1. Analice la programación programación lineal para la aplicación de problemas problemas para la investigación de operaciones ¿Por qué se llama Programación Lineal?
Planeación Optimización
Funciones lineales
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. En el campo laboral siempre está el problema de la asignación de recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima), en ese orden de ideas, la programación lineal proporciona herramientas avanzadas en la investigación de operaciones que le permitan al ingeniero estudiar y planificar sistemas complejos, con el fin de plantear alternativas que en lo posible sean óptimas para su adecuado funcionamiento
2. Analice la estructura básica de los problemas problemas de programación programación lineal Un problema de programación lineal consta de una función objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades. Conceptos clave: -
Función objetivo : La función por optimizar (maximizar o minimizar)
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sa tisfacer. Sistema Restricciones : Representan condiciones que es preciso satisfacer.
de igualdades y desigualdades (≤ Ó≥ ) Maximizar Sujeto a
P = X + 1.2Y
FUNCION OBJETIVO
2X + Y ≤ 180 X + 3Y ≤ 300 X ≥ 0 Y≥0
RESTRICCIONES
3. Analice la programación lineal como instrumento de solución de problemas de investigación de operaciones Se sabe que la programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Es por ello que los modelos de Programación Lineal son ampliamente utilizados como herramienta de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución, como así también su pertinencia a distintos problemas de naturaleza real. A continuación se presentan algunos ejemplos resumidos en complejidad con el objetivo de mostrar algunas aplicaciones típicas. -
Problema de Inversión: Considere que usted dispone de un capital de 21.000
dólares para invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 dólares en la Acción A y como mínimo 6.000 dólares en la Acción B. Además la inversión en la Acción A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a la Acción B. Usted quiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual. Variables de Decisión: x = dólares invertidos en Acción A. y = dólares invertidos en Acción B.
Función Objetivo: Se busca maximizar la rentabilidad anual que resulta de invertir en los 2 tipos de acciones.
Maximizar 0.1x + 0.08y
Restricciones: Considera las recomendaciones de su amigo. x + y ≤ 21.000 x ≤ 13.000 y ≥ 6.000 x - 2y ≤ 0
x≥0, y≥0
Se puede invertir como máximo 21.000 dólares en total Invertir como máximo 13.000 dólares en Acción A Invertir como mínimo 6.000 dólares en Acción B Inversión en A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B No Negatividad
Solución Óptima: X = 13.000 Y = 8.000. Valor Óptimo V(P) = 1.940 dólares . Se recomienda verificar estos resultados a través de la resolución gráfica.
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Problema de Proceso Productivo: Una empresa produce tres tipos de muebles
(A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio. Variables de Decisión: X = Unidades a elaborar y vender del mueble A. Y = Unidades a elaborar y vender del mueble B. Z = Unidades a elaborar y vender del mueble C. De esta forma el modelo de optimización que permite encontrar el plan óptimo de producción es el siguiente:
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Problema de Mezcla de Productos: Se dispone de 2 ingredientes para fabricar
caramelos, cuyo sabor variará dependiendo de la proporción en que intervengan
cada uno de los ingredientes. El primer ingrediente se compra a $10 por kg y el segundo a $20 por kg El proceso de elaboración supone un costo de $5 por kg fabricado, cuya cantidad total corresponde simplemente a la suma de los kg empleados en la mezcla. La demanda máxima para un mes se cifra en 100 kg y el precio de venta $50 kg A la empresa no le interesa producir más de los que puede vender en el mes. Por último, la composición de la masa debe contener una proporción que no supere el 50% del primer ingrediente y el 80% del segundo ingrediente. Se requiere determinar cuántos kg de caramelos se tiene que fabricar al mes y las proporciones en las que deben ser utilizados los ingredientes para obtener un máximo beneficio. Variables de Decisión: X1: Kg a usar del ingrediente 1 en un mes X2: Kg a usar del ingrediente 2 en un mes
Función Objetivo: Obtener la máxima utilidad de la venta de los caramelos descontando los costos de producción
Maximizar 50*(X1 + X2) – 10*X1 – 20*X2 - 5*(X1 + X2) = 35*X1 + 25*X2 Restricciones: Demanda Máxima: X1 + X2 <= 100 Composición: X1/(X1 + X2) <= 50% Composición: X2/(X1 + X2) <= 80% No Negatividad: X1,X2>=0
o o
0,5*X1 – 0,5*X2 <= 0 -0,8*X1 + 0,2*X2 <= 0
Solución Óptima: X1 = 50 X2 = 50. Valor Óptimo V(P) = $3.000.
4. Analizar la programación No Lineal La programación lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosa, tanto en la modelización de problemas de la vida real como en la teoría matemática de amplia aplicación. Sin embargo, muchos problemas interesantes de optimización son no lineales. El estudio de estos problemas implica una mezcla diversa de álgebra lineal, cálculo multivariado, análisis numérico y técnicas de computación. Entre las áreas especiales importantes se encuentra el diseño de algoritmos de computación (incluidas las técnicas de puntos interiores para programación lineal), la geometría y el análisis de conjuntos convexos y funciones,
y el estudio de problemas especialmente estructurados, tales como la programación cuadrática. La optimización no lineal proporciona información fundamental para el análisis matemático, y se usa extensamente en las ciencias aplicadas (en campos tales como el diseño de ingeniería, el análisis de regresión, el control de inventario y en la exploración geofísica). Dicho esto, se tiene que, la programación no lineal es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.
5. Analizar la estructura básica de los problemas de Programación no Lineal Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. La función objetivo, f(), es una función no lineal de las incógnitas: x=[x1,…,xn].
Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL) de la siguiente manera: Encuentre los valores de las variables x1 , x 2 , , xn que
z
f x1 , x 2 ,, xn máximo (o mínimo)
Sujeto a
(1)
g1 x1 , x2 ,, xn ; ; b1 g 2 x1 , x2 ,, xn ; ; b2 …………………………. …………………………. g n x1 , x2 ,, xn ; ; bn
6. ¿Cuál es la solución más factible entre la aplicación de la programación lineal o la programación no lineal? La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales. Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas). Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos
numéricos
iterativos,
cuyo
funcionamiento
se
basa
en
estas
caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales. En base a lo antes expuesto y a modo de conclusión, la solución más factible entre la aplicación de la programación lineal o la programación no lineal, depende de que La solución para el problema de programación lineal es un conjunto convexo.
También sabemos que la solución de programación lineal se encuentra en un punto extremo de un conjunto convexo. Sin embargo, que aunque la región factible para un problema de programación no lineal sea un conjunto convexo, la solución óptima para un problema de programación no lineal no tiene que ser un punto extremo de la región factible del problema de programación no lineal.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal
http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_Inv_Oper.htm
http://docencia.izt.uam.mx/gma/taller3/pl.pdf
http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm
http://ecomat.ccee.uma.es/mateco/Docencia/PM/Leccion%201/Leccion%201%20Epig%20 4%20Prog%20No%20Lineal.pdf
http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_lineal.html
http://alejandra090290.wordpress.com/unidad-3-programacion-no-lineal/
http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_no_lineal
http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html
http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/master/optimizacion/Programacion_no_li neal.pdf
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN C.O.L. CABIMAS
PROGRAMACIÓN LINEAL Y NO LINEAL
Autores: Torres Junneth CI: 17.189.960 Morles William CI: 20.744.861 Yajure Anggy CI.: 16.631.205 Profesor: José León
Cabimas Octubre 2011.
