La función general una máquina es transmitir movimiento y fuerzas a partir de una fuente, para realizar una tarea. Una tarea crítica en el diseño de maquinaria es asegurar que la resistencia de eslabones y juntas soporten las fuerzas impuesta en ellas. El estudio de las Fuerzas de inercia resultan muy importantes. Y es el propósito de este tema.
ANÁLISIS DINÁMICO DE FUERZAS
ANÁLISIS DE FUERZAS.
OBJETIVOS:
Definir e identificar una fuerza Calcular el momento provocado por una fuerza Entender el concepto entre masa y peso Calcular el momento de inercia de masa de un objeto ya sea asumiendo una similitud con una forma básica o a partir del radio de giro Transferir el momento de inercia de masa a un sistema de referencia alternativo Entender y aplicar las tres leyes de movimiento de Newton Crear un diagrama de cuerpo libre de un componente de una máquina en general. Calcula el coeficiente de fricción e identificar su dirección Calcula fuerzas y torques de inercia. Utilizar el método de superposición para facilitar la solución de un análisis de muchas fuerzas identificar y aprovechar las condiciones especiales para el equilibrio de miembros de dos fuerzas y tres fuerzas gráfica y analíticamente determinar las fuerzas que actúan a través de un mecanismo
INTRODUCCIÓN: Como es sabido, cualquier máquina tiene como función general, transmitir movimiento y fuerza a partir de una fuente de poder para alcanzar un tarea u objetivo, el cual debe satisfacer determinadas característica para lograrlo de manera eficiente tales como que asegurar que la resistencia de eslabones y juntas, sea suficiente para soportar las fuerzas que sobre ellos sean ejercidas. Las fuerzas de inercia resultan a partir de la presencia de aceleraciones en los acoplamientos y en máquinas de alta velocidad en ocasiones son superiores a los requieren para realizar la tarea prevista. Se requiere un conocimiento básico de estática por lo que se darán algunas definiciones de aspectos básicos.
Se puede considerar que una fuerza es una cantidad que representa una acción de empujar o tirar de una parte. Jalando un niño la manija de un carro, se debe
entender que se aplica una fuerza a la manija. Al ser un vector, esta fuerza está definida por una magnitud y una dirección de la acción de tirar o jalar. Las unidades que se maneja para fuerzas son libras en sistema ingles y Newton en el sistema internacional.
Si dos o más fuerzas se aplican a una parte, pueden combinarse para para determinar el efecto neto de la fuerza. Siendo un vector, esta fuerza está definida por una magnitud y una dirección de empuje. Las fuerzas tienen como unidades Newton en sistema internacional o en libras en sistema ingles. Dos o más fuerzas aplicadas sobre una parte, pueden combinarse para determinar el efecto neto de las fuerzas. Combinar fuerzas para encontrar una resultante es idéntico a la adición de vectores de desplazamiento, velocidad, aceleración Un torque o Momento, es la acción de giro producido por una fuerza. Por ejemplo jalar una llave de tuercas al apretar o aflojar una tuerca o tornillo, por lo tanto la fuerza aplicada causa una acción de giro alrededor del centro del tornillo. La acción resultante es denominada Torque o Momento.
Los momentos también son vectores su dirección es rotacional en sentido de las manecillas del reloj o contrario a estas. El momento creado por una fuerza puede calcularse mediante la expresión Donde F = fuerza, d = distancia perpendicular entre el punto de referencia y la fuerza A = Punto de referencia designado El momento puede expresarse en li-in o lb-ft en sistema ingles o en sistema internacional en N-mm o N-m .
MASA Y PESO La masa m es una medida de la cantidad de material en un objeto: La masa también puede ser descrita como la resistencia de un objeto a la aceleración. Es más difícil acelerar un objeto con masa grande. El peso W de un objeto es una medida de la fuerza de gravedad sobre el, entonces el peso es una fuerza dirigida hacia el centro de la tierra. La aceleración de la gravedad g varía dependiendo de la ubicación relativa de la atracción gravitacional. Por lo anterior el peso de un objeto puede variar; sin embargo la masa no cambia con la atracción de la gravedad. El peso y la masa están relacionadas con la ley gravitacional de Newton
W = mg
En muchos análisis sobre la tierra se acordó que la aceleración de la gravedad se considera como:
Para evitar confusiones entre peso y masa se emplean unidades derivadas
MOMENTO DE INERCIA DE MASA El memento de inercia de masa de una parte es la medida de la resistencia de aquella parte a la aceleración rotacional. Es más difícil de acelerar un objeto que gira con un grande momento de inercia de masa. El momento de inercia esta relacionado con el punto o eje de referencia que generalmente es el centro de gravedad de la parte analizada. El momento de inercia es expresado en slug ft 2 o bien en lb ft s 2 en sistema inglés o en el sistema internacional en Kg m s 2. La inercia de una parte también se puede calcular experimentalmente a partir de la propiedad denominada radio de giro k , que es una medida del tamaño y forma de una parte con respecto a un eje y puede ser usado para determinar el momento de inercia de masa mediante la expresión.
