ENSINO INTEGRADO
ANÁLISE DIMENSIONAL
PROFESSOR
JOSÉ CARLOS F. BASTOS
ALUNO(A) TURMA
TC
Nº TURNO
ANÁLISE DIMENSIONAL A análise dimensional é uma ferramenta de grande valia para identificar grandezas, verificar e homogeneidade de equações e prever fórmulas a partir de conclusões experimentais. 01 – Grandezas físicas fundamentais e derivadas São denominadas grandezas fundamentais (ou primitivas) as grandezas físicas cuja conceituação independe de outras grandezas. É o caso de três grandezas mecânicas comprimento, massa e tempo. tempo. Quando você diz, por exemplo, que a distância de São Paulo ao Rio de Janeiro é de 400 quilômetros aproximadamente, não é necessário recorrer a outras grandezas físicas para que ocorra a compreensão do comprimento da estrada que interliga as duas cidades. A massa de 1 quilograma de um pacote de açúcar também independe da citação de outras grandezas físicas para ser perfeitamente entendida.. Se a duração de determinado fenômeno for de 1 hora, não haverá o que acrescentar a essa informação, já que a noção de tempo é desvinculada de outros conceitos. Atribuiremos ao comprimento, à massa e ao tempo, respectivamente, os símbolos dimensionais M, L e T. A grandeza térmica fundamental é a temperatura – símbolo dimensional θ - e a grandeza elétrica fundamental é a intensidade de corrente elétrica – símbolo dimensional I. Seria mais natural considerar a carga elétrica como grandeza fundamental da Eletricidade, mas, por conveniência, adotou-se a intensidade de corrente elétrica. São denominadas derivadas as grandezas físicas cuja conceituação depende de outras grandezas. É o caso da velocidade e da aceleração, por exemplo, que decorrem dos conceitos de comprimento e tempo. 02 – Fórmulas dimensionais Qualquer grandeza física pode ser escrita na forma de produto de potências de bases M, L, T, θ e I; o que varia de um caso para outro são os expoentes dessas potências. Ao citado produto, que serve para identificar cada grandeza física, dá-se o nome de fórmula (ou equação) dimensional. dimensional. Sendo A uma grandeza mecânica, B uma grandeza térmica e C uma grandeza elétrica sua fórmulas dimensionais são expressas genericamente na forma: [A] = MaLbTc [B] = MdLeTf θg [C] = M bLiT jIk É interessante você observar que, sendo A uma grandeza mecânica, em sua fórmula dimensional
DATA ___/___/__
FÍSICA
não comparece a potência de base θ, nem potência de base I. Da mesma forma, sendo B uma grandeza térmica, em sua fórmula dimensional não comparece a potência de base I. Se uma grandeza qualquer, for independente da massa, por exemplo, teremos na sua fórmula dimensional a potência M 0, que não precisa ser incluída na fórmula, já que M 0 = 1 e 1 é elemento neutro da multiplicação. Para obtermos a fórmula dimensional de uma grandeza, partimos de sua fórmula física e expressamos todos os fatores que dela participam em função das grandezas fundamentais. fundamentais. No exemplo a seguir, você pode observar esse procedimento: 01. Velocidade
v = ∆s ∆t
Como [∆s] = L e [ ∆t] = T, temos:
[v] =
L T
⇒ [ v] = LT -1 = ∆v ∆t
02. Aceleração a
Como [∆v] = LT -1 e [∆t] = T
[a] =
LT -1 L
⇒ [a] = LT -2
03. Força ( F = ma) Como [m] = M e [a] = LT -2 [F] = MLT -2 04. Trabalho ( τ = FdCos θ) Como [F] = MLT -2, [d] = L e Cos θ é adimensional (não tem dimensão física, temos: [ τ ] = ML2T-2 05. Energia cinética
E C =
mv 2 2
Como [m] = M, [v] = LT -1, temos: [EC] = ML 2T-2
Notas: Notas:
• Obtivemos a fórmula dimensional da energia, porém o resultado encontrado aplica-se a qualquer outra modalidade de energia, como, por exemplo, calo (Q ( Q): [Q] = ML 2T2
ANÁLISE DIMENSIONAL • Energia e trabalho são grandezas medidas nas mesmas unidades. Por isso, têm a mesma fórmula dimensional.
