Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Análisis de vigas T Las vigas T son la conjunción de dos elementos una viga y una losa trabajando monolíticamente ya sea porque se colaron al mismo tiempo o por que se tomaron las precauciones para que trabajase como un sistema monolítico, en ambos casos una parte de la losa colabora con la viga para soportar las cargas aplicadas de manera tal que es necesario conocer esta ayuda. A la parte de la losa que colabora con la viga se le denomina patín y a la parte que se proyecta debajo de la losa se le conoce como alma. Figura 1.0
FIGURA 1.0 partes que conforman una viga T
De acuerdo con los autores o con los códigos existen diferentes nomenclaturas para delimitar una viga T, las más comunes en México son:
FIGURA 2.0 nomenclaturas en vigas T más comunes en México
Donde A b: ancho del patín (a cada extremo se le conoce también como ala del patín ya sea derecha o izquierda). A hf = t: espesor de la losa o espesor del patín. A bw = b’: ancho del alma. A d: peralte efectivo. A As: área del acero.
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Ancho efectivo del ala De acuerdo con el código ACI 318 – 99: 8.10 Sistema de vigas T. 8.10.1 En la construcción de vigas T, el patín y el alma se deben construir monolíticamente o de lo Contrario, deben estar efectivamente unidos entre sí. 8.10.2 El ancho efectivo de la losa usada como patín de las vigas T no debe exceder de 1/4 de la longitud del claro de la viga, y el ancho efectivo del patín en cada lado del alma no debe exceder de:
8 veces el peralte de la losa, y 1/2 de la distancia libre a la siguiente alma
8.10.3 Para vigas que tengan losa de un solo lado (vigas L), el ancho efectivo del patín en voladizo no excederá de: 1/12 de la longitud del claro de la viga 6 veces el peralte de la losa 1/2 de la distancia libre a la siguiente alma
En el código ACI 318 – 05 se encuentran las siguientes restricciones:
b ≤ luz de viga /4 (b – bw) /2 ≤ 8hf (b – bw)≤distancia libre entre almas/2
Lo anterior indica claramente que podemos trabajar con cualquiera de los códigos, debido a que las actualizaciones por lo menos en el tópico de vigas T han sido mínimas y entonces nuestros resultados no variarían notablemente, esto incluiría los códigos de años intermedios. Nota: los códigos conforme avanzan los años, se actualizan para poder lograr elementos estructurales de concreto cada vez mas esbeltos y resistente(economía de por medio y ante todo seguridad estructural), pero eso no significa que los códigos anteriores sean obsoletos o den como resultados estructuras menos resistentes, hay que recordar que los elementos se diseñan para una determinada resistencia y esta debe de lograrse; ya sea el elemento muy esbelto o muy voluptuoso, lo única variable exponencial seria la economía de la estructura, por ello debemos de actualizarnos continuamente de acuerdo con las nuevas tecnologías y códigos de construcción o adaptar nuestros conocimientos a las nuevas exigencias. Análisis a la resistencia. Con respecto al análisis de la resistencia de una viga T se pueden presentar 2 casos: a) El eje neutro cae dentro del ala de la viga. b) El eje neutro cae dentro del alama de la viga
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1 1
1
2 2
1
2 2
FIGURA 3.0 secciones transversales efectivas para vigas T
Nota: El área sombreada en la figura 3.0 es lo que se considera como zona de compresión. Los casos anteriores dependen como nos podremos dar cuenta más delante de las dimensiones de la sección transversal, de la cantidad de acero a tensión y la resistencia de los materiales, las cuales son variables que nos ayudan a determinar la profundidad del eje neutro. Si se presenta el caso del inciso a (eje neutro cae dentro del ala) que es el más común, se aplican las formulas de vigas rectangulares, teóricamente el concreto abajo del eje neutro (áreas 1 y 2) se encuentra agrietado, y está en confinado en el área de tensión y no influye en los cálculos de flexión, debido a que el concreto a tensión no se toma en cuenta para los cálculos de flexión. Solo se tomaría en cuenta su peso y se analizaría como viga rectangular de ancho b. Cuando se presenta el caso del inciso b, nos damos cuenta que el concreto de compresión por encima del eje neutro ya no tiene forma de rectángulo y esto impide aplicar las formulas de vigas rectangulares.
