Algoritmo para generar formulas de características geométricas de las secciones planas, su implementación en DERIVE Algorithm for the calculation of the geometric characteristics of the plane sections defined for polygonal, their implementation in DERIVE Rolando Rivero-al!n
Departamento de Matemática. Facultad de Ingeniería Mecánica. Instituto Superior Politécnico "José Antonio Echeerría" ! #JAE. alle $$% &$$'($ e)$$' * $+,. Marianao. -a a/ana. a /ana. P $'0'(. u/a. E!mail1 rolandorg2mecanica.cu3ae.edu.cu
http1))scielo.sld.cu)scielo.php4script5sci6artte7t8pid5S$9$:!:'%%+($(((($((((' Resumen
En la es;era del dise
se presenta con relatia ;recuencia el cálculo de determinadas características o propiedades geométricas de secciones planas> como son entre otras1 el área de una secci?n transersal> el centro de graedad> un momento de inercia o más general la determinaci?n de alguna característica geométrica de;inida por una integral do/le e7tendida en la regi?n del plano =ue ocupa la secci?n> sec ci?n> pie@a o elemento. El presente tra/a3o tiene como o/3etio la con;ecci?n de un programa para computadora> utili@ando el asistente matemático DEIBE> para la determinaci?n de las características geométricas de secciones se cciones planas cu*o contorno este constituido por segmentos de rectas. "ala#ras claves$ Algoritmo> secci?n plana> DEIBE> momentos> centro de graedad.
A#stract
In the sphere o; the design o; structures> is relatie ;re=uenc* the calculation o; certain characteristic or geometric properties o; plane sections> liCe1 the area o; a traerse section> the center o; grait*> grait*> a moment o; inertia or more general the determination o; some geometric characteristic de;ined /* a dou/le integral e7tended in the region o; the plane that occupies the section> piece or element. he present orC has as o/3ectie the maCing o; a program ;or computer> using the mathematical assistant DEIBE> ;or the determination o; the geometric characteristics o; plane sections hose contour this constituted /* segments o; right. %ey &ords$ Algorithm> plane section> DEIBE> moments> center o; grait*Introducci?n.
Desarrollo
Al o/tener los modelos matemáticos o ;?rmulas para descri/ir el comportamiento de elementos de má=uinas o estructurales> sometidos a acciones e7teriores surge la necesidad de calcular determinadas integrales do/les e7tendidas so/re la secci?n transersal del elemento /a3o análisis $G.
Figura $. egi?n simplemente cone7a orientada positiamente Sea la regi?n del plano simplemente cone7a limitada por el contorno * orientada positiamente> como se muestra en la ;igura $> entonces tiene lugar la ;ormula1
H$ Siendo
> un campo ectorial con
componentes en .
> continuas * con deriadas parciales continuas
#na propiedad o característica geométrica de una secci?n plana =ue ocupa la regi?n del plano K> está dada por una integral do/le e7tendida en la regi?n de una cierta ;unci?n ; H7>* =ue modela la propiedad o característica> por lo =ue se tiene1
H+
H0
Por lo =ue escogiendo adecuadamente los campos escalares P H7>* * L H7>*> se consigue e7presar la integral do/le =ue modela la característica =ue se desea calcular como una integral de línea a traés del contorno =ue limita a la regi?n . Para secciones con una densidad super;icial de masa constante e igual a la unidad> por e3emplo el momento de inercia del área respecto al e3e 7 está dado por1
H% Entonces
> de H0> se tiene inmediatamente =ue>
Siendo φ€una ;unci?n ar/itraria> por lo =ue se tiene la ;ormula1
H: on la ;ormula H% es posi/le calcular el momento de inercia de la regi?n mediante una integral de línea a traés del contorno +G. Formulas similares se han o/tenido para las características geométricas de secciones planas> por e3emplo para el cálculo de las coordenadas del centro de graedad de la regi?n se emplean las ;ormulas1
H
H,
Si el contorno está ;ormado por la uni?n de curas simples a tramos tam/ién tienen lugar las ;ormulas anteriores> así como cuando la regi?n =ue ocupa la secci?n sea mNltiplemente cone7a. uando el contorno de la regi?n se apro7ima mediante segmentos de rectas ;ormando poligonales para o/tener una apro7imaci?n del alor de la integral de línea o el contorno está ;ormado por segmentos de rectas orientados adecuadamente como se indica en la ;igura +> tienen lugar las siguientes e7presiones para algunas de las propiedades geométricas.
