corriente:
C1 C2
du1 dt du2 dt
1 R1
1 R3
u1
1 L1
u2
t
1
u d R
u1 u2
1
2
0
1 L3
t
u
2
0
d
1 R2
t
1 L2
u2 u1
(u
1
u2 ) d I 1
0
1 L2
t
(u
2
u1 ) d I 2
0
Convirtiendo luego este sistema de ecuaciones diferenciales al mecánico que corresponda, que de estar bien debe ser igual al obtenido por analogía Fuerza Tensión, ya que el circuito es dual. Esta analogía vincula fuerzas con corrientes, lo cual es correcto conceptualmente porque son parámetros absolutos. Al igual que el vínculo entre el potencial del nodo y la velocidad, ya que para medirlas siempre se necesita una referencia absoluta. Ya sea un punto fijo en el sistema mecánico, como la puesta a tierra en el circuito eléctrico equivalente.
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Ejercicio 2:
En el caso de tener un sistema con menos elementos excitatrices y menos elementos pasivos
Demostrar que las ecuaciones que describen la dinámica son, para este caso:
d ² x1 dx1 dx2 m 1 1 k1 x1 0 ² dt dt dt m d ² x2 dx2 dx1 dx2 F 1 2 dt 2 dt ² dt dt Solución: Aplicando la 1ra Ley de Kirchhoff en la Analogía fuerza corriente, se tiene que:
Analogía Fuerza Tensión
Analogía Fuerza Corriente
t t du1 1 1 dv1 u1 u2 u1 d 0 m1 1 v1 v2 k1 v1 d 0 C1 dt R L dt 1 1 0 0 m du2 1 u u 1 u I m dv2 v v v F 1 2 1 2 2 2 dt R1 2 1 R2 2 2 dt
Pasando después las ecuaciones a dominio de la posición, queda demostrado
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Ejercicio 3: Plantear las ecuaciones diferenciales para el Absorbedor de vibraciones. Solución:
Éste es un absorbedor de vibraciones dinámicas, un sistema mecánico con tres grados de libertad, el cual uno de ellos tiene masa despreciable. Cuando se presenta un elemento que interesa su movilidad, pero su inercia es despreciable, se lo modela como cortocircuito en la analogía fuerza tensión, y como circuito abierto en la analogía fuerza corriente.
Analogía Fuerza Tensión, notar que la malla 3, que está asociada al grado de libertad 3, no tiene inductancia dibujada. (2da Ley de Kirchhoff a las tres mallas aisladas).
Analogía Fuerza Corriente, en el nodo 3 que corresponde al grado de libertad 3, no hay un capacitor referido a tierra, ya que éste es un representativo de la inercia, y como es despreciable, no se conecta en el circuito equivalente. (1ra Ley de Kirchhoff a los tres nodos distintos del de referencia).
Las ecuaciones diferenciales para los tres grados de libertad son, finalmente: m1
d ² x1 dt ²
k1 x1 k 2 ( x1 x 2 ) k 3 (x1 x 3 ) F1
dx dx 1 2 3 k 2 ( x2 x1 ) 0 dt ² dt dt dx dx 1 3 2 k3 ( x3 x1 ) 0 dt dt
m2
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d ² x2
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Ejercicio 4: Plantear las ecuaciones para un sistema de masas acoplado con una polea de
momento de inercia y radio conocidos.
Solución: Se debe observar en este particular sistema, que la polea está gobernada bajo el
mismo grado de libertad que la masa 2, ya que entre ellas no hay ningún elemento de acople (resorte ó amortiguador), por lo que contribuyen en forma aditiva a la masa equivalente del segundo grado de libertad (en caso de que exista elemento de acople entre la polea y la masa2, el sistema tendría cuatro grados de libertad en lugar de tres). En analogía Fuerza Corriente, el modelo viene descripto por:
Como hay tres grados de libertad, se requieren 3 nodos con potenciales diferentes, una fuente de corriente aplicada al primer nodo. Los elementos de inercia, tanto masas como momentos de inercia van referidos a tierra en esta analogía, es por ello que los capacitores se colocan como se muestra. Como regla general, los elementos que pertenecen puramente a un grado de libertad (que no se comparten), van desde su nodo representativo a tierra. En el caso de la analogía fuerza tensión, irán colocados en la malla pero sin compartir con la otra malla.