FIGURA 4.0 esquema general de una viga T y una viga L
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Algunos ejemplos de análisis de vigas T Determinar la resistencia permisible de diseño de la siguiente viga T figura 5.0
2
As = 6 # 9 = 38.478 cm 2 F’c = 210 kg/ cm 2 Fy = 3500 kg /cm
FIGURA 5.0 ejemplo 1
Lo primero que debemos de hacer es calcular el valor de “a”, suponiendo que todo el bloque de esfuerzos de compresión cae dentro del patín. 𝐴𝑠 𝐹𝑦
38.478𝑐𝑚 2 ∗3500 𝑘𝑔/𝑐𝑚 2
𝑎 = 0.85𝑓′ 𝑐𝑏 = 0.85∗210𝑘𝑔/𝑐𝑚 2 ∗152.4𝑐𝑚 = 4.95𝑐𝑚 Como a< hf (4.95<10.54) Debido a que a es menor que hf (el eje neutro cae dentro del patín), y atendiendo la teoría previa sabemos que para este ejemplo la viga se comportara como viga rectangular por lo que podemos usar la formula siguiente para determinar el momento nominal. 𝑀𝑛 = 𝑏𝑑2 𝑓 ′ 𝑐𝜔 1 − 0.59𝜔 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜔 =
𝜌𝐹𝑦 𝐴𝑠𝐹𝑦 38.478𝑐𝑚 ∗ 3500𝑘𝑔/𝑐𝑚2 = = = 0.0703 𝑓′𝑐 𝑏𝑑𝑓′𝑐 152.4𝑐𝑚 ∗ 60.96𝑐𝑚 ∗ 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝑀𝑛 = 𝑏𝑑2 𝑓 ′ 𝑐𝜔 1 − 0.59𝜔 = 𝑀𝑛 = 152.4 ∗ 60.962 ∗ 210 ∗ 0.0703 1 − 0.59 ∗ 0.0703 𝑀𝑛 = 7993015.639𝑘𝑔/𝑐𝑚 = 79.93 𝑡𝑜𝑛 /𝑚
Momento de diseño Para obtener este solo necesitamos multiplicar el Mn por el factor Φ que para casos a flexión comúnmente usamos 0.9
Mr = ΦMn = 0.9 * 79.93 ton /m = 71.93 (hasta aquí termina el desarrollo de este método en la siguiente pagina se muestra otra manera de solucionar el mismo problema)
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Resolviendo el mismo problema de otra manera. Lo primero que hacemos es obtener la fuerza de tensión. 2
2
T= As*Fy = 38.478cm * 3500 kg/cm =134673.0 kg A continuación de esto obtenemos el área de concreto que se encuentra en estado de compresión. 𝐴𝑐 =
𝑇 134673.0 𝑘𝑔 = = 754.47 𝑐𝑚2 0.85𝑓′𝑐 0.85 ∗ 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
El área obtenida es menor a la que se obtiene del producto del espesor del ala (hf) por el ancho del patín (b). 2
2
2
hf * b = 10.54 cm * 152.4 cm = 1606.296 cm 1606.296cm > 754.47cm esta diferencia de áreas nos indica que la zona de compresión está confinada en el área del patín , lo que indica a su vez que el eje neutro cae dentro del patín y por lo tanto se trata de una viga que T que se comportara como una viga rectangular. Obtenemos a: 𝑎=
𝐴𝑐 754.47𝑐𝑚2 = = 4.95 𝑏 152.4 𝑐𝑚
Obtención del brazo de palanca con respecto de la tensión: 𝑎
4.95 𝑐𝑚
2
2
Brazo de palanca = 𝑑 − = 60.96𝑐𝑚 −
= 58.485 𝑐𝑚
Calculo de la capacidad de momento Mn = 𝑇 𝑑 −
𝑎 2
= 134673.0𝑘𝑔 ∗ 58.485𝑐𝑚 = 7876350.405 𝑘𝑔/𝑐𝑚
Mn = 78.76 ton/m Mr = ΦMn = 0.9 *78.76 = 70.9 ton/m (hasta aquí termina el ejemplo) Como se puede apreciar se obtienen valores muy similares por ambos métodos, la diferencia se debe básicamente a los decimales que se pierden entre uno y otro método, pero los dos métodos son aceptados por la comunidad. La diferencia entre estos valores comúnmente se le desprecia en el ambiente y se dice que la diferencia no pinta.