Figura +. egi?n do/lemente cone7a> contorno poligonal * orientaci?n positia Orea de la regi?n
"rimeros 'omentos
H9
H' 'omentos de inercia
H$(
H$$
H$+ Para la programaci?n en computadora digital * con el o/3etio de encontrar ;ormulas cerradas para el cálculo de las características geométricas> se utili@? el asistente matemático DEIBE dado su gran poder para tra/a3ar sim/?licamente * su alto poder de c?mputo> el programa se denomina1 P-K6PPIEDADES.d;. Por supuesto =ue con el programa desarrollado es posi/le tam/ién el cálculo numérico de secciones con geometría comple3a> pero> para esto se dise se de;ine un ector> cu*as componentes son matrices> cada matri@ es una componente del contorno. Estas matrices contienen es sus ;ilas las coordenadas de los puntos inicial * ;inal de cada segmento de recta> con la orientaci?n dada al contorno. -as matrices pueden contener cual=uier nNmero de ;ilas. Para ;acilitar la de;inici?n del contorno se han creado arias ;unciones> =ue permiten de;inir regiones simétricas respecto a los e3es coordenados o al origen de coordinas> rotar * trasladas regiones. am/ién se cuenta con ;unciones =ue de;ine la regi?n del plano =ue corresponde a los per;iles más comunes en ;unci?n de las dimensiones de cada per;il. -as ;unciones para de;inir simetría son1 SKMEK6 H;> esta ;unci?n de;ine el contorno de una regi?n simétrica respecto al e3e de coordenadas > donde ; es una de las partes del contorno. SKMEK6K H;> de;ine el contorno de una regi?n simétrica respecto al e3e de coordenadas K> donde ; es una de las partes del contorno. SKMEK6IQER H;6> deuele el contorno de una regi?n simétrica respecto al e3e al origen de coordenadas. Se han programado ;unciones =ue permiten trasladar a una regi?n del plano ( a un per;il a un punto dado o reali@ar una rotaci?n determinada> alrededor del origen de coordenadas. E+emplo $
Supongamos =ue se tiene el conocido per;il de la siguiente ;igura1
Figura 0.! egi?n del plano =ue de;ine a un per;il -a ;unci?n> -6PFI- H/> h> t> deuele una matri@ =ue de;ine la regi?n mostrada en la ;igura 0> con la orientaci?n adecuada * con las dimensiones generales de /ase> altura * espesor del per;il> esta matri@ es1
H$0 Rote =ue las ;ilas de la matri@ anterior son las coordenadas de los értices de la poligonal =ue ;orma el per;il -> para ;ormar la ;rontera su ;rontera. Si en ese per;il se desea rotar un ángulo €θ * trasladar su origen al punto Hs> t> la ;unci?n A6PFI- H-6PFI- H/> h> t> α > reali@a esa operaci?n de rotaci?n> o/teniéndose1
H$% -a programaci?n permite reali@ar simplemente la operaci?n1
AS-ADA6PFI- HA6PFI- H-6PFI- H/> h> t> θ > h> C> o/teniéndose el mismo resultado. Es de destacar =ue las operaciones reali@adas * en general para los per;iles de;inidos el algoritmo creado da como resultado una matri@ =ue contiene las coordenadas de los értices de la poligonal correspondiente * con la geometría =ue se ha*a solicitado. odas las ;unciones =ue se han indicado tam/ién pueden ser utili@adas para regiones mNltiplemente cone7as de cual=uier grado. #na e@ de;inido el contorno> este se pasa como argumento de las di;erentes ;unciones =ue determinan la propiedad deseada o todas las =ue están de;inidas en el programa. En el caso =ue se =uiera o/tener ;ormulas para la determinaci?n del centro de graedad del per;il -> con respecto al sistema de coordenadas original> esto es> las coordenadas del centroide de la regi?n =ue se muestra en la ;igura 0> con respecto al sistema de re;erencia =ue se indica. Son conocidas arias ías para e;ectuar el cálculo planteado> =ue para el caso se se puede descomponer la regi?n en su/regiones para las cuales se cono@can las coordenadas del centroide * aplicar las ;ormulas para centroide de áreas compuestas. Es conocido =ue este procedimiento puede complicarse en e7tremo en dependencia de la regi?n * más aNn tratándose de /uscar ;ormulas en dependencia de las magnitudes de la pie@a en cuesti?n. #na e@ generado el contorno con el algoritmo =ue se plante? anteriormente> o/teniéndose H$0> simplemente se llama a la ;unci?n1 P-K6ERE6F6QABIIK H-6PFI- H/> h> t> la cual deuele un ector con las coordenadas del centroide en ;unci?n de las dimensiones del per;il> estas son.
