Anacova 2 Arah

TUGAS KELOMPOK ANALISIS VARIANSI TERAPAN TWO-WAY ANALYSIS OF COVARIANCE

Disusun oleh : 1. Jusriaty M Purba

(11/314053/PA/13755)

2. Novalia P Sinaga

(11/314072/PA/13759)

3. Dwi Rully Hardina

(11/316709/PA/13837)

4. Nuruul Aini Utami

(11/316955/PA/14073)

5. Rahmaningrum K

(12/334675/PA/14908)

6. Naufal Ibnu Amzani

(12/336539/PA/15089)

Dosen Pengampu

: Prof. Dr. Sri Haryatmi, M.Sc.

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2015

ANALISIS KOVARIANSI DUA ARAH TWO-WAY ANALYSIS OF COVARIANCE

I.

Pengertian

Pengertia ANACOVA ANACOVA merupakan teknik analisis yang berguna untuk meningkatkan presisi sebuah percobaan karena didalamnya dilakukan pengaturan terhadap pengaruh peubah bebas lain yang tidak terkontrol. ANACOVA digunakan jika peubah bebasnya mencakup variable kuantitatif dan kualitatif. Dalam ANACOVAdigunakan konsep ANOVA dan analisis regresi. ANACOVA dilakukan dengan menambahkan variablel concomitant pada model ANOVA yang memuat efek faktor dengan satu atau lebih variablel tambahan yang berelasi dengan variablel dependen (Y). Penambahan ini bertujuan mengurangi variansi kesalahan (error) dalam model. Peubah-peubah dalam ANACOVA dan tipe datanya :

Secara spesifik, uji ANACOVA menggunakan asumsi layaknya uji ANOVA, bersifat homoskedastik, artinya tidak mengandung masalah heteroskedastisitas dimana nilai residual memiliki keragaman yang konstan, dan data setidaknya memiliki standar error yang kecil. Analisis kovariansi juga harus memenuhi asumsi-asumsi berikut ini :  Galat percobaan berdistribusi normal ~ 𝜀𝑖𝑗 𝑖𝑖𝑑 𝑁(0, 𝜎 2 )  Masing-masing populasi untuk setiap level faktor memiliki variansi yang sama  Data observasi, Y independen  Hubungan antara X dan Y bersifat linear dan bebas dari perlakuan atau kelompok percobaan.  X bersifat tetap dan tidak berkorelasi (bebas) dengan perlakuan yang dicobakan.

Tujuan ANACOVA adalah sebagai berikut : 

Untuk mengetahui/melihat pengaruh perlakuan terhadap peubah respon dengan mengontrol peubah lain yang kuantitatif.



Mendapatkan kemurnian pengaruh variabel independen terhadap variabel dependen



Mengontrol kondisi awal sebelum penelitian dengan cara pre & post tes



Mengontrol variabel luar yang secara teoritis akan mempengaruhi hasil penelitian

Pengertian ANACOVA Dua Arah Merupakan perluasan dari anacova 1 arah. Apabila dalam anacova 1 arah hanya terdapat 1 faktor, sedangkan dalam anacova 2 arah terdapat 2 faktor.

II. Model Anakova 𝑌𝑖𝑘𝑟 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛾𝑘 + (𝛼𝛾)𝑖𝑘 + 𝛽𝑋𝑖𝑘𝑟 + 𝜀𝑖𝑘𝑟 Keterangan : 𝑌𝑖𝑘𝑟 = nilai pengamatan pada satuan pengamatan ke-r yang memperoleh taraf ke-i dari faktor 1 dan taraf ke-k dari faktor 2 𝜇.. = overall mean (rata-rata keseluruhan) 𝛼𝑖 = taraf ke-i pengaruh faktor 1 𝛾𝑘 = taraf ke-k pengaruh faktor 2 (𝛼𝛾)𝑖𝑘 = pengaruh interaksi taraf ke-i faktor 1 dan taraf ke-k faktor 2 𝜀𝑖𝑘𝑟 = galat yang muncul dari satuan percobaan ke-r yang memperoleh kombinasi perlakuan ik (taraf ke-i dari faktor 1 dan taraf ke-k dari faktor 2) 𝑋𝑖𝑘𝑟 = nilai pengamatan ke-ikr pada variabel konkomitan 𝛽 = koefisien regresi antara 𝑌𝑖𝑘𝑟 dengan 𝑋𝑖𝑘𝑟 III. Estimasi Parameter