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Desarrollo de otro problema (este problema se resolverá de 4 formas distintas). Primera manera de resolverlo. 2
F’c = 210 kg/cm 2 Fy =4200 kg/cm 2 As = 5#10 = 40 cm d = 50 cm (peralte efectivo) hf =10cm b =80 cm
FIGURA 6.0 viga T ejemplo 2
Calcular la resistencia de diseño para la viga T mostrada en la figura 6.0. Para poder resolver este ejemplo, haremos lo siguiente: Primero calculamos la fuerza de tensión: 2 2 T= Asfy = 40 cm *4200kg/cm = 168000 kg Calculamos el área de concreto que se encuentra en estado de compresión: 𝐴𝑐 =
𝑇 168000 𝑘𝑔 = = 941.176𝑐𝑚2 0.85𝑓′𝑐 0.85 ∗ 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2
Obtenemos el área del patín: 2
2
2
hf * b = 10 cm * 80 cm = 800 cm 800cm < 941.176cm lo que nos indica que el eje neutro se encuentra por debajo de la línea que delimita el patín. Lo que significa que nuestro elemento trabaja realmente como una viga T. Como no sabemos la longitud real de nuestro eje neutro realizamos lo siguiente: Primero restamos el área real de compresión al área del patín. 2 2 2 941.176 cm -800 cm =141.176 cm Como segundo paso: 2 El área de 141.176 cm sabemos que está confinada en el alma, y conociendo su ancho bw = 25 cm despejamos para conocer la longitud “extra” por debajo del patín. 𝑙𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑛 ∗ 𝑏𝑤 = 141.176 𝑐𝑚2 Despejando obtenemos: 𝑙𝑝𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑛
∗ 𝑏𝑤 =
141.176 𝑐𝑚2 = 5.64 𝑐𝑚 25 𝑐𝑚
Sumando este valor al del patín obtenemos una profundidad de eje neutro de 15.64 cm. Ver figura 7.0
FIGURA 7.0 esquema del eje neutro para este ejemplo.
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Calculando la distancia de 𝑦 de la parte superior del patín al centro de gravedad de Ac.
𝑦= 𝑦=
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑛 ∗
𝑙𝑝𝑜𝑟 𝑓 + 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑚𝑎 ∗ 𝑓 + ( 2 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙.