I = m k 2
Se expresa en unidades de longitud ft o in en sistema ingles y m o mm en sistema internacional. Como el momento de inercia de masa está relacionado con los ejes, en ocasiones se desea relacionarlo a otro eje para lelo por lo que se utiliza el teorema de Steiner o de los ejes paralelos que se puede escribir como:
Siendo d la distancia perpendicular entre los ejes paralelos El término se añade cuando el eje de referencia se aleja del centro de gravedad de la pieza. Por el contrario, el término se resta cuando el eje de transferencia se acerca hacia el centro de gravedad. Ejemplo: La figura siguiente es parte componente de una máquina y tiene un peso de 3 kg. Determine el momento de inercia de la parte relativa a un eje x hacia el centro de la pieza y también en relación a un eje x hacia el extremo de la pieza 3 lb
18”
Calculamos la masa mediante la expresión En este análisis se parte de que aunque la barra tiene perforaciones, estas no afectan considerablemente los cálculos por ser pequeñas y se considera como una barra uniforme de sección circular sólida.
r =
3” = 0.25 ft
l = 18“ =
1.5 ft
De tablas se puede obtener la expresión para determinar el momento de inercia de masa y se pide relativo al eje x al centro de la pieza, se determina como sigue:
El momento de inercia es pedido también hacia el extremo de la pieza. La distancia de la transferencia del centro hacia el extremo de la parte es:
Utilizaremos la ecuación
para realizar el cálculo despejando.
LEYES DE NEWTON 1a .- Todo objeto permanece en reposo o se mueve con velocidad constante, a menos que una fuerza no equilibrada actúa sobre él. 2a .-Un cuerpo que tiene una fuerza desequilibrada tiene: aceleración que es proporcional a la fuerza; aceleración que está en la dirección de la fuerza, y, aceleración que es inversamente proporcional a la masa del objeto a 3 .- Para cada acción hay una reacción igual y opuesta. Todas estas leyes son empleadas en el estudio de los mecanismos. Todas las fuerzas que actúan en un mecanismo pueden ser examinadas y se requiere del llamado diagrama de cuerpo libre para hacerlo. Un diagrama de cuerpo libre es una figura aislada como si estuviera flotando libre ya que se remueven soportes y contactos con otros elementos y son reemplazados por fuerzas equivalentes por lo tanto el diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas que sobre él están actuando. F34
5
F23
Fuerza aplicada FUERZAS ESTÁTICAS La primera ley aplica a todas los eslabones en reposo o con velocidad constante; así, la condición se refiere al equilibrio como algo estático y podemos representarla matemáticamente como
Una fuerza de contacto, como consecuencia del deslizamiento de una junta, siempre actúa perpendicular a la superficie de contacto y se conoce como fuerza normal N Cuando la fricción no es despreciable en el análisis de las máquinas, una fuerza adicional se observa y se le conoce como fuerza de fricción y actúa para impedir el movimiento sobre un barra deslizable en dirección opuesta al movimiento de la corredera. Para un objeto inmóvil, la fricción trabaja para prevenir el movimiento hasta que la fricción máxima posible se alcanza. Este máximo valor es una función de un coeficiente de fricción . El coeficiente de fricción es dependiente del material y de las condiciones de la superficie y se determina experimentalmente.
