Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si

BAHAN AJAR PERKULIAHAN Drs. Drs. SUPR SUPRIYO IYONO NO,, M. M.Si. Si.

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2008

1

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





















S istem tem B ilangan ilangan Komplek Komp lek s

BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

1.1. Sistem Bilangan Kompleks Sebagai Suatu Aljabar Definisi 1.1: 1.1: Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan bilangan real x dan y , yang dinyatakan oleh ( x, y ). Lambang bilangan kompleks, kita gunakan z, yang berarti z = ( x, y ). Himpunan semua pasangan terurut dengan operasi – operasi operasi tertentu yang sesuai padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. Definisi 1.2: 1.2: « =

÷ x ÷ = {( x, y ) : x  ÷, y  ÷}.

z   ( x K , y K )

 1,2 , k 

.

z1  z 2  x1  x 2 , y1  y 2 . z = ( x, y ), x  Re ( z) atau R( z) y  Im( z) atau I( z). z1  z 2  ( x1  x 2 , y1  y 2 ) . z1  z 2

  x1  x2 , y1  y 2  .

z = ( x, y ) e «

: bilangan kompleks.

(«, +, ∏ ) : sistem sistem bilangan kompleks.

Teorema 1.1 («, +, ∏ ) merupakan suatu lapangan ( field ). ). Bukti: 1.

(«, +) group ko mutatif  1.1. z1  « , z 2  « Ωz1  z 2  «. Ambil Sebarang z1 , z 2  «.

z1  « Ω z1   x1 , y1  , x1  ÷ , y1  ÷. , y 2  , x2  ÷ , y 2  ÷. z 2  « Ω z 2   x2 , y

Jadi z1  z 2   x1  x2 , y1  y 2   «. 1.2.  z1 , z 2 , z 3  « : ( z1  z 2 )  z 3  z1  ( z 2  z 3 ) . Ambil Sebarang z1 , z 2 , z 3  «.





















z1  ( z 2  z 3 )  ( x1 , y1 )  ( x 2  x3 , y 2  y 3 )

  x1  ( x 2  x 3 ) , y 1  ( y 2  y 3 )  . (÷, +) memenuhi ( x1  x 2 )  x 3  x1  ( x 2  x3 ) dan ( y1  y 2 )  y 3  y1  ( y 2  y 3 ) . Jadi Jadi ( z1  z 2 )  z 3  z 1  ( z 2  z 3 ) . 1.3.  n  «  z  n  z  n  z , z  «. Ambil Sebarang z  « . Misal : z = ( x, y ) dan n =  n1 , n2  . z + n = z. ( x + n 1, y + n 2) = ( x, y ). x  n1  x y  n2 

¤

n1  0

‹ y › n 2

 0

 n   0 , 0  .

Jadi 0 = (0, 0)  « bersifat z + 0 = z = 0 + z

 z  «.

1.4.  z  «  t  «  z  t   0  t   z . Ambil Sebarang z  « . Misal : z = ( x, y ) , t = =  t 1 , t 2  . z + t = = 0 Ω ( x +t 1, y +t 2) = (0,0). x  t 1  0 y  t 2  0

¤

t 1   x

‹ › t 2

  y

.

x , – y y ) = – z z . Jadi t = = ( – x 2.

(« – {0} , ∏ ) group komutatif  2.1. z1  « , z 2  « Ω z1. z 2  «. Ambil Sebarang z1 , z 2  «.

, y1  , x1  ÷ , y1  ÷. z1  « Ω z1   x1 , y

z 2  « Ω z 2   x2 , y 2  , x2  ÷ , y 2  ÷. z1. z 2   x1 . x 2 - y1. y 2 , x1 . y 2  x 2 . y1  .

 x1. x2 - y1. y2   ÷,  x1 . y2  x2. y1   ÷. Jadi z1.z 2  «. 2.2.  z 1 , z 2 , z 3  «,  z1. z 2  . z3  z1 .  z 2 . z3  . Ambil Sebarang z1 , z 2 , z 3  «.

z1. z 2   x1 . x 2 - y1. y 2 , x , x1 . y 2  x2 . y1  .

 z1. z 2  . z3   x1. x2 - y 1. y 2 , x1 . y 2  x 2 . y1 . x 3 , y 3    x1.x 2 .x3  y1.y 2 .x3  x1.y 2 .y 3  x 2 .y1.y 3  ,  x1.x 2 .y 3  y1.y 2 .y 3  x1.y 2 .y 3  x 2 .y1.x3 






















2.3.  !u  «, u  0  zu  z  uz ,  z  « .

Ambil Sebarang z  « . Misal u   u1 , u 2  , z   x, y  . zu = z   xu xu1  yu y u 2 , xu 2  yu y u1    x , y 

Diperoleh xu1  yu y u 2  x dan

xu xu 2  yu y u 1  y

Jadi u1 

x

 y

y

x

x

 y

y

x

 1 dan u 2 

x

x

y

y

x

 y

y

x

 0.

Jadi u = (1,0) = 1 2.4.  z  « – {0}  ! s  «, zs  1  sz .

