Algebra Lineal
Presentado Presentado Por: Stella Patricia López Blanco
Grupo: 100408-6
Tutor: Javier Hernando león
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA ABIERTA Y A DISTANCIA -UNADCEAD FACATATIVA Septiembre, 2018
SOLUCIÓN EJERCICIO 2 Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones. a. Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:
Fig 1. Representación gráfica de un vector.
Respuesta y (12 , 9) 9
A x
0
= = 12 = = 9 y
Para hallar el hipotenusa
12
⃗ = 12;12;9
modulo usamos Pitágoras que ya para hallar el módulo es calcular la
ℎ = +
9
12
⃗= 12 + 9 ⃗ =144+81 ⃗⃗ =225 =15 =15
Modulo = 15
Para hallar la dirección usamos la siguiente ecuación
y (12 , 9) 9
A
9 x
0
12
12
= 4= COS = 5 =37
COS
Dirección 37 grados
Para hallar el sentido, lo representamos en la la gráfica.
9
12
|||| == 32 ;; == == 6102°0° 5̅ 2
b) Dados los siguientes vectores en forma polar
Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ●
●
Respuesta
Primero hallamos las componentes tan x como en y de los dos vectores
= =. = =ⅇ =. =, = . . = =. =.
●
=ⅇ =. =. =,.. .,. 1,1.73 ....,,...1.73 == √ ....+.+. =√. =.− = =− 0.2.856 =18.9 )
●
5̅ 2
5.21, ,.1.73=2, = .,3..46 .. .,+.,+2, 3. 4 6 ..,..3.46 ==√ .... +. +.
= . . √ =. =− =− 9.9.459 =44.9
̅
c) Encuentre el ángulo ángulo entre los siguientes vectores: = 2i + 9 j y = -6i – 4 j ●
Solución
Primero multiplicamos los vectores
∗= ||⃗|=| = + + = =6 62++49 ==√ √ 4+81 √ 436+16 +81 = 85 8 5 36+16 = √ 5252 cos= | |⋅ | cos= √ 85∗8548∗ √ 5252 cos= 9.2148∗ 7.21 2 x (-6) + 9 * (-4) = -12+ (-36)= -48
Calculas las magnitudes
Para halar el Angulo entre dos vectores usamos la siguiente formula
Reemplazamos los valores
Hacemos las operaciones
cos= 66.4840 cos= 0. 7 2289 − = 0.0.72289 = 13136
●
d) Encuentre la distancia entre los puntos: (3,-4, 7) ; (3,-4,9)
Solución Para hallar la distancia entre puntos utilizamos la formula
Reemplazamos
● ●
= + + = 3 3 +4=4 04 4+ 0+ +29 7 =√0+0+4 ==√ 24
e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k
Solución multiplicación
= 77=63+27+64 9 + 93 +88 = = = [ 7 9 8] 9 3 8 = 988 388 +=77488+81289 8182 0+ 773 99 Producto escalar
Producto Vectorial
EJERCICIO 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 2, resuelve el siguiente problema: Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle:
(a) las componentes de cada desplazamiento 1- 4.13 m SO
2- 5,26 m
4,4,13cos45°√ 24,1345° =4,13 2 4,13 √ 22 = 2,92 2,92 = 5,5,26
3- 5,94 m en una dirección de 64°NE
5,5,94cos64°5,9464° 2,2,60+0 + 5,5,3434 =
(b) las componentes del desplazamiento resultante
En relación a la suma de los vectores;
= 2,2,92 2,92 + 5,5,26 + 2,60 + 5,5,34 = 2,2,92+ 5,26 +2,600 + 2,2,92+5,344 = 4,94 + + 2,42
(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante
4,4,94 +2,42 = 30,26 =5,50
Magnitud:
2,4,4924 =arctan0,0,49 =26°
Dirección:
(d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. Para regresarla al origen de partida, se dará aplicación al vector opuesto.
= 4,4,94+4 + 2,2,4242 = 4,4,94 2,2,42 EJERCICIO 4 Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:
A=
Solución
21 13 45 527 2 1 4 = 51 3 2 75
Intercambiamos
↔
5= 1 3 2 75 2 1 4 ← ⋅ 5 2 7 17 18 = 02 15 45 ← ⋅ 50 172 187 = 0 59 56 ( 5 5 ) ← ⋅ 50 172 187 = 0 05 512 ( ← ⋅ 17) 5 2 7 = 00 1705 1815 ← ⋅ 5 2 7 17 = 00 05 10 ← – ⋅
Volvemos 0 el primer coeficiente en la fila
realizando
Volvemos 0 el primer coeficiente en la fila
realizando
Volvemos 0 el segundo coeficiente en la fila
Multiplicamos la fila por su inversa
Cancelamos
Cancelamos 3 coeficiente de
de esta forma
realizando
5 2 0 = 00 1705 10 ← ⋅ 5= 0 1 2 00 0 0 1 5 0 0 ← + ⋅ = 00 10 01 ← ⋅ 1 0 0 = 00 10 01
Multiplicamos la fila por su inversa
Cancelamos 2 coeficiente de
Multiplicamos por
de esta forma
Compruebe sus respuestas en Geogebra.
