ESPACIOS VECTORIALES PROPIEDADES DE LOS VECTORES La adició adición n de vectore vectoress cumple cumple con las siguient siguientes es leyes: leyes: Dados Dados tres tres vector vectores es a , b y c tenemos que:
[ A1 ]
a + b = b + a (Ley conmutativa)
[A2 ]
(a + b) + c = a + (b + c ) (Ley asociativa)
[ A 3 ] Para todo vector
a existe un vector nulo 0 tal que 0
a
0
a
a (Existencia del
elemento neutro o nulo de la adición)
[A4 ]
a para todo vector a tal que a + ( − a ) = 0 (Existencia del elemento
Existe un vector
opuesto o simétrico de la adición)
La multiplicación de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes: Dados dos vectores a , b y dos escalares k , k 2 en R tal que se cumple:
[M1 ]
k ( k 2 a )
[M 2 ]
(k 1 + k 2 )a = k 1 a + k 2 a (Ley distri!utiva)
[M 3 ]
k (a
[M 4 ]
1a = a (Elemento neutro del producto)
b)
( k k 2 )a
k a
k k 2 a
k b (Ley distri!utiva)
Ejercicios: " Demostrar Demostrar las propie propiedades dades de la suma vectorial# vectorial# desde [ A 1 ] $asta la [ A 4 ] " 2" %tili& %tili&ando ando las propie propiedade dadess desde desde [ A 1 ] $asta la [ A 4 ] # se puede demostrar que la ecuación vectorial a x b tiene la única solución única solución x b
( a)
b
a . %sando este resultado#
demuestre que:
Crrer: I!"e!ier# Ci$i% & Sis'es (V%or 10 )
Pro*esor: +,%io Cesr -rre'o rc#
/%"er Li!e%
Cor'e II
a" El vector 0 es 'nico# es decir# si 0 !" El vector c"
( a)
a es 'nico# es decir# si a
a
a , entonces 0 a
0.
0, entonces a
a.
a para todo vector a .
" Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector# desde [ M 1 ] $asta la
[M4 ] " " *ea
X un
con+unto no vació# K un cuerpo (como por e+emplo el cuerpo de los n'meros
reales R o comple+os C ) y V = A( X # K ) = { f : X → K # f es una aplicación o ,unción} De,inamos
∀ f # g ∈ ∀
V : ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ∀ x ∈ X
λ ∈ K # f ∈ V : (λ f )( x) = λ f ( x) ∀ x ∈ X
Demostrar que la terna (V #+ #• ) es un espacio vectorial so!re K " -" *ea K un cuerpo (como por e+emplo el cuerpo de los n'meros reales R o comple+os C ) y m# n n'meros naturales" .dem/s# E m = {#2# # m} E n = {#2# # n} y de,inamos el con+unto
M m× n ( K ) = { f : E m × E n → K # f una aplicación o ,unción}
%n elemento de M m× n ( K ) se llama matri& de orden m × n con coe,icientes en K y se denota A = (a ij ) m× n " De,ina una suma entre dos matrices y un producto de una matri& por un escalar" Demuestre que M m× n ( K ) es un espacio vectorial so!re K "
Oser$ci!: 1asta o!servar que M m n ( K ) = A( X # K )# donde x = E m × E n " ×
Coi!ci! Li!e% Ejercicios: ) Determina la expresión general de los vectores de R que son com!inación
E%oro or: Lice!cio +,%io Cesr -rre'o rc#
2
/%"er Li!e%
Cor'e II lineal de los vectores (,2,− ) y ( ,,).
So%,ci!: (α
+
β ,2α + β ,− α + β )
2) Dados los vectores u = (a ,,)# v = ( − ,2,0) y w = (0,,2). 3alla los valores de a para que u se pueda expresar como com!inación lineal de v y de w .
So%,ci!: a = − " Dee!e!ci e I!ee!e!ci Li!e% Ejercicios: 1) 4eri,icar que los vectores linealmente independientes en R 2 y R cumplen esa 2) 3) 4) )
,ormula de determinantes" 4eri,icar que los vectores (#2#) y (#− #) son linealmente independientes" Demuestre que los vectores ( k #− #2)# (k ##2) y (##0) son linealmente independientes# cualquiera que sea el valor de k " 3alle los valores de m para que los vectores (0##)# ( − 2#0#) y ( m# m − #) sean linealmente independientes" Dados los vectores (,2,), (,,) y (, λ ,-)5 $allar el valor de λ para que los vectores sean linealmente dependientes"
ESPACIO CO6 PROD7CTO I6TER6O El producto punto para R n se denota u • v = uv + u 2 v 2 + ... + u v las propiedades que cumple son: Donde c es un escalar y que u, v , w son vectores cualesquiera en R n " n
n
) u • v = v • u (Ley de simetr5a) 2) u • (v + w ) = u • v + u • w (Ley distri!utiva) ) c ( u • v ) = cu • v = u • cv ( u • v ) ) v • v ≥ 0 y v • v = 0 si sólo si v = 0 (El producto interno es positivo) 2
-) v • v = v (De,inición de norma de un vector)
Desi",% e C,c8& 9 Sc8r; La desigualdad de 6auc$y 7 *c$8ar& dice que 9 u • v | ≤ || u || || v || donde 9 u • v | es valor a!soluto de u • v donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos de,inir el u • v /ngulo entre dos vectores en R n as5: Cos φ = esta ,órmula nos de,ine /ngulos entre dos u v vectores" *i u
•
v
=
0 se dice que los /ngulos son ortogonales"
E%oro or: Lice!cio +,%io Cesr -rre'o rc#
/%"er Li!e%
Cor'e II
L esi",% e% 'ri!",%o Dice si u y v son vectores entonces || u + v || ≤ || u || + || v ||.