Ambil Sebarang z  « – {0}. {0}. Misal z = ( x, y ) dan s  ( s1 , s 2 )

z  « – {0} {0}  z   x, y    0, 0  x  0 y  0 y s 2 , ys1  xs 2   zs = 1   xs1  ys

1, 0 .

Diperoleh xs1  ys y s2  1 dan

ys1  xs 2  0

Jadi s1 

1

 y

0

x

x

 y

y

x



x 2 x2  y

dan s 2 

≈

{0}  ! s  ∆ Jadi  z   x, y   « – {0}

x

1

y

0

x

 y

y

x

x

∆ 2 « x  y

, 2



 y x 2  y 2

 y x

2

.

÷ «

’

 y2 ◊

2.5.  z1 ,z , z 2  « z1.z 2  z 2 .z1 . Ambil Sebarang z1 , z 2  «.

x2  y1. y y 2 , x , x1. y y 2  x1. y y 2    x2 . x x1  y 2 . y y1 , y , y 2 . x x1  y1. x x2   z 2 .z1 . z1.z 2   x1. x Jadi z1.z 2  z 2 .z1 . 3.

 z1 ,z , z 2 ,z , z 3 

«

z1  z 2  z 3   z 1 . z z 2  z 1 . z z 3 .

Ambil Sebarang z1 , z 2 , z 3  «.

z1  z 2  z 3    x1 , y1 . x 2  x 3 , y2  y 3 

  x1  x 2  x3   y1  y 2  y3  , x1  y 2  y 3   y1  x2  x 3    x1.x 2  x1.x3  y1.y 2  y1. y3 , x1.y 2  x1.y 3  y 1. x2  y 1.x3 





















1.2. Sistem Bilangan Kompleks Sebagai Perluasan dari Sistem Bilangan Real C 0  ( x,0), x  ÷} z1  ( x1 ,0)  C 0 dan z 2  ( x2 ,0)  C 0 . z1  z 2  ( x1  x 2 ,0)  C 0 z1 . z z 2  ( x1 . x 2 , 0)  C 0

Definisi 1.3: 1.3: 11 f : : ÷ T C0 oleh oleh f ( x) = ( x,0) , maka f : : ÷     C 0 pada

Misal f ( x1) = f ( x2) ( x1 ,0)  ( x 2 ,0) Ω x1  x 2 11    C0 . Jadi f : R 

Misal z  C0 sebarang z = ( x,0), x  R bersifat f ( x) = ( x,0) = z pada  C o Jadi f : : ÷  z2

x1 x2

÷

C0

 x1  x 2    x1  x2 , 0   x1 , 0   x2 , 0  f ( ( x1 )  f ( ( x2 ) . f  ( x1 . x 2 )  ( x1.x 2 , 0)  ( x1 ,0) ( x 2 , 0)  f ( ( x1 ). f ( ( x 2 ) . f ( x1 f ( ( x1 )

x1 . x x2

x1  x 2 x 2

f ( ( x1 )  f ( ( x 2 )

( x1 ). f ( ( x 2 ) f ( ( x 2 ) f (

(C 0 , , ) sistem aljabar aljabar dianggap identik dengan (÷, +,  ). Jadi ( x, 0) = x dan dan C 0  «. Jadi (C 0 , , ) dianggap sebagai sebagai perluasan dari (÷, +,  ). (a,0).( x, y ) = a ( x, y ) = ( ax, ay ). Jadi a ( x, y ) = ( ax, ay ) a  ÷, ( x, y )  « . (0, 1).(0, 1) = ( – 1, 1, 0) = – 1 , (0,1) = i . 2 Jadi i = – 1. 1. ( x, y ) = ( x, 0) + (0, y ) = ( x, 0) + y (0,1) = x + yi iy iy






















1.3. Bilangan Bilangan Kompleks Kompleks Sekawan Definisi 1.4: 1.4: Jika z = ( x, y)  « maka z = ( x, – y)  « disebut bilangan kompleks sekawan dari z . Sifat konjugasi 1.  z   z selanjutnya  z   z 2.  z1  z 2   z1  z 2 Bukti : z k  ( x k ,y k ) , k  1 , 2 z1  z 2  ( x1  x2 , y , y1  y 2 ) z1  z 2  ( x1  x 2 ,  ( y1  y 2 ))  ( x1  x 2 ,  y1  y 2 ) z1  ( x1 ,  y1 )

, z 2  ( x2 ,  y 2 )

z1  z 2  ( x1  x 2 ,  y 1  y 2 )  z1  z 2

3. z1  z 2  z1  z 2 Bukti : Misal z  z1  z 2 z1  z  z 2 z1  z  z 2  z  z 2 z1  z 2  z  z1  z 2 z1  z 2  z 1  z 2

4. z1 . z 2  z1 . z 2 Bukti : z1.z 2  ( x1 x 2  y1 y 2 , x1 y 2  x2 y1 ) z1 . z 2  ( x1 x2  y1 y 2 ,  x1 y 2  x 2 y1 ) z1  ( x1 ,  y1 ) ¤