b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus
A=
B=
C=
Y realice las siguientes operaciones si es posible:
a)
B*C
1 0 3 = 02 11 40
1 0 3 7 9 5 =⋅=02 11 40 98 38 110 , =1⋅7+0⋅9+3⋅ 8 8 =7+0+ 24 24 =17 =1⋅9+0⋅3+3⋅ 8 8 =9+0+ =9+0+ 24 24 =15 , =1⋅9+0⋅3+3⋅ , =1⋅5+0⋅1+3⋅10=5+0+30=25 , =0⋅7+1⋅9+4⋅ =0⋅7+1⋅9+4⋅ 8 8 =0+9+ =0+9+ 32 32 =23 32 =29 , =0⋅9+1⋅3+4⋅ 88 =0+3+ 32 , =0⋅5+1⋅1+4⋅10=0+1+40=41 , =2⋅7+1⋅9+0⋅ =2⋅7+1⋅9+0⋅ 8 8 =14+9+0=23 , =2⋅9+1⋅3+0⋅ 88 =18+3+0=21 , =2⋅5+1⋅1+0⋅10=10+1+0=9 1273 1259 2451 23 21 9 *
D=
b)
DET(C)*DET(A)*B DET(C)*DET(A)*B
7 9 5 =98 38 110 = 7 ∙ 38 110 9 ∙ 98 110 5 ∙98 110 = 7∙ 3⋅3 ⋅1 0 8⋅ 8⋅1 9 9 ∙8⋅9⋅98⋅⋅130 8⋅ 8⋅1 55 ∙ 9⋅9 ⋅ 8 = 7∙ 3030 8=7∙8 938398∙ 99090∙989888 55 5∙ 548 ∙4872 72 24 24 =266= 882 376 -
-
-
-
+240
2 1 0 7 0 = 000 0150 004 601 Convertimos la matriz en una matriz triangular
Multiplicamos la fila 2 por 2 y la restamos de l a fila 3
2210∙ →7 0 = 000 005 048 621 = 2 × 5= 480×8 × 6 2 1 0 7 0 3∗ = 000 0150 004 601 2 ∗3 ∗3 1 0∗3 0∗ 3 7 ∗3 ∗3 0 ∗3 ∗3 3∗ = 0∗30∗3000 ∗∗∗ 333 0150∗30∗∗∗3∗333 0∗34∗3004 ∗∗∗ 333 0∗3601∗31∗∗∗ 333 6 3 0 2 1 0 3∗ = 000 01350 1002 181083
El determinante de la matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
b)
3*A
d)
Compruebe todas sus respuestas en Geogebra
EJERCICIO 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 4 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, bandejas: A, B y C. La bandeja A bandeja A contiene contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B bandeja B contiene contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C , contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, A, 80 de B y 100 de C , obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos
Solución
∙ 5080 100 =160 = 40 ××50+120×80+80×100 50+50 + 120× 120 × 80+80 + 150× 150 × 100 =80 ×50+120×80+80×100 =25600 = 26600 =21600 26600 = 25600 21600 × 26600 25600 21600
Manchego Roquefort Camembert
Para dar la cantidad en kilogramos multiplicamos
A B C
=
26600× 25600× 21600×26.6 25.21.66 =
EJERCICIO 6 Tres personas, A, personas, A, B, C, quieren C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C : 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg.
A. A B C
B. P M N
●
.
Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona A, (A, B, C ), ), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula Encontramos la matriz inversa usando las operaciones elementales
22 12 64 1 2 3 22 12 64 10 01 00 1 2 3 0 0 1∕ 2 → 12 212 43 012 10 00 1 2 3 0 0 1 2× → 10 112 32 1121 10 00 1 2 3 0 0 1 1× → 10 112 32 1121 10 00 0 32 0 12 0 1 1 1 0 0 × → 10 12 32 1 21 31 0 00 3 1 2 1 ∕ 3 → 1 10 112 32 1 211 110 001 00 1 3 2 3 2× → A=
Para ello se aumenta la matriz dada con una matriz identidad:
Divididos la fila 1 por 2
Multiplicamos la fila 1 por 2 y la restamos a la fila 2
Multiplicamos la Fila 1 por q y la restamos a la fila 3
Multiplicamos la fila 2 por
y la restamos a la fila 3
Dividimos la fila 3 entre 3
Multiplicamos la fila 3 por (-2) y la restamos a la fila 2
1 11 2 3 12 00 02 00 10 01 133 12 133 3× → 1 3 11 2 0 12 20 12 00 10 01 133 12 133 1 3 4 × → 10 01 00 133 20 323 0 0 1 13 12 13 1 3 4 22 12 64 11 = 133 20 323 1 2 3 13 12 13 − = ⋅ 2 1 6 = 21 22 43
Multiplicamos la fila 3 por 3 y la restamos a la fila 1
Multiplicamos la fila 2 por
Respuesta
●
y la restamos a la fila 1
Compruebe todas las respuestas en Geogebra
Determinantes utilizando la fórmula
Calculemos M1,1
= ∙ ∙ +∙∙ + = = = = = = = = = = 92 02 23 8 4 2 M1,1 =
Calculemos M1,2
M1,2 =
Calculemos M1,3
M1,3 =
Calculemos M2,1
M2,1 =
Calculemos M2,2
M2,2 =
Calculemos M2,3
M2,3 =
Calculemos M3,1
M3,1 =
Calculemos M3,2
M3,2 =
Calculemos M3,23
M3,3 =
B=
Transpuesta de la matriz cofactores:
=
Respuesta
1 − = 6 ⋅