Kemudian menentukan jumlah-jumlah kuadrat terkoreksi. Berawal dari persamaan regresi ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝑌̂𝑙𝑘𝑟 = 𝛽̂ (𝑋𝑙𝑘𝑟 − 𝑌 𝑙𝑘𝑟 ) + 𝑌𝑙𝑘𝑟 . Jumlah kuadrat galat terkoreksi merupakan selisih kuadrat antara amatan dengan persamaan regresi. Berikut penjabaran perhitungan jumlah kuadrat:

Dengan derajat bebas= gbn – 1 – 1= gbn – 2

Untuk mendapatkan uji hipotesis tentang penagruh faktor 1, 2, dan interaksinya, perlu diperoleh jumlah kuadrat terkoreksi untuk faktor-faktor tertentu. Total dari masing-masing bentuk (A, B, dan AB) diperoleh dengan menambahkan galat ke bentuk jumlah kuadrat dan jumlah hasil kali (A+E, B+E, AB+E).

Kuadrat tengah terkoreksi dapat diperoleh dengan membagi jumlah kuadrat terkoreksi dengan derajat bebasnya.

IV. Pemisahan Jumlah Kuadrat Untuk analisis kovarian 2 arah diperlukan jumlah-jumlah kuadrat dan jumlah hasil kali sebagai berikut :

Analisis variansi variable Y

𝑆𝑆𝐴𝑦 =

∑𝑖 𝑌𝑖.. 2 𝑌 …2 − 𝑛𝑏 𝑛𝑎𝑏

∑𝑗 𝑌𝑗.. 2 𝑌 …2 𝑆𝑆𝐵𝑦 = − 𝑛𝑎 𝑛𝑎𝑏 𝑆𝑆𝐸𝑦 = ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘 𝑖

𝑗

𝑘

2

∑𝑖 ∑𝑗 𝑌𝑖𝑗. 2 − 𝑛

𝑆𝑆𝑇𝑂𝑦 = ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘 2 − 𝑖

𝑗

𝑘

𝑌 …2 𝑛𝑎𝑏

𝑆𝑆𝐴𝐵𝑦 = 𝑆𝑆𝑇𝑂𝑦 − 𝑆𝑆𝐴𝑦 − 𝑆𝑆𝐵𝑦 − 𝑆𝑆𝐸𝑦

Analisis variansi variable X 𝑆𝑆𝐴𝑥 = 𝑆𝑆𝐵𝑥 =

∑𝑖 𝑋𝑖.. 2 𝑋 …2 − 𝑛𝑏 𝑛𝑎𝑏 ∑𝑗 𝑋𝑗.. 2 𝑛𝑎

−

𝑋 …2 𝑛𝑎𝑏

𝑆𝑆𝐸𝑥 = ∑ ∑ ∑ 𝑋𝑖𝑗𝑘 𝑖

𝑗

𝑘

2

∑𝑖 ∑𝑗 𝑋𝑖𝑗. 2 − 𝑛

𝑆𝑆𝑇𝑂𝑥 = ∑ ∑ ∑ 𝑋𝑖𝑗𝑘 2 − 𝑖

𝑗

𝑘

𝑋 …2 𝑛𝑎𝑏

𝑆𝑆𝐴𝐵𝑥 = 𝑆𝑆𝑇𝑂𝑥 − 𝑆𝑆𝐴𝑥 − 𝑆𝑆𝐵𝑥 − 𝑆𝑆𝐸𝑥

Analisis variansi variable XY 𝑆𝑃𝐴 = 𝑏𝑛 ∑( 𝑋̅𝑖 . . − 𝑋̅ … )( 𝑌̅𝑖 . . − 𝑌̅. . ) =

∑𝑖 𝑋𝑖 . . 𝑌𝑖 . . 𝑋 … 𝑌 … − 𝑏𝑛 𝑎𝑏𝑛

𝑆𝑃𝐵 = 𝑎𝑛 ∑( 𝑋̅ .𝑗 . − 𝑋̅ … )( 𝑌̅.𝑗 . − 𝑌̅. . ) =

∑𝑗 𝑋 .

𝑗.

𝑎𝑛

𝑌.𝑗 .

