Bab 3. Teori Elastisitas (tensor, stress, strain, dsb) 3.1. 3.1.
Alja Aljaba barr Te Tens nsor or
3.1.1 3.1.1 Skalar Skalar Skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai satu nilai saja. Sebagai contoh adalah massa, panjang, waktu, volume, luas, dsb yang semuanya hanya mempunyai besar saja. Skalar dinotasikan dengan huruf tanpa indeks yang berupa huruf (kalau angka boleh) misalnya m untuk massa, L massa, L untuk untuk panjang, v0 untuk kecepatan awal, dan v2 untuk kecepatan pada saat sekon (indeks berupa angka), dsb. 3.1.. !ektor !ektor adalah besaran yang nilainya dinyatakan dengan set 3 nilai atau angka (triad number) yang independent satu sama lain. "engan kata lain vektor mempunyai besar dan arah, yang dalam koordinat kartesian dapat diuraikan menjadi 3 komponen nilai ke tiga arah yang berbeda. Sebagai contoh besaran vektor adalah perpindahan atau pergeseran (displacement), kecepatan, dan percepatan, yang kesemuanya mempunyai besar dan arah. !ektor dinotasikan dengan huruf dengan indeks berupa 1 huruf, misalnya ui untuk perpindahan, v j untuk kecepatan, ak untuk untuk percepatan, dsb. Secara matematis vektor ui dapat dinyatakan sebagai# ui = ( u1 , u , u3 ) , dengan u1 , , u2 , dan , dan u3 adalah komponen$komponen ui pada sumbu 1, sumbu , dan sumbu 3 (atau sb %, sb y, dan sb &, tapi ini tidak dipakai karena tidak sesuai dengan simbul vektor). 3.1.3. 'ensor 'ensor adalah besaran yang nilainya ditentukan dengan set nilai yang indipendent satu sama lain. ontoh yang paling mudah untuk besaran tensor adalah stress. Stres adalah gaya yang bekerja pada suatu bidang per satuan luas. *aya tersebut dapat bekerja secara tegak lurus bidang (gaya normal) atau sejajar bidang (gaya geser). "alam suatu sistem koordinat, bidang sebarang dapat diuraikan menjadi 3 komponen bidang, misal bidang 1, , dan 3 (y&, %& dan %y). Sementara itu gaya dapat diuraikan menjadi 3 komponen, misal f misal f 1 , , f 2 , dan , dan f f 3. +leh karena itu setiap stress dapat diuraikan menjadi komponen yang independen satu sama lain. "engan demikian tensor dapat dinotasikan sebagai 1 huruf dengan dengan indeks berupa huruf yang berbeda, misalnya p misalnya pij dan bersama komponen$komponenya dapat dituliskan sebagai#
pij
p11 = p 1 p31
p1
p13
p
p 3
p 3
p 33
(1)
"alam hal ini indeks depan menunjukkan arah gaya penyebab stress dan indeks belakang menunjukkan bidang dimana p dimana p bekerja. bekerja. adi p adi p21 berarti komponen p komponen p kearah sumbu (atau sumbu y) pada bidang 1 (bidang yang tegak lurus sumbu 1 atau bidang y&).
3.1.-. +rde suatu tensor stilah tensor biasanya dihubungkan dengan besaran yang nilainya ditentukan set data independen seperti halnya stress, yang dinotasikan dengan pij (huruf dengan indeks huruf yang biasanya dipakai untuk simbul bilangan bulat, seperti# i, j, k, l, m, dan n). 'etapi, besaran$besaran skalar, vektor dan tensor nampaknya mempunyai urutan orde tertentu, sehingga semua besaran tersebut dapat disebut sebagai tensor dengan orde tertentu, yaitu# Skalar a adalah tensor orde /, • !ektor ai adalah tensor orde 1, • 'ensor aij adalah tensor orde , • 'ensor aijk adalah tensor orde 3, dst. • adi tensor orde 3 aijk adalah besaran yang nilainya ditentukan oleh set 0 nilai yang independent satu sama lain, yang sulit dituliskan diatas 1 lembar kertas ( dimensi), tapi masih dapat dituliskan diatas susunan 3 lembar kertas (3 dimensi). 'ensor orde - aijkl yang besarnya ditentukan oleh set 1 nilai tentu lebih sulit lagi untuk dituliskan karena keterbatasan dimensi ruang yang hanya sampai dengan 3. 3.1.2. ndeks bebas dan indeks dummy ndeks i, j, k, l , dst yang dipakai dalam notasi tensor# a ,i aij , aijk , dst disebut sebagai indeks bebas (free indices), karena i, j, k, l independent satu sama lain dan bebas pemilihannya (pemakaiannya). "engan demikian indeks ini tidak akan muncul kali (misal aiik ) untuk menampilkan suatu tensor. Sedang indeks dummy yang dinotasikan dengan dobel inde%, misalnya aii , x jj, dsb, dalam aljabar tensor mempunyai arti yang sangat penting, yaitu untuk menyingkat penulisan ekspresi matematis tertentu yang terlalu panjang. ndeks dummy dapat didefinisikan secara lengkap dari persamaan$persamaam matematis berikut# eii = e jj = e kk = e11 + e + e33 , () xi ei = x j e j = x1e1 + x e + x 3 e3 , (3) dan
∂u i ∂ xi
=
∂u1 ∂ x1
+
∂u ∂ x
+
∂u 3 ∂ x3
.