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Se plantea la ¡ra Ley de Kirchhoff para el circuito equivalente (a condiciones iniciales nulas): I C1
du1
dt
0 C C2 0 C3
du3
dt
1 R1
u1 u2
du2 dt
1 R2
1 R1
1 L1
t
u u d 1
u2 u1
u3 u2
2
0
1 R2
u2 u3
1 L1
t
u
2
u1 d
0
t
1
u
L2
3
d
0
Pasando al Sistema mecánico se tienen las ecuaciones pedidas. La salvedad aquí respecto de lo que se vio antes es que se debe referir el momento de inercia a una masa traslacional equivalente. Esto se logra dividiendo el valor de “J” por el cuadrado del radio “r”, para que tenga unidades de masa y sea compatible con el resto de los elementos. F m1
dv1 dt
t
1 v1 v2 k1 v1 v2 d 0 t
J dv 0 2 m2 2 1 v2 v1 2 v2 v3 k1 v2 v1 d r dt 0 0 m3
dv3 dt
t
2 v3 v2 k2 v3 d 0
dx dx 1 1 2 k1 ( x1 x2 ) dt ² dt dt J d ² x2 dx dx dx dx 1 2 1 2 2 3 k1 ( x2 x1 ) 0 m2 r ² dt ² dt dt dt dt d ² x3 dx dx 2 3 2 k 2 x3 0 m3 dt ² dt dt F m1
d ² x1
Si se hubiera adoptado la analogía fuerza tensión, el análogo eléctrico es:
Las inductancias en serie en la segunda malla corresponden a la masa 2 y a la polea sumadas en el segundo grado de libertad. ANALOGÍA ELÉCTRICA
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Ejercicio 5: Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales para el juego de péndulos acoplados
por un resorte. Se considera la fuerza como pulsante.
Solución: Conviene pensar los desplazamientos angulares como leves desplazamientos, 4 grados
de libertad que en realidad son engañosos, ya que se debe tener presente que el desplazamiento tanto al extremo de la barra como a la mitad están vinculados. Al tener relación lineal los grados de libertad, se modela entre ellos una comunicación por medio de un transformador ideal en la analogía eléctrica. Los grados de libertad “independientes” son dos.
En la figura se muestran los grados de libertad considerados, y abajo su circuito eléctrico equivalente, en el cual se ponen en evidencia tanto las fuerzas activas como reactivas. Entre los grados de libertad 1 y 3, el elemento de acople es el resorte, representado como inductancia en el circuito; luego en los grados de libertad 2 y 4 se tienen masas puntuales, por lo que se modela capacitor referido a tierra.
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Se considera además la fuerza reactiva que aparece debido al campo gravitatorio, el cual tiende a restablecer la posición de equilibrio con una fuerza que se opone al crecimiento del ángulo comprendido entre el eje vertical y la varilla. Esa fuerza restauradora es modelada como una fuente de corriente invertida, ya que físicamente hace que el desplazamiento disminuya. Las ecuaciones de Kirchhoff aplicadas a los nodos y las de balance de energía se muestran a continuación: t 1 0 I1 u1 u3 d L 0 u1 I1 u2 I 2 , u3 I3 u4 I 4 du2 Ig1 I 2 C1 u1 a I 1 b dt , t 1 u2 b I 2 a 0 I 3 u3 u1 d u3 a I 3 b L 0 , du u4 b I 4 a I 4 I C2 4 Ig2 dt Relación entre los grados de libertad vinculados: aplicar semejanza de triángulos. Una vez obtenía la relación de desplazamientos, se deriva para tener la relación de velocidades, luego se pasa al plano eléctrico, ya que la velocidad está relacionada con el pontencial en cada nodo.
x1 x2
a b
v1 v2
a b
u1 u2
a b
Con el grado de libertad 3 y 4 se hace el mismo razonamiento. Y esto es lo que justifica la relación de espiras en los transformadores colocados en el circuito equivalente.
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Operando y vinculando: 2 t du2 1a Ig1 u2 u4 d 0 C1 dt Lb 0 2 t du4 1a I C2 dt Ig2 L b u4 u2 d 0
2 t dv2 a Fg1 k v2 v4 d 0 m1 dt b 0 2 t dv4 a F m2 dt Fg 2 k b v4 v2 d 0
Teniendo presente la conversión de desplazamientos a ángulos barridos (variable original): 2 a Fg1 k x2 x4 Fg1 m1 g sin 1 cos 1 m1 g 1 , 0 m1 dt 2 b Fg 2 m1 g sin 2 cos 2 m2 g 2 2 2 d x4 a x b, x b F m2 Fg k x x 4 2 b 4 2 2 1 2 dt 2
d 2 x2
Se toma Fg1 como la proyección sobre la horizontal de la fuerza viva reactiva del peso, ya que la otra componente se compensa porque está en dirección de la varilla.
