DISEÑO DE VIGAS T 1. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS TIPO “T”. Este tipo de estructuras se presentan comúnmente en concreto armado sobre todo en los sistemas de vigas y losas como el mostrado en la figura1. En algunos casos, ambos elementos son vaciados simultáneamente según recomendaciones del RNE. En otros se vacía primero las vig vigas as y luego las losas, tomando previsiones para par a que se comporten como una unidad. En ambos casos, la losa colabora con la viga para resistir los esfuerzos de compresión, generándose una sección T.
Figura 1 : Sistema de vigas y losa
Las losas contribuyen efectivamente a resistir las cargas aplicadas sobre las vigas. La magnitud de la contribución depende básicamente de la distancia entre vigas, su ancho y condiciones de apoyo, la relación entre el espesor de la losa y el peralte de la viga, etc. Si se efectúa un corte en el sistema viga-losa, aproximadamente al centro de la luz, se aprecia la distribución de esfuerzos de compresión mostrada en la figura 2. Se observa claramente que los esfuerzos se incrementan cerca de las vigas y disminuyen conforme se alejan de ellas.
Concreto Reforzado.
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Figura 2 : Distribución real y equivalente de los esfuerzos de compresión en la losa y viga.
Una sección T sometida a flexión puede trabajar de tres maneras como se muestra en la figura 3. La primera es bajo un momento flector negativo, la compresión se presenta en la zona inferior y su distribución será rectangular. La segunda se presenta si el momento flector es positivo y a ≤ hf ; hf ; Esta corresponde también a una distribución distribuci ón rectangular de la compresión.En ambas situaciones el análisis se efectuará con las fórmulas presentadas para el caso de vigas rectangulares. Para el primer caso se analizará una sección rectangular de ancho bw y para el segundo, una una de ancho b. S
Si la sección está sujeta a un momento positivo y a >hf , entonces se observará el tercer tipo de comportamiento. La zona en compresión de la viga tendrá la forma de T y las expresiones que se deducirán en seguida deben ser utilizadas. En este tercer caso no es necesario que se verifique la condición que c >hf basta con que a>hf .
Concreto Reforzado.
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Figura 3: Configuración del concreto comprimido en algunos tipos de secciones
Concreto Reforzado.
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2. DIMENSIONAMIENTO DE VIGAS “T” El ancho del patín que se supone contribuye a resistir los esfuerzos de compresión es variable. Los ensayos han demostrado que dependen principalmente principalme nte del espesor de la losa y de la luz de la viga. El reglamento RNE, señala al respecto las siguientes consideraciones: consideraci ones:
a) VIGAS : VIGAS AISLADA S
hf b
b
bw 2
hf
4 bw
d
bw
b) VIGA VIGA CON AL A A UN SOLO LADO:
b b b
b
L
bw
12
B 2
bw
6 hf b w
c)
bw
VIGA SIMÉTRICA :
L
b
b
b
16 hf bw
b
4
B bw bw
B
En todos los casos, L es la luz de la viga “T” y se usa el menor valor de “b”, “b” , según la viga planteada.
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3. ANÁLISIS Y DISEÑO DISEÑO DE VIGAS “T” Las fórmulas que se utilicen en el diseño de vigas tipo “T”, “T” , dependen de la localización del plano neutro; este pueden quedar dentro del patín o dentro del alma, analizaremos c/u de de estos casos.
a) CUA NDO EL EJE NEU TRO CAE EN EL PATÍN.
b c
d
Si c
hf
E.N.
h f , la viga “T” se analiza como viga de sección rectangular de ancho “b”, aplicando
los mismos conceptos utilizados en el diseño de vigas rectangulares.
b) CUANDO EL EL EJE NEUTRO CAE EN EN EL ALMA
Si c
h f , el eje neutro cae en el alma y es necesario hacer el análisis considerando la
contribución del patín y parte del alma en la zona de compresión.
Concreto Reforzado.
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o
Veamo s el anális is d e est est e caso :
Supondremos que la falla se inicia por fluencia del acero en tracción; lo cual verifica; ya que la zona en compresión es grande y habrá suficiente reserva para que en la rotura, la falla se inicie por fluencia del acero. Para facilitar el análisis de vigas “T”, “T”, el análisis de esfuerzos se hace por separado, para el patín y el alma. b - bw 2
b - bw 2 hf
hf
c
=
Asf
bw
c
+
bw
E.N. bw
(AS - Asf)
AS
(a)
(b)
=
+
(c)
En la figura anterior, puede observarse que la viga “T” puede analizarse como una superposición de los casos (b) y (c). El diagrama de esfuerzos parcial de la figura b, es el siguiente:
o
Por equilibrio de fuerzas horizontales, se tiene:
o
0.85 ′.. (−) −)ℎ=. ℎ=.
