Análisis de viga por elementos cuadriláteros de ocho nodos

Facultad de Ingeniería Civil - Posgrados

Tarea 4 – Análisis Análisis de viga por elementos cuadriláteros de ocho nodos

Monterrey, Nuevo León a noviembre de 2014

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Método del Elemento Finito Tarea 4

Se presenta el análisis de un elemento viga con diferentes relaciones longitud-peralte esto para comprender el comportamiento que la variabilidad de esta relación presenta en el elemento. Los parámetros geométricos tomados en cuenta se describen en el siguiente diagrama. P L/2

L/2

H

L/20

L

L/20

Figura 1. Esquemático de parámetros geométricos de viga.

Los datos de los parámetros geométricos que se utilizan en este estudio son:

       

Carga aplicada al centro del claro: Longitud del claro de la viga:

El peralte de la viga esta dado para los tres casos de relación de longitud-peralte: 1. Para 2. Para 3. Para

                       

Las propiedades del material a utilizar: Módulo elástico: Relación de Poisson:

    

El tipo de elemento a utilizar para el análisis por elementos finitos es por medio del elemento cuadrangular de 8 nodos. 4

7

3






Es importante poder establecer las funciones de forma para cada nodo utilizando elementos paramétricos lo cual ayudará a que las dimensiones de los elementos puedan variar entre si y obtener su respectiva matriz de rigidez.

Figura 3. Funciones de forma para cada nodo del elemento paramétrico en coordenadas

(-1...1).

Se definen las primeras derivadas de las funciones de forma con respecto a respectivamente.

 

Tras lo cual se puede calcular el Jacobiano de la matriz para todas las coordenadas dentro del espacio . De manera que,

 

Donde,

   ∑    ∑            ∑    ∑    [    ]

y






Ahora se procede a calcular el área y el momento de áreas de segundo orden, para ello el área del elemento está dada por,

  ∫  ∬  

Utilizando la cuadratura de Gauss para el cálculo de las integrales se ejemplifica el área de la siguiente manera,

      ∑ ∑   

Donde,

  

Número de puntos de Gauss para la cuadratura. El peso de los puntos de Gauss.



También es necesario de las relaciones constitutivas de los esfuerzos en el plano y está dada por la matriz .

             

Ahora bien para para obtener obtener la matriz de rigidez de un elemento elemento de ocho ocho nodos se requiere requiere de:



   

1. La matriz de relaciones constitutivas del esfuerzo plano. 2. Las derivadas de las funciones con respecto a y de cada punto de gauss este caso se utilizan 2 puntos de gauss.

Y este se multiplica multiplica al inverso inverso del Jacobiano Jacobiano y se ordena,



                   

, en








3. Se obtiene la matriz perteneciente al elemento al conjugar los elementos obtenidos en el paso anterior en el arreglo,

                      [             ]

4. Se calcula la matriz de rigidez del elemento,

   (  (  | |    ) En lo sucesivo se procede ensamblar la matriz de rigidez global y el vector de fuerzas externas aplicadas y resolver el sistema de ecuaciones. Finalmente se obtienen las deformaciones ( ).





Para el cálculo de los esfuerzos en cada nodo se necesitan las relaciones constitutivas y la matriz del elemento del que se desea obtener información así como las deformaciones propias de los nodos que lo integran,

  

De igual manera las deformaciones unitarias en los nodos se obtienen utilizando a B ,






Resultados Los resultados se mostrarán gráficamente con el fin de observar el comportamiento principalmente en el campo de deformaciones del elemento para los tres casos de L/H Caso LH=5

Gráfica 1. Desplazamientos nodales en fibra superior en LH=5.

Gráfica 2. Desplazamientos Desplazamientos nodales en fibra inferior en LH=5.








Gráfica 4. Deformaciones Deformaciones unitarias de nodos en eje L/4.

La Gráfica 4 muestra una tendencia a una distribución lineal de las deformaciones unitarias y por ende en los esfuerzos. Caso LH=3






Gráfica 7. Desplazamientos Desplazamientos horizontales de nodos en eje vertical L/4.





Método del Elemento Finito Tarea 4 Caso LH=1

Gráfica 9. Desplazamientos nodales en fibra superior en L/H=1.

Gráfica 10. Desplazamientos nodales en fibra inferior en L/H=1.






Gráfica 12. Deformaciones unitarias de nodos en eje vertical L/4.

Comparativa de linealidad A continuación se muestran de nuevo los gráficos de deformaciones unitarias para cada caso mostrando la línea de tendencia de los puntos y mostrando el valor de R. 100 80 60 40 20





Método del Elemento Finito Tarea 4 150

100

50

0 -0.0001

- 0. 0.00008

-0.00006

- 0. 0.00004

-0.00002

0

0.00002

0.00004

0.00006

0.00008

0.0001

-50

-100

-150

R² = 0.9956

-200

Gráfica 14. Comparativa de linealidad de L/H=3. 600

400

200

0 -0.00001

-0.000005

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

-200

-400

-600

-800

R² = 0.5956

0.000025

0.00003

Análisis de viga por elementos cuadriláteros de ocho nodos

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