El sistema de ecuaciones diferenciales queda expresado así:
d 2 1
2
a 0 m1 b 2 m1 g 1 k b 1 2 dt b 2
a F m2 b m g k 2 2 b b 2 1 2 dt 2
d 2
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Ejercicio 6: Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales para la cadena cinemática de
transmisión, por el método de la analogía eléctrica. Referir las ecuaciones al desplazamiento “x”.
Solución: Un sistema mecánico con componentes de traslación y rotación. Se aplica un torque ó
cupla al cuerpo rígido de momento de inercia conocido, luego por medio de ruedas dentadas con relación de transmisión conocida, se transmite el movimiento al segundo sólido, de momento de inercia y radio conocido. Éste tiene un cabrestante que sujeta una masa con rozamiento viscoso y un resorte, los cuales limitarán el movimiento. Se desprecia el rozamiento en los ejes, aunque también se puede resolver con los modelos conocidos, sólo para simplificación. Como circuito equivalente en analogía fuerza corriente, se tiene lo siguiente: las capacidades representan la inercia, ya sea de traslación ó de rotación según corresponda, la fuente de corriente a la derecha, representa el torque excitatriz, los potenciales son las velocidades angulares en los sólidos y la velocidad de traslación cuando se considera el desplazamiento “x”, a la izquierda. La resistencia es el amortiguamiento viscoso, la inductancia es la constante elástica del resorte antagónico. Los transformadores intermedios representan la cadena cinemática de transmisión como ruedas dentadas (derecha) y la conversión de velocidad angular a velocidad de traslación (izquierda).
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Aplicando la 1ra de Kirchhoff a los nodos, se tiene lo siguiente: du1
I C1
I 2 C2
dt
(1)
I 3
dt
du
I 4 C
I 1
dt du1
1 R
(2)
u
1 L
t
u d
(3)
0
Luego, se deben poner en evidencia los vínculos comprendidos, que corresponden a los “transformadores mecánicos”. Lo que primero se debe tener presente es el balance de potencia, la cual no se pierde en los transformadores, ya que se considera de que las ruedas dentadas engranan perfecto, y que no hay deslizamiento entre el cabrestante y el sólido rotante.
u1 I1 u2 I 2 u2 I 3 u I 4 Para la rueda dentada, se tiene que:
u1 u2
d 1 d 2 d1 dt N1 N 2 u1 N1 u2 N 2 d 2 dt dt dt
Quedando, como ecuaciones fundamentales de conversión:
u1 u2
N 2 I1 N ; 1 N1 I 2 N 2
(4)
Para la relación entre el desplazamiento entre el rígido y la masa de traslación:
r
d 2
u u2
dt
r ;
dx
dt I 4 1 I3
r
(5)
Esto es lo mismo que decir que “velocidad = omega x radio“, sólo que está en términos diferenciales.
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Operando y vinculando las ecuaciones, se tiene que:
C1 N 2 C2 N1 N1 I (t ) Cr r N r N 2 N2 1
du N1 dt N 2
r u R
N1 N2
r t u d L0
Pasando al dominio mecánico:
J1 N 2 J 2 N1 N1 d 2 x N1 T (t ) mr 2 N 2 dt N 2 r N1 r N 2
dx r dt
N1 N2
k r x
Notar que los transformadores no son separadores de grados de libertad, es decir, los desplazamientos angulares y el desplazamiento de traslación, al estar relacionados, expresan el mismo grado de libertad en distinta forma, es por ello que el sistema de ecuaciones diferenciales se reduce a una sola ecuación de 2do orden, lineal y a coeficientes constantes. Muy fácil de resolver dependiendo de las constantes y del tipo de perturbación que haya. 2
T (t ) a
d x dt
2
b
dx
cx
dt
Sólo para la estadística, se pone en evidencia el circuito eléctrico equivalente, en el caso que se utilice la analogía “fuerza tensión”, que como se dijo, es más difícil de comprender, pero es la que sirve para reproducir en un laboratorio eléctrico el comportamiento del sistema mecánico.
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