E V = p q
Como [ E p ] = ML2T-2 e [ q ] = IT, temos:
P = τ ∆t
06. Potência
14. Potencial elétrico
[V ] =
ML2 T -2 IT
⇒
[ V ] = ML2T-3I-1
2 -2
Como [ τ ] = ML T e [∆t] = T, temos:
[P] =
ML2 T -2
⇒
T
2 -3
[P] = ML T
08. Quantidade de movimento ( Q = mv ) Como [m] = M e [v] = LT -1, temos: [Q] = MLT -1 Nota: • Quantidade de movimento e impulso são grandezas medidas na mesma unidade. Por isso, também têm a mesma fórmula dimensional.
µ =
m
V
Como [m] = M e [V] = L 3, temos:
[µ ] =
M
⇒
3
L
[ µ ] = ML-3
= F A
10. Pressão p
Como [ F ] = MLT
[ p] =
MLT
-2
2
L
11. Calor específico
-2
ML2 T -2 θ
e [ A ] = L , temos:
⇒
[ p ] = ML -1T-2
c = Q m∆θ ⇒
12. Capacidade térmica
[ c ] = L 2T-2θ-1
[C] =
θ
I
⇒
[ R ] = ML 2T-3I-2
Do mesmo modo, podemos obter a fórmula dimensional de qualquer outra grandeza física. Por outro lado, conhecida a fórmula dimensional de uma dada grandeza física, podemos determinar facilmente sua unidade de medida em termos das unidades de medida das grandezas fundamentais. Lembrando que no SI a unidade de comprimento é o metro (m), a de massa é o quilograma (kg), a de tempo é o segundo (s), a de temperatura termodinâmica é o Kelvin (K) e a de intensidade de corrente elétrica é o ampère (A), temos por exemplo:
• Para a pressão: [ p ] = ML -1T-2 ⇒ Unidade no SI: kg.m-1s-2 = pascal (Pa) • Para a capacidade térmica: [ C ] = ML 2T-2θ-1 ⇒ Unidade no SI: kg.m 2.s-2.K-1 • Para resistência elétrica: [ R ] = ML 2T-3I-2 ⇒ Unidade no SI: kg.m 2.s-3.A-2 = ohm ( Ω).
Seria uma igualdade do tipo 500 m 3 = 500 Ω? É claro que não! Afinal, m 3 é unidade de volume e Ω é unidade de resistência elétrica.
Uma equação física verdadeira deve ser dimensionalmente homogênea, isto é, deve ter em ambos os membros a mesma fórmula dimensional.
C = Q ∆θ
Como [ Q ] = ML 2T-2 e [∆θ] = θ, temos:
ML2 T -2
[R ] =
ML2 T -3 I -1
03 – Homogeneidade dimensional 2
Como [ Q ] = ML 2T-2, [ m ] = M e [ ∆θ] = θ, temos:
[c] =
U = Ri ⇒ R = U i
Como [ U ] = [ V ] = ML 2T-3I-1 e [ i ] = I, temos:
07. Impulso (I = F∆t) Como [F] = MLT -2 e [∆t] = T, temos: [I] = MLT -1
09. Densidades
15. Resistência elétrica
⇒
[ C ] = ML 2T-2θ-1
= Q ⇒ = ∆ Q i t ∆t
13. Carla elétrica i
Como [ i ] = I e [ ∆t ] = T, temos: [ Q ] = IT
Considere, por exemplo, as equações I e II abaixo, em que A, B, C, D e F são grandezas físicas e [ A ], [ B ], [ C ], [ D ], [ E ] e [ F } são suas respectivas fórmulas dimensionais: I. A = B + C II. D = E.F Para que haja homogeneidade dimensional, deve ocorrer: Em I: [ A ] = [ B ] = [ C ] Em II: [ D ] = [ E ].[ F ]
ANÁLISE DIMENSIONAL Vamos admitir, por exemplo, uma equação física do tipo p = µAh, em que p representa a pressão, µ, densidade e h, altura. Qual deve ser a fórmula dimensional da grandeza A para que equação seja dimensionalmente homogênea? Recordemos, inicialmente que: [ p ] = ML -1T-2, [ µ ] = ML -3 e [ h ] = L Temos, então: [p]=[ µ].[A][h] ML-1T-2 = ML-3 [ A ] L Donde:
[ A ] = LT -2
Observe que a fórmula dimensional obtida para A permite-nos concluir que essa grandeza é uma aceleração. 04 – Previsão de fórmulas físicas Admita que um pesquisador, fazendo experimentos com pêndulos simples, conclua que o período (P) de oscilação desses dispositivos depende da massa da esfera pendular (m), do comprimento do fio (C) e da intensidade da aceleração da gravidade (g). Como poderia esse pesquisador , utilizando análise dimensional, obter uma fórmula física para o período de oscilação de um pêndulo simples? Primeiramente, ele reúne suas conclusões experimentais numa proporcionalidade do tipo: P = k.mx.Cy.gz Onde k é uma constante de proporcionalidade adimensional. Em seguida, ele implementa a expressão anterior em termos das respectivas fórmulas dimensionais das grandezas envolvidas P, m, C e g. Lembrando que [ P ] = T, [ m ] = M, [ C ] = L e [ g ] = LT -2, ele escreve: T = MxLy(LT-2)z T = MxLyLzT-2z 0 0 M L T = MxLy+zT-2z Observando que a equação deve ser diemnsionalmente homogênea, ele estabelece a identidade entre os expoentes das potências de mesma base do primeiro e do segundo membro, isto é, ele impõe: X=0 Y+Z=0 - 2Z = 1 Resovendo o sistema constituído pelas equações acima, ele obtém X = 0, Y = 1/2 e Z = -1/2 e escreve: P = km0C1/2g-1/2