(-)
ersamaan () dan (3) menunjukkan pemakaian inde% dummy dapat diubah secara bebas dan sembarang. 3.1.4. 5otasi koordinat 5otasi koordinat adalah transformasi koordinat yang paling sederhana, menjadi koordinat baru arah sumbunya berbeda, namun titik asalnya tetap. "engan demikian sumbu$sumbu baru adalah sumbu$sumbu lama yang yang berotasi dengan sudut tertentu. 5otasi koordinat akan memberikan komponen$komponen vector maupun tensor pada koordinat baru, yang nilainya dapat ditentukan dari nilai$nilainya pada koordinat lama dan sudut$sudut rotasi masing$masing sumbunya. 3.1.4.1. 5otasi koordinat untuk vektor ontoh yang paling mudah adalah rotasi koordinat vector pergeseran pada suatu bidang datar (vector dimensi), seperti yang terlihat pada gambar 3.1a.
6
2’
x2 16 x1’
1
x2’ 16 1 x1
3 36
*ambar 3.1. 5otasi koordinat # a). 5otasi koordinat pada 1 bidang datar, dan b). 5otasi koordinat dalam ruang 3 dimensi (yang lebih umum).
ada gambar tersebut, %1 adalah komponen pergeseran kearah sumbu 1 dan % adalah pergeseran kearah sumbu . 7ila sumbu koordinat diputar (rotasi) sesudut tertentu, maka nilai komponen pergeseran ke arah sumbu$sumbu baru adalah# x1′ = x1 cos ∠11′ + x cos ∠1′ (2)
x ′ = x1 cos ∠1′ + x cos ∠′ , dan (4) 11′, ∠1′ , dst adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu 1 dan1′ , dan 1′ , dengan ∠ dst. 8ntuk selanjutnya digunakan istilah cosinus arah (direction cosinus), yaitu# a11′ = cos ∠11′, a1′ = cos ∠1′, a13′ = cos ∠13′, dst (0) 7ila ketentuan pada persamaan (2), (4), dan (0) diterapkan pada rotasi koordinat yang lebih umum yaitu dalam ruang 3 dimensi (gambar 3.1 b), maka komponen vector pada arah sumbu$sumbu baru adalah# x1′ = a11′ x1 + a1′ x + a31′ x3 , ()
x ′
= a1′ x1 + a ′ x + a3′ x3 ,
()
x3′ = a13′ x1 + a3′ x + a33′ x3 . dan (1/) 'iga persamaan (), (), dan (1/) dapat disingkat menjadi satu persamaan yang sangat kompak yaitu# x ′k = aik ′ xi (11) 3.1.4.. 5otasi koordinat untuk tensor 9ndaikan komponen$komponen tensor pij pada suatu sistem koordinat dengan sumbu$sumbu 1, , 3, adalah p11 , p12 , p13 , p21 , p22 , p23 , p31 , p32 , dan p33. 7erpakah nilai komponen$komponen tensor tersebut pada sistem koordinat baru dengan sumbu$sumbu 1′, ′, 3′ , hasil rotasi koordinat dengan sumbu 1, , 3. :omponen tensor dalam koordinat 1′, ′, 3′ dapat dihitung dari nilai komponen tensor pada koordinat lama dan sudut$sudut rotasi sumbu koordinatnya. Sebagai contoh, untuk menghitung komponen tensor yang baru p1′′ , harus dicari dulu 3 nilai komponen tensor kearah 1; pada bidang yang tegak lurus sumbu 1, , dan 3, yaitu# p 1′1 = a11′ p11 + a 1′ p 1 + a 31′ p 31 , (1)
dan
p1′ = a11′ p1 + a 1′ p + a31′ p3 ,
(13)
p1′3 = a11′ p13 + a 1′ p 3 + a31′ p33 .