Para que un objeto esté en equilibrio cuando está sometido a dos fuerzas, estas dos fuerzas deben: Tener la misma magnitud, actuar a lo largo de la misma línea y tener sentidos opuestos; por lo anterior esta fuerzas solo pueden provocar tensión o compresión. Este hecho es extremadamente empleado en el análisis de las fuerzas. Cuando la ubicación de las fuerzas es conocido, la dirección de la fuerzas están definidas; cuando la magnitud y sentido de una única fuerza es conocido, la magnitud y dirección de la otra fuerza puede determinarse Para que un objeto esté en equilibrio cuando se somete a sólo tres fuerzas, lo siguiente debe ocurrir: La resultante de las tres fuerzas debe ser cero y las líneas de dirección de las tres fuerzas se cruzan en el mismo punto. Ejemplo
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El concepto de superposición es aplicable a sistemas lineales. Por lo tanto, se debe enfatizar que este principio es válido para sistemas en los que la fricción es despreciable. El principio de superposición de fuerzas establece que el efecto neto de muchas fuerzas sobre un sistema, es la combinación de los efectos de cada fuerza individual. De esta manera, un mecanismo con muchas fuerzas puede ser analizado concentrándose en una fuerza ala vez. Entonces el resultado para cada caso individual pude ser vectorialmente combinado o superpuesto para determinar el resultado total. FUERZAS DINÁMICAS La segunda ley de Newton se vuelve crítica para todas partes que experimentan aceleración. Para movimiento lineal esta ley puede establecerse en términos de la aceleración del centro de masa de la barra como: Para movimiento rotacional puede expresarse en términos de la aceleración rotacional α y el momento de inercia referido a un eje por el que pase su centro de gravedad como: Principio de d’Alambert:
-
-
Definiendo una fuerza inercial escribir siendo de la aceleración
-1
en el centro de gravedad del eslabón se puede 2
esta fuerza inercial es simplemente un vector en la dirección
El principio de D’Alambert permite el análisis de aceleración de los eslabones
empleando los mismos métodos empleados en un análisis estático. De manera similar un torque inercial puede ser definido en el centro de gravedad de la barra como: donde DESPLAZAMIENTO, DE LA FUERZA INERCIA EQUIVALENTE La aceleración de un eslabón que experimenta un movimiento plano general puede ser caracterizada por la aceleración lineal del centro de gravedad y la aceleración rotacional de la barra completa.
La fuerza de inercia puede ser relocalizada a una distancia lejos del centro de gravedad, produciendo un torque alrededor del centro de gravedad el cual es equivalente al torque inercial. Haciendo esto se elimina el torque inercial, pero aún así representa su acción.
Los dos sistemas de fuerzas equivalentes se muestran en las figuras siguientes, la que la fuerza de inercia es movida depende de la magnitud del distancia torque inercial
La dirección del movimiento es una cuestión importante en la reubicación de la fuerza inercial. La fuerza inercial desplazada, debe causar la acción de torsión como la del par de inercia original. Ejemplo El eslabón mostrado en la figura está aislado de su mecanismo. El estado de aceleración puede ser caracterizado por la aceleración lineal de su centro de gravedad (cg ) y la aceleración rotacional de la barra como se muestra. El eslabón tiene una masa de 12 Kg. Determinar la magnitud de la fuerza de inercia, y el desplazamiento de la fuerza desde el cg , tal que también se compense el torque de inercia.
Solución: La fuerza de inercia actúa en la dirección de la aceleración del cg. calcularse mediante la ecuación:
Puede
Para reubicar la fuerza inercial primero debe determinarse el momento de inercia de masa. El eslabón de (8mm x 90mm x 600mm) es considerado como prima rectangular, ya que los barrenos de los extremos por ser pequeños tienen mínimo efecto en el cálculo. El momento de inercia requerido es perpendicular al plano de la cara 600 x 90 por lo que se usa la ecuación para el eje y con los siguientes datos: a = 0.09 m b = 0.008 m l = 0.60 m
Un torque inercial ocurre en la dirección de la aceleración angular y puede calcularse
La figura siguiente ilustra el eslabón con las fuerzas inerciales. Utilizaremos la ecuación
para determinar la distancia dg que la fuerza
debe desplazarse para compensar el torque inercial.
La transferencia de la fuerza inercial crea la misma acción de giro alrededor del centro de gravedad como lo hace el torque inercial. Recordar que el torque inercial tiene el mismo sentido de giro que la aceleración rotacional. .