C= T
……………( α1 )
Además, el momento resistente último parcial, vale :
o
M b1
ASf . fy (d
hf )..........( 2) 2
Donde: A sf : Refuerzo parcial que aporta equilibrio a los esfuerzos de comprensión en las alas.
o
Concreto Reforzado.
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Se observa que en la distribución distribuc ión rectangular se ha tomado
a = hf, esto es bastante
aproximado por ser el espesor de la losa menor en comparación con el peralte. El diagrama de esfuerzos complementario de la figura c, es el siguiente:
Por equilibrio de fuerzas horizontales: 0.85 f C ' . a . bw
( AS ASf ) . fy
Despejando a :
a
o
.......... ...... ( )
( AS ASf ) . fy . (d
a ) .......( ) 2
L u e g o : El momento resistente último para toda la sección de la viga es :
1 1 1 M U M b M C
o
0.85 f C ' .bw
El momento resistente último complementario complementari o queda expresado :
M C 1
( AS ASf ) . fy
,
1 M U ASf . fy ( d
hf a ) ( AS ASf ) . fy .(d ) 2 2
El momento último presente en una sección está dado por:
M U . M U ' ASf . fy (d
hf a ) ( AS ASf ) . fy .(d )........( I ) 2 2
El reglamento establece que:
0.90 :
Para el caso de flexión en vigas
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4. Cuantía Balanceada (Pwb) En una viga de sección “T”, se denomina cuantía balanceada a la cantidad cantidad de refuerzo en la la sección para que la falla se inicie simultáneamente por fluencia del acero y por aplastamiento del concreto.
( a )
=
( b ) +
( c )
Concreto Reforzado.
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Por equilibrio de fuerzas:
× × = = = + + … … … … … … . () =0.85×´×ℎ×( ×ℎ× (−) −) =0.85×´ ×× × × = = 0.85×5 × ´ × ℎ×ℎ × (−) −) +0. 85×´××……………. . () =×=0.85×´ ×ℎ×( ×ℎ× (−) −) …………. (1) × × = = × × + + 0.85×5 × ´ × × …… … … … () ⤑ =×× = ×× ⤑ =×× = ××
Siendo:
Reemplazando en (α):
En la figura (b) tenemos que:
(1) En (β)
En la condición balanceada haciendo:
Dónde:
=cuantía balanceada de la viga T
=cuantía de las alas
Reemplazando las condiciones condiciones balanceadas en (θ)
× × = = × × + + 0.85×5 × ´ × × ×××= ×××+0. 8 5×´ ×× =+0.85× ´ ×
Simplificando y despejando:
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Se sabe que:
Entonces:
=1× =+0.85×1× ´ × ………………(1)
Del diagrama de deformaciones en el estado balanceado (figura a)
0.003 = 0.003+ ⤑ = 0.00.03+ 003 = 6000+ 6000 1 6000 ………………(II) = +0.85×1× ´ × 6000+
Reemplazando en (
)
La ecuación ( II ), expresada en forma simplificada: simplificada:
= + ……….() ×
= cuantía balanceada de una sección rectangular
La ecuación (II) nos permite determ inar la cuantía balanceada para vigas tipo “T”
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Aplicación de las fórmulas fórmulas a los problemas de chequeo chequeo y diseño de vigas Tipo “T”.
El estudio de vigas “T” por el método de rotura está gobernado por las fórmulas que se dedujeron anteriormente. Se presenta un resumen de ellas:
M U ASf . f y (d
Pwb Pwb P f 0.85 1
hf a ) ( AS ASf ) . f y (d ) .............................. ................( I ) 2 2 f C 1 f y
6000 6000 f y
.............................................................. ( II )
Por reglamento:
Pwmáx
Pwb 0.75( P f 0.75 Pwb
P b ) ............................................................ ( III )
Deberá verificarse que: Pw 0.75 Pwb Pwb P max .
Donde: Pw = Cuantía de diseño de viga “T”.