(1-)
Selanjutnya p1′′ dapat dihitung dari persamaan (1), (13), dan (1-), melalui hubungan# p1′′ = a1′ p1′1 + a ′ p1′ + a 3′ p1′3 atau# p1′′ = a1′ (a11′ p11 + a1′ p1 + a31′ p31 ) + a ′ (a11′ p1 + a 1′ p + a31′ p3 ) + a3′ (a11′ p13 + a1′ p 3 + a31′ p33 )
(12)
atau# p1′′
=
a11′ a1′ p11
+ a 1′ a1′ p 1 + a 31′ a1′ p 31 +
a11′ a ′ p1
+ a 1′ a ′ p + a 31′ a ′ p 3 +
a11′ a3′ p13
+ a 1′ a 3′ p 3 + a31′ a3′ p 33
(14)
atatan# ersamaan (14) terdiri dari suku, karena komponen stress pada sumbu lama ada komponen. 8ntuk memudahkan mengingatnya, setiap suku pada persamaan (14) selalu mengandung cosinus arah a dengan indeks 1; dan ;, sedang indeksnya yang lain sama dengan indeks komponen tensor lamanya. ersamaan (14) dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan menjadi# p1′′
= ∑ai1′ a j ′ pi j
,
i, j
i , j
= 1,,3
(10)
ada persamaan (10) indeks i dan j tertulis kali, sedang indeks 1; dan ; hanya tertulis 1 kali. +leh karena itu, sesuai dengan perjanjian penggunaan indeks dobel (dummy indeks), maka persamaan (10) dapat ditulis menjadi# p1′′ = ai 1′ a j ′ pi j (1) Secara lebih umum, yaitu untuk komponen tensor baru dengan indeks sembarang k; dan l;, berdasar persamaan (1) dapat dituliskan hubungan# p k ′ l ′ = a i k ′ a j l ′ p i j (1) ersamaan (1) adalah persamaan yang sangat kompak, yang melukiskan persamaan untuk untuk komponen$komponen tensor yang baru, yang masing$masing persamaannya terdiri dari suku. 3.1.7. Tensor-tensor khusus
3.1.0.1. :ronecker delta :ronecker delta, yang dituliskan dengan simbul δ ij adalah tensor orde yang nilai komponen$komponennya adalah /, kecuali komponen diagonalnya yang bernilai 1. Secara matematis, δ ij dapat dituliskan sebagai# δ i j
=
1, /,
= j untuk i ≠ j
untuk i
(/)
atau dalam ekspresi matriks adalah# δ i j
1 = / /
/
/
1
/
/
1
(1)
Sifat$sifat substitusi kronecker delta yang berkaitan dengan vektor d an tensor antara lain adalah# δ i j x i = x j () δ i j pi k = p j k , dan (3) 3.1.0.. 9lternating tensor ni adalah tensor order 3, yang disimbolkan dengan ε ijk , dengan nilai komponen$ komponennya adalah −1, /, dan 1, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai# /, bila indeksnya ada yang berulang ε i j k =
1, bila i j k adalah permutasi genap −1,
(-)
bila i j k adalah permutasi ganjil
3.1.0.3. 'ensor simetris dan antisimetris "alam hal ini hanya khusus untuk tensor orde .
1 = 2 − 4
2 -
− 4 - 3
(4)
'ensor antisimetris tensor yang nilai$nilai komponennya antisimetris terhadap diagonalnya, sehingga berlaku relasi# T i j = −T j i , (0) yang berarti komponen diagonalnya harus sama dengan /. ontoh tensor antisimetris adalah# T i j
/ − - = − / 3 - − 3 /
()
3.1.0.-. 'heorema 'heorema 1# Setiap tensor orde sembarang, T ij dapat diuraikan=dituliskan • menjadi sebuah tensor simetris dan sebuah tensor antisimetris, yaitu# T i j = •
•
1
(T i j + T j i ) +
1
(T i j − T j i )
()
'heorema # ika tensor T ij adalah simetris pada suatu sistem koordinat, maka tensor tersebut akan tetap simetris dalam sistem koordinat baru oleh rotasi koordinat, atau# T k ′l ′ = a ik ′ a jl ′ T ij (3/) :ontraksi tensor# Sebuah tensor dikatakan dikontraksi, jika salah satu indeks bebasnya diset sama dengan yang lain. Sebagai contohnya T ij menjadi T ii, yang dapat dituliskan sebagai# T i i = T 11 + T +T 33 , (31)
yang berupa suatu skalar. adi kontraksi sebuah tensor akan mengurangi orde tensor tersebut dengan (misal dari tensor orde menjadi skalar). 3.1.
Soal$Soal
1. >%pand p k ′l ′ = ai k ′ a j l ′ pi j for k ′ ? , dan l ′ ?3 . *iven the stress pij for a 1,,3 cartesian coordinate system # pi j
1 = 1
1
/
/
3
@ind p k ′l ′ for a rotation of the a%es 3// ccw about the a%is. 3. Show that# a). δ i i = 3 b). δ i j ε i j k = / c). f ϕ is a skalar, then
∂ϕ ∂ xi
(or grad ϕ is a vektor).
-. Show that a). 9ny second order cartesian tensor, t ij can be written as the sum of a symmetric and an antisymmetric tensor. b). f aij and bij are symmetric and antisymmetric tensors, then aij bij ? /
