ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO VIGA
Hemos definido la viga como un elemento estructural en forma prismática, larga y rectas, que están sometido a cargas laterales y/o axiales; es decir, a fuerzas perpendiculares y paralelas al eje longitudinal longitudinal de la barra causándoles fuerzas axiales y efectos efectos de corte y de flexión. Hemos analizado las armazones, estructuras y vigas como estáticamente estáticamente determinadas, aplicando las condiciones de equilibrio utilizadas anteriormente en el equilibrio de cuerpos rígidos. Sin embargo es, importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras estáticamente estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), en las que las fuerzas en estas últimas no se pueden obtener únicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático: también se requiere conocer algunas de las condiciones geométricas bajo carga. Se considera que una viga es estáticamente estáticamente determinada o isostática cuando cuando se pueden determinar las las reacciones mediante mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones en la viga sea igual a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga viga este completamente completamente inmovilizada; por ello antes de resolver una viga isostática se debe analizar la estabilidad. Cuando el número de reacciones en una viga es es menor a tres, se dice que la viga está sólo parcialmente inmovilizada inmovilizada o inestable, porque las reacciones no son suficientes para impedir todos los posibles movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio. Por otra parte, al tener más de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada indeterminada o hiperestática, para analizar estas vigas se requiere considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones ecuaciones adicionales para para que el sistema sea sea determinado. Condiciones de la viga
Número de EDE
Número de incógnitas
3 3 3
3 3 >3
Condición de viga Parcialmente inmovilizada o inestable Estáticamente determinada o isostática Estáticamente indeterminada o hiperestática hiperestática
El análisis de estructuras estáticamente estáticamente indeterminadas, generalmente requiere adicionalmente la solución de ecuaciones lineales simultáneas, cuyo número depende del método de análisis, las que en todo caso utilizan las propiedades físicas del material de las vigas y la configuración geométrica tanto de la carga y soportes, como las características seccionales de la viga.
Tipos de Vigas Las vigas pueden clasificarse por el tipo de apoyo que se utiliza.
a. Simplemente apoyada. b. Viga sobresaliente: se extiende más allá de los apoyos. c. Viga en voladizo o ménsula: Viga fija (empotrada) en un extremo y libre en el otro es una viga en voladizo o ménsula. d. viga soportada: viga fija en un extremo y simplemente apoyada en el otro se denomina. e. Viga con más de dos apoyos simples es una viga continua. f. Viga fija (sin rotación): Viga empotrada.
Ref.: Riley, Estática
Análisis de las fuerzas internas en vigas estáticamente determinadas. Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura. Para completar el análisis se hace necesario necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componen componen el sistema estructural. estructural. En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga. Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: incógnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones estáticas disponibles disponibles y tres incógnitas por por determinar. Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a determinar las fuerzas internas internas por la estática. Podemos concluir que el el elemento a analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado.
Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente independiente de cada elemento.
Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:
Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de sentido contrario.
Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención: Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria del elemento
Efecto cortante positivo
Efecto cortante negativo
Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada.
Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el elemento. Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M). Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en las abscisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza interna. Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo. La convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento.
Relación entre momento cortante y carga En el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente análisis de una sección infinitesimal del elemento.
Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos:
Integrando ambos lados, tenemos:
La variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de carga. (Note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuación). Dividiendo por dL a ambos lados tenemos:
Donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida. Ahora con la ecuación de momentos tenemos:
Considerando una longitud muy pequeña del trozo de viga analizado, el término con dL^2 se aproxima a cero, y la ecuación nos queda
integrando:
De donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante. Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos:
Donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto.
Ejercicios Dibujar los diagramas de cortante, momento y curva elástica tentativa: Para los diagramas de momento se verificará la convención haciendo el ejercicio ubicando el origen en ambos extremos del elemento. Determinar en cada caso el eje coordenado de las ordenadas de la gráfica de momentos. De que depende la orientación del eje de momentos?. Es esta única para un elemento dado? Podría determinar una manera fácil de orientar los ejes en elementos verticales y horizontales de acuerdo con la convención fijada. Cómo sería esa orientación en un marco? En las estructuras tipo marco se sugiere trabajar encontrando primero las fuerzas de extremo de los elementos y después aplicar equilibrio a cada uno. Con estos ejercicios se pretende que el estudiante tomo conciencia de los momentos de continuidad en los nudos.