Pero una ;?rmula para determinar el momento de inercia respecto a un e3e =ue pase por el centroide * =ue sea paralelo al e3e coordenado > no es mu* ;ácil de o/tener. Para este ;in> el momento de inercia de área con respecto a cual=uier e3e alo3ado en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un e3e centroidal paralelo más el producto del área * el cuadrado de la distancia entre los dos e3es. Este resultado se o/tiene con el simple llamado a la ;unci?n> P-K6ERIDA-6IREIA-6MMER H-6PFI- H/> h> t> con lo =ue se o/tiene1
E+emplo $
Para deducir ;ormulas para calcular el área * el momento> respecto al e3e de las ordenadas de la regi?n =ue se muestra.
Figura %. egi?n dada por la uni?n de dos per;iles1 I * > en ;unci?n de los parámetros a> /> t> l> h En primer lugar ha* =ue de;inir el contorno paramétrico de la regi?n de;inida por los per;iles> es decir en ;unci?n de los parámetros1 a> /> l> t * h =ue son las dimensiones aria/les de las dimensiones de los per;iles. A pesar =ue el usuario puede de;inir el contorno mediante las coordenadas de los értices de las poligonales> respecto a un sistema de re;erencia =ue le sea ;acti/le> esta tarea se puede simpli;icar haciendo uso de los siguientes procedimientos =ue están de;inidos en el programa> para DEIBE. P-K6PPIEDADES.d;. De;inici?n del contorno de la regi?n de la ;igura %. -a ;unci?n> I6PFI- Ha> /> h> t> t$> t+ H$: Da como resultado un per;il I generali@ado> como el =ue se muestra en la ;igura :.
Figura :. Per;il I generali@ado $ Para el caso del per;il de la ;igura %> se de/en de;inir los parámetros =ue de;inen a los espesores iguales> de acuerdo con estas condiciones la ;unci?n descrita por H$: =ueda como. I6PFI- Ha> /> h> t> t> t. Para de;inir el contorno del per;il > se procede de ;orma similar pero con la ;unci?n> 6PFI- Hl$> t$> h> t+> l+> t0> =ue se de/e rede;inir como 6PFI- Hl> t> h> t> l> t> *a =ue el per;il de la ;igura % tiene igual sus espesores así como sus alas> las cuales son iguales a l. Este per;il se de/e rotar un ángulo igual a π radianes * e;ectuar una traslaci?n al punto con el o/3etio =ue las coordenadas de la poligonal =ue de;ine al per;il =uede trans;ormado adecuadamente de acuerdo a la posici?n relatia =ue tiene este per;il con respecto al sistema de coordenadas de;inido. El llamado com/inado de las ;unciones siguientes de;ine el contorno del per;il de acuerdo como se muestra en la ;igura % * con la orientaci?n positia. AS-ADA6PFI- HA6PFI- H6PFI- Hl> t> h> t> l> t> pi> a)+ l> h la =ue da como resultado> la siguiente matri@1
-o =ue se puede compro/ar o/serando la ;igura %. Esta de;inici?n no es Nnica> se puede de;inir el contorno> de mNltiples maneras> siempre =ue los puntos de las poligonales se escri/an de acuerdo con la orientaci?n positia> de ;orma tal =ue al moer un punto so/re el contorno> la regi?n del plano =ue este limita =uede siempre a la i@=uierda. Para el cálculo de las características de la regi?n =ue se presenta en el e3emplo 0> se puede proceder de las ;ormas siguientes. Para la o/tenci?n de una ;?rmula> por e3emplo para el cálculo del área de la secci?n. -os algoritmos desarrollados permiten> para este tipo de regi?n> sumar las áreas de cada su/ regi?n> es decir proceder de la ;orma siguiente1 P-K6AEA HI6PFI- Ha> /> h> t> t> t P-K6AEAHAS-ADA6PFI-HA6PFI- H6PFI- Hl> t> h> t> l> t> PI> a)+ l> h. El resultado es1
De ;orma similar para o/tener una e7presi?n =ue permita determinar el momento> respecto al e3e coordenado 7> se utili@an las ;unciones1 P-K6SAI6MMER HI6PFI-Ha> /> h> t> t> t P-K6SAI6MMER HAS-ADA6PFI-HA6PFI- H6PFI- Hl> t> h> t> l> t> 4> a)+ l> h> con lo =ue se o/tiene la ;ormula deseada.