‹ z1 . z 2  ( x1 x 2  y1 y 2 , x1 y 2  x 2 y 1 ) z 2  ( x 2 ,  y 2 ) ›

z1 . z 2  z1 . z 2

≈z z 5. ∆∆ 1 ÷÷  1 , z 2  0 z 2 « z2 ◊ Bukti : z Misal 1  z , z1  z . z 2 z 2 ’























6. z . z  x 2  y 2 7. z  z  2 Re ( z ) 8. z  z  2i Im ( z ) 1.4. Nilai Mutlak Bilangan Kompleks Definisi 1.5: 1.5: Nilai mutlak bilangan kompleks didefinisikan sebagai z 

x

2

 y2

 z   x, y  

«

Sifat nilai mutlak 1. z  0 ,  z  « 2. 3. 4.

z  0  z  0 z. z  z z 1 . z 2

2

 z1 z 2

Bukti : z1.z 2

2

2

 ( z1.z 2 ).( z1.z 2 )  ( z1.z 2 ).( z1.z 2 )  ( z1.z1 ).( z 2 .z 2 )  z1 . z 2

Jadi z1.z 2  z1 . z 2 5.

z1 z2

z1



z2

, (z 2  0)

Bukti: Misal z 

z1 z 2

, z1  z.z 2

z1  z. z z 2  z . z 2 z 

z1 z 2

2






















Bukti: z1  z 2

2

    z z  z 

  z1  z 2  z z1  z 2

  z1  z 2

1



2



 z1 z1  z z1 .z 2  z1.z 2  z 2 z 2 2





 z1  z1.z 2  z1.z 2  z 2



2



 z1  2 Re z1 z 2  z 2 2

 z1  2 z1 z 2  z 2   z1  z 2



2

2

2

2

Jadi z1  z 2  z1  z 2 9.

z1  z 2  z1  z 2

Bukti: z1  z 2

 z1    z 2   z1  -z 2  z1  z 2

Jadi z1  z 2  z1  z 2 10. z1  z 2  z1  z 2 Bukti: z1  z1  z 2  z 2 z1  z1  z 2  z 2 z1  z 2  z 1  z 2 z 2  z 1  z 2  z1  z 1  z 2 z1  z 2   z1  z 2

 z 1  z 2  z1  z 2  z 1  z 2 Jadi z1  z 2  z 1  z 2 1.5. Geometri Bilangan Kompleks





















x  r cos y  r sin sin

¤  ‹r  ›

2 2 z  x  y

(q, r ) menentukan z secara tunggal 2

z = ( x, y )diketahui fl fl r  x  y

2

Dua bilangan kompleks yang sama  x1 ,y1    x2 ,y2   x1  x 2 , y1  y 2 atau



,r    2 ,r 2   r 1  r 2 ,

1 1

2



1

 2k 

A. Bilangan kompleks dipandang sebagai vektor z1   x1 , y1  , z 2   x 2 , y 2  z1  z 2   x1  x 2 , y1  y 2 

z1 + z2

z1

z2 z1  r 1  cos

 z 2  r 2  cos 2  i sin 2  z1.z 2   x1 x 2  y1 y 2   i  x1 y 2  x 2 y1    r 1 cos 1. r 2 cos 2  r 1 sin 1. r 2 sin 2   i r 1 cos  r 1 r 2  cos  1  2   i sin  1  2   1

 i sin

1

1

.r 2 sin

z1 z 2  z1 z 2 , arg z1 z 2  arg z1  arg z 2

z = z . z

~  OEZ 1 OZ 2 Z ~

2

 r 2 cos

2

.r 1 sin

1























S istem tem Bilangan ilangan Komplek Komp lek s

z1 z 2

z1

 z  z 

z2

 arg z1  arg z  arg z 2 z1

z 

z1 z 2

z2 E

w= v.z

w  vz  z v 1 z



arg w  arg v  arg z 



arg v 



Latihan! 1.

Diketahui

: Bilangan kompleks z = A OABC bujur sangkar Ditanyakan : Tentukan B, C dinyatakan dalam z

B C A= z





















3.

Diketahui

: ABCD bujur sangkar OA = z 1, OB = z 2 Ditanyakan : Tentukan C dan D yang dinyatakan dalam z 1 dan z2

C D

B A : OA = z 1, OB = z 2, D ABC sama sisi Ditanyakan : Tentukan C

4.

Diketahui C

A

B

1.6. Rumus Rumus de Moivre Moivre z k  r k  cos

k



 i sin

z1.z 2  r 1r 2  cos  1 

2

k

  i sin 

1



2



n

untuk z 1  z 2  ...  z n , maka z dapat ditentukan sebagai berikut : z  r  cos n  i sin n n

n

Catatan z  r  cos

 i sin



, n  A.

