Oleh : Betty Kasih Paramita (10830) Ihda Ihsania (10599) Gempur Safar (10877) Eka Setyaningsih (11169)
Liya Fitriyani (10515) Muhammad Alawido (10830) Erma Apriliana (10924)
Prof. Dr. Sri Haryatmi Kartiko
Program Studi Statistika Fakultas Matematika Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada
Pengantar Analisis variansi dapat diperluas dengan melibatkan tiga atau lebih faktor (variabel) dimana dari setiap variabelnya terdapat sejumlah kategori perlakuan (level faktor) Sama dengan Analisis Variansi Satu Arah, Analisis Variansi Multi Arah juga harus memenuhi asumsi dasar:
Populasi berdistribusi Normal
Populasi memiliki variansi yang sama
Sampel random diambil secara Independen
Analisis variansi multi arah juga dapat menggunakan model efek tetap, efek random, dan model efek campuran .
Model Anava 3 Arah Anava 2 Arah model efek tetap yaitu :
Y ijkm i j k ( )ij ( )ik ( ) jk ( )ijk ijkm Dimana : kons tan a
i kons tan dim ana i 0 i 1 b
j kons tan dim ana i 0 j 1 a
b
( )ij kons tan dim ana ( ) ij 0 dan ( )ij 0 i 1
j 1
ijk ~ NID (0, 2 ) dim ana i 1, 2, ... , a; j 1, 2, ... , b; k 1, 2, ..., n
Model tersebut jiak dituliskan ke dalam bentuk matrix : y 1n X A X B X C X AB ( ) X AC ( ) X BC ( ) X ABC ( ) e. Matriks-matris tersebut akan dihitung dengan menggunakan perkalian Kronecker . Ada empat komponen untuk setiap matriks, satu untuk masing-masing faktor, maka 1N untuk pengulangan. Untuk setiap matriks, komponen faktor-faktor yang relevan dengan matriks identitas, dan yang lain merupakan vektor: 1n
1a 1b 1c 1N
X A
I a 1b 1c 1N
X B
1a I b 1c 1N
X C
1a 1b I c 1N
X A B
I a I b 1c 1N
X AC
I a 1b I c 1N
X BC
1a I b I c 1N
X A BC I a I b I c 1N
Dalam ANOVA dua arah, model dianggap mengikuti aturan tertentu : Jika salah satu efek utama ada dalam model, maka
μ
dalam model, dan
jika ada interaksi dua arah, maka dua efek utama juga dalam model.
Untuk model 3 arah, kondisi yang sama biasanya mengikuti: •
Jika efek utama ada dalam model, maka μ ada dalam model.
•
Jika interaksi dua arah ada dalam model, maka dua efek utama yang terkait dalam model (misalnya, jika (αγ)ik ada dalam model, begitu pula αi dan γk)
•
Jika interaksi 3 arah ada dalam model, maka semua interaksi dua arah ada dalam model (sehingga model jenuh)
Masing-masing model dapat digambarkan dengan memberikan faktorfaktor dan interaksi yang hadir. Berikut adalah beberapa contoh (dan notasi): Model
Ruang vektor
μijk
Saturated
MA x B x C
i j k ( )ij ( )ik ( ) jk ( )ijk
All Two-way
MA x B+B x C+A x C
i j k ( )ij ( )ik ( ) jk
Additive
MA + B + C
i j k ( )ij
No AxB interaction
MB X C + A x C
i j k ( )ik ( ) jk
A x B interaction
MA X B + C
i j k ( )ij
No B Effect
MA X C
i j k ( )ik
No Effects
MØ
Persamaan yang sesuai untuk tiga-arah model seimbang adalah :
Sekali lagi, ruang-ruang di sebelah kanan semua ortogonal. Hal ini paling mudah untuk melihat dengan mencari matriks proyeksi, yang diberikan menggunakan perkalian Kronecker dengan H dalam slot yang relevan, dan J di tempat lain. Yaitu,
Matriks ini dapat ditemukan dengan menggunakan teknik-teknik untuk model dua arah. Derajat kebebasan mudah untuk ditemukan dengan mengambil trace, mengingat bahwa trace dari perkalian Kronecker, dan trace (J ) = 1 dan trace (H ) = k-1.
Dari tabel tersebut, mudah untuk membangun tabel ANOVA. Jika semua efek adalah tetap, maka F semua menggunakan MSE pada penyebut.
Uji Statistik untuk Anava 3 Arah Model Efek Tetap Hipotesis
H0 : semua αi = 0 H1 : ada minimal 1 αi ≠ 0
H0 : semua βi = 0 H1 : ada minimal 1 βi ≠ 0
H0 : semua γi = 0 H1 : ada minimal 1 γi ≠ 0
H0 : semua (αβ)ij = 0 H1 : minimal 1(αβ)ij ≠ 0
H0 : semua (αγ)ik = 0 H1 : minimal 1 (αγ)ik ≠ 0
H0 : semua (βγ)jk = 0 H1 : minimal 1 (βγ)jk ≠ 0
H0 : semua (αβγ)ijk = 0 H1 : minimal 1 (αβγ)ijk ≠ 0
Statistik Uji *
F
*
F *
F *
F
*
F *
*
MSE MSB MSE MSC MSE
MSAB MSE MSAC
F F
MSA
MSE MSBC MSE
MSABC MSE
Daerah Kritis
F* > F(1-α;a-1,(n-1)abc) F* > F(1-α;b-1,(n-1)abc) F* > F(1-α;c-1,(n-1)abc) F* > F(1-α;(a-1)(b-1),(n-1)abc) F* > F(1-α;(a-1)(c-1),(n-1)abc) F* > F(1-α;(b-1)(c-1),(n-1)abc) F* > F(1-α;(a-1)(b-1)(c-1),(n-1)abc)