800 𝑐𝑚 2 ∗ 5𝑐𝑚 + 141 .176𝑐𝑚 2 ∗12.82𝑐𝑚 941.0𝑐𝑚 2
𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑛
2
= 6.17
FIGURA 8.0 localización de 𝒚
Brazo de palanca (distancia de C a T): B palanca = d - 𝑦 = 50 − 6.17 = 43.83 𝑐𝑚 Calculo de la capacidad de momento: 𝑀𝑛 = 𝑇 ∗ 𝐵𝑝𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 = 168000𝑘𝑔 ∗ 43.83𝑐𝑚 = 7363440 𝑘𝑔/𝑐𝑚 = 73.63 𝑡𝑜𝑛 /𝑚 Momento resistente de diseño: Al igual que en vigas rectangulares aplicamos el factor Φ =0.9 Mr = ΦMn =0.9 *73.63 = 66.27. (Hasta aquí termina el desarrollo de este método, en la hoja siguiente se emplea otro método para resolver el mismo problema)
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Otra manera de resolver el ejemplo 2 figura 6.0 (segunda manera de resolverlo) Lo primero es suponer que la viga trabaja como viga T y por lo tanto debemos de obtener la fuerza de compresión tanto del ala como del alma, ambas por separadas. Se hace una revisión para ver si nuestra suposición es real aplicando la siguiente fórmula: 40.0∗4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚 2
𝐴𝑠 𝐹𝑦
𝑎 = 0.85𝑓′ 𝑐𝑏 = 0.85∗210𝑘𝑔/𝑐𝑚 2 ∗80𝑐𝑚 = 11.76𝑐𝑚 Nota: este valor obtenido solo nos indica que el eje neutro está por debajo del patín, (es decir en el alma de la viga), pero no es la profundidad real del eje neutro, si este valor fuera menor al valor de hf (10 cm en este caso), si se tendría que usar este valor como profundidad de eje neutro y resolverlo como viga rectangular tal cual como se hizo con el ejemplo 1. Cuando al aplicar la formula anterior da como resultado un valor mayor al del hf se hace lo siguiente: Fuerza de compresión en el ala = CCF =0.85f’c*hf (bf-bw) Fuerza de compresión en el alma= ccw =a*0.85f’c*bw Fuerza de tensión = T =As*Fy Igualamos de la manera siguiente: 𝑐𝑐𝑓 + 𝑐𝑐𝑤 = 𝑇 Sustituyendo: 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑓 ∗ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 + (𝑎 ∗ 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑤) = 𝐴𝑠 ∗ 𝐹𝑦 De esta ultima ecuación si podemos despejar a, y este valor si será tomado como profundidad del eje neutro. Sin olvidar que primero debemos revisar que nuestro eje neutro cae dentro del alma, de lo contrario se podría cometer un error en los cálculos. 𝑎= 𝑎=
𝐴𝑠∗𝐹𝑦 − 0.85𝑓 ′ 𝑐∗𝑓∗ 𝑏𝑓 −𝑏𝑤 0.85𝑓 ′ 𝑐∗𝑏𝑤
=
40𝑐𝑚 2 ∗4200 𝑘𝑔 /𝑐𝑚 2 − 0.85∗210𝑘𝑔 /𝑐𝑚 2 ∗10𝑐𝑚 ∗ 80𝑐𝑚 −25𝑐𝑚 0.85∗210 𝑘𝑔 /𝑐𝑚 2 ∗25𝑐𝑚
168000 − 98175 = 15.64 𝑐𝑚 4462.50
A continuación determinaremos la altura donde actúa la fuerza de compresión: 𝑏𝑤 ∗ 𝑎 ∗ 𝑦=
𝑏𝑤 ∗ 𝑎 + 25𝑐𝑚 ∗
𝑦=
𝑎 + 2
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ∗ 𝑓 ∗
𝑓 2
𝑏𝑤 ∗ =
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ∗ 𝑓
15.64𝑐𝑚2 + 2
25 ∗ 15.64 +
80𝑐𝑚 − 25
Y resolvemos el final como el método anterior.