 Ω z n  r n  cos n

 i sin n  , , n  A

untuk n n ∆ O

n = O ; z = 1 r  cos  O .   i sin  O .   11  O   1 n = O benar untuk n 1 1 n  -m  z n  z  m  m  m z r  cos m  i sin m O













































S istem tem Bilangan ilangan Komplek Komp lek s

cos n  cos   n     2k  ≈

wO  n r ∆ cos

n

«

w1 

n

»

2 ’

≈

r cos∆

÷

…

n

»

≈

r cos∆ …

«

n

÷

n◊

≈

 i sin ∆ «

 2n ’ ≈ ÷  i sin ∆ n « ◊

kesimpulan z  r  cos  i sin

 2k

’

◊

n

«

wn 

 i sin

 B)    (k 

 2 ’ ÿ ÷ Ÿ n ◊ ⁄  2n ’ ÿ ÷ Ÿ n ◊ ⁄

 »

≈

w n  z  wk  n r cos∆ …

«

 2k ’ ≈ ÷  i sin ∆ n « ◊

Contoh: 33 1. Tentukan Tentukan akar dari w5  (3  4i ) 5 Penyelesaian 32 32 32  4 2  32 3  4i  r   5 5 (3 + 4 i)

 2k ’ ÿ k  O ,1 , 2 , 3 ,..., , ..., n  1 ÷ Ÿ n ◊ ⁄





















Dari soal no.1 ≈

wO  2 ∆ cos «

5

 i sin

’ ÷

5◊

»

z O 

4 wO  1 3w O  2

4 2cos …



»

5

≈

3 2∆ cos …

«

5

 2 i sin  i sin

ÿ 5 ’ ÿ

≈

1

2 ÷ 5 ◊ Ÿ⁄

∆ 8cos «



’

5

«

◊

5

’

≈

∆ 6cos

 1÷  8 i sin

5

 2 ÷  6 i sin

◊

Latihan (lanjutan) 5. Diketahui: z1 , z 2 , z 3  « yang memenuhi z1  z 2  z 3  1 ,

= ... .

5

z1  z 2  z 3  O

Buktikan: z1 , z 2 , z 3 adalah titik sudut-titik sudut suatu segitiga samasisi! 6. Buktikan: z 2  ( z ) 2 Ω z  ÷ atau z = iy , y  ÷ . 7. Buktikan: zw  O  z  O atau w = O . 8. Buktikan: z  1 Ω z  w  1  w z  w  «. 9. Buktikan: z 

1 z

÷

ΩIm( z)

= O atau z  1.

1O .Buktikan: z , w , dan v terletak pada satu garis lurus 

≈

Im ∆

«

v  z ’ ÷  O w  z ◊

11.Buktikan: Im( z + w ) = O = Im ( zw ) Ω z  w atau z  ÷ , w ÷ .





















S istem tem B ilanga ilanga Komplek Komplek s

Latihan (lanjutan) 2O 12. Uraikan Uraikan z – 1 1 enjadi hasil faktor linear atau kuadratis. 2O Petunjuk: 1). Tentukan akar dari z =1 2). ( z

 )( z   )  z 2  (   ) z   

1.7. Topologi Wajar dari Bidang Kompleks z = ( x, y ), z 

w = ( u, v )

x 2  y 2

z  w 

( x  u )  ( y  v ) 2

= jarak dari titik ( x, y ) ke titik ( u, v ) zO  «, r > > O diketa hui N ( zO , r ) = { z  « : z  z O < r } : lingkungan r dari dari z O . *

N ( zO , r ) = { z  « : < z  z O < r } : lingkungan r dari dari z O tanpa z O .

r zO

z  z O  O z  z O  O  z  z O z  z O  O  z  z O

A. Himpunan Terbuk





















2. z3 z2

l

A

z1

B  A  l z1  A, z1  l Ω z1  A 0 (bukan titik dalam) z 2  A Ω z2  A 0 z 3  l Ω z3  A

0

A 0  A  B 

Jadi B tak terbuka C  A  l1

3. z2

z1  A, z1  l1 , z1  l 2 Ω z1  C 0

l1

z 2  l1 Ω z 2  C

A z 1 l2

0

z3  l 2 Ω z 3  C 0

z3

C 0  A  C 

Jadi C tak terbuka A  {( x, 0) p  x  q}

4.

z1  A Ω z1  A

0

z 2  ( p, 0) Ω z 2  A0 z3  ( q, 0) Ω z3  A0

(

)

0 z 4  ( x,0), p  x  q , z 4  A
























Contoh: 1.

z3 l z2

A

z1  A ,z1  l Ω z1  A z1

z2  A Ω z2  A z3  A ,z 3  l Ω z3  A A  A  l Jadi A tak tertutup.

2.

z2 l z3

A

B A l z1

z1  A, z1 l Ω z1  B z2 l Ω z2  B z3  A Ω z3  B

Jadi B A

l





















Bagaimana untuk nol? 1 À 1 ¤  r , m  n  1‹ jika N (0, r ) A  Ã m Õ m › 1 r   0  m A   r . m  0 : N (0, r )  A  {0} Jadi r  {0}  . Jadi 0 A . Jadi A  {0} {0} . C. Batas suatu hi mpunan di bidang kompleks Definisi 1.7: 1.7: Dipunyai A  « dan p «. disebut titik batas dari A jika

> 0 :

(

)

dan

(

)

c






















x A   r c S – A A = A x S  A Ω r

O

O

: N  x, r  A  ,

N  x, r  A  .