El contorno de la regi?n del e3emplo> se puede de;inir así1 I6PFI- Ha> /> h> t> t> tG> AS-ADA6PFI-HA6PFI- H6PFI- Hl> t> h> t> l> t> PI> a)+ l> hGG. Es decir> como un ector cu*as componentes son las matrices =ue de;inen a cada per;il. omo am/os per;iles están orientados en el sentido positio * dada la propiedad de linealidad de las integrales do/les =ue se han e7presado mediante integrales de línea> en los algoritmos de cálculo> el programa determinará la característica =ue se solicite sumando los resultados de cada componente. -o anterior se logra mediante las ;unciones =ue tiene en su nom/re de de;inici?n la pala/ra " COMPOUND"> por e3emplo si se desea el radio de giro de la secci?n plana de la ;igura %> esto se consigue llamando a la ;unci?n1 P-K6MP#RD6KQI#S6EI H;> donde el argumento ;> de/e ser un ector de matrices como se e7plic? anteriormente. Para el e3emplo planteado> se escri/e en DEIBE1 P-K6MP#RD6QI#S6EI HI6PFI-Ha> /> h> t> t> t> AS-ADA6PFIHA6PFI- H6PFI- Hl> t> h> t> l> t> 4> a)+ l> hG deoliendo -a ;ormula correspondiente> -a cual no se presenta por ocupar un espacio mu* grande. Regiones m.ltiplemente cone/as0
En el caso de regiones Del plano mNltiplemente cone7as> el algoritmo desarrollado consiste en1 de;inir el contorno de la regi?n adecuadamente orientado. Para ello se puede hacer uso de las ;unciones =ue de;inen a los per;iles> reali@ar operaciones de rotaci?n * traslaci?n o hacer uso de la ;unciones para la simetría. am/ién se puede de;inir el contorno mediante las coordenadas de los értices de las poligonales =ue con;orman la secci?n. E+emplo 1
Figura . egi?n do/lemente cone7a> orientaci?n positia del contorno Supongamos una regi?n como se muestra en la ;igura > consistente en cuadrado de lado l con un agu3ero con la geometría indicada. Para determinar una ;ormula cerrada para alguna característica geométrica de esta regi?n se procede de la siguiente ;orma1 En primer lugar de;inir el contorno de la regi?n> para ellos son posi/le aris métodos> por e3emplo utili@ando las ;unciones =ue de;inen a un rectángulo con lados iguales * trasladar un per;il de;inido con parámetros adecuados> para este per;il después de situarlo en la posici?n relatia =ue tiene con relaci?n al cuadrado> se de/e usar la ;unci?n EBESE H;> la cual rede;ine la orientaci?n del per;il. tra ;orma de de;inir el contorno es con las matrices1
-a primera de;ine el contorno del cuadrado * la segunda al agu3ero en ;orma de > n?tese como el contorno =ueda orientado por la secuencia de las ;ilas de estas matrices.