E% 'eore e Pi'<"ors 2 Este dice si u y v son vectores entonces || u + v || = || u || ortogonales"
2
+ || v ||
2
solo para vectores
Ejercicios: " Demostrar las propiedades del producto interno de vectores" Dados los vectores u = ( 2, − ,) y v = ( ,2,− 2), $allar u , v y el /ngulo que ,orman los vectores u y v .
PROD7CTO VECTORIAL O PROD7CTO CR7= Las propiedades del producto cru& son: *ean los vectores u, v , w y un escalar c en los n'meros reales: " u × v = − ( v × u) (Ley anticonmutativa)" 2" u( v + w ) = u × v + u × w (Ley distri!utiva)" " c ( u × v ) = cv × u = v × cu " u × u = 0
Ejercicios: " Demostrar las propiedades del producto cru&" 2" Los vectores a = − i + 2k # b = 2i + j − k y c = i + 2 j + 2k est/n expresados en una !ase ortonormal" 6alcula: a × b a × (c × a) y a .(a × b ). *olución" a × b = − 2i + - j − k a × (c × a) = i + 0 j + k ; " Demuestre que si u ( u − v ) × ( u + v ) = 2( u × v ).
y
v
son
vectores
a"( a × b) =
0
cualesquiera#
se
tiene
que
S,"ere!ci: %se la propiedad distri!utiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa y la propiedad ( u × u = 0 )"
E%oro or: Lice!cio +,%io Cesr -rre'o rc#
/%"er Li!e%
Cor'e II
" Es cierto que ( u × v ) × w = u(v × w ) ; Para cualesquiera tr5o de vectores u, , v , y w .
>%so: *ugerencia# use los vectores u = (,00), v = (,0,0) y w = (0,,0). S7-ESPACIO VECTORIAL Ejercicios: ) *ea V = A( R# R) = { f : R → R# f es una aplicación o una ,unción} y S = { f ∈ V # f es una ,unción deriva!le en R}"
Pro!ar que S es un su!espacio vectorial de V " 2) *ea V = A( R# R) = { f : R → R# f es una aplicación o una ,unción} y S = { f ∈ V # f es una ,unción que admite derivadas de todos los ordenes en R}" Pro!ar que S es un su!espacio vectorial de V " ) *ea V = A( R# R) = { f : R → R# f es una aplicación o una ,unción} y S = { f ∈ V # f es una ,unción estrictamente creciente en R} " Pro!ar que S no es un su!espacio vectorial de V "
6o': *a!emos que una ,unción es estrictamente creciente en R si para todo par de valores x# x ′ ∈ R# se cumple que: x < x ′ ⇒ f ( x) < f ( x ′ )"
S,"ere!ci: 1asta pro!ar que la ,unción idénticamente nula no pertenece a S " ) *ea V = A( R# R) = { f : R → R# f es una aplicación o una ,unción} y S = { f ∈ V # para todo x ∈ <# f ( x) = f (− x)} " T = { f ∈ V # para todo x ∈ <# f (− x) = − f ( x)}" Pro!ar que S y T son un su!espacios vectoriales de V "
E%oro or: Lice!cio +,%io Cesr -rre'o rc#
-
/%"er Li!e%
Cor'e II
6o': Este es el su!con+unto de las ,unciones pares e impares respectivamente" Oser$ci!: Para pro!ar que un de!e contener el elemento nulo y cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar"
-ASE ? DIME6SIO6: Ejercicios: 1.
Prue!a que los vectores a = (,,− )# b = (#=#) y c = (##) son una !ase de R " 3alla las componentes del vector x = ( − ?,>,-) en esta !ase"
So%,ci!: 6omo son tres vectores# !asta pro!ar que son linealmente independientes (determinante ≠0) x = − a − b + 2c .
2.
Dados los vectores a = (,2, ,), b = (,,), c = (,0,-) y d = ( − ,,). @orman una !ase de R ; Exprese# si es posi!le# el vector d como com!inación lineal de los vectores a , b y c.
3.
Dados los vectores u = ( 2,− ,0) y v = (,2,− ). *on linealmente independientes; v @orman una !ase de R ; 3alla un vector# w tal que 2u + w = . 2
Ejercicio: *e consideran los siguientes su!espacios de R : $ = V =
{#x# !# "
∈
R : x = 0# ! − = 0}"
{#x# !# " 2 ∈ R j : x
=
!; x + 2 = 0}"
3allar una !ase de $% otra de V % la dimensión de $% V y los su!espacios $
∩
V y$
+
V&
'()fi)nd) *u d)+)c,o d) -)nsa+ -o+.u) inc/uso -)nsa+ )n fo+ma )++0n)a )s m)jo+ .u) no -)nsa+1 3ipatia de .le+andr5a" *iglo 4 a" 6
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A