: N  x, r   S  A  

Jadi x

(A)

Jadi x

A  S  A  Ω x

(A)

Jadi A  S  A    (A) x (A) Ω  r > >

: N  x, r  A 

N  x, r  A  c

x A  S  A  x (A) Ω x





S  A

Jadi  (A)  A  S  A  .



Ω xA

Ω x S  A

dan





















3. l2

C  A  l2   C   l1  l2

A l1

4. l1 l2

A

  A   l1  l2






















E. Hubungan antara himpunan terbuka dengan himpunan tertutup. Teorema 1.4: 1.4: A terbuka  AC tertutup Bukti (dengan pengandaian): pengandaian): (Ω) Diketahui A terbuka, akan dibuktikan dibuktikan A C tertutup. (1) Andaikan AC tak tertutup. C A tak tertutup  A    A.  x A   x  A. Jadi  x C x A  x A . x  A

C

¤

O

 O , N ( x, r ) A  ‹ x A  A ,  r  A terbuka terbuka  A  A › O

O

A Ω

O

N (

)

A

....*)













































C

() Diketahui A tertutup, akan dibuktikan A terbuka. O Ambil sebarang x O A . O Karena x O A berarti  r > > O  N ( xO , r )  A.























2O























Li Limit Fungs Fungs i Komplek Komp lek s

BAB 2























xO  T atau merupakan titik batas dari T .











































































































































































































































































































































































































































































































































































































Teorema 4.2: Dipunyai f  z   u  x , y   iv  x , y  , z 0  x 0  iy 0 . Jika (1) u , v , (2)

u

u u v v , , , semua kontinu di ( x ,0 y ) 0 dan  x  y  x  y v

 x 0 , y 0  

 x u

 y

 x 0 , y 0 

dan

 x 0 , y 0    v  x 0 , y 0 

 y

 x

maka f  z 0  ada dan f  z 0  

u

 x 0 , y 0   i v  x 0 , y 0 

 x 

 x

v  y

 x 0 , y 0   i

u  y

 x 0 , y 0 

Teorema 4.3: 4.3: Dipunyai f  z   u  x , y   iv  x , y  , z 0  x 0  iy 0 . Jika (1)  r   0  u , v , (2)

u

 x , y  

u u v v semua kontinu pada N   x 0 , y 0  , r  dan , , ,  x  y  x  y

v

 x  y maka f analitik analitik di z 0.

 x , y 

dan

u  y

 x , y   

v  x

 x , y  ,  x , y   N  x 0 , y 0  , r 

Teorema 4.4: 4.4:

 0  f analitik Jika f analitik analitik di z0 maka  r  analitik di z  z  N  z 0 , r  1 A 0 Teorema 4.5: 4.5: 2 2 Dipunyai A  ÷ ,  x 0 , y 0   A 0 dan f : : A  ÷ .

Jika

 2 f  x y

dan

 2 f

kedua-duanya kontinu di  x 0 , y 0 

 y  x

2

maka

 f  x y

2

 x 0 , y 0  

 f  y  x

 x 0 , y 0  .

Contoh Kontra:

À

f  x , y  

2

Œ

Õ

x  y

2

,  x , y    0, 0  2 2 . x  y 0 ,  x , y    0, 0 

Œ xy





















Fungsi Fungs i Analitik Ana litik

Teorema 4.6: Jika f  z   u  x , y   iv  x , y  , z 0  x 0  iy 0 analitik di z 0 maka u dan v memenuhi persamaan laplace, yaitu

 2w  x 2



 2w

 0 .

 y 2

Bukti: Dipunyai f analitik analitik di z0. Jelas f  analitik di z 0. Jadi f  analitik di z 0. Dipunyai f  z   u  x , y   iv  x , y  . Jelas f  z  

u

i

 x

v  x

2

Jelas

i

 x 2

2

 v  x 2

2

 v  x y

i

 y

u

 y  x

dan

dan

 y

2



 v  y  x

2

 v



v

2

 u

f  z  



 u  x y

2

i

 u  y  x

2



 v  x y

2

i

 u  x y

.

2



 u  y  x

.

À u  v (1) Œ  x  y .  R Ã Jelas C  u v Œ 

 y Dari (1) :

 2u



 x

(2)

2v ¤

Œ  2v  2v  y 2  0 .  0 . ‹  2v Œ  x 2  y 2 (2):  2  y  x  x

Dari Dari (1) : (2):

 x y  2u 2u

 x 2 2  u  y 2



 2v ¤

Œ 2u  2u  y  x   0 ‹  2v Œ  x 2  y 2   x y Œ›

Definisi 4.3: 2 u: ÷  ÷ disebut fungsi harmonik di  x 0 , y 0  jika

 x 0 , y 0  . Jadi Jika f : : «  « analitik di z 0 maka: 2

u: ÷  ÷ harmonik di  x 0 , y 0  dan

 2u  x 2



2u  y

2

 0 di sekitar





















Konstruksi fungsi analitik jika bagian real diketahui. Diketahui: u ( x, y ) Konstruksilah fungsi f  z   u  x , y   iv  x , y  yang analitik. (1) Periksalah apakah u merupakan fungsi harmonik. (a) u buk bukan an fung fungsi si harm harmon onik ik Ω tida tidak k ada ada fung fungsi si  f  z   u  x , y   iv  x , y 

anal analiitik tik f

Ω lanjutkan ke (2). u fungsi harmonik Ω u u (2) Hitung dan .  x  y

(b)

u

(3) Pilih v  (4) Dari

v  y

 x



v

.