Para reali@ar algNn calculo de alguna propiedad o para determinar alguna ;?rmula es preciso de;inir el ector1
Lue será argumento de las ;unciones =ue determina la propiedad =ue se desea calcular> por e3emplo determinemos una ;?rmula para hallar el área1
P-K6MP#RD6AEA H
esultando1 on los algoritmos programados se desarrollaron un gran nNmero de ;unciones> entra las cuales se tienen1 Para regiones simplemente cone7as> en todos los casos> es una matri@ =ue de;ine al contorno de la regi?n> los nom/res de la ;unciones se e7plican por sí solos.
uando la regi?n es mNltiplemente cone7a> se desarrollaron ;unciones similares a las anteriores> como por e3emplo1
Es ;acti/le utili@ar las ;unciones =ue contiene la pala/ra COMPOUND en su nom/re para calcular propiedades de las regiones simplemente cone7as> solo =ue para ello se de/e pasar como argumento ;> un ector> como *a se indic?. am/ién se cuenta con las ;unciones1
las cuales dan como resultado una matri@ con todas las características programadas para la regi?n del plano limitada por el contorno ;.
2n e+emplo numérico$
Dada la secci?n mostrada en la ;igura ,.
Figura ,. Secci?n con dimensiones -a orientaci?n a la secci?n de la ;igura , será positia> recorriendo el contorno de ;orma tal =ue la regi?n =ue este limita =uede a la i@=uierda. El contorno =ueda de;inido por el ector1
aciendo un llamado a la ;unci?n1 P-K6MP#RD6AAEISIAS H;> se o/tiene el siguiente listado de los alores numéricos de las características geométricas de la secci?n =ue están programadas para este ;in. Orea o; regi?n 5 9,99
Perimeter 5 ,+9 enter o; graitit*1 H7c> *c 5 :'> :$G Static Moment>M7 5 %.%9$99T$(U: Static Moment>M* 5 :.$9%'+T$(U: Inertia Moment>I7 5 0.'%:++$00T$(U, Inertia Moment>I* 5 :.$0000,00T$(U, Inertia Moment> I7* 5 $.99:(+T$(U, entroidal Inertia Moment>I7c 5 $.:'%,000T$(U, entroidal Inertia Moment>I*c 5 +.(,%+('00T$(U, entroidal Inertia Moment>I7c*c 5 ! ,.:'+90+T$(U Polar Inertia Moment 5 '.(,9:9'9T$(U, entroidal Polar Inertia Moment5 0.,00,+9+T$(U, Qirus etio>r7 5 ,.((+%9,:$ Qirus etio>r* 5 ,.%+9$:'0 entroidal Qirus etio>r7c 5 %0.%:%':,:+ entroidal Qirus etio>r*c 5 %9.:90+$9 Principal Angle 5 $.+:%',,( Principal Inertia Moment $ 5 .:$:,$$00T$(U, Principal Inertia Moment + 5 +.:+9,0,00T$(U, Este programa ha sido pro/ado con mNltiples e3emplos numéricos de secciones mucho más comple3as. En la actualidad se tiene terminada una ersi?n del programa más potente> con el mismo es posi/le mane3ar regiones de cual=uier con;iguraci?n del contorno.
(34(52*I34E* Mediante los algoritmos * el programa presentado en este tra/a3o para ordenadores * utili@ando el so;tare DEIBE> es posi/le calcular o determinar ;ormulas cerradas en
;unci?n de las dimensiones de la regi?n =ue de;ine la pie@a o secci?n> para el cálculo de las características geométricas de la regi?n o/3eto de estudio. El cálculo de las propiedades o la determinaci?n de dichas ;ormulas se simpli;ica nota/lemente con este programa> de otra ;orma se hace engorroso * con tendencia a cometer errores en dependencia de la regi?n o la característica a determinar. El programa desarrollado puede ser Ntil para ingenieros * pro;esionales =ue se dedi=uen al dise
RE6ERE4(IA* $. JAMES> S. Cálculo con Trascendentes Tempranas. -a a/ana1 Féli7 Barela> +((. +. IBE QA-OR> A. . Características Geométricas de Secciones Planas. -a a/ana1 ISPJAE> $'',. 0. RIEMAR> Q. Tratado Teórico Práctico de Elementos de Máquinas. Varcelona1 Editorial -a/or> S. A.> $'(. %. JAMES> M. Q * SEPER> P. . Mecánica de Materiales. Mé7ico1 Qrupo Editorial I/eroamericano> $'9. eci/ido el +: de septiem/re de +((' Aceptado el 0 de mar@o de +($(