−

𝑋… 𝑌… 𝑎𝑏𝑛

𝑆𝑃𝐸 = ∑ ∑ ∑(𝑋𝑖𝑗𝑘 − 𝑋̅𝑖 𝑗 . ) (𝑌𝑖𝑗𝑘 − 𝑌̅𝑖 𝑗 . ) 𝑖

𝑗

𝑘

𝑆𝑃𝐴𝐵 = 𝑛 ∑ ∑( 𝑋̅𝑖 𝑗 . − 𝑋̅𝑖 . . − 𝑋̅ .𝑗 . + 𝑋̅ … )( 𝑌̅𝑖 𝑗 . − 𝑌̅𝑖 . . − 𝑌̅.𝑗 . + 𝑌̅. . ) 𝑖

𝑗

𝑆𝑃𝑇𝑂 = 𝑆𝑃𝐴 + 𝑆𝑃𝐵 + 𝑆𝑃𝐴𝐵 + 𝑆𝑃𝐸

V. Uji Hipotesis dan Tabel Anacova

Tabel Anacova

Contoh Soal Peneliti ingin mengetahui apakah metode mengajar ( metode A, B dan C) dan guru (guru 1, guru 2) mempunyai efek yang sama dalam pembelajaran matematika pokok bahasan bangun ruang (Y). Serta Ketiga metode dan kedua guru tersebut dicobakan kepada tiga kelas. Akan tetapi seperti yang sudah diketahui bahwa nilai siswa untuk pokok bahasan bangun ruang tidak lepas dari kemampuan siswa pada pokok bahasan bangun datar (X) . Untuk keperluan tersebut dari masingmasing kelas diambil secara random sejumlah anak, dan hasilnya adalah sebagai berikut :

Guru 1

Guru 2

Total

Metode A X Y 80 80 65 70 60 80 80 50 60 60 70 85 60 70 80 65 50 100 65 65

Metode B X Y 80 75 75 45 70 100 66 55 40 50 70 70 100 70 50 60 60 70 50 60

Metode C X Y 70 70 80 70 60 90 50 60 50 78 50 60 70 60 50 55 50 80 70 60

670

661

600

725

655

683

Penyelesaian :

Guru 1

i.1. Ratarata Guru 2

i.2. Ratarata i.. Ratarata

Metode A X Y 80 80 65 70 60 80 80 50 60 60 345 340 69 68

Metode B X Y 80 75 75 45 70 100 66 55 40 50 331 325 66,2 65

Metode C X Y 70 70 80 70 60 90 50 60 50 78 310 368 62 73,6

70 60 80 50 65 325 65

85 70 65 100 65 385 77

70 100 50 60 50 330 66

70 70 60 70 60 330 66

50 70 50 50 70 290 58

60 60 55 80 60 315 63

670

725

661

655

600

683

67

72,5

66,1

65,5

60

68,3

X

Total Y

X.1. = 986 Y.1. = 1033 65,73333 68,8666667

X.2. = 945 Y.2. = 1030 63 63 1931

2063

64,3666667 68,76666667

Analisis

Sumber Variasi Faktor metode Faktor Guru Interaksi Metode dan Guru

Sum of Square Y X XY 1052,6 60 39063 17,63333 563,3333 58540

df 2 1

999,2667

86,66667

62,06667

2

8349,2 10418,7

5490 6200

1615 99280,2333

24 29

Error Total

Sumber Variasi Faktor Metode Faktor Guru Interaksi Metode dan Guru Error Total

Adjusted SS 4904,89771 4656,6092

Adjusted df 2 1

Adjusted MS 2452,44886 4656,6092

F 12,113525 23,0006639

5141,46581

2

2570,7329

12,6977724

4656,47479 19359,4475

23 28

202,455425 691,40884

Uji Hipotesis : Interaksi AB

 Ho H1

: (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0

: tidak semua (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0

(tidak ada efek interaksi metode dengan guru) (ada efek interaksi metode dengan guru)

 Tingkat signifikansi α α = 0,05  Statistik Uji : 𝐹𝐴𝐵 = 12,6977724 𝐹(0,05;2;23) = 3,422  Daerah kritik : H0 ditolak jika 𝐹𝐴𝐵 > 𝐹(0,05;2;23)  Kesimpulan Karena 𝐹𝐴𝐵 > 𝐹(0,05;2;23) maka H0 ditolak, sehingga disimpulkan bahwa ada efek interaksi antara metode pembelajaran dengan guru

Karena ada interaksi antara metode pembelajaran dengan guru maka analisis berhenti sampai disini.