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PROBLEMA APLICATIVO: Un sistema de piso consiste en una losa de concreto apoyada monolíticamente monolíticament e por vigas continuas en “T” de 7.0 m ts. de luz libre y
1.20 m. de centro a centro de las vigas
paralelas; el espesor de la losa hf = 8cm.; Las dimensiones del alma diseñada en flexión resultó: d = 50cm y b w = 27 cm. Calcular el área de acero positiva en el centro de la luz; si la losa tiene que resistir una carga de 5 tm/m 2. Además fy = 4,200 kg/m 2;
f’c = 210
kg/cm2
NOTA: Suponer para fines de calculo que la viga esta simplemente apoyada. b
bw
hf
B 1.20
bw= 27 cm, hf = 8 cm, L = 7.0 m, b = 1.20 mt.
Cálculo del ancho del patín “b” (reglamento) :
Para una viga tipo “T” continua se tiene que: b
L 4
7.0 4
1.75 m
b B bw 1.20 m
b 16 hf b w 16 0.08 0.27 1.55 mt .
Por tanto de los 3 valores, se toma el menor de ellos, b = 1.20 mt.
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Metrado de cargas:
* Peso de la losa
=
0.08 x 2,400x (1.20- 0.27)
=
0.1786 Tn/m
* Peso de la viga
=
0.27 x (.50 +.06) x 2,400
=
0.363 Tn/m.
* Sobrecarga (S/C)
=
5 Tn /m 2x 1. 20 m
=
6 Tn/ m
Calculamos W u u
Wu
1.5 D 1.8 L
Wu
1.5 (0.1786 0.363) 1.8 (6)
11. 61tn / m
- Cálculo del momento último último (Mu): 2
Mu
Mu
wu . l
8
11.61 (7.0) 2 8
71.11t n * m
Chequear si se trata de una viga tipo “T” . Asumiendo que a = hf = 8cm .
AS
asumido
AS
asumido
M U a . fy (d ) 2
7111000 kgxcm 8 0.9 4200 (50 ) 2
40.9cm 2
Planteando la ecuación de equilibrio '
0.85 f C . aC .b
aC
aC
AS
asumido '
0.85 f C .
8.02 cm
fy
b
AS asumido fy
40.9 4200
c
0.85 210 120 a
Como, c = 9.43 cm. ≥
8.02
0.85
9.43cm
0.85
hf= 8.0 cm. ( Se comprueba que el eje neutro cae en el alma ).
Por tanto, se analiza como viga tipo “T” .
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Calculo del área parcial parcial Asf (La que equilibra las alas): Sabemos que por equilibrio de fuerzas horizontales ( Figura b y formula α1) , se tiene:
0.85 ′.. (−) −) =.
……………( α1 )
Despejando Asf, obtenemos:
AS f
0.85 f C ' (b bw) . hf fy AS f
0.85 210 (120 27) 8 4,200 2
31.62 cm
Cálculo del momento último parcial Mf Mf . AS f . fy
(d
hf ) 2
8 Mf 0.9 31.62 4200 (50 ) 2
Mf = 54.98 tm x m
Cálculo del momento último parcial complementario Mc
Ø
Mc
Mu
Mc
16.62tn m
Mf
71.6
54.98
Cálculo del área de refuerzo complementario complementar io (AS2= AS - ASf ). ).
As2, es el área que que resiste el momento complementario ( Mc) y equilibra el nervio central de la viga T:
- = 0.9. - Mc= 16.62tm m - f’c = 210 kg/ cm2 - bw= 27 cm. - d= 50 cm.
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∗ =.−√ − √ ..− ø ∗.′∗∗ ∗∗ =0.8475− 0.0.7182− 1.0.6995∗1662000 ∗210 ∗27∗50 = cm
2
0.142247
Calculamos la cuantía
=∗´/ = = = ∗ ∗ ∗ 2=2 = 0.00711235x 27 x 50 2=2 = 2
P = 0.142247 x 210 kg/ cm2 / 4200 kg/cm2 0.00711235
Calculamos el área del acero:
9.60
Calculamos el área total del acero:
= = + 9.9.60 60 = = 41.22 = = 3 ɸ 1 3/8
= A s f + A s 2
2
2
31.62 cm
2
= 43.56 cm 2
Concreto Reforzado.
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Con el área del acero total podemos calcular la cuantía de diseño ( Pw) y luego compararla con la cuantía máxima.
Verificar que: Pw Pw 0.75 Pwb Pwb
P máx
P máx
0.75 xPwb xPwb
210 6000 31.62 0.75 0.85 0.85 4200 6000 4200 (27) x50
P máx
Pwb= 0.0446
0.75 ( Pb Pb Pf )
0.0335 ,
Calculo de la cuantía de diseño. P W
P W W=
AS
bw.d
43.56 27 x50
0.0322
Como: Pw Pw
Pw Pw
Concreto Reforzado.
0.0322
0.0322
P max
0.0335
( OK)
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