P = k Notas:
C g
• O valor da constante adimensional k, que sabemos pela teoria do movimento harmônico simples ser igual 2π, não ficou determinado pelo método praticado pelo pesquisador. Entretanto, ele pode voltar ao laboratório, fazer medições de P, C e g, substituir os valores obtidos na fórmula de P e encontrar um bom valor para a constante k. É importante salientar que há casos em que essa é a única maneira de se obter uma fórmula completa. • O período de oscilação do pêndulo simples independe da massa da esfera pendular. Portanto, o pesquisador cometeu um engano ao supor que P dependia de m. No entanto, esse engano foi retificado pela análise dimensional, que estabeleceu para M o expoente x = 0. Exercícios 01. Uma das principais equações da Mecânica quântica permite calcular a energia E associada a um fóton de luz em função da freqüência f da respectiva onda eletromagnética: E = hf Nessa equação, h é constante de Planck. Adotando como fundamentais as grandezas M (massa), L (comprimento) e T (tempo), determine a fórmula dimensional de h. 02. Conforme a teoria de Newton, dois astros de massas respectivamente iguais a M e m, com centros de massa separados por uma distância d, atraem-se gravitacionalmente trocando forças de intensidade F, dada por:
F=G
Mm d2
em que G é a constante de gravitação universal. Em relação às dimensões mecânicas fundamentais – comprimento (L), massa (M) e tempo (T) - , determine a equação dimensional, bem como a unidade SI de G. 03. A pressão p de um número de mols n de gás perfeito que ocupa um volume V a uma temperatura absoluta τ pode ser calculada pela equação de Clapeyron: pV = nRτ em que R é uma constante, denominada constante universal dos gases perfeitos. Adotando como fundamentais as grandezas F (força), L (comprimento) e θ (temperatura), determine a fórmula dimensional de R. 04. Para o movimento de um corpo sólido em contato com o ar foi verificado experimentalmente que a intensidade da força de resistência F r é determinada pela expressão F r = kv2, na qual v é o módulo da velocidade do corpo em relação ao ar, e k, uma constante. A unidade de k, no Sistema Internacional (SI), é dada por: a) kg.m-1 b) kg.m c) kg.m.s -1
ANÁLISE DIMENSIONAL d) kg.m-1.s-2 e) kg.m2.s-2 05. No Sistema Internacional (SI), as sete unidades de base são o metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol). A Lei de Coulomb da Eletrostática permite calcular a intensidade (F) da força de interação (atração ou repulsão) trocada entre duas cargas puntiformes Q1 e Q2, separadas por uma distância d, por meio de uma expressão do tipo:
F=
1 4πε 0
.
Q1 Q 2 r 2
em que ε 0 é uma constante fundamental da Física. Em relação a ε 0 é correto afirmar que: a) é uma grandeza adimensional. b) No SI, é medida em m-2.s2.A2. c) No SI, é medida em m -3.kg-1.A2. d) No SI, é medida em m-3.kg-1.s4.A2. e) No Si, é medida em m-3.s4.A2.
são,
09. Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade de propagação do som, com a pressão e a massa específica ρ (kg.m-3), num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo:
V
=C
11. O módulo da velocidade de uma onda transversal, em uma corda tensa, depende da intensidade da força tensora F a que está sujeita a corda, de sua massa m e de seu comprimento d. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que o módulo da velocidade é proporcional a:
F md 2
07. Na equação dimensional homogênea x = at 2 – bt3, em que x tem dimensão de comprimento (L) e t tem dimensão de tempo (T), as dimensões e a e b são respectivamente: a) LT e LT-1 b) L2T3 e L-2T-3 c) LT-2 e LT-3 d) L-2T e T-3 e) L2T3 e LT-3
α
10. Suponha que o módulo da velocidade de propagação V de uma onda sonora dependa somente da pressão p e da massa específica do meio µ, de acordo com a expressão: V = pxµy Use análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.
a)
06. Adotando como fundamentais as grandezas M (massa), L (comprimento), T (tempo) e I (intensidade de corrente elétrica), determine as fórmulas dimensionais e as respectivas unidades SI das seguintes grandezas físicas: a) carga elétrica; b) capacitância eletrostática.