 y

, konstruksilah v  x , y  

(5) Dari hasil (4), hitunglah hitunglah

v  x



—

u  x

dy  c  x  .

u  y



 » u ÿ   u dy  c x    x … —  x  y



 » u ÿ u  . dy  c x      x … —  x  y

(6) Dari (5) dapat diperoleh diperoleh c  x  . (7) Konstruksilah Konstruksilah c  x  . Jadi diperoleh f  z   u  x , y   iv  x , y  yang analitik. Contoh: 2 2 y . Tentukan f  z   u  x , y   iv  x , y  yang analitik. 1) Dipunyai Dipunyai u ( x, y ) = x – y Penyelesaian: u u Jelas  2 x dan  2 y  x  y Jelas Jadi

 2u  x 2 2u  x 2

Dipunyai Jadi Jelas

v  y v

 2 dan 

 2u  y 2

v  y



2u  y 2

 2 .

 0 sehingga u fungsi harmonik. u  x

.

 2 x  v  x , y   — 2 x dy  c  x   2 xy  c  x  . 2

 





















Fungsi Fungs i Analitik Ana litik

Jadi

v



 x

u  y

.  2 y  c  x      2 y   c  x   0  c  x   k .

Jadi v  x , y   2 xy  k . . Jadi f  z    x 2  y 2   i  2 xy  k   z 2  ik . . x

2) Dipunyai Dipunyai u ( x, y ) = e cos y. Tentukan f  z   u  x , y   iv  x , y  yang analitik. Penyelesaian: u u x x Jelas  e cos y dan   e sin y .  x  y 2

Jelas Jadi

 u  x

2

 2u  x 2

Dipunyai Jadi Jelas

v  y v

 x



 2u  y 2

v



 y

 y

2

  e x cos y .

 0 sehingga u fungsi harmonik. u  x

.

x

 e sin y  c  x  .

 x

v

 e cos y dan

 u

x x x  e cos y  v  x , y   — e cos y dy  c  x   e sin y  c  x  .

Dipunyai Jadi

2

x

v  x





u  y

u

.

 y

.  e x sin y  c  x      e x sin y   c  x   0  c  x   k .

x Jadi v  x , y   e sin y  k . .

Jadi f  z   e x cos y  i  e x sin y  k   e x  cos y  i sin y   ik . . 3) Dipunyai Dipunyai f  z   u  x , y   iv  x , y  dan f  z   u  x , y   iv  x , y  kedua-dua nya analitik di daerah ÷. Buktikan: bahwa  k   z   k  z  ÷.  «  f  Bukti: Dipunyai f   z   u  x , y   iv x , y  analitik pada ÷. Jelas

u  x



 v  y

dan

u  y



v  x

.

Dipunyai f  z   u  x , y   iv  x , y  . Jelas

u  x



v  y

dan

u  y



 v  x

.





















v

Jadi

 0  v  x , y   k  x  dan

 y Jadi v  x , y   k . .

Jelas

u

 x

.  k  x   0  k  x   k .

u

dan  x  x u  u .    y  y

u

Jadi



v

 x

 0  u  x , y   c  y  dan

u  y

 c  y   0  cy  c .

Jadi f   z   c  ik . . 4.2. Persamaan Cauchy-Riemann dalam Bentuk Polar z  x  iy  r cos t   i sin t  f   z   u  x , y   iv x , y   u  r , t   iv  r , t  x 2  y 2 ‹Ω y . y  r sin t › t  arctan x r 

x  r cos t ¤

u  x u  y v  x

y u r  u t u x u ≈ . .   .  .∆  2 r  x t  x r r t « x  y 2 u r  u t   . . r  y t  y v  . . . dan ...  y



À r . u  v Œ r t C   R Ã v u Œ r .

 t Õ r  z   u  r , t   iv  r , t  f  f   z  

z ≈  u v  i ÷ . ∆ r « « r r ◊ ◊ ’

4.3.Fungsi 4.3.Fungsi Elementer Secara umum: 1. Inversi Inversi Fungsi Fungsi 1 11 (a) f : A   B Ω f : B  A terdefinisi pada

(b) y  f   x , x  A x  g  y , y  B

÷

’

◊

u x u ≈ sin t .  .∆ ÷ r r t « r ◊

’























Fun gsi gsi Analitik Ana litik

2. Grafik Grafik Fungsi Fungsi f : A  B Grafik f    x , y  x  A , y  f   x  . A  ÷ dan B  ÷ Ωgrafik fungsi berupa lengkungan lengkungan berada di bida g. A  ÷2 dan B 