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𝑏𝑤 ∗ 𝑎 +
10𝑐𝑚2 2
80 − 25 ∗ 10
𝑎2 + 2
=
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤
𝑓 2 2
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ∗ 𝑓
3057.62 + 2750 = 6.17 941
Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Brazo de palanca (distancia de C a T): B palanca = d - 𝑦 = 50 − 6.17 = 43.83 𝑐𝑚 Calculo de la capacidad de momento: 𝑀𝑛 = 𝑇 ∗ 𝐵𝑝𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 = 168000𝑘𝑔 ∗ 43.83𝑐𝑚 = 7363440 𝑘𝑔/𝑐𝑚 = 73.63 𝑡𝑜𝑛 /𝑚 Momento resistente de diseño: Al igual que en vigas rectangulares aplicamos el factor Φ =0.9 Mr = ΦMn =0.9 *73.63 = 66.27(a continuación otra variante de este mismo método, solo trabajando con la fuerza de compresión. problema 2)
Tercera manera de resolverlo A continuación otra forma de llegar al mismo resultado, pero solo usando los valores de la fuerza de compresión. Repetimos los pasos solo hasta conocer el valor real de a: Se realiza la revisión para ver si el eje neutro cae dentro del alma de la viga, se aplica la formula siguiente:
𝑎=
𝐴𝑠 𝐹𝑦 0.85𝑓′ 𝑐𝑏
=
40.0∗4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚 2 0.85∗210𝑘𝑔/𝑐𝑚 2 ∗80𝑐𝑚
= 11.76𝑐𝑚
Nota: este valor obtenido solo nos indica que el eje neutro está por debajo del patín, (es decir en el alma de la viga), pero no es la profundidad real del eje neutro, si este valor fuera menor al valor de hf (10 cm en este caso), si se tendría que usar este valor como profundidad de eje neutro y resolverlo como viga rectangular tal cual como se hizo con el ejemplo 1. Cuando al aplicar la formula anterior da como resultado un valor mayor al del hf se hace lo siguiente: Fuerza de compresión en el ala = CCF =0.85f’c*hf (bf-bw) Fuerza de compresión en el alma= ccw =a*0.85f’c*bw Fuerza de tensión = T =As*Fy Igualamos de la manera siguiente: 𝑐𝑐𝑓 + 𝑐𝑐𝑤 = 𝑇 Sustituyendo: 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑓 ∗ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 + (𝑎 ∗ 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑤) = 𝐴𝑠 ∗ 𝐹𝑦 De esta ultima ecuación si podemos despejar a, y este valor si será tomado como profundidad del eje neutro. Sin olvidar que primero debemos revisar que nuestro eje neutro cae dentro del alma, de lo contrario se podría cometer un error en los cálculos. 𝑎=
𝐴𝑠∗𝐹𝑦 − 0.85𝑓 ′ 𝑐∗𝑓∗ 𝑏𝑓 −𝑏𝑤 0.85𝑓 ′ 𝑐∗𝑏𝑤
=
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40𝑐𝑚 2 ∗4200 𝑘𝑔 /𝑐𝑚 2 − 0.85∗210𝑘𝑔 /𝑐𝑚 2 ∗10𝑐𝑚 ∗ 80𝑐𝑚 −25𝑐𝑚 0.85∗210 𝑘𝑔 /𝑐𝑚 2 ∗25𝑐𝑚
Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco 𝑎=
168000 −98175 4462 .50
= 15.64 𝑐𝑚 (Aquí comienza la variante del método)
Sustituimos el valor de a en la ecuación de fuerza de compresión en el alma: 2
Ccw =a*0.85f’c*bw= 15.64cm *0.85cm*210kg/cm *25cm =69793.5 kg De igual manera sustituimos los valores de la fuerza de compresión en el ala: 2
CCF =0.85f’c*hf (bf-bw) =0.85*210kg/cm *10cm*(80cm-25cm)=98175.0 kg Solo resta multiplicar estas fuerzas por su brazo de palanca respectivo y sumarlas: Brazo de palanca para la fuerza de compresión en el alma: B palanca alma= d – a/2 = 50- 15.64 =42.18 cm Brazo de palanca para la fuerza de compresión en el ala: B palanca ala= d – hf/2 = 50- 5 =45 cm Ya conocidos los valores: Mn = Ccw* B palanca alma + CCF* B palanca ala = (69793.5 kg*42.18 cm) + (98175.0 kg*45 cm) Mn =2943889.83 kg/cm +4417875.0 kg/cm = 7361764.83 kg/cm = 73.61 ton/m Al igual que en vigas rectangulares aplicamos el factor Φ =0.9 Mr = ΦMn =0.9 *73.61 = 66.25 (como se puede observar es el mismo resultado y por lo tanto podemos asegurar que si se puede utilizar esta variante para resolver este tipo de problemas).