08. Os valores de x, y e z para que a equação: (força)x . (mass) y = (volume)(enregia)z seja dimensionalmente correta respectivamente: a) (-3, 0, 3) b) (-3, 0, -3) c) (3, -1, -3) d) (1, 2, -1) e) (1, 0, 1)
c) α = 2, β = 1. d) α = 2, β = 2. e) α = 3, β = 2.
P β ρ
onde C é uma constante adimensional. Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes α e β são: a) α = 1, β = 2. b) α = 1, β = 1.
Fm b) d 1/ 2 Fm c) d 1/ 2 Fd d) m 2 md e) F 12. No meio rural, todas as fontes energéticas são importantes. Uma das fontes é o vento, do qual se pode obter potência através de um cata-vento. A potência do cata-vento depende, por meio de uma relação monômia, da intensidade do ar µ, da área projetada do rotor A e do módulo da velocidade do ar V. Sendo k uma constante adimensional, determine a expressão da potência do vento p. 13. Verifica-se experimentalmente que o fluxo de calo ( φ ) – energia por unidade de tempo – através de uma parede que separa dois ambientes mantidos em temperaturas constantes e diferentes depende da área (A) da parede, da diferença entre as temperatura (∆θ) nos dois ambientes e do coeficiente de condutibilidade térmica (C) do material pelo o qual o calor é conduzido, sendo, ainda, inversamente proporcional à espessura (e) da parede. Adotando uma constante adimensional (k), determine, por análise dimensional, a expressão de φ em função de C, A, ∆θ e e. É dada a fórmula dimensional do coeficiente de condutibilidade térmica: [ C ] = MLT -3θ-1, em que M é massa, L é comprimento, T é tempo e θ é temperatura. 14. A figura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo
ANÁLISE DIMENSIONAL capilar de comprimento L e seção transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse fluxo depende da variação de pressão ao longo do comprimento L do tubo por unidade de comprimento ( ∆P/L), do raio do tubo (a) e da viscossidade do fluido ( η) na temperatura do experimento. Sabe-se que o coeficiente de viscossidade ( η) de um fluido tem a mesma dimensão do produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de fluido coletado por unidade de tempo é proporcional a:
a) Quais são as unidades de σ no Sistema Internacional de Unidades? b) Encontre a expressão para o peso total da viga em termos de γ, d e L. c) Suponha que uma viga de diâmetro d 1 se rompa sob a ação do próprio peso para um comprimento maior que L 1. Qual deve ser o diâmetro mínimo de uma viga feita do mesmo material com comprimento 2L 1 para que ela não se rompa pela ação de seu peso? 16. Considerando as grandezas físicas A e B de dimensões respectivamente iguais a MLT -2 e L2, onde M é dimensão de massa, L é dimensão de comprimento e T é dimensão de tempo, a grandeza definida por A.B-1 tem dimensão de: a) potência b) energia c) força d) quantidade de movimento e) pressão GABARITO
a)
A
[ H ] = ML 2T-1 [ G ] = M -1L3T-2; kg-1m3s-2 [ R ] = FL θ-1 a d a) IT; As = coulomb b) M-1L-2T4I2 ; kg-1m-2s4A2 = farad (F) 07. c 08. b 09. c 01. 02. 03. 04. 05. 06.
∆P
. η L
∆P a 4
. L η L η c) . ∆P a 4 ∆P η . d) L A L 4 e) a η ∆P b)
10. V
=
P µ
11. d 12. p = k µAV3
15. Além de suas contribuições fundamentais a Física, Galileu é considerado também o pai da resistência do materiais, ciência muito usada em engenharia, que estuda o comportamento de materiais sob esforço. Galileu propôs empiricamente que uma cilíndrica de diâmetro d e comprimento (vão livre) L, apoiada nas extremidades, como na figura abaixo, rompe-se ao ser submetida a uma força vertical F, aplicada em seu centro, dada por:
F = σ
d3 L
onde σ é a tensão de ruptura característica do material do qual a viga é feita. Seja γ o peso específico (peso por unidade de volume) do material da viga:
13. φ = kC
A∆θ
14. b 15. a) kgm-1s-2 b)
e
γπ d 2 L
c) 4d1 16. e
4