Ωgrafik

A  « dan B  «

fungsi berupa permukaan berada di ruan g.

grafik fungsi berupa berada di ruang berdimensi 4.

 z , w  u  iv   cos   i sin   w  f  z  x  iy  r  cos t   i sin t  w  f   z   u  iv  f   x  iy 

 r cos t   i sin t  u  i  f   co   i sin    f   x  iy    co   i sin    f   r cos t   i sin t  Bidang z

V Bidang Bidang w

Y f

w=f ( z)

z

U

X 3.

w  f   z , z  A  «, f   z   B  «.

 z  : fungsi satu nilai z  satu nilai w  w  f 

 z1  z1  z 2  f 

 z 2   w  f   z  : fungsi f 

Banyak ke  satu 1 z1  z 2  f   z1  f   z 2   w  f   z  : fungsi 1 – 1 satu nilai z  ban yak nilai w

À 2  n    w  f   z  : relasi Ã Õ

Contoh: Dipunyai f : : ÷  ÷, f   x   x 2 . idak 1 1

n  





















A. Fungsi Elementer 1. Fungsi Fungsi Konstan Konstanta ta  f   x   k  x  « D f  «, R f  k  . f : D f  R f merupakan fungsi banyak ke satu.

V

Y

  f



k

X f : D f  R f tidak mempunyai inversi. 1 1 ∑ f  :     k  Ω f 

1

pada

U

: k   

1

 k    1 1 1 ∑ f  :     k  Ω f  : k    f     k



pada

1

f      k



 k   

merupakan gabungan gabungan dari f  :    k  ,  z   k  z  C merupakan Jadi f : C  k , f  . f     k . Jadi f 

f  dan  C

1 1 f  :     k  , f     k pada

1



: k    ,

1



 k   

2. Fungsi Fungsi Identitas Identitas f : «  « , f   z   z  z  « f

1 – 1

: «  « , f 1  z   z  z  «

3. Fungsi Fungsi Homogen Homogen f : «  « , f   z   az  z  « (a  « tetap)

À

w  a z






















Jadi x 

u

4

v

3

3u  4 v

3

4

25

4

3

Jadi y  mx 

3  4 u

 m

dan y 

3

u

4

v

3

4

4

3

3u  4 v

25 25  3v  4 u  3u  4 v m    4 m v  3 m  4 u

 v 

u , 3  4 m  0 . 3  4m 3 m  4 3 u , m  . 3  4m 4

Jadi y  mx  v Kasus m 

3 m  4

3

: 4 3 Jelas y  x 4

3 v  4 u 25



3 3u  4 v 4

25

3  3v  4 u  3u  4 v  4  4 3v  4 u   33u  4 v   12 v  16 v 9 u  12 v  u  0 2) y  mx  n ? 3) y  x 2 . Dipunyai x 

3 u

2

4v 25

3v  4 u

dan y 

3 v  4 u 25

≈ 3u  4 v

.

2

∆ ÷ . « 25 ◊ 4) f  tetap, a  0, b  0 .  z   az  b , a, b  C tetap, Jadi y  x 

11 : «  f :    «,

’

5

w  az  b

pada

wb



3 v  4 u 25

.





















 z   az  b ¤ f  f 1  z   az

 z   ‹Ω f  ›

f 1  z   b

w  3  4 i  z  1  2i 

3  4 i  5, arg( arg( 3  4 i )  arctan

4 3

Contoh: Tentukan peta dari daerah berikut oleh pengaruh w  3  4 i  z . 1) D adalah daerah persegi dengan titik-titik titik-titik sudut sudut (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0,1). (0,1). 2 2 2) D adalah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh x  y  1 . 3) w  z 2 2 a) u  iv   x  iy    x 2  y 2   i 2 xy . 2 2 u  x  y ,

v  2 xy atau

b)   cos   i sin     r cos t   i sin t 

 0,   r 2 ,   2t , r 

2

0  t  2

  r 2 ,   2t t      2  =2  =  t =





  1, 0  : r  1, t      1,   2 .   1, 0   1, 0  1, 0  : r  1, t  2    1,   4  w  z 2 z  w  z 2 2

 z  w    z   z 2 2 w  z : fungsi banyak (2)  1






















1

f

 r , t    ∆ c



 i sin

 r , t    ∆ c

2 s

2 ◊



 i sin



≈

 2

«

1

 r , t    c …

÷ , 2    4  ’

2 atau

2 ◊



  2 ÷  i sin∆

s∆

»



÷ , 0    2 ’

« 1

f



≈

 1

f

s

≈

≈

’

2

◊ « 2 w  f   r , t   f   r  os t   i sin t 

« 2

 2 ÷ Ÿ , 0    2

ÿ

’

◊ ⁄

Contoh: Tentukan peta dari da rah/lengkungan berikut terhadap pengaruh w  z 2 . 1) t      2 2) r  a    a 2

À





¤

3) D  Ã  r , t  1  r  2,  t  ‹ 4 2› Õ Penyelesaian: Jelas r  1    1 2  1 dan r  2    4 .