Resolviendo el mismo problema (problema 2) por otro método (aquí comienza otro método mismo problema):
Cuarta manera de resolverlo. Lo primero que se hace al igual que para los otros métodos verificar que el eje neutro cae dentro del alma: Aplicamos la formula: 𝐴𝑠 𝐹𝑦
40.0∗4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚 2
𝑎 = 0.85𝑓′ 𝑐𝑏 = 0.85∗210𝑘𝑔/𝑐𝑚 2 ∗80𝑐𝑚 = 11.76𝑐𝑚 Nota: Como ya sabemos esta no es la longitud real de nuestro eje neutro, esto solo nos indica que la viga está trabajando como viga T y que debemos tratar de resolverla como viga T y no como viga rectangular. Igualamos Cf (compresión) con la Tf (tensión), estas fuerzas debidas a las alas de la viga. 2
Cf = 0.85f’c*hf*(b-bw)= 0.85*210kg/cm *10cm*(80cm-25cm)= 98175.0 kg Tf = Asp fy 𝐴𝑠𝑝 =
0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑓(𝑏 − 𝑏𝑤) 0.85 ∗ 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ∗ 10𝑐𝑚(80𝑐𝑚 − 25𝑐𝑚) = = 23.375𝑐𝑚2 𝑓𝑦 4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Igualamos fuerza debidas al alma Igualamos Cw (compresión) con la Tw (tensión), estas fuerzas debidas a al alma de la viga. Cw = fuerza de compresión debido al alma = 0.85f’c* bw*a Tw = Asafy De donde: 𝑎=
𝐴𝑠𝑎 𝑓𝑦
𝐴𝑠𝑎 = 𝐴𝑆 − 𝐴𝑠𝑝 = 40𝑐𝑚2 − 23.375𝑐𝑚2 = 16.625 𝑐𝑚2
0.85𝑓 ′ 𝑐∗𝑏 𝑤
𝑠𝑢𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑎 =
𝐴𝑠𝑎 𝑓𝑦 16.625 𝑐𝑚2 ∗ 4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2 = = 15.65 𝑐𝑚 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑏 𝑤 0.85 ∗ 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ∗ 25𝑐𝑚
Ya con los valores de Asp y de a podemos calcular el momento nominal con la siguiente formula. 𝑴𝒏 = 𝑻𝑷 𝒅 −
𝒉𝒇 𝒂 𝒉𝒇 𝒂 + 𝑻𝑾 𝒅 − = 𝑨𝒔𝒑 𝒇𝒚 𝒅 − + 𝑨𝒔𝒂 𝒇𝒚 𝒅 − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝑴𝒏 = 𝟐𝟑. 𝟑𝟕𝟓𝒄𝒎𝟐 ∗ 𝟒𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟓𝟎𝒄𝒎 −
𝟏𝟎𝒄𝒎 𝟏𝟓. 𝟔𝟓𝒄𝒎 + 𝟏𝟔. 𝟔𝟐𝟓𝒄𝒎𝟐 ∗ 𝟒𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟓𝟎𝒄𝒎 − 𝟐 𝟐
Mn= 7362744.375kg/cm = 73.63 ton /m Aplicando el factor Φ =0.9 Mr = ΦMn =0.9*73.63 ton/m = 66.27 ton /m Y de nueva cuenta obtenemos un resultado aceptable, por lo cual se comprueba que cualquiera de las variantes anteriores es válida para resolver vigas que funcionan como vigas T sometidas a flexión simple. Ya obtenido el valor de momento nominal y por consecuencia el momento resistente, lo que sigue a continuación es revisar si la cantidad de acero es la recomendada por el código, teniendo en cuenta que el porcentaje de acero para vigas T es el mismo que para vigas rectangulares ósea el 0.75ρ balanceada. Para lo cual hacemos lo siguiente. 𝝆𝒃𝒂𝒍𝒂𝒏𝒄𝒆𝒂𝒅𝒂 =
𝟎.𝟖𝟓𝒇′ 𝒄
𝒉𝒇 𝒃−𝒃𝒘
𝑭𝒚
𝒃𝒘∗𝒅
+
𝜷𝟏 ∗𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎+𝑭𝒚
Sustituyendo: 𝝆𝒃𝒂𝒍𝒂𝒏𝒄𝒆𝒂𝒅𝒂 =