FUERZAS DINÁMICAS EN MECANISMOS Como es sabido, las ecuaciones de equilibrio se pueden descomponer en las direcciones ortogonales y resolverse algebraicamente. Sin embargo, en el análisis de la fuerza, esta aproximación algebraica se puede manejar en todos los diagramas de cuerpo libre, y el método de superposición de fuerzas no se necesita. Ejemplo: Un mecanismo 3RP se utiliza en una pequeña máquina para perforar automáticamente cuero a una velocidad de 20 golpes por minuto. La manivela y el brazo conector tienen respectivamente 0.35 y 0.75 de masa. La manivela está diseñada para giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El coeficiente de fricción entre el punzón y las guías es de 0.15. En la posición mostrada, determinar el par o torque necesario para conducir el punzón y las fuerzas en la articulación.
Debido a que el punzón opera a razón de 20 golpes por minuto y el mecanismo da un golpe por revolución de la manivela, esta tendrá una velocidad constante de 20 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
El primer paso en el análisis es obtener una comprensión completa de las velocidades en el mecanismo. La velocidad del punto B se puede calcular con la siguiente ecuación:
Una vez conocida la velocidad del punto B se puede trazar el polígono de las velocidades ya que se conoce la orientación de los vectores para cada elemento tomando en cuanta la ecuación de velocidad siguiente:
De la figura se puede obtener
17.9° El polígono de velocidades puede ser usado para determinar la velocidad del centro de gravedad de las barras 2 y 3.
Como se puede observar la velocidad de Utilizando la ley de los cosenos
Formalmente
17.5°
Continuaremos con el análisis de aceleraciones usando la ecuación
El siguiente paso es dibujar el diagrama de aceleraciones que incluya a los puntos B y C determinando en primer lugar las magnitudes de las aceleraciones usando las ecuaciones.
Construimos el polígono de aceleraciones con los datos conocidos y las direcciones de las aceleraciones de cada barra separando las ecuaciones algebraicas en componentes horizontal y vertical utilizaremos los datos siguientes: Vector
Angulo
Comp. horiz.
Comp. vert.
90°
0
90°
0
87.4
107.9°
-4.5
14.1
72.1°
0.31
0.91
Componente horizontal
resolviendo Componente vertical
El polígono de aceleración se puede utilizar para determinar la aceleración del centro de gravedad de los tres eslabones. Mitad entre O A y B
Mitad entre B y C
El eslabón 4 tiene movimiento lineal puro La aceleración angular de las barras será:
Nos concentraremos ahora el las cargas de inercia, la masa y peso de cada eslabón está dado por
Cálculo de los momentos de inercia de masa
Porque eslabón 4 tiene movimiento lineal puro, el momento de inercia de masa es irrelevante Determinación de las cargas de inercia.
En sentido contrario al de las manecillas.
ANÁLISIS DINÁMICO DE FUERZAS La siguiente figura muestra los diagramas de cuerpo libre, en ellos se nota que las fuerzas desconocidas de la juntas están en sus componentes horizontal y vertical. Tomando en cuenta la tercera ley de Newton se muestran las orientaciones de las fuerzas y sus magnitudes están apropiadamente indicadas, por lo que se cumple:
Enfocándonos en la manivela 2, las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse como ;
En dirección horizontal
.
(1)
En dirección vertical,
(2)
(3)
Podemos escribir:
Enfocandonos en el eslabón acoplador 3 las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse como: ;
En dirección horizontal
(4)
En dirección vertical,
(5)
(6) Enfocandonos en el punzón corredera 4 las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse como:
En dirección horizontal
(7) (8)
En dirección vertical,
Debido a que las lineas de accción de todas las fuerzas que actuan en el elemento 4 convergen en un punto, no es aplicable ninguna ecuación de equilibrio de momento. Además la fricción asociada con la guía del punzón actúa contra la dirección del movimiento y puede ser denotada como:
(9) La tarea es resolver el sistema de ocho ecuaciones simultáneas para obtener el valor de las ocho fuerzas desconocidas. Le ecuación (9) puede sustituirse en la (5) quedando: (10)
La ecuación (7) se sustituye en (4)
(11)
Las ecuaciones (7), (9), (10) y (11), se sustituyen en (6) y resolviento el sistema se obtiene el valor de sustituyendo este valor en la ecuaciones previas se obtiene el valor de las fuerzas no conocidadas.
Si algún calor obtenido resulta negativo, indica que la dirección escogida para el vector en el diagrama de cuerpo libre fue incorrecta.