Viga simplemente apoyada:
Tomaremos el ejemplo de un elemento simple, con fuerzas de extremo equivalentes a uniones de articulación. Se pide encontrar los diagramas de momento y corte. Se debe partir por encontrar las fuerzas de extremo del elemento y se recalca que el elemento, así pertenezca a un sistema estructural compuesto, debe estar en equilibrio estático, cumplir con las ecuaciones de equilibrio, considerando tanto las fuerzas de extremo o unión al sistema como las fuerzas externas actuando sobre él.
Fuerzas de reacción:
Fuerzas internas: Aplicación del método de las secciones.
Notar que el término •wl es la sección en el extremo izquierdo del elemento, por lo tanto este se puede expresar como V=A y w•x
Construcción del diagrama de corte: Sabemos que el elemento está en equilibrio por lo tanto el diagrama empieza en cero y termina en cero. Cuando hay fuerzas puntuales estas implican un brinco igual a su valor en el diagrama de corte (variación brusca de este), el brinco se da en la misma dirección de la carga puntual aplicada. Recordemos que el valor –w es la pendiente del diagrama de cortante. Empezando por el lado izquierdo tenemos:
Notemos que la sección del extremo se convierte en el cortante, así podríamos decir que Va = A y y Vb = B y . Punto donde el corte es cero. Si:
V
Va wx
Entonces igualando V = 0 y despejando x, tenemos:
x
V a w
El punto de cortante cero se encuentra dividiendo el cortante de extremo por la carga w. Otra relación interesante es que nosotros podemos obtener el cortante en cualquier punto restando al cortante de extremo lo que llevamos de carga encima del tramo estudiado (w•x).
Construcción del diagrama de momentos:
El diagrama empieza en cero y termina en cero. Cuando hay momentos de extremo o puntuales se interrumpe la continuidad del diagrama presentándose un brinco en éste. Si el momento puntual es positivo, el brinco será negativo y viceversa.
Recordemos que el valor del cortante es igual a la pendiente del diagrama de momentos.
Retomando el ejemplo inicial y empezando por el lado izquierdo de la viga tenemos:
Según la convención fijada los momentos positivos producen tracciones en la parte inferior, por eso se coloca el eje positivo para abajo.
Notemos que con las pendientes se puede trazar fácilmente el diagrama de momentos, inclusive nos muestra la curvatura.
Sabemos que un momento positivo produce concavidad hacia arriba, por lo tanto la curvatura será hacia arriba.
Determinemos el valor del momento máximo considerando que este se presenta cuando el cortante es cero (siempre una pendiente igual a cero muestra los puntos máximos y mínimos de una curva). V=0 cuando
x
V a w
, reemplazando en la ecuación de momentos tenemos:
para
Otros tipos de vigas:
CORTE
MOMENTO
DIAGRAMAS DE MOMENTO Y CORTANTE EN VIGAS A fin de complementar el tema e se muestran los diagramas de fuerzas internas (M, V) de una viga sencilla, que se podrá analizar fácilmente con los elementos del análisis anterior. Ejemplo 1
Ejemplo 2 Determine el sistema de fuerzas internas que se desarrollan en la viga de la figura siguiente:
Tramo AD
0<
<
3
V x
10000 x x 3 9000 5000 x 2 9000
M x
2
9000 x
5000
3
x
3
9
Tramo DB 3 < < 5
10000 9000 3 9000 15000 6000 2 M x 9000 x 15000 x 2 V x
Ejemplo 3 Considérese una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicírculo de 0,2 m de radio, como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de 1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la sección A-A definida por = 45°. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismo plano.
Utilizando las EDE:
F
45
0
1000 cos 45 H 45 0 H 45
F
135
0
707,11 N
1000 sen45 V 45
0
707,11 N M 45 707,11 0,2 141,42 V45
Nm
Resumen de los tres tipos de vigas isostáticas:
Utilización Programa VIGAS. En la viga de la figura, a=b= 2 m, P= 2000 kg y q= 1200 kg/m. Se trata de un perfil de acero IPN 200. Determinar la flecha provocada en los puntos A y C. Estudiar la influencia del peso propio de la viga.
Comenzamos: lo primero, seleccionar el tipo de apoyos de la viga... Pulsar [F5] para entrar en el menú de vigas y [4«] para seleccionar la deseada. Introducir [6«] como longitud de viga y [2«] para la del voladizo.
En la VENTANA DE ESTADO aparecerá la viga seleccionada y los datos conocidos de la misma.
Esta ventana se actualizará constantemente en función de lo realizado.
Continuar con las características mecánicas... Para introducir las características mecánicas se pulsa [F6]. Posteriormente [1] nos lleva al prontuario de vigas estándar. Seleccionamos de esta biblioteca la tabla de vigas IPN pulsando [*]. Después nos desplazamos a la viga IPN 200 pulsando [+] las veces precisas y la seleccionamos con [«]. El valor del momento de inercia y la distancia de la fibra neutra son incorporados a los datos conocidos de la viga.