𝟎. 𝟖𝟓 ∗ 𝟐𝟏𝟎𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟏𝟎𝒄𝒎 𝟖𝟎𝒄𝒎 − 𝟐𝟓𝒄𝒎 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟔𝟎𝟎𝟎 + = 𝟎. 𝟎𝟒𝟏 𝟐 𝟒𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈/𝒄𝒎 𝟐𝟓𝒄𝒎 ∗ 𝟓𝟎𝒄𝒎 𝟔𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟐𝟎𝟎𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐
Considerando el 0.75ρbalanceada 𝟎. 𝟕𝟓𝝆𝒃𝒂𝒍𝒂𝒏𝒄𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟎. 𝟕𝟓 ∗ 𝟎. 𝟎𝟒𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟎𝟕𝟓 𝑨𝒔 = 𝟎. 𝟕𝟓𝝆𝒃𝒂𝒍𝒂𝒏𝒄𝒆𝒂𝒅𝒂 ∗ 𝒃𝒘 ∗ 𝒅 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟎𝟕𝟓 ∗ 𝟐𝟓𝒄𝒎 ∗ 𝟓𝟎𝒄𝒎 = 𝟑𝟖. 𝟒𝟒𝒄𝒎𝟐 Nota: Esta área de acero indica que tenemos una viga sobre reforzada en 0.039%respecto al 0.75 de la balanceada pero debido a que es un porcentaje realmente pequeño no representa un gran riesgo. Lo cual indicaría que la estructura está bien reforzada.
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Ing. José Antonio Mendoza Vidal cedula Prof. 6322896 universidad Juárez autónoma de Tabasco Otra forma de calcular la cuantia balanceada para vigas T es la siguiente: Calculo de la C balanceada: 𝑐𝑏 =
6120 ∗ 𝑑 6120 ∗ 50𝑐𝑚 = = 29.651 6120 + 𝑓𝑦 6120 + 4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝑎𝑏 = 0.85𝑐𝑏 = 0.85 ∗ 29.651 = 25.203 De la ecuación 𝑐𝑐𝑓 + 𝑐𝑐𝑤 = 𝑇
0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑓 ∗ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 + (𝑎 ∗ 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑤) = 𝐴𝑠 ∗ 𝐹𝑦
Sustituimos el valor de a por ab y despejamos As. 𝐴𝑠 =
0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑏𝑤 + 0.85𝑓 ′ 𝑐 ∗ 𝑓 ∗ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 𝐹𝑦
=
0.85 ∗ 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ∗ 25𝑐𝑚 + 0.85 ∗ 210𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ∗ 10𝑐𝑚 ∗ 80𝑐𝑚 − 25𝑐𝑚 4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
2
As = 51.28cm2 aplicando el 0.75 de la balanceada = 0.75*51.28cm2 = 38.46 cm , este resultado es similar al anterior por lo que podemos afirmar que se realizaron las operaciones correctamente.
Referencias:
Aspectos fundamentales del concreto reforzado. Gonzales cuevas - robles Fernández. Cuarta edición, editorial limusa. Diseño de concreto reforzado. Jack c. mccormac. Quinta edición, editorial alfaomega. Diseño simplificado de concreto reforzado. Parker – ambrose. Tercera edición, editorial limusa wiley. Diseño de estructuras de concreto. Arthur h. nilson. Duodécima edición, editorial McGraw-Hill. Diseño de estructuras de concreto armado. Teodoro E. harmsen. Tercera edición, fondo editorial pontificia universidad católica del Perú. Diseño estructural en concreto armado. María Graciela fratelli.
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