Jelas t  t 

 4

 2

   2.    2.

2

D



2

 2

dan

 . 4























u 

1  m 2m

v atau v 

2m 1  m 2

u





















n 4) w  z (n 

)

“

 0, 0  t  2 . w   cos   i sin  , z  r cos t   i sin t , r  w  z

n

   cos   i sin     r  cos t   i sin t 

n

n   cos   i sin    r cos nt  i sin nt 

  r n ,   nt n

Jadi w  z : fungsi n  1. 11 ∑ f 1 : « 1   «, f 1  z   z n pada

«1

2 ¤ À  Ã  r , t  r  0, 0  t   ‹ n › Õ

f 1  r , t   r cos nt  i sin nt , 0  t  n

∑ f 2 : « 2   «, f 2  z   z 11

2 n

n

pada

2 2 ¤ À  r , t  r   0,  t  2 ‹

«2  Ã

Õ

n

f 2  r , t   r cos nt  i sin nt , n

n ›

2

2  t   2 n n

atau n f 2  r , t   r  cos  nt   2   i sin  nt   2   , 0  t  

2 n









































Trans f Trans f ormasi ormasi Moe Mo ebius

BAB 5 TRANSFORMASI MOEBIUS MOEBIUS

5.1. Transformasi Moebius f   z  

az  b cz  d

 bc  0 . , a , b , c , d konstanta kompleks, ad 

À d ¤ ¤ 1) D f = { z  « | f ( z) terdefinisi} = { z  « | cz + d   0} = «  Ã  ‹. Õ c› ¤ À az  b d ¤ À a ¤ R f  Ã z   ‹= «  Ã ‹ c› Õ c › Õ cz  d a Ambil w  « sebarang dan w  c

N r f ( z0)  0 z0

f ( z)  0





















dz  b À a ¤ À d ¤ ¤ f :  «  Ã  ‹, f 1  z   : «  Ã ‹  .  cz  a Õ c › Õ c›  (b )(c )  ad  bc  0 . Jelas ad 

À ( z )  az  b , ad  bc  0 ¤ . Didefinisikan   f f ( ‹ cz  d › Õ Jelas f    f 1   . , g   . Ambil sebarang f , Tulis f   z   g  z  

az  b cz  d pz  q

dengan ad   bc  0 dan

dengan ps  qr  0 . rz  s Ditunjukkan f A g   . pz  q Jelas  f A g  z   f   g  z   f ∆ ∆≈ ÷ « rz  s ◊ ≈ pz  q a∆ ÷ b a  pz  q   b rz  s  « rz  s ◊   ≈ pz  q  d c pz  q   d  rz  s  c∆ ÷ « rz  s ◊ apz  aq  brz  bs  ap  br  z   aq  bs    cpz  cq  drz  ds  cp  dr  z   cq  ds  ’

’

’
























Teorema 5.1:

À ( z )  az  b ad  bc  ¤ dan  f g  z   f   g  z  . Dipunyai   Ã f f ( , 0 ‹ A cz  d › Õ

  ,  merupakan grup Bukti: (1) Telah dibuktikan dibuktikan f , , g   Ω f A g   . (2) f , , g , h   Ω  f A g  A h  f A  g A h  Inga Ingatt

teor teorem ema: a:

f ,

g,

tiga h tiga

fung fungsi si

f A  g A h  terdefinisi Ω terdefinisi.  f A g  A h  f A  g A h  .

sehin ehingg ggaa

g A h terdefinisi,

f A g terdefinisi,

 f A g  A h





















h( z ) 

1 z

, k ( z )  z  p

 h A k ( z ) 

1 z  p

f   z   az  b 

.

az  b

translasi. 0. z  1 g ( z )  nz adalah rotasi sebesar sebesar argumen n diikuti oleh perbesaran sebesar n .

Sifat: Transformasi oleh w 

1 z

w  u  iv , z  x  iy w 

1 z

 u  iv  x

1



1

.

x  iy

x  iy x  iy x  iy y






















 p

2

 q 2  r 2  u 2  v 2   2 pu  qv   1  0

u 2  v2 

2 pu  qv  2

2

2

p  q  r



1 2



2

r  p  q

2



Kesimpulan: 1

adalah sebagai berikut: z (1) Garis lurus melalui 0  garis lurus melalui 0 (2) Garis lurus tidak melalui melalui 0  lingkaran (3) Lingkaran  lingkaran. Hasil transformasi oleh w 

Transformasi oleh f   z   m  n.

1 z  p





















z 

Jadi x  iy 



5 w  3

2  4w 5u  iv   3



5w  3

 4w  2

.

 4  u  iv   2 5u  3   5iv

  4 u  2   4 iv  5u  3   5iv   4 u  2   4iv     4 u  2  2   4 v  2 Tugas Kelompok 4 Lanjutkan proses di atas sehingga ditemukan peta dari garis y  6 x  7 .

Analisis Kompleks - Drs. Supriyono- M.si

Recommend Documents