Se debe introducir el valor del módulo de elasticidad del material. Podría hacerlo desde la biblioteca de materiales, a la que se accede pulsando [7], pero en el caso del acero, el valor se obtiene directamente pulsando [6] y, sin introducir ningún valor, pulsar [«]. Con [ESC] volvemos al menú principal.
...introducir cargas... La viga está ya definida. Pulsando [F7] podemos introducir las cargas. Seleccionando [1] se introduce la fuerza puntual de valor [2000«] y a una distancia del extremo izquierdo de [4«] m.
Luego se selecciona la opción [2] para introducir la carga uniforme, dando el valor [1200«] a su módulo, [0«] (o directamente [«]) para su origen y [2«] para su final. Con [ESC] finalizamos la entrada de cargas.
Las cargas aparecerán dibujadas en el DIAGRAMA DEL SOLIDO LIBRE.
En esta fase, salvamos nuestro archivo pulsando [F2], [1] e indicando el nombre [ejemplo].
visualizar los resultados... Para la obtención de resultados basta pulsar [F8]. Se realizan los cálculos, incorporándose los valores de las reacciones tanto en la VENTANA DE ESTADO como en la de SOLIDO LIBRE. Las curvas de constante, momento, ángulo y deformada se muestran en la VENTANA DE DIALOGO.
La línea neutra de la viga deformada se dibuja con escala real sobrepuesta a la representación de la viga en la VENTANA DEL SOLIDO LIBRE lo que permite apreciar la mayor deformación en la parte izquierda de la viga.
Informe de resultados... Para conocer datos más concretos pulsar [ESC] para, desde el menú principal, acceder a los datos de configuración pulsando [F3]. Activar la opción de valores a ON pulsando [4]. Salimos con [ESC] y con [F12] accedemos a la gráfica exclusiva de la deformada. Ahora tenemos datos adicionales, ya que, aparte de los valores máximos y mínimos, en la parte superior tenemos un valor de ordenada y la flecha en ese punto. Un pixel blanco en la viga señaliza dicho punto de estudio. Tenemos así el valor de la deformada en el punto A, equivalente a 1'068 cm.
Para obtener el valor solicitado en C, pulsamos [i], introducimos el valor [4«] y obtenemos el resultado: 0'059 cm.
Pulsando [ESC] 2 veces volvemos al MENU PRINCIPAL.
obtener un informe impreso ... Otro modo de obtener los resultados es pulsando [F4] informe. Indicar [s] a la pregunta para incluir puntos especiales, [1«] al número de puntos (el inicial y el final se incluyen siempre, por lo que solo es necesario indicar el punto intermedio) y [4«] para la ordenada de dicho punto. En la primera pantalla del informe apareceran todos los datos del cálculo, incluidas las deformaciones tanto en el punto A (x= 0m) como en el C (x= 4m).
Pulsando dos veces [ESC] finalizaremos el informe y regresaremos al menú principal.
¿hemos considerado el peso? ¿no?; calculemos variantes entonces... En este ejemplo hemos despreciado el peso de la viga. Estudiemos la importancia de esta diferencia. Con [ALT+ 1] activamos otra página de cálculo (el programa puede mantener 10 páginas simultáneas). Los números sobre el DIAGRAMA DEL SOLIDO LIBRE nos indicaran con diversos colores las páginas ocupadas, las libres, la activa y el estado de espera para copiar o sumar otra página a la activa, así como alguna situación de error. Con [ALT+ c] indicamos que queremos copiar los datos de otra página en esta y pulsando a continuación [0] indicamos que la página 0 sea copiada en la activa. Esto nos permitirá seguir varias líneas de estudio a partir de la viga que acabamos de calcular.
En el prontuario de vigas seleccionamos la misma viga IPN 200 pero en este caso, mediante [P], indicamos que se use el peso de la viga también en el traspaso de datos.
Pulsando [F12] podremos ver que la variación en el punto A es de apenas 0'1 mm. Desde el menú principal, pulsando [ALT+ 0] y [ALT+ 1] podremos cambiar de viga a placer.
Bibliografía Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica Vectorial para Ingenieros I, Estática, McGraw -Hill Latinoamericana, S.A. COVENIN (1988). COVENIN 2002-88, Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de Edificaciones Caracas, Venezuela: Fondonorma. Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros, Estática, . México D.F., México, Editorial LIMUSA, S.A. Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores,. México D.F., Editorial LIMUSA, S.A. de C.V
